Eletricidade A - ENG04474Eletricidade A - ENG04474

AULA IXAULA IX

SenóidesSenóides Período Período : : TT

Tempo necessário para se percorrer um cicloTempo necessário para se percorrer um ciclo Freqüência:Freqüência: f = f = 1/1/TT

Ciclos por segundoCiclos por segundo Freqüência Angular:Freqüência Angular: = 2 = 2 ff AmplitudeAmplitude: : VVMM

ExemploExemplo: Qual é a amplitude, a freqüência, o período e a : Qual é a amplitude, a freqüência, o período e a freqüênciafreqüência angular da senóide abaixo angular da senóide abaixo

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

FaseFase

Se quisermos expressar as senóides abaixo na forma Se quisermos expressar as senóides abaixo na forma vv=V=VMMsen(sen(tt+ + )) quais são os valores de quais são os valores de para as três para as três senóides, tomando uma senóide senóides, tomando uma senóide vv=V=VPPsen(sen(tt)) como referência. como referência.

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Fase em Atraso ou em Adianto Fase em Atraso ou em Adianto

xx11(t) está (t) está adiantadoadiantado em relação a em relação a xx22(t) de (t) de --

xx22(t) está (t) está atrasadoatrasado em relação a em relação a xx11(t) de (t) de --

Se fossemos desenhar estas curvas, qual das senóides passaria de Se fossemos desenhar estas curvas, qual das senóides passaria de negativo para positivo antes?negativo para positivo antes?

tXtx M cos)(11

tXtx M cos)(22

Circuitos RLC com Excitação SenoidalCircuitos RLC com Excitação Senoidal Resposta Transitória e de Regime PermanenteResposta Transitória e de Regime Permanente

Exemplo (RL - fonte senoidal)Exemplo (RL - fonte senoidal)

i(t)i(t)

tidi cosVRdt

L pL

R

+

-

V1Vpcos(t)

RLt

eitti

0

LR

cosVcos

LR

VL22

p

22

p

Resposta PermanenteResposta Permanente

A AmplitudeAmplitude da corrente dependedepende da amplitude da fonte, de RR, de LL e da freqüência da fonte

Reposta Reposta Transitória ou Transitória ou NaturalNatural

A corrente está defasada em atraso radianos em relação a cossenóide da fonte

RL

Circuitos RLC com Excitação SenoidalCircuitos RLC com Excitação Senoidal

Exemplo - Forma de onda da RespostaExemplo - Forma de onda da Resposta

0 50 100 150 200 250 300-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

RLt

eitti

0

LR

cosVcos

LR

VL22

p

22

p

RL

Forma de Forma de onda da onda da Fonte Fonte V1(t)V1(t)

Forma de Forma de onda da onda da Corrente Corrente ii(t)(t)

Regime Transitório Regime Permanente

V1(t)i(t)

t

Circuitos RLC com Excitação SenoidalCircuitos RLC com Excitação Senoidal

Em Em REGIME PERMANENTEREGIME PERMANENTE todo Circuito RLC excitado com fontes todo Circuito RLC excitado com fontes senoidais de freqüência “senoidais de freqüência “” ” terá todas terá todas as correntesas correntes e e tensões tensões em em seus dispositivosseus dispositivos

possuindopossuindo forma de onda senoidal de freqüência “forma de onda senoidal de freqüência “”” igualigual a das fontesa das fontes

defasadas defasadas radianos radianos em atraso ou adianto com relação as fontesem atraso ou adianto com relação as fontes

depende da estrutura e dos elementos do circuito

amplitudesamplitudes dependentes da freqüênciadependentes da freqüência , da, da amplitude das fontesamplitude das fontes e dos e dos valores dos dispositivosvalores dos dispositivos R, L e CR, L e C

Sabendo disso, seria possível obter a Resposta em Regime Permanente para Excitação

Senoidal sem precisar resolver uma equação diferencial ???

Circuitos RLC - RP com Excitação Circuitos RLC - RP com Excitação SenoidalSenoidal

Para determinar umaPara determinar uma tensão ou corrente em regime tensão ou corrente em regime permanente, permanente, tudo o que precisamostudo o que precisamos saber é sua saber é sua amplitudeamplitude e e sua sua fasefase em relação a senóide da fonteem relação a senóide da fonte. . A freqüência e a A freqüência e a forma de onda já se sabe qual será.forma de onda já se sabe qual será.

