NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM

FAIPARI MÉRNÖKI KAR

FIZIKAI INTÉZET

Mentes Gyula

ELEKTROTECHNIKA

Egyetemi jegyzet

SOPRON

2005

Mentes Gyula

- 2 -

Lektorálták:

Dr. Papp György Dr. Verő József

egyetemi tanár egyetemi tanár

Elektrotechnika

- 3 -

TARTALOMJEGYZÉK

1. Bevezetés 7

2. Elektrosztatika 8

2.1. Elektrosztatikai alapjelenségek, az elektromos töltés 8

2.2. Coulomb törvénye 8

2.3. Az elektromos térerősség 9

2.4. Feszültség és potenciál 10

2.5. Az elektrosztatika Gauss-tétele 12

2.6. A Gauss-tétel néhány alkalmazása 12

2.6.1. A felületi töltéssűrűség és a térerősség összefüggése 12

2.6.2. Töltött végtelen síklemez tere 13

2.6.3. Töltött fémgömb tere 13

2.6.4. Végtelen hosszú vonaltöltés tere 14

2.7. A kapacitás fogalma, kondenzátorok 15

2.8. Kondenzátorok soros és párhuzamos kapcsolása 16

2.9. Kondenzátorok gyakorlati megvalósítása 17

2.10. A villamos tér energiája 19

2.11. Az elektromos erőtér hatása a dielektrikumra 21

2.11.1. A dielektrikum polarizációja 21

2.11.2. Az elektromos tér energiája dielektrikumban 22

2.11.3. Az elektrosztrikciós és a piezoelektromos jelenség 22

3. Egyenáramú hálózatok 24

3.1. Az ellenállás fogalma, Ohm törvénye 24

3.1.1. Az ellenállás függése a hőmérséklettől és a mechanikai feszültségtől 25

3.1.2. Ellenállások soros és párhuzamos kapcsolása 27

3.1.3. Ellenállások delta és csillag kapcsolása 28

3.2. A villamos teljesítmény fogalma, Joule törvénye 31

3.3. Egyenáramú hálózatok számítási módszerei 32

3.3.1. Kirchhoff törvényei 32

3.3.2. Feszültségforrás, áramforrás 34

3.3.2.1. Feszültségforrás (Thévenin-kép) 35

3.3.2.2. Áramforrás (Norton-kép) 36

3.3.2.3. A feszültség és áramgenerátorok ekvivalenciája 37

3.3.3. A hurokáramok módszere 38

3.3.4. Thévenin és Norton tétele 40

3.3.5. Szuperpozició elve 41

4. Stacionárius mágneses tér 43

4.1. Az áram mágneses tere, a mágneses indukció és a mágneses fluxus 43

4.2. A Biot-Savart-törvény 45

4.3. A gerjesztési törvény 46

4.4. Példák a gerjesztési törvény alkalmazására 47

4.4.1. Végtelen hosszú egyenes vezető mágneses tere 47

4.4.2. Toroid mágneses tere 48

4.4.3. Szolenoid mágneses tere 48

4.5. Erőhatások mágneses térben 49

4.5.1. A Laplace-féle elemi törvény 49

4.5.2. Ampère törvénye 49

4.6. Öninduktivitás, kölcsönös induktivitás 50

Mentes Gyula

- 4 -

4.7. Anyagok mágneses tulajdonságai 52

4.8. Mágneses körök számítása 56

4.8.1. A mágneses Ohm-törvény 56

4.8.2. A mágneses vezetőképesség és az önindukciós tényező közötti kapcsolat 57

4.8.3. Lineáris mágneses körök számítása 58

4.8.4. Nemlineáris mágneses körök számítása 58

5. Elektromágneses tér 60

5.1. Nyugalmi elektromágneses indukció 60

5.2. Mozgási elektromágneses indukció 61

5.3. Váltakozó feszültség előállítása 62

5.4. A mágneses tér energiája 64

5.4.1. A mágneses tér energiája ferromágneses anyagtól mentes térben 64

5.4.2. A mágneses energia ferromágneses anyagban 65

5.4.3. Vasmagos elrendezésekben fellépő erőhatások 67

6. Váltakozóáramú hálózatok 69

6.1. Váltakozófeszültségű hálózatok szimbolikus (komplex) számításának

elve

69

6.2. A váltakozóáram effektív értéke 71

6.3. Időfüggvény átírása komplex alakba és komplex alak átírása időfügg-

vénybe

72

6.4. Ellenállás, tekercs és kondenzátor viselkedése váltakozóáramú hálóza-

tokban

73

6.5. Egyszerű váltakozóáramú áramkörök 76

6.5.1. Egyszerű soros váltakozóáramú áramkörök 77

6.5.2. Egyszerű párhuzamos váltakozóáramú áramkörök 79

6.6. A váltakozóáram teljesítménye 80

7. Villamos mennyiségek mérése 84

7.1. Áram és feszültség mérése 84

7.1.1. Deprez-műszerek 84

7.1.2. Lágyvasas műszerek 85

7.1.3. Áram- és feszültségmérők méréshatárának kiterjesztése 85

7.2. Villamos teljesítmény mérése 86

8. Háromfázisú feszültségrendszer 88

8.1. Háromfázisú hálózat terhelése csillagkapcsolású fogyasztóval (Y kapcso-

lás)

90

8.1.1. Csillagkapcsolás nullavezetővel (kivezetett csillagponttal) tetszőleges

terhelés esetén

90

8.1.2. Csillagkapcsolás nullavezető nélkül, szimmetrikus terhelés esetén 92

8.1.3. Csillagkapcsolás nullavezető nélkül aszimmetrikus terhelés esetén 92

8.2. Háromfázisú hálózat háromszögkapcsolású terheléssel ( kapcsolás) 94

8.3. Háromfázisú áramrendszer teljesítménye 95

8.4. Háromfázisú teljesítmény mérése 97

8.4.1. Teljesítmény mérése négyvezetős (nullvezetős) háromfázisú rendszerben 97

8.4.2. Teljesítmény mérése háromvezetős háromfázisú rendszerben 98

9. Transzformátor 103

9.1. Egyfázisú transzformátor felépítése és működése 103

9.2. Az egyfázisú transzformátor helyettesítő képe 105

9.3. A transzformátor veszteségeinek meghatározása 108

9.4. Egyfázisú transzformátorok párhuzamos üzeme 109

9.5. Háromfázisú transzformátorok 109

Elektrotechnika

- 5 -

9.6. Különleges transzformátorok 111

9.6.1. Takarékkapcsolású transzformátorok 111

9.6.2. Mérőtranszformátorok 111

9.6.2.1. Feszültségváltó 111

9.6.2.2. Áramváltó 112

9.6.3. Hegesztőtranszformátorok 113

10. Szinkrongépek 114

10.1. Szinkron gépek elve, forgó fluxus előállítása 114

10.2. Szinkrongépek felépítése 115

10.3. Szinkron gépek működése 117

11. Aszinkron gépek 118

11.1. Aszinkron gépek felépítése és működése 118

11.1.1. A csúszógyűrűs aszinkron gép mint forgómezős transzformátor 119

11.1.2. A csúszógyűrűs aszinkron gép mint fázistoló 119

11.1.3. A csúszógyűrűs aszinkron gép mint frekvenciaváltó 120

11.1.4. Az aszinkron motor működése 120

11.2. Aszinkron gépek üzemi viszonyai 124

11.2.1. Aszinkron gépek indítása 124

11.2.1.1. Bekapcsolási áramlökés csökkentése rövidrezárt forgórészű motorok

esetében

125

11.2.1.1.1. Indítás előtétellenállással 125

11.2.1.1.2. Transzformátoros indítás 126

11.2.1.1.3. Indítás csillag-delta átkapcsolással 126

11.2.1.2. Rövidrezárt forgórészű aszinkron motorok indítási nyomatékának meg-

növelése

128

11.2.1.2.1. Mélyhornyú motor 128

11.2.1.2.2. Kétkalickás motor 128

11.2.2. Csúszógyűrűs aszinkron motorok indítása 129

11.3. Aszinkronmotorok fordulatszám szabályozása 129

11.3.1. A primer frekvencia változtatása 130

11.3.2. A póluspárszám változtatása 131

11.3.3. A szlip változtatása 132

11.4. Aszinkronmotorok forgásirány váltása 132

11.5. Aszinkronmotorok fékezése 132

11.5.1. Haszonfékezés 133

11.5.2. Ellenáramú fékezés 133

11.5.3. Dinamikus fékezés 134

11.6. Egyfázisú aszinkronmotor 134

12. Egyenáramú gépek 137

12.1. Egyenáramú generátorok működési elve 137

12.2. Egyenáramú motorok működési elve 139

12.3. Egyenáramú gépek felépítése és működése 140

12.3.1. Egyenáramú gépek tekercselése 140

12.3.2. Kefeszikrázás és armatúravisszahatás 142

12.3.3. Egyenáramú gépek gerjesztőtekercsének kapcsolása 143

12.4. Egyenáramú generátorok jelleggörbéi 145

12.5. Egyenáramú motorok üzemi tulajdonságai 147

12.5.1. Külső és párhuzamos gerjesztésű egyenáramú motorok üzemi jellemzői 148

12.5.2. Soros gerjesztésű egyenáramú motorok üzemi jellemzői 150

12.5.3. Vegyesgerjesztésű egyenáramú motor üzemi jellemzői 152

Mentes Gyula

- 6 -

12.6. Egyenáramú motorok üzeme 152

12.6.1. Egyenáramú motorok indítása 152

12.6.2. Egyenáramú motorok fordulatszámának szabályozása 153

12.6.3. Egyenáramú motorok fékezése 154

13. Felhasznált irodalom 155

Elektrotechnika

- 7 -

1. BEVEZETÉS

A mindennapi életben igen gyakran használják az elektrotechnika szót. Jelentésében

szerepel az elektromosság és a technika is, ezért azt mondhatjuk, hogy az elektrotechnika az

elektromos és mágneses alapjelenségek alapismereteivel, műszaki vonatkozásaival és gyakor-

lati alkalmazásaival foglalkozó szaktudomány. Napjainkban az elektrotechnika egyes területei

már önálló tudománnyá fejlődtek. Az elektrotechnikát ennek alapján két fő területre, erősára-

mú és gyengeáramú elektrotechnikára szokás felosztani.

Az erősáramú elektrotechnika az az alkalmazott tudomány, amely a villamos gépek-

kel, a kis- és nagyfeszültségű villamos hálózatokkal, berendezésekkel, a villamos-energia át-

vitel, elosztás és fogyasztás területeivel foglalkozik.

A gyengeáramú elektrotechnika a hírközlést, az információfeldolgozást, a villamos

mérés- és a szabályozástechnika elektronikus eszközeit foglalja magában. Amint látható, az

"erős" és "gyenge" kifejezések nem az áram értékére utalnak, hiszen egy rádióadó berende-

zésben sokkal nagyobbak az áramok, mint egy kis háztartási készülékben.

Az elektronika a gyengeáramú technikának az a területe, amely azoknak az elektroni-

kus eszközöknek az elméletével és felhasználásával foglalkozik, amelyekben az elektromos

áramot elektromos erőterekkel vezérlik.

Napjainkban az iparban és a mindennapi életben lépten-nyomon találkozunk villamos

berendezésekkel. Ennek megfelelően a korszerű faipari üzemekben a fokozódó gépesítés és

automatizálás következtében egyre nagyobb mennyiségben és változatosságban használnak

fel villamos energiát a különböző technológiai folyamatokban. Kézenfekvő, hogy a faipari

mérnök egyre gyakrabban kerülhet szembe olyan természetű feladatokkal, amelynek megol-

dása elektrotechnikai ismereteket igényel. Természetesen a problémák részletes megoldása

villamosmérnöki feladat, de a faipari mérnöknek is szüksége van bizonyos alapismeretekre,

hogy elképzeléseiben figyelembe vehesse a villamos energia, a modern elektrotechnika és

elektronika nyújtotta lehetőségeket.

Az elektrotechnika tárgy feladata egyrészt az, hogy kellő elméleti alapismereteket

nyújtson a későbbi elektronika, automatika, méréstechnika ismeretek elsajátításához, más-

részt, hogy megfelelő tudást adjon a faipari üzemekben használt villamos gépek üzemelteté-

séhez.

Ennek megfelelően a "FIZIKA" tárgyra építve, a jegyzet foglalkozik az elektromos és

mágneses alapjelenségekkel, az anyagok elektromos és mágneses tulajdonságaival, az egyen-

és váltakozóáramú villamos hálózatok alapvető számítási módszereivel, valmint tárgyalja az

erősáramú méréstechnikában használatos feszültség-, áram-, ellenállás-, impedancia- és telje-

sítménymérési módszereket és az alkalmazott mérőműszerek elvét és felépítését.

Ezekre építve a jegyzet - a faipari mérnök igényeinek megfelelően - részletesen fog-

lalkozik a villamos gépek felépítésével és azok biztonságos, gazdaságos és hatékony üzemel-

tetésének kérdéseivel.

Mentes Gyula

- 8 -

2. ELEKTROSZTATIKA

2.1. Elektrosztatikai alapjelenségek, az elektromos töltés

A gyapjúval megdörzsölt borostyánkő (görögül: élektron) a közelében levő papírda-

rabkákat magához vonzza. Hasonló jelenségek tapasztalhatók, ha pl. üvegrudat szarvasbőrrel

vagy ebonitrudat szőrmével dörzsölünk. Mind a dörzsölt tárgyak, mind, pedig a dörzsölő

anyagok apró, könnyű tárgyakat magukhoz vonzanak. A kísérletek során azt tapasztaljuk,

hogy a szőrmével dörzsölt ebonitrúd és a szarvasbőrrel dörzsölt üvegrúd vonzza egymást,

valamint a dörzsölő anyag és a dörzsölt tárgy is vonzza egymást. Két bőrrel dörzsölt üvegrúd,

pedig taszítja egymást. Az említett testek a dörzsölés következtében olyan állapotba kerülnek,

amelyben erőhatást fejtenek ki. Ezt az állapotot a borostyánkő görög nevéről elektromos álla-

potnak nevezzük és az erőhatást a testeken levő elektromos töltésnek tulajdonítjuk. Úgy kép-

zeljük, hogy kétféle elektromos töltés van, amelyeket pozitív és negatív jelzőkkel különböz-

tethetünk meg egymástól. A bőrrel dörzsölt üvegrúd töltését önkényesen pozitívnak, a szőr-

mével dörzsölt ebonitrúd töltését, pedig negatívnak nevezték el. Kísérletekkel igazolható,

hogy a két különböző anyagú test dörzsölésekor a két testen felhalmozott ellentétes előjelű

töltések mennyisége abszolút értékre nézve egyenlő. Ebből arra következtethetünk, hogy a

dörzsölés eredményeképpen nem töltéseket hozunk létre, hanem a kétféle elektromos töltést

szétválasztjuk.

A különböző anyagokban a töltések gyorsan, lassan vagy igen lassan egyenlítődnek ki.

Számszerűleg az anyagoknak ez a tulajdonsága a fajlagos vezetőképességgel jellemezhető és

ennek viszonylag nagy ill. igen kicsi értéke szerint jó vezetőkről és jó szigetelőkről beszélünk.

A jó vezetők közé tartoznak, pl. a fémek, a szén, az emberi test, a föld, a savak és lúgok vizes

oldatai. A jó szigetelők közé tartoznak, pl. a borostyánkő, a kvarc, a csillám, az üveg, porce-

lán, a normál állapotú gázok. Az anyagok felosztása szigetelőkre vagy vezetőkre csak megha-

tározott körülmények fennállása esetében igaz. Pl. a gázok nagy hőmérsékleten vezetőkké

válnak. A szigetelők és vezetők közötti átmenetet képező anyagokhoz sorolhatók, pl. a fa, a

papír, a márvány, a bőr.

2.2. Coulomb törvénye

Pontszerű töltések egymásra kifejtett erőhatásának törvényét Coulomb francia fizikus

(1736-1806) igazolta először 1785-ben. Torziós ingával végzett mérései szerint két töltés kö-

zött ható erő egyenesen arányos a töltések nagyságával és fordítottan arányos a közöttük levő

távolság négyzetével:

2r

QQkF 21 , (2.1)

ahol 1Q és 2Q az egymástól r távolságra levő két töltés, k pedig az arányossági tényező.

A töltés egységét a Nemzetközi Mértékegység-rendszerben (SI), amely számos gya-

korlati előnnyel rendelkezik, visszavezetik az áramerősség egységére, az amperre, melynek

jele: A. Az SI-ben a töltés egysége a coulomb (C):

[Q ]=1 coulomb=1C=1As. (2.2)

Elektrotechnika

- 9 -

Ez alapján 1C az a töltés, amelyet 1A erősségű áram 1s alatt szállít egyik helyről a másikra. A

szokásos töltések 1C-nál nagyságrenddekkel kisebbek, általában 1μC=10-6 C vagy 1mC=10-3

C nagyságrendűek. A töltés egységének megválasztása alapján a Coulomb-törvény k arányos-

sági tényezőjét az alábbi alakban adják meg:

04

1

k , (2.3)

ahol 0 a vákuum dielektromos állandója és értéke: 0 =8,85610-12

2

2

Nm

C vagy 0 =8,85610-12

Vm

As. A (2.3) képletbe 0 értékét behelyettesítve kapjuk, hogy k =9·109

2

2

C

Nm. Így a Cou-

lomb-törvény alapján a töltés egységét úgy is definiálhatnánk, hogy 1C az a villamos töltés,

amely a vele egyenlő töltésre 1m távolságból 9·109 N erővel hat.

Ha a töltések nem vákuumban, hanem más szigetelőanyagban helyezkednek el, akkor

0 helyett r 0 mennyiséggel kell számolni, ahol r az illető anyagnak a vákuumra vonat-

kozó relatív permittivitása vagy relatív dielektromos állandója.

2.3. Az elektromos térerősség

Ha elektromos töltésű test környezetének valamely pontjában egy kis, Q töltésű, pont-

szerű próbatestet helyezünk el, erre meghatározott erő hat. Az elektromos töltésű test maga

körül elektromos teret kelt, akkor is, ha a próbatest nincs jelen és ez a tér hat az odahelyezett

próbatestre. Általánosságban, elektromos térnek nevezzük a térnek azt a részét, amelynek

minden pontjához meghatározott – egy pontszerű próbatöltés segítségével meghatározható –

erő tartozik. A kisméretű Q töltésű próbatestre ható F erő arányos a Q töltéssel:

EQF (2.4)

Az elektromos térre jellemző QFE vektormennyiséget - amely a dimenziótól eltekintve, a

pozitív egységnyi próbatöltésre ható erőt jelenti – elektromos térerősségnek nevezzük. Egy Q

töltésre ható F erőt ez alapján úgy értelmezhetjük, hogy azt a többi töltés által a Q töltés

helyén létrehozott elektromos tér okozza.

Az elektromos térerősség egységét a (2.4) összefüggésből kapjuk meg:

C

N

Q

FE 1 . (2.5)

A gyakorlatban előforduló térerősségértékekre példa, hogy jó szigetelőanyagokban kb.

108 N/C térerősség engedhető meg. Egy rádióantenna által létrehozott elektromos térerősség

kb. 10-3 N/C nagyságrendű.

Az elektromos teret erővonalakkal szemléltetjük. Ezek olyan görbék, amelyek érintője

a tér minden P pontjában az ott uralkodó E térerősség irányába esik. Megállapodás szerint

az erővonalakat a tér minden helyén olyan sűrűn húzzuk meg, hogy a rájuk felvett egységnyi

Mentes Gyula

- 10 -

felületen éppen annyi erővonal haladjon át, mint amekkora a térerősség a kérdéses helyen. A

nyugvó töltésektől származó (elektrosztatikai) térben:

- Az erővonalak mindig pozitív töltésekből indulnak ki és negatív töltéseken végződnek

(2.1. ábra). Egyetlen pozitív töltés esetén az erővonalak a töltésből indulnak és a végte-

lenben végződnek. Egyetlen negatív töltés esetében az erővonalak a végtelenből indul-

nak és a negatív töltésen végződnek (2.2. ábra). (A végtelen azt jelenti, hogy a töltések

szétválasztása után a másik töltés a végtelenbe került.) Tehát nincsenek sem semmiben

végződő, sem önmagukba visszafutó, zárt erővonalak. Ezt a tulajdonságot úgy fejezhet-

jük ki, hogy az elektrosztatikai tér örvénymentes vektortér, amelynek töltések a forrásai.

- A térerősség iránya a tér minden pontjában egyértelműen meghatározott, ami azt jelenti,

hogy az erővonalak egymást nem metszik.

- Az elektromos tér folytonos, vagyis a tér minden pontján erővonal halad át.

2.4. Feszültség és potenciál

Eddig az elektromos teret, mint vektormezőt jellemeztük az elektromos térerősség

fogalmának bevezetésével. A következőkben bevezetünk egy skaláris mennyiséget, amellyel

szintén jellemezhetjük az elektromos teret. Ez a skalármennyiség a potenciál. Q töltésű pont-

szerű testre elektromos térben EQF erő hat. Ha tehát a Q töltést F erővel az A pontból

a B pontba visszük, akkor a munka definíciója alapján az F erő ellenében az alábbi munkát

kell végeznünk:

B

A

B

A

AB ldEQldEQW . (2.6)

Kimutatható, hogy ez a munka független az úttól (az A -tól B -be vezető görbétől), és így nem

más, mint a próbatöltés potenciális energiájának a megváltozása.

Amint (2.6)-ból látható, a Q töltés mozgatása során végzett munka arányos a töltés

nagyságával. Képezzük a tér által végzett munka és a töltés hányadosát, amely ezáltal csak a

tértől és a pályától függ. Ezt a hányadost az A és B pont közötti potenciálkülönbségnek vagy

feszültségnek nevezzük:

+Q -Q

+ -

2.1. ábra. Ellentétes előjelű

ponttöltések tere

2.2. ábra. Egyedülálló pozitív ill. negatív pont-

töltés tere

Elektrotechnika

- 11 -

B

A

potApotBABAB ldE

Q

WW

Q

WU , (2.7)

amely tehát az a munka, amelyet az elektromos erők ellenében kell végeznünk, hogy a pozitív

egységnyi próbatöltést tetszőleges úton A pontból B pontba vigyük. A pálya fordított bejárása

esetén az A és B pont közötti feszültség ugyanakkora abszolút értékű, csak ellenkező előjelű.

A potenciális energiához hasonlóan a potenciál értékét csak akkor adhatjuk meg, ha

egy megállapodás szerinti ” O ” pontban a potenciál értékét zérusnak vesszük. Ez alapján a tér

egy tetszőleges P pontjában a potenciál az OA és a PB jelölésekkel:

P

POP ldEU0

. (2.8)

Nullpontként vagy vonatkoztatási pontként (vonatkoztatási felületként) a gyakorlatban leg-

többször a föld ill. a vele összekötött vezető test szolgál. Elméleti számításokhoz, pedig a

végtelen távoli pontot szokás alappontnak tekinteni.

A definíció alapján a feszültség egysége:

voltVAs

VAs

Q

WU 11

1

1 . (2.9)

A potenciált is szokásos U -val jelölni és egysége szintén a volt.

A hálózati feszültség 220 V, az áramtermelő generátorok feszültsége néhányszor

10 kV, a nagyfeszültségű energiaátvitel több 100 kV, a legkisebb még mérhető feszültség

1 nV=10-9 V nagyságrendű.

Tapasztalati tény, hogy nyugvó töltések terében tetszőleges zárt görbe mentén a vég-

zett munka nulla:

00 l

ldEQW . (2.10)

Ezt úgy is írhatjuk, hogy:

0l

ldE , (2.11)

vagyis az E térerősségvektor integrálja bármely zárt görbére nulla. Ebből az következik, hogy

elektrosztatikus térben tetszőleges két pont közötti feszültség csak a kezdő és a végpont hely-

zetétől függ, az integrációs úttól független. Ez az egyenlet fejezi ki az elektrosztatikai térnek

azt a fontos tulajdonságát, hogy zárt erővonalai nincsenek, más szóval az elektrosztatikai tér

örvénymentes.

Mentes Gyula

- 12 -

2.5. Az elektrosztatika Gauss-tétele

Az elektrosztatika Gauss-tétele az elektromos tér és az azt létrehozó töltések között

teremt kapcsolatot és a kísérletek alapján azt mondja ki, hogy egy zárt felületen áthaladó

elektromos erővonalak száma arányos a zárt felület által körülzárt töltéssel (2.3. ábra):

A

QAdE0

1

. (2.12.)

Az AdE szorzat képzésekor az E vektoroknak a dA felületelemre merőleges kom-

ponensét kell venni. Másképpen fogalmazva az E vektoroknak és a Ad felületelem vektorá-

nak (hossza arányos a felületelem nagyságával, iránya pedig merőleges a felületelemre és zárt

felület esetében kifelé mutat) skaláris szorzatát kell képezni.

2.3. ábra. Az elektromos térerősség zárt felületmenti integráljának képzése

2.6. A Gauss-tétel néhány alkalmazása

2.6.1. A felületi töltéssűrűség és a térerősség összefüggése

A 2.4. ábrán látható töltéssel ellátott vezető felületének egy részére írjuk fel a Gauss

tételt. A kicsiny felületelem legyen az, amelyet a A alapú, h magasságú henger vesz körül.

Legyen h sokkal kisebb, mint A átmérője. Ha A elegendően kicsiny, akkor a henger által

körülvett vezető felület is egyenlőnek vehető A -val. Így E állandó és ugyanakkora a hen-

gernek a levegőben levő alaplapján és a vezető felületelemén, valamint merőleges az előbbi

felületekre. A henger másik alaplapján E nulla, mivel a vezető belsejében a térerősség nulla.

A térerősség párhuzamos a henger palástjával, ezért elegendő a Gauss-tételt a henger külső

alaplapjára alkalmazni:

0

AAE

, (2.13)

Q Q Q Q 1 2 3

Q 1 Q 2

Q 3

Q 4

A

d A

E n

E

Elektrotechnika

- 13 -

ahol a vezető felületén a felületi töltéssűrűség és A a henger által körülzárt töltés. A -

val való osztás után kapjuk, hogy:

E0 . (2.14)

A

h

2.6.2. Töltött végtelen síklemez tere

A 2.5. ábrán egy végtelen kiterjedésű síklemez egy részlete látható. Az ábrán szemlél-

tetett esetben a felületen egyenletesen elosztott pozitív töltés van, állandó felületi töltéssű-

rűséggel. Vegyük körül a felület A területű részét egy h magasságú hasábbal. Az E térerős-

ség a vezető felületére merőleges és szimmetriaokokból a vezető sík mindkét oldalán azonos

értékű. A hasáb oldallapjain a térerősség párhuzamos az oldallapokkal, ezért a felületelemek

és a térerősség vektorainak skaláris szorzata itt nulla. A hasáb alap- és fedőlapjára felírva a

Gauss-tételt:

,20

AAE (2.15)

ahol QA a hasáb felülete által körülzárt töltés. A -val osztva megkapjuk a térerősséget:

02

E . (2.16)

2.6.3. Töltött fémgömb tere

Határozzuk meg a térerősség értékét egy R sugarú töltött fémgömb külső környezeté-

ben. Legyen a fémgömbön Q pozitív töltés. A gömbbel koncentrikus Rr sugarú gömbre

alkalmazzuk a Gauss-tételt. E a gömbfelszínen állandó és a gömbfelszín kifelé mutató nor-

málisával egyirányú. Tehát a Gauss-tétel szerint:

A h

2.4. ábra. A E0 egyenlőség igazolása

2.5. ábra. Végtelen sík elektromos tere

Mentes Gyula

- 14 -

0

24

Q

rEAdE . (2.17)

A térerősség értéke:

2

04

1

r

QE

. (2.18)

Eredményünk szerint a fémgömbön kívül a térerősség úgy számítható, mintha a Q töltés a

fémgömb középpontjába helyezett ponttöltés volna.

Ez alapján a potenciált is egyszerűen számíthatjuk. Mivel a térerősség a gömbön kívül

azonos a középpontba képzelt Q töltés terével, a potenciál is azonos lesz a gömbön kívül a

ponttöltés potenciáljával. A gömb belsejében a térerősség nulla, tehát ha a feszültséget a gömb

középpontjától a gömb felszínéig számítjuk, akkor nullát kapunk. Vagyis a gömb felszínétől a

végtelenig ugyanakkora a feszültség, mint a gömb bármely belső pontjától a végtelenig. Tehát

a gömb felszínén a potenciál:

R

Q

r

drQrdEU

RR 0

2

0 4

1

4

. (2.19)

A kapott eredményeinket a 2.6. ábra szemlélteti.

E U

R

E

U

r

2.6.4. Végtelen hosszú vonaltöltés tere

Legyen egy végtelen hosszú egyenes vezetőn töltés. A vonalmenti töltéssűrűség: .

Vegyük körül a végtelen vezető egy l hosszúságú darabját egy r sugarú koaxiális hengerfe-

lülettel (2.7. ábra). Szimmetria miatt az erővonalak sugárirányúak, a henger palástján E érté-

ke állandó. A henger fedőlapjain E és a felületi normális egymásra merőlegesek, ezért a hen-

ger felületére alkalmazva a Gauss-tételt, csak a henger palástját kell figyelembe venni:

0

2

llrE , (2.20)

r

r

l

2.6. ábra. A térerősség és potenciál

töltött fémgömb terében

2.7. ábra. Végtelen hosszú

vonaltöltés tere

Elektrotechnika

- 15 -

ahol a henger palástjának területe lr2 és a henger által körülzárt töltés l . A fenti össze-

függésből a térerősség értéke:

r

E1

2 0

. (2.21)

2.7. A kapacitás fogalma, kondenzátorok

Tekintsünk két elektródát, amelyeken +Q , ill. -Q töltés helyezkedik el (2.8. ábra). A

két elektróda között levő feszültség, amely az egyes elektródák töltéssel arányos potenciáljá-

nak különbsége, szintén arányos a Q töltéssel. A töltés és a feszültség közötti összefügés:

CUQ , (2.22)

ahol C az elrendezés kapacitása, amely a töltéstől és a feszültségtől független, csak az elren-

dezés geometriájától valamint a közeg permittivitásától függ. Ha a közeg homogén, akkor a

kapacitás arányos a permittivitással. A kapacitás egysége a (2.22) definíciós egyenletből:

FfaradV

As

U

QC 1 1 1 . (2.23)

2.8. ábra. Két elektróda kapacitásának értelmezése és a kondenzátor jelölése

A kapacitás rendkívül fontos adata az elektródaelrendezéseknek, ezért meghatározása

a (maximális) térerősség meghatározása mellett az elektrosztatika legfontosabb feladata. Va-

lamely elektródaelrendezés kapacitását az alábbi módon számíthatjuk ki. Felveszünk az elekt-

ródákon egy tetszőleges +Q ill. -Q töltést, majd a térerősség vagy a potenciálfüggvény meg-

határozásával kiszámítjuk a két elektróda közötti U feszültséget. Ezután képezzük a

UQC / hányadost, amelyből a felvett tetszőleges töltés kiesik.

A gyakorlatban sokszor az a feladat, hogy adott kapacitású elektróda-elrendezéseket

hozzunk létre. Ezeket kondenzátoroknak nevezzük. A gyakorlatban előforduló kapacitások

értékei F1 -nál sokkal kisebbek: F10F1 6 , F10Fn 1 9 , ill. F10Fp 1 12 .

C

+Q -Q

U

Mentes Gyula

- 16 -

2.8. Kondenzátorok soros és párhuzamos kapcsolása

A kondenzátorokat áramkörökben szimbolikusan a 2.8. ábrán látható módon jelöljük,

amely tulajdonképpen egy síkkondenzátor sematikus rajza. A gyakorlatban kívánt értékű ka-

pacitások létrehozásához szükségünk van adott kondenzátorok (a kereskedelemben csak szab-

ványos értékű típusok kaphatók) soros és párhuzamos kapcsolására. A 2.9a. ábrán párhuza-

mosan kapcsolt kondenzátorok láthatók, amelyek egyetlen eredő pC kapacitással helyettesít-

hetők. A párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok feszültsége egyforma, töltéseik általában kü-

lönbözők. A helyettesítő kondenzátor kapacitását úgy kell megválasztanunk, hogy az adott

feszültségen a töltése megegyezzen a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok töltésének ösz-

szegével. Ha a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok száma n, akkor az i-dik töltése a közös

U feszültséggel kifejezve UCQ ii , i=1, 2, 3,..., n. A kondenzátorok összes töltése:

UCUCUCQQ p

n

i

i

n

i

i

n

i

i

111

, (2.24)

amelyet U -val egyszerűsítve kapjuk, hogy a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok eredő

kapacitása megegyezik az egyes kapacitások összegével:

n

i

ip CC1

. (2.25.)

C1

U

C2

C3

Cn

C2 U3

U2Q2

Un

U1

+Q

+Q

+Q

+Q

-Q

-Q

-Q

-Q

(b)

-QCsU

+Q

=-Q

CpU+Q

=CnC3C1

U

Q1 Q3Qn

(a)

2.9. ábra. Párhuzamosan (a) és sorosan (b) kapcsolt kondenzátorok helyettesítése egy konden-

zátorral

A 2.9b. ábrán sorbakapcsolt kondenzátorok láthatók. A szomszédos kondenzátorok

összekötött elektródái eredetileg töltetlenek voltak. Az U feszültség rákapcsolásával a szélső

elektródára (fegyverzetre) + Q töltést viszünk fel, amely a vele szembenálló elektródán -Q

töltést influál. Ez a töltés úgy jöhet létre, hogy a nulla ellenállású vezetővel összekötött, erede-

tileg semleges elektródákban a töltések szétvállnak és a negatív töltések az összekötő vezeté-

ken keresztül az első kondenzátor pozitív töltésű elektródájával szemközti elektródára, míg a

pozitív töltések a második kondenzátor elektródájára áramlanak (különnemű töltések vonz-

zák, azonos nemű töltések taszítják egymást). Ugyanez a jelenség játszódik le az összes

sorbakötött kondenzátor esetében, ezért a sorbakötött kondenzátorok mindegyikén azonos

nagyságú Q töltés helyezkedik el, míg az egyes kondenzátorok feszültsége általában külön-

böző. Legyen a sorba kapcsolt kondenzátorok száma n , akkor az i -dik feszültsége a közös

Elektrotechnika

- 17 -

töltéssel kifejezve QC

Ui

i

1 , i =1, 2, 3, ..., n . A teljes feszültség a részfeszültségek össze-

ge:

QC

QC

QC

UUs

n

i i

n

i i

n

i

i

111

111

. (2.26)

A sorba kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitásának reciproka megegyezik az egyes kapaci-

tások reciprokának összegével:

n

i is CC 1

11. (2.27)

Az egyes kondenzátorok feszültsége az alábbi összefüggés alapján számítható:

UC

CQ

CU

i

s

i

i 1

, i =1, 2, 3, ..., n . (2.28)

Speciálisan két sorba kapcsolt kondenzátor esetében: 21

2121

CC

CCCCCs

, ahol a 21 CC

művelet az ún. "replusz" művelet.

2.9. Kondenzátorok gyakorlati megvalósítása

A kondenzátorokat a gyakorlatban a fém, általában alumíniumfólia elektródok közötti

dielektrikum alapján szokás csoportosítani. A

- lég-, vákuum-, ill. gázszigetelésű,

- csillám-,

- kerámia-,

- papír-,

- stiroflex-, polisztirol- és egyéb műanyag-,

- elektrolit-

szigetelésű kondenzátorok a legelterjedtebbek.

A lég-, vákuum-, gázszigetelésű, kerámia, és csillámkondenzátorokat kis kapacitásér-

tékűre készítik, ill. ezekkel csak kis kapacitásértékek érhetők el. Légszigetelésű kondenzáto-

rokat kb. 500 pF kapacitásértékig és általában változtatható kivitelben (forgókondenzátorok),

többnyire rádiókészülékek hangolására állítanak elő. Ugyancsak légszigetelésű kondenzátoro-

kat alkalmaznak kapacitás-normáliák előállítására. Ezeknél rendkívül fontos a nagy mechani-

kai szilárdság és a mérettartósság.

A vákuum és nagynyomású gázkondenzátorokat a kis dielektrikumveszteség miatt

nagyfrekvenciás és nagy áramú áramkörökben (pl. rádió-adóberendezések, dielektromos

melegítőberendezések, stb. nagyfrekvenciás rezgőköreiben) alkalmazzák. Ezek a kondenzáto-

rok általában 15 kV effektív feszültséggel és 25 A effektív árammal vehetők igénybe.

A csillám néven összefoglalt természetes szigetelőanyagok (muszkovit, flogopit, stb.)

igen kiváló villamos tulajdonságokkal rendelkeznek ( r =5...8). Veszteségi tényezőjük

0,5...2·10-4 nagyságrendű. A csillámok vékony lemezalakban kristályosodnak. A gyártás so-

Mentes Gyula

- 18 -

rán a csillámlemez két oldalára ezüstréteget visznek fel. Ezek képezik a kondenzátor két

elektródáját. Nagyobb kapacitás előállításához a lemezeket egymástól elszigetelve egymásra

helyezik és a megfelelő ezüst-elektródákat fémesen összekötik (párhuzamos kapcsolás). A

kereskedelemben 25 nF értékig kapható csillámkondenzátor. A különféle mesterségesen előállított kerámiák egy része alkalmazható kondenzátorok

szigetelőanyagaként. Ezek általában két fő csoportra oszthatók: jobb minőségi jellemzőkkel,

de kisebb dielektromos állandóval ( r =8...200, veszteségi tényező: 6...8·10-4) rendelkezőkre,

amelyekből kisebb kapacitásértékű kondenzátorok készíthetők és gyengébb tulajdonságú, de

nagy dielektromos állandójú ( r =2000...10000, veszteségi tényező: 100...300·10-4) anya-

gokra, amelyekből azonos méretek mellett sokkal nagyobb kapacitású kondenzátorok állítha-

tók elő. A kerámiából lapocskákat, csöveket készítenek és ezek két oldalára ill. külső és belső

falára viszik fel az ezüst elektródákat. A kisveszteségű kerámiakondenzátorokat főleg nagy-

frekvenciás áramkörökben alkalmazzák. Kerámiából változtatható ún. beállító kondenzátoro-

kat is készítenek.

A papírkondenzátorokat úgy készítik, hogy két fémfóliát egymástól papírszigeteléssel

elválasztva egy magra feltekercselnek. Az így készített kondenzátornak kétszer akkora a ka-

pacitása, mintha a két fémfólia a köztük levő papírszigeteléssel kiterítve síkkondenzátort ké-

pezne. A kondenzátorpapír ( r = 2, 6...3, veszteségi tényező: 30·10-4) általában 8...20 m

vastagságú és nagyon szigorú minőségi követelményeknek tesz eleget. A papírkondenzátorok

kapacitásértéke néhány pikofaradtól néhány száz mikrofaradig és feszültsége néhányszor tíz

volttól néhány százezer volt névleges feszültségig terjedhet. Felhasználása a híradástechnika

mellett pl. nagyfeszültségű szűrőkörökben és erősáramú fázisjavító kondenzátorként is na-

gyon gyakori.

A műanyagszigetelésű (polisztirol, poliészter, stb.) kondenzátorok napjainkban kiszo-

rítják a papírszigetelésűeket. Gyártásuk a papírkondenzátorokéhoz hasonló, de készülnek a

csillámkondenzátorokhoz hasonló kocka kivitelben is. A műanyagszigetelésű kondenzátorok

villamos tulajdonságok tekintetében megközelítik a legjobb minőségű csillám-

kondenzátorokat, sőt bizonyos tekintetben felül is múlják azokat.

Nagyon nagy kapacitások tűrhető méretben való előállítására igen nagy villamos szi-

lárdságú (átütési feszültségű) szigetelőre van szükség. Ilyen tulajdonsággal rendelkeznek

egyes fémek (alumínium, tantál) molekuláris oxidrétegei.

