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Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2017/2018

Elettromagnetismo

Induzione elettromagneticaLegge di Faraday

Lezione n. 27 – 17.04.2018

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 184

Spira in campo non uniforme• Consideriamo adesso una spira conduttrice rigidadi lato w che si muove con velocità v lungo l'asse y• C'è sempre un campo uniforme B• Il campo elettrico è nullo• Siamo in una situazione analoga a quanto già vistoper la barretta conduttrice (diapositiva ) • I due lati della spira si caricano positivamente

e negativamente• Non succede altro

• Immaginiamo adesso che il campo magnetico non sia uniforme lungo la direzione y anche se è costante nel tempo• Supponiamo la spira vincolata a muoversi parallelamente all'asse y• Sulle cariche all'interno dei lati paralleli all'asse y ( lati 2 e 4 )si esercitano forze perpendicolari al filo• Sulle cariche dei lati paralleli all'asse x (1 e 3) le forze sono lungo il filo• Calcoliamo la circuitazione della forza magnetica

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Spira in campo non uniforme

• Ancora una volta viene compiuto un lavoro sui portatori di carica del conduttore della spira• Se viene fatto un lavoro significa che è statagenerata una corrente elettrica• Nella spira è presente una forza elettromotrice

• Riscriviamo questa relazione in funzione del flusso del campo magnetico Battraverso la superficie della spira

• Consideriamo due posizioni a e b della spira a due istanti di tempo t e t + dt• Il flusso del campo magnetico è• Calcoliamo la variazione del flusso

• Confrontando con l'espressione per E


Il flusso del campo magnetico• Nel calcolo precedente abbiamo utilizzato una spira piana• La superfice che abbiamo utilizzato era anch'essa piana• Tuttavia si tratta di restrizioni non essenziali• La spira potrebbe non essere piana e la superficie

utilizzata potrebbe essere una qualunque• Ad esempio il flusso attraverso la superficie S1delimitata dal cammino C• Oppure attraverso la superficie S2

• Dimostriamo che

• Consideriamo la superficie chiusa formata da S1 + S2

• Le normali alle superfici sono verso l'esterno• Ma si ha da3 = −da2

• Nel sistema MKS il flusso si misura in Weber


Legge di Faraday• Consideriamo il circuito in figura, in una regione in cui è presente un campo magnetico B(r) indipendente dal tempo• Al tempo t il circuito è definito dal contorno C1

e dalla superficie S1

• Chiamiamo Φ(t) il flusso di B

• Il circuito è rigido e si muove con velocità v• Al tempo t + dt si sarà spostato • Al tempo t + dt il circuito è definito dal contorno C2 e dalla superficie S2

• I contorni C1 e C2 e le superfici S1 e S2 sono gli stessi ma spostati• Chiamiamo Φ(t + dt) il flusso di B nella nuova posizione

• Il flusso concatenato con C2 è lo stesso per tutte le superfici delimitate dal contorno C2 ( N.B.: diverso da C1 )• In particolare la superficie S1 + ΔS• ΔS è la superficie del "nastro" generato da C1 nel suo spostamento


Legge di Faraday• Riportiamo la relazione cha abbiamo trovato

• Pertanto il flusso al tempo t + dt è uguale …• Al flusso al tempo t (concatenato a C1)• Al flusso attraverso la superficie ΔS• Sviluppando il primo membro

• Calcoliamo il flusso attraverso ΔS• L'elemento di superficie da sulla superficie ΔS è da = vdt×dl• Il modulo di da è l'area del parallelogramma v dt dl sinα• dl è l'elemento di cammino lungo C1

• Il prodotto vettoriale assicura che da sia perpendicolare alla superficie


Legge di Faraday• Ricordiamo l'identità• Inserendo nella relazione appena trovata

• Abbiamo ricavato una relazione per la forza elettromotrice per una spira qualunque e un moto arbitrario• Osserviamo che v può essere diversa lungo il circuito e dare luogo a deformazioni• La formula è valida

anche in questo caso

• La forza elettromotrice che osserviamo è originata dal movimento della spira• Parliamo di forza elettromotrice da movimento• Vedi diapositiva 873185