Usualmente, Usualmente, tensões ou correntes em regime permanentetensões ou correntes em regime permanente são são obtidas de uma obtidas de uma solução particular da equação diferencial solução particular da equação diferencial do do circuitocircuito..

Preciso escrever e resolver uma Equação

diferencial!!??

VVppsen(sen(wtwt))

Fonte

AAPP sen(sen( wtwt ++ ))

Tensão ou Corrente do

circuito em RPCIRCUITO CIRCUITO

RLCRLC

Amplitude ?

Fase ?

Circuitos RLC - RP com Excitação Circuitos RLC - RP com Excitação SenoidalSenoidal

Não éNão é preciso escrever a equação diferencialpreciso escrever a equação diferencial dodo circuito nem ao circuito nem ao menos resolve-lamenos resolve-la para se obter a amplitude e fasepara se obter a amplitude e fase de uma tensão de uma tensão ou corrente em RP em um circuito com excitação senoidalou corrente em RP em um circuito com excitação senoidal..

Ao invés disso usaremos o conceito de Ao invés disso usaremos o conceito de FASORESFASORES e e IMPEDÂNCIAS IMPEDÂNCIAS COMPLEXASCOMPLEXAS

Fasores e Impedâncias Complexas convertemFasores e Impedâncias Complexas convertem um problema um problema envolvendo envolvendo equações diferenciais emequações diferenciais em um problema envolvendo um problema envolvendo equações algébricasequações algébricas

Boas Boas Novas!!!Novas!!!

FASORESFASORES

FASORFASOR é um é um NÚMERO COMPLEXO NÚMERO COMPLEXO que que representa arepresenta a amplitudeamplitude e ae a fasefase de uma de uma tensão ou corrente senoidaltensão ou corrente senoidal

tX M cos

MXX

Domínio TempoDomínio Tempo

Domínio FreqüênciaDomínio Freqüência

Impedância ComplexaImpedância Complexa

A Impedância Complexa descreve a relação entre a tensão sobre um elemento R, L ou C (expressa como Fasor) e a corrente no elemento (expressa como Fasor)

A impedância é um número complexo

O valor da impedância normalmente depende da freqüência

Fasores e Impedâncias Complexas nos permitem utilizar a Lei de Ohm com números complexos para determinar tensões a partir de correntes e correntes a partir de tensões

Como?Melhor ver esses

Números Complexos...

Números ComplexosNúmeros Complexos

xx é a parte realé a parte real yy é a parte imagináriaé a parte imaginária zz é a amplitude ou é a amplitude ou

magnitudemagnitude é a faseé a fase

z

x

y

eixo real

eixo imaginário

Coordenadas PolaresCoordenadas Polares:: AA = = zz Coordenadas RetangularesCoordenadas Retangulares:: AA = = xx + + jyjy

coszx senzy

22 yxz xy1tan

PR

RP

Representando Formas de Onda Representando Formas de Onda Senoidais como FasoresSenoidais como Fasores

FasorFasor (domínio freqüencia) é um (domínio freqüencia) é um número complexonúmero complexo

X = X = zz = = x x + + jyjy

Um Um sinal senoidalsinal senoidal é uma é uma função do tempofunção do tempo

x(t) = z x(t) = z coscos ((t + t + ))

Exemplo:Exemplo:Encontre a representação no domínio tempo para os seguinte fasores:Encontre a representação no domínio tempo para os seguinte fasores:

XX = = -1 + -1 + jj22

V = V = 104V - 104V - jj60V60V

A = A = -1mA - -1mA - jj3mA3mA

Aritmética com Números ComplexosAritmética com Números Complexos

Para se Para se determinardeterminar FASORESFASORES de Tensão ou de Tensão ou Corrente é necessário que saibamos Corrente é necessário que saibamos proceder proceder operações aritméticas básicasoperações aritméticas básicas com números com números complexos: complexos:

SomaSoma

SubtraçãoSubtração

MultiplicaçãoMultiplicação

DivisãoDivisão

Será que lembro disso?

