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Elementos de Análise de DecisõesAplicada a um Problema do Setor Agrícola
Lauro T. G. FortesCoordenador-Geral de Desenvolvimento e Pesquisa
INMET, março de 2008
Questão Central:Como posso utilizar a informação
probabilística em meu processo de tomada de decisões?
Resposta:Fazendo uso da metodologia de
Análise de Decisões
O que é Análise de Decisões ?
• Disciplina consolidada a partir da segunda metade dos anos 60, pode ser definida como “Teoria da Decisão Aplicada”.
• Reúne um conjunto de conceitos e técnicas quantitativas que facilitam o tratamento lógico de situações envolvendo incerteza, permitindo que se tomem boas decisões.
• É particularmente útil para o tratamento de problemas complexos e únicos (que não se repetem), mas seus princípios aplicam-se também a situações corriqueiras.
Alguns Conceitos e Pressupostos Básicos
• Bons Resultados são resultados desejáveis
• O objetivo da Análise de Decisões é aumentar as chances de Bons Resultados por meio da tomada de Boas Decisões
• Boas Decisões são decisões logicamente consistentes com as informações disponíveis e as preferências do Decisor
• Uma decisão se traduz em uma alocação efetiva de recursos, que não pode ser revertida sem incorrer em um custo significativo
• O Decisor é a pessoa (na organização) com a competência e responsabilidade pela efetiva alocação de recursos.Assumimos que é um ser racional capaz de explicitar de forma lógica suas preferências em relação aos possíveis resultados de suas decisões.
Síntese (simplificada) da Teoria da Decisão ),...,,( 00
201 nddd
),...,,( 112
11 nddd
A decisão ótima será dada pela n-upla
que maximiza o valor Esperado de U(R)
maxD { E[U(R)] = U(ri). P(ri) }
onde U é a função utilidade, que reflete as Preferências do Decisor frente ao Risco ( Von Neumann & Morgenstern, 1943)
Modelo
D1 D2 Dn
Variáveis de Decisão
S1
S2
Sm
...
...R
Variáveis de Estado
Resultado0
0,050,1
0,150,2
0,250,3
0,350,4
0,45
10 20 30 40 50
Sj
P(S
j)
),...,,( **2
*1 nddd
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
-6000 0 1500 3000 10000
R ( em $)
P(
R )
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
-6000 0 1500 3000 10000
R (em $)
P(
R )
Escolhendo entre Loterias
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
-6000 0 1500 3000 10000
R ( em $)
P(
R )
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
-6000 0 1500 3000 10000
R (em $)
P(
R )
-6.000
0
1.500
3.000
10.000
0,1
0,3
0,3
0,25
0,05
R
-6.000
0
1.500
3.000
10.000
0
0,6
0,3
0,08
0,02
R
E( R ) = 0,1x(-6.000) + 0,3x0 + 0,3x1.500
+0,25x3.000 + 0,05x10.000 = 1.100
1.100
E( R ) = 0x(-6.000) + 0,6x0 + 0,3x1.500
+0,08x3.000 + 0,02x10.000 = 890
880
Aversão ao Risco
Quando os resultados são números reais (por exemplo, Lucro), uma função utilidade muito usada na prática é a exponencial, definida por:
U(x) = c [1- Exp (- x)]
onde é denominado coeficiente de aversão ao risco
Função Utilidade Exponencial
E.C. < Valor Esperado Aversão ao Risco
E.C. = Valor Esperado Indiferença ao Risco
E.C. > Valor Esperado Atração pelo Risco
10.000
-5.000
0,5
0,5
2.500
~-500
Lauro
Piquet
2.000
A Exponential e a Linear satisfazem a Propriedade Delta: Adicionando-se um valor constante a todos os Resultados,
a Decisão ótima não se altera
Função Utilidade Exponencial Padronizada
U(x)=(1- Exp(- r.x/xmax))/(1- Exp(-r))
-4,00
-3,50
-3,00
-2,50
-2,00
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
-0,60 -0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
Lucro Normalizado X/Xmax
Uti
lid
ade
U(x
)
r=0r=2
r=6r=10
Escolhendo entre Loterias (cont.)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
-6000 0 1500 3000 10000
R ( em $)
P(
R )
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
-6000 0 1500 3000 10000
R (em $)
P(
R )
-6000
0
1500
3000
10.000
R-6000
0
1500
3000
10.000
0,1
0,3
0,3
0,25
0,05
R
1.100
0
0,6
0,3
0,08
0,02
880
U( R )-2,68
0,00
0,30
0,52
1,00
-2,68
0,00
0,30
0,52
1,00
U( R )
E[U( R)] =0,0 E[U( R)] =0,15
0 700
Considere que U é a função utilidade exponencial normalizada com coeficiente de aversão ao risco normalizado r = 2
Exemplo do Amendoim
Emerson tem uma propriedade de 800 acres em Jackson, na Flórida, onde vem plantando amendoim sem irrigação. Este ano em função da presença da La Niña e tendo uma oferta para arrendar sua propriedade, considera três possibilidades:
•Plantar sem irrigação
•Plantar com irrigação
•Arrendar a propriedade
Para ajudá-lo nessa decisão, recorre ao Professor Maurício que, antes de mais nada, visita o site do AgClimate, seu velho conhecido, e levanta um conjunto de informações.