Ribadiamo che in questa derivazione abbiamo assunto B indipendente dal tempo


Legge di Faraday• Immaginiamo adesso che la spira sia ferma e che a muoversi sia la sorgente del campo magnetico

• È il sistema di prima osservato in un altro sistema di riferimento inerziale• Come visto nella diapositiva • Compare una forza elettromotrice• Tuttavia la forza magnetica sui portatori di carica della spira è nulla• Nel sistema S′ è comparso un campo elettrico indotto• Un campo elettrico non conservativo

• Anche se la spira è ferma il flusso concatenato varia nel tempo• Si sposta la sorgente del campo• Anche in questo caso gli esperimenti di Faraday mostrano che la forza

elettromotrice indotta è

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Legge di Faraday• Per finire consideriamo un terzo esperimento

• In questo caso non c'è movimento• La corrente nel solenoide viene fatta variare nel tempo• Supponiamo che ci sia una tenda fra i due tavoli• Uno sperimentatore sul tavolo 2 non può stabilire se il campo magnetico varia

per effetto di un movimento o perché varia la corrente• ANCHE IN QUESTO CASO si sviluppa una forza elettromotrice nella spira• Gli esperimenti di Faraday mostrano che la forza elettromotrice indotta è


Legge di Faraday• Riflettiamo sulle differenze dei tre esperimenti descritti• Nel primo il campo magnetico non varia nel tempo ma la spira si muove• Nel secondo la sorgente del campo magnetico si muove ma la spira è ferma• È il primo esperimento visto in un altro sistema inerziale• Nel terzo non ci sono moti relativi ma il campo varia nel tempo• Un fenomeno fisico apparentemente diverso: non c'è movimento

• In tutti e tre gli esperimenti si osserva che appare una forza elettromotrice

• Che tutti e tre gli esperimenti conducano alla stessa legge sulla variazione del flusso è a prima vista sorprendente• Nel suo articolo sulla relatività ristretta del 1905 Einstein discute questo

aspetto e lo utilizza per mostrare l'esigenza dell'unificazione dei campi E eB in un'unica grandezza fisica

• Sono la relatività ristretta e il concetto di campo indipendente dai dettagli della sorgente che unificano i tre esperimenti• La relatività ristretta non era nota a Faraday … 1830 … 1905


L'equazione del rotore di E• Consideriamo adesso una curva chiusa C e stazionaria in un sistema inerziale S• In questo sistema consideriamo una superficie

A delimitata da C anch'essa stazionaria• In S sia presente un campo magnetico

B(x,y,z,t) dipendente dal tempo• La legge di Faraday ci dice che

• Utilizziamo il teorema di Stokes per il primo membro

• Ricordiamo che sia la curva C che la superficie A sono stazionarie

• La curva C (e quindi la superficie A) sono arbitrarie; pertanto

• Legge di Faraday (differenziale)• È la terza equazione di Maxwell


Variazione del flusso• Nella derivazione precedente abbiamo mantenuto costante la superficie A• Calcoliamo la variazione del flusso nel caso generale• La superficie cambia (ad esempio la curva C si muove)• Il campo magnetico dipende dal tempo• Estende il calcolo della slide al caso in cui B dipende dal tempo

• Calcoliamo il rapporto incrementale

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di secondo ordine in Δt, trascurabile


Variazione del flusso• Abbiamo pertanto

• Il secondo termine è stato calcolato nella diapositiva

• Infine

• Dal confronto con

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Variazione del flusso• La forza elettromotrice è pertanto

• Il primo termine dice che un campo magnetico variabile nel tempo induce una forza elettromotrice• Un campo magnetico variabile induce un campo elettrico• La forza elettromotrice collegata è detta "da induzione"• Il secondo termine dice che la forza di Lorentz può generare

una forza elettromotrice• Una forza elettromotrice "da movimento": campo elettromotore v×B

• Il fatto che la derivata totale del flusso descriva e in qualche modo unifichidue fenomeni fisici tanto diversi è un fatto notevole• Va inoltre notato il fatto che la forza di Lorentz e la velocità della luce facevano pensare all'esistenza di un sistema di riferimento assoluto• Legato al concetto di etere


