ELETTROTECNICAIngegneria Industriale

− TRANSITORI−

Dipartimento di Ingegneria e Architettura

Corso di Elettrotecnica (043IN)

a.a. 2013-14

Stefano Pastore

2

• Studieremo il transitorio nel dominio del tempo dei circuiti LDI del I ordine con sorgente costante e sorgente sinusoidale

• Come transitorio intendiamo l’evoluzione dinamica del circuito da uno stato prefissato, dovuto alle condizioni iniziali del componente dinamico, allo stato di regime, dovuto alle sorgenti indipendenti

Introduzione

• Consideriamo la seguente equazione differenziale del I ordine lineare a coefficienti costanti con condizione iniziale X0

• La soluzione generale di questa equazione differenziale è costituita da una famiglia di funzioni x(t). Si può dimostrare che esiste una sola soluzione di questa famiglia che ha come condizione iniziale X0

3

Equazione differenziale del I ordine

=

+−=

0)0(

)()()(

Xx

txtxtx s

ττ&

• Definiamo come “omogenea associata” l’equazione differenziale ottenuta ponendo a zero il termine noto xs(t) (forzante), ovvero

• La soluzione dell’omogenea associata è:

• La differenza di due soluzioni è ancora soluzione della omogenea associata

4

τ)(

)(tx

txo

o −=&

Equazione omogenea associata

τt

o eKtx−

=)(

( ) τt

eK

KKtxtx−

−=−⇒48476 '

)()( 2102

01

ττtt

eKtxeKtx−−

== 2021

01 )(,)(

• Supponiamo che x1(t) e x2(t) siano due soluzioni generali della famiglia, allora la loro differenza sarà comunque soluzione dell’omogenea associata

• Quindi

5

Differenza di soluzioni

( ) ( )τ

ττ

ττ

)()()()(

d

d

)()()(

)()()(

2121

22

11

txtxtxtx

t

txtxtx

txtxtx

s

s

−−=−

+−=

+−=

&

&

τt

o eKtxtxtx−

==− ')()()( 21

• La soluzione generale dell’equazione differenziale sarà data dalla soluzione dell’omogenea associata sommata a una soluzione qualsiasi, detta particolare, della equazione completa

• Infatti si ha

6

Soluzione generale

)()( txKetx pt

+=−

τ

( ) ττ

τ

τ

tt

pt

pt

eKeKK

txeK

txeKtxtx

−−

−

−

=−=

=

+−

−+=−

'

)(

)()()(

21

2

121

• La costante K viene determinata imponendo la condizione iniziale, ovvero:

• Da cui la soluzione generale per t ≥ 0 con condizione iniziale X0 è

7

Soluzione generale (2)

)0()0()0(

0

0p

p

xXKxKXx

−=⇒

+==

( )0

)()0()( 0

≥+−=

−

ttxexXtx p

tp τ

• Se l’equazione differenziale non contiene termine forzante, la soluzione generale con condizione iniziale X0 è:

• Questo caso corrisponde, come vedremo, alla scarica di un condensatore o di un induttore su una resistenza

8

Soluzione generale omogenea

τt

eXtx−

= 0)(

• Possiamo applicare alla parte resistiva di un circuito LDI RC del I ordine (ai morsetti del condensatore) il teorema di Thevenin

• Quindi questo semplice circuito RC riassume il comportamento di tutti i circuiti LDI RC del I ordine

9

Circuiti RC del I ordine

• Scriviamo l’equazione differenziale del circuito per t ≥ 0 e vC(0) = V0

• Definendo la “costante di tempo” come τC = ReqC [s]

• Si ottiene per t ≥ 0

10

Equazione differenziale

)(d

)(d)(

d

)(d)(

)()()(

tvt

tvCRtv

t

tvCti

tvtiRtv

CC

eqeq

C

Ceqeq

+=→

=

+=

=

+−=

0

CC

)0(

)()()(

Vv

tvtvtv

C

eqCC ττ&

• Se il circuito è omogeneo e non ci sono sorgenti indipendenti (veq(t) = 0), allora l’equazione differenziale diventa

