1

ElettromagnetismoElettromagnetismo● sostanze come il vetro o l'ambra strofinate con un materiale tipo seta o pelliccia acquistano la capacità di attirare piccole quantità di altre sostanze, quali carta o sughero

➘ questo fenomeno è la manifestazione della elettricitàelettricità, una delle forze fondamentali della natura

● analogamente, la capacità di alcuni metalli di attirare sostanze ferrose è la manifestazione del magnetismomagnetismo

2

ElettrElettricitàicità● supponiamo di strofinare un pezzetto di seta su di una bacchetta di vetro

la bacchetta di vetro attira un pezzetto di carta

se appendiamo la bacchetta ad un filo in modo di lasciarla libera di ruotare e le avviciniamo una seconda bacchetta, strofinata nello stesso modo, le due bacchette si respingeranno a vicenda

3

ElettricitàElettricità● se invece le avviciniamo una bacchetta di plastica strofinata con della pelle le bacchette si attraggono

4

Elettricità (cont.)Elettricità (cont.)● questo comportamento si spiega in termini di cariche elettriche:

– l'operazione di strofinamento produce cariche elettriche sulla bacchetta

● si osserva che

➯cariche dello stesso segno si respingono

➯cariche di segno opposto si attraggono

➠per convenzione la carica assunta da ebanite, ambra e altre sostanze resinose è definita negativanegativa, positivapositiva quella assunta dal vetro

5

Induzione ElettrostaticaInduzione Elettrostatica● supponiamo adesso di mettere in contatto una bacchetta elettrizzata con una asta metallica che abbia collegate ad una estremità due foglioline d'oro e questa estremità sia chiusa in una ampolla in cui è stato creato il vuoto

– le foglioline si allontanano

➯questo fenomeno può essere spiegato dal fatto che le foglioline assumono la stessa carica elettrica

➠ se stacchiamo la bacchetta di vetro le foglioline rimangono distanziate tra loro

6

Induzione Elettrostatica (cont.)Induzione Elettrostatica (cont.)● la bacchetta cede una parte di carica elettrica all'asta metallica e la carica si distribuisce sull'asta

➯in questo caso abbiamo elettrizzazione per contatto

– tale carica rimane sull'asta nel momento in cui la bacchetta viene allontanata

7

Induzione ElettrostaticaInduzione Elettrostatica● supponiamo ora di ripartire dalla condizione in cui le foglioline sono vicine e avviciniamo la bacchetta all'estremità libera senza però che venga in contatto con l'asta:

– le foglioline si allontanano tra loro

● allontaniamo la bacchetta:

– le foglioline si avvicinano

8

Induzione Elettrostatica (cont.)Induzione Elettrostatica (cont.)● la carica positiva della bacchetta di vetro

– attira cariche negative sull'estremità vicina dell'asta

– respinge le cariche positive verso l'altra estremità dell'asta (provocando l'allontanamento delle foglioline)

– nel momento in cui allontaniamo la bacchetta di vetro le cariche positive e negative si attirano reciprocamente, si ricombinano formando nuovamente un oggetto elettricamente neutro

➯in questo caso abbiamo una elettrizzazione per elettrizzazione per induzioneinduzione

☛ il processo di carica di un corpo si chiama elettrizzazioneelettrizzazione

9

ElettromagnetismoElettromagnetismo● l'elettromagnetismo (la teoria che unisce elettricità e magnetismo) è una delle forze fondamentali della natura:

➠forza gravitazionale

➠elettromagnetismo

➠forza nucleare (cromodinamica quantistica, QCD)

➠forza debole

☞è responsabile della struttura della materia

● attualmente si è arrivati ad una descrizione unitaria dell'elettromagnetismo e della forza debole, ci sono indicazioni che anche la QCD potrebbe essere integrata con le precedenti

10

AtomoAtomo● la materia è costituita da molecolemolecole:

● la molecola è il frammento più piccolo di una sostanza identificabile come tale

● le molecole a loro volta sono costituite da atomiatomi, che sono la componente più piccola di un elemento

● una molecola d'acqua (H2O) è costituita da due

atomi di idrogeno (H) e da un atomo di ossigeno (O)

● un atomo è costituito da un nucleonucleo centrale, compatto e denso, attorno al quale orbitano gli elettronielettroni

➛particelle molto più leggere del nucleo

➛con carica elettrica negativa

11

● si può assumere che l'atomo abbia una forma sferica

➟ questo non corrisponde alla realtà

– il raggio tipico di un atomo è dell'ordine di 10-10 m

● anche per il nucleo si può assumere una forma sferica, il suo raggio è dell'ordine di 10-15 m

➠questa è una visione classicaclassica dell'atomo, la fisica quantistica ci dice che gli elettroni non percorrono orbite ben definite (come i pianeti) ma formano delle specie di nuvole attorno al nucleo

AtomoAtomo

12

Atomo (cont.)Atomo (cont.)● il nucleo, a sua volta, è costituito da altre particelle più piccole:

● protoniprotoni

● neutronineutroni

– i protoniprotoni sono particelle di carica positiva, hanno la stessa carica degli elettroni (in modulo)

– i neutronineutroni sono particelle prive di carica elettrica (come suggerisce il nome) simili ai protoni per dimensioni e massa

☞neutroni e protoni non sono particelle elementari, sono a loro volta costituite da altre particelle, chiamate quarkquark

☞gli elettroni (per quanto ne sappiamo) sono particelle elementari

13

Atomo (cont.)Atomo (cont.)● un atomo è tenuto assieme dalla attrazione elettrica che c'è tra gli elettroni e i protoni