Az alumínium elektrolitkondenzátor egyik elektródja nagy tisztaságú alumíniumle-

mez, ez a kondenzátor anódja. Ennek felületét maratják, így a sima alumíniumhoz képest a

hatásos felülete és ezzel együtt a kondenzátor kapacitása is 5...6-szorosára növekszik. Ezt a

durvított felületű alumíniumot megfelelő elektrolitba helyezve formálják. Az alumíniumot

pozitív feszültségre kapcsolják az elektrolithoz képest, aminek eredményeképpen a felületén

aluminiumoxid réteg képződik. A formálásnál használt feszültségtől, azaz a leendő kondenzá-

tor névleges feszültségétől függően az oxidréteg vastagsága 10-8-10-5 mm . A kondenzátor

másik fegyverzete csak folyadék lehet, hogy az anód szabálytalan felületét követni tudja.

Elektrolitként ammóniumborát és bórsav gyenge oldatát használják.

Az elektrolitkondenzátor gyártásánál az anódfólia mindkét oldalára itatóspapírt és az

elektrolithoz történő áramhozzávezetés céljából katódként egy másik alumíniumfóliát helyez-

nek el és az egészet feltekercselik, mint a papírkondenzátort. Az így feltekert elektródokat

alumíniumházban helyezik el, amelyet feltöltenek elektrolittal és ezután a házat lezárják.

A tantálkondenzátornál a fémtantál felületén tantálpentoxidot állítanak elő, amelyre

ugyancsak itatósban felszívott elektrolitot helyeznek. A katódkivezetést rézből vagy ezüstből

készítik.

Az elektrolitkondenzátorokkal elérhető nagy térfogati kapacitás ára a rosszabb villa-

mos tulajdonságokban jelentkezik. A nagy veszteségi tényező miatt az

Elektrotechnika

- 19 -

elektrolitkondenzátorokat egyenirányítókban és tápegységekben szűrőkondenzátorként alkal-

mazzák. Csak egyenfeszültségre kapcsolhatók és a házon megjelölt polaritásnak megfelelően

kell őket feszültségre kapcsolni. Viszonylag kis méretben néhány száz volt névleges feszült-

ségű több tízezer mikrofarád kapacitású kondenzátorok állíthatók elő ezzel a technológiával.

2.10. A villamos tér energiája

A kísérletek tanúsága szerint az ellentétes elektromos töltések szétválasztása csak

munkavégzés árán lehetséges. A villamos térben tárolt energia meghatározásához tekintsük a

2.10. ábrán látható síkkondenzátort. Ha a fegyverzetek méreteihez képest a d távolságuk ki-

csiny, akkor a fegyverzetek között az elektromos tér jó közelítéssel homogén. Mozdítsuk el a

jobboldali lemezt s távolsággal! Ekkor a lemezek közötti távolság d + s lesz. A fegyver-

zeteken levő ellentétes töltések miatt a fegyverzetekre összetartó irányú erő hat. A fegyverze-

tek egymástól való eltávolításához ezzel ellentétes irányú F erőt kell alkalmaznunk. Ekkor a

munka: sFW . Az F erő a fegyverzeteken levő töltés és az E térerősség szorzata:

QEF . (2.29)

Az elmozduló 2 fegyverzet úgy tekinthető, hogy az 1 fegyverzet töltésének terében van. Töl-

tött sík terében a térerősséget a 2.6.2 fejezet alapján a 2.16 összefüggés adja:

02

E , (2.30)

amelyet behelyettesítve az erő kifejezésébe:

02

QF . (2.31)

A fegyverzet töltését a felületi töltéssűrű-

séggel kifejezve: AQ . Ezt is behelyettesít-

ve az erő képletébe, valamint felhasználva,

hogy a fegyverzetek között E mindenütt ál-

landó, továbbá a fegyverzet felületén

E0 (2.6.1 fejezet), kapjuk, hogy

AEAF 2

0

0 2

1

2

. (2.32)

A munka kifejezésébe behelyettesítve az F erőt:

sAEW 2

02

1 , (2.33)

ahol sAV a 2 fegyverzet elmozdítása következtében fellépő térfogatnövekedés. A fegy-

verzet eltávolításával munkát végeztünk és ennek a munkának megfelelő energia az elekt-

romos térben halmozódott fel. Az egységnyi térfogatnövekedésre eső energiát, azaz a villa-

F

Q -Q

d s

(1) (2)

2.10. ábra. Az elektromos erőtér ener-

giájának meghatározása

Mentes Gyula

- 20 -

mos tér energiasűrűségét Ew megkapjuk, ha a fenti munkát osztjuk a sAV térfogat-

növekedéssel:

2

0E E2

1w . (2.34)

A fenti képlet az elektromos tér térfogategységében felhalmozott energia és a térerősség kö-

zött állapít meg fontos összefüggést. Azt fejezi ki, hogy villamos térben energia tárolódik. A

(2.34) összefüggés általánosan érvényes, függetlenül attól, hogy egy speciális feladatból kiin-

dulva vezettük le. Az energiasűrűség egysége: 3/mJ .

Az energiasűrűség képletét alkalmazva az A lemezfelületű és d lemeztávolságú,

AdV térfogatú síkkondenzátorban tárolt energiára kapjuk, hogy

AdE2

1VwW 2

0EC . (2.35)

Felhasználva, hogy a síkkondenzátor homogén terében a térerősséget a lemezekre kapcsolt

feszültség és a lemezek közötti távolságból (2.7) alapján az

d

UE (2.36)

képlet alapján határozhatjuk meg, valamint a síkkondenzátor lemezének A felülete a töltés és

a térerősség ismeretében az alábbi módon írható fel:

E

QQA

0 , (2.37)

a síkkondenzátorban tárolt energiára kapjuk:

QUQEddE

QEWC

2

1

2

1

2

1

0

2

0

. (2.38)

A CUQ összefüggés alapján a kondenzátorban tárolt energiát az alábbi alakban is írhatjuk:

2

2

1CUWC . (2.39)

Ez az összefüggés a levezetéstől függetlenül bármilyen kondenzátorra érvényes.

Elektrotechnika

- 21 -

2.11. Az elektromos erőtér hatása a dielektrikumra

2.11.1. A dielektrikum polarizációja

A dielektrikumok molekulákból épülnek fel, a molekulák pedig elektromos töltéssel

rendelkező részecskékből (elektron, proton) állnak. A dielektrikumot elektromos térbe he-

lyezve a molekulák erőhatásokat szenvednek. Szigetelőben az elemi részecskék (elektronok)

nem mozoghatnak szabadon, de az atomi kötelékben maradva kismértékben elmozdulhatnak

vagy a molekulák deformálódhatnak. Ennek hatására a molekulákban a pozitív és negatív

töltések kissé szétválasztódnak, a molekulák kétpólussá alakulnak, polarizálódnak. A polari-

zációnak kétféle módját különböztetjük meg. Az egyik az influenciás polarizálódás, amelynek

során az eredetileg semleges molekulák influencia révén kétpólussá válnak (2.11. ábra). A

másik a paraelektromos polarizáció (2.12. ábra), amely azoknál az anyagoknál következik be,

amelyeknél a molekulák már eleve dipólusok. Külső villamos erőtér nélkül ezek a dipólusok

rendezetlenül helyezkednek el, ezért kifelé semleges töltést mutatnak. Elektromos tér hatására

ezek a dipólusok az erővonalakkal párhuzamosan állnak be.

A polarizáció miatt a fegyverzetekről induló erővonalak egy része a dielektrikum di-

pólusain végződik. A dielektrikumon csak az erővonalak fennmaradó része halad át (2.13.

ábra). A kondenzátor fegyverzetén levő töltéseket nevezzük valódi töltéseknek, a szigetelő

határfelületén influált töltéseket pedig látszólagos töltéseknek. Ennek alapján úgy tekinthet-

jük, hogy a dielektrikumban az elektromos teret a valódi és látszólagos töltések különbsége,

az ún. szabad töltések hozzák létre. Ezzel magyarázható, hogy a kondenzátor lemezei közé

szigetelőt helyezve a kondenzátorban nagyobb térerősség engedhető meg.

2.11. ábra. Dielektrikum influenciás 2.12. ábra. Dielektrikum paraelektromos

polarizációja polarizációja

2.13. ábra. Dielektrikum hatása a térerősségre

l

Mentes Gyula

- 22 -

2.11.2. Az elektromos tér energiája dielektrikumban

Ha a síkkondenzátor elektródái közötti teret dielektrikum tölti ki, akkor

EE r 0 . Továbbra is érvényes a kondenzátor energiáját megadó 2.38 összefüggés,

amelybe a AQ és az EdU összefüggéseket behelyettesítve kapjuk, hogy

VEAdEQUWC

22

2

1

2

1

2

1 . (2.40)

A fenti energiát a síkkondenzátor AdV térfogatával osztva megkapjuk az elektromos tér

energiasűrűségét dielektrikumban:

2

0

2

2

1

2

1EEw rE . (2.41)

2.11.3. Az elektrosztrikciós és a piezoelektromos jelenség

Dielektrikumok elektromos térben való polarizációja miatt két különböző

dielektromos állandójú szigetelő határfelületén a különböző nagyságú látszólagos töltések

miatt erőhatás lép fel (2.14. ábra). Ha 21 , akkor az 1 dielektromos állandójú közeg ha-

tárfelületén több látszólagos töltés halmozódik fel, mint az 2 dielektromos állandójú közeg

határfelületén. A töltések különbségére az elektromos tér erőt fejt ki, amely a kisebb állandójú

dielektrikum felé mutat. Ezzel az erővel az anyag méretváltozása miatt az anyagban ébredő

mechanikai feszültség tart egyensúlyt. Ezt a jelenséget nevezzük elektrosztrikciónak. Általá-

nosan elmondhatjuk, hogy elektromos erőtérbe helyezett szigetelő alakváltozást szenved, ha

dielektromos állandója különbözik környezetének dielektromos állandójától.

2.14. ábra. Az elektrosztrikciós hatás

A 2.15. ábrán egy hexagonális rendszerben kristályosodó kvarckristály látható, mely-

nek 'OO tengelye az ún. optikai tengely. Erre a tengelyre merőleges metszet látható a 2.16.

1

2

Elektrotechnika

- 23 -

ábrán. A szabályos hatszög szögfelezői a villamos tengelyek. Ha a 2.15. ábrán látható kris-

tályból egy hdl ,, élű paralelepipedont vágunk ki, akkor ez a metszet a következő tulajdonsá-

gokat mutatja. Ha a villamos tengelyre merőleges felületekre F erő hat (2.16. ábra), akkor

ezeken a felületeken a nyomással arányos felületi töltéssűrűség jelenik meg. A két felületen a

töltések ellentétes előjelűek. Ha a nyomóerő irányt vált, akkor a töltések előjele is megválto-

zik. Ezt nevezzük piezoelektromos jelenségnek. Magyarázata a 2.16. ábra alapján a követke-

ző. A hatszögű kristály csúcsaiban váltakozva pozitív és negatív ionok helyezkednek el.

Nyomás nélkül a pozitív és negatív töltések súlypontja egybeesik, a kristály kifelé semleges.

Nyomás hatására a kristály deformálódik, a töltések elmozdulnak. A 2.16. ábrán látható eset-

ben a pozitív töltésű ionok (fent) és a negatív töltésűek (lent) befelé elmozdulhatnak. Ezáltal a

felső lapon a negatív ionok, az alsó lapon a pozitív ionok töltése kerül túlsúlyba. Ezért mond-

hatjuk, hogy a felső lapon negatív, az alsó lapon pozitív töltés jelenik meg.

A piezoelektromos jelenség fordított folyamata is lejátszódik. Ha a kristályt elektro-

mos erőtérbe helyezzük, pl. síkkondenzátor lemezei közé, akkor a kristály a coulomb erők

hatására deformálódik. A kondenzátor fegyverzeteire váltakozó feszültséget adva a kristály

mechanikai rezgéseket végez. Ha a váltakozófeszültség frekvenciája megegyezik a kristály

mechanikai rezonanciafrekvenciájával, akkor a rezgések és a keletkező töltések is maximáli-

sak. Mivel a mechanikai rezgések frekvenciája a kristály méreteitől függ és a hőmérsékletet

állandó értéken tartva a mechanikai méretek nem változnak, nagyon stabil frekvencia állítható

elő a fordított piezoelektromos hatás révén.

A piezoelektromos effektust pl. a méréstechnikában erő, nyomás, nyomaték, gyorsu-

lás, stb mérésére, a hangtechnikában mikrofonoknál, lemezjátszók hangszedőiben, stb. alkal-

mazzák. A reciprok effektust az ultrahang-technikában, rezgőkörökben, időmérésnél, a mérés-

technikában és gépiparban az elektrosztikciós effektushoz hasonlóan

finommozgatószerkezetek előállítására alkalmazzák.

h

F d

l

O

O'

2.15. ábra. Kvarckristály 2.16. ábra. A piezoelektromos jelenség magyarázata

Mentes Gyula

- 24 -

3. EGYENÁRAMÚ HÁLÓZATOK

3.1. Az ellenállás fogalma, Ohm törvénye

Ha két különböző potenciálú vezetőt fémesen összekötünk, akkor az összekötő veze-

tőben töltésáramlás indul meg és a potenciálkülönbség kiegyenlítődik. A kiegyenlítődés ideje

függ a potenciálkülönbség nagyságától, az összekötővezeték anyagi minőségétől és geometri-

ai méreteitől. Az összekötővezeték valamely keresztmetszetén átáramló töltésnek és az át-

áramláshoz szükséges időnek a hányadosát áramerősségnek nevezzük:

t

QI . (3.1)

Az áramerősség egysége: AI 1 (amper).

Az U potenciálkülönbség és az I áramerősség közötti összefüggést Ohm (1789-

1854) állapította meg először 1821-ben, amelyet Ohm törvényének nevezünk:

állandóI

UR , (3.2)

ahol R a vezető ellenállása. Ha a homogén vezető keresztmetszete A és hossza l , akkor az R

ellenállás az alábbi módon számítható ki:

A

lR , (3.3)

ahol a vezető fajlagos ellenállása. Az ellenállás egysége (3.2) alapján:

A

V

I

UR (ohm). (3.4)

Az ellenállás reciprok értékét vezetésnek nevezzük: 1/ GR . Egysége a siemens (S ). Tehát

1 1 1S . Megjegyezzük, hogy a vezetéknek az Ohm-törvényben szereplő ellenállását szokás

"ohm"-os ellenállásnak vagy rezisztenciának is nevezni. A gyakorlatban a vezető hosszát mé-

terben, a keresztmetszetét pedig négyzetmilliméterben fejezik ki, tehát:

m

mm2

, (3.5)

(SI mértékegység rendszerben: m ).

A fajlagos vezetőképesség a fajlagos ellenállás reciproka: /1 . Egysége:

2

1

mm

m

, (SI-ben:

m

S

m

1 ). (3.6)

A 3.1. táblázatban néhány, a gyakorlatban használt anyag fajlagos ellenállását láthatjuk.

Áramvezetésre a kis fajlagos ellenállású anyagokat (ezüst, réz, alumínium) használjuk. A mű-

Elektrotechnika

- 25 -

szer- és híradástechnikában speciális helyeken ezüst vagy ezüstözött huzalokat ill. az alkatré-

szek összekapcsolására rézhuzalokat alkalmaznak. A villamos energia továbbítására kis és

nagyfeszültségen - olcsósága miatt - alumínium vezetékeket használnak. A nagy fajlagos el-

lenállású anyagokat a műszer- és híradástechnikában ellenállások készítésére, valamint az

iparban és a mindennapi életben villamos melegítő- és fűtőberendezések előállításánál alkal-

mazzák.

3. 1. Táblázat. Néhány vezetőanyag fajlagos ellenállása, fajlagos vezetőképessége és hőmér-

sékleti együtthatója 20 C°-on

Vezetőanyag Fajlagos ellenállás

m

mm2

Fajlagos vezetőké-

pesség

2mm

m

Hőmérsékleti

együttható

C/1

Alumínium 0,0283 35,3 0,0049

Ezüst 0,0163 61,3 0,00381

Higany 0,958 1,04 0,00089

Horgany 0,059 17,0 0,0035

Molibdén 0,057 17,6 0,0033

Nikkel 0,10 10,0 0,005

Ón 0,115 8,7 0,0042

Sárgaréz 0,075 13,4 0,002-0,007

Szén (grafit) 0,33-1,85 3,04-0,54 -(0,0006 - 0,0012)

Vas 0,098 10,2 0,006

Vörösréz 0,0175 57,3 0,00393

Wolfram 0,0551 18,2 0,0045

Foszforbronz 0,115 8,7 0,004

Manganin 0,48 2,1 ~0

Konstantán 0,49 2,05 ~0

Krómnikkel 1,08 0,93 0,00013

3.1.1. Az ellenállás függése a hőmérséklettől és a mechanikai feszültségtől

A vezeték ellenállása függ a hőmérséklettől. Az anyagok többségének ellenállása a

hőmérséklet növekedésével növekszik, a változást a 3.1. ábra mutatja. A szobahőmérséklet

környezetében kb. -40C-tól kb. +150C-ig az ellenállás változása lineárisnak tekinthető.

Vannak anyagok, melyek ellenállása az abszolút nulla fok közelében nullára csökken, az

anyag szupravezetővé válik. A szobahőmérsékletnél sokkal nagyobb hőmérsékleteken az el-

lenállás igen erősen növekszik. Ahol az anyag struktúrájában vagy halmazállapotában válto-

zás áll be, ott az ellenállás ugrásszerűen változik.

A lineárisnak tekinthető tartományban az ellenállás megváltozása arányos a kiindulási

ellenállás és a hőmérséklet növekedésének mértékével. Az arányossági tényezőt hőmérsékleti

tényezőnek vagy más néven temperatúrakoefficiensnek nevezzük. A 3.1. táblázatban megad-

tuk az egyes anyagok hőmérsékleti együtthatóját is. A gyakorlatban kiindulási ellenállásnak a

20C-on mért ellenállást vesszük és a 3.1. táblázatban megadott fajlagos ellenállás értékek is

erre vonatkoznak. Egy tetszőleges t hőmérséklethez tartozó ellenállásértéket a kiindulási el-

lenállásértékből az alábbi módon határozhatjuk meg:

Mentes Gyula

- 26 -

20120 tRRt . (3.7)

Amennyiben az ellenállás változását szélesebb hőmérséklettartományban, vagy nagyon nagy

pontossággal kívánjuk meghatározni, akkor a hőmérsékletfüggést már nem tekinthetjük lineá-

risnak. Ekkor az ellenállásnak a hőmérséklettől való függését magasabbrendű görbével köze-

lítjük meg:

...202020132

20 tttRRt . (3.8)

Az egyes anyagokra vonatkozó magasabbrendű együtthatókat ( , ...) táblázatokban adják

meg. Erre a magasabbfokú közelítésre nagypontosságú hőmérsékletmérés esetében van szük-

ség.

Az ellenállások hőmérsékletfüggését hőmérsékletmérésre, áramkorlátozásra és nemli-

neáris szabályozások esetében lehet hasznosítani. Nagyon sok helyen, pl. az erősítőtechniká-

ban az ellenállások hőmérsékletfüggése zavaró tényezőként jelentkezik, amelynek kiküszöbö-

lése komoly problémát jelent.

3.1. ábra. Fémes vezetők ellenállásának függése a hőmérséklettől

Mechanikai deformáció következtében a huzalellenállások geometriai méretei és fajla-

gos ellenállása megváltoznak, ennek következtében megváltozik a huzal ellenállása (ez általá-

nosan, azaz nemcsak huzalból készült ellenállások esetében is igaz). Tekintsük a 3.2. ábrán

látható l hosszúságú D átmérőjű ellenálláshuzalt, amely az F erő hatására deformációt

szenved. A huzaldarab ellenállása (3.3) alapján az alábbi módon írható fel:

4

2D

lR . (3.9)

Az ellenállás logaritmusát képezve:

4

lnln2lnlnln DlR (3.10)

és a közvetett függvények differenciálási szabályát alkalmazva kapjuk:

-273 t [C]

R

Elektrotechnika

- 27 -

D

dD

l

dld

R

dR2

. (3.11)

A huzal relatív átmérőváltozása és relatív hosszváltozása között Poisson szerint a következő

összefüggés van:

l

dl

D

dD, (3.12)

ahol 5,0 , az ún. Poisson-tényező és a relatív megnyúlás. A fenti összefüggést a relatív

ellenállásváltozás képletébe helyettesítve kapjuk:

d

R

dR 21 , (3.13)

ahol 21 fizikai jelentése az alakváltozás miatti ún. tenzometrikus ellenállásváltozás,

d / pedig az ún. piezorezisztív ellenállásváltozás. Fémeknél az előbbi, félvezetőknél pedig

az utóbbi dominál. A (3.13) összefüggés a mechanikai deformációk mérésére szolgáló

nyúlásmérőbélyegek működésének az alapja.

3.2. ábra. Ellenálláshuzal megnyúlása

3.1.2. Ellenállások soros és párhuzamos kapcsolása

Ohm törvénye alapján meghatározhatjuk a sorba, ill. párhuzamosan kapcsolt ellenál-

lások eredőjét, vagyis azt az ellenállást, amellyel a sorba vagy párhuzamosan kapcsolt ellenál-

lásrendszer helyettesíthető. Sorbakapcsolt ellenállások eredője (3.3. ábra) annak alapján hatá-

rozható meg, hogy a sorbakapcsolt ellenállásokra és a vele ekvivalens R eredő ellenállásra U

feszültséget kapcsolva mindkettőn ugyanaz az I áram folyik át. A soros kapcsolás esetén az

egyes ellenállásokon eső feszültségek összege egyenlő a soros ellenállásokra kapcsolt U fe-

szültséggel. A két kapcsolásra a feszültségek egyezőségét felírva:

IRIRIRIRIRUUUUU nn ...... 321321 (3.14)

és az I árammal leosztva, kapjuk a sorbakapcsolt ellenállások eredőjét:

nRRRRR ...321 . (3.15)

FF

l

D

Mentes Gyula

- 28 -

3.3. ábra. Sorbakapcsolt ellenállások eredője

Párhuzamosan kapcsolt ellenállások mindegyikén ugyanaz azU feszültség van. Az

egyes ellenállásokon átfolyó áramok összege I megegyezik a párhuzamosan kapcsolt ellenál-

lásokat helyettesítő egyetlen ellenálláson (eredőn) átfolyó árammal, ha arra isU feszültséget

kapcsolunk (3.4. ábra):

.......321

321R

U

R

U

R

U

R

U

R

UIIIII

n

n (3.16)

U -val leosztva kapjuk a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredőjét:

nRRRRR

1...

1111

321

. (3.17)

Két párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredőjét az ún. „replusz” művelettel határozhatjuk meg,

amelyet így jelölünk: 21 RRR . A 3.17 képletet speciálisan két ellenállásra felírva és re-

ciprokképzést elvégezve az eredő ellenállás:

21

21

21RR

RRRRR

. (3.18)

3.4. ábra. Párhuzamossan kapcsolt ellenállások eredője

3.1.3. Ellenállások delta és csillag kapcsolása

A hálózatszámítások során gyakran előfordul, hogy olyan ellenálláskapcsolások eredő-

jét kell meghatározni, amelyek nem tekinthetők sem párhuzamosan, sem sorosan kapcsoltak-

nak. Ilyen eset fordul elő, amikor kiegyenlítetlen hídkapcsolások eredő ellenállását kell meg-

határozni. Megoldhatjuk a feladatot, ha valamilyen módon soros - párhuzamos kapcsolássá

tudjuk alakítani a hídkapcsolást. Ez kétféle módon is megvalósítható a 3.5. ábrán látható „há-

romszög - csillag”, ill. a 3.6. ábrán látható „csillag-háromszög” átalakítás segítségével.

R1 R2 R3 Rn

U1

I

R

I=

U U

U2 U3 Un

R1 R2 R3 Rn

I1 I2 I3 In

I

R

I

=U U

Elektrotechnika

- 29 -

3.5. ábra. Hídkapcsolás eredő ellenállásának meghatározása háromszög - csillag átalakítással

G1 G2

G5

G3 G4

G1

G3 G4

GII GIII

3.6. ábra. Hídkapcsolás átalakítása egyszerű vegyeskapcsolássá csillag - delta transz-

formációval

A 3.7. ábra alapján határozzuk meg az összefüggést a háromszögkapcsolás (deltakap-

csolás) és a vele ekvivalens csillagkapcsolás ellenállásértékei között. A kétfajta kapcsolás

akkor ekvivalens, ha az azonos jelzésű pontjai között azonos nagyságú ellenállás mérhető.

Ennek az azonosságnak fenn kell állnia akkor is, ha a kapcsolások önmagukban (terheletlenül)

vannak, ill. ha azonos nagyságú ellenállásokkal terhelve áramkörbe vannak bekapcsolva.

3.7. ábra. Deltakapcsolással ekvivalens csillagkapcsolás

A deltakapcsolásban két kivezető pont között két sorosan kapcsolt, és egy velük pár-

huzamosan kapcsolt ellenállást találunk. A csillagkapcsolásban ugyanezen két pont között két

sorbakapcsolt ellenállás van. A 3.7. ábra jelöléseivel a csillag és delta két azonos kivezetése

közötti eredő ellenállások egyenlőségére három egyenletet írhatunk fel:

A – B kapcsok között: bacBA RRRRR ;

RI

R2

RIII R4

RII

b)

R1 R2

R3

R5

R4

a)

RaRb

Rc

A B

C

A B

C

RA RB

RC

=

Mentes Gyula

- 30 -

B – C kapcsok között: cbaCB RRRRR ; (3.19)

C – A kapcsok között: acbAC RRRRR .

Az egyenletekben a „replusz“ műveleteket elvégezve:

cba

cbcaBA

RRR

RRRRRR

,

cba

cabaCB

RRR

RRRRRR

, (3.20)

cba

bacbAC

RRR

RRRRRR

,

valamint az ekvivalens csillag ellenállásokat kifejezve és az RRRR cba (deltaellenál-

lás) jelölést alkalmazva az ekvivalens csillagellenállásokra kapjuk:

R

RRR cb

A

;

R

RRR ca

B

; (3.21)

R

RRR ba

C

.

A fenti összefüggések és az ábra alapján szavakkal is megfogalmazható a deltából csillagba

való átalakítás (delta - csillag transzformáció). A csillag adott kivezető pontjához tartozó el-

lenállás értékét úgy kapjuk meg, ha a delta ugyanehhez a pontjához tartozó két ellenállásnak

szorzatát osztjuk a deltaellenállás összegével.

3.8. ábra. Csillagkapcsolással ekvivalens deltakapcsolás

Csillagból deltába való transzformálás esetén hasonló összefüggést kapunk, ha vezeté-

sekkel számolunk. Itt azzal a feltételezéssel élünk, hogy a csillag és delta ekvivalenciájának

akkor is fenn kell állnia, ha két pontjukat rövidre zárjuk, azaz e két pont között zérus a fe-

szültség (3.8. ábra). Két-két pontot rövidrezárva és kivezetve, három összefüggés írható fel a

csillag és a delta vezetésértékei között:

A és B-C pontok között: CBAcb GGGGG ;

B

GaGb

Gc

A

C

A B

C

GA GB

GC

=

Elektrotechnika

- 31 -

B és A-C pontok között: ACBca GGGGG ; (3.22)

C és B-C pontok között: BACba GGGGG .

A reciprok összegezést elvégezve az egyenletek az alábbi alakúak lesznek:

CBA

CABA

cbGGG

GGGGGG

;

CBA

CBBA

caGGG

GGGGGG

; (3.23)

CBA

CBCA

baGGG

GGGGGG

.

A csillagvezetéseket kifejezve és bevezetve a *GGGG CBA jelölést, kapjuk az ekviva-

lens delta vezetéseket:

*G

GGG CB

a ;

*G

GGG CA

b ; (3.24)

*G

GGG BA

c .

Ezek szerint két pont között levő deltavezetést úgy kapjuk meg, ha ugyanezen két pont között

található ekvivalens csillagvezetések szorzatát osztjuk a csillag vezetéseinek összegével.

3.2. A villamos teljesítmény fogalma, Joule törvénye.

A 2. fejezetben láttuk, ha U potenciálkülönbségen Q töltés halad át, akkor a végzett

munka:

QUW . (3.25)

Minthogy a töltés definíciója alapján ItQ , írhatjuk, hogy

IUtW , (3.26)

ill. Ohm törvénye alapján IRU helyettesítéssel kapjuk Joule törvényét:

RtIW 2 , (3.27)

amely megadja az R ellenállású vezetőben I áram esetében t idő alatt hővé alakult energiát.

Mentes Gyula

- 32 -

Időegység alatt

RIIUPt

W 2 (3.28)

teljesítmény alakul át hővé.

A teljesítmény egysége a UIP összefüggés alapján: AVIUP , ill.

Wwatts

J

undum

joule

t

WP

sec. Tehát WVA 1 1 . Ha a fejlődőtt hőmennyiséget kalóri-

ában akarjuk meghatározni, akkor figyelembe kell vennünk a hőtanból ismeretes összefüg-

gést, mely szerint Ws 1 -nak megfelel cal 239,0 .

3.3. Egyenáramú hálózatok számítási módszerei

Az egyenáramú hálózatok ellenállásokból és áram- ill. feszültségforrásokból, azaz

áram- és feszültséggenerátorokból épülnek fel. Az összekötő vezetékeket a hálózatszámítás

során ellenállásukkal vesszük figyelembe. Az ellenálláson eső feszültség és a rajta átfolyó

áram között a 3.1. fejezetben ismertetett Ohm törvénye teremt kapcsolatot. A hálózatok tör-

vényszerűségeit Kirchhoff két törvénye fejezi ki.

3.3.1. Kirchhoff törvényei

Kirchhoff első vagy csomóponti törvénye a töltésmegmaradás elvét fejezi ki. A 3.9.

ábra alapján t idő alatt a csomópontba befolyó töltések összegének meg kell egyezni a cso-

mópontból kifolyó töltések összegével:

4321 QQQQ . (3.29)

Az egyenlet mindkét oldalát az idővel osztva az ára-

mokat kapjuk:

4321 IIII . (3.30)

Ha pl. a csomópontból kifolyó áramokat negatívnak és

a befolyókat pozitívnak tételezzük fel, akkor a csomó-

ponti törvényt az alábbi formában is felírhatjuk:

01

n

k

kI . (3.31)

Természetesen a csomópontból kifolyó és befolyó

áramok előjelét fordítva is felvehetjük. Ez a fenti

egyenlet -1-gyel való beszorzását jelenti, tehát az to-

vábbra is érvényes.

3. 9. ábra. Kirchhoff csomó-ponti

törvénye

I1

I2

I3

I4

Elektrotechnika

- 33 -

Kirchhoff második vagy huroktörvénye az 0ldE egyenlet alkalmazása egy olyan irányí-

tott zárt görbére, amely generátorokon, ellenállásokon és vezetékeken halad keresztül (3.10.

ábra). A nulla ellenállású vezetékeken eső feszültség nulla. Legyen az egyes elemeken eső

feszültségek iránya a körüljárási iránynak megfelelő. Az egyes feszültségek az alábbi módon

számíthatók ki:

kkk ldEU . (3.32)

Az összegzést a hurokban levő összes feszültségre elvégezve fenn kell állni a

0Uk

k (3.33)

egyenlőségnek.

Az összegzés során a körüljárási iránnyal ellentétes előjelű feszültségeket negatív az egyező

irányúakat pedig pozitív előjellel kell figyelembe venni. Kirchhoff huroktörvénye azt mondja

ki, hogy bármely zárt hurokban a feszültségek összege nulla.

3.10. ábra. A huroktörvény (Kirchhoff második törvénye)

Az Ohm-törvény, valamint Kirchhoff törvényei lehetővé teszik a legbonyolultabb há-

lózatok áramainak és feszültségeinek a meghatározását is, ha a hálózat ellenállásai és feszült-

ségforrásainak feszültségei ismertek. Bonyolultabb hálózatok esetén azonban sok egyenletből

álló egyenletrendszert kell megoldani, amely 1csN csomóponti és hN független hurokra

felírt hurokegyenletből áll. Független hurok az, amelyben van legalább egy olyan ág, amelyen

az összes hurok bejárása során csak egyszer megyünk végig. A hurkok kijelölése során min-

den ágon legalább egyszer végig kell menni. A felírandó egyenletek száma megegyezik az

áN ágáramok (ismeretlen áramok) számával: 1 cshá NNN . A sok egyenletből álló

egyenletrendszer megoldása hosszadalmas és sok hibalehetőséget rejt magában. Az egyenlet-

rendszer megoldása viszont az összes ismeretlent szolgáltatja. A továbbiakban a Kirchhoff-

törvényekből levezethető olyan általános érvényű hálózatszámítási módszereket mutatunk be,

amelyek egyszerűbbé teszik a megoldást és a számítógépes hálózattervezést. Ehhez először

ismertetjük a feszültség és áramforrások legfontosabb tulajdonságait.

U4

U1

U2

U3

U5

U6

Mentes Gyula

- 34 -

3.3.2. Feszültségforrás, áramforrás

A feszültség- és áramforrásokat a hálózatszámítás szempontjából kétpólusoknak te-

kintjük. Kétpólusnak az olyan áramkört nevezzük, amelynek két kivezetése van. A kétpólust

aktívnak nevezzük, ha kivezetéseit egy vezetékkel összekapcsolva (azaz rövidre zárva) abban

áram folyik. Az ellenállás, ill. a csupán ellenállásokból felépített kétpólus mindig passzív. A

különféle telepek és áramfejlesztő gépek (generátorok) aktív kétpólust alkotnak (3.11. ábra).

Az ideális feszültségforrás vagy ideális feszültséggenerátor egyetlen adattal, az U0

forrásfeszültséggel jellemezhető. A 3.12. az ideális feszültségforrás rajzi jelölését mutatja. A

feszültségnyíl a pozitív saroktól a negatív felé mutat. Az ideális feszültséggenerátorra akár-

milyen nagyságú terhelést kapcsolunk, a kapcsain mérhető feszültség mindig a forrásfeszült-

ség. Ez még akkor is igaz, ha rövidre zárjuk, vagyis zérus nagyságú ellenállással terheljük. Ez

már csak azért is lehetetlen a valóságban, mert a zérus ellenálláson Ohm-törvénye alapján

végtelen nagy áramerősségnek kellene folynia.

3.11. ábra. Az aktív kétpólust rövidrezárva a rövidre záró vezetékben áram folyik

A valóságos feszültségforrásnál mindig azt tapasztaljuk, hogy a terhelőellenállás csök-

kentésével, vagyis a terhelőáram növelésével, a kapcsain mérhető feszültség csökken. Hason-

ló tulajdonságot mutat egy ideális feszültségforrás és egy ellenállás sorbakapcsolásából álló

kétpólus is (3.13. ábra). A valóságos feszültségforrás tehát úgy fogható fel, mint egy ideális

feszültséggenerátor és egy vele sorbakapcsolt ellenállás, amelyet a valóságos feszültséggene-

rátor Rb belső ellenállásának nevezünk.. A belső ellenállás fizikailag nem különül el a feszült-

ség keletkezésének helyétől. Pl. a generátorok tekercselésében indukálódó áram átfolyik a

tekercseken és azok ellenállásán feszültségesés keletkezik. Tehát a generátor belső ellenállását

ugyanannak a tekercsnek az ellenállása alkotja, amelyikben a forrásfeszültség keletkezik.

Az ideális áramforrást vagy ideális áramgenerátort szintén egyetlen adattal, az I0 for-

rásárammal jellemezzük. Az ideális áramforrás jelképes jelölését a 3.14. ábrán láthatjuk. A

forrásáram a pozitív kapcson folyik ki a generátorból. Az ideális áramgenerátor függetlenül a

terhelő ellenállás nagyságától, a terhelésen mindig áthajtja a forrásáramot. Ez a valóságban

azért lehetetlen, mert üresjárásban, vagyis, ha kapcsaira nem kapcsolunk terhelést, akkor is

folyik a forrásáram a kapcsok között levő végtelen nagy ellenálláson a „szakadáson”. Emiatt a

Passzív

kétpólus I=0 Aktív

kétpólus I>0

+

-

U0 U0

Rb

UkUk=U0

It

3.12. ábra. Ideális feszültségforrás 3.13. ábra. Valóságos feszültségforrás

Elektrotechnika

- 35 -

kapcsok között Ohm törvénye alapján végtelen feszültséget lehetne mérni. A valóságos áram-

forrást egy ideális áramforrásból és a vele párhuzamosan kapcsolódó belső vezetésből lehet

felépíteni (3.15. ábra). Így a forrásáram egyik része a belső vezetésre jut.

A gyakorlatban előforduló aktív kétpólusokat (telepek, generátorok) fizikailag a fe-

szültséggenerátoros helyettesítőkép írja le helyesebben. Áramköri szempontból a kétféle

helyettesítőkép egyenértékű, ekvivalens. Ugyanaz a gyakorlatban előforduló kétpólus megad-

ható akár feszültség-, akár áramforrásként. A feszültségforrással történő megadást Thévenin,

az áramforrással történő megadást pedig Norton-helyettesítőképnek nevezzük.

Az ideális feszültségforrás belső ellenállása zérus. Ha a gyakorlatban meg akarjuk

közelíteni, olyan kétpólust kell kialakítanunk, amelyiknek igen kicsi a belső ellenállása. Az

ideális áramforrás belső ellenállása végtelen. Ezért olyan generátorral lehet megközelíteni,

amelyiknek igen nagy a belső ellenállása. A gyakorlati áramforrásokat aszerint sorolhatjuk az

áram- vagy feszültséggenerátorokhoz, hogy a belső ellenállása sokkal nagyobb vagy sokkal

kisebb, mint a terhelő ellenállás.

3.3.2.1. Feszültségforrás (Thévenin-kép)

A terheletlen (vagy más szóhasználattal; "szakadással lezárt") feszültségforrás árama

zérus. Így a belső ellenálláson nem esik feszültség. A forrásfeszültség tehát megegyezik a

kapocsfeszültséggel. Ezért a forrásfeszültséget "üresjárási" feszültség mérésével határozhatjuk

meg (3.16. ábra):

üUU 0 . (3.34)

+

-

I0 I0 Gb Uk

It

3.15. ábra. Valóságos áramforrás 3.14. ábra. Ideális áramforrás

U0Uü

Rb

3.16. ábra. Szakadással lezárt

feszültségforrás

U0

Rb

Irö

3.17. ábra. Rövidzárral lezárt feszültségforrás feszültségforrás

Mentes Gyula

- 36 -

A rövidzárral terhelt feszültségforrás kapocsfeszültsége zérus. A teljes forrás-

feszültség a belső ellenállásra jut (3.17.ábra). Ekkor a rövidzárási áram:

b

röR

UI 0 . (3.35)

Az Rt ellenállással terhelt feszültségforrás kapocsfeszültsége a 3.18. ábra alapján:

tbk IRUU 0 , (3.36)

A terhelő áram:

.0

bt

tRR

UI

(3.37)

3.3.2.2. Áramforrás (Norton-kép)

A rövidrezárt (vagy más szóhasználattal: "rövidzárral terhelt") áramforrás kapocsfe-

szültsége zérus. Így a belső vezetésen nem folyik áram. A teljes forrásáram tehát a rövidzáron

folyik keresztül. Ezért a forrásáramot "rövidzárási" áram mérésével határozhatjuk meg (3.19.

ábra):

röII 0 . (3.38)

A szakadással lezárt áramforrás terhelőárama zérus. A teljes forrásáram a belső vezetésen

folyik keresztül (3.20. ábra). Így az üresjárási feszültség:

U0

RbIt

Uk Rt

I0 Gb Irö

I0 Gb Uü

3.18. ábra. Terhelt feszültségforrás

3.19. ábra. Rövidzárral lezárt

áramforrás 3.20. ábra. Szakadással

lezárt áramforrás

Elektrotechnika

- 37 -

b

rö

b

üG

I

G

IU 0 . (3.39)

A Gt vezetéssel terhelt áramforrás terhelő árama a 3.21. ábra alapján:

kbt UGII 0 . (3.40)

A kapocsfeszültség:

bt

kGG

IU

0 . (3.41)

3.21. ábra. Terhelt áramforrás

3.3.2.3. A feszültség és áramgenerátorok ekvivalenciája

A valóságos feszültség- és áramgenerátor egymással ekvivalens, ami azt jelenti, hogy

azokat egy-egy zárt dobozban elhelyezve semmilyen méréssel sem lehet különbséget tenni

köztük. Az üresjárási és rövidzárási terhelés alapján egyszerűen meghatározhatók az ekviva-

lens kétpólus adatai (3.22. ábra).

