Elements dAstronomie Fondamentale.pdf

7/29/2019 Elements dAstronomie Fondamentale.pdf

1/78

Universit des Sciences et Techniques de Lille

Elments dAstronomie Fondamentale

Alain Vienne

LAL-IMCCE Laboratoire dAstronomie de Lille

de lInstitut de Mcanique Cleste et de Calcul des Ephmrides

Lille 1 et Observatoire de Paris, UMR 8028 du CNRS.

janvier 2008


2/78

2


3/78

Elments dAstronomie Fondamentale

Alain Vienne

23 janvier 2008


4/78

2


5/78

Table des matires

1 Mthodes et histoire rapide de lAstronomie 5

1.1 Mthodes gnrales de lAstronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Les distances dans le systme solaire et dans lUnivers . . . . . . . . . . 6

1.2.1 units et chelles de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 mesures de distances dans le systme solaire . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 mesure de la distance des toiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Histoire rapide de lAstronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 priode antique (-3000,-1000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 priode gocentrique (-1000,1500) . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.3 priode hliocentrique (1500,1780) . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.4 la Galaxie (1780,1920) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.5 les autres galaxies (aprs 1920) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.6 conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Coordonnes sur la sphre cleste 17

2.1 Trigonomtrie sphrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Systme de coordonnes sur la sphre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Coordonnes locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Mouvement diurne et coordonnes horaires . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5 Changement de coordonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6 Coordonnes quatoriales et temps sidral local . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Le problme des deux corps 27

3.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Invariance du moment cintique et de lnergie . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Rsolution dans le plan de lorbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 Les mouvements elliptiques, paraboliques et hyperboliques . . . . . . . . 31

3


6/78

4 TABLE DES MATIRES

3.5 Mouvement sur la trajectoire (cas elliptique) . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6 Elments dorbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.7 La navigation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Le mouvement du Soleil 45

4.1 Coordonnes cliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Premire approximation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Equation du temps : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3.1 partie due lexcentricit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.2 partie due lobliquit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3.3 Equation du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.4 Prcession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 La Terre 57

5.1 Reprsentation astronomique de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 Coordonnes astronomiques dun lieu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.3 Relation entre longitude et temps sidral local . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.4 Mesure prcise des coordonnes dun lieu . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.5 Le point en mer : droites de hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.6 Un illustration littraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.7 Figure de la Terre : le Gode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.8 Premiers lments de godsie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.8.1 Courbure du gode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.8.2 Triangulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.8.3 Coordonnes godsiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75


7/78

Chapitre 1

Mthodes et histoire rapide de

lAstronomie

1.1 Mthodes gnrales de lAstronomie

Lastronomie est une science trs ancienne. Son objet, le ciel, est la fois trs proche

et trs distant : trs proche car il suffit de lever la tte pour lobserver, et trs distant

car il nest pas palpable. Cette particularit en a fait longtemps une science part. Il

nest pas possible de faire des expriences sur les objets du ciel comme cela peut se faire

avec les objets terrestres. De plus, les trs grandes distances considrer ou, du moins

(avant que ces distances ne soient connues), linaccessibilit des objets tudier, ont pu

donner lastronomie un caractre mystrieux quelquefois magique. Cela peut expliquer

ses branches non scientifiques qui lui sont quelques fois associes : astrologie, divinations,

...

Lastronomie, en tant que science, se veut une reprsentation du monde rel :

Reprsentation du monde rel

* Lois * une partie observable

cohrentes entres elles

* vrifi par lexprience en laboratoire terrestre

Si ces trois points sont acquis, on peut dire que le modle est scientifiquement va-

lable. Il permet donc dexpliquer, de faire des prdictions et des extrapolations. Une autre

5


8/78

6 CHAPITRE 1. MTHODES ET HISTOIRE RAPIDE DE LASTRONOMIE

consquence du schma prsent est quil ny a pas de vrit scientifique au sens de vrit

absolue.

Un modle dpend :

des observations ; celles-ci dpendent elles-mmes des technologies utilises ; ac-

tuellement la quantit dobservations est trs grande au point que le problme de

grer cette masse de donnes est fait dans des centres ou des quipes spcialiss :

Centre de Donnes Stellaires (Strasbourg), Hipparcos, Natural Satellites Data Base

(Paris), ...

du niveau des connaissances thoriques ; il repose sur les mathmatiques et les

sciences physiques.

Exercice : Exemple de la dmarche scientifique chez les anciens (Era-

tostne et Aristarque) : ... ... ... .. ... .... ....

1.2 Les distances dans le systme solaire et dans lUnivers

Les distances considres en astronomie sont grandes. Mais surtout, ce qui est consi-

dr comme grand une certaine chelle, pourra tre considr comme petit si on change

dchelle. Les approximations faites ou la comprhension des phnomnes en sont gran-

dement affectes. Dailleurs, lhistoire de lastronomie doit tre vue en tenant compte de

cette caractristique. Une autre consquence est quune seule unit de longueur ne suffit

pas apprhender toutes les distances.

1.2.1 units et chelles de distances

Le tableau 1.1 est extrait de lAnnuaire du Bureau des Longitudes 2002. On voit dj

que, mme en se limitant au systme solaire, deux units de longueur sont utilises : lerayon quatorial terrestre (6378.14 km) et lunit astronomique (1ua=149 587 870 km).

Au del du systme solaire, on utilise lanne lumire (al) qui est la distance parcourue

dans le vide par la lumire en une anne. On utilise aussi le parsec (pc, sect. 1.2.3). On

a : 1 al = 6.32104 ua = 0.307 pc, et 1 pc = 206 265 ua = 3.26 al. La plus proche toile

du soleil, du Centaure, est 4.3 al (1.31 pc) du Soleil. Le diamtre de notre galaxie est

estim environ 100 000 al.

Avec ces donnes, on peut se faire une ide de la taille de la Terre dans le systme

solaire et de la taille de celui-ci dans la galaxie. Cest ce que synthtise le tableau 1.2.


9/78

1.2. LES DISTANCES DANS LE SYSTME SOLAIRE ET DANS LUNIVERS 7

TAB. 1.1 Quelques donnes relatives aux astres principaux du systme solaire.

Demi-grand Diamtre quatorial

Nom axe (ua) (Terre=1)

Mercure 0.3871 0.38

Vnus 0.7233 0.95

Terre 1.0000 1

Mars 1.5237 0.53

Jupiter 5.2026 11.21

Saturne 9.5547 9.45

Uranus 19.2181 4.01

Neptune 30.1096 3.88

Pluton 39.4387 0.19Lune 0.27

Soleil 109

TAB. 1.2 Quelques rapports de distances.

km RT ua al

rayon de la Terre 6378 1 0.1 mm

rayon du Soleil 109 1.2 cm

Terre-Soleil 149 597 870 1 2.6 mSoleil-Pluton 39 100 m

Centaure 272 000 4.3 700 kmdiamtre de la galaxie 100 000 16 millions de km

On pourrait complter chacune des colonnes mais on se rendrait compte que les nombres

obtenus ne sont pas parlants : une seule unit de longueur ne suffit pas apprhender

toutes les distances. On peut tenter dy parvenir en faisant une homothtie de chacune des

distances. La dernire colonne du tableau 1.2 donne les rsultats obtenus en ramenant le

rayon du Soleil celui dune pice dun euro. On ramne ainsi les distances ( lexception

de la dernire) des valeurs humaines dans le sens o on peut considrer que notre

cerveau sait apprhender des distances comprises entre 0.1 mm et 700 km.

1.2.2 mesures de distances dans le systme solaire

Toutes les mesures de distances faites dans le systme solaire sont fondes sur la

connaissance des dimensions de la Terre. Ces dernires sont issues de mesures de tri-


10/78


angulation et surtout, lheure actuelle, de satellites godsiques (au millimtre prs).

La distance Terre-Lune est mesure par laser laide des 4 rflecteurs laser dposs

sur la Lune par les missions Apollo dans les annes 70. La prcision atteint quelques

centimtres.

Les distances de la Terre aux plantes sont donnes grce la Mcanique cleste (gros-

sirement : les lois de Kpler). Les faisceaux radar envoys sur les plantes permettent

aussi de connatre leurs distances. Enfin, les sondes spatiales envoyes pour explorer le

systme solaire ont t suivies par radio jusqu plusieurs dizaines dunits astronomiques.

1.2.3 mesure de la distance des toiles

la parallaxe

On observe 6 mois dintervalle une mme toile suffisamment proche. On voit alors

cette toile dans deux directions lgrement diffrentes. La mesure de ces directions per-

met de dterminer langle de parallaxe de ltoile qui est dfini comme langle sous lequel,

depuis cette toile, on verrait le rayon de lorbite terrestre. Ltoile la plus proche ( du

Centaure) a un angle de parallaxe gal 076.

La parallaxe est lorigine dune nouvelle unit de distance le parsec (ou pc) qui

reprsente la distance pour laquelle on voit le rayon de lorbite terrestre (1 ua) sous un

angle de 1. On a donc :

1 parsec = 206 264, 8 ua

. Par exemple, la distance de du Centaure vaut 1 / 0, 76 = 1, 31 pc. Avec le satellite

Hipparcos la prcision atteinte sur les mesures de parallaxe est de lordre de 0002 ce qui

correspond 500 pc.

Pour des distances plus grandes, on utilise des mthodes indirectes.

la luminosit

La magnitude apparente m dune toile est dfinie par : m = 2, 5 log10(I/d2) o Iest lintensit lumineuse de ltoile et d sa distance la Terre. Avec cette chelle logarith-

mique, on garde la classifications des anciens entre les toiles de premire grandeur, de

deuxime grandeur, etc ... Ainsi m = 0 pour ltoile la plus brillante de la constellation

de la Lyre (Vga) qui a t prise pour rfrence et m = 5 est la limite des toiles visibles

lil nu. Avec les grands tlescopes actuels, on peut atteindre une magnitude de lordre

+30. A linverse, le Soleil a une magnitude apparente de 27.


11/78

1.2. LES DISTANCES DANS LE SYSTME SOLAIRE ET DANS LUNIVERS 9

La magnitude absolue est dfinie comme la magnitude apparente quaurait une toile

si on lobservait une distance d0 fixe arbitrairement 10 pc, :

M = 2, 5 log10(I/d20)

. On a ainsi :

M = m 5log10 d + 5 o d est en pc

. Pour le Soleil, M vaut 4, 8.

