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( )
( ) ( )
0
0
2
1
ˆ41
ˆ41
,
, ,
R
R
q
e vR
c
qv v
e v cR
c
r t
A r t r t
πε
µ
π
ϕ
ϕ
=
⋅ − = = ⋅
−
�
� �
�
�
�� �
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
2 2
3
0
2 2
3
0
4
1 1
4
,
,
q Rc v u R u a
R u
qR
E r t
c v v v R a a R uc R u
B r t
πε
πε
= − + × ×
⋅ = − × − + ⋅ + ⋅
⋅
∴
��
�� � �
��
� � �� � � � �
��
��
cRu v
R= −
�
� �
x
z
w�
y0
P•R�
q•
r�
posição da carga no instante t
Na última aula vimos...• Potenciais de Lienard-Wiechert para cargas pontuais, com movimento qualquer.
• No caso de M.R.U.M.R.U.:
• E mais interessante ainda:
( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 20
2
1
4,
, ,
qcr t
c t r v c v r c t
vA r t r t
c
ϕπε
ϕ
=− ⋅ + − −
=
�
� �
��� �
( )2
0
2
*
1
41
,
sinR
qr t
v
c
π εθ
ϕ =
−
�x
y P
t=x=0qw
�
•
x,t•
v�
r�
*R�
R�
,r rx t•θ
( )( ) ( ) ( ). .esc R esv uc R× = × −� �� �
1 RB E
c R= ×
�
� �
• E como:
• Desta forma, vimos que:
→ pude trocar: v u↔ −� �
• Agora, quero substituir o produto , observando (dospotenciais de Lienard-Wiechert) que o termo:
• Mas, no caso específico de carga em M.R.U: ( )0v cte a =⇒=� �
• Da expressão de :E�
( )( )
( )
2 2
3
04
0c vq
E RuR u
aπε
−
⋅= =
��
��
R Ru =� cR
R
�
vR−�
( );
r
r
R r vt
R c t t
= −
= −
�� �
r rRu cr cvt cvt cvt= − − +� � � � �
R u⋅��
( )11
ˆRe v R v
R R cR R vc c c
⋅ ⋅ − = − = − ⋅
�� �
�� ( )1
;R uc
= ⋅��
para M.R.U.
tempo presente
• Mas, note que o termo:
• Assim:
//w�
( )Ru c r vt⇒ = −� � �
( )( ) ( )2 2
3
04
q RE c v u R u a
R uπε
= − + × ×
⋅
� �� � �
��
;cR
u vR
= −
�
� �
R
R=
�
cRR Ru v
RR = ⋅ −⋅ ⋅
�
�� ���
já que ecR
u vR
= −
�
� �
• Por outro lado, como visto na aula passada, para uma cargacom velocidade constante:
( ) ( )( )2
2 2 2 2 2 211
ˆR
e vR c t r v c v r c t
c c
⋅ − = − ⋅ + − −
�
� �2
2
2
*1 sin
vR
cθ= −
( )0
2 2
34
,q
E r tc v
cπε
=−�
�
32 2
2
2
2 *31 sinR
c
v
cθ
−
( )*R
r vt
=
−�
� �
�����
( )( )
2
2
32 2
02
2
2*
*
*
0
11
4
1
,
sina
v
q cE r tR v
c
R
Rπεθ
=
−=
−
�
��
*R�versor na
direção de
posição presente ao ponto P
exercício da 7a lista
• De forma que, substituindo na eq. de
escrita em termos do tempo e positempo e posiçção ão presentes presentes !
• Colocando c2 em evidência:
( )
( )
2 2
3
04
( 0)c vq
E a RuR uπε
−= =
⋅
��
��
• Note agora que, para pontos P situados na direção do movimento (θθ =0=0ºº):
2
22
0
*
1
//1
4
q vE
cRπε
≡ <
= −
�����
resultadoresultado estestááticotico (carga em repouso)
2
21
v
c−
E�
• Ou seja, a intensidade (| |) para pontos na direna direçção de ão de movimentomovimento diminuidiminui em relação à situasituaçção de repousoão de repouso, pelo fator
⇒ no limite vv→→→→→→→→ cc ⇒ EE// // →→→→→→→→ 00 !
• Ou seja, aponta na direção do ponto P em termos do Vetor “posição presente” da carga, o que é um resultado interessante jáque o “sinal” em P, no tempo t, vem da posição retardada!