3.22. ábra. Ekvivalens feszültség- és áramgenerátor

A kétpólusok rövidzárása alapján:

bR

UI 0

0 , ill. bRIU 00 . (3.42)

Az üresjárás alapján pedig:

bG

IU 0

0 , ill. bGUI 00 . (3.43)

I0 Gb Uk

It

Gb Uk Gt

U0

Rb It

Uk

I0 Gb Uk

It

Mentes Gyula

- 38 -

A fenti összefüggéseket egybevetve:

b

bG

R1

, ill. b

bR

G1

. (3.44)

Az áramforrás forrásáramának nyilát azért kell fordítva berajzolni az ekvivalens fe-

szültségforrás feszültségnyilának irányához képest, mert generátoron az áram és a feszültség

nyila ellentétes (Negatív teljesítmény!).

3.3.3. A hurokáramok módszere

A hurokáramok módszerét a Kirchhoff-törvényekkel történő hálózatszámítási mód-

szerből vezetjük le. Ehhez írjuk fel a 3.23. ábrán látható hálózatra a bejelölt körüljárási irány-

nak megfelelően a hurok egyenleteket!

3.23. ábra. Egyenáramú hálózat a hurokáramok módszerének bizonyításához

I. 001113342 UIRIRIR ,

II. 002245533 UIRIRIR , (3.45)

III. 0425566 IRIRIR .

A csomóponti egyenletek felírása helyett a következőképpen járjunk el! Tekintsük a

bejelölt körüljárási irányokat hurokáramoknak! Ezeket fiktív áramoknak nevezzük, mivel

ezek az áramok ténylegesen nem folynak a hurokban, hiszen a hurok minden ágának más-más

árama van. Ez utóbbiakat a bejelölt körüljárási iránynak megfelelően vegyük fel! A hálózat

minden független hurokjának külön áramot tulajdonítunk. Ezeket a fiktív áramokat nevezzük

hurokáramoknak. A hurokáramokat az ágáramoktól való megkülönböztetés céljából római

számjegyekkel jelöljük. A hurokáramok irányát (a későbbiek miatt) azonos körüljárás szerint

kell felvenni. Fejezzük ki az ágáramokat a fiktív hurokáramokkal és helyettesítsük be azokat a

hurokegyenletekbe:

I6

I1

R6

I2

R4

U02R1

U01

I4 I5IIII

IIIII

I3

R2 R5

R3

Elektrotechnika

- 39 -

III 1 , IIII III 4 ,

IIII 2 , IIIII III 5 , (3.46)

III III 3 . IIIII 6 .

I. 01132 UIRIIRIIR IIIIIIII ,

II. 02453 UIRIIRIIR IIIIIIIIII ,

(3.47)

III. 0256 IIIIIIIIIIII IIRIIRIR .

Rendezzük az egyenleteket a hurokáramok szerint:

I. 0123231 UIRIRIRRR IIIIII ,

II. 0255343 UIRIRRRIR IIIIII , (3.48)

III. 065252 IIIIII IRRRIRIR .

Ha megfigyeljük az egyenleteket, észrevesszük, hogy mindegyikben annak a huroknak

az árama van megszorozva a hurokban található ellenállások összegével, amelyik hurokra az

illető egyenletet felírtuk. Ezt az ellenállás összeget a hurok saját ellenállásának nevezzük és ez

mindig pozitív előjelű. Az egyenletekben előforduló többi áramok két hurokhoz is tartozó

ellenállások (közös ellenállások) negatív előjeles értékével vannak megszorozva, ha azokon a

szomszédos hurokáramok ellentéses irányúak. Ezt a szabályt felismerve a 3.48. egyenleteket

közvetlenül is felírhatjuk: az áramkör minden független hurokjában azonos körüljárással fel-

veszünk egy-egy fiktív hurokáramot. Minden hurokra felírunk egy egyenletet. Az egyenlet bal

oldalán a saját ellenállás és a saját áram szorzata, valamint a szomszédos hurkok áramainak a

megfelelő közös ellenállásokkal alkotott szorzatainak összege szerepel. Ha a közös ellenállá-

son a hurokáramok ellentétesek, akkor az előjel negatív, ellenkező esetben pozitív. Az egyen-

let jobboldalán pedig a hurokba bekapcsolt feszültségek szerepelnek, a hurokárammal ellenté-

tes nyílirány esetén pozitív előjellel. Az ismeretlen hurokáramok az egyenletrendszer megol-

dásával adódnak. A hurokáramok ismeretében a keresett ágáramok vagy feszültségek már

egyszerűen számíthatók. A hurokáramok módszerével végzett hálózatszámítás esetén, ha a

hálózatban áramgenerátorok és vezetésükkel megadott ellenállások (vezetések) is vannak,

ezeket előbb feszültséggenerátorrá illetve ellenállásokká alakítjuk át és csak ezután írjuk fel a

hurokegyenleteket. Egyébként áramgenerátorok esetén megfelelő módon közvetlenül is felír-

hatók az egyenletek. Ekkor a hálózatban levő esetleges feszültséggenerátorokat áramgeneráto-

rokká és az ellenállásokat vezetéssé alakítjuk és a hálózatszámítást a csomóponti potenciálok

módszerével végezzük el. E módszer ismertetésére itt nem térünk ki, mivel a fentiekből látha-

tó, hogy a hurokáramok módszerével minden hálózat számítható.

Mentes Gyula

- 40 -

3.3.4. Thévenin és Norton tétele

Már a 3.3.2. fejezetben láttuk, hogy az aktív kétpólus egyszerű feszültségforrásként

vagy áramforrásként adható meg. Ezek szerint egy akármilyen bonyolult aktív kétpólus min-

dig helyettesíthető egy ideális generátorból és egy ellenállásból (vezetésből) álló egyszerű

aktív kétpólussal. Ha egy bonyolult hálózat egyetlen ágának villamos állapotára vagyunk csak

kiváncsiak - pl. a 3.24. ábrán az Rx ellenálláson eső feszültségre - akkor a következő módon

járhatunk el. Az adott ágat, esetünkben az Rx ellenállást a hálózatból eltávolítjuk (3.24a. ábra)

és a visszamaradó bonyolult aktív kétpólust egy ekvivalens egyszerű aktív kétpólussal helyet-

tesítjük (3.24c. ábra). Ennek az egyszerű aktív kétpólusnak adatait meghatározva, a kivágott

ágat rákapcsoljuk. Ebből az egyszerű áramkörből az ismeretlen áram vagy feszültség egysze-

rűen számítható.Természetesen ennek csak akkor van értelme, ha az Rx ellenállás pl. változ-

tatható és ekkor nem kell minden értékéhez a hurokáramok módszerével a hálózatot megolda-

ni.

3.24. ábra. A helyettesítő feszültségforrás paramétereinek meghatározása Thévenin tétele

alapján

A bonyolult aktív kétpólust egyszerű ekvivalens feszültségforrássá a helyettesítő fe-

szültségforrás tétele - Thévenin tétel - alapján alakíthatjuk át. A helyettesítő feszültségforrás

Uü

U02

R5

R6R3R1

U01 R2

R4

A

Ba)

Rx

R5

R6R3R1

R2

R4

A

Bb)

RAB

U0=Uü

R =RAB

c)

A

B

Rx

Elektrotechnika

- 41 -

forrásfeszültsége az eredeti kétpólus üresjárási feszültségével egyenlő. A helyettesítő feszült-

ségforrás belső ellenállása pedig a kétpólus kapcsai között mérhető ellenállással egyenlő, ha a

kétpólusban levő ideális feszültségforrásokat rövidzárral, az áramgenerátorokat szakadással

helyettesítjük (3.24b. ábra).

A bonyolult aktív kétpólust helyettesítő áramgenerátort Norton tétele alapján kapjuk

meg. Eszerint a helyettesítő generátor forrásárama egyenlő a kétpólus rövidzárási áramával. A

helyettesítő generátor belső vezetése pedig egyenlő a kétpólus kapcsai között mérhető veze-

téssel, ha a kétpólusban levő ideális feszültséggenerátorokat rövidzárással, az ideális áramge-

nerátorokat pedig szakadással helyettesítjük.

3.3.5. Szuperpozició elve

Több generátort is tartalmazó (csak lineáris) hálózatokban, egy adott ellenálláson fel-

lépő feszültség, illetve az ellenálláson átfolyó áram az összes generátorok együttes hatásaként

jön létre. Ezt nevezzük a szuperpozíció elvének. Könnyű belátni, hogy az egyes generátorok

hatásai az adott elemen előjelesen összegződnek. A szuperpozició elvének alkalmazására pél-

daként határozzuk meg a 3.25a. ábrán látható kapcsolásban az xR ellenálláson átfolyó áramot.

egyetlen ellenállásból és két feszültséggenerátorból álló áramkörre. Először csak az első gene-

rátort működtetjük, a másodikat belső ellenállásával helyettesítjük (3.25b ábra). Így az xR

ellenálláson átfolyó áram Ohm-törvénye alapján:

x21

11

RRR

UI

. (3.49)

Ha viszont csak a második generátor működik és az elsőt helyettesítjük belső ellenállásával

(3.25c. ábra) az áram:

x21

22

RRR

UI

. (3.50)

A tényleges áram ennek a két áramnak a különbsége:

xRRR

UUIII

21

2121 . (3.51)

Más módszerekkel is ugyanerre az eredményre jutunk. Ha ugyanis a huroktörvényt írjuk fel a

berajzolt áramiránynak megfelelően:

01221 UURRRI x . (3.52)

Az áramot kifejezve:

x21

21

RRR

UUI

, (3.53)

az előbbi eredményt kapjuk.

Mentes Gyula

- 42 -

A szuperpozició elvét hálózatszámításokra a következő módon alkalmazhatjuk. A há-

lózat generátorait egyetlen egy kivételével belső ellenállásukkal helyettesítjük. Így meghatá-

rozzuk, hogy a vizsgált helyen mekkora áramot, ill. feszültséget hoz létre az éppen működő

generátor. Egymás után, minden egyes generátort működtetve az általuk létrehozott áramokat,

ill. feszültségeket előjelesen összegezzük és az összegezés eredménye adja a tényleges érté-

ket.

A szuperpozició elvét csak lineáris hálózatok esetén szabad alkalmazni. A lineáris há-

lózatok minden elemére érvényes Ohm törvénye, vagyis az áram és a feszültség egyenes

arányban van rajtuk.

a) b) c)

3.25. ábra. A szuperpozició elvének alkalmazása

U1

R1

R2

Rx

I1

U2

R1

R2

Rx

I2

U1

U2

R1

R2

I

Rx

Elektrotechnika

- 43 -

4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR

Az áramtól átjárt vezető környezetében mágneses tér keletkezik. Ezt a jelenséget Oers-

ted (1777 - 1851) dán fizikus mutatta ki 1820-ban. A mágneses tér egy áramtól átjárt vezetőre

erőt fejt ki. Ez a jelenség az alapja a villamos forgógépek, a legtöbb mutatós műszer, stb. mű-

ködésének.

4.1. Az áram mágneses tere, a mágneses indukció és a mágneses fluxus

A tapasztalat szerint az áramtól átjárt vezetők erőt fejtenek ki egymásra. Ezt a hatást

úgy értelmezzük, hogy az áram maga körül mágneses teret létesít és ez a mágneses térben

levő áramra erőhatást gyakorol. Ez a jelenség alkalmas arra, hogy a mágneses teret mennyi-

ségileg is jellemezzük. Helyezzünk különböző áramok által átjárt vezetők környezetébe egy

kisméretű, zárt áramhurkot, amelynek síknak tekintett felülete A , a benne folyó áram I . Az

áramhurok kialakítása olyan, hogy az oda- és visszafolyó áramok olyan közel vannak, hogy

ezen a szakaszon az eredő áram nullának tekinthető (4.1. ábra). Azt tapasztaljuk, hogy a kör-

áramra erő nem hat, de fellép egy forgatónyomaték, amely arányos az IA szorzattal és függ a

köráram helyzetétől. A forgatónyomaték maximális értéke:

BIAM max , (4.1)

ahol a B tényező a többi áram hatását fejezi ki a

köráram helyén. A viszonyokat úgy képzelhet-

jük el, hogy a többi áram maga körül mágneses

teret hoz létre, amely a köráramra forgatónyoma-

tékkal hat. A mágneses tér erősségét a B mág-

neses indukcióval adhatjuk meg, amelyet vek-

tormennyiségnek tekintünk. A köráram irányát

az n felületi normálisának irányával adjuk meg,

amelyet úgy definiálunk, hogy a köráram irányá-

hoz jobbcsavar-szabály szerint rendeljük hozzá.

A tapasztalat szerint a nyomaték maximális, ha

az n felületi normális merőleges a B mágneses

indukció vektorára. Ha a köráramra nyomaték

nem hat (nyugalmi helyzet), akkor a mágneses

indukció iránya egyezik a köráram felületi nor-

málisának irányával. A forgatónyomatékot vek-

toriálisan az alábbi módon adhatjuk meg:

BnIAM . (4.2)

A mágneses indukció egysége:

Tteslam

Vs

mA

VAs

AI

MB 111

11

122

(4.3)

Az indukció mértékegységének megadása során felhasználtuk, hogy a nyomaték mértékegy-

sége megegyezik a munka mértékegységével ( VAsNm 1 1 ). A gyakorlatban használatos

90º

MB

n

A

MI

II

90º

4.1. ábra. Kisméretű áramhurok a mág-

neses tér kimutatására

Mentes Gyula

- 44 -

indukcióértékek: villamos gépekben 1T , műszerekben 0,1T , a Föld mágneses tere kb. 5106 T . Régebben az 1 gauss=10

-4 tesla egységet használták.

A mágneses indukciót az elektromos térerősséghez hasonlóan erővonalakkal szemlél-

tethetjük. Egységnyi felületen ( 2 1m ) annyi erővonal halad át, amennyi az indukció értéke az

adott pontban. Egy adott felületen keresztülmenő összes erővonal számát fluxusnak nevezzük

és -vel jelöljük. Ha a felület merőleges az indukcióra és az indukció a felület mentén állan-

dó, akkor a fluxus az indukció és a felület szorzata:

BA . (4.4)

Ha az indukció nem merőleges a felületre, akkor az indukció felületre merőleges komponen-

sével számolunk. Egy tetszőleges felület fluxusát úgy számítjuk ki, hogy a felületet síknak

tekinthető kis felületelemekre osztjuk fel és ezek fluxusait összegezzük a teljes felületre

( AdBBdABdAdABd nn cos ) (4.2. ábra):

A

AdB . (4.5)

A fluxus egysége:

WbweberVsmm

VsAB 1 1 1 1 1 2

2 . (4.6)

A gyakorlatban szokás beszélni a fluxus irányáról

is, noha a fluxus nem vektormennyiség. A fluxus

iránya az indukció irányával egyezik meg. Pozitív

a fluxus, ha a felületi normálissal „egyező irá-

nyú”, azzal hegyes szöget zár be és negatív, ha a

felületi normálissal „ellentétes irányú”.

Fontos tapasztalati tény, hogy zárt felüle-

ten ugyanannyi erővonal lép ki, mint amennyi

belépett. Ennek belátásához képzeljük el tetszőle-

ges mágneses térben a 4.3. ábrán látható zárt felü-

letet. Bontsuk fel a zárt felületen áthaladó induk-

cióvonalakat fluxus csatornák kötegeire. Nyilván-

való, hogy bármelyik fluxus csatornának a zárt

felületből kimetszett 1dA és 2dA metszetein ugya-

nannyi erővonal (ugyanaz a fluxus) halad át. A felületi normálisokat a felületből kifelé irá-

nyítva felvéve:

2211 AdBAdB , ill. 02211 AdBAdB . (4.7)

Mindegyik fluxus csatorna két felületelemet metsz ki a zárt felületből, amelyből következik,

hogy tetszőleges zárt felületre a mágneses fluxus integrálja mindig nulla:

n'

n

A

B

Bn=Bcosα

4.2. ábra. A mágneses indukció

fluxusának számítása

Elektrotechnika

- 45 -

A

AdB 0 . (4.8)

Az indukcióvonalak tehát zárt görbék. Ha az in-

dukcióvonalak valahol végződnének, tehát nem

volnának zárt görbék, akkor nem volna a zárt felü-

letre vonatkozó fluxus mindig nulla. Ez a mágne-

ses tér egyik alapvető törvényszerűsége. Itt emlé-

keztetünk az elektrosztatika Gauss-tételére (2.12.

képlet), amely szerint az elektromos térerősség zárt

felületre vonatkozó integrálja a zárt felület által

körülfogott töltéssel arányos, tehát nem nulla. Ez,

mint tudjuk azét van így, mert az elektromos erő-

vonalak pozitív töltésekből indulnak ki és negatív

töltéseken végződnek. Tehát az elektromos erővo-

nalak forrásai a töltések, a mágneses térnek nin-

csenek forrásai, a mágneses tér forrásmentes.

4.2. A Biot - Savart-törvény

A Biot (1774-1862) és Savart (1791-1841) francia fizikusok által felállított törvény

olyan összefüggés, amelynek segítségével - homogén és izotrop közeget feltételezve - számí-

tani tudjuk a mágneses tér tetszés szerinti pontjában az indukciót. A törvény szerint összefüg-

gés van a teret létesítő áramkör geometriai viszonyai, áramerőssége és a mágneses indukció

között. A Biot - Savart - törvény a 4.4. ábra alapján írható fel. Osszuk fel az ábra zárt áram-

körét az áram irányának megfelelő irányú ld kicsiny szakaszokra. A vezető környezetében

létrejövő mágneses tér P pontjában az indukciót az egyes Id l áramelemek által létrehozott

Bd elemi indukciók összege adja:

3

0

0

4 r

rldIB

, (4.9)

ahol 0r az aktuális ld áramelemtől a P pontba mutató egységvektor és r a P pont távolsá-

ga a ld áramelemtől. A 0 arányossági tényező akkor használható, ha az áramtól átjárt veze-

tő környezetében vákuum van. Más közeg esetén a képletbe a

r 0 (4.10)

értéket kell behelyettesíteni. AmVs /104 7

0

, a vákuum permeabilitása, r az adott

közegnek a vákuumra vonatkoztatott relatív permeabilitása.

A 4.9. egyenlet mindkét oldalát osztva a közeg minőségére jellemző permeabilitással,

a Biot - Savart-törvényt a következő formában is felírhatjuk:

n2

n1

dA 1

dA 2

4.3. ábra. A mágneses indukció

fluxusa zárt felületre nulla

Mentes Gyula

- 46 -

3

0

4 r

rldIH

, (4.11)

ahol H a mágneses térerősség, melynek mértékegysége a fenti képletből egyszerűen megha-

tározható:

m

A

m

Am

r

dlIH

22. (4.12)

A mágneses térerősség segítségével a mágneses indukciót az alábbi egyszerű össze-

függés segítségével írhatjuk fel:

HHB r 0 . (4.13)

A Biot - Savart-törvény ún. elemi

törvény, amely kísérletileg közvetlenül nem

igazolható, mert sohasem vizsgálhatjuk meg

önmagában egyetlen áramelem hatását. A

törvény segítségével végzett számítások azon-

ban a tapasztalattal megegyező eredményre

vezetnek. A gyakorlatban a mágneses induk-

ció meghatározása a Biot - Savart-törvénnyel

bonyolult számításokhoz vezet.

4.3. A gerjesztési törvény

A gerjesztési törvény a Biot - Savart

törvénynél egyszerűbben adja meg az áram és

mágneses tere közötti kapcsolatot és kísérleti-

leg közvetlenül ellenőrizhető. A gerjesztési

törvény kimondja, hogy egy zárt görbe men-

tén integrálva a mágneses térerősséget, meg-

kapjuk a zárt görbe által kifeszített felületen

áthaladó áramok előjeles összegét (4.5. ábra).

A törvény matematikai alakja:

k

k

l

IldH . (4.14)

Az összegzés során pozitív előjellel kell

venni azokat az áramokat, amelyek a körül-

járási iránnyal a jobbcsavar-szabály szerint vannak összehangolva, és negatív előjellel az el-

lenkező irányú áramokat.

A gerjesztési törvény általános érvényű. Akkor is használható, ha a permeabilitás nem

állandó. Általános esetben a zárt görbe által körülzárt eredő áramot úgy kapjuk meg, hogy a

J áramsűrűséget (egységnyi felületen áthaladó áram) integráljuk a görbe által kifeszített felü-

let mentén:

B

I

ro

r

P

d

+-

d

4.4. ábra. A mágneses indukció meghatá-

rozása árammal átjárt vezető környezeté-

ben a Biot - Savart-törvény segítségével

4.5. ábra. A gerjesztési törvény értelmezése

I4

I3

I1

2I

Ht

H

I =k

d

n

I1 + 2I + I3

Elektrotechnika

- 47 -

l A

AdJldH . (4.15)

A görbe által körülzárt áramot gerjesztésnek nevezzük és -val jelöljük:

AdJIk

k . (4.16)

4.4. Példák a gerjesztési törvény alkalmazására

Az alábbiakban határozzuk meg néhány olyan egyszerű esetben az áram által létreho-

zott mágneses teret, amelyre a későbbiekben szükségünk lesz.

4.4.1. Végtelen hosszú egyenes vezető mágneses tere

Végtelen hosszúnak tekinthető vezetőben I erősségű áram folyik. Határozzuk meg a

mágneses térerősséget a vezetőtől 0rr távolságban, ahol 0r a vezető sugara.

A forgási szimmetriából következik, hogy a vezetőt körülvevő erővonalak koncentri-

kus körök és egy kör mentén a H térerősség állandó és mindenütt érintő irányú (4.6. ábra).

Az r sugarú körre alkalmazva a gerjesztési törvény 4.14. alakját az állandó H térerő az in-

tegrálból kiemelhető és az integrál az r sugarú kör kerületét adja meg:

IrH 2 . (4.17)

A térerősséget kifejezve megkapjuk az I áramtól átjárt, hosszú egyenes vezetőtől r távolság-

ban a mágneses térerősség értékét:

r

IrH

2 . (4.18)

4.6. ábra. Végtelen hosszú vezető mágneses tere

r

H

I 2r0

H

++++++

+

+

+

+ +

+

+

++

+

+ + +++

++

+

+

+ + +

+ + ++

Mentes Gyula

- 48 -

4.4.2. Toroid mágneses tere

Határozzuk meg egy egyenletesen és sűrűn tekercselt toroidban a mágneses térerőssé-

get! A forgási szimmetriából következik, hogy az áramot körülzáró erővonalak csak koncent-

rikus körök lehetnek és ezek mentén a térerősség állandó (4.7. ábra). A tekercs menetszáma

N , a toroid közepes sugara R . Alkalmazzuk a ger-

jesztési törvényt (4.14) a toroid közepes sugarú erő-

vonalára, amelynek mentén a térerő állandó és az

integrálból kiemelhető. Az integrál ebben az esetben

a közepes erővonal hosszát adja. A közepes erővonal

által kifeszített felületet a tekercs I árama azonos

irányban a menetszámnak megfelelően N -szer döfi

keresztül, tehát a körülzárt áramok eredője, a gerjesz-

tés: NI .

NIRH 2 , (4.19)

amelyből a toroid térereje kifejezhető:

R

NIH

2 . (4.20)

4.4.3. Szolenoid mágneses tere

Határozzuk meg a sűrűn és egyenletesen tekercselt szolenoidban (hosszához képest

elhanyagolható átmérőjű tekercsben) a mágneses térerősséget (4.8. ábra)!

4.8. ábra. Szolenoid mágneses tere

A szolenoidon belül az erővonalak sűrűn helyezkednek el, a tekercsen kívül pedig

ritkán, mivel a teljes térben szóródnak. Ezért azt mondhatjuk, hogy a tekercsben a térerősség

nagy, a tekercsen kívül pedig elhanyagolhatóan kicsi. Vegyük körül a tekercs egyik oldalát a

4.8. ábrán látható téglalappal. A téglalap AB oldala mentén a H térerősség állandó és párhu-

zamosnak tekinthető a téglalap oldalával. A BC és DA oldalak mentén a térerősség egyrészt

kicsi, másrészt merőleges az oldalakra, tehát a térerősségnek nincs az oldal irányába eső kom-

ponense, ezért a vonal menti integrál itt nulla. A DC oldal mentén a térerősség nulla, tehát a

vonalmenti integrál itt is nulla. Az N menetű szolenoid tekercse N -szer döfi át a téglalapot,

r

H

I

A

I

R

I b

a

R

I

4.7. ábra. Toroid mágneses tere

A

D C

B

I

I

A

l

Elektrotechnika

- 49 -

így az általa közrefogott áram (gerjesztés) NI . A téglalap AB oldala megegyezik a szolenoid

l hosszával, így a szolenoid mágneses tere:

l

NIH . (4.21)

4.5. Erőhatások mágneses térben

4.5.1. A Laplace-féle elemi törvény

Helyezzünk egy árammal átjárt négyszögalakú vezető keretet a 4.9. ábrának megfele-

lően mágneses térbe. Legyenek a keret oldalai 1dl és 2dl hosszúságúak. Ekkor az F erőpár

által létrehozott nyomaték megegyezik – a 4.2. képlettel számítható - a keretre ható nyomaték

nagyságával:

BndlIdldl

FM 212

22 ,

(4.22)

amelyből a keretoldalakra ható F erő számítható:

BnIdlF 1 . (4.23)

A fenti összefüggés a gyakorlati tapasztalatok alapján általá-

nosan is érvényes. Segítségével kiszámítható egy tetszőleges

dl hosszúságú árammal átjárt vezetékdarabra ható erő:

BlIdF . (4.24)

Az erő irányát helyesen kapjuk, ha a vezetékszakaszt az áram irányával megegyező irányú

vektornak tekintjük (4.9. ábra).

4.5.2. Ampère törvénye

A Laplace-féle elemi törvényből egyszerűen levezethető Ampère törvénye, amely

áramtól átjárt két párhuzamos vezető közötti erőhatást adja meg. A 4.10. ábrán látható, egy-

mástól r távolságra elhelyezkedő párhuzamos vezetők egyikének l hosszúságú darabjára

ható erő a 4.24. képlet segítségével számítható ki:

BlIF 2 . (4.25)

Mivel l és B merőlegesek egymásra, ezért

lBIF 2 . (4.26)

Im

-F

F

d2

d 1

B

4.9. ábra. A Laplace-féle

elemi törvény

Mentes Gyula

- 50 -

Ebben a képletben a B indukciót a másik vezető 1I

árama hozza létre. Hosszú egyenes vezető környeze-

tében a mágneses térerősséget a 4.18. képlet adja

meg. Ennek segítségével az indukció értéke:

B HI

r

0 0

1

2. (4.27)

Ezt az értéket behelyettesítve a 4.26 képletbe meg-

kapjuk a két vezeték között ható erőt:

FI I

rl

0

1 2

2. (4.28)

Ez Ampère törvénye. A 4.10. ábra alapján megálla-

pítható, hogy azonos irányú áramot vivő vezetők

között vonzás, ellenkező áramirányok esetében pedig taszítás lép fel.

4.6. Öninduktivitás, kölcsönös induktivitás

A zárt vezető fluxusa, ha más árammal átjárt vezetőktől távol van, a permeabilitás ál-

landó, arányos a benne folyó árammal:

LI . (4.29)

Az L arányossági tényezőt a tekercs (ön)induktivitásának vagy önindukció-együtthatójának

nevezzük. Az L öninduktivitás függ a zárt vezető alakjától, geometriai felépítésétől és a zárt

vezetőn belüli közeg permeabilitásától, de független a zárt vezetőben folyó áramtól. Ennek

belátása céljából számítsuk ki a 4.8. ábrán átható I áramtól átjárt, N menetszámú és átmérő-

jéhez képest nagy l hosszúságú szolenoid fluxusát. A tekercs egy menete által körülvett flu-

xus, ha a szolenoid keresztmetszete A a 4.21. térerősség képlet alapján számítható:

Al

NIBA . (4.30)

Az N menteszámú tekercs N -szer kapcsolódik az egy menet által körülvett fluxussal, mivel

az a tekercs teljes hosszában állandó. Ezért a szolenoid teljes fluxusa:

Il

ANN

2

. (4.31)

A tekercs teljes fluxusát, -t - megkülönböztetésül a tekercs egy menete által körülzárt flu-

xustól - fluxuskapcsolódásnak nevezzük.

A 4.29 és 4.31 képletek összehasonlításából:

r

I1

I2

B

F

4.10. ábra. Két párhuzamos,

árammal átjárt vezető közötti erő

Elektrotechnika

- 51 -

l

ANL

2

. (4.32)

A képletből jól látható, hogy a szolenoid önin-

duktivitása csak a tekercs méreteinek, menet-

számának és a tekercs belsejében levő közeg

permeabilitásának függvénye.

Az önindukció mértékegysége a 4.29

képletből:

HhenrysA

Vs

IL 1111

.(4.33)

Vizsgáljuk azt az esetet, amikor a térben

két zárt vezető van. Tételezzük fel, hogy az

egyikben 1I erősségű áram folyik, a másik

árammentes, vagyis 02 I . Ha a permeabilitás

mindenütt állandó, akkor nemcsak az 1., ha-

nem a 2. vezető fluxusa is arányos az 1. vezető

áramával, vagyis

12121 IL . (4.34)

21L a két vezető hurok kölcsönös induktivitása. A kölcsönös induktivitás mértékegysége meg-

egyezik az öninduktivitás mértékegységével.

Nyilvánvaló, hogy a kísérlet fordítva is elvégezhető. Ha a 2. hurokban folyik áram és

az első hurok árama 02 I , akkor az 1. tekercsben a 2. tekercs árama által létrehozott fluxus:

21212 IL . (4.35)

Igazolható, hogy két vezető között csak egyfajta kölcsönös induktivitás létezik:

2112 LLM . (4.36)

A kölcsönös induktivitásnak előjelet is tulajdonítunk. Az áramvezető hurkok felületi

normálisát a hurkokban folyó áram irányához jobbcsavar szabály szerint rendeljük. Ha az

egyik hurok árama a másik tekercsben pozitív fluxust hoz létre, akkor a kölcsönös induktivi-

tás is pozitív.

Példaként számítsuk ki a 4.11. ábrán látható szimmetrikusan egymásba ágyazott

szolenoidok kölcsönös induktivitását! Tegyük fel, hogy a 2. tekercsben nem folyik áram

( 02 I ). A 2. tekercsben a mágneses térerősség megegyezik az 1. tekercsben az 1I áram által

létrehozott térerősséggel (4.21. képlet):

HN I

l

1 1

1

. (4.37)

N1

1

2

1A

I 1I

2

22

N

A

I 2I

1

4.11. ábra. Szimmetrikusan egymásba

helyezett szolenoidok kölcsönös indukti-

vitása

Mentes Gyula

- 52 -

A 2. tekercs fluxusa:

1

1

22102

1

110220121221 I

l

ANNA

l

INNHANN . (4.38)

A kölcsönös induktivitás:

2

1

2102112 Al

NNLLM . (4.39)

A kapott eredményből látható, hogy a kölcsönös induktivitás is a közeg permeabilitásától, a

tekercsek menetszámának szorzatától, valamint a tekercsek geometriai méreteitől függ, vagyis

független a tekercsekben folyó áramtól (ha a közeg nem ferromágneses).

Ha mindkét tekercsben áram folyik, akkor bármelyik tekercs fluxusa az egyes áramok

által létrehozott részfluxusok előjeles összege:

2112121111 MIILILIL ,

2212221212 ILMIILIL . (4.40)

Eddigi meggondolásaink csak két vezetőre vonatkoztak. Kettőnél több áramvezető

esetén az i-edik vezető teljes fluxusa:

n

k

kiki IL1

, ni ,...,2,1 . (4.41)

4. 7. Anyagok mágneses tulajdonságai

Az anyagok mágneses szempontból a H

Br

0 relatív permeabilitás értéke alapján

három csoportra oszthatók:

1 r , diamágneses anyagok,

1 r , paramágneses anyagok,

1 r , ferromágneses anyagok.

A dia- és paramágneses anyagok estében 5101 r , vagyis 1r . A továbbiakban a

ferromágneses anyagok tulajdonságaival foglalkozunk, mivel ezekből épülnek fel a villamos

gépek mágneses körei is. A mágneses tulajdonságok tanulmányozásához készítsünk a vizsgá-

landó ferromágneses anyagból egy toroidot (4.12. ábra), amelyben legyen egy nagyon kes-

keny 0l méretű légrés az anyagban fellépő B indukció méréséhez.

A ferromágneses anyagban a H térerősség előállításához helyezzünk a toroidra

egyenletesen felcsévélt N menetű tekercset. Ekkor a tekercs belsejében, vagyis a vizsgált

anyagban a térerősség a tekercs I áramának mérésével a gerjesztési törvény alapján határoz-

ható meg:

Elektrotechnika

- 53 -

kr

NIH

2 , (4.42)

ahol kr a toroid közepes sugara.

Ha kr20 , akkor a légrésben gyakor-

latilag a ferromágneses anyagban fellépő indukció

mérhető. Növeljük az áramot a 4.12. ábrán beje-

lölt irányban nullától folyamatosan. Ekkor a 4.13.

ábrán látható szaggatott görbét kapjuk, amelyet

első mágnesezési görbének nevezünk. A görbéből

kitűnik, hogy az áram ill. ezzel együtt a H térerő

növelésével a B indukció kezdetben lassan, majd

nagyon gyorsan és ezután ismét lassabban növek-

szik. Egy bizonyos H térerő fölött az indukció

már nem változik, eléri a TB telítési értéket. Ezu-

tán a térerősséget csökkentve azt találjuk, hogy

0H esetén az indukció nem lesz nulla. Az

anyag felmágneseződik, benne egy rB értékű re-

manens indukció marad vissza. A remanens in-

dukció megszüntetéséhez a H térerősséget ellen-

kező irányba kell növelni. Azt a CH térerőssé-

get, amelynél az anyagban az indukció nullára csökken, koercitív térerőnek nevezzük. Ezután

az indukciót tovább növelve, az indukció eléri a TB telítési értéket. Csökkentve a térerősség

értékét, nulla térerősségnél egy rB remanens indukció marad vissza. A térerősség irányát

megfordítva és ebben az irányban növelve, az indukció CH értéknél ismét nulla lesz. To-

vább növelve a térerősség értékét, az in-

dukció ismét eléri a TB telítési értéket.

A 4.13. ábrán láthatjuk, hogy a térerősség

függvényében az indukció egy zárt görbe

mentén változik, amelyet hiszterézis-

görbének nevezünk. A mágnesezési cik-

lust többször megismételve az indukció

mindig hiszterézisgörbét ír le. Ezek kis-

mértékben minden ciklusban eltérnek

egymástól, csúcsuk azonban mindig az

első mágnesezési görbére esik.

4.13. ábra. Ferromágneses anyagok mág-

nesezési görbéje

A ferromágneses anyagokat úgy

képzelhetjük el, hogy azok kis mágneses

tartományokból, doménekből állnak, ame-

lyek mindegyike már külső mágneses tér

nélkül is - egy "belső térerősség" hatására

- telítésig mágnesezett. Ezáltal, a bennük

lévő összes atomok mágneses momentumai egy irányban helyezkednek el. Külső mágneses

tér nélkül a domének mágneses nyomatékai rendezetlen irányúak, tehát az anyagnak sok tar-

4.12. ábra. Ferromágneses anyagok

vizsgálatára szolgáló toroid

r

H

I

I

A

l0

rk

BT

Br

-BT

-Br

-Hmax

-Hc Hc Hmax

B

H

Mentes Gyula

- 54 -

tományt magában foglaló darabja kifelé nem mágneses. Külső mágneses tér a domének mág-

neses momentumait a külső tér irányába rendezi (4.14. ábra).

a. b.

4.14. ábra. Ferromágneses anyag külső mágneses tér nélkül (a), külső tér jelenlétében (b)

Az első mágnesezési görbe (4.15a. ábra) kezdeti kis meredekségű szakasza (1) annak

köszönhető, hogy a külső tér irányával kis szöget bezáró (kedvezőbb irányítású) mágneses

momentumú tartományai a szomszédos kedvezőtlenebb irányítású domének rovására növe-

kednek (faleltolódás). A térerőt tovább növelve - az első mágnesezési görbe 2-es meredek

szakasza - a külső tér irányával nagyobb szöget bezáró domének nagy számban a térerő irá-

nyába átbillennek. A kisebb meredekségű 3-as szakaszon már csak a maradék domének állnak

be a térerősség irányába, a 4-es ún. telítési szakaszon pedig már az összes domén mágneses

momentuma a külső térerő irányába mutat.

a. b.

4.15. ábra. Az első mágnesezési görbe és a relatív permeabilitás kapcsolata

A ferromágneses anyag periodikus átmágnesezése során a domének mindig a külső tér

irányába állnak be. Mozgásuk során egymással súrlódnak és az az anyagot melegíti. A ferro-

mágneses anyagok periodikus átmágnesezéséhez tehát energiára van szükség. Ez az energia

bizonyíthatóan arányos a hiszterézisgörbe által körbezárt területtel, ezért ezt hiszterézis-

BH

34

32

1

k

max

H H

max

k

2

3

4

1

Elektrotechnika

- 55 -

veszteségnek nevezzük. Villamos gépek esetében, ahol a ferromágneses anyagok periodikus

átmágnesezésnek vannak kitéve, a veszteségek csökkentése érdekében "sovány"

hiszterézisgörbéjű mágneses anyagokat kell alkalmazni.

A mágnesezési görbéből látható, hogy az indukció és a térerősség közötti kapcsolat

nem lineáris. A H

B összefüggésből látható, hogy az első mágnesezési görbe valamely

pontjában a permeabilitás értékét a koordináta-rendszer kezdőpontjából a mágnesezési görbe

adott pontjába húzott egyenes meredeksége adja. A mágneses permeabilitás függését a térerő-

től a 4.15b. ábra mutatja. A permeabilitás csak kis térerő esetén tekinthető állandónak. Ezt az

értéket K kezdeti permeabilitásnak nevezzük.

Sok anyag esetében a hiszterézishurok nagyon keskeny, ezért az az első mágnesezési

görbével helyettesíthető. Néhány gyakran alkalmazott anyag mágnesezési görbéjét mutatja a

4.16. ábra.

4.16. ábra. Néhány ferromágneses anyag első mágnesezési görbéje

Mentes Gyula

- 56 -

4.8. Mágneses körök számítása

4.8.1. A mágneses Ohm-törvény

Tekintsük a mágneses tér egy olyan részét, amelyet indukcióvonalak határolnak (4.17.

ábra). Egy ilyen fluxuscsatorna bármelyik keresztmetszetének ugyanakkora a fluxusa, hiszen

azonos számú erővonal metszi. Nevezzük mágneses feszültségnek a mágneses térerősség in-

tegrálját a csatorna két felülete között:

b

a

m ldHU . (4.43)

4.17. ábra. Fluxuscsatorna

Tételezzük fel, hogy a fluxuscsatorna bármely, az erővonalakra merőleges keresztmet-

szetében az indukció eloszlása homogén ( állandó, A változhat). Ekkor (elhagyva a vektor-

jelöléseket):

b

a

b

a

b

a

b

a

mA

dd

Ad

BHdU

, (4.44)

ahol b

a

mA

dR

a fluxuscsatorna vizsgált szakaszának mágneses ellenállása (reluktanciája),

melynek mértékegysége:

111 HVs

ARm (4.45)

A mágneses ellenállás reciproka a mágneses vezetőképesség (permeancia):

m

mR

1 . (4.46)

Um =Rm

mUm

a

b

B A

Elektrotechnika

- 57 -

Állandó keresztmetszetű és permeabilitású fluxuscsatornák esetében a mágneses ellen-

állás, ill. a mágneses vezetés:

l

A

A

lR mm

, (4.47)

A mágneses feszültség és a fluxus kapcsolatát a mágneses Ohm-törvény fejezi ki:

mm RU , (4.48)

ahol a fluxuscsatorna mR mágneses ellenállása megfelel az R ohmos ellenállásnak, a flu-

xus az I áramnak és az mU mágneses feszültség az U feszültségnek. A mágneses feszültség

mértékegysége a 4.43. összefüggés alapján határozható meg:

Amm

AlHUm 111 . (4.49)

Írjuk fel a mágneses Ohm-törvényt a 4.7. ábrán látható zárt mágneses körre. A toroid N me-

netű és a tekercsben I áram folyik:

NINI

HdU k

k

mk

. (4.50)

Zárt görbére a mágneses feszültség egyenlő a körülzárt gerjesztéssel. Kirchhoff huroktörvé-

nyének analógiájára általánosan írhatjuk:

m

k

kmk

n

i

mi RU11

. (4.51)

Egy-egy "mágneses csomópontra" a fluxusok előjeles összege nulla:

p

i

i

1

0 . (4.52)

Ezzel Kirchhoff törvényeit általánosítottuk mágneses körök számítására.