● protoni e neutroni sono tenuti assieme dalla forza nucleare

● un nucleo può essere formato da un certo numero di protoni, i quali, avendo la carica elettrica dello stesso segno, tenderebbero a respingersi

➙la forza nucleare ha una intensità molto maggiore la forza nucleare ha una intensità molto maggiore di quella elettricadi quella elettrica

➠ normalmente gli atomi sono oggetti complessivamente neutri

➫sono costituiti da protoni ed elettroni in ugual numero

➫il numero di neutroni può variare

14

Atomo (cont.)Atomo (cont.)● un elemento è definito dal numero di protoni dell'atomo che lo costituisce

● l'idrogeno ha un nucleo composto da un protone

● l'elio ha un nucleo composto da due protoni e due neutroni

● possono esistere atomi con ugual numero di protoni ma con diverso numero di neutroni, questi vengono identificati con il termine isotopoisotopo

● il deuterio è un atomo di idrogeno con un neutrone addizionale

15

Atomo (cont.)Atomo (cont.)● ionizzazioneionizzazione: gli atomi possono perdere o acquistare elettroni

➯perdere elettroni in seguito ad una collisione con un altro corpo

➯acquistare elettroni per particolari configurazioni della nuvola di elettroni

– gli atomi carichi vengono chiamati ioniioni

➛positivipositivi quelli che hanno perso elettroni

➛negativinegativi quelli che ne hanno acquistati

● gli atomi all'interno di una molecola sono legati tra di loro dall'attrazione elettromagnetica residua

● si può immaginare che le cariche positive del nucleo e negative degli elettroni di un atomo non riescano ad annullare completamente le rispettive azioni all'esterno dell'atomo

16

ElettrElettricitàicità● la materia è quindi costituita di cariche elettriche, i corpi carichi esercitano forze reciproche

– quando strofiniamo un pezzetto di seta su di una bacchetta di vetro e osserviamo che la bacchetta di vetro attira un pezzetto di carta

☞il processo di strofinamento trasferisce una piccola quantità di carica da un corpo all'altro, alterando la neutralità di entrambi

– lo strofinamento in realtà serve ad aumentare la superficie di contatto tra seta e vetro, in modo da aumentare la possibilità che una carica elettrica passi da un corpo all'altro

17

Carica elettricaCarica elettrica● sperimentalmente R. Millikan ha dimostrato che la carica elettrica è quantizzata

– compare in multipli interi di una carica elettrica elementare e:

q = ne, n = ±1, ±2, ±3, ...

la carica elementare ha valore

e = 1.60·10-19 C

ed è una delle costanti fondamentalicostanti fondamentali della natura

18

Carica elettricaCarica elettrica● la carica elementare risulta essere la carica dell'elettrone e del protone

➯ i quarkquark hanno una carica elettrica che non è un multiplo intero di e, ma può assumere i valori ±e/3 o ±2e/3, queste particelle, tuttavia, non possono essere osservate singolarmente, ma solo in combinazioni che corrispondono a multipli interi di carica elementare

19

Carica elettrica (cont.)Carica elettrica (cont.)● quando una bacchetta di vetro viene caricata (strofinandola con un pezzo di seta) una carica positiva si accumula sulla bacchetta e una analoga quantità di carica negativa si accumula sulla seta

– lo strofinamento non crea carica, semplicemente separa cariche positive da cariche negative

Benjamin Franklin scoprì che

➠la carica elettrica si conserva la carica elettrica si conserva

➥non si è osservata nessuna violazione a questo principio

20

Misura della carica elettricaMisura della carica elettrica● se al nostro strumento con le foglioline aggiungiamo una scala graduata per misurare la deviazione delle foglioline questo è in grado di darci una stima delle forze in gioco

● questo strumento si chiama elettroscopio

– assumendo che lo spostamento delle foglioline sia proporzionale alla carica presente abbiamo un metodo per misurare la carica elettrica

➯non è il metodo che permette una misura precisa della carica

➯la carica elettrica non è una grandezza la carica elettrica non è una grandezza fondamentalefondamentale

21

Carica elettricaCarica elettrica● l'unità di misura di carica (coulomb, C) deriva dall'unità di misura della corrente elettrica (ampere, A):

● un coulomb è la quantità di carica che passa in un secondo attraverso una qualsiasi sezione di un filo percorso dalla corrente di 1 ampere

➯si è scelto l'ampere rispetto al coulomb come unità fondamentale per la maggior facilità della sua misura

22

AmpereAmpere● l'ampereampere è quella corrente costante che, se mantenuta in due conduttori rettilinei di lunghezza infinita, di sezione circolare trascurabile, e posti a 1 m di distanza, produce su ognuno di questi conduttori una forza pari a 2·10-7 N per metro di lunghezza

23

Conduttori e IsolantiConduttori e Isolanti● quando un corpo sottoposto ad elettrizzazione manifesta immediatamente la carica in tutti i punti della sua superficie (anche se l'azione elettrizzante ha interessato solamente una porzione ristretta di essa) si dice che la sostanza componente il corpo è un buon conduttoreconduttore

● quando la carica rimane localizzata, più o meno a lungo, nelle regioni in cui è stata prodotta, si dice che la relativa sostanza è un cattivo conduttore

24

Conduttori e IsolantiConduttori e Isolanti● si chiamano isolantiisolanti o dielettricidielettrici quelle sostanze che praticamente non consentono la conduzione delle cariche elettriche

➥praticamente nessun materiale è un perfetto isolante o perfetto conduttore

➙i migliori conduttori sono i metalli

➙fra i migliori isolanti ci sono:

– plexiglass

– zolfo

– ambra

➜in realtà non esiste una distinzione netta tra le due categorie

25

Conduttori e Isolanti (cont.)Conduttori e Isolanti (cont.)● se si strofina una bacchetta di rame con della lana, tenendola in mano, non è possibile caricarla perché sia la bacchetta che il corpo umano sono conduttori (anche se la qualità non è la stessa)

➯lo strofinamento produce una carica sulla bacchetta

➯la carica prodotta si muove attraverso i conduttori (bacchetta, corpo umano) raggiungendo la terra, dove viene neutralizzata

26

Conduttori e Isolanti (cont.)Conduttori e Isolanti (cont.)➫ le proprietà elettriche dei conduttori e degli isolanti sono dovute alla struttura atomica delle sostanze

– nei conduttori gli atomi sono aggregati in modo tale da formare un corpo rigido (tipicamente) in cui, però, gli elettroni più esterni sono liberi di muoversi all'interno del conduttore

● questi elettroni mobili sono chiamati elettroni elettroni di conduzionedi conduzione

– gli isolanti hanno pochissimi o nessun elettrone di conduzione

27

Legge di CoulombLegge di Coulomb● la forza elettrostatica di attrazione o repulsione di due cariche q

1 e q

2 separate da

una distanza r ha intensità

F = kq 1q 2

r2 ur

dove k è una costante che dipende dal mezzo (costante elettrostatica)

● la direzione è data dalla retta congiungente le due cariche

● questa equazione si chiama legge di Coulomblegge di Coulomb

● Coulomb determinò questa legge misurando forze elettrostatiche con una bilancia a torsione

– questa legge ha validità del tutto generale, non è stata trovata nessuna eccezione ad essa in fisica classica

28

Legge di CoulombLegge di Coulomb● la legge di Coulomb è molto simile alla legge che esprime l'attrazione gravitazionale

– la differenza è che:

➠la forza gravitazionale è solo attrattivala forza gravitazionale è solo attrattiva

➠la forza elettrostatica può essere sia attrattiva la forza elettrostatica può essere sia attrattiva che repulsivache repulsiva

– da un lato abbiamo due tipi di carica elettrica, mentre dall'altro abbiamo un unico tipo di massa

29

Legge di Coulomb (cont.)Legge di Coulomb (cont.)● per ragioni storiche si utilizza la costante k che nel S.I. viene espressa come:

la legge di Coulomb (nel vuoto) diventa:

dove

● la costante 0 viene chiamata costante costante

dielettrica del vuotodielettrica del vuoto e ha il valore di

0 = 8.85·10-12 C2/N·m2

● k va confrontata con la costante gravitazionale G (6.67 10-11 Nm2kg-2) per capire la differenza nella intensità delle forze

k =1

40

F=1

40

q 1q 2

r2 ur

1

40= 8.99⋅109N⋅m2/C 2

30

Legge di Coulomb (cont.)Legge di Coulomb (cont.)● nel caso operiamo in un mezzoin un mezzo la forza che osserviamo è sempre minore di quella in uguali condizioni nel vuoto

– la legge di Coulomb possiamo riscriverla come:

F =1

40r

q 1q 2

r2 ur

dove r è una grandezza adimensionale sempre

maggiore di 1 (costante dielettrica costante dielettrica relativarelativa)

31

Legge di Coulomb (cont.)Legge di Coulomb (cont.)● si può dimostrare che valgono i seguenti teoremi:

➜un guscio sferico di carica uniforme attrae o respinge una particella carica fuori dal guscio stesso come se tutte le cariche del guscio sferico fossero concentrate nel suo centro

➜un guscio sferico di carica uniforme non esercita alcuna forza elettrostatica su una particella carica posta entro il guscio stesso

32

Campo ElettricoCampo Elettrico● consideriamo due particelle cariche q

1 e q

2

– la legge di Coulomb ci dice quale è la forza elettrostatica che le due particelle esercitano una sull'altra

☛ come fa q1 a sapere della presenza di q

2 (e

viceversa)?

– detto in altri termini, come fa una carica ad esercitare una forza sull'altra?

➫la carica q1 genera un campo elettrico nello

spazio circostante

33

Campo ElettricoCampo Elettrico● supponiamo di avere la carica q

1 e di misurare

la forza F che essa esercita sulla carica q2

in diversi punti dello spazio, q2 la chiamiamo

carica di prova, il campo elettrico campo elettrico EE è un campo vettorialevettoriale definito come

E =Fq 2

● per definire il campo elettrico si usa una carica di prova positiva

➟il campo elettrico esiste indipendentemente dalla presenza della carica di prova

34

Linee di ForzaLinee di Forza● Michael Faraday, che introdusse il concetto di campo elettrico, pensò allo spazio attorno ad un corpo carico come riempito di linee di forza

➭ le linee di forza non hanno niente di reale, sono delle astrazionisono delle astrazioni che permettono di visualizzare i campi elettrici

➭ la relazione tra linee di forza e i vettori di campo è la seguente:

1)in ogni punto la direzione di una linea retta del campo o la direzione della tangente a una linea curva del campo indica la direzione di E in quel punto

2)le linee di forza sono tracciate in modo tale che il numero di linee che attraversano una superficie di area unitaria normale ad esse sia proporzionale all'intensità di E

35

Linee di Forza (cont.)Linee di Forza (cont.)– le linee di forza sono un espediente per visualizzare il campo elettrico

● dove le linee sono più dense E è più grande, dove sono meno dense E è più piccolo

● le linee di forza elettrica escono dalle cariche positive ed entrano in quelle negative

● le linee di forza per una distribuzione piana e uniforme di cariche positive sono parallele e distribuite uniformemente

36

● per due cariche puntiformi positive uguali le linee di forza si dispongono come in figura

Linee di Forza (cont.)Linee di Forza (cont.)

