Elementos de las Curvas Circulares Simples

Las curvas circulares simples se definen como arcos de circunferencia de un solo radio que son utilizados para unir dos alineamientos rectos de una vía.

Las curvas circulares se definen por el radio. Fijada una cierta velocidad de diseño, el radio mínimo a considerar en las curvas circulares, se determinan en función de:

El peralte y el rozamiento transversal movilizado. La visibilidad de parada en toda su longitud La coordinación del trazado en planta y elevación,

especialmente para evitar pérdidas de trazado.

En carreteras rurales, la mayoría de los conductores adopta una velocidad más o menos uniforme, cuando las condiciones del tránsito lo permiten. Cuando pasan de un tramo tangente a una curva, si estos no están diseñados apropiadamente, el vehículo deberá conducirse a una velocidad reducida, tanto por seguridad como por confort de los ocupantes. Con el objeto de mantener la velocidad promedio y evitar la tendencia al deslizamiento se deben compatibilizar los elementos de la curva circular, con dimensiones que permitan esa maniobra.

Una curva circular simple (CCS) está compuesta de los siguientes elementos:

Ángulo de deflexión [Δ]: El que se forma con la prolongación de uno de los alineamientos rectos y el siguiente. Puede ser a la izquierda o a la derecha según si está medido en sentido anti-horario o a favor de las manecillas del reloj, respectivamente. Es igual al ángulo central subtendido por el arco (Δ).

Tangente [T]: Distancia desde el punto de intersección de las tangentes (PI) -los alineamientos rectos también se conocen con el nombre detangentes, si se trata del tramo recto que queda entre dos curvas se le llama entretangencia– hasta cualquiera de los puntos de tangencia de la curva (PC o PT).

Radio [R]: El de la circunferencia que describe el arco de la curva.

Cuerda larga [CL]: Línea recta que une al punto de tangencia donde comienza la curva (PC) y al punto de tangencia donde termina (PT).

Externa [E]: Distancia desde el PI al punto medio de la curva sobre el arco.

Ordenada Media [M] (o flecha [F]): Distancia desde el punto medio de la curva hasta el punto medio de la cuerda larga.

Grado de curvatura [G]: Corresponde al ángulo central subtendido por un arco o una cuerda unidad de determinada longitud, establecida como cuerda unidad (c) o arco unidad (s). Ver más adelante para mayor información.

Longitud de la curva [L]: Distancia desde el PC hasta el PT recorriendo el arco de la curva, o bien, una poligonal abierta formada por una sucesión de cuerdas rectas de una longitud relativamente corta. Ver más adelante para mayor información.

Ahora vamos a detenernos en dos aspectos con un poco más de detalle:

Grado de curvatura

Usando arcos unidad:

En este caso la curva se asimila como una sucesión de arcos pequeños (de longitud predeterminada), llamados arcos unidad (s). Comparando el arco de una circunferencia completa (2πR), que subtiende un ángulo de 360º, con un arco unidad (s), que subtiende un ángulo Gs (Grado de curvatura) se tiene:

Usando cuerdas unidad:

Este caso es el más común para calcular y materializar (plasmar en el terreno) una curva circular, pues se asume que la curva es una sucesión de tramos rectos de corta longitud (también predeterminada antes de empezar el diseño), llamados cuerda unidad (c). La continuidad de esos tramos rectos se asemeja a la forma del arco de la curva (sin producir un error considerable). Este sistema es mucho más usado porque es más fácil medir en el terreno distancias rectas que distancias curvas (pregunta: ¿Se pueden medir distancias curvas en el terreno utilizando técnicas de topografía?¿cómo?).

Tomando una cuerda unidad (c), inscrita dentro del arco de la curva se forman dos triángulos rectángulos como se muestra en la figura, de donde:

Longitud de la curva

A partir de la información anterior podemos relacionar longitudes con ángulos centrales, de manera que se tiene:

Usando arcos unidad:

Usando cuerdas unidad:

La longitud de una cuerda unidad, o de un arco unidad, se toma comúnmente como 5 m , 10 m , ó 20 m .

