ALONSO TAKAHASHI

EL MAESTROY SU OFIeI

Palabras pronunciadas en el actode entrega del Premio Nacional

de Matemáticas 1991.

U na tarde, hace casi 2.400 años, tuvo lugar, en Atenas,la más célebre conferencia de la antigüedad.

El conferenciante era Aristocles, más conocido comoPlatón, y la exposición versaba sobre lo Bueno o, en térmi-nos que quizás se consideren hoy más platónicos, el Bien.

El relato no debe ser tomado al pie de la letra puesproviene de Aristóxeno, de quien es conocida cierta antipa-tía hacia Platón, para no hablar de su manifiesto gusto porel chisme y la maledicencia.

Sea como sea, parece que en el lugar de la conferencia secongregó la flor y nata de la intelectualidad ateniense.Asistieron los alumnos de la Academia y, naturalmente, losprincipales discípulos de Platón. Allí estaban Xenócrates,quien escribiría una obra sobre la vida del maestro; Espeusi-po, su sobrino y sucesor en la dirección de la Academia,Heráclides Póntico, el atomista y cosmólogo y, por supues-to, el fiel Aristóteles.

Es ésta la única disertación pública que se le atribuye aPlatón. Hace parte de su controvertida doctrina inédita,sobre la cual no dejó, o no nos ha llegado, nada escrito.Hay, no obstante, razones para pensar que algunas de lastesis expuestas en ella aparecen en el Filebo. También esposible que las lecciones sobre este diálogo, ofrecidas porMarsilio Ficino en su academia neoplatónica de Florencia,fueran inspiradas en la conferencia de Platón. Aristótelesconsignó su versión en un tratado en tres libros tituladoSobre lo Bueno, un ejemplar del <:ualllegó hasta Alejandrode Afrodisias, en el siglo III de nuestra era. Desde entoncessólo aparecen algunas referencias en los escritos de susdiscípulos.

Según Aristóxeno, al correrse la voz de que Platón diser-taría "sobre lo bueno", se reunió una multitud provenientede Atenas y sus alrededores esperando recibir indicacio-nes prácticas sobre cómo lograr bienes; como el poder, lariqueza, la salud y, sobre todo, la dicha y el placer. Perocuando el conferenciante empezó a hablar de matemáticas-de aritmética, geometría y astronomía- la sorpresa y eldesconcierto fueron generales, algunos no ocultaron suenojo y se retiraron sin disimulo mientras que otros, másdiscretos, empezaron a escurrirse de manera gradual. Enresumen, la audiencia fue sometida a una exposición árida

y supremamente técnica en la cual se exploraban avanza-das tesis pitagóricas y se proponían los lineamientos de unanueva ontología matemáticamente fundamentada, en lacual se identificaba el Bien con "la clase de lo determinado,concebida como unidad". Dada la admiración que Platóntenía por ls matemáticas y el lugar preponderante de la ideadel Bien, en la jerarquía de lasformas, como fuente de todolo bueno y todo lo cierto, éste pudo ser un intento defundamentar simultáneamente el Bien y el Uno, el ordenmoral y el orden intelectual. Tan audaz identificación entrevirtud y conocimiento había sido en realidad una tesissocrática en la confrontación con los primeros profesiona-les de la enseñanza: los sofistas.

La reunión, como ya habrán podido ustedes inferir, fueun rotundo fracaso. Pero, sea por ésta o por otra razónmenos adversa, la conferencia se hizo famosa en el mundoantiguo.

Diógenes Laercio, quien en su Vidas de losfilósofos másilustres no desdeñó recoger cuanta habladuría llegó a susoídos, cuenta, en lo que parece ser otra versión de la mismahistoria, que sólo Aristóteles se quedó hasta el final. Sihemos de confiar en el juicio del historiador contemporá-neo Indro Montanelli, quien, quizás sea oportuno decirlo,tiene también una lengua viperina, su actitud no se debeatribuir sólo a la admiración y al respeto. No quería perder-se una sola palabra de Platón, pues ya estaba preparandosu propio sistema filosófico, en el cual se proponía refutartodas y cada una de las doctrinas del venerado maestro.Podríamos pensar que Aristóteles se adelantó así a Popperen la identificación de los tres niveles de placer que brindatoda tesis o demostración que se nos propone: el primero esentenderla; el segundo, más noble que el primero, es poderrepetirla; y el tercero y superior consiste en ser capaz derefutarla. Sin embargo, el que ésta fuese una de sus histo-rias favoritas, después de la muerte de Platón, no deja desugerir interpretaciones menos benevolentes. Valga el co-mentario para que los conferenciantes nos cuidemos, o nosalegremos, de los asistentes muy asiduos a nuestras exposi-ciones.