Pour les toiles proches, celles pour lesquelles on a pu mesurer leur distance par leur

parallaxe, on peut calculer M (puisque que lon mesure assez facilement m). Cela a per-

mis de faire des tudes astrophysiques qui ont montr, entre autres, que M est fonction de

la temprature de ltoile. Cette temprature peut tre dtermine par analyse spectrosco-

pique de la lumire reue de ltoile. Cette loi, que lon visualise sur une figure appele

diagramme H-R (pour Hertzsprung et Russell qui lont trouve en 1910), peut bien sr

sextrapoler aux toiles dont on ne connat pas la distance (au del de 500 pc). Avec la

relation prcdente entre m et M, on dtermine la distance d de ltoile. Dautres lois1

permettent aussi de dterminer M et donc d. Ce sont toutes des mthodes indirectes de

dtermination de distances car elles sont bases au dpart sur les mesures de parallaxe.

Ces lois peuvent tre des lois physiques ou des lois empiriques.

Citons encore un exemple : les Cphides sont des toiles dont la luminosit varie

intrinsquement avec une priode qui va de de 0,3 100 jours ; Leavitt en 1912 a trouv

la relation suivante entre la priode P et la magnitude absolue M des Cphides :

M = a log P + b

o a et b sont des constantes. Ces toiles tant intrinsquement trs lumineuses, elles sont

visibles jusqu prs de 20 Mgaparsec donc au del mme de notre galaxie. Ainsi, Leavitt

estima la distance des Nuages de Magellan qui sont des galaxies satellites la Voie Lacte

(notre galaxie) environ 100 000 pc.

Enfin, pour les galaxies plus lointaines, il y a la loi de Hubble :

Vr = H D

qui relie la vitesse radiale dloignement des galaxies leur distance. La vitesse radiale est

1

relation masse-luminosit, parallaxe dynamique, novae, supernovae et rotation des galaxies spirales


12/78


mesure par leffet Doppler-Fizeau de la lumire cest dire son dcalage vers le rouge.

Cette loi tait empirique au moment de sa dcouverte par Hubble. Actuellement, on lex-

plique par une expansion de lUnivers lui-mme modlise par la thorie du Big-Bang

qui sappuie sur la relativit gnrale. Cette loi permet destimer les distances jusquaux

confins de lUnivers. Malheureusement la valeur de H, appele constante de Hubble, est

mal connue (entre 50 et 100 km/s par Mpc). De plus , linterprtation de la loi de Hubble

pour de trs grandes distances nest pas claire : outre une prcision de seulement 50% pour

chaque distance ainsi dtermine, la valeur elle-mme de la distance na pas une grande

fiabilit.

1.3 Histoire rapide de lAstronomie

1.3.1 priode antique (-3000,-1000)

Avec laide de pyramides, temples ou autres alignements, on observe les positions

apparentes de quelques astres seulement : Soleil, la Lune et quelques toiles brillantes. Le

temps est li au mouvement de rotation de la Terre : le jour est divis en 12h et la nuit

est elle aussi divise en 12h. Le mouvement de la Terre autour du Soleil est observ par

lapparition des constellations durant la nuit (figure 1.1).

1.3.2 priode gocentrique (-1000,1500)

Durant cette priode, lastronomie sest dveloppe principalement autour de la Mdi-

terrane : Grce ancienne, Afrique du nord et le monde arabe.

Thals (-600) pense que la Terre est plate et quelle flotte sur leau sous la sphre

cleste.

Pour Pythagore (-530) et Aristote (-355), la Terre est sphrique et tourne autour dunfeu. La Terre est entoure de 10 sphres concentriques en cristal (puret ?). Ces sphres

portent les plantes et les toiles. Le ciel tant suppos en harmonie, une analogie est faite

entre la rpartition de ces sphres et la musique (harmonie des sphres).

Vers la mme poque, Eratostne (-250) et Aristarque de Samos (-280) font les pre-

mires estimations de distances. Le premier dtermine le rayon terrestre, le deuxime les

distances Terre-Lune et Terre-Soleil grce, dune part, lobservation des phases et des

clipses de la Lune et, dautre part, un modle hliocentrique du systme solaire (voir

exercice en 1.1).


13/78

1.3. HISTOIRE RAPIDE DE LASTRONOMIE 11

(point )

Equinoxe dePrintemps

Vierge

Lion

Verseau

Poissons

BlierTaureauGmeaux

Cancer

Scorpion

Balance

Sagittaire

Capricorne

FIG. 1.1 Mouvement de la Terre autour du Soleil et mouvement apparent du Soleil

travers les constellations.

Hipparque (-150) a class 800 toiles en 6 grandeurs (appeles ensuite magnitudes

apparentes). Cest le premier catalogue dtoiles. Il a dcouvert la prcession des qui-noxes, cest dire le fait que la position du Soleil lquinoxe de printemps (point , voir

fig. 1.1) drive lentement de 50 par an dans le ciel dans le sens rtrograde (voir sect. 4.4).

Ainsi, le point tait plus dans la constellation du Blier en -1000 ; il est actuellement

dans la constellation du Poisson.

Ptolme (+150) rassemble les connaissances de lpoque dans lAlmageste et d-

crit les mouvements (gocentriques) des plantes. Cette description sera utilise pendant

1300 ans.

Exercice : mouvement plan et circulaire de la Terre et dune planteautour du Soleil : visions gocentrique et hliocentrique.

Al-Battni (900) mesure prcisment la dure de lanne ainsi que lexcentricit de lorbite

du Soleil autour de la Terre.

Ensuite leurope entre dans lge noir de lastronomie. Il ny a que dans le monde

arabe que lastronomie fleurit encore.2 LAlmageste est traduit en arabe vers 820. Les

mesures des phnomnes astronomiques sont plus prcises et collectes en quantit plus

2Nous navons pas considr ici dautres civilisations comme la civilisation chinoise, plus lointaines de

la ntre.


14/78


importantes. Ces observations seront trs utiles ensuite en europe. Dailleurs, de nombreux

termes astronomiques provenant de larabe sont toujours en usage. Outre le mot Alma-

geste dj vu, il y a aussi znith, nadir, almanac, Algol, Aldbaran, Altar,

Btelgeuse, ... et enfin Algbre. Les arabes introduisent en effet le systme dcimal

(1,2,3,...), le signe 0 pour zro et la trigonomtrie sphrique (voir Chap. 2). Malheu-

reusement, ils nont pas, en astronomie, dvelopp de nouveaux modles, se contentant

dutiliser ceux issus de la Grce ancienne.

1.3.3 priode hliocentrique (1500,1780)

Copernic (1543) propose un modle hliocentrique pour dcrire le mouvement du So-

leil et des plantes (voir ex. 1.3.2).

Des progrs en mathmatiques sont raliss : algbre, table de sinus de 10 en 10 et

le logarithme (Neper, 1614).

Tycho Brah (1575) observe, loeil nu, les plantes et notamment Mars. Il mesure

la parallaxe des comtes montrant ainsi que ce sont des phnomnes clestes. Ces obser-

vations atteignent la prcision de 1. Logiquement, il garde une vision gocentrique du

systme solaire car sinon, dit-il, il devrait observer le phnomne de la parallaxe annuelle

(sect. 1.2.3).Kpler (1600) qui tait llve de Tycho Brah, grce aux observations de celui-ci,

publie ses trois lois (voir Chap. 3). La premire dit que la Terre et les plantes dcrivent

chacune une ellipse dont le Soleil est lun des deux foyers. La deuxime, appele aussi loi

des aires, dit que la surface balaye par le rayon vecteur est proportionnelle au temps (ou

de manire quivalente, que la vitesse arolaire est constante). La troisime relie le demi-

grand axe a de lorbite de la plante avec sa priode T de rvolution : a3/T2 =Cste. Ces

lois sont purement descriptives. Cela signifie quelles sont empiriques, Kpler les ayant

dduites des observations seules. Elles ont t dmontres plus tard par Newton dans le

cadre de sa thorie de la gravitation universelle et avec le principe dinertie de Galile.

Exercice : En supposant les mouvements de la Terre, S, et de Mars, M,

coplanaires, circulaires, uniformes et centrs sur le Soleil, S, chercher

une relation entre le rapport des rayons et langle Set M vu de T (angle

= ST M) lorsque la longitude (gocentrique) est stationnaire (pointsSt).

Gallile (1620) jette les bases de la mcanique en nonant le principe dinertie : un corps

ne se met pas spontanment en mouvement, ou encore, dans un systme isol le mouve-


15/78


T S T J

J

FIG. 1.2 Mesure de la vitesse de la lumire

ment dune particule est rectiligne et uniforme. Il manque, pour vraiment dvelopper cette

discipline, la dfinition des forces qui est sous-entendue par ce principe et notamment celle

de la gravitation universelle. Cest Galile qui a eu lide de pointer la lunette vers le ciel

mettant ainsi en vidence le relief lunaire et les taches solaires. Ces deux observations

mettent mal lide, qui a domin longtemps, dun ciel qui serait le domaine de la perfec-tion. Cest donc un pas vers lide que les lois physiques doivent tre universelles. De plus,

sa lunette lui a permis de dcouvrir quatre petits corps qui tournent autour de Jupiter. Ces

corps sont appels depuis les quatre satellites galilens de Jupiter. Cette dcouverte ren-

force la vision de Copernic en montrant quil existe des corps qui ne tournent pas autour

de la Terre.

En 1667, lObservatoire de Paris est fond. Cest le plus ancien observatoire encore

en activit. Cest l que Cassini et Picard dtermineront prcisment le rayon de la Terre.

Rmer y dtermine la vitesse c de la lumire en observant les occultations des satellitesgalilens par Jupiter : si la lumire tait instantane (ie : si c tait ), les occultations deIo par Jupiter sobserveraient depuis la Terre intervalles de temps rguliers. Or Rmer

observe un dcalage qui dpend de la position de la Terre par rapport au Soleil (et donc

par rapport Jupiter). Entre les deux positions extrmes de la figure 1.2, ce dcalage est

de 998 s. Or 998 TTc , donc c = 2998 ua/s, soit environ 300 000 km/s.LObservatoire de Greenwich a t fond en 1676 par Flamsted dans le but de dtermi-

ner les longitudes terrestres usages dans la marine. Cest l que, en 1682, Halley calcule,

laide des lois de Kpler, les lments de lorbite de la comte qui porte son nom. Il


16/78


prdira ainsi son retour en 1759.

