Elméleti Mechanika „A”

jegyzet és vetített tematika

az ELTE fizika BSc. másodéves hallgatói számára

Györgyi Géza

2018. december 18. 21:59:34

Nem végleges anyag, fejlesztés alatt áll.

Tartalomjegyzék1. Előszó 1

1.1. A tantárgy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. A jegyzet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. A vetített anyag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Alap és emelt szintek, vizsgák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5. Köszönetnyilvánítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6. Irodalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Bevezetés 52.1. Nagyságrendek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. A klasszikus mechanika érvényessége . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Jelölések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Newton törvényei (m) 8

4. Galilei-féle relativitás (m) 13

5. Gyorsuló koordinátarendszerek, mozgásegyenletek átszámítása 145.1. Transzlációsan gyorsuló rendszer (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2. Forgó rendszer azonos origóval (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2.1. Vektorok transzformációja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2.2. Sebességek átszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2.3. Általános vektor időderiváltjának átszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2.4. Gyorsulások átszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.3. Tehetetlenségi gyorsulások és erők (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.4. Tehetetlenségi erők a Földön . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

i

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK5.4.1. A Föld forgása és szöggyorsulása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.4.2. Tehetetlenségi erők becslése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.4.3. A Coriolis-erő hatásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6. Bevezetés a mechanika variációs elveibe 276.1. A variációszámítás elemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.1.1. Funkcionálok (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.1.2. A variációszámítás alapfeladata (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.1.3. Jelölések, elnevezések: hatásfunkcionál, Lagrange-függvény, kanonikus erő és impulzus . . . . 296.1.4. Stacionaritás (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.1.5. Diszkretizáció, Euler–Lagrange-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.1.6. A stacionárius hatás mint a határok függvénye: az eikonál . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.1.7. Variációs probléma nem rögzített határpontok mellett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.1.8. A legrövidebb út a síkon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.1.9. Az Euler–Lagrange-egyenlet – diszkretizáció nélkül (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.1.10. Speciális esetek (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.1.11. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.1.12. Értelmezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.1.13. Kiterjesztések (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.1.14. Kényszerfeltételek és a Lagrange-féle multiplikátorok módszere (m) . . . . . . . . . . . . . . 556.1.15. Láncgörbéhez vezető ekvivalens variációs problémák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.1.16. A függő kötél, a brahisztokron probléma, valamint a Fermat-elv ekvivalenciája általános po-

tenciálok ill. törésmutató mellett (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2. Lagrange-féle mechanika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.2.1. Potenciálos erők hatására mozgó tömegpontok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.2.2. A Hamilton-elv Descartes-koordinátákkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2.3. Általános koordináták bevezetése holonom kényszerekhez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2018. december 18. 21:59:34 ii

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK6.2.4. Hamilton-elv holonom mellékfeltételek mellett I: kimondjuk az általános koordináták moz-

gásegyenletének variációs származtatását . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2.5. Hamilton-elv holonom mellékfeltételek mellett II: a Lagrange-multiplikátorok módszere . . . 776.2.6. A mozgásegyenlet transzformációja általános koordinátákra: a kényszererők eliminálása . . . 796.2.7. Az általános koordináták szerinti stacionaritási feltétel éppen a mozgásegyenlet. . . . . . . . 796.2.8. Funkcionálderiválás láncszabályának közvetlen levezetése (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.2.9. Hamilton-elv általános koordinátákkal, tetszőleges végpontok mellett (*) . . . . . . . . . . . 816.2.10. Tanulság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.2.11. A Hamilton-elv előnyei: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.2.12. Megmaradási tételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.2.13. Példák a Lagrange-féle mechanikára . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7. Egydimenziós konzervatív rendszer 957.1. Mozgásegyenlet és energiamegmaradás (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.2. A mozgásegyenlet megoldása (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.3. Fázistér I.: pályák globális szemléltetése (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.3.1. Harmonikus oszcillátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.3.2. Általános potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.4. Inverz probléma: a periódusidőből visszakövetkeztetünk a potenciálra (*) . . . . . . . . . . . . . . 1037.5. Anharmonikus oszcillátor periódusideje: perturbációszámítás és dimenzióanalízis . . . . . . . . . . . 105

7.5.1. Perturbált harmonikus potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.5.2. Periódusidő sorfejtése - vezető korrekció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.5.3. Dimenzióanalízis: periódusidő a tiszta hatvány potenciálban . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.6. Fázistér II.: stabilitásvesztés, bifurkációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.6.1. Másod-negyedfokú potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.6.2. Vasvilla (pitchfork) bifurkáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.6.3. Első-harmadfokú potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2018. december 18. 21:59:34 iii

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK7.6.4. Tangens bifurkáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.7. Síkinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.7.1. Mozgásegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.7.2. Kis rezgések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.7.3. Fázistér szerkezete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.7.4. Időfüggés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.7.5. Lengések periódusideje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.8. Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.8.1. Harmonikus gerjesztés (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.8.2. Általános gerjesztés: megoldás Fourier-transzformációval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.8.3. Általános gerjesztés: megoldás Green-függvénnyel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.8.4. Rezonáns gerjesztés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.9. Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.9.1. Másod-harmadfokú potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.9.2. Másod-negyedfokú potenciál (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.9.3. Általános perturbáló potenciál: a szukcesszív approximáció módszere Green-függvénnyel (*) . 134

8. Csillapított mozgások 1368.1. Súrlódási erő sűrű közegben (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.2. Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange–Rayleigh-formalizmus . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.2.1. Disszipációs függvény descartes-i koordinátákkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.2.2. Disszipációs függvény általános koordinátákkal (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388.2.3. A disszipatív mozgásegyenlet összefoglalása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.2.4. Az energia megváltozása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8.3. Csillapított harmonikus oszcillátor (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.3.1. Gyenge csillapítás (2ω0 > α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.3.2. Erős csillapítás (2ω0 < α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2018. december 18. 21:59:34 iv

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK8.3.3. Anharmonikus határeset (2ω0 = α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.4. Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.4.1. Harmonikus gerjesztés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.4.2. Általános gerjesztés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

9. Síkmozgások ∼ 2D 1549.1. Potenciálmozgás csillapítással . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549.2. Lissajous-görbék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559.3. Anharmonikus potenciálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

10. Centrális mozgások 15810.1. Alapok (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15810.2. Síkbeli mozgás (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.3. Hatvány potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16010.4. Kepler-mozgás (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.5. A pályák alakja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

10.5.1. A hodográf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16410.5.2. A pályák polárkoordinátás egyenlete (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16410.5.3. Energia (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16510.5.4. Derékszögű koordinátás egyenlet (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

10.6. A pályák fajtái (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16710.7. Kepler törvényei (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16910.8. Ellipszispályák időfüggése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

10.8.1. Egzaktul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17010.8.2. Perturbációszámítással ε szerint (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17110.8.3. Bolygók excentricitása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17210.8.4. Újabb mozgásállandó: a Laplace–Runge–Lenz-vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

10.9. Szórásszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

2018. december 18. 21:59:34 v

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK10.9.1. A V (r) = −αm/r potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

10.10. Hatáskeresztmetszet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17510.11. Rutherford-szórás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17810.12. Fázistér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

11. Fizikai dimenziók 18111.1. Mozgásegyenletek dimenziótlanítása, mechanikai hasonlóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18111.2. Dimenzióanalízis a szórásszámításban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

12. Pontrendszerek: szimmetriák és megmaradási tételek 18412.1. A Lagrange-függvény megváltozása a koordináták transzformációjakor . . . . . . . . . . . . . . . . 18412.2. Időeltolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18512.3. Koordinátatranszformációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

12.3.1. Térbeli eltolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18612.3.2. Térbeli forgatás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

12.4. Általános szimmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18712.5. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18712.6. Kéttestprobléma (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

13. Kényszerek 19113.1. Virtuális elmozdulások és a D’Alembert-elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

13.1.1. Tömegpont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19113.1.2. Felülethez kötött tömegpont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19213.1.3. Pontrendszer több holonom kényszer hatása alatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

13.2. Egyensúly: a virtuális munka elve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19413.3. Kényszerek fajtái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19513.4. Anholonom kényszerek: a Lagrange-féle elsőfajú mozgásegyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19613.5. Energiatétel kényszerek jelenlétében . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

2018. december 18. 21:59:34 vi

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK13.6. Kényszerek általános koordináták között . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

13.6.1. Holonom kényszerek multiplikátorokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19813.6.2. A megoldás módszere (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19913.6.3. Anholonom kényszerek: a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletek (*) . . . . . . . . . . 199

13.7. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20113.7.1. Anholonom-szkleronom kényszer: guruló korong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20113.7.2. Mozgás síkgörbén általános potenciálban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20213.7.3. Mozgás felületen gravitáció jelenlétében. (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

14. Kis rezgések az egyensúly körül 20614.1. Sajátrezgések konzervatív, időfüggetlen rendszerben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

15. A Hamilton-függvény és a kanonikus formalizmus 21115.1. Legendre-transzformáció egy változóban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21115.2. Legendre-transzformáció több változóban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21215.3. Paramétertől való függés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21215.4. Hamilton-egyenletek potenciálmozgásokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21315.5. Időbeli változás a pálya mentén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21515.6. Ciklikus koordináta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21515.7. Részleges Legendre-transzformált: a Routh-függvény (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21515.8. Példák a hamiltoni mechanikára . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

15.8.1. Egydimenziós potenciálmozgás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21715.8.2. Tömegpont kúpfelületen: centrális mozgás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21715.8.3. Csillapított harmonikus oszcillátor (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21815.8.4. Inhomogén tömegmátrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21915.8.5. Töltött részecske mozgása elektromágneses térben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

15.9. Variációs elv a fázistérbeli trajektóriák felett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22015.10. Liouville tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

2018. december 18. 21:59:34 vii

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK15.11. Poisson-zárójelek (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

15.11.1. Definíció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22115.11.2. Tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22215.11.3. Mozgásállandók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22215.11.4. Tömegpont impulzusmomentuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

15.12. Hamilton–Jacobi-féle mechanika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22415.12.1. Emlékeztető: az eikonál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22415.12.2. Hamilton–Jacobi-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

15.13. Hamilton–Jacobi-egyenlet vizsgálata, példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22515.13.1. A trajektória meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22515.13.2. Optikai és mechanikai Fermat-elvek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

15.14. Adiabatikus invariáns (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22915.14.1. Időfüggetlen potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22915.14.2. Fázistérbeli terület . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23015.14.3. Lassan változó paraméter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23115.14.4. Harmonikus oszcillátor és az 1/r potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23215.14.5. Kvantummechanikai kitekintés: a korrespondencia elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

16. Merev testek 23516.1. Szögsebesség invarianciája (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23516.2. Tehetetlenségi nyomaték tenzor (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23516.3. Impulzusmomentum (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23816.4. Mozgásegyenletek (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

16.4.1. Teljes impulzus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23816.4.2. Teljes impulzusmomentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23916.4.3. Szögparaméterek, energiamegmaradás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

16.5. Lagrange-formalizmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

2018. december 18. 21:59:34 viii

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK16.6. Erőmentes pörgettyűk (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

16.6.1. Gömbi pörgettyű . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24116.6.2. Rotátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24116.6.3. Szimmetrikus pörgettyű . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

16.7. Euler-egyenletek: a szögsebesség időfüggése a főtengelyrendszerben (m) . . . . . . . . . . . . . . . 24316.8. Súlyos pörgettyű Euler–Lagrange-féle leírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

16.8.1. Euler-szögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24516.8.2. Euler-féle szögsebességek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

16.9. A szimmetrikus súlyos pörgettyű mozgásegyenletei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24816.10. A precesszió szemléletes magyarázata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25416.11. Aszimmetrikus erőmentes pörgettyű . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

17. Egydimenziós rugalmas kontinuum 25917.1. Előfeszített rugókkal kapcsolt testek: 2D lánc és folytonos határesete, a hiperlineáris húr . . . . . . 25917.2. Hamilton-elv a kontinuum mechanikában . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26117.3. A kontinuum Hamilton-elv kiterjesztései . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

17.3.1. Magasabb dimenziók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26417.3.2. Magasabb deriváltak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

17.4. A húr kis rezgései: harmonikus közelítés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26917.5. Hullámegyenlet (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

17.5.1. Haladó megoldás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27117.5.2. Szabad vég . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27117.5.3. Rögzített vég . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27217.5.4. Megoldás Fourier-sorral, rögzített végek mellett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

18. Vékony rudak hajlítása (m) 27518.1. A Lagrange-féle sűrűségfüggvény és a mozgásegyenlet harmonikus közelítésben . . . . . . . . . . . 27518.2. Két végén feltámasztott, előfeszítésmentes rúd behajlása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

2018. december 18. 21:59:34 ix

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK18.3. Befogott, súlytalan rúd szabad végét húzzuk merőlegesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

18.3.1. Variáció nélkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27918.3.2. Variációszámítással (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

18.4. Hosszirányban összenyomott rúd Euler-féle instabilitása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28118.5. Rudak nagy kihajlása (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

18.5.1. Befogott, „oldalra húzott” végű rúd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28218.5.2. Befogott, „visszafelé húzott” végű rúd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

18.6. Rudak harmonikus rezgései (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28618.6.1. Longitudinális rezgések: rúd, végén tömegponttal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28618.6.2. Hajlítási rezgések: „hangvilla”, végén tömegponttal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

19. Kétdimenziós kontinuum: membránok (*) 29319.1. Feszített membránok transzverzális rezgései . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

20. Háromdimenziós rugalmas kontinuum, a deformáció és a feszültség tenzora (m) 29520.1. A deformációtenzor definíciója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29520.2. A deformációtenzor értelmezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29620.3. Rugalmas energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29720.4. Mozgásegyenletek a lineáris rugalmasságtanban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

20.4.1. Rugalmasságtan feszültségtenzora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29920.4.2. Lagrange-sűrűség és mozgásegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29920.4.3. Feszültségtenzor értelmezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

20.5. Izotrop, lineáris rugalmas közeg mozgásegyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

21. Hullámok rugalmas testekben (m) 30821.1. Longitudinális hullám . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30821.2. Torziós hullám . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30821.3. Térbeli hullámegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

2018. december 18. 21:59:34 x

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK21.4. Belső csillapodás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

22. Áramló közegek – alapfogalmak és mozgásegyenletek (m) 31322.1. Kontinuitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31322.2. Állapotegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31422.3. Hidrodinamikai derivált . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31422.4. Feszültségtenzor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31422.5. Navier–Stokes-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31522.6. Összefoglalva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

23. Ideális ill. összenyomhatatlan folyadék (m) 31723.1. Ideális: nem súrlódó, adiabatikus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31723.2. Összenyomhatatlan, súrlódó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31723.3. Ideális, összenyomhatatlan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

24. Bernoulli-egyenlet ideális folyadékban (m) 31824.1. Stacionáris áramlás konzervatív erőtérben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31824.2. Összenyomhatatlan folyadék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31924.3. Nyomási függvény barotrop közegben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31924.4. Bernoulli-törvény barotrop folyadékban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32024.5. Mikor tekinthető összenyomhatatlannak egy áramlás? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

25. Örvényesség, cirkuláció 32225.1. Örvényvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32225.2. Időfüggő Bernoulli-törvény örvénymentes áramlásban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32325.3. Örvényvonal, ∼cső és ∼fonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32325.4. Thomson (Kelvin) örvénytétele súrlódó közegre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

2018. december 18. 21:59:34 xi

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK26. Síkbeli áramlások - örvénymentes, összenyomhatatlan, stacionárius 325

26.1. Sebességpotenciál és áramlási függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32526.2. Hamiltoni analógia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32626.3. Komplex függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32626.4. Komplex sebesség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32726.5. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32726.6. Az inverz függvény (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32926.7. Schwarz–Christoffel-formula (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33026.8. Akadályra ható erő . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33226.9. Cirkuláció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

27. Áramlások hasonlósága 33727.1. Dimenziótlanítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33727.2. Nevezetes dimenziótlan számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33927.3. Modellkísérletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

27.3.1. Akadály (pl. jármű) körüli áramlás vizsgálata szélcsatornában, Reynolds-szám . . . . . . . . 34027.3.2. Folyóban elhelyezkedő akadály körüli hullámok modellezése, Froude-szám . . . . . . . . . . 34027.3.3. Periodikus mozgást végző akadály körüli áramlás, Strouhal-szám . . . . . . . . . . . . . . . 34127.3.4. Áramlás forgatott folyadékban, ciklonok, Rossby-szám . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

28. Összenyomhatatlan súrlódó folyadékok lamináris áramlásai 34228.1. Stacionárius áramlás két síklap között . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

28.1.1. A felső lapot állandó sebességgel húzzuk, a nyomás homogén . . . . . . . . . . . . . . . . . 34228.1.2. Rögzített falak, állandó nyomásgradiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

28.2. Stacionárius áramlás kör keresztmetszetű csőben, Hagen-Poiseuille-törvény . . . . . . . . . . . . . . 34328.3. Párhuzamos áramlás állandó nyomás mellett, a határréteg fogalma (*) . . . . . . . . . . . . . . . . 344

28.3.1. Kezdetben y-ban lépcsőfüggvény, x irányú áramlás végtelen folyadékban . . . . . . . . . . . 34428.3.2. Fal y = 0-ban, kezdetben homogén x irányú áramlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

2018. december 18. 21:59:34 xii

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉKA. A forgásmátrix időderiváltjai és a tehetetlenségi erők 348

A.1. Két dimenzió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348A.2. Három dimenzió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

A.2.1. Az ortogonális mátrix kettős szerepe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348A.2.2. A forgásmátrix differenciálegyenlete, és ennek megoldása egyenletes forgás esetén . . . . . . 349A.2.3. Gyorsulások átszámítása: a hagyományos módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

B. Egydimenziós mozgások 351B.1. Mozgás fordulópont közelében . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

B.1.1. Közel lineáris potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352B.1.2. A fordulópont lokális maximum: közel kvadratikus potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

B.2. A mozgásegyenlet megoldása részletesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353B.3. Mozgás potenciálgödör alján: a harmonikus oszcillátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

B.3.1. Mozgásegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355B.3.2. A harmonikus oszcillátor mozgásegyenletének megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356B.3.3. Az energiamegmaradás alapján . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356B.3.4. Exponenciális próbafüggvény behelyettesítésével . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357B.3.5. Periódusidő . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358B.3.6. Általános kvadratikus potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

B.4. Periódusidő általános alakja negyedfokú perturbáció mellett. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358B.4.1. Amplitúdófüggés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359B.4.2. Energiafüggés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359B.4.3. Nagy kitérések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360B.4.4. "Lágyuló" potenciál: ε < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360B.4.5. Globális függvénymenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

B.5. Optimalizált perturbációszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361B.5.1. Kvadratikus perturbáció: a rugóállandót perturbáljuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

2018. december 18. 21:59:34 xiii

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉKB.5.2. Módosítjuk a perturbálatlan potenciált . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362B.5.3. A hiba minimalizálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

C. Hamiltoni mechanikai kiegészítés 365C.1. Tömör jelölés a szimplektikus mátrix segítségével . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365C.2. Mozgásállandók generálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

C.2.1. Kapcsolat a kvantummechanikával . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

2018. december 18. 21:59:34 xiv

1 ELŐSZÓ

1. Előszó1.1. A tantárgy

Az ELTE fizikus képzésének része több mint fél évszázada az Elméleti Mechanika, mely a négy féléven keresztülelőadott Elméleti Fizika sorozat első tantárgya. Jelenleg az „A” jellel különböztetjük meg a kisebb óraszámban, nemfizikus szakirányú hallgatóknak előadott „B” tárgytól.

Az Elméleti Mechanika A kurzust jelenleg a második évfolyam első félévében tartjuk. Ezt megelőzik és megalapoz-zák az első évben az ELTE fizika BSc. alap ill. emelt szintű, pont- és kontinuummechanika, valamint a matematikaimódszereket tárgyaló kurzusok.

Az Elméleti Mechanika A nagyrészt az első évben megismert témaköröket, fizikai rendszereket tárgyalja azzal akülönbséggel, hogy itt egyrészt variációs elvekre építünk, másrészt egyes jelenségeket részletesebben leírunk. Mivel azelsős mechanika kurzusok óraszámának 2/3-a áll a rendelkezésünkre, több ott tárgyalt részt nem, vagy rövidebbenemlítünk. Számos fogalom bevezetésekor is építünk az első éves anyagra. Példaként említjük a rugalmas feszültségtenzorát, melyet az elsős kurzus definiált és fizikai jelentését megvilágította, e jegyzetben pedig a feszültségtenzorta korábbi tárgyalásnál lényegesen rövidebb módon, klasszikus térelméleti, variációs alapon vezetjük be, majd ennek akorábbival való ekvivalenciáját mutatjuk ki.

1.2. A jegyzetMíg számos kiváló mechanika tankönyv létezik, az ELTE-n előadott Elméleti Mechanika A tárgyból eddig nem

adtak közre jegyzetet. E hiányt igyekszünk most pótolni. A tárgyat Tél Tamás professzor adta elő korábban, a szerző aző órajegyzetére és más tankönyvekre támaszkodott, valamint a saját kútfejéből merített. Lelkes és felkészült hallgatóka kurzus nagy részét LATEX-be írták, s ez képezte az itt közreadott jegyzet alapját. A jegyzetet jelenleg is fejlesztjük,véleményeket, jelzéseket hibákról, vagy éppen jónak ítélt részekről szívesen veszünk.

2018. december 18. 21:59:34 1

1.3 A vetített anyag 1 ELŐSZÓ1.3. A vetített anyag

Az Elméleti Mechanika A tematikájának több elsős kurzuséval való terjedelmes átfedése indokolja a vetítéseselőadást. Amellett, hogy a korában elhangzott alapokat rövidebb idő alatt idézhetjük fel a vetítés segítségével, azelőadó az új részek magyarázatára, megvilágítására nagyobb figyelmet és hangsúlyt fordíthat.

Jelen jegyzet egyben a vetített előadás diasorozata, nem olyan részletes, mint egy könyvszerű jegyzet, de töre-kedtünk arra, hogy önállóan is használható legyen. Az előadás hallgatóságának az ajánljuk, hogy a diákon általábana címeket, egyenleteket, listákat, ábrákat, és a színnel kiemelt szavakat figyeljék. Hosszabb, egybefüggő szöveget nekezdjenek olvasni, a magyarázat az előadó dolga.

A szövegben jelöltük, hogy a 2018/19. tanévben mikor tárgyaltunk valamely anyagrészt, a még el nem ért részekbenaz előző évi időhatárok szerepelnek. A 2018/19. tanév őszén az alap (A) és az emelt (E) szintet is megkülönböztettük.Például a A: 2018.09.12 J | I 2018.09.14 jelzésig jutottunk a 2018. szept. 12-i alap szintű előadás végén, sonnan folytattuk a 14-i óra elején.

1.4. Alap és emelt szintek, vizsgákA 2017-18. tanévtől kezdve az Elméleti Mechanika A kettéválik alap- és emelt szintű kurzusokra. E jegyzetben

(*) jelöli az emelt szint fejezeteit. Az elsős – matematikai módszerek, és alap ill. emelt szintű mechanika kurzusokonismertetett – anyaggal jelentősen átfedő szakaszokra a (m) jel hívja fel a figyelmet.

A vizsgaanyag alap szinten a jegyzet (*)-gal nem jelölt fejezetei, emelt szinten az összes, melyekből arányosterjedelmet választunk kidolgozandó tételül a vizsgázó hallgatónak. A függelék nem vizsgaanyag, de ha valaki ab-ból is tájékozott, azzal javíthat az eredményén. A hallgatónak a jegyzetben nem szereplő, azon túlmutató elméletimechanikai ismeretei tovább emelhetik a vizsga fényét.

A jegyzetben számos gyakorló feladat szerepel, [1-7] nehézségi fokokkal. A vizsgán mellékkérdésként gyakorlópéldát is feltehetek.

2018. december 18. 21:59:34 2

1.5 Köszönetnyilvánítás 1 ELŐSZÓ1.5. Köszönetnyilvánítás

Elsősorban Tél professzornak jár köszönet a kurzus előző változatának kidolgozásáért és anyagának továbbadásá-ért. E jegyzet korábbi alakján társszerzőként szerepelt, azonban nevét az anyag jelentős átalakulásának indokával alegnagyobb sajnálatomra levetette, ezért rá most e kiemelt köszönet hivatkozik.

Kézirat alapján az anyag nagy részét LATEX-be jegyezték és számos ábrát készítettek Balogh Ferenc, Bíró Gábor,Fábián Gábor, Hetényi Bence, Kapás Kornél, Kálmán Dávid, Kukucska Gergő, Márkus Bence Gábor hallgató kollégák,munkájukért fogadják hálás köszönetem.

E kurzus gyakorlatvezetőivel számos hasznos beszélgetést folytattam, közülük ki szeretném emelni a diszkussziókatLukács Árpáddal, Török Csabával, Vigh Mátéval, Kapás Kornéllal. Ők számos feladatot is gyűjtöttek, melyeket kötetbeKornél foglalt.

2018. december 18. 21:59:34 3

1.6 Irodalom 1 ELŐSZÓ1.6. Irodalom

Forrásainkat és az ajánlott irodalmat az alábbi jegyzékben soroltuk fel.

Nagy Károly: Elméleti Mechanika, Tankönyvkiadó (TKK) 1985, 2002Budó Ágoston: Mechanika, Tankönyvkiadó 1965Landau–Lifsic [LL1]: Elméleti Fizika I., Mechanika, TKK 1974Landau–Lifsic: Elméleti Fizika VI., Hidrodinamika, TKK 1980Landau–Lifsic: Elméleti Fizika VII., Rugalmasságtan, TKK 1974R. Feynman: Mai Fizika 1., 2., 7. kötet, Műszaki Kiadó 1968Tél–Gruiz: Kaotikus Dinamika, 3. fejezet, Nemzeti TKK 2002Kecskés Lajos: Egy Ölnyi Végtelen, Nemzeti TKK 2002Gnädig–Honyek–Vigh: 333+ Furfangos feladat fizikából, Typotex 2017Jánossy–Tasnádi: Vektorszámítás 1.,Vektor- és tenzoralgebra, TKK 2002Jánossy–Tasnádi: Vektorszámítás 2., Vektorok és tenzorok differenciálása, TKK 1989Jánossy–Gnädig–Tasnádi: Vektorszámítás 3., Vektorok integrálása, TKK 2002

Wikipédia

2018. december 18. 21:59:34 4

2 BEVEZETÉS

2. Bevezetés2.1. Nagyságrendek

Röviden áttekintjük a távolság és idő nagyságrendjeit.

→ Távolságok (m)? Kvark ∼ 10−18 (attométer, jele "am"; atten dánul 18)? Atommag sugara ∼ 10−15 (femtométer, jele "fm", alternatív neve "fermi"; femten dánul és norvégül 15)? Fényév (kb. a Naprendszer gravitációs sugara) ∼ 1016 (10 peta; a görög "penta"-ból az "n"-et elhagyva)? Tejút átmérője ∼ 1021 (zetta; heptá görögül 7, az első betű "z"-re cserélve, hogy az ABC végére kerüljön)? Az Univerzum megfigyelhető átmérője ∼ 1027 (100 G fényév)

Ismeretterjesztő könyv: Ph. Morrison: "Powers of Ten". Fordítás: "A tízes hatalma" :?→ Idők (s)

? Elemi részecske élettartama ∼ 10−24 (jokto; októ görögül 8)? Univerzum életkora ∼ 1017 (100 peta) (14 Gév)

→ Sebességek (m/s) c = 3× 108 > v

2018. december 18. 21:59:34 5

2.2 A klasszikus mechanika érvényessége 2 BEVEZETÉS2.2. A klasszikus mechanika érvényessége→ Közepes távolságok 10−6 m < ` < 1016 m

↑ ↑Kvantummechanika Általános relativitáselmélet

→ Közepes idők 10−6 s < t < 1013 s→ Lassú (nemrelativisztikus) mozgás v < 105 m/s→ Folytonos mozgás ideája: ∆t→ 0. A limesz absztrakció, a valóságban lim ∆`

∆t nem létezik [∆t > 10−8 s]→ Fizikai mennyiség: Amelyet mérési utasítással definiálhatunk.→ A mechanika alapmennyiségei: távolság, idő, tömeg.→ Tapasztalatok összegzése:

? A tér euklideszi, 3 dimenziós, homogén, izotrop.? Az idő 1 dimenziós, homogén, és független a tértől.

2018. december 18. 21:59:34 6

2.3 Jelölések 2 BEVEZETÉS2.3. Jelölések

A skalárokat egyszerű dőlt szimbólumok jelölik, pl.a, ω (2.1)

a vektorokat vastag dőltek, pl.a, A, ω, 0 , (2.2)

ahol az utolsó a nullvektor. A mátrixok jele álló vastag, pl.A, Ω, 1, (2.3)

az utóbbi az egységmátrix.Az időderivált gyakran pont, pl.

df/dt =qf = (f) q, (2.4)

míg más argumentum szerinti derivált lehet vessző, pl.df/dx = f ′. (2.5)

A deriváltban és integrálban használt d betű „áll”, ugyanis nem önálló mennyiséget jelöl, hanem a differencia kezdő-betűje. Parciális deriváltakat többféleképpen rövidíthetünk, mint pl.

∂f/∂x = ∂xf = fx. (2.6)Az utóbbi különösen tömör, figyelmeztetés után fogjuk alkalmazni, nem összetévesztendő komponenst jelölő indexszel.

Az „ebből következik” ill. a „megfelelnek egymásnak” jelei⇒ ill. ∼ . (2.7)

A: 2018.09.12 J | I 2018.09.14

2018. december 18. 21:59:34 7

3 NEWTON TÖRVÉNYEI (m)

3. Newton törvényei (m)Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia [=fizika] matematikai alapelvei) Nem az ere-

deti alakjukat adjuk meg.

1. ábra. Az első kiadás címlapja (1687)

Definíció: Inercia (tehetetlenségi) rendszer az, amelyben minden magára hagyott test megőrzi sebességét.I. törvény: Létezik inerciarendszer.A következő törvény inerciarendszerben érvényes. (A II. törvény inerciarendszerhez kötött, a III-IV. minden rend-

szerben fennáll.)E: 2018.09.12 J | I 2018.09.14

II. törvény: gimnáziumban is tanultuk

2018. december 18. 21:59:34 8

3 NEWTON TÖRVÉNYEI (m)Newton: "A sebesség, amelyet egy adott erő létre tud hozni adott anyagon, egyenesen arányos az erővelés az idővel, továbbá fordítottan arányos az anyaggal."

Formulával:

∆v ∼ F∆tm

, (3.1)

az „anyag” itt anyagmennyiséget, azaz tömeget jelent.Ma használt ekvivalens alakjai

F = ma = md2r

dt2 = mq qr = dp

dt , (3.2)

ahol a jobb végi kifejezésben a p = mv impulzus szerepel.Természetesen a fenti formula csak akkor alkalmazható törvényként, ha a benne szereplő mennyiségek definiáltak.

Az r(t) trajektóriát kimérhetjük, ezért „értjük”, azonban mit jelent F és m?Próbatest: az egységnyi tömegű etalon (mp = 1) legyen 1` víz.Definíció: Az erő a próbatest gyorsulása F = ap

Ennek alapján erőtörvények állapíthatók meg, pl. F (r,v, t), egyszerű esetben F (r), ez a sztatikus erőtér, ld.a 2. ábrát. Az erőmérést alakváltozásra is visszavezethetjük, ennek révén dinamométer kalibrálható, s más, akár nemsztatikus erőt is mérhetünk.

A 3.2 törvényhez a következőképpen juthatunk el.Különböző testekre ható azonos erők: Bizonyosodjunk meg dinamométerrel arról, hogy a testekre azonos erők

hatnak (pl. azonosan deformált rugók ereje, azonosan feltöltött testekre ható elektrosztatikus tér). A megfigyelésekszerint azonos erővel hatva különböző testekre ezek azonos irányú de különböző nagyságú gyorsulást szenvednek (ld.3. ábrán egy adott helyen).

2018. december 18. 21:59:34 9

3 NEWTON TÖRVÉNYEI (m)

2. ábra. Sztatikus erőtér: különböző helyeken különböző erők hatnak.

m’

m’’

m

12

m

m’’

m’

3. ábra. Különböző tömegű testek gyorsulásai adott sztatikus erőtérben az 1. és 2.helyen (a jobb láthatóság kedvéért az azonos helyhez tartozó vektorokat elcsúsztatvaábrázoltuk).

Különböző (ismert) erők: Ha az 1,2,... helyeken ugyanazon anyagra (tömegpontra) különböző erők hatnak, akkor

|F 1||a1|

= |F 2||a2|

= · · · = m, (3.3)

azaz e hányadosok azonosak! Egy másik anyagi pontra

|F 1||a′1|

= |F 2||a′2|

= · · · = m′, (3.4)

2018. december 18. 21:59:34 10

3 NEWTON TÖRVÉNYEI (m)s hasonlót kapunk további pontokban, azaz fenti hányadosok a testekre jellemző állandók. Emlékezzünk arra, hogy agyorsulások mérésének nincs elvi akadálya.

Ha azonos pontokban különböző testekre különböző erők hatnak, azaz az m′ testre ható erő az i. helyen F ′i, s agyorsulás ott a′i, akkor is azt tapasztaljuk, hogy

|F ′1||a′1|

= |F′2|

|a′2|= · · · = m′ (3.5)

a testre jellemző állandó.Valamely erő mellett megmérhetjük egy test tehetetlen tömegét, m = |erő|/|gyorsulás|, majd ennek felhasználásával,

további erők hatásainak a leírásához használhatjuk az F = ma törvényt. Tehát ez először definíció az m méréséhez,azután az m és az F ismeretében pedig a gyorsulást megadó mozgástörvény. A fizikai törvények általában egyrésztkísérletileg definiálják a bennük szereplő mennyiségek egy részét, másrészt, ezek megismerése után, jóslatot tesznektovábbi kísérletek kimenetelére.

Ha az F (r,v, t) függvény ismert, akkor másodrendű differenciálegyenletet kapunk pontszerű testek r(t) trajek-tóriájára. A kezdeti feltételek (KF): r(0),v(0), ezek általában a mozgást egyértelműen meghatározzák

Arisztotelésztől Keplerig sokan feltételezték az F ∼ v arányosságot. Ez nem egyezett a tapasztalattal,ezért próbálkoztak különféle F ∼ f(v) alakokkal. Mai szemmel nyilvánvaló, hogy ilyen feltevések nemelfogadhatók: elsőrendű differenciálegyenletben az r(0) elég lenne a mozgás meghatározásához, ezért aferde hajítás sokféle pályáját sem magyarázná meg.

Newton deizmusa: Isten teremt és kezdeti feltételeket ad. Erre miért nem hivatkoznak a kreacionisták?Pedig tudós vallotta, ezért jó példa lehetne a hívő álláspontra, azaz a teremtésre, melyet a fizika törvénye-inek megfelelő mozgás követ. Azért nem idézik, mert a csillagok és naprendszerek keletkezésének elméleteáltalánosan elfogadott, még ha a részleteken folyik is vita.

2018. december 18. 21:59:34 11

3 NEWTON TÖRVÉNYEI (m)Megjegyzés: Elvileg semmi sem zárja ki, hogy magasabb rendű differenciálegyenlet írja le a mozgást, a másodrendűt

a tapasztalat tünteti ki.III. törvény Hatás-ellenhatás elve

Megfigyelés: Két kölcsönható test gyorsulásai ellentétes irányúak és nagyságuk fordítottan arányos a tömegeikkel. AII. törvény szerint ebből következően az egyikre ható erő éppen ellentétes a másikra hatóval.

A B

4. ábra. F AB = −FBA

Erővel testek hatnak más testekre. A II. törvényben F egy kiszemelt testre ható erő, amely testnek a gyorsulásátokozza. A III. törvény szerint ha két test hat kölcsön, akkor megjelenik a másik testre ható −F erő.

Hangsúlyozzuk a nyilvánvalót, éspedig a két erő nem ugyanazon testre hat. Ha érdeklődő gyereknek magyarázzukaz erő-ellenerő elvét, az visszakérdezheti, hogy mi gyorsítja a testeket, hiszen ellentétes erők ugyanazon testre hatvanyomban kioltanák egymást. Természetesen különböző testekre ható erők ellentétéről beszélünk.

Megjegyzés: Két mozgó töltés között ható Lorentz-erők a III. törvényt általában nem teljesítik. Ez azzal kapcsola-tos, hogy nemcsak egymásnak, hanem a térnek is impulzust adnak át, mely jelenségről részletesen az elektrodinamikaad számot.

IV. törvény: Ugyanazon testre ható erők vektoriálisan összeadódnak.Kettőnél több test páronkénti kölcsönhatásakor az egy testre ható erőket vektoriálisan összeadva kapjuk az erre

ható teljes F erőt, mely a gyorsulását okozza. Ennek nem egyetlen ellenereje van, hanem a III. törvény páronkéntérvényes, azaz a teljes F -et összetevő erők ellenerői mintegy „szét vannak osztva” a többi test között.

2018. december 18. 21:59:34 12

4 GALILEI-FÉLE RELATIVITÁS (m)

4. Galilei-féle relativitás (m)A K inerciarendszer, a K ′ hozzá képest egyenletes v0 sebességgel mozog:

r0(t) = v0t (4.1)

Mivel a gyorsulás a második derivált, ezért a második Newton-törvény alakja a két rendszerben azonos, tehát K ′ is

K

K'

5. ábra. A mozgást különböző koordinátarendszerekből írhatjuk le. Itt K ′ egyenletesrelatív sebességgel mozog K-hoz képest, nem fordul el.

inerciarendszer. Megjegyzés: F nem függ a vonatkoztatási rendszertől, pl. alakváltozás méri.

2018. december 18. 21:59:34 13

5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .Galilei-transzformáció

r′ = r − v0t,

t′ = t,

a′ = d2r′

dt2 = ddt(

qr − v0) = q q

r = a.

(4.2)

Mivel m a testre jellemző:

F = ma = ma′ = F ′. (4.3)

Tehát ha K inerciarendszer, akkor K ′ is az.

5. Gyorsuló koordinátarendszerek, mozgásegyenletek átszámításaUgyanazon „fizikai hely” K-ban r, K ′-ben r′.

5.1. Transzlációsan gyorsuló rendszer (m)A K ′ gyorsul, de nem forog K-hoz képest

r = r0 + r′ → a = a0 + a′. (5.1)

5.2. Forgó rendszer azonos origóval (m)A forgásmátrix alábbi tulajdonságai a vektorszámítás kurzuson szerepeltek, melyeket itt a tehetetlenségi erők

levezetésében játszott szerepük miatt idézünk fel. Egyes technikai részleteket az A függelékbe gyűjtöttünk.

2018. december 18. 21:59:34 14

5.2 Forgó rendszer azonos origóval (m) 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .5.2.1. Vektorok transzformációja

A K és K ′ egymáshoz képest el van forgatva míg origóik egybeesnek, s ugyanazon „hely” mért komponenseibőláll az r ill. az r′. Ezeket lineáris transzformáció köti össze

r = Or′, (5.2)ahol O valamely 3× 3-as mátrix. Más szóval, az r és az r′ ugyanazon "fizikai" vektor K ill. K ′-beli reprezentációja,melyet két dimenzóban a 6. ábra illusztrál.

ϕ

x’

yy’

x

r

K

K’

6. ábra. Koordinátarendszer forgatása két dimenzióban: ugyanazon vektornak az r =(x, y) a K, az r′ = (x′, y′) a K ′-ben mért koordinátái.

Az elforgatott koordinátarendszerben a vektorok hossza és az általuk bezárt szögek nem változnak, azaz az (5.2)kifejezésben bevezetett O a skalárszorzatot invariánsan hagyja

r1 · r2 = Or′1 ·Or′2 = r′1 ·OTOr′2 = r′1 · r′2 ⇒ OTO = 1 ⇒ OT = O−1 ∼ ortogonális mátrix, (5.3)ahol 1 az egységmátrix.

Az ortogonalitás feltétele ugyanez magasabb dimenziókban.Az A függelékben néhány részlettel egészítjük ki a forgatások tárgyalását.

2018. december 18. 21:59:34 15

5.2 Forgó rendszer azonos origóval (m) 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .5.2.2. Sebességek átszámítása

Ha a forgatás időfüggő, akkor a sebesség K-beli komponensekkel írva

v = qr = (Or′)

q= O

qr′ +

qOr′ = v(′) +

qOOTr. (5.4)

Az időderivált és az időfüggő forgatás természetesen nem felcserélhető. Az (5.4) egyenlet jobb végén új vesszős jelöléstvezettünk be, azaz

v(′) = Oqr′. (5.5)

Ez (5.2) szerint a K ′-höz képesti időderivált, azaz azqr′ sebesség a K-beli komponensekkel felírva. Ha következetesen

akarjuk jelölni, a v(′) vektornak a K ′-beli komponenseiqr′ = v(′)′ lenne, ilyet alább nem használunk. Tankönyvekben

előfordul az (5.5) kifejezésre a v′ jelölés, de ez ebben a jegyzetben a v vektor K ′-beli komponenseit jelenti.Vizsgáljuk (5.4) második tagját. Az ortogonalitás OOT = 1 feltételét deriválva kapjuk

(OOT

) q= 0 ⇒

qOOT + O

qOT =

qOOT +

( qOOT

)T= 0. (5.6)

Felhasználtuk, hogy mátrixokra is alkalmazható a deriválás szorzatszabálya, valamint azt, hogy a deriválás és atranszponálás felcserélhető. Vezessük be az

Ω =q

OOT (5.7)

mátrixot, melyre (5.6) alapján nyerjük

Ω = −ΩT , (5.8)

2018. december 18. 21:59:34 16

5.2 Forgó rendszer azonos origóval (m) 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .azaz az Ω mátrix antiszimmetrikus, részletesen

Ω =

0 −ω3 ω2ω3 0 −ω1−ω2 ω1 0

. (5.9)

Az (5.4) egyenletet tehát ekképpen írhatjuk

v = v(′) + Ωr = v(′) + ω × r (v1 = v(′)1 + ω2r3 − ω3r2, etc.) (5.10)

A: 2018.09.14 J | I 2018.09.19

5.2.3. Általános vektor időderiváltjának átszámítása

Az (5.10) kifejezés nemcsak a helyvektorra, hanem általános b vektorra is érvényesqb = O

qb′ + ω × b, azaz vb = v

(′)b + ω × b, (5.11)

ahol a b sebessége vb. Az egyenletekben a K rendszerben mért koordináták szerepelnek. Ha b együtt forog K ′-vel,akkor nyilván v(′)

b = 0 és ezértqb = ω × b. Ezzel lényegében azt mutattuk meg, hogy a forgás egy adott pillanatban

a szögsebesség vektorával jellemezhető, mely csupán az O forgásmátrixtól és a deriváltjától függ, viszont függetlenattól, milyen b vektor forgását írjuk le.

A 7. ábra mutatja a koordinátarendszerek egy általános helyzetét.Összefoglalásképpen, egy vektor vb sebessége az ω-vel forgó koordinátarendszerhez viszonyított sebességének

és a forgásból származó sebességének az összege. E vektorokat bármely koordinátarendszerből leírhatjuk, az (5.11)formulában a K rendszerbeli alakjuk szerepelt.

Tankönyvekben elterjedten a v(′)b mennyiségre a d′b/dt formulát is használják, nem magától értetődő jelölés.

2018. december 18. 21:59:34 17

5.2 Forgó rendszer azonos origóval (m) 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .

K x

y

y’

z z’

K’

x’

ω

7. ábra. Az ω értelmezése: K ′ forog K-hoz képest az ω pillanatnyi szögsebesség vektorkörül.

5.2.4. Gyorsulások átszámítása

Először vizsgáljuk a szöggyorsulás vektorát

β = qω = O

qω′ + ω × ω = O

qω′ = β(′), (5.12)

tehát a K-beli és a K ′-beli szöggyorsulás ugyanazon „fizikai” vektor. Ezalatt azt értjük, hogy K-beli és a K ′-belikomponenseit egymásba az O mátrix transzformálja, mely tulajdonság az ω-val nem párhuzamos vektorok sebességeirenem áll fenn.

2018. december 18. 21:59:34 18

5.2 Forgó rendszer azonos origóval (m) 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .A K rendszerbeli gyorsulás

a = q qr = d2

dt2 Or′ = ddt(O

qr′ +

qOr′) = O

q qr′︸︷︷︸a(′)

+ 2q

Oqr′︸ ︷︷ ︸

2Ωv(′)

+q q

Or′︸︷︷︸q qOOTr

, (5.13)

ahol a K ′-beli gyorsulás K-beli reprezentációját a(′)-vel jelöltük. Az (5.7) definíciót differenciálva nyerjükqΩ =

( qOOT

) q=

q qOOT +

qO

qOT . (5.14)

Az egységmátrix 1 = OTO alakját beillesztjük a második tagba, azután az Ω (5.7) definíciójának, majd az antiszim-metriájának felhasználásával nyerjükq q

OOT =q

Ω−q

Oq

OT =q

Ω−q

OOTOq

OT =q

Ω−ΩΩT =q

Ω + Ω2. (5.15)Ezt az (5.13)-ba helyettesítve a gyorsulás átszámításának képletéhez jutunk

a = a(′) + 2Ωv(′) +q

Ωr + Ω2r. (5.16)

Itt az a(′) a forgó K ′ koordinátarendszerben észlelt gyorsulás, azaz a K ′-höz viszonyított sebesség K ′-höz viszonyítottderiváltja, a K-beli komponenseivel értve. Minden vektort a K-beli komponenseivel értettünk.

Az (5.16) egyenletet az

Ωv(′) = ω × v(′),q

Ωr = β × r, Ω2r = ω × (ω × r) (5.17)azonosságok alapján vektor alakban írhatjuk

a = a(′) + 2ω × v(′) + β × r + ω × (ω × r). (5.18)

Ha a K ′ transzlációsan is gyorsul a0-lal K-hoz képest, akkor (5.18) nyilvánvalóan kiegészül

a = a0 + a(′) + 2ω × v(′) + β × r + ω × (ω × r). (5.19)

2018. december 18. 21:59:34 19

5.3 Tehetetlenségi gyorsulások és erők (m) 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .5.3. Tehetetlenségi gyorsulások és erők (m)

Most a K ′-beli gyorsulást fejezzük ki, melyre kapjuk (5.18) alapján

a(′) = a− a0 + 2v(′) × ω + r × β − ω × (ω × r). (5.20)

Itt az a(′) mellett a tehetetlenségi gyorsulás tagok jelennek meg. Elnevezéseik:

a0 : transzlációs tehetetlenségir × β : Euler-

2v(′) × ω : Coriolis-−ω × (ω × r) : centrifugális

gyorsulás. (5.21)

A K-beli gyorsulás (5.18) képletében megjelenő ω × (ω × r) a centripetális gyorsulás, a centrifugális ellentettje. Azelőző a valódi gyorsulás egy összetevője, míg a második a forgó rendszerben észlelt gyorsulás egy tagja.

A centrifugális gyorsulást kifejthetjük ekvivalens formulákkal

−Ω2r = −ω × (ω × r) = ω2r − ω(ω · r) = (ω21− ω ω)r = ω2P⊥r = ω2r⊥, (5.22)

ahol a diadikus szorzat jelölése, a P⊥ definíciója leolvasható, azaz az ω tengelyre merőlegesen vetítő projektor, ésr⊥ az r-nek az ω-ra merőleges komponense. Az utóbbi nagysága |r⊥| = ρ a forgástengelytől mért távolság, mellyela centrifugális gyorsulás gimnáziumból ismert képlete ω2ρ.5.1. Gyakorló feladat. Mutassuk meg (5.22) alapján számítással, miszerint |P⊥r| = r sinϕ, ahol ϕ a tengely és azr által bezárt szög (a) akettős keresztszorzatból, azaz a második formulából; (b) P⊥ definíciójából. [1-1]

Az (5.20) egyenlet alapján megadhatjuk a II. Newton-törvényt gyorsuló koordinátarendszerre. Felhasználva, hogyF = ma, a K ′-ben észlelt (tömeg × gyorsulás)-ra kapjuk

ma(′) = F −ma0 + 2m(v(′) × ω) +m(r × β)−mω × (ω × r). (5.23)

2018. december 18. 21:59:34 20

5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .Eszerint az F -hez tehetetlenségi erők adódnak, melyeket a gyorsulásokhoz hasonlóan nevezünk. Emlékeztetünk arra,hogy minden tag komponenseit K-ban értettük. A II. Newton-törvény tehát gyorsuló koordinátarendszerben úgyegészítendő ki, hogy a valóságos erőkhöz a fenti tehetetlenségi erőket hozzáadjuk.

Megjegyzés: Az F erő "fizikai" vektor, átszámításaK ésK ′ között a komponensek ortogonális transzformációjávaltörténik.

5.4. Tehetetlenségi erők a Földön5.4.1. A Föld forgása és szöggyorsulása

A földi tehetetlenségi erők becsléséhez a szögsebesség és szöggyorsulás numerikus értékeire van szükségünk. AFöld szögsebessége

ωF = 2π24ó = 2π

86400s = 7, 27 · 10−5s−1. (5.24)

Elsősorban az árapály jelenség hatására a Föld forgása lassul, a szöggyorsulás átlagos értékeβF = −4, 8 · 10−22 s−2 ⇒ ωF (t) ≈ ωF (0) + βF t. (5.25)

Százmillió évenként kb. 40 perccel hosszabbodik a nap, a hosszabbodás mértéke most 15 − 25µs/év. Jelentősek azingadozások, például az eljegesedéskori jégsapkák leolvadását követően a kéreg emelkedett. Ezért az elmúlt tízezerévben a Föld lapultsága csökkent, ez a forgást gyorsító hatás.

5.4.2. Tehetetlenségi erők becslése

A keringés hatása a forgáshoz képest elhanyagolható. Az egyenlítőn a legnagyobb a centrifugális gyorsulás.Nehézségi gyorsulás: ∼ 10m/s2.Centrifugális: ω2

FRF sinϑ ∼ 0, 034 sinϑm/s2, ahol ϑ-t a 8. ábra mutatja és RF = 6371 km a Föld átlagossugara.

2018. december 18. 21:59:34 21

5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .

8. ábra. É↔D irányban mozgó tömegpont: milyen irányú a Coriolis gyorsulás?

A Coriolis-gyorsulás É↔D irányú mozgás esetén (v = 10m/s-ot véve): 2vωF cosϑ ∼ 14, 5 · 10−4 cosϑm/s2.Euler-gyorsulás: βFRF sinϑ ∼ 10−15 sinϑm/s2. A Coriolis-gyorsulás okozta relatív hiba a gravitációs gyorsuláshozképest: 15 · 10−4/10 ∼ 0, 15‰ ⇒ A Föld inerciarendszer 3 jegy pontosságig.

Eötvös-effektus: NY↔K irányú mozgás hatására változik a súly. Ezt többféleképpen magyarázhatjuk, pl.(a) a Földhöz rögzített rsz.-ben a felszínre merőleges Coriolis-erő komponens jelent meg;(b) azon rsz. szögsebessége, melyben a test nyugszik, módosult az ωF -hez képest, ezért a centrifugális erő változott.

5.2. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy forgó gömb felszínén a Coriolis-gyorsulás helyi vízszintes síkbeli vetüle-tének nagysága mindig 2vωF cosϑ a sebesség irányától függetlenül! [3]5.3. Gyakorló feladat. Keringési gyorsulások: Becsüljük meg azt a tehetetlenségi gyorsulást a Földön, amely (a) aFöldnek a Nap körüli, (b) a Földnek a Föld-Hold rendszer közös tömegközéppontja körüli, (c) a Naprendszernek aGalaktika centruma körüli keringéséből származhat! Miképpen módosul az (5.23) földi mozgásegye nlet, ha az a-bhatásokat figyelembe vesszük (ezek az árapály erők)? A szükséges adatoknak nézzenek utána. [1-2-2-2]

2018. december 18. 21:59:34 22

5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .5.4.3. A Coriolis-erő hatásai

→ É↔D mozgás az É/D-i féltekén jobbra/balra tér el, ld. 9. ábra. Ez minden irányú mozgásra is érvényes, pl.ilyenkor a vasúti kerekek a jobb/bal oldalon erősebben kopnak.

→ A kádban lefolyó víz merre örvénylik? Északi féltekén balra? A Simpson család egyik epizódjában is előkerül:Ausztráliában fordítva? Ez legenda, a Coriolis-hatás csekély, más perturbáció határozza meg az örvénylés irányát!

9. ábra. Különböző féltekéken mozgó test pályájának eltérülése; ciklonban és anticiklon-ban a levegő forgásiránya felülről nézve – melyik féltekén milyen irányú a csavarodás?

→ Örvények? Ciklon: felfelé áramlás beszívja a felszíni levegőt, alacsony nyomású; ha tenger felett keletkezik, akkorpáradús, felhőképen jól látható.

? Anticiklon: lefelé áramlás körül alakul ki, magas nyomású, száraz, ezért a felhőképen nem jelenik meg.Különböző féltekéken ellenkező a forgásirány, melyet a Coriolis-eltérítés állít be.

→ Tipikus szélirányok? Passzátszél (trade wind) a Föld felszínén.? Futóáramlat (jet stream) 7-16 km magasságban.

2018. december 18. 21:59:34 23

5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .

~30°

Eq.

10. ábra. (a) Az egyenlítői felmelegedés hatására kialakuló feláramlás és a kb. 30 széles-ségen zajló leáramlás következtében létrejövő légkörzések, az ún. Hadley-cellák átlagosszerkezete a forgástengelyt tartalmazó sík metszetében, napéjegyenlőség idején. (A je-lölt szög földrajzi szélesség.) (b) A passzát és nyugati szelek iránya a Föld felületén adélre ill. északra áramló légtömegekre ható Coriolis-erő következménye. (c) 3d szemlél-tetés (NASA). A valóságban a sarkokhoz közeli cellahatárok nem körök, hanem időbenváltozó, szabálytalanul kanyargó vonalak. Az innen leváló ciklonok a mérsékelt égövrevándorolva ezek időjárására lényeges hatást gyakorolnak.

2018. december 18. 21:59:34 24

5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .

11. ábra. Felhőképek 2016.08.20-án Európa fölött. A baloldali ciklon pozitív irányban fo-rog, a jobb alsó száraz terület anticiklonális, a peremén kivehető a negatív forgásirány.[AzOrszágos Meteorológiai Szolgálat met.hu veboldaláról.

2018. december 18. 21:59:34 25

5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK . . .

12. ábra. Hurrikán folyosó a Karib-tenger fölött, 2017.09.08-án. Balról jobbra Katia,Irma és José, a Coriolis-erő által irányított passzátszéllel érkeztek kelet felől, jól kivehetőpozitív forgásirányuk, melyet szintén a Coriolis-erő határoz meg. [A New York Timesnytimes.com veblapjáról, 2017.09.19, NOAA/NASA GOES Project.]E: 2018.09.15 J | I 2018.09.19 A: 2018.09.19 J | I 2018.09.21

2018. december 18. 21:59:34 26

6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE

6. Bevezetés a mechanika variációs elveibeA variációszámítás matematikai módszerének segítségével a XVIII. században a newtoni mechanika olyan átfogal-

mazása vált lehetővé, amelynek révén számos problémát könnyebben önthetünk formulákba. A variációs elvek fizikaitartalma ugyanaz, mint a Newton-egyenleteké, technikailag azonban gyakran kezelhetőbb alakúak. A XX. századbana klasszikus mechanika variációs megfogalmazása a kvantummechanika leírásában kulcsszerepet játszott. A számító-gépek elterjedésével külön jelentőségre tesz szert klasszikus mechanikai problémák variációs optimumfeladatként valómegfogalmazása, amely a mozgásegyenletek hatékonyabb numerikus megoldását teheti lehetővé.

Az alábbiakban először a variációszámítás módszerét vezetjük be, majd rátérünk mechanikai alkalmazására. No-ha első évfolyamon a variációszámítás egyes matematikai alapjai elhangoztak, az alábbi bevezetést önmagában ishasználhatónak szánjuk, ezért némi átfedés elkerülhetetlen.

6.1. A variációszámítás elemei6.1.1. Funkcionálok (m)

A legegyszerűbb funkcionál valós függvényekhez rendel valós számokat

F : függvény→ szám,jelölése: F [y(x)]. (6.1)

A funkcionál függvények terén értelmezett függvény.Funkcionálokat korábban is ismertünk, ilyenek az egy- vagy többszörös határozott integrálok, például

F [y(x)] =w b

ay(x) dx; F [y(x)] =

x b

ay(x− x′) y2(x) ey(x′) dx dx′; F [y(x)] =

w b

af(y(x), x) dx. (6.2)

Az utóbbi esetben a kétváltozós f függvény megadása definiálja az F funkcionált. E típust általánosíthatjuk oly

2018. december 18. 21:59:34 27

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEmódon, hogy az f függhessen az y deriváltjaitól is, pl.

F [y(x)] =w b

af(y(x), y′(x), y′′(x), x) dx. (6.3)

A különféle deriváltak fellépése nem változtat azon, hogy a teljes kifejezés az y(x) függvény menetétől függ, ezért Fargumentumába változatlanul y(x) írandó. A funkcionálban nem feltétlenül lép fel integrál, erre példa a Dirac-deltafunkcionál

FD[y(x)] = y(0) (6.4)

Ezt integrálként átértelmezve vezetjük be a δD(x) Dirac-delta „függvényt”

FD[y(x)] =w b

aδD(x) y(x) dx, a < 0 < b. (6.5)

6.1.2. A variációszámítás alapfeladata (m)

Történetileg a variációszámítás problémáját először a következőképpen fogalmazták meg. Tekintsük az alábbifunkcionált

S[y(x)] =w x1

x0L (y(x), y′(x), x) dx, (6.6)

melyet egy adott L(u, v, w) háromváltozós függvény definiál. Az S, L jelölésekkel a későbbi mechanikai mennyiségek-kel való összhang kedvéért vezettük be. Ezután azt kérdezzük, milyen y(x) mellett van S-nek szélsőértéke, minimumavagy maximuma, amennyiben a végpontokban az

y(x0) = y0, y(x1) = y1 (6.7)

2018. december 18. 21:59:34 28

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEértékeket rögzítjük. A kérdés általánosabban is megfogalmazható, éspedig S stacionárius pontját is kereshetjük, azazolyan y(x) függvényt, amelytől való kicsiny eltérésektől S lineáris rendben nem függ – ezt a tulajdonságot rövidesenközelebbről megvizsgáljuk.

Az S funkcionál természetesen függ az integrálási tartománytól is, ezt nem mindig jelöljük. A határokat itt azegyszerűség kedvéért rögzítettük, más peremfeltételek (PF-ek) mellett is definiálhatók variációs problémák.

6.1.3. Jelölések, elnevezések: hatásfunkcionál, Lagrange-függvény, kanonikus erő és impulzus

Ha az olvasónak kétségei lennének afelől, miszerint a (6.6) kifejezésben az y és az y′ függvényektől való függésmiképpen értendő, ezt könnyen megmagyarázhatjuk. A háromváltozós

L(u, v, x), (6.8)

függvényből az integrandust valamely x-nél az u = y(x) és v = y′(x) helyettesítéssel kapjuk. Használni fogjuk az yés y′ szerinti parciális deriváltakat, melyek értelme

∂L

∂y= ∂L(u, y′(x), x)

∂u

∣∣∣∣∣u=y(x)

, (6.9)

∂L

∂y′= ∂L(y(x), v, x)

∂v

∣∣∣∣∣v=y′(x)

. (6.10)

Ezek igen gyakran fordulnak elő, ezért rövidíteni fogjuk őket ily módon

F (y, y′, x) = ∂L

∂y, p(y, y′, x) = ∂L

∂y′. (6.11)

A később a mechanikában használatos terminológiát az egyszerűség kedvéért a jelen bevezetőben is alkalmazzuk,éspedig az extremizálandó S funkcionált hatásnak, az L integrandust Lagrange-függvénynek, az F deriváltat kanonikus

2018. december 18. 21:59:34 29

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEerőnek, a p mennyiséget kanonikus impulzusnak nevezzük. Az L, F, p mennyiségek egy adott y(x) esetén az y és y′függvényeken keresztül, továbbá közvetlenül is függnek x-től.

A S funkcionál argumentumait, mint fent láttuk, szögletes zárójel keríti, melybe az integrálás végpontjait gyakrannem írjuk be. Az S funkcionálnak a stacionárius y(x) függvényen felvett értéke csupán a végpontok függvénye, neveeikonál, melyet gömbölyű zárójellel írunk. Néha csupán a zárójelet írjuk ki az alábbi ekvivalens jelentésekkel.

S[..] = S[y(x)] = S[y(x);x0, y0, x1, y1], (6.12)S(..) = S(x0, y0;x1, y1) = S[y(x);x0, y0, x1, y1] |y(x)=stac.. (6.13)

6.1.1. Példa. Síkgörbe minimális hossza, mint variációs feladat.Természetesen tudjuk, hogy a minimális hosszú „görbe” az egyenes, de a példa jól illusztrálja a variációszámítást. Azelemi hossz a 13. ábráról leolvashatóan

d` = dxcosϕ =

√1 + tg 2ϕ dx =

√1 + y′2(x) dx, (6.14)

ϕ

13. ábra. A d` infinitezimális ívhossz.