Variazione del flusso

• Vale la pena notare che il secondo termine della formula permette di risolvere problemi per i quali non è immediato o possibile parlare di variazione di flusso• In generale questo diventa difficile se non impossibile

quando non esiste un circuito chiaramente definito• Si consideri ad esempio il sistema (disco di raggio a)• Inventato da Faraday e discusso in molti testi fra i quali Griffiths ex 7.4 e Feynman 17-2

• Il circuito in movimento è il disco ed è evidente che il flusso è costante• Tuttavia si sviluppa una forza elettromotrice come si può

vedere utilizzando il campo elettromotore ( o la forza di Lorentz Fm)

• Naturalmente questo problema ha un'ambiguità nella definizione della curva C per la definizione del circuito nella parte del disco• Occorrerebbe un modello per la conduzione


Einstein – Relatività Ristretta 1905È noto che l'elettrodinamica di Maxwell, come generalmente intesa oggi, quando

applicata a corpi in movimento, porta a delle asimmetrie che non sembrano essereconnaturate ai fenomeni.

Si consideri ad esempio l'azione reciproca di un magnete e di un conduttore. Ilfenomeno osservabile in questo caso dipende soltanto dal moto relativo del conduttore edel magnete mentre l'interpretazione usuale traccia una distinzione netta fra i due casiin cui l'uno o l'altro dei due corpi è in movimento.

Infatti, se il magnete si muove e il conduttore è a riposo allora nelle vicinanze delmagnete si sviluppa un campo elettrico che produce una corrente nelle regioni dellospazio dove si trovano le parti del conduttore.

Ma se il magnete è fermo e il conduttore si muove, nessun campo elettrico sisviluppa nelle vicinanze del magnete. Tuttavia noi osserviamo una forza elettromotricenel conduttore che dà luogo (assumendo l'uguaglianza del moto relativo dei due casidiscussi) a correnti elettriche nello stesso senso e della stessa intensità di quelleprodotte dalle forze elettriche del primo caso.

Esempi di questo tipo insieme al fallimento dei tentativi di evidenziare qualsiasimoto della Terra relativamente al "mezzo leggero" suggerisce che sia i fenomenidell'elettrodinamica che quelli della meccanica non posseggano alcuna proprietaascrivibile al concetto sistema di riposo assoluto.

A. Einstein – On the electrodynamics of moving bodies – 30 giugno 1905


Einstein – Relatività Ristretta• Come è noto Einstein risolve le contraddizioni abbandonando decisamente la teoria dell'etere e affermando i due postulati alla base della sua teoria della Relatività Ristretta

• Il principio di relatività• Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali• Questo postulato è identico a quello della relatività Galileiana• La novità sta nel fatto che "fisica" include anche l'elettromagnetismo

che in quegli anni mostrava di essere incompatibile con le trasformazioni di Galileo• Di fatto questa affermazione implica che devono esistere altre leggi di trasformazione che sono compatibili con le equazioni di Maxwell

• La costanza della velocità della luce• La velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi inerziali ed è indipendente dallo stato di moto della sorgente• Questo postulato viene anche enunciato dicendo che per ogni fenomeno

fisico esiste una velocità limite e che, sperimentalmente, la luce ha questa velocità


Legge di Lenz• Il segno meno nella legge di Faraday non è frutto di una convenzione• Ha un significato fisico molto importante che adesso approfondiamo• Consideriamo una spira in una regione con un campo magnetico con flusso Φ• Supponiamo che ci sia una variazione del campo dB• Il flusso varia e viene indotta una forza elettromotrice• La forza elettromotrice genera una corrente che a suavolta genera un ulteriore campo magnetico• Questo ulteriore campo magnetico contribuisce al flusso• Pertanto il flusso varia ancora e genera un'altra forza elettromotrice

• La fisica del fenomeno si sintetizza dicendo che non può succedere che la seconda forza elettromotrice abbia lo stesso segno della prima• Si innescherebbe un processo a valanga che violerebbe la conservazione dell'energia• Il segno meno della legge di Faraday assicura che questo non succeda