E�
0
2
2
3*220 2
2(
2
)
11
| |4
1 sina
vq cE
Rv
c
πεθ
=
−= ⋅
−
�
x
y P
t=x=0qw
�
•
x,t•
v�
r�
*R�
R�
,r rx t•
θ
( )( ) ( )
2
2
3 122 22
22
22
11
11
1
vc
E
vvcc
α⊥
−=
−−
>
1 RB E
c R= ×
�
� �
• Por outro lado, para pontos na direção ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥ ao movimento da carga (θθ = = ππ//22), a intensidade do campo será:
• Concluindo: há então uma tendência das linhas de campo elétrico concentraremconcentrarem--sese na direna direçção ão ⊥⊥ ao movimento ao movimento da cargada carga(com velocidade constante).
• O campo , por outro lado: ( 0)B a =�
sempre! para qualquer v!
xq
E�
v�
posição retardada ⇒ quero escrever na posiposiçção ão presentepresente
0
2
2
3*2220
22
( )
1| |
41 sin
a
vq cE
Rv
c
πεθ
=
−=
−
�
• Note ainda que a intensidade do campodiminui em pontos que se encontram ao longo da direção de movimento.
(dependência com sin2 θ)
rr v tR
R R
−=
�� �
⇒
( )*
1,
R vB r t E E
c R c
= × + ×
��
� � �� ( ) ( )2
1,B r t v E
c= ×
� �� �
=0
• Como:
• Então:
parapara q q pontualpontual,,ctecte (MRU)(MRU)v�
• Ou seja, as linhas de força de têm direção de (Verifiquem!)B�
eφ
x
B�
v�
⇒
�
( )*
1r
RR c
r tR
vt v t
==
= −
+
−
�
��� � �
1 RB E
c R
= ×
�
� � ( )( )
2
2
32 2
02
2
*
*2 *0
1
4
1
,
sina
vq RcE r tR Rv
c
πεθ
=
−=
−
�
��
q
⇒
x
y P
t=x=0qw
�
•
x,t•
v�
r�
*R�
R�
,r rx t•
θ
*R R v
R R c= +
� ��
0
1 RE
c RS E
µ
×
= ×
�
�� �
• Vamos calcular agora a Potência IrradiadaPotência Irradiada por carga pontual, com trajetória qualquer:
• No entanto, como já discutimos, não é toda energia associada aos campos que constituirá os “Campos de Radiação”; uma parte representa o campo que acompanha a carga enquanto ela se move.
( )0
2
1
E
R RE E E E
c R Rµ=
= ⋅ − ⋅
� �
� � � �
���
• Ou seja, a energia irradiada é aquela que efetivamente propaga-se para o infinito.
• Vamos então calcular a Potência Irradiada pela carga, no instante tt
rr, considerando casca esférica imaginária, de raioraio RR
(centrada na posição retardada) e esperar para calcular o fluxo de , no instante tt, através da casca esférica.
rRt t t
c∆ = − =
S�
( ) ( ){ }B A C C A B⋅ − ⋅=� � � �� �
• Agora, como elemento de área dA ∝∝∝∝ R2 ⇒ somente os termos de é que “sobrevivem” quando faço R →→→→ ∞∞∞∞ .
2
1S
R∝�
• Isto significa, nas expressões gerais de e , que somente o somente o termo que envolve termo que envolve aceleraaceleraççãoão constituirá a Parte de RadiaParte de Radiaççãoão!
E�
B�
cRu v
R= −
�
� �• Isto porque não depende de não depende de RR (módulo)
RE⇒ ∝�
3R
[ ( ) ( )2 1 2 ,t e tv R a
�
21R
∝1R
∝
• Por isso, carga com ctecte (aa=0=0) não irradianão irradia!!v�
⇒
( )( )
( ) ( )2
3
2
04
,q R
E r t c v u R u aR uπε
= − + × ×
⋅
� �� � � �
��
1;
RB E
c R
= ×
�
� �
( )( )3
04
rad
q RE R u a
R uπε = × ×
⋅
� �� �
��
radE R ξ∝ ×�� �
0R
ER
⋅ =
�
�
⇒2
0
1rad rad
RS E
c Rµ=
�
�
R E� �
E�
R�
•
• Assim: para carga pontual aceleradaacelerada, com trajettrajetóória qualquerria qualquer!