Keressük azt az y(x) függvényt, amely minimalizálja a hosszt. AdottP0 = (x0, y0) és P1 = (x1, y1) kezdő- és végpontok között a hosszaz y(x) függvény funkcionálja

S[y(x)] =w P1

P0d` =

w x1

x0

√1 + y′2(x) dx. (6.15)

Tehát a Lagrange-függvény, a kanonikus erő ill. impulzus

L(y, y′, x) = L(y′) =√

1 + y′2(x) = 1cosϕ (6.16a)

F = 0 (6.16b)

p = y′√1 + y′2(x)

= sinϕ. (6.16c)

2018. december 18. 21:59:34 30

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE6.1.4. Stacionaritás (m)

a. Röviden

Valamely funkcionál stacionárius pontja analóg az egyváltozós valós függvény zérus deriválttal jellemzett stacioná-rius pontjával. A stacionaritás a lokális szélsőértéknél tágabb fogalom, sima függvényeknek belső pontban – azaz nema határon – felvett lokális szélsőértéke stacionárius, de nem minden stacionárius pont lokális szélsőérték. Hasonlóan,sima funkcionálok belső lokális extrémumai egyben stacionárius pontok, mely pontok itt természetesen függvények,de stacionárius pont nem feltétlenül lokális extrémum.

b. Hosszan

Az egyváltozós sima függvények példáját véve, egy pont stacionárius, ha a függvény deriváltja azon a helyenzérus. Eltűnő derivált jellemzi a lokális szélsőértéket is, s ezen felül inflexiós pontot is jelezhet. Miként azt jól tudjuk,valamely függvény deriváltja a megváltozása lineáris tagjának az együtthatója

f(x0 + δx) = f(x0) + δf(x0) ≈ f(x0) + f ′(x0)δx. (6.17)

Ha a függvénynek x0 lokális minimuma vagy maximuma, azaz extrémuma, akkor a δx eltérésben lineáris tag eltűnik,

f ′(x0) = 0. (6.18)

Ez csak belső x0 lokális extrémum-pontra érvényes. Ha a függvény az értelmezési tartomány határán veszi fel lokálisextrémumát, akkor a derivált ott nem feltétlenül tűnik el.

A derivált eltűnéséből nem következik, hogy ott lokális extrémum található, az x0 pont lehet inflexió is. Általábannevezhetjük a zérus deriváltú helyet stacionárius pontnak, ez arra utal, hogy a függvényérték eltérése a pont kiskörnyezetében lineáris rendnél csekélyebb.

2018. december 18. 21:59:34 31

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEHasonlóan, valamely sima többváltozós f(x1, .., xn) ≡ f(x) függvény stacionárius pontjának nevezhetjük azt az

x helyet, amelyben a függvény minden argumentuma szerinti parciális deriváltjai eltűnnek,

∂f

∂xj= 0, j = 1, .., n. (6.19)

Lokális minimum és maximum ilyen, emellett nyeregpontok és inflexiós pontok is stacionáriusak.A variációszámítás 6.1.2 alapfeladatában, a szélsőértékhez nem ragaszkodva azt is kérdezhetjük, milyen y(x)

mellett lesz S[y(x)] stacionárius, azaz mely y(x) függvény körüli kis változtatások mellett nem változik S[y(x)]értéke első rendben. A lokális extrémumok a stacionaritás speciális esetei. Annak vizsgálatához, hogy a stacionáriushely (azaz y(x) függvény) szélsőérték-e, s ha igen, maximum vagy minimum, másodredű számításokra van szükség,amelyek e kurzus kereteit túllépik.

6.1.5. Diszkretizáció, Euler–Lagrange-egyenlet

A 6.1.2-beli problémát diszkretizációval visszavezethetjük az ismert parciális deriválásra, majd folytonos határát-menettel kapjuk az eredeti, funkcionálokra vonatkozó probléma megoldását. Diszkretizáljuk az y(x) függvényt olymódon, hogy az x tengelyen bevezetjük az

x(n) = x0 + n∆x (6.20)

osztópontokat, melyek valamely kicsiny ∆x távolságra vannak egymástól (a végpont x1 = x0 + N∆x). A keresetty(x) függvény értékei y(n) = y(x(n)), a határokon y0 = y(0) és y1 = y(N). Ekkor (6.6) közelítőleg

SN[y(0), y(1), .., y(N);x0, x1

]=

N−1∑n=0

L

(y(n),

y(n+1) − y(n)

∆x , x(n))

∆x ≡N−1∑n=0

Ln∆x

−−−−→∆x→0

S[y(x);x0, x1] =w x1

x0L (y(x), y′(x), x) dx. (6.21)

2018. december 18. 21:59:34 32

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEA szumma n indexű tagjában az Ln rövidített jelölést vezettük be. Vegyük észre, hogy az x1 végpont nem szerepela szumma utolsó, n = N − 1 tagjában, mégis függ tőle SN , hiszen adott x0 és N esetén x1 állítja be a ∆x értékét.Most jelöltük az S funkcionál függését a végpontoktól is.

A stacionaritási feltétel minden egyes n = 1, .., N − 1 belső függvényértékre csak a szumma n és n − 1 indexűelemeit tartalmazza (most előre írjuk az n indexű járulékot)

0 = ∂SN [..]∂y(n) = ∂

∂y(n) (Ln + Ln−1) ∆x =(∂L

∂y

∣∣∣∣∣n

− 1∆x

∂L

∂y′

∣∣∣∣∣n

+ 1∆x

∂L

∂y′

∣∣∣∣∣n−1

)∆x, (6.22)

ahol az y és y′ szerinti deriváltak argumentumait jelzi az n−1 ill. n alsó index, éspedig úgy, hogy a (6.21) szumma azonindexű tagjának argumentumait helyettesítjük be a deriváltakba. Ha az olvasónak meglepő, hogy a (6.22) formulábanszerepel az y′, noha ezt diszkrét módon közelítettük, akkor emlékeztetünk arra, hogy a ∂L/∂y′ jelölés az L másodikargumentuma szerinti deriváltját fedi, melyet természetesen a diszkretizáció esetén is használhatunk.

A (6.22) egyenlet jobboldali formulájából a felbontás finomításával nyerjük az Euler–Lagrange-egyenletet

E(y, y′, y′′, x) = ∂L

∂y− d

dx∂L

∂y′= F (y, y′, x)− [p(y, y′, x)]′ = 0, (6.23)

ahol az E az ún. Euler–Lagrange-kifejezés, melyet az utána következő formula definiál, azaz a (6.11) kifejezésselbevezetett F kanonikus erőnek és a p kanonikus impulzus deriváltjának a különbsége. Innen látható is az utóbbielnevezések eredete, éspedig velük a stacionaritási feltétel Newton II. törvényéhez hasonló alakban áll elő. Jelöltükazt is, miszerint az E-ben általában második derivált is fellép.

Ha tehát adott L esetén az y(x) megoldja az Euler–Lagrange-egyenletet, az y(x) stacionárius pontja az S[y(x)]funkcionálnak. A fenti Euler–Lagrange-egyenlet általában tartalmazza y′′(x)-et, ezért másodrendű differenciálegyenleta stacionárius y(x)-re, melyet adott végpontokbeli

y(x0) = y0, y(x1) = y1 (6.24)

2018. december 18. 21:59:34 33

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEértékek mellett kell megoldanunk. Ezek peremfeltételek (PF-ek), helyettük a differenciálegyenletnél szokásos kezdetifeltételek (KF-ek), például az x0 pontban y(x0) = y0, y

′(x0) = v0 is egyértelművé tehetik a megoldást.Megjegyzések:→ A stacionaritás lokális tulajdonság. Egy funkcionálnak több stacionárius függvénye létezhet, hasonlóan ahhoz,

miként egy egyváltozós függvénynek több lokális minimuma, maximuma és vízszintes érintőjű inflexiós pontjalehet.

→ Az alapfeladat csak azt követeli meg, hogy y(x) legyen egyszer differenciálható, az Euler–Lagrange-egyenletmegoldása azonban kétszeresen az. Ez nem ellentmondás, az S[y(x)] funkcionál stacionárius helye „simább”,mint valamely általános argumentuma.

6.1. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, ha a (6.21)-beli szumma helyett a „szebb”, szimmetrikus

SN [..] =N−1∑n=0

L

(y(n+1) + y(n)

2 ,y(n+1) − y(n)

∆x ,x(n+1) + x(n)

2

)∆x, (6.25)

formulát használjuk, akkor a folytonos határátmenetben szintén a (6.23) feltétel adódik. Ez a folytonos egyenletneka diszkretizáció részleteitől való függetlenségét mutatja. [3]

6.1.6. A stacionárius hatás mint a határok függvénye: az eikonál

Ha a szóban forgó (6.6) funkcionál argumentumát egy stacionárius pontban vesszük, azaz behelyettesítjük aa (6.23) olyan y(x) megoldását, mely a végpontokban teljesíti a y(x0) = y0 és y(x1) = y1 feltételeket, akkora funkcionál stacionárius értékét mint a végpontok függvényét kapjuk. Ez a hatásfüggvény, melyet a geometriaioptikából származó kifejezéssel eikonálnak is neveznek, s ez utóbbit fogjuk a továbbiakban használni. Gyakran rövidjelölést alkalmazunk

S(..) = S(y1, x1; y0, x0). (6.26)E függvénynek a határpontoktól való függésére az alábbi érdekes összefüggéseket állíthatjuk fel.

2018. december 18. 21:59:34 34

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEa. A végpontbeli y1 értéke szerinti derivált: kanonikus impulzus

A (6.21) kifejezésnek az y1 = y(N) szerinti differenciálása adja, melyből a felbontás finomításával nyerjük

∂SN [..]∂y(N) = 1

∆x∂L

∂y′

∣∣∣∣∣N−1

∆x ⇒ ∂S(..)∂y1

= p(x1). (6.27)

Tehát a végpont szerinti derivált éppen az ott számított azon kanonikus impulzus, amely a stacionárius y(x) megol-dáshoz tartozik.

b. A végpont x1 helye szerinti derivált: kanonikus energia

Ha az x1 végpontot egy kicsiny ∆x hosszal megnöveljük, akkor a hatásintegrál megváltozása vezető rendben

∆S ≈ L|x1∆x. (6.28)

Ugyanezen növekményt kell kapnunk, ha a (6.26) differenciálját képezzük a stacionárius y(x) megoldás mentén

∆S ≈ ∂S(..)∂y1

∆y1 + ∂S(..)∂x1

∆x ≈[p(x1) y′(x1) + ∂S(..)

∂x1

]∆x. (6.29)

A ∆S két kifejezését egyenlővé téve nyerjük

∂S(..)∂x1

= (L− p y′)|x1. (6.30)

Érdemes bevezetnünk az

E = p y′ − L (6.31)

2018. december 18. 21:59:34 35

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEmennyiséget, melynek a kanonikus energia nevet adjuk. Általában adott y(x) esetén, azaz nem feltétlenül a stacionáriusy(x) függvény mellett ugyanezzel a kifejezéssel definiálható E, ilyenkor is az x adott függvénye. Az E-t Beltrami-függvénynek is nevezik, később látni fogjuk a fizikai energiával való kapcsolatát. Ezzel a jelöléssel a stacionáriusfunkcionálra nyerjük

∂S(..)∂x1

= −E(x1). (6.32)

c. A kanonikus energia deriváltja

A kanonikus energia érdekes tulajdonsága, miszerint a deriváltja

dE(y, y′, x)dx = p′y′ + p y′′ − ∂L

∂yy′ − ∂L

∂y′y′′ − ∂L

∂x= p′y′ − F y′ − ∂L

∂x= −Ey′ − ∂L

∂x, (6.33)

azaz benne az E Euler–Lagrange-kifejezés lép fel. Innen azonnal kitűnik, ha az L nem függ x-től expliciten, akkor

E ′ = −E y′, (6.34)

tehát a stacionárius y(x) függvény mentén E =áll. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy megfordítva nem feltétlenül igaz,hiszen állandó az energia az y(x) =áll. pályákra akkor is, ha ezen E 6= 0, vagyis az állandó y nem lenne stacionárius.Erre tehát ügyelni kell, ha energiamegmaradás alapján oldjuk meg a stacionaritási problémát, melynek során azokataz y =áll. megoldásokat is megkapjuk, melyek nem stacionáriusak.

Másfelől, ha a kanonikus energiát a stacionárius megoldás mentén tekintjük, akkor a (6.33) kifejezésbe E = 0helyettesítésével nyerjük

E ′ = −∂L∂x

, (6.35)

2018. december 18. 21:59:34 36

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEvagyis a kanonikus energiának a stacionárius pályán vett teljes, a koordináta szerinti deriváltja az a Lagrange-függvényexplicit koordinátafüggése szerinti derivált ellentettje.

A fenti relációk a mechanikában fontos szerepet játszanak, vissza fogunk hozzájuk térni.

d. Az eikonál teljes differenciálja

A fentiek alapján kapjuk a stacionárius funkcionál differenciálját az (x1, y1) végpontok függvényeként

dS(..) = p(x1) dy1 − E(x1) dx1. (6.36)

6.2. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy S(..)-nek az y0 és x0 kezdőértékek szerinti deriváltjait az ellentett előjelűformulák adják, azaz

∂S(..)∂y0

= −p(x0), ∂S(..)∂x0

= E(x0). [2]

Összefoglalásul, az S funkcionál stacionárius értékének, azaz az eikonálnak a teljes differenciálja a határpontok meg-változtatásával szemben

dS(y1, x1; y0, x0) = p(x1) dy1 − E(x1) dx1 − p(x0) dy0 + E(x0) dx0. (6.37)

E reláció a később tárgyalandó hamiltoni mechanikában játszik fontos szerepet.E: 2018.09.19 J | I 2018.09.21 A: 2018.09.21 J | I 2018.09.26

6.1.7. Variációs probléma nem rögzített határpontok mellett

A fenti összefüggések megengedik kiterjesztenünk a variációs feladatot olyan esetekre is, melyekben valamelyvégpont koordináta nincs rögzítve. Ilyenkor az S(y1, x1; y0, x0) függvényt még a szabad argumentuma szerint isstacionáriussá kell tennünk, azaz S deriváltjának el kell tűnnie, melyből az alábbi egyszerű feltételeket nyerjük.

2018. december 18. 21:59:34 37

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEa. Szabad a végpontbeli érték

Ha például az x0, x1 és y0 adott, de megengedjük, hogy az y1 végpont tetszőleges legyen, akkor a végpont rögzítésehelyett a stacionaritás feltételét

p(x1) = 0 (6.38)

alakban kell alkalmaznunk.

b. Szabad a végpont helye

Másik példánkban csak az x1 szabad, miközben x0, y0, y1 rögzített. Ekkor a stacionaritás a

E(x1) = 0 (6.39)

feltételt követeli meg.

c. A végpont adott görbén fekszik

Harmadszorra, ha a végpontokról csupán annyit tudunk, hogy valamely előírt

y1 = h(x1) (6.40)

görbén található, akkor a (6.36) kifejezést a stacionaritás követelménye szerint zérussal egyenlővé téve nyerjük

h′(x1) = E(x1)p(x1) . (6.41)

Ez esetben tehát nem rögzíthettük a végpontot, hanem az x1-nek teljesítenie kell a (6.41) feltételt.

2018. december 18. 21:59:34 38

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE6.3. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy az utóbbi feltételnek az első kettő, azaz a szabad x1, ill. a szabad y1feltételek a speciális esetei. [2]

Hangsúlyozzuk, hogy a határfeltételek az olyan y(x) függvényekre vonatkoznak, amelyek a (6.23) Euler–Lagrange-egyenletet megoldásai.

Megjegyzés: A fentiek a stacionaritási feltétel, mely lokális tulajdonság, kiterjesztései, tehát azok is lokális tulaj-donságok. Például előfordulhat, hogy a végpontra kényszerfeltételt előíró görbe érintőjére több helyen teljesül a (6.41),ilyenkor több stacionárius megoldás létezik.

6.1.8. A legrövidebb út a síkon

Természetesen tudjuk a választ, „egyenes szakasz”, mindazonáltal a példával a variációszámítás módszerét jólillusztrálhatjuk.

a. Rögzített végpontok között

Az y(x) görbe menjen át a P0 = (x0, y0) és P1 = (x1, y1) rögzített végpontokon. Ekkor a minimalizálandófunkcionált (6.15) adja (itt feltesszük, hogy y(x) egyértékű)

S[y(x)] =w P1

P0d` =

w x1

x0

√1 + y′ 2(x) dx ≡

w x1

x0L dx. (6.42)

A (6.16)-beli erő zérus, tehát a (6.23) Euler–Lagrange-egyenlet szerint

F = p′ = 0 ⇒ p = y′√1 + y′ 2

= sinϕ = áll. ⇒ ϕ = áll.. (6.43)

Tehát a vonal egyenes, y(x) = αx+ β, ahol a konstansokat a határpontokhoz való illesztéssel kapjuk.6.4. Gyakorló feladat. Végezzük el a határpontokhoz való illesztést, majd számítsuk ki az eikonált, azaz a minimálishosszt (melyre természetesen az S(y1, x1; y0, x0) =

√(x1 − x0)2 + (y1 − y0)2 formulát kell kapnunk). [2]

2018. december 18. 21:59:34 39

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEb. Az ívhossz Euler–Lagrange-kifejezése

Noha a stacionaritási problémát megoldottuk, a példa kedvéért határozzuk meg E-t

E = F − p′ = −p′ = − ddx sinϕ = − cosϕdϕ

dx = −dϕd` = − 1

R≡ −κ, (6.44)

ahol az utolsó előtti egyenlőség az R a görbületi sugár, az utolsó a κ görbület definíciója. Nyilvánvaló, miszerint astacionaritás a görbület eltűnését írja elő. Másrészről, ha a kanonikus impulzus (6.43)-beli formuláját deriváljuk, akkor

p′ = y′′√1 + y′ 2

− y′′ y′ 2

(1 + y′ 2)3/2 = y′′

(1 + y′ 2)3/2 = 1R

= κ, (6.45)

azaz a örbületet az y(x) deriváltjaival fejeztük ki.A görbület előjele a függvény konvexitásától függ

konvex: y′′, κ > 0; konkáv: y′′, κ < 0. (6.46)

Megjegyzés: Magasabb dimenziós felületek stacionaritása a felületek ún. átlagos görbületének eltűnését írja elő.

c. A függvény végponti értéke nem rögzített: szabad y1

Ekkor a P1 pont egy, az y tengellyel párhuzamos egyenes mentén mozoghat, miközben P0 fix. Minimalizálnunkkell az y1 szerint is, tehát (6.38) alapján fennáll

p(x1) = sinϕ|x1= 0. (6.47)

Mivel ϕ végig állandó, ezért a megoldásgörbe az x tengellyel párhuzamos szakasz, mely nyilvánvaló tényt egy kisiskolásis felismerne.6.5. Gyakorló feladat. Az előző gyakorló feladatban kérdezett S(y1, x1; y0, x0) deriváltja y1 szerint valóban p(x1)? [1]6.6. Gyakorló feladat. Legyen mindkét y0, y1 érték szabad. Ekkor mi a stacionaritás feltétele, s teljesíthető-e? [2]

2018. december 18. 21:59:34 40

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEd. Az integrálási tartomány végpontja nem rögzített: szabad x1

Ekkor a P1 pont egy, az x tengellyel párhuzamos egyenes mentén mozoghat, miközben P0 fix. Most minimalizál-nunk kell az x1 szerint, ehhez először meghatározzuk a (6.31) kanonikus energiát

E(x) = p y′ − L = sinϕ tgϕ− 1/ cosϕ = − cosϕ, (6.48)

ahonnan (6.32) alapján kapjuk

∂S(..)∂x1

= −E(x1) = 0 ⇒ |ϕ| = π/2. (6.49)

Tehát a minimális úthosszt az y tengellyel párhuzamos szakaszon mérhetjük, miként azt előre ki is találhattuk.

6.7. Gyakorló feladat. Ellenőrizzük, hogy az (a) alatti gyakorló feladatban expliciten felírt L(y1, x1; y0, x0) deriváltjax1 szerint valóban az (6.30) szerint az (6.49)-ban szereplő energia? [2]

Megjegyzés Ezen az egyszerű példán könnyen átláthatjuk a teljesen szabad P1 végpont esetét, éspedig a legrö-videbb, zérus hosszat akkor kapjuk, amikor P1 = P0, azaz a határpontok egybeesnek. Másfelől, a határfeltételeketformálisan véve, a (b) és (c) feltételeknek egyszerre kellene fennállniuk, ez azonban nyilvánvalóan nem lehetséges.A stacionaritási feltételek az L = 0 körül nem teljesülhetnek, ugyanis a 6.4-ban szereplő formula nem analitikusP1 = P0 körül. Az L = 0 a globális minimum, de nem stacionárius, a koordináták kis kitéréseire nem másod-, hanemelsőrendűen kicsiny a növekménye. Ennek egydimenziós analógja az |L(x)| függvény minimuma az origóban, amelynyilvánvalóan nem stacionárius pont. Ezzel a megjegyzéssel a határfeltételek formális alkalmazásának veszélyeirekívántuk felhívni a figyelmet.

e. Ha a P1 végpont egy előírt y = h(x) görbén mozoghat

2018. december 18. 21:59:34 41

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE

14. ábra. A P0 pont és adott görbe közötti sta-cionárius hosszak: a szakaszok merőlegesek ahelyi érintőre, ez szemléletből is nyilvánvaló.

A kérdés most az, hogy melyek egy pontnak egy görbétől számí-tott távolságának stacionárius értékei. A (6.41) szerint a kényszer-feltétel görbéjének érintője

h′(x1) = E(x1)p(x1) = − 1

y′(x1) . (6.50)

Ha a görbe h(x1) pontbeli érintőjének irányszögét ψ-vel jelöljük,akkor a fenti reláció szerint

tg (ψ) = − ctgϕ ⇒ ψ − ϕ = π/2. (6.51)A szemléletünkkel egyezően azt az eredményt kaptuk, hogy adottpontból valamely görbéhez mért stacionárius hosszúságú egyenes ép-pen merőleges a végpontjában a görbére. Ilyen pont több lehet, mintazt a 14. ábrán láthatjuk, melyen szaggatottal a lokálisan maximálisszalaszt jelöltük.

6.1.9. Az Euler–Lagrange-egyenlet – diszkretizáció nélkül (m)

a. Funkcionálderivált (m)

Az előzőekben a funkcionálok stacionaritási feltételét az x-beli diszkretizációval, parciális deriváltak eltűnésével,majd a folytonos limesz képzése révén állítottuk elő Az alábbiakban a „szokásosabb”, közvetlen módszert idézzük felfunkcionál stacionárius pontjának meghatározásához.

A (6.6) kifejezéssel bevezetett S[y(x)] hatásfunkcionál stacionárius y(x) argumentum függvényét keressük: vál-toztatjuk (variáljuk) az y(x)-et, s vizsgáljuk, mikor lesz az S[y(x)] funkcionál megváltozása vezető rendben zérus.

Számítsuk ki az S funkcionál δS megváltozását, ha az argumentum függvényt módosítjuk ekképpeny(x)→ y(x) + δy(x). (6.52)

2018. december 18. 21:59:34 42

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEA δy(x)-et a függvény variációjának nevezzük, melyre az alapfeladat keretében az alábbi feltételeket rójuk ki:

→ y(x)-től függetlenül választjuk,→ legyen kicsi – a variációban első rendig fejtünk sorba,→ δy(x0) = δy(x1) = 0 – a végpontok rögzítettek, ott a variáció zérus.

Megjegyzés: A δy(x) variáció jelentése tetszőleges, kicsiny függvény. Szabatosabb lenne helyette bevezetnünk egykis ε paramétert és egy tetszőleges, nem feltétlenül kicsiny h(x) függvény

ε h(x)→ δy(x). (6.53)

Ekkor h "szokásos" függvény, s a kis ε paraméterben, szintén szokásos módon fejtenénk sorba. Mindazonáltal a δy(x)variáció konyhamódszer eszközeként jól használható, emellett maradunk. Nem szabad elfelejtenünk, hogy a δy(x)függvény, s a számításokhoz kellően sima, deriválni is fogjuk.

A módosított funkcionál a (6.6) definíció alapján a következő

S[y(x) + δy(x)] = S[y(x)] + δS[y(x)] ≈ S[y(x)] +x1w

x0

[∂L

∂yδy + ∂L

∂y′δy′]

dx = S[y(x)] +x1w

x0

[Fδy + pδy′] dx,

(6.54)

ahol csak a variációban lineáris tagokat tartottuk meg, s a kanonikus erő és impulzus (6.11) jelölését használtuk. (Azy és δy függvények x argumentumát gyakran nem írjuk ki.) A δS megváltozásra parciális integrálással nyerjük

δS[y(x)] =x1w

x0

(F − p′) δy dx+ pδy∣∣∣∣x1

x0

. (6.55)

2018. december 18. 21:59:34 43

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBENevezzük funkcionális vagy variációs deriváltnak azt, ami az integrandusban δy-t szorozza

δS =x1w

x0

δS

δyδy dx+ p δy

∣∣∣x1

x0, (6.56)

azazδS

δy= F (y, y′, x)− [p(y, y′, x)]′ = E(y, y′, y′′, x) (6.57)

éppen a (6.23)-ben definiált Euler–Lagrange-kifejezés.Megjegyzés: A funkcionál (6.56) megváltozásában az argumentum-függvény δy(x) megváltozása integrál alatt

szerepel, ennek szorzója az integrandusban a funkcionálderivált.

b. A funkcionális és parciális deriváltak kapcsolata

Emlékeztetünk arra, hogy a (6.22) szerint a diszkretizált formalizmusban az y(n) függvényértékek szerinti parciálisderiváltak arányosak a megfelelő helyen vett Euler–Lagrange-kifejezéssel, amely éppen a funcionális derivált

1∆x

∂SN [..]∂y(n) → E = δS

δy. (6.58)

Ezen arányosság alapján parciális deriváltakra érvényes szabályokat átvihetünk a funkcionálderiváltakra.A fenti reláció a diszkretizációs megközelítéssel fennálló összhangot a következőképpen is megvilágítja. Éspedig ha

az egyes függvényértékeket a végpontok kivételével δy(n)-nel megváltoztatjuk, mely elemeket a δy vektorban foglaljukössze, akkor a diszkretizált hatás megváltozása első rendben δSN = ∇ySN · δy. A (6.58) összefüggés alapján ezéppen a funkcionálderiváltat tartalmazó (6.56) folytonos képletet adja határátmenetben

δSN = ∇ySN · δy →x1w

x0

δS

δyδy dx = δS, (6.59)

2018. december 18. 21:59:34 44

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEamennyiben a végponti függvényértékeket rögzítjük.

6.1.2. Példa. Közvetett függvény deriválásának láncszabálya funkcionálokraAz y(x) valamely funkcionálja az y → z változócsere esetén a z(x) funkcionáljának tekinthető. Mint fent láttuk,

a funkcionálderivált a diszkretizált függvény értékei szerinti parciális deriváltak limeszeként fogható fel, s ebből követ-kezően a parciális deriválásra vonatkozó láncszabály általában átvihető a funkcionálderiváltakra. Nevezetesen, tegyükfel, hogy ismert az y = f(z) függvény, ekkor

y′(x) = f ′(z(x)) z′(x). (6.60)

Az S hatást ezáltal a z(x) funkcionáljaként gondolhatjuk el, s ennek deriváltjára minden x helyen a parciális derivál-takra vonatkozó láncszabály a következő alakot ölti

Ez ≡δS

δz= δS

δy

δy

δz= δS

δy

dydz ≡ Ey f

′(z). (6.61)

A kétféle függvény szerinti Euler–Lagrange-kifejezések között tehát a láncszabállyal analóg összefüggés áll fenn!Alább feladjuk ennek közvetlen igazolását.

6.8. Gyakorló feladat. Mutassuk meg a fenti relációt konkrét számítással oly módon, hogy az y(x) funkcionáljakéntmegadott S =

rL(y(x), y′(x), x) dx integrálalakot a z(x) funkcionáljává expliciten átírjuk, majd a δz(x) bevezeté-

sével meghatározzuk a z(x)-re vett funkcionálderiváltat. [3]E gyakorló feladattal a diszkretizációra hivatkozás nélkül igazoljuk azt, miszerint változócsere esetén a funkcio-

nálderiváltakra a parciálisokéhoz hasonló láncszabály érvényes.A: 2018.09.26 J | I 2018.09.28

2018. december 18. 21:59:34 45

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEc. Stacionaritás

A hatás stacionaritásának feltétele (6.56) eltűnése. Mivel az integrandusban a δy(x) függvény belső pontjait ahatároktól függetlenül variáljuk, azért a stacionaritás megköveteli külön az integrál és külön a határtagok eltűnését.Az első feltételből

δS

δy= E = 0, (6.62)

Euler–Lagrange-egyenlet, megegyezően a diszkretizáció alapján kapott (6.23) feltétellel. A variáció alapfeladata szerinta határokon a függvény δy variációja eltűnik, ez esetben (6.56) jobboldalán a határtagok is zérusak, így lineáris rendbena funkcionál δS variációja zérus.

Megjegyzés: Ha az y(x)-ről áttérünk egy másik z(x) függvényre, akkor a (6.61) alapján az új változó szerinti azEz = 0 feltétel maga után vonja Ey eltűnését, amennyiben y′(z) 6= 0.

d. Az eikonál deriváltjai diszkretizáció nélkül

Azonnal leolvasható a (6.56) kifejezésből, miszerint a stacionárius y(x) behelyettesítésével kapott S(..) eikonálfüggvényre teljesül

∂S(..)∂y1

= p(x1), (6.63)

vagyis az y1 végpont szerinti derivált a kanonikus impulzus. Ennek alapján kaptuk azután a (6.32) összefüggést, melyszerint a felső x1 határ szerinti derivált

∂S(..)∂x1

= −E(x1), (6.64)

a kanonikus energia. Mindezekből a kezdőpontokra hasonló relációkat felírva, az eikonál korábban megkapott (6.37)teljes differenciálját nyerjük.

2018. december 18. 21:59:34 46

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEe. Stacionaritás és a nem rögzített határpontok esete

Az, hogy az eikonál teljes differenciáljára a korábbi (6.37) kifejezést nyertük vissza, egyben azt is jelenti, hogya nem rögzített végpontok melletti stacionaritásról a 6.1.7 részben közölt eredményeket másképpen, diszkretizációnélkül is megmutattuk. Például szabad x1 esetén a végpontbeli energia E(x1) = 0, míg szabad y1 esetén p(x1) = 0.

Azt, hogy a stacionárius y(x) vajon extrémum-e, s ha igen, maximum vagy minimum, globálisan vagy csaklokálisan, általában nem fogjuk vizsgálni. A kérdés megfordítottja is érdekes, éspedig vajon egy extrémum stacionárius-e, melyre ellenpéldát a végpont rögzítése nélküli minimális hossz problémájában láttunk.

6.1.10. Speciális esetek (m)

1. L(y, y′, x) = L(y, x). Ekkor p = 0, és az Euler–Lagrange-egyenlet alakja

E = F (y, x) = 0, (6.65)

nem differenciálegyenlet, hanem implicit egyenlet y(x)-re.2. L(y, y′, x) = L(y′, x). Az y-ban eltolásinvariáns variációs feladat. Most F = 0, ezért az Euler–Lagrange-egyenlet

E = −p′ = 0 ⇒ p(y′, x) = áll., (6.66)

ez általában elsőrendű differenciálegyenlet y(x)-re. Az y-beli eltolásinvarianciából tehát a kanonikus impulzus meg-maradása következik.

3. L(y, y′, x) = L(y, y′). Ez az x-ben eltolásinvariáns variációs probléma esete. Korábban megmutattuk, misze-rint ekkor a kanonikus energia megmarad, s ezt most felidézzük. A (6.31) formulával bevezetett kanonikus energiaderiváltját a (6.33) kifejezéssel kiszámítottuk, amely akkor, ha L expliciten nem függ az x-től, az

E ′ = −Ey′ (6.67)

2018. december 18. 21:59:34 47

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEegyenlőségre redukálódik. Stacionárius y(x) függvényre E = 0, tehát

E(x) = p y′ − L = E = áll. (6.68)

Végeredményben e reláció azt mondja ki, miszerint E a stacionárius függvény mentén állandó x-ben. Az energia-kifejezés az Euler–Lagrange-egyenlet egy integráljának tekinthető, melynek révén előállt adott állandó E mellett y-raegy elsőrendű differenciálegyenlet.

Emlékeztetünk arra, hogy (6.67) szerint az energia állandó, ha y(x) =áll. akkor is, ha ez nem stacionárius. Azállandó y(x) függvények stacionaritását tehát az energiamegmaradásból nem következtethetjük ki, azt külön szükségesvizsgálni.

Megjegyzés: Korábban a kanonikus energia formuláját a stacionárius helyen felvett funkcionál értékének az x1integrálási felső határ szerinti deriváltjaként kaptuk, ld. (6.32). Ebből az az érdekes speciális reláció adódik, miszerintha egyrészről az x1 végpont határozatlan, másrészről az L integrandus nem függ expliciten az x-től, akkor a stacion-aritási feltétel és a megmaradási tétel kombinációja a E(x) ≡ 0 azonosságot eredményezi. (Ez teljesült a határozatlanx1 végpont melletti legrövidebb síkgörbére, amely természetesen az y tengellyel párhuzamos szakasz.)

4. L(y, y′, x) = [g(y, x)]′, azaz az L teljes derivált x-ben. Ezt (6.6)-ba helyettesítve kapjuk, hogy S nem függ azy(x)-től, azaz

S = g(y(x), x)∣∣∣x1

x0= áll. ⇒ δS

δy= E ≡ 0. (6.69)

Ha tehát két függvény teljes deriváltban különbözik, akkor funkcionális deriváltjaik azonosak és ezért a stacionaritásifeltételeik is azonosak, a megoldások pedig legfeljebb a különböző peremfeltételek miatt különbözhetnek.6.9. Gyakorló feladat. Számítsuk ki a 4. esetben a funkcionálderiváltat a (6.57) formula alapján is! [3]

6.1.11. Példák

6.1.2. Példa. Újból a legrövidebb út – a kanonikus energiával: Görbe ívhosszát a (6.15) funkcionál adja, melyből,

2018. december 18. 21:59:34 48

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEmint már láttuk

L(y, y′, x) =√

1 + y′2 = 1/ cosϕ ⇒ p = sinϕ. (6.70)Mivel az L nem függ expliciten x-től, ezért az energiafüggvény x-ben állandó, melyből az egyenes következik, azaz

E = p y′ − L = − cosϕ = áll. ⇒ ϕ = áll. (6.71)6.1.3. Példa. Minimális forgásfelület: Két koaxiális kör keret között hártyát feszítünk. Milyen alakú lesz a minimális for-gásfelület?

x0

x1

y0

y1

15. ábra. Minimális felületű hártya

Előre tudjuk, hogy a gyűrűk kellő távolítása esetén a hártya el-szakad, ezt a megoldásnak is mutatnia kell. A minimalizálandó funk-cionál legyen a forgásfelület A területe per 2π, ahol

A = 2π S[y] = 2πw x1

x0y d` = 2π

w x1

x0y√

1 + y′2 dx. (6.72)

Vegyük észre, hogy az integrandus az előző példabeli (6.42) y-szo-rosa. A kanonikus energia ezért a (6.71) kifejezés y-szorosa

E = −y cosϕ = − y√1 + y′2

= áll., (6.73)

melyből y′-t kifejezve elsőrendű, szeparábilis differenciálegyenletet kapunk. (Mivel E < 0, a jelölést egyszerűsíti, haE ezután az abszolút értéket jelenti: E → −E.)6.10. Gyakorló feladat. Oldjuk meg a (6.73) differenciálegyenletet integrálással! [3]

Megoldását közvetlenül is előállíthatjuk, ha felidézzük, hogy

sh x = ch′x, 1 + ch′ 2x = ch2x, melynek alapján y(x) = E ch x− aE

(6.74)

éppen a keresett függvény. Az állandókat az y(x0) = y0, y(x1) = y1 határfeltételre kell illesztenünk.

2018. december 18. 21:59:34 49

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

C(z)

z

16. ábra. A C(z) függvény.

Vizsgáljuk a szimmetrikus esetet, ekkor x0 = −x1, y0 = y1adott és a = 0 tehát

y(x) = E ch x

E⇒ y1

x1= E

x1ch x1

E. (6.75)

Tehát a z = x1/E értékére kell megoldanunk adott y1/x1mellett

y1

x1= ch z

z= C(z), (6.76)

mely a C(z)-t definiálja, ld. 16. ábra. Két megoldás közül akisebb z a fizikai a következő értelemben. Közeli gyűrűk, azazy1/x1 1 esetén a minimális felület közel y1 sugarú, 2x1hosszú hengerpalást. Ez (6.75) első egyenletéből y ≈ E-nekfelel meg, innen z = x1/E 1, ezt nagy C(z) értékekre a baloldali ág inverzéből kapjuk. Csökkenő y1/x1 mellettezen az ágon haladva elérjük C(z) minimumát, amelynél kisebb y1/x1 értékekre nincs összefüggő minimális felület.

Szemléletünkkel mindez összhangban van. Ha a gyűrűket eltávolítjuk egymástól, akkor a hártya nem közöttükfeszül ki, hanem (ha óvatosan végezzük) a gyűrűk határolta körlapokká ugrik össze, melyek területe A0 = 2πy2

1. Azösszefüggő felület létezésének feltétele y1 ≥ C(z∗)x1, ahol z∗ a C(z) minimumhelye.

6.11. Gyakorló feladat. Magyarázhatjuk-e az összefüggő hártya szétválását oly módon, hogy a legszűkebb kör ke-resztmetszet a tengelyre zsugorodott, s pontjai összeértek? Adjuk meg az összefüggő felület létezésének a feltételétnumerikusan! (Ehhez transzcendens egyenletet szükséges megoldanunk.) [4]6.12. Gyakorló feladat. Engedjük a jobb oldali gyűrű keretet szabadon csúszni, azaz legyen x1 szabad, míg y1 rögzített.Nyilvánvaló, hogy a szabadon mozgó keret az x0 helyre csúszik, azaz a minimumot az x1 = x0 eset állítja elő. Hogyankapjuk ezt meg képlettel a variációs feltételből? [2]

2018. december 18. 21:59:34 50

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE6.13. Gyakorló feladat. A gyakorlaton látott brahisztokron problémában két rögzített pont között valamely görbénsikló tömegpont menetidejét maximalizáljuk, mely az S =

ry−1/2d` hatással arányos. Milyen feltételt jelent a pályára

az, ha (a) a végpont x1 koordinátáját rögzítjük, míg az y1 szabad; (b) x1 szabad, és y1 rögzített. [2-1]

6.1.4. Példa. Fermat-elv:

A fény változó törésmutatójú közegben adott végpontok között a minimális optikai úthosszhoz tartozó pályánterjed. Optikai úthossz (2D-ben az y(x) pálya egyértékű szakaszaira):

SF [y(x)] =wn(r) d` =

wn(x, y)

√1 + y′2(x) dx =

wLF (y, y′, x) dx. (6.77)

A kanonikus energia a Lagrange-függvény explicit x-függése esetén nem állandó! Az Euler–Lagrange-egyenletek

FF = ∂LF∂y

= ∂n

∂y

√1 + y′2 = ∂n

∂y

1cosϕ, (6.78)

pF = ∂LF∂y′

= ny′√1 + y′2

= n sinϕ, (6.79)

EF = δSFδy

= FF − p′F = 0. (6.80)

Abban a speciális esetben, amidőn a törésmutató csak az egyik irányban változik, ebbe irányíthatjuk az x tengelyt,azaz n = n(x). A fényút érintőjének irányszögét ϕ-vel jelölve kapjuk

n(x, y) = n(x) ⇒ pF = ny′√1 + y′2

= n sinϕ = áll. (6.81)

Ha a törésmutató szakaszonként állandó, akkor ez éppen a Snellius–Descartes-törvény a határokon. A törvényt ere-detileg Ibn Szál fedezte fel (Bagdad, 984).

2018. december 18. 21:59:34 51

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEE: 2018.09.21 J | I 2018.09.26

Megfordítva, infinitezimális szakaszokon állandó törésmutatóra a Snellius–Descartes-törvényből a Fermat-elv kö-vetkezik az n = n(x) esetben. Végül az izotrópia alapján az elvet általánosíthatjuk tetszőleges helyfüggő n(r)törésmutatóra a (6.77) formában.

A kanonikus energia

EF = pFy′ − LF = n sinϕ tgϕ− n

cosϕ = −n cosϕ, (6.82)

mely állandó, ha a törésmutató nem függ x-től, összhangban a Snellius–Descartes-törvénnyel.6.14. Gyakorló feladat. Írjuk ki általános n(x, y) törésmutató esetén a fényút Euler–Lagrange-egyenletét. Milyenrelációt kapunk a törésmutató gradiense és a fényút görbülete között? [3]

Megjegyzés: mivel a fázissebesség v = c/n, a Fermat-elv azt a pályát jelöli ki, amelyre a fázis terjedéséhezszükséges idő minimális.6.15. Gyakorló feladat. Lássuk be, hogy síktükrön történő visszaverődésnél a beesési és a visszaverődési szögekegyenlősége esetén lesz a legrövidebb az út, ha a kezdő- és végpontot rögzítjük! [3]

Alexandriai Hérón megmutatta, hogy tükrök tetszőleges elrendezésében a fénysugár útvonala a lehetséges legrö-videbb adott két végpont között.

6.1.12. Értelmezés

A minimalizáló pályára másodrendű differenciálegyenletet kaptunk, amelynek megoldását az eddgiekben adotthatárpontok mellett keressük. Az Euler–Lagrange-egyenletet azonban adott kezdeti feltételek (KF) mellett is megold-hatjuk. A határpontokkal egyrészről, a KF-ekkel másrészről definiált problémák matematikailag különbözőek, melyekha ugyanazon fizikai mozgást írják le, akkor fizikailag ekvivalenseknek tekinthetők. Ha adott kezdő- és végpont pontmeghatározza a pályát, akkor a kezdeti derivált is meghatározott, s megfordítva, ha a KF gyanánt a kezdőpont mellettfelvesszük éppen ez utóbbi kezdeti deriváltat, akkor a megoldás egyértelmű volta esetén, éppen ugyanazon végpontba

2018. december 18. 21:59:34 52

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEérkezünk. Tanulságképpen, ugyanazon pályákat ugyanazon differenciálegyenletből különféle paraméterezések mellettis megkaphatjuk, ezért ezeket fizikai szempontból ekvivalens paraméterezéseknek tekinthetjük.

Korábban filozófiai jelentőséget tulajdonítottak a különbségnek:

végpontok adottak ∼ teleologikus (céltételező) elv,KF adott ∼ kauzális (oksági) elv.

6.1.13. Kiterjesztések (m)

a. Több függvény funkcionálja

A szélsőértéket több yk(x)Nk=1 függvénytől függő funkcionál extremizálásával keressük

S[y1, .., yN ] =wL (y1, .., yN , y

′1, .., y

′N , x) dx. (6.83)

A határokat nem írjuk ki, de kikötjük, hogy ott az yk(x) függvények értéke adott, mint a 6.1.2 fejezetbeli alapfel-adatban. Mindegyik yk(x) függvény szerinti variáció eltűnik

0 = Ek = δS

δyk= ∂L

∂yk−(∂L

∂y′k

)′≡ Fk − p′k, (6.84)

melyben az utolsó formula a kanonikus erő és impulzus jelölését általánosítja több komponensre, s most az Ek Euler–Lagrange-kifejezés is többkomponensű mennyiség.

A kanonikus energia is általánosítható, az skalár értékű függvény marad

E =N∑k=1

pk y′k − L. (6.85)

2018. december 18. 21:59:34 53

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEA fentieket vektoriálisan is érdemes jelölnünk

S = S[y], L = (y,y′, x), F = ∇yL, p = ∇y′L, E = F − p′, E = py′ − L. (6.86)

Végezetül meghatározzuk az energiafüggvény deriváltját, mely (6.33) általánosítása

E ′ = (py′ − L)′ = p′ y′ + py′′ − F y′ − py′′ − ∂L

∂x= −Ey′ − ∂L

∂x. (6.87)

Ez minden y(x) függvényre, azaz nemcsak a stacionárius pontban (azaz stacionárius y(x) függvényre) érvényes. Astacionárius esetben marad

E ′ = −∂L∂x

, (6.88)

mely reláció a kanonikus energia megmaradását vonja maga után a stacionárius pontban, midőn L nem függ explicitenaz x változótól.

b. Magasabb deriváltak

A funkcionálban az y[n] magasabb deriváltak is felléphetnek. A legegyszerűbb eset

S =wL(y, y′, y′′, x) dx, (6.89)

amikor is

δS =w [

∂L

∂yδy + ∂L

∂y′δy′ + ∂L

∂y′′δy′′

]dx =

wδy

[∂L

∂y−(∂L

∂y′

)′+(∂L

∂y′′

)′′ ]dx+ határtagok. (6.90)

2018. december 18. 21:59:34 54

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEHa a határon δy = 0 és δy′ = 0, akkor az Euler–Lagrange-egyenlet általánosított alakját kapjuk

E = δS

δy= ∂L

∂y−(∂L

∂y′

)′+(∂L

∂y′′

)′′= 0. (6.91)

Ez általában negyedrendű differenciálegyenlet, melynek megoldásához négy peremfeltételre (PF-re) van szükségy(x0) = y0, y(x1) = y1, y′(x0) = v0, y′(x1) = v1. Ekvivalensen négy kezdeti feltételt (KF-et) használhatunk,pl. y, y′, y′′, y′′′ a kezdőpontban.

6.16. Gyakorló feladat. Ha az x1 végpontban y′-t nem rögzítjük v1-re, hanem ezen érték szabad, akkor milyenfeltételt kell kirónunk a stacionaritás teljesítéséhez? Útmutató: írjuk ki (6.90) határtagjait, melyekből a keresettfeltételt kiolvashatjuk. Milyen feltétel teljesüljön, ha az x1 szabad? [3-3]

A: 2018.09.28 J | I 2018.10.03

6.1.14. Kényszerfeltételek és a Lagrange-féle multiplikátorok módszere (m)

Tegyük fel, hogy (6.83) stacionárius argumentumait további feltételek, ún. kényszerfeltételek együttes teljesülésemellett keressünk. Álljon fenn a y1, .., yN változó függvények között a következő kényszerfeltétel

ϕ(x, y1, .., yN) = 0. (6.92)

Lényeges, hogy itt a kényszer csak a variálandó yk függvények értékei, de nem a deriváltjai között ír elő megszorítást –ez a holonom kényszer. A fenti egyenlet adott x mellett a függvényértékeket lényegében egy hiperfelületre korlátozza.

A kényszerek kezelésére a Lagrange-féle multiplikátorok módszerét alkalmazzuk.

2018. december 18. 21:59:34 55

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEa. Kétváltozós függvény stacionárius pontja kényszerfeltétel mellett

Keressük f(x, y) stacionárius pontját az y = h(x) előírt görbe mentén, azaz

ddxf(x, h(x)) = ∂f

∂x+ ∂f

∂yh′(x) = 0. (6.93)

E reláció szemléletesen azt jelenti, hogy a szóban forgó f függvény leggyorsabb változásának iránya

∇f = (∂xf, ∂yf) (6.94)

és az előírt y = h(x) görbe

(1, h′(x)) (6.95)

érintővektora merőlegesek egymásra. Más szóval, az f a kényszer érintője mentén nem változik lineáris rendben,azaz f a kényszer betartása mellett stacionárius! Következésképpen ∇f a görbe normálisának irányába mutat. Ha amellékfeltételt a

ϕ(x, y) = h(x)− y = 0 (6.96)

alakba írjuk, akkor a görbe normálisa ∇ϕ(x, y) = (h′(x),−1), végül a fentiek alapján

∇f ‖ ∇ϕ. (6.97)

Magyarán az f és a kényszer ϕ függvényeinek gradiensei párhuzamosak. Alább látni fogjuk, hogy ha e gradienseket„erő”-ként fogjuk fel, akkor egymásnak ellentartó, egyensúlyban levő erőkről van szó.

2018. december 18. 21:59:34 56

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEb. Lagrange-multiplikátor bevezetése

A fentiekkel ekvivalens eredményre jutunk, ha az

fλ(x, y, λ) = f(x, y) + λϕ(x, y) (6.98)

által definiált függvény stacionaritási feltételét követeljük meg mindhárom változójában. Ekkor nyerjük

∇f + λ∇ϕ = 0 , ϕ = 0, (6.99)

melyek azonosak a (6.96,6.97) feltételekkel. A λ eliminálása után

∂f

∂x+ λh′(x) = 0, ∂f

∂y− λ = 0, ⇒ ∂f

∂x+ ∂f

∂yh′(x) = 0 (6.100)

éppen (6.93), az (a) pontban felírt feltétel adódott. A (6.98)-ben bevezetett λ-t Lagrange-féle multiplikátornakhívjuk, s a módszert is erről nevezték el. A (6.98) reláció éppen azt fejezi ki, miszerint ha a gradienseket „erő”gyanánt értelmezzük, akkor a ∇ f erőnek a λ∇ϕ „kényszererő” tart ellen. Kényszer nélkül a stacionaritás feltételeaz ismert ∇ f = 0 egyenlet.

6.17. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a Lagrange-multiplikátor módszere tetszőleges N -dimenziós változótólfüggő f(r) függvény stacionárius pontjának meghatározására is alkalmas valamely ϕ(r) = 0 mellékfeltétel előírásaesetén. Útmutató: fejezzük ki a mellékfeltételből az egyik koordinátát. [3]6.18. Gyakorló feladat. Írjunk elő több mellékfeltételt az előző feladathoz, ϕm(r) = 0, 1 ≤ m ≤ M , ahol M <N , s mutassuk meg, hogy minden kényszerfeltételhez egy-egy Lagrange-multiplikátort rendelve helyesen kapjuk astacionaritás feltételét. [3]

2018. december 18. 21:59:34 57

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEc. Lagrange-multiplikátor variációs problémáknál

A fentiekkel analógiában, (6.83) típusú funkcionálok a (6.92) kényszer előírása melletti stacionárius pontjánakmeghatározásához a következő, multiplikátoros taggal kiegészített funkcionált vezetjük be

Sλ = S +wλϕ dx =

w(L+ λϕ) dx =

wLλ dx, (6.101)

ahol λ függhet az x-től, s az indexbe írt λ a kiegészített függvényt különbözteti meg. A stacionaritás feltételeiδSλδyk

= (Eλ)k = δS

δyk+ λ

∂ϕ

∂yk= Fk − p′k + λ

∂ϕ

∂yk= 0 ∼ Eλ = F − p′ + λ∇ϕ (6.102)

δSλδλ

= ϕ = 0, (6.103)

amelyek megoldandók az y1(x), .., yN(x), λ(x) függvényekre. Több kényszerfeltétel fennállásakor minden feltétel melléegy-egy multiplikátort vezetünk be.

Megjegyzés: A (6.102) egyenletben fellépő, λ-val arányos tag a (6.92) hiperfelület normálisának irányába mutat,nagyságát pedig az a λ adja meg, amelyet a (6.102) és a (6.103)) egyenletek megoldásával kapunk. Az eredeti Sfuncionális deriváltja tehát az előírt felület normálisával párhuzamos, másszóval zérus az felületet érintő síkra vettkomponense, amelyet el is várunk a felületre korlátozott stacionárius pontban. Ez a kép konkrét fizikai jelentést nyerakkor, amikor a Lagrange-formalizmus keretében mozgásegyenleteket kényszerek jelenlétében fogalmazunk meg.

Speciális eset: integrális mellékfeltétel

Φ =wϕ dx = 0, (6.104)

amikor isSλ =

wL dx+ λ

wϕ dx, (6.105)

azaz λ nem függ x-től.

2018. december 18. 21:59:34 58

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE6.1.5. Példa. Láncgörbe: Milyen alakú a felfüggesztett lánc (kötél)?

A potenciális energiát minimalizáljuk adott hossz mellett. Ha g a nehézségi gyorsulás és ν a hosszegységre esőtömeg (lineáris sűrűség), akkor

V [y] = gwy dm = νg

wy d` = νg

wy√

1 + y′2 dx, (6.106)

miközben rögzített a hossz

`[y] =w √

1 + y′2 dx = `0. (6.107)

Ekkor a mellékfeltétel Φ[y] = `[y]− `0 = 0, azonban a konstanst elhagyhatjuk az y szerint variálandó funkcionálból,s így kapjuk a µ = νg jelöléssel

Sλ[y] =V [y] + λ`[y] =wLλ dx, (6.108)

Lλ =(µy + λ)√

1 + y′2. (6.109)

Bevezetve az y(x) = y(x) + λ/µ jelölést nyerjük

Lλ = µy√

1 + y′2. (6.110)

Ez éppen a minimális forgásfelület variációs problémájában megjelent (6.72) függvény, melyhez tartozó stacionaritásiproblémát már megoldottuk

y = y + λ/µ = C ch x− aC

. (6.111)

2018. december 18. 21:59:34 59

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEEz az általában aszimmetrikus láncgörbe. Három feltételünk van, a két végpont helye és a görbe hossza, melyekből aλ, a, C paraméterek meghatározandók

y0 =y(x0), y1 = y(x1), (6.112)

`0 =w x1

x0

√1 + y′2 dx =

w x1

x0ch x− a

Cdx = C sh x− a

C

∣∣∣∣∣x1

x0

. (6.113)

0

1

2

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

D(z)

z

17. ábra. A D(z) függvény.

Speciális eset a szimmetrikus felfüggesztés, amikor isy0 = y1, x0 = −x1. Ekkor a = 0 és

`0 = 2C sh x1

C, (6.114)

és bevezetve a z = x1/C jelölést kapjuk

`0 = 2x1sh zz

= 2x1D(z). (6.115)

A D(z) függvényt a 17. ábra mutatja. Mivel D(z) ≥ 1,azért a megoldhatóság feltétele L0 ≥ 2x1. Ez nyilvánva-ló, a lánc legyen hosszabb, mint a két végpont távolsá-ga. Az `0 és x1 ismeretében tehát a C előáll a (6.114)transzcendens egyenlet megoldásaként.

Végül a λ-t határozzuk meg a végpont magasságából.A (6.111) alapján

y1 = C ch x1

C− λ/µ. (6.116)

2018. december 18. 21:59:34 60

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEMegjegyzés: A korábban kiszámított minimális forgásfelület síkmetszete is láncgörbe. A felfüggesztett lánc esetén

azonban a teljes hosszt mellékfeltétellel rögzítettük, a két probléma nem azonos variációs feladat! Ezt az is mutatja,hogy a forgásfelület kettő, a lánc három illesztési paramétert tartalmaz.

6.19. Gyakorló feladat. Milyen alakú a lánc, ha az x1 pontban nem rögzítjük y1-et, azaz a P1 végpont függőlegessínen mozoghat. [3]6.20. Gyakorló feladat. Milyen alakú a lánc, ha a P1 végpont függőleges sínen mozoghat, amelyen rugó tartja. Ennekpotenciális energiája legyen U(y1) = k y2

1/2. [6]

6.1.15. Láncgörbéhez vezető ekvivalens variációs problémák

A Fermat-elv és a láncgörbe kapcsolata: A függő kötél, amelynek Lagrange- függvénye

L = (µy + λ)√

1 + y′2, (6.117)

formálisan hasonló az

n = µy + λ (6.118)

lineárisan változó törésmutatójú közegbeli fényterjedéshez, azzal a különbséggel, hogy a fény pályájának hossza nemrögzített, hanem λ adott). Ehhez hasonló a törésmutató forró felület fölötti levegőben, melyben a ferdén beeső fényláncgörbét leírva mutat délibábot.

A láncgörbékhez vezető példák utolsójaként említjük a gyakorlaton is vizsgált brahisztokron probléma más vál-tozatát. Nevezetesen, könnyen megmutatható, miszerint a V (r) = −c/y2 potenciálban (c > 0), valamely pontbólzérus energiával indított tömegpont minimális menetidőhöz tartozó pályájának alakja szintén láncgörbe.

6.21. Gyakorló feladat. Lássuk be a fenti állítást. [3]Összefoglalva az eddig tárgyalt példákat, arra a figyelemre méltó eredményre jutunk, mely szerint

2018. december 18. 21:59:34 61

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE→ gyűrűk között kifeszülő hártya síkmetszete,→ felfüggesztett lánc,→ délibábot mutató fénysugarak,→ brahisztokron pályája a −1/y2 potenciálban

alakja egyaránt láncgörbe.

6.22. Gyakorló feladat. Milyen alakú a forgatott ugrókötél? Az egyszerűség kedvéért a gravitációt hanyagoljuk el, stekintsük a kötél két végpontjának helyét rögzítettnek. Ha egy integrált nem ismerünk, nézzünk utána az irodalomban.(Dávid Gyula feladata) [4]6.23. Gyakorló feladat. Milyen alakú a Föld felszíne fölött felfüggesztett nagyon hosszú lánc? Útmutató: Vegyüka potenciált −α/r-nek, majd írjuk fel az ívhosszat síkbeli polárkoordinátákkal. Az eredményt integrál alakban elégmegadni, nem kötelező ismert függvénnyel kifejezni. [4]6.24. Gyakorló feladat. Izoperimetrikus problémának nevezik azt, amely szerint adott hosszú kötéllel, különféle pe-remfeltételek mellett, a legnagyobb területet kívánunk elkeríteni. Ennek speciális esete Didó királynő problémája,melyben egyenes part mentén szándékozzuk a maximális földterületet kialakítani. A feladatot lényegében az első évesMatematikai Módszerek kurzus során megoldották, a görbe körív. Most ugyanennek a problémának a különböző pe-remfeltételek melletti megoldásait fogjuk keresni a következőképpen. Maximalizráljuk az `0 hosszú, y(x) alakú kötélés az x tengely közötti

ry(x) dx területet, s rögzítsük a kötél egyik végét az origóban. Adjuk meg az ilyen kötél

egyenletét, ha (i) a másik vége az (x1, y1) pontban rögzített; (ii) az x1 rögzített s az y1 szabad; (iii) az x1 szabad, saz y1 rögzített; (iv) a végpont teljesen szabad; (v) a végpont adott y = h(x) görbén mozoghat. [2-1-1-1-1]

6.1.16. A függő kötél, a brahisztokron probléma, valamint a Fermat-elv ekvivalenciája általános poten-ciálok ill. törésmutató mellett (*)

a. Kötél egyensúlyi alakja általános potenciálban

A homogén térben felfüggesztett kötél és a lineáris törésmutatójú közegbeli fénysugár analógiája továbbvihető.Tekintsünk egy általános V (r) potenciálban egyensúlyban levő ν homogén tömegeloszlású, `0 hosszú kötelet, rögzített

2018. december 18. 21:59:34 62

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEr0 és r1 végpontokkal. Ennek alakját valamely u paraméterrel az r(u) függvényként írjuk le az u = 0 és u = u1értékek között.

Először az ívhosszal írjuk fel a hatást, mely legyen a ν-vel osztott potenciális energia és a hosszt rögzítő Lagrange-multiplikátoros tag összege (a multiplikátort jelölő indexet nem írjuk ki)

S[r] =w r1

r0V (r) d`+ λ

(w r1

r0d`− `0

). (6.119)

Az r(`) szerint naiv módon képzett variációs deriváltat zérussal egyenlővé téve nyilvánvalóan helytelen eredménytkapunk! Ennek oka az, hogy az ívhossz nem független koordináta, hanem a görbe variálásakor maga is megváltozik.Ezért áttérünk egy hipotetikus, de független u paraméterre, mellyel a r(u) függvényhez jutunk, s ezt fogjuk variálni.Felhasználva a

d` = |dr| = |r′(u)| du, (6.120)

relációt, kapjuk a hatásfunkcionált (az utolsó, állandó tag nem befolyásolja a mozgásegyenleteket)

S[r(u)] =w u1

0[V (r(u)) + λ] |r′(u)| du− λ`0 ≡

w u1

0Lu du− λ`0. (6.121)

Az ehhez rendelhető erő és az impulzus, majd az Euler–Lagrange-egyenlet

F u = ∇rLu = |r′|∇V (r), pu = ∇r′Lu = (V (r) + λ) r′

|r′|, (6.122)

Eu = ∇V (r) |r′| − ddu

[(V (r) + λ) r

′

|r′|

]= 0 . (6.123)

Vegyük észre, hogy λ a potenciál additív állandója, mely az erőt nem befolyásolja, azonban szükséges az `0 rögzítettértékének beállításához.2018. december 18. 21:59:34 63

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE6.25. Gyakorló feladat. Számítsuk ki az Eu kanonikus energiát, és értelmezzük az eredményt. [1-2]

Végül érdemes visszatérnünk az u-ról az ` ívhosszra, mellyel a görbét az r(`) paraméteres alakban adjuk meg, smelyből (6.120) alapján deriválással az érintő egységvektort kapjuk∣∣∣∣∣dr(`)

d`

∣∣∣∣∣ ≡ |r′(`)| = 1. (6.124)

A stacionaritási feltételből az `→ u helyettesítéssel a következő egyenletet kapjuk

E` = ∇V (r)− dd` [(V (r) + λ) r′(`)] = 0 , (6.125)

mely az r(`) függvényt meghatározó differenciálegyenlet.E: 2018.09.26 J | I 2018.09.28

b. A stacionarizálandó funkcionál és a kényszerfeltétel felcserélhetősége

Kis kitérőként felhívjuk a figyelmet arra a nyilvánvaló tényre, miszerint egy stacionarizálandó funkcionál és globáliskényszerfeltétele szerepei felcserélhetők. A fenti példában az energiát minimalizáltuk rögzített kötél-hossz mellett. Hamármost előírjuk az energiát valamely rögzített értéknek s az ezt előállító legrövidebb kötél alakját kérdezzük, akkora megfelelő hatás

S[r] =w r1

r0d`+ λ

w r1

r0V (r) d`. (6.126)

Ez ekvivalens a (6.119) hatással annyiban, hogy a λ→ 1/λ megfeleltetés mellett azonos Euler–Lagrange-kifejezéshezvezetnek. Ha azonban most az energia értéke adott, s a hossz változhat, akkor a megoldások paramétereinek illesztésea két problémában különbözőképpen történik.

2018. december 18. 21:59:34 64

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEA gravitációs potenciál példáján arra a következtetésre jutunk, miszerint adott hosszú kötél minimális energiájú

alakja azonos az ezen adott energiájú kötelek közül a legrövidebb alakjával. Ezt általánosíthatjuk más variációsproblémákra is, éspedig a stacionarizálandó funkcionál és a kényszerfeltétel szerepeinek felcserélése esetén az Euler–Lagrange-kifejezés lényegében azonos marad.

