Elettroni nei semiconduttori

Elettroni nei semiconduttori

LM Sci&Tecn dei Materiali A.A.2014/15 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 1

Risolvendo l'eq di Schrodinger per un cristallo semiconduttore si ottiene una relazione di dispersione E-k.

Struttura a bandeInteressa soprattutto top della banda di valenza e fondo della banda di

conduzione.

Il top della banda di valenza occorre a k=0 Il fondo della banda di conduzione occorre a k=0 per alcuni semiconduttori (GaAs, InP, etc.)Per altri occorre a k≠0 (Si, Ge, AlAs, etc.)

Struttura a bande


Gap diretta → forte accoppiamento con la luceGap indiretta → debole accoppiamento con la luce

Conservazione del momento favorisce transizioni verticali

Gap Diretta intorno al minimo

*2m

22k+E=kE c

Massa efficace

Gap Indiretta intorno al minimo

t

2zy

l

xc m

k+k+

m

kk+E=kE

220x

2

2

Nel Si si hanno sei minimi equivalenti lungo l'asse

x, y, z in corrispondenza del valore 0.85,0,02π

a

m*l massa longitudinale 0.98 m

0

m*t massa trasversale 0.19 m

0


Masse effettive più «pesanti» corrispondono a bande più «larghe».E viceversa

Vicino al top della banda di valenza ci sono due curve.

Buche pesanti

Buche leggere

hhv

kE=E

2m

22

lhv

kE=E

2m

22

In tutte le espressioni ricavate fin qui occorrerà usare la massa efficace al posto della massa reale dell'elettrone m

0

Gap diretta → m* unicaGap indiretta → m*

DOS combinazione

delle diverse masse effettive

)(m

11*2

2

2 k=E

k

\

Struttura a bande

Minore il gap tra bande minori le masse efficaci

Massa efficace in banda di conduzione


t

2zy

l

xc m

k+k+

m

kk+E=kE

220x

2

2

Eq di un ellissoide di rotazione intorno a k

0

Assi a, b, b

ct

cl

EE=b

EE=a

2m

2m

dEEN=dEEEmm

=dV

mmEE=πab=V

ctl0k

tlc2

k

2/1

32

22/3

3

22/32/330

2π

2

8π

21

3

8π

3

42

22/36 tlDOS mm=m

I 6 minimi equivalenti (±x, ±y, ±z)

Massa efficace in banda di valenza

2m

22kE=kE v

dEEE

π

m=dEEN v

DOS 2/1

32

232

m dos3 / 2= (m lh

3 / 2 +m hh3 / 2 )

La banda di valenza è doppiaBuche pesantiBuche leggere

Numero di stati tra k0 e k0+dk

Buche nei semiconduttoriLa banda di valenza è completamente piena.

La banda di conduzione è vuota


T = 0 K

T > 0 K

La banda di valenza cede qualche elettrone.

Restano dei vuoti.

La banda di conduzione acquista qualche elettrone

La massa della buca è positiva (quella dell'elettrone mancante in banda di valenza sarebbe negativa)

eik

ieh

kk=k=k

Lo stato vuoto è chiamato buca, ed è considerato una particella con carica e momento -k

e

xBv+Fe=dt

dkh

h

2

221

k

E=m

0=k+kk=k e

eik

ii

EX 2.3


Calcoliamo l’energia di un elettrone e di una buca nella banda delle lacune pesanti

di un semiconduttore a k=0,1 Å-1

La massa della lacuna pesante è pari a m0/2

L’energia di un elettrone in banda di valenza è

Per cui

hhv

kE=E

2m

22

eVE=JE=E vve 0755,01021,1 20

eVE=E vh 0755,0

m0=0,91x10-30 kgħ=1,05x10-34Js

SilicioRelativamente facile da produrre

Si lavora agevolmente

Possiede un ossido naturale di alta qualità che può fungere da isolante

Bandgap indiretta di 1.11 eV (300K)

Minimo della banda di conduzione è nella direzione k= 2/a (0.85,0,0) ]

Parametro reticolare a=5.43 Å

Scarse proprietà ottiche (no laser)


Arseniuro di GallioStruttura a bande molto buona.