4.8.2. A mágneses vezetőképesség és az önindukciós tényező közötti kapcsolat

Egy tekercs öninduktivitása felírható a mágneses vezetőképesség segítségével is. A

mágneses Ohm-törvény szerint a tekercs fluxusa arányos a mágneses vezetőképességgel:

NI . (4.53)

Az önindukció definiciója (4.29) alapján:

Mentes Gyula

- 58 -

mR

NN

I

N

IL

22

. (4.54)

4.8.3. Lineáris mágneses körök számítása

A 4.15. ábrán láthattuk, hogy a ferromágneses anyag permeabilitása az anyagban lévő

mágneses térerősség függvénye. Az anyag mágneses ellenállása a permeabilitás függvénye,

tehát függvénye az anyagban fellépő mágneses térerőnek. Ezért egy adott gerjesztéshez tarto-

zó indukció nem határozható meg, mivel a mágneses ellenállások kiszámításához már ismer-

nünk kellene a végeredményt. Ezzel a problémával a következő fejezetben a nemlineáris

mágneses körök számítása kapcsán foglalkozunk.

Bizonyos esetekben feltételezhető, hogy a vasban az indukció a térerősséggel arányos-

nak tekinthető. A 4.15. ábrán láthatjuk, hogy ez csak addig a térerőig érvényes, ameddig a

(kezdeti) permeabilitás állandó. Porvasmagok esetében a permeabilitás a teljes tartományban

állandó. Ebben az esetben a mágneses kört az egyenáramú hálózatokhoz hasonlóan számíthat-

juk. A mágneses kör egyes ágain levő gerjesztéseket feszültséggenerátorokkal helyettesítjük,

az ágak ellenállásait pedig a 4.47. összefüggés segítségével a geometriai adatokból és az

anyagra érvényes permeabilitásból számítjuk ki. A 4.18. ábra a lineáris mágneses kör egyená-

ramú hálózattal való helyettesítését mutatja be. Az egyes ágakban fellépő mágneses térerőssé-

gek (áramok) ezután az egyenáramú hálózatok számításánál megtanult módszerekkel határoz-

hatók meg.

I1

I1A1 I3A3 I4A4 I5A5

I2A2I6A6

I0A0

I2

R1 R3 R4

R5

R6

R2

UG2

UG1

I1 I2I3

R0

4.18. ábra. Lineáris mágneses kör helyettesítése egyenáramú hálózattal

4.8.4. Nemlineáris mágneses körök számítása

Általános esetben a permeabilitás függ az indukciótól, ezért ebben az esetben vissza

kell nyúlnunk az általános törvényekhez: a gerjesztési törvényhez, a fluxusra vonatkozó cso-

móponti törvényhez és az anyag mágnesezési görbéjéhez. Nemlineáris mágneses körök szá-

mítását a 4.19. ábra mágneses köre alapján mutatjuk be. Az ismertetésre kerülő módszer csak

akkor alkalmazható, ha a légrésindukció vagy a fluxus adott. Ekkor a szükséges gerjesztés

meghatározható. Induljunk ki abból, hogy a 0B légrésindukció adott. Ebből mind a légrésben

levő mágneses térerősség 0H , mind pedig a mágneses kör fluxusa meghatározható:

Elektrotechnika

- 59 -

0

0

0

BH , 00AB . (4.55)

Az egyes ágak kB indukciója az ágak kA keresztmetszetéből és a fluxusból határozható

meg, az egyes ágakban a kB indukcióhoz tartozó kH mágneses térerősséget az anyag mágne-

sezési görbéjéből olvassuk le:

k

kA

B

, kk BfH . (4.56)

A gerjesztési törvényt alkalmazva a zárt hurok középvonalára megkapjuk a szükséges gerjesz-

tést:

n

k

kk lH0

. (4.57)

Csomópontot is tartalmazó többhurkos mágneses körök esetében az egyes ágak fluxu-

sa a fluxusra vonatkozó 4.52 csomóponti törvényből határozható meg. A feladat megoldásá-

hoz szükséges minden független hurokra felírni a gerjesztési törvényt is.

4.19. ábra. Példa nemlineáris mágneses kör számítására

Ha a gerjesztés adott és a fluxust vagy a légrésindukciót keressük, akkor a feladat csak

iteratív eljárással határozható meg. Ekkor felveszünk például egy légrésindukció értéket és

meghatározzuk a gerjesztést a fenti módszerrel. Ha a kapott gerjesztés például kisebb, mint a

megadott, akkor felveszünk nagyobb légrésindukciót és ismételten kiszámítjuk a gerjesztést.

Az eltéréstől függően ismét felveszünk légrésindukció értéket és a számítást addig ismételjük,

amíg megkapjuk a megadott gerjesztést. Ekkor a felvett légrésindukció tartozik a megadott

gerjesztéshez.

I2, A2

3, A3

4, A4

1, A1

0, A0

Mentes Gyula

- 60 -

5. ELEKTROMÁGNESES TÉR

5.1. Nyugalmi elektromágneses indukció

A tapasztalat szerint az időben változó mágneses tér elektromos teret hoz létre. Ezt az

5.1. ábrán látható kísérlettel igazolhatjuk. A majdnem zárt vezető hurok időben változó mág-

neses teret fog körül, a hurok kapcsain pedig mérjük a feszültséget, melynek értéke:

t

ui

. (5.1)

A negatív előjel azt fejezi ki, hogy a fluxusváltozás iránya és az indukált feszültség iránya a

jobbcsavar-szabállyal ellentétesen van

összerendelve. Az 5.1. összefüggést Fa-

raday-féle indukciótörvénynek nevez-

zük.

Tudjuk, hogy a feszültség a tér-

erősség vonalmenti integrálja, és a fe-

szültség előjeles mennyiség. Ahol fe-

szültség van ott villamos térerősség is

van. Jelen esetben a vezető mentén az Ei

indukált térerősség vonal menti integrál-

ja adja az ui indukált feszültséget. A

Faraday-féle törvény szerint az indukált

térerősség a vezető mentén a fluxus, ill.

az indukció idő szerinti deriváltjához, a

t

B

vektorhoz balcsavar-szabály szerint van rendelve. A zárt vonal iránya a fluxus, ill. az

indukció irányához jobbcsavar szabály szerint rendelődik. Az indukciótörvény bal oldalát

ekkor így írhatjuk:

L

i ldEu , (5.2)

a fluxus pedig:

A

AdB . (5.3)

A fenti összefüggéseket felhasználva a Faraday-féle indukciótörvény az alábbi formába is

írható:

L

i Adt

BldE

. (5.4)

t

B

E i

E i

+ -

5.1.ábra. Nyugalmi elektromágneses indukció

Elektrotechnika

- 61 -

Ez a villamosságtan egyik legfontosabb törvénye,

és egyben ez Maxwell második törvényének in-

tegrális alakja. A törvény alapján azt a fontos

megállapítást is tehetjük, hogy az időben változó

mágneses tér villamos teret hoz létre, amelynek

jelenlétéhez a zárt vezető jelenléte nem lényeges.

Ha az 5.1. ábrán szereplő körvezetőnket

zárjuk, akkor az indukált térerősség hatására a

vezetőben áram folyik mindaddig, amíg van in-

dukált térerősség. Az áram iránya megegyezik a

térerősség irányával. Az indukált áram irányához

az általa létrehozott indukció a jobbcsavar-

szabály szerint van hozzárendelve. Az 5.2. ábrán

látható, hogy az indukált áram által létrehozott

fluxus az őt létesítő fluxusváltozást csökkenteni

igyekszik. Ezt a megállapítást nevezzük Lenz

törvényének.

5.2. Mozgási elektromágneses indukció

Mozogjon Q töltés ld elemi út mentén v sebességgel (Rowland kísérletileg bizonyí-

totta, hogy a vezető jelenléte mellékes). Ez úgy is felfogható, mint ha a ld elemi út mentén I

áram folyna, melynek értéke:

dl

vQ

t

QI . (5.5)

A fenti összefüggést felhasználva Laplace törvénye az alábbi módon is felírható:

BvQBldIF . (5.6)

A teljesség kedvéért megemlítjük, hogy ha a mágnses tér mellett elektromos erőtér is

jelen van, akkor a mozgó töltésre ható erő Lorentz erőtörvénye alapján számítható:

BvEQF . (5.7)

Mozogjon egy vezető mágneses térben, akkor a vezetőben levő tetszőleges Q töltésre

ható erő az 5.6. összefüggés segítségével számítható. Az egységnyi töltésre ható fajlagos erő,

azaz a térerősség:

BvE . (5.8)

Ez a kifejezés a mozgási elektromágneses indukció törvénye.

A mágneses térben mozgó vezetőben a fenti térerősség hatására a szabad elektronok

elmozdulnak és nyitott vezető esetében a vezető egyik végén elektrontöbblet, a másik végén

pedig elektronhiány alakul ki. A vezetőben indukált feszültség a térerősség vonalmenti integ-

rálja:

t

B

E i

R

i

5.2. ábra. Lenz törvénye

Mentes Gyula

- 62 -

vBlvBdlldBvull

i . (5.9)

Az integrál kiszámításánál a vezető irányítását a térerősség irányába vettük fel és figyelembe

vettük, hogy v és B egymásra merőlegesek. Az 5.9. összefüggés szerint abban a speciális

esetben, amikor egy l hosszúságú vezető önmagára és a B indukcióra merőlegesen mozog v

sebességgel, akkor a benne indukált feszültség:

Blvui . (5.10)

A fenti összefüggést nevezzük Neu-

mann törvényének.

A nyugalmi és a mozgási in-

dukció fizikai alapjaiban lényegesen

különbözik egymástól. A nyugalmi

indukció feltétele, hogy a mágneses

tér időben változzék, míg a mozgási

indukció esetében indukált feszültség

csak akkor keletkezik, ha a mágneses

térben mozgó töltések vannak jelen.

Ez utóbbiak úgy keletkeznek, hogy a

mágneses tér a benne mozgó vezető-

ben a töltéseket szétválasztja. Az így

keletkezett villamos tér nem örvé-

nyes, mert az a szétválasztott töltése-

ken ered ill. végződik, ellentétben a

nyugalmi indukcióval, amelynél az időben változó mágneses tér örvényes villamos teret hoz

létre.

5.3. Váltakozó feszültség előállítása

Forgassuk meg az 5.4a. ábrán látható fémkeretet B indukciójú homogén térben. A

keret kapcsain mérhető indukált feszültséget, mind a mozgási, mind pedig a nyugalmi induk-

ció alapján számíthatjuk. Az alábbiakban mindkét megoldást ismertetjük, mert a villamos

gépek működésének megértéséhez mindkét elv jól használható.

Számítsuk ki először az indukált feszültséget a mozgási indukció alapján. Az 5.4b.

ábrán elölnézetben ábrázoltuk a keret egyik oldalát. A keret állandó szögsebességgel forog

az óramutató járásával ellentétes irányban, v kerületi sebessége érintő irányú és állandó. Az

5.10. összefüggés alkalmazásához meg kell határozni a sebességnek az indukcióra merőleges

komponensét, amely az 5.4b. ábra alapján:

tvvvn sinsin . (5.11)

A fenti összefüggést az 5.10 Neumann formulába behelyettesítve:

tBlvui sin . (5.12)

E iI

Rv

B

+

-

5.3. ábra. A mozgási elektromágneses indukció

Elektrotechnika

- 63 -

Az átellenes tekercsoldalban indukálódó feszültség ellentétes irányú, mivel ennek a keretol-

dalnak az indukcióra merőleges sebességkomponense ellentétes irányú a másik keretoldal

indukcióra merőleges sebességkomponensével. Az egyes keretoldalakban indukálódó ellenté-

tes irányú feszültségek a keret körbejárása során összeadódnak, ezért a keret A és B kapcsai

között az indukált feszültség:

tUtBlvtuAB sinˆsin2 . (5.13)

A keret kapcsain tehát U amplitúdójú, körfrekvenciájú váltakozófeszültség jelenik meg.

a. b.

5.4. ábra. Mágneses térben forgó vezető keretben indukált feszültség számítása a mozgási

indukció alapján

A keret indukált feszültsége az 5.5. ábra alapján számítható ki a nyugalmi indukció

alapján. Ebben az esetben a számítást azon az alapon végezzük, hogy a forgó keretnek a for-

gás során változik az indukcióra merőleges An felülete és ezáltal változik a keret fluxusa:

tBAdt

tdBA

dt

dBA

dt

dBA

dt

du n

i

sincoscos

. (5.14)

Ha az 5.13. képletben a kerületi sebességet a szögsebességgel írjuk fel és figyelembe

véve, hogy a keret felülete rlA 2 , az indukált feszültségre ugyanazt az eredményt kapjuk a

mozgási indukció alapján, mint amit a nyugalmi indukció törvényt alkalmazva kaptunk:

tUtBAtlrBui sinˆsinsin2 . (5.15)

A képletből látható, hogy a váltakozófeszültség amplitúdója, vagy csúcsértéke arányos az

indukcióval, a keret felületével és szögsebességével.

φ

A

B

d=2r

ω

B

l

φ=ωt

v

vn

Ui

Ui

Mentes Gyula

- 64 -

5.5. ábra. Mágneses térben forgó vezető keretben indukált feszültség számítása a mozgási

indukció alapján

5.4. A mágneses tér energiája

5.4.1. A mágneses tér energiája ferromágneses anyagtól mentes térben

Kapcsoljunk egy L önindukciós tényezőjű R ohmos ellenállású tekercsre 0U feszült-

séget. Ekkor a tekercs önindukció feszültsége Lenz törvénye értelmében a tekercs áramát

csökkenteni igyekszik, ezért a zárt áramkörre írhatjuk, hogy:

IRdt

dILU 0 , (5.16)

amelyet rendezve és mindkét oldalt Idt -vel beszorozva:

LIdIRdtIIdtU 2

0 , (5.17)

ahol az egyenlet bal oldalán az áramforrás dt idő alatt végzett munkája áll, a jobboldal első

tagja a áramforrás munkájának hővé alakuló része és a második tag az áram mágneses terének

növelésére fordított munka. Ha az áram 0-tól az állandósult állapotban folyó R

UI 0

0 értékig

nő, akkor a mágneses tér növelésére fordított munkát a

2

0

02

10

LILIdIW

I

L (5.18)

integrál adja. Ezt nevezzük a tekercs mágneses energiájának.

Tételezzük fel, hogy a tekercs egy l hosszúságú, A keresztmetszetű, N menetszámú

szolenoid. Ekkor a szolenoidban lévő indukció a 4.21. összefüggéssel számítható mágneses

térerő segítségével írható fel:

A

B

U i

U i

d=2r

B

B

A

nA =Acos

Elektrotechnika

- 65 -

l

NIB 0

0 , (5.19)

amelyből

0

0N

BlI . (5.20)

A szolenoid önindukciós együtthatóját a 4.32. összefüggés adja, amelyet az 5.20. összefüg-

gésből számítható árammal együtt az 5.18. képletbe behelyettesítve megkapjuk a

szolenoidban tárolt mágneses energiát:

VBAlB

N

Bl

l

ANWL

2

00

22

0

2

2

1

22

1

, (5.21)

ahol AlV a szolenoid térfogata.

Az egységnyi térfogatra jutó mágneses energia a mágneses energiasűrűség:

HBHBBV

Ww Lm

2

1

2

1

2

10

0

2

0

. (5.22)

5.4.2. A mágneses energia ferromágneses anyagban

A fenti összefüggések levezetése során feltételeztük, hogy a szolenoid belsejében vá-

kuum, levegő, vagy más nem ferromágneses anyag volt. A tekercsnek egy geometriai mére-

tektől függő L állandó értékű induktivitásával számolhattunk. Ferromágneses anyag jelenlét-

ében a tekercs fluxusa nemlineárisan függ a gerjesztőáramtól, tehát nem áll fenn a LI

összefüggés. Ebben az esetben is érvényes az 5.16. összefüggés azzal a módosítással, hogy a

baloldal második tagjába dt

LdI helyett az általánosan érvényes

dt

dN

indukált feszültséget

írjuk. Az egyenletet rendezve és 5.17-hez hasonlóan mindkét oldalt Idt -vel szorozva és 0-tól

1t -ig integrálva:

111

00

2

0

0

ttt

dtdt

dNIRdtIIdtU . (5.23)

A jobboldali második tag ismét a tekercs mágneses terének kialakításához szükséges energiá-

val egyenlő. Ha a tekercset homogén permeabilitású anyag tölti ki, akkor a mágneses térerő:

l

NIH , (5.24)

amelyből I kifejezhető, valamint felhasználva, hogy a tekercs egy menetével kapcsolódó

fluxus BA , akkor írhatjuk, hogy

Mentes Gyula

- 66 -

11

00

tt

m HdBAldtdt

BAd

N

HlNW . (5.25)

Felhasználva, hogy AlV a szolenoid térfogata, valamint azt, hogy a bekapcsolás pillanatá-

ban az indukció nulla, feltéve, ha a ferromágneses anyag még nem volt mágneses térben, to-

vábbá azt hogy 1t idő után az indukció értéke 1B :

1

0

B

m HdBVW . (5.26)

A határozott integrál kiszámítása ferromágneses anyag esetén nem történhet egyszerű integrá-

lással, mert H függvénye ugyan B -nek, de csak grafikusan áll rendelkezésünkre. A mágne-

ses energiát a térfogattal elosztva megkapjuk a mágneses energiasűrűséget:

B

HdBw0

. (5.27)

A fenti integrál arányos az első mágnesezési görbe és az indukciótengely által bezárt területtel

(5.6. ábra). Ha a első mágnesezési görbe mentén mozgunk, tehát az első felmágnesezést vé-

gezzük, akkor a görbe alatti terület a mágnesezéshez szükséges munkával arányos.

A 32 m

J

m

Vs

m

AdBH szorzat az egységnyi térfogatú ferromágneses anyag fel-

mágnesezéséhez szükséges energiát (munkát) adja meg. Ez az energia pozitív, mert H és dB

is pozitívak. Vizsgáljuk meg ezután, hogy egy teljes átmágnesezéshez mennyi energia szük-

séges. Induljunk ki az 5.7. ábrán látható

hiszterézisgörbe 1 pontjából és mágnesezzük fel

az anyagot a maximális indukcióig (3 pont). Az

1-2-3 szakaszon végzett munka pozitív, mivel H

és dB is pozitív. Ezen a szakaszon Vw13 mun-

kát kell végeznünk, tehát ennyivel nő meg az

energia (vízszintesen vonalkázott terület). A 3-4

szakaszon Vw34 energia szabadul fel, mivel itt

H pozitív, dB pedig negatív és ezért a kettő

szorzata, vagyis a végzett munka is negatív (fer-

dén vonalkázott terület). A 4-5-6 szakaszon H és

dB is negatív, tehát a végzett munka pozitív

(függőlegesen vonalkázott terület). A 6-1 szaka-

szon a végzett munka ismét negatív, mivel H

negatív, dB pedig pozitív (ferdén vonalkázott

terület). A pozitív energia munkabefektetést je-

lent, a negatív pedig visszakapott munkát. A teljes átmágnesezés során visszakapott energia a

ferdén vonalkázott területtel arányos, tehát a hiszterézishurok területével (vízszintesen és füg-

gőlegesen vonalkázott területek összege) arányos energia az átmágnesezésnél fellépő ún.

hiszterézisveszteség, amely nem halmozódik fel, mint térenergia, hanem hővé alakul.

B

B

HH

5.6. ábra. Ferromágneses anyag első

felmágnesezéséhez szükséges energia

Elektrotechnika

- 67 -

5.4.3. Vasmagos elrendezésekben fellépő

erőhatások

A vasmagos elrendezésekben fellé-

pő erőhatások meghatározásánál arra a

gyakorlatban legtöbbször előforduló esetre

szorítkozunk, amikor egy légréssel ellátott

zárt mágneses kör esetében a légrésben

fellépő erő meghatározása a cél (pl.: elekt-

romágneses emelő). Az erő meghatározása

során feltételezzük, hogy a vasmagban a

permeabilitás állandó és a gerjesztés nem

változik. Ebben az esetben a mágneses

energia megváltozása teljes egészében

mechanikai munka végzésére fordítódik:

dsFdW s , (5.28)

amelyből az erő:

.s

WFs

(5.29)

Az energia kifejezhető a vasmagos elrendezés induktivitásával, az induktivitás pedig a mág-

neses vezetőképességgel, ill. a mágneses ellenállással (4.54. összefüggés):

m

sRss

NIs

LIF

1

2

1

2

1

2

1 2222

, (5.30)

amelyből

s

R

RF m

m

s

2

2

2

1 . (5.31)

Példaképpen határozzuk meg az 5.8. ábrán látható emelőmágnes esetében az erő értékét. A

soros kör mágneses ellenállása:

ab

lh

ab

sR

r

m 00

22 . (5.32)

Az emelőerő:

2

2

0

0

2

0

2

4

2

22

rr

lhs

ab

ablhs

ab

F

. (5.33)

Ha a vas mágneses ellenállását elhanyagolhatjuk, vagyis

B

H

1

2

3

4

5

6

5.7. ábra. Ferromágneses anyag teljes át-

mágnesezéséhez szükséges energia

Mentes Gyula

- 68 -

r

lhs

, (5.34)

akkor

2

2

0

4s

abF

. (5.35)

5.8. ábra. Elektromágnes

I

a

h

s

a

a

bF

r

r

Elektrotechnika

- 69 -

6. VÁLTAKOZÓÁRAMÚ HÁLÓZATOK

Ha homogén mágneses térben egy vezető keretet egyenletes szögsebességgel megfor-

gatunk, akkor a kapcsain szinuszos feszültség (6.1. ábra) indukálódik (5.3. fejezet):

tUtuu sinˆ , (6.1)

ahol U a feszültség amplitúdója, pedig a forgó keret szögsebessége. Ha egy teljes körül-

fordulás ideje T , akkor

fT

22

. (6.2)

Az időegységre jutó körülfordulások, ill. periódusok számát frekvenciának nevezzük:

T

f1

. (6.3)

A körfrekvencia mértékegysége: s

1 , a frekvencia mértékegysége pedig Hz

sf 1

1

(hertz). A körfrekvenciától való megkülönbözte-

tés miatt a frekvencia mértékegységeként mindig

hertz-et használunk.

Az alábbiakban olyan lineáris, váltakozó-

áramú hálózatokkal foglalkozunk, amelyekben

azonos frekvenciájú szinuszos feszültségű vagy

áramú generátorok vannak. Ezekben a háló-

zatokban - mint később látni fogjuk - valamennyi

áram és feszültség szinuszos. A hálózatszámítá-

sok során előforduló számítási műveletek - szinu-

szos feszültségek összeadása, kivonása, szorzása

és osztása - elvégzése igen nehézkes, ezért a

váltakozóáramú hálózatok számítására egy szimbolikus módszert vezetünk be.

6.1. Váltakozófeszültségű hálózatok szimbolikus (komplex) számításának elve

A matematikából ismert, hogy a szinuszfüggvényt egy rögzített pont körül forgó egy-

ségnyi hosszúságú sugár segítségével definiáltuk. A forgó sugár elfordulási szögének függvé-

nyében ábrázoltuk a forgó sugárnak a függőleges tengelyre eső merőleges vetületét. A szinu-

szos feszültséget vagy áramot olyan forgóvektorral ábrázolhatjuk, amely az óramutató járásá-

val ellentétes irányba forog szögsebességgel és amelynek hossza a feszültség vagy áram

csúcsértékével egyezik meg. A 6.2. ábra két szinuszos forgóvektor vetületét ábrázolja az

t elfordulási szög függvényében. Az 2u feszültség szöggel késik az 1u feszültséghez

képest, ezért az 2U síkvektor szöggel késve követi az szögsebességgel forgó 1U síkvek-

tort. Bizonyítható, hogy a két forgóvektor eredője a két szinuszfüggvény összegét írja le. Ha a

t

u(t)

T

U

6.1. ábra. Szinuszos feszültség

Mentes Gyula

- 70 -

síkvektorokat valamilyen egyszerű módon matematikailag le tudjuk írni, akkor a szinuszos

feszültségű hálózatok számítása is egyszerűen elvégezhető.

6.2. ábra. Szinuszos feszültségek forgó síkvektorokkal írhatók le

Mivel a komplex számsíkon minden komplex számhoz húzhatunk egy helyvektort, a

síkvektorok leírása komplex számokkal történhet (6.3. ábra). A helyvektor képzetes tengelyre

eső vetülete írja le a váltakozó feszültség vagy áram időfüggvényét, amely a komplex szám

trigonometrikus alakjából következik:

sincos jrrjbaz , (6.4)

ahol j 1 , a képzetes egységnek az elektrotechnikában

szokásos jelölése.

Az időfüggvényt a komplex vektornak a valós ten-

gelyre való vetületéből is meghatározhatnánk, mivel a koszi-

nusz függvény egy 90 fokkal eltolt szinusz függvényként is

felfogható. A gyakorlatban azonban a képzetes tengelyre való

merőleges vetületből határozzuk meg. A szinuszos feszültség

(vagy áram) időfüggvénye általános esetben:

tUtu sinˆ . (6.5)

A komplex leírásnál úgy képzeljük, hogy a vektor szög-

sebességgel forog óramutató járásával ellentétes irányba és csak a 0t időpillanatban ábrá-

zoljuk. Több feszültség vagy áramvektor esetében ez azt jelenti, hogy a vektorok egymással

mereven összekapcsolódva együtt forognak és a számítások szempontjából csak a vektorok

egymáshoz képesti helyzete - egymáshoz képesti sietésük vagy késésük - érdekes. A 6.4. áb-

rán az 111 sinˆ tUtu és az 222 sinˆ tUtu időfüggvények komplex vektorai

láthatók a t =0 időpillanatban. A 1 és 2 szögeket kezdő fázisszögeknek nevezzük.

r

a

b

Re

Im

6.3. ábra. Komplex szám

ábrázolása síkvektorral

Elektrotechnika

- 71 -

A komplex feszültség és komplex áram hányadosát

komplex impedanciának (váltakozóáramú ellenállásnak) ne-

vezzük:

I

UZ , (6.6)

melynek reciproka a komplex admittancia (váltakozóáramú

vezetés):

U

I

ZY

1. (6.7)

A szinuszos feszültségeket és áramokat leíró komplex vektorok és a komplex impe-

dancia, valamint a már tanult hálózatszámítási módszerek segítségével a váltakozóáramú há-

lózatok számítása elvégezhető. Az eredményül kapott komplex számokból az időfüggvények

meghatározhatók. A váltakozó áramú hálózatoknak ezt a komplex leírását ill. számítását

szimbolikus módszernek nevezzük. Az elnevezésnek az az oka, hogy a váltakozóáramú háló-

zatok valós áramait komplex számokkal írjuk le. A váltakozó áramot, ill. feszültséget a

komplex számítások során – eltérően a 6.2. ábrán bemutatott időfüggvény leírástól - nem a

csúcsértékkel, hanem az ún. effektív értékkel írjuk le. Ezt az időfüggvény komplex alakba,

ill. a komplex alak időfügvénnyé való átírása során figyelembe kell venni. Az effektív érték

alkalmazását többek között az indokolja, hogy a mérőműszerek effektív értéket mutatnak,

ezért az áramkörök vektorábrái közvetlenül a mérési eredmények alapján, átszámolás nélkül

megrajzolhatók. Az időfüggvényre való visszatérésre csak ritkán van szükség.

6.2. A váltakozóáram effektív értéke

Egy adott csúcsértékű váltakozóáram effektív értéke annak az egyenáramnak az érté-

kével egyezik meg, amely egy adott ellenálláson ugyanannyi villamos munkát végez, mint a

váltakozóáram. A villamos munka:

dtRiW

t

1

0

2 . (6.8)

Számítsuk ki egy periódus idejére egy adott R ellenálláson a váltakozóáram és az egyenáram

munkáját. A kettőt egyenlővé téve az effektív érték meghatározható. Az I egyenáram mun-

kája T periódusidő alatt:

TRIW 2 . (6.9)

Az I csúcsértékű váltakozóáram munkája:

TIRt

tIRdtt

IRtdtIRW

TTT

2

0

2

0

2

0

22 ˆ2

1

2

2sin

2

1ˆ2

2cos1ˆsinˆ

. (6.10)

Re

Im

U2

U1

2

1

6.4. ábra. Különböző fázisú

komplex feszültségek

Mentes Gyula

- 72 -

Az egyen- és váltakozóáram munkáját egyenlővé téve:

TIRTRI 22 ˆ2

1 (6.11)

és az egyszerűsítéseket elvégezve kapjuk:

2

III eff . (6.12)

Hasonló módon meghatározhattuk volna a szinuszos váltakozófeszültség effektív értékét is:

2

UUU eff . (6.13)

Mivel

UU 2ˆ , ill. II 2

, (6.14)

ezért a 2 értéket a szinuszos feszültség vagy áram csúcsértékének nevezzük. Ez az érték

csak szinuszos jelalakra érvényes, más pl. háromszög vagy négyszög alakú áramra vagy fe-

szültségre a csúcsérték különböző. Ezt a mérőműszerek mutatásánál figyelembe kell venni. A

váltakozóáramú elektromos berendezések igénybevételét (pl. szigetelését) a csúcsértékre kell

tervezni.

6.3. Időfüggvény átírása komplex alakba és komplex alak átírása időfüggvénybe

Az időalak átírása komplex alakba és fordítva a 6.5. ábra alapján végezhető el. Az

tUtUtuu sin2sinˆ (6.15)

időfüggvénnyel leírható feszültséget komplex feszültségként közvetlenül exponenciális vagy

trigonometrikus alakban írhatjuk fel, amelyekből az algebrai alak egyszerűen előállítható.

Ahogy azt az előző fejezetben láttuk a komplex feszültséget vagy áramot egy olyan komplex

vektorral adjuk meg, amelynek hossza megegyezik a feszültség vagy áram effektív értékével.

A vektort (komplex számot) a t =0 időpillanatban tartozó helyzetben ábrázoljuk. A 6.15. idő-

függvénynek megfelelő feszültség a fentiek alapján exponenciális alakban az időfüggvényből

közvetlenül felírható:

jUeU . (6.16)

A trigonometrikus alak:

Elektrotechnika

- 73 -

sincos jUU (6.17)

és ebből az algebrai alak már könnyen meghatározható:

sincos jUUjbaU . (6.18)

A komplex feszültség vagy áram visszaírása időfüggvénnyé az exponenciális vagy trigono-

metrikus összefüggésből közvetlenül elvégezhető. A komplex alak azonban a számítások el-

végzése után általában algebrai alakban áll rendelkezésre. Ebből kell meghatározni az effektív

értéket, amely a komplex szám abszolút értéke:

22 baU , (6.19)

valamint a fázisszöget meghatározni, amely a komplex szám képzetes (imaginárius) és valós

(reális) részének a hányadosából határozható meg:

a

b

U

U

Re

Imtg . (6.20)

6.5. ábra. Időfüggvény és komplex alak egymásnak való megfeleltetése

6.4. Ellenállás, tekercs és kondenzátor viselkedése váltakozóáramú hálózatokban

Kapcsoljunk egy R ohmos ellenállásra a 6.6. ábrának megfelelően tUu sinˆ válta-

kozó feszültséget, ekkor Kirchhoff huroktörvénye értelmében iRu , amelyből az ellenállá-

son átfolyó áram időfüggvénye:

tItR

U

R

tU

R

ui

sinˆsin

ˆsinˆ . (6.21)

Láthatjuk, hogy az ellenálláson szinuszos feszültség hatására szinuszos áram folyik. Az áram

és a feszültség azonos fázisúak. Az áram és a feszültség csúcsértéke között Ohm törvényének

U=Ucos+jUsin

Re

Im

UUsin

Ucos

U(t)

u=u(t)=2Usin(t+)

Û=2U

t

Mentes Gyula

- 74 -

megfelelően az ellenállás teremt kapcsolatot. Az ellenállásra Kirchhoff törvényét az tjUeU komplex feszültséggel felírva a komplex áramot kapjuk:

tjtjtj

IeeR

U

R

Ue

R

UI

. (6.22)

A fenti összefüggés szerint az áram és a feszültség effektív értéke között is az ellenállás te-

remt kapcsolatot Ohm törvényének megfelelően. A 6.6. ábra mutatja az ellenálláson az áram

és feszültség időfüggvényét, valamint a komplex áram és feszültség vektorokat. (Az elektro-

technikában a komplex koordinátarendszert nem szokás felrajzolni.)

6.6. ábra. Ellenállás viselkedése váltakozóáram esetében

Kapcsoljunk tUu sinˆ feszültséget egy L önindukciós együtthatójú tekercsre! Ek-

kor Kirchhoff második törvénye szerint a körben a feszültség 0dt

diLu , azaz

dt

diLu .

Ebből

dtL

ui . (6.23)

Ebbe a feszültség időfüggvényét behelyettesítve az áram az alábbi módon kapható meg:

)2

sin(ˆ

cosˆ

sinˆ

tL

Ut

L

Ut

L

Ui . (6.24)

Mivel

2sincos

tt , azt mondhatjuk, hogy az ideális tekercsen az áram 90-kal

késik a feszültséghez képest.

A feszültséget komplex módszerrel felírva, tjUeU és (6.23)-ba behelyettesítve a

tekercs árama:

Lj

Ue

Lj

Udte

L

Udt

L

Ui tjtj

. (6.25)

u=u(t)

i=i(t)

t

u i

u(t)

i(t)

U

IR

Elektrotechnika

- 75 -

A fenti összefüggésből láthatjuk, hogy a tekercs váltakozóáramú ellenállása vagy más néven

reaktanciája (látszólagos ellenállása):

LjX L , (6.26)

Könnyen belátható, hogy az induktív impedancia (reaktancia) is ellenállás dimenziójú:

ss

LX L

1 . (6.27)

A 6.25. összefüggésben a j -vel való osztás, vagy ami azzal egyenértékű, a j -vel való szor-

zás, 90-kal való elforgatást jelent óramutató járásával egyező irányban. Ez azt jelenti, hogy a

komplex feszültségvektor 90-kal siet a komplex áramvektorhoz képest. A tekercsen folyó

áram és a rajta eső feszültség időfüggvényét, valamint a komplex vektorábrát a 6.7. ábra mu-

tatja.

6.7. ábra. Tekercs viselkedése váltakozóáramú hálózatban

Kapcsoljunk egy C kapacitású kondenzátorra tUuC sinˆ szinuszos feszültséget.

Ekkor Kirchhoff második törvénye szerint 0C

Qu . idtQ -t felhasználva írhatjuk, hogy

Cuidt . Ebből:

)2

sin(ˆ)2

sin(ˆcosˆsinˆ

tItCUtCU

dt

tUdC

dt

duCi , (6.28)

ahol

C

UI

1

ˆˆ . (6.29)

A 6.28. összefüggésből látható, hogy a kapacitás árama 90-kal siet a feszültségéhez képest.

Az áramot a komplex feszültségből számítva:

i(t)

L

i(t)

u(t)

u i

u(t)

I

U

Mentes Gyula

- 76 -

tjtjtj

e

Cj

UCUej

dt

dUeC

dt

UdCI

1

, (6.30)

Az

CjX C

1 (6.31)

a kondenzátor váltakozóáramú ellenállása vagy reaktanciája. A kapacitív reaktancia dimen-

ziója is Ohm:

s

s

CX C 1

11

, (6.32)

mivel

s

V

AsFC 111 .

A 6.30. összefüggésből felírható

Ctj

C UCjCUejI , (6.33)

amelyből látható hogy a kapacitás komplex áramvektora 90-kal előresiet a komplex feszült-

ségvektorhoz képest. A kapacitáson levő feszültség és a rajta átfolyó áram időfüggvényét,

valamint a komplex vektorábrát a 6.8. ábra mutatja.

6.8. ábra. Kondenzátor viselkedése váltakozóáramú hálózatban

6.5. Egyszerű váltakozóáramú áramkörök

Néhány egyszerű áramkör esetében bemutatjuk a komplex módszer alkalmazását. A

megoldás során feltételezzük, hogy a bekapcsolástól már olyan hosszú idő eltelt, hogy a be-

kapcsolási (tranziens) jelenségek lejátszódtak, azaz az áramkör áramai és feszültségei ún. ál-

landósult állapotban vannak. A komplex módszer csak állandósult, stacionárius állapotban írja

le helyesen az áramkörök működését. Ha tranziens jelenségeket is vizsgálni szeretnénk, akkor

az áramkör differenciál egyenletét kell felírni és megoldani.

i(t)

u(t)u i

i(t)

u(t)

I

UC

Elektrotechnika

- 77 -

6.5.1. Egyszerű soros váltakozóáramú áramkörök

A 6.9a. ábra egy soros R-L kört mutat, amelyben a generátor feszültsége megegyezik

az ellenálláson és az induktivitáson eső feszültségek vektori összegével: LR UUU . A

6.9b. ábra a komplex feszültségek összegzését mutatja be. Az ellenálláson eső feszültség fá-

zisban van az I árammal, ezért a komplex RU feszültség vektorát az áramvektorral azonos

irányba rajzoljuk be. A tekercs LU feszültsége 90°-kal siet az áramhoz képest, ezért a tekercs

feszültségvektorát az áramvektorhoz képest óramutató járásával ellentétes irányban 90°-kal

elforgatva rajzoljuk fel. Az eredő U feszültség és az I áram között fázisszög van, amelyet

mindig az áramtól a feszültség irányába mérünk (ezt jelzi a körívre rajzolt nyílhegy) és akkor

tekintjük pozitívnak, ha a mérési irány az óramutató járásával ellentétes.

R

U

UR

UL

Z

UUL

UR

I

LR

I

jL

a. b. c.

6.9. ábra. Soros LR kör és vektorábrái

Itt jegyezzük meg, hogy az áramkörök vektorábrájának felrajzolását mindig azzal a

mennyiséggel kezdjük, amely az adott áramkörben minden elemen azonos (jelenleg az áram).

Ennek vektorát tetszőleges irányban felrajzolhatjuk (Célszerű jobbramutató irányban, vízszin-

tesen. Ezt az irányt tekinthetjük a valós tengely irányának is.) és ehhez viszonyítva rajzoljuk

be az áramkör többi mennyiségét.

Az áramkör impedancia vektorábrája (6.9c. ábra) hasonló a feszültség vektorábrához,

mivel az impedanciát a feszültségből a konstans árammal való osztással kapjuk. Az eredő

Z R j L impedancia szintén szöget zár be az R ellenállás irányával (a valós tengely-

lyel). A fázisszöget az alábbi módon számíthatjuk ki:

R

Larctg

U

Xarctg

R

L . (6.34)

A soros LR kör eredő árama:

LjR

U

Z

UI

, (6.35)

amelynek segítségével az egyes feszültségek meghatározhatók:

RIU R és LjIXIU LL . (6.36)

Mentes Gyula

- 78 -

A soros CR kör kapcsolását és vektorábráit mutatja a 6.10. ábra. A soros LR

körhöz képest az eltérés csak annyi, hogy a kondenzátoron a feszültség 90°-ot késik az áram-

hoz képest, ezért az CU feszültségvektort az I áramvektorhoz képest 90°-kal óramutató já-

rásával megegyező irányba elforgatva rajzoljuk be (6.10b. ábra).

R

C

I

U

UR

UC

R

Z

-j1

I

UC

UR

U

C

a. b. c.

6.10. ábra. Soros CR kör és vektorábrái

Soros CLR kör esetében az ellenálláson eső RU feszültség fázisban van az I

árammal, a tekercs LU feszültsége 90°-kal siet, a kondenzátor CU feszültsége pedig 90°-kal

késik az áramhoz képest (6.11b. ábra). A három feszültség vektori összege egyenlő a generá-

tor feszültségével: CLR UUUU . A 6.11c. ábrán látható impedancia vektorábra hasonló

a feszültség vektorábrához. Az eredő impedancia az egyes impedanciák összege:

CLjR

CjLjRXXRZ CL

11. (6.37)

a. b. c.