Sobra por supuesto decir que, al evocar tan notableacontecimiento, no he querido insinuar ninguna especie de

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comparación. Ello sería no sólo una impertinencia sinouna ingenuidad inconcebible. Esto no significa, sin embar-go, que no haya relación alguna entre esta introducción y eltema que me propongo desarrollar.

Teniendo en cuenta el motivo de mi participación en esteacto, podría esperarse que hablase de matemáticas, y qui-zás sólo de matemáticas. Pues bien: no trataré ningún temaespecífico de matemáticas. Esta suerte de antisemejanza esla primera razón. La segunda es que, en cierta forma, voy areferirme a lo bueno y la virtud. Una tercera razón es que,hasta cierto punto, me identifico con esa lejana audiencia, yque la historia en sí me parece divertida e instructiva. Doscualidades que deben acompañar la buena docencia. Ade-más, uno nunca se resiste a repetir un buen cuento, así éstehaga parte de la historia antigua.

La segunda de estas razones requiere algún comentario.Bastará decir cómo llegué al tema de esta alocución: cuan-do se me comunicó el otorgamiento del premio nacional dematemáticas sentí una vaga disconformidad cuya causa nome fue difícil localizar. No deseaba dejar flotando la ideade que estaba aceptando esta distinción como un reconoci-miento a presuntos aportes en el campo de la investigaciónmatemática, los cuales, en mi caso, y sin falsa modestia,considero escasos y de menor importancia. Sólo tenía posi-

bilidades de justificación si la refería a mis esfuerzos por serun buen maestro. Este es un empeño que siempre he tenidopresente y en el cual creo haber logrado algunos resultadosparciales, aunque nunca tantos como hubiese querido.Pero, aún en este campo, subsisten dudas e interrogantes.Para empezar, ¿qué es un buen maestro?

Buscando una respuesta algunos recurren a la sentenciabíblica: por sus frutos los conocereis. Pero otros objetanque, según esto, un buen maestro es quien tiene la suerte detener buenos alumnos. Todos, sin embargo, coinciden enque la mera posesión del conocimiento no hace al buenmaestro, aunque quizás también todos estén de acuerdo enque nadie puede enseñar lo que no sabe. Frente a este viejoproblema recordé una referencia de Felix Browder a laidentificación entre virtud y conocimiento en la antiguaconferencia de Platón, y quise aprovechar la ocasión paraexplorar sus implicaciones en el caso de la enseñanza.

La verdad y el bien están seguramente relacionados yaque ambos dependen esencialmente de nuestra racionali-dad. Además, como alguna vez dijera Huxley, debemosconocer lo que es cierto pata poder hacer lo que es justo.Esto no quiere decir que lo bueno se manifieste sólo en elconocimiento. La pregunta ¿qué es un buen maestro? notiene una respuesta fácil e inmediata, aunque tampocoparece inabordable o antinómica. Eso puede indicar que esuna pregunta legítima. Para contestarla hay que pensar enla función del maestro, en su oficio, y ello nos lleva denuevo a los griegos y su noción de areté.

La palabra griega areté se traduce ordinariamente comovirtud; pero este término no mantiene su significado origi-nal. Para los griegos tenía un alcance que no coincide con elde virtud en el sentido de honradez, templanza o santidad.En la areté griega había una connotación de pericia ycalidad que aún subsiste en una de las acepciones de lapalabra virtuoso. Se aplicaba a las profesiones y oficioshaciendo referencia al desempeño óptimo de sus funcionespropias. Era, si se quiere, un concepto relativo. Después, susignificado se hizo extensivo a la areté del ciudadano engeneral y hasta del ser humano como tal. Se le buscó unsignificado absoluto y se incorporó a la idea platónica delBien. Pero la areté tenía originalmente un sentido másconcreto y particular que acentuaba su significado prácticoy aplicación inmediata. Se hablaba por eso de la areté de losatletas, de los artesanos, de los políticos, de los militares, yhasta de los esclavos. Había una areté social y una aretédoméstica. Hoy hablamos de optimización, de eficacia yeficiencia: eso también habría sido areté. En una palabra,era la búsqueda de la calidad en el desempeño de unaprofesión u oficio. El pecado contra la areté era la incom-petencia, la ineptitud, la inexperiencia, la ignorancia. Eneste sentido la areté no significaba en un principio serbueno, a secas, sino ser bueno en algo, ser bueno para algo.Ser hábil en su tarea, sea cual fuere. Hacer aquello que seespera de uno, aquello que le corresponde hacer, según susuerte y condición, y llevarlo a cabo de manera óptima.Buscar la excelencia en su trabajo, la maestría, el profesio-