Localización de una curva circular

Para calcular y localizar (materializar) una curva circular a menudo se utilizan ángulos de deflexión.

Un ángulo de deflexión (δ) es el que se forma entre cualquier línea tangente a la curva y la cuerda que va desde el punto de tangencia y cualquier otro punto sobre la curva.

Como se observa en la figura, el ángulo de deflexión (δ) es igual a la mitad del ángulo central subtendido por la cuerda en cuestión (Φ).

Entonces se tiene una deflexión para cada cuerda unidad, dada por:

Es decir, se puede construir una curva con deflexiones sucesivas desde el PC, midiendo cuerdas unidad desde allí. Sin embargo, rara vez las abscisas del PC o del PT son cerradas (múltiplos exactos de la cuerda unidad), por lo que resulta más sencillo calcular una subcuerda desde el PC hasta la siguiente abscisa cerrada y, de igual manera, desde la última abscisa cerrada antes del PT hasta él.

Para tales subcuerdas se puede calcular una deflexión conociendo primero la deflexión correspondiente a una cuerda de un metro (1 m ) de longitud δm:

Entonces la deflexión de las subcuerdas se calcula como:

δsc = δm · Longitud de la subcuerda

La deflexión para el PT, desde el PC, según lo anotado, debe ser igual al la mitad del ángulo de deflexión de la curva:

δPT = Δ/2Lo cual sirve para comprobar la precisión en los cálculos o de la localización en el terreno.Elementos de la curva circular

Los elementos y nomenclatura de las curvas horizontales circulares que a continuación se indican, deben ser utilizadas sin ninguna modificación y son los siguientes:

P.C.: Punto de inicio de la curva

P.I.: Punto de intersección de 2 alineaciones consecutivas

P.T: Punto de tangencia

E: Distancia a externa (m)

M: Distancia de la ordenada media (m)

R: Longitud del radio de la curva (m)

T: Longitud de la subtangente (P.C a P.I y Pi. A P.t)(m)

L: Longitud de la curva (m)

L.C.: Longitud de la cuerda (m)

Δ: Angulo de deflexión (°)

p: Peralte; valor máximo de la inclinación transversal de la calzada, asociado al diseño de la curva (%)

Sa: Sobreancho que pueden requerir las curvas para compensar el aumento de espacio lateral que experimentan los vehículos al describir la curva (m)

Ejemplo

Para una curva circular simple se tienen los siguientes elementos:

Rumbo de la tangente de entrada: N 76º20′ E

Rumbo de la tangente de salida: N 19º40′ E

Abscisa del punto de intersección de las tangentes, PI: k2+226

Coordenadas del PI: 800 N , 700 E

Cuerda unidad: 20 m

Radio de curvatura: 150 m

Calcular los elementos geométricos de la curva; las abscisas del PC y el PT; las coordenadas del PC, el PT y el centro de la curva; y las deflexiones de la curva.Solución

Elementos geométricos de la curva

El ángulo de deflexión de la curva está dado por la diferencia de los rumbos de los alineamientos (no siempre

es así, en este caso sí porque los dos están en el mismo cuadrante NE):

Δ = 76º20′ – 19º40′ = 56º40′ Izquierda

(A la izquierda porque el rumbo de la tangente de salida es menor que el de la de entrada)

Conociendo el radio y el ángulo de deflexión se pueden calcular los demás elementos geométricos:

Tangente: T = R · Tan (Δ/2)

Grado de curvatura: Gc = 2 · Sen-1[ c / (2R) ]

Longitud de la curva: Lc = c·Δ/Gc

Cuerda Larga: CL = 2·RSen(Δ/2)

Externa: E = R(1/Cos(Δ/2) – 1)

Ordenada Media (Flecha): M = R[1 – Cos(Δ/2)]

Deflexión por cuerda: 

Deflexión por metro: 

Abscisas del PC y el PT

Conociendo la abscisa del PI y las longitudes, tanto de la tangente (T) como de la curva (Lc):Abscisa del PC = Abscisa del PI – TAbscisa del PC = k2 + 226 – 80,879 m = k2 + 145,121