Newton (1687) apporte une pierre fondamentale lastronomie et plus gnralement

la science en posant les principes dinertie et daction-raction, en introduisant la notion

dacclration et donc de force. Il dcouvre avec Leibnitz le calcul infinitsimal. Ainsi,

avec ces principes, ces outils mathmatiques et bien sr sa fameuse loi de la gravitation

universelle, il dmontre les lois de Kpler. Il va mme plus loin, puisquil calcule quelques

perturbations ce mouvement kplrien notamment dans les mouvements de la Lune et

de Jupiter. En effet, le mouvement de la Lune et des plantes nest pas exactement rgi par

le problme des deux corps dont sont issues les lois de Kpler, mais aussi par toutes les

interactions mutuelles entre tous les corps composant le systme. Il faut encore noter que

Newton a dcompos la lumire blanche en un spectre de couleurs. Il a aussi construit le

premier tlescope.

Maupertuis (1736) avec Bouguer et La Condamine (1740) ont organis ou particip

des expditions qui ont permis de calculer laplatissement de la Terre aux ples.

Laplace (1796) publie son fameux trait de Mcanique Cleste. Il discute de la stabilit

du systme solaire : en limitant les calculs lordre 2 des masses des plantes (qui sont des

petites quantits compares la masse du Soleil), il montre que les demi-grands axes des

orbites des plantes nont que de petites variations priodiques. Avec Lagrange (1780), ils

prcisent ce rsultat de stabilit. Dailleurs Lagrange avec Clairaut (1760) dveloppent la

mcanique cleste dont le problme des trois corps. Notons enfin que ltude de la stabilit

du systme solaire a t reprise rcemment par Laskar (1990). Il a trouv que le systme

solaire est stable au sens o les plantes ne peuvent entrer en collision pour des dures de

lordre de la dure de vie du Soleil (10 milliards dannes). Mais les plantes Mercure,

Vnus, la Terre et Mars sont quand mme affectes par des comportements chaotiques qui

empchent de prdire leurs positions au del de quelques millions dannes.

1.3.4 la Galaxie (1780,1920)

La structure de la Galaxie a pu tre comprise grce une meilleure connaissance des

distances stellaires et donc dchapper la seule notion de sphre cleste. Bessel (1838)

et Struve (1840) ont mesur les premires parallaxes terrestres. Ces mesures sont des me-

sures directes de distances (sect. 1.2.3). Les mesures indirectes de distances bases sur

la luminosit intrinsque des toiles ont t possibles grce aux dveloppements de las-

trophysique : le spectre visible de lhydrogne (Balmer 1885), la thorie datmosphre

stellaire (Schwarzschild 1890), la loi de rayonnement des corps noirs (Planck 1906) et le


17/78


diagramme H-R (Hertzsprung et Russell 1910) qui relie temprature et la luminosit.

Cette priode est aussi la priode o de grands catalogues dtoiles sont tablis. Citons :

1888 NGC (New General Catalogue, 12000 nbuleuses

1890-1924 HD (225 000) toiles

, puis plus tard :

1940 FK3 (Fundamental Katalog, 33342 toiles avec parallaxes, mouvements propres

et tempratures)

Avec ces catalogues, il apparat clairement que les constellations ne sont que des groupe-

ments apparents dtoiles. On passe dun modle de galaxies o le Soleil est au centre,

un modle o le Soleil est 30000 al du centre galactique.

Aprs la dcouverte de bras spiraux dans notre galaxie, Lindblad (1920) explique leur

prsence par la notion dondes de densit.

1.3.5 les autres galaxies (aprs 1920)

La construction de nouveaux tlescopes (Mont Wilson, 2,5m ; Mont Palomar, 5m) a

permis dobserver plus de nbuleuses. Ces observations, associes la thorie, per-

mettent de comprendre leur structure.

On a vu (sect. 1.2.3) que Leavitt a tabli une relation entre la luminosit intrinsque et

la priode des toiles variables cphdes.

Hubble (1923) dcouvre une cphde dans la nbuleuse dAndromde et value

ainsi sa distance environ un million dannes lumire : Andromde est donc un objet

extragalactique, cest mme une autre galaxie semblable la notre. Un peu plus tard, en

1929, il dcouvre que le dcalage spectral vers le rouge des galaxies est proportionnel

leur distance. Cette loi sinterprte comme une expansion de lUnivers. Elle permet aussidavoir une nouvelle mthode de mesure (indirecte) de distances.

Einstein (1905) publie sa thorie de la relativit restreinte : lespace de la mcanique

est encore un espace euclidien mais sa mtrique tient compte de linvariance de la vitesse

de la lumire en associant le temps aux coordonnes spatiales dans un espace quatre

dimensions : lespace-temps. En 1915, il publie la relativit gnrale. Cette fois il nexiste

plus de repre galilen ; tous les repres, mme en acclration par rapport un autre, sont

quivalents. La topologie de lespace nest alors plus euclidienne et dpend de la prsence

de masses en son sein. La gravitation universelle nest plus une force en tant que telle mais


18/78


issue du principe dinertie : les trajectoires suivent les godsiques3 de lespace-temps qui

est dform par la prsence des masses.

Cette thorie est la base du modle actuel dUnivers avec lequel Gamov (1948) a

prdit lexistence du rayonnement fossile du Big-Bang. Ce rayonnement a t observ en

1976 par Penzias et Wilson. Ce modle donne une explication lexpansion de lUnivers

observe par Hubble.

1.3.6 conclusion

On a vu dans ce chapitre la manire dont sont values les distances et aussi un survol

de lhistoire de lastronomie. On sest ainsi rendu compte que la structure de lUnivers estfaite de structures imbriques :

rotation de la Terre qui explique les mouvements diurnes des astres

rvolution de la Terre autour du Soleil puis le systme solaire

la galaxie

lUnivers

3Les godsiques sont les courbes qui minimisent la distance dun point un autre. Les godsiques dun

espace euclidien sont les droites, celles de la sphre sont les grands cercles (voir 2.1 du chapitre 2).


19/78

Chapitre 2

Coordonnes sur la sphre cleste

2.1 Trigonomtrie sphrique

Soit une sphre dont le rayon est fix arbitrairement 1 et appelons O le centre de cette

sphre1.

Lintersection de tout plan passant par O avec cette sphre est un grand cercle. Ces

courbes sont les godsiques de la sphre (voir 1.3.5).

Un triangle sphrique est la figure forme par trois arcs de grand cercle reliant 2 2,trois points distincts A, B, et C.

a

A

B C

A

B C

bbc

ca

On dfinit les cots par :

a = (

OB,OC) b = (

OC,

OA) c = (

OA,

OB)

1En trigonomtrie sphrique, cette sphre joue un rle similaire au cercle de rayon 1 en trigonomtrie

plane.

17


20/78

18 CHAPITRE 2. COORDONNES SUR LA SPHRE CLESTE

et les angles par :

A = angles des plans OAB et OAC

B = angles des plans OBCet OAB

C = angles des plans OACet OBC

Pour simplifier lexpos, on suppose que a, b, c, A, B et C sont diffrents de 0 et de . Ce

qui signifie que les points A, B et C ne sont pas sur un mme grand cercle.

Pour trois points A, B et C donns, il y a 2 2 2 triangles sphriques possibles.Mais il ny en a quun pour lequel tous les cots sont compris entre 0 et , cest letriangle sphrique simple.

La donne de 3 nombres (par exemple A, b et c) suffit dterminer un triangle sph-

rique. Etablissons les relations de Gauss qui permettent de rsoudre un triangle sphrique.

Rapportons lespace affine euclidien au repre orthonorm direct (Oijk). Sans nuire

la gnralit du problme, on peut choisir ce repre de telle manire queOA = k et que

B soit dans le plan (Oik). On a alors (fig. 2.1) :

OA = (0 0 1)OB = (sin c 0 cos c)OC = (sin b cos A sin b sin A cos b)

Considrons maintenant un autre repre (Oijk) orthonorm direct tel queOB = i.

Le point A est alors dans le plan (Oik). Ce nouveau repre se dduit du prcdent

par la rotation daxe (Oj) et dangle c 2

. Si

x

y

z

sont les coordonnes dun point

dans le premier repre, alors les coordonnes de ce point dans le nouveau repre sontx

y

z

=

cos(c 2

) 0 sin(c 2

)

0 1 0

+sin(c 2

) 0 cos(c 2

)

x

y

z

. Dterminons alors les coordon-nes de C dans le repre (Oijk) de deux manires diffrentes :

1. par la lecture directe dans ce repre (fig. 2.1) : C

cos a

sin a sin B

sin a cos B


21/78

2.1. TRIGONOMTRIE SPHRIQUE 19

B

A

Ba

BC

A

C

b

c

a

A

i

j

k

i

j

k

FIG. 2.1 Coordonnes des trois points dun triangle sphrique dans deux repres diff-

rents afin dtablir les relations de Gauss.

2. en utilisant la matrice de passage :

sin c 0 cos c

0 1 0

cos c 0 sin c

sin b cos A

sin b sin A

cos b

=

sin b sin c cos A + cos b cos c

sin b sin A

cos c sin b cos A + cos b sin c

On obtient ainsi les relations de Gauss :

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

sin a sin B = sin b sin A

sin a cos B = cos b sin c sin b cos c cos A

(2.1)

, et des relations quivalentes par permutations circulaires.

On peut montrer que la surface dun triangle sphrique est

S = A + B + C (2.2)

(par exemple : si A = B = C =

2 , on a S =

2 qui correspond bien 1/8 de la sphre).


22/78


remarque sur les triangles plans :

Dans un triangle plan on a A + B + C = cest dire, si on lidentifie un trianglesphrique, S = 0. Ainsi un triangle plan peut sidentifier un triangle sphrique sur une

sphre de rayon , ou un triangle sphrique dont a, b et c sont des infiniment petits.Par exemple, la premire des relations de Gauss scrit :

1 a2

2 (1 b

2

2)(1 c

2

2) + bc cos A

qui devient, en ne gardant que le terme principal :

a2 = b2 + c2 2bc cos A

De la mme manire, la deuxime relation devient :

a

sin A=

b

sin B

2.2 Systme de coordonnes sur la sphre

La notion de sphre cleste est issue du fait que, un lieu donn et une date donne,

lobservateur na pas accs la distance entre lui et lobjet cleste (voir 1.2.3 du chapitre

1). Ainsi, cet observateur peut trs bien considrer que tous ces objets sont une distance

arbitraire. Il peut aussi considrer quils sont une mme distance (arbitraire elle aussi).