Most visszatérünk eredeti gondolatmenetünkhöz, nevezetesen az általános potenciálbeli láncgörbével formálisanekvivalens, de fizikailag különböző eredetű problémák tárgyalására.

c. Brahisztokron általános potenciálban

Nyugalomból indított tömegpont súrlódásmentesen siklik két adott r0, r1 pontot összekötő „vályú”-ban a V (r)potenciálban, s ekkor azt kérdezzük, milyen alakú görbe mentén lesz a legrövidebb a menetidő. Általánosabban astacionárius menetidőhöz tartozó görbék alakját is kereshetjük. A görbét az ívhosszával paraméterezzük, a v sebességetaz energiamegmaradás alapján számítjuk, s ekkor kapjuk a menetidőre

T = S[r(`)] =w r1

r0

d`v

=√m

2

w r1

r0

d`√V (r0)− V (r)

. (6.127)

Ez a funkcionál a (6.119) kifejezéssel azonos típusú, ezért a függő kötél egyensúlyi alakjára vonatkozó összefüggésekanalóg módon átvihetők a brahisztokron problémára.6.26. Gyakorló feladat. Milyen potenciál mellett lesz a leggyorsabb pálya láncgörbe alakú? [3]6.27. Gyakorló feladat. Milyen lesz a gravitációs V ∼ y potenciálban a brahisztokron alakja, ha valamely véges,|v0| = v0 sebességgel indítjuk tömegpontot. [3]6.28. Gyakorló feladat. Határozzuk meg gravitációs V ∼ y potenciálban a két adott pont között adott menetidejűpályák közül a legrövidebb görbe alakját. [4]

2018. december 18. 21:59:34 65

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEd. Fényút

A Fermat-elv a v = c/n közegbeli sebesség definíciójával az elérési időnek ill. ennek c-szeresének, az

SF [r] = cw r1

r0

d`v

=w r1

r0n(r) d` (6.128)

optikai úthossznak a stacionaritását mondja ki. A brahisztokron-problémával szoros az analógja, ez is a minimálismenetidejű pályát keresi. A két probléma közötti különbség abban áll, hogy a fénysebesség helyfüggését az anyagpolarizálhatósága határozza meg, s ezután a fényterjedés törvénye az, miszerint a legrövidebb menetidejű pályátválasztja, ezzel szemben a mechanikai brahisztokron esetén a sebesség helyfüggését a potenciálból számíthatjuk, sezután mi készítjük azt a pályát, amely mentén a legrövidebb idő alatt halad végig a test.

Az eddigieket összefoglalva a Fermat-elv nyilvánvalóan ekvivalens a V (r) potenciálban egyensúlyban levő kötél,ill. a brahisztokron problémájával a

kötél: V (r) + λ ∼ brahisztokron: 1/√V (r0)− V (r) ∼ Fermat: n(r) (6.129)

megfeleltetés mellett. Vegyük észre, hogy mivel eleve sem a brahisztokron-pálya, sem a fényút hossza nem rögzített,ezért nem tartozik hozzájuk Lagrange-multiplikátor.

6.1.6. Példa. Mint ismeretes, a brahisztokron probléma, melyben a potenciál V (r) = −mgy (most y lefelé növekszik),megoldása ciklois. Innen nyilvánvaló, hogy az n ∼ 1/√y törésmutatójú közegbeli fényút szintén ciklois.

6.29. Gyakorló feladat. Milyen potenciálban lesz a felfüggesztett kötél ciklois? [3]Az ívhosszal paraméterezett r(`) fényút Euler–Lagrange-egyenlete a (6.125) kifejezés alapján

E` = ∇n(r)− [n(r) r′]′ = 0 . (6.130)

2018. december 18. 21:59:34 66

6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEMivel az n ívhossz szerinti deriváltja n′ = r′∇n , azért a fényút egyenletének ekvivalens alakja

E` = (1− r′ r′)∇n(r)− n r′′ = 0 . (6.131)

Megjegyzés: Mivel

|r′|2 = 1 ⇒ r′′ · r′ = 0, (6.132)

azért az E` Euler–Lagrange-kifejezés mindig merőleges az r′ érintőre

E` · r′ ≡ 0. (6.133)

Ez nemcsak a megvalósuló fényút mentén áll fenn, hanem a térben általában érvényes azonosság! KövetkezésképpenE` = 0 a tér dimenziószámánál eggyel kevesebb független egyenletet jelent. Valóban, ezzel teljes összhangban, asíkbeli fényút alakjára korábban egyetlen skalár differenciálegyenletet írtunk fel, ld. (6.80), amely az y(x) függvénythatározta meg.

6.30. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy |r(`)′′| = |κ| = |1/R| az abszolút görbület, és r′′ pedig a simuló körközéppontja felé mutat. [3]6.31. Gyakorló feladat. Válasszuk u-nak az x koordinátát a (6.121) hatásintegrálban. Síkprobléma esetén mutassukmeg, hogy Ex mindkét komponense ekvivalens a korábban a fényút y(x) görbéjére kapott (6.80) egyenlettel azn = V + λ megfeleltetés mellett. Mekkora volt az energia az x használata mellett, s mekkora az u paraméterezéssel– értelmezzük azt eredményt. [2-2]6.32. Gyakorló feladat. Az n ∼ 1/r sugárirányban lecsengő törésmutató esetén a Fermat-elv merész alkalmazásaszerint minden, az origó köré írt főkört leíró fénysugár optikai úthossza azonos, ezért azok meg is valósulhatnak [333+Furfangos feladat fizikából]. Ellenőrizzük, miszerint tetszőleges sugarú körpálya valóban megoldása a stacionaritásdifferenciálegyenletének. [3]6.33. Gyakorló feladat. Igazoljuk, hogy n ∼ 1/

√r törésmutató mellett minden fényút parabola. [5]

2018. december 18. 21:59:34 67

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE6.34. Gyakorló feladat. Lineáris törésmutató mellett, n ∼ y határozzuk meg a fényutat a síkban, mint az ívhosszfüggvényét (a könnyebbség kedvéért szimmetrikus elrendezésben)! Mutassuk meg, hogy éppen az ismert láncgörbénekaz ívhossz függvényében paraméterezett alakját állítottuk elő. [5]6.35. Gyakorló feladat. Állítsuk elő a fényút Fermat-elv szerinti egyenletét variációszámítás nélkül! Útmutató: azáltalános potenciálbeli kötél alakjának egyenletét az erők egyensúlya alapján is megszerkeszthetjük. [5]6.36. Gyakorló feladat. Vezessük le a fényút egyenletét oly módon, hogy az SF funkcionálban megtartjuk az ívhossztintegrálási változónak, azaz nem térünk át az u segédváltozóra. Útmutató: az SF -et ki kell egészítenünk olyanmellékfeltétellel, amely figyelembe veszi azt a tényt, hogy az integrálási változó éppen az ívhossz. [6]

Ezzel a variációszámítás módszerébe történő bevezetés végére értünk.

6.2. Lagrange-féle mechanikaKönnyen belátható, hogy potenciálos erőknek kitett tömegpontok newtoni mozgásegyenletei az előző részben

vizsgált variációs elv alakjában is megfogalmazhatók. Az így nyert Hamilton-elvet később mellékfeltételek esetéreis kiterjesztjük, s ezzel a klasszikus mechanikai számításokhoz legszélesebb körben használt variációs elvhez jutunk.Noha az elvet Hamiltonról nevezték el, a koncepciót első megfogalmazója után Lagrange-féle mechanikának hívjuk.

6.2.1. Potenciálos erők hatására mozgó tömegpontok

a. Szabad részecske

Először tekintsünk egy szabad tömegpontot, ez az eset a térben állandó potenciálnak felel meg. Tömegpontnaknevezzük a három koordinátával leírható, elhanyagolható méretű, adott tömeggel rendelkező részecskét. Mint jóltudjuk, ennek szabad, azaz erőmentes mozgását állandó sebesség jellemzi.

Vezessük be a mechanikai hatás funkcionálját

S[r(t)] =wL(r(t), q

r(t)) dt = m

2

w t1

t0| qr(t)|2dt, (6.134)

2018. december 18. 21:59:34 68

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEamelynek integrandusát a mechanikai Lagrange-függvénynek nevezzük. Írjuk elő, hogy S a fizikai r(t) pályán rögzítettvégpontok mellett legyen stacionárius! Ekkor az i = 1, 2, 3 komponensekre

Ei = − ddt∂L

∂qri

= −m q qri = 0, (6.135)

azaz a gyorsulás zérus. A variációs derivált eltűnése valóban állandó sebességű mozgást ír elő!

b. 1D potenciálmozgás

Tekintsünk egyenes mentén mozgó, 1D tömegpontot. Ez potenciálos erőtérben mozog, ha a reá ható erő előáll

F (x, t) = −∂V (x, t)∂x

(6.136)

alakban. Külön jelöltük, hogy a potenciál függhet az időtől.Válasszuk a Lagrange-függvényt a következőképpen

L = mqx2

2 − V (x, t), (6.137)

ahonnan a kanonikus erő és impulzus

F = ∂L

∂x= −∂V (x, t)

∂x, p = ∂L

∂qx

= mqx (6.138)

éppen a fizikai hasonnevű mennyiségek. A hatás stacionárius rögzített végpontok mellett, ha

E = F − qp = F −m q q

x = 0. (6.139)

Ez éppen a Newton-egyenlet.

2018. december 18. 21:59:34 69

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEc. Több részecske 3D potenciálmozgása

Álljon rendszerünk N tömegpontból, ekkor a potenciál általános alakja

V (r1, .., rN , t), (6.140)

s a k-adik tömegpontra ható erő i-edik komponense

Fki = − ∂V∂rki

. (6.141)

Vegyük fel a Lagrange-függvényt a következő alakban

L(r1, .., rN ,qr1, ..,

qrN , t) =

N∑k=1

mk

2 |qrk|2 − V (r1, .., rN , t). (6.142)

A kanonikus erők és impulzusok éppen a fizikaiak

Fki = ∂L

∂rki, pki = ∂L

∂qrki, (6.143)

ahonnan a stacionaritás feltétele

Eki = Fki −qpki = − ∂V

∂rki−mk

q qrki, (6.144)

valóban a k-adik részecskére vonatkozó Newton-egyenlet i-edik komponense.Tömörebb vektor jelöléssel a k-adik részecskére ható erő, ill. annak az impulzusa

F k = − ∂V∂rk≡ −∇kV, pk = m

qrk, (6.145)

2018. december 18. 21:59:34 70

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEamelyekkel (6.144) vektoriálisan is írható

Ek = δS

δrk= F k −

qpk = −∇kV −mk

q qrk = 0 . (6.146)

A k = 1, .., N tömegpontokra végül a Newton-egyenletek vektoralakját kaptuk! Tehát a potenciálmozgás Newton-egyenletei előállnak a fent bevezetett Lagrange-függvényből képzett hatásfunkcionál stacionaritási feltételeként.

6.2.2. A Hamilton-elv Descartes-koordinátákkal

Az előzőek alapján kimondjuk a potenciálmozgásokra érvényes Hamilton-elvet. Képezzük a Lagrange-függvényta következő módon

L = K − V, (6.147)

aholK a kinetikus és V a potenciális energia. Változói általában a koordináták és a sebességek, mint az idő függvényei,és expliciten az idő

L = L (r1, .., rN ,qr1, ..,

qrN , t) . (6.148)

Adott kezdő és végső időpont között definiáljuk a hatásfunkcionált

S [r1(t), .., rN(t)] =w t1

t0L dt. (6.149)

a. Rögzítettnek gondolt végpontok mellett

Tekintsük először a pályák végpontjait rögzítettnek

rk(t0) = rk0, rk(t1) = rk1. (6.150)

2018. december 18. 21:59:34 71

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEA hatás természetesen függ a kezdő és végső időpontoktól, valamint az ott adott pozícióktól is – ezt nem tüntettük fel(6.149) baloldalán. A Hamilton-elv azt mondja ki, hogy a fizikailag megvalósuló mozgás mentén a hatás stacionárius,azaz a hatásnak a pályák szerinti funkcionális deriváltja eltűnik

Ek ≡δS

δrk= F k −

qpk = 0 . (6.151)

Egyelőre potenciálmozgásokra láttuk, hogy ez az elv ekvivalens a Newton-egyenletekkel, mellékfeltételekkel kiegészítvepedig a 6.2.3. fejezetben általánosítjuk.

b. Tetszőleges végpontok esetén (*)

Lemondhatunk a végpontok rögzítéséről, ekkor a parciális integráláskor fellépő határtagokat is figyelembe kellvenni. Ilyenkor a következő feltétel

δS −N∑k=1pk · δrk

∣∣∣t1t0

=w N∑

k=1Ek · δrk dt = 0 (6.152)

független δrk variációk mellett valóban a (6.146) mozgásegyenleteket adja.Ha előírhatjuk a végpontokon a variációk eltűnését, akkor előnyös az eredeti δS = 0 megfogalmazás, hiszen így

egyetlen skalár funkcionál stacionaritási feltétele állítja elő a mozgásegyenleteket.

6.2.3. Általános koordináták bevezetése holonom kényszerekhez

Mechanikai rendszerünk helyzetét gyakran fölösleges a tömegpontok 3N Descartes-koordinátájával megadni, ha-nem ehhez elegendő kevesebb, célszerűen megválasztott koordináta. Ilyen helyzettel akkor állunk szemben, ha a 3Nkoordináta között kényszerek állnak fenn, melyek kifejezhetők M feltétellel, úgymint

Φ`(r1, .., rN , t) = 0, ` = 1, ..,M. (6.153)

2018. december 18. 21:59:34 72

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEAz általánosság kedvéért megengedtük az időfüggést is. A rendszer szabadsági fokainak száma tehát

f = 3N −M. (6.154)

A (6.153) hiperfelületeket határoz meg a 3N dimenziós térben, az ilyen kényszereket holonomnak nevezzük.Tegyük fel, hogy q1, .., qf ún. általános koordinátákat választhatunk oly módon, hogy a (6.153) mellékfeltételek

automatikusan teljesüljenek

rk = rk(q1, .., qf , t), k = 1, .., N. (6.155)

Ez azt jelenti, hogy ha a Φ`-ek (6.153) formuláiba helyettesítjük a (6.155) függvényeket, akkor azok azonosan eltűnnek

Φ`(q1, .., qf , t) ≡ 0, ` = 1, ..,M. (6.156)

Ezt tekinthetjük az általános koordináták fő hasznának.A következő lépés a Lagrange-függvény átírása az általános koordinátákra. A (6.155) függvényt idő szerint deri-

válva a descartes-i sebességeket kifejezhetjük az általános koordinátákkal és ezek időderiváltjaival, azaz az általánossebességekkel

qrk =

f∑l=1

∂rk∂ql

qql + ∂rk

∂t, k = 1, .., N. (6.157)

Ezeket és a (6.155) kifejezéseket a (6.148) Lagrange-függvénybe helyettesítve kapjuk

L (r1, .., rN ,qr1, ..,

qrN , t) = L (q1, .., qf ,

qq1, ..,

qqf , t) . (6.158)

Ily módon előállt a Lagrange-függvény, mint az általános koordináták és sebességek függvénye. A jobb- és balolda-lon nyilvánvalóan különböző alakú függvények állnak, különböző számú argumentummal, de mivel fizikailag azonosmennyiségekről van szó, mindkettőt L-lel jelöltük.

2018. december 18. 21:59:34 73

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE6.2.1. Példa. Síkinga: Általános iskolából ismert példával kezdjük. Egyelőre nem látszik, miért hasznos a Lagrange-formalizmus, ez bonyolultabb rendszerek esetén fog kiviláglani. A felfüggesztési ponttól mért descartes-i koordinátákközött fennáll az alábbi kényszer

Φ(r) = x21 + x2

2 − `2 = 0. (6.159)

Ezt automatikusan teljesítjük a q1 = ϕ választással

x1 = ` sinϕ, x2 = −` cosϕ ⇒ Φ(ϕ) ≡ 0. (6.160)

A descartes-i sebességkomponensek és a sebességnégyzet előállqx1 = `

qϕ cosϕ, q

x2 = `qϕ sinϕ ⇒ v2 = q

x21 + q

x22 = `2 q

ϕ2. (6.161)

A tömegpont kinetikus és potenciális energiája megadja a Lagrange-függvényt

K = mv2

2 = m`2

2qϕ2, V = mgx2 = −mg` cosϕ, (6.162)

⇒ L = K − V = m`2

2qϕ2 +mg` cosϕ. (6.163)

Megjegyzés: Adott kényszer mellett az általános koordinátázás nem egyértelmű.6.37. Gyakorló feladat. Ezt illusztráljuk azzal, hogy válasszuk az x1 Descartes-koordinátát a q1 általános koordiná-tának, és állítsuk elő vele a Lagrange-függvényt! [2]

A lehetséges általános koordinátázás közül azt érdemes bevezetni, amellyel a számítások a legegyszerűbbek.A: 2018.10.03 J | I 2018.10.05

2018. december 18. 21:59:34 74

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE6.2.4. Hamilton-elv holonom mellékfeltételek mellett I: kimondjuk az általános koordináták mozgás-

egyenletének variációs származtatását

Amennyiben a hatás extrémuma állítja elő a mozgásegyenletet, akkor a kényszerek mellett is extrémumot keresünk,s a feltételt az általános koordináták segítségével könnyen felírhatjuk: éppen a qj-kben előállított Euler–Lagrange-kifejezést kapjuk. Most megelőlegezzük azt a tényt, hogy, nemcsak extremális, hanem általános stacionárius pontrais ugyanígy áll elő az általános koordináták mozgásegyenlete, melyet a következő alfejezetekben vezetünk le.

Írjuk fel a hatást az általános koordináták függvényeként. A qj(t) általános koordináták és qqj(t) sebességek

függvényeként a (6.158)-ban előállt Lagrange-függvényt használva a hatás az általános koordináták trajektóriáinakfunkcionálja (a koordináták időfüggését nem jelöltük az integrandusban)

S[q1(t), .., qf (t)] =w t1

t0L (q1, .., qf ,

qq1, ..,

qqf , t) dt. (6.164)

Ez a hatás éppen az a funkcionál, amelyet úgy kapunk az rk(t) descartes-i trajektóriák funkcionáljából, hogy ezentrajektóriák között az M darab kényszert kirójuk. Először tegyük fel, hogy a hatás stacionaritása valójában extré-mum. Szemléletesen nyilvánvaló, hogy a kényszerekkel megszorított rk(t) trajektóriákra a hatás extrémum feltételemegegyezik a kényszereknek automatikusan eleget tevő qj(t) trajektóriákon felvett extremummal. Ezt az utóbbiakrafelírt Euler–Lagrange-egyenletekkel fejezzük ki

δS

δqj= ∂L

∂qj− d

dt∂L

∂qqj

= 0, (6.165)

melyek a kényszereknek eleget tevő mozgás egyenletei. Miként a descartes-i koordináták variációit, az általánoskoordinátákéit is rögzített végpontok mellett értjük.

A mechanikában a kanonikus mennyiségeket nevezik általános erőknek ill. impulzus oknak

Fj = ∂L

∂qj, pj = ∂L

∂qqj, (6.166)

2018. december 18. 21:59:34 75

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEmelyekkel a mozgásegyenletek a tömör q

pj = Fj (6.167)

alakban írhatók. Az általános koordinátákkal tehát hasonló formula adja a mozgásegyenletet, mint a descartes-iakkal,viszont az M kényszerfeltétel automatikus figyelembe vétele miatt kevesebb, 3N −M = f számú komponensből áll.

A (6.165), azaz ekvivalensen (6.167) másodrendű közönséges differenciálegyenlet-rendszer a q1(t), .., qf (t) tra-jektóriákra. A trajektóriát a variációs elv rögzített végpontok között határozza meg, azonban gyakran célszerűbb amozgásegyenletet adott KF-ből kiindulva megoldani

határfeltételek : qj(t0), qj(t1),kezdeti feltételek : qj(t0), q

qj(t0).

A két módszer matematikailag különbözik, de fizikai tartalmuk ekvivalens, ha ugyanahhoz a pályához vezetnek.6.2.2. Példa. Síkinga: A Lagrange-függvényt (6.162) adja, az általánosított impulzus és erő a következő

L = m`2

2qϕ2 +mg` cosϕ, (6.168)

pϕ = ∂L

∂qϕ

= m`2 qϕ, Fϕ = ∂L

∂ϕ= −mg` sinϕ. (6.169)

A mozgásegyenlet qpϕ = Fϕ ⇒ m`

q qϕ = −mg sinϕ. (6.170)

A kanonikus energia állandósága fejezi ki a fizikai energia megmaradását

E = qϕpϕ − L = m`2

2qϕ2 −mg` cosϕ = K + V = E. (6.171)

2018. december 18. 21:59:34 76

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEMegjegyzés: A Newton-egyenletekből indulva fel kellett volna vennünk az inga rúdjában ébredő kényszererőt, s ennekeliminálása után jutottunk volna a ϕ-re vonatkozó mozgásegyenlethez. Ezt a Hamilton-elvből a kényszererő felírásanélkül megkaptuk!6.38. Gyakorló feladat. Tekintsünk olyan ingát, amelynek rúdja időben változó hosszúságú. Más szóval, az ingarúdjába helyezett valamely szerkezettel, melynek súlya elhanyagolható, a rúd hosszát időben adott módon változtatjuk,azaz a rúd hossza `(t) expliciten ismert időfüggvény. Írjuk fel a mozgásegyenletet! [3]

Összefoglalásul azt mondhatjuk, hogy a rendszert célszerűen leíró általános koordinátákat választottunk, ezekreváltozócserével áttértünk a hatásfunkcionálban, s végül így kerestük az extremumát. Itt kiviláglott a Hamilton-elvelőnye, éspedig skaláris mennyiségekből – ilyenek a hatás ill. a Lagrange-függvény – indulva könnyebben térhettünkát az általános koordinátákra, mintha a descartes-i mozgásegyenleteket kellett volna átírnunk. Ez utóbbi eljárást akövetkező alfejezetekben mutatjuk be.

E: 2018.09.28 J | I 2018.10.03

6.2.5. Hamilton-elv holonom mellékfeltételek mellett II: a Lagrange-multiplikátorok módszere

Az általános koordinátáktól függő hatás stacionaritásának feltételét, azaz a (6.165) Euler–Lagrange-egyenletet,alább levezethetjük a descartes-i koordinátákról az általános koordinátákra való áttéréssel. Ezzel az eljárással egyrészt akényszererők számítására is fényt vetünk, továbbá a nyert relációk segítségével a későbbiekben a variációs formalizmustkiterjeszthetjük disszipatív erőkre is.

A Hamilton-elvet a mellékfeltételekkel együtt megfogalmazhatjuk oly módon, hogy a (6.148) Descartes-koordiná-táktól függő L Lagrange-függvényt a (6.153) kényszerekkel kiegészítjük

Lλ = L+M∑`=1

λ`Φ`, (6.172)

ahol λ`(t) az `-edik kényszerfeltételhez tartozó, az időtől általában függő multiplikátor. A kényszerekkel kiegészített

2018. december 18. 21:59:34 77

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBELλ Lagrange-függvény argumentumai

Lλ = Lλ (r1.., rN ,qr1, ..,

qrN , λ1, .., λM , t) , (6.173)

benne a multiplikátorok időderiváltjai nem lépnek fel. Az eredeti L és a kényszerekkel kiegészített Lλ Lagrange-függvények a megfelelő hatásfunkcionálokat definiálják

S [r1(t), .., rN(t)] =wL dt, (6.174)

Sλ [r1(t), .., rN(t), λ1(t), .., λM(t)] =wLλ dt, (6.175)

ahol az argumentumokat csak a baloldalon jelöltük. A kényszerekkel kiegészített Sλ hatás stacionaritási feltétele

δSλδrk

= δS

δrk+

M∑`=1

λ`∂Φ`

∂rk= F k −

qpk +

M∑`=1

λ`∂Φ`

∂rk= 0. (6.176)

A multiplikátorok szerinti variációs deriváltak eltűnése éppen a (6.153) kényszerekkel ekvivalens.

6.39. Gyakorló feladat. Írjuk fel a Hamilton-elvet síkingára Descartes-koordinátákkal úgy, hogy a kényszert multipli-kátorral vesszük figyelembe. Adjuk meg a descartes-i mozgásegyenleteket, s mutassuk meg, hogy ezek ekvivalensek aszögre felírt mozgásegyenlettel. [3]

Megjegyzés: A multiplikátoros tagok a (6.176) mozgásegyenletben a F k potenciálos erőhöz adódnak, azaz magukis erőknek foghatók fel, ezért nyilvánvalóan kényszererőkként értelmezhetjük őket. Ezek teszik lehetővé a (6.153)feltételek betartását, s kézenfekvő az a feltevés, hogy az ` indexű tag az `-edik kényszer által a k-adik tömegpontrakifejtett kényszererő, melynek gradiens alakja azt jelenti, hogy merőleges a kényszerre. Mint alább megmutatjuk,az általános koordináták bevezetésével éppen a kényszererőket küszöbölhetjük ki, s jutunk ezeket nem tartalmazómozgásegyenletekhez. A kényszererők vizsgálatával később foglalkozunk.

2018. december 18. 21:59:34 78

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE6.2.6. A mozgásegyenlet transzformációja általános koordinátákra: a kényszererők eliminálása

Tegyük fel, hogy bevezettük a q1, .., qf általános koordinátákat az 6.2.3 fejezetben leírtak szerint, azaz velük akényszerek automatikusan teljesülnek

Φ`(q1, .., qf , t) ≡ 0, ` = 1, ..,M. (6.177)

Ennek messzemenő következménye az, hogy ha beszorozzuk a (6.176) egyenletet a

∂rk∂qj

(6.178)

deriválttal és összegzünk k-ra, akkor a multiplikátorokat tartalmazó rész minden `-re kiesik. Ugyanis∑k

∂Φ`

∂rk

∂rk∂qj

= ∂Φ`

∂qj≡ 0, (6.179)

mivel a Φ`-ek (6.177) szerint azonosan zérusak. Fennmarad tehát

∑k

δSλδrk

∂rk∂qj

=∑k

δS

δrk

∂rk∂qj

= 0. (6.180)

Azt mondhatjuk, a ∂rk/∂qj-vel való szorzással a kényszererőkre merőleges vetítést végeztünk, melynek révén ezutóbbiakat elimináltuk a mozgásegyenletekből.

6.2.7. Az általános koordináták szerinti stacionaritási feltétel éppen a mozgásegyenlet.

Korábban, a funkcionálderiváltaknak diszkretizáció útján, parciális deriváltak limeszeként történt bevezetése nyo-mán azt találtuk, hogy változócsere esetén a funkcionálderiváltak a parciális deriváltakéhoz hasonló (6.61) láncszabályt

2018. december 18. 21:59:34 79

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEkövetik. Vegyük észre, hogy a (6.180) egyenlet jobboldalán a láncszabály szerint éppen a qj koordináta szerinti variációeltűnését kaptuk

0 =∑k

δS

δrk

∂rk∂qj

= δS

δqj= ∂L

∂qj− d

dt∂L

∂qqj≡ Fj −

qpj. (6.181)

Ez a Lagrange-féle mechanika alapvető egyenlete.

6.2.8. Funkcionálderiválás láncszabályának közvetlen levezetése (*)

Az alábbiakban közvetlen számítással is igazoljuk a láncszabályt a funkcionálderiváltakra. Ennek révén a diszkreti-zációra való hivatkozás nélkül mutathatjuk meg, hogy az általános koordináták szerinti stacionaritási feltétel valóbana kényszererők eliminálása után a fentiekben kapott (6.180) mozgásegyenletekkel ekvivalens.

Fel fogjuk használni a (6.155,6.157) alapján adódó, következő relációkat

∂qrk∂

qqj

= ∂rk∂qj

,∂

qrk∂qj

=∑l

∂2rk∂qj∂ql

qql + ∂2rk

∂qj∂t= d

dt∂rk∂qj

, (6.182)

ahol a qj ill.qqj szerinti parciális deriváltakat úgy értjük, ahogyan azt a Lagrange-formalizmusban megszoktuk, azaz

a másik mennyiséget, s az összes többi, nem j indexű függvényt és az időt állandónak hagyjuk.Vizsgáljuk most a hatás általános koordináták szerinti funkcionálderiváltját! Ebben nem szükséges felvennünk mul-

tiplikátorokkal a kényszereket, ugyanis ezeket az általános koordináták automatikusan kielégítik. A variációs derivált

δS

δqj= ∂L

∂qj− d

dt∂L

∂qqj. (6.183)

2018. december 18. 21:59:34 80

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEEnnek tagjait a derékszögű koordinátákon keresztül történő differenciálással fejezhetjük ki

∂L

∂qj=∑k

[∂L

∂rk

∂rk∂qj

+ ∂L

∂qrk

∂qrk∂qj

], (6.184)

ddt∂L

∂qqj

= ddt

[∑k

∂L

∂qrk

∂qrk∂

qqj

]= d

dt

[∑k

∂L

∂qrk

∂rk∂qj

]=∑k

[ddt∂L

∂qrk

]∂rk∂qj

+∑k

∂L

∂qrk

ddt∂rk∂qj

=∑k

[ddt∂L

∂qrk

]∂rk∂qj

+∑k

∂L

∂qrk

∂qrk∂qj

, (6.185)

amelyben több helyütt felhasználtuk a (6.182) relációkat. A hatás funkcionálderiváltja tehátδS

δqj= ∂L

∂qj− d

dt∂L

∂qqj

=∑k

[∂L

∂rk− d

dt∂L

∂qrk

]∂rk∂qj

=∑k

δS

δrk

∂rk∂qj

= 0, (6.186)

a (6.180) egyenlet szerint eltűnik.Ezzel a descartes-i és általános koordináták szerinti variációs deriváltak közötti (6.181) összefüggést, azaz a

parciális deriválás láncszabályának analógját, közvetlen számítással igazoltuk.

6.2.9. Hamilton-elv általános koordinátákkal, tetszőleges végpontok mellett (*)

Általános koordináták esetén is lemondhatunk a végpontok rögzítéséről, ekkor a parciális integráláskor fellépőhatártagokat is figyelembe kell venni. A mozgásegyenletek általában a következő variációs feltétellel ekvivalensek

δS −f∑j=1

pj δqj∣∣∣t1t0

=w f∑

j=1

(Fj −

qpj)δqj dt = 0. (6.187)

Csak akkor kapjuk egyetlen skalár funkcionál stacionaritási feltételét, ha a végpontokban az általános koordinátákrögzíthetők.

2018. december 18. 21:59:34 81

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE6.2.10. Tanulság

Az általános koordináták bevezetése a Hamilton-elv alkalmazási körét lényegesen kiszélesíti. Az elv szerint a ha-tás, mint a lehetséges pályák funkcionálja stacionárius a fizikailag megvalósuló pálya mentén. E pályákat holonomkényszerfeltételek esetén azonban jól választott, a descartes-iaknál kevesebb általános koordinátákkal meg lehet ad-ni, s ekkor megmutatkozik annak az előnye, hogy a Hamilton-elv egyetlen skaláris mennyiség stacionaritását írja elő.Elegendő ugyanis a Lagrange-függvényt átírni az általános koordinátáktól függő alakjára, melyből ez utóbbiak mozgás-egyenleteit az Euler–Lagrange-kifejezés szerint közvetlenül megkaphatjuk. Ez lényegesen egyszerűbb, mintha először adescartes-i koordináták kényszererők jelenlétében előálló mozgásegyenleteit írnánk fel, majd ezeket transzformálnánkáltalános koordinátákra.

Megjegyzések:(1) Ha a Hamilton-elv extrémum feltétel, akkor a (6.165) mozgásegyenlet szemléletből következik, miként azt

a 6.2.4 fejezetben említettük. Azt ugyanis nyilvánvalónak tekinthetjük, hogy a hatásfunkcionál extrémum feltételekoordinátacsere után is fennáll, azaz a descartes-i koordinátákról a kényszereket figyelembe vevő általános koordiná-tákra való áttérés után is extremumot keresünk, melynek feltétele szükségképpen Euler–Lagrange-egyenletek alakjábanáll elő. A fenti levezetés azt mutatja, hogy a kényszerek által szűkített altérben nemcsak az extrémum, hanem azáltalánosabb stacionaritási feltétel is érvényben marad az általános koordinátákkal kifejezett hatásfunkcionálra.

(2) Hangsúlyozzuk, hogy a koordinátacsere expliciten időfüggő relációkat is megenged a descartes-i és általánoskoordináták között.

(3) A mellékfeltételek multiplikátoros felvétele eredményeképpen a kényszererőkre is kaptunk formulákat, melyeketmajd a kényszerek részletesebb vizsgálatakor használunk.

(4) A Hamilton-elv disszipatív kiterjesztésében a variációs deriváltak átszámítása kulcsszerepet fog játszani.

6.2.11. A Hamilton-elv előnyei:

→ A rendszer fizikai tulajdonságait egyetlen, skalár értékű függvénybe, a Lagrange-függvénybe foglaltuk. Ez szem-ben áll azzal, hogy a Newton-egyenletek felírásához az erők komponenseit kell megadni.

2018. december 18. 21:59:34 82

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE→ Változócserével célszerűbb koordinátázásra térhetünk át a variációs elv megtartásával. A változócserét egy-

szerűbb elvégezni a csak első időderiváltat tartalmazó Lagrange-függvényben, mint a mozgásegyenletekben,melyekben második deriváltak is szerepelnek.

→ Kényszerek is figyelembe vehetők megfelelő általános koordinátákra való áttéréssel.→ Kikerültük azon kényszererők számítását, amelyeket olyan kényszerek gyakoroltak, melyeket általános koordi-

nátákkal vettünk figyelembe.→ További olyan kényszerek, amelyeket az általános koordinátákkal nem vettünk figyelembe, a multiplikátorok

módszerével ezután is kiróhatók, s az általuk gyakorolt kényszererők számíthatók.

A Hamilton-elvet és abból a mozgásegyenlet levezetésének módszerét gyakran Lagrange-formalizmusnak, vagyLagrange-mechanikának nevezik.

2017.09.29 J | I 2017.10.03

6.2.12. Megmaradási tételek

Korábban áttekintettük a Lagrange-függvény speciális eseteit, most ezekre visszatérünk, s fizikai jelentésüket iskiemeljük.

a. Ciklikus koordináta: eltolásinvariancia a térben

A qj-t ciklikus koordinátának nevezzük, ha a Lagrange-függvényben expliciten nem szerepel, azaz

Fj = ∂L

∂qj= 0 ⇒ q

pj = ddt∂L

∂qqj

= 0 ⇒ pj = áll. (6.188)

Ha a tér invariáns a qj koordináta eltolásával szemben, azaz homogén qj-ben, akkor ezen koordinátához tartozókanonikus impulzus megmarad.

2018. december 18. 21:59:34 83

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEb. Idő homogenitása

Ha L expliciten nem függ az időtől, azaz a potenciál időfüggetlen, akkor a (6.85) kanonikus energia a pályamentén állandó. Ennek jelentése most a mechanikai energia

E =∑j

qqj∂L

∂qqj− L =

∑j

qqjpj − L. (6.189)

Emlékeztetőül megismételjük a (6.87) levezetést az idő szerinti deriválással tetszőleges q(t) pálya mentén

dEdt =

∑j

( q qqjpj + q

qjqpj)−

∑j

(∂L

∂qj

qqj + ∂L

∂qqj

q qqj

)− ∂L

∂t= ( qp− F ) · q

q − ∂L

∂t= −E · q

q − ∂L

∂t. (6.190)

Egyfelől, ha a Lagrange-függvény expliciten időfüggetlen

∂L

∂t= 0 ⇒

qE = −E · q

q, (6.191)

azaz az energiaváltozás az E Euler–Lagrange-formula és a qq általános sebességvektor skaláris szorzata minden pályára,

nemcsak a fizikaiakra. Innen is látható az energiamegmaradás a megvalósuló pályákra

E = 0 ⇒ E = áll. (6.192)

Másrészről, ha a Lagrange-függvény expliciten függ az időtől, akkor a fizikai pálya menténqE = −∂L

∂t, (6.193)

azaz az energia totális időderiváltja a Lagrange-függvény parciális időderiváltjának ellentettjével egyenlő. Mint későbblátni fogjuk, ez a Legendre-transzformáció egy általános tulajdonságának speciális esete.

2018. december 18. 21:59:34 84

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE6.2.3. Példa. Időfüggetlen potenciál: A Lagrange-függvény

L =N∑k=1

mk

2 |qrk|2 − V (r1, .., rN), (6.194)

az impulzus

pk = ∂L

∂qrk

= mkqrk, (6.195)

s a kanonikus energia valóban a rendszer energiája

E =∑k

pkqrk − L =

N∑k=1

mk

2 |qrk|2 + V. (6.196)

6.2.4. Példa. Kvadratikus kinetikus energia az általános sebességekben:

Ha a kényszerek időfüggetlenek, akkor a rendszert a q = (q1, .., qf ) általános koordinátákkal jellemezhetjükekképpen

rk = rk(q) ⇒ qrk =

∑j

∂rk(q)∂qj

qqj, (6.197)

ahonnan a kinetikus energiát ekképp írhatjuk

K =∑k

mk

2 |qrk|2 =

∑k

mk

2∑ij

∂rk(q)∂qi

· ∂rk(q)∂qj

qqi

qqj ≡

12∑i,j

mij(q) qqi

qqj = 1

2qq ·M(q) · q

q. (6.198)

2018. december 18. 21:59:34 85

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEEz kvadratikus (pontosabban szólva bilineáris) a q

qj általános sebességekben, éspedig q-függő együtthatókkal, s egybendefiniálja az M ún. tömegmátrixot. A Lagrange-függvényből

L = K − V (q, t) = 12

qq ·M(q) · q

q − V (q, t) ⇒ p = M(q) · qq, (6.199)

tehát az energia

E = p · qq − L = K + V. (6.200)

Ez időben állandó, ha a potenciál nem függ expliciten az időtől.

6.2.13. Példák a Lagrange-féle mechanikára

6.2.5. Példa. Egyenesen csúszó tömegpont rugóhoz rögzítve.

x

d

18. ábra. Egyenesen mozgó tömeg-pont rugó végén.

A 18. ábra szerint rugó végén levő m tömeg egyenes sín mentén súrlódás-mentesen mozoghat, melytől d távolságra rögzítjük a rugó másik végét. A kállandójú rugó feszítetlen hossza ` ≤ d. A Lagrange-függvény

L = K − V = m

2qx2 − k

2(√

x2 + d2 − `)2. (6.201)

A mozgásegyenlet

qp = m

q qx = F = ∂L

∂x= −kx

(1− `√

x2 + d2

). (6.202)

6.40. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy F éppen a rugóerő x irányú vetülete. [2]6.41. Gyakorló feladat. Fejtsük sorba az erőt vezető rendben kis x mellett, és adjuk meg a mozgásegyenletet az` < d és ` = d esetekben. Mekkora a kis rezgések frekvenciája? [3]2018. december 18. 21:59:34 86

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE6.42. Gyakorló feladat. Az ` > d esetben határozzuk meg az egyensúlyi helyzeteket és azok körül a kis rezgésekfrekvenciáját. [3]6.43. Gyakorló feladat. Bonyolítsuk el a feladatot azáltal, hogy általános koordinátaként a rugónak a függőlegessel(a d szakasszal) bezárt szögét vesszük fel. Írjuk fel a Lagrange-függvényt és a mozgásegyenletet! Ez a példa aztillusztrálja, hogy az általános koordináta választásában van szabadságunk, s rajtunk múlik, hogy olyat válasszunk,amellyel viszonylag egyszerű a mozgásegyenlet. [3] A: 2018.10.05 J | I 2018.10.10

6.2.6. Példa. Síkmozgás centrális potenciálban

Használjunk polárkoordinátákat

f = 2, q1 = r, q2 = ϕ, (6.203)

a potenciál centrális, ha csak az r rádiuszvektor r hosszától függ

V (r) = V (r). (6.204)

Sebességek átszámítása

x =r cosϕ, y = r sinϕ, (6.205)qx = q

r cosϕ− r qϕ sinϕ, (6.206)q

y = qr sinϕ+ r

qϕ cosϕ. (6.207)

A Lagrange-formalizmus előnye, hogy elegendő a sebességeket átszámítani általános koordinátákra, a gyorsulásokatnem szükséges. A sebesség négyzete

v2 = qx2 + q

y2 = qr2 + r2 q

ϕ2, (6.208)

2018. december 18. 21:59:34 87

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEa Lagrange-függvény

L = K − V = m

2( qr2 + r2 q

ϕ2)− V (r) = L (r, q

r,qϕ) . (6.209)

Ez éppen a 6.2.4 példában bemutatott, koordinátafüggő tömegmátrixszal jellemezhető rendszer speciális esete, azegyszerű, csak r-től függő

M(r) =[m 00 mr2

]. (6.210)

tömegmátrixszal. Vegyük észre, hogy ϕ ciklikus koordináta

Fϕ = ∂L

∂ϕ= 0 ⇒ pϕ = ∂L

∂qϕ

= mr2 qϕ = J = áll., (6.211)

ez az impulzusmomentum.Mivel L az időeltolásra invariáns, az energia megmarad. A kinetikus tag kvadratikus a sebességekben, azért

E = K + V = m

2( qr2 + r2 q

ϕ2)

+ V (r) = m

2qr2 + J2

2mr2 + V (r) = m

2qr2 + Veff(r), (6.212)

amely szerint a radiális kinetikus energia mellett egy „effektív potenciál” jelenik meg. Visszavezettük a problémáteffektív 1D rendszerre, s végül elsőrendű differenciálegyenletet kaptunk az r(t) pályára!

Illusztrálásul még felírjuk a radiális Euler–Lagrange-egyenletet

Fr = ∂L

∂r= −V ′(r) +mr

qϕ2,

∂L

∂qr

= pr = mqr, (6.213)

2018. december 18. 21:59:34 88

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEahonnan az impulzusmomentum behelyettesítésével

qpr = Fr ⇒ m

q qr = −V ′(r) + J2

mr3 = −V ′eff(r). (6.214)

Nem meglepő módon az energiában fellépő effektív potenciál jelenik meg a mozgásegyenletben is, melyet egyébkéntaz energia idő szerinti deriválásával is előállíthatunk.

6.44. Gyakorló feladat. Írjuk fel a mozgásegyenleteket a V (r, ϕ) nem feltétlenül centrális potenciálra! [2]

6.2.7. Példa. Mozgásállandó visszahelyettesítése a Hamilton-elvbe. (*)

Várakozás: Miután függvény extremizálása (általánosabban stacionárius pontjának keresése) esetén a megoldásegy részét visszahelyettesíthetjük, majd a redukált probléma stacionárius pontját kereshetjük, hasonlót várunk funkci-onáloknál is. Mindazonáltal a mechanikában csak akkor lesz a fizikai pálya stacionárius, ha a végpontjai rögzítettek,különben a mozgásegyenletet (6.187) adja. A következő példa megvilágítja azt, miképpen juthatunk a megmaradómennyiség visszahelyettesítésével a probléma effektív Lagrange-függvényéhez.

Helyettesítsük be az impulzusmomentumot a Lagrange-függvénybe, ezzel ϕ-t elimináltuk

L = K − V = m

2

( qr2 + J2

m2r2

)− V (r). (6.215)

Azt azonnal látjuk, miszerint az effektív potenciál itt kivonódik a V (r)-ből, tehát az ezen L-hez tartozó Euler–Lagrange-egyenlet nem a mozgásegyenlet!

Vizsgáljuk ϕ variációját

qϕ = J

mr2 ⇒ δqϕ = −2Jδr

mr3 ⇒ δϕ∣∣∣t1t0

=w

dt δ qϕ = −

wdt 2Jδr

mr3 , (6.216)

2018. december 18. 21:59:34 89

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEtehát tetszőleges δr(t) variációk mellett a határokon a polárszög variációja általában nem zérus. Következésképpen amozgásegyenlet (6.187) alakjához szükséges visszanyúlnunk, amely szerint

δS − pϕδϕ∣∣∣t1t0

= δS + Jw

dt 2Jδrmr3 = δS −

wdt δ

[J2

mr2

]= 0. (6.217)

Ha tehát a Lagrange-függvényhez hozzáadjuk a −J2/mr2 kifejezést, akkor az így kapott effektív hatás a fizikai pályánstacionárius! Az effektív Lagrange-függvény

Leff = L− J2

mr2 = m

2

( qr2 − J2

m2r2

)− V (r) = m

2qr2 − Veff , (6.218)

19. ábra. Kettős inga.

mely már a helyes mozgásegyenletet eredményezi. VégeredménybenLeff-ben éppen azt az effektív potenciált kell levonni a kinetikus ener-giából, amelyet az energia kifejezésében hozzá kellett adni . A meg-maradó mennyiséget, azaz a részleges megoldást általában nem he-lyettesíthetjük egyszerűen vissza a Lagrange-függvénybe!

E: 2018.10.03 J | I 2018.10.056.2.8. Példa. Kettős inga: Tömeges csuklóval megtört síkinga.

A szabadsági fokok száma f = 2, az általános koordináták

q1 = ϕ1, q2 = ϕ2 (6.219)

a 19. ábra szerint. Az m1 kinetikus és potenciális energiája

K1 = m1`21

2qϕ2

1, V1 = −m1g`1 cosϕ1. (6.220)

2018. december 18. 21:59:34 90

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEAz m2 járulékához kifejezzük a descartes-i koordinátákat (y lefelé mutat)

x2 =`1 sinϕ1 + `2 sinϕ2, (6.221)y2 =`1 cosϕ1 + `2 cosϕ2, (6.222)

majd a sebességeket qx2 =`1

qϕ1 cosϕ1 + `2

qϕ2 cosϕ2, (6.223)q

y2 =− `1qϕ1 sinϕ1 − `2

qϕ2 sinϕ2, (6.224)

melyekkel az energiák

K2 = m2

2[`2

1qϕ2

1 + `22qϕ2

2 + 2`1`2qϕ1

qϕ2 (cosϕ1 cosϕ2 + sinϕ1 sinϕ2)︸ ︷︷ ︸

cos(ϕ1−ϕ2)

], (6.225)

V2 = −m2g (`1 cosϕ1 + `2 cosϕ2) . (6.226)

A Lagrange-függvény

L = K − V = K1 +K2 − V1 − V2 (6.227)

a mozgásegyenleteket származtatja, melyek tömör alakja

Fj = ∂L

∂ϕj= d

dt∂L

∂qϕj

= qpj. (6.228)

A teljes kinetikus energia újabb példát mutat a koordinátafüggő tömegmátrixra

M(ϕ1, ϕ2) =[

(m1 +m2)l21 m2l1l2 cos (ϕ1 − ϕ2)m2l1l2 cos (ϕ1 − ϕ2) m2l

22

]. (6.229)

(6.230)

2018. december 18. 21:59:34 91

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE6.45. Gyakorló feladat. Vezessük le a mozgásegyenleteket! [1] (A pontszám nem elírás, a feladat beugró példánaknem használható.)

Energiamegmaradás: mivel ∂L/∂t = 0 és a K kvadratikus az általános sebességekben, azértE = p1

qϕ1 + p2

qϕ2 − L = K + V = áll. (6.231)

6.46. Gyakorló feladat. Az energia kifejezése részletesen? [1]A mozgásegyenletek megoldása formulával (integrállal, kvadratúrával) általában nem adható meg. Numerikus

megoldásuk azt mutatja, hogy a rendszerben létrejöhet kaotikus, azaz véletlenszerű mozgás. Általában két szabad-sági fokú rendszer potenciálos kölcsönhatása kaotikus mozgáshoz vezet. A jelenség különlegessége abban áll, hogyexpliciten adott, determinisztikus mozgásegyenletek vezérlik, ugyanakkor a trajektória véletlenszerűen viselkedik. Ezszemmel látható, valamint kvantitatív statisztikai vizsgálatokkal is kimutatható.

Numerikus megoldást általunk beállítható KF mellett láthatunk a következő internet kötésen (a lejátszáshoz Javaszükséges): http://www.myphysicslab.com/dbl_pendulum.html. Vegyük észre, hogy e lapon a mozgásegyenle-teket a Newton-törvény alapján hosszas eljárással szerkesztik meg. A Lagrange-mechanika ennél lényegesen rövidebbmódszert kínál!

További numerikus demonstráció található itt: http://www.tapdancinggoats.com/double-pendulum. ALagrange-formalizmust részletesen diszkutálja http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html.6.47. Gyakorló feladat. Kísérjük figyelemmel valamelyik internetes oldal grafikus megoldását. Készítsünk statisztikátarról, hogy az inga végpontja milyen gyakran vált „térfelet”, azaz az x2 koordináta előjelet. A térfél váltogatásáthasonlítsuk össze a pénzfeldobás statisztikai tulajdonságaival, melyek számszerűsítésének részletei a megoldóra vannakbízva. A megoldás alaposságától függően a pontszám [0–7].6.48. Gyakorló feladat. Módosítsuk a fent tárgyalt kettős ingát oly módon, hogy a belső `1 hosszú rudat egyenletesω szögsebességgel forgatjuk. Írjuk fel a Lagrange-függvényt és annak alapján a mozgásegyenletet. Megkaphatjuk-e azutóbbit közvetlenül a kettős inga mozgásegyenletéből? Adjunk formulát a forgatáskor betáplált teljesítményre. [2-2-1]

2018. december 18. 21:59:34 92

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE6.2.9. Példa. Töltött részecske mozgása elektromágneses térben.

Vizsgáljuk az alábbi Lagrange-függvénnyel leírható tömegpontot

L(r, qr, t) = m

2 |qr|2 + e

cA(r, t) q

r − eφ(r, t), (6.232)

ahol A(r, t) és φ(r, t) adott függvények. A kanonikus erő és impulzus, majd a mozgásegyenletek

Fi = ∂L

∂ri=∑j

e

c(∂iAj)

qrj − e∂iφ, pi = ∂L

∂qri

= mqri + e

cAi, (6.233)

qpi = m

q qri + e

c

∑j

∂jAiqrj + e

c∂tAi ⇒ m

q qri = −e∂iφ+ e

c

∑j

(∂iAj − ∂jAi︸ ︷︷ ︸εijkBk

) qrj −

e

c∂tAi. (6.234)

Nevezzük a mágneses indukció terének a

B = ∇×A (6.235)

vektort, például homogén, z irányú mágneses tér esetén lehet

A = 12

−yBz

xBz

0

⇒ ∂1A2 − ∂2A1 = Bz, Bx = By = 0. (6.236)

Ha mármost elektromos térerősségnek nevezzük az

E = −1c

∂A

∂t−∇φ (6.237)

2018. december 18. 21:59:34 93

6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBEvektorteret, akkor a mozgásegyenlet alakja

mq qr = eE + e

c

qr ×B. (6.238)

Ez éppen a korábbi tanulmányaink során megismert Lorentz-erő, melyben B a mágneses indukció vektora.Konklúziónk tehát az, hogy a (6.232) kifejezéssel adott Lagrange.függvény a (6.235) ill. a (6.237) által definiált

mágneses indukció ill. elektromos erőterekkel a Lorentz-erő által gyorsított töltés ismert mozgásegyenletéhez vezet.Utólagosan igazoltuk, hogy a helyes Lagrange-függvényből indultunk ki.

6.49. Gyakorló feladat. A mágneses indukció B tere nyilvánvalóan nem változik, ha az A térhez valamely skalártérgradiensét adjuk, legyen ez ∇χ. (a) Hogyan módosítsuk a φ potenciált ahhoz, hogy az E is invariáns maradjon.A közvetlenül nem mérhető potenciálokat megváltoztató, de a fizikai tereket invariánsan hagyó művelet elnevezésemértéktranszformáció. (b) Alkalmazzuk a mértéktranszformációt a Lagrange-függvényre, amely ennek révén módo-sul. Mutassuk ki közvetlenül a Lagrange-függvényről, hogy a mértéktranszformáció hatására ennek Euler–Lagrange-formulája nem módosul anélkül, hogy az utóbbit expliciten fel kellene írnunk. [2-2]6.50. Gyakorló feladat. A fent kapott p kanonikus impulzus a tömegpont mv mozgásmennyisége mellett egy továbbitagot tartalmaz. Mi lehet ennek a fizikai értelmezése, vajon ez minek az impulzusa? Vegyük észre, hogy az előzőfeladatbeli mértéktranszformáció megváltoztatja a kanonikus impulzust – értelmezésünknek ezzel a ténnyel összhang-ban kell lennie. [3] (A feladat mély, messzire vezető fizikai problémát feszeget. E pontszám a kvalitatív fizikai képrövid ismertetéséért jár.)6.51. Gyakorló feladat. Írjuk fel a 6.2.4 példában adott, tömegmátrixszal felírt kinetikus energiát tartalmazó rendszermozgásegyenletét. [3]

2018. december 18. 21:59:34 94

7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER

7. Egydimenziós konzervatív rendszerTömegpont 1D potenciálmozgása. Legyen a potenciál időfüggetlen, nincs súrlódás (egy szabadsági fok, f = 1).

7.1. Mozgásegyenlet és energiamegmaradás (m)Ismétlés:

Lagrange-függvény: L = K − V = m

2qx2 − V (x), (7.1)

kanonikus impulzus: p = ∂L

∂qx

= mqx, erő: F = ∂L

∂x= −V ′(x), (7.2)

mozgásegyenlet: qp = F ⇒ m

q qx = −V ′(x), (7.3)

energia: E = pqx− L = K + V = 1

2mqx2(t) + V (x(t)) = áll. (7.4)

Az E − V (x) mérhető, nem függ V (x) nullszintjétől. A mozgás megengedett tartománya x-ben:

E − V (x) = 12m

qx2 ≥ 0 (7.5)

A KF x0 = x(t0), v0 = qx(t0), amelyek meghatározzák az energiát

E = 12mv

20 + V (x0). (7.6)

A mozgás a 20. ábrán jelölt B és C szakaszok belsejében periodikus, az A és D tartományokon nem korlátos.

→ Az energiamegmaradás 1D-ben ekvivalens a II. Newton-törvénnyel, lényegében annak az integrálja. Előnye, hogyelsőrendű differenciálegyenlet, ezért közvetlenül megoldható.

2018. december 18. 21:59:34 95

7.1 Mozgásegyenlet és energiamegmaradás (m) 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER

x

V(x)

[ ]] ][ [A

BC D

Ec1

Ec2

20. ábra. Mozgás 1D potenciálban (az ábrán jelölt, a teljes B ill. C intervallumokrakiterjedő pályák periódusideje végtelen, a belső pályáké véges).

→ Ha magasabb dimenziós mozgás visszavezethető 1D-ra, akkor effektív 1D mozgásról beszélünk. Ha azt időfüg-getlen potenciál határozza meg, akkor a problémát a fentiekhez hasonlóan oldhatjuk meg. Ilyet láttunk a 6.2.6.példában, amelyben a centrális potenciálbeli mozgást visszavezettük a rádiusz effektíven 1D mozgására.

7.1. Gyakorló feladat. Az 1D potenciálmozgás egyenletéből integrálással állítsuk elő az energiamegmaradást. [2]

2018. december 18. 21:59:34 96

7.2 A mozgásegyenlet megoldása (m) 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER7.2. A mozgásegyenlet megoldása (m)

Az energiatételből származó mozgásegyenlet a sebesség abszolút értékét adja meg

E = 12m

qx2(t) + V (x) ⇒ | qx| = √

2m

(E − V (x)). (7.7)

Megjegyzés: Elsőrendű, közönséges, szeparábilis differenciálegyenletqx(t) = f(x(t)) g(t). (7.8)

Az x(t0) = x0 KF-hez illeszkedő megoldása implicit alakbanw t

t0dt g(t) =

w t

t0dt qx/f(x) =

w x

x0dx/f(x). (7.9)

Fizikai irodalomban elterjedt az a jelölés, melynél az integrálási változót a felső határral azonosnak vesszük, ha nemokoz félreértést. Továbbá az integrál dt „mértéke” itt rögtön az integráljel után került, az integrandust ilyenkoregyértelmű módon kell lezárni.

A (7.9) megoldás a (7.7) mozgásegyenletre, g(t) ≡ 1 mellett alkalmazható, azzal a különbséggel, hogy most azx szerinti integrál csak növekedhet, amelyet |dx| jelez. Tehát a megoldás

t− t0 =√m

2

xw

x0

|dx|√E − V (x)

. (7.10)

A t mindenképpen növekszik, akkor is, ha x csökken (azaz dx < 0). Fordulópontnak nevezzük a legközelebb elértolyan xF helyet, melyre

E = V (xF ) ⇒ qx∣∣∣xF

= 0. (7.11)

2018. december 18. 21:59:34 97

7.2 A mozgásegyenlet megoldása (m) 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERA: 2018.10.10 J | I 2018.10.12

Az qx sebesség fordulópontban válthat előjelet, s ezután az x(t) pálya monoton a következő fordulópontig. A

monoton szakaszokon |dx| = + vagy −dx, azaz a „szokásos” integrálokat ilyen monoton szakaszokon alkalmazhatjuk.A (7.10) integrál útvonalfüggő! A |dx| a pálya korábban tekintett d` elemi ívhosszával azonos.

A mozgás véges, ha az x0 kiindulópont mindkét oldalán legalább egy-egy fordulópontot találunk, ezek legyeneknövekvő sorrendben x(−)

F és x(+)F . A fordulópontokban

E = V (x(−)F ) = V (x(+)

F ), (7.12)

a mozgás ezek között periodikus. A periódusidő a két fordulópont között eltöltött idő kétszerese, ez (7.10) alapján

T =√

2mx

(+)Fw

x(−)F

dx√V (xF )− V (x)

. (7.13)

Ha nincs mindkét oldalon véges fordulópont, akkor a tömegpont a végtelenbe távozik. Ennek időtartama lehetvéges vagy végtelen, attól függően, hogy ha a (7.10) jobboldalán a felső határ divergál, akkor az improprius integrállétezik-e.

A B függelékben megvizsgáljuk a fordulópontok közelében történő mozgást. Két fő esetet különböztethetünk meg,éspedig ha a fordulópontban a potenciál

→ közel lineáris ⇒ parabolikus időfüggésű trajektória;→ kvadratikus maximumú ⇒ exponenciális időfüggés.

Hangsúlyozzuk, hogy a (7.7) mozgásegyenlet az abszolút érték miatt csak az x(t) monoton szakaszain tekinthető„szokásos” szeparábilis differenciálegyenletnek. Intuitíven értjük, hogy a fordulópontok között a mozgás periodikus,a B függelékben kissé precízebben megszerkesztjük a megoldást.

2018. december 18. 21:59:34 98

7.3 Fázistér I.: pályák globális szemléltetése (m) 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERA kvadratikus potenciálban mozgó részecskét nevezzük harmonikus oszcillátornak. Ilyen mozgás valósul meg lokális

potenciálminimum közelében is. A B függelék a megoldásra kétféle módszert mutat: egyrészt az energiamegmaradásdifferenciálegyenletét oldjuk meg, másrészt exponenciális próbafüggvény alakjában keressük a megoldást.

7.3. Fázistér I.: pályák globális szemléltetése (m)A fázistér a mozgás szemléltetése az (x, v) síkon. Eddig kerestük az x(t), v(t) függvényeket, most az (x(t), v(t))

paraméteres görbéket ábrázoljuk: ezek a fázistérbeli trajektóriák. Egyenletük

|v| =√

2m

(E − V (x)) (7.14)

tükörszimmetrikus az x tengelyre. Ugyanahhoz a görbéhez végtelen sok KF tartozik, a különböző görbéket E para-méterezi.

7.3.1. Harmonikus oszcillátor

Ha a potenciál V (x) = 12mω

2x2, akkor

21. ábra. Fázistérbeli pályákkülönböző E energiák mel-lett.

E = 12mv

2 + 12mω

2x2 = 12mω

2A2 (7.15)

Az x− v összefüggés ellipszis:

v2

A2ω2 + x2

A2 = 1. (7.16)

2018. december 18. 21:59:34 99

7.3 Fázistér I.: pályák globális szemléltetése (m) 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER

x

v

xx

v

t

x

t

x

x

22. ábra. Fázistér, és a hozzá tartozó v(t) és x(t) függvények az x(0) = 0, v(0) > 0 KFmellett.

A fázistérbeli pályát és az időbeli trajektóriákat a 22. ábra szemlélteti. Általában stabil x∗ egyensúly közelében(V ”(x∗) > 0) a pályák közel ellipszisek, ezért x∗ elnevezése elliptikus fix pont! Ilyen a tipikus konzervatív stabilegyensúly, körülötte kis rezgéseket folytat a tömegpont, a fázistérben ellipsziseket jár be.

Növekvő E energia növekvő átmérőjű pályákat határoz meg, ld. 21. ábra. Az E meghatározza az ellipszist, amelyenvégtelen sok KF-ből indított mozgás történhet.

7.3.2. Általános potenciál

Különböző E energiákhoz tartozó fázistérbeli trajektóriák nem metszhetik egymást. A potenciált és a fázistérbelitrajektóriákat a 23. ábra szemlélteti.7.2. Gyakorló feladat. A 23. ábrán a potenciál és a fázistér rajza nem teljesen illik össze. Mi a hiba? [1]

Ha az x∗ lokális maximum, azaz V ′′(x∗) < 0, akkor instabil egyensúlyi helyzet, a fázistérben hiperbolikus fix pont.7.3. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy instabil fix pont közelében a fázistérbeli pályák hiperbolák! [3]

Szeparátrixnak nevezünk egy pályát (az ábrákon az energiáját Ec-vel jelöltük), ha→ átmegy legalább egy hiperbolikus fix ponton,

2018. december 18. 21:59:34 100

7.3 Fázistér I.: pályák globális szemléltetése (m) 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER

E1

E2

E3

E4

x

v

E1

E2

E3

E4

E>E4

23. ábra. Általános potenciál és a fázistér. Szeparátrixok (Ec): E2 (piros), E4 (zöld).

→ végtelen idő szükséges a bejárásához,→ kvalitatíven különböző pályákat választ el.

7.3.1. Példa. Másod-harmadfokú potenciál: V (x) = k2x

2 + λx3, ld. 24. ábra.

7.3.2. Példa. Másod-negyedfokú potenciál: V (x) = k2x

2 + λx4. "Lágyuló" (λ < 0), ld. 25. ábra, ill. "keményedő"(λ > 0) rugó.

