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ELEMENTOS DE GEOMETRIA
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Geometría
La Geometría trata sobre las formas y sus propiedades.
Los dos temas más comunes son:
Geometría Plana (sobre formas planas como líneas rectas, círculos y triángulos... formas que se pueden dibujar en un trozo de papel)
Geometría Sólida (sobre objetos tridimensionales como cubos y pirámides).
Si te gusta jugar con objetos, o te gusta dibujar, ¡la geometría es para ti!
Pista: Intenta dibujar algunas de las formas y ángulos en el
momento en que los aprendes... eso ayuda.
¡Sólidos!
La Geometría Sólida es la geometría del espacio tridimensional, el tipo de espacio donde vivimos...
Poliedros: (deben tener caras planas)
Sólidos Platónicos
Prismas
Pirámides
No Poliedros: (si alguna
superficie no es plana)
Esfera
Toro
Cilindro
Cono
También: Volumen de un Ortoedro
Geometría Plana
La Geometría Plana trata las formas en una superficie plana (como una hoja de papel sin fin).
Plano
Un plano es una superficie lisa sin grosor.
Nuestro mundo tiene tres dimensiones, pero un plano sólo tiene dos dimensiones.
Ejemplos:
longitud y altura, o x e y
Y así sin final.
Ejemplos
¡Es difícil dar ejemplos reales!
Cuando dibujas algo en un trozo plano de papel estás dibujando en un plano...
... ¡aunque el papel no es un plano él mismo, porque tiene un poco de grosor! Y tampoco se extiende indefinidamente.
¡Así que la idea correcta es la parte superior de un trozo perfectamente liso de
papel sin fin!
También las superficies de una mesa, el suelo y una pizarra son como un plano.
Imagina
Imagina que vivieras en un mundo bidimensional. Podrías viajar, visitar a los amigos, pero no habría nada en el mundo que tuviera altura.
Podrías medir distancias y ángulos.
Podrías viajar rápido o lento. Avanzar, retroceder o ir de lado. Podrías moverte en línea recta, en círculos, o cualquier otra cosa que no sea subir o bajar.
¿Cómo sería vivir en un plano?
Símbolos en geometría
Símbolos que se usan con frecuencia en geometría
Los símbolos nos ayudan a ahorrar tiempo y espacio cuando escribimos. Aquí tienes los símbolos geométricos más comunes:
Símbolo Significado Ejemplo En palabras
Triángulo
ABC tiene 3 lados iguales
El triángulo ABC tiene tres lados iguales
Ángulo
ABC mide 45°
El ángulo formado por ABC mide 45 grados.
Perpendicular AB CD
La línea AB es perpendicular a la línea
CD
Paralela EF GH La línea EF is paralela a
la línea GH
Grados
360° es un círculo
completo
Ángulo recto (90°) mide 90° Un ángulo recto mide 90
grados
Segmento de línea "AB"
AB La línea entre A y B
Línea "AB"
La línea infinita que pasa por A y B
Rayo "AB"
La línea que empieza en A, pasa por B y continúa
Congruente (mismo tamaño y forma)
ABC DEF
El triángulo ABC es congruente con el
triángulo DEF
Similar (misma forma, distinto
tamaño)
DEFMNO
El triángulo DEF es similar al triángulo MNO
Por tanto a=b b=a a es igual que b, por tanto b es igual que a
Nombrar ángulos
En los ángulos la letra del medio dice dónde está el ángulo. Por ejemplo cuando veas " ABC mide 45°", el punto "B" es donde está el ángulo.
Ejemplo breve
Así que si alguien escribe: En ABC, BAC es
Ya sabes que quiere decir: "En el triángulo ABC, el ángulo BAC es un
ángulo recto"
Áreas de formas planas
Triángulo Área = ½b×h
b = base h = altura vertical
Cuadrado Área = a2
a = longitud del lado
Rectángulo Área = b×h b = anchura h = altura
Paralelogramo Área = b×h b = anchura h = altura
Trapecio Área = ½(a+b)h
h = altura vertical
Círculo Área = πr2
Circunferencia=2πr r = radio
Elipse Área = πab
Sector Área = ½r2θ
r = radio θ = ángulo en radianes
Congruencia
Si se puede convertir una forma en otra usando giros, volteos y deslizamientos, las dos formas son congruentes:
Rotación
¡Gira!
Reflexión
¡Voltea!
Traslación
¡Desliza!
Después de estas transformaciones (girar, voltear, deslizar) la forma sigue teniendo el mismo tamaño,área, ángulos y longitudes de líneas.
Ejemplos
Todas estas formas son congruentes:
Girada Reflejada y desplazada
Reflejada y girada
¿Congruente o similar?
Las dos figuras deben tener el mismo tamaño para ser congruentes. (Si has tenido que reescalar una figura para llegar a la otra, entonces son similares)
Si... entonces son...