De manire quivalente, on peut dire que lobservateur napprhende que les directions

issues de sa position. Or lensemble de ces directions sidentifie une sphre centre sur

ce point.

Sur la sphre cleste, on distingue la sphre locale et la sphre des fixes.

La sphre locale est lie au lieu gographique de lobservateur. Cela signifie que sonhorizon est physiquement un grand cercle de cette sphre.

La sphre des fixes est lie la figure indformable constitue par les images des

toiles sur la sphre cleste.

Ces deux sphres se superposent et lun des buts de lastromtrie est de dcrire le

mouvement de lune par rapport lautre.

Sur une sphre, un systme de coordonnes est un jeu de deux nombres qui posi-

tionnent tout les points de la sphre. Il est naturel de les prendre parmi les coordonnes

sphriques et (dfinies au travers des coordonnes cartsiennes par x = r cos cos ,


23/78

2.3. COORDONNES LOCALES 21

y = r sin cos et z = r sin ). Il faut donc se dfinir un grand cercle orient (ou, de

manire quivalente, un point quon pourra nommer ple) et une origine sur ce grand

cercle.

Par exemple sur la Terre, le grand cercle origine est lquateur et lorigine sur ce grand

cercle est dfinie par le mridien (ou demi-grand cercle) origine passant par Greenwich2.

Lorientation de lquateur terrestre est donne par la convention que les longitudes sont

comptes positivement vers lest3.

2.3 Coordonnes locales

Elles correspondent au repre naturel que nous utilisons dans la vie courante : lhorizon

est un grand cercle et nous sommes au centre O de la sphre. On prend donc ce grand cercle

comme grand cercle origine. Le ple correspondant est appel Znith (Z). La direction

origine est celle o culmine le Soleil, cest dire la direction du Soleil Midi (Sud). On

peut dire aussi plus simplement que cest la direction o culminent les toiles dans leur

mouvement diurne (voir plus loin). Une toile est repre par :

- lazimut A : angle sphrique SZ dans lesens rtrograde

- la hauteur h : cot K o K est lintersec-tion du demi grand cercle Z avec lhorizon

*

SAO

K

h

On a :

0 A 360

90 h +902En France, le mridien de Paris a tenu lieu de mridien origine jusquen 1884, date laquelle la conf-

rence de lUnion Astronomique Internationale (U.A.I.) Washington choisit le mridien de Greenwich

comme mridien origine. Pour que les dlgus adoptent ce mridien, et non celui de Paris, le dlgu bri-

tannique dclara quil tait officiellement autoris annoncer que son gouvernement avait accept dadhrer

la convention mtrique ...3En fait cette mme confrence de Washington, les dlgus ont retenu de compter les longitudes vers

lest et vers louest partir dun mridien central. Dans ce cours, on prfre compter la longitude terrestre

positivement suivant une seule direction, comme le recommandentactuellement les commissions de lU.A.I.


24/78


FIG. 2.2 Tranes des toiles autour du ple nord cleste. Photographie obtenue avec une

pose denviron 6 heures.

2.4 Mouvement diurne et coordonnes horaires

Le mouvement diurne sobserve par le mouvement apparent des toiles (le Soleil, la

Lune et les plantes ont un mouvement de nature diffrente et plus compliqu) : les toiles

dcrivent des arcs de cercle, centrs sur un point particulier de la sphre cleste (fig. 2.2).

Ce point est appel ple cleste nord et not P.

On construit partir de ce point un nouveau systme de coordonnes. Le grand cercle

origine est celui correspondant au ple P. Il est appel quateur cleste. Le demi grand

cercle origine est celui passant par le znith. Une toile est repre par :


25/78

2.4. MOUVEMENT DIURNE ET COORDONNES HORAIRES 23

- langle horaire H : angle sphrique ZPdans le sens rtrograde

- la dclinaison : = 90 P

P

Z

*

H

P

On a :

0 h H 24 h

90 +90

Interprtation du mouvement diurne et hauteur du ple sur lhorizon

Le mouvement diurne sinterprte comme tant issu du mouvement de rotation de la

Terre sur elle-mme. Ce mouvement peut tre considr comme uniforme en une bonne

premire approximation.

- la hauteur du ple sur lhorizon est la

latitude du lieu.

- P, Z et S sont sur un mme grand cercle,

cest dire, le Sud est le point sur lhorizon

et sur le demi grand cercle PZ.

ZP

Equateurterrestre

horizon


26/78


M

ZP

N S

E

W

H

A

h

M

PH

A/2

/2

/2 h

FIG. 2.3 Liens entre les coordonnes locales et les coordonnes horaires

Soit un lieu de latitude avec > 0 et une

toile de dclinaison ;

- si (2

) < alors ltoile est toujoursvisible. On dit quelle est circumpolaire.

- si < (2

) alors ltoile est toujoursinvisible

P

W

NE

quate

ur

S

Z

2.5 Changement de coordonnes

La figure (2.3) fait apparatre un triangle sphrique dans lequel, on peut appliquer les

formules de Gauss (2.1) :

cos(

2 h) = cos(

2 ) cos(

2 ) + sin(

2 ) sin(

2 )cos H

sin(

2 h) sin( A) = sin(

2 )sin H

sin(

2 h) cos(

A) = cos(

2 ) sin(

2 )

sin(

2 ) cos(

2 )cos H


27/78

2.6. COORDONNES QUATORIALES ET TEMPS SIDRAL LOCAL 25

soit :

sin h = sin sin + cos cos cos H

cos h sin A = cos sin H

cos h cos A = sin cos + cos sin cos H

(2.3)

De la mme manire, on peut tablir les formules inverses :

sin = sin h sin cos h cos cos A

cos sin H = cos h sin A

cos cos H = sin h cos + cos h sin cos A

(2.4)

2.6 Coordonnes quatoriales et temps sidral local

On a vu que la sphre des fixes est anime dun mouvement de rotation uniforme par

rapport la sphre cleste locale. Si on dfinit un systme de coordonnes sur la sphre

des fixes, les toiles auront des coordonnes constantes dans ce systme.

- Le ple est le mme que pour le repre horaire (ce point est fixe dans les deux re-

pres). Le grand cercle origine est donc aussi lquateur.

- Lorigine sur lquateur est le point . Ce point est a priori arbitraire. On verra dans

le chapitre suivant (chap. 4) comment il est dfini. Pour linstant, il suffit de dire quil est

proche de la constellation des Poissons.

Les coordonnes quatoriales sont :

- lascension droite : angle P dans le sens direct- la dclinaison : (la mme que pour les coordonnes horaires)

Le mouvement de la sphre des fixes par rapport la sphre locale permet de dfinir

une chelle de temps : le temps sidral local. Il est not et cest langle horaire du point

.


28/78


29/78

Chapitre 3

Le problme des deux corps

3.1 Formulation

On se donne un repre galilen dfini par le repre orthonorm suivant : O = (Oxyz).

Soient deux points M1 = x1

y1

z1

et M2 = x2

y2

z2

de masses respectives m1 et m2. Ces

deux particules matrielles sattirent selon la loi de Newton :

m1d2

OM1dt2

= Km1m2r2

M2M1

r

m2d2

OM2dt2

= Km1m2r2

M1M2

r

(3.1)

o r = M1M2 est la distance mutuelle et K la constante de gravitation universelle. (3.1)

est un systme diffrentiel dordre 2 avec 6 degrs de libert. La rsolution de ce problmedordre 12 ncessite donc dintroduire 12 constantes dintgration arbitraires.

En ajoutant les deux quations de (3.1), on obtientd2(m1

OM1+m2

OM2)

dt2=

0 . En

introduisant le point G centre de gravit de M1 et M2 et si m1 + m2 = 0, cette dernireexpression devient d

2OGdt2

=0 . Le mouvement de G est donc rectiligne et uniforme. Sur

les 12 constantes arbitraires, 6 dfinissent ce mouvement (3 pour la position initiale de G,

et 3 sa vitesse).

Le point O du repre : O = (Oxyz) peut ainsi tre pris en G. En utilisant M2M1 =27


30/78

28 CHAPITRE 3. LE PROBLME DES DEUX CORPS

m1+m2m2

GM1 et

M1M2 =

m1+m2m1

GM2, on a :

d2GM1dt2

= K m32(m1+m2)2

GM1(GM1)3

d2GM2dt2

= K m31(m1+m2)2

GM2(GM2)3

(3.2)

Pour pouvoir crire la premire quation, on a simplifi les deux membres de lgalit par

m1. Cela signifie que m1 doit tre non nulle. De la mme manire m2 doit tre elle aussi

non nulle.

remarque :

Il nest ncessaire de rsoudre que lune ou lautre des deux quations car, par exemple,

le mouvement de M2 se dduit de celui de M1 parGM2 = m1m2

GM1.

Le point G nest pas un point physique dans le sens o il ne sobserve pas mais se

calcule. Cest le mouvement relatif de M1autour de M2 qui est observ :

En soustrayant les deux quations de (3.1), toujours aprs avoir simplifi les deux

membres de lgalit par m1 ou m2, on obtient :

d2M2M1dt2

= K(m1 + m2)M2M1

(M2M1)3(3.3)

le problme kplrien :

(3.2) et (3.3) peuvent scrire :

d2rdt2 = rr3 (3.4)

o r = OM et > 0. Cest le problme de Kpler.