– per due cariche puntiformi uguali in modulo, una positiva e l'altra negativa, le linee di forza si dispongono come in figura

37

Campo di ForzaCampo di Forza● campo elettrico generato da una carica puntiforme q:

– prendiamo una carica di prova positiva q0 e la

poniamo ad una distanza r dalla carica q, l'intensità della forza che agisce sulla carica q0 è data dalla legge di Coulomb:

F =1

40

q q 0

r2

E = 1

40

q

r 2

– la direzione è radiale e il verso uscente

➯ dalla definizione si ricava allora che l'intensità del campo elettrico è dato da

38

Campo di ForzaCampo di Forza➭ la direzione di EE è la stessa della direzione della forza sulla carica di prova positiva, il verso è uscente se la carica è positiva, entrante se è negativa

● anche per il campo elettrico vale il principio di sovrapposizioneprincipio di sovrapposizione:

– il campo elettrico generato da una distribuzione di più cariche elettriche è dato dalla somma vettoriale dei campi elettrici generati dalle singole cariche

39

Dipolo ElettricoDipolo Elettrico● due cariche elettriche che abbiano la stessa carica q in modulo, ma segno opposto, separate da una distanza d fissata, vengono chiamate dipolo elettricodipolo elettrico

➭ il dipolo ha una importanza particolare in quanto molti atomi e molecole hanno un comportamento che può essere assimilato a quello di un dipolo elettrico

● si definisce momento di dipolo elettricomomento di dipolo elettrico il vettore pp di

➠modulomodulo pari al prodotto qd➠direzionedirezione lungo la retta congiungente le cariche

➠versoverso dalla carica negativa alla positiva

40

Dipolo ElettricoDipolo Elettrico● il campo elettrico generato dal dipolo lungo la retta congiungente le cariche, ad una distanza dal centro z≫d vale:

E = 1

20

qd

z3 = 1

20

p

z3

41

Momento di una forzaMomento di una forza● il momento di un vettoremomento di un vettore c rispetto ad un punto O è definito dal prodotto OA×c, dove A è un punto qualsiasi della retta di applicazione di c

– il punto O viene detto polopolo

– se consideriamo un altro punto A' sulla retta definita dal vettore c e spostiamo il vettore c in A' avremo:

● in generale il momento di una forza F è definito come

il cui modulo è: M = r F sin()

OA×c = OA'×c

M = r×F

42

Dipolo Elettrico (cont.)Dipolo Elettrico (cont.)● supponiamo di avere un dipolo elettrico rigido immerso in un campo elettrico E esterno uniforme e omogeneo (come in figura)

M E = r 1×F 1r 2×F 2

F 1 = F F 2 = −F

– sulle due cariche agiscono le forze F e -F, con uguale intensità ma verso opposto

– la forza netta agente sul dipolo è nulla

– il campo esercita però il momento di una forza, che risulta essere, rispetto al centro del dipolo

– r1 = -r

2, sono i raggi vettori dal centro del

dipolo alla carica positiva (1) e alla carica negativa (2) (r = d/2)

43

Dipolo Elettrico (cont.)Dipolo Elettrico (cont.)– si ricava allora

M E = 2⋅r1×F 1 = d×F

M E = dF sin = pE sin

in modulo:

44

Momento angolareMomento angolare● il vettore

è il momento rispetto al polo O della quantità di moto Q=mv e viene chiamato momento della quantità di motomomento della quantità di moto o momento momento angolareangolare

➯è perpendicolare al piano individuato da r e v

➯in generale la sua direzione e il suo modulo cambiano mentre il punto materiale si muove

LO = OP×m v = r×m v

45

Momento angolareMomento angolare● nel caso di un moto piano, se il punto O è un punto del piano di moto, la direzione di L

0

non cambia col tempo, restando perpendicolare al piano stesso

● se la traiettoria è circolare e O coincide col centro della circonferenza:

– per come è definita la velocità angolare risulta anche:

L0=mr∣v∣=mr2∣∣

L0 = mr2

46

● se prendiamo l'espressione del momento angolare e la deriviamo rispetto al tempo otteniamo:

quindi otteniamo che:

➭ ad ogni istante il momento della forza risultante agente sopra un punto materiale è uguale alla derivata rispetto al tempo del momento della quantità di moto del punto materiale

➠i due momenti sono calcolati rispetto allo stesso polo fisso

Momento angolareMomento angolare

d LO

dt=

d r×mv dt

=

= v×mvr×m a = r×m a = r×F0 M0

d LO

dt= M 0

47

EsercizioEsercizioUna monetina elettricamente neutra di massa m=3.11 g contiene una uguale quantità di carica positiva e negativa. Supponendo che la moneta sia di rame, qual'è l'ammontare complessivo della carica positiva (o negativa) della moneta?

● Ogni atomo neutro ha una carica negativa e una positiva in modulo pari a

q = Ze

dove Z è il numero atomico. Per il rame

Z = 29

la carica positiva (o negativa) complessiva è quindi

Q = NZe

dove N è il numero di atomi nella monetina, questo numero si ottiene dalla formula seguente

risulta

– N = 2.95·1022 atomi

– Q = 137000 C

N = N A

mM

numero di Avogadro, 6.02·1023

massa molare, 63.5 g/mol

48

EsercizioEsercizioSupponiamo che queste cariche siano concentrate in due punti distanti 100 m l'uno dall'altro, quale forza agisce su ciascun punto?