Non possiede un ossido che può fungere da isolante

Bandgap diretta di 1.43 eV (300K)

Il fondo della banda di conduzione è isotropo → Superfici isoenergetiche sferiche

Parametro reticolare a=5.65 Å

Ottime proprietà ottiche e di trasporto in banda di conduzione

m*=0.067 m0

m*

hh=0.45m

0 m*

lh=0.1m

0


Leghe di semiconduttoriSi possono unire alcuni semiconduttori a formare delle

leghe. (Parametri reticolari vicini)

AlxGa

1-xAs Bandgap da 1.43eV a 2.16 eV (x=0 → 0.45)


A x B 1− x

a lb =xaA+ (1−x )aB

Lega binariaA x B1−x

E lb ( k )=xE A (k )+ (1− x )E B (k )

Legge di Vegard

Ex 2.4 e Ex 2.5


Portatori intrinseciMetalli → elettroni in banda di conduzione parzialmente piena.

Densità molto alta ~1023 cm-3 Conduzione

Semiconduttori → Banda di valenza piena

Banda di conduzione vuotaNo corrente


Ma se si creano degli elettroni in banda di conduzione e delle buche in banda di valenza. (Energia termica) Corrente di carica

n densità di elettroni in banda di conduzione p densità di buche in banda di valenza

Dipende dall'ampiezza della gap e dalla temperatura

Portatori intrinseci


n densità di elettroni in banda di conduzione p densità di buche in banda di valenza

n=∫ N e (E ) f e (E ) dE dEEfEN

dEEfEN=p

hh

eh

∫∫ 1

TkE BF ≫

Approssimazione di Boltzmann

2/3

22π2

Tkm

=N

Tk

EE

eN=n

Bec

B

cF

c

Densità efficace degli stati al fondo della banda di conduzione

Massa efficace della densità degli stati

2/3

22π2

Tkm

=N

Tk

EE

eN=p

Bhv

B

Fv

v

Densità efficace degli stati in cima alla banda di valenza

n=pOgni elettrone in conduzioneha lasciato una buca invalenza

E=0,1 eV → fatt exp 0,01

∫

dE

TkEE

e

EE=n

B

F

ce

1

2m

2π

1 2/1

22

TkEE

e

TkEE

e

=f

B

F

B

Fh

1

1

1

11

Portatori intrinseci


T

E

emmTk

=p=n B

g

heB

ii

2k2π

2 4/32/3

2

Non dipendente dalla posizione di EF

Ma solo da T e proprietà intrinseche Tk

E

emmTk

=np B

g

heB

2/3

3

22π4

Legge dell'azione di massa

Nc(cm-3) N

v(cm-3) n

i=p

i (cm-3)

Si (300K) 2.78x1019 9.84x1018 1.5x1010

Ge (300K) 1.04x1019 6.0x1018 2.33x1013

GaAs (300K) 4.45x1017 7.72x1018 1.84x106

TkE+E

emm=Tk

E

e

p=n

B

vc

ehB

Fi

ii

2/3

2

/ ehB

vcFi mmTk+

E+E=E /ln

4

3

2

Densità dei portatori

La concentrazione dei portatori intrinseci diminuisce esponenzialmente con la gap di banda.

Dipende fortemente dalla temperatura. La concentrazione degli intrinseci è determinata da T: non può essere controllata esternamente

Se la concentrazione di portatori intrinseci supera un valore di 1015 cm-3 il materiale non è più adatto per dispositivi (troppo intrinsecamente conduttivo)

Interesse per semiconduttori ad alta gap (dispositivi ad alta temperatura) Diamante, SiC, ...


Ma in presenza di impurezze la situazione è molto diversa ...

Drogaggio:Donori e AccettoriPer alterare la densità degli elettroni e delle buche nei

semiconduttori e quindi ottenere valori di conducibilità maggiori, si inseriscono delle impurezze.

DONORI: Aggiungono elettroni in banda di conduzione

Atomi pentavalenti come P,As, Sb → Si o Ge.

Atomi tetravalenti come Si, Ge come sostituenti del Ga o esavalenti come S come sostituti di As → GaAs

ACCETTORI: Aggiungono buche in banda di valenza

Atomi trivalenti come B, Al, Ga → Si o Ge.