Abscisa del PT = Abscisa del PC + Lc

Abscisa del PT = k2 + 145,121 + 148,243 m = k2 + 293,364Se debe tener en cuenta que la abscisa del PT se calcula a partir de la del PC y NO del PI, pues la curva acorta distancia respecto a los alineamientos rectos. Coordenadas de los puntos PC, PT y O

Conociendo los rumbos de las tangentes de entrada y salida se pueden calcular sus azimutes:

Azimut del PC al PI = 76º 20′Azimut del PI al PC = Contra azimut de PC-PI = 76º 20′ + 180º = 256º 20′Azimut del PC a O = 256º 20′ + 90º = 346º 20′ (porque el radio es perpendicular a la tangente de entrada en el PC)Azimut del PI al PT = 19º 40′

Nota: Debe tenerse mucho cuidado con el cálculo de estos azimuts, pues las condiciones particulares de cada curva pueden hacer que cambie la manera de calcularlos. Especialmente el hecho de si el ángulo de deflexión es a la izquierda o a la derecha. Lo que yo recomiendo para no cometer errores es, primero que todo, tener bien claro el concepto de azimut, y luego hacer un dibujo representativo para ubicarse, que sea claro y más o menos a escala.Recordemos que, conociendo las coordenadas de un punto A (NA y EA), las coordenadas de un punto B (NB y EB) se calculan a partir de la distancia y el azimut de la linea que une los dos puntos (AB) así:NB = NA + DistanciaAB · Cos(AzimutAB)EB = EA + DistanciaAB · Sen(AzimutAB)Coordenadas del PI:

800N 700E

Coordenadas del PC:

N = 800 + T·Cos(256º 20′) = 800 + 80,879 Cos(256º 20′)

N = 780,890

E = 700 + T·Sen(256º 20′) = 700 + 80,879 Sen(256º 20′)

E = 621,411

Coordenadas del centro de la curva (O):

N = 780,890 + R·Cos(346º20′) = 780,890 + 150 Cos(346º20′)

N = 926,643

E = 621,411 + R·Sen(346º20′) = 621,411 + 150 Sen(346º20′)

E = 585,970

Coordenadas del PT

N = 800 + T·Cos(19º40′) = 800 + 80,879 Cos(19º40′)

N = 876,161

E = 700 + T·Sen(19º40′) = 700 + 80,879 Sen(19º40′)

E = 727,220 Deflexiones de la curva

Para calcular las deflexiones de la curva partimos de las abscisas calculadas para el PC y el PT y dos ángulos que ya están definidos: la deflexión por cuerda y la deflexión por metro.

Como la cuerda unidad es de 20 m quiere decir que las abscisas de la poligonal se vienen marcando a esa distancia, por lo tanto si la abscisa del PC es la k2 + 145,121 , la siguiente abscisa cerrada corresponde a la k2 + 160 (no la k2 + 150 porque no es múltiplo de 20, es

decir, si empezamos desde la k0 + 000 sumando de 20 en 20 no llegamos a la k2 + 150 sino a la k2 + 160). Esto genera una subcuerda, cuya longitud se calcula como la diferencia entre las dos abscisas:

Subcuerda de entrada: 2 160 m – 2 145,121 m = 14,879 m

Ahora, si ya se había calculado que por cada metro de curva existe una deflexión δm=0º11’28,06”, para la primera subcuerda tenemos una deflexión (correspondiente a la abscisa k2 + 160) de: Deflexión para la abscisa k2 + 160 = 14,879 m *

0º11’28,06” = 2º50’37,64”

A partir de la abscisa k2 + 160 siguen abscisas cerradas cada 20 m (de acuerdo a la longitud de la cuerda unidad), hasta llegar al PC, y la deflexión para cada una de las abscisas siguientes corresponde a la suma de la anterior con la deflexión por cuerda:

Deflexión para la k2+180 = 2º50’37,64” + 3º49’21,2” = 6º39’58.84”

Deflexión para la k2+200 = 6º39’58.84” + 3º49’21,2” = 10º29’20,04”

Deflexión para la k2+220 = 10º29’20,04” + 3º49’21,2” = 14º18’41,24”