• Agora, como
S�
na expressão de :
⇒ ⇒
⇒
( )0
2
1
E
R RS E E E E
c R Rµ≡
= ⋅ − ⋅
� �
� � � � �
���
⇒
ξ�
radE R⊥� �
• Então:
• Vamos agora calcular a intensidade da radiação ( ), de uma forma aproximada (para simplificar a álgebra), supondo:
S
cR cRu v
R R= − ≈
� �
� � ; ou seja, a velocidade de propagavelocidade de propagaçção do ão do sinalsinal é >> que a velocidade velocidade dada cargacarga:v
�
( )c v>>
( ) ( )3
04
rad BAC CABq R cR cR
E R a a RR RcR
RR
πε−
≈ ≈ ⋅ − ⋅
⋅
� �
� � �� �
�
�
3 3
04
ˆR
q R Rc e a c R a
RRR
cπε
= ⋅ −
�
� �
( )2
0cos
1
4ˆ ˆ
R Rrad
a
qE a e e a
c Rθ
πε=
⇒ = ⋅ −
�� �
���
(situa(situaçção nãoão não--relativrelativíística)stica)
(θ = ângulo entre o vetor aceleração da carga e a
direção da onda irradiada)
=
⇒
\\ ˆRe
//ˆRe
( )( )3
04
rad
q RE R u a
R uπε
= × ×
⋅
� �� �
��
2
2E E E= ⋅
� �
( ) ( )2 2 2
2
0
2
cos cos4ˆ ˆcos cos cosR R
a a
qa a e a a a e a
c R θ θθ θ θ
πε = =
= − ⋅ − ⋅ +
� �
( )2
2 22
2
0221 c sio ns
cos 2cos 14
q
ca
Rθ θ
θ θπε
= =−
= − + ���������
2 2 2
2 2 5 2
0 016
sinˆ
R
q aS e
c R
θ
π µ ε=�
~cR
uR
�
�
• No cálculo do Vetor de Poynting:
• Portanto:
; expressão válida para
(situação não-relativística)
=
=
• Como vemos, a carga não irradianão irradia na direna direçção em que estão em que estááaceleradaacelerada e a emissão memissão mááximaxima ocorre ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥ àà aceleraaceleraçção da cargaão da carga!
( ) ( )2
2
04
ˆ ˆcos cosR R
qa e a a e a
c Rθ θ
πε
= − ⋅ −
� �
( )2
0cos
1
4ˆ ˆ
R Rrad
a
qE a e e a
c Rθ
πε=
= ⋅ −
�� �
���
( )
2 2
2 3
2 2 5 2
0 0
423
16ˆ sin
rad
q aP S n dA R d d
c R
π
θ θ φπ µ ε
=
= ⋅ =∫ ∫�
�������
⇒ ⇒2 2
3
0
1
4
2
3
q aP
cπε=
Fórmula de Larmor!
• Calculando o fluxo desta energia/área-tempo através de uma casca esférica de raio R, temos a Potência Total IrradiadaPotência Total Irradiada:
⇒
2
0 0
1c
µ ε
=
para cargas com v << c, já obtida antes utilizando distribuição de cargas em torno da origem.
RELATIVIDADERELATIVIDADE
•• Teoria de Maxwell do EletromagnetismoTeoria de Maxwell do Eletromagnetismo foi publicada em 1862. Nos anos seguintes a estrutura matemática foi gradualmente desenvolvida, e os resultados comprovados experimentalmente.
• Um ponto crucial neste processo foi decidir sobre a existência (ou não) de um meio para a propagação das ondas EM: o ÉÉterter. Ele existindo, porém, se estabeleceria um sistema de referência preferencial para o estudo das leis da Física.
• Experiências com a de Michelson-Morley (1888) levaram a maioria dos cientistas a concluírem pela não-existência do Éter.
• Em 1904 Lorentz propôs uma transformação que deixava inalterada a forma das Equações de Maxwell quando descrita por dois observadores em referenciais inerciais diferentes (o que não ocorre quando aplicadas às transformações de Galileu → as equações de Maxwell não eram invariantes frente a uma transformação de Galileu) .
2
2
1
1 Vc
γ =
−
Vt�
V�
y y'
0
zz'
0'
x'
x
x=x'
• Por exemplo, supor a Explosão de um Balão (evento) em um ponto P, no instante t.
2
2
21
'
V xc
Vc
tt
−=
−
'y y=
'z z=
2
21
'Vt
Vc
xx
−=
−
(4)
(3)
(2)
(1)
• No ano seguinte Einstein consegue elaborar a Teoria Especial Teoria Especial da Relatividadeda Relatividade, partindo de dois princípios básicos:
1- As Leis da Natureza são as mesmas para qualquer ref. inercial.
2- A velocidade da luz no vácuo é c para qualquer ref. inercial.