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nalismo. Conocer bien su oficio y hacerlo con propiedad.Con exactitud y también con rapidez.

Es así como la areté tiene que ver con la exactitud perono es la manía del detalle insignificante. También tiene quever con la rapidez pero no supone precipitación ni apresu-ramiento. Sobre este punto quiero detenerme un instante.Es posible que la inteligencia sea una forma de rapidez.Contando con suficiente tiempo una ameba puede llegar ala teoría de la relatividad. En realidad eso fue lo quesucedió. Pero para que tenga sentido terrenal hay que teneren cuenta la escala de la vida humana. Sin embargo, aundentro de la brevedad de nuestra existencia, hay muchastareas que tienen su período de maduración. Todo lleva sutiempo. La areté tiene que ver con la preparación y eladiestramiento para la ejecución de una tarea. Esta prepa-ración variará en duración y modalidad según el caso. Hayun cuento mencionado por Calvino a propósito de la rapi-dez: el rey le pidió a Chuang Tzu (Zhuangzi) que dibujaraun cangrejo. Chuang Tzu contestó que necesitaba cincoaños y una casa con doce servidores. Pasaron cinco años yChuang Tzu dijo al rey: "Necesito otros cinco años" yelrey se los concedió. Transcurridos los diez años, ChuangTzu tomó el pincel y con un solo trazo dibujó un cangrejo,el cagrejo más perfecto que jamás se hubiera visto. Megusta pensar que esos diez años los pasó Chuang Tzupreparándose para su tarea. Y que su arte no murió con él,porque ese hombre, que una noche soñó que era unamariposa y al despertar no sabía si era un hombre quehabía soñado que era una mariposa o una mariposa queestaba soñando que era un hombre, era, sobre todo, unmaestro. Pero ésta es sólo una fábula. Ya en la realidadpodemos recordar que Max Planck tardó veinte años ela-borando la teoría de los cuantos. Pero fue el primero enlograrlo. También le tomó veinte años a Bernoulli descu-brir, formular y demostrar la ley de los grandes números. YBorges nos cuenta que, cuando a James Whistler le pregun-taron cuánto tiempo había requerido para pintar uno desus nocturnos, respondió: "Toda mi vida". Esa es la rapideza la que me refiero.

Ahora podemos aceptar con más naturalidad la afirma-ción de que la virtud, la areté, se puede adquirir. Es posibleque la calidad no sea más que la perseverancia en la bús-queda de la excelencia. No es un don disp~nsado a unospocos. Requiere conocimiento y la correcta comprensiónde su objetivo. Implica esfuerzo, requiere práctica y dedica-ción, yeso lleva tiempo.

Después de estas consideraciones generales hay que em-pezar a particularizar pues parece que el oficio del profesorde matemáticas tiene rasgos muy peculiares.

Señalemos en primer lugar que tanto profesional comoprofesor vienen de profesar que significa consagrarse vo-luntariamente al ejercicio de una ciencia, arte u oficio. Eloficio del maestro, del profesor, es preparar a otros paracumplir su función, ayudarles a lograr su areté. Y como notodos van a ser a su vez maestros, su camino no es necesa-riamente el recorrido por él. Además, el maestro debe ser

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capaz de reconocer y cultivar en otros cualidades de lascuales él mismo puede carecer. No debe extrañar entoncesque formar un buen maestro requiera un tiempo considera-ble. U no de mis colegas ha dicho que la prisa, sobre todo eneducación, es un pecado. Esto es algo que la sociedad y susinstituciones debieran mantener siempre presente. Por esome detuve un poco al hablar de la rapidez.