6. 11. ábra. Soros CLR kör, a valóságos soros rezgőkör és vektorábrái

Ha C

L

1

, akkor a Z impedancia valóssá válik és értéke R . Ebben az esetben a soros

CLR kör rezonanciában van, ezért szokás soros rezgőkörnek nevezni. A rezonancia az

LC

10 körfrekvencián következik be (Thomson képlet). A soros CLR körnek ezt a

tulajdonságát adott frekvenciájú jel kiválasztására lehet felhasználni. Ha az R ellenállás érté-

U

C

L

I

R UR

UL

UC

R

jL Z

1

C- j

1

C- j

UR

UL

UCI

UC

U

Elektrotechnika

- 79 -

ke nulla, azaz a rezgőkör csak tekercset és kondenzátort tartalmaz, akkor a kör eredő ellenál-

lása rezonanciafrekvencián nulla. Ezt nevezzük ideális soros rezgőkörnek, mivel a valóságban

a rezgőkörben mindig van ohmos ellenállás is. Gondoljunk csak arra, hogy a tekercs vezető-

ből készül, amelynek mindig van ohmos ellenállása, de ugyanez mondható el az összekötő

vezetékekről is.

6.5.2. Egyszerű párhuzamos váltakozóáramú áramkörök

Párhuzamos LR kör látható a 6.12. ábrán. Mind az ellenálláson, mind pedig a te-

kercsen U feszültség van. Az ellenálláson átfolyó RI áram fázisban van az U feszültséggel,

a tekercs LI árama pedig 90°-kal késik hozzá képest (6.12b. ábra). Az eredő áram:

Lj

U

R

UIII LR

. (6.38)

a. b. c.

6.12. ábra. Párhuzamos LR kör és vektorábrái

a. b. c.

6.13. ábra. Párhuzamos CR kör és vektorábrái

A párhuzamos LR kör eredő admittanciája:

LjRZ

Y

111 . (6.39)

Az admittancia vektorábra az áram vektorábrához hasonló, mivel UI

ZY

11 .

U L

I

R

IR IL

IR

I

IL

U

YL

-j1

=G1

R

U

I

R

IR IC

C jCY

G1

R=IR

IIC

U

Mentes Gyula

- 80 -

Párhuzamos CR kör (6.13. ábra.) esetében az ellenálláson átfolyó RI áram fázisban

van az U feszültséggel, míg a kondenzátor CI árama 90°-kal siet hozzá képest. Az eredő

áram:

Cj

U

R

UIII CR

1 . (6.40)

a. b. c.

6.14. ábra. Párhuzamos CLR kör, párhuzamos rezgőkör és vektorábrái

Párhuzamos CLR kör esetében az ellenállás RI árama fázisban van az U fe-

szültséggel, míg a tekercs LI árama 90°-kal késik és a kondenzátor CI árama pedig 90°-kal

siet hozzá képest (6.14 ábra). A párhuzamos CLR kör eredő admittanciája:

L

CjR

Cj

LjRZY

11

1

1111. (6.41)

A képletből látható, hogy az admittancia értéke egy adott LC

10 estében tisztán va-

lós értékű. Ezt a körfrekvenciát rezonancia-körfrekvenciának nevezzük. A párhuzamos

CLR kört párhuzamos rezgőkörnek nevezzük. Ha R , vagyis az áramkörben csak

kapacitás és induktivitás van, akkor a párhuzamos rezgőkör admittanciája nulla, impedanciája

pedig végtelen nagy. A valóságos rezgőkörben mindig van ellenállás, ezért a rezgőkör ellenál-

lása rezonanciafrekvencián igen nagy érték, de nem végtelen.

6.6. A váltakozóáram teljesítménye

Legyen egy tetszőleges fogyasztón a váltakozófeszültség időfüggvénye

tUtu sinˆ és a rajta átfolyó áram időfüggvénye tIti sinˆ . A váltakozóáram

pillanatnyi teljesítményét a feszültség és az áram pillanatnyi értékeinek szorzata adja:

U CR LY

R

1

L

1- j

jC

IR

I

IC

ICIR

IIL

IL

U

Elektrotechnika

- 81 -

tItUtitutp sinˆsinˆ . (6.42)

Felhasználva a sincoscossinsin összefüggést:

sincoscossinsinˆˆ tttIUtp (6.43)

sincossinˆˆcossinˆˆ 2 ttIUtIUtp . (6.44)

Alkalmazva a

2

2cos1sin 2

és a 2sin2

1cossin (6.45)

összefüggéseket, a teljesítményt az alábbi alakban írhatjuk fel:

sin2sin2

ˆˆcos2cos1

2

ˆˆt

IUt

IUtp . (6.46)

Az effektív értékeket bevezetve:

UIIUIU

2

ˆ

2

ˆ

2

ˆˆ (6. 47)

a váltakozóáram pillanatnyi teljesítménye az alábbi módon írható fel:

tUItUItp 2sinsin2cos1cos . (6.48)

A fenti függvény három tagját a 6.15. ábra mutatja. A (6.48.) összefüggés első tagjának átlag-

értéke a periódusidő egészszámú többszörösére: cosUI , mivel az ábrán a sraffozott terüle-

tek előjeles összege nulla. A váltakozó áram hatásos teljesítménye:

cosUIPh , (6.49)

vagyis a váltakozó feszültség és áram effektív értékeinek szorzata szorozva a közbezárt szög

koszinuszával. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a hatásos teljesítmény egyenlő a váltako-

zófeszültség és a váltakozóáram feszültség irányába eső komponensének ( cosI ) a szorzatá-

val (6.16. ábra). Ez utóbbit hatásos áramnak is nevezzük:

cosII h . (6.50)

A 6.48. összefüggés második tagjának a periódus egésszámú töbszörösére vett integrálja nul-

la, mivel a függvény az időtengelyre szimmetrikus. A teljesítménynek ez a komponense hasz-

nos munkát nem végez. Ennek a görbének az amplitúdóját nevezzük meddő teljesítménynek:

sinUIPm . (6.51)

Mentes Gyula

- 82 -

A meddő teljesítményt úgy is felfoghatjuk, mint a feszültségnek és az áram feszültségre merő-

leges komponensének a szorzata. Ez utóbbit az áram meddő komponensének is nevezzük

(6.16. ábra).

6.15. ábra. A váltakozóáramú teljesítmény

A váltakozófeszültséget mérő műszerek effektív értéket

mutatnak, ezért a feszültség és áram effektív értékének szorzatát

látszólagos teljesítménynek nevezzük:

UIPl . (6.52)

A látszólagos, a meddő és a hatásos teljesítmények között az

alábbi összefüggés áll fenn:

222

mhl PPP , (6.53)

amelyet a

1cossin 22 (6.54)

összefüggés segítségével könnyen igazolhatunk:

2222222222222 sincossincos IUIUIUIUPl (6.55)

A háromféle teljesítményt a villamos berendezéseken a teljesítmény mértékegységének kü-

lönböző írásával különböztetik meg. A hatásos teljesítményt W , a látszólagos teljesítményt

VA és a meddő teljesítményt VAr (ejtsd: volt-amper reaktív) jelöli.

A váltakozóáramú hálózatok számítása során az áramok és feszültségek komplex szá-

mok. A teljesítmény ezek segítségével is meghatározható. A fogyasztón átfolyó komplex

áram és a rajta eső komplex feszültség segítségével számított ún. komplex teljesítményt meg-

kapjuk, ha a komplex feszültséget szorozzuk a komplex áram konjugáltjával:

IUS . (6.56)

A komplex teljesítmény valós része a hatásos teljesítményt, képzetes része pedig a meddő

teljesítményt adja:

U

I

φ

Ih=Icosφ

Im=Isinφ

6.16. ábra. A hatásos és

meddő áram definiciója

Elektrotechnika

- 83 -

SPh Re és SPm Im . (6.57)

Induktív fogyasztón a komplex teljesítmény képzetes része pozitív (az áram késik a feszült-

séghez képest), mert az induktív fogyasztó meddő teljesítményt vesz fel. Kapacitív fogyasztón

a komplex teljesítmény képzetes része negatív (az áram siet a feszültséghez képest), mert a

kapacitív fogyasztó meddő teljesítményt ad le. A 6.49. és 6.51. képletekkel számított teljesít-

ményeket akkor kapjuk előjelhelyesen, ha a fázisszöget az I áramtól az U feszültség felé

mérjük, vagyis a fázisszöget akkor tekintjük pozitívnak, ha az áram késik a feszültséghez ké-

pest. Ekkor az áramtól a feszültség irányába (óramutató járásával ellentétesen) mért fázisszög

pozitív.

Mentes Gyula

- 84 -

7. VILLAMOS MENNYISÉGEK MÉRÉSE

Ebben a fejezetben csak az elektromechanikus műszerekkel foglalkozunk. A korszerű

elektronikus elven működő analóg és digitális műszerek elvével az „Elektronika„ című tan-

tárgy keretében ismerkedünk meg.

7.1. Áram és feszültség mérése

7.1.1. Deprez-műszerek

Áram- és feszültségmérésre leggyakrabban használt elektromechanikus műszer a

Deprez-műszer, amelynek felépítését a 7.1. ábra mutatja. A műszer működése azon alapul,

hogy egy árammal átjárt vezetőkeretre mágneses térben nyomaték hat. Deprez-műszerekben a

mágneses teret állandómágnes segítségével

állítják elő.

A mágneses erővonalak a mágneshez

csatlakozó lágyvassaruk és a köztük lévő

lágyvashengeren keresztül záródnak. A saruk

és a lágyvashenger közti légrésben forog az

áramtól átjárt finoman csapágyazott könnyű

keret, amelynek tengelye a legkisebb áram

hatására is beállna a mágneses tér irányába.

Hogy az árammal arányos kitérést kapjunk,

egy spirálrugó egyik vége a keret tengelyé-

hez, másik része pedig a műszer állórészéhez

csatlakozik. A keret ill. a hozzá erősített mu-

tató addig tér ki, míg a keret árama által lét-

rehozott kitérítő nyomaték és a spirálrugó

visszatérítő nyomatéka egymással egyenlő

nem lesz VK MM .

Az áram által létrehozott kitérítő-

nyomaték arányos a keret által kifeszített

felülettel, a légrésben lévő indukcióval. Mi-

vel mindkettő állandó nagyságú, ezért írhatjuk, hogy kIM K . A rugó visszatérítő nyomaté-

ka arányos a kitéréssel és a rugóállandóval, vagyis rV CM . A két nyomaték egyenlőségé-

ből következik, hogy a Deprez-műszer kitérése arányos az árammal:

IkIC

k

r

' . (7.1)

Feszültség mérése esetén a tekercsbe a feszültséggel arányos áramot vezetünk be. A

Deprez-műszer kitérítéséhez szükséges áram és feszültség közötti kapcsolatot a műszer bR

belső ellenállása fejezi ki. Azt az áramot ill. feszültséget, melynek hatására a műszer végkité-

résbe tér ki mU -mel ill. mI -mel jelöljük. E kettő között is a műszer bR belső ellenállása te-

remt kapcsolatot:

Állandómágnes

Lágyvassaruk

Lágyvashenger

I

Spirálrugó

Tekercs

Skála

7.1. ábra. Deprez-műszer elve

Elektrotechnika

- 85 -

m

m

bI

UR . (7.2)

A Deprez-műszereket e három mennyiség közül kettő egyértelműen jellemzi. Deprez-

műszerekkel váltakozó áram közvetlenül nem mérhető, mivel az áram iránya periódikusan

változik, és a változó irányú nyomaték hatására a mutató ide-oda leng. Nagyobb frekvencia

esetén a lengőrész a gyors irányváltozásokat nem képes követni, ezért a műszer nem tér ki.

Deprez-műszerekkel váltakozó áram vagy feszültség csak úgy mérhető, ha előbb azt

egyenirányítják.

7.1.2. Lágyvasas műszerek

A lágyvasas műszerek egyaránt alkalmasak egyen ill. váltakozó feszültség mérésére. E

műszereknél a forgástengelyre C excentrikusan ékelt aszimmetrikus lágyvaslemezke B

helyezkedik el az álló tekercsben A , amely

a benne folyó áram erősségétől függően a

lemezkét magába húzza, vagyis az aszim-

metrikus lemezkét a tekercs mágneses tere

elforgatja. A visszatérítő nyomatékot itt is

spirálrugó D szolgáltatja (7.2. ábra). A

lengőrész lengéseinek csillapítására az E

csillapító szolgál. Lágyvasas műszerek ese-

tében az állótekercs az áram irányától füg-

getlenül vonzza a lágyvaslemezkét. Ezért

használhatók ezek a műszerek egyen és vál-

takozó áramok mérésére.

7.1.3. Áram- és feszültségmérők méréshatárának kiterjesztése

A Deprez ill. lágyvasas műszerekkel közvetlenül mérhető áramok és feszültségek

nagyságrendje mAA 100. . . 10 ill. VV 1 . . . 10 . Ha ennél nagyobb áramokat ill. feszültsé-

geket szeretnénk mérni, akkor a műszer méréshatárát meg kell növelni. Legyen az alapműszer

végkitéréséhez szükséges feszültség mU , ekkor a műszeren b

m

mR

UI áram folyik át. Ha azt

szeretnénk, hogy a műszer mUnU hatására térjen ki végkitérésbe, akkor egy eR

előtétellenállást kapcsolunk sorba a műszerrel (7.3a. ábra), amelynek értéke:

b

m

m

m

mm

m

m

e RnI

Un

I

UUn

I

UUR 11

. (7.3)

7.2. ábra. Lágyvasas műszer felépítése

Mentes Gyula

- 86 -

Árammérő méréshatárát a 7.3b. ábra kapcsolása szerint egy párhuzamosan kapcsolt, sR

söntellenállás segítségével növelhetjük meg. Ha azt akarjuk, hogy a műszer mInI áram

hatására kerüljön végkitérésbe, akkor a söntellenállás értéke:

11

n

R

n

I

U

IIn

U

II

UR bm

m

mm

m

m

ms . (7.4)

a. b.

7.3. ábra. Feszültség- (a) és árammérő (b) méréshatárának kiterjesztése

7.2. Villamos teljesítmény mérése

Ha a Deprez-műszerben az állandó-

mágnes helyett a mágneses teret aI egyenára-

mú gerjesztéssel állítjuk elő, akkor elektrodi-

namikus műszerről beszélünk (7.4. ábra). Ha ez

az áram állandó, akkor a műszer áram- és fe-

szültségmérésre használható.

Az elektrodinamikus műszer a fogyasztó

teljesítményének mérésére alkalmas, ha a mág-

neses teret a fogyasztón átfolyó árammal ger-

jesztjük, a műszer forgórészébe pedig a fo-

gyasztón eső feszültséggel arányos áramot ve-

zetünk. A műszer váltakozóáramú teljesítmény

mérésére is alkalmas, mivel a fogyasztó áramá-

nak és feszültségének iránya mindig azonos.

Matematikailag bizonyítható, hogy a műszer

kitérése:

cos'coscos IUkcUkIIkI fa ,

vagyis a műszer hatásos teljesítményt mér.

A fogyasztó teljesítményének mérése és

a wattmérő jelképi jelölése a 7.5. ábrán látható.

A műszer kitérése akkor pozitív, ha a fogyasztón átfolyó áram a wattmérő áramtekercsének

KI -val jelölt, ill. a fogyasztó feszültségével arányos áram a feszültség (forgórész) tekercs

U-Um

V

U

Um

Re

Rb

Im

I

AIm

Rb

Um

Rs

I-Im

Lágyvassaruk

Lágyvashenger

Spirálrugó

Tekercs

Skála

Ia

If=cU

7.4. ábra. Elektrodinamikus műszer

(wattmérő) elve

Elektrotechnika

- 87 -

KU -val jelölt kezdetén folyik be. Ezért a feszültség és áramtekercs kezdetét mindig össze kell

kötni. Az áramtekercs közel nulla ellenállása miatt a feszültségtekercsre jutó feszültség közel

megegyezik a fogyasztó feszültségével.

IK

feszültség

tekercs U Rf

UK

Ia=I

áramtekercs

7.5. ábra. Fogyasztó teljesítményének mérése

elektrodinamikus wattmérővel

Mentes Gyula

- 88 -

8. HÁROMFÁZISÚ FESZÜLTSÉGRENDSZER

Háromfázisú feszültséget a 8.1. ábra szerinti elrendezésben, három egymással 120°-t

bezáró tekercsben egy állandómágnes körbeforgatásával állíthatunk elő, ha az állandómágnes

által létrehozott mágneses tér kerületi eloszlása szinuszos. Ekkor az egyes tekercsekben indu-

kálódó feszültségek időfüggvényei az alábbi módon adhatók meg:

,240sin2240sinˆ

,120sin2120sinˆ

,sin2sinˆ

tUtUu

tUtUu

tUtUu

T

S

R

(8.1)

tehát az Ru feszültséghez képest az 120 uS -kal, az Tu pedig 240 -kal késik a mágnes for-

gási irányának megfelelően.

A háromfázisú feszültséget előállító generátorokban a tekercsek egyik végét egy pont-

ban az ún. csillagpontban összekötik (csillagkapcsolás) és csak a tekercsek másik végét, az

ún. fázisvezetőket, valamint a csillagpontot vezetik ki. Ez utóbbit nullavezetőnek nevezzük,

mivel a földdel is összekötik. A továbbiakban a háromfázisú hálózatokban a generátor teker-

cseit nem rajzoljuk be. Az egyes fázisvezetők és a nullavezető között kapjuk az Ru , Su , Tu

fázisfeszültségeket (8.2. ábra).

É

D

UT US

UR

8.1. ábra. Háromfázisú szinuszos feszültségrendszer előállítása

Elektrotechnika

- 89 -

A háromfázisú feszültségrendszert a komplex írásmóddal akkor írhatjuk le egyszerűen,

ha valamelyik feszültség a pozitív valós tengely irányába mutat. Legyen ez a feszültség RU ,

ekkor az egyes fázisfeszültségek komplex értékei rendre:

240

120

j

T

j

S

R

UeU

UeU

UU

(8.2)

Ha a pozitív valós tengely függőlegesen felfelé mutat, akkor a három feszültségvektort

a 8.3. ábrán látható módon lehet ábrázolni. Természetesen a három fázisfeszültség közül bár-

melyiket választhatjuk valósnak, csupán arra kell ügyelnünk, hogy az óramutató járásával

megegyező irányban a vektorok RTS( TSR vagy )SRT sorrendben követ-

kezzenek egymás után.

UTR

US

UR

S T

R R

S

T

N UT

URS

UST

8.2. ábra. A háromfázisú szinuszos feszültségrendszer értelmezése

US=Ue-j120

UR=U

Valós t.

Képzetes t. 120

240 UT=Ue-j240

8.3. ábra. A háromfázisú feszültségrendszer komplex ábrázolása

Mentes Gyula

- 90 -

A 8.2. ábrán a fázisvezetők között mérhetjük az RSU , STU , TRU vonali feszültségeket,

amelyek két fázisvezető közötti feszültségek különbségeként definiálhatók a 8.4. ábrán meg-

adott módon. A 8.4a. ábrából jól látható, hogy a vonali feszültségek vektorai is 120°-ot zárnak

be egymással. A fázisfeszültségek effektív értéke TSRf UUUU és a vonali feszült-

ségek effektív értéke TRSTRSv UUUU közötti összefüggést a 8.4b. ábra alapján ve-

zethetjük le. A vonali feszültségek egyenlő oldalú háromszöget alkotnak. Az oldalak vU

hossza a fázisfeszültség vektorok fU hosszával az alábbi módon fejezhető ki:

2

3U30cosU

2

Uff

v , (8.3)

amelyből

fv U3U . (8.4)

8.1. Háromfázisú hálózat terhelése csillagkapcsolású fogyasztóval (Y kapcsolás)

8.1.1. Csillagkapcsolás nullavezetővel (kivezetett csillagponttal) tetszőleges terhelés esetén

Kapcsoljunk a négyvezetékes háromfázisú rendszerre három különböző értékű impe-

danciát TSR ZZZ az egyes fázisok és a nullavezető közé a 8.5. ábrán látható módon

(aszimmetrikus terhelés). Ezt nevezzük csillagkapcsolásnak. A 8.5a. és 8.5b. ábra a csillag-

kapcsolás különböző ábrázolási módjait mutatja. Az egyes fogyasztókra a fázisfeszültség jut,

a fogyasztók áramai rendre:

T

TT

S

S

S

R

RR

Z

UI

Z

UI

Z

UI , , . (8.5)

UST

UR

US UT

URS

US

120

-UT

0 0

UTR=UR-UT

30

2

UTR

UR

-US

UT

-UR

U

Uf URS=US-UR

UST=UT-US

a. b.

8.4. ábra. A fázis és vonali feszültségek közötti kapcsolat

Elektrotechnika

- 91 -

A 8.5. ábrára nézve láthatjuk, hogy a fogyasztókon keresztülfolyó áram, a fázisáram

megegyezik a vonalon folyó ún. vonali árammal. Az N -nel jelzett ún. nullavezetőn folyó

áramot megkapjuk, ha az 0 csomópontra felírjuk a csomóponti egyenletet (8.5a. ábra):

.0 TSR IIII (8.6)

A fogyasztók feszültségeit és áramait, valamint a nullavezetőn folyó áramot a 8.6. ábra mutat-

ja.

R

S

T

UT

IR

ZR

N

URS UTR

UST

0

R

T ZT II. IT US S

ZS

IS

III. UR

I.

R

S

T

UT

IR

ZR

N

UST URS

URT

R T ZT

IT

US

S ZS

IS

UR

a. b.

8.5. ábra. Háromfázisú hálózat csillagkapcsolású fogyasztóval

R

S

T

UT

IR

Z

UST URS

UST

R T Z

IT

US

S Z

IS

UR

UT US

0

IS

IR

IT

UR

IS

IT

N

I0

I0

a. b.

8.6. ábra. Aszimmetrikus csillagkapcsolású terhelés esetén a fogyasztók és a nullavezető

áramai

Mentes Gyula

- 92 -

8.1.2. Csillagkapcsolás nullavezető nélkül, szimmetrikus terhelés esetén

Szimmetrikus terhelés esetén ZZZZ TSR (8.7a. ábra). Szimmetriaokok miatt a

fogyasztóra jutó fázisfeszültségek egyenlők egymással. A fogyasztók áramainak abszolút ér-

tékei is egyenlők:

.Z

UIIIII

f

vfTSR (8.7)

A fogyasztók feszültségeit és áramait a 8.7b. ábra mutatja. Mivel az impedanciák azonosak,

az egyes fázisáramok ugyanakkora szöggel sietnek vagy késnek a fázisfeszültségekhez

képest. (A 8.7b.ábra induktív jellegű terhelés esetén mutatja a vektorábrát.) Az egyes áram-

vektorok hossza megegyezik, a vektorok egymással szintén 120°-os szöget zárnak be, ezért

eredőjük nulla, vagyis a nullavezetőn nem folyik áram:

0 TSR III . (8.8)

A nullavezető tehát szimmetrikus terhelés esetén el is hagyható.

R

S

T

UT

IR

Z

USTURS

UTR

R T Z

IT

US

S Z

IS

UR

UTUS

0

IT

IR

IS

UR

IS

IT

a. b.

8.7. ábra. Szimmetrikus csillagkapcsolású terhelés

8.1.3. Csillagkapcsolás nullavezető nélkül aszimmetrikus terhelés esetén

Aszimmetrikus terhelés esetén az egyes fázisáramok összege nem nulla (8.6. ábra),

ezért a nullavezetőn a fázisáramok összege folyna. Mivel nincs nullavezető, ezért az egyes

fázisok feszültsége változik meg úgy, hogy a fázisáramok eredője nulla legyen. A vonali fe-

szültségből alkotott háromszög megmarad szabályos háromszögnek, mert a hálózat feszültsé-

ge rögzített, de az impedenciák különbözősége miatt a 0 csillagpont most nem esik egybe a

szabályos háromszög K középpontjával (8.8. ábra).

Elektrotechnika

- 93 -

UT

0

UTR

UST

URS

R

T S

U’R

UR

US

U’T

K

U0U

’S

8.8. ábra. Csillagponteltolódás

Tételezzük fel, hogy a csillagpont 0U feszültséggel tolódott el. Ha a megváltozott fá-

zisfeszültségeket vesszővel jelöljük, akkor a 8.8. ábra alapján írhatjuk:

.

,

,

0

,

0

,

0

,

UUU

UUU

UUU

TT

SS

RR

(8.9)

Ha az egyes fázisimpedanciák: SR Z ,Z és TZ , akkor a fázisáramok:

.

,

,

0

,

0

,

0

,

T

T

T

TT

S

S

S

S

S

R

R

R

RR

Z

UU

Z

UI

Z

UU

Z

UI

Z

UU

Z

UI

(8.10)

Ez a három egyenlet négy ismeretlent tartalmaz. A negyedik egyenletet a csillagpontra

felírt csomóponti törvény adja. Minthogy nincs nullavezeték:

0 TSR III . (8.11)

Ide behelyettesítve SR II , és TI értékét:

0000

T

T

S

S

R

R

Z

UU

Z

UU

Z

UU. (8.12)

Ha az impedanciákkal tagonként osztunk, akkor a rendezés után:

Mentes Gyula

- 94 -

TSRT

T

S

S

R

R

ZZZU

Z

U

Z

U

Z

U 1110 . (8.13)

Innen a csillagponteltolódás értéke:

TSR

T

T

S

S

R

R

ZZZ

Z

U

Z

U

Z

U

U1110

(8.14)

8.2. Háromfázisú hálózat háromszögkapcsolású terheléssel ( kapcsolás)

A fogyasztókat (impedenciákat) a 8.9. ábra szerint is kapcsolhatjuk. Az ábrán látható

két kapcsolás megegyezik egymással. Az ábrából látható, hogy ebben az esetben a fogyasztó

fázisára jutó feszültség megegyezik a vonali feszültséggel, tehát

vf UU . (8.15)

Aszimmetrikus terhelés esetén TSR ZZZ a fogyasztó fázisáramai rendre:

TR

TRTR

ST

ST

ST

RS

RS

RSZ

UI

Z

UI

Z

UI , , . (8.16)

A hálózatot terhelő vonali áramokat megkapjuk, ha a 8.9. ábra T ,S ,R pontjaira felír-

juk a csomóponti egyenleteket:

STTRT

RSSTS

TRRSR

III

III

III

(8.17)

R

S

T

IR

ZRS

URS UTR

UST

R

T

ZTR

IRS

S

ZST

IS

ITR

R

S

T

IST

ZRS

UST URS

UTR

R T

ZTR

ITR IRS

S

ZST

IST

IT

8.9. ábra. Háromfázisú hálózat deltakapcsolású terheléssel

Elektrotechnika

- 95 -

Szimmetrikus a terhelés, ha ZZZZ TSR . Ekkor a fogyasztó fázisáramainak ab-

szolút (effektív) értékei is megegyeznek:

Z

U

Z

UIIII vf

fTRSTRS . (8.18)

A fázisáramok az impedanciák jellegétől függően szöggel késnek vagy sietnek a saját fá-

zisfeszültségükhöz képest (8.10. ábra), és irányuk egymással 120-ot zár be. A vonali áramok,

amelyek a 8.17. összefüggésekkel számíthatók, szintén azonos abszolút értékűek és a közöt-

tük lévő szög 120. A 8.10. ábrába a vonali áramokat is berajzoltuk. Az ábrára pillantva be-

láthatjuk, hogy:

ffv I 330cosI2I . (8.19)

UST =UV

URS =UV

IS =IV

UTR =UV

IR =IV

IT =IV

ITR =If

IST =If

IRS =If

30

8.10. ábra. Háromfázisú hálózat feszültségei és áramai szimmetrikus deltakapcsolású terhelés

esetén

8.3. Háromfázisú áramrendszer teljesítménye

Minthogy a háromfázisú rendszer három egyfázisúból tevődik össze, ezért a fázistelje-

sítmények összege adja a háromfázisú teljesítményt.

A hatásos teljesítmény: TSR PPPP , (8.20)

a meddő teljesítmény: TSR QQQQ , (8.21)

a látszólagos teljesítmény: 22 QPS . (8.22)

Aszimmetrikus terhelés esetén mindegyik fázisban más és más a fáziseltolás, ezért a

Mentes Gyula

- 96 -

S

Pcos (8.23)

képletből számított teljesítménytényezőnek fizikai értelme nincsen.

Szimmetrikus terhelés esetén az egyes fázisok teljesítménye és teljesítménytényezője

azonos, ezért

cosIUPPP ffTSR (8.24)

és így

cosIU3P ff . (8.25)

Hasonló módon:

sinIUQQQ ffTSR , (8.26)

és így

sinIU3Q ff . (8.27)

Minthogy most mind a három fázisban azonos a fáziseltolás, ezért:

S

Pcos . (8.28)

Szimmetrikus terhelés esetén a vonali értékkel is kiszámíthatjuk a teljesítményt. Csillagkap-

csolásban:

vfv

f II ,3

UU , (8.29)

ezért:

.cosIU3cosI3

U3P vvv

v (8.30)

Háromszögkapcsolásban:

3

II ,UU v

fvf , (8.31)

ezért:

Elektrotechnika

- 97 -

cosIU3cos3

IU3P vv

vv . (8.32)

Ezek szerint mind csillag-, mind háromszögkapcsolásban a vonali értékekkel kifejezett

hatásos teljesítmény:

cosIU3P vv . (8.33)

Hasonlóképpen kimutatható, hogy a meddő teljesítmény:

sinIU3Q vv , (8.34)

és a látszólagos teljesítmény:

vv IU3S . (8.35)

8.4. Háromfázisú teljesítmény mérése

Attól függően, hogy a terhelés szimmetrikus, vagy aszimmetrikus és hogy három vagy

négyvezetékes rendszerrel állunk-e szemben, a háromfázisú teljesítmény mérését többféle-

képpen végezhetjük el.

8.4.1. Teljesítmény mérése négyvezetős (nullvezetős) háromfázisú rendszerben.

Az aszimmetrikus terhelés miatt mindhárom fázisban más és más a fogyasztók telje-

sítményfelvétele, ezért az általuk egyidejűleg felvett teljesítményt csak három wattmérővel

mérhetjük meg a 8. 11. ábrán látható módon. A wattmérők áramtekercsein az egyes fázisok

áramai folynak át, a feszültségtekercsek pedig a fázisfeszültségekre (egy fázisvezeték és a

nullvezeték közti feszültség) vannak kapcsolva, tehát a wattmérők egy-egy fázis teljesítmé-

nyét mérik. A háromfázisú teljesítményt a három wattmérő által mutatott érték összege adja.

Ez a módszer mind szimmetrikus, mind aszimmetrikus terhelés esetén helyes eredményt ad.

x

R x

S x

T x

nullvezeték

fogyasztó

felé

8.11. ábra. Aszimmetrikus terhelés által felvett teljesítmény mérése nullvezetékes rendszerben

Mentes Gyula

- 98 -

Szimmetrikus terhelés esetén a teljesítményt egy wattmérővel is megmérhetjük a 8.12.

ábrán látható módon és a fogyasztó által felvett teljesítményt az egy fázisban mért teljesít-

mény háromszorosa adja. Aszimmetrikus terhelés esetén ez a módszer nem használható. Ha

azonban a fogyasztó által felvett teljesítmény mindhárom fázisban időben állandó, akkor az

egyes fázisok teljesítményeit egymás után megmérve a felvett teljesítményt a három teljesít-

mény összege adja. Természetesen ez a módszer folyamatosan üzemelő fogyasztó esetében

nem alkalmazható.

R x

S x

T x

nullvezeték

fogyasztó

felé

8.12. ábra. Háromfázisú teljesítmény mérése négyvezetékes rendszerben szimmetrikus terhe-

lés esetén

8.4.2. Teljesítmény mérése háromvezetős háromfázisú rendszerben

Nullvezeték nem lévén a három wattmérő feszültségtekercseinek végeit mesterséges

csillagpontban egyesítjük. A háromfázisú teljesítményt úgy kapjuk, hogy az egyes wattmérők

által mutatott értékeket összeadjuk. Ez a módszer mind szimmetrikus, mind aszimmetrikus

terhelés esetén és akkor is használható, ha a három wattmérő feszültségkörének ellenállása

nem egyenlő, tehát pl. ha három különböző típusú más-más méréshatárú wattmérővel mérünk.

A háromfázisú teljesítmény a három wattmérő által mutatott érték összegével egyenlő, azon-

ban ebben az esetben az egyes wattmérők által jelzett teljesítménynek külön-külön fizikai

értelme nincs.

R x

S x

T x

fogyasztóhoz

8.13. ábra. Háromfázisú teljesítmény mérése háromvezetékes rendszerben

Elektrotechnika

- 99 -

Háromvezetékes rendszerben a teljesítményt két wattmérővel is megmérhetjük a 8.14.

ábrán látható Áron-kapcsolásban. Ez a módszer szimmetrikus és aszimmetrikus terhelés ese-

tén egyaránt helyes eredményt ad, azonban feltétel, hogy nullvezeték ne legyen. A fogyasztó

akár csillagba, akár deltába kapcsolható ez a mérés eredményét nem befolyásolja.

R x

S x

T x

IR

IS

IT

WI

WII

UR-US

UT –US

0

8.14. ábra. Áron-kapcsolás

Most vizsgáljuk meg, hogy hogyan kapjuk a háromfázisú teljesítményt. Jelöljük az

egyes fázisokban folyó áramok pillanatértékeit Ri -rel, Si -sel és Ti -vel ill. az egyes fázisok

feszültségének pillanatértékeit Ru -rel, Su -sel és Tu -vel. A IW wattmérő áramtekercsében Ri

fázisáram folyik csillagkapcsolású fogyasztót tételezve fel - míg a wattmérő feszültség-

tekercse a VSR uuu vonalfeszültségre van kapcsolva, tehát az általa mutatott teljesítmény:

SRR.I uuiP . (8.36)

A IIW wattmérő áramtekercsében ugyancsak Ti fázisáram folyik, feszültségtekercse pedig a

VST uuu vonalfeszültségre van kapcsolva, tehát a IIW által mutatott teljesítmény:

STT.II uuiP . (8.37)

Ha a két wattmérő által jelzett teljesítményeket összeadjuk, akkor megkapjuk a fogyasztott

háromfázisú teljesítmény nagyságát:

STTSRR.II.I uuiuuiPPP . (8.38)

Ezen állításunkat az alábbi módon bizonyíthatjuk be. A csillagpontra mint csomópontra felír-

ható Kirchhoff I. törvénye:

0 TSR iii , (8.39)

ebből

TRS iii . (8.40)

Mentes Gyula

- 100 -

Írjuk fel a háromfázisú teljesítmény pillanatértékét a fázisáram és a fázisfeszültség pillanatér-

tékeivel:

TTSSRR uiuiuiP . (8.41)

Ebbe az összefüggésbe 8.40. kifejezést behelyettesítve:

TTTRSRR uiiiuuiP , (8.42)

ebből

.. IIISTTSRR PPuuiuuiP , (8.43)

tehát előbbi állításunkat igazoltuk. Ha ez a megállapítás a pillanatértékekre igaz, igaz a watt-

mérők által jelzett időbeli középértékekre is.

Ennél a kapcsolásnál előfordul, hogy - mindkét wattmérő helyes bekötésének ellenére

- az egyik wattmérő negatív irányba tér ki. Ez akkor fordul elő, ha a fogyasztó fázisszöge 60-

nál nagyobb. Ennek igazolására rajzoljuk fel az Áron-kapcsolás vektorábráját.

IT

UV

US

UR

IR

30

30 US

IS UT

-US

UV

8.15. ábra. Áron-kapcsolás vektorábrája

Az ábrából látható, hogy IW -es wattmérő áramtekercsén RI fázisáram folyik, feszültségte-

kercse pedig vonalfeszültségre van kapcsolva, a IIW wattmérő áramtekercsén ugyancsak fá-

zisáram TI folyik, feszültségtekercse pedig szintén VST UUU vonalfeszültségre van kap-

csolva. A vektorábra csillagkapcsolású fogyasztóra vonatkozik, a levezetett összefüggések

azonban deltakapcsolású fogyasztóra is érvényesek. Írjuk fel a vektorábra alapján a IW -es és

IIW -es wattmérők által mutatott teljesítményeket.

30cos. VRI UIP , (8.44)

30cos. VTII UIP . (8.45)

Nézzük meg, hogy szimmetrikus induktív jellegű fogyasztók esetében, különböző értékek-

nél milyen lesz az egyes wattmérők kitérése.

Elektrotechnika

- 101 -

1. 0 mindkét wattmérő kitérése egyenlő

2. 60 mindkét wattmérő kitérése pozitív

3. 60 IW -es wattmérő kitérése nulla

4. 60 IIW -es wattmérő kitérése negatív

A 4-es esetben a wattmérő feszültségtekercsének kapcsait fel kell cserélni, ekkor a wattmérő

pozitív irányban fog kitérni, de jelzett teljesítményt a IIW wattmérő által jelzett teljesítmény-

ből le kell vonni. Tehát ha 5,0 cos , akkor a két wattmérő kitérését össze kell adni, ha

5,0 cos , akkor ki kell vonni. Ha nem ismerjük a fázisszöget és a kapcsolásból nem tudjuk

egyértelműen eldönteni, hogy a két wattmérő teljesítményét összeadjuk-e vagy kivonjuk, ak-

kor a következőképpen járunk el. A IW -es tehát kisebb kitérést mutató wattmérő feszültségte-

kercsének S fázishoz kapcsolt végét, felváltva a T ill. az S fázisokhoz kapcsoljuk. Ha

mindkét kitérés azonos irányú, akkor 5,0 cos a wattmérő kitérését pozitívnak kell venni és

a két műszer által mutatott értéket össze kell adni. Ha a kitérés egyik esetben pozitív, a másik

esetben negatív, akkor a két wattmérő által mutatott teljesítményt egymásból kivonjuk.

Ha a terhelés szimmetrikus, akkor a két wattmérő által jelzett teljesítményből a fo-

gyasztó fázisszöge kiszámítható. Alkalmazzuk a 8.44 és 8.45 összefüggésekben a szögek ösz-

szegének és különbségének koszinuszára vonatkozó trigonometriai összefüggéseket, valamint

az VfTR IIII összefüggést, amely azt fejezi ki, hogy csillagkapcsolású szimmetrikus

fogyasztó esetében a fázisáramok megegyeznek a vonali áramokkal és minden fázisban azo-

nosak:

sin30sincos30cos. VVVVI UIUIP , (8.46)

sin30sincos30cos. VRVRII UIUIP . (8.47)

Az ismert szögfüggvényértékeket behelyettesítve:

2

sincos

2

3.

VVVVI UIUIP , (8.48)

2

sincos

2

3.

VVVTII UIUIP (8.49)

és a két wattmérő által mutatott teljesítmények összegét és különbségét felírva

cos3.. VVIII UIPP , (8.50)

sin.. VVIII UIPP . (8.51)

A két egyenletet egymással osztva a fázisszög számítható:

..

..3III

III

PP

PPtg

. (8.52)

Mentes Gyula

- 102 -

Háromvezetékes rendszernél szimmetrikus terhelés esetén egy wattmérővel is meg-

mérhető a teljesítmény a 8.16. ábrán látható módon. A wattmérő által mutatott értéket há-

rommal szorozva megkapjuk a háromfázisú teljesítményt.

R x

S x

T x

fogyasztóhoz

mesterséges csillagpont

8.16. ábra. Szimmetrikus terhelésű fogyasztó teljesítményének mérése háromvezetékes

rendszerben egy wattmérővel.