2018. december 18. 21:59:34 101

7.3 Fázistér I.: pályák globális szemléltetése (m) 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER

V(x)

x

Ec

x

v

Ec

24. ábra. Másod-harmadfokú potenciál λ < 0 mellett és fázistérbeli pályák. A piros vonala szeparátrix.

V(x)

x

Ec

x

v

Ec

25. ábra. Másod-negyedfokú potenciál (λ < 0) és fázistérbeli pályák. A piros vonal aszeparátrix.

2018. december 18. 21:59:34 102

7.4 Inverz probléma 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERPályák kétféle szemléltetésének összehasonlítása:

Időfüggvények Fázistér(t,x) illetve (t,v) ∼ (x,v)x(t),v(t) ∼ v(x)időbeli változás ∼ geometriai szerkezetegyedi pályák ∼ globális áttekintés

7.4. Inverz probléma: a periódusidőből visszakövetkeztetünk a potenciálra (*)Tekintsünk egy potenciálvölgyet a 26. ábra szerint, azaz legyen V (0) = 0, és V (x) monoton csökkenjen a negatív

és nőjön a pozitív félegyenesen. A két inverz ág legyen x1(V ) ≤ 0 és x2(V ) ≥ 0, adott E energián a fordulópontokx1(E), x2(E) (a korábbitól eltérő jelöléssel). A (7.13) periódusidőt felbontjuk kétoldali járulékokra és az integrálbanaz x→ V változócserét hajtjuk végre

V

E

x

xx21

26. ábra. Két monoton sza-kaszból álló potenciál.

T (E)√2m

=x2(E)w

x1(E)

dx√E − V (x)

= 0w

E

x′1(V ) dV√E − V

+Ew

0

x′2(V ) dV√E − V

=

Ew

0

[x′2(V )− x′1(V )] dV√E − V

=Ew

0

∆x′(V ) dV√E − V

, (7.17)

ahol bevezettük az inverz ágak különbségfüggvényére a következő jelölést

∆x(V ) = x2(V )− x1(V ). (7.18)

A periódusidő tehát azonos olyan potenciálvölgyekre, melyeknek ugyanazon V ener-giákhoz tartozó ∆x(V ) szélessége azonos.

2018. december 18. 21:59:34 103

7.4 Inverz probléma 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERFordítsuk meg a kérdést! Feltéve, hogy ismerjük a periódusidőt, mint az energia függvényét, miképpen számíthatjuk

vissza a potenciált, pontosabban ennek inverz ágainak a különbségét, amely a periódusidőt meghatározza?Először is vizsgáljuk a (7.17) formulában fellépő, F (V )→ G(E) típusú, lineáris függvénytranszformációt

G(E) =Ew

0

F (V ) dV√E − V

. (7.19)

Ennek további, G(E)→ H(U) transzformáltja

H(U) =Uw

0

G(E) dE√U − E

=Uw

0

dE√U − E

Ew

0

F (V )dV√E − V

=Uw

0

dV F (V )Uw

V

dE√(U − E)(E − V )

, (7.20)

ahol a 0 < V < E < U egyenlőtlenségeket megtartva az integrálások sorrendjét felcseréltük. Az E szerinti integrálástartományát a (0, 1) intervallumra képezhetjük a z változóra áttérve

E = V + (U − V ) z2 ⇒ dE = 2(U − V )z dz és√

(U − E)(E − V ) = z(U − V )√

1− z2

⇒Uw

V

dE√(U − E)(E − V )

= 21w

0

dz√1− z2

= π ⇒ H(U) = πUw

0

dV F (V ). (7.21)

Érdekes módon az E-re vett integrál a végpontoktól függetlennek adódott. Végezetül azt az egyszerű eredménytkaptuk, miszerint a kétszer alkalmazott (7.19) transzformáció az eredeti függvény integráljának π-szeresét adja

F (V )→ G(E)→ H(U) = πUw

0

dV F (V ) (7.22)

2018. december 18. 21:59:34 104

7.5 Anharmonikus oszcillátor – perturbációszámítás 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZEREnnek alapján egyetlen transzformációs lépést, azaz a (7.19) formulát, egy szorzó erejéig az integrálási művelet„négyzetgyökének” tekinthetjük.

Mindezek alapján a fent vizsgált, egymást követő függvénytranszformáltak és a (7.17) formulában szereplő fizikaimennyiségek között a következő megfeleltetést tehetjük (itt H argumentumát V -nek választjuk)

F (V ) = ∆x′(V ), G(E) = T (E)/√

2m, H(V ) = π∆x(V ). (7.23)

Mivel az utóbbi két függvényt is a (7.19) reláció köti össze

∆x(V ) = 1π√

2m

Vw

0

T (E)dE√V − E

. (7.24)

arra az eredményre jutottunk, hogy a T (E) periódusidő meghatározza az inverz ágak ∆x(V ) különbségét, azaz apotenciálvölgy szélességét minden adott V energia mellett. Ha feltesszük, hogy a potenciál szimmetrikus, akkor azta T (E) egyértelműen definiálja. Mindezzel arra adtunk példát, hogy egy fizikai rendszeren mérhető mennyiség, azazesetünkben az 1D oszcillátor periódusideje alapján a mozgást meghatározó erőtérre következtethetünk.

Megjegyzés: A fenti (7.24) eredmény Niels Henrik Abel norvég matematikus nevéhez fűződik. E fejezetben az[LL1] kötetbeli levezetést követtük, kissé bővítve.7.4. Gyakorló feladat. Adjunk meg egy nem szimmetrikus, kvadratikusnál bonyolultabb V (x) potenciált expliciten,melyhez állandó periódusidő tartozik! [4]

E: 2018.10.05 J | I 2018.10.10

7.5. Anharmonikus oszcillátor periódusideje: perturbációszámítás és dimenzióanalízisA perturbációszámítás az elméleti fizika legelterjedtebb módszerei közé tartozik. Elsőként a véges mozgások

periódusidejének számításán keresztül mutatjuk be az eljárást. Ezen túl a periódusidő számítása a dimenzióanalízisreis jó példával szolgál.

2018. december 18. 21:59:34 105

7.5 Anharmonikus oszcillátor – perturbációszámítás 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER7.5.1. Perturbált harmonikus potenciál

A kvadratikus potenciálhoz kis perturbációt adunk

V (x) = k

2x2 + εv(x), (7.25)

majd a periódusidőt ε szerint sorba fejtjük. Ehhez feltesszük, hogy a mozgás során |V (x)| |εv(x)|, a sorfejtés kisparaméterét később, a számítás során azonosítjuk. A v(x)-et energia dimenziójúnak vesszük, ennélfogva ε dimenziótlanszám.

Legyenek a fordulópontok most A+ és −A−, melyekre teljesülE = V (A+) = V (−A−), (7.26)

s melyek ε-tól függnek. A periódusidőt felbontjuk az x ≷ 0 tartományokban eltöltött, "féloldalas" időkre

T (E) = T+(E) + T−(E) =√

2mA+w

0

dx√E − V (x)

+√

2mA−w

0

dx√E − V (−x)

. (7.27)

Észrevesszük, hogy a perturbáció az integrandusokban szereplő potenciálban és az integrálok felső határait képezőamplitúdókban is megjelenik – első lépésként az ε-t a felső határból kiküszöböljük. Vizsgáljuk a T+ járulékot! Bevezetveaz

x = A+ sin u [⇒ dx = A+ cosu du ] , ω =√k

m, α = ε

kA2+

(7.28)

jelöléseket nyerjük

T+ =√

2mA+w

0

dx√(k/2)(A2

+ − x2) + ε[v(A+)− v(x)]= 2ω

π/2w

0

cosu du√cos2 u+ 2α[v(A+)− v(A+ sin u)]

. (7.29)

2018. december 18. 21:59:34 106

7.5 Anharmonikus oszcillátor – perturbációszámítás 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERHa ε = 0, visszakapjuk a harmonikus oszcillátor fél periódusidejét, T+ = π/ω = T/2. Első célunkat elértük, éspediga fenti integrál felső határa rögzített. A perturbáció csak az integrandusban lép fel, melyet az alábbiakban fejtünksorba vezető rendben.

7.5.2. Periódusidő sorfejtése - vezető korrekció

Használjuk fel, hogy (1 + y)−1/2 = 1− y2 +O(y2), ahonnan

T+ = 2ω

π/2w

0

[1− αv(A+)− v(A+ sin u)

cos2 u

]du+O(α2). (7.30)

A korrekcióban a kitérést közelíthetjük a perturbálatlan értékkel

E = k

2A2+ + εv(A+) ⇒ A+ =

√2Ek

+O(ε) ⇒ A+ ≈ A− ≈ A0 =√

2Ek. (7.31)

Tehát

T = T+ + T− = 2πω

+ 2αω

π/2w

0

v(A0 sin u)− v(A0) + v(−A0 sin u)− v(−A0)cos2 u

du+O(ε2)

≈ 2πω

+ 2εωE

π/2w

0

vs(A0 sin u)− vs(A0)cos2 u

du = 2πω

+ 2εωE

I(A0) = 2πω

+ 4εωkA2

0I(A0) = 2π

ω

(1 + 2ε

πkA20I(A0)

)(7.32)

ahol vs(x) = (v(x) + v(−x))/2 a perturbáció szimmetrikus része, s I(A0) az utolsó integrál szimbóluma, az ampli-túdótól függ.

Következésképpen a páratlan v(x) az ε-ban első rendben nem módosítja a periódusidőt. A "féloldalas" idők, T+, T−változhatnak, de amennyivel a trajektória "siet" az egyik oldalon, annyival "késik" a másikon.

2018. december 18. 21:59:34 107

7.5 Anharmonikus oszcillátor – perturbációszámítás 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER7.5. Gyakorló feladat. Köbös perturbáció: v(x) = b x3, páratlan függvény. (a) Mutassuk meg, hogy T+/− =πω

(1∓ 4εbA0

πk

)+O(ε2)! [3] (b) Határozzuk meg T korrekcióját ε2 rendig! [5]

7.6. Gyakorló feladat. Általános hatvány perturbációt tekintsünk a v(x) = b |x|β alakban, s írjuk fel a periódusidővezető korrekciójának integrálformuláját. Találunk rá zárt kifejezést? [2-3]

7.5.1. Példa. Negyedfokú perturbáció: v(x) = b x4 = vs(x). Az integrált el tudjuk végezni

I(A0) =bA40

π/2w

0

du sin4 u− 1cos2 u

= −bA40

π/2w

0

du (1 + sin2 u) = −bA40π

2

(1 + 1

2

)= −3π

4 bA40 = −3πbE2

k2 , (7.33)

⇒ T =2πω

(1− 3bA2

0ε

2k +O(ε2))

= 2πω

(1− 3bEε

k2 +O(ε2)). (7.34)

A potenciál perturbációja a periódusidő energiafüggését eredményezi! A korrekció kicsiny, ha

εbE/k2 = εbA20/2k 1. (7.35)

Ez éppen az a feltétel, hogy a legnagyobb kitérésnél is legyen a perturbáló potenciál jóval kisebb a harmonikusnál,azaz kA2

0 εbA40.

7.7. Gyakorló feladat. Ellenőrizzük, hogy e kifejezések valóban dimenziótlanok! [1]7.8. Gyakorló feladat. Lássuk be, hogy a fenti feltétel teljesülése esetén v(x) valóban sokkal kisebb a harmonikuspotenciálnál a fordulópontok között! [2]7.9. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a periódusidő valamely általános V0(x) potenciál εV1(x) perturbációja(V1 a korábbi v-nek felel meg) esetén első rendig T0 + εT1 , ahol

T1 = − ∂

∂E

w T0

0dt V1(x0(t)), (7.36)

2018. december 18. 21:59:34 108

7.5 Anharmonikus oszcillátor – perturbációszámítás 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERmelyben a perturbálatlan x0 pályán kívül általános esetben a T0 periódusidő is függhet az E energiától. Ellenőrizzük,hogy visszakapjuk-e a harmonikus V0(x) potenciálra a (7.32) eredményt? [7]

Megjegyzés: A függelék B.4 fejezetében a potenciál negyedfokú perturbációja esetén a periódusidőt a lineárisközelítésen túlmenően vizsgáljuk. Továbbá a B.5 alfejezetben bemutatjuk az ún. optimalizált perturbációszámítást.Nevezetesen a vezető korrekció perturbatív számítását egy további paraméter bevezetése mellett végezzük, majd aperturbatív közelítés hibáját e paraméter függvényében minimalizáljuk. Az utóbbi módszer csak a vezető perturbációszámítását igényli, pontosságban azonban ezt lényegesen felülmúlja.

A: 2018.10.12 J | I 2018.10.17

7.5.3. Dimenzióanalízis: periódusidő a tiszta hatvány potenciálban

Legyen a potenciál páros függvény, vonzó, pozitív kitevőjű, mellyel az energia (b, β > 0)

E = mv2

2 + b|x|β. (7.37)

A paramétereknek egyetlen idő dimenziójú kombinációja létezik

hossz: β

√E/b, sebesség:

√E/m ⇒ idő:

√m/E β

√E/b. (7.38)

A periódusidő csak az utóbbi kifejezéssel lehet arányos, tehát

T (E) ∝√mβ√bE

1β− 1

2 . (7.39)

β >/< 2 ∼ keményedő/lágyuló potenciál a harmonikushoz képest ∼ T (E) csökken/nő.7.10. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy az m,E, b mennyiségekből dimenziótlan kombináció nem állítható elő!Ezt a tényt hallgatólagosan felhasználtuk, (7.39) jobboldalát függvény nem, csak numerikus állandó szorozhatja. [1]7.11. Gyakorló feladat. Mit mondhatunk a b, β < 0 potenciálokra? [2]7.12. Gyakorló feladat. Értelmezzük a β →∞ és β → −∞ határeseteket. [1-3]7.13. Gyakorló feladat. Milyen energiafüggés adódik a (7.13) integrálformulából? [3]

2018. december 18. 21:59:34 109

7.6 Fázistér II.: stabilitásvesztés, bifurkációk 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER7.6. Fázistér II.: stabilitásvesztés, bifurkációk

A potenciál valamely paraméterének változtatása esetén egy korábban stabil fix pont elvesztheti a stabilitását ésúj fix pontok jöhetnek létre.

7.6.1. Másod-negyedfokú potenciál

x

V(x)

x

v

(a)

V(x)

x

v

(b)

27. ábra. Másod-negyedfokú potenciál és fázistérbeli pályák, a: µ < 0, az origó stabil(elliptikus); b: µ > 0, az origó instabil (hiperbolikus), a szeparátrix energiája Ec = 0.

2018. december 18. 21:59:34 110

7.6 Fázistér II.: stabilitásvesztés, bifurkációk 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERVizsgáljuk a

V (x) = −µx2/2 + αx4/4 (7.40)potenciált, ahol α > 0 állandó és µ-t változtatjuk. A µ előjelétől függően kvalitatíven különböző trajektóriákat a 27.ábrán illusztráljuk.

7.6.2. Vasvilla (pitchfork) bifurkáció

x*

µ

28. ábra. Bifurkációs diagram: fixpontoka paraméter függvényében. —: stabil, - -:instabil.

Az egyensúlyi helyzetek a µ paraméter függvényében a 28. ábrán lát-hatók. A µ < 0 esetén stabil fix pont µ = 0-ban elveszti stabilitását ésµ > 0 esetén további két stabil fix pont jelenik meg. A vasvilla művésziábrázolását a 29. ábra illusztrálja.

Megjegyzés: Stabil és instabil pontok egyszerre jelennek meg. Stabili-tási index:

s =

+1 ... stabil,−1 ... instabil. (7.41)

A 28. ábráról leolvasható, hogy az összes fix pontra vett összeg∑Nj sj =állandó:

µ < 0 : N = 1, s1 = 1, (7.42)µ > 0 : N = 3, s1 = −1, s2 = s3 = 1. (7.43)

7.14. Gyakorló feladat. Adjuk meg a µ > 0 esetén megjelenő egyensúlyi helyzetek formuláját µ függvényében a(7.40) potenciálra! [2]7.15. Gyakorló feladat. Határozzuk meg a másod-harmadfokú V (x) = k

2x2 + α

3x3 potenciálbeli stabil és instabil

egyensúlyi helyzeteket az α függvényében! Találunk-e bifurkációt? A helyzetet tisztázhatja, ha az egyensúlyi helyze-teket az 1/α függvényében ábrázoljuk. [2]

2018. december 18. 21:59:34 111

7.6 Fázistér II.: stabilitásvesztés, bifurkációk 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER

29. ábra. Vasvilla és hiperrealizmus [Wikipedia], bal: Grant Wood: American Gothic,1930.; jobb: Ismeretlenek, napjainkban.

7.6.3. Első-harmadfokú potenciál

Másfajta bifurkációt találunk az első-harmadfokú potenciálban. Tekintsük rögzített α > 0 mellett a

V (x) = −kx+ α

3 x3 (7.44)

potenciált, melynek egyensúlyi helyzetei

V ′(x∗) = −k + αx∗2 = 0 ⇒ x∗ = nincs k < 0±√

kα

k ≥ 0 . (7.45)

2018. december 18. 21:59:34 112

7.6 Fázistér II.: stabilitásvesztés, bifurkációk 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERA k = 0-ban megjelenik két fixpont. Mivel V ′′(x∗) = 2αx∗, azért a pozitív x∗ stabil, a negatív instabil.7.16. Gyakorló feladat. Ábrázoljuk a potenciált és a tipikus fázistérbeli trajektóriákat k <,=, > 0 esetén! [2]

7.6.4. Tangens bifurkáció

x*

k

N=2

N=0

nincs

a

x*

b

C

30. ábra. (a) Bifurkációs diagram: fix pontok a paraméter függvényében. Stabil: —,instabil: - - -. (b) A fix pontok menete a komplex síkon, midőn k negatívról pozitívravált.

Az egyensúlyi helyzetek a k függvényében a 30. ábrán láthatók. A stabilitási indexek minden k-ra ∑Nj sj = 0. Az

x-et a komplex síkra kiterjesztve azt mondhatjuk, a k < 0 esetben imaginárius x∗ = ±√k/α fix pontok a k = 0-ban

az origóban "találkoznak", majd a valós tengelyen maradva távolodnak onnan. Ilyen jelenséget nevezünk tangensbifurkációnak.7.6.1. Példa. Vasvilla bifurkáció: centrifugális szabályozó ∼ adott szögsebességgel forgó, merev karú inga (ld. 31.ábra):

L(ϕ, qϕ) = K − V, K = m

2(`2 qϕ2 + `2ω2 sin2ϕ

), V = −mg` cosϕ. (7.46)

2018. december 18. 21:59:34 113

7.6 Fázistér II.: stabilitásvesztés, bifurkációk 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER

ϕ l

ω

ϕ

ω

m

a b c31. ábra. (a) Centrifugális szabályozó és (b) egyszerűsített modellje, a forgó felfüggesz-tésű inga; (c) James Watt szerkezete.

*ϕ

ω

π /2

32. ábra. Centrifugális szabályozóbifurkációs diagramja.

A mozgásegyenletqp = m`2 q q

ϕ = −mg` sinϕ+m`2ω2 sinϕ cosϕ = F. (7.47)Megjegyzés: Együtt forgó koordinátarendszerből leírva ugyanezt kapjuk, a má-sodik tag a centrifugális erő érintő irányú vetülete. A centrifugális erő automa-tikusan adódott a Lagrange-formalizmusból! Egyensúlyi helyzetek (ld. 32. ábra)

sinϕ∗ = 0 vagy cosϕ∗ = g

`ω2 . (7.48)

Kitérés (ϕ∗ > 0) csak

ω > ωc =√g

`(7.49)

2018. december 18. 21:59:34 114

7.7 Síkinga 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZEResetén lehetséges. Érdekes, hogy a kritikus ωc éppen az inga saját lengési körfrekvenciája. Azt, hogy ezzel arányosnakkell lennie, dimenzióanalízis alapján elvártuk, az egyenlőség azonban ennél szorosabb összefüggés.

Megjegyzés: A mozgás az egyensúlyi helyzeten kívül a ϕ változóban effektíven 1D:

E = 12m`

2 qϕ2 + Veff(ϕ) = állandó, ahol Veff(ϕ) = −mg` cosϕ− 1

2m`2ω2 sin2 ϕ. (7.50)

7.17. Gyakorló feladat. Illusztráljuk a bifurkációt a potenciál görbéjével az ω <,=, > ωc esetekre! [1]7.18. Gyakorló feladat. Az inga felfüggesztési pontját d sugarú körön forgatjuk függőleges tengely körül. Írjuk fel aLagrange-függvényt és a mozgásegyenletet, majd ábrázoljuk a szögsebesség függvényében azt a szöget, amelybe azinga be tud állni, azaz a forgó rendszerben az egyensúlyi szögállást. Vegyük észre az ugrásszerű átalakulást, amelykülönböző értéknél történhet attól függően, vajon növeltük vagy csökkentettük a forgási sebességet. [5]7.19. Gyakorló feladat. Tegyük fel, hogy egy könnyű belső szerkezet az inga hosszát valamely adott `(t) időfüggvényszerint változtatja. Adjuk meg a mozgásegyenletet! [3]7.20. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a korábbról ismert tehetetlenségi erők könnyedén előállíthatók aLagrange-formalizmus felhasználásával. Ehhez vegyük fel a kinetikus energiát az m | qr + ω × r|2/2 alakban, aholω(t) az explicit időfüggéssel ismert szögsebesség, és r a forgó rendszerbeli helyvektor, amelyet válasszunk mostáltalános koordinátának. [4]

E: 2018.10.10 J | I 2018.10.12

7.7. SíkingaSúlytalan rúddal felfüggesztetett tömegpont síkmozgása. Az anharmonikus mozgás egyszerű példája, mozgás-

egyenletével már a középiskolában megismerkedtünk. Az alábbiakban néhány elemi tulajdonságát idézzük fel, azutána periódusidőt előállítjuk végtelen sorfejtés alakjában.

2018. december 18. 21:59:34 115

7.7 Síkinga 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER7.7.1. Mozgásegyenlet

A Lagrange-függvény és az energia

L = 12m`

2 qϕ2 +mg` cosϕ, E = 1

2m`2 qϕ2 −mg` cosϕ = áll. (7.51)

Ec

ϕ

ϕ

V( )

π−π

33. ábra. Síkinga potenciálja.

A szeparátrix energiája Ec = mg`,

E < Ec ∼ leng, (7.52)E > Ec ∼ körbe fordul. (7.53)

7.7.2. Kis rezgések

Ha ϕ 1 akkor cosϕ ≈ 1 − ϕ2/2, akkor közelítőleg (apotenciálbeli állandót elhagyva)

L =12m`

2 qϕ2 − 1

2mg`ϕ2, ⇒ q q

ϕ = −ω2ϕ, (7.54)

E =12m`

2 qϕ2 + 1

2mg`ϕ2, (7.55)

ahol

ω =√g/`, T = 2π

√/g. (7.56)

A ϕ-ben harmonikus oszcillátort kaptunk, ez a középiskolából ismert matematikai inga.A variációs mechanika előnye: a skalár Lagrange-függvény sorfejtése alapján megkapjuk a sorba fejtett mozgás-

egyenleteket, több szabadsági fok esetén is.

2018. december 18. 21:59:34 116

7.7 Síkinga 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER7.7.3. Fázistér szerkezete

A fázistérbeli trajektóriák egyenlete az E energián (ld. 34. ábra)

| qϕ| =√2/m`2√E +mg` cosϕ. (7.57)

E>Ec

E<EcE

c

ϕ

ϕ

π−π

34. ábra. Síkinga fázistere.

Ha a maximális kitérés ϕ0 < π, akkor és

E = −mg` cosϕ0 < mg` = Ec (7.58)⇒ | qϕ| =√2g/` (cosϕ− cosϕ0), (7.59)

A szeparátrixon E = Ec, az inga éppen nem fordul körbe, azazϕ0 = π és

| qϕ| = √2g`

(cosϕ+ 1) = 2√g

`

∣∣∣∣cos ϕ2

∣∣∣∣ . (7.60)

Ha E > Ec, akkor az inga körbe fordul. Minden fizikai mennyi-ség periodikus ϕ-ben.

Kétféle ekvivalens szemléltetés:→ Fázistérbeli cella ismétlődik, 35a. ábra,→ Hengeren értelmezzük, 35b. ábra.

7.7.4. Időfüggés

C = E

Ec= E

mg`

< 1 leng C = − cosϕ0> 1 körbefordul (7.61)

2018. december 18. 21:59:34 117

7.7 Síkinga 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERImplicit egyenlet ϕ(t)-re

t− t0 =√`

2g

w ϕ

ϕ0

|dϕ|√C + cosϕ

, (7.62)

ez példa ún. elsőfajú, nem teljes, elliptikus integrálra. Sorfejtések lehetségesek pl.→ az egyensúlyi helyzet körül ∼ C = −1 + ε,→ a szeparátrix körül ∼ C + cosϕ = 2 cos2(ϕ/2) + C − 1, C = 1 + ε.

7.7.5. Lengések periódusideje

a. A teljes elliptikus integrál

E < Ec, C = − cosϕ0:

T = 4√`

2g

ϕ0w

0

dϕ√cosϕ− cosϕ0

. (7.63)

ϕ

ϕ

b

ϕ

ϕ

a

35. ábra. (a) Periodikus (b) hengeres nézet.

2018. december 18. 21:59:34 118

7.7 Síkinga 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERKüszöböljük ki a fordulópont ϕ0 szögét a felső határból! Vezessük be a k = sin ϕ0

2 új paramétert, és végezzük el aϕ→ ψ változócserét

sinψ =1k

sin ϕ2 ⇒ cosψ dψ = 12k cosϕ2 dϕ (7.64)

cosϕ =1− 2 sin2 ϕ

2 , cosϕ− cosϕ0 = 2(

sin2 ϕ0

2 − sin2 ϕ

2

)= 2

(k2 − k2 sin2 ψ

)= 2k2 cos2 ψ. (7.65)

Végül a periódusidő

T = 4√`

2g

π/2w

0

cosψ dψ12k cos ϕ

2· 1√

2k cosψ= 4

√`

g

π/2w

0

dψ√1− k2 sin2 ψ

= 4√`

gK(k), (7.66)

ahol K(k) az elsőfajú teljes elliptikus integrál. Kvalitatív menetét és a periódusidőt a 36. ábra szemlélteti.

1

π/2

ϕ0

k

1

π

ϕ0

π

TK(k)

k

2

q

`

g

a

b

36. ábra. (a) Az elliptikus integrál K(k); (b) k(ϕ0); (c) a periódusidő.

2018. december 18. 21:59:34 119

7.7 Síkinga 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERb. A periódusidő sora (*)

Az elliptikus integrálok tulajdonságait speciális függvények jegyzékei ismertetik. Alább bemutatjuk, miképpenhatározható meg a K(k) elliptikus integrál Taylor-sora. Hatványok kifejtése (n egész, a nem egész):

(1 + x)n =n∑j=0

(n

j

)xj; (1 + x)a =

∞∑j=0

(a

j

)xj, ⇒ 1√

1− x=∞∑j=0

(−1/2j

)(−x)j. (7.67)

Az utóbbi sorban fellépő együtthatót kiírjuk(−1/2j

)= 1j!

(−1

2

)(−1

2 − 1). . .(−1

2 − j + 1)

= (−1)j (2j − 1)!!2j!! , (7.68)

melyet j = 0 esetén 1-nek értelmezünk. A periódusidő sora integrálokkal

T = 4√`

g

∞∑j=0

(−1/2j

)(−k2)j

w π/2

0sin2j ψ dψ = 4

√`

g

∞∑j=0

k2j (2j − 1)!!(2j)!!

w π/2

0sin2j ψ dψ. (7.69)

Kiszámítjuk az integrált

Ij =w π/2

0sin2j ψ dψ = −

w π/2

0cos′ ψ · sin2j−1 ψ dψ

= − cosψ · sin2j−1 ψ∣∣∣π/20

+ (2j − 1)w π/2

0cos2 ψ · sin2j−2 ψ dψ

=(2j − 1) (Ij−1 − Ij) (7.70)

⇒ Ij =2j − 12j Ij−1 = . . . = (2j − 1)!!

(2j)!!π

2 . (7.71)

2018. december 18. 21:59:34 120

7.7 Síkinga 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERVégeredményképpen kapjuk a periódusidő Taylor-sorát

T (ϕ0) = 2π√`

g

∞∑j=0

k2j(

(2j − 1)!!(2j)!!

)2

, (7.72)

ahova a k = sin(ϕ0/2)-t helyettesítjük be. A sor konvergens, ha |k| < 1, ez éppen a lengés feltétele. A vezető tagok

T (ϕ0) = 2π√`

g

(1 + 1

4 sin2 ϕ0

2 + 964 sin4 ϕ0

2 + . . .). (7.73)

A kitérésben O(ϕ40) rendig:

k = sin ϕ0

2 = ϕ0

2 −13!ϕ3

08 + · · · = ϕ0

2 −ϕ3

048 + . . . , (7.74)

k2 =ϕ20

4 −ϕ4

048 + . . . , (7.75)

k4 =ϕ40

16 + . . . , (7.76)

T (ϕ0) =2π√`

g

(1 + ϕ2

016 + 11

3072ϕ40 + . . .

). (7.77)

A sorfejtés használhatóságát javítja az, hogy az együtthatók kicsik. Becslések:

|ϕ0| <0, 4 (30) ⇒ ϕ20

16 < 0, 01 ⇒ T ≈ 2π√`

g1%-on belül (7.78)

|ϕ0| <1, 3 (80) ⇒ a vezető korrekció 10%-on belül. (7.79)7.21. Gyakorló feladat. Ellenőrizzük a negyedfokú tag együtthatóját! [2]7.22. Gyakorló feladat. Korábban kiszámítottuk az x4-es perturbáció hatását első rendig. Összhangban van a jeleneredménnyel? [2]

2018. december 18. 21:59:34 121

7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER7.8. Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel

Az alábbiakban a harmonikus oszcillátort vizsgáljuk időfüggő külső gerjesztő erő jelenlétében.

L = 12m

qx2 − 1

2mω20x

2 +mxf(t) ⇒ q qx+ ω2

0x = f(t), (7.80)

ez lineáris, inhomogén differenciálegyenlet. Az inhomogén és a homogén egyenlet egy-egy megoldásának összege azinhomogén egyenletet megoldása. Ezért az inhomogén egyenlet általános megoldása

x(t) = xh(t) + xp(t),xh(t) = A sin(ω0t+ δ) : a homogén egyenlet általános megoldása,xp(t) =? : az inhomogén egy "partikuláris" megoldása.

(7.81)

Adott külső gerjesztő erő esetén a feladat egy partikuláris megoldás meghatározása.A KF teljesíthető adott partikuláris megoldás mellett oly módon, hogy az ahhoz hozzáadandó homogén megoldás

paramétereivel illesztjük a KF-t.Megjegyzés: Partikuláris megoldások egymástól csak a homogén egyenlet megoldásában különbözhetnek.

7.8.1. Harmonikus gerjesztés (m)

A gerjesztő erő legyen tisztán koszinuszos

f(t) = F0 cos Ωt. (7.82)

Keressünk egy partikuláris megoldást a következő alakban

xp(t) = x0 cos Ωt, (7.83)

2018. december 18. 21:59:34 122

7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERmellyel

x0(−Ω2 + ω20) cos Ωt = F0 cos Ωt ⇒ x0 = F0

ω20 − Ω2 ⇒ xp(t) = F0

ω20 − Ω2 cos Ωt. (7.84)

Fázistolás: ha Ω > ω0, akkor az együttható negatív, ez a gerjesztő erőhöz képest π fázistolást jelent.Rezonancia: Ω = ω0, ekkor az amplitúdó végtelen.

7.8.2. Általános gerjesztés: megoldás Fourier-transzformációval

a. Fourier-transzformáció néhány elemi tulajdonsága

A Fourier-transzformációt (FT) a következő konvenció szerint alkalmazzuk

x(t) = 12π

w ∞−∞

xωeiωtdω ∼ xω =

w ∞−∞

x(t)e−iωtdt (7.85)

Idézzük fel a Dirac-delta szimbólumot

δ(t) = 12π

w ∞−∞

eiωtdω,w ∞−∞

δ(t− t0) f(t) dt = f(t0), (7.86)

melynek segítségével látható (7.85) konzisztenciája. Például, a jobboldali formulából a baloldali következik1

2π

w ∞−∞

xωeiωtdω = 1

2π

w ∞−∞

eiωtdωw ∞−∞

x(t′)e−iωt′dt′ =w ∞−∞

δ(t− t′)x(t′) dt′ = x(t). (7.87)

A FT hasznos eszköz differenciálegyenletek kezeléséhez, mivel a deriválás a FT révén szorzássá egyszerűsödik:qx(t) ∼ iω xω. (7.88)

7.23. Gyakorló feladat. Számítsuk ki a δε(t) = 12π

r∞−∞ e

iωt−εω2dω függvényt, és mutassuk meg, hogy valóbanr∞−∞ δε(t− t0) f(t) dt→ f(t0), ha ε→ 0! [3]

2018. december 18. 21:59:34 123

7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERb. Gerjesztett oszcillátor megoldása Fourier-integrállal

Egy partikuláris megoldás meghatározása céljából alkalmazzuk a FT-t azq qx(t) + ω2

0x(t) = f(t) (7.89)

mozgásegyenletre. Felhasználva, hogy a kétszeres időderivált FT-jaq qx(t) ∼ [ q qx]ω = −ω2xω (7.90)

nyerjük

(ω20 − ω2)xω = fω, (7.91)

ahonnan vissza-FT alkalmazásával egy partikuláris megoldás

x(t) = 12π

w ∞−∞

fωω2

0 − ω2 eiωtdω. (7.92)

7.8.1. Példa. Harmonikus gerjesztés

f(t) = F0 cos Ωt = F0

2(eiΩt + e−iΩt

)∼ fω = πF0 [δ(ω − Ω) + δ(ω + Ω)] , (7.93)

⇒ x(t) = F0

ω20 − Ω2 cos Ωt (7.94)

Valóban visszakaptuk a (7.84) rezgést, az oszcillátor felveszi a gerjesztő frekvenciát.A: 2018.10.17 J | I 2018.10.19

2018. december 18. 21:59:34 124

7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER7.8.3. Általános gerjesztés: megoldás Green-függvénnyel

a. Konvolúció

Fourier-transzformáltak szorzatát vizsgáljukCω = AωBω. (7.95)

Visszatranszformálva kapjuk

C(t) =∞y

−∞A(t′)e−iωt′B(t′′)e−iωt′′eiωtdt

′dt′′dω2π =

∞x

−∞A(t′)B(t′′)δ(t− t′ − t′′)dt′dt′′ (7.96)

⇒ C(t) =w ∞−∞

A(t′)B(t− t′)dt′ ≡w ∞−∞

A(t− t′)B(t′)dt′ ≡ [A ∗B](t), (7.97)

ez a konvolúció művelete, melyet ∗-gal jelölünk. Az utolsó azonosságot az integrálási változó cseréjével kapjuk. Ezzelazt demonstráljuk, hogy miképpen Aω és Bω felcserélhetők voltak Cω definíciójában, a konvolúció formulájában isfelcserélhető A(t) és B(t).

b. Green-függvény: frekvencia- és időfüggő előállítás

Ennek alapján az előző szakaszban FT-val kapott megoldás időfüggését is előállíthatjuk. A (7.91) szerint

xω = fωω2

0 − ω2 . (7.98)

Vezessük be a harmonikus oszcillátor Green-függvényét

Gω = 1ω2

0 − ω2 ∼ G(t) = 12π

∞w

−∞

eiωt

ω20 − ω2 dω. (7.99)

2018. december 18. 21:59:34 125

7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERA (7.92) formulával összevetve látható, hogy G(t) az fω = 1, azaz az f(t) = δ(t) gerjesztésnek megfelelő megoldás.A keresett partikuláris megoldás végül konvolúció alakjában áll elő

xω = Gωfω ∼ x(t) =w ∞−∞

dt′G(t− t′)f(t′) = [G ∗ f ](t). (7.100)

A Green-függvény a Dirac-delta gerjesztéshez tartozó megoldás, amelynek segítségével a (7.100) képlet szerint azáltalános gerjesztéshez tartozó egy partikuláris megoldást állíthatunk elő.

c. Harmonikus oszcillátor Green-függvénye

Határozzuk meg G(t)-t közvetlenül a q qG(t)+ω2

0G(t) = δ(t) (7.101)

egyenletből! Keressünk olyan megoldást, amely a gerjesztés előtt zérus és mindenütt folytonos

G(t) =

0, ha t < 0,B sinω0t, ha t > 0, (7.102)

majd integráljuk a mozgásegyenletetq qG+ω2

0G = δ(t)/w τ

−τdt, τ → 0, (7.103)q

G(τ)−qG(−τ) + ω2

02τG(0) ≈ 1 ⇒qG(0+) = Bω0 = 1. (7.104)

A KF-hez illeszkedő megoldás tehát

G(t) = θ(t)ω0

sinω0t, (7.105)

2018. december 18. 21:59:34 126

7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERahol bevezettük a Heaviside-függvényt

θ(t) =

0, ha t < 0,1, ha t > 0. (7.106)

7.24. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy G(t) a (7.99) FT formulával összhangban van! Útmutató: célszerű aθ(t) = 1/2 + (1/2πi)

rdω eiωt/ω integrálelőállítást használni. [3]

A fentiek alapján a gerjeszett harmonikus oszcillátor egy partikuláris megoldása

x(t) = ω−10

w t

−∞sinω0(t− t′) f(t′) dt′. (7.107)

Vegyük észre, hogy a Green-függvény a homogén általános megoldással kiegészítve változatlanul kielégíti a (7.101)egyenletet! A fenti Green-függvény a KF speciális választásának felel meg, amelyben a gerjesztés előtt az oszcillátornyugalomban van, így a retardált Green-függvényt kaptuk.7.25. Gyakorló feladat. Győződjünk meg arról, hogy (7.107) valóban megoldja a mozgásegyenletet! [1]7.26. Gyakorló feladat. Tekintsük a Ga(t) = −ω−1

0 θ(−t) sinω0t függvényt, és mutassuk meg, hogy ez is a δ(t)gerjesztéshez tartozó megoldás! Ez az avanzsált Green-függvény. [2]7.27. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a retardált és az avanzsált Green-függvények különbsége a homogénegyenlet megoldása, ahogy annak lennie kell. [2]

7.8.4. Rezonáns gerjesztés

Ha Ω = ω0, akkor a (7.84) szinguláris. Ez azt jelenti, hogy tartósan ható rezonáns gerjesztés időben divergálóamplitúdójú rezgést hoz létre. Mindazonáltal véges időben véges megoldást kell kapnunk, ha a rezonáns gerjesztés

f(t) = θ(t)F0 cosω0t, (7.108)

azaz a t = 0 időpontban kapcsoljuk be, melyet megelőzően az oszcillátor nyugalomban volt.

2018. december 18. 21:59:34 127

7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERa. Állandó variálásának módszerével (m)

Keressük az

x(0) = 0, qx(0) = v0 (7.109)

KF-nek megfelelő megoldást a következő alakban t > 0 mellett

x(t) = a(t) sinω0t. (7.110)

Ez az állandó variálásának módszere. A mozgásegyenletbe helyettesítveqx = q

a sinω0t+ ω0a cosω0t, (7.111)q qx = q q

a sinω0t+ 2 qaω0 cosω0t− aω2

0 sinω0t = −aω20 sinω0t+ F0 cosω0t, (7.112)

ahonnan az azonos szögfüggvények együtthatóit egyenlővé téve és a megoldást a KF-hez illesztve nyerjük

qa = F0

2ω0,

q qa = 0 ⇒ a(t) = F0t

2ω0+ v0

ω0⇒ x(t) =

(F0t

2ω0+ v0

ω0

)sinω0t. (7.113)

A tisztán szinuszos tag a homogén egyenlet megoldása, mely a KF-hez illesztést tette lehetővé.A megoldás növekvő amplitúdójú rezgés, ez a fizikai tartalma a korábban a rezonanciánál fellépő végtelen ampli-

túdónak!

7.28. Gyakorló feladat. Van-e x(t) = b(t) cosω0t alakú megoldás, ahol b(t) polinom? [2]

2018. december 18. 21:59:34 128

7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERb. Megoldás Green-függvénnyel

Használjuk a Green-függvény (7.105) alakját

x(t) =F0

ω0

w t

0sinω0(t− t′) cosω0t

′ dt′ = F0

ω0

w t

0

[sinω0t cos2 ω0t

′︸ ︷︷ ︸12 (1+cos 2ω0t′)

− cosω0t sinω0t′ cosω0t

′︸ ︷︷ ︸12 sin 2ω0t′

]dt′ (7.114)

=F0t

2ω0sinω0t+ F0

2ω0

w t

0sinω0(t− 2t′) dt′ = F0t

2ω0sinω0t. (7.115)

Mivel az integrál eltűnik, éppen megkaptuk a (7.113) partikuláris megoldást a v0 = 0 esetben. Az itt kapott ésa (7.113) partikuláris megoldások különbsége valóban a homogén egyenlet megoldása, mint azt el is vártuk.

7.9. Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámításaAz eddigiekben a perturbációszámítást a periódusidő vizsgálatára alkalmaztuk. Ennél bonyolultabb feladat az idő-

függő trajektóriák közelítő meghatározása, melyet alább ismertetünk. Az általános perturbáció tárgyalását megelőzőena köbös és a negyedfokú perturbáló potenciálok speciális eseteit mutatjuk be, lényegében [LL1] leírását követve.

7.9.1. Másod-harmadfokú potenciál

Tekintsük az alábbi potenciált

V (x) = k

2x2 + εb′

3 x3, (7.116)

amelyben a köbös tag kis perturbáció, azaz ε 1, s a b′-t éppen azért vettük fel, hogy ε dimenziótlan lehessen. Amozgásegyenlet q q

x = −ω20x− εbx2, ahol b = b′/m, ω0 =

√k/m. (7.117)

2018. december 18. 21:59:34 129

7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERA megoldást a következő alakban keressük

x(t) = x0(t) + εx1(t), ahol x0(t) = A cosω0t. (7.118)

Az egyszerűség kedvéért kihagytuk a cos alól a fázist, melyet a KF-hez való illesztéshez természetesen fel kell venni.A mozgásegyenletbe helyettesítve és csak az ε-ban lineáris tagokig menve kapjukq q

x0 + εq qx1 = −ω2

0x0 − ω20εx1 − εbx2

0 +O(ε2). (7.119)

Az O(1) tagok kiesnek. Az ε-nal arányos tagok összehasonlításávalq qx1 + ω2

0x1 = −bx20. (7.120)

Tehát a pálya x1(t) korrekciója harmonikus oszcillátor, melyet az ismert perturbálatlan x0(t) megoldás külső gerjesztőerőként hajt meg. Felhasználva, hogy

cos2 ω0t = 12 (1 + cos 2ω0t) (7.121)

nyerjük

q qx1 + ω2

0x1 = −A2b

2 (1 + cos 2ω0t). (7.122)

Ez egy konstans és egy harmonikus külső gerjesztő erő összegének kitett harmonikus oszcillátor. Egy partikuláris x1(t)megoldás az egyes gerjesztésekhez tartozó megoldások összege, melyeket a (7.84) megoldóképlet alapján írhatunk fel

x1(t) = −A2b

2ω20− A2b

21

ω20 − 4ω2

0cos 2ω0t. (7.123)

2018. december 18. 21:59:34 130

7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERVégül (7.117) nyerjük a trajektóriát az ε-ben lineáris rendig

x(t) = A cosω0t+ εA2b

2ω20

[13 cos 2ω0t− 1

]+O(ε2). (7.124)

Az alapharmonikus mellett egy állandó és egy kétszeres frekvenciájú felharmonikus jelent meg, és kiadódott a közelítésérvényét meghatározó kis dimenziótlan paraméter

εAb

ω20 1. (7.125)

A periódusidő nem változott ε rendig, összhangban a korábban a páratlan potenciálokra kapott eredményünkkel.7.29. Gyakorló feladat. A fenti megoldás partikuláris, azaz nem illesztettük a KF-hez. Általánosítsuk az eredményttetszőleges (x0, v0) KF értékekre ε-ban vezető rendig. [4]

E: 2018.10.12 J | I 2018.10.17

7.9.2. Másod-negyedfokú potenciál (*)

A potenciál legyen most

V (x) = k

2x2 + εb′

4 x4, (7.126)

melyben a mozgásegyenlet a következő q qx = −ω2

0x− εbx3, (7.127)ahol a (7.117) jelöléseit használtuk. A periódusidő ε rendben a (7.34) kifejezés szerint megváltozik. Keressük amegoldást a következő alakban

x(t) = x0(t) + εx1(t), ahol x0(t) = A cosω0t, (7.128)

2018. december 18. 21:59:34 131

7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERmelyet a mozgásegyenletbe helyettesítve kapjukq q

x0 + εq qx1 = −ω2

0x0 − ω20εx1 − εbx3

0 +O(ε2). (7.129)

Az O(ε) tagok összege eltűnik q qx1 + ω2

0x1 = −bx30 = −bA3 cos3 ω0t. (7.130)

Az x1(t) perturbáció itt is harmonikus oszcillátor, melyet külső gerjesztésként az x0(t) perturbálatlan trajektória hajtmeg. A koszinuszt kifejtve kapjuk

cos3 ϕ = (eiϕ + e−iϕ)3

8 = 18(e3iϕ + 3eiϕ + 3e−iϕ + e−3iϕ

)= 1

4 cos 3ϕ+ 34 cosϕ, (7.131)

ahonnan

q qx1 + ω2

0x1 = −bA3

4 (3cosω0t+ cos 3ω0t) . (7.132)

A megoldás a két, ω0 és 3ω0 harmonikus gerjesztéshez tartozó megoldások összege. Az alapfrekvenciás gerjesztésrezonáns! A megoldás (7.84) képletét alkalmazva

x1(t) = −3bA3

8ω0t sinω0t−

b1A3

41

ω20 − 9ω2

0cos 3ω0t, (7.133)

ahonnan

x(t) = x0(t) + εx1(t) = A cosω0t−3εbA3

8ω0t sinω0t+ εbA3

32ω20

cos 3ω0t+O(ε2). (7.134)

2018. december 18. 21:59:34 132

7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZEREzzel tehát megkaptuk a perturbációban lineáris rendig a trajektóriát. Noha korábban láttuk, hogy a periódusidő

is módosult lineáris rendben, ez nem nyilvánvaló a kapott formulából.A periódusidő perturbációjának megvilágításához tekintsük az alábbi, perturbált frekvenciájú harmonikus rezgést

cos [(ω0 + εω1)t] = cosω0t cos εω1t− sinω0t sin εω1t ≈ cosω0t− εω1t sinω0t+O(ε2). (7.135)

A (7.134) első két tagja éppen ilyen, ahol

ω1 = 3A2b

8ω0. (7.136)

7.30. Gyakorló feladat. Győződjünk meg arról, hogy ez megfelel a periódusidőre vonatkozó korábbi direkt eredmény-nek! [1]

Végül a megoldást írhatjuk a következő alakban

x(t) ≈ A cos(ω0 + εω1)t+ εAω1

12ω0cos 3ω0t. (7.137)

A perturbált alapfrekvencia mellett a harmadik felharmonikus jelent meg ε-ban vezető rendben. Az A-t kiemelvekapjuk a korrekció dimenziótlan együtthatóját, melyre a közelítés érvényességének feltétele

εω1

12ω0= εbA2

32ω20<< 1. (7.138)

7.31. Gyakorló feladat. A perturbált trajektóriát egészítsük ki olymódon, hogy az a KF-et ne változtassa meg. [3]7.32. Gyakorló feladat. Írjuk fel cosnϕ függvényt szinusz és koszinusz függvények lineáris kombinációjaként! [3]

Megjegyzés: A (7.134) közelítés csak εω1t 1 időkig jó, sokkal nagyobb időkre divergál, viszont a (7.137) formulakorlátos, a hibája nagy időkre csupán a fázis elcsúszásából fog származni. Azáltal, hogy a trajektória egyik korrekcióját

2018. december 18. 21:59:34 133

7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZERa perturbált frekvenciával sikerült kifejeznünk, megszüntettük a divergenciát! Az x(t) pálya sorfejtésének formulájáttermészetesen változatlanul csak ε rendig hihetjük el. Vegyük észre, hogy a koszinusszal ε-ban magasabb rendeket isgeneráltunk, mely rendekben a pálya korrekcióit egzatul nem ismerjük. Az így nyert „elcsúszó” fázis azonban fizikailagszemléletesebb.

7.9.3. Általános perturbáló potenciál: a szukcesszív approximáció módszere Green-függvénnyel (*)

Tetszőleges perturbáló εv(x) potenciál esetén a mozgásegyenlet az x(t) trajektóriáraq qx+ ω2

0x = −εv′(x) ≡ εf(x). (7.139)

A gerjesztett harmonikus oszcillátor megoldása a harmonikus rezgéshez adódó, a gerjesztés által indukált partikulárismegoldás, amelyet a Green-függvénnyel állíthatunk elő. A homogén egyenlet megoldása a nulladrendű trajektória

x0 = A cosω0t, (7.140)

a gerjeszett egyenleté pedig

x(t) = x0(t) + ε[G ∗ f(x)](t), (7.141)

ahol a konvolúció jelölését és a harmonikus oszcillátor Green-függvényét használtuk. (A retardált Green-függvényt(7.105) adja, a KF-hez illesztés céljából a homogén oszcillátor általános megoldásának bevételével egyelőre nemfoglalkozunk.) Ily módon az x(t) trajektóriára implicit egyenletet kaptunk, amelyből szukcesszív approximáció révéna pálya sorfejtését állíthatjuk elő.

Az O(ε) közelítést akkor kapjuk, ha a jobboldalon x(t) helyébe x0(t)-t írunk

x(t) = x0(t) + εx1(t) +O(ε2) = x0(t) + ε[G ∗ f(x0)](t) +O(ε2). (7.142)

A jobboldalon fellépő G(t) és f(x0(t)) függvényeket expliciten ismerjük, tehát az elsőrendű x1(t) korrekciót előállí-tottuk.

2018. december 18. 21:59:34 134

7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER7.33. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a köbös és negyedfokú perturbációkkal fent előállított közelítő megol-dások ebből a formulából is megkaphatók. [2+2]

A másodrendű közelítéshez a (7.141) egyenlet jobboldalán az x(t) megoldást ε rendű pontosságig visszahelyette-sítjük (az idő argumentumot nem írjuk ki, x→ x(t), etc.)

x = x0 + εG ∗ f(x0 + εx1 + . . . ) = x0 + εG ∗ f(x0) + ε2G ∗ [f ′(x0)x1] +O(ε3). (7.143)

Összefoglalásképpen, a pálya

x(t) = x0(t) + εx1(t) + ε2x2(t) + . . . (7.144)

sorfejtésében fellépő első három függvény

x0 = A cosω0t, x1 = G ∗ f(x0), x2 = G ∗ f ′(x0) [G ∗ f(x0)] . (7.145)

Másodiknál magasabb rendben a pálya korrekciója több tag járulékainak összege.

7.34. Gyakorló feladat. Állítsuk elő az ε3 rendű x3(t) korrekciót! [4]7.35. Gyakorló feladat. A KF-hez olymódon illeszthetünk, hogy az egyes rendekben xj(t)-hez a homogén egyenletáltalános megoldását – más-más paraméterekkel – hozzáadjuk. Írjuk fel ε rendben az x(0) = x0,

qx(0) = 0 KF melletti

megoldást általános f(x) gerjesztésre. [4]Ebben a fejezetben megmutattuk, hogy szukcesszív approximáció révén a pálya tetszőleges rendű korrekcióját a

Green-függvény segítségével előállíthatjuk. A harmonikus oszcillátor Green-függvénye ezáltal a perturbációszámításbankülönös jelentőségre tesz szert. Ennek fizikai háttere az, hogy a perturbáción keresztül a magasabb rendű korrekciókataz alacsonyabb rendű trajektóriák gerjesztik, éspedig oly módon, hogy ezek külső meghajtó erőként lépnek fel. Ez amechanizmus a perturbációknak kitett fizikai mozgásokra általánosan, nemcsak a klasszikus mechanikában érvényes.

2018. december 18. 21:59:34 135

8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK

8. Csillapított mozgások8.1. Súrlódási erő sűrű közegben (m)

Noha tömegpontot tekintünk, kis véges kiterjedést megengedünk ahhoz, hogy rá közegellenállásból származósúrlódási erő hathasson, mely sűrű közegben kis sebességekre közel lineáris

F s ≈ −γv. (8.1)

Ezért 1D potenciálmozgás esetén a mozgásegyenlet a következő

mq qx = −γ q

x− V ′(x). (8.2)

A tömegpont energiájának csökkenése a disszipált teljesítményqE = d

dt

(12m

qx2 + V (x)

)= m

qxq qx+ q

xV ′(x) = −γ qx2 = Fs

qx. (8.3)

Mint azt várjuk, ez éppen a súrlódási erő által a tömegponton végzett teljesítmény. Ez negatív, ellentettje a test általa környezeten végzett munkának. Az energia mindaddig csökken, amíg | qx| 6= 0.

8.2. Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange–Rayleigh-formalizmus8.2.1. Disszipációs függvény descartes-i koordinátákkal

Vegyük észre, hogy

Fs = −R′(v), ahol R(v) = 12γv

2. (8.4)

2018. december 18. 21:59:34 136

8.2 Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange–Rayleigh-formalizmus 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOKFormálisan tehát a disszipatív mozgásegyenletet ekképpen származtathatjuk

ddt∂L

∂qx

= ∂L

∂x− ∂R

∂qx⇐⇒ m

q qx = −V ′(x)− γ q

x. (8.5)

Az R-et disszipációs vagy Rayleigh-féle függvénynek is hívják.Több 3D tömegpontra, Descartes-koordinátákban a közegellenállási erőt a következő disszipációs függvényből

származtathatjuk

R = 12

N∑k=1

γk|vk|2, (8.6)

ahol γk a k-adik pontra érvényes súrlódási együttható (ezek között lehetnek azonosak). A képlet hasonló a kinetikusenergiához, de a variációszámításbeli szerepe más, itt

F sj = − ∂R∂vk

= −γkvk. (8.7)

A teljes mozgásegyenletek tehát

Ek = ∂L

∂rk− d

dt∂L

∂qrk

= F k −qpk = −F sk = ∂R

∂qrk. (8.8)

Az S =rL dt hatást használva és bevezetve a

D =wR dt, (8.9)

disszipációs funkcionált, végül nyerjükδS

δrk= δD

δqrk, (8.10)

2018. december 18. 21:59:34 137

8.2 Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange–Rayleigh-formalizmus 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOKamely a disszipatív mozgásegyenletek variációs alakja.

Ezzel az eredeti Hamilton-elven, a hatás stacionárius pontját kereső eljáráson túlmentünk, "kívülről" tettünk amozgásegyenletekhez disszipatív erőket. Ezeket szintén egyetlen skalár funkcionál variációjából származtattuk, melyekazonban nem a trajektóriák, hanem a sebességek szerinti variációkkal állíthatók elő. Az így kapott mozgásegyenlet aHamilton-elv disszipatív rendszerekre való kiterjesztése, amely mindazonáltal nem áll elő egyetlen funkcionál stacion-aritási feltételeként.

8.2.2. Disszipációs függvény általános koordinátákkal (*)

A variációszámítás disszipációs függvénnyel való kiegészítése eddig formális konstrukciónak tűnhetett, hiszen elevefeltettük a sebességgel ellentétes, vele arányos közegellenállási erőt. Ezért csupán esztétikai jelentősége volt annak,hogy variáció alakjában is fel tudtuk ugyanezt írni. Az R disszipációs függvény igazi előnye az általános koordinátákbevezetésekor világlik ki. Mint alább bemutatjuk, R általános koordinátákkal való felírása után belőle variációvaléppen az általánosított koordinátákra vonatkozó mozgásegyenletekben fellépő súrlódási erőket nyerjük.

Az általános koordinátákra való áttérés a 6.2.6 fejezetben megadott eljárással történik. A hatást most Lagrange-multiplikátoros tagokkal egészítjük ki, melyek a kényszereket figyelembe veszik, s az így nyert Sλ-t használva

Lλ = L+M∑`=1

λ`Φ`, Sλ =wLλdt ⇒

δSλδrk

= δD

δqrk. (8.11)

A (6.182) szerint az rk(q1, q2, . . . , qf , t) Descartes-koordinátákra mint az általános koordináták függvényeire fennáll

qrk =

f∑i=1

∂rk∂qj

qqj + ∂rk

∂t⇒ ∂rk

∂qj= ∂

qrk∂

qqj. (8.12)

ahonnan (6.180) és (8.11) alapján kapjuk a λ-kat nem tartalmazó mozgásegyenletet∑k

δSλδrk

∂rk∂qj

=[∑k

δS

δrk+

M∑`=1

λ`∇jΦ`

]∂rk∂qj

=∑k

δS

δrk

∂rk∂qj

=∑k

δD

δqrk

∂qrk∂

qqj. (8.13)

2018. december 18. 21:59:34 138

8.2 Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange–Rayleigh-formalizmus 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOKA variációs deriváltakra alkalmazzuk a láncszabályt. Egyrészről (6.181) szerint a baloldal S variációja qj szerint,másrészről a jobboldal D variációja q

qj szerint (változatlan qj-k mellett), mindezek alapján nyerjükδS

δqj= δD

δqqj≡ ∂R

∂qqj, (8.14)

ahol az azonosság azt fejezi ki, hogy az R disszipációs függvény a sebességek deriváltjaitól nem függ, ezért a Dvariációja egyszerűen az R paciális deriváltja. Részletesebben

Ei = ∂L

∂qj− d

dt∂L

∂qqj

= Fi −qpi = ∂R

∂qqj. (8.15)

Általános koordinátákkal a disszipatív mozgásegyenletek variációs alakja a descartes-i koordinátás (8.8) formulaanalógiájaként adódott! Ezt a disszipációs függvény bevezetésének köszönhettük.

Célszerűen definiálhatjuk az általános, vagy kanonikus súrlódási erőket

Fsj = −∂R∂

qqj≡ −δD

δqqj. (8.16)

Mindezután a csillapított rendszer mozgásegyenletei aqpi = Fi + Fsi (8.17)

alakban is írhatók.

8.2.3. A disszipatív mozgásegyenlet összefoglalása

Összegzésképpen, a disszipatív mozgásegyenlet általános koordinátákkal felírt variációs alakjaδS

δqj= Ei = Fi −

qpi = −Fsi = δD

δqqj. (8.18)

2018. december 18. 21:59:34 139

8.2 Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange–Rayleigh-formalizmus 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOKA fentiekben kiviláglik a disszipációs függvény előnye, éspedig nagyban leegyszerűsíti az általános koordinátákra

való áttérést. Amiként a mozgásegyenleteket általános koordinátákkal konzervatív esetben a Lagrange-függvénybőlegyszerűen megkaphattuk, azokat hasonlóan egyszerű módon egészíthetjük ki az általános koordinátákban felírhatódisszipatív erőkkel a disszipációs függvény felhasználásával.

Ha a súrlódási erő nemlineáris a sebességben, amely effektus ritkább közegben ill. nagyobb sebességek mellettválhat lényegessé, akkor a descartes-i disszipációs függvény nem marad kvadratikus. Mindazonáltal a fenti eljáráshasználható, nevezetesen az általános koordinátákra való áttéréskor ekkor is a konzervatív Hamilton-elv disszipatív,a (8.14) formulával adott kiterjesztése alkalmazandó.

8.2.4. Az energia megváltozása

Korábban az energia megmaradását mutattuk meg explicit időfüggést nem tartalmazó Lagrange-függvény esetébendisszipáció nélkül. Most engedjük meg mindkettőt, ekkor a pálya mentén

qE = d

dt

∑j

pjqqj − L

=∑j

qpj

qqj +

∑j

pjq qqj −

∂L

∂t−∑j

Fjqqj −

∑j

pjq qqj

=∑j

(Fj + Fsj)qqj −

∂L

∂t−∑j

Fjqqj = −∂L

∂t+∑j

Fsjqqj, (8.19)

ahol a harmadik egyenlőséghez felhasználtuk a (8.17) formulát.A −∂L/∂t tag a külső konzervatív erők által a rend-szerbe táplált, míg −∑j Fsj

qqj a rendszer által a súrlódási erőkön keresztül végzett teljesítmény. Az energiaváltozást

a disszipációs függvénnyel tehát tömören kifejezhetjükqE = −∂L

∂t−∑j

∂R

∂qqj

qqj. (8.20)

2018. december 18. 21:59:34 140

8.2 Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange–Rayleigh-formalizmus 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOKKvadratikus disszipációs függvény, azaz a sebességekben lineáris súrlódási erők esetén

R = 12∑i,j

Rij(q1, . . . , qf )qqi

qqj, (8.21)

amely alapjánqE = −∂L

∂t− 2R. (8.22)

A disszipációs függvény ezzel közvetlen fizikai jelentést nyert, éspedig a kétszerese éppen a pálya mentén leadottdisszipációs teljesítmény.