... sólo giras, reflejas y/o trasladas
congruentes
... necesitas hacer una homotecia
similares
¿Congruentes? ¿Por qué esta palabra tan rara significa "igual"? Probablemente porque dos figuras sólo serían "iguales" si una cubriera exactamente la otra. En cualquier caso, la palabra viene del latín congruere, que se podría traducir como "estar de acuerdo". Así que las figuras "están de acuerdo".
Teorema de Pitágoras
Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos:
Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)...
... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces...
... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!
El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a
un triángulo con un ángulo recto)
Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):
a2 + b2 = c2
¿Seguro... ?
Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.
Veamos si las áreas son la misma:
32 + 42 = 52 Calculando obtenemos:
9 + 16 = 25 ¡sí, funciona!
¿Por qué es útil esto?
Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)
¿Cómo lo uso?
Escríbelo como una ecuación:
a2 + b2 = c2
Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:
a2 + b2 = c2
52 + 122 = c2
25 + 144 = 169
c2 = 169
c = √169
c = 13
a2 + b2 = c2
92 + b2 = 152
81 + b2 = 225
Resta 81 a ambos lados
b2 = 144
b = √144
b = 12
Ternas pitagóricas
Son simplemente números enteros que cumplen la regla:
a2 + b2 = c2
(esta es la ecuación del teorema de Pitágoras)
Algunos ejemplos:
Triángulo 3,4,5 Triángulo 5,12,13 Triángulo 9,40,41
32 + 42 = 52 52 + 122 = 132 92 + 402 = 412
¡Hay infinitos triángulos así!
La manera más fácil de encontrar más ternas pitagóricas es reescalar una terna que conozcamos.
Ejemplo: multiplicar 3,4,5 por 2 da 6,8,10 que también cumple la fórmula a2 + b2 = c2
Cuadriláteros
Cuadrilátero significa "cuatro lados" (cuad significa cuatro, látero significa lado).
Las figuras de cuatro lados se llaman cuadriláteros.
Pero los lados tienen que ser rectos, y la figura tiene que ser bidimensional.
Triángulos
Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos
Los tres ángulos siempre suman 180°
Equilátero, isósceles y escaleno
Hay tres nombres especiales de triángulos que indican cuántos lados (o ángulos) son iguales. Puede haber 3, 2 o ningún lados/ángulos iguales:
Triángulo equilátero
Tres lados iguales Tres ángulos iguales, todos 60°
Triángulo isósceles
Dos lados iguales Dos ángulos iguales
Triángulo escaleno
No hay lados iguales No hay ángulos iguales
¿Qué tipos de ángulos?
Los triángulos también tienen nombres que te dicen los tipos de ángulos
Triángulo acutángulo
Todos los ángulos miden menos de 90°
Triángulo rectángulo
Tiene un ángulo recto (90°)
Triángulo obtusángulo
Tiene un ángulo mayor que 90°
Combinar los nombres
A veces los triángulos tienen dos nombres, por ejemplo:
Triángulo isósceles rectángulo
Tiene un ángulo recto (90°), y los otros dos ángulos iguales ¿Adivinas cuánto miden?
Área
Área = ½bh
La fórmula (1/2)bh vale para todos los triángulos. Asegúrate de que la "h" la mides perpendicularmente a la "b".
Imagina que "doblas" el triángulo (volteándolo a lo largo de uno de los lados de arriba) para tener una figura de cuatro lados (que será en realidad un
"paralelogramo"), entonces el área sería bh. Pero eso son dos triángulos, así que uno solo es (1/2)bh.
Polígonos
Un polígono es una figura plana con lados rectos.
¿Es un polígono?
Los polígonos son formas bidimensionales. Están hechos con líneas rectas, y su forma es
"cerrada" (todas las líneas están conectadas).
Polígono (lados rectos)
No es un polígono
(tiene una curva)
No es un polígono
(abierto, no cerrado)
Tipos de polígonos
Simple o complejo
Un polígono simple sólo tiene un borde que no se cruza con él mismo. ¡Uno complejo se
interseca consigo mismo!
Polígono simple
(este es un pentágono)
Polígono complejo
(también es un pentágono)
Cóncavo o convexo
Un polígono convexo no tiene ángulos que apunten hacia dentro. En concreto, los ángulos
internos no son mayores que 180°.
Si hay algún ángulo interno mayor que 180° entonces es cóncavo. (Para acordarte:
cóncavo es como tener una "cueva")
Convexo Cóncavo
Regular o irregular
Si todos los ángulos son iguales y los lados también, es regular, si no es irregular
Regular Irregular
Más ejemplos
Polígono complejo (un "polígono estrellado", en
este caso un pentagrama)
Octágono cóncavo Hexágono irregular
Nombres de polígonos
Si es regular...