Empezamos a ver que la areté del maestro, del profesor,tiene en verdad rasgos especiales. Como todas las profesio-nes, la profesión docente ha sido difamada y exaltada.Nietzsche, profesor de filosofía, escribió que el profesor esun mal necesario. Es célebre la alusión de Oscar Wilde a losque no pudieron aprender y por eso se dedican a enseñar.Otro colega me dio alguna vez una versión aún más mor-daz: el que sabe hace, el que no sabe enseña, el que no puedeenseñar investiga y el que no es capaz de investigar sededica a enseñar a investigar. Son sin duda frases satíricas,cuya crítica se localiza sobre todo en la incompetencia y,aunque tengan su fondo de verdad, no son censuras a ladocencia como tal y mucho menos a la profunda relaciónentre maestro y aprendiz.

La verdad es que, desde hace ya bastante tiempo, laimportancia de la profesión docente ha sido reconocidaampliamente por la sociedad. En los discursos de los gober-

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nantes no se ahorran palabras de encomio a la trascenden-cia de nuestra labor. Eso sí, cuando se plantea el problemade la mejora de las condiciones materiales de los maestros,se apela a virtudes como la nobleza y la abnegación.

El oficio del maestro es enseñar. Enseñar es señalar,mostrar, indicar la ruta. Hay que dar a los alumnos laoportunidad de transitar su propio camino y encontrar lascosas por sí mismos. Cada vez que entregamos a un alumnoun conocimiento ya elaborado y decantado, le estamosquitando la oportunidad de descubrirlo. Lo importante esenseñar a aprender. En ello entra en juego la memoria ytambién el olvido. A menudo el maestro debe olvidar loque sabe para que el alumno lo descubra. Para Heideggerenseñar es más difícil que aprender porque enseñar significadejar aprender. Más aún: el verdadero maestro no dejaaprender nada más que "el aprender". Por esto también suobrar produce a menudo la impresión de que propiamente nose aprende nada de él, si por" aprender" se entiende nada másque la obtención de conocimientos útiles. Lo esencial en elaprendizaje no es el producto sino el proceso. Lo mismoocurre con la creación de conocimiento. Léibniz decía quelas fuentes de la invención son más interesantes que lasinvenciones mismas. Las ideas deben nacer en la mente delalumno, sostenía Sócrates. El aprendizaje no debe ser pasi-

va. Hay un proverbio que dice: Oigo y olvido; veo y recuer-do; hago y entiendo. Entender es más un hacer que uncontemplar. Además, para que sea efectivo, el conocimien-to no debe consistir en ideas a medio entender y aisladasunas de las otras. Las ideas inertes, las ideas que no interac-túan entre sí, no son sólo inútiles: son perjudiciales.

Estas consideraciones plantean un problemá. La exten-sión de los conocimientos acumulados por la humanidad,unida a las necesidades para la vida y el progreso de lasociedad, imponen una selección de temas y de métodos.Este, de por sí, es un asunto de mucha complejidad yextensión, el cual no voy a tratar. Recordemos sí quemétodo significa camino y, como tal, no es necesariamenteúnico.

Si queremos avanzar un poco más tenemos que particu-larizar el campo del conocimiento objeto de la enseñanza.Aunque haya casos excepcionales, un buen maestro supo-ne una honda compenetración con la naturaleza del cono-cimiento que desea comunicar. También en este aspecto elcampo de las matemáticas presenta sin duda característicasmuy especiales.

Habiendo adquirido sus rasgos esenciales en la antigüe-dad, la matemática se desarrolla a lo largo de casi tresmilenios; en esta larga historia, sin parangón en otrasciencias, ha acumulado enormes avances tanto en exten-sión y versatilidad como en profundidad y refinamiento.

La importancia de la matemática en la sociedad moder-na se refleja en su presencia a lo largo de toda la escalaeducativa, así como en la vida cotidiana, en la administra-ción y en la tecnología. En las ciencias, tanto naturalescomo sociales y económicas, la matematización es índicede madurez y estructuración.

Como parte integral del pensamiento racional, la mate-mática es uno de los pilares de la civilización, sólo compa-rable en importancia con el lenguaje, con el cual, dicho seade paso, guarda estrechas relaciones.