8.1. Gyakorló feladat. Adjunk egyszerű példát olyan rendszerre, amelyben a disszipált teljesítmény arányos a kinetikusenergiával! [1]

8.2.1. Példa. Síkinga közegben: Feltéve, hogy csak a tömegpontra kifejtett közegellenállás a disszipáció egyetlenforrása (vékony rúdon felfüggesztett tömegpont)

L = 12m`

2 qϕ2 +mg` cosϕ, R = 1

2γ`2 qϕ2 ⇒ m`2 q q

ϕ = −mg` sinϕ− γ`2 qϕ. (8.23)

A disszipációs teljesítmény qE = −2R = −γ`2 q

ϕ2. (8.24)

8.2. Gyakorló feladat. Bizonyosodjunk meg arról, hogy a (8.23) súrlódási tagja éppen az F s = −γv erőből származójárulék az inga mozgásegyenletéhez. [1]

2018. december 18. 21:59:34 141

8.2 Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange–Rayleigh-formalizmus 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK8.2.2. Példa. Rugóval összekötött tömegpontok 1D-ban: Ha nincs közegellenállás, viszont a rugót a megnyúlásisebességének és az η belső súrlódási együtthatónak a szorzataként előálló belső súrlódási erő fékezi, akkor a mozgás-egyenletek a következő Lagrange- és Rayleigh-függvényből származtathatók

L = 12m1

qx2

1 + 12m2

qx2

2 −12k(x1 − x2)2, R = 1

2η( qx1 −

qx2)2. (8.25)

Tanulság: a Rayleigh-függvény belső súrlódás esetén is használható.8.3. Gyakorló feladat. Írjuk fel a mozgásegyenleteket! [2]8.4. Gyakorló feladat. Módosítsuk a Rayleigh-függvényt oly módon, hogy vegye figyelembe a tömegpontokra hatóközegellenállást γ1 éa γ2 súrlódási együtthatókkal! [2]8.5. Gyakorló feladat. Rugóval egy ponthoz rögzített, vízszintesen mozgó felfüggesztésű inga csillapított mozgása:írjuk fel a disszipációs függvényt és a mozgásegyenletet, ha az inga végén a tömegpont súrlódó közegben mozog(súrlódási együttható: γ) és a rugót a megnyúlási sebességével arányos belső súrlódási erő fékezi (belső súrlódásiegyüttható: η). [4]8.6. Gyakorló feladat. A 6.2.5 példában szereplő elrendezésben vegyük figyelembe a rugó belső súrlódását η együtt-hatóval. Írjuk fel a Rayleigh-függvényt, majd ennek segítségével a mozgásegyenletet! Linearizáljuk a mozgásegyenletetkis kitérésekre, s diszkutáljuk az ` = d ill. ` < d eseteket. [4]8.7. Gyakorló feladat. Határozzuk meg a disszipatív közegben mozgó kettős inga disszipációs függvényét és írjuk fela mozgásegyenleteket! (Csak az egyes tömegpontok súrlódnak, a felfüggesztő rudak közegellenállását hanyagoljuk el,s a tömegpontokat jellemző γ1, γ2 súrlódási együtthatók különbözhetnek.) [4]8.8. Gyakorló feladat. A Lagrange–Rayleigh-formalizmus alkalmazható nemlineáris súrlódási erőkre is. Adjuk mega Rayleigh-függvényt 3D tömegpontra, ha a súrlódási erő a sebességgel ellentétes irányú és a: állandó nagyságú(Coulomb–súrlódás); b: a sebesség négyzetével arányos (ritka közegre jellemző ellenállás). Az „a” esetben vegyünkfel tapadási és csúszási súrlódási erőket az általános iskolában megismert módon és diszkutáljuk a problémát. [3-2]

2018. december 18. 21:59:34 142

8.3 Csillapított harmonikus oszcillátor (m) 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK8.3. Csillapított harmonikus oszcillátor (m)

Az alábbiak az egyensúly kis környezetében, itt kvadratikus minimummal rendelkező, általános potenciálra isérvényesek. A Lagrange- és a sűrű közegbeli disszipációs függvény

L = m

2qx2 − k

2x2, R = 1

2γqx2, (8.26)

a mozgásegyenlet pedig

mq qx = −kx− γ q

x ⇒ q qx = −ω2

0x− αqx, ahol α = γ/m. (8.27)

A mozgásegyenlet állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenlet, ezért keressük a megoldást

x ∝ eλt (8.28)

alakban, amelynek behelyettesítésével nyerjük

λ2 + αλ+ ω20 = 0 ⇒ λ± = −α2 ±

√α2

4 − ω20 (8.29)

A λ± ráták a paraméterektől függően lehetnek komplexek vagy valósak, velük az általános megoldás

x(t) = A+eλ+t + A−e

λ−t. (8.30)

8.3.1. Gyenge csillapítás (2ω0 > α)

A két ráta komplex, egymásnak konjugáltjai, képzetes részük a ± sajátfrekvencia

λ± = −α2 ± iωs, ahol ωs =√ω2

0 −α2

4 < ω0, (8.31)

2018. december 18. 21:59:34 143

8.3 Csillapított harmonikus oszcillátor (m) 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOKtehát az általános megoldás

x(t) = A+eλ+t + A−e

λ−t = e−α2 t (A1 cosωst+ A2 sinωst) . (8.32)

Megjegyzés: A relaxációs ráta α/2, nem pedig α! A relaxációs idő τ = 2/α, amely elteltével az amplitúdó e-adrészére csökken.

Jósági tényező: a mozgás frekvenciájának és a csillapítási tényező viszonya

Q = Im λ

2 Reλ = ωsα. (8.33)

8.9. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy Q az amplitúdó e−π ≈ 0, 043-ad részére csökkenésének ideje alatt végzettoszcillációk száma. [1] E: 2018.10.17 J | I 2018.10.19

A súrlódási erő teljesítménye qE = −2R = −γ q

x2 = −2γmK, (8.34)

arányos a kinetikus energiával.8.10. Gyakorló feladat. Hányad részére csökken az energia a T periódusidő Q-szorosának elteltével? [2]

A trajektóriát az x(0) = x0 és az qx(0) = v0 KF-hez illesztve kapjuk

x(t) = e−α2 tx0 cosωst+ e−

α2 tω−1

s

(v0 + αx0

2

)sinωst. (8.35)

8.11. Gyakorló feladat. Adjuk meg a disszipált teljesítmény képletét a (8.35) általános megoldás alapján! [2]Az energia tipikus időbeli változását a 37/a. ábra mutatja.Fázistér: A mozgás az (x = 0, v = 0) egyensúlyi helyzethez tart, ez tehát vonzó határhalmaz, azaz attraktor, ld.

37/b. ábra. A konzervatív rendszerbeli elliptikus fix pontot vonzó fix pont váltja fel. Általában disszipatív rendszerekbenbonyolultabb attraktorok is megjelenhetnek, kaotikus mozgás különös attraktorhoz tart.

2018. december 18. 21:59:34 144

8.3 Csillapított harmonikus oszcillátor (m) 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK

T

E

t

(a) (b)

37. ábra. (a) Az energia lefutása az időben és (b) tipikus fázistérbeli pálya gyengecsillapítás mellett.

8.12. Gyakorló feladat. Vegyük észre a 37/b. fázistérbeli ábrán elkövetett kis hibát! [1]Megjegyzés: Már Galilei észrevette, hogy a csillapodás alatt állandó a periódusidő, éspedig számértékében

hosszabb, mint csillapodás nélkül.

8.3.2. Erős csillapítás (2ω0 < α)

A két ráta valós

λ± = −α2 ± β, ahol β =√α2

4 − ω20 (8.36)

2018. december 18. 21:59:34 145

8.3 Csillapított harmonikus oszcillátor (m) 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOKA KF-hez illesztett formulát a (8.35) alapján közvetlenül megkaphatjuk az

iβ = ωs, cos iβ = ch β, sin iβ = i sh β (8.37)behelyettesítéssel

x(t) = e−α2 tx0 ch βt+ e−

α2 tβ−1

(v0 + αx0

2

)sh βt. (8.38)

Mivel β < α/2, azért mindkét tag lecseng nagy időkre. A mozgást a 38. ábrán illusztráljuk.

8.3.3. Anharmonikus határeset (2ω0 = α)

Ekkor β = ωs = 0, és az egyetlen ráta λ± = −α/2. Így nem kapunk automatikusan két lineárisan függetlenmegoldást.

a. Állandó variálásának módszerével

Induljunk ki a következő próbafüggvénybőlx(t) = a(t)e−α2 t. (8.39)

Innen qx = q

ae−α2 t − α

2 ae−α2 t,

q qx =

( q qa− α q

a+ α2

4 a)e−

α2 t. (8.40)

A mozgásegyenlet, s megoldása tehátq qx+ α

qx+ α2

4 x = 0 ⇒ q qa− q

aα + α2

4 a+ αqa− α2

2 a+ α2

4 a = 0 ⇒ q qa = 0 ⇒ a(t) = a0 + a1t. (8.41)

8.13. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy dndtn [g(t)h(t)] = ∑n

k=0

(nk

)g[k](t)h[n−k](t)! [4]

2018. december 18. 21:59:34 146

8.3 Csillapított harmonikus oszcillátor (m) 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK

(a) (b)

38. ábra. (a) Fázistér és (b) időbeli lefutás erős csillapítás esetén x0 = 0 és v0 > 0mellett.

b. Határátmenettel

A (8.35) megoldásból az ωs → 0 limeszben kapjuk

x(t) = e−α2 tx0 + te−

α2 t(v0 + αx0

2

), (8.42)

mely a KF-hez illesztett. Ugyanezt nyerjük az erős csillapítás melletti trajektóriából a β → 0 limeszben.A: 2018.10.19 J | I 2018.10.24

2018. december 18. 21:59:34 147

8.4 Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor (m) 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK8.4. Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor (m)

Gerjesszük mf(t) külső erővel a csillapított oszcillátort

L = 12m

qx2 − 1

2mω20x

2 + xmf(t), R = 12mα

qx2 ⇒ q q

x+ αqx+ ω2

0x = f(t). (8.43)

8.4.1. Harmonikus gerjesztés

a. Általános frekvenciával

f(t) = F0 cos(Ωt) = F0(eiΩt + e−iΩt)/2. (8.44)

Vizsgáljunk külön egy tagot s egy hozzá tartozó partikuláris x megoldást

f(t) = F0eiΩt ⇒ x(t) = XeiΩt ⇒ x(t) = (x(t) + x∗(t))/2 = Re x(t). (8.45)

A mozgásegyenletbe helyettesítés után kapjuk a komplex amplitúdót

−XΩ2 + iαΩX + ω20X = F0 ⇒ X = F0

ω20 − Ω2 + iαΩ . (8.46)

Magától értetődő jelöléssel írhatjuk

X = 1a+ ib

= Ae−iδ ⇒ A = 1√a2 + b2

= F0√(ω2

0 − Ω2)2 + α2Ω2, (8.47)

a+ ib = eiδ

A⇒ tg δ = b

a= αΩω2

0 − Ω2 ⇒ x(t) = XeiΩt = Aei(Ωt−δ). (8.48)

2018. december 18. 21:59:34 148

8.4 Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor (m) 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK

F0/ω0

2

Ω0

A

Ω

α=0.2 ω0α=0.5 ω0

α=ω0

(a) A rezonanciagörbe.

π/2

π

δ

Ωω0

0α =0

α2

α3

1α

(b) A fázistolás α0 = 0 < α1 < α2 < ω0 < α3 mellett.

39. ábra. Csillapított harmonikus oszcillátor.

A valós gerjesztéshez tartozó partikuláris megoldás

x(t) = Re x(t) = ReAei(Ωt−δ) = A cos(Ωt− δ). (8.49)

Az A valós amplitúdót és a δ fázistolást különböző α-k mellett a 39. ábra mutatja. Megjegyzés: Mivel az arctgértékkészlete konvenció szerint a (−π/2, π/2) intervallum, azért Ω-ban folytonos függvényt a következő alakbanírhatunk

δ = arctg αΩω2

0 − Ω2 + πθ(Ω− ω0). (8.50)

A fázistolás δ = π/2, ha Ω = ω0.

2018. december 18. 21:59:34 149

8.4 Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor (m) 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK

(a) (b)

40. ábra. Gerjesztett csillapított oszcillátor. (a) Trajektóriák a fázistérben határciklushoztartanak. (b) A rendszer energiájának időbeli változása: energiafelvétel és -leadás.

Az inhomogén mozgásegyenlet általános megoldását a homogén egyenlet (8.32) általános megoldásának hozzá-adásával nyerjük, például gyenge csillapítás mellett

x(t) = A cos(Ωt− δ) + e−α2 t(B cosωst+ C sinωst). (8.51)

Nagy időkre csak az első tag marad meg. A formula csillapítás nélkül is érvényes. Ha a külső és a saját frekvenciahányadosa irracionális (azaz a két frekvencia inkommenzurábilis), a trajektória nem periodikus, hanem ún. kváziperi-odikus.

A csillapított oszcillátor fázistérbeli tipikus pályájáit ill. ezeken az energia időfüggését a 40. a-b ábra mutatja.

2018. december 18. 21:59:34 150

8.4 Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor (m) 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK8.14. Gyakorló feladat. Illesszük a t = 0-ban felvett KF-hez az általános megoldást! (Ez formális kérdés, ugyanistartósan ható külső gerjesztés esetén általában nem bír jelentőséggel a KF.) [3]8.15. Gyakorló feladat. Adjuk meg s ábrázoljuk az energia időbeli változását a kezdetben nyugalomban levő tömeg-pont esetén az alul- ill. túlcsillapított, valamint az anharmonikus határesetben. [4]

b. Rezonáns gerjesztés

Milyen Ω = Ω0 gerjesztő frekvencia mellett maximális az amplitúdó? A (8.47) gyök alatti kifejezése ekkor minimális

∂

∂Ω2

[(ω2

0 − Ω2)2 + α2Ω2]∣∣∣∣∣

Ω0

= 2(Ω20 − ω2

0) + α2 = 0 ⇒ Ω0 =√ω2

0 − α2/2. (8.52)

Maximum csak az ω0 ≥ α/√

2 esetben található. Az amplitúdó maximuma

A(Ω0) = F0

α√ω2

0 − α2/4= F0

αωs. (8.53)

Összefoglalásul, három féle jellegzetes frekvenciát találtunk

ω0 ∼ a csillapítás nélküli sajátfrekvencia, itt δ = π/2,ωs =

√ω2

0 − α2/4 ∼ a gyengén csillapított oszcillátor sajátfrekvenciája,Ω0 =

√ω2

0 − α2/2 ∼ itt maximális az amplitúdó.(8.54)

8.16. Gyakorló feladat. Számítsuk ki a félértékszélességet, azaz annak az intervallumnak a hosszát, amelynek széleita csúcs értékének fele jelöli ki. Mivel közelíthetjük kicsiny α mellett, s ez a jósági tényezővel milyen kapcsolatban áll?[4]

2018. december 18. 21:59:34 151

8.4 Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor (m) 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK8.4.2. Általános gerjesztés

A Green-függvény módszerével oldjuk meg

x(t) = [G ∗ f ](t) =wG(t− t′)f(t′)dt′, (8.55)

ahol a retardált Green-függvény G(t) a Dirac-delta gerjesztéshez tartozó (folytonos) megoldásq qG+ α

qG+ ω2

0G = δ(t), G(t < 0) ≡ 0. (8.56)

Az egyenletet −τ és τ között integrálva és a τ → 0 limeszt véve kapjukqG(t) |+τ−τ +O(τ) = 1 ⇒

qG(0+) = 1. (8.57)

A KF most is G(0) = 0 ésqG(0+) = 1. A (8.35) és (8.38) általános megoldást a KF-hez illesztve kapjuk

G(t) = θ(t)e−α2 t

1/ωs sinωst, ha ω0 > α/2,1/β sh βt, ha ω0 < α/2.

(8.58)

A Green-függvény behelyettesítésével (8.55) tetszőleges gerjesztésre előállítja a trajektóriát.

8.17. Gyakorló feladat. Adjuk meg a Green-függvényt az anharmonikus határesetben (ω0 = α/2)! [1]8.18. Gyakorló feladat. A kezdetben nyugalomban levő csillapított oszcillátorra hassunk a t = 0-ban bekapcsoltgerjesztő erővel, f(t) = θ(t)F0 cos Ωt. Határozzuk meg a trajektóriát! [3]

Megjegyzés: A mozgásegyenlet Fourier-transzformációjával is felírhatjuk a Green-függvényt(−ω2 + iαω + ω2

0

)xω = fω, (8.59)

2018. december 18. 21:59:34 152

8.4 Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor (m) 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOKahonnan

Gω = 1ω2

0 − ω2 + iαω. (8.60)

A G(t)-nek a (8.58)-ben adott kifejezése éppen ezen Gω Fourier-transzformáltja.

8.19. Gyakorló feladat. Írjuk fel az avanzsált Green-függvényt, vagyis azt, amely a δ(t) erőhatást követően azonosanzérus! Ennek van-e, s ha igen, mi a Fourier-transzformáltja? [2-2]

Megjegyzés: A trajektóriák perturbációszámítására a 7.9.3 fejezetben leírt szukcesszív approximáció módszere acsillapított mozgásra is alkalmazható a perturbált harmonikus potenciál esetén a (8.58) Green-függvénnyel.

2018. december 18. 21:59:34 153

9 SÍKMOZGÁSOK ∼ 2D

9. Síkmozgások ∼ 2D9.1. Potenciálmozgás csillapítással

E fejezetben tömegpont 2D potenciálmozgását vizsgáljuk. Először súrlódási erőt is figyelembe veszünk, későbbezt elhagyjuk s a konzervatív rendszerre szorítkozunk. A következő Lagrange- és disszipációs függvényekből indulunkki

L = m

2 |qr|2 − V (r), R = mα

2 |qr|2. (9.1)

A mozgásegyenletδS

δr= δD

δqr⇒ m

q qr = −∇V (r)−mα q

r. (9.2)

Egyensúlyi helyzet: r∗, ha ∇V |r∗= 0. Potenciálgödör mélyén (r∗ stabil egyensúlyi helyzet)

→ α = 0 oszcillál r∗ körül,→ α > 0 relaxál r∗-hoz.

Válasszuk r∗ = 0-nak és fejtsük sorba a potenciált

V (r) ≈ V (0) + 12(V11x

2 + 2V12xy + V22y2), (9.3)

ahol a következő jelölést használtuk

Vij = ∂2V (r)∂xi∂xj

∣∣∣∣∣0

(x1 = x, x2 = y). (9.4)

A Vij mátrix szimmetrikus, ezért ortogonális transzformációval diagonalizálható.

2018. december 18. 21:59:34 154

9.2 Lissajous-görbék 9 SÍKMOZGÁSOK ∼ 2D9.1. Gyakorló feladat. Fejezzük ki a sajátértékeket és a sajátvektorokat két dimenzióban a Vij mátrixelemekkel! [2]

Tekintsük a harmonikus potenciált a diagonalizáló koordinátákkal

V (r) = m

2 (ω21x

2 + ω22y

2). (9.5)

A mozgásegyenletek q qx = −ω2

1x− αqx,

q qy = −ω2

2y − αqy. (9.6)

A csillapítást hagyjuk el (α = 0), ekkor a megoldást írhatjuk a következő alakban

x(t) = A1 sin(ω1t+ δ), y(t) = A2 sinω2t, (9.7)

amelynek energiája

E = m

2 ( qx2 + q

y2) + V (r) = m

2 (ω21A

21 + ω2

2A22). (9.8)

9.2. Lissajous-görbékA fázistér 4D, a pályákat szemléltethetjük metszetben. Legyen

ϕ = ω1t, (9.9)

és egy A1 sugarú henger palástjára rajzoljuk fel az

y(ϕ) = A2 sinω2t = A2 sin ω2

ω1ϕ (9.10)

2018. december 18. 21:59:34 155

9.2 Lissajous-görbék 9 SÍKMOZGÁSOK ∼ 2Dgörbét folytonosan növekvő ϕ mellett a 41.a. ábra szerint. Ha a görbét a ϕ = 0 pozícióhoz képest δ szöggel visszafeléforgatott függőleges síkra vetítjük, akkor a vízszintes koordináta vetülete éppen

x(ϕ) = A1 sin(ϕ+ δ). (9.11)

A síkvetület az (x, y) síkbeli pálya, ezt nevezzük Lissajous-görbének, ld. 42. ábra. A fenti kifejezések a pályát ϕ-velparaméterezik. A pályák a hengeren záródnak, azaz a Lissajous-görbék zártak, ha ω2/ω1 = p/q racionális. Ha ω2/ω1

irracionális, akkor a pálya nem zárt, idővel lefedi a hengert. A Lissajous-görbék érzékenyek a hangolásra: kis racionálisfrekvencia hányadosok jól detektálhatók. (A digitális grafika előtti analóg eljárás.)

(a) Az y(ϕ)a hengeren. (b) Felülnézet: vetítés függőleges síkra.

41. ábra. Lissajous-görbe szerkesztése. A henger elfordításával különböző δ-kat állítha-tunk be.

2018. december 18. 21:59:34 156

9.3 Anharmonikus potenciálok 9 SÍKMOZGÁSOK ∼ 2D

42. ábra. Lissajous-görbék. Felső sor: ω1 = ω2 (az amplitúdók egyenlők), rendre δ = 0,0 < δ < π

2 , δ = π2 ; alsó sor: 2ω1 = ω2, rendre δ = 0, δ = π

8 , δ = π4 .

9.2. Gyakorló feladat. Adjuk meg a pálya egyenletét az (x,y) síkban ω1 = ω2 mellett különböző δ-kra! [2]

9.3. Anharmonikus potenciálok→ Centrális potenciál: V (r) = V (r) — alább tárgyaljuk.→ Általános V (r) potenciálban a mozgás tipikusan kaotikus.

2018. december 18. 21:59:34 157

10 CENTRÁLIS MOZGÁSOK

10. Centrális mozgások10.1. Alapok (m)

Legyen a rögzített erőcentrum r = 0, ekkor a centrális potenciál és az erő

V (r) = V (r) ⇒ F (r) = −∇V (r) = −∇V (r) = erF (r) ahol er = r

r. (10.1)

Innen a descartes-i mozgásegyenlet

mq qr = F (r) = erF (r). (10.2)

Mivel a v = qr sebesség megváltozása mindig r irányú, ezért r és v a mozgás során ugyanabban a síkban maradnak,

azaz az általuk kifeszített síkból a tömegpont nem lép ki.Definiáljuk tömegpont impulzusmomentumat

J = mr × qr. (10.3)

A mozgásegyenlet alapján qJ = m

qr × q

r +mr × q qr = r × F = M , (10.4)

ahol az utolsó egyenlőség definiálja a forgatónyomatékot. Itt J és M függnek az origó választásától.Centrális potenciálban

r ‖ F ⇒ M = 0 ⇒ J = áll., (10.5)

és az impulzusmomentum definíciója szerint a mozgás síkjára merőleges.

2018. december 18. 21:59:34 158

10.2 Síkbeli mozgás (m) 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOK10.2. Síkbeli mozgás (m)

A centrális potenciálban történő mozgást elegendő a J -re merőleges síkban leírni. Korábban a Lagrange-formaliz-must ezzel példáztuk, ld. 6.2.13. §. Polárkoordinátákat használva kaptuk

mr2 qϕ = J = áll. (10.6)

10.1. Gyakorló feladat. Lássuk be, hogy J éppen a feljebb 3D-ben definiált impulzusmomentum! [2]Az energia megmarad, melynek kifejezése

E = m

2( qr2 + r2 q

ϕ2)

+ V (r) = áll. (10.7)

Az impulzusmomentum megmaradását felhasználva bevezetjük a centrifugális ill. effektív potenciálokat

Vcf(r) = m

2 r2 qϕ2 = J2

2mr2 , Veff(r) = Vcf(r) + V (r). (10.8)

A centrifugális elnevezés arra utal, hogy a potenciál mindig taszító, ha J 6= 0. Az energiát írhatjuk az

E = m

2qr2 + Veff(r) = áll. (10.9)

alakban. A rádiusz tehát 1D mozgást végez az effektív potenciálban, melyet az energiaformula idő szerinti deriválásávalközvetlenül is beláthatunk. A mozgásegyenlet r(t) megoldásat általában az inverzével adhatjuk meg integrál alakjában

t− t0 =√m

2

rw

r0

|dr|√E − Veff(r)

. (10.10)

Innen a pálya r(ϕ) egyenletet szintén az inverzével, ϕ(r)-rel adhatjuk meg, éspedig

dϕ = J

mr2 dt (10.11)

2018. december 18. 21:59:34 159

10.3 Hatvány potenciál 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOK

43. ábra. A hatvány potenciálok jellemzőtávolságfüggése.

alapján

ϕ− ϕ0 = J√2m

rw

r0

|dr|r2√E − Veff(r)

. (10.12)

A síkmozgást négy KF paraméter meghatározza, például ϕ0, r0, J, E, és akezdősebességek előjele.

10.3. Hatvány potenciálTekintsük a következő hatványfüggvény potenciált

V (r) = −αmara

, (α > 0, a 6= 0), (10.13)

amely az a ≷ 0 esetekben egyaránt vonzó, ld. 43. ábra. Adott J esetén acentrifugális potenciált hozzáadva nyerjük az effektív 1D potenciált, melyeta 44. és 45. ábrákon illusztrálunk. Ha a 6= 2, akkor pontosan egy r∗

egyensúlyi helyzetet találunk, ez a körpálya sugara. A körpálya a < 2esetben stabil, a > 2 mellett instabil.10.2. Gyakorló feladat. Határozzuk meg az r∗ egyensúlyi helyzetet, mintaz a kitevő függvényét! [2]

Tegyük fel, hogy J 6= 0 adott, ekkor→ a < 0 ∼ minden mozgás véges, periodikus,→ 0 < a < 2 ∼ véges mozgás E < 0 mellett, egyébként a végtelenbe repül,→ a = 2 ∼ vagy minden pálya kör, vagy mindig beesik a centrumba, vagy mindig kirepül,→ a > 2 ∼ a KF-től függően instabil körpálya, vagy beesik a centrumba vagy a végtelenbe repül.

10.3. Gyakorló feladat. Adjuk meg a ≥ 2 esetén a centrumba esés feltételét (a kezdeti J, E, r értékekkel)! [3]

2018. december 18. 21:59:34 160

10.3 Hatvány potenciál 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOK

(a) a < 0 (b) 0 < a < 2

44. ábra. Effektív potenciálok, melyekben stabil körpálya jöhet létre.

2018. december 18. 21:59:34 161

10.3 Hatvány potenciál 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOK

(a) a = 2 (b) a > 2

45. ábra. Effektív potenciálok, melyekben stabil körpálya nem jöhet létre.

2018. december 18. 21:59:34 162

10.4 Kepler-mozgás (m) 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOK10.4. Kepler-mozgás (m)

Nagy tömegű csillag gravitációs terében mozgó kisebb égitest problémája. Szűk értelemben csak a véges mozgásrahasználják, most a végtelenből jövő vagy oda tartó test mozgását is ideértjük.

A potenciál

V (r) = −αmr. (10.14)

Az α együttható a csillag M tömegével arányos

α = γM, ahol γ = 6.67384(80) 10−11 m3kg−1s−2, (10.15)

γ a gravitációs állandó és a Nap esetén

M = 1.98855(25) 1030 kg. (10.16)

A csillagot állónak tekinthetjük, ha a tömege nagyságrendekkel nagyobb a másik égitesténél.A potenciál a = 1 kitevőjű hatvány, tehát J 6= 0 mellett E < 0 esetén véges mozgás alakul ki, E ≥ 0 mellett az

égitest a végtelenbe repül.Érdekes módon a gravitációs potenciálbeli mozgást közvetlen módszerekkel, a (10.10) és a (10.12) általános

formulák használata nélkül is megoldhatjuk.

10.5. A pályák alakjaRövid levezetést adunk a pálya alakjának meghatározására, amely közben kiadja a sebességvektor végpontjának

mértani helyét is.

2018. december 18. 21:59:34 163

10.5 A pályák alakja 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOK10.5.1. A hodográf

Először a sebesség szögfüggéset számítjuk ki a gyorsulás és a szögsebesség hányadosából.dvdt = − α

r2er,dϕdt = J

mr2 ⇒dvdϕ = −αm

Jer = αm

J

deϕdϕ . (10.17)

Az utolsó egyenlőséghez felhasználtuk azt, hogy a polárszög dϕ megváltozása esetén az eϕ tangenciális egységvektorelfordulása deϕ = −erdϕ. Integrálunk ϕ szerint kikötve azt, hogy a pályának az x tengelyt metsző pontjában av(ϕ = 0) sebesség az ey, azaz az y irányú egységvektor irányába mutasson. Ezért az integrálási állandó vektor eyirányú, s a jellemzésére bevezetjük az ε együtthatót

v

ϕe

yeεC

C

46. ábra. A hodográf, azaz a v sebes-ségvektor végpontjának mértani helye a0 < ε < 1 esetben, a C = αm/J jelölés-sel.

v(ϕ) = αm

J(eϕ + εey), (10.18)

tehát a sebességvektor kört ír le mialatt eϕ körbe fordul, ld. a 46. ábrát.A sebesség végpontja mértani helyének elnevezése hodográf – a Kepler-mozgás különleges tulajdonsága, hogy hodográfja kör.

10.5.2. A pályák polárkoordinátás egyenlete (m)

A pályák r = r(ϕ) egyenletének meghatározása céljából a sebesség(10.18) képletéből kifejezzük az impulzusmomentumot

J

m= |r × v|z = αmr

J|er × eϕ + εer × ey|z = αmr

J(1 + ε cosϕ),

(10.19)ahonnan

p = J2

m2α(10.20)

2018. december 18. 21:59:34 164

10.5 A pályák alakja 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOKbevezetésével

r(ϕ) = p

1 + ε cosϕ. (10.21)

Ez a kúpszeletek fokális polárkoordinátás egyenlete a p paraméterrel és az ε excentricitással. A vonzócentrum az egyikfókuszban van, a pályát pedig az

r(π/2) = p, r(0) = rmin = p/(1+ε) (10.22)

távolságok egyértelműen meghatározzák. A minimális távolság helye a pericentrum.

10.4. Gyakorló feladat. Mi a véges maximális rádiusz (apocentrum) meg-létének feltétele? [1]

10.5.3. Energia (m)

Fejezzük ki a radiális sebességet a pálya (10.21) alakjának segítségével

qr = d

dtp

1 + ε cosϕ = p ε sinϕ(1 + ε cosϕ)2

qϕ = ε sinϕ

qϕr2

p= ε sinϕmα

J. (10.23)

Ezzel és (10.21) újbóli felhasználásával, a paraméter (10.20) alakjának figyelembe vételével az energia és az excent-ricitás között az alábbi összefüggést nyerjük

E = m

2qr2 + J2

2mr2 −mα

r= m

2

[ε sinϕmα

J

]2+ J2

2m(1 + ε cosϕ)2

p2 −mα1 + ε cosϕp

= mα

2p (ε2 − 1)

⇒ ε =√

1 + 2pEαm

. (10.24)

2018. december 18. 21:59:34 165

10.5 A pályák alakja 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOKLátható, adott J mellett az energia az Emin = −mα/2p minimumát ε = 0 esetén veszi fel. Az energia előjele azalábbiak szerint függ az excentricitástól.

ε < 1 ∼ E < 0,ε = 1 ∼ E = 0,ε > 1 ∼ E > 0.

(10.25)

10.5.4. Derékszögű koordinátás egyenlet (m)

Nem feltételezve a kúpszeletek részletes ismeretét, a pályák alakját közelebbről megvizsgáljuk. A polárkoordinátásegyenletet átírjuk descartes-i koordinátákba

x = r cosϕ ⇒ p = r(1 + ε cosϕ) = r + εx ⇒ r2 = ε2x2 − 2pεx+ p2 = x2 + y2, (10.26)ahonnan azonos átalakításokkal

(1− ε2)x2 + 2pεx+ y2 = p2 ⇒ (1− ε2)[x+ pε

1− ε2]2

+ y2 = p2 + p2ε2

1− ε2 = p2

1− ε2 . (10.27)

Ha ε = 1, akkor a bal oldali relációbóly2 = p2 − 2px, (10.28)

egyébként (10.27) második egyenletének jobb oldalával leosztva kapjuk(x+ e)2

a2 + y2

b2 = 1, ha ε < 1, (10.29)(x− e)2

a2 − y2

b2 = 1, ha ε > 1. (10.30)

ahola = p

|1− ε2| , b = p√|1− ε2|

= √ap, e = pε

|1− ε2| = εa =√a2 − b2. (10.31)

2018. december 18. 21:59:34 166

10.6 A pályák fajtái (m) 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOK

47. ábra. Ellipszispálya 0 < ε < 1 mel-lett (fent), parabolapálya ε = 1 mellett(lent).

Az energiával kifejezve (az ε formuláját (10.24) adja)

a = αm

2|E| , b = √ap =

√√√√ J2

αm2αm

2|E| = J√2m|E|

. (10.32)

A (10.29) egyenletek a kúpszeletek descartes-i koordinátákban írt alakjai,melyek méreteit jellemző a, b, e paramétereket a KF által meghatározottE, J , vagy ekvivalensen ε, p mennyiségekkel fejeztük ki. A szimmetria-középpont helye az eddigi origótól (az egyik fókusztól) számítva (∓e, 0)amidőn ε ≶ 1, azaz ha ide toljuk az ordináta tengelyt, akkor a kúpszeletekmindkét koordinátatengelyre szimmetrikusak.

A fenti kifejezések közül kiemelendő

E = ±mα2a , (10.33)

ahol a hiperbola mellett +, az ellipszisre − használandó. A formula azt je-lenti, hogy az energia kizárólag a-n keresztül függ a pálya alakjától, a b-tőlviszont nem függ. Az természetes, hogy egybevágó ellipszisekre az orien-tációjuktól függetlenül ugyanaz az energia. Az azonban, miszerint azonosnagytengely esetén különböző kistengelyek mellett is azonos az energia,különleges invariancia tulajdonság, mely a Kepler probléma – itt nem rész-letezett – magas szimmetriájának következménye.

10.6. A pályák fajtái (m)A kúpszelet fajtáját az ε excentricitás határozza meg (numerikus excentricitásnak is hívják), p a kúpszelet para-

métere, e = aε neve lineáris excentricitás (a fókuszpontok távolságának fele).

2018. december 18. 21:59:34 167

10.6 A pályák fajtái (m) 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOKa. Kör: ε = 0

A fókusz a szimmetriaközéppont, (10.21) szerint r(ϕ) ≡ p, állandó.

b. Ellipszis: 0 < ε < 1

A (10.29) adja meg. Az origó az F2 vonzócentrum, ettől az O szimmetria középpont e távolságban "balra" van.A vonzócentrumot a szimmetria középpontra tükrözve kapjuk az F1 másik fókuszt.10.5. Gyakorló feladat. Mutassuk meg valamelyik analitikus alakból, hogy a két fókusztól mért távolságok összegeállandó! [3]

c. Parabola: ε = 1

48. ábra. Hiperbolapálya ε > 1 mel-lett egy hibával. Mi az?

A pálya ekkor a (10.28) egyenlettel adott parabola, mely szimmetrikus azx tengelyre. A polárkoordinátás egyenletből is láthatóan r(ϕ → π) → ∞. Aza, b, e hosszak divergálnak, azaz a másik fókusz "balra a végtelenben van".10.6. Gyakorló feladat. A fókusztól a pericentrum felé p távolságban a szim-metriatengelyt merőlegesen metsző egyenes a parabola vezéregyenese. Mutassukmeg, hogy a parabola pontjaiban a vezéregyenestől és a fókusztól mért távolsá-gok azonosak! [3]

d. Hiperbola: ε > 1

(10.30) határozza meg. A szimmetria-középpont a fókusztól "jobbra" van. Adescartes-i egyenletnek eleget tevő görbe nem összefüggő, két ága van, közülükcsak a "bal oldali" (a 48. ábrán mutatott) felel meg a pályára kapott (10.21)

2018. december 18. 21:59:34 168

10.7 Kepler törvényei (m) 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOKpolárkoordinátás egyenletnek. Ez látható abból, hogy (10.21) szerint r kizárólag a cosϕ0 = −1/ε által meghatározotttompa szögnél divergál, márpedig a tükörképe a π − ϕ0 szögnél divergens, ezt azonban (10.21) nem mutatja.

10.7. Gyakorló feladat. Lássuk be, hogy a másik hiperbolaág polárkoordinátás egyenlete r = p/(ε cosϕ−1)! [2]

E: 2018.10.19 J | I 2018.10.24 A: 2018.10.24 J | I 2018.10.26

10.7. Kepler törvényei (m)

49. ábra. A vezérsugár által súrolt terü-lethez.

I. Pálya alak A bolygók ellipszispályán mozognak, melynek egyik gyúj-tópontjában a Nap áll.

A −1/r potenciál jellemzője.II. Felületi tétel A Naptól mért vezérsugár egyenlő idők alatt egyenlő

területeket súrol.Ez minden centrális mozgásra igaz, az impulzusmegmaradás következ-

ménye. Valóban, ha dt idő alatt a súrolt elemi terület df = 12r

2dϕ, akkorqf = 1

2r2 qϕ = J/2m =áll., ld. 49. ábra.

III. A keringési idő négyzete arányos a Naptól mért "középtávolság" köbével.A −1/r potenciál jellemzője. Valóban, a vezérsugár egy év (T ) alatt az ellipszis területét súrolja

qf = J

2m = πab

T= π√a3p

T= πJ

√a3

Tm√α⇒ T = 2π

√a3

α. (10.34)

Tehát a kistengelytől függetlenül az a fél nagytengely köbének és a T keringési idő négyzetének hányadosa mindenpályára azonos.

2018. december 18. 21:59:34 169

10.8 Ellipszispályák időfüggése 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOKAz átlagos szögsebesség ekvivalens alakjai

ω = 2πT

=√α

a3 = J

mab. (10.35)

10.8. Ellipszispályák időfüggése10.8.1. Egzaktul

A következő paraméterezés az ellipszis descartes-i koordinátás (10.29) egyenletét automatikusan kielégíti

x = a cos ξ − aε, y = b sin ξ ⇒ (x+ e)2

a2 + y2

b2 = 1. (10.36)

50. ábra. Az excentrikus anomáliaidőfüggése.

A ξ az elliptikus koordinátázás szögváltozója, ennek az időfüggését szeretnénkmeghatározni. Az átlagos szögsebességet átírhatjuk az impulzusmomentum zkomponenseként

ω = J

mab= 1ab

(x qy − y q

x) = (cos ξ − ε)qξ cos ξ + sin ξ

qξ sin ξ

=qξ(1− ε cos ξ) = d

dt(ξ − ε sin ξ). (10.37)

Innen nyerjük a ξ(0) = 0 KF mellett a Kepler-egyenletet (ld. 50. ábra)ωt = ξ − ε sin ξ. (10.38)

Transzcendens egyenlet ξ-re! Mindazonáltal, mivel ε < 1, azért t(ξ) invertálható,s ezt számítógépen könnyen elvégezhetjük. Így nyerjük a ξ(t) függvényt, amelya pálya időfüggését (10.36)-n keresztül megadja. Hagyományos elnevezéssel ωta „közepes anomália”, míg ξ az „excentrikus anomália”.

2018. december 18. 21:59:34 170

10.8 Ellipszispályák időfüggése 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOK10.8. Gyakorló feladat. Írjuk fel a hiperbolapályák időfüggését meghatározó egyenletet! Útmutató: vezessük be azx = aε− a ch ξ, y = b sh ξ paraméterezést! [2]10.9. Gyakorló feladat. Vizsgáljuk a ξn+1 = ωt + ε sin ξn iterációt ellipszispályákra! Tisztázzuk elméletileg, hogykonvergál-e adott t mellett a keresett ξ értékhez, s adjunk néhány példát numerikusan! [4]

10.8.2. Perturbációszámítással ε szerint (*)

A (10.38) egyenletet szukcesszív approximációval is megoldhatjuk. Vegyük észre, hogy ξ formuláját rekurzívanalkalmazva egyre hosszabb alakban írhatjuk az egzakt egyenletet

ξ = ωt+ ε sin ξ = ωt+ ε sin(ωt+ ε sin ξ) = ωt+ ε sin(ωt+ ε sin(ωt+ ε sin ξ)) = . . . . (10.39)

Ennek előnye, hogy ha az n-edik zárójelben csak az ωt-t tartjuk meg, akkor εn rendig helyes egyenletet kapunk.Másodrendig

ξ = ωt+ ε sin(ωt+ ε sinωt) + ... ≈ ωt+ ε sinωt+ ε2 cosωt sinωt = ωt+ ε sinωt+ ε2

2 sin 2ωt. (10.40)

A perturbációszámítás magasabb rendjeiben magasabb felharmonikusok jelennek meg. A vezérsugár

r = p− εx = p+ ε2a− aε cos ξ = a− aε cos ξ, (10.41)

ahol az utolsó egyenlőséget (10.31) alapján írtuk. Innen

r ≈ a− aε cos [ωt+ ε sinωt] ≈ a− aε cosωt+ aε2 sin2 ωt = a+ aε2

2 − aε cosωt− aε2

2 cos 2ωt. (10.42)

Magasabb rendekben itt is magasabb harmonikusok jelennek meg. A polárszög lineáris rendigqϕ = J

mr2 = J

ma2 (1 + 2ε cosωt) + .... (10.43)

2018. december 18. 21:59:34 171

10.8 Ellipszispályák időfüggése 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOKMivel

J

ma2 = J

mab

b

a= ω√

1− ε2 ≈ ω, (10.44)

azértϕ(t) = ωt+ 2ε sinωt+O(ε2). (10.45)

10.10. Gyakorló feladat. Számítsuk ki ϕ(t)-t ε2 rendig! [2]

10.8.3. Bolygók excentricitása

A fizikai értékek indokolják-e a perturbációszámítást?Merkur 0, 2Föld 0, 017Mars 0, 09 . . . Kepler itt fedezte fel az ellipszist.exobolygók ∼ 0, 5

10.8.4. Újabb mozgásállandó: a Laplace–Runge–Lenz-vektor

További megmaradó mennyiség (az impulzusmomentumon és az energián kívül) a Laplace–Runge–Lenz-vektor

A = v × J − αmer ⇒qA = a× J − αm q

er = − αr2 (er × ez)J − αm

qϕeϕ. (10.46)

Mivel er × ez = −eϕ és J = mr2 qϕ, azért

qA = 0. A pericentrumban A ‖ ex, tehát mindig ex irányú. A Laplace–

Runge–Lenz-vektor megmaradása az ellipszis orientációjának állandóságát fejezi ki. Más potenciálban mozgó részecskepályája általában nem záródik, ilyenkor a Laplace–Runge–Lenz-vektorral analóg megmaradó mennyiség nincs.10.11. Gyakorló feladat. Lássuk be, hogy az A/αm pericentrum felé mutató vektor hossza az excentricitás! [2]10.12. Gyakorló feladat. Vezessük le a pályák egyenletét az A megmaradása alapján! (Útmutató: szorozzuk be A-ta helyvektorral ...) [2]

2018. december 18. 21:59:34 172

10.9 Szórásszámítás 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOKE: 2018.10.24 J | I 2018.11.16 A: 2018.10.26 J | I 2018.11.23

10.9. Szórásszámítás

51. ábra. Szórás vonzó potenciál mellett: ϑ = 2ϕ0 − π.

A távolból érkező és oda távozó részecske pályájánakelhajlását vizsgálja, a vonzócentrumhoz közeli mozgásrészletes leírása nélkül. Feltesszük, hogy a potenciál avégtelenben zérus. Centrális potenciálban az elhajlás ϑszöge a részecske E = mv2

0/2 végtelenbeli energiájátólés N = mbv0-on keresztül a b impakt paramétertől függ,ld. 51. ábra.

10.9.1. A V (r) = −αm/r potenciál

a. Vonzó (α > 0)

Mint korábban láttuk, a pálya hiperbola, melyben p és (10.24) szerint ε formulái a következők

52. ábra. ϑ(b) a gravitációs potenciálban.

p = J2

m2α= b2v2

0α, ε2 − 1 = 2Ep

mα= v4

0b2

α2 . (10.47)

A végtelenbeli és a pericentrum helyzet közötti ϕ0 polárszöget ismerjük,belőle az elhajlás ϑ szöge megadható

ϑ = 2ϕ0 − π, cosϕ0 = −1/ε. (10.48)

2018. december 18. 21:59:34 173

10.9 Szórásszámítás 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOKVégül az alábbi eredményre jutunk

α

v20b

= 1√ε2 − 1

=1/ε√

1− 1/ε2= − ctgϕ0 = tg

(ϕ0 −

π

2

)= tg ϑ2

⇒ ϑ(b, v0) = 2 arctg α

v20b, (10.49)

ld. 52. ábra. Kis b vagy kis v0 esetén ϑ ≈ π: visszaszórás történik.Megjegyzés: Formálisan alkalmazhatjuk a kapott képletet a fény elhajlására, v0 = c mellett, melyből kis szögre

ϑ ≈ 2α/c2b adódik. Az általános relativitáselmélet szerint a helyes faktor 2 helyett 4.

b. Taszító (α < 0)

53. ábra. Taszító potenciálnálbejárt hiperbola (az erőcent-rum az origó).

A vonzó potenciálra levezetett (10.47) formulák érvényben maradnak, ezért p < 0.A pericentrumbeli rádiuszt a (10.21) kifejezésben ϕ = 0 mellett kapjuk, amely akkorpozitív, ha ε < −1. A kényelem kedvéért fordítsuk meg p és ε előjelét pozitívra, így(10.21) átalakul

r(ϕ) = p

ε cosϕ− 1 , p = J2

|α|m2 . (10.50)

Taszító potenciálon szóródó részecske energiája szükségképpen E > 0. A 10.7. feladatmegoldói láthatták, hogy a (10.50) pálya éppen a vonzó potenciálban bejárt, azonosp, ε jellemzőkkel adott hiperbola másik ága (ld. az 53. ábrát); mindkét ág ugyanazta (10.30) descartes-i egyenletet elégíti ki.

A szórási szög ezúttal ϑ = π − 2ϕ0, ahol a maximális, hegyes polárszög most

2018. december 18. 21:59:34 174

10.10 Hatáskeresztmetszet 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOKcosϕ0 = 1/ε. A (10.49) egyenlet most −α-val teljesül, s végül nyerjük

|α|v2

0b= 1√

ε2 − 1= ctgϕ0 = tg

(π

2 − ϕ0

)= tg ϑ2 . (10.51)

Az |α|-kel a vonzó és taszító potenciálbeli formulák azonosak!

10.10. HatáskeresztmetszetAz elhajlási szög ismeretében meghatározhatjuk egy szóródó nyaláb eloszlását. Feltevéseink

→ felületegységenként n0 = áll. bejövő részecske,→ egyöntetűen v0 sebesség,→ ismert a ϑ(b) függvény, amely monoton csökken.

dσ

Ωd

54. ábra. A hatáskeresztmetszet definíciójáhozáltalános potenciál mellett.

A szórást természetesen jellemző, kísérletileg mérhető fizikaimennyiség a hatáskeresztmetszet: dσ felületen beeső részecskék szó-ródnak a dΩ térszögbe, ld. az 54. ábra, mely taszító potenciált il-lusztrál.

Centrális potenciál esetén a szórást a ϑ elhajlási szöggel adhatjukmeg, ld. az 55. ábra. A ϑ és a ϑ+dϑ között szóródó részecskék száma

n0 2πb db ≡ n0 dσ. (10.52)A felületeket pozitívnak vesszük, tehát a dϑ előjelére tekintet nélkül a |dϑ| tartományban a dσ felületre beesőrészecskék szóródnak. A polárszögre integrálva kapjuk

|dΩ| = 2π sinϑ|dϑ|, (10.53)ebbe a térszögtartományba szóródnak a dσ felületre beesett részecskék.

2018. december 18. 21:59:34 175

10.10 Hatáskeresztmetszet 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOK

55. ábra. A hatáskeresztmetszet definíciójáhozcentrális potenciál mellett.

Differenciális hatáskeresztmetszet:

σdif(ϑ) =∣∣∣∣∣dσdΩ

∣∣∣∣∣ = b(ϑ)sinϑ

∣∣∣∣∣db(ϑ)dϑ

∣∣∣∣∣ . (10.54)

Ha a ϑ(b) lassan változik, akkor a σdif nagy. Tehát a (10.52) a kö-vetkező alakot ölti

2πbdb = σdif|dΩ|. (10.55)

Totális hatáskeresztmetszet: a teljes hatásos szórási felület

σtot =w

dσ =wσdif dΩ = 2π

πw

0

b(ϑ)∣∣∣∣∣db(ϑ)

dϑ

∣∣∣∣∣ dϑ = 2πwb db. (10.56)

A b-re vett integrál a valós tengelyen véve divergál. Ha azonban a ϑ(b) valamely véges b0-tól kezdve zérussá válik,akkor a b > b0 értékeket kihagyjuk, s így a

σtot = 2πw b0

0b db = πb2

0 (10.57)

totális hatáskeresztmetszetet kapjuk. Ez annak felel meg, ha (10.56)-ban a ϑ szög szerinti integrált nem a [0, π]tartományban, hanem [ε, π]-ben a ε→ 0+ határátmenettel definiáljuk. Más szóval, a σdif differenciális hatáskereszt-metszetet pozitív szögekre számítjuk ki s használjuk az integrandusban. Ennek révén kikerüljük azt a problémát, hogydb/dϑ nem értelmezett a ϑ = 0-ban, s fizikailag is indokolt, hogy a szóródást nem okozó végtelen nagy felületet nevegyük számításba.

Megjegyzés: A véges totális hatáskeresztmetszet nem a potenciál véges hatótávolságának következménye! Példáula V (r) ∝ e−r/r0 exponenciális potenciál a hagyományos terminológiával véges r0 hatótávolságú, mivel azonban nemegzaktul tűnik el az erő nagy r mellett, azért σtot =∞. Véges totális hatáskeresztmetszetet a klasszikus mechanikábancsak akkor kapunk, ha az erő valamely véges távolságon túl zérussá válik.

2018. december 18. 21:59:34 176

10.10 Hatáskeresztmetszet 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOK10.10.1. Példa. Gömbfelületről rugalmasan szóródó részecske. A differenciális hatáskeresztmetszet

ϑ =π − 2ϕ ⇒ b = R sinϕ = R sin (π−ϑ)/2 = R cos ϑ/2 ⇒ |db/dϑ| = R/2 sin ϑ/2 (10.58)

⇒ σdif = b(ϑ)sinϑ

∣∣∣∣∣db(ϑ)dϑ

∣∣∣∣∣ =R cos ϑ

2sinϑ

R

2 sin ϑ2 = R2

4 = áll. (10.59)

A gömbi "kemény mag" potenciál sajátossága az állandó differenciális hatáskeresztmetszet. A totális

σtot =wσdifdΩ = πR2 (10.60)

természetesen a gömb keresztmetszete.

10.13. Gyakorló feladat. Számítsuk ki a kúpszelet-forgástestek differenciális és totális szórási hatáskeresztmetszetét,p és ε függvényeként. Diszkutáljuk az eredményt különféle kúpszeletekre. [5]

56. ábra. Szórás tömör gömbön, a szögek definíciója, valamint a szórási szög az impaktparaméter függvényében.

2018. december 18. 21:59:34 177

10.11 Rutherford-szórás 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOK10.11. Rutherford-szórás

Hélium atommagok (α részecskék, tömegük m ≈ 4mproton, töltésük 2e) szóródnak Z = 79 rendszámú aranymagok taszító Coulomb-terében az 57. ábra szerint. A korábbiakat felhasználva

V (r) = αm

r, α = 2Ze2

m, b = α

v20

ctg ϑ2 ,∣∣∣∣∣ dbdϑ

∣∣∣∣∣ = α

2v20

1sin2 ϑ

2. (10.61)

Innen kapjuk a differenciális hatáskeresztmetszetet

⇒ σdif = b(ϑ)sinϑ

∣∣∣∣∣db(ϑ)dϑ

∣∣∣∣∣ = α

v20

ctg ϑ2

2 sin ϑ2 cos ϑ

2

α

2v20

1sin2 ϑ

2= α2

4v40 sin4 ϑ

2. (10.62)

57. ábra. Rutherford-szórás elrendezése

Mivel az erő nem tűnik el véges távolságon, azért σtot = ∞. Ezt kapjuka ϑ szerinti integrálással is, ugyanis σ(ϑ) ∝ ϑ−4 kis ϑ mellett, melynekintegrálja divergál.

Megjegyzés: Az alfa részecskék Rutherford-szórását a kvantummecha-nika írja le, amely érdekes módon a fenti, klasszikus differenciális hatáske-resztmetszettel azonos formulát eredményez. E különleges egyezés mélyebboka az 1/r potenciálbeli mozgás magasabb szimmetriája, mely a korábbantárgyalt Laplace–Runge–Lenz-vektor megmaradásával függ össze.

10.14. Gyakorló feladat. Határozzuk meg nagyenergiájú részecske elhajlá-si szögét általános V (r) potenciálban! Ehhez első rendben elég az egyenespályán való mozgás során a teljes merőleges impulzusváltozást kiszámítani.Számítsuk ki σdif-et kis szögekre, ha V = −αm/ara? [4-2]

2018. december 18. 21:59:34 178

10.12 Fázistér 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOK10.12. Fázistér

Centrális potenciálban adott E,N mellett egyértelmű fázistérbeli görbéket kapunk a vr− r és a vϕ−ϕ síkokban.A V (r) = −αm/r esetén

qr =vr(r) =

√2m

(E − Veff(r)), rqϕ = vϕ(ϕ) = J

mr= J

mp(1 + ε cosϕ). (10.63)

Megjegyzés: Az r-ben effektíven egydimenziós a mozgás adott J mellett, ezért a különböző E-hez tartozó vr − rgörbék nem metszhetik egymást. Ezzel szemben a ϕ-ben nem effektíven egydimenziós, a pályák vϕ − ϕ vetületeikereszteződhetnek.

(a) (b)

58. ábra. Fázistér vonzó (α > 0) potenciálra (a) vr − r; (b) vϕ − ϕ metszet. Az E < 0görbe valójában a ±π végpontokig ér.

2018. december 18. 21:59:34 179

10.12 Fázistér 10 CENTRÁLIS MOZGÁSOK

(a) (b)

59. ábra. Fázistér taszító (α < 0) potenciálra (a) vr − r; (b) vϕ − ϕ metszet.

2018. december 18. 21:59:34 180

11 FIZIKAI DIMENZIÓKE: 2018.11.16 J | I 2018.10.24 A: 2018.11.23 J | I 2018.10.26

11. Fizikai dimenziók→ Minden fizikai problémában hasznos az egyenletek dimenziótlanítása. Ezt nem kerülhetjük el, ha számítógéppel

modellezünk, szimulálunk.→ A dimenzióanalízis a fizikai mennyiségekben rejlő információ kihasználása, ilyet korábban már végeztünk.

11.1. Mozgásegyenletek dimenziótlanítása, mechanikai hasonlóságVezessünk be dimenziótlan távolságot és időt

r = Lr′, t = Tt′, (11.1)

ahol L és T a mozgás karakterisztikus távolsága és ideje. Általában ezeket többféleképpen megválaszthatjuk. Ekkor

mq qr = F ⇒ m

L

T 2d2r′

dt′2 = F ⇒ mq qr′ = T 2

LF , (11.2)

ahol az qr′ időderivált a t′ szerint értendő. Például a Kepler-problémában

mq qr = −γmM

r2 er ⇒ q qr′ = − γMT 2

L3︸ ︷︷ ︸dimenziótlan

1r′2er. (11.3)

Azonos dimenziótlan paraméterekkel megadott mozgások hasonlók! A Kepler-problémában azonos T 2/L3 mellett amozgások mechanikailag hasonlóak. Kepler III. törvénye a mechanikai hasonlóságot fejezi ki.

2018. december 18. 21:59:34 181

11.2 Dimenzióanalízis a szórásszámításban 11 FIZIKAI DIMENZIÓKÁltalános hatvány potenciálra (a 6= 0)

V (r) = −αmara

⇒ q qr′ = − αT

2

La+21

r′a+1er, (11.4)

ha tehát T 2/La+2 azonos, akkor a mozgások hasonlók.

11.2. Dimenzióanalízis a szórásszámításbanTekintsük egy v végtelenbeli sebességű testnek egy M tömegű csillag gravitációjának hatására történő pályaelhaj-

lását, és tegyük fel, hogy az elhajlás ϑ szöge a fizikai paraméterektől hatvány alakban függ (b az impakt paraméter,γ a gravitációs állandó és A dimenziótlan együttható)

ϑ = f(γ,M, v, b) = AγαMβvδbε. (11.5)

A dimenziókat beírva kapjuk

1 =(

m3

kg· s2

)αkgβ

(m

s

)δmε. (11.6)

Minden dimenziós mennyiségnek zérus hatványon kell szerepelnie, ezért

3α + δ + ε = 0, β = α, 2α + δ = 0 ⇒ ε = −α ⇒ ϑ = A(Mγ

bv2

)α. (11.7)

A jobboldalon elvileg a zárójelben levő dimenziótlan kifejezés tetszőleges függvénye felléphet. Ha feltesszük, hogy kiselhajlás szöge arányos a tömeggel, akkor α = 1, és

ϑ = AMγ

bv2 (11.8)

2018. december 18. 21:59:34 182

11.2 Dimenzióanalízis a szórásszámításban 11 FIZIKAI DIMENZIÓKÉppen ezt kaptuk a (10.61) képletében kis ϑ-ra az A = 2 együtthatóval. Nagyobb szögre is kiszámítottuk

ϑ = 2arctgMγ

bv2 , (11.9)

a függvény argumentuma a dimenziótlan mennyiség!A fény Nap körüli elhajlásánál b ≈ R, s mint említettük korábban, az általános relativitáselmélet jelentősen

eltérő, A = 4 eredményre vezetett.

11.1. Gyakorló feladat. Becsüljük meg a kicsiny elhajlás szögét a V (r) = −α/ra potenciálban. [3]

2018. december 18. 21:59:34 183

12 PONTRENDSZEREK: SZIMMETRIÁK ÉS MEGMARADÁSI TÉTELEK

12. Pontrendszerek: szimmetriák és megmaradási tételekA 6.2.12. fejezetben a Lagrange-függvénnyel leírható rendszerekben a ciklikus koordináták és az időeltolási in-

variancia következtében megmaradó mennyiségeket vizsgáltuk. Alább a Lagrange-függvény általános infinitezimálistranszformáció hatására történő változását és – invariancia esetén – a megmaradó mennyiségeket határozzuk meg.

12.1. A Lagrange-függvény megváltozása a koordináták transzformációjakorPontrendszerek Lagrange-függvényét az általános koordinátáikkal adjuk meg

L = L (q(t), qq(t), t) . (12.1)

Tekintsük a fizikailag megvalósuló, azaz az Euler–Lagrange-egyenleteket kielégítő q(t) pályákat, melyeket megváltoz-tatunk a ∆q mennyiségekkel, s engedjük meg az időeltolást is hely- és időfüggő módon, azaz

q → q + ∆q(q, t), t→ t+ ∆t(q, t). (12.2)

Ennek hatására a Lagrange-függvény megváltozása a fizikai pályán felvett értékéhez képest

∆L = ∇qL∆q + ∇ qqL∆ q

q + ∂L

∂t∆t = q

p∆q + p∆ qq + ∂L

∂t∆t = d

dtp∆q + ∂L

∂t∆t. (12.3)

Descartes-i koordináták esetén, ha a j-edik részecske helyvektora rj, akkor

rj → rj + ∆rj, t→ t+ ∆t ⇒ ∆L = ddt∑j

pj ·∆rj + ∂L

∂t∆t. (12.4)

2018. december 18. 21:59:34 184

12.2 Időeltolás 12 PONTRENDSZEREK: SZIMMETRIÁK ÉS MEGMARADÁSI TÉTELEK12.2. Időeltolás

A pálya mentén eltoljuk a rendszert konstans ∆t idővel, ekkor

∆q(t) = q(t+ ∆t)− q(t) = qq(t)∆t, (12.5)

ahonnan

∆L = dLdt ∆t = d

dtpqq∆t+ ∂L

∂t∆t ⇒ d

dt (p qq − L) = −∂L

∂t. (12.6)

A korábbról ismert eredményt kapjuk. Ha ∂L/∂t = 0, akkor a

pqq − L = E = áll. (12.7)

az energia megmarad.

12.3. KoordinátatranszformációkLegyen most ∆t = 0. Ha a Lagrange-függvény invariáns, azaz a koordinátatranszformáció szimmetria, akkor

∆L = 0 ⇒ p∆q = áll. időben. (12.8)

Ez mozgásállandó, viszont benne maradt a kis ∆qi mennyiség. Célunk makroszkopikus mozgásállandó származtatá-sa, ezért paraméterezzük a koordinátatranszformációt, s a független, kicsiny, időfüggetlen paraméterek együtthatófüggvényei lesznek a keresett invariánsak. Alább erre az eljárásra mutatunk példákat.12.3.1. Példa. Ciklikus koordináta: Ha valamely qj-tól expliciten nem függ a Lagrange-függvény, akkor pj(t)∆qj =áll., tehát pj(t) = áll.12.1. Gyakorló feladat. A mozgásegyenletek invarianciájához nem szükséges ∆L = 0, elegendő megkövetelnünk,hogy ∆L teljes időderivált. Ekkor hogyan módosul a megmaradási tétel? [4]

2018. december 18. 21:59:34 185

12.3 Koordinátatranszformációk 12 PONTRENDSZEREK: SZIMMETRIÁK ÉS MEGMARADÁSI TÉTELEK12.3.1. Térbeli eltolás

Pontrendszerben az általános koordináták legyenek az egyes rj helyvektorok komponenseinek összessége, és bár-milyen homogén ∆rj ≡ ∆r eltolásra teljesüljön ∆L = 0. A transzformáció paramétere ∆r, mellyel∑

j

pj ·∆rj =∑j

pj ·∆r = áll. ⇒ P =∑j

pj = áll. (12.9)

A teljes impulzus megmarad. Bevezetve a tömegközéppontot és sebességétM =

∑j

mj, R = 1/M∑j

mjrjqR = V = 1/M

∑j

mjvj = 1/M∑j

pj = P /M (12.10)

nyerjükP = MV = áll., (12.11)R(t) = R0 + V t. (12.12)

Összegezve, R0 és P megmaradnak, ez a tömegközépponti tétel.12.3.2. Példa. A potenciál a koordináták különbségeitől függ: V (rj) = V (rj − rk).