É melhor dar uma olhada!

Soma e SubtraçãoSoma e Subtração

SomaSoma

AA = = xx + + jyjy

BB = = zz + + jwjw

AA + + BB = ( = (x + zx + z) + ) + jj((y + wy + w))

SubtraçãoSubtração Subtração é mais Subtração é mais

facilmente feita em facilmente feita em coordenadas retangularescoordenadas retangulares

AA = = xx + + jyjy

BB = = zz + + jwjw

AA - - BB = ( = (x - zx - z) + ) + jj((y - wy - w))

eixo real

eixo imag.

AB

A + B

eixo real.

eixo imag.

ABA - B

(melhor na forma retangular)

eixo real

eixo imag.

A

B

A / B

Multiplicação e DivisãoMultiplicação e Divisão

MultiplicaçãoMultiplicação Multiplicação é mais Multiplicação é mais

facilmente feita em facilmente feita em coordenadas polarescoordenadas polares

AA = = AAMM

BB = = BBMM

AA BB = ( = (AAM M BBMM) ) ( ())

DivisãoDivisão Divisão é mais faclmente Divisão é mais faclmente

feita em em coordenadas feita em em coordenadas polarespolares

AA = = AAMM

BB = = BBMM

AA / / BB = ( = (AAMM / / BBMM) ) ( ())

eixo real

eixo

imag.

A

BA B

(melhor na forma polar)

Exponencial ComplexaExponencial Complexa

Uma senoide, Uma senoide, função do tempo, pode ser representada função do tempo, pode ser representada comocomo a parte real de uma exponencial complexa a parte real de uma exponencial complexa

Exponenciais Complexas Exponenciais Complexas nos propiciam anos propiciam a ligação ligação entre entre asas funções senoidais do tempo e os fasores. funções senoidais do tempo e os fasores.

Exponenciais ComplexasExponenciais Complexas tornam a análise de um tornam a análise de um circuito RLC em circuito RLC em regime permanenteregime permanente para excitação para excitação senoidal umsenoidal um problema algébrico problema algébrico

Funções Senoidais

Exponenciais

Complexas

FASORES

Exponenciais ComplexasExponenciais Complexas

Um número complexo (FASOR) Um número complexo (FASOR) AA = = zz pode pode ser representado como:ser representado como:

A A = = zz = = z ez ejj = = zz cos cos + + j zj z sen sen

A exponencial complexa básica é:A exponencial complexa básica é:

eejjtt = cos = cos tt + + j j sen sen tt

O que você obtêm ao multiplicar O que você obtêm ao multiplicar AA porpor eejjtt e e tomar a parte real deste produto?tomar a parte real deste produto?

Exponenciais ComplexasExponenciais Complexas

AeAejjtt = = z ez ejj eejjt t = = z ez ejj((t+t+

z ez ejj((t+t+= = z z cos (cos (t+t++ + j z j z sen (sen (t+t+

ReRe[[AeAejjtt] = ] = z z cos (cos (t+t+

Senóides, Exponenciais Complexas e Senóides, Exponenciais Complexas e FasoresFasores

Senóide:Senóide:

z z cos (cos (t+t+

Exponencial ComplexaExponencial Complexa::

AeAejjt t = = z ez ejj((t+t+

Fasor:Fasor:

AA = = zz

O que se ganha com

tudo isso???

z cos (t+Re{z ej(t+}= Re{Aejt}

Relações entre os Fasores associados Relações entre os Fasores associados aos Bipolos de um Circuitoaos Bipolos de um Circuito

Os Fasores Os Fasores nos pertimemnos pertimem expressar expressar a relação entre a relação entre tensão e corrente emtensão e corrente em Indutores e Capacitores Indutores e Capacitores de de forma bastante forma bastante semelhante semelhante a que usamos para a que usamos para expressar a relação entre tensão e corrente emexpressar a relação entre tensão e corrente em Resistores.Resistores.

A exponencial complexa A exponencial complexa é a ferramenta matemáticaé a ferramenta matemática utilizada utilizada para obter tais relações.para obter tais relações.

COMO???

