Elettromagnetismo Applicato

III appello - Prova scritta 11 febbraio 2015

1. L’espressione istantanea di un campo elettrico di un segnale che si propaga in un mezzo senzaperdite avente indice di rifrazione pari a 1.5 e data da:

E(z, t) = 50 cos(30× 106t+ βz)ımV/m.

Si determinino nell’ordine: (a) la direzione di propagazione, (b) la velocita di fase vp, (c) lafrequenza ν, (d) la costante di fase β, (e) la lunghezza d’onda λ, (f) il fasore campo elettricoE(z), (g) il fasore campo magnetico H(z), (h) l’espressione del vettore di Poynting S(z). Nonsi dimentichi di indicare sempre la direzione dei vettori e le unita di misura.

2. Una linea senza perdite a 50Ω con dielettrico che ha εr = 2.56 e terminata su un circuitoaperto. Quanto deve essere lunga perche la sua impedenza di ingresso sia equivalente a quelladi un condensatore da 15 pF alla frequenza di 100MHz? Si suggerisce l’utilizzo della Carta diSmith.

3. Una linea di trasmissione con ammettenza caratteristica Y0 = 0.02 e connessa ad un carico conammettenza YL = 0.06− j0.02. Utilizzando la Carta di Smith, si trovino le possibili posizionie lunghezze di uno stub in parallelo necessario per adattare la linea.

4. Data una linea in aria e senza perdite, lunga 12m con Z0 = 50Ω, chiusa su un carico ZL = 25Ω,si disegni il diagramma a rimbalzo per la tensione V (z, t) supponendo la linea alimentata daun gradino di tensione applicato in t = 0 da un generatore con Vg = 12V e Zg = 50Ω. Quantovale la tensione sul carico a 80ns?

5. Un radar operante a 10GHz e realizzato con un antenna parabolica con efficienza d’aperturaϵap = 0.85 che eroga una potenza di 200 kW . Il rendimento dell’antenna e unitario e la suasensibilita in ricezione e −90 dBm. L’antenna deve essere in grado di rilevare bersagli consezione radar pari a 1.5m2 a una distanza di 150 km. Calcolare: (a) il minimo guadagnod’antenna necessario, espresso in dB; (b) il corrispondente diametro dell’antenna parabolica.

6. Si consideri un’antenna log-periodica, con passo logaritmico τ = 0.8, costituita da quindicidipoli a λ/2 di cui il piu lungo misura l1 = 170 cm. Determinare la banda di funzionamentodell’antenna.

7. Un’antenna parabolica a rendimento unitario ed efficianza dell’apertura εap = 0.75, ha unguadagno G = 185 = 22.67 dBi a ν = 3GHz. Si determini il suo diametro e la direttivita indBd.

Risposte ai quesiti

Esercizio 1

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

(a) (b)

Esercizio 6

Esercizio 7

Risposte

1. (a) L’onda si propaga in direzione −z.(b) La velocita di fase e: vp =

3×108

1.5= 2.0× 108m/s.

(c) La frequenza vale ν = 4.77MHz.(d) β = ω

vp= 30×106

2.0×108= 0.15 rad/m.

(e) λ = 2π/β o anche λ = vp/ν da cui λ = 41.9m.(f) Il fasore campo elettrico e dato da: E(z) = E0 e

+jβz ı = 50 e+j0.15 z ı mV/m.(g) Il fasore campo magnetico H(z) e ottenibile da:

H(z) =1

ηz × E(z) =

1

ηE(z)(−ȷ) = −50× 10−3

377/1.5e+j0.15 z ȷ = −200 e+j0.15 z ȷ µA/m.

(h) Infine il vettore di Poynting complesso e dato da:

S(z) =1

2E(z)×H

∗(z)

=1

250 e+j0.15 z ı mV/m × (−200) e−j0.15 z ȷ µA/m

= −5 z µW/m2.

2. L’impedenza di ingresso normalizzata della linea vale:

zi = −j1

ωC Z0

= −j2.12.