12.3.2. Térbeli forgatás

∆rj = ∆ϕ× rj, ∆L = 0 ⇒∑j

pj · (∆ϕ× rj) = ∆ϕ ·∑j

rj × pj = áll. (12.13)

Független paramétereink a ∆ϕ vektor komponensei, tehát a megmaradó mennyiség a teljes impulzusmomentumJ =

∑j

rj × pj. (12.14)

2018. december 18. 21:59:34 186

12.4 Általános szimmetria 12 PONTRENDSZEREK: SZIMMETRIÁK ÉS MEGMARADÁSI TÉTELEKHa csak a t tengely körüli forgatásra teljesül az invariancia, akkor

∆ϕ = t∆ϕ ⇒ Jt = J · t = áll. (12.15)

12.4. Általános szimmetriaTegyük fel, hogy a Lagrange-függvény invariáns a

∆qi =K∑a=1

Iia(q) ∆βa (12.16)

transzformációra, amelynek kis paraméterei a ∆βa-k. Ekkor (12.8) szerint a megmaradó mennyiségek

Ja =f∑i=1

piIia(q), a = 1, . . . , K. (12.17)

Ez az ún. első Noether-tétel a pontmechanikában.Megjegyzés: Noether tételei a térelméleti szimmetriák és a megmaradó mennyiségek közötti kapcsolatról szólnak,

e jegyzet kereteit tárgyalásuk meghaladja.12.2. Gyakorló feladat. Milyen I mátrix írja le egy tömegpont esetén a mindhárom tengely körüli forgatásokkalszembeni szimmetriát? [2]

12.5. ÖsszefoglalásZárt rendszerekben a tapasztalat szerint a következő szimmetriák állnak fenn

2018. december 18. 21:59:34 187

12.5 Összefoglalás 12 PONTRENDSZEREK: SZIMMETRIÁK ÉS MEGMARADÁSI TÉTELEKSzimmetriatranszformáció Megmaradó mennyiség Darabszám

Térbeli eltolás P 3R0 3

Térbeli forgatás J 3

Időeltolás E 1

Összesen 10 megmaradó mennyiséget kapunk: "A mozgásegyenletek 10 integrálja."Speciális esetek

→ N=2:3D – Fázistér dimenziók: 6+6=12 ⇒ 12-10=2 változó időfüggése szabad2D – Fázistér dimenziók: 4+4=8 ⇒ 8-(2+2+1+1)=2 szabad változó

→ N=3:3D – Fázistér dimenziók: 18 ⇒ 18-10=8 szabad változó2D – Fázistér dimenziók: 12 ⇒ 12-6=6 szabad változó

Ha a fázistér dimenziója, azaz szabad változóinak száma 2, a pályák a síkban nem metszhetik egymást, a mozgásintegrálható.

Kettőnél több szabad változó esetén tipikusan kaotikus a mozgás (pl: kettős inga, egynél nagyobb dimenziószámútérben potenciálmozgást végző tömegpont). Időfüggő potenciálban mozgó rendszer is általában káoszt mutat (pl:meghajtott síkinga).

A magasabb dimenziós harmonikus oszcillátor és a centrális potenciálban mozgó tömegpont a kivételek közétartozik, ezek mozgása integrálható.

2018. december 18. 21:59:34 188

12.6 Kéttestprobléma (m) 12 PONTRENDSZEREK: SZIMMETRIÁK ÉS MEGMARADÁSI TÉTELEK12.6. Kéttestprobléma (m)

Centrális erővel kölcsönható két tömegpont Lagrange-függvénye

L = m1

2qr2

1 + m2

2qr2

2 − V (|r1 − r2|). (12.18)

Mivel homogén eltolásra a Lagrange-függvény invariás, az R tömegközéppont egyenesvonalú egyenletes mozgástvégez. Válasszuk ezt az origónak, amikor is

M = m1 +m2, r = r1 − r2, m1r1 +m2r2 = MR = 0 ⇒ r1 = m2

Mr, r2 = −m1

Mr. (12.19)

Visszaírva a Lagrange-függvénybe kapjuk

L = m1m22

2M2qr2 + m2m

21

2M2qr2 − V (r) = m1m2

2Mqr2 − V (r) ≡ µ

2qr2 − V (r). (12.20)

Tehát a relatív koordinátában egy µ tömegű pont centrális mozgása valósul meg, ahol µ a két tömeg harmonikusközepének a fele. Erre az eredményre a mozgásegyenletek felírása nélkül jutottunk!

12.3. Gyakorló feladat. Írjuk fel a teljes Lagrange-függvényt az R=0 feltevése nélkül, azaz szerepeljen benne expli-citen R. Írjuk fel a mozgásegyenletet a tömegközépponti és a relatív koordinátára. [4]

Az impulzusmomentum függ az origó megválasztásától. Az R=0 mellett

J = m1r1 ×qr1 +m2r2 ×

qr2 = m1m

22 +m2m

21

M2 (r × qr) = µr × q

r = áll. (12.21)

A tömegközépponti impulzusmomentumot a µ tömegű részecske relatív koordinátában leírt mozgása adja!

12.4. Gyakorló feladat. R 6= 0 mellett írjuk fel a teljes impulzusmomentumot. [2]

2018. december 18. 21:59:34 189

12.6 Kéttestprobléma (m) 12 PONTRENDSZEREK: SZIMMETRIÁK ÉS MEGMARADÁSI TÉTELEK12.6.1. Példa. Gravitációs potenciál:

V = −γm1m2

r= −γµM

r(12.22)

Azaz a centrum tömegénekM -et tekinthetjük, a másiké µ. Pl. a Nap és a Jupiter tömegeinek arányaM ≈ 1048MX,a Napot rögzítettnek véve 1‰ (egy ezrelék) hibát vétünk.

Fentebb a szórási problémákat is rögzített centrum mellett vizsgáltuk. Az eredmények azonban véges tömegű szórórészecske esetén a tömegközépponti rendszerre vonatkoztak, melyeket a laboratóriumi rendszerre át kell számítani.Erről a fontos témakörről itt nem szólunk, példákat az első éves mechanika kurzus tárgyalt.

12.5. Gyakorló feladat. Írjuk fel a V (r1−r2) nem-centrális potenciállal adott kéttestproblémában a relatív koordinátamozgásegyenletét. [3]

2018. december 18. 21:59:34 190

13 KÉNYSZEREK

13. KényszerekKorábban az általános koordináták bevezetése révén eliminálni kívántuk a kényszererőket. Az alábbiakban célunk

a kényszererők bevétele a mozgásegyenletbe és a meghatározásuk.A kényszerekről itt feltételezzük, hogy tökéletesen merevek azaz tisztán geometriai megkötések, továbbá nem

járnak súrlódással. Más szóval ideálisan kemény és sima szerkezetek valósítják meg.

13.0.1. Példa. Inga: alapesetben feltesszük, hogy a rúdja nem nyúlik és a felfüggesztésben nem ébred súrlódás.A függvényekkel megadott, ϕ(q, t) = 0 típusú kényszerekkel korábban találkoztunk, ezek a holonom kényszerek,

s ezeket a Lagrange-multiplikátorokkal kezeltük. Alább

→ a holonom kényszereket elemi, nem Lagrange-mechanikai úton építjük a mozgásegyenletbe,→ bemutatjuk, hogy az eredmény azonos a Lagrange-mechanikából származóval,→ a multiplikátorok kifejezésére és a mozgásegyenlet megoldására alkalmas módszert mutatunk be,→ anholonom kényszereket is tárgyalunk.

13.1. Virtuális elmozdulások és a D’Alembert-elv13.1.1. Tömegpont

Bontsuk fel a tömegpontra ható erőt szabad- és kényszererők összegere

F = F sz + F k. (13.1)

Az F sz(r, t) ismert, az F k-ról csak azt tudjuk, hogy éppen akkora, hogy a tömegpont mozgása a kényszer geometriá-jának eleget tegyen. Miután elhanyagoltuk a súrlódást, a kényszerek által kifejtett F k erő merőleges a geometria által

2018. december 18. 21:59:34 191

13.1 Virtuális elmozdulások és a D’Alembert-elv 13 KÉNYSZEREKaz adott pillanatban megengedett δr kis elmozdulásokra. Ezek az ún. virtuális elmozdulások, ha a kényszer időfüggő,akkor δr egy rögzített időpontban a geometria által megengedett elmozdulásokat jelenti.

A variációszámítás nyelvén a virtuális elmozdulás a pálya olyan variációja, amely a kényszereknek eleget teszrögzített időpillanatban. Azaz éppen a pálya "szokásos" variációja, miközben az időt nem variáljuk. Ha

→ a kényszer időfüggetlen ∼ a virtuális elmozdulás egyben valódi, a kényszer geometriájának eleget tesz,→ a kényszer időfüggő ∼ a virtuális elmozdulás nem valódi, mert a pillanatszerű geometriának tesz csak eleget,

az időfüggőnek nem.

A mozgásegyenletet a kényszererők híján nem ismerjük, de ha virtuális elmozdulással szorozzuk, akkor a

mq qrδr = F δr = F szδr ⇒ (m q q

r − F sz) · δr = 0 (13.2)

relációt kapjuk. Ez D’Alembert elve egy tömegpontra.

13.1.2. Felülethez kötött tömegpont

Az alábbiakban elemi meggondolások alapján megszerkesztjük a mozgásegyenletet, majd megmutatjuk, hogyazonos eredményt kapunk a variációs mechanika Lagrange-multiplikátoros módszerével.

A felület függhet az időtől

ϕ(r, t) = 0, (13.3)

ekkor a virtuális elmozdulások egy pillanatban a test helyén az érintő síkra vannak korlátozva, amelyre a kényszererőnyilvánvalóan merőleges.

Részletesen írva, a felület egy pontjában az érintő sík normális vektora ∇ϕ, tehát az e síkra korlátozott virtuális

2018. december 18. 21:59:34 192

13.1 Virtuális elmozdulások és a D’Alembert-elv 13 KÉNYSZEREK

60. ábra. Felületre korlátozott moz-gás és a virtuális elmozdulások.

elmozdulásra ∇ϕ · δr = 0, ld. 60. ábra. Mivel a pillanatnyi kényszererő is csaknormális irányú lehet, azaz párhuzamos ∇ϕ(r, t)-vel, teljesül

F k = λ∇ϕ, (13.4)

ahol λ egyelőre ismeretlen skalár tényező. A mozgásegyenlet és a kényszer tehát

mq qr = F sz(r, t) + λ∇ϕ(r, t), ϕ(r, t) = 0. (13.5)

Összesen négy egyenletet kapunk a négy ismeretlenre: az r(t) és a λ(t) függvé-nyekre.

Azonos eredményt kapunk a Lagrange-mechanikából a multiplikátor módszerével. Legyen az erőtér F sz = −∇Vekkor a multiplikátorral kiegészített Lagrange-függvény, a kanonikus F erő és p impulzus, valamint az Euler–Lagrange--formula

L = m

2qr2 − V (r, t) + λϕ(r, t), (13.6)

F = −∇V + λ∇ϕ = F sz + λ∇ϕ, p = mqr ⇒ E = F − q

p = F sz + λ∇ϕ−m q qr = 0. (13.7)

Végül éppen a (13.5) mozgásegyenlet adódott!Tanulság: a Lagrange-multiplikátor módszere a kényszer tökéletes merevségét és a súrlódásmentességét fejezi

ki. Az eljárás nemcsak a mechanikában érvényes, hanem átvitt értelemben, általánosabb variációs problémákra isalkalmazható, minként azt korábban tárgyaltuk a 6.1.14 fejezetben.

13.1.3. Pontrendszer több holonom kényszer hatása alatt

Először itt is megfeledkezünk arról, amit a Lagrange-multiplikátoros módszerről tanultunk, s elemi úton szerkeszt-jük meg a mozgásegyenletet.

2018. december 18. 21:59:34 193

13.2 Egyensúly: a virtuális munka elve 13 KÉNYSZEREKÁlljon a rendszerünk N tömegpontból, melyekre a szabaderőkön kívül hassanak olyan kényszererők, hogy a kö-

vetkező M geometriai feltételeknek tegyenek eleget

ϕj(r1, . . . , rN , t) = 0 j = 1, . . . ,M. (13.8)

A virtuális elmozdulások δr1, . . . , δrN , melyek rögzített idő mellett összefüggnek az alábbiak szerint

ϕj(r1 + δr1, . . . , rN + δrN , t)︸ ︷︷ ︸0

= ϕj(r1, . . . , rN , t)︸ ︷︷ ︸0

+∑i

∇i ϕj δri + . . . ⇒∑i

∇i ϕj δri = 0. (13.9)

Itt ∇i jelöli az ri szerinti gradienst. Az i-edik tömegpontra a j-edik kényszer erőhatása plauzibilis módon

F kij = λj∇iϕj. (13.10)

Ez azt fejezi ki, hogy a j-edik kényszernek a 3N dimenziós térbeli gradiensével arányos a kényszererő, azaz λ nemfügg sem i-től, sem a descartes-i komponenstől. A teljes kényszererőre kapjuk

F ki =

∑j

λj∇iϕj ⇒∑i

F ki δri = 0 ⇒

∑i

(miq qri − F sz

i )δri = 0. (13.11)

Ez a D’Alembert-elv pontrendszerre. A kényszererők formuláját használva a gyorsulásokra kapjuk

mq qri = F sz

i + F ki = F sz

i +∑j

λj∇iϕj, (13.12)

melyek a (13.8) feltételekkel a mozgásegyenleteket adják. Összesen 3N +M egyenlet az riNi=1 és λjMj=1 ismeret-lenekre. Megjegyzés: Nyitva maradt a kérdés, vajon honnan tudjuk, hogy a kényszererők (13.10) formulájában a λjegyütthatók nem függnek a tömegpontok i indexétől. Most láttuk, hogy így kapunk éppen annyi ismeretlent, ahányegyenletünk van, meggyőzőbb érvet rövidesen a Lagrange-formalizmus szolgáltat.

13.2. Egyensúly: a virtuális munka elve

2018. december 18. 21:59:34 194

13.3 Kényszerek fajtái 13 KÉNYSZEREK

N1 2

F1

...

F2

δ

δr

r

2

1

3 ...

61. ábra. Emelő és csigasor.

Ha ri = áll., akkor (13.11)-ből következően∑i

F szi · δri = 0. (13.13)

Ez a virtuális munka elve: egyensúlyban a szabaderők virtuális munkájazérus.13.2.1. Példa. Kétkarú emelő

F1a1δϕ− F2a2δϕ = 0 ⇒ F1a1 = F2a2. (13.14)13.2.2. Példa. Csigasor

δr2 = δr1/2N, F1δr1 = F2δr2 ⇒ F1 = F2/2N. (13.15)

13.3. Kényszerek fajtáiEddig a ϕ(r1, . . . , rN , t) = 0 egyenlettel megadható kényszert vizs-

gáltuk. Ez a holonom kényszer. Ha ∂tϕ = 0, akkor a kényszer holonom-szkleronom, egyébként holonom-reonom. A sebességek közötti relációt azidő szerinti deriválással kapjuk

∂ϕ

∂t+∑n

∇nϕ ·qrn = 0. (13.16)

Olyan kényszert, amelyet nem írhatunk fel a koordinátákat tartalmazó függvény eltűnésének egyenletével, anho-lonomnak nevezzük. Ha a sebességek között, azaz a koordináta-differenciálok között lineáris összefüggés áll fenn,akkor

a0(r, t) +N∑n=1an(r, t) q

rn = 0 ∼ a0(r, t)dt+N∑n=1an(r, t)drn = 0, (13.17)

2018. december 18. 21:59:34 195

13.4 Lagrange-féle elsőfajú egyenletek 13 KÉNYSZEREKahol r az összes koordinátát foglalja össze, azaz az együtthatók r1, . . . , rN , t függvényei . A holonom esetben azegyütthatók egyetlen függvényből differenciálással származtathatók (13.16) szerint

a0 = ∂ϕ

∂t, an = ∇nϕ, (13.18)

egyébként nem. A kényszer anholonom-szkleronom, haa0 = 0, (13.19)

egyébként anholonom-reonom.Megjegyzés: A kényszer egyenlőtlenséggel is adott lehet, például gázrészecskék gömb tartályban |rn|2 ≤ R2.Összefoglalásul

Reonom Szkleronom Variációs feltétel

Holonom ϕ(r, t) = 0 ϕ(r) = 0 ∑Nn=1 ∇nϕ · δrn = 0

Anholonomdifferenciális alak a0(r, t)dt+∑N

n=1 an(r, t) · drn = 0 ∑Nn=1 an(r) · drn = 0 ∑N

n=1 an(r, t) · δrn = 0Anholonomsebességekre a0(r, t) +∑N

n=1 an(r, t) · qrn = 0 ∑N

n=1 an(r) · qrn = 0

Elképzelhetők olyan kényszerek, amelyek a sebességtől nemlineárisan függnek, ezeket itt nem tárgyaljuk.

13.4. Anholonom kényszerek: a Lagrange-féle elsőfajú mozgásegyenletekTegyük fel, hogy az alábbi kényszerfeltételek adottak

aj0(r, t) +N∑n=1ajn(r, t) q

rn = 0, j = 1, . . . ,M. (13.20)

2018. december 18. 21:59:34 196

13.5 Energiatétel kényszerek jelenlétében 13 KÉNYSZEREKKöztük lehetnek holonomak is. Az anholonom-reonom esetre általánosítva a holonom kényszererők (13.11) formulájáta (13.16) megfeleltetés alapján kapjuk az n-edik tömegpontra ható kényszererőt

F kn =

∑j

λjajn(r, t). (13.21)

Ennek alapján a gyorsulás

mnq qrn = F sz

n +∑j

λjajn(r, t). (13.22)

Ezek a Lagrange-féle elsőfajú mozgásegyenletek, melyek a (13.20) feltételekkel összesen 3N + M relációt adnak a3N helyváltozóra és az M darab λj paraméterre.

13.5. Energiatétel kényszerek jelenlétébenTekintsük a kinetikus energiát

K =∑n

mn

2 |qrn|2 ⇒

qK =

∑n

mnqrn

q qrn =

∑n

qrn(F sz

n +∑j

λjajn), (13.23)

az utolsó egyenletnél felhasználtuk a kényszererők (13.21) kifejezését. A sebességek közötti (13.20) összefüggésselqK =

∑n

F szn

qrn −

∑j

λjaj0. (13.24)

Potenciálos szabaderők esetén ∑n

F szn

qrn = −

qV ⇒

qE =

qK +

qV = −

∑j

λjaj0. (13.25)

Szkleronom kényszerek mellett, azaz ha minden aj0 = 0, az energia megmarad.

2018. december 18. 21:59:34 197

13.6 Kényszerek általános koordináták között 13 KÉNYSZEREK13.6. Kényszerek általános koordináták között13.6.1. Holonom kényszerek multiplikátorokkal

Az alábbiak igen hasonlók a 6.2.5. fejezetben tárgyalt, a descartes-i koordináták között fennálló holonom kény-szerek kezeléséhez, azzal a különbséggel, hogy most egyes kényszererőket nem küszöbölünk ki.

Tegyük fel, hogy a q általános koordinátákkal bizonyos kényszereket figyelembe vettünk, azonban ezeken túl isfennmaradt M további feltétel

ϕj(q, t) = 0 j = 1, . . . ,M. (13.26)A kényszereket a variáláskor Lagrange-multiplikátorokkal vehetjük figyelembe, azaz bevezetjük a λ1, . . . , λM új vál-tozót és a Lagrange-függvényt módosítjuk

Lλ(q,qq, t) = L(q, q

q, t) +∑

λjϕj(q, t) ⇒ Sλ[q(t), λ(t)] =wLλ dt, (13.27)

a hatás tehát a q általános koordináták és a λ-val tömören jelölt multiplikátorok funkcionálja. Ekkor a qi-k függetlennekvehetők, és a λj-k szerint is variálunk. Az általánosított szabad- és kényszererő, impulzus, valamint az Euler–Lagrange-egyenletek

F = F sz + F k, F sz = ∇q L, Fk =

∑j

λj∇q ϕj, p = ∇ qqL,

E(q, qq,

q qq, λ) = F sz + F k − q

p = 0 . (13.28)Mint elvártuk, ez másodrendű differenciálegyenlet-rendszer, a q q

q gyorsulásokat a qp-n keresztül lineárisan tartalmazza,

s benne fellépnek az egyelőre ismeretlen λj paraméterek. Végül a λj-k szerinti variálással visszakapjuk a kényszerfel-tételeket

ϕj = 0. (13.29)Összesen f + M egyenletünk van az ugyanennyi qk(t) és λj(t) ismeretlen függvényekre. Természetesen mindezalkalmazható descartes-i koordinátás leírásra is, amikor is qk ∼ rni.

2018. december 18. 21:59:34 198

13.6 Kényszerek általános koordináták között 13 KÉNYSZEREK13.6.2. A megoldás módszere (*)

A mozgásegyenletek megoldásának általános eljárása az, hogy elsőként kifejezzük a λj együtthatókat a koor-dinátákkal és a sebességekkel, majd ezeket visszaírva a mozgásegyenletbe, végül csak a koordinátákat tartalmazómásodrendű differenciálegyenleteket kapunk. Ha ez utóbbiakat sikerül megoldanunk a koordinátákra, akkor az ezekkelelőállított multiplikátorok időfüggését is megkaptuk, melyekkel végül a kényszererőket kifejezhetjük.

Először is a kényszerfeltételeket kétszer deriváljuk

qϕj =

∑k

∂ϕj∂qk

qqk + ∂ϕj

∂t= 0 (13.30)

q qϕj =

∑k

∂ϕj∂qk

q qqk +

∑k,l

∂2ϕj∂ql∂qk

qqk

qql + 2

∑k

∂2ϕj∂t∂qk

qqk + ∂2ϕj

∂t2= 0 (13.31)

→ a mozgásegyenletekből a q qqk-okat kifejezzük a λ, q, q

q változókkal;→ ezeket a 13.30 egyenletekbe a q q

qk helyére beírva M egyenletet kapunk a λ, q, qq mennyiségek között;

→ ezekből kifejezzük a λ-kat a q, qq változókkal;

→ a λ-k kifejezését a mozgásegyenletbe visszaírva q, qq,

q qq-ot tartalmazó, f db. mozgásegyenletet kapunk;

→ ezekből elvileg meghatározhatók a q(t)-k;→ mivel a λ-kat korábban kifejeztük a q koordinátákkal, ez utóbbiak ismeretében expliciten adódnak a λ(t)-k.

13.6.3. Anholonom kényszerek: a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletek (*)

Mivel az anholonom kényszereket nem írhatjuk a csak a koordinátákat tartalmazó ϕj függvények eltűnésénekalakjában, a szokásos Lagrange-multiplikátoros eljárás nem alkalmazható. Ha a hatást nem is, de a hatás variációjátkiegészíthetjük multiplikátorokkal kombinált, eltűnő tagokkal, s így az anholonom mozgásegyenletekhez jutunk.

2018. december 18. 21:59:34 199

13.6 Kényszerek általános koordináták között 13 KÉNYSZEREKA kényszer valódi elmozdulásokra∑

k

ajk(q, t) dqk + aj0(q, t) dt = 0 j = 1, . . . ,M. (13.32)

A pálya variációja, mely éppen a virtuális, azaz adott idejű (δt = 0) elmozdulás, teljesíti∑k

ajk(q, t) δqk = 0 j = 1, . . . ,M. (13.33)

A pályák variálásakor a hatás variációja, ha hozzáadjuk az eltűnő kifejezések lineárkombinációját, a következő

δ′Sλ = δwL dt+

w ∑j

λj∑k

ajkδqk dt. (13.34)

Ez „variáció jellegű” mennyiség, azaz pályák kis megváltozása esetén felírható változás, de nem egyetlen funkcionálvariációja! Az utóbbi tényre utal a δ′ jelölés, most nem írhatunk fel valamely Sλ funkcionált. Míg a holonom kényszeresetén egy funkcionál stacionaritási feltételére vezethettük vissza a mozgásegyenletet, most csak a (13.34) variációeltűnését követelhetjük meg.

Az utóbbi feltételből a független δqi együtthatóinak zérussá tételével adódnak a Lagrange-féle másodfajú moz-gásegyenletek

δ′Sλ = 0 ⇒ ddt∂L

∂qqk

= ∂L

∂qk+∑j

λjajk, (13.35)

melyek a (13.32) kényszerfeltételekkel f +M egyenletet adnak az összesen ugyanennyi qi és λj függvényekre.Holonom kényszerek az anholonomak speciális esetének tekinthetők, ekkor az ajk → ∂ϕj/∂qk helyettesítéssel

visszakapjuk a korábban felírt mozgásegyenleteket. Vegyes kényszerek, azaz holonom és anholonom keveréke eseténa holonomakra végezhető a helyettesítés.

2018. december 18. 21:59:34 200

13.7 Példák 13 KÉNYSZEREKTermészetesen a qj-k lehetnek Descartes-koordináták, melyekre egyben igazoltuk a (13.22) Lagrange-féle elsőfajú

mozgásegyenleteket.Magától értetődő jelöléssel, általános impulzusokkal, szabad- és kényszererőkkel a mozgásegyenletek alakjaq

pi = F szi + F k

i . (13.36)Ez a felbontás holonom kényszerekre is nyilvánvalóan alkalmazható. A megoldás módszere a holonom esetéhezhasonló! Deriváljuk a kényszerfeltételeket, majd a gyorsulások helyére a mozgásegyenletek kifejezéseit beírva a λj-keta koordinátákkal és a sebességekkel kifejezve kapjuk. Ezeket a mozgásegyenletekbe visszaírva kiküszöböljük a λj-ket,s így f csatolt, másodrendű differenciálegyenletet kapunk.

13.7. Példák13.7.1. Anholonom-szkleronom kényszer: guruló korong

x

y

φ

θ

r

62. ábra. Az x, y síkon guruló korong.

Idealizált guruló korong, nem csúszik meg, és a korong síkja füg-gőleges marad, ld. a 62. ábrát. Helyzetét megadja az érintkezési pontx, y, eddigi teljes elfordulása φ és az irányát jellemző θ szög. A kerü-leti sebesség nagysága v = r

qφ, amelyből a komponensekre a keresett

kényszerfeltételeket kapjukqx = −r

qφ cos θ, q

y = −rqφ sin θ, (13.37)

vagy differenciális alakbandx+ r cos θ dφ = 0, dy + r sin θ dφ = 0. (13.38)

Ezen feltételeket az egyébként erőmentes mozgás meghatározásáhozfigyelembe kell vennünk.13.1. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a két fenti kényszerfeltétel valóban anholonom, azaz nem található kétolyan függvény, melyek deriválásával e feltételek előállíthatók. [3]

2018. december 18. 21:59:34 201

13.7 Példák 13 KÉNYSZEREK13.7.2. Mozgás síkgörbén általános potenciálban

63. ábra. Síkgörbén való mozgás

Legyen a síkgörbe az y = f(x) függvény, a potenciál V (x, y).a. Kényszererő számításának elkerülése

Válasszuk általános koordinátának az x-et, midőn

y = f(x) ⇒ qy = f ′(x) q

x ⇒ v2 = qx2 + q

y2 = qx2(1 + f ′2) (13.39)

Az irányszöggel kifejezve 1 + f ′(x)2 = 1/ cos2 ϑ. A Lagrange-függvény

L = K − V = m

2qx2(1 + f ′(x)2)− V (x, y(x)) ≡ meff(x)

2qx2 − Veff(x), (13.40)

tehát a kényszer egyfajta helytől függő "effektív tömeg" megjelenését eredményezte. Innen

F = −V ′eff(x) + m′eff(x)2

qx2 ≡ Feff(x) + m′eff(x)

2qx2, p = meff(x) q

x. (13.41)

Végül a mozgásegyenlet

E(x, qx) = F − q

p = Feff(x)− 12m

′eff(x) q

x2 −meff(x) q qx = Feff(x)−mf ′′(x) qx2 −m(1 + f ′(x)2) q qx = 0. (13.42)

A mozgás effektíven egydimenziós, ezért a megoldáshoz az energiamegmaradást érdemes használni, E = K + V ,ahonnan a szokásos módon t(x) egy integrálással előállítható.

13.7.1. Példa. Külső erőtér nélkül E = K állandóqx2 + q

y2 = qx2(1 + f ′2) = v2 = áll. (13.43)

2018. december 18. 21:59:34 202

13.7 Példák 13 KÉNYSZEREKA sebesség idő szerinti integrálásával éppen az ívhosszat kapjuk,

vt =w x

x0

√1 + f ′2(x)dx = s(x)− s(x0), (13.44)

ezt is vártuk. Innen invertálással adódik x(t).13.2. Gyakorló feladat. Hozzuk a (13.42) egyenletet olyan alakra, hogy az az r = (x, y)-ra vonatkozó mozgásegyenletx komponense legyen (azaz osszuk le az 1 + f ′(x)2 kifejezéssel). Azonosítsuk be a kényszererő x komponensét, sinnen adjuk meg a teljes kényszererőt. [4]

b. Kényszererő számítása multiplikátorral

A holonom kényszer szerinti mozgásegyenletek a Lagrange-multiplikátoros módszer ismeretében azonnal felírhatók

ϕ(x, y) = y − f(x) = 0 ⇒ mq qr = F sz + F k = −∇V + λ∇ϕ. (13.45)

Az egyszerűség kedvéért vizsgáljuk a külső erőtér nélküli esetet

m

( q qxq qy

)= λ

(−f ′(x)

1

). (13.46)

Az x helyen ható kényszererő meghatározása a 13.6.2. fejezetben elmondottak szerint zajlik. A kényszer kétszeresidőderiváltjába, a gyorsulások helyére írjuk a mozgásegyenlet kifejezéseit, melyből λ és vele a kényszererő kiadódik:

y = f(x), qy = f ′

qx,

q qy = f ′

q qx+ f ′′

qx2 ⇒ λ

m+ λ

mf ′2 = f ′′

qx2 = v2f ′′

1 + f ′2⇒ λ = mv2f ′′

(1 + f ′2)2 (13.47)∣∣∣F k

∣∣∣ = |λ∇ϕ| = λ√

1 + f ′2 = mv2

R, ahol R = (1 + f ′2)3/2

|f ′′|. (13.48)

2018. december 18. 21:59:34 203

13.7 Példák 13 KÉNYSZEREKGimnáziumból tudjuk, hogy köríven mozgáskor a centripetális erőt éppen az mv2/R formula adja, ahol R az ív sugara.Tanulság: mechanikai alapon kiszámítottuk általános síkgörbe görbületi sugarát!13.3. Gyakorló feladat. Hasonló gondolatmenettel adjunk formulát az r = r(u) paraméteres egyenlettel megadotttérgörbe görbületi sugarára! [4]13.4. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy d sinϑ/dx = 1/R. [3]13.5. Gyakorló feladat. Időfüggő holonom kényszer: Az origó körül forgassunk egy egyenest, amely kezdetben azx tengellyel esett egybe, oly módon, hogy idővel egyre meredekebb legyen, de csak végtelen idő múlva érje el azy tengelyt. Az egyenlete legyen az y = γtx. Milyen mozgást végez az a tömegpont, amely ezen az egyenesensúrlódásmentesen csúszik (szabaderő nem hat)? A KF legyen x(0) = x0,

qx(0) = v0. Speciális esetként meg kell

kapnunk, hogy ha v0 = 0, akkor x ≡ x0, y = γtx0, és λ = 0. [4]

13.7.3. Mozgás felületen gravitáció jelenlétében. (*)

A kényszerfeltétel és a gradiense

ϕ(x, y, z) = h(x, y)− z = 0, ∇ϕ = (∂xh, ∂yh,−1), (13.49)

ahol a parciális deriváltakra rövidített jelölést használtunk. A mozgásegyenlet

mq qr = λ∇ϕ−mgez. (13.50)

A kényszert differenciáljuk az idő szerintqr∇ϕ = 0, q

r(∇ ∇ϕ) qr + q q

r∇ϕ ≡ qrH qr + q q

r∇ϕ = 0, (13.51)

ahol bevezettük a H = ∇ ∇ϕ-t, azaz ϕ Hesse-mátrixát. A mozgásegyenletből visszaírva a gyorsulástqrH qr + λ

m|∇ϕ|2 − gez∇ϕ = 0 ⇒ λ = −m g + q

rH qr

1 + |∇h|2, (13.52)

2018. december 18. 21:59:34 204

13.7 Példák 13 KÉNYSZEREKahol értelemszerűen ∇h kétkomponensű vektor. A mozgásegyenletbe visszaírva

mq qr = −m g + q

rH qr

1 + |∇h|2

(∇h−1

)−mgez = F k

ny + F kcp + F sz. (13.53)

A H-nak csak az x, y komponensei nemzérusak, ez h(x, y) Hesse-mátrixa, ezért az x, y-ra vonatkozó egyenletekzártak. Ha ezeket megoldjuk, az energiamegmaradás révén velük kifejezhetjük q

z-t, amelyet integrálva előáll z(t). Akényszererő két tagra bomlik, az F k

ny a sztatikus nyomóerő, az F kcp a centripetális erő.

A teljes erő általában nem potenciálos. Ha azonban h első és második deriváltjai kicsik, akkor λ ≈ −gm, q qz ≈ 0,q q

x ≈ −g∂xh,q qy ≈ −g∂yh, azaz közelítőleg a h a potenciál.

13.6. Gyakorló feladat. Győződjünk meg arról, hogy a sztatikus nyomóerő éppen az, amelyet tgα = |∇h| hajlásszögűsík lejtő fejt ki nyugvó tömegpontra. [2]13.7. Gyakorló feladat. Mekkora a centripetális erő nagysága adott helyen és adott sebességek mellett? Mutassukmeg, hogy H főtengelyeibe eső sebességek esetén a szokásosmv2/R formula adódik, két lehetséges R1 és R2 értékkel.Ezek a fő görbületi sugarak, a felület geometriájának jellemzői, melyeket itt dinamikai megfontolásokkal számítottunkki. [5]13.8. Gyakorló feladat. Írjuk fel a mozgásegyenletet általános V (r) külső potenciál esetén.[4]

E: 2018.10.24 J | I 2018.10.26 A: 2018.10.26 J | I 2018.11.07

2018. december 18. 21:59:34 205

14 KIS REZGÉSEK AZ EGYENSÚLY KÖRÜL

14. Kis rezgések az egyensúly körül14.1. Sajátrezgések konzervatív, időfüggetlen rendszerben

Tekintsük az alábbi Lagrange-függvénnyel leírható rendszert

L = 12

qqM(q) q

q − V (q), (14.1)

ahol az M(q) tömegmátrix függhet a koordinátáktól, s V (q) a potenciál. A q = q∗ egyensúlyban

∇qV (q∗) = 0. (14.2)

Az egyensúlytól való kis kitérésekre a tömegmátrixot az egyensúlyban vehetjük, majd a potenciált sorbafejtjük má-sodrendig

M(q) ≈M(q∗) ≡M, (14.3)

V (q) ≈ V (q∗) + ∇qV (q∗) (q − q∗) + 12(q − q∗)

(∇q ∇qV

)(q∗) (q − q∗)

= V (q∗) + 12(q − q∗) K (q − q∗). (14.4)

A kifejezés egyben a K mátrixot definiálja, amely a potenciál Hesse-mátrixa az egyensúlyi helyzetben. Az M tö-megmátrix általában pozitív definit, stabil egyensúlyban a K szintén pozitív definit, emellett K-hoz megengedhetünkmarginális, azaz zérus sajátértékeket. Mindkét mátrix szimmetrikus.

Mivel V (q∗) állandó, azért elhagyjuk, s ezentúl q-val jelöljük a q−q∗ kitérést. Végül a hatásos Lagrange-függvénykis kitérésekre tömör jelöléssel

L = 12

qqM q

q − 12 qKq. (14.5)

2018. december 18. 21:59:34 206

14.1 Sajátrezgések konzervatív, időfüggetlen rendszerben 14 KIS REZGÉSEK AZ EGYENSÚLY KÖRÜLAz általánosított impulzus ill. erő

p = ∇ qq L = M q

q, F = ∇q L = −Kq. (14.6)

Az előbbi a tömegpontnál megszokott impulzus fogalmát olyképp általánosítja, hogy a tömegmátrix és az általánossebességvektor szorzata, eközben az erő az általános koordináták egyensúlytól való kitérésében lineáris, így többdi-menziós rugóerőnek, s K a rugóállandó mátrixnak tekinthető. A mozgásegyenletq

p = F ⇒ M q qq = −Kq ⇒ (14.7)q q

q = −Aq, ahol A = M−1K. (14.8)

Az A-t azért vezethettük be, mert pozitív definit tömegmátrixnak létezik az inverze. Tegyük fel, hogy ismerjük az

Aaj = ω2jaj (14.9)

sajátértékprobléma megoldásait, ahol a stabilitást ω2j ≥ 0 fejezi ki. Ekkor

qj(t) = e±iωjtaj (14.10)

megoldja a mozgásegyenletet, ugyanis

q qqj = d2

dt2 e±iωjtaj = −ω2

j e±iωjtaj = −Aqj. (14.11)

Innen az általános megoldás, pozitív ωj értékek mellett

q(t) =f∑j=1σ=±

bjσeiσωjtaj =

f∑j=1

cjei(ωjt+δj)aj, (14.12)

2018. december 18. 21:59:34 207

14.1 Sajátrezgések konzervatív, időfüggetlen rendszerben 14 KIS REZGÉSEK AZ EGYENSÚLY KÖRÜLahol aj-k az ún. normálmódusok.

Ha valamely ωn = 0, akkor an az ún. zéró vagy null módus, amelyhez tartozó megoldás

qn(t) = (bn1 + bn2t)an. (14.13)

A zéró módus az egyensúly marginális voltát fejezi ki, ilyet találhatunk például zárt rendszerben transzláció, ill.elfordulás, valamint kvadratikusnál magasabb rendű potenciálminimum esetében.

A sajátfrekvenciák karakterisztikus egyenleteit többféle ekvivalens alakban írhatjuk (az utolsó formula nemszingu-láris, azaz zéró módussal nem rendelkező K-ra érvényes)∣∣∣A− ω2

1

∣∣∣ ≡ ∣∣∣M−1K− ω21

∣∣∣ = 0 ∼∣∣∣K− ω2M

∣∣∣ = 0 ∼∣∣∣ω−2

1−K−1M∣∣∣ = 0. (14.14)

14.1.1. Példa. 2× 2-es mátrix sajátértékproblémája

|A− α1| = 0 =∣∣∣∣∣a11 − α a12a21 a22 − α

∣∣∣∣∣ = α2 − α Tr A + |A| (14.15)

⇒ α± = 1/2

(Tr A±

√(Tr A)2 − 4|A|

). (14.16)

14.1. Gyakorló feladat. Határozzuk meg a sajátvektorokat! [2]14.1.2. Példa. Kettős inga: A Lagrange-függvényt alkotó kinetikus és potenciális energiákat a 6.2.8. példában írtukfel. Az egyensúlyi helyzet ϕ∗1 = ϕ∗2 = 0, amely körül

K = m1 +m2

2 l21qϕ1

2 + m2

2 l22qϕ2

2 +m2l1l2qϕ1

qϕ2, (14.17)

V = g

2(m1 +m2)l1ϕ21 +m2

g

2 l2ϕ22 −m1gl1 −m2g(l1 + l2)︸ ︷︷ ︸

állandó, elhagyjuk

. (14.18)

2018. december 18. 21:59:34 208

14.1 Sajátrezgések konzervatív, időfüggetlen rendszerben 14 KIS REZGÉSEK AZ EGYENSÚLY KÖRÜLMátrix alakban

K = 12( qϕ1,

qϕ2)

M( qϕ1qϕ2

), M =

[(m1 +m2)l21 m2l1l2

m2l1l2 m2l22

], (14.19)

V = 12(ϕ1, ϕ2

)K(ϕ1ϕ2

), K =

[g(m1 +m2)l1 0

0 gm2l2

]. (14.20)

A karakterisztikus egyenlet

∣∣∣1ω−2 −A∣∣∣ = 0, ahol A = K−1M =

l1g

m2

m1 +m2

l2g

l1g

l2g

. (14.21)

A 2× 2-es mátrixokra vonatkozó (14.15) képlet alkatrészei

Tr A = l1 + l2g

, |A| = l1l2g2 −

l1l2g2

m2

m1 +m2=

l1l2m1

g2(m1 +m2), (14.22)

ahonnan a

∆ = g2((Tr A)2 − 4|A|

)= (l1 + l2)2 − 4 m1l1l2

m1 +m2(14.23)

jelöléssel a sajátfrekvenciák (a nagyobbat jelöljük ω+-szal)

ω−2± = 1/2

(Tr A∓

√(Tr A)2 − 4|A|

)= 1

2g[(l1 + l2)∓

√∆]⇒

ω2± = 2g l1 + l2 ±

√∆

(l1 + l2)2 −∆ = g

2m1 +m2

m1l1l2(l1 + l2 ±

√∆). (14.24)

2018. december 18. 21:59:34 209

14.1 Sajátrezgések konzervatív, időfüggetlen rendszerben 14 KIS REZGÉSEK AZ EGYENSÚLY KÖRÜLA jobb oldal fizikai dimenziója [g/l], valóban frekvencia négyzet.

Ha a belső kar nagyon rövid, azaz l1 → 0, akkor

∆→ l22, (14.25)

ahonnan azonnal látszik, hogy

ω+ →∞. (14.26)

E „végtelen” gyorsan rezgő módus a belső kar infinitezimálisan kicsiny voltának a következménye. A másik frekvenciaszámításához ∆ kifejezésében az l1-ben lineáris rendet is figyelembe kell vennünk

∆ ∼ l22 + 2l1l2(

1− 2m1

m1 +m2

)⇒√

∆ ∼ l2 + l1

(1− 2m1

m1 +m2

), (14.27)

amelyből

ω2− →

g

l2. (14.28)

Ez a külső karra vonatkozóan a matematikai ingára ismert képlet. A módusok pontos és a limeszben felvett alakjátaz alábbi gyakorló feladatot megoldva kapjuk.

14.2. Gyakorló feladat. Határozzuk meg a normálmódusokat, azaz az a± = c(1, β±) sajátvektorokat, s vizsgáljuk azl1 → 0 határesetet! [3]

2018. december 18. 21:59:34 210

15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUS

15. A Hamilton-függvény és a kanonikus formalizmus15.1. Legendre-transzformáció egy változóban

g

f(x)

xf’(x)

x

64. ábra. A Legendre-transzfor-mációhoz.

Tekintsünk olyan f(x) függvényt, amelynek deriváltja egyértelműen megha-tározza x-et, azaz

y = f ′(x) ≡ y(x) (15.1)invertálható. Ez teljesül, ha f ′′(x) állandó előjelű az ilyen f(x) vagy konvex,vagy konkáv, általunk most adott összefoglaló néven konkex. Jelölje az inverzetx(y), amellyel vezessük be a következő függvényt

g(y) = [xf ′(x)− f(x)]x(y) = x(y)y − f(x(y)). (15.2)

Ez az f(x) Legendre-transzformáltja (LT). A 64. ábra mutatja, hogy a g azérintő negatív tengelymetszete. Differenciálva g-t kapjuk

g′(y) = x′(y)y + x(y)− f ′(x)x′(y) = x(y), (15.3)azaz g′(y) és f ′(x) egymás inverze. A (15.2) argumentumába az y(x) függvényt írva nyerjük

f(x) = xf ′(x)− g(y(x)) = [g′(y)y − g(y)]y(x) . (15.4)

Ez az inverz LT, amely a (15.1,15.2) definíció szerint éppen a g(y) transzformáltja. A LT-t kétszer alkalmazva tehátaz eredeti függvényt nyerjük vissza. Az f és g függvényt LT pároknak is nevezik.15.1. Gyakorló feladat. Függvény konvex, ha minden húrjának egy pontja sem esik a görbe alá, szigorúan konvex,ha minden húr minden pontja a végpontjai kivételével a görbe fölé esik. Mit gondol, elég a konvexitás, vagy szigorúkonvexitás szükséges a LT-hoz? Magától értetődően a kérdés konkávitással is feltehető, összességében pedig értel-mezhető a konkexitás, ill. szigorú konkexitás. A kérdés tehát az, vajon a LT-hoz a laza avagy a szigorú konkexitásszükséges? [2]

2018. december 18. 21:59:34 211

15.2 Legendre-transzformáció 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUS15.2. Legendre-transzformáció több változóban

A fentieket általánosíthatjuk többváltozós f(x) skalár értékű függvényre. Tegyük fel, hogy a gradiens invertálhatóy = ∇f(x) ⇒ x = x(y), (15.5)

amelyről "érezzük", hogy magasabb dimenziós konkex függvényekre teljesül. Például egy kúpfelület, mely nem szigo-rúan konkex, alkotója mentén ugyanaz a gradiens, ezért ez nem invertálható, viszont egy paraboloid, mely szigorúankonkex, különböző pontjaiban a gradiensek is különböznek, a gradiens tehát invertálható.

Definiáljuk a LT-t a következő relációvalg(y) = x(y) · y − f(x(y)). (15.6)

Ennek gradiense (az xi szerinti parciális deriválás ∂i rövidített jelölésével)

∇g(y) = x(y) +∑i

yi∇xi −∑i

∂if ∇xi = x(y), (15.7)

azaz ∇f(x) és ∇g(y) egymás inverze. A gradiens a saját változóban értendő.A LT inverzét akkor kapjuk, ha a (15.6)-ba az y(x)-t helyettesítjük

f(x) = x · y(x)− g(y(x)). (15.8)Tehát több változó esetén is a LT önmaga inverze.

15.3. Paramétertől való függésHa a LT olyan függvényre hat, amelyben más, a LT által nem érintett, "külső" α paraméter is fellép, akkor α-tól

általában minden szereplő mennyiség függeni fog (∇ az x szerinti gradienst jelenti most is)y(x, α) = ∇f(x, α) ⇒ x(y, α) ⇒ g(y, α) = y · x(y, α)− f(x(y, α), α). (15.9)

2018. december 18. 21:59:34 212

15.4 Hamilton-egyenletek 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUSHatározzuk meg a paraméter szerinti deriváltat (∂αf -ben a saját x változót tartjuk állandónak, ∂αg-ben és ∂αx-benaz y-t)

∂αg(y, α) = y · ∂αx− ∂αf −∇f · ∂αx = −∂αf(x(y), α). (15.10)

Tehát LT párok "külső" paraméter szerinti deriváltjai egymás ellentettjei.Konkrét példákban „külső” paraméternek tekinthetünk olyan változókat, melyektől az f függvényünk függ, de a

LT-ban nem érintettek. Ilyen változó több lehet, α1, α2 . . . , melyek mindegyikére érvényes a (15.10) reláció.

15.4. Hamilton-egyenletek potenciálmozgásokraAz eddig vizsgált mechanikai rendszerekben a sebességfüggést a kinetikus energia hordozta, amely minden

descartes-i sebességkomponensben konvex. Számos fizikai rendszerben ez a tulajdonság az általános koordináták-ban is teljesül, azaz a Lagrange-függvény a q

qi-től konvex módon függ.A LT-t a sebességekben végezzük, ezért a kanonikus impulzusok lesznek az új változók, amelyekről feltesszük,

hogy a sebességekre invertálhatók. Más szóval a rendszer helyzetét és mozgásállapotát a (p, q) fázistérbeli pozíciójaegyértelműen jellemzi. A t időt és a q koordinátákat "külső" paraméternek tartva az új változó tehát

p = ∇ qq L(q, q

q, t) ⇒ qq = q

q(p, q, t). (15.11)

A Lagrange-függvény LT-ja a Hamilton-függvény

H(q,p, t) =[ qq · p− L

] pq(p,q)

(15.12)

Ez éppen a korábban vizsgált energia, melyet most az impulzusok függvényének tekintünk. A 15.2 és 15.3 fejezetekbelijelöléssel tehát a következő megfeleltetést tehetjük

f ∼ L, x ∼ qq, y ∼ p, g ∼ H, α ∼ (q, t), (15.13)

2018. december 18. 21:59:34 213

15.4 Hamilton-egyenletek 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUSahol a legutolsó megfeleltetés úgy értendő, hogy minden qj és a t „külső” paraméternek tekinthető a LT szempontjából,mely utóbbi csak a q

qj változókban történik. Vegyük észre, hogy a tény, miszerint a qqj sebességek a qj koordináták

időderiváltjai, nem akadálya annak, hogy a LT szemszögéből független változóknak tekintsük őket.Tehát az L Lagrange- és a H Hamilton-függvény LT párt alkotnak. A (15.11) inverz relációját most így írhatjuk

x = ∇g ∼ qq = ∇pH, (15.14)

ez a LT tulajdonsága! Mint láttuk a 15.3 fejezetben, a LT pároknak a LT-ban részt nem vevő változók szerintideriváltjai egymás ellentettjei, márpedig most a qi koordináták éppen ilyen külső változók

qi ∼ α ⇒ ∂H

∂qi= −∂L

∂qi= − q

pi, (15.15)

ahol felhasználtuk a mozgásegyenleteket.Összegezve, a (p, q) fázistérbeli trajektóriát aq

q = ∇pH,qp = −∇qH (15.16)

ún. Hamilton-egyenletek határozzák meg, melyeket kanonikus egyenleteknek is neveznek. Komponensekkel kiírva∂H

∂pi= qqi,

∂H

∂qi= − q

pi, (15.17)

összesen 2f elsőrendű differenciálegyenlet. Fizikailag ekvivalensek az Euler–Lagrange-egyenletekkel. Numerikus szi-mulációra azonban gyakran a Hamilton-egyenletek alkalmasabbak. A a Hamilton-formalizmus jelentősége ennél lé-nyegesen mélyebb, mint későbbi tanulmányaik során látni fogják, a kvantummechanikában alapvető szerepet játszik.Mechanikai rendszerek vizsgálatához gyakran közvetlenül a Hamilton-függvényt írjuk fel.15.2. Gyakorló feladat. Hogyan módosulnak a Hamilton-egyenletek kényszerek jelenlétében, azaz ha az Euler–Lagrange-egyenletek alakja (13.35)? [4]

2018. december 18. 21:59:34 214

15.5 Időbeli változás a pálya mentén 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUS15.5. Időbeli változás a pálya mentén

Mint a 15.3 fejezetben láttuk, LT párok külső paraméter szerinti deriváltjai egymás ellentettjei, ezért∂H

∂t= −∂L

∂t. (15.18)

A Hamilton-függvény sajátja, hogy teljes időderiváltja a fizikai pálya mentén ugyanezdHdt = ∂H

∂t+ ∇pH ·

qp︸︷︷︸

−∇q H

+∇qH ·qq︸︷︷︸

∇pH

= ∂H

∂t= −∂L

∂t. (15.19)

Ez természetesen egybevág az energia időderiváltjáról korábban megismert relációval.

15.6. Ciklikus koordinátaHa a Lagrange-függvény nem függ valamely qk-tól, akkor a Hamilton-függvény sem

0 = ∂H

∂qk= − q

pk ⇒ pk = áll. (15.20)

15.7. Részleges Legendre-transzformált: a Routh-függvény (*)Célszerű lehet egyes esetekben nem az összes általános koordináta sebességét impulzussá transzformálni. Ha aq

q1, . . .qqk-kat megtartjuk, s a q

qk+1, . . .qqf sebességekből impulzusokra térünk át, akkor kapjuk a Routh-függvényt

pj = ∂L

∂qqj, j = k + 1, . . . , f, ⇒ q

qj = qqj(q,

qq1, . . . ,

qqk, pk+1, . . . , pf ), (15.21)

R =f∑

j=k+1pj

qqj − L = R(q, q

q1, . . . ,qqk, pk+1, . . . , pf ). (15.22)

2018. december 18. 21:59:34 215

15.7 Routh-függvény 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUSNyilván k = 0 éppen a Hamilton-függvényt adja. (Az esetleges időfüggést nem írtuk ki.)

A mozgásegyenletek az első k változóra Euler–Lagrange-egyenletek, a maradék f − k-ra Hamilton-típusúak

ddt∂R

∂qqi

= ∂R

∂qi, i = 1, . . . , k, (15.23)

qpj = −∂R

∂qj,

qqj = ∂R

∂pj, j = k + 1, . . . , f. (15.24)

Az első sor éppen az Euler–Lagrange-egyenlet az i ≤ k indexekre, ugyanis az ilyen indexű koordináták és sebességeka LT szemszögéből „külső” paraméterek, tehát a Lagrange- ill. Routh-függvény szerintük való deriváltjai egymásellentettjei. A második sor első egyenlete az Euler–Lagrange-egyenlet a j > k indexekre, míg a második egyenlet aLT alaptulajdonsága (a transzformált függvénynek az új változó szerinti deriváltja a régi változó).

A Routh-függvény jól alkalmazható, ha ciklikus koordináták sebességeit kiküszöbölve a megmaradó impulzuso-kat szeretnénk látni az Euler–Lagrange-egyenletben. Ha a j > k indexű koordináták ciklikusak, akkor a (15.24)első egyenlete nullát ad, a második a sebesség és az impulzus közötti relációt definiálja, s a (15.23) a megmaradóimpulzusok visszahelyettesítése mellett adja a mozgásegyenleteket a nem-ciklikus koordinátákra.

15.3. Gyakorló feladat. Írjuk fel a Routh-függvényt s vele a mozgásegyenleteket kétdimenziós centrális mozgásokra,kitranszformálva a szögsebességet, de megtartva a radiális sebességet. [3]15.4. Gyakorló feladat. Az f szabadsági fokú rendszerünk mozgásegyenletei legyenek a qi általános koordinátákkalképzett Euler–Lagrange-egyenletek. Lássuk be azt, hogy ha egy ciklikus koordináta (mondjuk a qf ) impulzusát ál-landónak tartjuk, akkor általában nem tűnhet el a qf variációja az időbeli végpontokban! A hatás variációját milyentaggal kell kiegészítenünk ahhoz, hogy az egészet zérussal egyenlővé téve a mozgásegyenleteket helyesen kapjuk?Mutassunk rá, hogy az eredmény ekvivalens a Routh-függvény fent tárgyalt tulajdonságaival. [6]

2018. december 18. 21:59:34 216

15.8 Példák a hamiltoni mechanikára 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUS15.8. Példák a hamiltoni mechanikára15.8.1. Egydimenziós potenciálmozgás

A potenciálban megengedünk időfüggést, az energia általában nem marad meg.

L(x, qx, t) = m

qx2

2 − V (x, t) ⇒ p = mqx ⇒ H = (p q

x− L)∣∣∣∣ px=p/m

= p2

2m + V (x, t) = H(x, p, t), (15.25)

θ

z

r

x

y

ϕ

65. ábra. Kúpfelület koordinátái.

qp = −∂H

∂x= −∂V (x, t)

∂x,

qx = ∂H

∂p= p

m. (15.26)

15.8.2. Tömegpont kúpfelületen: centrális mozgás

Legyen a kúp nyílásszöge θ (állandó), ekkor z = r ctg θ, ld. a 65. ábra. Innen

|v|2 = qr2 + r2 q

ϕ2 + qr2 ctg2θ =

qr2

sin2 θ+ r2 q

ϕ2, (15.27)

L = m

2

( qr2

sin2 θ+ r2 q

ϕ2)−mgr ctg θ, (15.28)

pr = mqr

sin2 θ, pϕ = mr2 q

ϕ = Jz, (15.29)

H = 12m

(p2r sin2 θ +

p2ϕ

r2

)+mgr ctg θ. (15.30)

Megjelent a centrifugális potenciál! Megjegyzés: Az állandó impulzusmomentum a Hamilton-függvénybe visszahe-lyettesíthető, míg a Lagrange-függvénybe egyszerűen visszaírni nem lehetett, ld. a 6.2.7. példa.15.5. Gyakorló feladat. Írjuk fel a hamiltoni mozgásegyenletet! [3]

2018. december 18. 21:59:34 217

15.8 Példák a hamiltoni mechanikára 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUS15.8.3. Csillapított harmonikus oszcillátor (*)

Mint tudjuk, csillapított rendszerek a Lagrange–Rayleigh-mechanikával írhatók le. A harmonikus oszcillátor azon-ban különleges Lagrange-függvény segítségével mint egyetlen funkcionál stacionárius pontja is előállítható, éspedig

L = eαt(m

qx2

2 − mω20

2 x2)⇒ p = eαtm

qx, F = −eαtmω2

0x, (15.31)

−E = qp− F = αeαtm

qx+ eαtm

q qx+ eαtmω2

0x = 0. (15.32)

Innen a lineáris, csillapított oszcillátor mozgásegyenletét kapjukq qx+ α

qx+ ω2

0x = 0 (15.33)

Kanonikus formalizmussal

H = pqq − L = p

p

meαt− 1

2p2

meαt+ eαt

mω20

2 x2 = e−αtp2

2m + eαtmω2

02 x2 (15.34)

qp = −∂H

∂x= −eαtmω2

0x,qx = ∂H

∂p= e−αt

p

m, (15.35)

ekvivalens az Euler–Lagrange-egyenlettel. Megjegyzés: A korábban tárgyalt Lagrange–Rayleigh-formalizmus tetszőle-ges sebességfüggő csillapítás esetén használható, ez a példa lineáris sebességfüggés mellett működik.

15.6. Gyakorló feladat. Használható-e a fenti Lagrange-függvény (a) általános egydimenziós V (x) potenciálra; (b)több, különböző csillapítási állandójú tömegpontra; (c) sebességben nem lineáris súrlódási erőre? [2-2-2]

2018. december 18. 21:59:34 218

15.8 Példák a hamiltoni mechanikára 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUS15.8.4. Inhomogén tömegmátrix

Az általános koordinátákra való áttérés eredményeképpen a kinetikus energia kvadratikus a sebességekben, mi-közben a koordinátától is függhet, azaz

L = K − V = 12

qqM(q) q

q − V (q, t). (15.36)

A kanonikus impulzus és a sebességek kapcsolata

p = ∇ qq L = M(q) q

q ⇒ qq = M−1(q)p (15.37)

A Hamilton-függvény maga az energia q-val és p-vel kifejezve

E = K + V = 12

qqM(q) q

q + V (q, t) = 12 pM−1(q)p+ V (q, t) = H(q,p, t) (15.38)

Ha ∂V/∂t = 0, akkor 0 = ∂H/∂t = dH/dt, azaz az energia a pálya mentén megmarad.15.7. Gyakorló feladat. Írjuk fel a kvadratikus kinetikus energia és általános potenciál esetén érvénye Euler–Lagrange-ill. Hamilton-egyenleteket, s közvetlenül lássuk ezek ekvivalenciáját. [2]

15.8.5. Töltött részecske mozgása elektromágneses térben

Felidézzük a töltött részecske (6.232) Lagrange-függvényét

L(r, qr, t) = m

2 |qr|2 + e

cA

qr − eφ, (15.39)

ahol A(r, t) és φ(r, t) a hely és idő adott függvényei. A kanonikus impulzus

p = ∂L

∂qr

= mqr + e

cA, (15.40)

2018. december 18. 21:59:34 219

15.9 Variációs elv a fázistérben 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUSmelynek alapján az energia

H = pqr − L = m| qr|2 + e

cA

qr − 1

2m|qr|2 − e

cA

qr + eφ = 1

2m|qr|2 + eφ. (15.41)

Az energiában nem szerepel az A tér! Azonban a Hamilton-függvényt az impulzussal kell kifejeznünk, ezért

H(r,p, t) = 12m

∣∣∣∣p− e

cA∣∣∣∣2 + eφ. (15.42)

Ezen Hamilton-függvény a tér és anyag kölcsönhatásának alapvető mennyisége, tartalmazza a klasszikus Lorentz-erő„információját”, s egyben a kvantummechanikai leírás kiindulópontja. A benne szereplő kanonikus impulzus nem atisztán mechanikai mv, hanem ahhoz a tér impulzusa is járulékot ad.15.8. Gyakorló feladat. Írjuk fel a hamiltoni mozgásegyenleteket, s ellenőrizzük, ekvivalensek-e a Lorentz-erővel felírt(6.238) egyenlettel. [3]15.9. Gyakorló feladat. Adjuk meg a kettős inga Hamilton-függvényét, és írjuk fel a kanonikus mozgásegyenleteket.[4]

15.9. Variációs elv a fázistérbeli trajektóriák felett

Írjuk fel a hatást a trajektória és az impulzus funkcionáljaként

S[q(t)] =w t1

t0L(q, q

q, t)dt =w t1

t0(p qq −H(q,p, t)) dt =

w t1

t0LH(q,p, q

q, t)dt = SH [q(t),p(t)]. (15.43)

Variáljunk oly módon, hogy δq(t) és δp(t) függetlenek, míg a határokon δq(t0) = δq(t1) = 0 (az impulzusra ilyenkikötést nem szükséges tennünk, hiszen annak időderiváltja nem fordul itt elő). Az LH-ra vonatkozó Euler–Lagrange-egyenletek éppen a hamiltoni mozgásegyenleteket adják

Eq = −∇qH −qp = 0 , Ep = q

q −∇pH = 0 . (15.44)Tehát a Hamilton-elvet a fázistér változóival is megfogalmazhattuk.

2018. december 18. 21:59:34 220

15.10 Liouville tétele 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUS15.10. Liouville tétele

Jelöljük a fázistérbeli helyet az X = (q,p) vektorral, melynek sebességtereqX = V (X) =

( qqqp

)=(

∇pH−∇qH

)(15.45)

Ennek divergenciája a fázistérbendivXV = ∇q∇pH −∇p∇qH = 0. (15.46)

A divergenciamentes sebességtér következményeképpen összenyomhatatlan "áramlás" folyik a fázistérben. Más szóvaladott fázistérbeli pontok által kitöltött fázistérfogat időben megmarad.

15.11. Poisson-zárójelek (*)15.11.1. Definíció

Valamely A(q,p, t) mennyiség megváltozását a (q(t),p(t)) fázistérbeli trajektória mentén a következőképpenírhatjuk

dAdt = ∂A

∂t+∑i

(∂A

∂qi

qqi + ∂A

∂pi

qpi

)= ∂A

∂t+∑i

(∂A

∂qi

∂H

∂pi− ∂A

∂pi

∂H

∂qi

)= ∂A

∂t+ A,H. (15.47)

Vezessük be a következő Poisson-zárójel-et

A,B =∑i

(∂A

∂qi

∂B

∂pi− ∂A

∂pi

∂B

∂qi

)= ∇qA ·∇pB −∇pA ·∇qB. (15.48)

Például a kanonikus mozgásegyenleteket is írhatjuk Poisson-zárójelekkelqqi = qi, H,

qpi = pi, H. (15.49)

2018. december 18. 21:59:34 221

15.11 Poisson-zárójelek (*) 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUS15.11.2. Tulajdonságai

Foglaljuk össze a Poisson-zárójel néhány tulajdonságát

A,B = −B,A ⇒ A,A = 0 ⇒ dHdt = ∂H

∂t, (15.50)

A, (B + C) = A,B+ A,C, (15.51)A,BC = A,BC +BA,C, (15.52)

qi, A = ∂A

∂pi, A, pi = ∂A

∂qi, (15.53)

speciálisan: qi, qj = 0, pi, pj = 0, qi, pj = δij. (15.54)

15.10. Gyakorló feladat. Mutassuk meg azokat a tulajdonságokat, melyeket nem találunk nyilvánvalónak. [2]Fennáll továbbá a Jacobi-azonosság

f, g, h+ g, h, f+ h, f, g = 0, (15.55)

melynek bizonyítását a C.1 függelékben közöljük.