Atomi tetravalenti come Si, C come sostituenti del As o bivalenti come Be,Mg come sostituti di Ga → GaAs


Livelli di Donori e di Accettori

Per i donori abbiamo un elettrone in più che vede una carica positiva schermata dalla costante dielettrica del materiale. Problema dell'atomo

idrogenoide con massa efficace e potenziale schermato ()


rπ

e=rU

4

2

eVm

mRE=

π

meE=E

yc

ecd

2

0

0

*

22

*4

42

meVm

mR+E=E yva

2

0

0

*

Ec-E

d~10 meV

Ev-E

a ~10÷100 meV

~1÷0.1 ~ 0,1Per gli accettori abbiamo un elettrone+carica nucleare in meno. E' come se ci fosse un anti-atomo con nucleo negativo+carica positiva (buca) in più. La buca vede una carica negativa schermata dalla costante dielettrica del materiale. Problema dell'atomo idrogenoide invertito con massa efficace (m

h*) e potenziale schermato (→) . Il livello di

ionizzazione è EV e l'energia di legame è positiva

La massa per i donori è la massa efficace di conduzione

Per gli accettori è generalmente usata mhh

*

***

12

3

11

ltσ m+

m=

m

Ex 2.12


Calcoliamo le energie di livelli accettori e donori in GaAs e Si

meVE=

eVm

mRE=GaAsE

c

ycd

2,5

2

0

0

*

Per il GaAs la massa effettiva è 0,067 m0 e =13,2 0

Per il Si dobbiamo capire quale massa efficace dobbiamo usare nella espressione del livello donore La scelta giusta è di prendere la media degli inversi delle masse efficaci ovvero la massa efficace per la conduzione m

La massa effettiva è 0,26 m0 e =11,09 0

meVE=

eVm

mRE=SiE

c

ycd

25

2

0

0

*

***

213

11

tl mmm

Per i livelli accettori la questione è complicata dalla presenza delle due distinte bande di valenza. Una scelta ragionevole è di effettuare il calcolo considerando la massa effetiva di buca pesante. (0,45 per GaAs e 0,5 per Si)

meVE=GaAsE

meVE=SiE

va

va

36

48

Portatori in semiconduttori drogati

n-p≠0 Ma la legge di azione di massa è ancora valida

np=ni2

Infatti l'espressione per la densità di elettroni in banda di conduzione rimane sostanzialmente valida ma E

F cambierà con il drogaggio.

Possiamo scrivere

EF ≠ E

Fi

Il livello di Fermi si sposta verso la banda di conduzione (tipo n). L'approssimazione di Boltzmann-Maxwell per la probabilità di occupazione comincia a perdere validità.

In seguito assumeremo che tutti i donori o accettori sono ionizzati


TkEEe=

n

n BFiF

i

/ TkEEe=

n

p BFiF

i

/

2/3

22π2

Tkm

=N

dove

Tk

EE

eTk

EE

eNTk

EE

eN=n

Bec

B

FiF

B

cFi

cB

cF

c

Boltzmann

T = 0Ovvero metalli

Joyce-Dixon

W. B. Joyce and R. W. Dixon,Appl. Phys.Lett., 31, pp. 354, (1977)

http://ecee.colorado.edu/~bart/book/book/chapter2/ch2_6.htm

Soluzione numerica

Nello stato di energia più bassa dell'atomo donore, l'elettrone extra è legato. Non può condurre. L'energia di ionizzazione è però bassa e confrontabile con l'energia termica.

Popolazione dei livelli di impurezzaA bassa temperatura tutti gli

elettroni sono confinati. Freezeout

Al crescere della temperatura la frazione di donori eccitati cresce fino alla completa ionizzazione e la densità di portatori diviene uguale alla densità di donori. Regione di saturazione

A un certo punto inizieranno a crescere i portatori provenienti dalla banda di valenza


nd

n+ nd

= 1

N c

2 N d

e−(E c−E d )

k B T + 1Frazione di donori non ionizzati

Semiconduttori drogati pesantemente

Al crescere della concentrazione di dopanti la situazione può complicarsi.

Bande di impurezze

Perturbazione della forma delle bande

Restringimento della separazione di banda

Un'espressione ragionevole per tale restringimento è:


E g=−22.5( N d

1018

300T (K ) )

1 /2

meV

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