Crear, apreciar y utilizar la matemática no pueden di-sociarse de manera radical pues son facetas de la actividadmatemática general del hombre. Matematizar, en este sen-tido amplio, comprende producir y consumir matemática,hacerla, usarla y disfrutarla. Como tal es una característicaprimordial del entendimiento humano. Tiene en comúncon el arte un aspecto lúdico en sus orígenes, y la búsquedapermanente de patrones estéticos. Tiene raíces en necesida-des prácticas de medición, cálculo y predicción. Se desarro-lla a impulsos de la curiosidad, el gusto por la belleza y latentación de los problemas. Recurre constantemente a laexperiencia, la conjetura y la imaginación, pero se sometevoluntariamente a las reglas de juego del razonamientoválido. Es una ciencia y a la vez un arte.

Galileo escribió en JJ Saggiatore, que la naturaleza es unlibro abierto pero escrito en lenguaje matemático. Estelenguaje es también la clave para comprender gran partedel mundo humano. Su gran poder de unificación lo con-vierte en un formidable recurso de la mente para el estudiode la realidad objetiva.

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Señalar caminos en este vasto campo intelectual es sinduda una tarea compleja y de gran responsabilidad. Ahoravemos por qué la formación del maestro de matemáticas nopuede ser apresurada. Si en la educación en general la prisaes un pecado, en la educación matemática ese pecado esmortal.

Con el fin de discutir el oficio del maestro de matemáti-cas con algún orden, distinguiré tres aspectos que tampocose pueden separar. Corresponden a lo que he descrito comola creación, la utilización y la apreciación de la matemáticaMe refiero a la enseñanza de la matemática en sí misma,como herramienta y como componente de la cultura. Eltema de la formación de los maestros, de los que van aenseñar, permanece siempre en el transfondo pues en éldeben confluir los tres aspectos de manera armoniosa.

Sobre la formación de nuevos matemáticos sólo diréque, aunque localmente pueden existir circunstancias ad-versas, de índole social y económica, propias del grado dedesarrollo de cada país, parece que, en general, los mate-máticos están en condiciones de reproducir su propia espe-cie. Algunos piensan que su celo es incluso excesivo, pues,cuando tienen la oportunidad de intervenir en el diseño deprogramas, parecen obrar bajo la hipótesis de que todos losestudiantes, y no sólo una ínfima fracción, van a ser mate-máticos. Se olvida incluso que la mayoría de los mismosestudiantes de matemáticas van a ser profesores no investi-

gadores y que un programa orientado a formar muy bue-nos profesores causa menos frustraciones y puede produ-cir, por contera, excelentes matemáticos. En todo caso, setrata de un campo en el cual se tiene cierta claridad sobre loque hay que hacer, aunque subsistan conflictos de valorescomo el mantemiento de escalas de excelencia para usodoméstico, el encauzamiento de jóvenes en líneas sin por-venir o la presión indebida ("publicar o perecer") que tien-de a desvirtuar la producción intelectual. A este respectoalguien proponía que, a su ingreso al cuerpo docente, losjóvenes fueran nombrados profesores titulares con sueldomáximo y que, de allí en adelante, se les rebajara el sueldopor cada publicación. Así sólo publicarían cuando tuviesenque decir algo tan importante que justificara el sacrificio.Pero estas situaciones tienen, en las sociedades abiertas, suspropios mecanismos de control. Al final la confrontaciónes inevitable y el último juez será la comunidad matemáticainternacional. Por eso es flaco el servicio que se prestacuando se rebajan demagógicamente los estándares y sediluye la crítica. Propiciar el autoengaño es por lo menostan inicuo como desestimar el talento.

Más aún, se puede preguntar, por ejemplo, si la matemá-tica tiene en realidad un valor intrínseco que justifique quea ella se dediquen muchas de las mejores mentes de cadageneración. Pero estos son asuntos que quizás no sabemosni siquiera cómo formular con propiedad.

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El segundo aspecto es el de la enseñanza de la matemáti-ca para quienes la necesitan, aunque no van a ser ni mate-máticos ni profesores de matemáticas. La enseñanza eneste campo afronta problemas delicados que derivan, enparte, del énfasis exagerado sobre aspectos insustanciales,principalmente formales, especulativos y terminológicos.También aquí se puede plantear una cuestión ética pues,aunque existan deficiencias en la formación básica delprofesor, el problema se agrava al seguir el camino delmenor esfuerzo. Repetir cadenas de definiciones y demos-traciones que se chequean paso a paso, es fácil. Mucho másdifícil es mostrar las ideas fundamentales que estructuranun desarrollo, su génesis y evolución. Analizar a fondo unenunciado para entender lo que dice y lo que no dice, sumotivación y su razón de ser, sus consecuencias y suslimitaciones. Dar una idea global del tema, su arquitecturay sus conexiones con otros campos.

