Os problemas do Canguru na sala de aula

Élio Mega

Jogo-concurso de Matemática Aplicado em um único dia 24 ou 30 questões na forma de testes Questões lúdicas, criativas e interessantes Questões envolvendo os grandes eixos da Matemática tradicional Questões que são mais problemas que exercícios Concurso sem caráter competitivo em sua concepção original Não há um ranking nacional

O que é o Canguru

1991 – Criação do concurso Canguru de Matemática, em Paris, inspirado pelos concursos matemáticos australianos

1994 – Criação do Canguru Sem Fronteiras, com a participação de 10 países

1996 – Aprovação dos estatutos e criação do atual formato do concurso Canguru Sem Fronteiras

2009 – Primeira participação oficial do Brasil 2011 – 46 países participantes, com mais de 5 milhões

de estudantes

Breve histórico

2009 – primeira participação oficial do Brasil, com 3 000 estudantes

2010 – cerca de 15 000 estudantes 2011 – 15 558 estudantes:

Dados Canguru Brasil

P E B C J S

0 3217 4100 3274 3266 1251

www.mathkang.org www.math-ksf.org mega.elio@gmail.com

(solicitação do regulamento 2011)

Para saber mais

Participação no Concurso Canguru• convite enviado no início das aulas às escolas já cadastradas para fazer a inscrição via e-mail• escola não cadastrada: responsável faz a inscrição no site www.opm.mat.br durante o mês de fevereiro• inscrições bem sucedidas recebem e-mail de confirmação• por volta de 20 de março, as escolas inscritas recebem os arquivos em pdf para imprimir as provas e folhas de respostas• a prova de 2012 deverá ser aplicada no dia 24 de março(continua)

Participação no Concurso Canguru• uma planilha eletrônica ficará à disposição das escolas até o final de abril para entrada dos dados dos alunos• a organização decide as notas de corte para as medalhas de ouro, prata, bronze e menção honrosa• os certificados de medalhistas são digitais – as escolas com alunos premiados os recebem via e-mail e os imprimem• não há uma classificação nacional: cada escola decide o que fazer com seus premiados (solenidades locais)

Organização e conteúdo das provas • múltipla escolha• assuntos explorados: aritmética, álgebra, geometria, lógica, contagem, algoritmos e estratégias variadas• dificuldades adequadas às faixas escolares, com adaptação para o Brasil • gradação da dificuldade (do mais fácil para o mais difícil)• maioria das questões são problemas e não simples exercícios

Fontes de problemas

As Olimpíadas de Matemática oferecem bons problemas para estudantes em nível mais avançado. As provas podem ser obtidas nos sites www.obm.org.br e www.opm.mat.br O Canguru oferece problemas de nível mais elementar, mais acessíveis a todos os alunos e podem ser encontradas no site da OBM acima. A seguir, exemplos de problemas do Canguru e sua relação com os itens do conteúdo programático do currículo brasileiro.

Problema x exercício: um exemplo

EXERCÍCIO

2 1 1Resolver a equação .

3 2

x x

PROBLEMA

2 1 1A equação tem como solução o número 5.

3 2Que operação o sinal representa?

x x

Aritmética – Operações Básicas

1. Qual dos números a seguir é par?

(A) 2009 (B) 2 + 0 + 0 + 9 (C) 200 – 9 (D) 200 × 9 (E) 200 + 9

Canguru 2009 – Benjamin – Ensino Fundamental II

19. Um agente secreto precisa decifrar um código de 6 dígitos. Ele sabe que a soma dos dígitos nas posições pares é igual à soma dos dígitos nas posições ímpares. Os números a seguir têm 6 dígitos, alguns dos quais substituídos pelo símbolo *. Qual desses números poderia ser o código?

 (A) 81**61 (B) 7*727* (C) 4*4141 (D) 12*9*8 (E) 181*2*

Aritmética – Sistemas de Numeração

Canguru 2009 – Ecolier – Ensino Fundamental I

Números Racionais - Ordem

3. Quantos números inteiros existem entre 19,03 e 2,009?

(A) 16 (B) 17 (C) 14 (D) 15 (E) mais de 17

Canguru 2009 – Benjamin – Ensino Fundamental I

Números Racionais - Representações

Canguru 2009 – Cadet – Ensino Fundamental II

Aritmética – Proporções

Canguru 2009 – Ecolier – Ensino Fundamental I

3. Quatro palitos têm 8 pontas. Quantas pontas têm seis palitos e meio?

(A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 13 (E) 14

Aritmética – Proporções

Canguru 2009 – Student – Ensino Médio (3ª série)

21. Dois corredores A e B correm ao redor de um estádio, mantendo sempre suas velocidades. O corredor A é mais rápido, levando apenas 3 minutos por volta. Os dois partiram juntos do mesmo lugar e 8 minutos depois, A alcançou B pela primeira vez. Quanto tempo leva o corredor B para dar uma volta completa? (A) 6 min (B) 8 min (C) 4 min 30 s (D) 4 min 48 s (E) 4 min 20 s

7. Sofia lançou um dado quatro vezes e obteve um total de 23 pontos. Quantas vezes ela obteve 6 pontos?

  (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

Aritmética - Divisão Euclidiana

Canguru 2009 – Ecolier– Ensino Fundamental I

18. Hoje é domingo. Francisco começa a ler um livro de 290 páginas. Ele lê 4 páginas por dia, exceto nos domingos, quando ele sempre lê 25 páginas. Lendo todos os dias, sem pular nenhum, quantos dias ele levará para ler o livro?

