- 1 - Expérience no 21

ELEMENTS D’OPTIQUE

1. INTRODUCTION

Dans cette expérience les principes de l’optique géométrique sont applicables car les obstacles traversés par la lumière sont beaucoup plus grands que la longueur d’onde de la lumière. La propagation de la lumière peut donc être décrite par des rayons géométriques. Dans les chapitres suivants un autre aspect de la lumière, l’aspect ondulatoire, est aussi expliqué, mais pour l’expérience le modèle géométrique est suffisant.

Pour la préparation de ce travail, il est conseillé de consulter des livres d’optique géométrique pour mieux prévoir les expériences à faire.

Vous trouverez à votre disposition une boîte contenant des élé-ments optiques (lentilles, prismes, miroirs, blocs de verre rec-tangulaire et semi-circulaire, polariseurs linéaires et filtres), une planche à plaque tournante graduée et une source permettant d’obtenir des faisceaux parallèles. Ces instruments vous serviront à mettre en évidence plus d’une trentaine de lois et propriétés optiques. Dans le but d’en trouver au moins dix, on vous propose de suivre les indications données plus haut, c’est-à-dire de tirer d’une observation expérimentale, compte-tenu de la précision des instruments utilisés, les propriétés ou lois qui en découlent puis de proposer, s’il y a lieu, des applications pratiques.

Pour la présentation du rapport, il s’agira de dessiner, justifier et expliquer le montage expérimental utilisé pour établir chacune des propriétés ou lois optiques mises en évidence, les graphiques avec estimations d’erreurs sont à établir si nécessaire.

2. QUELQUES RAPPELS D’OPTIQUE

2.1 Aspect ondulatoire de la lumière a) Propagation de la lumière: La lumière visible correspond aux radiations électromagnétiques dont la longueur d’onde, dans le vide, est comprise entre 400 nm et 800 nm environ (1 nm = 10-9m; 1 nm = 10 Å). Le tableau 1 donne le spectre des ondes électroma-gnétiques (photons sous leur aspect corpusculaire).

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Tableau 1: Spectre des ondes électromagnétiques.

La production et la propagation de ces ondes sont déterminées par les équations de Maxwell. Dans le vide, la solution de ces équations donne des ondes planes transversales dont la vitesse de phase (on référence ce nombre comme la vitesse de la lumière) est :

c =

1

εoµo

≈ 3.108 m/s

εo = 8.85 10-12 Fm-1 La permittivité du vide µo = 4π 10-7 NA-2 La perméabilité du vide

- 3 - Dans une matière isolante la vitesse n’est plus c mais

v =

1

εoµoεrµr εr > 1 La permittivité relative du milieu µr (en général ~ 1) La perméabilité relative du milieu

On constate que v < c. Par définition, on appelle l’indice de réfraction du milieu:

n = c/v = εrµr ≈ εr

Une onde de fréquence ν et de longueur d’onde λo (le zéro dans λo représente la longueur d’onde dans le vide) lorsqu’elle passe dans un tel milieu d’indice de réfraction n, conserve sa fréquence ν, mais change de longueur d’onde qui devient:

λ = v/ν = λo v/c = λo/n < λo

gaz à 0°C et 1 atm. liquide à 20°C solide à température. ambiante

Air n = 1,000293 Hélium n = 1,000036 CO2 n = 1,00045

Eau n = 1,333 Benzène n = 1,501 Ethanol n = 1,361

Diamant n = 2,419 Verre(flint) n = 1,575 NaCl n = 1,50

Tableau 2: Quelques valeurs de n mesurées à ν ≈ 0,5.1015 Hz (λ = 589,29 nm, lampe à Na).

b) Couleurs: Les yeux, détecteurs des ondes électromagnétiques dont la fréquence ν est comprise entre 3,84.1014 s-l et 7,67.1014 s-l, sont sensibles à une variation de la fréquence dans cette gamme. Cette sensibilité se manifeste par les couleurs. Le tableau 3 donne les valeurs approximatives des fréquences et longueurs d’ondes correspondantes dans le vide pour diverses couleurs.

Couleur ν [1014 s-1] λo [10-9m]

Rouge

Orange

Jaune

Vert

Bleu

Violet

3,84 - 4,82

4,82 - 5,03

5,03 - 5,20

5,20 - 6,10

6,10 - 6,52

6,52 - 7,69

780 - 622

622 - 597

597 - 577

577 - 492

492 - 455

455 - 390

Tableau 3

c) Dispersion: Dans un milieu optiquement dense (n > 1) la vi-tesse de propagation d’une onde de fréquence ν dépend, comme on l’a vu, de la nature de ce milieu (son εr et µr); d’où la dépen-dance de son indice de réfraction n de cette fréquence ν. Il s’ensuit que la vitesse de propagation d’une lumière, composée d’un ensemble d’ondes de diverses fréquences n’est pas unique,

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v = v (ν) =

c

n(ν)

Etant donné l’unicité du temps mis par le front d’onde de cette lumière pour se propager d’un endroit à l’autre, il est nécessaire que les chemins optiques empruntés par ses ondes de fréquences diverses soient différents.