Pero, aunque subsistan problemas serios, hay tambiénuna creciente conciencia de ellos y de sus causas. Entreéstas hay que señalar el aislamiento producido al cercenarlas conexiones con otros campos, la fragmentación produ-cida por la excesiva especialización en niveles tempranos deformación y la exclusión de las humanidades, y hasta de lasotras ciencias, de los programas de estudios. Pero esto nosconduce naturalmente al tercer campo de acción del profe-sor de matemáticas: la enseñanza de la matemática comocomponente esencial de la cultura.

Esta anomalía es especialmente notoria en las carrerastécnicas, donde las matemáticas son sólo un filtro y, nisiquiera en las áreas profesionales, se muestra su verdaderarazón de ser.

En el caso específico de las aplicaciones, es frecuente laconsideración de situaciones artificiales en donde la mate-mática no juega un papel genuino. Esta matemática, teóri-camente aplicada, es sólo una mixtificación. El resultadoha sido caricaturizado magistralmente con base en otrafábula de Chuang Tzu: deseando convertirse en cazador dedragones, un joven ingresó a una escuela especializada eneste arte milenario y durante cinco largos años estudió sindescanso hasta obtener su grado. Durante muchos mesesvagó en busca de dragones para cazar y, al no encontrarninguno, fundó una escuela y se dedicó a enseñar a otros acazar dragones. Es posible que toda su vida siguiera cre-yéndose un cazador de dragones.

En gran parte este campo es sólo un nuevo aspecto de losdos anteriores, sobre todo del primero. A menudo, tanto enla ciencia como en el arte, la creación es contrapuesta a laapreciación. Se ha dicho, sin embargo, que el acto creadorconsiste en descubrir semejanzas ocultas, hallar la unidaden la diversidad. No olvidemos que teorema significa vi-sión: una vez creados, señalaba Bronowski, tanto el cuadrocomo el teorema pasan a ser patrimonio de todos. Con elacto de apreciación, de comprensión, cada hombre puede,en principio, recrearlos, reproduciendo por sí mismo unaparte esencial de la experiencia original.

Como ejercicio de la imaginación, del sentido estético ydel pensamiento abstracto, la matemática es una partefundamental del acervo cultural del hombre. Sin embargo,el matematizar está circunscrito a una comunidad reducidaque no ha logrado verter con amplitud sus experiencias alresto de la humanidad.

Es lamentable que a la mayoría de la gente le esté vedadatoda una dimensión de experiencias intelectuales yestéti-cas. Todos los seres humanos pueden admirar la perfecciónde una orquídea o el esplendor de una noche estrellada,muchos pueden llegar a apreciar la belleza de un cuadro,disfrutar de una sinfonía y asombrarse al comprender agrandes rasgos la estructura del átomo, la evolución de lasestrellas o los mecanismos de la herencia, así como lahistoria de esas conquistas. En cambio consideran la mate-mática como una ocupación inaccesible al común de losmortales o, lo que es peor aún, la ven como una disciplinaesotérica o como una rutina que usa símbolos abstractospara efectuar cálculos interminables. Su actitud, como lade muchos de los oyentes de Platón, es entonces de obnubi-lación, indiferencia o resignación, cuando no de aversión,desdén o terror.

Hay, sin duda, causas intrínsecas que no se puedensoslayar sin faltar a la verdad. Y no hablo del gran descu-brimiento matemático que supone altas dosis de imagina-ción, perspicacia, creatividad y dedicación.

La matemática es, entre otras cosas, un lenguaje muypreciso y no enteramente reducible al idioma corriente; enella podrá haber verdadera poesía, pero es poesía escrita enun lenguaje altamente especializado. Un lenguaje que re-quiere cierto simbolismo y abstracción y en el cual nopuede recurrirse libremente a la analogía ya la metáfora sinriesgo de traicionar el significado. Su ejercicio y aun suapreciación exigen por ello cierto esfuerzo intelectual.