31/78

3.2. INVARIANCE DU MOMENT CINTIQUE ET DE LNERGIE 29

3.2 Invariance du moment cintique et de lnergie

Plan de lorbite et loi des aires

Par lquation (3.4), on a la relation suivante qui est vraie pour toute force centrale :

r d2rdt2

=0 , que lon peut encore crire d

dt(r dr

dt) =

0 , cest dire :

r drdt = G (Cste) invariance du moment cintique (3.5)

Les vecteursr et d

rdt

seront donc toujours orthogonaux G . Ce qui signifie que, si

G = 0 , le mouvement se fait dans le plan passant par le point O et orthogonal G .De plus, si on note dS llment daire parcouru par le rayon vecteur r pendant ll-

ment de temps dt,

dS

O M

dr>

r>

on a Gdt = 2dS puisque r dr = Gdt. Ce qui donne la loi des aires : dSdt = G/2(=Cste). Ainsi, lorientation de

G indique le plan du mouvement et son module donne la

loi des aires. SiG =

0 , le mouvement est rectiligne et port par la direction commune de

r et drdt

.

Energie dune orbite

En remarquant que r (

r

) = rr3

, o r correspond loprateur

Grad qui est un

oprateur de drivation, et en multipliant lexpression (3.4) par drdt

, on obtient :

drdt

.d2rdt2

drdt

. r (

r

) = 0

ou encore ddt

(12drdt

.drdt

) ddt

(r

) = 0

En notant v la vitesse (ie : v =

drdt

.drdt

), on a ddt

(12

v2 r

) = 0. Soit :

12v2 r = h (cste)

intgrale de lnergie (3.6)


32/78


Si h est ngatif alors r est born et le corps ne peut sloigner linfini. Inversement,

si on suppose que le corps peut sloigner linfini (cest dire si r

, et dans ce cas

h doit tre positif) alors 2h reprsente la vitesse linfini.

3.3 Rsolution dans le plan de lorbite

Dans le plan du mouvement, on repre M par ses coordonnes polaires (r, ). Lint-

grale des aires est :

r drdt

= r ( dr

d.d

dt) =

G

do :

r2d

dt= G (3.7)

On a aussi besoin de lintgrale de lnergie :

h =1

2v2

r

Puisque

rr = 1, r = r et que rr r , on peut crire :v2 =

drdt

.drdt

= (rr

dr

dt+

r

d

dt)2 = (

dr

dt)2 + r2(

d

dt)2

liminons dt par (3.7), cest dire dt = r2

Gd :

v2 = G2

1

r4(

dr

d)2 +

1

r2

En posant u = 1r

(et donc du = u2dr), on obtient :

v2 = G2

u4(du

u2d )2 + u2

On en dduit la premire formule de Binet:

v2 = G2 u2 + (

du

d

)2 (3.8)


33/78

3.4. LES MOUVEMENTS ELLIPTIQUES, PARABOLIQUES ET HYPERBOLIQUES31

En substituant cette expression dans h, on a :

G2

2u2 + ( du

d)2 u = h

On drive cette expression par rapport :

G2

udu

d+

du

d

d2u

d2

du

d= 0

, ce qui donne la deuxime formule de Binet:

d2

ud2

+ u = G2

(3.9)

Cest une quation diffrentielle linaire du second ordre coefficients constants avec

second membre. Les solutions peuvent scrire :

u =

G2+ cos( ) , soit encore r = 1

G2+ cos( )

et tant des constantes relles arbitraires. En posant p = G2/ et e = G2/, on a :

r =p

1 + e cos( ) (3.10)

Remarque : reprsentante la direction du pricentre.

3.4 Les mouvements elliptiques, paraboliques et hyper-

boliques

En coordonnes polaires dans un repre (Ou0v0) o (Ou0) est la direction du pri-centre on a la formule :

r =p

1 + e cos Wavec p = G2/ (3.11)

W est appele anomalie vraie.

On a bien videmment :

1 e 1 + e cos W 1 + e


34/78


M

CO Ou

ae

W

2a

r

FIG. 3.1 Ellipse du mouvement kplrien

Il faut donc discuter suivant la nature de la conique.

Si e < 1, la trajectoire est une ellipse (si e = 0, cest un cercle et (Ou0) est choisi

arbitrairement) et :rm =

p

1 + e r rM = p

1 eAinsi rm est atteint pour W = 0, et rM pour W = . Si on note 2a la distance entre

le pricentre et lapocentre, 2a = rm + rM (a est appel le demi-grand axe) et on a

p = a(1 e2)rm = a(1 e) (3.12)rM = a(1 + e)

Si e > 1, la trajectoire est une hyperbole et on a :

0 1 + e cos W 1 + e

et donc :p

1 + e r ( +)

La limite correspond 1 + e cos W = 0, cest dire quand W tend vers langle W =

+ arccos(1/e) ou vers langle W. On utilisera plutt langle , appel angle de dvia-


35/78

3.4. LES MOUVEMENTS ELLIPTIQUES, PARABOLIQUES ET HYPERBOLIQUES33

ae

2a

C

O Ou

W

W

M

O

r

FIG. 3.2 Hyperbole du mouvement kplrien

tion puisquil correspond la dviation angulaire dun corps qui a mouvement (presque)

rectiligne et uniforme et qui retourne, aprs avoir interagit avec un autre corps, sur un autre

mouvement (presque) rectiligne et uniforme. est li W par = 2( W), soit :

= 2W

(3.13)

La branche de lhyperbole en pointills serait la courbe parcourue par M si p tait

ngatif, cest dire si < 0 (rpulsion). On peut encore noter 2a la distance entre le

pricentre et lapocentre (ici le symtrique du pricentre par rapport C), do

2a = p1 e

p

1 + e=

p(1 + e) +p(1 e)e2 1

soit encore :

p = a(e2 1) (3.14)rm = a(e 1)

Si e = 1, la trajectoire est une parabole on a p2

r ( +). On ne peut dfinir dansce cas de demi-grand axe. La parabole est un cas limite entre lellipse et lhyperbole.

On peut se la reprsenter mentalement comme une ellipse dont le deuxime foyer

(et donc lapocentre ou mme le centre C) est rejet linfini1.

1

Rciproquement, on peut aussi imaginer une hyperbole limite mme si cest plus difficile. Le


36/78


M

O Ou

W

r

p/2

FIG. 3.3 Parabole du mouvement kplrien

On a vu que h = (e2 1)/p, do :

h = 2a

pour le cas elliptique

h = 0 pour le cas parabolique

h = + 2a

pour le cas hyperbolique

(3.15)

Cest donc le signe de h qui caractrise la nature de la conique et |h| caractrise sataille. Cette formule (3.15) est importante car avec lintgrale de lnergie (3.6), elles per-

mettent de rsoudre trs facilement quelques petits problmes comme ceux lis aux calculs

de la vitesse de libration, la vitesse circulaire.

Exercice : vitesse de libration, vitesse de satellisation, nuage de Oort,

...

On a ainsi vu 5 constantes arbitraires (pourG = 0 ) :

G (3)

h (1)

direction de(Ou0) (1)

ou

direction de G (2 angles)a (1)

e (1)


La sixime constante arbitraire est issue du mouvement sur la trajectoire que nous

allons voir dans la section suivante.

deuxime foyer est rejet linfini et donc aussi la deuxime branche. W tend vers mais le centre C

tant rejet linfini, cela donne une branche parabolique de direction asymptotique (Ou0).


37/78

3.5. MOUVEMENT SUR LA TRAJECTOIRE (CAS ELLIPTIQUE) 35

3.5 Mouvement sur la trajectoire (cas elliptique)

La trajectoire est dfinie par :

r =a(1 e2)

1 + e cos Wavec e < 1

, et le mouvement sur la trajectoire est donn par la loi des aires :

r2dW = Gdt o G2 = p = a(1 e2)

En dfinissant tp

comme tant linstant de passage au pricentre (ie : en t = tp

, W = 0),

on obtient : W0

r2dW = G(t tp)

soit encore :

I =W0

dW

(1 + e cos W)2=a(1 e2)

3/2

(t tp)

Calculons I. Pour ramener lexpression celle dune fraction rationnelle, on doit po-

ser :

X = tan W2

, do

dW

dX=

2

1 + X2et cos W =

1 X21 + X2

On obtient donc2 :

I =X0

2(1 + X2)dX

[(1 + X2) + e(1 X2)]2

Pour intgrer une fraction rationnelle, il est souvent judicieux de la dcomposer en l-

ments simples. Celle-ci est dj un lment simple car lexpression dans le crochet

(1 e)X2 + (1 + e) est non nul. On pose donc

Y2 =1 e1 + e

X2 afin que le crochet devienne (1 + e)(1 + Y2)

Puisque

Y dY =1 e1 + e

XdX et 1 + X2 = 1 +1 + e

1 eY2

2Mathmatiquement la notation

X

0f(X)dXna pas de sens. Il faudrait utiliser une autre notation pour

le Xde lune des deux bornes de lintgrale ce qui alourdirait beaucoup les notations.


38/78


, on a :

I =Y0

2[(1 e) + (1 + e)Y2](1 e)(1 + e)2(1 + Y2)2

1 e1 + e

1 + e1 edY

=2

(1 e)3/2(1 + e)3/2Y

0

dY

1 + Y2 e

Y0

1 Y2(1 + Y2)2

dY

Il suffit de poser Y = tan E2

pour avoir simplement :

I =1

(1 e2)3/2E

0dE e

E0

cos EdE

On a ainsi :

a3/2

(t tp) = E e sin E

Il est commode de poser

n = a3/2

et M = n(t tp)

M est un angle et n une vitesse angulaire appele moyen mouvement. En un instant t+ 2n

,

M augmente de 2. Or M = E

e sin E, donc E augment de 2. Et puisque tan W2 =1+e

1e tanE2 , W augmente aussi de 2. On en dduit que r est priodique de W, E et M

de priode 2. De plus W, E et M sannulent en mme temps en t = tp. Le mouvement

est priodique de priode T = 2n

et on a la troisime loi de Kpler :

n2a3 = oua3

T2=

42(3.16)

En rsum :

(a) r = a(1e2)

1+e cosWW est lanomalie vraie

(b) tan W2

=

1+e1e

tan E2

E est lanomalie excentrique

(c) M = n(t tp) M est lanomalie moyenne(d) n2a3 =

(e) M = E e sin E quation de kpler

(3.17)

De cette manire si les lments dorbite sont donns3et si est donn alors, une date t,

3

soit la position du plan de lorbite, la direction du priastre, lexcentricit, le demi-grand axe et tp.