(http://www.agclimate.org/Development/apps/agClimate/controller/perl/agClimate.pl?function=phpyieldTool&location=local&type=php&primary=1&major=2&sub=6&suppressMenu=true)
Parâmtros e Variáveis
Produtividade Esperada com Irrigação ( lb/ac)
Classe Valor Prob (%) Valor Prob (%) Valor Prob (%)
Baixa 1898 6 1780 0 1907 17
Média 2512 29 2523 50 2523 8
Alta 2954 65 3284 50 2947 75
Produtividade Esperada SEM Irrigação ( lb/ac)
Classe Valor Prob (%) Valor Prob (%) Valor Prob (%)
Baixa 1898 45 1780 33 1907 17
Média 2512 24 2523 34 2523 50
Alta 2954 31 3284 33 2947 33
Custo da Irrigação por Acre
Custo sem Irrigação por Acre
Custo com Irrigação por Acre ($)
Preço do Produto ($/ton)
Preço do Produto ($/lb)
Lucro Esperado por Acre Com Irrigação
Lucro Esperado por Acre SEM Irrigação
2.373 2.540 2.558
320,0
2.800 2.904 2.736
97 68
270,0 270,0 270,0
440 360 360
305,0 315,0
141 90 93
35,0 45,0 50,0
0,17 0,14 0,14
180
Valores Médios para o Plantio de Amendoim em Solo "Dothan Loamy Sand" no Condado de J ackson, FL
Ano Neutro El Niño La Niña
Árvore de Decisões
800 Aversão ao Risco 6,56Vmax 200.000
Decisão CLIMA Prob R U( R )88.073 N 0,3 144.031 0,9925278
Irriga E.N. 0,3 77.249 0,92194490,9072581 L.N. 0,4 54.223 0,8322908
85.074 N 0,3 112.832 0,9766817Não Irriga E.N. 0,3 72.000 0,9070150
0,9303836 L.N. 0,4 74.061 0,9131864
80.000 Aluga Qualquer 1 80.000 0,92880280,9288028
X U( X )V.E. 50.000 X1 0,5 100.000 0,9637363E.C. 20.000
E[U(X)] 0,4819 X2 0,5 0 0,00U(E.C.) 0,4818
Determinação do Coeficiente de Aversão ao Risco
Área da FazendaParâmetros
O Oráculo(ou o Valor Esperado da Informação Perfeita)
144.081
80.000
Irriga
Aluga
“N” “O Oráculo diz que será Ano Neutro”
Por exemplo, se “E.N” então será El Niño com certeza, isto é, Pr ( E.N | “E.N.”) = 1.
Portanto se “E.N.” então a melhor decisão é Alugar
Questão : Pr(“E.N.”) =? Resposta : Pr(“ E.N.”) = Pr(E.N.)= 0,3
99.209
Valor Esperado COM Informação do Oráculo = 99.209
Valor Esperado SEM Informação do Oráculo = 85.074
Valor Esperado da Informação do Oráculo =14.135
Aluga
0,3
0,3
0,4
“N”
“E.N”
“L.N” 80.000
Valor Esperado da Informação Perfeita
0,3 R ($) U( R )"N" IRRIGA 144.031 0,9925278
0,3V.E. 99.209 "E.N." ALUGA 80.000 0,9288028U.E. 0,948E.C. 89.500 0,4
U(C.E.) 0,948 "L.N." ALUGA 80.000 0,9288028
99.209
85.074
14.135
89.500
80.650
8.850
EC SEM a Informação Perfeita
EC DA Informação Perfeita
Valor Esperado COM a Informação PerfeitaValor Esperado SEM a Informação Perfeita
Valor Esperado DA Informação Perfeita
EC COM a Informação Perfeita
Valor Esperado da Informação Imperfeita
Expedito pode prever a fase do ENSO com 80% de acerto, e seus erros são igualmente distribuídos entre as demais alternativas. Ele está disposto a vender essa informação para o Emerson. Qual é o preço máximo que Emerson estaria disposto a pagar?