Relação V-I Fasorial para o CapacitorRelação V-I Fasorial para o Capacitor

Suponha que Suponha que vv((tt)) seja uma senóide: seja uma senóide:

v(t)v(t) = = VVMM cos( cos(t+t+ ) ) = = ReRe[[VVMM e ejj((t+t+ReRe[[VVeejjtt]]

Determine Determine ii((tt):):

C v(t)

+

-

i(t)

dttdv

Cti)(

)(

Calculando a CorrenteCalculando a Corrente

Representando na forma FASORIALRepresentando na forma FASORIAL

dt

eVdC

dteVd

Cdt

tdvCti

jtjM

jtjM

ReRe)(

)(

tjtjjtjM eeCjeCVjti IV ReReRe)(

M

jtjM VeVtv V Re)(

VI Re)( CjeCVjti jtjM

C

i(t)

+v(t)

-

C

I

+V-

A derivada na relação entre i(t) e v(t) (capacitor) torna-se uma multiplicação por jC na relação

entre I e V

ExemploExemplo

Sendo:Sendo:

v(t)v(t) = 120V cos(377 = 120V cos(377tt + 30 + 30) )

CC = 2 = 2FF

Qual é a representação Fasorial de Qual é a representação Fasorial de vv((tt) e ) e ii((tt) e a expressão de ) e a expressão de ii((tt)?)?

VV=?=?

II=?=?

i(t)=i(t)=??

Quantos graus Quantos graus vv((tt) está defasado de ) está defasado de ii((tt)?)?

Quem está adiantado em relação a quem?Quem está adiantado em relação a quem?

Relação V-I no IndutorRelação V-I no Indutor

L v(t)

+

-

i(t)

dttdi

Ltv)(

)(

M

jtjM IeIti I Re)(

IV Re)( LjeLIjtv jtjM

i(t)

+v(t)

-

I

+V-

A derivada na relação entre v(t) e i(t) (indutor) torna-se uma multiplicação por jL na relação

entre V e I

L L

Representando na forma FASORIALRepresentando na forma FASORIAL

ExemploExemplo

Sendo:Sendo:

i(t)i(t) = 1 = 1A cos(2A cos(2 9.15 10 9.15 1077tt + 30 + 30) )

LL = 1 = 1HH

Qual é a representação Fasorial de Qual é a representação Fasorial de ii((tt) e ) e vv((tt) e a expressão de ) e a expressão de vv((tt)?)?

II=?=?

VV=?=?

v(t)= v(t)= ________cos(cos(22 9.15 10 9.15 1077tt ++ ____ ____))

Quantos graus Quantos graus vv((tt) está defasado de ) está defasado de ii((tt)?)?

Quem está adiantado em relação a quem?Quem está adiantado em relação a quem?

Relação V-I no ResistorRelação V-I no Resistor

R v(t)

+

-

i(t)

)()( tRitv

Representando na forma FASORIALRepresentando na forma FASORIAL

M

jtjM IeIti I Re)(

IV Re)( ReRItv jtjM

R

i(t)

+v(t)

-

I

+V-

R

A multiplicação por R na relação entre v(t) e i(t) torna-se uma multiplicação por R na relação entre

V e I

ImpedânciaImpedância

A análise de umA análise de um circuito comcircuito com excitação senoidal, excitação senoidal, emem regime permanente, regime permanente, usando FASORES,usando FASORES, nos nos permite expressar as permite expressar as relações entre corrente e relações entre corrente e tensãotensão nos elementos R, L e C com uma nos elementos R, L e C com uma fórmula fórmula similar a utilizada nasimilar a utilizada na lei de Ohm. lei de Ohm.

V = V = Z Z II

ZZ é chamada de IMPEDÂNCIAé chamada de IMPEDÂNCIA

Resistor

V=RI

Z=R

Indutor

V=jLI

Z= jL

Capacitor

V= I

Z=

jC1

jC1

Reflexões sobre IMPEDÂNCIAReflexões sobre IMPEDÂNCIA

Impedância (geralmente)Impedância (geralmente) depende da freqüência depende da freqüência

Impedância (geralmente)Impedância (geralmente) é um número complexo é um número complexo

Impedância Impedância NÃO ÉNÃO É um um FASOR FASOR (Porque?)(Porque?)