39/78

3.5. MOUVEMENT SUR LA TRAJECTOIRE (CAS ELLIPTIQUE) 37

on calcule :

M par (c), n tant donn par (d)

E en rsolvant lquation de Kpler (e)

W par (b)

r par (a)

Au lieu de calculer r et W, on peut vouloir les coordonnes cartsiennesx = r cos W

y = r sin W.

cos W =1 X21 + X2

=1 1+e

1eY2

1 + 1+e1e

Y=

(1 e) (1 + e)Y2(1 e) + (1 + e)Y2 =

(1 Y2) e(1 + Y2)(1 + Y2) e(1 Y2)

=cos E e

1

e cos E

sin W =2X

1 + X2=1 + e

1 eY

1 + 1+e1e

Y2

= =

1 e2 2Y(1 e) + (1 + e)Y2 =

1 e2 2Y

(1 + Y2) e(1 Y2)=

1 e2 sin E

1 e cos E

1 + e cos W =(1 e cos E) + (e cos E e2)

1 e cos E r = a(1 e cos E)

On a ainsi :r = a(1 e cos E)

x = r cos W = a(cos E e)

y = r sin W = a

1 e2 sin E

(3.18)

Ces formules permettent dinterprter gomtriquement langle E (fig.3.4). Une el-

lipse est dduite de son cercle principal C(c, a) par une affinit de rapport ba

=

1 e2

perpendiculaire au grand axe. On peut aussi remarquer que, si on limite lordre 1 en e,


40/78


(Ou )

P

P

r

WE

C O

FIG. 3.4 Lellipse dduite de son cercle principal

on obtientx = a(cos E e)y = a sin E

. Ainsi, pour de petites excentricits, lellipse pourra tre

vue comme un cercle excentr, cest dire dont le centre est la distance ae de O.

3.6 Elments dorbites

Lintgration du problme kplrien a fait apparatre 6 constantes arbitraires en plus

du paramtre :

G /G (2)


h ou a (1)

e (1)

tp (1)

On a vu que R0 = (Ou0, v0 ,GG

) est le repre propre de la trajectoire. Il faut reprer

R0 par rapport un repre extrieur indpendant R = (Oijk). Cela peut se faire par les

classiques angles dEuler4 : , i ,

4Les angles dEuler sont issues de la succession de rotations dans lordre 313, cest dire une rotation

de autour du troisime axe, puis une rotation de i autour du (nouveau) second axe et une rotation de autour du (nouveau) troisime axe. On aurait pu imaginer dautres successions mais celle dfinissant les

angles dEuler est la plus utilise.


41/78

3.6. ELMENTS DORBITES 39

i

v

G/G

u

k

i

j

i

= longitude du

noeud (ascendant)

i = inclinaison

= argument du

pricentre

Ces trois angles dpendent videmment du choix de R. Il se peut que i = 0, dans

ce cas nest pas dfini ainsi que . Plus gnralement, si i est petit, et sont maldtermins. Pour viter ce problme on utilise plutt

= + longitude du pricentre (3.19)

De la mme manire si e est petit W, E et M sont mal dtermins. Cest pourquoi on

utilise :

l = + W longitude vraie

F = + E longitude excentrique (3.20)

= + M longitude moyenne

A la place de tp, lui aussi mal dfini si e est petit, on utilise 0 = (t0), o t0 est une date

origine choisie arbitrairement (par exemple : t0 = J2000 cest dire le 1 janvier 2000

12h).


42/78


TAB. 3.1 Elments moyens des orbites hliocentriques des principales plantes du

systme solaire, rapports lcliptique et lquinoxe moyens J2000 et pour la datet0 =J2000.

a e i 0 nua /jour

Mercure 0, 38710 0, 2056 7, 00 48, 33 77, 46 252, 25 14732, 42Vnus 0, 72333 0, 0068 3, 39 76, 68 131, 56 181, 98 5767, 67Terre 1, 00000 0, 0167 0, 00 - 102, 94 100, 47 3548, 19Mars 1, 52368 0, 0934 1, 85 49, 56 336, 06 355, 43 1886, 52

Jupiter 5, 20260 0, 0485 1, 30 100, 46 14, 33 34, 35 299, 128Saturne 9, 55491 0, 0555 2, 49 113, 66 93, 06 50, 08 120, 455

Uranus 19, 21845 0, 0463 0, 77 74, 01 173, 00 314, 05 42, 231Neptune 30, 11039 0, 0090 1, 77 131, 78 48, 12 304, 39 21, 534

Pluton 39, 44 0, 2485 17, 13 110, 7 224, 6 237, 7 14, 3

Ainsi on considre souvent les lments dorbite suivant :

(a,e,i, , , 0)

ou encore(a , z, , 0)

o

z = e exp1 et = sin i

2exp

1

Ces variables complexes ont lavantage dtre rgulires. En effet si e est nul, nest pas

dfinie mais les deux coordonnes cartsiennes le sont puisque z = 0 (de mme avec ).

Le tableau (3.1) donne les lments moyens des orbites hliocentriques des principales

plantes du systme solaire, rapports lcliptique et lquinoxe moyens J2000 (voir

Chap. 4) et pour la date t0 =J2000.

De plus, le tableau (3.2) donne les masses des principales plantes du systme solaire

et le tableau (3.3) celles de quelques uns des satellites de ces plantes.

3.7 La navigation spatiale

La technique du tremplin gravitationnel qui est trs utilise en navigation spatiale,

consiste utiliser la masse dun gros corps (par exemple Jupiter) pour dvier une trajec-


43/78

3.7. LA NAVIGATION SPATIALE 41

TAB. 3.2 Inverse de la masse des principales plantes du systme solaire. Lunit de

masse est la masse du Soleil.

Mercure 6 023 600 Saturne 3498,5

Vnus 408 523,5 Uranus 22 869

Terre + Lune 328 900,5 Neptune 19 314

Mars 3 098 710 Pluton 130 000 000

Jupiter 1047,355 Crs 1 700 000 000

Avant la dcouverte de son satellite Charon en 1978 qui a permis dvaluer correctement la masse de

Pluton grce la toisime loi de Kpler, cette masse tait surestime 1 / 3 000 000.

TAB. 3.3 Inverse de la masse des principaux satellites de plantes. Lunit de masse est

la masse de la plante correspondante.

plante satellitemplantemsatellite

plante satellitemplantemsatellite

Terre Lune 81, 301 Mars Phobos 50500000Deimos 360000000

Jupiter Io 21276, 6Europe 39062, 5 Saturne Mimas 15800000

Ganymde 12755, 1 Encelade 11000000Callisto 17857, 1 Tthys 943 400

Dion 509 400

Uranus Miranda 1300000 Rha 231 000Ariel 64000 Titan 4225, 86

Umbriel 74000 Hyprion 30000000Titania 24600 Japet 320000Obron 28800

Neptune Triton 4780Pluton Charon 8, 0 Nride 5000000


44/78


toire.

Une sonde voyage dans le systme solaire suffisamment loin des autres plantes etnotamment de Jupiter. Ainsi on suppose que son mouvement est kplrien avec

= KM dorigine

Ensuite, cette trajectoire amne la sonde dans le voisinage de Jupiter. On peut dfi-

nir une sphre dinfluence Jupiter, lintrieur de laquelle linfluence du Soleil est

(considre) ngligeable par rapport celle de Jupiter (et inversement lextrieur de

cette sphre). Dans la description qui suit, il nest pas ncessaire de dfinir plus prcis-

ment cette sphre5car on suppose que la sonde passe trs rapidement prs de Jupiter de

manire ce que lon puisse ngliger le temps dinteraction avec Jupiter (quelques heures)

par rapport au temps de parcours de lorbite hliocentrique (quelques annes). On a donc

lintrieur de la sphre dinfluence un mouvement kplrien hyperbolique avec

J = KMJ dorigine J

Le mouvement est ncessairement hyperbolique puisque, vue de Jupiter, la sonde ar-

rive de linfini avec une vitesse ( linfini) non nul (voir 3.6).

A la sortie de la sphre dinfluence, la vitesse jovicentrique a simplement chang de

direction et donc la vitesse hliocentrique a chang (en direction et en module).

La formule (3.13) nous donne la dviation de la vitesse jovicentrique (figure 3.5) :

sin

2= sin(

+ 2W2

) = cos W = 1/e

Or h = + 2a

= V2

2et rm = a(e 1). On en dduit :

sin

2=

1

1 + rmV2

(3.21)

5

Si on le faisait notre description resterait quand mme une approximation.


45/78

3.7. LA NAVIGATION SPATIALE 43

V

VV

Jup/Sol

VJup/Sol

e

/Jup

VV /Jups

Ve

/Jup

Vs

/Jup

Jb

rm

en sortie:

en entre:

FIG. 3.5 Principe du tremplin gravitationnel

Puisque b = a

e2 1, on peut aussi crire :

sin2

2=

1

1 + b2V4

2

(3.22)

La figure (3.5) aide comprendre lapproximation qui est faite ici. Celle-ci consiste

supposer que le mouvement hliocentrique de la sonde juste avant linteraction avec

Jupiter est rectiligne et uniforme (avec la vitesseVe

) ce qui permet de lassimiler la

premire asymptote (de mme aprs linteraction avec la deuxime asymptote). Cette sup-

position signifie que le temps dinteraction est trs court. Cest en ce sens que le tremplin

gravitationnel peut tre assimilable un choc : instantanment le vecteur vitesse de latrajectoire est chang. Cest pour cela que lon parle aussi de billard gravitationnel, la

loi du changement de vitesse tant donne ici par (3.21) ou (3.22).


46/78



47/78

Chapitre 4

Le mouvement du Soleil

Le Soleil se dplace sur la sphre des fixes, cest dire et ne sont pas constants.

- Les variations de sobservent par

la variation de la dure du jour

de la hauteur du Soleil midi

dazimut au coucher du Soleil (ou au lever)

- Les variations de s observent par

le dplacement du Soleil dans les constellations du zodiac.

4.1 Coordonnes cliptiques

Puisque le mouvement du Soleil autour de la Terre est pratiquement une courbe plane,

le mouvement du Soleil parmi ces constellations est un grand cercle. On le nomme cliptique.

On observe que le Soleil parcourt tout lcliptique en 366,2 jours sidraux. Ce temps est

appel lanne.

Soit E le ple de lcliptique, on a :

EP = = 2326P tant le ple cleste nord. est appel lobliquit.

Le point , vu au chapitre 2) est dfini par lintersection de lcliptique avec lquateur

pour lequel le Soleil passe avec une dclinaison croissante (quinoxe de printemps ).