Pero estas condiciones no son privativas de la matemáti-ca. La apreciación de un arte mejora notablemente con elaprendizaje de su lenguaje propio. Y si bien no todospodemos llegar a componer una pieza musical, muchospueden entenderla, disfrutarla y hasta reproducirla. Cual-quier esfuerzo por abrir el campo de la matemática paraque un mayor número de personas pueda entenderla, apre-ciarla y conocer y discutir con propiedad su papel en lacivilización, está plenamente justificado.

Parece, sin embargo, que las causas extrínsecas son másdeterminantes, a pesar de que ellas pueden, en principio,ser controladas. Tenemos, en primer lugar, la enseñanzaque distorsiona la naturaleza de la matemática. Bajo laficción de poseer la clave del conocimiento matemático sehan preconizado enfoques que se regodean en trivialida-des y escamotean todo vestigio de sustancia. Enmascaran-do la superficialidad con un pretencioso aparato de símbo-los y de terminología, asociados a conceptos huecos ydistinciones pedantes e infecundas, llevan al educando a unestado de enajenación o de indiferencia. Los excesos en estamateria han sido denunciados en varias oportunidadesRené Thom, por ejemplo, señala que la manipulación me-

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canica de operaciones lógicas lleva a considerar incon-gruencias como el conjunto de los "cubos grandes o azu-les", que le habrían producido un trastorno a Platón, y queno son sólo ejercicios extraños e inútiles sino que podríanllegar a ser un peligro para el equilibrio mental, pues, almezclar campos semánticos ajenos, rayan en lo que técni-camente se llama delirio.

Es manifiesta, además, cierta tendencia a ignorar laevolución general del conocimiento embebiéndose en cam-bio en definir, parcelar y delimitar meticulosamente elcampo de la matemática. Se cortan así sus raíces y susvínculos con otros campos del saber, dejando sólo unesqueleto, desarmado y vuelto a armar de manera extrava-gente y del cual se ha escamoteado casi toda la osamentaoriginal.

La matemática no es ajena al conocimiento de la natura-leza y, como parte del saber humano, no puede separarsede la cultura. El cultivo de la matemática no uede hacersesacándola de su contexto científico y cultural y presentán-dola en forma aséptica y aislada.

La estrechez de la formación no se manifiesta sólo enrelación con las humanidades sino también con el resto delas disciplinas científicas. El primer problema es general yno es nuevo. C. P. Snow, en Las dos culturas, ilustra laincomunicación entre humanistas y científicos: un invita-do a un banquete en Cambridge encuentra que sus compa-ñeros de mesa sólo hablan entre sí y, cuando se dirige a

ellos, le contestan con gruñidos. Finalmente uno de suscolegas humanistas, que ha advertido su desconcierto, seacerca y le tranquiliza diciéndole: "¡Esos son matemáticos!Con ellos no se puede hablar".

El segundo, un poco menos frecuente y agudo que elprimero, parece no obstante estar ganando terreno a lasombra de la inevitable tendencia a la especialización. Esposible imaginar un gran matemático que no se preocupapor la naturaleza de la matemática y le tiene sin cuidado surelación con otras ciencias y con la cultura. Pero en unprofesor de matemáticas esto no puede tener justificación.

Si la fragmentación es en sí procupante, más lo es cuandola especialización se define no por lo que se sabe sino porlo que se ignora. Ustedes me entienden: que yo sea especia-lista en álgebra topológica, por ejemplo, no significa quesepa mucho de este recóndito tema sino que no sé nada delos otros.

Para empezar su carrera el joven profesor de matemáti-cas debe contar con esa seguridad que sólo puede provenirdel genuino sentimiento de dominio sobre algunas ideas yprocedimientos básicos. No tienen que ser muchos, perotiene que conocerlos bien. Además de la confianza queemana de saber algo y saberlo bien, debe tener la aptitud decontinuar su formación a lo largo de toda su carrera. Unacarrera que lo llevará a participar en la formación matemá-tica de personas con las orientaciones más diversas y tam-bién en la formación de futuros profesores de matemáticas.

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Mientras más amplio sea su campo de acción mayoresserán las exigencias a su formación. Entre estas exigenciashay una de especial importancia. Aunque la matemática esen cierta forma un lenguaje, la comunicación sigue depen-diendo del adecuado manejo del lenguaje ordinario. Todoprofesor, yen especial el de matemáticas, debe poder ex-presarse con fluidez y precisión. La importancia y la pro-fundidad de un tema no riñen con el lenguaje sencillo yclaro. Lo que no se puede decir con claridad es mejor nodecirlo. Todos estos requisitos se acentúan cuando aborda-mos el problema de la comunicación con el público engeneral. Esto me lleva al último tema de mi exposición.