● qui si applica banalmente la legge di Coulomb

F =1

40Q2

r2 = 1.69⋅1016N

F G = Gm 2

r2 = 6.45⋅10−20N

49

EsercizioEsercizioTre cariche elettriche sono disposte su un segmento rettilineo ciascuna a distanza d = 0.15 m dalla vicina. Le cariche Q

1 e Q

3 hanno carica

positiva (qp = 75 nC); Q

2 ha

carica negativa (qn= 25 nC).

Determinare:

● il campo elettrico nel punto A che si trova sull'asse del sistema ad una distanza di 20 cm dal sistema di cariche

● il lavoro del campo elettrico necessario per portare una carica puntiforme q = -10 nC dall'infinito al punto A (specificare il segno)

● consideriamo un sistema di riferimento con l'asse y orientato lungo la retta congiungente le cariche el'asse x ortogonale con l'origine coincidente con la posizione di Q2

● nel punto A il campo dovuto alle cariche risulta essere (in modulo):

● Con

●

●

E2 è parallelo all'asse x

E1=E 3=1

40

q p

r12

E2=1

40

qn

r22

r12=d2x 2

r2=x

50

EsercizioEsercizio● E

1 e E

3 non sono paralleli

all'asse x

– le componenti y di E1 e

E3 sono uguali in modulo

e opposte in verso

– la somma di E1 e E

3

fornisce contributo solo lungo l'asse x

● la componente x di E1 e E

3 è:

● il modulo del campo risultante è:

E1,x=E3,x=1

40

q p

x2d2

x

d2x2

E=1

402qp

x2d2

x

d 2x2q n

x 2 =

=1

40∣q n∣

2⋅3⋅x

x 2d232

−1

x 2=

=11203N /C

51

Stampante a getto d'inchiostroStampante a getto d'inchiostro● in figura è rappresentato lo schema di funzionamento di una stampante a getto d'inchiostro

– sulla goccia viene depositata una certa quantità di carica

– la goccia carica viene fatta passare in una regione dove il campo elettrico EE è costante

– il punto sul foglio dove la goccia arriva è definito dalla quantità di carica depositata sulla goccia stessa

● la carica depositata viene regolata dagli impulsi elettrici che codificano l'immagine

– un singolo carattere richiede circa 100 goccioline

52

EsercizioEsercizioin figura è rappresentato il sistema di deflessione di una stampante a getto. Una goccia d'inchiostro di massa m = 1.3 10-10 kg con carica Q = -1.5 10-13 C penetra tra i piatti di deflessione muovendosi inizialmente lungo l'asse x con velocità v

x = 18 m/s. La

lunghezza dei piatti è L = 1.6 cm. I piatti sono carichi e generano un campo elettrico uniforme in tutta la regione E = 1.4 106 N/C. Qual'è la deflessione della goccia in corrispondenza all'estremo dei piatti?

● visto l'orientamento del campo e il segno della carica la forza è diretta verso l'alto

● la velocità vx è costante

● la velocità vy è

uniformemente accelerata con accelerazione

● gli spostamenti orizzontale e verticale sono

e quindi

ay =Fm

=QEm

y =12ay t

2 L =v xt

y =12ay

Lvx

2

=12QEm

Lvx

2

= 6.4⋅10−4m

53

Lavoro del campo elettricoLavoro del campo elettrico● calcoliamo il lavoro del campo elettrico generato da una carica Q su di una carica puntiforme q

– la forza è:

– il lavoro infinitesimo per uno spostamento dl è:

– il lavoro per andare da un punto A ad un punto B è allora

F =1

40

Qq

r2 ur

dL = F⋅d l =1

40

Qq

r2 ur⋅d l =1

40

Qq

r 2 dr

∫A

B

dL = ∫A

B

F⋅dl = ∫A

B1

40

Qq

r2 dr

=1

40Qq

1r A

−1rB

54

Energia Potenziale ElettricaEnergia Potenziale Elettrica● poiché la forza elettrostatica compie lavoro sulla carica per mezzo del campo elettrico si può dire che il campo stesso compie lavoro sulla carica

➯il lavoro su una carica di prova fra due punti è indipendente dal cammino percorso tra i due punti

➠ la forza elettrostatica è una forza conservativaconservativa

➛come la forza gravitazionale

55

Energia Potenziale ElettricaEnergia Potenziale Elettrica● analogamente al campo gravitazionale possiamo definire una energia potenziale Uenergia potenziale U per il campo elettrico:

➠il movimento di una carica elettrica sotto l'azione di una forza elettrica può essere espressa in termini di trasferimento di energia

U = U f−U i = −Lif

U =1

40Qq

1r

➙per una carica che si muove in un campo elettrico la differenza di energia potenziale fra gli estremi del moto è il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica, attraverso il campo elettrico, sulla carica stessa durante il movimento, cambiato di segno

56

Energia Potenziale (cont.)Energia Potenziale (cont.)● come nel caso dell'energia potenziale della forza peso, l'energia potenziale elettrica è definita a meno di una costante additiva

● non ha tanto importanza il valore assoluto, ma la differenza di energia potenziale

➛per convenzione si assume che, preso il punto iniziale all'infinito (∞), si assegna il valore 0 all'energia potenziale di qualunque carica in questo punto, si ottiene così:

U = U f−U ∞ = −L∞f

– l'energia potenziale U di una carica di prova q0 in qualsiasi punto è uguale all'opposto

del lavoro Lf∞ svolto sulla carica di prova

del campo elettrico mentre questa carica si sposta dall'infinito al punto considerato

57

EsercizioEsercizioUn palloncino riempito di elio, con carica q = -5.5·10-8 C, sale nell'aria verticalmente percorrendo una distanza pari a d = 520 m, da una posizione iniziale a una finale. Il campo elettrico che esiste normalmente nell'atmosfera vicino alla superficie terrestre ha un'intensità E = 150 N/C ed è diretto verso il basso. Quale è la differenza di energia potenziale del pallone tra le due posizioni?