Ce point est lorigine sur lcliptique et les coordonnes cliptiques sont donc :

45


48/78

46 CHAPITRE 4. LE MOUVEMENT DU SOLEIL

M

b

l

cliptiqu

e

quateur

P

E

/2

/2 b

M

E

/2 l

/2 +

FIG. 4.1 Coordonnes quatoriales et cliptiques

l = longitude cleste

b = latitude cleste

La figure (4.1) permettrait dcrire, comme prcdemment, les formules de change-

ments de coordonnes. Il nest pas utile ici de le faire. Ecrivons seulement ces formules

dans le cas du Soleil, cest dire le cas o b = 0. On a :

sin = sin sin l

tan = cos tan l (4.1)

S

l

4.2 Premire approximation :

mouvement uniforme du Soleil en ascension droite

Cette hypothse serait exacte si e = 0 (en fait e = 0, 0167) et si = 0 ! Cette

approximation grossire a t utilise en France jusquen 1816 pour ltablissement des

chelles de temps. Ces chelles de temps sont matrialises par les cadrans solaires.


49/78

4.3. EQUATION DU TEMPS : 47

On suppose donc que :

dd

= 1 tour par an (=Cst) = 1366, 2

tour par jour sidral

, et puisque en (2.5) on a vu que H = :

dH

d= 1 d

d

= 1 1366, 2

=365, 2

366, 2

tour par jour sidral

On dfinit le jour solaire par dHdt

= 1 tour par jour solaire.

On a donc

366, 2jours sidraux = 365, 2jours solaires = 1 an

1jour solaire = 1j 0 h 3 mn 56, 6 s de temps sidral

1jour sidral = 23 h 56 mn 4, 1s de temps solaire

On dfinit aussi le temps solaire local par :

t = H 12 h (4.2)

Il est ainsi 12h quand le Soleil est au mridien.

Comme pour le temps sidral, les temps solaires de deux lieux A et B de longitudes

terrestres respectives LA et LB sont relis par :

tB

tA = LB

LA (4.3)

4.3 Equation du temps :

mouvement rel du Soleil

Le mouvement du Soleil nest pas uniforme le long de lcliptique puisque lorbite de

la Terre a une excentricit de 0, 0167. De plus, si on lit lheure par lascension droite,

il faut tenir compte de lobliquit. Pour ces deux raisons, le mouvement du Soleil nest


50/78


pas uniforme en . Cest lcart au mouvement uniforme qui sera appel lquation du

temps.

4.3.1 partie due lexcentricit

Le mouvement du Soleil dans le plan de lcliptique suit la loi des aires. Celle-ci est

donne par les formules vues au chapitre 3 que nous rappelons ici :

M = E e sin E M = 2T

( 0)

tan

W

2 = 1 + e1 e tan E2 0 4 janvierl = + W = 282 56

0 reprsente linstant de passage au pricentre et la longitude du pricentre. Ainsi l est

bien la longitude du Soleil compte sur lcliptique partir du point .

Calculons W en fonction de M lordre 1 par rapport e :

W = M + (W

E) + (E

M)

Or

E M = e sin E e sin M

Par ailleurs, W E se calcule par tan W2

=

1+e1e

tan E2

qui est une formule de la

forme tan u = (1 + )tan v, car

1 + e

1 e

(1 + e)(1 + e) = 1 + e

Dveloppons tan u au voisinage de v :

tan u tan v + 1cos2 v

(u v)

, ainsi

tan u tan v = tan v u vcos2 v

cest dire u v sin v cos v


51/78


On en tire le petit lemme suivant :

Lexpression tan u = (1 + )tan v sexprime approximativement( lordre 1 en ) paru v =

2sin2v.

On en dduit ici :

W

2 E

2 e

2sin2

E

2c.a.d. W E e sin E e sin M

, do finalement :

W = M + (W E) + (E M)= M + 2e sin M

La longitude du Soleil scrit ainsi :

l = + M + 2e sin M (4.4)

avec

= 282 56 , e = 0, 0167 , M =2

T( 0) et 0 4 janvier

application la dure des saisons

Lquinoxe de printemps correspond l = 0, il faut donc rsoudre (numriquement) :

0 = 28256 + M + 115 sin M

On trouve M = 7513 = 0, 2089 tour, do 0 = 0, 2089 an = 76, 3 jours solaires(moyens). On en dduit encore que = 4 janvier +76, 3 jours = 80, 3 janvier = 49, 3

fvrier = 21, 1 mars.De mme, en faisant l = 90 (solstice dt), l = 180 (quinoxe dautomne) et l =

270 (solstice dhiver), on trouve :

dbut de la saison dure (jours)

printemps 21,1 mars 92,7

t 21,8 juin 93,7

automne 23,5 septembre 89,8

hiver 22,3 dcembre 89,0


52/78


4.3.2 partie due lobliquit

Pour avoir maintenant lascension droite du Soleil, il faut utiliser la relation

tan = cos tan l

, tant lobliquit et vaut 2326. Puisque cos = 0, 918, on peut dire que tan et tan l

sont peu diffrents ( 8% prs). Grce au petit lemme prcdent, on peut approcher la

relation par

l = 2/2

2sin2l

Si lobliquit napparat pas petite, la quantit 24

lest puisquelle vaut 0, 0418, soit1441. Un dveloppement plus correct donnerai la valeur de 148. On crit ainsi

= l 148 sin2l (4.5)

4.3.3 Equation du temps

Les deux expressions (4.4) et (4.5) que lon vient de voir sont en fait le dbut du

dveloppement en srie de Fourier de :

l M en srie de M l en srie de l

On pourrait donc poursuivre pour affiner les formules. On sy prendrait toutefois autre-

ment, en introduisant notamment les fonctions de Bessel. Les formules trouves ici suf-

fisent pour assurer une prcision de 1. On a :

E = 115 sin M 148 sin2l= 460s sin M 592s sin2l (4.6)

avec

= + M + E = m + E

1Il peut paratre surprenant de voir que leffet de lobliquit est du mme ordre de grandeur que leffet

de lexcentricit.


53/78


FIG. 4.2 Equation du temps (en minutes) pour 2003 (ralis avec le logiciel Shadow

1.5.4)

o m est la partie linaire de . De cette manire langle horaire du Soleil scrit

H = ( )= (

m)

E

, soit encore

H = Hm E

Lexpression de E est appele quation du temps et elle est reprsente pour 2003

sur la figure (4.2).

Les notions introduites dans la section (4.2) restent vraies si on ajoute le qualificatif

moyen.


54/78


FIG. 4.3 Courbe en 8 montrant leffet de leffet de lquation du temps dans le ciel de

Crime (V. Rumyantsev/observatoire de Naucsny). On a superpos des images du Soleil

prises de 10 jours en 10 jours le matin la mme heure

Le temps solaire moyen local est :

t = Hm 12 h (4.7)

Le jour solaire moyen est tel que

dHm

dt = 1 tour par jour solaire moyen.Les autres sont qualifies de vraies : Le temps solaire vrai local est H 12h. Le terme

de temps est ici impropre car il ne peut sidentifier au temps newtonien (celui que lon

utilise dans les quations de la mcanique). Cest pourtant ce temps qui est donn par

les cadrans solaires.

Le temps newtonien est accessible par le temps solaire moyen.

Enfin, le temps solaire moyen local de Greenwich est appel Temps Universel (TU ou

UT pour Universal Time).

En superposant des images du Soleil prises de 10 jours en 10 jours la mme heure, on


55/78

4.4. PRCESSION 53

devine une courbe en 8. Si cette photo est faite vers midi laxe du 8 est vertical sinon celui-

ci est inclin comme sur la photo de la figure (4.3). Laxe de symtrie du 8 correspond

aux variations en dclinaisons et laxe perpendiculaire (donc suivant lquateur cleste)

reprsente les carts dus lquation du temps.

Cette courbe en 8, appele aussi analemne, est quelques fois dssine sur les cadrans

solaires. Cela permet deffectuer, directement la lecture, la correction due lquation

du temps.

Quand E est maximun ou minimum, lheure donne par un cadran solaire est errone

(lerreur atteint plus de 16 minutes le 31 octobre) mais la marche du cadran est juste

puisquedEdt = 0 pour ces dates. Inversement aux points dinflexion dEdt est extrmum. Par

exemple le 22 dcembre, dEdt

= 3, 2 104 et donc le jour solaire vrai cette date est 24h

0mn 28s.

4.4 Prcession

Jusqu maintenant, on a suppos que le point tait fixe. Or, laction conjugue de

la Lune et du Soleil sur le bourrelet quatorial de la Terre fait que laxe de rotation de la

Terre tourne autour du ple de lcliptique la manire dune toupie dont laxe de rotation

tourne autour de la verticale (figure 4.4).

Laxe de rotation de la Terre parcourt le cercle de prcession en 26 000 ans . Ainsi le

point ou point vernal dont la longitude est 0 par dfinition se dplace parmi les toiles.

Ce mouvement est appel prcession des quinoxes (prcession car il se dplace en sens

inverse du Soleil). Le point tourne donc sur lcliptique raison de 1 tour en 26 000 ans

(25 778 ans plus exactement).

Le temps que met la longitude du Soleil pour augmenter de 360 est lanne tropique

qui est gale 365,242 198 79 jours solaires moyens. Or partant du point vernal 1 dune

anne et arrivant au point 2 de lautre anne, le Soleil doit encore parcourir larc 12 =1

25778tour = 50, 275. Le temps mis pour faire un tour complet sur lcliptique est donc

plus long, cest lanne sidrale.


56/78


pole de

lcliptiquecercle de

prcession

lorbite lunaireplans extremes de

cliptique

quateur

23,5

5

^

^

axe

de

rotation

terrestr

e

FIG. 4.4 Action conjugue de la Lune et du Soleil sur le bourrelet quatorial de la Terre

qui induit le phnomne de prcession.


57/78

4.4. PRCESSION 55

Calendrier grgorien

Ce calendrier est universellement reconnu.2

Il est bas sur lanne tropique afin quelanne civile soit cale sur le rythme des saisons.

