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Modelos hModelos h--Adaptivos de Elementos FinitosAdaptivos de Elementos Finitos

Dr. Ing. Hugo Scaletti Farina

Universidad Nacional de Ingeniería

Las técnicas de elementos finitos fueron inicialmentedesarrolladas para el análisis estructural

Actualmente se emplean en prácticamente todas lasáreas de la ciencia y la ingeniería

Se reconocen como herramientas poderosas para lasolución de ecuaciones diferenciales en general

Son particularmente útiles al tratar medios congeometría irregular y no homogeneidad

introducción

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Ecuaciones Diferenciales paraun Problema Estacionario

Aproximaciones de Elementos Finitos

Sistema de Ecuaciones Algebraicas

Ecuaciones Diferenciales paraun Problema Dinámico

Aproximaciones de Elementos Finitos

Sistema de EcuacionesDiferenciales Ordinarias

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Primer modo de vibraciónT = 1.85 s

Cuarto modo de vibraciónT = 1.25 s

Mampostería no reforzada

Quincha

Evaluación estructural delMuseo de Arte de Lima

Estructura típica conirregularidad de rigidez y masa

Iglesia de la Sagrada Familia Iglesia del TriunfoBasílica Catedral

Catedral del CuzcoCatedral del CuzcoCISMID (2002)CISMID (2002)

Modelo de un pilarcon elementos sólidos

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Máximos esfuerzos cortantes (kN/m) al ensayar tensores

Momentos flectores verticales (kN m/m)debidos a sismo, considerado como empuje activo

Muro de Contención Atirantado

Deformada al finalizarel proceso constructivo

Momentos flectores horizontales (kN m/m)debidos al tensado y al empuje pasivo del suelo

Puente Billinghurst, Puerto Maldonado

Modelo de la Cámara de Anclaje IzquierdaCortado en el Plano de Simetría

Modelo de la Cámara de Anclaje IzquierdaEntre plano de cables y Plano de Simetría

Esfuerzos Principales Máximos (kg/cm2) - Plano de cables

Esfuerzos Cortantes XZ (kg/cm2) - Plano de cables

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antecedentes

Las ideas básicas del método de elementos finitos seencuentran en diversos trabajos precursores

Estrictamente son una extensión de los métodos deparámetros indeterminados, propuestos por Gauss enel siglo XVIII y más desarrollados a inicios del siglo XX

Los procedimientos de parámetros indeterminados ensu forma “clásica”, basados en aproximaciones válidaspara todo el medio estudiado, están limitados asituaciones relativamente simples

L

xsenxv )(

mínimadxwvdxvEIvLL

P 221)(

wL

L

EIP

2

2)( 2

3

4

21

Aproximación:

función conocidaparámetroindeterminado

en este caso ∆ puede interpretarse como la deflexión máxima

Con la aproximación y sus consecuencias, la energía potencial:

se reduce a una simple función del parámetro indeterminado ∆

Método de parámetros indeterminados:Viga simplemente apoyada con carga uniforme

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EI

wL

EI

wL 44

013021.0384

5La solución exacta es:

02

2 3

4

wL

L

EIP

EI

wL

EI

wL 44

5013071.0

4

La forma de v(x) antes propuesta no es exacta, pero se parece mucho ala forma correcta, lo que explica los buenos resultados

Sin embargo, cuando se tiene una geometría irregular, más aún si elmaterial no es homogéneo, se hace difícil plantear una aproximaciónanáloga, válida para todo el medio estudiado

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En las técnicas de elementos finitos se resuelve elproblema dividiendo el medio estudiado ennumerosos “elementos”, que se interconectan en unnúmero finito de puntos o “nudos”

Para cada elemento se hacen aproximacionesdistintas, de carácter local:

Habitualmente los parámetros ai que definen laaproximación son los valores numéricos de la(s)función(es) incógnita en los nudos. En tal caso, lasaproximaciones son propiamente interpolaciones

ideas básicas del método de EF

ii ayxNu ),(

La idea básica al emplear elementos finitos es quecualquier función, por complicada que sea, puede seraproximada localmente por una función muy simple

La calidad de los resultados en una región del modelodepende de que tan bien las aproximaciones puedanajustarse a la solución correcta

A medida que se reducen las dimensiones de loselementos (se refina la malla) las aproximacionesdeben ser mejores. Si los elementos fueraninfinitesimales la solución debería ser exacta

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Labelle, F. and Shewchuk, J.R. Isosurface Stuffing: Fast Tetrahedral Meshes with Good Dihedral Angles. 2007 Siggraph Conf.Proceedings

ecuación armónica

0 puuTK

quT Kn

en Ω

en Sq

refT uuhu Kn

en Suuu

Ecuación diferencial:

Condiciones de borde: S = Su + Sq

C.B. esenciales

C.B. naturales flujo

convección

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dpuuuuu TP

221

21 K

Con la restricción en Suuu

mín221 dSuuhdSqu

qq Sref

S

Sólo uno de estos dos términos

formulación alternativa: energía potencial

Flujo bajo una presa a través de suelo no homogéneo (O.C.Zienkiewicz)

