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ELETTROMAGNETISMOPunto di arrivo: Equazioni di Maxwell (vuoto)
JE
B
B
BE
E
ooo
o
tε
t
ρ/ε
0
Statica: E , B COSTANTI E , B comportamento distinto
ElettrostaticaElettrostatica0
E
E oρ/ε
MagnetostaticaMagnetostaticaJB
B
o 0
Ugual segno : REPULSIVASegno opposto : ATTRATTIVA
Ugual segno : REPULSIVASegno opposto : ATTRATTIVA
FORZE
+(–) (–)
+ –+
Carica elettrica: strofinamento panno conVetro – carica vetrosa (+)Resina – carica resinosa (–)
ELETTROSTATICA
Effetti sperimentali: forze attrattive/repulsive
• si può trasferire per conduzione da un punto ad un altro di un corpo conduttore
• si può trasferire per conduzione da un conduttore ad un altro conduttore
• si conserva
• è quantizzata: qmin = qe = 1.6e -19 Coulomb (C)
• si può trasferire per conduzione da un punto ad un altro di un corpo conduttore
• si può trasferire per conduzione da un conduttore ad un altro conduttore
• si conserva
• è quantizzata: qmin = qe = 1.6e -19 Coulomb (C)
PROPRIETA’ DELLA CARICA ELETTRICA
Conduttori
Isolanti
conduttore neutro
Carica totale indotta = 0Si ha solo una ridistribuzione
Conduttori: induzione elettrostatica
+++
++ +
+ + ++
---
-
conduttore neutro
La carica indotta sparisce se si elimina carica inducente
Conduttori: induzione elettrostatica
Ugual segno : REPULSIVASegno opposto : ATTRATTIVA
o= 8.85x10-12 F/m – S.I. (C2/ N m2)
1/4o= 9x109 m/F – S.I.
Ugual segno : REPULSIVASegno opposto : ATTRATTIVA
o= 8.85x10-12 F/m – S.I. (C2/ N m2)
1/4o= 9x109 m/F – S.I. (F=Faraday)
q2 q1
r12 F21
F12
21212
1221
o12 -
ˆ
4
1F
rF
r
LEGGE DI COULOMB (1785)Cariche puntiformi q1 q2
)x(x
)Cos(12
21 x r
)Cos( )( x 12 12 FF x
312
2121
o 2 1
)(
4
1)(
r
xxqq
xF
221
221
22121 )zz()yy()xx( r
q2
q1 r12
F21
F12
21212
1221
o12 -
4
1F
rF
r
^
F12 : su q1 da parte di q2
x
y
x
y
x1-x2
Considerazioni geometriche sul calcolo di F
)y(
)Cos(12
21
r
yy
)Cos( )( 12 12 yy FF
312
2121
o 2 1
)(
4
1)(
r
yyqqy
F
q2
q1 r12
F21
F12
x
y
x
y
Considerazioni geometriche sul calcolo di F
Analogamente per y:
)Cos( )( 12 12 zz FF
Analogamente per z:
)Cos( F )( x1j j
1jj
1jTOT 1 FF xx
11
Con più caricheq1, q2, q3.. qj .
VETTORIALE
ˆ
4
1
j2
1
1j
oTOT. 1
j
j
r
q rF
q1
1
q2
q1 q3 r12
r13
F13
F12
F1 TOT
)Cos( F )( 1j j
1jj
1jTOT 1 yyy FF 11
)Cos( F )( 1j j
1jj
1jTOT 1 zzz FF 11
Nm 108.85 22-120 C Nm 109
4
1 229
0
C
Modulo di Fisica 3 A.A. 2002/2000325 Settembre 2003
Si consideri un sistema di quattro cariche puntiformi, ognuna di carica con modulo Q2 = 2 C e con segno come in figura, fissate ai vertici di un quadrato di lato L = 10 cm. Una piccola carica di prova positiva e valore q = 1 nC è posta nel punto C, centro della configurazione a quadrato. Calcolare: la forza esercitata sulla carica di prova nel punto C. ( )
-Q2+Q2
-Q2 -Q2
q
L
C
IL CAMPO ELETTRICO
q2 qp rp2
Fp2
ppp
pp
pp q
r
q
r
qq ˆ
4
1 ˆ
4
1 22
2
2
022
2
2
02 rrF
CAMPO ELETTROSTATICOprodotto da q2 dove è qP
p
p
q2F
E ppr
q22
2
2
0
ˆ4
1r
P1
q2 r12
E (r12)
qp
)(rE r
ˆ q
4π
1
22
o
r
p
p
q2F
Più in generale:
P3 r32 E(r32)
ovvero:
)( lim0 q
q
q
FrE )( )( rErF qq
[E] = V/m (N/C)
IL CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA CARICA PUNTIFORME q
ˆr
q
4π
1 )(
2o
rrE
q positiva
pq qp
EF
Con più cariche q2, q3.. qj si avrà:
ˆ
4
1 )(
j2
1
1j
o1TOT
j
j
r
rqP
E
r13
q2
q3 r12
E3
E2
ETOT
Principio di sovrapposizione
Si consideri un sistema di due cariche puntiformi, ognuna di carica con modulo Q = +1 C fissate agli estremi di un segmento lungo L = 1 m. Calcolare il campo elettrico nel punto C, centrale e a distanza d = 2 m dal segmento.