15.11.3. Mozgásállandók

Az időtől expliciten nem függő A(q,p) mennyiség mozgásállandó, ha

dAdt = A,H = 0, (15.56)

ezért a H(q,p) = E mindig mozgásállandó.

2018. december 18. 21:59:34 222

15.11 Poisson-zárójelek (*) 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUS15.11.4. Tömegpont impulzusmomentuma

Az impulzusmomentum komponenseinek egymással vett Poisson-zárójeleit könnyen meghatározhatjukJ = r × p ⇒ J1 = r2p3 − r3p2, J2 = r3p1 − r1p3, (15.57)

J1, J2 = ∂J1

∂r3

∂J2

∂p3− ∂J1

∂p3

∂J2

∂r3= p2r1 − r2p1 = J3 ⇒ Ji, Jj =

∑k

εijkJk. (15.58)

15.11. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy Ji, J2 = 0. [2]Az impulzusmomentum zárójele csak a p = |p|-től függő f(p) függvénnyel

Ji, f(p) =∑j

∂Ji∂rj

f ′(p)pjp

=∑j

εijkpkpjf ′

p= 0. (15.59)

HasonlóképpenJi, g(r) = 0, (15.60)

s általában egy A(r, p) függvénnyelJi, A(r, p) = 0. (15.61)

Ebből következik, hogy ha H = H(p, r) = H(p, r), akkor minden komponensre Ji, H = 0, tehát J mozgásál-landó!15.12. Gyakorló feladat. A V (r) = −αm/r potenciálban történő Kepler-mozgás során a (10.46) képlettel bevezetettA Laplace–Runge–Lenz-vektor megmarad. Ellenőrizzük azt, hogy H,Ai = 0. [3]15.13. Gyakorló feladat. Határozzuk meg az Ai, Aj és Ai, Jj zárójeleket. [2-2]

E: 2018.10.26 J | I 2018.11.07 A: 2018.11.07 J | I 2018.11.09

2018. december 18. 21:59:34 223

15.12 Hatásfüggvény és a H–J-egyenlet 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUS15.12. Hamilton–Jacobi-féle mechanika15.12.1. Emlékeztető: az eikonál

A 6.1.6 fejezetben bevezettük az eikonált, amely a hatásfunkcionál stacionárius értéke a megvalósuló q(t) pályamentén mint a kezdő- és végpont függvénye. A lagrange-i mechanika eikonálja

S =w t

t0L(q(t′), q

q(t′), t′) dt′ = S(q, t; q0, t0), (15.62)

ahol q = q(t), q0 = q(t0). A (6.37) kifejezés adja meg az eikonál megváltozását a határpontok kicsiny megváltozá-sával szemben

dS = p dq − p0dq0 −Hdt+H0dt0, (15.63)

ahol az E kanonikus energia helyére most a H Hamilton-függvényt írtuk. Adott kezdeti feltételek mellett, csak avégpont időfejlődését tekintve, természetesen

dS = p dq −Hdt. (15.64)

E formula jelentősége abban áll, hogy a fázistérbeli pálya és a Hamilton-függvény alapján, a hatás ismerete nélkülírhatjuk fel a jobboldalt, mely mindig teljes differenciált állít elő.

15.12.2. Hamilton–Jacobi-egyenlet

Tekintsük az eikonált, melyben most a q0 = q(t0) kezdeti feltételt nem tüntetjük fel, s melynek gradiensét ésidőderiváltját (15.64) alapján felírhatjuk

S = S(q, t), p = ∇q S, −H = ∂S

∂t. (15.65)

2018. december 18. 21:59:34 224

15.13 H–J-egyenlet 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUSMármost helyettesítsük be a második egyenletet a harmadikba, melyből nyerjük a

H(q,∇q S, t) + ∂S

∂t= 0 (15.66)

ún. Hamilton–Jacobi-egyenletet, mely a mechanika eikonál-egyenlete.A (15.66) az S(q, t) mezőre vonatkozó parciális differenciálegyenlet, az eikonál ennek megoldása. A (15.62) eikonál

a kezdeti időpontban nyilvánvalóan eltűnikq(t0) = q0, S(q, t0) ≡ 0. (15.67)

A fázistérbeli trajektóriákkal ekvivalens leírást ad az eikonál mező.A Hamilton–Jacobi-egyenlet előnye, hogy más, a pontszerű KF-nél tágabb KF-ekhez is megoldásokat szolgáltat-

hat. Másszóval, míg az eikonál a Hamilton–Jacobi-egyenletnek tesz eleget, ez utóbbinak más megoldásai is vannak. Azáltalános megoldást Hamilton principális függvényének is nevezik, s alább vázoljuk, miként állíthatók elő a segítségévela trajektóriák. Ezen felül a Hamilton–Jacobi-egyenlet alapvető jelentőséggel bír a kvantummechanika megalapozásá-ban, amennyiben Schrödingert a nevét viselő egyenlet felfedezéséhez a Hamilton–Jacobi-egyenlet vezette. Továbbáaz ún. szemiklasszikus közelítésben a hullámfüggvény alakja Ψ ∼ e

i~S, melyre a Schrödinger-egyenletet alkalmazva

az S ~ tartományban éppen a Hamilton–Jacobi-egyenlethez jutunk.15.14. Gyakorló feladat. Írjuk fel és oldjuk meg az egydimenziós harmonikus oszcillátor Hamilton–Jacobi-egyenletét,ha t = 0-ban az origóból indulunk. [3]15.15. Gyakorló feladat. Írjuk fel a kettős inga Hamilton–Jacobi-egyenletét Milyen alakú lesz kis kitérésekre, [4]

15.13. Hamilton–Jacobi-egyenlet vizsgálata, példák15.13.1. A trajektória meghatározása

A (15.66) egyenlet megoldása alapján a fázistérbeli trajektóriák a következő módon határozhatók meg. Tegyük fel,hogy (egyelőre kezdeti feltételek megadása nélkül) előállítottuk (15.66) általános megoldását. Ebben f számú állandó

2018. december 18. 21:59:34 225

15.13 H–J-egyenlet 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUSlép fel, melyeket az α vektorba rendezünk, s amelyek kapcsolatát a fázistérbeli kezdeti feltételekkel nem szükségesismernünk. Felvéve a hatást, s bevezetve az α szerinti gradiensére a β jelölést,

S = S(q, t;α), β = ∇α S, (15.68)a (15.66) egyenletnek az αi szerinti deriváltját vesszük.

0 = ∇pH∂

∂αi∇q S + ∂

∂αi

∂S

∂t= qq∇q βi + ∂βi

∂t= d

dtβi(q(t), t;α). (15.69)

Az utolsó kifejezés szerint βi a pálya mentén állandó. A q(t) trajektóriát ezen reláció invertálásával kaphatjuk meg,amelyből az impulzus is előáll

β = β(q(t), t;α) = áll. ⇒ q = q(t;α,β) ⇒ p(t;α,β) = ∇q S(q, t;α)|q(t;α,β). (15.70)Végső lépésként a fázistérbeli trajektória q0,p0 kezdeti pontjának 2f adata alapján az α,β állandók 2f számúkomponense határozandó meg.15.16. Gyakorló feladat. Számítsuk vissza az egydimenziós harmonikus oszcillátor fázistérbeli trajektóriáját aHamilton–Jacobi-egyenlet alapján. [3]

15.13.2. Optikai és mechanikai Fermat-elvek

Alább a Hamilton–Jacobi-formalizmusnak a geometriai optikára valamint egyetlen tömegpontra szóló alkalmazásáttárgyaljuk röviden. A két példa érdekessége, hogy összehasonlításuk révén a mechanikai pályákra nézve egy újabb elvetismerhetünk fel.

a. A geometriai optika eikonál-egyenlete

A pálya befutási idejének c-szeresét, azaz az optikai úthosszt a (6.77) kifejezés adja meg, melyet most SF -feljelölünk s a Fermat-elv értelmében stacionarizáljuk. Az idő szerepét most x játssza, a pálya y(x), ehhez pedig a p

2018. december 18. 21:59:34 226

15.13 H–J-egyenlet 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUSimpulzust rendeljük. A 6.1.4. példában mutatott EF kanonikus energiával azonos értékű a Hamilton-függvény

SF [y(x)] =wn(r) d` =

wn(x, y)

√1 + y′2(x) dx =

wLF (y, y′, x) dx, (15.71)

p = ∂LF∂y′

= ny′√1 + y′2

≡ n sinϑ, (15.72)

HF (y, p, x) = py′ − LF = n sinϑ tg ϑ− n

cosϑ = −n cosϑ = −√n2 − p2. (15.73)

A Hamilton–Jacobi-egyenlet most a következő alakot ölti

∂SF∂x

=

√√√√n2 −(∂SF∂y

)2

⇒ |∇SF (r)| = n(r). (15.74)

Ez utóbbi a geometriai optika régóta ismert eikonál-egyenlete, SF neve volt eikonál, mely 3D-ban is hasonló egyenletetelégít ki. Például állandó törésmutatójú közegben egy pontból kiinduló fénysugarak eikonálja a sugárral arányos, ésaz SF =áll. felületek koncentrikus gömbök. Azonos eikonálhoz 2D-ben görbék, 3D-ban felületek tartoznak, ezek azazonos idő alatt elérhető pontokat tartalmazzák, lényegében a hullámfrontoknak felelnek meg. Sík hullámfrontok azn ugrásszerű változása esetén éppen a Snellius–Descartes-törvényben meghatározott szögben törnek.

15.17. Gyakorló feladat. Mutassuk meg az utóbbi állítást 2D-ban. [3]

b. Tömegpont időfüggetlen potenciálban

Most az energia megmarad, ezért

∂S

∂t= −E ⇒ S(r, t) = S0(r)− Et, (15.75)

2018. december 18. 21:59:34 227

15.13 H–J-egyenlet 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUSahol S0 az S eikonál időfüggetlen része. Ilyenformán

H(q,∇q S, t) + ∂S

∂t= 1

2m |∇S0(r)|2 + V (r)− E = 0. (15.76)

Tehát

|∇S0(r)| =√

2m(E − V (r)), (15.77)

azaz a mechanikai eikonál ugyanannak az egyenletnek tesz eleget, mint az optikai úthossz az

nmech(r) =√

2m(E − V (r)) (15.78)

"mechanikai" törésmutatóval. Vegyük észre, hogy nmech dimenziós mennyiség, melyet√

2m|E|-vel osztva dimenziót-laníthatunk.

c. Maupertuis–Euler-elv (*)

A két előző példa összehasonlításából levont következtetésünk szerint az energiát megőrző potenciálmozgás isegyfajta Fermat-elvnek tesz eleget a "mechanikai" törésmutatóval. Következésképpen a tömegpont olyan pályát ír le,amelyen az

SME[r(`)] =wnmech(r)d` =

w √2m(E − V (r))d` (15.79)

Maupertuis–Euler-hatásfunkcionál stacionárius. Szokásos módon itt d` az elemi ívhossz, s az r(`) pályát az ívhosszalparamétereztük.

2018. december 18. 21:59:34 228

15.14 Adiabatikus invariáns (*) 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUSA gyök alatt éppen a |p| impulzus áll, mely az r(`) pálya érintójének irányába mutat, ezért a következő alakok

ekvivalensek

SME[r(`)] =w|p|d` =

wp dr = m

wv dr = m

wv2 dt = 2

wKdt. (15.80)

Az utolsó egyenlőség azt jelzi, hogy a kinetikus energia időintegrálja stacionárius, midőn az energia állandó, s a végsőidőpont határozatlan.

Megjegyzés: Történelmi érdekesség, miszerint Maupertuis eleinte azt gondolta, hogy a Fermat-elvhez hasonlóana mechanikai pályákat is a legrövidebb idő elve határozza meg. Euler írta fel a fenti hatást, melyből jól látszika különbség a két elv között, nevezetesen a fényút az

rd`/v ≡

rn d`/c funkcionál, míg a mechanikai pálya azr

v d` ≡rnmechd` funkcionál stacionaritásának elvét követi. Emlékeztetünk arra, hogy a mechanikában is kiróható

a legrövidebb idő kívánalma, ez a brahisztokron pályáját határozza meg.

15.18. Gyakorló feladat. Mutassuk meg középiskolás eszközökkel a Maupertuis–Euler-elvet. Ehhez elegendő belát-nunk, hogy tömegpont pályája a Snellius–Descartes-törvénynek eleget tesz a "mechanikai" törésmutatóval. [3]

E: 2018.11.07 J | I 2018.11.09

15.14. Adiabatikus invariáns (*)Az alábbiakban megvizsgáljuk, miként változik az energia, ha a rendszer egy paraméterét az időben lassan vál-

toztatjuk. Ezt egy szabadsági fokú rendszeren mutatjuk be, azaz f = 1. A Hamilton-függvény H(q, p;λ) periodikusmozgást határoz meg állandó λ és H(q, p;λ) = E mellett, ezen túl megengedjük λ lassú változását.

15.14.1. Időfüggetlen potenciál

Tekintsük először az állandó λ esetét. Ekkor a (q, p) fázistérbeli pálya p = p(q;E, λ), pl. az 1D potenciálmozgássorán p = ±

√2m

√E − V (q, λ). Feltesszük, hogy a fordulópontokban p = 0.

2018. december 18. 21:59:34 229

15.14 Adiabatikus invariáns (*) 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUSKésőbb szükségünk lesz a következő relációkra, melyek a periodikus mozgást jellemzik

H(q, p;λ) = E ⇒ ∂H

∂p

∂p

∂E= 1, ∂H

∂λ+ ∂H

∂p

∂p

∂λ= 0 ⇒ (15.81a)

qq = ∂H

∂p⇒ ∂p

∂Edq = dq

∂H/∂p= dt ⇒ ∂p

∂λdq = −∂H/∂λ

∂H/∂pdq = −∂H

∂λdt. (15.81b)

qI

p

66. ábra. Fázistérbeli terület.

15.14.2. Fázistérbeli terület

Vizsgáljuk a periodikus mozgás fázistérbeli pályája által közrefo-gott területet

I(E, λ) =zp dq = 2

w qmax

qminp(q;E, λ)dq, (15.82)

ahol a „körintegrál” a zárt fázistérbeli pályára vett integrál hagyo-mányos jelölése. I dimenziója hatás. Számítsuk ki a deriváltjait

∂I(E, λ)∂E

=z ∂p

∂Edq =

w

Tdt = T ⇒ ∂E(I, λ)

∂I= ν. (15.83)

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy azért tehetjük egyenlővé a körintegrált az I deriváltjával, mivel a fordulópontokbanp = 0, ezért a qmin /max határok deriváltjai nem lépnek fel a körintegrál deriváltjában. Összegzésképpen, itt a deriválásés a körintegrál felcserélhető volt.

A fenti reláció általános összefüggést ad a periódusidőre, s ha I(E, λ) invertálható az E(I, λ) alakra, akkor afrekvenciára is.

2018. december 18. 21:59:34 230

15.14 Adiabatikus invariáns (*) 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUSHasonló érveléssel

∂I(E, λ)∂λ

=z ∂p

∂λdq = −

w

T

∂H

∂λdt, (15.84)

ahol az utolsó kifejezés az egy periódusra vett időintegrál. Végül a fentieket összegzi I teljes differenciálja

dI = T dE −(w

T

∂H

∂λdt)

dλ. (15.85)

15.14.3. Lassan változó paraméter

Változzon most a paraméter az időben, λ = λ(t), az egyszerűség kedvéért állandóqλ rátával, s legyen a változás

kellően lassú ahhoz, hogy egy periódus alatt λ közel állandó maradjon. Ilyenkor a periódus alatti

∆E, ∆λ = Tqλ (15.86)

növekmények kicsinyek, melyekkel a (15.85) differenciál vezető rendben megadja a terület változását

∆I ≈ T ∆E −w

T

∂H

∂λdt∆λ = T∆E − T

w

T

∂H

∂λ

qλdt = T

(∆E −

w

T

∂H

∂tdt)

= T(

∆E −w

T

qHdt

)= 0.

(15.87)

Az utolsó előtti egyenlőségben felhasználtuk, hogy H totális és parciális időderiváltjai azonosak. Végeredményként aztkapjuk, hogy I közel állandó, s ezért elnevezése adiabatikus invariáns. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy egy periódusalatt λ és E is közel állandó, azonban ∆I kifejezésében a ∆λ és ∆E egymást kompenzálják, ezért I azoknál islényegesen lassabban változik. Ezért azt mondhatjuk, hogy míg λ és E közel állandó egy periódus alatt, addig I közelállandó hosszú időskálákon is, annál hosszabbakon, minél lassabban változik λ.

2018. december 18. 21:59:34 231

15.14 Adiabatikus invariáns (*) 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUSA jelenséget érzékeltethetjük olyképpen, miszerint λ és E értékei lassan, de jelentősen megváltozhatnak. A fentiek

szerint pedig azt látjuk, minél lassabban éri el λ és E az új értékét, annál közelebb maradhat az I adiabatikus invariánsa kiinduló értékéhez. Ezért a határesetben

I(E(t), λ(t)) = áll. ⇒ E(t) = E(I, λ(t)) (15.88)

az energiának a lassú paramétertől való függése jelentős változást eredményezhet.

15.14.4. Harmonikus oszcillátor és az 1/r potenciál

15.14.1. Példa. Harmonikus oszcillátor: A fázistérbeli p(q) pálya

q = A cosωt, p = −Amω sinωt ⇒ a pálya ellipszis a = A, b = Amω féltengelyekkel. (15.89)

Innen az adiabatikus invariáns

I =zpdq = πab = πA2mω = 2π

ωE = E

ν(15.90)

Most ν felel meg a λ paraméternek, tehát ν = ν(t) lassú változása esetén

E ∝ ν. (15.91)

Az energia a sajátfrekvenciával arányosan változik!Annak jelentősége, hogy az adiabatikus invariáns E/ν, a kvantumelmélet megalapozásában fontos szerepet ját-

szott, amennyiben a fizikai intuíció megengedte, hogy a h hatáskvantum e hányados értékét határozza meg.15.14.2. Példa. Lassan változó Coulomb vagy gravitációs potenciál – dimenzióanalízissel: Ha , vagy a centrum töltésevagy a gravitációs vonzócentrum tömege, esetleg a gravitációs „állandó” kellően lassan változik, akkor a

V (r) = −βr

(15.92)

2018. december 18. 21:59:34 232

15.14 Adiabatikus invariáns (*) 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUSpotenciál egy periódus alatt időben közel állandó. Mivel ez f = 3 szabadsági fokú rendszer q = (r, θ, ϕ), ezértlétezik több adiabatikus invariáns, melyekhez bonyolultabb számításra van szükség. Alább ezeket dimenzióanalízisselbecsüljük

[I] = [hatás] = ml2

t, [E] = ml2

t2(15.93)

E ∝ maβbIc ⇒ ml2

t2= ma

(ml3

t2

)b (ml2

t

)c(15.94)

1 = a+ b+ c , 2 = 3b+ 2c , 2 = 2b+ c ⇒ b+ c = 0 ⇒ a = 1 , b = 2 , c = −2. (15.95)

E ∝ mβ2

I2 (15.96)

Innen intuitív alapon következően, ha β(t) kellően lassan változik, akkorE ∝ β2. (15.97)

Példáként említjük, ha egy nagy gravitációs vonzócentrum tömege lassan változik, akkor a körülötte keringő testenergiája a centrum tömegének négyzetével arányos.

Részletes, itt nem közölt számítással a véges pályákra kapjuk

Ii =zpidqi ⇒ E = − 2π2mβ2

(Ir + Iϕ + Iθ)2 . (15.98)

Vegyük észre, hogy mindhárom koordináta frekvenciája azonos, azaz ∂E/∂Ii ≡ ν, amely az ellipszis pályák zártságávaláll összefüggésben.15.19. Gyakorló feladat. Határozzuk meg dimenzióanalízissel, milyen hatvány szerint függ az energia az általánosV (x) = A|x|a hatvány potenciál A együtthatójától ennek lassú változása esetén? [3]

2018. december 18. 21:59:34 233

15.14 Adiabatikus invariáns (*) 15 A HAMILTON-FÜGGVÉNY ÉS A KANONIKUS FORMALIZMUS15.14.5. Kvantummechanikai kitekintés: a korrespondencia elv

A kvantummechanika értelmezése szerint adott potenciálban magasan gerjesztett kötött állapotok „keringő”hullámcsomagként képzelhetők el. A korrespondencia elve azt követeli meg, hogy nagy n-re

∆E(n)∆n = E(n+ 1)− E(n) ≈ hν, (15.99)

azaz a keringő részecske olyan frekvenciájú sugárzást bocsásson ki (sugárzás elnyelése esetében olyan beeső rezgésrerezonáljon), melynek egy energiakvantuma éppen a szomszédos pályára ugrásnak megfelelő energiakülönbség.

Ez a fizikailag plauzibilis feltétel éppen az adiabatikus invariáns

I = I(n) = h(n+ áll.) (15.100)

kvantálási feltételéhez vezet. Valóban, ekkor ∆I(n) = h, mellyel

ν ≈ ∆E(n)∆I(n) = E(n+ 1)− E(n)

h, (15.101)

következésképpen a korrespondencia elv a (15.99) alakban fennáll! A fenti Bohr–Sommerfeld-kvantumfeltétel az ún.szemiklasszikus határesetben, amidőn az energianívók különbsége kicsinnyé válik, egzaktul érvényes.

Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a fenti gondolatmenetben nem használtuk ki a Coulomb-potenciál alakját! Nohaaz eredeti korrespondencia elvet arra mondták ki, az adiabatikus invariáns, az energia és a frekvencia kapcsolataáltalános potenciálra fennáll , emiatt a korrespondencia elv az eredetinél szélesebb érvényű.

2018. december 18. 21:59:34 234

16 MEREV TESTEK

16. Merev testek16.1. Szögsebesség invarianciája (m)

A merev testet az definiálja, hogy benne minden pontpár távolsága állandó. Ebből következően létezik a K, atesthez kötött koordinátarendszer, amelyben a test minden pontja áll. Legyen az L labor rendszer inerciarendszer,melyben a K origójának sebessége V . Mint korábban láttuk, ha K az ω szögsebességgel forog, akkor L-ből nézveegy pont sebessége

v = V + ω × r, (16.1)

ahol r a K-beli helyvektor L-ből leírva. Toljuk el a K rendszer O origóját az a vektorral az O-ba, ez a K testhezrögzített rendszer origója

r = r + a, v = V + ω × a+ ω × r = V + ω × r, (16.2)

ahol V az O sebessége az L-ből nézve. Tehát az ω szögsebesség invariáns az origó megválasztására, a testet jellemzi.

16.2. Tehetetlenségi nyomaték tenzor (m)A kinetikus energia az L labor rendszerből (16.1) felhasználásával

K =12∑k

mk|vk|2 = 12∑k

mk

|V |2 + 2V (ω × rk) + |ω × rk|2

=1

2MV 2 +MV (ω ×R) + 12∑k

mk

|ω|2r2

k − (ωrk)2

= Ktr +Kkev +Krot, (16.3)

ahol R a testhez rögzített K rendszer origójától mérve a tömegközéppont helyvektora L-ben megadva. (A koordiná-tarendszer és a kinetikus energia K jelei nem tévesztendők össze.) A kinetikus energiát transzlációs, kevert és rotációs

2018. december 18. 21:59:34 235

16.2 Tehetetlenségi nyomaték tenzor (m) 16 MEREV TESTEKjárulékokra bontottuk. Ha V ,R,ω közül kettő párhuzamos, vagy bármelyikük eltűnik, akkor Kkev = 0. Két gyakoriesetet érdemes kiemelni, egyrészt azt, ha nincs rögzített pontja a testnek, amikor is a tömegközéppontba célszerűa testhez rögzített rendszer origóját helyezni és emiatt Kkev = 0, másrészről azt, amikor egy rögzített pontja körülforog, amelyet az origónak választva csak a Krot lehet nemzérus.

Vizsgáljuk a rotációs kinetikus energiát

Krot = 12∑k

mkω1r2

k − rk rkω = 1

2ωΘω, (16.4)

ahol bevezettük a tehetetlenségi nyomaték tenzort

Θ =∑k

mk

1r2

k − rk rk, Θij =

∑k

mk

(δijr

2k − rkirkj

). (16.5)

Folytonos tömegeloszlásraw

d3r ρ(r)t =∑k

mk t ⇒ Θ =w

d3r ρ(r)(1r2 − r r

), Θij =

wd3r ρ(r)

(δijr

2 − rirj). (16.6)

Mátrix alakban

Θ =w

d3r ρ

x22 + x2

3 −x1x2 −x1x3−x1x2 x2

1 + x23 −x2x3

−x1x3 −x2x3 x21 + x2

2

. (16.7)

Számítások során néha érdemes az alábbi Γ tenzort meghatározni, amelyből

Γ =w

d3r ρ(r)r r ⇒ Θ = 1 Tr Γ− Γ. (16.8)

2018. december 18. 21:59:34 236

16.2 Tehetetlenségi nyomaték tenzor (m) 16 MEREV TESTEKA ΘTKP tömegközépponti tehetetlenségi nyomaték felhasználásával tetszőleges origó körüli Θ kifejezhető. Legyen

az r a tömegközépponttól mért helyvektor (MR =r

d3r ρ(r)r = 0 ), s határozzuk meg a tehetetlenségi nyomatékotaz a-val eltolt origóhoz képest

Θ =w

d3r ρ(r)(1|r − a|2 − (r − a) (r − a)

)=

wd3r ρ(r)

(1(r2 + a2 − 2ar)− r r − a a+ a r + r a

)=ΘTKP +M(1a2 − a a). (16.9)

Ez Steiner tétele.Mivel Θ szimmetrikus, ortogonális sajátrendszere van — ezek a főtengelyek. A Θk sajátértékek valósak, ezek a

fő tehetetlenségi nyomatékok, amelyeket A,B,C-vel is szokásos jelölni. Fejtsük ki a szögsebességet a sajátvektorokszerint

Θek = Θkek, ω =∑k

ωkek. (16.10)

A kinetikus energia ekkor

Krot = 12∑k

Θkω2k ≡

12(Aω2

1 +Bω22 + Cω2

3). (16.11)

Krot = áll.: tehetetlenségi ellipszoid. Fél tengelyei a =√

2Krot/A, stb.A diagonális mátrixelemek között háromszög-egyenlőtlenségek állnak fenn

Θ11 + Θ22 =w

d3r ρ(r)(x2

2 + x23 + x2

1 + x23

)≥

wd3r ρ(r)

(x2

1 + x22

)= Θ33, stb. (16.12)

A fő tehetetlenségi nyomatékokra A+B ≥ C, B + C ≥ A, C + A ≥ B.

2018. december 18. 21:59:34 237

16.3 Impulzusmomentum (m) 16 MEREV TESTEK

Elnevezések:Gömbi pörgettyű A = B = C pl. szabályos testekSzimmetrikus pörgettyű A = B 6= C pl. forgástestekRotátor A = B, C = 0 pl. tömegpontok egyenes menténAszimmetrikus pörgettyű A 6= B 6= C 6= A

16.3. Impulzusmomentum (m)A rotációs járulék

J =w

d3r ρ(r) [r × (ω × r)] =w

d3r ρ(r)[ωr2 − r(ωr)

]= Θω = ∇ωKrot. (16.13)

Ha ω az egyik főtengellyel párhuzamos, akkor J ‖ ω.16.1. Gyakorló feladat. Írjuk fel a teljes impulzusmomentumot a transzlációs mozgást is figyelembe véve, ha R0 aK origójába mutat és a sebesség v =

qR0 + ω × r. [2]

16.4. Mozgásegyenletek (m)16.4.1. Teljes impulzus

P =∑k

pk =∑k

mkqrk = MV , ahol V = M−1∑

k

mkvk. (16.14)

A transzlációs mozgásegyenlet qP =

∑k

qpk =

∑k

fk = F , (16.15)

ahol F a testre ható teljes külső erő. A belső erők kioltják egymást Newton III. törvénye szerint, akkor is, ha nemcentrálisak.

2018. december 18. 21:59:34 238

16.4 Mozgásegyenletek (m) 16 MEREV TESTEK16.4.2. Teljes impulzusmomentum

J =∑k

rk × pk ⇒qJ =

∑k

(vk × pk + rk ×qpk) =

∑k

rk × fk = M , (16.16)

ahol M a teljes forgatónyomaték. Ha a belső erők centrálisak, azaz a k. és l. test egymásra ható fkl = −f lkerői a tömegpontokat összekötő egyenessel párhuzamosak, akkor rk × fkl + rl × f lk = 0, ezért M a külső erőkforgatónyomatéka.

Ha az origót eltoljuk

r = r + a ⇒ M =∑k

(rk + a)× fk = a× F + M . (16.17)

Az első tag invariáns az F hatásvonala mentén való eltolásával szemben! Ha F = 0 , akkor a teljes forgatónyomatéknem függ az origó választásától.

16.2. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy homogén gravitációs erőtérben, fk = mkg, M = MR× g! [2]

16.4.3. Szögparaméterek, energiamegmaradás

A merev test helyzetét a tömegközéppont R vektora mellett általában 3 szögparaméterrel jellemezhetjük. Ezekaz általános koordináták, melyeket a ϕ vektorba rendezhetünk. Az első feladat ilyenek definiálása – vele későbbfoglalkozunk. Ha a külső potenciál nem függ expliciten az időtől, akkor

E = 12MV 2

TKP + 12ωΘTKP(ϕ)ω + V (R,ϕ) = áll. (16.18)

A forgó test tehetetlenségi nyomatéka általában függ a pillanatnyi orientációjától.

2018. december 18. 21:59:34 239

16.5 Lagrange-formalizmus 16 MEREV TESTEK16.5. Lagrange-formalizmus

A Lagrange-függvény a ϕ szögparaméterekkel

L = 12MV 2

TKP + 12ωΘTKP(ϕ)ω − V (R,ϕ). (16.19)

Konkrét rendszerben első feladatunk a szögparaméterek megválasztása. Több merev test esetén mindegyik helyzetétjellemző paramétereket használunk.

Ha a test egy pontja rögzített, akkor azt választhatva K origójának, a tehetetlenségi nyomatékot arra a pontravonatkoztatva adjuk meg, mellyel a Lagrange-függvény

L = 12ωΘ(ϕ)ω − V (ϕ). (16.20)

Ilyenkor transzlációs járulék nincs.

16.3. Gyakorló feladat. Tekintsük a ϕ-t azrωdt vektornak, melynek komponensei legyenek az általános koordináták.

Ekkor J = Θ(ϕ)ω az általános impulzus, azM = −∇ϕV forgatónyomaték az általánosított erő, tehát nyilvánvalóannem kapjuk meg a

qJ = M mozgásegyenletet, hiszen a Θ deriváltjai is fellépnek. A szokásos eljárással adódó Euler–

Lagrange-egyenlet helytelen. Miért? [7]

16.5.1. Példa. Egyik végén csuklóval felfüggesztett ` hosszú és m tömegű inga. Egyetlen szöget használunk, s atehetetlenségi nyomaték Θ = m`2/3, amellyel

L = 16m`

2 qϕ2 + 1

2mg` cosϕ. (16.21)

16.4. Gyakorló feladat. Írjuk fel a mozgásegyenletet és határozzuk meg a kis lengések frekvenciáját! [2]E: 2018.11.09 J | I 2018.11.14

2018. december 18. 21:59:34 240

16.6 Erőmentes pörgettyűk (m) 16 MEREV TESTEK16.6. Erőmentes pörgettyűk (m)

Merev testek szabad forgásakor célszerű a tömegközéppontba helyeznünk az origót. Az alábbiak érvényesek ma-radnak homogén gravitációs térben is, ha a tömegközéppont rögzített (ott támasztjuk fel), ugyanis e pontra nézve akülső erők forgatónyomatéka zérus.

16.6.1. Gömbi pörgettyűA = B = C ⇒ J = Aω = áll. (16.22)

16.6.2. Rotátor

A = B, C = 0 ⇒ J = A(ω1, ω2, 0) = Aω⊥, (16.23)az ω3 nem befolyásolja az impulzusmomentumot.

ω

J

J

67. ábra. Rögzített tengely körül forgatott, majd elengedett rotátor (vékony rúd).

Forgassuk rögzített, a vonallal nem derékszöget bezáró tengely körül, majd engedjük el, ld. 67. ábra. Az elengedéspillanatabeli J megmarad, ennek irányában forog tovább.

2018. december 18. 21:59:34 241

16.6 Erőmentes pörgettyűk (m) 16 MEREV TESTEK16.6.3. Szimmetrikus pörgettyű

Labor koordináták: X, Y, Z, a testhez rögzítettek x1, x2, x3. Az impulzusmomentum J = áll. mutasson Zirányába, x3 pedig legyen a test szimmetriatengelye. Pillanatfelvételt készítünk a pörgettyűről, ld. 68. ábra. Az im-pulzusmomentumot és szögsebességet felbontjuk a szimmetriatengellyel párhuzamos és arra merőleges komponensekre

x3

Zω

ω3

ω

ω pr

ω t

θ

J

68. ábra. Szimmetrikus pör-gettyű, A > C: ωt a szim-metriatengely körüli forgás, ωpra precesszió szögsebessége, azutóbbi állandó. A mozgás so-rán θ =áll., az ábrázolt metszetminden időpillanatban azonos.

J = J⊥ + J3, ω = ω⊥ + ω3 ⇒ J⊥ = Aω⊥, J3 = Cω3. (16.24)

Látható, az ω, Z, x3 minden pillanatban egy S síkba esnek, ez a sík időben változik.Az ω a pillanatnyi szögsebesség, egyenese a pillanatnyi forgástengely. Az x3 tengelybármely pontjának sebessége ω× x3e3, merőleges az S síkra. Következésképpen azx3 tengely az elfordulása során a θ = áll. szöget zárja be a Z tengellyel. Az S síkvele fordul, amely, mint láttuk, tartalmazza az ω vektort is. Ezért

J3 = áll., J⊥ = áll. ⇒ ω3 = áll., ω⊥ = áll., (16.25)

tehát a 68. ábrán mutatott metszet minden időpillanatban érvényes.A szögsebesség alternatív felbontása

ω = ωpr + ωt, (16.26)

ld. 68. ábra, ahol az ωpr a precessziós szögsebesség, időben állandó. Az x3 tengelyqe3 = ω × e3 = ωpr × e3, (16.27)

éppen a precessziós szögsebességgel forog, ezért ugyanezzel forog az S sík s ben-ne ω. Másfelől, a precesszáló koordinátarendszerből nézve a test a tengelye körülωt szögsebeséggel pörög. Harmadrészt, a testhez rögzített rendszerből nézve az ωvektor (azaz annak ω⊥ komponense) forog a tengely körül ωt-vel.

2018. december 18. 21:59:34 242

16.7 Euler-egyenletek: a szögsebesség időfüggése a főtengelyrendszerben (m) 16 MEREV TESTEKKinematikai modell: A mozgást egy rögzített, Z tengelyű, az ω azimutszögével azonos félnyílásszögű kúp felületén

görgetett másik, x3 tengelyű kúppal szemléltethetjük. Ekkor az érintkezési vonal a pillanatnyi forgástengely (ω), azx3 tengely körüli forgás szögsebessége ωt, és a forgó kúp a Z tengely körül ωpr-vel megy körbe.

16.5. Gyakorló feladat. Rajzoljuk fel a szögsebességvektorok állását, ha A < C. [2]Fejezzük ki a szögsebesség komponenseit a J és θ megmaradó mennyiségekkel:

ω3 = J3

C= J cos θ

C, ω⊥ = J⊥

A= J sin θ

A, (16.28)

ωpr = ω⊥sin θ = J

A, ωt = ω3 − ωpr cos θ = ω3 −

J3

A= ω3

A− CA

= J cos θA− CAC

. (16.29)

Megjegyzés: Az ω3 és az ωt kinematikai jelentése közötti különbséget megvilágíthatjuk azzal, miszerint tiszta precesszióesetén (ωt = 0) a pörgettyű mindig ugyanazt a felét mutatja a Z tengely felé, míg ha θ 6= π/2, akkor ω3 6= 0.

16.6. Gyakorló feladat. A (16.29) relációk megengedik-e az ωt = 0, ω3 6= 0 állapotot? [2]A: 2018.11.09 J | I 2018.11.14

16.7. Euler-egyenletek: a szögsebesség időfüggése a főtengelyrendszerben (m)A K főtengelyrendszerben a tehetetlenségi nyomaték diagonális és időben állandó, de K nem inerciarendszer. Az

L laborrendszer inerciarendszer, ezért ebben qJL = ML. (16.30)

Az impulzusmomentum L-beli JL és K-beli J (a K indexet elhagyjuk) reprezentációi között fennáll JL = OJ .Korábbi tanulmányaink alapján q

JL = OqJ +

qOJ = O

qJ + ωL ×OJ = ML. (16.31)

2018. december 18. 21:59:34 243

16.7 Euler-egyenletek: a szögsebesség időfüggése a főtengelyrendszerben (m) 16 MEREV TESTEKÁttérve K-beli komponensekre nyerjük q

J = J × ω +M , (16.32)

az első tag a tehetetlenségi erők forgatónyomatéka. Kihasználva, hogy J = (Aω1, Bω2, Cω3), kapjuk

Aqω1 =(B − C)ω2ω3 +M1 (16.33)

Bqω2 =(C − A)ω3ω1 +M2 (16.34)

Cqω3 =(A−B)ω1ω2 +M3, (16.35)

ezek az Euler-egyenletek.16.7.1. Példa. Szimmetrikus erőmentes pörgettyű: Most

M = 0 , A = B ⇒ ω3 = J3

C= áll. (16.36)

A másik két komponensre, a (16.29) sorban bevezetett ωt = ω3(A− C)/A jelöléssel

qω1 =A− C

Aω2ω3 = ωtω2, (16.37)

qω2 =C − A

Aω1ω3 = −ωtω1. (16.38)

Mivel ωt állandó, azért q qω1 = −ω2

tω1 ⇒ ω1 = ω⊥ sin(ωtt+ δ) ⇒ ω2 = ω⊥ cos(ωtt+ δ). (16.39)

Fennáll ω21 + ω2

2 = ω2⊥ = áll.

Összhangban a 16.6.3 fejezet eredményével a K rendszerben az ω⊥ a szimmetriatengely körül ωt-vel forog.

2018. december 18. 21:59:34 244

16.8 Súlyos pörgettyű Euler–Lagrange-féle leírása 16 MEREV TESTEK16.7. Gyakorló feladat. Adjuk meg J komponenseinek időfüggését! [1]16.8. Gyakorló feladat. Írjuk fel a súlyos pörgettyű Euler-egyenleteit! [5]

16.7.2. Példa. A Föld lapultsága miatt szabad precesszió

C − AA

≈ 1300 , ω3 = 2π

1nap ⇒ Tt = 2πωt≈ 300nap. (16.40)

A forgástengely a geoid északi pólusához képest Tt periódussal "precesszál". Euler 305 napot jósolt. Chandler inga-dozás: 433 nap. Képlékenység miatt összesen 7 éves a periódus. Az eltérés kb.15 m.

Árapályerők forgatónyomatéka okozta precesszió: 26000 éves, 23, 5 nyílásszögű kúp mentén. Csillagászati termi-nológia gyakran: szabad ∼ nutáció; forgatónyomaték hatására ∼ precesszió.

16.8. Súlyos pörgettyű Euler–Lagrange-féle leírása

69. ábra. Az Euler-szögek definíciójához. N (node)jelzi a csomóvonalat. [Landau-Lifsic I.]

A súlyos, azaz nem a súlypontjában feltámasztott,egy pontjában elfordíthatóan rögzített pörgettyű mozgásátLagrange-formalizmussal írjuk le. Célszerűen választott álta-lános koordináták az Euler-szögek.

16.8.1. Euler-szögek

Egy pontjában rögzített merev test forgását szándékoz-zuk leírni. Legyen L : (X, Y, Z) inerciarendszer, továbbáK : (x1, x2, x3) a forgó testhez rögzített koordinátarendszer,amely legyen a tehetetlenségi nyomaték tenzor főtengelyrend-szere. Általános koordinátákként célszerű az L és a K koor-dinátarendszer relatív helyzetét megadó φ, ϑ, ψ Euler-szögeketválasztani, ld.a 69. ábra.

2018. december 18. 21:59:34 245

16.8 Súlyos pörgettyű Euler–Lagrange-féle leírása 16 MEREV TESTEKSzimmetrikus definíció: a két rendszer x− y síkjai a csomóvonalban messék egymást ϑ szögben, a csomóvonallal

az X tengely φ, az x1 pedig ψ szöget zárjon be. A ϑ egyben a két z tengely (azaz a Z és x3) közötti szög.Megjegyzés: Az Euler-szögekkel adott helyzet előáll az alábbi egymás utáni forgatásokkal az eredetileg egybeeső

koordinátarendszerektől indulva. A szögeket és a tengelyeket jelölve:

φ : eZ = e3,ϑ : ecs = e1,ψ : e3

körüli forgatás. (16.41)

Az első forgatás φ szöggel az akkor egybeeső eZ = e3 tengelyek körül történik. Azután a ϑ szöggel az ecs csomóvonalkörül forgatunk, amely az első forgatás után egybeesik az x1 tengellyel, harmadikra a végleges e3 tengely körülforgatunk ψ-vel. Ha L-et „álló”-nak tekintjük, akkor a forgástengelyek közül csak az eZ rögzített, az e3 együtt foroga K-val, és az ecs is a K orientációjától függ, ezért azt mondhatjuk, az Euler-szögek "keverék" forgatásoknak felelnekmeg, látszólag nem szimmetrikus módon. Azonban az eredeti definíciónk szimmetrikus volt, ezzel összhangban aszögek és tengelyek kicserélésével kapott alábbi szekvencia is ugyanazon végső relatív helyzethez vezet:

ψ : e3 = eZ ,ϑ : ecs = eX ,φ : eZ

körüli forgatás. (16.42)

16.9. Gyakorló feladat. Szerkesszük meg a (16.41) és a (16.42) forgatásokat előállító ortogonális mátrixokat, smutassuk meg, hogy valóban azonosak. [4]

16.8.2. Euler-féle szögsebességek

Célunk először a kinetikus energia előállítása az Euler-szögekkel és sebességeikkel. Ehhez a teljes szögsebesség-vektort kell felírnunk, amely az egyes szögekhez tartozó szögsebességvektorok összege

ωφ =qφeZ , ωϑ =

qϑecs, ωψ =

qψe3 =

qψ(0, 0, 1) ⇒ ω = ωφ + ωϑ + ωψ. (16.43)

2018. december 18. 21:59:34 246

16.8 Súlyos pörgettyű Euler–Lagrange-féle leírása 16 MEREV TESTEKMiután K főtengelyrendszer, benne a kinetikus energiát könnyű megadni, ezért a szögsebességeket a K-beli

komponensekkel írjuk fel. A forgástengelyekeZ =(sinϑ sinψ, sinϑ cosψ, cosϑ), (16.44)ecs =(cosψ,− sinψ, 0), (16.45)e3 =(0, 0, 1). (16.46)

Az eZ formuláját indokoljuk azzal, hogy az eZ-t először a csomóvonalra merőleges a (Z, x3) síkban két merőlegeskomponensre bontjuk, az x3 komponens cosϑ, a másik az (x1, x2) síkbeli vetület, előjelesen sinϑ, s mivel a síkbelivetület is merőleges a csomóvonalra, az x1 és x2 tengelyekre vetítve éppen a fenti formulát kapjuk.

Mindezek alapján ω = ωφ + ωϑ + ωψ komponensei a K rendszerben

70. ábra. Precesszió, nutáció,és a saját szimmetriatengelykörüli forgás. [Wikipedia]

ω1 =qφ sinψ sinϑ+

qϑ cosψ (16.47)

ω2 =qφ cosψ sinϑ−

qϑ sinψ (16.48)

ω3 =qφ cosϑ+

qψ (16.49)

Elnevezések (ld. a 70. ábra):

ωpr =qφ . . . . . . . . . . . . . precesszió,

ωn =qϑ . . . . . . . . . . . . . nutáció,

ωt =qψ . . . . . . . . . . . . . (saját) tengely körüli rotáció.

(16.50)

16.10. Gyakorló feladat. Mutassuk ki, hogy eltűnő nutáció, ωn = 0 mellett a ωpr ésωt szögsebességek a (16.28,16.29) relációkat teljesítik. [2]

A rotációs kinetikus energia

Krot = 12(Aω2

1 +Bω22 + Cω2

3). (16.51)

2018. december 18. 21:59:34 247

16.9 A szimmetrikus súlyos pörgettyű mozgásegyenletei 16 MEREV TESTEKInnen a Lagrange-függvény általános potenciálra

L = Krot(qψ,

qϑ,

qφ, ϑ, ψ)− V (ψ, φ, ϑ). (16.52)

Az energia

E = Krot + V = áll. (16.53)

A mozgásegyenletek szükségképpen ekvivalensek a súlyos pörgettyű Euler-egyenleteivel; ezt részletesen nem mutatjukmeg.

16.9. A szimmetrikus súlyos pörgettyű mozgásegyenleteia. Lagrange-függvény és ciklikus koordináták

Mg

s

O

O

71. ábra. Súlyos pörgettyűk: nem a tömegközéppont rögzített. Ha a jobb ábrán az O atömegközéppont, a pörgettyű erőmentes.

2018. december 18. 21:59:34 248

16.9 A szimmetrikus súlyos pörgettyű mozgásegyenletei 16 MEREV TESTEKHa a tömegközéppont s távolságra van az origótól x3 mentén (a súlypontot "felfelé" mérjük, ld. a 71 bal ábrát)

A = ATKP +Ms2 = B 6= C. (16.54)

A szögsebesség komponensek négyzetei

ω21 + ω2

2 =qφ2 sin2 ϑ+

qϑ2, ω2

3 = (qφ cosϑ+

qψ)2, (16.55)

ahonnan a kinetikus energia (16.51)-ből előáll. A potenciális energia V = Mgs cosϑ, amellyel a Lagrange-függvény

L = Krot − V = 12[A

qφ2 sin2 ϑ+ A

qϑ2 + C(

qφ cosϑ+

qψ)2

]−Mgs cosϑ. (16.56)

Két változó ciklikus∂L

∂ψ=0 ⇒ pψ = ∂L

∂qψ

= Cω3 = J3 = áll., (16.57)

∂L

∂φ=0 ⇒ pφ = ∂L

∂qφ

= Aqφ sin2 ϑ+ J3 cosϑ = JZ = áll. ⇒

qφ = JZ − J3 cosϑ

A sin2 ϑ. (16.58)

Szemléletesen magyarázva, a forgatónyomaték a csomóvonal irányába mutat, ezért az impulzusmomentum (Z, x3)síkra vett vetülete állandó, ebből következik JZ és J3 megmaradása. A ϑ szerinti variálás után a megmaradó mennyi-ségeket beírva effektív 1D egyenletet kapunk ϑ-ra.

b. Energiamegmaradás és mozgásegyenlet

A ϑ szerinti variálással ekvivalens, alternatív eljárás, ha az energiamegmaradást használjuk. A kinetikus energia

Krot = 12[A

qφ2 sin2 ϑ+ A

qϑ2 + C(

qφ cosϑ+

qψ)2

]= (JZ − J3 cosϑ)2

2A sin2 ϑ+ 1

2Aqϑ2 + J2

32C . (16.59)

2018. december 18. 21:59:34 249

16.9 A szimmetrikus súlyos pörgettyű mozgásegyenletei 16 MEREV TESTEK

72. ábra. Tipikus effektív potenciál.

A ϑ-függő tag és a gravitációs potenciál összege az effektív potenciál

Veff(ϑ) = (JZ − J3 cosϑ)2

2A sin2 ϑ+Mgs cosϑ, (16.60)

mellyel az energiamegmaradás

E = J23

2C + A

2qϑ2 + Veff(ϑ) = áll. (16.61)

Ez az effektív 1D mozgás energiafüggvénye. A mozgásegyenlet ennekderiválásával is megkapható

Aq qϑ = −V ′eff(ϑ). (16.62)

Ennek azonosnak "kell lennie" az Euler–Lagrange-egyenlettel, ld.alább egy gyakorló feladat.

Ha JZ 6= J3, a potenciál divergál midőn ϑ→ 0, π, ld. a 72. ábra,ilyenkor a ϑ a 0 és π közé eső fordulópontok között oszcillál: ez anutáció. A mozgást s > 0 esetén a 73. ábra illusztrálja.

2018. december 18. 21:59:34 250

16.9 A szimmetrikus súlyos pörgettyű mozgásegyenletei 16 MEREV TESTEK

73. ábra. Súlyos pörgettyűk precessziója és nutációja, az x3 tengely pályáján illusztrálva:(a) ωpr > 0; (b) ωpr előjele változik; (c) a fordulópontban ωpr = 0. [Landau-Lifsic I.]

2018. december 18. 21:59:34 251

16.9 A szimmetrikus súlyos pörgettyű mozgásegyenletei 16 MEREV TESTEKc. A mozgásegyenlet értelmezése

Felidézzük, hogy a (16.58) precessziós szögsebesség ωpr =qφ és a (szimmetria)tengely körüli szögsebesség ωt =

qψ

jelöléseivel (16.49) szerintω3 = ωpr cosϑ+ ωt. (16.63)

Itt ωpr a ϑ explicit függvénye, melyből az állandó ω3 révén ωt-t is a ϑ függvényeként áll elő. Felhasználva a (16.58)formulát, a (16.62) mozgásegyenlet tagjai

Aq qϑ = −V ′eff(ϑ) = Mgs sinϑ− J3 sinϑ (JZ − J3 cosϑ)

A sin2 ϑ+ cosϑ (JZ − J3 cosϑ)2

A sin3 ϑ

= Mgs sinϑ− Cω3 ωpr sinϑ+ Aω2pr sinϑ cosϑ = Mgs sinϑ− Cωt ωpr sinϑ+ (A− C)ω2

pr sinϑ cosϑ. (16.64)Az utolsó kifejezésben az első tag a súlyerő nyomatéka, a másik kettőt felfoghatjuk olyképpen, mint az x3 szim-metriatengellyel együtt forgó rendszerben ható, a tehetetlenségi erők által létrehozott nyomatékok. Az utolsó tagbanA − C együtthatója tisztán az ωpr precessziós szögsebességnek tulajdonítható, a tengely körüli forgástól független,lazán szólva centrifugális szöggyorsulás. Ha A > C, azaz „elnyújtott” testről van szó, akkor a „centrifugális forga-tónyomaték” a szimmetriatengelyt a precesszió tengelyére merőlegesen (ϑ = π/2) igyekszik beállítani, máskülönbenazzal párhuzamosan. Ilyen tehetetlenségi forgatónyomatékkal korábban találkoztunk, a függőleges tengely körül for-gatott merev szárú ingánál (A = m`2, C ≈ 0), ill. a vele ekvivalens centrifugális szabályozónál is fellépett, ld. (7.46).Ezen tehetetlenségi forgatónyomaték pozitív, ha A > C és a pörgettyű „felfelé” áll (ϑ < π/2), továbbá a súlyerőnyomatéka mindig pozitív, ezek tehát „lefelé” forgatva hatnak. Velük ellentétesen, azaz „felfelé” forgatna a középsőtag, ha ωt ωpr > 0, s ennek tulajdoníthatjuk azt az első pillantásra meglepő viselkedést, mely szerint a pörgettyűsúlypontja a rögzített pontja fölött tartósan mozoghat.

Abban az egyszerű esetben, melyben a szimmetriatengely a vízszintes síkban (ϑ ≡ π/2) precesszál körbe, amozgásegyenlet az

Mgs = C ωt ωpr (16.65)

2018. december 18. 21:59:34 252

16.9 A szimmetrikus súlyos pörgettyű mozgásegyenletei 16 MEREV TESTEKalakra egyszerűsödik. A jobboldalon a súlyerő nyomatékának ellentartó tehetetlenségi forgatónyomaték áll, melyet akövetkező alfejezetben szemléltetünk.

Az erőmentes (s = 0) esetet korábban megoldottuk: ha J a Z tengely irányú, akkor JZ = J = J3/ cosϑ ésϑ állandó, azaz nincs nutáció. Valóban, ekkor a (16.64) egyenlet első sorának jobboldala könnyen látható módoneltűnik. A második sor jobboldalából kapjuk tehát

Cωt ωpr sinϑ = (A− C)ω2pr sinϑ cosϑ, (16.66)

azaz vagy ϑ = 0, vagy ωpr = 0, vagy pedig

Cωt = (A− C)ωpr cosϑ. (16.67)

Ez utóbbi reláció a (16.29) képletekkel összhangban van.

16.11. Gyakorló feladat. Ellenőrizzük az előző állítást. [2]Megjegyzés: Ha a 73. ábrán látható mozgás közben kapcsoljuk ki a gravitációt, akkor a pillanatnyi J impulzus-

momentum állandó marad, a φ-ben teljesen körbe forduló precesszió megszűnik, míg ϑ ingadozása, azaz a nutációfennmarad. Ha azonban korábbi konvenciónk szerint a J irányában vesszük fel a Z tengelyt, akkor ezt a nutációtprecessziónak látjuk (ezt nevezik erőmentes vagy szabad precessziónak), s a nutáció szűnik meg. Az Euler-szögekdefiníciója és a forgások elnevezései az L labor rendszer állásától függnek!

16.12. Gyakorló feladat. Ellenőrizzük a (16.64) mozgásegyenlet alapján, hogy a tehetetlenségi forgatónyomatékokJZ cosϑ = J3 mellett kiegyenlítik egymást. [2]16.13. Gyakorló feladat. Erőmentes pörgettyűre az JZ = J3 esetben az effektív potenciálnak a ϑ intervallumánakhatárán, a ϑ = 0 helyen van minimuma. Milyen mozgást jósol ϑ-ra a korábbról ismert megoldás, s ez összhangbanvan-e az effektív potenciálbeli mozgással? [4]16.14. Gyakorló feladat. Végezzük el a ϑ szerinti variálást, s mutassuk, megy, hogy a megmaradó mennyiségekvisszahelyettesítése után éppen a (16.62) mozgásegyenletet kapjuk. [4]2018. december 18. 21:59:34 253

16.10 A precesszió szemléletes magyarázata 16 MEREV TESTEK16.15. Gyakorló feladat. Alátámasztott (s > 0), függőleges szimmetriatengely (Z = x3) körül lassan forgó test eldől,de egy kritikus értéknél gyorsabb pörgés stabil. Mekkora ez a kritikus szögsebesség? Útmutató: az JZ = J3 esetbenkis ϑ mellett vizsgáljuk az effektív potenciált. [4]16.16. Gyakorló feladat. Felfüggesztett (s < 0) test forgása mikor stabil ill.instabil? [4]16.17. Gyakorló feladat. Lehetséges-e adott JZ , J3 mellett több egyensúlyi ϑ∗ szög? Ha általánosan nem tudjukeldönteni, vizsgáljunk tipikus eseteket grafikusan. [6]

16.10. A precesszió szemléletes magyarázataA súlyos, szimmetrikus pörgettyű fentiekben részletezett elméletével elégedettek lehetünk annyiban, hogy a moz-

gásegyenletből a 73. ábrán bemutatott trajektóriákat nyerjük. Ezeket kísérletek is illusztrálják, ld. az elsős kurzusokonbemutatott pörgettyűket.

Mindazonáltal a precesszió szemléletesebb, a hétköznapi fizikai képünkkel összhangban levő leírására is igényttarthatunk. Ilyet illusztrál a 74. ábra.

Az (a) rajzról leolvashatjuk, hogy stacionárius (ϑ =áll., az ábrán derékszög) precesszió esetén a kerék felső pont-jának eredő sebessége kisebb, mint az alsó pontjáé. Ennek szemléletes következményeként az alsó pontban nagyobbtehetetlenségi erő ébred, mint a felső pontban, a forgatónyomatékukkal „ellentartva” a gravitációnak, mellyel a sta-cionárius precessziót lehetővé teszik. Pontosabb meggondoláshoz a sebességek mellett a pályák görbületi sugarait isfigyelembe kell venni, melyek közel azonosak, ha a precesszióból eredő sebesség a szimmetriatengely körüli pörgés-ből származót jelentősen meghaladja. A kerék további átlói végén levő tömegelemeire ható tehetetlenségi erők – avízszintes átló kivételével – ugyanilyen irányú

2018. december 18. 21:59:34 254

16.10 A precesszió szemléletes magyarázata 16 MEREV TESTEK

(a) (b)

g g

Fteh1

teh2F

74. ábra. Súlyos pörgettyű síkbeli precessziójának szemléltetése a kerék (kis kék tégla-lapokkal jelölt) tömegelemeire ható tehetetlenségi erőknek a szimmetriatengely irányúkomponenseivel. Labor rendszerből nézve ezek az elemi erők a tömegelemek pályán tartá-sához szükséges centripetális erők vízszintes vetületeinek ellentettjei, azaz az ívelt pályánmozgó tömegelemek által a merev kerékre kifejtett, tengely irányú erők. (a) Stacionári-us precesszió esetén a gravitációnak a tehetetlenségi erők forgatónyomatéka tart ellen,ld. a felső ill. alsó tömegelemeken ható tehetetlenségi erők Fteh1 < Fteh2 tengelyirányúkomponenseit, míg a vízszintes átmérő két végén ható tengelyirányú erőkomponensekazonosak. (b) A precesszió megkezdését a pörgettyű tengelyének elengedésekor fellépő,vízszintes síkban elfordító tehetetlenségi forgatónyomatékkal magyarázhatjuk. Itt az alsóés felső pontokban hatnak vízszintesen azonos elemi erők.

2018. december 18. 21:59:34 255

16.10 A precesszió szemléletes magyarázata 16 MEREV TESTEKFelmerülhet továbbá az a szemléleti kérdés, hogy ha a forgó pörgettyűt vízszintes szimmetriatengellyel elengedjük

anélkül, hogy precessziós szögsebességet kapna, akkor a tengelynek a súlyerő következtében lefelé kellene fordulnia. Ezlátszólag ellene mond a stacionárius precessziónak, valamint annak a hagyományos kísérletnek, melyben a megforgatottbiciklikerék azonnal precesszálásba kezd, amikor a tengelyének egyik végét elengedjük. Mindazonáltal itt semmiféleellentmondás nincs, az elengedett pörgettyű tengelye valóban a 74. ábra (b) rajza szerint „lefelé” kezd esni. Ekkorazonban a jelzett pontok sebessége a lefelé fordulás miatt különbözővé válik, a nagyobb sebességű pontban nagyobbtehetetlenségi, lazán szólva „centrifugális” erő lép fel, amelynek hatására a pörgettyű a függőleges tengely körülgyorsulva elfordul. Az a 73. ábra (c) része szerint épp ilyen mozgás valósul meg, ha a tengelyt a pálya legfelsőpontjában, azaz a töréspontban elejtjük: függőleges kezdősebességgel indul, majd a tengely elfordul a függőlegeskörül, mialatt az azimutszög növekedése megáll, majd újból csökken, s így tovább. A (b) rajzon hasonlóan indul amozgás, ha olyan pontból ejtjük el a tengelyt, amelyben az érintő egy síkban van a függőlegessel. A biciklikerekeskísérletben is szemmel alig látható mértékben lefordul a kerék tengelye, mielőtt precesszálni kezd!

16.18. Gyakorló feladat. Számítsuk ki a 74.a ábrán látható kerék alsó ill. felső pontjaiban a szimmetriatengelyirányú gyorsulások különbségét. Útmutató: a precesszáló koordinátarendszerben a tehetetlenségi gyorsulás ismertformuláját célszerű használnunk. E gyorsulások különbsége az ábrán látható forgási irányok mellett mindig pozitív,azaz a tehetetlenségi erők forgatónyomatéka valóban ellentart a súlyerőének. [4]16.19. Gyakorló feladat. Határozzuk meg a a 74.a ábrán látható kerék alsó ill. felső pontjaiban a pályák vízszintesvetületének görbületi sugarait a megfelelő sebességnégyzetek és gyorsulások hányadosaként. Mutassuk meg, hogy a kétsugár valóban közel azonos, ha a precessziós sebesség a tengely körüli forgatásból származónál jóval kisebb. A vízszintessíkbeli precesszió feltétele alapján adjuk meg a g,R és d kifejezésével azt a két karakterisztikus körfrekvenciát,amelyek egyikénél ω3-nak jóval kisebbnek, a másiknál pedig ωpr-nak jóval nagyobbnak kell lennie a sugarak közelegyenlőségéhez. Ilyen esetekben meggyőző a precessziónak a 74.a ábrán szemléltetett magyarázata. Végezetül rajzoljukfel a görbületi sugarakat az ω3 függvényében a szerkezet adott méretei mellett. [6]

2018. december 18. 21:59:34 256

16.11 Aszimmetrikus erőmentes pörgettyű 16 MEREV TESTEK16.11. Aszimmetrikus erőmentes pörgettyű

Az energia és az impulzusmomentum az L rendszerben megmarad. A K rendszerben:

Krot = 12

(J2

1A

+ J22B

+ J23C

)= áll. (16.68)

J2 = J21 + J2

2 + J23 = áll. (16.69)

A J pályáját a Krot = áll. ellipszoid és az J = áll. gömb metszete adja, ld. 75. ábra az A < B < C esetben. Afőtengelyek körüli forgás felel meg a tengelymetszeteknek. Kissé kitérítve az e1 és e3 körüli forgástól az J kismértékbeningadozhat, ezek tehát elliptikus fix pontok. Az e2 hiperbolikus, ugyanis innen kissé kimozdítva J távolodik. A 75.ábráról leolvashatóan J azután periodikusan visszatér e2 közelébe.