P
Equações de Lorentz
O luz
c
fóton
O’
• Supor agora, por exemplo, que 0 e 0’ sincronizam seus relógios ao passar um pelo outro (com velocidade V), e neste instante um “flash” de luz é disparado nas origens coincidentes dos sistemas de coordenadas:
i) O observador 0 afirma que a luz propaga-se em todas as direções com velocidade c, como frentes de ondas esféricas centradas na sua origem e com raio r = ct crescente.
ii) Observador 0’ afirma o mesmo, com as ondas centradas na sua origem e com raio r’=ct’ crescente.
lanterna
c
• Note:
2 2 2 2 2 2x y z r c t+ + = ='2 '2 '2 '2 2 '2
x y z r c t+ + = =
• Isto significa dizer que, para cada observador, as frentes de onda são descritas pela equação da esfera:
2
2
1
1
;V
c
γ =
−
( )2
22 2 2 2 2
2
Vx Vt y z c t x
cγ γ
− + + = −
2 2 2 2 2 2 2 2
2x V t xVt y zγ γ γ⇒ + − + + =
( ) ( )2 22 2 2 2 22 2
221 1x y z t VcVc c
γ γ− −⇒ + + =
2 2 2 2 2x y z c t∴ + + = ≡
• Aplicando as equações de transformação de Lorentz na eqeq.(6).(6) :
(5)
(6)
⇒
2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 22
V Vc t c x c t x
c cγ γ γ= + − ⇒
eqeq. (5). (5)!
2
2
21
'
V xc
Vc
tt
−=
−'y y= 'z z=
2
21
'Vt
Vc
xx
−=
−
2
• Vamos agora determinar as eqs. de Transformação de Lorentzpara a velocidade (de um objeto que se move, para 2 referenciais inerciais)
• Considere o objeto em movimento, segundo os observadores 0 e 0’, sofrendo um deslocamento infinitesimal ⇒ tem-se variaçõesinfinitesimais nas coordenadas linha e sem linha, dadas por:
2
21
'd dx V
dt
xV
c
−=
−
'dy yd=
( )2
2
21
'
d dd
Vt xc
tV
c
−=
−
'dz zd=
(7)
(8)
(9)
(10)2
2
21
'
V xc
Vc
tt
−=
−
'y y=
'z z=
2
21
'Vt
Vc
xx
−=
−
(4)
(3)
(2)
(1)
⇒
21
dx Vdt
V dxdt
c dt
−=
−
2
'
1
xx
x
v Vv
Vv
c
−=
−
• Fazendo (7) ÷(10):
(11)
(12)' '
'y
dyv
dt=
2
2
2
1
1
Vc
dyV
dtdt
dx
c
−=
−
2
2
2
'1
1
y
x
y
Vvc
vV v
c
−=
−
• Também (8 ou 9) ÷ (10) :
xv≡
2
21
'dx Vdt
dxV
c
−=
−
( )2
2
21
; '
Vdt dxc
dtV
c
−=
−
xv≡
⇒
'dy dy= ; 'dz dz=
''
'x
dx
dtv=
⇒
yv≡
xv≡
• Analogamente:
2
2
2
'1
1
'
'
z
z
x
Vvc
c
dz
dtv
V v= =
−
−
V c<<< ( )0Vc
→• Verifique que, fazendo
caímos na Transformação de velocidade clássica de Galileu!
(13)
( )( )
0
,,
r tE r t
ρ
ε∇ ⋅ =
�� � �
↔ ( )( )
0
' ', '' ', '
r tE r t
ρ
ε∇ ⋅ =
�� �
�
( ), 0B r t∇ ⋅ =� � �
↔ ( )' ', ' 0B r t∇ ⋅ =� � �
• Pode-se mostrar que as equações de Maxwell são covariantes(variam da mesma maneira, não mudam suas formas) com relação a uma transformação de Lorentz:
(14)
(15)
⇒
⇒
( )( ),
,B r t
E r tt
∂∇× = −
∂
��
� ��
↔ ( )( )' ', '
' ', ''
B r tE r t
t
∂∇× = −
∂
��
� ��
( ) ( )( )
0 0 0
,, ,
E r tB r t J r t
tµ µ ε
∂∇× = +
∂
��
� � �� �
↔ ( ) ( )( )
0 0 0
' ', '' ', ' ' ', '
'
E r tB r t J r t
tµ µ ε
∂∇× = +
∂
��
� � �� �
(16)
(17)
• Isto porque, na realidade, estas grandezas não são iguais (para referenciais inerciais diferentes)!
( ),E B� �
• Agora isto não significa que há igualdade entre os campose ou entre densidades de carga e corrente ( ) ( ), ', 'J Jeρ ρ
� �
( )', 'E B� �
• Fica fácil perceber isso observando que se uma carga está em repouso em um referencial, no outro ela está em movimento!
• Nossa tarefa, agora, será determinar as leisleis (equações) que regem as TransformaTransformaçções dos ões dos CamposCampos →→ veremos na veremos na prpróóxima aulaxima aula
↔