L
d
C
Modulo di Fisica 3 A.A. 2002/2000325 Settembre 2003
Si consideri un sistema di quattro cariche puntiformi, ognuna di carica con modulo Q2 = 2 C e con segno come in figura, fissate ai vertici di un quadrato di lato L = 10 cm. Una piccola carica di prova positiva e valore q = 1 nC è posta nel punto C, centro della configurazione a quadrato. Calcolare: la forza esercitata sulla carica di prova nel punto C.
-Q2+Q2
-Q2 -Q2
q
L
C
Composizione vettoriale dei campi da ciascuna carica in ogni punto dello spazio
Composizione vettoriale dei campi da ciascuna carica in ogni punto dello spazio
_+
_+
CAMPI ELETTRICI DA DIVERSE DISTRIBUZIONI DI CARICA
+ +
_+
dipolo elettrico
V
d ˆ
4
12
o1 V
r
r
E
dV
P1r
dˆ
4
12
o1 V
rd
r
E
Distribuzione continua di carica in volume V
V
),,( d
dqzyx
),,( zyxV
Più in generale:
V
dVr
2
0
ˆ
4
1 rrE
r1
O
FCoul
P1
q2
q1
.
.
LAVORO ESEGUITO DAL CAMPO ELETTRICO
ˆ
4
12
12
1221
o12 r
qq rF
Forza centrale
dl r
P
.q1
FCoul
r
r
P
P Coul.Coul dr
qq d L
11
221
o.
ˆ
4
1 l
rlF
dr ˆ dlrdlr̂
dr
rr
r
drqqL
r
r
Coul
11
4
4
1
1o
212
21
o1
LAVORO ESEGUITO DAL CAMPO ELETTRICO
r1
O
FCoul
P1
q2
q1
.
. dl r
P
.q1
FCoul
rUrUrr
qqLCoul
1
1o
21 11
4
Energia potenziale
Quindi:
il campo elettrostatico E(r) è conservativo
LAVORO ESEGUITO DAL CAMPO ELETTRICO
r1
O
FCoul
P1
q2
q1
.
. dl r
P
.q1
FCoul
21
221 v
2
1 v
2
1 mmrUrULCoul
se non ci sono altre forze in gioco:
21
22
1o
21 v2
1 v
2
1
11
4 mm
rr
cioè:
LAVORO ESEGUITO DAL CAMPO ELETTRICO
21
22 v
2
1 v
2
1 mmLL extCoul
altrimenti:
0 v2
1 v
2
1 T 2
12
2 mm
quindi, nel caso in cui:
11
4
1o
21
rr
qqLL Coulext
segue che:
ENERGIA ELETTROSTATICA DISISTEMA DI CARICHE
r1
O
FCoul
P1
q2
q1
.
. dl r
P
.q1
FCoul
r1 ∞ ; U(∞)=0
Costruiamo la distribuzione cariche con q1 inizialmente all’infinito:
rUrUrr
qqLCoul
1
1o
21 11
4
r1 ∞ ; U(∞)=0
rUr
qqLL extCoul
1
4
o
21
4
1 21
o r
qqrULext
U(r) è pari al lavoro che una forza esterna Fest = - F Coul compie contro l’azione della forza del campo per portare q1 da distanza infinita a distanza r.
U(r) è pari al lavoro che una forza esterna Fest = - F Coul compie contro l’azione della forza del campo per portare q1 da distanza infinita a distanza r.
q2.
r =
q1.
r .q1
Fest = - FCoul
Fest = - FCoul 0
Fest = - FCoul
4
1
4
1 )( 21
o2
21
o r
r
drqqrU
r
U(r) è quindi pari al lavoro che compie una forza esterna Fest per costruire la distribuzione di carica q1 q2 (a distanza r)
U(r) è quindi pari al lavoro che compie una forza esterna Fest per costruire la distribuzione di carica q1 q2 (a distanza r)
q2.
r =
inizialeq1.
r .q1
finale
U(r) è anche pari al lavoro che compie la forza del campo FCoul per “distruggere” la distribuzione di carica q1 q2 ri-portando q1
all’infinto
U(r) è anche pari al lavoro che compie la forza del campo FCoul per “distruggere” la distribuzione di carica q1 q2 ri-portando q1
all’infinto
q2.
r =
iniziale
q1.
r .q1
finale
r
qqdrU
r
C21
04
1
lF
Sistema discreto di cariche : q1, q2… qj
4
1
o
carichedi
coppietutte ij
jiTOT r
qqU
4
1
2
1
io
ij ij
jiTOT r
qqU
12
21
o12
4
1
r
qqU
TOTEstTOT LUUUU 231312
13
31
o13
4
1
r
qqU
23
32
o23
4
1
r
qqU
Per il principio di sovrapposizione con più cariche q1, q2, q3:
ESERCIZIO
Si consideri il sistema di quattro cariche puntiformi, ognuna di carica con modulo Q = 2 C e con segno come in figura, fissate ai vertici di un quadrato di lato L = 1 m senza la carica di prova. Calcolare l’energia elettrostatica del sistema di cariche.