• La soluzione rappresenta la scarica di un condensatore su una resistenza con condizione iniziale V0

11

Equazione omogenea

C

)()(

τtv

tv CC −=&

C

t

C eVtv τ−

= 0)(

• Nel caso in cui ci siano delle sorgenti indipendenti attive, la soluzione generale con condizione iniziale V0 è

• Dove la soluzione particolare vpC(t)

dipende dal tipo di sorgente

12

( )0

V )()0()( 0

≥+−=

−

t

tvevVtv pC

t

pCC

Cτ

Soluzione generale

• Possiamo applicare alla parte resistiva di un circuito LDI RL del I ordine (ai morsetti dell’induttore) il teorema di Norton

• Quindi questo semplice circuito RL riassume il comportamento di tutti i circuiti LDI RL del I ordine

13

Circuiti RL del I ordine

14

• Scriviamo l’equazione differenziale del circuito per t ≥ 0 e iL(0) = I0

• Definendo la “costante di tempo” come τL = GeqL [s]

• Si ottiene per t ≥ 0

Equazione differenziale

)(d

)(d)(

d

)(d)(

)()()(

tit

tiLGti

t

tiLtv

titvGti

LL

eqeq

L

Leqeq

+=→

=

+=

=

+−=

0

LL

)0(

)()()(

Ii

tititi

L

eqLL ττ&

15

• Se il circuito è omogeneo e non ci sono sorgenti indipendenti (ieq(t) = 0), allora l’equazione differenziale diventa

• La soluzione rappresenta la scarica di un induttore su una resistenza con condizione iniziale I0

Equazione omogenea

L

)()(

τti

ti LL −=&

L

t

L eIti τ−

= 0)(

16

• Nel caso in cui ci siano delle sorgenti indipendenti attive, la soluzione generale con condizione iniziale I0 è

• Dove la soluzione particolare ipL(t)

dipende dal tipo di sorgente

( )0

A )()0()( 0

≥+−=

−

t

tieiIti pL

t

pLL

Lτ

Soluzione generale

• La soluzione dell’omogenea associata è detta anche soluzione libera del circuito, in quanto dipende solo dalle condizioni iniziali

• Un circuito con le sorgenti indipendenti poste a zero è “stabile” se la soluzione libera tende a zero per t � ∞

• Essendo la soluzione libera uguale a

“stabile” ⇒ τ > 0

• Un circuito si dice invece instabile se: τ < 0, quindi la soluzione xo(t) � ∞

• In un circuito stabile, l’energia immagazzinata nel circuito viene dissipata fino ad annullarsi per t � ∞

• I circuiti che esamineremo saranno stabili

17

Concetto di stabilità

τt

o eXtx−

= 0)(

• Esaminiamo ora le soluzioni particolari per le funzioni forzanti

1) Costante

2) Sinusoidale

18

Soluzioni particolari

• Poniamo: veq(t) = Vs⇒ vpC(t) = Vp

Ricordando che

• Si ottiene

• La soluzione generale per t ≥ 0 è

• A regime (t→ ∞):

• Il condensatore è equivalente a un circuito aperto

19

Condensatore: sorgente costante

spC

s

C

p VVVV

=→+−=ττ

0

CC

)()()(

ττtvtv

tv eqCC +−=&

0)()(0)()()(

==→=⇒=≈

tvCtitvVtvtv

CC

sp

CC

&&

( )

−=+−=

−−+

−CC

t

ss

t

sC eVeVVeVVtvt

ττ τ 1)( C00

20

• Poniamo: ieq(t) = Is⇒ ipL(t) = Ip

Ricordando che

• Si ottiene

• La soluzione generale per t ≥ 0 è

• A regime (t→ ∞):