Deflexión para la k2+240 = 14º18’41,24” + 3º49’21,2” = 18º08’02,44”

Deflexión para la k2+260 = 18º08’02,44” + 3º49’21,2” = 21º57’23,64”

Deflexión para la k2+280 = 21º57’23,64” + 3º49’21,2” = 25º46’44,84”

Pero ahí hay que parar porque la abscisa del PT es la k2 + 293,364 , por lo tanto se genera otra subcuerda, la de salida, que se calcula de manera similar a la de entrada:

Subcuerda de salida: 2 293,364 m – 2 280 m = 13,364

Y de la misma manera, la deflexión para la subcuerda es de:

Deflexión para la subcuerda de salida = 13,364 m * 0º11’28,06” = 2º33’15,23”

Así que al final, la deflexión para el PT es:

Deflexión para la k2+293,364 = 25º46’44,84” + 2º33’15,23” = 28º20’00,07”

La cual, según lo visto en el artículo, debe corresponder con la mitad del ángulo de deflexión de la curva:

Con esta información se construye la cartera de deflexiones, que va a ser la que permita materializar la

curva en el terreno, pues es la que recibe el topógrafo para hacer su trabajo. A continuación se muestran las tres primeras que debe contener dicha cartera. Las otras tres, hacen referencia a los elementos que ya se calcularon a lo largo de este artículo (es necesario reescribirlos dentro de la cartera), el azimut de los alineamientos rectos (de entrada y salida), y el sentido en el que se deflectará la curva (en este ejemplo desde el PC hasta el PT, que es el sentido en el que aumenta la deflexión). Nótese que la cartera está escrita de abajo hacia arriba, para facilitar el trabajo de los topógrafos.

ESTACIÓN ABSCISA DEFLEXIÓN

PTk2+293,364

28º20’00,07”

K2+28025º46’44,84”

K2+26021º57’23,64”

K2+24018º08’02,44”

K2+22014º18’41,24”

K2+20010º29’20,04”

K2+180 6º39’58.84”

K2+160 2º50’37,64”

PCk2+145,121 0º00’00”

CALCULO DE LOS ELEMENTOS DE LAS CURVAS CIRCULARES Los distintos elementos de una curva circular se pueden calcular según las siguientes expresiones: ELEMENTOS DE LAS CURVAS CIRCULARES SIMPLES Semitangente: T= R. Tg (Delta/2) Cuerda larga: CL= 2.R.Sen(Delta/2) Externa: E= R.{[Sec(Delta/2)-1]} Ordenada media: M=R.{1-[Cos(Delta/2)]} Longitud: Lc=(Pi.R.Delta)/180 REPLANTEO DE LAS CURVAS CIRCULARES HORIZONTALES. Curvas circulares compuestas

Las curvas circulares compuestas son aquellas que están formadas por dos o más curvas circulares simples del mismo sentido y de diferentes radio, o de diferente sentido y cualquier radio, pero siempre con un punto de tangencia común entre dos consecutivas, cuando son en el mismo sentido se les llaman compuestas directas, y cuando so en sentido contrario se les llaman compuestas inversas.

A pesar de que no son muy comunes, se pueden emplear en terrenos montañosos, cuando se requiere que la carretera quede lo más ajustada posible a la forma del terreno o topografía natural, lo cual reduce el movimiento de tierras. También se puede utilizar cuando existen limitaciones de libertad en el diseño, como por ejemplo, en los accesos a puentes, en los pasos a desnivel y en las intersecciones.Elementos geométricos de la curva circular compuestaPI= Punto de intersección de las tangentes. PCC= Punto donde se inicia la curva circular compuesta.PTC=Punto donde termina la curva circular compuesta.PCC1 y PCC2= Puntos de curvatura compuesta, donde termina una curva circular y empieza otraO1, O2 y O3= Centros de las curvas circulares.Δ= Angulo de flexión entre tangentes.ΔC1, ΔC2= Ángulos centrales de las curvas circulares simpleRc1, Rc2, Rc3= Radios de cada curva circular simpleSTC1, STC2= Subtangentes de las curvas circulares compuestas.P1, P2, K1,K2= Desplazamiento de la curva central.