+Q 1
L
-Q 2
+Q 3-Q 4
2 cariche puntiformi q, qp
lElF d qd (P)PpP Coul.
U
Lavoro compiuto dal campo per portare qp
da P all’infinito
q
r P qp
IL POTENZIALE ELETTROSTATICO
/CJ VoltsV
è il lavoro compiuto da E per portare una carica unitaria da P all’infinito
d q
U V(P)
Pp
lE
allora definiamo:
ˆ
4
1 )(
2o r
qP
rE
q r
P V(P), E(P)
d V(P)P
lE
dalla:
per una carica puntiforme:
r
q
r
q
r
4
1 dr
4
1 V(P)
o2
o
segue:
0)V( e segue:
Potenziale di una carica positiva puntiforme
0)V(
r
q
4
1 V(P)
o
+V=cost E
Superfici equipotenziali
r1 P
q2
q1
qj
r2
rj
Sistema cariche
puntiformi
ˆ
4
1 )(
2o
j j
jj
r
qP
rE
dV
P
V
Vr
P d ˆ
4
1)(
2o
rE
),,( zyx
r
Sistema continuo di carica
V
Vr
P d
4
1)(V
o
j j
j
r
q
o4
1V(P)
ESERCIZIO
Si consideri solito sistema di quattro cariche puntiformi, ognuna di carica con modulo Q2 = 2 C e con segno come in figura, fissate ai vertici di un quadrato di lato L = 10 cm senza la carica di prova. Calcolare: a) il potenziale elettrostatico nel punto C
-Q2+Q2
-Q2 -Q2
L
C
q
Pf qp
fiCoul qq L VV V.
ifEst q qL VV V
otteniamo:
Pi
abbiamo che:
)P()P(PP fifiCoul UUL
IMPORTANTEdalla proprietà di U(P):
d q
U V(P)
Pp
lE
ricordando la definizione:
E ANCORA:dalla definizione di V(P):
d )V( d V(P)P
lErlEr
segue che:
d d
d d )V(P )V(PV
P
P
P
P
PP
lElE
lElE
f
i
i
f
ifff
B A
in generale:
d )V( )V(V lE B
AAB AB
ci sarà utile in seguito
Due cariche puntiformi positive Q = 10-4 C sono disposte ad una distanza d = 1 m. Calcolare il lavoro eseguito dalla forza coulombiana spostando una carica q = 10-6 C dal punto mediano dell’asse al punto B a distanza R = d da una delle due cariche.
ESERCIZIO
R
d
AQ
Q
B
q
PROPRIETA’ E OPERATORI DI CAMPO
Ugrad(U)
Prodotto algebrico “vettore nabla” - scalare
Operatore nabla (“vettore” ?) zyx
kji ˆˆˆ
kjiz
U
y
U
x
UUgrad
)(^ ^ ^
scalarevettore
1) Operatore gradiente1) Operatore gradiente
VE
zE
yE
xE
V
;V
;V
zyx
dalla definizione di V(r):
d )V( d V(P)P
lErlEr
segue:
IMPORTANTE
E(r) è un campo vettoriale
V(r) è un campo scalare
VE
dalle definizioni:
d )V( d V(P)P
lErlEr
segue che:
dove E = 0 ¨ V = cost.
IMPORTANTE
E(r) = 0
V = cost.
+V=cost E
+_
V=cost E
Superfici equipotenziali
_+
Es: molecola d’ acquaEs: molecola d’ acqua
+8-
----+1- -
- -
-+1- -- -
p
polare
Momento di dipolo p=qä
Momento di dipolo p=qä
_+
p
dipolo elettricodipolo elettrico
E+q -q ä
F+q
F-q
Caso E uniforme:
Le molecole polari in liquido (acqua) vengono allineate da un campo E esterno
Le molecole polari in liquido (acqua) vengono allineate da un campo E esterno
Dipolo elettrico in un campo elettrico “esterno”
Dipolo elettrico in un campo elettrico “esterno”
Ep U U minima quando p // E
Epτ Coppia meccanica che “allinea” p a E
Ftot= 0
fiEstCoul qqL L VV V .
ˆ
4
12
12
1221
o12 r
qq rF
)(PE 0
pq
lim
pq
F
d )V( lErr
RIEPILOGO ELETTROSTATICA definizioni:
rE V
Momento di dipolo p=qä
Momento di dipolo p=qä
_+
E è conservativo
RIEPILOGO: formule operative
ˆ
4
1 )(
2o
j j
jj
r
q rrE
j j
j
r
q
o4
1)V(
r
V
Vr
d ˆ
4
1)(
2o
rrE
V
Vr
d
4
1)(V
o
r
4
1
o
carichedi
coppietutte ij
jiTOT r
qqU
ˆr
q
4π
1 )(
2o
rrE
r
q
o4
1)V(
r
fiEstCoul qqL L VV V .
Epτ
d VP
PlE f
i