La dispersion des couleurs d’une lumière blanche par un prisme ou aussi dans les gouttelettes d’eau provoquant l’arc-en-ciel illustre ce phénomène. Il est clair que la dispersion est alors mise en évidence par la réfraction.

d) Polarisation: la propagation d’une onde plane transversale sinusoïdale peut être représentée mathématiquement par:

Ex = Eox sin(kz-ωt), Ey = Eoy sin(kz-ωt)

ω = 2πν La Fréquence circulaire

k = ω/c Nombre d’onde z Direction de propagation Eo L’amplitude du champ ��

��E

Eox, Eoy Les projections de Eo sur les axes x et y respectivement

La figure 1a) montre la position de ��

��E dans le plan xy, à un

instant donné. Si le déphasage de Ex et Ey, φ = 0 + (entier)⋅2π, alors

l’extrémité du vecteur �� ��E observé dans un plan (x,y) fixe décrit

une droite, dans ce cas, l’onde est polarisée linéairement (figure 1.b). Si le déphasage φ = ± π + (entier)⋅2π et Eox = Eoy, alors le vecteur ��

��E décrit un cercle et l’onde est polarisée

circulairement (polarisation circulaire droite ou gauche). Dans les autres cas (Eox ≠ Eoy), l’onde a une polarisation elliptique.

Figure 1:a) �� ��B : champ magnétique ��

��E : champ électrique droite b) polarisation

linéaire c) polarisation circulaire

a)

b) c)

- 5 - e) L’angle de Brewster: Pour un certain angle θB, appelé l’angle de Brewster, le rayon réfléchi par une surface plane est uniquement polarisé perpendiculairement au plan d’incidence. La lumière polarisée parallèlement au plan d’incidence est totalement réfractée. Dans la figure suivante on voit le plan d’incidence.

Figure 2: Plan d’incidence avec l'angle de Brewster; polarisation

perpendiculaire Pper, polarisation parallèle Ppar

L’angle Brewster peut se calculer avec la formule: B)arctan( Θ=i

t

nn

f) Interférences: C’est la superposition de deux ou plusieurs ondes cohérentes (c’est-à-dire ayant la même fréquence et une relation de phase fixe). Les amplitudes de ces ondes s’ajoutent algébriquement; on obtient des zones d’inégales intensités (franges). Pour plus de détails, voir l’expérience "Interféromé-trie".

g) Diffraction:

Figure 3: Diffraction en 2 fente

- 6 - Les ondes d’une source de lumière passent par deux fentes, regarder Figure 3, et s’infléchissent. On appelle ça diffraction. Dans la figure on voit de plus des maxima (qui parent des fentes) qui apparent à cause des interférences de ces deux ondes secondaires générées. On peut expliquer ce phénomène des ondes secondaire avec le principe d’Huygens, qui est décrit dans le chapitre suivant.

2.2 Principe de Huygens

Une description simplifiée de la propagation de l’onde, ainsi que de son comportement à l’interface de deux milieux d’indices de réfraction différents (réflexion et réfraction), est possible

selon le principe de Huygens qui permet de faire la connexion entre les aspects ondulatoire et géométrique de l’optique. Principe de Huygens: "chaque point du front d’onde primaire sert de source d’ondelettes sphé-riques secondaires et le front d’onde résultant est constitué par leur enveloppe, décrivant ainsi la propagation de l’onde. Ces ondelettes ont naturellement la même fréquence que l’onde primaire et se propagent en accord avec l’indice de réfraction dans l’espace où elles interviennent". Voir figures 3 et 5a.

2.3 Aspect géométrique

Historiquement, l’optique a été interprétée d’abord sous l’aspect géométrique. C’est un modèle abstrait plutôt qu’une réalité physique.

a) Propagation de la lumière: On considère la lumière comme étant formée de rayons correspondant à des lignes perpendiculaires au front d’onde (figure 4).

Figure 4: Principe d’Huygens

Figure 5: Front d'onde avant et après passer un medium

- 7 - b) Réflexion et réfraction: Ce phénomène se produit sur l’in-terface de deux milieux d’indice n différents. Un rayon lumineux incident se propageant dans un milieu (i) d’indice de réfraction ni et arrivant sur un milieu (t) d’indice nt selon un angle

d’incidence θi, est en partie réfléchi selon un angle de

réflexion θr, en partie transmis par le milieu (t) selon un angle de réfraction θt et généralement en partie absorbé par (t).

Les lois de réflexion et réfraction sont:

1) les rayons incidents, réfléchis et réfractés sont dans un même plan; c’est le plan d’incidence

2) nisinθi = ntsinθt (loi de Descartes)

3) θi = θr. (Angle de réflexion = angle d'incidence.) 2.4 Définition de quelques éléments optiques

a) Un filtre est un corps opaque pour certaines longueurs d’ondes et transparent pour d’autres; par exemple un filtre bleu absorbe essentiellement toutes les couleurs autres qu’un petit domaine dans le bleu.