Legge di LenzIl segno della forza elettromotrice indotta è tale che la corrente indotta

crea un campo magnetico che si oppone alla variazione di flusso


Legge di Lenz• Riprendiamo in considerazione il sistema della barrettache abbiamo analizzato nella diapositiva e seguenti• Ricordiamo che il campo magnetico "entra" nel piano• Seguendo le convenzioni il flusso è negativo e vale

• Con il passare del tempo il flusso diventa sempre più negativo• Per la legge di Lenz la forza elettromotrice indotta deve

generare un flusso aggiuntivo che si oppone alla variazione di flusso• Un flusso positivo dovuto ad una corrente indotta che circolain senso antiorario

• Una corrente diretta dal basso verso l'alto, nel senso positivo delle y, nella barretta subisce una forza di Lorentz F diretta nel senso negativo delle x• Si oppone alla velocità v e tende a rallentare la barretta• Se il segno della legge di Lenz fosse opposto la forza F accelererebbe la

barretta• Una volta messa in moto la velocità aumenterebbe indefinitamente• La conservazione dell'energia sarebbe violata

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Il campo elettrico indotto• Quando il campo magnetico varia nel tempo viene indotto un campo elettrico• Il campo elettrico indotto obbedisce all'equazione di Maxwell

• Osserviamo che questa relazione vale anche se non ci sono cariche elettriche che generano il campo• Se non ci sono cariche elettriche allora si ha anche

• Ci troviamo pertanto in presenza di un campo con rotore e divergenza definiti• Per il teorema di Helmholtz, assumendo che E → 0 per r → ∞ il campo ha

una forma completamente definita• Osserviamo che obbedisce a equazioni formalmente identiche a quelle di un

campo magnetico con la sostituzione

• In alcuni casi possiamo trovare il campo elettrico indotto con i metodi già utilizzati per trovare il campo magnetico (simmetria e legge di Ampère)


Il campo elettrico indotto• Consideriamo ad esempio il caso di una regione limitata dello spazio in cui sia presente un campo magnetico uniforme ma dipendente dal tempo• Supponiamo che il campo sia presente solo all'interno

della regione circolare (cilindrica) indicata in figura• Ad esempio un solenoide di raggio a• Poiché ∇⋅E = 0 le linee di campo sono chiuse

come quelle del campo magnetico• Il problema ha simmetria cilindrica e quindi le

linee di campo sono circonferenze concentricheall'asse del solenoide• Possiamo usare la "legge di Ampère"

• Calcoliamo il campo ad un raggio r < a

• Per r > a


Apparente paradosso: momento angolare• Consideriamo ancora il sistema dell'esempio precedente• Un solenoide di raggio a, un campo magnetico B• Consideriamo adesso un anello di carica di raggio b• L'anello ha una densità lineare di carica λ• Supponiamo adesso che il solenoide venga "spento" e che il campo ritorni a zero• Abbiamo visto che la variazione nel

tempo di B genera un campo elettrico• La forza su un elemento di carica dλ è

• Il momento della forza è (verso l'alto per dB < 0)

• La variazione del momento angolare è

• L'anello comincia a ruotare; ha acquistato momento angolare• Da dove ha guadagnato momento angolare?• NB: fuori dal solenoide (molto lungo) B è sempre nullo


Generatore di corrente AC• Supponiamo di avere una spira quadrata di lato w parallelaal piano x−z che può ruotare intorno all'asse z• La spira è in una regione dove è presente un campo

di induzione magnetica B uniforme diretto lungo y• Osserviamo la proiezione della spira sul piano x−y• Al tempo t la normale alla spira forma un angolo α(t) = ωt con la direzione del campo magnetico• Il flusso attraverso la spira è

• Poiché il flusso varia nel tempo nella spira compare una forza elettromotrice indotta

• Se la spira è collegata ad unaresistenza R


Pick-up chitarra elettrica• La potenza dissipata nella resistenza è• Per mantenere in rotazione la spira

occorre fornire una potenza equivalente• Un'altra applicazione dell'induzione sono i trasduttori elettromeccanici• Trasformano vibrazioni meccaniche in impulsi elettrici• Microfono, pick-up chitarra elettrica ….• Le corde sono di materiale ferromagnetico• "Catturano" il campo di induzione magnetica (lo vedremo)• Deformano il campo del magnete permanente• Generano una variazione di flusso nella bobina

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