Nombre Lados Forma Ángulo interior
Triángulo (o trígono) 3
60°
Cuadrilátero (o tetrágono) 4
90°
Pentágono 5
108°
Hexágono 6
120°
Heptágono (o Septágono) 7
128.571°
Octágono 8
135°
Nonágono (or eneágono) 9
140°
Decágono 10
144°
Endecágono (or undecágono) 11
147.273°
Dodecágono 12
150°
Tridecágono 13 152.308°
Tetradecágono 14 154.286°
Pentadecágono 15 156°
Hexadecágono 16 157.5°
Heptadecágono 17 158.824°
Octadecágono 18 160°
Eneadecágono 19 161.053°
Icoságono 20 162°
Triacontágono 30 168°
Tetracontágono 40 171°
Pentacontágono 50 172.8°
Hexacontágono 60 174°
Heptacontágono 70 174.857°
Octacontágono 80 175.5°
Eneacontágono 90 176°
Hectágono 100 176.4°
Chiliágono 1,000 179.64°
Miriágono 10,000 179.964°
Megágono 1,000,000 ~180°
Googológono 10100
~180°
n-ágono n
(n-2) × 180° / n
Para polígonos con 13 lados o más, se puede escribir (y es más fácil) "13-
ágono", "14-ágono" ... "100-ágono", etc.
El pentagrama
El pentagrama (o pentáculo) es como una estrella de 5
puntas.
A lo mejor te parece que tiene que ver con brujería, pero de
hecho es más conocido como símbolo mágico y es un
símbolo sagrado en algunas religiones.
De hecho, esta figura tan simple es sorprendente.
Dentro del pentagrama hay un
pentágono
Puedes dibujar un pentagrama
empezando por un pentágono y
alargando los lados.
O uniendo los vértices de un
pentágono.
Proporciones
Pero el pentagrama tiene oculto un número
especial, la razón de oro, que vale
aproximadamente 1.618
a/b = 1.618...
b/c = 1.618...
c/d = 1.618...
Cuando lo dibujé, medí las 4 longitudes y
obtuve a=216, b=133, c=82, d=51. Vamos a
comprobar las proporciones:
216/133 = 1.624...
133/82 = 1.622...
82/51 = 1.608...
¡Si lo hubiera dibujado y medido con más
precisión, el resultado habría sido más
correcto!
¿Por qué no pruebas tú?
Dibuja un pentagrama regular
Mide las longitudes
Calcula las proporciones
Pentagrama irregular
Hasta ahora sólo hemos visto pentagramas
regulares (todos los lados y ángulos iguales),
pero también hay pentagramas irregulares.
Elipse
Una elipse es una circunferencia aplastada.
Una circunferencia tiene un centro, pero una elipse tiene dos focos ("A" y "B" abajo).
Definición
Una elipse es el conjunto de todos los puntos de un
plano cuya
suma de distancias a dos puntos fijos es una constante.
Así que, no importa dónde estés en la elipse, puedes
sumar las distancias al punto "A" y al punto "B" y
siempre saldrá lo mismo.
(Los puntos "A" y "B" se llaman los focos de la elipse)
Dibújala
Clava dos clavos en un tablero, pon un lazo de cuerda alrededor de ellos, y pon un lápiz en
el lazo. Tensa la cuerda para que forme un triángulo, y sigue la línea... habrás dibujado una
elipse.
Una circunferencia es una elipse
En realidad una circunferencia es una elipse, donde los dos focos son el mismo punto (el
centro). O sea, una circunferencia es un "caso especial" de elipse.
Sección de un cono
También sale una elipse cuando cortas un cono (con un
ángulo pequeño).
Por tanto, la elipse es una sección cónica (una sección de un
cono).
Calculando
Área
El área de una elipse es π × r × s
(Si es una circunferencia, r y s son iguales, y
sale π × r × r = πr2, ¡que es correcto!)
Aproximación al perímetro
Aunque parezca extraño, el perímetro de una elipse es muy difícil de calcular, así que he
creado una página especial para ese tema: lee Perímetro de una elipse para ver los detalles.
Pero una aproximación sencilla que está a menos de 5% del valor correcto (siempre que r
no sea más de 3 veces s) es la siguiente:
Secciones cónicas
Sección cónica: una sección (rodaja) a través de un cono.
¿Sabías que cortando un cono en rodajas puedes crear una circunferencia, una elipse, una
parábola o una hipérbola?
Conos Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola
recto a través con poco ángulo paralelo al
borde del cono ángulo elevado
¡Así que estas curvas están todas relacionadas!
Ecuación general
De hecho, podemos escribir una ecuación que vale para todas ellas.
Como son curvas planas (aunque salgan de cortar un sólido) sólo nos hacen falta
coordenadas cartesianas "x" e "y".
Pero no son simples líneas rectas, así que no vale sólo con una "x" y una "y"... tenemos que
ir al siguiente nivel, y usar x2 e y
2, y también x (sin la y), y (sin la x), x e y juntas (xy) y un
término constante.
También tendremos coeficientes (A,B,C etc.) así que la ecuación general que cubre todas
las secciones cónicas es:
A partir de esta ecuación podemos crear ecuaciones para la circunferencia, elipse, parábola
y hipérbola... pero eso va más allá de esta página.
Latus Rectum
No, no es ningún insulto. Quiere decir la cuerda
paralela a la directriz y que pasa por el foco.
Se aplica a todas las secciones cónicas.
En una parábola, la longitud del latus rectum es
igual a cuatro veces la longitud focal.