O conceito deO conceito de Impedância e Fasor Impedância e Fasor nos permitenos permite analisar circuitos RLCanalisar circuitos RLC lineares com lineares com excitação senoidal, excitação senoidal, em regime permanenteem regime permanente, com as, com as mesmas técnicas mesmas técnicas empregadas para analisarempregadas para analisar circuitos puramente circuitos puramente resistivos.resistivos.

SERÁ mesmo que se pode?Para isso as leis de Kirchhoff

deveriam ser respeitadas na operação com FASORES. Será que são?

Leis de Kirchhoff e FasoresLeis de Kirchhoff e Fasores

Leis das Tensões nos Laços.Leis das Tensões nos Laços.

+v1(t)

-

-v2(t)

+

- vn(t) +

01

n

i

i tv

0ReRe Re 21

11 njtj

Mnjtj

Mjtj

M eVeVeV

021 tvtvtv n

0 n21 VVV

0 011

n

i

i

n

i

i tv V

É equivalente!!

0 Re 21 tjn e VVV

Leis de Kirchhoff e FasoresLeis de Kirchhoff e Fasores

Lei das Correntes nos NósLei das Correntes nos Nós 01

n

i

i ti

021 tititi n

i1(t) in(t)

i2(t)

0ReRe Re 22

11 njtj

Mnjtj

Mjtj

M eIeIeI

0 n21 III

0 011

n

i

i

n

i

i ti I

É equivalente!!

0 Re 21 tjn e III

ExemploExemplo

Sendo as correntes no Nó A Sendo as correntes no Nó A ii11(t), i(t), i22(t) e i(t) e i33(t),(t), onde onde

ii11(t)(t) = = 1A 1A cos(2cos(2 6060 tt + 30 + 30))

ii22(t)(t) = = 3A 3A cos(2cos(2 6060 tt + 60 + 60))

Qual é a representação Fasorial de Qual é a representação Fasorial de ii11((tt), ), ii22((tt) e ) e ii33((tt)?)?

II11=?=?

II22=?=?

II33= = II11 + + II22 = ? = ?

Qual é a expressão de Qual é a expressão de ii33((tt)?)?

ii33((tt)=)=________cos(cos(22 6060 tt + + ____ ____))

i1(t) i3(t)

i2(t)

Diagrama FasorialDiagrama Fasorial

Um diagrama fasorial Um diagrama fasorial é apenas umé apenas um gráfico gráfico de váriosde vários fasores fasores representados norepresentados no plano complexo plano complexo (usando os (usando os eixos real e eixos real e imaginárioimaginário))

Um diagrama fasorialUm diagrama fasorial nos ajuda a nos ajuda a visualizarvisualizar as relações entre as relações entre tensões e correntes em um circuito (suas tensões e correntes em um circuito (suas amplitudesamplitudes e e defasagensdefasagens))

Exemplo:Exemplo:

V

I I = 2mA = 2mA 40 40

VVRR = 2V = 2V 40 40

VVCC = 5.31V = 5.31V -50 -50

V V = 5.67V = 5.67V -29.37 -29.37

Eixo Real

Eixo Imaginário

VR

VC

V

VRI

-

1F VC

+

-

I=2mA 40

1k VR

+

+

-Freqüênci

a =

60

Hz

Diagrama FasorialDiagrama Fasorial

Análise de Circuitos RLC usando os Análise de Circuitos RLC usando os conceitos de Fasor e Impedânciaconceitos de Fasor e Impedância

Obs.: Este método de análiseObs.: Este método de análise somente é válido somente é válido para excitaçõespara excitações senoidais, senoidais, estando o circuito estando o circuito emem regime permanente regime permanente

Exemplo - Determine Exemplo - Determine vvcc((tt)) : :

V1(t)=10 cos(377t)

+ vR(t) -

+vC(t)

-

+

-1uF

20k

+

-1uF

20k

V1V1= 100º

FASORESFASORES

IMPEDÂNCIASIMPEDÂNCIAS

ZZRR= 20k

ZZCC = 1/(j377.1.10-6)=-j2,65k

100º -j2,65k

+VC

-

Divisor de TensãoDivisor de Tensão

54720,17k902,65k

0102,65k20k

2,65k010

,jj

C

V

46,82377cosV31,1 46,8231,1 ttvCCV