Remarque: La couleur d’un corps opaque est due à la réflexion de certaines longueurs d’ondes alors que d’autres sont absorbées.

b) Un polariseur (linéaire) est un élément optique qui sélectionne d’une lumière non polarisée (superposition de nombreuses parties d’ondes à polarisation linéaire quelconque) la partie à polarisation correspondante, c’est-à-dire seules les ondes dont le vecteur champ électrique ��

��E est parallèle à l’axe

du polariseur. Les autres sont absorbées; il y a donc perte d’intensité.

c) Un miroir est une surface polie. Il peut être plan ou courbé et alors faire converger ou diverger la lumière incidente. Selon la matière dont il est fait, il réfléchit mieux certaines longueurs d’ondes que d’autres. Il peut être métallique (par exemple couche mince d’aluminium sur verre) ou diélectrique (par exemple surface polie de verre).

Figure 6: Réflexion et réfraction sur un surface: a)Selon principe de Huygens b)Représentation par rayons

a) b)

- 8 - d) Une lentille est un composant optique diélectrique et trans-parent dont les surfaces, généralement sphériques, font converger ou diverger la lumière qui le traverse. Elle peut former une image réelle ou virtuelle d’un objet. La lentille est concave ou convexe et peut avoir des rayons de courbure différents pour chaque surface. Sa distance focale (dioptre) dépend de ses rayons de courbure et de son indice de réfraction. La divergence et la convergence sont dues à la réfraction de la lumière qui la traverse.

e) Les prismes sont des éléments transparents à faces planes utilisés dans les systèmes optiques pour: changer la direction de propagation de la lumière, orienter proprement une image, combiner ou partager un faisceau, disperser la lumière polychromatique et enfin polariser une lumière quelconque. Ils peuvent ainsi être utiles pour diminuer les dimensions d’un système optique et pour la réalisation des spectromètres, réfractomètres, polariseurs, etc. 3 EXERCICES

Le modèle géométrique est suffisant. 3.1 Etude de la loi de réflexion par un miroir plan Le rayon lumineux est obtenu à partir de la lampe à l’aide de la lentille L (déjà intégrée dans la lampe) et d’une fente F. Le miroir M est posé sur le plateau comme indiqué ci-contre. a) Constater que les rayons incidents et réfléchis sont dans le même plan; b) A partir de la position 0 i = 0, relever ~ 10

valeurs différentes de θi et θr et estimer l’erreur; c) Déduire à partir de b) la loi de réflexion par un miroir plan métallique;

- 9 - 3.2 Etude de la loi de réfraction avec le bloc semi-circulaire

a)Procéder comme aux points a), b) et c) de l’exercice 3.1 en reportant graphiquement sinθi en fonction de

sinθt. La valeur de na (air) est donnée dans le tableau 2; trouver la valeur de nb (bloc semi-circulaire).

b) Tourner le bloc de façon que le rayon pénètre du côté circulaire. On constate que la lumière qui pénètre ainsi ne change pas de direction (explication!) et que, pour un certain angle θi = θc (angle limite), on a une réflexion interne totale. (θt = 90o). Trouver nb et ∆nb à partir de la valeur de θc. Comparer cette valeur à celle trouvée sous a). 3.3 Détermination de l’angle de Brewster avec le bloc semi-circulaire a) Calculer l’angle de Brewster avec la valeur nt du bloc semi-circulaire. b) Mettre le polarisateur (avec la ligne rouge perpendiculaire au plan d’incidence) devant la lampe et tourner le bloc jusque à la position où la réflexion disparaît. Comparer cette valeur avec la valeur calculée. c) Sans bouger le bloc enlever le polarisateur et vérifier la polarisation de la lumière réfléchie avec le polarisateur. 3.4 Détermination de l’indice de réfraction d’un prisme Dans ce cas, un filtre est nécessaire pour avoir une lumière monochromatique (pourquoi?). Pour une longueur d’onde donnée, on démontre que nt=sin[(δm + α)/2]/sin(α/2) où δm est l’angle de déviation minimum.

- 10 - Trouver δm, mesurer α, puis calculer nt du prisme ainsi que ∆nt. 3.5 Faites une dizaine d’autres observations avec le matériel à disposition. 4. SUGGESTIONS

Le matériel à disposition permet d’observer, entre autres:

a) les réflexions et réfractions sur des surfaces diélectriques planes

b) le foyer f de lentilles convergentes et divergentes

c) le foyer f et centre c de miroirs concaves et convexes

d) la dispersion par un prisme

e) l’angle de réflexion interne totale d’un prisme

f) les images par combinaison miroirs, lentilles, prismes, etc.

Indications: b)

�.conv. �.div. un système �.d.+ �.c. peut être focalisant.

c) EB Nov2003/Mars2004