● Il lavoro fatto da una forza (costante) è

● la forza agente è quella elettrostatica, costante sulla distanza considerata

● se assumiamo il pallone sferico e carico uniformemente si può considerarlo come una particella, la forza elettrostatica è data allora da

● il pallone ha carica negativa ed E è diretto verso il basso, F deve dirigersi verso l'alto

● il lavoro svolto dalla forza elettrostatica è positivo, la differenza di energia potenziale è:

L = F⋅d

F = q E

Lif = F⋅d = q E⋅d = −qEd == 4.310−3J

U = U f−U i = −Lif = −4.3·10−3J

58

Circuitazione del campo elettricoCircuitazione del campo elettrico● si definisce circuitazione del campo circuitazione del campo elettricoelettrico E (o più in generale di un vettore V) l'integrale su una linea chiusa

● la circuitazione di EE è nulla

– essendo il campo elettrico conservativo:

– che possiamo riscrivere

– e quindi

– da cui

circuitazione = ∮E⋅dr

∮F e⋅dr = 0

∮F e⋅dr = ∮

q E e⋅d r = 0

q∮E e⋅d r = 0

∮E e⋅d r = 0

59

Potenziale ElettricoPotenziale Elettrico● l'energia potenziale di una carica puntiforme in un campo elettrico dipende dall'intensità della carica (oltre che dal campo)

– l'energia potenziale per unità di caricaenergia potenziale per unità di carica ha un valore univoco in ogni punto di un campo elettrico, quindi l'uso di una tale quantità ci svincola dall'uso di una carica di prova

➯confronta F ⇔ E

● l'energia potenziale per unità di carica in un punto del campo elettrico viene chiamato potenziale elettrico Vpotenziale elettrico V (o semplicemente potenziale)

V =Uq 0

60

Potenziale ElettricoPotenziale Elettrico● la differenza di potenziale V fra due punti qualsiasi (iniziale e finale) in un campo elettrico è uguale alla differenza di energia potenziale per unità di carica

possiamo allora scrivere:

e questa è la definizione di differenza di differenza di potenzialepotenziale

➙l'unità di misura del potenziale elettrico è il Volt (V)

V = V f−V i =U f

q 0

−U i

q 0

=Uq 0

V = V f−V i = −Lif

q 0

61

Superfici EquipotenzialiSuperfici Equipotenziali● il luogo dei punti nello spazio aventi il medesimo potenziale è chiamato superficie superficie equipotenzialeequipotenziale

● per rappresentare il campo elettrico in una certa regione possiamo servirci di una famiglia di superfici equipotenziali, ciascuna corrispondente ad un diverso valore del potenziale elettrico

– per muovere una carica tra due punti qualsiasi di una superficie equipotenziale, non è necessario che il campo elettrico compia alcun lavoro sulla carica:

essendo Vi = V

f il lavoro è nullo

V = V f−V i = −Lif

q 0

= 0

62

Superfici EquipotenzialiSuperfici Equipotenziali● dalla definizione di lavoro

si ricava che le superfici equipotenziali sono sempre ortogonali alle linee di forza e quindi al campo elettrico

L = F⋅s = q E⋅s

63

Potenziale ElettricoPotenziale Elettrico● quanto detto in precedenza vale per forze uniformi, nel caso più generale dobbiamo prendere spostamenti infinitesimi per il calcolo del lavoro e integrare

● il lavoro infinitesimo sulla carica di prova q0 è

● il lavoro totale è

● la differenza di potenziale risulta quindi

dL = F⋅d sdL = q 0E⋅d s

Lif = q 0∫i

f

E⋅d s

V f−V i = −Lif

q 0

= −∫i

f

E⋅d s

64

Potenziale ElettricoPotenziale Elettrico● da questo possiamo dedurre che il campo elettrico E si ricava dal potenziale V mediante derivazione, ed in fatti si può dimostrare che:

E x = −∂V∂x

Ey = −∂V∂y

Ez = −∂V∂z

65

● il potenziale elettrico di una carica puntiforme q (positiva o negativa) ad una distanza r da essa è dato dalla

● per un sistema di cariche puntiformi il potenziale in un certo punto dello spazio viene dato dalla somma dei potenziali delle singole cariche:

dove ri è la distanza del punto considerato

dalla carica i-esima

– per una distribuzione continua l'ovvia estensione è:

Potenziali ElettriciPotenziali Elettrici

V =1

40

qr

V = ∑i=1

N

V i =1

40∑i=1

N q i

ri

V =1

40∫ dq

r

66

EsercizioEsercizioTre cariche elettriche sono disposte su un segmento rettilineo ciascuna a distanza d = 0.15 m dalla vicina. Le cariche Q

1 e Q

3 hanno carica

positiva (qp = 75 nC); Q

2 ha

carica negativa (qn= 25 nC).