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Modelo de EF para amplificación de altura de olas – Puerto Long Beach (J.R.Houston)

Malla de elementos finitos1701 nudos, 2853 elementosGeometría

Análisis del acuífero de Puerto Mùsquodoboit, Nueva Escocia (Connor & Brebbia)

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Función de esfuerzos de Prandtl – Sección transversal del puente Tahuamanú (Peñafiel)

Modelo de elementosfinitos (media sección) Contornos de la función

de esfuerzos de Prandtl

aproximación de elementos finitos

aN ),(),( yxyxuInterpolación local:

Gradiente:

función desconocida(altura piezométrica) parámetros indeterminados

(valores nodales de u)funciones deinterpolación

aBaN u

Componentes de flujo(ley de Darcy): aBKuKq

permeabilidades

Para cada elemento:

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dpTTTP NaNaNaBaKBaa 2

121)(

baHaaa TTP 2

1)(

0bHa0a

P

La energía potencial πP se reduce a una simple función de losparámetros indeterminados a:

minqS

T dSqNa

Por lo tanto:

dTT NNBKBH

qS

TT dSqdp NNb

funciones de interpolación (triángulos CST)

)(2

1ycxba

ALN iiiii

mji

mji

yyy

xxxA

111

21

jmi

mji

jmmji

xxc

yyb

yxyxa

i, j, m son permutaciones cíclicas de 1, 2, 3

1

/

321

LLL

AAL ii

i

i

ii

i

i yLyxLx

3

1

3

1

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solución con elementos finitos CST

aB

aN

3

2

1

321

321

3

2

1

321

332211

2

1

2

1

u

u

u

ccc

bbb

Au

ycxbaA

L

u

u

u

LLLu

uNuNuNu

iiii

e e

TTe de

NNBKBHH )(

e

S

TT

e

e

qee

dSqdp NNbb )(

233231

322221

312121

233231

322221

312121

)(

44ccccc

ccccc

ccccc

A

k

bbbbb

bbbbb

bbbbb

A

k yyxxeH

..

1

1

1

3)( tb

pAe

b

211

121

112

122

2

2

43323321331

2332221221

1331122111A

cbcbcbcbcb

cbcbcbcbcb

cbcbcbcbcb

A

kxy

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ensamble de las ecuaciones

convergencia de la aproximación de EF

Los métodos de elementos finitos son intrínsecamenteaproximados

En el contexto de estos métodos “convergencia”significa que la solución aproximada tiende a la exactaa medida que el tamaño de los elementos tiende acero

Para tener convergencia se requiere que lasaproximaciones sean suficientemente derivables y quecumplan condiciones de consistencia, continuidad(hasta cierto orden de las derivadas) y estabilidad

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Viga en voladizo cargada en el extremo:Error en el máximo desplazamiento

consistencia

En el límite, si las dimensiones de los elementos fueraninfinitamente pequeñas, la aproximación de elementosfinitos debería reproducir exactamente las condicionessupuestas para un elemento diferencial, que son labase para las ecuaciones que están siendo resueltas

Si en el principio variacional (o formulaciónequivalente) se incluyen la(s) función(es) y susderivadas hasta de orden m, las interpolaciones debenpoder representar exactamente situaciones en las quela función o cualquiera de sus derivadas hasta deorden m es constante

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continuidad

Si la formulación incluye derivadas hasta de orden m,las aproximaciones para la función y sus derivadashasta de orden m-1 deben ser continuas en los bordesentre elementos (esto permite descomponer cualquierintegral en todo el dominio en la suma de integralesanálogas sobre cada elemento)

Las derivadas de orden m (o combinaciones lineales detales derivadas) no son necesariamente continuas; lasdiferencias observadas en los bordes entre elementosson una medida del error

Elementos “Shell” SAP2000

Esfuerzos Cortantes en un Muro Debidos a Fuerza Lateral

Elementos “Plane” SAP2000

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orden de convergencia

La precisión depende de la regularidad de la función, dela calidad de la aproximación local y del tamaño, h, delos elementos

Si la aproximación es un polinomio completo de gradop≥m, el orden de convergencia depende de que tan bienese polinomio puede aproximar localmente la expansiónde u en series de Taylor y por tanto resulta O(h p+1)

Las derivadas de orden k convergen con O(h p+1-k)

Este orden de convergencia puede no lograrse si elproblema presenta alguna singularidad

Efecto de la singularidad en la convergencia

Singularidad

NGL es aproximadamente inversamente proporcional a h 2

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Convergencia para distintassubdivisiones uniformes

NGL es aproximadamenteinversamente proporcional a h2

cómputo de los esfuerzos

LosLos resultadosresultados dede esfuerzosesfuerzos nono sonson continuoscontinuos enen loslosbordesbordes entreentre elementoselementos (incluyendo(incluyendo loslos nudos)nudos)