Elektrotechnika

- 103 -

9. TRANSZFORMÁTOR

A transzformátorok olyan átalakítók, amelyek adott váltakozó áramú és feszültségű

villamos teljesítményt másik feszültségű és áramú villamos teljesítménnyé alakítanak át. Szo-

kás a transzformátort a villamos gépek közé is sorolni. A transzformátorok egyik legfontosabb

felhasználási területe a villamos energiagazdálkodás és továbbítás. Mint tudjuk, azonos telje-

sítményt nagy feszültségen kisebb árammal lehet átvinni, ezért a vezetéken eső veszteség

csökken, ill. az adott teljesítmény átviteléhez kisebb keresztmetszetű vezeték szükséges, ami

az energiaátviteli hálózat építési költségeit csökkenti. A gyakorlatban az ún. energiaátviteli

(egy- és háromfázisú) transzformátorok mellett nagyon sokféle, pl. leválasztó-, mérő-, taka-

rék-, hegesztő-, fázisváltó, impulzustechnikai, hiradástechnikai, légmagos, stb. transzformá-

tort alkalmaznak. E jegyzetben ezek közül csak néhány működését ismertetjük.

9.1. Egyfázisú transzformátor felépítése és működése

Az egyfázisú transzformátor egy zárt vasmagon elhelyezett két tekercsből áll. Az

egyik az 1N menetszámú primer, a másik pedig az 2N menetszámú szekunder tekercs. A

primer tekercset 1U feszültségre kapcsoljuk és az 2U áttranszformált feszültséget a szekunder

tekercsről vesszük le. Az egyfázisú transzformátor felépítését a 9.1. ábra jelképi jelöléseit

pedig a 9.2. ábra mutatja.

Ha a primer tekercset szinuszos váltakozófeszültségre kapcsoljuk, akkor az A ke-

resztmetszetű vasmagban egy szinuszosan váltakozó fluxus jön létre, amely mind a primer,

mind a szekunder tekercsen áthalad, ezért ezt főfluxusnak nevezzük:

tABt sinsinˆmax (9.1)

oszlop

járom

N1

N2

S2

S1

U2

I2 I1

U1

Φ

9.1. ábra. Az egyfázisú transzformátor felépítése

Mentes Gyula

- 104 -

Ez a fluxus mind a primer, mind pedig a szekunder tekercsben feszültséget indukál:

tABNdt

tdABN

dt

dNtui

cos

)(sinmax1max111

ill. (9.2)

tABNdt

tdABN

dt

dNtui

cos

)(sinmax2max222

A 9.1 és 9.2 képletek összehasonlításából láthatjuk, hogy szinuszosan változó főfluxus esetén

a primer és szekunder indukált feszültségek koszinuszosan változnak, vagyis az indukált fe-

szültségek 90 -kal sietnek a főfluxushoz képest. A feszültségek csúcsértékei

ABNU i max11ˆ ill. ABNU i max22

ˆ (9.3)

A csúcsértékekből az effektív értékeket felírva és felhasználva, hogy f 2 :

BAfNBAfNBAN

U i 111

1 44,42

2

2

(9.4)

ill. hasonló levezetéssel a szekunder indukált feszültség effektív értéke

BAfNU i 22 44,4 . (9.5)

A primer indukált feszültség (9.4) és a szekunder indukált feszültség (9.5) hányadosát a

transzformátor áttételének nevezzük:

2

1

2

1

N

N

u

ua

i

i

A transzformátort veszteségmentesnek feltételezve, a primer oldalon felvett teljesítmény 1P

egyenlő a szekunder oldalon leadott 2P teljesítménnyel:

2211 IUIU , (9.6)

amelyből

1

2

2

1

I

I

U

U (9.7)

Ezt az összefüggést a transzformátor áttételének képletébe behelyettesítve:

1

2

2

1

2

1

I

I

U

U

N

Na . (9.8)

A gyakorlatban megvalósított transzformátorok veszteségesek. Hatásfokuk:

% 99 ... 95 . Minél nagyobb méretű a transzformátor, általában, annál nagyobb a hatásfoka.

Elektrotechnika

- 105 -

Veszteségmentes transzformátort feltételezve, a primer és szekunder gerjesztések

egyensúlyt tartanak egymással ( 2211 ININ ). Veszteséges transzformátor esetében a primer

és szekunder gerjesztések különbsége egyenlő a főfluxust létrehozó gerjesztéssel, amelyet a

primer tekercs hoz létre:

gINININ 12211 . (9.9)

Ebből a primer áramot kifejezve:

a

III g

21 . (9.10)

A fenti összefüggésből látható, hogy a primer áram a főfluxust létrehozó gerjesztőáramból és

a szekunder áram a-ad részéből tevődik össze.

9.2. Az egyfázisú transzformátor helyettesítő képe

Az egyfázisú transzformátor helyettesítő képét a 9.1. ábra alapján rajzolhatjuk meg.

Az ábrából láthatjuk, hogy a primer tekercs létrehozza a szekunder tekercsen keresztül záródó

főfluxust, amely az indukált feszültségeket hozza létre. Ezen kívül mind a primer, mind

pedig a szekunder tekercs létrehoz olyan fluxust is, amely csak saját magában a primer ( 1s )

vagy szekunder ( 2s ) tekercsben záródik és nem vesz részt az indukált feszültség létrehozá-

sában. Mindegyik fluxust úgy tekinthetjük, mintha különálló tekercsek hoznák létre azokat.

Mindegyik tekercsnek van ohmos ellenállása. Ennek megfelelően a transzformátor primer és

szekunder körének helyettesítő képét a 9.3. ábra mutatja. Az ábrán 1R és 2R a primer és a

szekunder tekercs ohmos ellenállása 1SX és 2SX a tekercsek fluxusát reprezentáló szórási

reaktanciák és mX a főfluxust létrehozó reaktancia. A primer és szekunder oldal (az A-B és

C-D pontok) nem köthetők össze, mivel 1iU a transzformátor áttétele miatt nem egyenlő 2iU -

vel, vagyis az A-B és C-D pontok csak akkor köthetők össze, ha az A-C és B-D pontok közöt-

ti feszültség megegyezik. A két feszültség egyenlővé tehető, ha a transzformátor szekunder

U1 U2

I2 I1

U1 U2

I2 I1

9.2. ábra. Az egyfázisú transzformátor jelképi jelölései

Mentes Gyula

- 106 -

oldali mennyiségeit a primer oldalra redukáljuk. Ehhez írjuk fel a huroktörvényt a szekunder

oldalra a berajzolt körüljárási irány szerint és fejezzük ki 2iU -t:

222222 URIXIU Si . (9.11)

Szorozzuk be a fenti egyenletet a transzformátor áttételével, vagyis a -val:

222222 UaIaRIXaUa si . (9.12)

A fenti egyenletben az 2I -t tartalmazó tagokat szorozzuk és osszuk a -val:

22

2

222

2

2 Uaa

IRa

a

IXaUa si . (9.13)

Mivel 12 ii UUa , ezért a primer és szekunder oldal összeköthető. Ekkor a szekunderköri

elemek értéke a fenti egyenletnek megfelelően megváltozik. 2

2'

2 RaR a transzformátor pri-

mer oldalra redukált szekunderköri ellenállása, 2

2'

2 SS XaX a transzformátor szekunderköri

szórási reaktanciájának primer oldalra redukált értéke (primer oldalra redukált szekunder szó-

rási reaktancia), a

II 2'

2 a primer oldalra redukált szekunder áram, 2

'

2 UaU a primer oldal-

ra redukált szekunder feszültség. Láthatjuk, hogy a szekunder feszültséget és áramot a 9.8

összefüggésnek megfelelően transzformálja a transzformátor a primer oldalra, a szekunderkö-

ri ellenállást ill. reaktanciát pedig az áttétel négyzetével.

A 9.4. ábrán látható helyettesítő kép nem veszi figyelembe a transzformátor vesztesé-

gét, amely két részből, hiszterézis és örvényáramú veszteségből tevődik össze. A főfluxus

szinuszosan változik, ezért a transzformátor vasmagja periódikus átmágnesezésnek van kité-

ve. A vasmag mágneses doménjei mindig a külső tér irányába állnak be, ezért ide-oda forog-

nak. Eközben a domének egymáson súrlódnak, amely a vasat melegíti. Mivel a vasmag

periódikus átmágnesezéséhez szükséges energia a mágnesezési (hiszterézis) görbe területével

arányos, ezért ezt a veszteséget hiszterézis veszteségnek nevezzük. Ez a veszteség sovány

hiszterézisgörbéjű ferromágneses anyag alkalmazásával csökkenthető.

C

A XS1 R1 I1

Ui1 U1 Xm

D

B XS2 R2

U2 Ui2

I2

9.3. ábra. A transzformátor primer és szekunder körének helyettesítő képe

Elektrotechnika

- 107 -

A főfluxus nemcsak a tekercsekben, hanem a vasmagban is indukál feszültséget.

Vágjuk el gondolatban a primer tekercsnél az oszlopot a tekercsre merőlegesen. A metszetet a

9.5a. ábra mutatja. Az ábrán a primer tekercset csak egyetlen menet jelöli. A vasmag az ör-

vényáramok szempontjából úgy fogható fel, mintha koncetrikusan elhelyezett körvezetőkből

állna. A primer tekercsben folyó áram által létrehozott fluxus – Lenz-törvénye értelmében – a

vasban olyan irányú örvényáramokat indukál, amely az őt létrehozó változást csökkenteni

igyekszik, vagyis öI ellentétes irányú az 1I -gyel. Az örvényáramú veszteséget a vasmag el-

lenállásának növelésével lehet csökkenteni. Ha a vasmag ellenállását k -szorosára növeljük

vv kRR ' , akkor az örvényáram k

II ö

ö ' lesz, és az örvényáram veszteség vöö RIP 2 is k -

ad részére csökken, mind k

RIRk

k

IP vö

v

ö

ö

22

'

. A vasmag ellenállását az

ARv

összefüggésnek megfelelően a fajlagos ellenállás és az áramút megnövelésével lehet elérni.

A fajlagos ellenállást a vasmag % 4 ... 2 Si ötvözésével, míg az áramutat a 9.5b. ábrán látható

módon a vasmag lemezelésével és a lemezek egymástól való elszigetelésével növelik meg.

A transzformátor helyettesítőképében a vasveszteséget akkora ellenállással vesszük

figyelembe, amely annyit fogyaszt, amennyi a transzformátor vesztesége. A 9.6. ábra a vas-

XS1 R1 I1

Ui1 U1 Xm

I’2

U’2

X’S2 R’2

9.4. ábra. A transzformátornak a vasveszteségek elhanyagolásával kapott

helyettesítő képe

Iö

I1

a. b.

9.5. ábra. Örvényáramok keletkezése (a) és az örvényáram veszteség csökkentése

(b) a vasmag lemezelésével

Mentes Gyula

- 108 -

magos transzformátor helyettesítő képét mutatja. A helyettesítő kép egyes ellenállásainak

(reaktanciáinak) egymáshoz viszonyított értékei:

mVmSS XRRXRXXRR 10 ;1000 ;2 ; 10.... 1,0 11

'

21

'

21 .

9.3. A transzformátor veszteségeinek meghatározása

A transzformátor üresjárásában 0'

2 I , ezért '

2R és '

2SX a helyettesítő képből elhagy-

ható. A felvett áramot mX és VR határozza meg, mivel értékük több nagyságrenddel na-

gyobb, mint 1R és 1SX értéke. Üresjárásban VR határozza meg a felvett hatásos teljesít-

ményt, amely a vasveszteséget adja meg (9.7. ábra).

A transzformátor tekercselési vagy más néven rézveszteségét úgy határozhatjuk meg,

hogy megmérjük a transzformátor által felvett hatásos teljesítményt akkor, ha a szekunderte-

kercs rövidre van zárva. Ebben az esetben a primer tekercset nem kapcsolhatjuk az nU1 név-

leges feszültségre, mert a transzformátor tönkremegy. (A transzformátor névleges teljesítmé-

nyének, áramának, feszültségének azt a teljesítményt, áramot ill. feszültséget nevezzük,

amelyre a transzformátort készítették.) Rövidre zárt szekunder esetén a primerre akkora ZU1

XS1 R1 I1

Ui1 U1

I’2

U’2

X’S2 R’2

Xm RV Im IV

Ig

9.6. ábra A vasmagos transzformátor helyettesítő képe

XS1 R1

U1

I1

Xm RV

Ph

9.7. ábra. Transzformátor vasveszteségének meghatározása az üresjárásban felvett

hatásos teljesítmény mérésével

Elektrotechnika

- 109 -

feszültséget kapcsolunk, amely esetében a szekunder tekercsben a szekunder névleges áram

nI 2 folyik. Mivel mX és VR sokkal nagyobb mint '

21 RR és '

21 SS XX , ezért rövidzárás-

ban az mX -en és VR -n átfolyó áram elhanyagolható és a hatásos teljesítmény egyenlőnek

vehető az 1R és '

2R ellenállásokon, azaz a tekercsek ohmos ellenállásán elvesző teljesítmény-

nyel (9.8. ábra).

9.4. Egyfázisú transzformátorok párhuzamos üzeme

Ha egy transzformátorral a szükséges teljesítmény nem vihető át, akkor megfelelő

feltételek teljesülése esetén több transzformátor párhuzamosan kapcsolható. A párhuzamosan

kapcsolhatóság feltételei:

1. Azonos primer névleges feszültség esetén legyenek a szekunder névleges feszült-

ségek azonosak (azonos amplitúdó és fázis).

2. A transzformátorok dropja legyen azonos!

Ha rövidrezárt szekunder esetén a primerre adható ZU1 feszültséget az nU1 primer

névleges feszültséghez viszonyítjuk, akkor a transzformátor egyik igen fontos adatát, a dropot

kapjuk:

% 1001

1 n

Z

U

U. (9.14)

A drop a transzformátor belső ellenállásával kapcsolatos mérőszám. Azonos szekunder

névleges feszültségű transzformárorok szekunderfeszültsége azonos terhelés esetén ugyanany-

nyit csökken, ha a dropjuk azonos. Ezáltal a párhuzamosan kapcsolt transzformátorok a terhe-

lőáramot névleges teljesítményeik arányában szolgáltatják.

9.5. Háromfázisú transzformátorok

A háromfázisú villamos teljesítmény transzformálása három darab egyfázisú transz-

formátorral is történhet. Ezt a megoldást azonban csak igen nagy teljesítmények transzformá-

lásánál alkalmazzák. Egyéb esetben a háromfázisú transzformátorokat – hacsak a szállítható-

ság azt nem korlátozza – háromoszlopos vasmaggal építik (9.9. ábra). A háromoszlopos vas-

mag minden oszlopán egy primer és egy szekunder tekercs helyezkedik el. Mind a primer,

mind pedig a szekunder tekercsek csillagba, deltába vagy zeg-zugba kapcsolhatók. Zeg-zug

XS1 R1

U1Z

I1=I’2n X’S2 R’2

Ig 0 Ph

9.8. ábra. A transzformátor rézveszteségének mérése

Mentes Gyula

- 110 -

kapcsolás esetén a primer vagy a szekunder tekercseket kettéosztják és a tekercs egyik felét

másik oszlopon helyezik el. Az ilyen transzformátorok az aszimmetrikus terhelést jobban bír-

ják.

Csillag-csillag kapcsolású transzformátor aszimmetrikus terhelés átvitelére nem al-

kalmas, mert oszlopaiban kiegyenlítetlen gerjesztések lépnek fel.

A transzformátor kapcsolásának jelölésére a primer oldalon nagybetűt (csillag: Y ,

delta: D , zeg-zug: Z ), míg a szekunder oldalon kisbetűt használnak. A 9.10a. ábra egy csil-

lag-delta Yd a 9.10b. ábra pedig egy delta-zeg-zug Dz kapcsolású transzformátort mutat.

Ha a csillagpont ki van vezetve, akkor azt az 0Y , ill. az 0y jelölés mutatja. A betűcsoport utá-

ni szám a primer és szekunder feszültség közötti fázistolásra utal, pl. 50Dy . Ez a jelölés adja

meg a háromfázisú transzformátorok kapcsolási csoportját, ami a párhuzamosan kapcsolható-

ság szempontjából igen fontos. Háromfázisú transzformátorok párhuzamosan kapcsolhatósá-

gának feltételei között szerepelnek az egyfázisú transzformátornál leírtak, továbbá a fázissor-

rendnek és a kapcsolási csoportnak is egyezni kell.

N1N1

V

N1

WU

vu

N2 N2 N2

w

9.9. ábra. Csillag-csillag kapcsolású háromfázisú transzformátor

R S T

v u w

R S T

v u w

a. b.

9.10. ábra. Csillag-delta Yd kapcsolású (a) és delta-

zeg-zug Dz kapcsolású (b) transzformátor

Elektrotechnika

- 111 -

9.6. Különleges transzformátorok

9.6.1. Takarékkapcsolású transzformátorok

A takarékkapcsolású transzformátornak csak egy tekercse van, amely a két vége között

valahol egy megcsapolással rendelkezik (9.11. ábra).

A közönséges transzformátor mindkét tekercsét a név-

leges (látszólagos) teljesítményre kell méretezni.

Ugyanakkora teljesítménnyel terhelhető a takarékkap-

csolású transzformátor is, de tekercseit elegendő ki-

sebb teljesítményre méretezni. A névleges teljesít-

ményt ezért átmenő teljesítménynek, a tekercsek telje-

sítményeit pedig belső teljesítménynek nevezzük. A

9.11. ábra alapján a belső teljesítmény:

211212 UUIIIUPb (9.15)

A megtakarításra jellemző a belső és az átmenő (névleges) teljesítmény viszonya:

aU

U

UI

UUI

P

P

n

b 111

1

2

11

211

(9.16)

Az a teljesítmény, amire a tekercset méretezni kell:

a

PP nb

11 . (9.17)

Látható, hogy a takarékkapcsolású transzformátor használata akkor célszerű, ha 1a .

3a -ra már nem készítenek takarékkapcsolású transzformátort.

Mivel a takarékkapcsolású transzformátorok rövidzárási feszültsége kicsi (kicsi a

dropja), ezért a rövidzárásra igen érzékenyek. A takarékkapcsolású transzformátorok másik

hátránya, hogy a primer és a szekunder tekercsek fémesen össze vannak kötve, ezért a sze-

kunder oldalon a földhöz képest primer feszültség jelenhet meg. Ezért olyan helyeken nem

alkalmazhatók, ahol életvédelmi szempontból feszültségcsökkentést írnak elő.

9.6.2. Mérőtranszformátorok

E transzformátorok egyrészt a nagy feszültségeket és áramokat transzformálják le

olyan értékűre, hogy azok mérőműszereinkkel mérhetők legyenek (100-150 V, 1-5 A), más-

részt mérőműszereinket életvédelmi okokból elválasztják a nagyfeszültségű oldaltól.

9.6.2.1. Feszültségváltó

A feszültségváltó transzformátorok általában egyfázisra készülnek. Nagy menetszámú

primer tekercsük a mérendő nagyfeszültségre kapcsolódik és kis menetszámú szekunder te-

kercsükre kapcsoljuk a nagy belső ellenállású feszültségmérőt. Ezért a feszültségváltó gyakor-

latilag üresjárásban működik. Az 2U szekunderfeszültség szorozva az áttétellel megadja az

U1

U2

I2

I1

I1

I1-I2

U1-U2

9.11. ábra. Takarékkapcsolású

transzformátor

Mentes Gyula

- 112 -

1U primer feszültséget. Mivel az 1U nem pontosan egyenlő az 2aU -vel, ezért a feszültségvál-

tóknak van feszültséghibájuk:

1

12

U

UaUh

, (9.18)

amely kb 0,1 és 3 % között van. A szekunder feszültség fázisa nem pontosan egyezik a primer

feszültség fázisával, ami teljesítmény mérés esetén okozhat hibát. A feszültségváltók szöghi-

bája: 4-40’.

Életvédelmi okokból a szekundertekercs egyik kapcsát és a vasmagot le kell földelni

(9.12. ábra).

9.6.2.2. Áramváltó

Az áramváltó kis menetszámú (gyakran 1 menetes) primertekercsén a mérendő áram

folyik át, (átkényszerítjük a fogyasztó áramát), nagy menetszámú szekunder tekercsére a kö-

zel nulla belső ellenállású ampermérő csatlakozik (9.13. ábra), ezért ha az ampermérőt kivesz-

szük, vagyis a szekunder kört megszakítjuk, akkor a primer áram gerjesztésével semmi sem

tart egyensúlyt és a szekunder körben akkora feszültség indukálódik, amely tönkreteheti az

áramváltót és a kezelő életét is veszélyezteti. Ezért az ampermérőt csak a szekunder

rövidrezárása után lehet kivenni az áramkörből. A vasmagot és a szekunder tekercs egyik ki-

vezetését életvédelmi szempontból földelni kell.

Az ampermérő által mutatott 2I áramot az áramváltó áttételével osztva megkapjuk a

mérendő 1I primer áramot. Az áramváltó áramhibája:

1

12

I

Ia

I

h

, (9.19)

amely általában 0,1-1 %. A szöghiba értéke: 6-60’.

U2

U1=Umérendő

V

9.12. ábra Feszültségváltó

I1

A

9.13. ábra. Áramváltó

Elektrotechnika

- 113 -

U

I

l1

l2

I II

Iz1 Iz2

M

Ih

9.14. ábra. A villamos ív és a hegesztő-

transzformátor karakterisztikái

9.6.3. Hegesztőtranszformátorok

A normál transzformátorok esetében alapvető követelmény, hogy kapocsfeszültségük

minél kisebb mértékben függjön a terhelő áram változásától. Vannak azonban olyan alkalma-

zások, ilyen pl. a villamos ívhegesztés, amelynél követelmény, hogy a szekunderfeszültség az

üresjárás és a rövidzárás között meredeken változzon.

Ívhegesztés esetén a felületek megolvasztásához szükséges hőmennyiség és ezzel az

áramerősség is a hegesztő anyagok méreteitől és minőségétől függ. Ugyanakkor a hegesztés

folyamán az ívhossz állandóan változik. Ebből következnek a hegesztőtranszformátorokkal

szemben támasztott követelmények: a rövidzárási áramot károsodás nélkül viselje el, a rövid-

zárási áram változtatható legyen, a hegesztési ívhez tartozó árama minél közelebb legyen a

rövidzárási áramához. A 9.14. ábra mutatja a különböző ( 1 ) hosszúságú villamos ívek karak-

terisztikáját. A transzformátornak az ív begyújtásához 70 … 90 V-ot kell szolgáltatnia és azt

az értéket életbiztonsági okokból nem szabad túllépnie. A hegesztőtranszformátor karakterisz-

tikájának a kívánt üresjárási feszültségből közel vízszintesen kell kiindulnia és a kívánt he-

gesztőáram környezetében igen meredeken kell esnie.

Az ív jelleggörbéjének és az áramfor-

rás jelleggörbéjének metszéspontja adja a

munkapontot és ez határozza meg a hegeszté-

si áramerősséget. A hegesztőtranszformátor

egy kialakítási lehetőségét mutatja a 9.15.

ábra. A transzformátor középső oszlopában

légrés van, amelynek méretét az ék elmozdí-

tásával lehet változtatni. Az ék teljesen betolt

helyzetében is van légrés a középső oszlop-

ban. Üresjárásban a primer tekercs fluxusa a

középső oszlopban lévő légrés miatt a sze-

kunder tekercsen keresztül záródik és elegen-

dően nagy feszültséget hoz létre az ív begyúj-

tásához. Ha a szekunder tekercsben áram fo-

lyik, akkor az egymás ellen ható primer és

szekunder gerjesztések egyre több erővonalat kényszerítenek arra, hogy a középső oszlopon

az ún. mágneses söntön haladjanak át. Ezáltal a szekunder feszültség a növekvő szekunder

árammal rohamosan csökkenni kezd. Ha a középső oszlopban a légrés méretét az ék kihúzá-

sával (II. helyzet) megnöveljük, akkor a feszültség esése csak nagyobb szekunder áramnál

kezd meredeken csök-

kenni a 9.14. ábrán

látható II. görbének

megfelelően. Az ábrán

az 1 hosszúságú ív és

betolt ék esetén mutat-

ja a kialakuló munka-

pontot és az hI he-

gesztési áramot.

10. SZINKRONGÉ-

PEK

I. II.

9.15. ábra. Hegesztőtranszformátor egy megvalósítási lehetősége

Mentes Gyula

- 114 -

10.1. Szinkron gépek elve, forgó fluxus előállítása

A szinkrongépek működése legegyszerűbben két állandó mágnes közötti kölcsönhatás

segítségével érthető meg. Legyen az egyik mágnes egy olyan belül üres henger, amelynek

póluskiképzése a 10.1a. ábra szerinti. A henger belsejében forogjon egy rúdmágnes, melynek

forgástengelye egybeesik a henger tengelyével. A hengermágnes északi pólusa magához

vonzza a rúdmágnes déli pólusát. Ha a hengermágnest a 10.1a. ábrán látható módon, az óra-

mutató járásával ellentétesen 0 szögsebességgel forgatjuk, akkor vele együtt szinkron forog

a rúdmágnes is. Ha a rúdmágnesre az 0 szögsebességgel ellentétes irányú tM terhelőnyo-

maték hat, akkor a rúdmágnes szöggel lemarad a hengermágneshez képest, de továbbra is

0 szögsebességgel forog (10.1b. ábra). A terhelőnyomatékot tovább növelve a szög is

növekszik. Ha a nyomaték egy adott értéket túllép, akkor a hengermágnes már nem képes a

rúdmágnest magával ragadni és az már nem fog a hengermágnessel együtt forogni, vagyis

kiesik a szinkronból. Ez a leszakadás 90 esetén következik be. A jelenség úgyis felfog-

ható, mintha a mágneses erővonalak gumifonalak lennének, amelyek a terhelőnyomaték nö-

vekedésével megnyúlnak és egy adott nyomatékot meghaladva a gumiszálak elszakadnak. Ha

a rúdmágnest forgatjuk és a hengermágnesre hat a terhelőnyomaték, akkor a rúdmágnes siet

előre szöggel a hengermágneshez képest. 90 esetében az erővonalak elszakadnak és a

hengermágnes nem fog a rúdmágnessel együtt (szinkron) forogni, azaz a hengermágnes meg-

áll (10.1c. ábra), vagyis kiesik a szinkronból.

Ezek után nézzük meg, hogy miképpen hozható létre olyan forgó mágneses tér, amelyet a

hengermágnes állít elő. Ebből a célból helyezünk el három egymással 120-os szöget bezáró

vezető keretet egy ferromágneses anyagból készült, belül üres henger belső palástjába mart

hornyokban a 10.2. ábrán látható módon és kapcsoljunk a vezetőkeretekre egymáshoz képest

120-kal késő feszültségeket, vagyis háromfázisú feszültségrendszert. Jelöljük az egy fázishoz

tartozó keretek vezetőit ' ,' SSRR és 'TT betűkkel. A keretekben folyó áramokat úgy

jelöljük, hogy amennyiben valamelyik fázisfeszültség képzetes része pozitív, akkor az áram

0

É

D

É

D

0

É

0

Mt

0

D

D

É

D

É

Mt

0

0

a. b. c.

10.1. ábra. Szinkrongép modellezése állandómágnesekkel (a) terheletlen forgórész, (b) ter-

helt forgórész (motor), (c) terhelt generátor (forgórész siet)

Elektrotechnika

- 115 -

az TSR , , -vel jelölt vezetékeken befelé az ' ,' ,' TSR vezetékeken kifelé folyik, egyébként

az áramirány fordított. Ha valamelyik feszültségvektor a valós tengelybe esik, akkor az adott

tekercsben az áramot nullának vesszük és irányát nem jelöljük. Az ábrán a befelé folyó ára-

mot kereszt, a kifelé folyót pedig pont jelöli. A vezetőkeretek oldalai által létrehozott mágne-

ses erővonalakat a szaggatott vonalak jelölik, az eredő fluxust a jelöli. A 10.2. ábra a forgó

háromfázisú feszültségrendszert három helyzetben mutatja. Az ábrából láthatjuk, hogy a há-

romfázisú rendszer elfordulásával együtt a tekercsek által létrehozott eredő fluxus is elfordul.

Hasonló módon bizonyítható, hogy két fázis felcserélésével a fluxus forgási iránya is megfor-

dul. A forgó fluxus szögsebessége megegyezik a vektorcsillag szögsebességével.

Könnyen kimutatható, hogy állandó amplitúdójú forgó fluxus akkor keletkezik, ha az

egyes tekercsek közötti geometriai szög megegyezik a fázisfeszültségek közötti időbeni fázis-

eltolódás szögével.

10.2. Szinkron gépek felépítése

A szinkron gépek állórésze hengeres vastest, amely gyűrű alakú lemezekből épül fel.

A hornyokban három, egymással 120-ot bezáró tekercs van. Az egyenárammal gerjesztett

forgórész kétféle kialakítású lehet: kiálló vagy hengeres pólusú. Az utóbbiakat általában nagy

teljesítményű gépekhez készítik és mindig kétpólusúak (10.3a. ábra). A kiálló pólusú forgó-

részt kisebb teljesítményű gépeknél alkalmazzák és több pólusúak is lehetnek (10.3b. ábra). A

forgórész mindig tömör vastest, mivel egyenáramú mágnesezésnek van kitéve. A forgórész

kialakítása olyan, hogy az általa létrehozott indukció kerületmenti eloszlása szinuszos, ezért a

kétpólusú (egy póluspárú) forgórész egy körülfordulása alatt egy fázistekercsben szinuszos

Im

R

T S

R

T’

S’

S

R’

T

a

Re

Im

R

T

S

R

T’

S’

S

R’

T

a

Re

30

30

Im

R

T

S

R

T’

S’

S

R’

T

Re

60

60

a

a. b. c.

10.2. ábra. Forgó mágneses tér (forgó fluxus) kialakulása

Mentes Gyula

- 116 -

feszültséget indukál. Ebben az esetben az indukált feszültség f frekvenciája megegyezik a

forgórész másodpercenkénti 0n fordulatszámával. A 10.4. ábrán egy három póluspárú

3p szinkrongép felépítése látható. Az állórészen annyi háromfázisú tekercselés helyez-

kedik el, ahány póluspárú a gép. Azokat a tekercseket, amelyekben azonos feszültség induká-

lódik, sorba vagy párhuzamosan lehet kapcsolni attól függően, hogy nagyobb feszültség vagy

áram előállítása a cél. Több pólusú gép esetében egy körülfordulás alatt annyi egész periódusú

szinuszos feszültség indukálódik, amennyi a póluspárok száma:

0pnf . (10.1)

A gyakorlatban az állórész egy fázisának tekercse nem egy keretből, hanem sokmene-

tes tekercsből áll, amely a kerület egyharmad részét foglalja el (10.5. ábra). Az ábra csak egy

fázis tekercselését tünteti fel. Mivel az egyes tekercsoldalakban a forgórész fluxusa időben

É

D

É

D

Ug

a. b.

10.3. ábra. Hengeres és kiálló pólusú forgórész

R

R’

60

10.5. ábra. Tényleges állórész-

tekercselés szinkron gépeknél

10.4. ábra. Hárompóluspárú szink-

rongép felépítése

Elektrotechnika

- 117 -

egymás után indukál maximális feszültséget, ezért a feszültségeket vektorosan kell összegez-

ni.

10.3. Szinkron gépek működése

A szinkron gépek, akár generátorról, akár motorról van szó, adott frekvenciájú és fe-

szültségű hálózatra kapcsolva működnek. A szinkrongenerátorok állórészének tekercselésé-

ben (armatúratekercselés) indukálódó feszültség frekvenciáját az 0pnf összefüggés hatá-

rozza meg, tehát a póluspárszám, a forgási sebesség és a frekvencia között merev kapcsolat

van. Ezért, ha a generátor olyan nagyteljesítményű hálózatra kapcsolódik, amelynek frekven-

ciáját a hálózatra kapcsolt többi generátor már meghatározza, akkor a szinkron generátor csak

az p

fn 0 fordulatszámmal járhat. Ugyanez vonatkozik a szinkron motorokra is, mivel a

forgófluxus fordulatszámát

p

fn0 szintén a hálózat frekvenciája határozza meg. Tehát a

szinkron gép forgórészének fordulatszáma mindkét esetben megegyezik a forgófluxus fordu-

latszámával. Az egyenárammal gerjesztett forgórész által létrehozott mágneses tér feszültsé-

get indukál az állórész tekercseiben. Ezt a feszültséget pU pólusfeszültségnek nevezzük. Ez a

feszültség tart egyensúlyt az kU hálózati feszültséggel. Mivel az állórész tekercselése kis el-

lenállású, ezért az álló szinkrongép hálózatra kapcsolásakor igen nagy áramok alakulnak ki,

rövidzáráshoz hasonló jelenségek lépnek fel. Ezért a szinkrongépet csak akkor szabad a háló-

zatra kapcsolni, ha az összekötendő kapcsok között a feszültség minden időpillanatban nulla.

Ez akkor áll fenn, ha

- a hálózat és a gép feszültségének effektív értéke egyenlő,

- a hálózat és a gép frekvenciája azonos,

- a hálózat és a gép feszültségvektorai azonos irányúak,

- a hálózat és a gép fázissorrendje azonos.

A fenti követelmények teljesítéséhez a szinkrongépet külső gép segítségével szinkron fordu-

latra pörgetik fel és amikor minden feltétel teljesül, akkor a gépet a hálózatra kapcsolják. Ezt a

folyamatot nevezzük szinkronozásnak.

A szinkron gép nyomatéki görbéjét, vagyis a

nyomatékot a terhelési szög függvényében a 10.6.

ábra mutatja. A szinkron gép bM billenőnyomatéka

a forgórész gerjesztésével, vagyis a pólusfeszültség

növelésével növelhető. Biztonsági okokból szink-

rongépeknél a névleges nyomaték esetén a 30 -

os terhelési szöget nem lépik túl. Szinkron gépeket

az indítási nehézségek miatt általában csak ott al-

kalmaznak, ahol változó nyomaték esetén is szigorú-

an állandó fordulatszámra van szükség. Ezenkívül a

szinkrongépek jól használhatók a meddőenergia gaz-

dálkodásban. A túlgerjesztett szinkrongép kp UU

meddőáramot ad le, az alulgerjesztett pk UU

pedig meddőáramot vesz fel.

M

Mb

Megnövelt

gerjesztés

Stabilis üzem

Alap

gerjesztés

-90 +90

10.6. ábra. Szinkron gép nyomaté-

ka a terhelési szög függvényében

Mentes Gyula

- 118 -

11. ASZINKRON GÉPEK

A villamos gépek közül az aszinkron gépeket használják a legnagyobb számban. En-

nek oka az aszinkron gépek egyszerű felépítése, megbízható üzeme és kedvező ára. Generá-

torüzemre az aszinkron gépek kevésbé alkalmasak, de különleges esetekben – az utóbbi idő-

ben pl. csúcserőművekben – alkalmazást nyernek.

11.1. Aszinkron gépek felépítése és működése

Az aszinkron gépek álló- és forgórésze egyaránt dinamólemezből készül az örvény-

áramú veszteség csökkentése céljából. Az állórész hornyaiban háromfázisú tekercselést he-

lyeznek el, vagyis az aszinkron gépek állórésze megegyezik a szinkrongépek állórészével.

A forgórész csúszógyűrűs és rövidrezárt lehet. Csúszógyűrűs forgórészű gépeknél a

hengeralakú, lemezelt forgórész palástjába mart hornyokban ugyanolyan háromfázisú teker-

cselés helyezkedik el, mint az állórészen (11.1. ábra). A három tekercs egyik vége csillagba

van kötve, a másik pedig a tengelyre, egymástól és a tengelytől szigetelten felerősített három

rész csúszógyűrűhöz van kivezetve. A csúszógyűrűkhöz kefék segítségével lehet kívülről

csatlakozni (11.1b. ábra).

A rövidrezárt forgórészű aszinkron gépek működése megegyezik a csúszógyűrűs gé-

pek működésével, ezért az aszinkron gép működését a csúszógyűrűs gépekkel kapcsolatban

tárgyaljuk. A rövidrezárt forgórészű aszinkron gépek felépítését később ismertetjük.

U

U’

W’

W

w’

w

u

u’

V’

V

v’

v

V

U

W

állórész

u w

forgórész

v

csúszógyűrűk

a. b.

11.1. ábra. Csúszógyűrűs aszinkron motor elvi felépítése (a) és a tekercsek kapcsolása (b)

Elektrotechnika

- 119 -

11.1.1. A csúszógyűrűs aszinkron gép mint forgómezős transzformátor

Kapcsoljuk az aszinkron gép állórészét háromfázisú feszültségre. Ekkor a szinkron-

gépnél leírt módon forgófluxus keletkezik, amely a forgórész tekercselésében feszültséget

indukál. Ha a forgórészt megfogjuk, akkor a forgórészben indukált feszültség 2f frekvenciája

megegyezik az állórész 1f frekvenciájával, mivel a forgófluxus másodpercenként 1f -szer

metszi a forgórész tekercseit. Ekkor a csúszógyűrűkről az álló- és forgórész menetszámará-

nyának megfelelő nagyságú feszültség vehető le. Mivel itt a szekunder feszültséget nem lükte-

tő fluxus, hanem forgófluxus hozza létre, ezért a megfogott forgórészű aszinkron gépet for-

gómezős transzformátornak nevezzük. Mivel az álló- és forgórész között légrés van, amely-

nek nagy a mágneses ellenállása, ezért a forgórész rövidrezárható, ellentétben a közönséges

vasmagos transzformátorral, amelynek szekunderét rövidrezárva a transzformátor tönkre-

megy.

11.1.2. A csúszógyűrűs aszinkron gép mint fázistoló

Ha a megfogott forgórészű aszinkron gép álló- és forgórész tekercseinek tengelyei

egybeesnek, akkor a csúszógyűrűkről a hálózati feszültséggel azonos fázisú feszültség vehető

le. Ha a tengelyt szöggel elforgatjuk a fluxus forgásirányába, akkor a fluxus a forgórész

tekercseit szöggel később metszi mint az állórész tekercseket, tehát a csúszógyűrűkről a

hálózati feszültséghez képest szöggel késő feszültség vehető le. A 11.2. ábra mutatja, az

álló- és forgórész által bezárt szöget (a) és az állórész feszültségéhez képest szöggel

késő forgórész feszültséget egy fázis esetében (b). A forgórészt önzáró csigahajtással lehet a

kívánt helyzetbe állítani. Ez ugyanis megakadályozza, hogy a forgórész magától elmozdul-

jon.

V

U

W

állórész

u w u

v

w

v

forgórész

U(t)

u(t)

U

t

a. b.

11.2. ábra. Az aszinkrongép mint fázistoló

Mentes Gyula

- 120 -

11.1.3. A csúszógyűrűs aszinkron gép mint frekvenciaváltó

Az előző fejezetben láttuk, hogy a megfogott forgórészt a forgófluxus az állórészre

kapcsolt feszültség frekvenciájának megfelelően 0n -szor metszette. Ha a forgórészt egy külső

géppel forgatjuk a forgófluxus irányának megfelelően n fordulatszámmal, akkor a forgórész

tekercseit egy körülfordulás alatt a forgófluxus nn 0 -szer metszi. A forgórészben indukált

feszültség frekvenciája nnf 02 . Az aszinkron gép fordulatszámát külső géppel 0 és 0n

között változtatva, a csúszógyűrűkről az 1f hálózati frekvencia és 0 közötti frekvenciájú fe-

szültség vehető le. Az aszinkron gépnek, mint frekvenciaváltónak a szerepe a félvezetős frek-

venciaváltók megjelenésével lényegesen lecsökkent.

11.1.4. Az aszinkron motor működése

Zárjuk rövidre a csúszógyűrűket. Ez a velük érintkező kefék fémes összekötésével

valósítható meg (11.3. ábra). Ekkor a forgórész tekercsei párhuzamosan kapcsolódnak. Mivel

a forgórész tekercstengelyei 120-ot

zárnak be egymással, ezért a

forgófluxus a forgórész tekercselé-

sében háromfázisú feszültséget in-

dukál, amelynek következtében az

egyes tekercsekben egymással azo-

nos nagyságú, de 120-os szöget

bezáró áramok folynak, amelyek

eredője a csomópontokban nulla

(11.4. ábra). A forgórészben folyó

áramok az állórész mágneses teré-

vel kölcsönhatásba lépnek, nyoma-

ték keletkezik és a forgórész gyor-

sulva forogni kezd. A forgórész

fordulatszáma azonban nem érheti

el a forgófluxus 0n fordulatszámát,

azaz nem foroghat vele szinkron-

ban. Ugyanis ebben az esetben a

fluxus mindig azonos lenne a forgó-

rész tekercsekben – nem lenne

fluxusváltozás – és emiatt a forgó-

részben nem indukálódna feszültség

ill. áram, a nyomaték megszünne. Mivel a forgórészbe kívülről nem vezetünk be gerjesztő

áramot, azt a forgófluxus indukálja a forgórész tekercselésében, ezért az aszinkron motort

szokás indukciós motornak is nevezni.