Ruotando sulla Carta di Smith dal punto di circuito aperto verso il generatore, ovvero insenso orario, fino ad incontrare la reattanza x = −2.12, si percorre un arco di circonferenza dilunghezza

l = 0.32λ− 0.25λ = 0.07λ.

Essendo λ = vp /ν = 1.875m, si ottiene l = 0.07 · 1.875 = 13.12 cm.

Alternativamente si puo risolvere l’esercizio per via anlitica come segue. La costante di propagazioneβ vale:

β =ω

vp=

2πν

vp=

2πν√εr

c0=

2π × 108√2.56

3 · 108= 3.35 rad/m.

L’impedenza di ingresso di una linea in circuito aperto e data da Zi = −jZ0cotgβl e dovendoessere di tipo capacitivo si puo scrivere:

−jZ0cotgβl = −j1

ωC

da cui

βl = arccotg1

ωC Z0

= arccotg(2.12) = arctg(1

2.12) = 0.44 rad.

La lunghezza cercata e quindi:

l =0.44

β=

0.1558

3.35= 13.15 cm.

3. Il carico normalizzato vale yL = YL/Y0 = 3− j. Posizionandolo sulla carta di Smith e ruotandoa modulo del coefficiente di riflessione costante, si interseca la circonferenza g = 1 nei puntiper cui si ha yA = 1− j1.3 e yB = 1 + j1.3.Soluzione con stub induttivo: la sezione della linea corrispondente a yA si trova ad una distanzadal carico pari a 0.3290λ − 0.2675λ = 0.0615λ. Qui lo stub deve presentare un’ammettenzanormalizzata di +j1.3 e pertanto deve essere lungo 0.25λ+ 0.145λ = 0.395λ.Soluzione con stub capacitivo: la sezione della linea corrispondente a yB si trova ad una dis-tanza dal carico pari a 0.5λ − (0.2675λ − 0.1710λ) = 0.4035λ. Qui lo stub deve presentareun’ammettenza normalizzata di −j1.3 e pertanto deve essere lungo 0.3550λ−0.25λ = 0.1050λ.

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4. I dati del problema permettono di ottenere:

ϱL =ZL − Z0

ZL + Z0

=25− 50

25 + 50= −1

3;

ϱg =Zg − Z0

Zg + Z0

=50− 50

50 + 50= 0;

T =L

vp=

12

3 · 108= 40ns;

V +1 =

VgZ0

Zg + Z0

=12 · 5050 + 50

= 6V.

L’onda riflessa di ampiezza V −1 = 6 (−1/3) = −2V viene completamente assorbita dal genera-

tore e il diagramma a rimbalzo termina dopo 80ns.Sul carico si sommano l’onda diretta e quella riflessa fornendo un valore di 4V .

5. Dai dati forniti si ricavano immediatamente λ = 0.03 m e PR,min = 10−12 W.(a) Il minimo guadagno di antenna necessario si ricava invertendo la formula del radar:

Gmin =

√PR,min

PT

(4π)3 R4

λ2 σT

=

√10−12

2 · 105(4π)3 (150 · 103)4

0.032 · 1.5= 60976

da cui Gmin = 10Log(60976) = 47.85 dB.(b) Essendo il rendimento dell’antenna unitario, l’area efficace vale:

Aeff =λ2G

4π=

0.032 · 609764π

= 4.37m2

da cui:

Apar =Aeff

ϵap=

4.37

0.85= 5.14m2

dpar = 2

√Apar

π= 2

√5.14

π= 2.56m

6. La lunghezza dell’elemento piu corto e data da:

l1 = l10 τN−1 = 1.7 0.814 = 0.075m

da cui la lunghezza d’onda a cui risuona l’elemento piu corto che e λ = 0.15m.Le due frequenze che definiscono la banda di funzionamento dell’antenna sono quindi:

νmin = c/(2 · l10) = 88MHz

νmax = c/(2 · l1) = 2GHz.

7. Ricordando la relazioneAeff

D=

λ2

4π,

si ha:

Aeff =Dλ2

4π= 0.147,

da cui Ageom = Aeff/εap = 0.1963. Il diametro vale quindi 0.5m.La direttivita infine e D = 22.67− 2.14 = 20.53 dBd.

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