Determinare:

● il campo elettrico nel punto A che si trova sull'asse del sistema ad una distanza di 20 cm dal sistema di cariche

● il lavoro del campo elettrico necessario per portare una carica puntiforme q = -10 nC dall'infinito al punto A (specificare il segno)

● per calcolare il lavoro calcoliamo il potenziale elettrico in A:

● la loro somma risulta:

● con

● quindi

● il lavoro è:

V 1=V 3=1

40

q p

r 1

V 2=1

40

q n

r2

r12=d2x2

r2=x

V=V 1V 2V 3=1

40 2⋅q p

r1

qn

r2

V=V 1V 2V 3=1

40 2⋅q p

d2x 2q n

x

L=−qV=−q

40 2⋅q p

d2x2q n

x

67

EsercizioEsercizioDue superfici piane equipotenziali molto vicine distano l = 0.10 mm; i potenziali elettrici ad esse corrispondenti sono V

1 = 295 V e V

2 = 300 V. Quanto vale

l'intensità E del campo elettrico nella regione compresa fra le due superfici?

● supponendo il campo uniforme nella regione possiamo, dalla definizione

e quindiV f−V i = −∫

i

f

E⋅d s = −E∫i

f

ds = −E l

E =V

l=

5V0.1mm

=5V

10−4 m= 5⋅104V /m

68

EsercizioEserciziotra due lastre piane e parallele, cariche in modo opposto, esiste un campo elettrico uniforme. Un elettrone lascia, con velocità nulla, la piastra carica negativamente e colpisce la superficie dell'altra piastra, distante 2 cm, dopo 15 ns. Calcolare:

a)il campo elettrico

b)la velocità dell'elettrone quando urta la seconda piastra

a) essendo il campo E uniforme, la forza che agisce sull'elettrone è costante

quindi l'elettrone si muove di moto uniformemente accelerato

per un moto uniformemente accelerato che parte dall'origine da fermo:

da qui possiamo ricavare E:

F = eE

a =emE

d =12at2 =

12emE t2

E =2md

et2 = 1.01⋅103N /C

a = 1.78⋅1014ms−2

69

EsercizioEserciziob) la velocità si ricava

immediatamente dalla accelerazione:

Possiamo ottenere la velocità studiando l'energia dell'elettrone; il campo elettrico è conservativo, quindi

poiché il campo è costante

e quindi

da cui ricaviamo

v = at = 1.78⋅1014ms−215⋅10−9s

= 2.67⋅106 ms−1

E k = U12mv 2 = eV

V = Ed

12mv 2 = eEd

v 2 =2eEdm

v = 2eEdm = 2.67⋅106ms−1

70

EsercizioEserciziodue sferette, ciascuna di massa m = 1.0 g, sono dotate della stessa carica elettrica (in valore assoluto e segno) e sono sospese ad un gancio mediante due fili di lunghezza l = 50 cm. A causa della interazione repulsiva tra le due cariche il sistema assume la configurazione di equilibrio della figura. L'angolo che i fili formano con la verticale è = 30°. Determinare: il modulo della forza elettrostatica tra le sfere e la carica depositata su ciascuna

● sulla singola sfera agiscono 3 forze:

– forza peso (mg)

– forza elettrostatica (Fe)

– tensione del filo (T)

● un modo per risolvere il problema è quello di considerare un sistema di riferimento “standard” come in figura

● il modo migliore è di prendere un sistema di riferimento in cui uno degli assi (y) è orientato lungo la direzione del filo e l'altro perpendicolare ad esso

71

EsercizioEsercizio● in questo sistema di

riferimento la condizione di equilibrio si ha quando la risultante di forza peso e forza elettrostatica è diretta lungo l'asse y:

– è compensata dalla tensione del filo

● dobbiamo quindi trovare la condizione per cui le componenti x di forza peso e forza elettrostatica si annullano a vicenda:

● la forza elettrostatica tra le sfere è data dalla legge di Coulomb

● dove la distanza tra le cariche è data da

quindi

● la condizione di equilibrio ci porta a

● e quindi

● la forza elettrostatica è

R = m gF e = 0,Ry ,0

P x = mgsin F e,x = −∣Fe∣cos

F e =1

40

q 2

r 2

r = 2lsin

F e =1

40

q 2

4l2sin2

1

40

q 2

4l2sin2 cos = mgsin

q 2 = 404l2sin2 mg tan

q 2 = 160l2sin2mg tan

q = 4lsin 0mg tanq = 3.97⋅10−7C

F ecos = mg sin F e = mg tanF e = 5.66⋅10−3N

72

EsercizioEsercizioUna carica elettrica q è distribuita uniformemente su di un conduttore filiforme circolare di raggio R. In figura il conduttore è in un piano ortogonale al piano del disegno; C ne è il centro e AB un diametro

0)dimostrare che il potenziale generato dal conduttore in un punto O appartenente all'asse della circonferenza a distanza r dal centro è

2)dimostrare che l'intensità del vettore campo elettrico nello stesso punto è E = 1/(4

0)q cos/(r2+R2)

essendo l'angolo indicato in figura

3)eseguire un'applicazione numerica con r = R = 20 cm e q = 1.0 10-7 C

● consideriamo un elemento di conduttore di lunghezza

su questo elemento è depositata una carica

dl = Rd

dq = RdV=1

40

q

r2R2

73

EsercizioEserciziodove

● consideriamo un elemento di lunghezza dl posizionati a , esso darà un contributo

integrando su tutta la circonferenza otteniamo

● consideriamo due elementi di lunghezza dl posizionati a e +

questi generano dei campi elettrici dE e dE' uguali in modulo

● questi due hanno:

– la componente parallela al piano dell'anello che si elimina a vicenda

– la componente ortogonale che si somma

– rimane solo la componente dEcos

dV =1

40

Rd

r 2R2

V =1

40

R2

r2R2=

1

40

q

r2R2

dE =1

40

Rdr2R2

dE cos =1

40

Rdr2R2 cos

cos =r

r 2R2

=q

2R

74

EsercizioEserciziointegrando su tutto l'anello otteniamo

E =1

40

q

r 2R2 cos =

1

40

q

r2R2

r

r 2R2

75

Flusso elettricoFlusso elettrico● definiamo flusso del campo elettricoflusso del campo elettrico EE attraverso l'elemento di superficie ds la quantità scalare

– dove n è la normale (orientata) al centro dell'elemento ds

– il flusso attraverso la superficie S è la somma di tutti i contributi infinitesimi

● se la superficie S è chiusa la normale in ciascun punto si assume, per convenzione, rivolta verso l'esterno, si parla di flusso uscente

➠il flusso si può calcolare per ogni vettore

dE = E⋅nds = E dscos

E = ∫SE⋅nds = ∫S

E cosds

76

Teorema di GaussTeorema di Gauss● teorema di Gaussteorema di Gauss per il vuoto: il flusso del campo elettrico uscente da una superficie chiusa, tracciata per intero in un campo elettrostatico, è uguale al rapporto tra la carica elettrica totale racchiusa dalla superficie e la costante dielettrica del vuoto:

– è semplice provare il teorema nel caso di una carica puntiforme e una superficie sferica concentrica con la carica

E = ∮SE⋅nds =

∑i

q i

0

E =q

40∮S

1

r2 ur⋅nds =q

40

1

r2∮Sds =

q

40

1

r2∮Sds =

q

40

1

r2 4r2 =

q

0

77

Teorema di GaussTeorema di Gauss● nel caso più generale la superficie infinitesima

è una parte infinitesima di una superficie sferica di raggio r quindi

– se la carica q è interna alla superficie

d 0 = d n⋅ur = r2d

E =q

40∮S

1

r2 ur⋅nds =q

40∮S

1

r2 r2d =

q

40∮S

d =q

404 =

q

0

78

Teorema di GaussTeorema di Gauss● nel caso la carica sia esterna alla superficie l'angolo solido d fornisce due contributi:

che nell'integrale si eliminano a vicenda

dE =q

40

1

r2 r2d =

q

40d

d'E = −q

40

1

r '2 r '2d = −

q

40d

79

Applicazione del teorema di GaussApplicazione del teorema di Gauss● intensità del campo elettrico generato da una superficie sferica uniformemente carica

– il flusso di E attraverso la superficie S'

– per simmetria il campo E è lo stesso in tutti i punti di S'

➫l'intensità del campo elettrico prodotto in un punto da una sfera carica è lo stesso che si avrebbe se la carica fosse concentrata nel suo centro

∣E ∣ = ∣q∣0

∣E ∣ = ∮S'∣E∣∣cos∣ds' = E∮S'

∣cos∣ds' = ∣E∣∮S 'ds'

∣E ∣ = ∣E∣4r2 =∣q∣0

∣E∣ =1

40∣q∣r2

80

EsercizioEserciziodeterminare il campo elettrico prodotto da un filo rettilineo infinito su cui è depositata una carica con densità lineare uniforme ● consideriamo una

superficie cilindrica di raggio r il cui asse coincide col filo carico e di altezza h

● questo cilindro racchiude la carica

● dal teorema di Gauss sappiamo che il flusso di E è

● per ragioni di simmetria il campo elettrico E è ortogonale al filo

– essendo di lunghezza infinita ogni punto è il centro del filo

● al flusso contribuisce quindi solo la superficie laterale del cilindro

– la normale alla superficie è sempre parallela al campo E

● avremo quindi

● da cuiq = h

E =h0

E = 2r hE =h0

E =

20r

81

Atomo di BohrAtomo di Bohrnel modello di Bohr dell'atomo d'idrogeno l'elettrone compie un'orbita circolare di raggio r = 0.53 10-10 m attorno al protone. Calcolare l'energia di legame dell'atomo di idrogeno.

● il raggio del protone è dell'ordine di 10-15 m, quindi possiamo ritenerlo puntiforme

il potenziale elettrico sull'orbita dell'elettrone è

l'energia potenziale è

● sull'elettrone agisce la forza di Coulomb

il moto dell'elettrone è su di una traiettoria circolare quindi

l'energia cinetica dell'elettrone è

(la velocità risulta v = 2.19 106 m/s)

l'energia totale risulta

V =e

40r= 27.2V

U = −eV = −e2

40r= −27.2eV

= −43.5⋅10−19J

F = ma =e2

40r2 = 8.21⋅10−8N

ma = mv 2

r=

e2

40r2

12mv 2 =

12

e2

40r= 13.6eV

E T = E kU =12

e2

40r−

e2

40r

= −12

e2

40r= −13.6eV

= −21.8⋅10−19J

82

Atomo di BohrAtomo di Bohr● l'energia totale è negativa

– l'energia potenziale in modulo, è superiore a quella cinetica

il sistema è quindi legato con energia di legame pari a -13.6 eV

● se si vuole separare l'elettrone dal protone bisogna portare l'elettrone all'infinito con velocità nulla all'infinito

– la sua energia all'infinito è nulla, quindi

● questa è l'energia di energia di ionizzazioneionizzazione

⇨ l'energia di legame non è l'energia di legame non è l'energia potenzialel'energia potenziale

UE = 0 ⇒ E = −U=13.6eV

analogo al caso del razzo