Caracterização do Previsor:
Pr(“N” | N)= 0,8 ; Pr(“E.N” | N) = 0,1; Pr(“L.N” | N) = 0,1
Pr(“N” | E.N)= 0,1; Pr(“E.N” | E.N) = 0,8; Pr(“L.N” | E.N) = 0,1
Pr(“N” | L.N)= 0,1; Pr(“E.N” | L.N) = 0,1; Pr(“L.N” | E.N) = 0,8
Valor da Informação Imperfeita:
Estrutura do Problema
NIrriga E.N.
L.N.
NNão Irriga E.N.
L.N.
Aluga Qualquer
NIrriga E.N.
L.N.
NNão Irriga E.N.
L.N.
Aluga Qualquer
NIrriga E.N.
L.N.
N"L.N" Não Irriga E.N.
L.N.
Aluga Qualquer
U.E.E.C.V.E. 85.074
COMPRA INFORMAÇÃO
"N"
"E.N"
80.650NÃO COMPRA NÃO IRRIGAProblema Original 0,9304
Árvore de Probabilidades: Teorema de Bayes
A AB0,8"N" 0,24
0,3 0,1N "E.N" 0,03
0,1"L.N" 0,03
0,1"N" 0,03
0,3 0,8E.N "E.N" 0,24
0,1"L.N" 0,03
0,1"N" 0,04
0,4 0,1L.N "E.N" 0,04
0,8"L.N" 0,32
B | A B AB0,7742
N 0,240,31 0,0968"N" E.N 0,03
0,1290L.N 0,04
0,0968N 0,03
0,31 0,7742"E.N" E.N 0,24
0,1290L.N 0,04
0,0789N 0,03
0,38 0,0789"L.N" E.N 0,03
0,8421L.N 0,32
A|B
Árvore Invertida
Pr R U( R )125.980 N 0,774194 144.031 0,9925278
X Irriga E.N. 0,096774 77.249 0,92194490,9650 L.N. 0,129032 54.223 0,8322908 1
0,31 125.980 103.878 N 0,774194 112.832 0,9766817"N" Não Irriga E.N. 0,096774 72.000 0,9219449
0,9650 0,9632 L.N. 0,129032 74.061 0,9131864 180.000Aluga Qualquer 1 80.000 0,92880280,928880.740 N 0,096774 144.031 0,9925278Irriga E.N. 0,774194 77.249 0,9219449
0,9172 L.N. 0,129032 54.223 0,8322908 1
94.483 0,31 80.740 76.217 N 0,096774 112.832 0,9766817X COMPRA INFORMAÇÃO "E.N" Não Irriga E.N. 0,774194 72.000 0,9219449
0,9400 0,9288 0,9261 L.N. 0,129032 74.061 0,9131864 180.000
X Aluga Qualquer 1 80.000 0,92880280,928863.131 N 0,078947 144.031 0,9925278Irriga E.N. 0,078947 77.249 0,9219449
94.483 0,8520 L.N. 0,842105 54.223 0,8322908 10,9400
85.000 0,38 80.000 76.959 N 0,078947 112.832 0,97668170,9398 "L.N" Não Irriga E.N. 0,078947 72.000 0,9219449
0,9288 0,9189 L.N. 0,842105 74.061 0,9131864 180.000
X Aluga Qualquer 1 80.000 0,92880280,9288
U.E.E.C.V.E.
94.483 85.00085.074 80.650
9.409 4.350
85.074
EC COM Informação ImperfeitaEC SEM Informação Imperfeita
Valor Esperado DA Informação Imperfeita
Valor Esperado COM Informação ImperfeitaValor Esperado SEM Informação ImperfeitaValor Esperado DA Informação Imperfeita
80.650NÃO COMPRA NÃO IRRIGA 0,9304
Problema Original
Anexos
A Função Utilidade – Breve Introdução
John von Neumann and Oskar Morgensternem Theory of Games and Economic Behavior (1944).