• L’induttore è equivalente a un corto circuito

Induttore: sorgente costante

spL

s

L

p IIII

=→+−=ττ

0

0)()(0)()()(

==→=⇒

=≈tiLtvti

Ititi

LL

spLL

&&

( )

−=+−=

−−+

−LL

t

ss

t

sL eIeIIeIItit

ττ τ 1)( L00

LL

)()()(

ττtiti

ti eqLL +−=&

• Poniamo:

veq(t) = Vs cos(ωt + ϕs) con: Vs > 0

⇒ vpC(t) = Vp cos(ωt + ϕp)

• Trattandosi di una soluzione particolare (o a regime) sinusoidale, possiamo utilizzare i fasori (valore massimo per il modulo) per il suo calcolo

21

Condensatore: sorgente sinusoidale

s

eq

eqeq

js

eqeq

pC

eVV

VCRj

VR

Cj

CjV

ϕ

ωω

ω

=

+=

+=

:dove

1

11

1

• Per la antitrasformazione, servono il modulo e la fase del fasore ottenuto

• Infine si ottiene vpC(t)

• La soluzione generale per t ≥ 0 è

22

Condensatore: sorgente sinusoidale (2)

2221 CR

VV

eq

spC

ω+=

πωϕ kCRV eqsp

C 2)(arctg +−=∠

( )pC

pC

pC VtVtv ∠+= ωcos)(

( )( )( )p

Cp

C

t

pC

pCC

VtV

eVVVtv C

∠++

+∠−=−

ω

τ

cos

cos)( 0

23

• Poniamo:

ieq(t) = Is cos(ωt + ϕs) con: Is > 0

⇒ ipL(t) = Ip cos(ωt + ϕp)

• Trattandosi di una soluzione particolare (o a regime) sinusoidale, possiamo utilizzare i fasori (valore massimo per il modulo) per il suo calcolo

Induttore: sorgente sinusoidale

s

eq

eqeq

js

eqeq

pL

eII

ILGj

IG

Lj

LjI

ϕ

ωω

ω

=

+=

+=

:dove

1

11

1

24

• Per la antitrasformazione, servono il modulo e la fase del fasore ottenuto

• Infine si ottiene ipL(t)

• La soluzione generale per t ≥ 0 è

Induttore: sorgente sinusoidale (2)

2221 LG

II

eq

spL

ω+=

πωϕ kLGI eqsp

L 2)(arctg +−=∠

( )pL

pL

pL ItIti ∠+= ωcos)(

( )( )( )p

Lp

L

t

pL

pLL

ItI

eIIIti L

∠++

+∠−=−

ω

τ

cos

cos)( 0

• Prendiamo ad esempio un circuito RC del I ordine con 2 sorgenti indipendenti

• Essendo: vs(t) = vs1(t) + vs2(t)

la soluzione particolare vpC(t) è

esprimibile come

25

Principio di sovrapposizione delle soluzioni particolari

)()()( 21 tvtvtv pC

pC

pC +=

• Dove vp1C(t) è associata a vs1(t) e vp2

C(t) è associata a vs2(t)

1) accendiamo la sorgente vs1(t) e spegniamo vs2(t) = 0. La soluzione particolare vp1

C(t) soddisfa l’equazione differenziale associata

2) accendiamo la sorgente vs2(t) e spegniamo vs1(t) = 0. La soluzione particolare vp2

C(t) soddisfa anch’essa l’equazione differenziale associata

26

Principio di sovrapposizione delle soluzioni particolari (2)

C

1

C

11 )()(

)(ττ

tvtvtv s

pCp

C +−=&

C

2

C

22 )()(

)(ττ

tvtvtv s

pCp

C +−=&

• Sommando le equazioni appena scritte, si ottiene

• E applicando la proprietà della linearità della derivata e la proprietà associativa della somma

• Risulta che la soluzione particolare associata a entrambe le sorgenti è composta dalla somma delle soluzioni particolari associate alle singole sorgenti

27

Principio di sovrapposizione delle soluzioni particolari (3)