Curvas circulares compuestas de dos radios

En la figura aparecen los diferentes elementos geométricos de una curva circular compuesta de dos radios, definidos como:PI= Punto de intersección de las tangentesPC=Principio de la curva compuesta.PT=Fin de la curva compuesta o principio de la tangentePCC=Punto común de curvas o punto de curvaturas compuestas. Punto donde termina la primera curva circular simple y empieza la segunda.R1= Radio de la curva de menor curvatura o mayor radio.R2=Radio de la curva de mayor curvatura o menor radio.O1= Centro de la curva de mayor radio.O2= Centro de la curva de menor radioΔ= Ángulo de deflexión principalΔ1=Ángulo de deflexión principal de la curva de mayor radio.Δ2= Ángulo de deflexión principal de la curva de menor radio.T1=Tangente de la curva de mayor radio.T2=Tangente de la curva de menor radio.TL=Tangente larga de la curva circular compuestaTC=Tangente corta de la curva circular compuesta.

Los elementos geométricos que caracterizan cada curva circular simple se calculan en forma independiente en cada una de ellas, utilizando las expresiones para curvas circulares simples.Para la curva compuesta es necesario calcular la tangente larga TL y la tangente corta TC, así:Δ= Δ1+ Δ2TL=PC.E – PI.EPC.E=a= AB+CD=AB+(O2D - O2C)En el triángulo rectángulo ABO1:AB= O1B sen Δ1 = R1B sen Δ1En el triángulo rectángulo O2D.PT:O2D= O2.PT sen Δ = R2B sen ΔEn el triángulo rectángulo O2 CB:O2C= O2B sen Δ1 = R2 sen Δ1

En el triángulo rectángulo PI.E.PT:PI.E=PI.PT cos Δ= TC cos Δ Por lo tanto,TL= AB+O2D - O2C – PI.ETL= R1 sen Δ1+ R2 sen Δ - R2 sen Δ1 – TC cos ΔTL= R2 sen Δ+ (R1-R2)sen Δ1– TC cos ΔEn el triángulo rectángulo PI.E.PT:b=PC.A+BFPC.A=PC.O1– AO1= R1 – AO1BF= BC-PT.DEn el triángulo rectángulo ABO1:AO1= O1Bcos Δ1= R1Bcos Δ1En el triángulo rectángulo O2D.PT:PT.D= O2.PT cos Δ= R2cos Δ

Como se realiza un estudio de rutas

El estudio de ruta debe iniciarse con la identificación de las vías a las cuales se les va a hacer el estudio, es bueno conseguirse un mapa ya sea de papel o digital para hacer trazados sobre estos.  También es necesario llevar una cámara fotográfica, un reloj y si es posible un GPS, aunque hoy en día esto lo podemos llevar en un solo aparato, el cual nos puede tomar los tiempos, registrar coordenadas y hacer fotografías.

Lo primero que debe hacer el operador de seguridad es identificar el inicio y fin de la ruta, una vez hecho esto debe comenzar a recorrerla, tomar el tiempo de desplazamiento entre el punto de salida y el primer punto critico  (ya se porque el lugar requiere especial atención por las condiciones de orden publico o porque sera un lugar de encuentro, de descanso, de apoyo con la fuerza publica, etc.).  Cada punto que llame la atención deberá tomar las coordenadas, tomar un fotografía y hacer una anotación del porque le llamo la atención, aca vale la pena aclarar que todo es relevante, un puente, un peaje, una piedra, una venta de limonada, un vehículo varado, etc, etc.  todo de ser considerado en un estudio. También es de vital importancia marcar los puntos donde se encuentre fuerza publica, escuelas, corregimientos, municipios, hospitales, y demás, y sobre todo hacer los cálculos del tiempo de desplazamiento a estos lo mas exactos posibles  (herramientas como google maps ofrecen tiempos y distancias bastante exactos: https://www.google.com/maps) y google maps engine ofrece la posibilidad de crear mapas colaborativos.Durante el estudio de la ruta es bueno dialogar con los organismos de socorro que hayan sobre la vía, como la Policía de carreteras, patrullas de control de vías, defensa civil y otros, para conocer de primera mano la situación del corredor vial; es probable que puedan presentarse arreglos o cierres de vías durante ciertas horas, que se tenga previstas marchas, desplazamientos de maquinarias, o pueden haberse presentados deslizamientos, derrumbes, accidentes, entre otros, que podrían entorpecer la labor de desplazamiento y siempre es mejor contar con este tipo de información.