  (A) 5 (B) 46 (C) 40 (D) 35 (E) 41

Aritmética - Divisão Euclidiana

Canguru 2009 – Benjamin – Ensino Fundamental II

21. Há quatro afirmações sobre o inteiro positivo A:A é divisível por 5A é divisível por 11A é divisível por 55A é menor do que 10Sabe-se que duas dessas afirmações são verdadeiras e as outras duas

são falsas. Então A é igual a  (A) 0 (B) 5 (C) 10 (D) 11 (E)

55

Números Inteiros – Divisibilidade/lógica

Canguru 2009 – Benjamin – Ensino Fundamental II

12. 2009 cangurus, alguns de cor clara e outros de cor escura, comparam suas alturas. Sabe-se que um canguru claro é mais alto do que exatamente 8 cangurus escuros, outro canguru claro é mais alto do que exatamente 9 cangurus, outro claro é mais alto do que exatamente 10 cangurus, e assim por diante, até o canguru claro que é mais alto do que todos os cangurus escuros. Qual é o número de cangurus claros?

  (A) 1000 (B) 1001 (C) 1002 (D) 1003 (E)

a situação apresentada é impossível 

Álgebra– Equações Lineares

Canguru 2009 – Student– Ensino Médio

Álgebra– Sistemas de Equações

Canguru 2009 – Student– Ensino Médio

20. Na tabela 3 × 3 foram escritos números reais tais que a soma em cada linha, cada coluna e cada diagonal é a mesma. Dois desses números são mostrados na figura. Qual é o número escrito na casa com a letra a? (A) 16 (B) 51 C) 54 (D) 55 (E) 110

Álgebra– Funções - Gráficos

Canguru 2009 – Student– Ensino Médio

Álgebra– Sequências

Canguru 2009 – Student– Ensino Médio

Lógica – Conjunção/Disjunção

05. Temos três caixas: uma branca, uma vermelha e uma azul. Uma delas contém uma barra de chocolate, outra contém uma maçã e outra está vazia. O chocolate está na caixa branca ou na vermelha e a maçã não está na caixa branca nem na azul. Qual é a caixa em que está o chocolate?

(A) branca (B) vermelha (C) verde (D) vermelha ou verde (E) impossível determinar

Canguru 2009 – Benjamin – Ensino Fundamental II

Lógica - Condicional

15. Na ilha dos verazes e mentirosos, 25 pessoas esperam numa fila. Todo mundo, exceto a primeira pessoa da fila, diz que a pessoa da frente é um mentiroso. O primeiro da fila disse que todos atrás dele são mentirosos. Quantos mentirosos há na fila? (os verazes sempre dizem a verdade, ao passo que os mentirosos sempre falam mentira)

  (A) 0 (B) 12 (C) 13 (D) 24 (E)

impossível determinar

Canguru 2009 – Cadet – Ensino Fundamental II

18. Quatro problemas foram propostos a cada um dos 100 participantes de uma olimpíada de Matemática. 90 deles resolveram o primeiro problema, 85 resolveram o segundo problema, 80 resolveram o terceiro problema e 70 resolveram o quarto problema. Pelo menos quantos participantes resolveram todos os quatro problemas? (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25 (E) 30

Conjuntos – Inclusão/Exclusão

Canguru 2009 – Student– Ensino Médio

28. Seja AD uma mediana do triângulo ABC. O ângulo mede 30º e o ângulo mede 45º. Qual é a medida do ângulo ? (A) 45º (B) 30º (C) 25º (D) 20º (E) 15º

Geometria Sintética no Plano

Canguru 2009 – Junior – Ensino Médio (1ª /2ª séries)

ˆACBˆADB

ˆBAD

Geometria no Espaço/Métrica

14. Tomás construiu uma mesa usando pequenos cubos iguais, como na figura. Quantos cubos ele usou?(A) 24 (B) 26 (C) 28 (D) 32 (E) 36

Canguru 2009 – Ecolier – Ensino Fundamental I

Geometria no Espaço/Álgebra

22. O sólido representado tem 6 faces triangulares, com um número em cada vértice. A soma dos números dos vértices em cada face é igual para todas as faces. Os números 1 e 5, conforme figura, são dois dos cinco números dos vértices. Qual é a soma desses cinco números? (A) 9 (B) 12 (C) 17 (D) 18 (E) 24

Canguru 2009 – Benjamin – Ensino Fundamental II

Geometria no Espaço/Contagem

Canguru 2009 – Cadet – Ensino Fundamental II

21. Uma formiguinha caminha ao longo das arestas de um cubo, começando no ponto p na direção da seta. No fim de cada aresta, a formiguinha tem que escolher entre ir para a direita ou para a esquerda, sempre alternando a escolha. Quantas arestas a formiguinha irá caminhar até retornar ao ponto p pela primeira vez?(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 9 (E) 12

22. O jovem Canguru tem 2009 cubos , formando um bloco retangular. Ele possui também 2009 cartões adesivos que irá usar para colorir a superfície externa do bloco, sem superpor cartões. Terminada a tarefa, irão sobrar alguns cartões. Quantos?

(A) mais de 1000 (B) 763 (C) 476 (D) 49 (E) faltarão cartões para ele terminar a tarefa

Geometria no Espaço/Contagem

Canguru 2009 – Cadet – Ensino Médio (1ª e 2ª )

13. Um cubo 2 × 2 × 2 é formado por quatro cubos 1× 1 × 1 brancos transparentes e por quatro cubos 1 × 1 × 1 pretos não transparentes, como na figura. Eles estão colocados de tal forma que o cubo maior é não transparente, no sentido de que não é possível ver através dele nem do topo para a base, nem da frente para o fundo e nem da esquerda para a direita. Pelo menos quantos cubos pretos teríamos que usar para formar um cubo 3 × 3 × 3 não transparente?

(A) 6 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (E) 18

Geometria no Espaço/Visualização

Canguru 2009 – Student – Ensino Médio (3ª )