( ) ( )

( )C

21

C

2121

)()(

)()()()(

d

d

τ

τtvtv

tvtvtvtv

t

ss

pC

pCp

Cp

C

++

++−=+

C

2

C

1

C

2

C

121

)()(

)()()()(

ττ

ττtvtv

tvtvtvtv

ss

pC

pCp

CpC

++

+−−=+ &&

28

• Per trovare le altre variabili del circuito, i condensatori vengono sostituiti con dei generatori di tensione di valore vC(t) e gli induttori con dei generatori di corrente di valore iL(t). Si ottiene così il circuito resistivo associato che può essere risolto con i metodi noti.

Circuito resistivo associato

• Esempio di applicazione: i condensatori sono sostituiti con dei generatori di tensione di valore vC(t) e gli induttori con dei generatori di corrente di valore iL(t).

29

Circuito resistivo associato (2)

30

• Parallelo di due condensatori:

Cp = C1 + C2

• Serie di due condensatori:

Cs = (C1 C2)/(C1 + C2)

• Serie di due induttori:

Ls = L1 + L2

• Parallelo di due induttori

Lp = (L1 L2)/(L1 + L2)

Parallelo e serie di C e L

31

• Un partitore di tensione realizzato con due condensatori o due induttori permette di avere un rapporto di riduzione indipendente dalla frequenza

• Elemento importante: non dissipano potenza attiva come le resistenze

• N.B. A causa del fatto che il condensatore sta al denominatore dell’impedenza, si ha l’inversione degli indici

Partitori di C e L

21

21

CC

C

V

V

s +=

• È un circuito RLC del II ordine (R, L, C > 0)

• Le variabili di stato sono vC(t) e iL(t), a cui sono associate le condizioni iniziali vC(0) e iL(0) (= i(0))

32

Circuito risonante reale serie

)()(

)()(

)()(

)()()()(

tiLtv

tvCti

tRitv

tvtvtvtv

L

C

R

CLRs

&

&

==

=++=

• Ne risulta

• Il polinomio caratteristico associato alla equazione omogenea è

33

Circuito risonante reale serie (2)

==

=

=++

⇒++=

C

I

C

iv

Vv

tvLC

tvLC

tvL

Rtv

tvtvLCtvRCtv

C

C

sCCC

CCCs

0

0

)0()0(

)0(

)(1

)(1

)()(

)()()()(

&

&&&

&&&

LCL

R

L

Rp

LCp

L

Rp

1

22 :dove

01

2

21

2

−

±−=

=++

34

• La soluzione generale per t ≥ 0 è:

• Dove k1 e k1 dipendono dalle condizioni iniziali

• La soluzione particolare viene calcolata come nel caso dei circuiti del I ordine

• Il circuito è stabile se ℜ{ p1} e ℜ{ p2} sono negative

Circuito risonante reale serie (3)

==

++=

C

IvVv

tvekektv

CC

pC

tptpC

00

21

)0(,)0(

)()( 21

&

• Per p1 e p2 sono reali �

soluzione omogenea composta da due esponenziali reali (k1 e k2 sono reali)

• p1 e p2 sono complessi coniugati se:

La resistenza deve dissipare «poca energia» rispetto a quella immagazzinata dagli elementi reattivi (z0: impedenza caratteristica)

35

Circuito risonante reale serie (4)

0

2

2201

2z

C

LR

LCL

R =<→<−

C

LR 2≥

• Se p1 e p2 sono complessi coniugati,

p1 = σ + jω, p2 = σ – jω,perché la soluzione vC(t) sia reale �

k1 = k*2 = | k1 |ejϕ

• Si trova quindi

36

Circuito risonante reale serie (5)

==++=

→+ℜ=

CIvVv

tvtektv

tveketv

CC

pC

tC

pC

tjtC

/)0(,)0(

)()cos(2)(

)(}{2)(

00

1

1

&

ϕωσ

ωσ