Teoria da Escolha Racional sob Incerteza
Se as preferências (atitudes) do Decisor em situações de risco forem consistentes com um conjunto básico de axiomas, então existirá uma função Utilidade definida sobre os Resultados das decisões tal que, em uma situação complexa, a melhor decisão para ele é aquela que maximiza a sua Utilidade Esperada.
Loteria: Um conjunto de resultados incertos e suas respectivas probabilidades.
L1L2 significa “L1 preferível a L2” L1~ L2 significa “L1 e L2 são indiferentes”
Um Resultado A é equivalente a uma Loteria L que tem Prêmio A com probab. 1
Ex:
B
p
1- p
L:
A
A1A ~
Conceitos Primários:
Axiomas da Teoria de Utilidade Ordenação: O Decisor é sempre capaz de ordenar os resultados em ordem de preferência
•Comparabilidade: Para quaisquer resultados A e B, ou AB ou BA ou A~B
•Transitividade: Se A~B e B~C então A~C
Continuidade
Se AB e BC então existe uma probabilidade p tal que B ~ L: [(p, A) , (1- p, C)].
Nesse caso B é chamado de equivalente certo de L.
Monotonicidade:
Se AB e p>q então Lp Lq onde Lt : [ (t, A) , (1- t, B)]
Decomposição (“no fun in gambling” axiom )
Uma Loteria Composta é equivalente a uma Loteria Simples com iguais probabilidades em relação aos Prêmios, isto é [(p, [(q, A), (1- q, B)]) , (1- p, B)]~ [(pq, A) , (1- pq, B)]
Substituição:
Se L é uma loteria e CE é o seu equivalente certo então o Decisor sempre aceitará trocar o CE por L e vice-versa.
Propriedades da Função Utilidade
1. O resultado não se altera se U for submetida a uma transformação linear positiva, isto é U a + bU onde b>0
2. A utilidade de qualquer loteria é igual à utilidade esperada de seus resultados ou seja U(L)= U(x)f(x)dx
3. A loteria preferida é sempre aquela que tem a maior utilidade
Corolário:
O Equivalente Certo de uma loteria L é igual ao inverso da Utilidade de L:
EC(L) = U-1 (L)
Teorema de Bayes)(Pr}{ AeobabilidadA
n
jjj
iii
ABA
ABABA
1
|
||
Notação:
Considere um conjunto exaustivo de eventos de eventos mutuamente exclusivos
(Doenças)
mutuamente exclusivos
conjunto exaustivo
onde é o conjunto de todas as possibilidades (Identidade):
e um outro evento (Sintoma)
Conhecemos todas as probabilidades
Conhecemos também, portanto,
Questão: Qual a probabilidade de determinada “Doença”, dado o “Sintoma”?
njiAA ji 1,
ni AAA ...,, 2
IAAA ni ...2
IB
ii ABeA |
iii ABABA |
ABBA BABA
I
Resposta:
1}{ I
Exemplos de Variáveis de Decisão e de Estado
• Lançar ou não um novo produto
• Realizar testes
• Data de início do plantio
• Quantidade de irrigação utilizada
• Número de especialistas contratados
• Orçamento para P&D
• Gastos com Propaganda
• Demanda de um novo produto
• Preço dos produtos concorrentes
• Taxa de Juros
• Início da estação de chuvas
• Quantidade de precipitação no período
• Custo de Desenvolvimento
• Gastos em P&D
• Produtividade
Decisão Estado
Bibliografia Sugerida
1. Readings in Decision Analysis, Decision Analysis Group, Eds. Ronald A. Howard and James E. Matheson, SRI International, Menlo Park, California, 1977.
2. READINGS on The Principles and Applications of Decision Analysis, (Volumes I and II), Eds. Ronald A. Howard and James E. Matheson, Strategic Decisions Group, Menlo Park, California, 1984.
3. Howard Raiffa. Decision analysis: introductory lectures on choices under uncertainty. Addison-Wesley, 1968.
4. http://groups.msn.com/DecisionModeling/decisionanalysis1.msnw
5. http://www.engprod.ufjf.br/fernando/epd042/analise_decisao.pdf Em http://www.northworks.net/w_pub.htm:6. The Decision to Seed Hurricanes
(with R.A. Howard and J.E. Matheson), Science, Vol. 176, p. 1191-1202, 1972. 782k
7. Limitations, definitions, principles, and methods of risk assessmentScientific and Technical Review, International Office of Epizootics, 1995. 468k
8. The Invariance Approach to the Probabilistic Encoding of InformationPh. D. Thesis, Department of Operations Research, Stanford University, 1970. 5.9mb