La primera etapa en la elaboración de un proyecto vial consiste en el Estudio de las Rutas. Por Ruta se entiende la faja de terreno, de ancho variable, que se extiende entre los puntos terminales e intermedios por donde la carretera debe obligatoriamente pasar, y dentro de la cual podrá localizarse el trazado de la vía. Como quiera que las rutas puedan ser numerosas, el estudio de las mismas tiene como finalidad seleccionar aquella que reúna las condiciones óptimas para el desenvolvimiento del trazado. El estudio es por consiguiente un proceso altamente influenciado por los mismos factores que afectan el trazado, y abarca actividades que van desde la obtención de la información relativa a dichos factores hasta la evaluación de la ruta, pasando por los reconocimientos preliminares. De las actividades que abarcan el estudio de las rutas y donde de una u otra manera se aplica la Topografía, se encuentran la elaboración de los croquis y los reconocimientos preliminares. ELABORACIÓN DE LOS CROQUIS. El estudio de las rutas se realiza, generalmente sobre un mapa de la región, los cuales son una representación del terreno, obtenida por proyección sobre un plano, de una parte de la superficie esférica de la Tierra. El relieve del terreno aparece representado en los mapas por medio de las curvas de nivel, curvas que enlazan puntos del terreno situados a la misma cota. Los principales mapas que se utilizan en la elaboración del croquis de una vía son editados en escalas 1:25000 y 1:100000. Con los datos obtenidos de los mapas, el Ingeniero logra formarse una buena idea de la región. Sobre ellos puede señalar los

desniveles, los cursos de agua, las filas montañosas, los cruces con otras vías, etc. También puede marcar en ellos, de las informaciones recogidas a través del material de consulta que se ha reunido previamente, los datos de población, zona de producción, intensidad de lluvias, tipos de terrenos y formaciones geológicas, etc. Además, deben indicarse con especial cuidado los controles primarios que guían el alineamiento general de la vía y por los cuales ésta debe incuestionablemente pasar; y los controles secundarios tales como caseríos, carreteras existentes, sitios de puentes, zonas de terreno firme, cruce con otras vías, minas, bosques, etc. De esta manera orientado el alineamiento general de la carretera y con los datos adquiridos y anotados sobre los mapas, será posible señalar en ellos varias líneas o croquis de la vía que determinarán fajas de terrenos de ancho variable o rutas, sobre los cuales será posible ubicar el trazado de la carretera. RECONOCIMIENTOS PRELIMINARES. Una vez elaborados los croquis empieza el trabajo de campo o reconocimiento preliminar. El reconocimiento es el examen general de las fajas o zonas de terreno que han quedado determinados por los croquis. Su finalidad es la de descubrir las características sobresalientes que hacen a una ruta superior de los demás: sirve también para obtener datos complementarios de la región, tener una idea del posible costo de la construcción de la carretera propuesta, anticipar los efectos potenciales de la carretera en el desarrollo económico de los terrenos que

atraviesa y estimar los efectos destructivos que pudiera tener en el paisaje natural.Con los datos obtenidos durante el reconocimiento preliminar y con la información reunida con anterioridad a él, el Ingeniero se formará un criterio que le permitirá seleccionar las rutas que ameritarán estudio topográfico. El reconocimiento debe ser rápido y de carácter general y puede realizar recorriendo la ruta a pie. El Ingeniero encargado del reconocimiento debe llevar consigo los instrumentos adecuados para la determinación de las elevaciones relativas, la obtención de rumbos y la medida de pendientes. Los barómetros aneroides, las brújulas y los niveles de mano o clisímetros sirven perfectamente para el trabajo.