AntesAntes dede graficar,graficar, loslos programasprogramas comercialescomerciales promedianpromedianloslos resultadosresultados obtenidosobtenidos enen cadacada nudo,nudo, lolo quequeproporcionaproporciona mejoresmejores resultadosresultados queque aquellosaquellos calculadoscalculadosparapara cualquieracualquiera dede loslos elementoselementos porpor separadoseparado

EnEn cadacada elemento,elemento, loslos resultadosresultados sonson mejoresmejores sisi sesecalculancalculan enen puntospuntos óptimosóptimos yy luegoluego sese extrapolanextrapolan aa loslosnudosnudos

PuedenPueden obtenerseobtenerse resultadosresultados muchomucho mejoresmejores suavizandosuavizandoloslos esfuerzosesfuerzos concon unauna aproximaciónaproximación dede mínimosmínimoscuadradoscuadrados

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Puntos de Colocación Óptima (superconvergentes)

Malla de EFMalla de EFcuadráticos (Serendip)cuadráticos (Serendip)

Muestreo de esfuerzo cortante en puntos de Gauss con extrapolación a nudosMuestreo de esfuerzo cortante en puntos de Gauss con extrapolación a nudos

Los esfuerzos evaluados en estos puntos convergen conel mismo orden que los desplazamientos O(hp+1)

Aproximación de mínimos cuadrados

*σNiσ

2

1

),(),(σ

n

kkkkki yxyx *σN

),(ˆ1

*

1k

n

kki

Tk

n

kk

Tk yxNσNN

Para cada componente de esfuerzo,Para cada componente de esfuerzo, σσii , se plantea una, se plantea unaaproximación suavizada, de la forma:aproximación suavizada, de la forma:

* agrupa los valores nodales suavizados y las* agrupa los valores nodales suavizados y las NN son lasson lasmismas funciones de interpolación empleadas para losmismas funciones de interpolación empleadas para losdesplazamientosdesplazamientos

Llamando a los esfuerzos inicialmente obtenidosLlamando a los esfuerzos inicialmente obtenidosenen nn puntos de muestreo (óptimos), se minimiza:puntos de muestreo (óptimos), se minimiza:

),(σ kki yx

De donde:De donde:

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estimación del error

*

*

σσeεεe

σε ˆ,ˆ

21

21

*1***

dd TT σσDσσεεDεεe

Varias formas de la norma de energía son de uso frecuente:

En lo que sigue, u, , se refieren a la solución por EF,mientras que denotan los valores exactos

pueden aproximarse por

Los estimadores de error más simples:

σεu ˆ,ˆ,ˆ

pueden en algunos casos ser inadecuados

**,σε

Una vez obtenida una solución con elementos finitos,pueden estimarse los errores en cada región del modeloy modificar la malla de elementos para lograr la precisiónrequeridaEn el refinamiento-h se mantiene la misma clase deelementos, pero se cambia su tamaño, haciéndose máspequeños donde se requiera más precisión y en otroscasos más grandes, para no hacer un esfuerzo decómputo innecesario

El refinamiento puede hacerse subdividiendo loselementos o generando una malla totalmente nueva (loque es más eficiente)

refinamiento adaptivo de mallas de EF

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Refinamiento adaptivo de mallas de Elementos Finitos

refinamiento adaptivo de mallas de EF

La estimación del error en cada región del modelopreviamente usado

La determinación del orden de convergencia para eltipo particular de elemento finito empleado

La estimación del tamaño de elemento requerido (encada región del modelo) para lograr los objetivos deprecisión

Un algoritmo de regeneración de la malla confiable yeficiente

El refinamiento automático de la malla de elementosfinitos requiere:

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error admisible

m

ii

ee1

22

du T εDε

emi

21

2u

e

eii e 1i

Considerando que:

Si el error relativo máximo admisible es , el error encualquier elemento no debe exceder

Definiendo la malla debe refinarse siy puede hacerse más gruesa si

%100 ueError relativo en lanorma de energía:

1i

nuevo tamaño de los elementos

Considerando el orden de convergencia

donde hk es el tamaño del elemento y p es el grado delpolinomio completo de aproximación, se debe tener paracada elemento:

pkkkk hhnuevo1

1

1

kkk hhnuevo

λ puede conservadoramente tomarse como 0.5

pkk

he

Al refinar, la malla tiende a ser óptima y menos afectadaspor las singularidades, excepto en los elementosadyacentes a las mismas, para los que:

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Secuencia derefinamiento adaptivo

Basada en:

a) Igual distribución delerror total en energía

b) Igual distribución de ladensidad del error enenergía

c) Igual máximo error enlos esfuerzos

d) Igual máximoporcentaje de error enlos esfuerzos

Menos que 5% en lanorma de energía

Mallas de elementos finitoslineales (CST) para análisis deviga corta en voladizo

Malla 1

Malla 3

Malla 2

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Velocidades experimentales de convergencia para la viga corta en voladizo

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.000.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

Momento Meridional en un Tanque Axisimétrico

Resultados con12 elementos

Resultados conmalla refinada