A 11.4. ábrán láttuk, hogy a forgórész tekercsei párhuzamosan kapcsolódnak. A teker-

csek helyett vezetőből készült rudak is lehetnek. Mivel a forgórész tekercselés az állórész

tekercseléshez hasonlóan a kerület mentén egyenletesen elosztott (egy fázis tekercselése 120-

ot foglal el), ezért a forgórész hornyaiban tetszőleges számú rudat helyezhetnek el. Ezeket a

rudakat a forgórész mellső- és hátsórészén gyűrűk zárják rövidre. Innen a „rövidrezárt forgó-

részű aszinkron gép” elnevezés. Mivel az így kialakított forgórész (11.5. ábra) kalickára ha-

sonlít, szokás az ilyen felépítésű gépeket kalickás forgórészű aszinkron gépeknek is nevezni.

V

U

W

w

u

Iu

v Iw Iv

11.3. ábra. Motorként üzemelő aszinkrongép

Elektrotechnika

- 121 -

A kisgépek kalickáit alumíniumból öntik és a rövidrezáró gyűrűkre ráöntik a ventillátorlapá-

tokat is.

A rövidrezárt forgórész minden rúdja külön

horonyban fekszik, így minden rúdban más-más

fázisú feszültség indukálódik, ezért a rövidrezárt

forgórész annyi fázisú, amennyi a rudak száma. A

fázisonkénti menetszám pedig 2

1.

A 11.6. ábra egy csúszógyűrűs a 11.7. ábra

pedig egy kalickás forgórészű aszinkron motor

szerkezeti felépítését mutatja.

11.5. ábra. Kalickás forgórész

Iu Iv

Iu

Iw Iv

Iw

120 120

120

Iu

Iv

Iw

11.4. ábra. Aszinkron motor forgó-

rész tekercsei és áramai

11.6. ábra. Csúszógyűrűs aszinkron motor szerkezeti felépítése

(1 tengely; 2 pajzs; 3 külső szellőző; 4 tekercsfej; 5 vastest; 6 állórész vastest; 7 bor-

dák; 8 burkolat; 9 pajzs; 10 rövidrezáró gyűrűk; 11 belső szellőző; 12 tekercsfej; 13

csúszógyűrű; 14 kefecsap)

Mentes Gyula

- 122 -

Szokás a forgófluxus 0n szinkronfordulatszámának és a forgórész n fordulat-

számának különbségét az 0n szinkronfordulatszámához viszonyítani. A viszonyszámot

szlipnek nevezzük:

0

0

n

nns

. (11.1)

Az előzőekben láttuk, hogy a forgórészben indukált feszültség 2f frekvenciája meg-

egyezik a forgófluxus és a forgórész fordulatszámának különbségével:

nnf 02 (11.2)

A 11.1 képletből n -et kifejezve és a 11.2-be helyettesítve, megkapjuk 2f -t a szlip függvé-

nyében:

12 sff . (11.3)

A szinkrongépek tárgyalásakor láttuk, hogy a szinkronmotor 0n fordulatszáma és a

motort tápláló feszültség 1f frekvenciája valamint a póluspárok száma között p

fn 1

0 össze-

függés áll fenn. Ez az aszinkron gép forgófluxusának fordulatszámára is igaz, mivel az állóré-

szek azonosak. A 11.1 képletből n -et kifejezve és p

fn 1

0 -t behelyettesítve megkapjuk az

aszinkron gép fordulatszám képletét:

sp

fsnn 11 1

0 (11.4)

11.7. ábra. Rövidrezárt forgórészű aszinkron motor szerkezeti felépítése

(1 állórész vastest; 2 állórész tekercsek; 3 szorítógyűrük; 4 forgórész vastest; 5

kalickarudak; 6 rövidrezáró gyűrük; 7 szellőzőszárnyak; 8 bordák; 9 ventillátorok; 10

pajzsok; 11 összefogó csavarok; 12 kapocstábla)

Elektrotechnika

- 123 -

A 11.8. ábra a szlip változásait mutatja a fordulatszám függvényében. Az ábra feltünteti a

forgórészben indukált feszültség 2f frekvenciáját is.

Álló helyzetben a szlip 1, a forgórészben indukált feszültség frekvenciája megegyezik

az állórészt tápláló feszültség 1f frekvenciájával. 0nn esetében 0s és 02 f . Az

aszinkron gépet szinkronfordulatszám fölé pörgetve a gép átmegy generátor üzembe és ener-

giát táplál vissza a hálózatba. Ebben az esetben a szlip negatív. Ha az aszinkrongépet

forgófluxussal ellentétes irányban hajtjuk, akkor a gép féküzemben működik.

Az aszinkron gépek üzemi viszonyainak tanulmányozásához fontos a gép nyomatéka

és fordulatszáma közötti kapcsolat ismerete. A levezetés mellőzésével az aszinkron gép nyo-

matéki görbéjét a 11.9. ábra mutatja. A nyomatéki görbéből látható, hogy az aszinkron gép

motorüzemben maximálisan az bmM billenőnyomatékkal terhelhető, a generátor pedig az

bgM billenőnyomatékkal hajtható. Ennél nagyobb nyomatékkal hajtva a generátor megszalad.

A generátoros billenőnyomaték nagyobb, mint a motoros: bmbg MM . A generátoros

billenőnyomatékhoz tartozó szlip abszolút értékben megegyezik a motoros

billenőnyomatékhoz tartozó szlippel. A nulla fordulatszámhoz tartozó nyomatékot iM indí-

tónyomatéknak nevezzük. Ez lényegesen kisebb, mint a billenőnyomaték. Ez azt jelenti, hogy

a motor kisebb nyomatékkal indítható, mint amivel terhelhető. A gyakorlatban sok esetben

szükséges lehet a motort az indítónyomatéknál nagyobb terhelőnyomatékkal indítani. Erre

lehetőséget ad az, hogy a motor nyomatéki görbéje a forgórész ellenállásának változtatásával

módosítható. Ez csúszógyűrűs motorok esetében a csúszógyűrűkhöz kapcsolt KR külső ellen-

állás segítségével érhető el. Ebben az esetben az KR külső ellenállás sorbakapcsolódik a for-

górész ellenállásával és megnöveli azt. Az aszinkron motor nyomatéki görbéjének változását

az KR függvényében a 11.10. ábra mutatja. Természetesen a kalickás motorok forgórészével

nem lehet ellenállást sorbakapcsolni, ezért ott a nyomatéki görbe befolyásolására más mód-

szereket dolgoztak ki. Ezeket a megoldásokat a kalickás motorok indításának tárgyalása során

ismertetjük.

f2s

n

1f1

féküzem motorüzem generátorüzem

n0

11.8. ábra. A szlip változása a fordulatszám függvényében

Mentes Gyula

- 124 -

11.2. Aszinkron gépek üzemi viszonyai

11.2.1. Aszinkron gépek indítása

Aszinkron gépek bekapcsolásakor névleges áramuknak kb. 5-6-szorosát veszik fel.

Nagyteljesítményű gépek esetében a bekapcsolási áramlökés igen nagy. Ez egyrészt erősen

megterheli a hálózatot. A hálózati feszültségesés más berendezések működésében zavart

okozhat, ezért az áramszolgáltató megadja, hogy maximálisan mekkora teljesítményű moto-

rok indíthatók közvetlen hálózatrakapcsolással. Másrészt az indítási áramlökés igen erősen

igénybe veszi a motor tekercsfejeit (azonos irányú árammal átjárt vezetékek taszítják egy-

mást), ezért nagyteljesítményű motorok esetében megerősített tekercsfejű motort kell a gyár-

tótól rendelni. Nagy ipartelepeken lehetőség van 500 kW teljesítményű motorok közvetlen

hálózatrakapcsolással való indítására is.

M

Mbm

Mi

n=0 n

s=1

féküzem motorüzem generátorüzem

s=0

n0

Mbg

11.9. ábra. Aszinkron gép nyomatéki görbéje

M

Rk10

Rk2Rk10

Rk0=0

nn0

11.10. ábra. A csúszógyűrűs aszinkron motor nyomatéki görbéje a forgórésszel

sorbakapcsolt KR külső ellenállások esetében

Elektrotechnika

- 125 -

Másik követelmény az aszinkron motorok indításával kapcsolatban az indítási nyoma-

ték megnövelése. Amint azt a nyomatéki görbéből láttuk, az indítási nyomaték lényegesen

kisebb, mint a motor maximális terhelőnyomatéka, az bM billenőnyomaték. Mivel gyakran

szükséges a motort terhelve indítani (pl. daruk esetében), ezért az iM indítónyomatéknál na-

gyobb terhelőnyomaték esetében gondoskodni kell az indítónyomaték megnöveléséről. A

későbbiekben látni fogjuk, hogy az indítási áramlökés csökkentése és az indítónyomaték nö-

velése egymásnak ellentmondó követelmények.

11.2.1.1. Bekapcsolási áramlökés csökkentése rövidrezárt forgórészű motorok esetében

A bekapcsolási áramlökés csökkentése kalickás forgórészű aszinkron gépek esetében a

gép kapcsaira jutó feszültség csökkentésével érhető el. Ez három alapvető módon valósítható

meg:

1. a hálózat és a gép kapcsai közé ellenállást kapcsolunk,

2. a gépre jutó feszültséget transzformátorral csökkentjük,

3. csillag-delta átkapcsolás.

11.2.1.1.1. Indítás előtétellenállással

Az indítási áramlökés csökkentésének elve az, hogy a motor és a hálózat kapcsai közé

kapcsolt ellenálláson feszültség esik, és a motorra kisebb feszültég jut, ami miatt csak kisebb

áramlökés tud kialakulni (11.11. ábra). Ha a hálózati kapocsfeszültség 1U és az ellenálláson

eső feszültség miatt a motorra csak a

U1 feszültség jut, akkor Ohm törvénye értelmében a mo-

tor indító áramlökése a -ad részére csökken. Ugyanannyi lesz a hálózatot terhelő áramlökés

is, mivel az aszinkron motor nyomatéka a kapocsfeszültség négyzetével arányos, azért a mo-

tor indítónyomatéka az eredetihez 2

1UKM i képest 2a -ed részére csökken:

2

2

1

a

M

a

UKM i

i

(11.5)

Láthatjuk, hogy ha az indítási áramlökést

pl. felére csökkentjük, akkor a motor indítási

nyomatéka a negyedére csökken. Nagy motorok

esetében nem célszerű az előtét ellenállás haszná-

lata, mivel igen nagy lesz az indítási veszteség, és

az ellenállásokat nagy hőleadásra kell méretezni.

Ellenállásuk helyett váltakozóáramú reaktanciát,

ún. forgótekercset (légréssel ellátott vasmagos

tekercs) is alkalmazhatunk.

a

II i

i

Ri

a

II i

i

M

Ri Ri

S R

T

11.11. ábra Indítási áramlökés csök-

kentése előtétellenállással

Mentes Gyula

- 126 -

11.2.1.1.2. Transzformátoros indítás

Ezzel a módszerrel nagyfeszültségű motorokat célszerű indítani és takarékkapcsolású

transzformátort célszerű alkalmazni a 11.12. ábrán látható módon. A takarékkapcsolású

transzformátornál ezt a 2K kapcsoló segítségével csillagba kapcsoljuk és a 1K kapcsolóval a

motort a hálózatra kapcsoljuk. A motor közvetlenül a transzformátor leágazásához csatlako-

zik. Indításkor 3K az ábrán rajzolt helyzetben van. Ekkor a motorra a

UU 1

1 feszültség jut.

A motort terhelő indítási áramlökés az eredeti iI

áramlökés a -ad része: a

II ii . Az indítónyoma-

ték az ellenállásos indításhoz hasonlóan 2a -ed

részére csökken: 2a

MM i

i .

A hálózatot ebben az esetben nem a motor

árama, hanem a transzformátor primer árama ter-

heli, amely a szekunder áram a -ad része. Így a

hálózatot terhelő áramlökés a terhelő áramlökés

a -ad része lesz: 2a

I

a

II ii

i

, vagyis az indítási

áramlökés 2a -ed része a közvetlen indításkor fel-

lépő áramlökésnek

A motor felpörgése után a 2K kapcsoló

nyitásával (ábrán bejelölt helyzet) megszüntetjük a

transzformátor csillagpontját. Ekkor a transzfor-

mátornak a megcsapolás előtti menetei a motorral

sorbakapcsolt folytótekercsként (ld.

előtétellenállásos indítás) szerepelnek. Ezt követő-

en a 3K zárásával a motor kapcsait közvetlenül a

hálózatra kötjük.

11.2.1.1.3. Indítás csillag-delta átkapcsolással

Az üzemszerűen deltakapcsolásban működő kisteljesítményű motorokat KW3 telje-

sítmény fölött csillag-delta átkapcsolással indítják. Ez azt jelenti, hogy indításkor a motort a

csillagban kapcsolják hálózatra és felpörgése után átkapcsolják deltába. Deltakapcsolásban a

motor fázistekercseire 1U vonali feszültség jut, míg csillagkapcsolásban 3

1U (11.13. ábra).

Ha deltakapcsolásban a motor egy tekercsének fázisárama iI , akkor a hálózati terhelő vonali

áram iiv II 3 . Csillagkapcsolásban a motort terhelő indítóáram a 3 -adára csökkent fázis-

feszültség miatt 3

i

i

II , amely megegyezik a hálózatot terhelő árammal. A deltakapcsolás-

hoz képest csillagkapcsolásban a hálózatot terhelő áramlökés egyharmadára csökken:

ST

U V W

A B CK1

A1 B1 C1

Tr

K2

N

K3

M~

R

11.12. ábra. Transzformátoros indí-

tás

Elektrotechnika

- 127 -

R

S

T

x z y

U V W

Y X Z

0 y

11.14. ábra. Csillag-delta átkapcsoló

3

1

3

3

i

i

iv

i

I

I

I

I. Mivel csillagkapcsolásban a motor fázistekercseire jutó feszültség az üzem-

szerű deltakapcsoláshoz képest 3 -adára csökken, ezért a motor indítási nyomatéka a delta-

kapcsolásban működő motorénak 3

1-a lesz.

Egy aszinkron motor cos -je annál rosszabb, minél kevésbé van terhelve. A meddő

teljesítmény-fogyasztás nagymértékben csökkenthető, ha a kevésbé terhelt motorokat csillag-

ba kapcsolják. Ekkor a fázistekercsekre jutó feszültség a vonali feszültség 3 -ada és így az

indukció is 3 -ára csökken (a mágnesezési görbe nemlinearitását elhanyagolva). Mivel a

mágneses energia az indukció négyzetével arányos, ezért a csillagkapcsolásban felvett meddő-

teljesítmény 3

1-a a deltakapcsolásban

felvettének. Emiatt a motorokat % 40 -os

terhelésig célszerű csillagkapcsolásban

járatni.

A motorok indítása kézi csillag-

delta átkapcsolással történik, de vannak

automatikus átkapcsolók is. A 11.14. ábra

csillag-delta átkapcsolót mutat, a K kap-

csoló a motor bekapcsolására szolgál. Ha

az Y érintkezők záródnak, akkor a motor

csillagban működik (D érintkezők nyi-

tottak). Fordított esetben a motor delta-

kapcsolásban üzemel. Az ábra a motor

kapcsait mutatja. Az egyes fázistekercsek

az zWyVxU , , jelű kapcsok kö-

zé vannak kötve.

U1

3

1U

3

iI

33

iif II

U1

fi II 3

Iif

11.13. ábra. A csillag- ill. deltakapcsolás áram- és feszültségviszonyai

Mentes Gyula

- 128 -

Xk=Lk

Xb=Lb

11.16. ábra. A mélyhornyú motor

egy kalickarúdját körülfogó erő-

vonalak

11.17. ábra. Kétkalickás

motor forgórésze

11.2.1.2. Rövidrezárt forgórészű aszinkron motorok indítási nyomatékának megnövelése

Aszinkron motorok indítási nyomatéka a nyomaték-fordulatszám karakterisztika mó-

dosításával, azaz a forgórész ellenállásának megnövelésével lehetséges. Mivel rövidrezárt

forgórészű motorok forgórészébe külső ellenállás nem köthető be, ezért az ilyen motoroknál

mélyhornyú vagy kétkalickás forgórészt készítenek.

11.2.1.2.1. Mélyhornyú motor

A mélyhornyú motor elvét 11.15. ábra mutatja. Az ábrán a kalickának csak egy rúdja

látható, amely keskeny téglalap alakú. Osszuk fel gondolatban ezt a vezető rudat több egy-

mástól elszigetelt vezetőre a 11.16. ábrán látható módon. Az ábrába berajzoltuk az egyes ve-

zetőkhöz tartozó mágneses erővonalak útját is. A ferromágneses anyagból készült forgórészé-

nek sokkal kisebb a mágneses ellenállása, mint a széles horonynak (a horonyban lévő vezető

nem ferromágneses anyag, ezért mágneses ellenállása a levegőével azonos nagyságrendű),

ezért valamennyi vezetőt körülvevő erővonal körül-

veszi az alsó vezetőt is. Az ábrából látható, hogy mi-

nél mélyebben helyezkedik el egy vezető, annál több

mágneses erővonal veszi körül. Ez úgy is felfogható,

hogy a belső vezetőknek nagyobb az bL önindukciós

tényezője, mint a külső vezetőké kL . Emiatt az in-

dítás pillanatában, amikor a forgórészben indukált

feszültség frekvenciája nagy ( nagy), a belső veze-

tők szórási reaktanciája nagyobb, mint a külsőké:

kb XX . Az áram a belső vezetőkből kiszorul a kül-

ső vezetőkbe, ami azt jelenti, hogy lecsökken az

áramvezető keresztmetszete, vagyis megnő a kalicka

ellenállása. Ha a forgórész felpörög, akkor a benne

indukálódó feszültség frekvenciája kicsi lesz, ezért

bX és kX közel megegyezik és az áram visszatér a

belső vezetőkbe, a kalicka ellenállása lecsökken. Ez-

zel a megoldással az indítás (felpörgés) idő tartamára

a forgórész ellenállása és ezzel együtt a motor indító-

nyomatéka automatikusan megnövelhető.

11.2.1.2.2. Kétkalickás motor

A motor forgórésze két különálló kalickával készül a

11.17. ábrán látható módon. A külső kalicka nagy ellenállá-

sú, amelyet nemcsak a kisebb keresztmetszettel, hanem nagy

fajlagos ellenállású vezető alkalmazásával érnek el. A belső

kalicka kis ellenállású. Indításkor a belső kalickából kiszorul

az áram a nagy ellenállású külső kalickába a mélyhornyú

motornál ismertetett módon. Ezáltal indításkor a

forgórészellenállás és ezzel együtt az indítónyomaték meg-

növekszik.

11.2.2. Csúszógyűrűs aszinkron motorok indítása

11.15. ábra. Mélyhornyú motor

forgórészének egy hornya a

kalickarúddal

Elektrotechnika

- 129 -

Csúszógyűrűs motorok indítási nyomatékának megnövelése a forgórész ellenállásának

megnövelésével történik a csúszógyűrűkhöz kapcsolt külső ellenállás segítségével. Ez egyút-

tal az indítási áramlökést is csökkenti. Az indítási folyamatot a 11.18. ábra szemlélteti. A csú-

szógyűrűkhöz akkora 2kR ellenállást kapcsolunk, hogy a motor indítási nyomatéka nagyobb

legyen, mint az tM terhelő nyomaték. Ekkor a motor forogni kezd és fordulatszáma 2n -ig

növekszik.

Ekkor az 2kR -nél kisebb 1kR ellenállást beiktatva a fordulatszám tovább növekszik

1n -ig, ezután a csúszógyűrűket rövidre zárva a fordulatszám az ün fordulatszámig növekszik.

A gyakorlatban akkor kapcsolunk át a kisebb ellenállású fokozatra, ha a motor alapján azt

tapasztaljuk, hogy a fordulatszám már nem növekszik tovább. Megbízhatóbban állapítható

meg, hogy mikor lehet a következő fokozatba kapcsolni, ha a motor és a hálózat közé kapcsolt

ampermérőn látjuk, hogy az indítási áram már nem csökken tovább. Fokozatmentes lehet az

indítás, ha a forgórészkörbe folyadékos indítóellenállást kapcsolnak. Ennek egymástól elszi-

getelt lemez-elektródái vannak, amelyeket elektrolitba lehet meríteni. Teljesen kiemelt elekt-

ródák esetén az ellenállás végtelen nagy. Minél nagyobb az elektrolitbe merített lemezfelület,

annál kisebb az ellenállás. Ha az elektródákat teljesen besüllyesztjük, akkor azokat fém érin-

tőkhöz zárják rövidre.

11.3. Aszinkronmotorok fordulatszám szabályozása

Az aszinkronmotorok fordulatszámát az egyenáramú motorokkal szemben csak jelen-

tős veszteségek árán vagy költséges segédberendezésekkel lehet változtatni. A fordulatszám

változtatásának módszerei a (11.1) fordulatszám képletből

sp

fn 11 (11.1)

olvashatók ki. Eszerint az aszinkronmotorok fordulatszámát a primer frekvencia (az állórészt

tápláló feszültség frekvenciája), a pólusszám vagy a szlip változtatásával lehet befolyásolni.

11.3.1. A primer frekvencia változtatása

M

Rk1

Rk2Rk1

Rk=0

nn0

Mt

n2 n1 nü

11.18. ábra. Csúszógyűrűs aszinkron motor indítása

Mentes Gyula

- 130 -

M

n0 1,2n n0,8n00,2n0 0,4n 0,6n

11.20. ábra. A szinkron motor nyomatékának

változása a primer frekvencia változtatásával

Mivel a hálózati frekvencia állandó, ezért az 1f primer frekvencia változtatása csak a

hálózat és a motor közé kapcsolt frekvenciaváltó segítségével lehetséges. Ilyen frekvenciavál-

tó a csúszógyűrűs aszinkron gép, amelyet külső géppel forgatunk. A csúszógyűrűkről levett

feszültség frekvenciája 12 sff , tehát a szlippel változik. A csúszógyűrűs aszinkronmotor

frekvenciaváltóként való alkalmazása a félvezetős frekvenciaváltók segítségével jelentősen

lecsökkent. Ezért az ilyen elven működő fordulatszabályozós gépcsoportokat új hajtásokban

nem alkalmazzák. A 11.19. ábra egy félvezetős frekvenciaváltó invertert mutat. Ennél a háló-

zati feszültséget előbb egyenirányítják, majd ebből a motor hajtásához szükséges háromfázisú

feszültséget állítanak elő. Mivel a motor tekercselésében a primer indukált feszültség a frek-

venciával arányosan változik, ezért a motor feszültségét a frekvenciával arányosan kell vál-

toztatni, ha azt akarjuk, hogy a motor fluxusa és ezzel együtt a nyomatéka ne változzék. A

motor vesztesége a frekvencia négyzetével arányos, ezért a névleges frekvencia fölött a ka-

pocsfeszültséget már nem lehet a frekvenciával arányosan növelni, ezért a nyomaték lecsök-

ken. Kis frekvenciák esetében a tekercselés ohmos ellenállása dominál, ezért itt a feszültséget

a frekvenciánál nagyobb mértékben kell növelni az állandó nyomaték érdekében.

Ha a motort az inverterrel a

fent leírt módon vezéreljük, akkor a

nyomatéki görbe alakja nem változik.

A frekvenciát változtatva az nM

jelleggörbék önmagukkal párhuza-

mosan tolódnak el a fordulatszám

tengely mentén (11.20. ábra). A fél-

vezetős frekvenciaváltók ára többszö-

röse az aszinkronmotorénak, ezért a

fordulatszám szabályozásának ez a

módja igen költséges.

f1U1

U2f2

U

T

V

WS

R

EgyenirányítóHáromfázisú

áramirányító

U1f1

M

Vezérlő- és szabályzókör

Ue

11.19. ábra. Aszinkronmotor fordulatszámának szabályozása félvezetős frekven-

ciaváltóval

Elektrotechnika

- 131 -

U

X

É

É

D

D

U

X

É

D

a. b.

11.21. ábra Póluspárok számának változása Dahlander kapcso-

lás esetén

I

R

1U-2N

T

I

2U 1V-2N

2W 2V

1V-2N

P2

I

RS

1U-2N

1W-2N

T

I

2U

2W 2V

S

1W-2N

a. b.

11.22. ábra Dahlander kapcsolás (háromszög-kettős csil-

lag)

11.3.2. A póluspárszám változtatása

A tekercselés pólusszámának megváltoztatásával többfokozatú fordulatszám szabá-

lyozás érhető el, mivel minden pólusszámnak más-más szinkron fordulatszám felel meg. El-

vileg a legegyszerűbb megoldás az lenne, ha az állórészbe több egymástól független külön-

böző pólusszámú teker-

cselést építenénk, ame-

lyek közül mindig a kí-

vánt szinkron fordulat-

számhoz tartozót kap-

csolnánk a hálózatra.

Valójában az ilyen gép

nem gazdaságos, mivel a

beépített rézmennyiség-

nek csak egy része van

kihasználva, és a teker-

cselés helyszükséglete

miatt a vastest méretei is

megnövekednek. Ehelyett olyan tekercselést szokás alkalmazni, amely megfelelő átkapcsolá-

sokkal két különböző pólusszámra használható, ezt a megoldást, felfedezőjéről Dahlander-féle

kapcsolásnak is szokás nevezni (11.20. ábra).

Dahlander a megfelelően kialakított egyetlen tekercselést két részre osztotta, és a két

tekercselést sorban vagy párhuzamosan kötötte. A soros kapcsolásnál a pólusok száma kétszer

annyi, mint párhuzamos kapcsolásnál. A 11.21a. ábrán a tekercsek sorba vannak kötve. A

pillanatnyi áramirányt berajzoltuk. Ugyancsak feltüntettük a tekercsoldalakhoz tartozó erővo-

nalakat. Látható, hogy négy pólus alakult ki. A 11.21b. ábrán a tekercseket párhuzamosan

kapcsoltuk. A pillanatnyi

áramirányok és erővo-

nalirányok mutatják, hogy

most csak két pólus keletke-

zett. A módszerrel a fordulat-

számot 1:2 arányban lehet

változtatni. Az ábrán csak az

U fázishoz tartozó két teker-

cset tüntettünk fel.

Megjegyezzük, hogy

soros kapcsolásoknál a me-

netszám megduplázódik, ami

a fluxus csökkentését okozza

( 1144,4 fNUe kifejezés

szerint). A bajon Dahlander

azzal segített, hogy soros

kapcsolásnál a három fázist

deltába (11.22a. ábra), párhuzamos kapcsolásnál pedig csillagba kötötte (11.22b. ábra). Ez

megfelel egy kettős csillagnak (11.22b. ábra). Ezzel elérte, hogy nagyobb menetszámnál a fá-

zisfeszültség nagyobb, így a fluxus lényegesen nem változik.

Csúszógyűrűs motornál, mind az állórész, mind a forgórész tekercset pólusátkapcso-

lósra kell készíteni. Kalickás gépnél csak az állórész tekercset, mivel a kalickás forgórész

mindig az állórésznek megfelelő pólusszámú.

Mentes Gyula

- 132 -

11.3.3. A szlip változtatása

Az aszinkron motor szlipje a forgórészben veszteséggé alakuló teljesítménytől függ.

Csúszógyűrűs motorok esetében külső ellenállások segítségével a forgórész veszteségi telje-

sítményét megnövelhetjük, ezáltal a fordulatszám széles határok között változtatható. Egy

adott terhelőnyomaték esetében minden ellenálláshoz más-más fordulatszám tartozik (11.23.

ábra).

Az indító és a fordulatszám szabályozó ellenállás között a különbség csak az, hogy az

utóbbit tartós terhelésre méretezik. Az indítás időtartama ugyanis rövid, míg a fordulatszám

szabályozó ellenállás tartósan be van kapcsolva. A gyakorlatban fordulatszám szabályozó

ellenállás nagy hőterhelése miatt a szlipszabályozással a fordulatszámot csak a fordulatszám

tartomány 20 … 30 %-ában változtatják. A fordulatszám szabályozásnak ez a módja nagyon

veszélyes, ezért az utóbbi időben olyan fordulatszám szabályozási módszereket dolgoztak ki,

amelynél a csúszógyűrűkről levett teljesítmény hasznosítható.

Egy ilyen megoldás például, amikor a csúszógyűrűkről levett teljesítményt

egyirányítják, amelyet félvezető inverterrel háromfázisú teljesítménnyé alakítanak és vissza-

táplálnak a hálózatba. A forgórészből kivett teljesítmény és ezáltal a motor fordulatszáma az

inverter kivezérlésével változtatható.

Mivel a kalickás motorok forgórésze nem hozzáférhető, ezért ezeknek a motoroknak a

fordulatszáma a szlippel nem változtatható.

11.4. Aszinkronmotorok forgásirány váltása

Az aszinkrongépek forgásirányának megváltoztatása a fluxus forgásirányának megvál-

toztatásával érhető el. Ez utóbbi, ahogy azt a 10.1 fejezetben a forgófluxus keletkezésének

tárgyalásakor láttuk, két fázis felcserélésével érhető el.

11.5. Aszinkron motorok fékezése

Fékezésre az aszinkron gép többféleképpen is felhasználható. Minden esetben a köve-

telmények alapján kell kiválasztani a megfelelő módszert.

M

Rk1

Rk2Rk1

Rk=0

nn0

Mt

n2 n1 nü

11.23. ábra. A fordulatszám szabályozása a szlip változtatásával

Elektrotechnika

- 133 -

M

n n0

Mt

n2 n1

11.24. ábra. Haszonfékezés aszinkron motorral

M

nn0

-M=f(n)

n1

-n

-M

n0

M=f(n)

-M1=f(n)

0

a

b

11.25. ábra Lassítófékezés

M

nn0-nf

Mt

11.26. ábra. Tehersüllyesztés

11.5.1. Haszonfékezés

Teher süllyesztés vagy

lejtmenet esetében az aszinkron

gép fordulatszáma a szinkron

fölé emelkedik a motor átmegy

generátorüzembe és a tengelyen

felvett mechanikai energiát vil-

lamos energiává alakítva vissza-

táplálja a hálózatba. A 11.24.

ábrán látható, hogy a for-

dulatszám csak a generátoros

billenőnyomatékig nőhet. Ennél

nagyobb nyomaték esetében a

forgórészkörbe iktatott ellenállás

segítségével a motor fordulat-

száma változtatható.

11.5.2. Ellenáramú fékezés

A forgófluxus forgásiránya, tehát a motor nyomatéka is ellentétes a forgás irányával.

Ez kétféleképpen valósulhat meg:

1. A munkagép forgásiránya, vagyis a terhelőnyomaték iránya változatlan marad és két fázis

megcserélésével megfordítjuk a forgófluxus irányát. Ezt nevezzük lassító fékezésnek. Eb-

ben az esetben vigyázni kell, hogy a motor a megállásig ne lassuljon, mert ha a a motort a

megállás pillanatában nem kapcsoljuk ki, akkor ellenkező irányba kezd forogni. A 11.25.

ábrán a M jelű görbe mutatja az ellenkező irányba forgó fluxusú gép nyomatéki görbé-

jét. A fékezés az a jelű görbeszakaszon megy végbe. A forgórészkörbe iktatott ellenállás

segítségével elérhető, hogy a fékezés a billenőnyomatékkal kezdődjön (b jelű görbe).

2. A forgófluxus iránya változatlan marad és megváltozik a munkagép forgásiránya. Ezt,

tehersüllyesztésnek nevezzük. Ebben az esetben a forgórészbe iktatott ellenállás nélkül

nem lehet stabil üzemállapotot megvalósítani. Ez utóbbi megvalósításához akkora külső

ellenállást kell a csúszógyűrűkhöz kapcsolni, hogy a billenőnyomaték a féktartományba

kerüljön (11.26. ábra).

Mentes Gyula

- 134 -

R

T

X

S

11.28. ábra. Egyfázisú aszinkronmotor

11.5.3. Dinamikus fékezés

Ennél a fékezési módnál a gépet lekapcsoljuk a hálózatról és egyenáramra kapcsoljuk,

a csúszógyűrűkhöz pedig fékező ellenállásokat kapcsolunk. A 11.27 ábra két megvalósítási

lehetőséget mutat. Ebben az esetben az állórészben folyó egyenáram egy állandó nagyságú

álló fluxust gerjeszt, amely metszi a forgórész tekercseket és azokban olyan áramot indukál,

amely a forgórész forgási sebességét csökkenti.

11.6. Egyfázisú aszinkronmotor

Ha egy háromfázisú aszinkronmotor

egyik fázisát megszakítjuk, akkor az tovább fo-

rog. Ha megállítjuk, akkor magától nem indul el.

A 11.28. ábrán látható, ha egy fázist megszakí-

tunk, akkor a gép egyfázisú táplálást kap, a két

sorba kapcsolt tekercsre vonali feszültség jut. Ez

egy szinuszosan lüktető álló fluxust hoz létre,

amely egy max és max között változik.

Lüktető fluxus két egymással szembeforgó flu-

xus eredőjeként állítható elő a 11.29. ábrán lát-

ható módon.

Amíg a forgórész áll, a két szembeforgó

összetevő egyenlő fordulatszámmal forog hozzá

képest. A forgórész tekercselésében a két össze-

tevőnek megfelelően két indukált feszültséget és

két áramot képzelhetünk el, amelyek abszolút

Ie

eI3

2

3

eI

Ie

Ie

Ie

3eg II Ie

Ie

eg II

eI3

2

eI3

2

eI3

2

eI3

1

11.27. ábra. Példák az állórész egyenfeszültségre kap-

csolására dinamikus fékezés esetén

Elektrotechnika

- 135 -

’ ”

’ ”

”’

=0

’ ”

” ’

11.29. ábra. Lüktető fluxus előállítása

két szembeforgó fluxus eredőjeként

B

U V W

U0

A

n

n0

ng

Uv

11.30. ábra. Az egyfázisú aszinkronmotor

mint két egymással szembenforgó háromfá-

zisú aszinkronmotor

értékei azonos nagyságúak. A mágneses tér összetevői a saját áramokkal olyan nyomatékot

hoznak létre, amelyik a forgórészt a mező forgásirányába akarja magával vinni. A teljes

szimmetria miatt ezek a nyomatékok egyenlő

nagyok, de ellentétes irányúak, így a forgórész

nem tud elindulni. Az egyfázisú aszinkronmo-

tor úgy fogható fel, mint két összekapcsolt

tengelyű, egymással szemben forgó háromfá-

zisú aszinkronmotor (11.30. ábra).

A 11.31. ábra a két szemben forgó háromfázisú aszinkronmotor nyomatéki görbéit

tünteti fel irányhelyesen. A két görbe eredője adja az egyfázisú aszinkronmotor nyomatéki

görbéjét. Az eredőből látható, hogy az egyfázisú aszinkronmotornak nincs indítónyomatéka.

Ha valamelyik irányban forgásba hozzuk a gépet, akkor az együttfutó fluxus fékezőnyomaté-

kot ad. Igazolható, hogy az egyfázisú aszinkronmotor teljesítménye 0,58-szorosa a háromfázi-

sú táplálás esetén leadott teljesítménynek.

Mivel az egyfázisú aszinkronmotornak indítónyomatéka nincs, a gép indításához se-

gédfázist alkalmaznak. Az egyfázisú aszinkron gép állórészének 3

2 részét foglalja el a főfázis

tekercselésébe, 3

1 részét pedig a segédfázisé. Állandó amplitudójú forgófluxus keletkezik, ha

a főfázis és a segédfázis tekercsei közötti térbeli szög megegyezik a tekercsekben folyó ára-

mok közötti időbeli fáziseltolás szögével. Az egyfázisú gép főfázis tekercsével 90-os szöget

zár be a segédfázis tekercse: 90-os fáziseltolást kellene megvalósítani a főfázis árama és a

segédfázis árama között.

Mentes Gyula

- 136 -

M

nn0

-n0

11.31. ábra. Egyfázisú aszinkronmotor

nyomatéki görbéje

~

XC R XL

Ff

Sf

11.32. ábra. A segédfázisos motor

kapcsolása

A közel 90-os fáziseltolás kondenzátorral valósítható meg. A szaggatott vonallal jel-

zett kapcsolás adja az ellentétes forgásirányt. A segédfázist kapcsolón keresztül csatlakoztat-

juk a hálózatra. Indítás után a segédfázist kikapcsoljuk, ezzel csökkentjük a gép üzemi veszte-

ségét. A kondenzátort helyettesíthetjük fojtótekerccsel, vagy ellenállással is.

Elektrotechnika

- 137 -

12. EGYENÁRAMÚ GÉPEK

A villamos gépek elterjedésnek kezdeti korszakában többnyire egyenáramú gépeket

használtak. Hamar rájöttek azonban, hogy a villamos energia továbbítása váltakozó áramon

sokkal gazdaságosabban valósítható meg. Váltakozófeszültségű hálózatokban a villamos

energia kis feszültségen állítható elő, nagy feszültségen kisebb áramerősséggel szállítható és

kis feszültségen használható fel. Ez a körülmény a váltakozó áramú gépek kifejlesztéséhez

vezetett, amelyek ma már könnyebbek, üzembiztosabbak és olcsóbbak az egyenáramú gépek-

nél. Az egyenáramú gépeknek - főként a motoroknak – azonban bizonyos üzemi tulajdonsá-

gai, mint például az indítás, fordulatszám szabályozás, nyomaték – fordulatszám karakterisz-

tika, olyan előnyösek, amilyenekkel a váltakozó áramú gépek nem rendelkeznek. Ezért sok

feladatra - ahol ezek az előnyös tulajdonságok különösen fontosak – ma is egyenáramú gépe-

ket használnak. Az egyenáramú motorok alkalmazását nagymértékben megkönnyíti az a tény,

hogy a működésükhöz szükséges egyenfeszültség a háromfázisú feszültségből félvezető

egyenirányítóval könnyen előállítható. A motorgyártó cégek a motorokat az egyenirányítóval

egybeépített vezérlővel együtt szállítják, ezért ezek a motorok a legkülönfélébb feladatok

megoldására könnyen alkalmazhatók. A vezérlőkészülékeket különböző interfészekkel szállít-

ják, így a számítógépes vezérlés könnyen megoldható. A félvezetős egyenirányítók miatt az

egyenáramú generátorok felhasználási köre jelentősen csökkent.

12.1. Egyenáramú generátorok működési elve

Az egyenáramú generátorok elve azon alapul, hogy ha egy vezető keretet B indukciójú

homogén térben megforgatunk, akkor benne szinuszos feszültség indukálódik. Forgassunk

meg egy vezető keretet egy állandó mágnes vagy egyenárammal gerjesztett elektromágnes két

pólusa között. A keret két végét kössük a keret tengelyén – attól elszigetelten – elhelyezett két

csúszógyűrűhöz (12.1a. ábra). A csúszógyűrűkkel érintkező kefékről ekkor szinuszos feszült-

ség vehető le:

tBAui sin (12.1)

É

D

Ui

lágyvas

henger

semleges

vonal

É

D

a. b.

12.1. Egyenáramú generátor elve

Mentes Gyula

- 138 -

Mivel adott indukció előállításá-

hoz annál kisebb gerjesztés szükséges,

minél kisebb a légrés, ezért a vezető ke-

retet egy lágyvas henger hornyában he-

lyezik el. A légrésben az indukció nem

homogén, hanem a 12.1b. ábrán bemu-

tatott módon torzul, ezért az indukált

feszültség eltér a szinuszostól és a 12.2.

ábrán szaggatott vonallal jelölt alakú

lesz.

Ha a keret két oldalát egymástól

elszigetelt két félgyűrűhöz kötjük a

12.3a. ábrán látható módon, akkor a ke-

fékről lüktető egyenfeszültség vehető le.

Amikor a vízszintes síkba kerülő vezető-

keretben az áram iránya megfordul, akkor a szegmensek is helyet cserélnek. Tehát a felső

szegmens mindig az északi, az alsó pedig a déli pólus alatt mozgó vezetékhez csatlakozik.