En 46 avant JC, Jules Csar fixait lquinoxe de printemps au 25 mars et imposait

le systme des annes bissextiles : 3 annes communes de 365 jours sont suivies dune

anne bissextile de 366 jours (celle dont le millsime est divisible par 4). Ainsi la dure

moyenne de lanne dite julienne vaut 365.25 jours. Lcart avec lanne tropique est donc

de 0, 0078 jour (par an).

En 1582 le calendrier julien ayant pris de lavance sur les saisons, le printemps tombait

le 11 mars. Cest pourquoi le Pape Grgoire XIII dcrta que le jeudi 4 octobre 1582 seraitsuivi du vendredi 15 octobre. Il ne supprima donc que 10 jours afin que le printemps soit

le 21 mars ( pour respecter les choix du Concile de Nice relatif Pques qui ne doit

pas tre ft la nouvelle lune). Mais surtout, il dcrta une diminution de lanne civile

de 0, 0075 jour : les annes sculaires rondes ne sont bissextiles que si le nombre des

centaines est divisible par 4. Ainsi, les annes 1700, 1800, 1900 sont communes alors

que lanne 2000 est bissextile. La dure moyenne de lanne civile est maintenant de

365 + 1/4 3/400 = 365, 2425 jours, la diffrence avec lanne tropique nest plus quede 0, 0003 jour. Cette diffrence ne sera visible que dans environ 3000 ans (dcalage de 1

jour).

Le calendrier grgorien a t adopt immdiatement en Italie, Espagne et Portugal.

En France, cest le roi Henri III qui dcrta la suppression de 10 jours la mme anne,

le dimanche 9 dcembre 1582 tant suivi du lundi 20 dcembre. Les anglais passrent du

calendrier julien au calendrier grgorien en 1752 (le lendemain du mercredi 2 septembre

1752 tant le jeudi 14 septembre3). Les autres pays nont adopt le calendrier grgorien

que plus tard : le Japon en 1873, la Bulgarie et lAlbanie en 1912, la Russie en 1918 4, la

Chine en 1912, la Roumanie et la Yougoslavie en 1919, la Grce en 1923, la Turquie en

1926.

2Les autres calendriers sont ventuellement utiliss en parallle pour organiser diverses traditions cultu-

relles ou religieuses.3Cela provoqua quelques meutes car la population pensait que le gouvernement essayait de leur voler

onze jours de salaire.4Ce qui explique que les commmorations de la rvolution doctobre 1917 sur la place rouge se faisaient,

du temps de lUnion Sovitique, en novembre.


58/78



59/78

Chapitre 5

La Terre

Au chapitre 2, nous avions dfini divers systmes coordonnes sur la sphre cleste.

Les coordonnes horaires et quatoriales utilisent la constatation du mouvement diurne,

cest--dire du mouvement de rotation uniforme de la sphre des fixes autour du ple

cleste nord (Fig :.2.2). Il ntait nullement ncessaire, ce stade du cours, dinterprter ce

mouvement comme tant issu du mouvement de rotation de la Terre sur elle-mme. Nous

lavons cependant fait en Sect. 2.4 (latitude terrestre) et en Sect. 2.6 (longitude terrestre),

afin de permettre de faire des exercices dapplication issus de la vie courante. Le but de ce

chapitre est de dfinir prcisment les coordonnes terrestres et, bien sr, de voir les liens

avec lastronomie.

5.1 Reprsentation astronomique de la Terre

Dfinition : La figure sphrique forme par les zniths de tous les lieux de la Terre est

appele Globe Terrestre.

En effet, la verticale ascendante dun lieu situ la surface de la Terre est reprsentable

par un point de la sphre cleste que nous avions appel znith. Or il nexiste pas pas,

la surface de la Terre, deux lieux qui aient des verticales parallles et de mme sens

(injectivit)1. Il existe toujours un lieu dont la verticale ait une direction et un sens donn

(surjectivit). Il y a donc bijection entre les points de la surface de la Terre et les points sur

la sphre cleste. Ainsi, un systme de coordonnes permettant de reprer le znith dun

1Cette affirmation est vidente si la Terre est suppose sphrique et de rpartition de masse uniforme. Ca

lest encore, si on considre la Terre comme une ellipsode. Pour les cas plus fins, cette affirmation est moins

vidente mais elle est quand mme facile concevoir tant que les lieux considrs ne sont pas trop proches.

57


60/78

58 CHAPITRE 5. LA TERRE

lieu sur la sphre cleste permettra en mme temps de reprer ce lieu sur la Terre.

On a rappel que le mouvement diurne est le mouvement relatif de la sphre des fixes

par rapport la sphre locale. Donc, le znith dun lieu subit, relativement la sphre

des fixes, un mouvement de rotation uniforme autour de laxe des ples P P, dans le sens

direct, la vitesse de un tour par jour sidral. Par ailleurs, on observe que les zniths

de tous les lieux de la Terre sont anims de ce mme mouvement. On en dduit que le

Globe Terrestre constitue une figure indformable. On peut donc y reporter des points

reprsentatifs (villes, monuments, sommets de montagne, ...) ou des lignes remarquables

(fleuves, frontires, ...). Une telle reprsentation nest pas semblable la Terre (car la Terre

nest pas sphrique). Cest une reprsentation de la Terre au sens gomtrique du terme.

Comme la Terre est quand mme approximativement une sphre, sa reprsentation par le

Globe Terreste lui est approximativement semblable. Dans les applications courantes de

la Gographie, on admet cette approximation. Cest dailleurs ce que nous avons fait dans

linterprtation du mouvement diurne au Chapitre 2.

Reprsentations planes du Globe Terrestre

On peut dfinir une application du Globe Terrestre sur un plan, ce qui constitue unecarte gographique. Les cartes marines sont ainsi construites. Il y a 2 raisons cela :

dabord, elles permettent le trac en toute rigueur des droites de hauteur (voir Sect. 5.5), et

ensuite les points (sur lOcan) que lon y porte ne sont connus que par leur coordonnes

astronomique (voir Sect. 5.4). Ce sont des cartes en reprsentation astronomique.

Pour les rgions continentales dont la topographie est bien tudie, il existe des cartes

dont les points de la surface terrestre sont reprsents daprs leurs positions relatives

relles. Ce sont des cartes godsiques (celles de I.G.N. par exemple).

Projection strographique

Il y a autant de cartes astronomiques possibles quil y a dapplications de la sphre sur

un plan. Un exemple intressant est la projection strographique.

Soit S le point de la Terre dont son znith est P (appel ple gographique sud).

Soit ()un plan parallle au plan quatorial. Soit Mun point de la Terre diffrent de S.

On appelle image de M par la projection strographique sur () partir de S, le point

M

intersection de la droite (SM) et du plan ().


61/78

5.1. REPRSENTATION ASTRONOMIQUE DE LA TERRE 59

S

N=N

M

M

FIG. 5.1 Projection strographique. Le plan est ici pos au ple nord gographiqueN.

Proprits et remarques

1. Le point Sna pas dimage par cette projection. Il est dailleurs rejet linfini danstoutes les directions du plan (en fait suivant le mridien pour lequel le point M tend

vers S).

2. Tout cercle de la sphre a pour image un autre cercle (du plan ())

3. La projection strographique conserve les angles

4. Dans le cas o le plan () est le plan de lquateur,

- Lquateur est invariant pendant la transformation

- Un point de lhmisphre nord a pour image un point lintrieur de lquateur

- Un point de lhmisphre sud a pour image un point lextrieur de lquateur

5. La projection strographique revient observer la sphre depuis S.

Les dmonstrations de ces proprits sont faciles sauf peut-tre la troisime. Elles utilisent

toutes la gomtrie lmentaire. Elles sont laisses en exercice.


62/78

60 CHAPITRE 5. LA TERRE

5.2 Coordonnes astronomiques dun lieu.

Coordonnes sur la sphre des fixes

Le point Zen tant que point sur la sphre cleste peut tre repr par lun des systmes

de coordonnes dj connus : par exemple les coordonnes quatoriales Z et Z. Ces

deux coordonnes sont dfinies sont sur la sphre des fixes. Or le point Z nest pas fixe sur

cette sphre, donc, au moins lune des deux coordonnes est variable dans le temps.

P

W

NE

S

Z

quateu

r

= Z

Z

HZ

La dclinaison de Z sidentifie avec la lati-

tude du lieu que nous avons dj introduite.Elle est invariable avec le temps. Par contre

ce nest pas le cas de son ascension droite

Z. Cet angle est (P , P Z ) compt posi-

tivement dans le sens direct. Il est gal

langle (P Z , P ) compt positivement dans

le sens rtrograde.

On reconnat ainsi langle horaire du point qui est gal au temps sidral du lieu Z :

Z = HZ() = (5.1)

Coordonnes invariables

Pour obtenir pour les points Z (ou quivalemment des

points de la surface terrestre) des coordonnes inva-

riables, nous devons rapporter ces points un repre

li au Globe Terrestre (donc tournant dans le sens di-

rect par rapport la sphre des fixes). Le systme de

coordonnes astronomiques du point Z est ainsi d-

fini :

P

P

o

Z

Z

Le ple est le ple nord cleste P.

Le demi-cercle origine est le demi cercle P Z0P passant par le znith Z0 dun point

particulier sur la Terre (Observatoire de Greenwich).

Le sens choisi est le sens direct.


63/78

5.3. RELATION ENTRE LONGITUDE ET TEMPS SIDRAL LOCAL 61

Le demi-cercle P ZP passant par le znith Z du lieu est appel le mridien de ce

lieu2.

La premire coordonne, L, est appele longitude astronomique. Cest langle

(P Z0P, P Z P ). Il est compt de 180 +180 ou de 12h +12h. On dit que

la longitude est Est lorsquelle est positive (Ouest lorsquelle est ngative).

La deuxime coordonne, , est le complment 2

de la distance P Z. Elle est

appele latitude astronomique.

Les lignes dgales coordonnes sont appeles respectivement les mridiens et les

parallles.

5.3 Relation entre longitude et temps sidral local

On considre, un instant donn, le znith Z0 de Greenwich, Z celui dun lieu quel-

conque. Par la relation de Chasles, on a :

(P ZP, P Z0P) = (P ZP, P P ) + (P P, P Z0P

)

o est lorigine des coordonnes quatoriales sur la sphre des fixes.

Comptons positivement ces 3 angles pris dans le sens rtrograde.

(P ZP, P Z0P) = L

Documents

Elements dAstronomie Fondamentale.pdf