Se trata de uno de los grandes desafíos a la comunidadcientífica y a la vez una de sus mayores tentaciones. Merefiero a la divulgación. No la divulgación que, como diceWittgenstein en su Conferencia sobre ética, consiste enhacerle creer al público que entiende algo que realmente noentiende, satisfaciendo esa curiosidad superficial acerca dela ciencia que encubre la indiferencia más profunda.

La divulgación debe navegar entre el Escila de la especia-lización abstrusa y el Caribdis de la generalidad insustan-cial. Entre lo incomprensible y lo incorrecto. Entre lostecnicismos indescifrables y las falsas metáforas. No hayduda de que toda comunidad especializada experimentadificultades en su comunicación con el público en general.Pero, mientras científicos como los físicos, los biólogos ylos astrónomos logran despertar interés genuino por temascomo las partículas elementales, el DN A o el Big Bang, losmatemáticos, en general, sólo consiguen hacer partícipesde sus experiencias y sus triunfos a sus propios cofrades.Confiamos en que, aunque obedezca en parte a razo.nesintrínsecas, esta dificultad no es insuperable. El lenguaje yla visualización, manejados con pericia, pueden ser recur-sos indispensables en este empeño.

Antes de terminar quiero señalar que he aprovechadoesta oportunidad para volver los ojos hacia mi propia laborcomo profesor y es allí donde he detectado las deficienciasa que he aludido. He tratado de superarlas, contando, porfortuna, con la ayuda de mis colegas, entre quienes heencontrado algunos de mis mejores maestros. Así he podi-do comprender que el campo de la enseñanza requiere aúnmucha creatividad y también muchas virtudes. Allí nocaben la arrogancia, el dogmatismo o la intransigencia. Esposible que reconociendo nuestras deficiencias ayudemos aotros a evitarlas. Sin olvidar que nuestros verdaderos de-fectos son aquellos de los cuales jamás somos conscientes.

Hacer comentarios mordaces o dar consejos es fácil, peroes difícil conocerse a sí mismo.

Queriendo encontrar una sentencia que recoja mucho delo que he querido expresar, me encuentro con un manda-miento pedagógico que era muy caro a Whitehead. Notratemos de enseñar demasiadas cosas. Y lo que enseñe-mos, enseñémoslo bien. En nuestro papel de maestros aveces queremos enseñar demasiado, es decir, exhibir nues-tro conocimiento, corriendo el riesgo de saturar a nuestrosalumnos con ideas inertes.

Empecé recordando la conferencia sobre el Bien de Pla-tón. Permítanme terminar con una cita de su diálogo LasLeyes.

Haciendo referencia a las matemáticas, Clinias le dice alAteniense:

-Extranjero. me parece que recelas hablar sobre estasmaterias a causa del poco conocimiento que de ellas tenemosnosotros. Pero tu prevención es infundada. Prueba a decirnostu pensamiento. y que nuestra ignorancia no sea motivo paraque nos ocultes algo.

Este, presumiblemente el mismo autor, replica:-La razón que mencionas me causa, en efecto. alguna

inquietud. Sin embargo. temería mucho más habérmelas conotros, que hubieran estudiado estas ciencias pero las hubieranestudiado mal. La ignorancia absoluta no es el mayor de losmales ni el más temible, una vasta extensión de conocimien-tos mal digeridos es cosa mucho peor.

y Clinias contesta: Dices verdad.

* * *Agradezco a los amigos que han querido acompañarme

en esta ocasión ya todos los presentes por haber permane-cido en el recinto hasta el final de este discurso. Espero quelo hayan disfrutado y que, dentro de poco, lo hayan refutado.

Quiero agradecer a la Universidad de Antioquia y a laSociedad Colombiana de Matemáticas por la distinción deque he sido objeto.

Esta universidad, más que ninguna otra, ha pugnadosiempre por el equilibrio entre ciencia y cultura. Su partici-pación en este certamen es una muestra más de la claridad yfirmeza de sus convicciones.

y quiero mencionar a la Universidad Nacional porque,aunque debe fijar metas y plazos, también sabe esperar,paciente y confiada, a que alguien dibuje un cangrejo.

Alonso TakahashiMedellín, 26 de agosto de 1991.

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