Ezért az áram a felső szegmensen mindig kifelé, az alsó szegmensen pedig mindig befelé fo-

Ui

t

12.2. ábra. Egyenáramú generátor forgórész

tekercsében indukált feszültség (szaggatott vo-

nal)

É

D

+

-

Ui

t

a. b.

12.3. ábra. Kommutátor

a

b

A

B

t

U

a. b.

12.4. ábra. Több vezetőkeret és kommutátorszelet esetén kialakuló egyenfeszültség

Elektrotechnika

- 139 -

lyik. A szegmensekről tehát a 12.3b. ábrán látható lüktető egyenfeszültség vehető le. A felső

szegmens az ábrán látható egyenáramú generátor pozitív pólusa. A két szegmensből álló gyű-

rűt kommutátornak nevezzük. A célunk azonban az, hogy minél simább egyenfeszültséget

állítsunk elő, ezért a forgórészre több keretet helyezünk el és minden keretoldalt egy szeg-

menshez csatlakoztatunk a 12.4a. ábrán látható módon. A kapott feszültséget 12.4b. ábra mu-

tatja. Könnyű belátni, hogy minél több keretoldal helyezkedik el a kerület mentén, annál si-

mább egyenfeszültséget kapunk. Ennek a megoldásnak az a hátránya, hogy a kefék mindig

csak egy kerethez tartozó kommutátorszeletekkel kerülnek érintkezésbe, ezért a kefékről le-

vehető indukált feszültség kicsi. A gyakorlatban megvalósított gépeknél ezért más tekercselési

módokat alkalmaznak.

12.2. Egyenáramú motorok működési elve

Az egyenáramú motor felépítése megegyezik az egyenáramú generátoréval (12.5. áb-

ra). A keretbe az áramot a két szegmensből álló kommutátoron keresztül táplájuk be. Ha a

12.5. ábra szerint a felső kefére kapcsoljuk az U egyenfeszültség + sarkát, akkor az 1 te-

kercsoldalon befelé a 2 tekercsoldalon pedig kifelé folyik az áram, amit a kereszt és a pont

jelölnek. A tekercsoldalakra az ábrán bejelölt erők hatnak, amelyek a keretet a nyíllal jelölt

irányba elforgatják. A keret síkja merőleges lesz az indukcióvonalakra és tovább nem fordul,

mivel az északi pólus alatt a 2-es tekercsoldalra a déli pólus alatt az 1-es tekercsoldalra ellen-

tétes irányú erő hatna, ha tovább is az 1-es tekercsoldalon befelé, a 2-esen pedig kifelé folyna

az áram.

A 12.5b. ábrán azonban látható, hogy a semleges vonalban lévő keretben a kommutá-

tor megfordítja az áram irányát, mivel a 2-es keretoldalhoz tartozó szegmens csúszik a felső

kefe alá. Ezen a kefén az áram mindig befelé folyik, ezért az északi pólus alá érkező 2-es ke-

retoldalban az áram befelé fog folyni, míg a déli pólus alatti keretoldalban mindig kifelé. Te-

hát a keretoldalakra mindig egyirányba forgató erőpár hat. Ha a forgásirányt meg akarjuk vál-

toztatni, akkor vagy az északi és déli pólusokat cseréljük meg, vagy megfordítjuk a keretet

tápláló feszültség polaritását.

É

F

F

1

U

I

Semleges

vonal

2

É

1

U

I

2

D D

É

F

F1

U

I 2

D

a. b. c.

12.5. ábra. Egyenáramú motor működési elve

Mentes Gyula

- 140 -

A generátorhoz hasonlóan a motorok forgórészén is több kommutátorszeletet és vezető

keretet helyezhetünk el. Ekkor azonban olyan tekercselést kell alkalmazni, hogy ne csak a

kefékkel érintkező keretben, hanem mindegyikben folyjék áram a nagy nyomaték érdekében.

A különböző tekercselési módokkal a következő fejezet foglalkozik.

12.3. Egyenáramú gépek felépítése és működése

12.3.1. Egyenáramú gépek tekercselése

A működési elvből láttuk, hogy az egyenáramú motor és generátor azonos felépítésű.

Láttuk továbbá, hogy mind a generátor, mind pedig a motor esetében a

kommutátorszeletekhez kapcsolódó önálló keretek a gyakorlatban nem jó megoldások, ezért

egyenáramú gépekben más tekercselési eljárásokat használnak. Ezek megértéséhez nézzük

meg a ma már nem használatos Gramme-féle motor felépítését. A motor forgórésze gyűrű

alakú, amelyet a 12.6a. ábrán látható módon tekercselnek be. A tekercselés önmagában záró-

dik és minden esetben több menet után leágazást készítenek a kommutátorszeletekhez. Mivel

a ferromágneses gyűrű belsejébe a mágneses tér nem hatol be, ezért a gyűrű belsejében menő

menetoldalakban nem indukálódik feszültség. A belső palást vezetői csak sorbakötik a külső

vezetőket, amelyeknek a feszültségei mind az északi, mind pedig a déli pólus alatt

sorbakapcsolódnak. Az AB síkkal határolt két féltekercs U feszültsége szembemutat és

egyenlő, ezért a zárt tekercselésben áram nem folyik. Ha a két kefe közé fogyasztót kapcso-

lunk, akkor erre nézve a két féltekercs párhuzamosan kapcsolt generátornak tekinthető, ame-

lyek a fogyasztón áramot hajtanak keresztül (12.6b ábra). Motor esetében az UK-val ellentétes

irányú feszültséget kell az AB kapcsok közé kapcsolni, hogy a forgórész az ábrán bejelölt

irányba forogjon. Az A-B vonalat semleges vonalnak nevezzük, mivel tőle balra és jobbra az

északi és déli pólusok alatt az áramirányok ellentétesek. Akkor kapjuk a legnagyobb feszült-

séget, ha a kefék a semleges vonalban lévő kommutátorszeletekhez csatlakoznak. Ha a kefé-

ket pl. a CD vonalban helyezzük el, akkor a forgórészről levehető feszültség csökken, mivel a

fogyasztón a CD vonaltól balra és jobbra lévő feszültségek lerontják egymást

(U U U UK DC DA CA

). A tekercsáramok egy része ellentétesen folyik át a fogyasztón.

D

A

BD

C

É

I

UBC UDA

B

A

U U

B

A

C

D

UK

ω

Rt

UCA

UBD

UK*

a. b. c.

12.6. ábra. Kétpólusú Gramme-gyűrűs forgórész (a), a tekercselés és a benne ébredő

feszültség (b), a fogyasztóra jutó feszültség, ha a kefék nem a semleges vonalban van-

nak (c)

Elektrotechnika

- 141 -

A 12.7. ábrán egy kétpóluspárú Gramme-gyűrűs egyenáramú gép látható. A pólusok

közötti semleges vonalban helyezkednek el a kefék. A két pozitív, ill. a két negatív jelű kefét

összekötve, az azonos feszültségű tekercsrészek egymással párhuzamosan kapcsolódnak és a

gép nagyobb áram leadására képes. A Gramme-

féle tekercselést ma már nem használják, mivel

a hengerben lévő vezetőkben nem indukálódik

feszültség, a beépített tekercselőanyag nincs jól

kihasználva, ezért helyette a hurkos vagy hul-

lámos tekercselést alkalmazzák.

A hurkos tekercselés (12.8. ábra) elneve-

zés onnan ered, hogy kommutátorszelettől

kommutátorszeletig egy hurkot ír le a tekercs.

Egy horonyban gyakran nemcsak egy vezető

fekszik. A következő kommutátorszelethez ak-

kor csatlakozunk, amikor a meghatározott me-

netszámot elértük.

A hullámos tekercselés (12.9. ábra) kiin-

dulása megegyezik a hurkos tekercselésével.

Egy hullám elkészítése után azonban itt nem

térünk vissza a kiindulás melletti szegmenshez, hanem egy további félhullámot írunk le. A

kommutátorszeletekhez tehát csak minden második pólusszámnak megfelelő helyen csatlako-

zunk.

É

D

D

É

C

+

+

12.7. ábra. Kétpóluspárú (négypólusú)

Gramme-gyűrűs egyenáramú gép

É D

tekercsfejek

tekercsoldal

tekercsfej

12.8. ábra. Hurkos tekercselés

É D ÉD

ac

bd

5 3 1 0 4 2

12.9. ábra. Hullámos tekercselés

Mentes Gyula

- 142 -

Mind a hullámos, mind pedig a hurkos tekercselésre érvényes, hogy a legnagyobb fe-

szültség levételéhez a keféket a pólusok közötti semleges vonalban kell elhelyezni. A továb-

biakban a kommutátort nem rajzoljuk be az ábrába, a keféket a semleges vonalban elhelyez-

kedő keretoldalakhoz rajzoljuk be a 12.7. ábrán látható módon.

12.3.2. Kefeszikrázás és armatúravisszahatás

Amikor a kefe átcsúszik a kommutátor egyik szegmenséről a másikra, akkor

rövidrezárja a két szegmenst és ezzel együtt a tekercselés egy részét, ahogy azt a 12.10. ábra

mutatja. A rövidrezárt tekercsrészben nagy áram folyik, amely megszakad, amikor a kefe tel-

jesen lecsúszik az egyik szegmensről. Ekkor

Lenz-törvénye értelmében olyan indukált fe-

szültség keletkezik, amely az eredeti rövidzá-

rási áramot igyekszik fenntartani, ezért a kefe

lecsúszó éle szikrázik. A szikrázás annál na-

gyobb, minél nagyobb az önindukciós feszült-

ség. A kefeszikrázást úgy szüntethetjük meg,

ha az önindukciós feszültséget kompenzáljuk.

Ezt kétféleképpen tehetjük meg. Nagyobb

gépeknél a főpólusok közé, a semleges vonal-

ban keskeny segédpólusokat építenek be, ame-

lyek gerjesztése olyan irányú, hogy a kefeszik-

rázást létrehozó önindukciós feszültséggel

ellentétes irányú feszültséget indukáljon a

kommutációban résztvevő rövidrezárt tekercs-

ben. Mivel a kefeszikrázást létrehozó önindukciós feszültség a gép terhelésének, vagyis a for-

górészben folyó armatúraáram függvénye, ezért a segédpólusokat az armatúraárammal ger-

jesztik (12.11. ábra).

Kisgépek kefeszikrázását úgy szüntetik

meg, hogy a keféket elforgatják a semleges vo-

nalból, mégpedig generátorüzemben a forgás irá-

nyában, motorüzemben pedig a forgással ellenté-

tes irányban. Ekkor a rövidrezárt tekercsrészben a

főpólusok olyan feszültséget indukálnak, amely a

kefeszikrázást előidéző önindukciós feszültség

ellen hat. A módszer hibája, hogy minden terhelé-

si állapotnak más kefehelyzet felel meg.

Egyenáramú gépekben nemcsak a

gerjesztőpólusok hoznak létre mágneses teret,

hanem az armatúrában folyó áram is. A gép tény-

leges mágneses tere a kettő eredőjeként jön létre a

12.12. ábrán látható módon. A 12.12a. ábra a

gerjesztőpólus, míg a 12.12b. ábra a forgórész

vagy más néven az armatúra által létrehozott

mágneses teret mutatja. A gépben a két tér eredője

van, amit a 12.12c. ábra mutat. Az ábrából látható, hogy az armatúra mágneses terének hatása

az ún. armatúra visszahatás kétféle módon jelentkezik:

É D

12.10. ábra. A kefeszikrázást létrehozó

önindukciós feszültség

-+

GM

-+

12.11. ábra. Kefeszikrázás kompenzá-

lása a főpólusok között elhelyezett

segédpólusokkal

Elektrotechnika

- 143 -

- A semleges vonal szöggel elfordul. Az elfordulás mértéke függ az armatúraáramtól,

vagyis a gép terhelésétől. Az elfordulás generátorüzemben a forgásiránnyal egyező, mo-

torüzemben azzal ellentétes.

- A pólusok egyik oldalán a légrésben megnövekszik az indukció, a másik oldalon pedig

lecsökken. Mivel a gépet üzeme során a telítési indukcióig mágnesezik fel, ezért tulajdon-

képpen csak a gyengítő hatás érvényesül.

Nagyobb teljesítményű egyenáramú gépek esetében az armatúra visszahatást kompen-

zálni kell. Ezt a főpólusok hornyaiban elhelyezett ún. kompenzáló tekerccsel lehet megvalósí-

tani, amelyen az armatúra áramot kell átvezetni, hogy a terheléstől függő kompenzáció meg-

valósuljon. A kompenzáló tekercs elhelyezését és bekötését 12.13. ábra mutatja.

12.3.3. Egyenáramú gépek gerjesztőtekercsének kapcsolása

Az egyenáramú gépek üzemi tulajdonságai attól függnek, hogy a gép fluxusa hogyan

függ a terheléstől. Ez a gerjesztőtekercs kapcsolásával befolyásolható. Aszerint, hogy a

gerjesztőtekercs milyen kapcsolatban van az armatúrával, megkülönböztetünk külső, párhu-

zamos (sönt vagy mellékáramkörű), soros és vegyes gerjesztésű gépet.

É

D

É

D

É

D

a. b. c.

12.12. ábra. Armatúra visszahatás

D

É

Ia

12.13. ábra. Kompenzálótekercs

Mentes Gyula

- 144 -

A külső gerjesztésű gép gerjesztőtekercse semmilyen kapcsolatban nincs az armatúrá-

val, azt külön áramforrásról tápláljuk (12.14. ábra.). A fluxust csak az armatúra visszahatása

befolyásolja.

A söntgerjesztésű gép gerjesztőtekercsét az armatúrával párhuzamosan kapcsoljuk,

ezáltal generátorüzemben a gép gerjesztése függ a kapocsfeszültségtől. Motorüzemben a gé-

pet a hálózati feszültségről tápláljuk, amely állandó, ezért motorüzemben a söntgerjesztés

megegyezik a külső gerjesztéssel (12.15. ábra).

Soros gerjesztés esetén a gerjesztőtekercset sorbakapcsoljuk az armatúrával, ezért azon

a terhelőáram folyik keresztül és a fluxus a terheléssel együtt változik (12.16. ábra).

A vegyesgerjesztésű gép pólusain két tekercs van. Ezek közül az egyik sorba, a másik

pedig párhuzamosan kapcsolódik az armatúrával (12.17. ábra). A söntgerjesztés helyett adha-

tunk külső gerjesztést is. Ha a sönt és a soros gerjesztés azonos irányú, akkor a gép

kompaund, ha ellentétes irányú, akkor a gép antikompaund.

+

-

+ -Ia

Ig

12.14. ábra. Külső gerjesz-

tésű egyenáramú gép

+ -Ia

Ia

Terhelés +-

Ia

Ig

a. b.

12.15. ábra. Párhuzamos gerjesztésű egyenáramú

gép. (a) generátor, (b) motor

+

Ia

-

Ia

Ig=Ia

12.16. ábra. Soros gerjeszté-

sű egyenáramú gép

+

Ia

-

I'g

I"g

12.17. ábra. Vegyesgerjesztésű egye-

náramú gép

Elektrotechnika

- 145 -

12.4. Egyenáramú generátorok jelleggörbéi

Az egyenáramú generátorok üzemi viszonyairól a jelleggörbék adnak felvilágosítást.

A belső jelleggörbék a generátor feszültsége ( ioU üresjárási indukált feszültség, iU indukált

feszültség, U kapocsfeszültség) és gerjesztőárama közötti függvénykapcsolatot adják meg,

míg a külső jelleggörbék vagy terhelési görbék pedig a kapocsfeszültség és az armatúraáram

közötti kapcsolatot mutatják. A jelleggörbéket mindig állandó fordulatszámnál veszik fel.

Külső gerjesztésű generátor belső jelleggörbéje az indukált feszültség iU és a

gerjesztőáram közötti függvénykapcsolatot mutatja. A belső jelleggörbét méréssel határozhat-

juk meg. A generátort állandó árammal terheljük

( .constI a ) és nullától kezdve fokozatosan növeljük

az gI gerjesztőáramot, miközben mérjük a generátor

kapocsfeszültségét. Az üresjárási feszültséget természe-

tesen nulla terhelőáramnál mérjük. Az üresjárásban in-

dukált feszültség - minthogy a fordulatszám állandó - a

fluxussal és így végső soron a B indukcióval ará-

nyos. A B indukció és az gI gerjesztőáram közötti kap-

csolatot pedig a mágnesezési görbe adja. Mivel a vasban

mindig visszamarad remanens indukció, ezért az 0iU

üresjárási jelleggörbe az rU remanens feszültségről

indul és a mágnesezési görbéhez hasonlóan egy meghatározott gerjesztési áramtól már nem

növekszik tovább (12.18. ábra). Az U terhelési jelleggörbe az üresjárási jelleggörbe alatt ha-

lad. Ennek oka, hogy az indukált feszültség (az ábrán a szaggatott görbe) az armatúrareakció

miatt kisebb az üresjárási indukált feszültségnél, továbbá a terhelőáram a generátor belső el-

lenállásán feszültséget ejt.

A külső jelleggörbe felvételéhez a for-

dulatszámot és a gerjesztőáramot állandó érté-

ken tartják és az armatúraáramot változtatják. A

12.19. ábra feltünteti az iU indukált feszültsé-

get, amely az armatúravisszahatás miatt kisebb,

mint az üresjárási indukált feszültség. Az U

kapocsfeszültség az armatúra belső ellenállásán

eső feszültséggel kisebb, mint az indukált fe-

szültség. Mivel az egyenáramú generátorok

belső ellenállása igen kicsi, ezért a feszültség-

esés is kicsi, vagyis a külső gerjesztésű egyená-

ramú generátor feszültségtartó gép.

A söntgenerátor gerjesztőfeszültségét

saját kapcsairól kapja. Ha a generátor forgórészét megforgatjuk, akkor a gerjesztő pólusokban

visszamaradó remanens indukció feszültséget indukál a forgórészben és a gerjesztőtekercs

feszültséget kap. A söntgenerátor csak akkor gerjed fel, ha a gerjesztőtekercsben folyó áram

erősíti a remanens indukciót. Az öngerjedés elvét Jedlik Ányos fedezte fel és 1861-ben készí-

tette el az első öngerjedő generátort. Találmányát azonban sosem ismertette. Tőle függetlenül

Werner Siemens is felfedezte az öngerjedő generátor elvét és 1867-ben szabadalmaztatta. Az

öngerjedés elvét Siemens dinamó-elektromos elvnek nevezte el, ezért az öngerjedő

söntgenerátorokat dinamóknak is nevezik.

A söntgenerátor felgerjedése az alábbi módon játszódik le (12.20. ábra). A remanens

indukció feszültséget hoz létre a gép kapcsain, amely áramot hajt át a gerjesztő tekercsen.

U

B

Un

Ur

0 Ig1 Ig2 Ig3 Ig

Un

Ui

Ui

Ui0

UIR

n = állIa= áll

12.18. ábra. Egyenáramú generá-

tor belső jelleggörbéje

U

U

Uio

Ui IRa }

Ian Ia

IaR IaR }

12.19. ábra. Egyenáramú generátor kül-

ső jelleggörbéje

Mentes Gyula

- 146 -

Ennek következtében a kapocsfeszültség megnövekszik, amely tovább növeli a

gerjesztőáramot. A gép kapocsfeszültsége a felgerjedés folyamán minden pillanatban egyenlő

a gerjesztőkör ohmos ellenállásán eső feszültség és a gerjesztőtekercs önindukciós feszültsé-

gének összegével:

dt

diLiRU

g

ggmio . (12.2)

Ha a gép felgerjedt, akkor a gerjesztőáram már nem változik, az önindukciós feszültség nulla

lesz. A gép mindig arra a feszültségre gerjed fel, amelynél kapocsfeszültsége egyenlő a

gerjesztőtekercs ohmos ellenállásán eső feszültséggel:

gnmk IRU . (12.3)

A söntgenerátor külső jelleggörbéjének felvétele során állandó értéken tartjuk a fordu-

latszámot, valamint a gerjesztőkör ellenállását és fokozatosan növeljük a terhelőáramot. A

külső jelleggörbét a 12.21. ábra mutatja. Látható, hogy a generátor árama a terhelés növelésé-

vel csak egy hI határáramig növekszik, ezután csökken és az zI zárlati áram már csak néhány

százaléka a névleges áramnak. A zárlati áramot a remanens indukció tartja fenn. Az ábrán a

folyamatos vonallal rajzolt görbe mutatja a kapocsfeszültséget, amely a belső ellenálláson eső

feszültséggel kisebb, mint az indukált (üresjárási) feszültség. A névleges áramig a

söntgenerátor is feszültségtartó gép.

Soros gerjesztésű generátor esetében

a külső és belső jelleggörbe azonos, mivel

az armatúraáram megegyezik a gerjesztő-

árammal. A jelleggörbe kezdetben emelke-

dik, majd csökken. A soros gerjesztésű gép

nem feszültségtartó. Ha a terhelési jelleg-

görbéhez (folyamatos vonal) hozzáadjuk az

armatúra ellenállásán eső feszültséget, ak-

kor megkapjuk az üresjárási indukált fe-

szültséget (12.22. ábra)

Uioknt

U

U”oi

U’oi

Ur

I’gI”gIgkntig Ign Ig

Uio a RmIg

Rmig

Lgdig

dt

Ellenállás-

egyenes{

12.20. ábra. Söntgerjesztésű generátor belső

jelleggörbéje és felgerjedési folyamata

U

Ui IaR

IaR

Iz Ih I

IaR

12.21. ábra. Söntgenerátor külső

jelleggörbéje

U Uio

Ui

IgR

U IgR

Iz Ia 12.22. ábra. Soros gerjesztésű egyenáramú

generátor jelleggörbéje

Elektrotechnika

- 147 -

Vegyes gerjesztésű generátor pólustörzsére a sönttekercsen kívül még soros tekercset

is elhelyeznek. Ha a soros tekercs gerjesztése hozzáadódik a sönttekercs gerjesztéséhez és a

soros tekercs kompenzálja az armatú-

rareakció fluxuscsökkentő hatását,

valamint a belső feszültségesést, akkor

a generátor feszültsége gyakorlatilag

állandó, nem függ az armatúraáramtól

(kompaund generátor). Ha a soros te-

kercs gerjesztése az aramatúrareakció

fluxuscsökkentő hatásán és a belső

feszültségesésen kívül még a fogyasz-

tókhoz csatlakozó vezetékek feszült-

ségesését is kompenzálja, akkor a nö-

vekvő armatúraáram hatására a gép

kapocsfeszültsége is nő (hiper-

kompaund generátor). A generátor

kapocsfeszültsége csökken az armatú-

raáram növekedésével, ha a soros te-

kercs gerjesztése szembe dolgozik a

sönt gerjesztésével (antikompaund generátor). Antikompaund generátort pl. hegesztő-

generátorként alkalmaznak, mivel karakterisztikája illeszkedik a villamos ív karakterisztikájá-

hoz. A vegyesgerjesztésű egyenáramú generátor jelleggörbéit a 12.23. ábra mutatja.

12.5. Egyenáramú motorok üzemi tulajdonságai

Motorüzemben külső áramforrásból vezetünk áramot az armatúratekercsbe. Az arma-

túraáram és a mágneses tér kölcsönhatására nyomaték keletkezik, az armatúra forgásba jön. A

forgórészben indukált feszültség iránya ellentétes az áramforrás feszültségével és kisebb an-

nál, ezért az armatúra vezetékeiben folyó áram iránya

megegyezik az indukált feszültség irányával. Az

egyenáramú gép helyettesítő kapcsolását motorüzem-

ben a 12.24. ábra mutatja. Az ábrából látható, hogy a

motor kapocsfeszültsége éppen az I Ra a feszültség-

eséssel nagyobb az indukált feszültségnél, ezért:

aaik RIUU . (12.4)

A motor mechanikai teljesítménye a belső teljesít-

ménnyel egyenlő:

M U Im i a . (12.5)

A (12.1) indukált feszültség képletéből látható, hogy az armatúrában indukált egyenfeszült-

ség, amely megegyezik az indukált váltakozófeszültség amplitúdójával, arányos a fluxussal és

a forgórész szögsebességével:

kU i . (12.6)

.

U U (hiperkomp)

U (komp)

U (sönt)U (antikomp)

Ia

12.23. ábra. Vegyesgerjesztésű egyenáramú

generátor jelleggörbéi

Uk Ui

RaIa

12.24. ábra. Egyenáramú motor

helyettesítő kapcsolása

Mentes Gyula

- 148 -

Ezt az előző képletbe helyettesítve kapjuk, hogy a motor nyomatéka a fluxus és az armatúra-

áram szorzatával arányos:

aam IfIkM . (12.7)

Ha a gép fluxusa állandó (többnyire ez az eset fordul elő), akkor a motor nyomatéka az arma-

túraáram lineáris függvénye.

Az indukált feszültséget felírva az n fordulatszám segítségével, valamint a k és

2 konstansokat egyetlen c konstansban összevonva kapjuk, hogy:

ncU i . (12.8)

A (12.4) összefüggésből az indukált feszültséget kifejezve és a (12.8) összefüggést behelyet-

tesítve:

aak RIUnc , (12.9)

amelyből a motor fordulatszáma az armatúraáram függvényében kifejezhető:

aaak If

c

RIUn

. (12.10)

A (12.7) nyomatékegyenletből az armatúraáramot kifejezve és a (12.10) fordulatszám képlet-

be behelyettesítve megkapjuk a motor fordulatszáma és nyomatéka közötti összefüggést, a

motor mechanikai jelleggörbéjét:

MfMck

R

c

Un

2

ak

. (12.11)

12.5.1. Külső és párhuzamos gerjesztésű egyenáramú motorok üzemi jellemzői

Motorüzemben a külső és a párhuzamos (sönt) gerjesztésű gép között nincs különbség,

mert mindkét gép gerjesztőtekercsét állandó feszültség táplálja, ezért a gerjesztőáram függet-

len a terheléstől. A különbség a két gép között csak annyi, hogy a külső gerjesztésű gép

gerjesztőfeszültsége általában nem egyezik meg a motort tápláló hálózat feszültségével

(12.13. és 12.14b. ábrák).

A külső ill. a párhuzamos gerjesztésű motor aIfn jelleggörbéje megegyezik a

(12.10) képlettel megadott görbével. Ugyanis a fluxus nem függ a gép terhelésétől:

a

ak Ic

R

c

Un

. (12.12)

Ha Ia 0, akkor

c

Unn k

0 (12.13)

Elektrotechnika

- 149 -

az üresjárási fordulatszám.

A tökéletesen kompenzált gépben az armatúrareakció nem csökkenti a fluxust, tehát az

a terhelőáramtól függetlenül állandónak tekinthető:

.constAc

Ra

(12.14)

A fentiek alapján a motor fordulatszámát az armatúraáram függvényében az

n n AI a 0 (12.15)

egyenlet írja le (12.25. ábra). A fordulatszám-armatúraáram összefüggés tehát egy enyhén

lejtő egyenes.

A nem tökéletesen kompenzált gépekben az armatúrareakció csökkenti a fluxust. A

fluxuscsökkenés miatt az (12.12) egyenlet nevezője az armatúraáram növekedésével csökken.

Így a forgási sebesség csökkenésének mértéke kisebb lesz, mint ahogy azt az (12.15) egyenlet

előírja. A jelleggörbe eltér az egyenestől, felülről nézve homorú (12.25. ábra szaggatottan

kihúzott görbéje).

Az aIfM jelleggörbe a (12.7) képlet alapján határozható meg. Ha feltételezzük a

tökéletes kompenzációt, akkor állKk . és így

aKIM , (12.16)

vagyis a nyomaték az armatúraárammal arányos, ill. másképpen fogalmazva: az armatúraára-

mot csakis a terhelőnyomaték határozza meg. A nyomatéki görbe az M és az Ia koordináta-

rendszer kezdőpontján átmenő egyenes (12.26. ábra). Ha figyelembe vesszük az armatúrare-

akció fluxuscsökkentő hatását, akkor a növekvő Ia -hoz csökkenő tartozik, megszűnik az

arányosság és a nyomatéki görbe az egyenes alatt halad (az ábra szaggatott görbéje).

Ia

n

no

12.25 ábra. Külső és söntgerjesztésű

egyenáramú motor fordulatszám-

armatúraáram jelleggörbéje

Ia

M

12.26. ábra. Külső és söntgerjesztésű

egyenáramú motor nyomaték-

armatúraáram jelleggörbéje

Mentes Gyula

- 150 -

Az Mfn függvénykapcsolathoz úgy jutunk, ha a (12.11) egyenletbe behelyette-

sítjük a (12.13) összefüggést:

Mck

Rnn

20

. (12.17)

Ha feltételezzük, hogy a fluxus állandó, akkor a fenti egyenlet olyan ferde egyenest

ír le, amelyik az ordinátatengelyt n0 magas-

ságban metszi. Ha a fluxus nem állandó,

hanem a terhelés növekedésével csökken,

akkor a függvénygörbe menetére csak ne-

hezen tudunk következtetni a (12.17)

egyenletből. Az aIfn és az

aIfM görbét ismerve (12.25. és

12.26. ábrák) könnyen megszerkeszthető a

motor mechanikai jelleggörbéje (12.27.

ábra). A két ábrán azonos armatúraáramok

esetében leolvassuk a fordulatszámokat ill.

a nyomatékokat és az összetartozó fordulat-

szám nyomaték értékeket külön koordináta-

rendszerben ábrázoljuk.

A jelleggörbék alapján kimondhat-

juk, hogy a külső és párhuzamos gerjeszté-

sű motorok fordulatszámtartók, mert forgá-

si sebességük csak kis mértékben változik a

terheléssel.

12.5.2. Soros gerjesztésű egyenáramú motorok üzemi jellemzői

A soros motor gerjesztőtekercsén az armatúraáram folyik keresztül (12.16. ábra), ezért

a fluxus az armatúraáram függvénye. Ha eltekintünk a vastelítődéstől, akkor a fluxus arányos

az armatúraárammal:

aI . (12.18)

Ezt az (12.10)-be helyettesítve:

nU I R

c I

U

c I

R

c

A

IBa

a a a

(12.19)

ahol

AU

cáll

. és B

R

cáll

. (12.20)

Az (12.19) egyenlet olyan hiperbolát ír le, amelyiknek függőleges aszimptotája az or-

dinátatengely, vízszintes aszimptotája az abszcissza tengely alatt B távolságban fekvő víz-

szintes egyenes (12.28a. ábra vékonyan rajzolt görbéje).

n

no

M

12.27. ábra. Külső és söntgerjesztésű egye-

náramú motor fordulatszám-nyomaték jel-

leggörbéje

Elektrotechnika

- 151 -

A valóságban nem hanyagolható el a vas telítődése. A 12.28a. ábrán feltüntettük a

ai I egyenest és a vastelítést figyelembe vevő aIf görbét. A tényleges aIfn

görbe egyes pontjai i / arányban a hiperbola fölött vannak (12.28a. ábra vastagon rajzolt

görbéje).

Az aIfM kapcsolat megállapításakor első lépésben ismét tekintsünk el a vastelí-

téstől, tehát a i aI értéket helyettesítsük a (12.7)-be:

M k I KIa a 2 2 . (12.21)

A nyomaték tehát az áramerősség négyzetével arányos (12.28b. ábra vékonyan kihú-

zott görbéje). Nagyobb armatúraáram hatására telítődik a vastest: megszűnik a fluxus és az

armatúraáram közötti arányosság (12.28a. ábra) és a valóságos nyomatéki görbe i / ará-

nyában a parabola alatt halad (12.28b. ábra vastagon kihúzott görbéje).

Az Mfn mechanikai jelleggörbét legcélszerűbb aIfM és az aIfn jel-

leggörbéből megszerkeszteni. A két görbéből azonos armatúraáramoknál leolvassuk a nyo-

matékot és a fordulatszámot és ezeket közös koordinátarendszerben ábrázoljuk (12.29. ábra).

Ia

Ia

=f(Ia)

Ia

n(Ia)

-B

n

Ia

Ia

=f(Ia)

Ia

M(Ia)

M

a. b.

12.28. ábra Soros gerjesztésű egyenáramú motor fordulatszáma (a) és nyomatéka (b) az

armatúraáram függvényében (a vastag vonal a vas telítődésének hatását mutatja)

Mentes Gyula

- 152 -

A mechanikai jelleggörbe vi-

lágosan mutatja, hogy a terhelés

csökkenésével a fordulatszám roha-

mosan növekszik. Ha nagyon kicsiny

a terhelés, a fordulatszám olyan nagy

lehet (a motor megszalad), hogy a

motor ezt szilárdságilag már nem bírja

ki. A soros motornak nincsen megha-

tározott üresjárási fordulatszáma.

12.5.3. Vegyesgerjesztésű egyenáramú motor üzemi jellemzői

A soros motor igen kedvező tulaj-

donsága a nagy indítónyomaték, hátrányos

tulajdonsága, hogy kis terhelésen kicsiny a

fluxus és ezért megszaladásra hajlamos. Ha

a soros gerjesztésen kívül még néhány szá-

zalék söntgerjesztést is adunk a motornak

(12.17. ábra), akkor a söntgerjesztés

üresjárásban is biztosít annyi fluxust,

amely nem engedi a motor fordulatszámát

veszélyes értékig növekedni. Ezáltal a mo-

tornak van egy határozott üresjárási fordu-

latszáma (12.30. ábra).

12.6. Egyenáramú motorok üzeme

12.6.1. Egyenáramú motorok indítása

Az egyenáramú motor forgórészében a gerjesztőpólusok által létrehozott fluxus Ui fe-

szültséget indukál, amely egyensúlyt tart a

hálózati Uk feszültséggel (12.24. ábra). Az

indukált feszültség az armatúraellenálláson

eső feszültséggel kisebb a kapocsfeszültség-

nél (U U I Ri k a a ). A bekapcsolás pillana-

tában, amikor a forgórész még áll, az indukált

feszültség nulla. Mivel a forgórész tekercsel-

lenállása a veszteségek csökkentése érdeké-

ben kicsi, ezért a motor névleges áramának

10-20-szorosa alakulhat ki indításkor. A mo-

tor bekapcsolásának pillanatában a nagy áram

kialakulását az armatúra induktivitása késlel-

teti. Ha a motor tehetetlenségi nyomatéka

kicsi, akkor a motor gyorsan felpörög és a

M

n

12.29. ábra. Soros gerjesztésű egyenáramú mo-

tor fordulatszám-nyomaték jelleggörbéje

n

M

12.30. ábra. Vegyesgerjesztésű egyenáramú

motor fordulatszám-nyomaték jelleggörbéje

Uk Ui

RaIa Ri

12.31. ábra. Egyenáramú motor indítása

indítóellenállással

Elektrotechnika

- 153 -

forgórészben indukált feszültség megakadályozza az indítási áramlökés kialakulását. Ebben

az esetben a motort közvetlenül hálózatra kapcsolással indíthatjuk. Nagy tehetetlenségi nyo-

matékú forgórészek esetében, amikor a forgórész lassan pörög fel, az indukált feszültség csak

lassan növekszik, ezért a nagy bekapcsolási áramlökés ki tud alakulni. Ezeket a motorokat

csökkentett feszültséggel indítjuk. Ha a motor kapocsfeszültsége szabályozható, akkor az in-

dítás egyszerűen, csökkentett feszültséggel való indítással megoldható. Egyéb esetben a motor

kapocsfeszültségét indítóellenállással csökkenthetjük 12.31. ábrán látható módon. Az

indítóellenállást, amely az esetek többségében szabályozható kivitelben készül, a motor fel-

pörgése során fokozatosan iktatjuk ki.

12.6.2. Egyenáramú motorok fordulatszámának szabályozása

Az egyenáramú motor fordulatszáma (12.10 ):

nU I R

c

k a a

. (12.22)

A képletből látható, hogy az egyenáramú motorok fordulatszámát háromféle módon tudjuk

változtatni:

1. A motor kapocsfeszültségének változtatásával. A 12.32. ábra egy külsőgerjesztésű

motor fordulatszám-nyomaték görbeseregét mutatja különböző kapocsfeszültségek

esetén.

2. Az armatúrakör ellenállásának, vagy ami ezzel egyenértékű, az armatúraáram változ-

tatásával. Mivel az armatúrakör ellenállását külső ellenállás sorbakapcsolásával csak

növelni lehet, ezért ezzel a módszerrel a fordulatszám csak csökkenthető. Ez a szabá-

lyozási módszer ritkán használatos, mivel az előtétellenálláson nagy a veszteség.

3. A fluxus változtatásával. Mivel a gépben a nagy nyomaték miatt nagy indukciót állí-

tanak elő (a vasat telítésig mágnesezik), ezért a fluxust csak csökkenteni lehet. Ezért

ezt a módszert mezőgyengítésnek nevezik.

Korszerű félvezetős egyenáramú motorvezérlő rendszerekben az ún. áramirányítókban a

kapocsfeszültség (armatúraáram) és a fluxus változtatásának együttes módszerét alkalmazzák

fordulatszám szabályozására. Az áramirá-

nyítók háromfázisú (esetleg egyfázisú)

váltakozó-feszültségből szabályozható

egyenfeszültséget állítanak elő, mind a

kapocsfeszültség, mind pedig a

gerjesztőfeszültség szabályozására. A

motor fordulatszáma, mind kézzel, mind

pedig távirányítással, számítógépes vezér-

léssel változtatható. Áramirányítós mo-

torvezérlés blokkvázlatát mutatja a 12.33.

ábra.

M

n

Uk4 Uk3

Uk3 Uk2

Uk2 Uk1

Uk1

12.32. ábra. Külső gerjesztésű egyenáramú

motor fordulatszámának függése a kapocsfe-

szültségtől

Mentes Gyula

- 154 -

12.6.3. Egyenáramú motorok fékezése

Egyenáramú motoroknál háromféle fékezést különböztetünk meg:

1. Haszonfékezés. Ebben az esetben a motor fordulatszáma megnő (pl. lejtőn lefelé

menő villamos) és a motor indukált feszültsége nagyobb lesz, mint a kapocsfe-

szültsége. A motor villamos energiát táplál vissza a hálózatba. Mivel a soros ger-

jesztésű motornak nincs üresjárási fordulatszáma, ezért ezzel a motorral nem lehet

haszonfékezést megvalósítani.

2. Dinamikus fékezés. A hálózatról lekapcsolt motort a mozgási energiája forgásban

tartja. Ha a kapcsaira ellenállást kapcsolunk, akkor a tengelyén felvett mechanikai

energia az ellenálláson hővé alakul. Soros gerjesztésű motorral a dinamikus féke-

zés csak úgy valósítható meg, ha az ellenállásra kapcsolás pillanatában a

gerjesztőtekercs kapcsait is felcseréljük.

3. Ellenáramú fékezés. A motort a forgásiránnyal ellentétes nyomatékot adó kapocs-

feszültségre kapcsoljuk (lejtőn lefelé haladó villamos esetében a kapocsfeszültsé-

get felcseréljük). A nagy áramerősség kialakulását a motorral sorbakapcsolt ellen-

állással korlátozzuk. Ekkor a motor a tengelyén mechanikai energiát, kapcsain pe-

dig villamos energiát vesz fel. Mindkét energia a motort melegíti.

U W V

Számítógép

interfész

Ug

M

Kézi vezérlés

Áramirányítás

12.33. ábra. Áramirányítás egyenáramú motorvezérlő

Elektrotechnika

- 155 -

FELHASZNÁLT IRODALOM

Barabás Miklós: Villamosgépek I., 1. rész, Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1993.

Barabás Miklós: Villamosgépek II., Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1993.

Budó Ágoston: Kísérleti Fizika II., Tankönyvkiadó, Budapest, 1968.

Fodor György: Elméleti Elektronika I-II., Tankönyvkiadó, Budapest, 1970.

Klaus Fuest, Peter Döring: Elektrische Maschinen und Antriebe. Fried. Vieweg und Sohn

Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweg/Wiesbaden, 2000.

Mersich Ivánné, Nagy Lóránt, Farkas András, Peresztegi Sándor: Különleges villamos gépek,

Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1983.

Selmeczi Kálmán – Schnöller Antal: Elektronika I. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1968.

Uray Vilmos: Erősáramú Elektronika I, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1968.