2018. december 18. 21:59:34 257

16.11 Aszimmetrikus erőmentes pörgettyű 16 MEREV TESTEK

75. ábra. Aszimmetrikus erőmentes pörgettyű J impulzusmomentumánakK rendszerbőlmért látszólagos pályái (A < B < C). A rajz korábbi jelölést használ, rajta még N azimpulzusmomentum, ezért minden N helyett J értendő. Frissíteni fogjuk.

2018. december 18. 21:59:34 258

17 EGYDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUME: 2018.11.14 J | I 2018.11.16 A: 2018.11.14 J | I 2018.11.16

17. Egydimenziós rugalmas kontinuum17.1. Előfeszített rugókkal kapcsolt testek: 2D lánc és folytonos határesete, a hiperli-

neáris húrDiszkrét leírás: N + 1 db. azonos m tömegű pontszerű testet k rugóállandójú ideális rugókkal kapcsolunk össze,

a két végpontot, azaz a „nulladik” és N -edik testet kissé kifeszítjük és rögzítjük. A rugók előfeszítés nélküli hosszal, ennél nagyobb az egyensúlyi távolságuk d = l + ∆l = l + F/k, ahol F az egyensúlyi helyzetben ható előfeszítőerő. A j-edik test egyensúlyi helyzettől való elmozdulásvektora: uj(t). A kinetikus és rugalmas energia (e1 = (1, 0),a potenciálból kiemeltünk d2-et):

K = m

2

N∑j=1| quj|2, V = kd2

2

N∑j=1

(∣∣∣∣uj − uj−1

d+ e1

∣∣∣∣− l

d

)2

. (17.1)

76. ábra. Rugókkal összekötött tömegek síkbeli rendszere. Nyugalomban az x tengelymentén helyezkednek el, F erővel előfeszítve.

2018. december 18. 21:59:34 259

17.1 Előfeszített rugókkal kapcsolt testek 17 EGYDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUM17.1. Gyakorló feladat. Írjuk fel az Euler–Lagrange-egyenleteket. [4]

Kontinuum leírás: Képzeljük el, hogy a rendszer hossza, tömege és az előfeszítő erő véges marad, miközben egyretöbb, kisebb tömegű és rövidebb rugókkal összekötött test alkotja. Végül a folytonos húr adódik

N →∞, d, l,m→ 0, midőn L0 = Nd, M = Nm, F = k∆l = k(d− l) ⇒ k →∞ (17.2)

Az A keresztmetszetet felvéve a sűrűség ρ = m/(Ad) = M/(AL0). A gimnáziumból ismert formula a relatívmegnyúlásra definiálja a Young-modulust

EA∆ll

= EAd− ll

= F = k(d− l) ⇒ kd = F + kl, EA = kl, ⇒ kd = F + EA,l

d= EA

F + EA. (17.3)

A j index szerepét az x folytonos koordináta veszi át

jd→ x, d→ dx, uj(t)→ u(x, t), (uj − uj−1)/d→ ∂xu(x, t), quj → ∂tu(x, t). (17.4)

A (17.1) összegekkel adott energiakifejezések integrálokba mennek át

K[u(x, t)] = ρA

2

L0w

0

[(∂tu1)2 + (∂tu2)2

]dx,

V [u(x, t)] = kd

2

L0w

0

[|∂xu+ e1| −

l

d

]2

dx = F + EA

2

L0w

0

[√(1 + ∂xu1)2 + (∂xu2)2 − EA

F + EA

]2dx. (17.5)

A K és V az u(x, t) tér (mező) funkcionálja minden t időpontban. A Lagrange-függvény maga is integrál

L = K − V =w L0

0Λ dx, (17.6)

2018. december 18. 21:59:34 260

17.2 Hamilton-elv a kontinuum mechanikában 17 EGYDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUMahol Λ a Lagrange-sűrűségfüggvény. Az

S =w t2

t1L dt =

w t2

t1

w L0

0Λ dx dt. (17.7)

hatás most kétszeres integrál.E: 2018.11.16 J | I 2018.11.21

Megjegyzés: Utólag igazolódott be, hogy a határátmenet során megfelelően vezettük be a makroszkopikus para-métereket, ugyanis a folytonos limeszben véges funkcionálokat kaptunk.

A rugókról feltettük, hogy nagy kitérésre is lineáris az erőtörvény. A kontinuum határátmenetben ennek az ún.hiperlineáris rugalmas anyag felel meg. Ilyen az a gumiszál, amelyre a Hooke-törvény nagy relatív hosszváltozás eseténis jó közelítéssel érvényes.

17.2. Hamilton-elv a kontinuum mechanikábanMi a teendő, ha n számú, folytonosan koordinátázott ψα(x, t) terek (α = 1..n) írják le a (0, L) szakaszon

értelmezett rendszerünk viselkedését, s célunk ezen függvények meghatározása? Tegyük fel, hogy létezik a ψα terektőlés ∂xψα, ∂tψα első deriváltjaiktól, valamint az x, t koordinátáktól függő Λ Lagrange-sűrűségfüggvény, mellyel a hatás

S =w t2

t1L dt =

w t2

t1

w L

0Λ(ψα, ∂xψα, ∂tψα, x, t) dx dt. (17.8)

Ha a ψα(x, t) tereket variáljuk, akkor a hatás variációja

δS =w t2

t1

w L

0

n∑α=1

[∂Λ∂ψα

δψα + ∂Λ∂(∂xψα)δ∂xψα + ∂Λ

∂(∂tψα)δ∂tψα]

dx dt. (17.9)

2018. december 18. 21:59:34 261

17.2 Hamilton-elv a kontinuum mechanikában 17 EGYDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUMKorábban a pontmechanikában a t időváltozóban alkalmazott parciális integrálást most az x-re vett integrálban iselvégezzük, felhasználva a variáció és a deriválás felcserélhetőségét

δS =∑α

w t2

t1

w L

0

[∂Λ∂ψα

− ∂x∂Λ

∂(∂xψα) − ∂t∂Λ

∂(∂tψα)

]δψαdx dt+

∑α

w t2

t1

∂Λ∂(∂xψα)δψαdt

∣∣∣∣∣L

0+∑α

w L

0

∂Λ∂(∂tψα)δψαdx

∣∣∣∣∣t1

t0

.

(17.10)

A δS variáció eltűnésével akkor jellemezhetjük a fizikai mozgást, ha a kezdeti és végső időpontban a tereket nemvariáljuk – ez a „szokásos” pontmechanikai előírás nyilvánvaló érvényesítése a terekre. Ekkor a harmadik szummazérus, s a

δS = 0 (17.11)

feltétel ezután külön térfogati tagok, azaz a kétszeres integrálok ill. a felületi, azaz a térbeli határon értelmezettidőintegrálok eltűnését írja elő.

A térfogati tagok integrandusában a δψα(x, t) együtthatóját az S eszerint vett funkcionálderiváltjának definiáljuk,s ezen kifejezések tűnnek el

Eα = δS

δψα= ∂Λ∂ψα

− ∂x∂Λ

∂(∂xψα) − ∂t∂Λ

∂(∂tψα) = 0. (17.12)

A pontmechanikából ismert Euler–Lagrange-formula kibővült, x a szabadsági fokokat folytonosan indexeli, és formálisszerepe hasonló a t-éhez. Az Euler–Lagrange-egyenlet most parciális differenciálegyenlet.

Ezen túl a határ- vagy felületi tagoknak is el kell tűnniük, tehát

∂Λ∂(∂xψα)δψα

∣∣∣∣∣L

0= 0. (17.13)

2018. december 18. 21:59:34 262

17.2 Hamilton-elv a kontinuum mechanikában 17 EGYDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUMNyilvánvaló, hogy ezt kétféleképpen teljesíthetjük, éspedig vagy rögzített a tér a végpontokban, vagy, ha a tér variációjatetszőleges, azaz a tér szabad, akkor az együtthatója zérus. Ezzel kétféle peremfeltétel (PF) valósulhat meg

δψα∣∣∣0 vagyL

= 0 rögzített PF, (17.14)

∂Λ∂(∂xψα)

∣∣∣∣∣0 vagyL

= 0 szabad PF, (17.15)

melyeknek minden időpontban fenn kell állniuk. Természetesen vegyes PF is előfordulhat, azaz például rögzített azx = 0-ban és szabad az x = L-ben.

A térelméletben is célszerű a kanonikus elnevezéseket használni

kanonikus (külső, térfogati) erősűrűség: fα(x, t) = ∂Λ∂ψα

(17.16)

kanonikus impulzussűrűség: pα(x, t) = ∂Λ∂(∂tψα) (17.17)

kanonikus feszültség: σα(x, t) = − ∂Λ∂(∂xψα) (17.18)

melyekkel az Euler–Lagrange-formulákEα = fα + ∂xσα − ∂tpα = 0. (17.19)

Itt kiviláglik a kanonikus feszültség jelentősége, ennek a deriváltja a belső erők sűrűsége. A kétféle PF

δψα∣∣∣0 vagyL

= 0 . . . rögzített PF, ill. σα∣∣∣0 vagyL

= 0 . . . szabad PF. (17.20)

Megjegyzés: (1) Különféle peremfeltételek (PF) mellett a belső pontokra vonatkozó Eα = 0 mozgásegyenletugyanaz! A megoldás természetesen függ a PF-től; a húrnál rögzített PF-t tekintettünk. (2) Vegyük észre, hogy noha

2018. december 18. 21:59:34 263

17.3 A kontinuum Hamilton-elv kiterjesztései 17 EGYDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUMaz Euler–Lagrange-formulában az idő és a helykoordináta szimmetrikusan szerepel, a PF szerint megkülönböztetjükőket. Az időbeli határokon a variáció eltűnése konvenció, míg a térbelieken külön feltételekhez jutunk. Ez utóbbiakramatematikai szempontból szükség is van az Euler–Lagrange-féle parciális differenciálegyenletek megoldásához.

17.2.1. Példa. A fent tárgyalt húr esetén ψ1 = u1, ψ2 = u2,

Λ = ρA

2[(∂tu1)2 + (∂tu2)2

]− F + EA

2

√(1 + ∂xu1)2 + (∂xu2)2 − EA

F + EA

2. (17.21)

Most Λ = Λ(∂tui, ∂xui) csak az első deriváltaktól függ.Parciális differenciálegyenletekhez peremfeltételt (PF) is kell adnunk. A végein rögzített húr esetén ez u(0, t) ≡

u(L, t) ≡ 0 .

17.2. Gyakorló feladat. Írjuk fel a húr (17.21) Lagrange-sűrűségfüggvénye alapján a kanonikus mezőket és a moz-gásegyenleteket.[4]

17.3. A kontinuum Hamilton-elv kiterjesztéseiMagasabb koordinátatér dimenzióra és magasabb deriváltaktól függő Λ sűrűségfüggvényre a Hamilton-elv tovább

általánosítható. Más határfeltételek esetén a variációban határ (perem) tagok is felléphetnek, de a térfogati egyenletekváltozatlanok.

17.3.1. Magasabb dimenziók

Ha a koordinátatér többdimenziós, Λ = Λ(ψα,∇ψα, ∂tψα, r, t), azaz L =r

Λ ddr akkor

Eα = δS

δψα= ∂Λ∂ψα

−∇ ∂Λ∂(∇ψα) − ∂t

∂Λ∂(∂tψα) = 0. (17.22)

2018. december 18. 21:59:34 264

17.3 A kontinuum Hamilton-elv kiterjesztései 17 EGYDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUMA térelméletben is célszerű a kanonikus elnevezéseket használni:

kanonikus (külső, térfogati) erősűrűség fα(r, t) ∂Λ∂ψα

kanonikus impulzussűrűség pα(r, t) ∂Λ∂(∂tψα)

kanonikus feszültség σα(r, t) − ∂Λ∂(∇ψα)

(17.23)

melyekkel az Euler–Lagrange-formulák, azaz a mozgásegyenletek

Eα = fα + ∇σα − ∂tpα = 0. (17.24)

Vegyük észre, hogy adott α-hoz tartozó σα itt vektor. A ∇σα divergencia a mozgásegyenlet alapján értelmezhető,éspedig a térfogati fα erősűrűség mellett fellépő "belső" vagy "rugalmas" erősűrűség. Adott V térrészre ható teljeskanonikus erő egy komponense

F (V )α =

w

V(fα + ∇σα)ddr =

w

Vfαddr +

z

AσαdA, (17.25)

ahol az utolsó lépésben a térfogat határára vonatkozó integrál lépett fel a Gauss-Osztrogradszkíj tétel alapján. A σαkanonikus feszültség fizikai jelentése innen könnyen kiviláglik, éspedig a felületi erősűrűség α komponenseként foghatófel.

17.3. Gyakorló feladat. Fent elkerültük a PF-ek diszkusszióját. Pótoljuk ezt be, azaz írjuk fel a rögzített, szabad, ill.vegyes PF-eket! [4]

2018. december 18. 21:59:34 265

17.3 A kontinuum Hamilton-elv kiterjesztései 17 EGYDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUM17.3.2. Magasabb deriváltak

a. Mozgásegyenlet

Magasabb deriváltakra egyszerű példát egydimenziós x koordináta mellett a következő hatás ad

S =x

Λ(ψα, ∂xψα, ∂2xψα, ∂tψα, x, t)dxdt. (17.26)

Ennek variációja, majd kellő számú parciális integrálás az alábbi mozgásegyenletet eredményezi

Eα = δS

δψα= ∂Λ∂ψα

− ∂x∂Λ

∂(∂xψα) + ∂2x

∂Λ∂(∂2

xψα) − ∂t∂Λ

∂(∂tψα) = 0 (17.27)

ahol a második derivált előjele pozitív a variálás során kétszer végzett parciális integrálás miatt. Ezt értelmezhetjükoly módon, hogy egy effektív feszültség jelent meg, melynek a deriváltja adja a teljes belső erősűrűséget a moz-gásegyenletben. Ezért célszerű a kanonikus feszültség korábbi definícióját módosítva az alábbi két kanonikus mezőtbevezetnünk

µα(x, t) = ∂Λ∂(∂2

xψα) , (17.28)

σα(x, t) = − ∂Λ∂(∂xψα) + ∂xµα(x, t), (17.29)

melyekkel a mozgásegyenlet most isEα = fα + ∂xσα − ∂tpα = 0. (17.30)

A fentiekben egy dimenzióra szorítkoztunk, mindazonáltal magasabb dimenzióban hasonlóan egészíthetjük ki amozgásegyenletet. A σ feszültség értelmezése felületi erősűrűség, mely most a pontszerű határon az erő maga. To-vábbá µ dimenziója (hossz x feszültség), azért dimenzionális alapon a µ mező értelmezhető felületi forgatónyomaték-sűrűségként.

2018. december 18. 21:59:34 266

17.3 A kontinuum Hamilton-elv kiterjesztései 17 EGYDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUM17.4. Gyakorló feladat. Lássuk be a legutóbbi kijelentést számítások alapján. [4]

További magasabb deriváltak fellépése esetén is explicit képlet adódik az Euler–Lagrange-formulára, melyet azegyszerűség kedvéért egy dimenzióra adunk meg

Eα = δS

δψα=∞∑n=0

(−1)n ∂nx∂Λ

∂(∂nxψα) − ∂t∂Λ

∂(∂tψα) = 0. (17.31)

17.5. Gyakorló feladat. Hogyan érdemes definiálni a kanonikus feszültséget magasabb deriváltak jelenléte esetén? [2]

17.6. Gyakorló feladat. Írjuk fel a variációs deriváltat magasabb dimenziókban magasabb deriváltak mellett! [4]E: 2018.11.21 J | I 2018.12.23 A: 2018.11.16 J | I 2018.12.21

b. Peremfeltételek (*)

Noha a mozgásegyenlet felírásához impliciten feltettük, hogy az olvasó a parciális integrálásokat fejben el tudjavégezni anélkül, hogy a peremtagokat kiírnánk, a PF-ek vizsgálatához ezeket fel kell tüntetnünk. Variáljuk a a (17.26)kifejezést, felhasználva, ahol lehet, a kanonikus jelöléseket az előző fejezetekből

δS =w t2

t1

w L

0

n∑α=1

[∂Λ∂ψα

δψα + ∂Λ∂(∂xψα)δ∂xψα + ∂Λ

∂(∂2xψα)δ∂

2xψα + ∂Λ

∂(∂tψα)δ∂tψα]

dx dt

=w t2

t1

w L

0

n∑α=1

[fαδψα + ∂Λ

∂(∂xψα)δ∂xψα + µαδ∂2xψα + pαδ∂tψα

]dx dt. (17.32)

2018. december 18. 21:59:34 267

17.3 A kontinuum Hamilton-elv kiterjesztései 17 EGYDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUMAz időhatárokon a terek variációit hagyományosan zérusnak vesszük, míg a térbeli parciális integrálások határtagjaitmegtartjuk

δS =∑α

w t2

t1

w L

0

[fα − ∂x

∂Λ∂(∂xψα) + ∂2

xµα − ∂tpα]δψαdx dt

+∑α

w t2

t1

∂Λ∂(∂xψα)δψαdt

∣∣∣∣∣L

0+∑α

w t2

t1µαδ∂xψαdt

∣∣∣∣∣L

0−∑α

w t2

t1∂xµαδψαdt

∣∣∣∣∣L

0. (17.33)

A feszültség (17.29) definícióját is használva kapjuk a hatás variációja eltűnésének feltételére

0 = δS =∑α

w t2

t1

w L

0[fα + ∂xσα − ∂tpα] δψαdx dt−

∑α

w t2

t1σαδψαdt

∣∣∣∣∣L

0+∑α

w t2

t1µαδ∂xψαdt

∣∣∣∣∣L

0. (17.34)

A kettős integrál illetve a határtagok minden α-ra egyenként zérusnak veendők. Az előzőből nyerjük a (17.30) moz-gásegyenletet, míg a peremtagokból a PF-ek leolvashatók.

Ha a terek és első deriváltjaik rögzítettek a határon, akkor a peremtagok „automatikusan” eltűnnek. Másrészről,valamely α mellett a teljesen szabad PF azt jelenti, hogy mind a tér, mind a deriváltja tetszőleges, tehát ezekegyütthatóinak kell eltűnniük

σα|0 vagyL = 0, µα|0 vagyL = 0. (17.35)

Végezetül, kevert PF-ek is megvalósulhatnak, azaz ha a tér rögzített, de a deriváltja nem, akkor a peremen

σα|0 vagyL = tetszőleges, µα|0 vagyL = 0, (17.36)

míg szabad tér, de rögzített derivált esetén a feltételek felcserélődnek.A PF-ek utólag újabb indokot szolgáltatnak a σα feszültség és a µα nyomaték terminológiához: az előző szabad

peremérték esetén eltűnik, míg az utóbbinak a peremen tetszőleges meredekség megengedésekor kell zérussá válnia.

2018. december 18. 21:59:34 268

17.4 A húr kis rezgései: harmonikus közelítés 17 EGYDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUMA térben második deriváltat tartalmazó Lagrange-féle sűrűségfüggvénnyel adott probléma mozgásegyenletei álta-

lában a térben negyedrendű parciális differenciálegyenletek. Variációs megfontolásunk épp az ilyenek megoldásáhozalkalmas PF-eket állította elő.

17.4. A húr kis rezgései: harmonikus közelítésTérelméletben a harmonikus közelítés az jelenti, hogy a rendszert leíró terekben – a húr példáján az ui kitérésekben

– és minden deriváltjaikban legföljebb négyzetes tagokat tartunk meg a Lagrange-sűrűségfüggvényben. Ez nyilvánvalónakkor jó közelítés, ha a terek és deriváltjaik kicsinyek; a húr esetére pedig akkor, ha az kis rezgéseket végez. A húr(17.21) Lagrange-sűrűségfüggvényében csak az ui-k első deriváltjai lépnek fel, s a kinetikus energiasűrűség elevekvadratikus a sebességekben. A rugalmas energiasűrűség a a (17.21) formula második tagja, melyben sorbafejtjük azárójel alatti kifejezést a ∂xui deriváltakban másodrendig, s ehhez a

√1 + ∆ = 1 + ∆

2 + . . . közelítést is felhasználjuk

. . . =√

(1 + ∂xu1)2 + (∂xu2)2 − 1 + F

F + EA= (1 + ∂xu1)

√√√√1 + (∂xu2)2

(1 + ∂xu1)2 − 1 + F

EA+ F=

= 1 + ∂xu1 + 12

(∂xu2)2

1 + ∂xu1+ · · · − 1 + F

F + EA= ∂xu1 + 1

2(∂xu2)2 + F

F + EA+ . . . , (17.37)

ahonnan a rugalmas energiasűrűség harmonikus közelítő formulája

F + EA

2 . . . 2 ≈ F + EA

2 (∂xu1)2 + F

2 (∂xu2)2 + F∂xu1 + áll. (17.38)

A harmadik tag x-beli derivált, az L =r

dxΛ Lagrange-függvényhez a végpontokban ad csak járulékot, a variáláskornem változik rögzített végpontok esetén. A mozgásegyenletek tehát az alábbi sűrűségfüggvényből határozhatók meg

Λ ≈ A

2

ρ(∂tu1)2 − E(∂xu1)2 + ρ(∂tu2)2 − F

A(∂xu2)2

, (17.39)

2018. december 18. 21:59:34 269

17.5 Hullámegyenlet (m) 17 EGYDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUMahol elhanyagoltuk F -et EA mellett. Ez utóbbit azért tehettük, mert EA az az erő, amely a hiperlineáris húrtkétszeres hosszára nyújtja, a gyakorlatban pedig az F előfeszítés ennél általában sokkal kisebb.

A kanonikus mezők mostf1 = f2 = 0, pi = ρA∂tui, σ1 = EA∂xu1, σ2 = F∂xu2. (17.40)

Ezek A-szorosai a térfogati impulzussűrűségeknek ill. a szokásosan értelmezett feszültségeknek, azaz maguk lineárisimpulzussűrűségek ill. erők. A (17.24) mozgásegyenletek alakja végül

∂tp1 = ∂xσ1 ⇒ ρ ∂2t u1 = E∂2

xu1 longitudinális, (17.41)

∂tp2 = ∂xσ2 ⇒ ρ ∂2t u2 = F

A∂2xu2 transzverzális. (17.42)

A kétféle irányú rezgés független a harmonikus közelítésben, ugyanis nincs kereszttag a mozgásegyenletben, vagyezzel ekvivalensen, a Lagrange-sűrűség a két független rezgés Lagrange-sűrűségeinek az összege.

Kiemeljük, miszerint a variációs formalizmus újabb előnyére világít rá a fenti sorfejtés, éspedig arra, hogy a kö-zelítést érdemes a Lagrange-sűrűségfüggvényen végezni. Az ennek révén adódó közelítő mozgásegyenletek azonosakleszek a mozgásegyenleteken közvetlenül végzett közelítés eredményével, ez utóbbiakat azonban általában bonyolul-tabb számítani.17.7. Gyakorló feladat. A ρ sűrűséget kiemeltük az időderivált alól. Helyesen tettük ezt? [2]

17.5. Hullámegyenlet (m)Bevezetjük a következő rövidített jelölést

∂tψ → ψt, ∂xψ → ψx. (17.43)Ezzel a fent kapott egyenletek közös formája a

ψtt − c2ψxx = 0 (17.44)hullámegyenlet. Mint látni fogjuk, c a hullám terjedési sebességének abszolút értéke.

2018. december 18. 21:59:34 270

17.5 Hullámegyenlet (m) 17 EGYDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUM17.5.1. Haladó megoldás

PF nélkül (L→∞) mellett keressük a megoldást az alábbi alakban

ψ(x, t) = f(x− vt), (17.45)

amelyet a hullámegyenletbe helyettesítve nyerjük

v2f ′′ − c2f ′′ = 0⇒ |v| = c már D’Alembert ismerte. (17.46)

v = ±c: jobb-, illetve balfelé terjedő hullámok.Tehát az általános megoldás

ψ(x, t) = f+(x− ct) + f−(x+ ct), (17.47)

ahol f±(x) tetszőleges sima függvények, a jobbra/balra terjedő megoldásokat adják.A húr transzverzális és longitudinális hullámaira (17.41) és (17.42) szerint

ct =√F

ρA=√σ

ρ, cl =

√E

ρ. (17.48)

A transzverzális hullám annál gyorsabb, minél nagyobb a σ = F/A előfeszítő feszültség. A transzverzális sebességnem függ a rugalmas modulusztól! A longitudinális sebesség jellemzi a hosszirányban terjedő hullámokat rudakban is.

17.5.2. Szabad vég

Az egyik végen nem hat erő (ide helyezzük az origót), ezért a feszültség és emiatt a rugalmas energiasűrűség ittzérussá válik, ∂xψ(0, t) ≡ 0. A szál a x < 0 oldalon helyezkedik el, ez a fizikai tartomány. Legyen f+(x) = f(x)és válasszuk f−(x) = f(−x)-et, ezzel az x-ben páros ψ(x, t) = f(x − ct) + f(−x − ct) megoldást kapjuk, amelyautomatikusan teljesíti a PF-t. A megoldás x > 0 része ebben az elrendezésben fizikai testeket nem ír le.

2018. december 18. 21:59:34 271

17.5 Hullámegyenlet (m) 17 EGYDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUM

77. ábra. Szabad vég: a hullám visszaverődik. (A szaggatott vonal x = 0, tőle balra vana valóságos húr.)

78. ábra. Rögzített vég: a hullám tükrözve verődik vissza.

17.5.3. Rögzített vég

Rögzített vég ψ(0, t) ≡ 0, válasszuk f−(x) = −f(−x), ezzel antiszimmetrikus megoldást kapunk: ψ(x, t) =f(x− ct)− f(−x− ct).

17.5.4. Megoldás Fourier-sorral, rögzített végek mellett

Tekintsük a fix PF-t: ψ(0, t) = ψ(L, t) = 0, ehhez választjuk a kifejtés függvényeit színuszok alakjában

ψ(x, t) =∞∑n=1

an(t) sin nπxL

, (17.49)

2018. december 18. 21:59:34 272

17.5 Hullámegyenlet (m) 17 EGYDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUMállóhullámok szuperpozíciója. Az an(t) időfüggése (17.44) alapján

q qan(t) = −c2π

2n2

L2 an(t). (17.50)

an(t) harmonikusan rezeg az ωn = cπnL

frekvenciával. Hullámszám és hullámhossz

kn = ωnc

= πn

L, λn = 2π

kn. (17.51)

Az ω(k) a diszperziós reláció, itt lineáris ω = ck. A korábbról ismert általános harmonikus megoldást (17.49)-behelyettesítve

ψ(x, t) =∑n

(an(0) cosωnt+

qan(0)ωn

sinωnt)

sin nπxL

. (17.52)

Adott ψ(x, 0) és ψt(x, 0) KF esetén hogyan számítjuk ki az együtthatókat? Emlékeztető

2L

Lw

0

sin nπxL

sin n′πx

Ldx = 1

L

Lw

0

[cos (n− n′)πx

L− cos (n+ n′)πx

L

]dx = δnn′ , (17.53)

innen

an(0) = 2L

Lw

0

ψ(x, 0) sin nπxL

dx,qan(0) = 2

L

Lw

0

ψt(x, 0) sin nπxL

dx. (17.54)

Az an(0) és qan(0) kiszámíthatók a húr kezdeti alakjából és sebességéből!

Haladó hullámok soraként is felírható, komplex együtthatókkal

ψ(x, t) =∑n

[bne

i(ωnt−knx) + cnei(ωnt+knx)

]+ c.c. (17.55)

2018. december 18. 21:59:34 273

17.5 Hullámegyenlet (m) 17 EGYDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUM

79. ábra. Rögzített végű húr módusai.

→ Módus: egy harmonikusan rezgő szabadsági fok.→ Hangmagasság: alaphang ω1, felhangok ωn, n > 1,→ Hangszín: an(0), q

an(0),→ Hangerő (intenzitás, teljesítmény): ∑n [an(0)2 + q

an(0)2/ω2n].

17.8. Gyakorló feladat. Fejezzük ki bn, cn-et az an(0), qan(0) együtthatókkal! [2]

17.9. Gyakorló feladat. Írjuk fel az x = L-ben szabad végű megoldást Fourier-sor alakjában! [3]A: 2018.11.21 J | I 2018.11.28

2018. december 18. 21:59:34 274

18 VÉKONY RUDAK HAJLÍTÁSA (m)

18. Vékony rudak hajlítása (m)18.1. A Lagrange-féle sűrűségfüggvény és a mozgásegyenlet harmonikus közelítésben

Az egyszerűség kedvéért síkproblémát vizsgálunk, amely a térben megvalósulhat például akkor, ha kör kereszt-metszetű a rúd, ill. téglalap vagy ellipszis keresztmetszetű úgy, hogy az idomok egyik szimmetriatengelye a síkkalpárhuzamos. Ilyen esetben kis kitérésekre a nevezett síkban megkezdett mozgás során a rúd abban is marad.

A kinetikus, a transzverzális kitérésekhez tartozó rugalmas és a gravitációs potenciális energia

K = ρA

2

w L

0u2t dx, Vtr = F

2

w L

0u2x dx, Vpot = −ρgA

w L

0u dx. (18.1)

A transzverzális potenciálhoz feltettük, hogy u deriváltja kicsi, a gravitációshoz azt, hogy u is kicsiny. A fenti kifejezéseka harmonikus közelítésnek felelnek meg.

z

z=0

R

∆φ

l

∆ l

80. ábra. Rúd hajlítása. Az u transzverzális kitérést lefelé mérjük.

2018. december 18. 21:59:34 275

18.1 Lagrange-sűrűségfüggvény és a mozgásegyenlet 18 VÉKONY RUDAK HAJLÍTÁSA (m)Hátravan a hajlítási rugalmas energia Vhajl kiszámítása. Hagyjuk el az F nyújtó erőt, és tegyük fel, hogy van

olyan vonal a rúdban, a semleges réteg, amelynek hossza nem változik: azon mérjük x-et. A hajlítás okozta relatívmegnyúlás a semleges rétegtől z távolságra a geometriai hasonlóság alapján és a Hooke-törvény szerint (ld. 80. ábra)

z

R= ∆l

l= σ

E, (18.2)

ahol R a görbületi sugár és σ a keresztmetszetben z-vel jellemzett rétegében ébredő nyújtó feszültség. A teljeshosszirányban ébredő erő F = 0 mellett zérus, ezért a feszültség keresztmetszetre integrálásával kapjuk

wσ dz dy = E

R

wz dz dy = 0. (18.3)

A semleges réteg tehát a metszetek súlypontjain megy át. A forgatónyomaték

M =wσz dz dy = E

R

wz2 dz dy = E

RI. (18.4)

I az adott keresztmetszet hajlítási nyomatéka, geometriai jellemző, tőle is származik a hajlítási merevség. A ∆x (a80. ábrán l ) hosszú ívhez tartozó középponti szög ∆φ, mellyel a hajlítási energia (hasonlóan az F erővel ∆x-rekifeszített rugó energiájának 1

2F∆x formulájához)

∆φ = ∆xR⇒ 1

2M∆φ = EI

2R2 ∆x, ⇒ Vhajl = EI

2

w L

0

1R2 dx. (18.5)

Ez a formula akkor is érvényes, ha a rúd erősen kihajlik, miközben az x a neutrális vonal menti ívhossz!Kis kihajlásokra a görbületi sugár ismert képletét használjuk

R(x) = (1 + u2x)3/2

uxx≈ 1uxx

⇒ Vhajl ≈EI

2

w L

0u2xx dx. (18.6)

2018. december 18. 21:59:34 276

18.2 Két végén feltámasztott, előfeszítésmentes rúd behajlása 18 VÉKONY RUDAK HAJLÍTÁSA (m)Végül nyerjük a teljes Lagrange-függvényt a harmonikus közelítésben (az F hosszirányú előfeszítést is megengedve)

L = K − Vtr − Vpot − Vhajl =w L

0Λ dx, ahol Λ = ρA

2 u2t −

F

2 u2x + ρgAu− EI

2 u2xx. (18.7)

A Λ most uxx-től is függ, ezért a (17.30)-ben bevezetett µ kanonikus mezőt is felhasználjuk. A kanonikus mennyiségek

f = ∂Λ∂u

= ρgA, p = ∂Λ∂ut

= ρAut, µ = ∂Λ∂uxx

= −EIuxx, σ = − ∂Λ∂ux

+ µx = Fux − EIuxxx, (18.8)

ahol a 17.3.2 fejezet definícióit is használtuk, melyekkel a mozgásegyenlet

E = f − pt + σx = 0. (18.9)

Expliciten kiírva

ρAutt = ρgA+ Fuxx − EIuxxxx, (18.10)

ahol a jobboldalon rendre a gravitációs, rugalmas nyírási, ill. hajlítási (lineáris, azaz vonalmenti) erősűrűségek formuláiállnak. Ezekkel összhangban a kanonikus feszültség most erő, a µ pedig forgatónyomaték.

18.2. Két végén feltámasztott, előfeszítésmentes rúd behajlásaElőfeszítés hiányában F = 0, egyensúlyban utt = 0, ezért a (18.10) egyenlet szerint

uxxxx = ρgA

EI= áll. (18.11)

PF:

u(0) = u(L) = 0, uxx(0) = uxx(L) = 0. (18.12)

2018. december 18. 21:59:34 277

18.2 Két végén feltámasztott, előfeszítésmentes rúd behajlása 18 VÉKONY RUDAK HAJLÍTÁSA (m)Negyedfokúnál magasabb tagok (18.11) szerint nem léphetnek fel

u(x) = αx+ γx3 + δx4. (18.13)

Így u(0) = 0, uxx(0) = 0 rögtön teljesül. (18.11) alapján

δ = 124ρgA

EI. (18.14)

A uxx(L) = 0 feltétel

6γL+ 12δL2 = 0 ⇒ γ = −2δL. (18.15)

Az u(L) = 0 feltétel szerint

α− 2δL3 + δL3 = 0 ⇒ α = δL3. (18.16)

A rúd alakja tehát

u(x) = δ(x4 − 2x3L+ xL3). (18.17)

81. ábra. Végein feltámasztott rúd.

2018. december 18. 21:59:34 278

18.3 Befogott, súlytalan rúd szabad végét húzzuk merőlegesen 18 VÉKONY RUDAK HAJLÍTÁSA (m)18.3. Befogott, súlytalan rúd szabad végét húzzuk merőlegesen

A végpontban hassunk F erővel a feszültségmentes rúdra merőlegesen (ld. a 80. ábra, melyen most F = 0, s alehajlás eltúlzottan van ábrázolva).

18.3.1. Variáció nélkül

A külső erő forgatónyomatéka M ≈ FL. Kihasználjuk a forgatónyomaték (18.4) képletét, ezért a PF

u(0) = 0, ux(0) = 0, uxx(L) = 0, uxx(0) = FL

EI. (18.18)

Az egyensúly feltétele gravitáció nélkül a (18.10) alapjánuxxxx = 0 ⇒ u(x) = βx2 + γx3. (18.19)

A forgatónyomatékok alapján

β = FL

2EI , 2β + 6γL = 0 ⇒ γ = − β

3L. (18.20)

A rúd alakja tehát

u(x) = FL

2EI

(x2 − x3

3L

)(18.21)

18.3.2. Variációszámítással (*)

A 17.3.2. fejezet Peremfeltételek c. bekezdésében elmondottakhoz hasonlóan járunk el. Az időfüggetlen u(x)kitérést keressük, mellyel a rugalmas és a külső erő miatt fellépő potenciális energia összege

V = EI

2

w L

0(u′′(x))2dx− F u(L). (18.22)

2018. december 18. 21:59:34 279

18.3 Befogott, súlytalan rúd szabad végét húzzuk merőlegesen 18 VÉKONY RUDAK HAJLÍTÁSA (m)Ennek variációja tűnik el egyensúlyban

δV =EIw L

0u′′(x)δu′′(x)dx− F δu(L) = −EI

w L

0u′′′(x)δu′(x)dx+ EIu′′(L)δu′(L)− F δu(L)

=EIw L

0u′′′′(x)δu(x)dx− EIu′′′(L)δu(L) + EIu′′(L)δu′(L)− F δu(L) = 0, (18.23)

ahol közben kihasználtuk, miszerint az origóban az elmozdulás és a deriváltja zérusra rögzített. Innen leolvasható aPF alakja annak alapján, hogy a rúd végén mind az elmozdulás, mind annak deriváltja határozatlan,

µ(L) = −EIu′′(L) = 0, σ(L) = µx(L) = −EIu′′′(L) = F, (18.24)ahol a korábban bevezetett kanonikus jelöléseket is használtuk. Tehát a peremen a forgatónyomaték eltűnik és afeszültséget pedig a külső erő kelti. A (18.19) formulára a fenti két határfeltételt alkalmazva visszakapjuk a (18.21)megoldást.

Megjegyzés: A 18.3.1. fejezetben felvett PF láthatóan ekvivalens az itteni, variációszámítással kapott PF-lel. Eztmagyarázhatjuk azzal, hogy a szabad végen variációsan előírt feszültség a rúd mentén állandó, s belőle a lineárisanváltozó

µ(x) = −EIuxx = F (L− x) (18.25)forgatónyomaték adódik. Ez viszont a befogási pontban éppen ellentart a külső forgatónyomatéknak, s ily módonelőállt a 18.3.1. fejezetben variációszámítási szabály nélkül meglátott PF. Az utóbbi PF e példára speciális, általánosmódszerként a variácós PF-t használhatjuk.

E: 2018.11.23 J | I 2018.11.2818.1. Gyakorló feladat. Egyik végén befogott, saját súlyánál fogva hajlott rúd alakja? Útmutató: az egyensúly diffe-renciálegyenletét ismerjük, meghatározandók a határfeltételek. [3]18.2. Gyakorló feladat. Mindkét végén egy tengely mentén befogott rúd saját súlyánál fogva hajlított alakja? (Avégeken eredő erővel nem, csak forgatónyomatékkal hatunk.) [3]18.3. Gyakorló feladat. Előfeszített húr (azaz nincs hajlítási merevsége) saját súlya alatt felvett alakja? [2]

2018. december 18. 21:59:34 280

18.4 Hosszirányban összenyomott rúd Euler-féle instabilitása 18 VÉKONY RUDAK HAJLÍTÁSA (m)18.4. Hosszirányban összenyomott rúd Euler-féle instabilitása

Most F = −|F | < 0, továbbá g = 0, a mozgásegyenlet alakja

ρAutt = −|F |uxx − EIuxxxx. (18.26)

Az u(x, t) = ei(ωt−kx) behelyettesítéssel kapjuk az ω(k) diszperziós relációt

−ω2ρA = |F |k2 − EIk4 ⇒ ω2(k) = k2

ρA(−|F |+ EIk2). (18.27)

A diszperzió nemlineáris! Nagy nyomóerő esetén, kis hullámszámra negatívvá válik ω2, ez instabilitást jelent (Euler-instabilitás). Ugyanis ekkor ω = ±iσ, ilyenkor az időfüggő együttható eiωt = e±σt, ezek egyike exponenciálisan nő.Ez annak jele, hogy a rúd kihajlik. Nagyobb kihajlások mellett nemlineáris erők tartják végesnek.

Ha a rúd végeit csuklóval rögzítjük, akkor a PF u(0) = u(L) = 0 és u′′(0) = u′′(L) = 0, mely esetben a módusokhelyfüggése színuszos. A legkisebb megengedett hullámszám k1 = π/L, ezért |F | növekedésével ez a módus leszelőször instabil, ahonnan

|F |krit = EIπ2/L2. (18.28)

18.4. Gyakorló feladat. Mekkora a kritikus erő, ha a rúd mindkét végét befogjuk? [4]18.5. Gyakorló feladat. Mekkora a kritikus erő, ha a rúd egyik végét befogjuk, s a másik szabad, azaz kihajolhat? [4]

A: 2018.11.28 J | I 2018.11.30 E: 2018.11.28 J | I 2018.12.05

18.5. Rudak nagy kihajlása (*)Az alábbiakban a gravitációt és az előfeszítést elhanyagolva, azaz csak a hajlítási potenciális energia figyelem-

bevételével vizsgáljuk vékony rudak síkbeli, nagy kitéréseinek egyensúlyi helyzeteit. A hajlítás során a rúd L hosszát

2018. december 18. 21:59:34 281

18.5 Rudak nagy kihajlása (*) 18 VÉKONY RUDAK HAJLÍTÁSA (m)állandónak tekintjük. Egyszerű példa a vékony, kör keresztmetszetű rúd esete, amikor is az egyenes rúddal egy síkbaeső erők hatására felvett egyensúlyi alak síkgörbe.

A hajlítási energiára kapott (18.5) formula kiterjeszthető nagy kitérésekre, amennyiben a rúd belsejében levő térfo-gatelemek relatív megnyúlása kicsiny marad. A 80. ábra jelöléseivel ez azt jelenti, hogy ∆` `, azaz a keresztmetszetátmérője jóval kisebb az R rádiusznál. Eközben a kihajlás lehet nagy, ezért az L hosszú rúd görbéjét az x helyett azívhosszal paraméterezzük, mellyel a hajlítási energia

Vhajl = EI

2

w L

0

1R2 d`. (18.29)

Síkgörbét jellemezhetünk a pontjai ϑ irányszögével, azaz a ϑ(`) függvénnyel. Mivel ennek deriváltja a görbület, azért1R

= ϑ′(`) ⇒ Vhajl = EI

2

w L

0ϑ′(`)2d`. (18.30)

x

y

θ

F

82. ábra. A szabad végén oldalra húzott rúd.

18.5.1. Befogott, „oldalra húzott” végű rúd

Tekintsük a 82. ábrán látható helyzetet, azaz a rúd elejét fogjukbe az x irányban, míg a másik végét a feszültségmentes irányra me-rőleges, y irányú F erővel húzzuk (nem összetévesztendő a korábbanF -fel jelölt előfeszítéssel), s kérdezzük az egyensúlyi görbe alakját.A rendszer teljes potenciális energiája

V = Vhajl − F y1 = EI

2

w L

0ϑ′(`)2d`− F

w L

0sinϑ(`)d`, (18.31)

ahol felhasználtuk a dy = sinϑd` relációt, melynek integrálja adja a végpont y1 ≡ y(L) kitérését. Noha a hajlítást nemfeltétlenül állandó F mellett hoztuk létre, az egyensúlyt számíthatjuk állandó F használatával – ilyet valósíthatunkmeg, ha például a rúd végére ennél jóval nehezebb tömegpontot erősítünk homogén gravitációs térben.

2018. december 18. 21:59:34 282

18.5 Rudak nagy kihajlása (*) 18 VÉKONY RUDAK HAJLÍTÁSA (m)Az egyensúlyban a potenciális energia stacionárius

0 = δV =w L

0(EIϑ′δϑ′ − F cosϑδϑ) d` = −

w L

0(EIϑ′′ + F cosϑ) δϑd`+ EIϑ′δϑ

∣∣∣L0. (18.32)

A PF-ek innen leolvashatók: a befogott végen δϑ(0) = 0, a szabadon a δϑ határozatlan, ezért ϑ′(L) = 0. AzEuler–Lagrange-egyenlet

E = EIϑ′′(`) + F cosϑ(`) = 0, (18.33)

és a megmaradó kanonikus energia (a „kan” index a Young-modulusztól különbözteti meg)

Ekan = EI

2 ϑ′(`)2 + F sinϑ(`) = F sinϑ1 = EI

2 ϑ′20, ahol ϑ1 = ϑ(L), ϑ′0 = ϑ′(0). (18.34)

F sin θ

θθ1

83. ábra. Az inga-analógia szemléltetése: a víz-szintes helyzetből indított, felfelé mozgó, lassu-ló inga időfüggése ekvivalens a rúd hajlásszögé-nek ívhosszfüggésével.

A (7.51) formulákkal való összevetésből láthatóan a hajlított rúdtehát az ingával azonosan írható le, ha a szöget a vízszintestől fel-felé mérjük, s az időváltozónak az ívhossz felel most meg. Ennekalapján a hajlítást úgy gondolhatjuk el, miszerint a kezdeti ϑ′0 „szög-sebességgel” a vízszintes helyzetből, ϑ0 = 0-ból felfelé indított ingaa ϑ1 fordulópontig emelkedik, ld. 83. ábra. A megállásig eltelt időa rúd hosszának felel meg. Minél rövidebb a rúd, ill. minél kisebb ahúzóerő, annál kisebb ϑ1-ig hajlik ki a rúd, kis mennyiségek mellettarányos relációban.

A görbe egyenletét kijelölhetjük az energiamegmaradás alapján

`(ϑ) =√EI

2F

w ϑ

0

dϑ√sinϑ1 − sinϑ

, (18.35)

2018. december 18. 21:59:34 283

18.5 Rudak nagy kihajlása (*) 18 VÉKONY RUDAK HAJLÍTÁSA (m)ahol a fordulópont szögét az `(ϑ1) = L feltétel adja. Hasonló kifejezéssel, nem teljes, elsőfajú elliptikus integrállaltalálkoztunk a síkinga példáján, ld. a (7.62). formula.

A derékszögű komponensekre az alábbi parametrikus alakot kapjuk

x =w

cosϑd` =√EI

2F

w ϑ

0

cosϑdϑ√sinϑ1 − sinϑ

=√

2EIF

(√sinϑ1 −

√sinϑ1 − sinϑ

), (18.36)

y =√EI

2F

w ϑ

0

sinϑdϑ√sinϑ1 − sinϑ

. (18.37)

18.6. Gyakorló feladat. Kis hajlításra nyerjük vissza a (18.21) eredményt! [3]18.7. Gyakorló feladat. Mi a feltétele a derékszögben elhajlásnak, azaz a ϑ1 = π/2 végső hajlásszögnek? [2]

18.5.2. Befogott, „visszafelé húzott” végű rúd

x

y

θ

F

84. ábra. A szabad végén visszahúzott rúd.

Tekintsük a 84. ábrán látható helyzetet, azaz a rúd elejét fogjukbe az x irányban, míg a másik végét visszafelé F erővel húzzuk. Ezutóbbit a feszítetlen állapothoz képest a

−F (L− x) = Fw L

0cosϑ(`) d`− FL (18.38)

potenciális energiával vehetjük figyelembe. Az állandó tag elhagyásaután a rendszer teljes potenciális energiája

V = EI

2

w L

0ϑ′(`)2d`+ F

w L

0cosϑ(`)d`. (18.39)

2018. december 18. 21:59:34 284

18.5 Rudak nagy kihajlása (*) 18 VÉKONY RUDAK HAJLÍTÁSA (m)Innen az Euler–Lagrange-egyenlet ill. a kanonikus energia

E = EIϑ′′(`) + F sinϑ(`) = 0, (18.40)

Ekan = EI

2 ϑ′(`)2 − F cosϑ(`) = −F cosϑ1 = EI

2 ϑ′20 − F. (18.41)

Visszanyertük a síkinga (7.51) formuláit! A visszafelé húzott végű rúd tehát a ϑ0 = 0 egyensúlyi helyzetéből valamelykezdeti ϑ′0 „szögsebességgel” felfelé indított inga a ϑ1 fordulópontig emelkedik, ld. 85. ábra.

θ

−F cosθ

θ1

85. ábra. Visszafelé húzott végű rúd szemlélte-tése inga kitérésével.

A megállásig eltelt idő most is a rúd hosszának felel meg. Szem-ben az oldalra húzott végű rúd esetével, itt az analóg ingamozgásidejét alulról pozitív minimális idő határolja , éspedig az L „idő” aharmonikus lengés, azaz a matematikai inga 2π

√EI/F „periódus-

idejének” negyedénél nem lehet rövidebb, azaz

F ≥ EIπ2

4L2 . (18.42)

Ha ez nem teljesül, akkor egyetlen olyan megoldás található az in-gamozgásra, amely rövidebb ideig tarthat, éspedig a ϑ = 0 nyugal-mi helyzet, amelynek az egyenes rúd felel meg. A jobboldal tehátaz egyik végén befogott, a másik végén nem rögzített rúd Euler-instabilitásának kritikus ereje, melyet a 18.5 gyakorló feladat is kér-dezett. Érdemes az alapesethez, azaz a két végén csuklóval rögzített rúdhoz tartozó (18.28) kritikus erővel összeha-sonlítani, éspedig annak a negyede elegendő az itt vizsgált instabilitás eléréséhez.

Nagy kitérésekre a görbe alakját az energiamegmaradás alapján a következőképpen adhatjuk meg

`(ϑ) =√EI

2F

w ϑ

0

dϑ√cosϑ− cosϑ1

, (18.43)

2018. december 18. 21:59:34 285

18.6 Rudak harmonikus rezgései (*) 18 VÉKONY RUDAK HAJLÍTÁSA (m)mely a 0 ≤ ϑ ≤ ϑ1 tartományban érvényes. A ϑ1 fordulópont az L = `(ϑ1) relációból számítható.

18.8. Gyakorló feladat. Mutassuk ki a (18.43) kifejezés kis elhajlásokra érvényes limesze alapján a feljebb tárgyaltEuler-instabilitást! [3]18.9. Gyakorló feladat. Írjuk fel a görbe derékszögű koordinátáit parametrikus alakban, lehetőleg elvégezve az integ-rálokat! [4]18.10. Gyakorló feladat. Milyen inga-analógiával írhatjuk le a tetszőleges (síkbeli) irányban meghúzott végű rúdelhajlását? [3]18.11. Gyakorló feladat. Húzzuk meg a rudat az L1 hosszal jellemzett közbülső helyén F1, az L2 végén F2 erőkkel(a) oldalra; (b) visszafelé. Adjuk meg a görbék parametrikus alakját. [3-3]

18.6. Rudak harmonikus rezgései (*)18.6.1. Longitudinális rezgések: rúd, végén tömegponttal

Noha a jelen 18 fejezet vékony rudak transzverzális kitéréseivel, hajlítással foglalkozik, a kis rezgések variációsmegközelítésének illusztrálásául először visszanyúlunk a longitudinális rezgésekhez.

E

M

L

86. ábra. Rúd longitudinális rezgései a végéreerősített tömeg jelenlétében.

A rúd (vagy húr, vagy rugó) végére erősített tömeg jelenlétébentörténő longitudinális rezgéseket elsőéves kurzus tárgyalta, melye-ket alább a lagrange-i megközelítésben vezetünk be. A Lagrange-függvény egyrészről a (17.39) sűrűség longitudinális, azaz u1-et tar-talmazó része térintegráljának, másrészről az M tömeg kinetikusenergiájának összege. Innen a hatás, az u = u1 jelöléssel

S = 12

wdtw L

0

[ρAu2

t (x, t)− EAu2x(x, t)

]dx+Mu2

t (L, t). (18.44)

2018. december 18. 21:59:34 286

18.6 Rudak harmonikus rezgései (*) 18 VÉKONY RUDAK HAJLÍTÁSA (m)A szokásos jelölésekkel a hatás stacionaritási feltétele, az u(0, t) ≡ 0 PF felhasználásával

p = Aρut, σ = EAux, (18.45)δS =

x(σx(x, t)− pt(x, t)) δu(x, t) dt dx−M

wutt(L, t) δu(L, t) dt−

wσ(x, t) δu(L, t) dt = 0, (18.46)

ahonnan

σx(x, t) = pt(x, t) ⇒ Euxx(x, t) = ρutt(x, t) (18.47)σ(L, t) = −Mutt(L, t) ⇒ EAux(L, t) = −Mutt(L, t). (18.48)

π/2

3π/2

ctg z

Mz/m

...

z

z1

z2

87. ábra. A hullámszámok egyenlete.

Az Euler–Lagrange-egyenlet hullámegyenlet, s ennek azon álta-lános megoldása, mely az x = 0-ban rögzített, az alábbi módusoklineárkombinációja

uk(x, t) = sinωt sin kx, ω = ck, c =√E/ρ. (18.49)

Ezt beírva a (18.48) PF-be nyerjük

−kEA cos kL = −Mω2 sin kL = −MEk2

ρsin kL (18.50)

⇒ ctg z = Mz

m, ahol z = kL, m = ρAL. (18.51)

Itt z a dimenziótlanított hullámszám és m a rúd tömege. Az egyen-letnek végtelen sok transzcendens gyöke van, z1, z2, . . . , nagy indexrezn ≈ nπ, amely jó közelítés lehet kisebb n-ekre is. A szabad végű rúd, M = 0 esetén zn = (n− 1/2)π. Az ellenkező

2018. december 18. 21:59:34 287

18.6 Rudak harmonikus rezgései (*) 18 VÉKONY RUDAK HAJLÍTÁSA (m)határesetben, M m, mellett sorfejtéssel kiszámítjuk az alapfrekvenciát

ctg z ≈ 1z− z

3 −z3

45 ⇒1z2 ≈

M

m

(1 + m

3M + m2

45M2

), (18.52)

⇒ ω1 =

√√√√Ez21

ρL2 ≈√√√√ Em

ρML2(1 + m

3M + m2

45M2

) =√

EA

LMeff, (18.53)

amely azonos a tömegtelen rúdra helyezett, Meff tömegű test rezgéseinek frekvenciájával. Látható, vezető rendben arúd a tömegének harmadával járul hozzá az effektív tömeghez. Mint később látni fogjuk, kis hullámszámú módusokáltalában lassabban csillapodnak, ezért M m mellett véges idő múlva az alapmódus fog dominálni.18.12. Gyakorló feladat. Határozzuk meg a sajátfrekvenciák vezető korrekcióit nagy n mellett. Ha M = m, akkorhanyadik felhang frekvenciája lesz 1%-on belül az aszimptotikus értéktől? [4]18.13. Gyakorló feladat. Ellenőrizzük az effektív tömegre fent közölt sorfejtést. Számoljuk ki numerikusan és ábrá-zoljuk az effektív tömeget és az alapfrekvenciát a tömegarány függvényében. [4]18.14. Gyakorló feladat. Mekkora effektív tömeget kapunk vezető rendben, ha azt az első felhang frekvenciájábólszámítjuk? [4] E: 2018.12.05 J | I 2018.12.07

18.6.2. Hajlítási rezgések: „hangvilla”, végén tömegponttal

u

x

M

88. ábra. Rúd-tömegpont rendszer hajlási rez-gései, gravitáció nélkül.

Az alábbiakban a (88). ábra szerint az egyik végén befogott, amásik végén M tömeget tartó rúd harmonikus sajátrezgéseit vizs-gáljuk előfeszítés és gravitáció nélkül. Az M = 0 mellett a rendszerhangvillára emlékeztet, elágazás nélkül.

A hatás az u(x, t) transzverzális kitérés funkcionálja

S = 12

wdtw L

0

[ρAu2

t (x, t)− EIu2xx(x, t)

]dx+Mu2

t (L, t). (18.54)

2018. december 18. 21:59:34 288

18.6 Rudak harmonikus rezgései (*) 18 VÉKONY RUDAK HAJLÍTÁSA (m)A stacionaritási feltétel az u(0, t) ≡ 0, ux(0, t) ≡ 0 PF-ek felhasználásával

p = Aρut, µ = −EIuxx, σ = µx, (18.55)δS =

x(σx(x, t)− pt(x, t)) δu(x, t) dt dx+

wµ(L, t) δux(L, t) dt−

wσ(L, t) δu(L, t) dt

−Mwutt(L, t) δu(L, t) dt = 0, (18.56)

ahonnan

σx(x, t) = pt(x, t) ⇒ − γ2uxxxx(x, t) = utt(x, t), ahol γ2 = EI/ρA (18.57)σ(L, t) = −Mutt(L, t) ⇒ EIuxxx(L, t) = Mutt(L, t) (18.58)µ(L, t) = 0 ⇒ uxx(L, t) = 0. (18.59)

A (18.57) mozgásegyenlet egyensúlyi állapotból induló megoldását az alábbi alakban keressük

u(x, t) = aψ(x) sinωt, ahol ψ(x) = sin kx+ b sh kx+ c cos kx+ d ch kx. (18.60)

Ez a legáltalánosabb, szorzat alakú megoldás, s az általános megoldás ilyen típusú függvények lineárkombinációja.Visszaírva a (18.57) egyenletbe nyerjük

ω2ψ = γ2ψ(IV ) = −γ2k4ψ ⇒ ω = γk2. (18.61)

A peremfeltételeket az együtthatók megválasztásával elégíthetjük ki, éspedig az origóban

u(0, t) ≡ 0 ⇒ ψ(0) = 0 ⇒ d = −c, (18.62)ux(0, t) ≡ 0 ⇒ ψ′(0) = 0 ⇒ b = −1, (18.63)⇒ ψ(x) = sin kx− sh kx+ c (cos kx− ch kx) . (18.64)

2018. december 18. 21:59:34 289

18.6 Rudak harmonikus rezgései (*) 18 VÉKONY RUDAK HAJLÍTÁSA (m)A rúd másik végén a forgatónyomaték eltűnik

uxx(L, t) ≡ 0 ⇒ ψ′′(L) = 0 ⇒ sin kL+ sh kL+ c (cos kL+ ch kL) = 0, (18.65)

melyből nyerjük c-t. A (18.58) feltétel szerint

−Mω2ψ(L) =−Mγ2k4 [sin kL− sh kL+ c (cos kL− ch kL)]=EIψ′′′(L) = EIk3 [− cos kL− ch kL+ c (sin kL− sh kL)] , (18.66)

melybe a fenti c-t behelyettesítve, a z = kL jelöléssel kapjuk

Mγ2k

EI= M

mz = (cos z + ch z)2 + (sin z + sh z)(sin z − sh z)

(cos z + ch z)(sin z − sh z)− (sin z + sh z)(cos z − ch z) = cos z ch z + 1ch z sin z − cos z sh z = φ(z).

(18.67)

–1

–0.5

0

0.5

1

2 4 6 8 10

z

89. ábra. A szabad túlvégű rúd (M=0) hullám-számait meghatározó egyenlet szemléltetése.

Ennek zn megoldásai adják a frekvenciákat a rúd m tömegévelkifejezve

ωn = γk2n = γ

L2 z2n =

√EI

ρAL4 z2n =

√EI

mL3 z2n. (18.68)

Alább elemezzük az eredményt.Szabad túlsó végű rúd: ekkor M = 0, s a frekvenciákat

φ(z) = 0 ⇒ cos z = −1/ ch z (18.69)

gyökei adják, mely egyenletet a 89. ábra szemlélteti. A legkisebb gyökz1 = 1.875.., a többi jó közelítéssel zn ≈ (2n− 1)π/2.

2018. december 18. 21:59:34 290

18.6 Rudak harmonikus rezgései (*) 18 VÉKONY RUDAK HAJLÍTÁSA (m)18.15. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a mindkét végén befogott rúd módusait a cos z = 1/ ch z egyenlethatározza meg. [4]

Összehasonlításképpen, a két végén befogott rúdhoz tartozó legkisebb gyök 4.712.., tehát a hozzá tartozó hul-lámhossz kevesebb, mint 0.4-ed része, a frekvencia pedig több, mint 6-szorosa a szabad végű rúd alapmódusának.

Elhanyagolható tömegű rúd: az alapmódus frekvenciáját az m→ 0 limeszben alább kapjuk

M

mz1 = φ(z1) ≈ 3

z31⇒ z2

1 ≈√

3mM

⇒ ω1 =√EI

mL3 z21 ≈

√3EIML3 . (18.70)

18.16. Gyakorló feladat. Vezessük le a tömegtelen rúd alapfrekvenciáját közvetlen számítással, azaz az eredeti moz-gásegyenlet sztatikus megoldásának segítségével. [3]18.17. Gyakorló feladat. Adjuk meg a vezető felharmonikus, ill. a magas harmonikusok frekvenciáit a kism limeszben.[2-2]

Általános eset: Az alábbi módon bevezetett effektív tömeg állítja elő az alapfrekvenciát

z21 =

√3mMeff

⇒ ω1 =√

3EIMeffL3 (18.71)

A tömegarányban első rendben nyerjük

φ(z) ≈ 3z3 −

33z140 ⇒ Meff ≈M

(1 + 33

140m

M

). (18.72)

Az általános zn gyököket meghatározó egyenletet a 90. ábra szemlélteti.

18.18. Gyakorló feladat. Ábrázoljuk az effektív tömeget és az alapfrekvenciát a tömegarány függvényében. [3]

2018. december 18. 21:59:34 291

18.6 Rudak harmonikus rezgései (*) 18 VÉKONY RUDAK HAJLÍTÁSA (m)

90. ábra. A hullámszámok (18.67) egyenletének szemléltetése.

2018. december 18. 21:59:34 292

19 KÉTDIMENZIÓS KONTINUUM: MEMBRÁNOK (*)E: 2018.12.07 J | I 2018.11.28

19. Kétdimenziós kontinuum: membránok (*)Vékony 2D anyag transzverzális rezgéseit vizsgáljuk. A membránnak nincs hajlítási merevsége, a lemeznek van.

19.1. Feszített membránok transzverzális rezgéseiA membrán vastagsága d, a sűrűsége ρ, és legyen homogén, izotrop módon előfeszítve σ0 feszültséggel; mindezeket

állandóknak tekintjük. A kinetikus energia

K = 12

wρu2

tdV = ρd

2

wu2t dx dy. (19.1)

A húr transzverzális kitéréseinek rugalmas energiáját láttuk előzőleg

V = F

2

wu2x dx = σ0A

2

wu2x dx = σ0

2

wu2x dV. (19.2)

Ennek analógiájára a membrán esetén

V = σ0d

2

w(u2

x + u2y) dx dy = σ0d

2

w|∇u|2 dx dy. (19.3)

Összegezzük a Lagrange-sűrűséget, ahonnan a kanonikus mezők

Λ = ρd

2 u2t −

σ0d

2 |∇u|2 ⇒ f = 0, p = ρdut, σ = σ0d∇u, (19.4)

ahonnan a mozgásegyenletpt = ∇σ ⇒ ρutt = σ0(uxx + uyy) = σ04 u. (19.5)

Ez a 2D hullámegyenlet, a terjedési sebesség c =√σ0/ρ, hasonlóan a húr formulájához.

2018. december 18. 21:59:34 293

19.1 Feszített membránok transzverzális rezgései 19 KÉTDIMENZIÓS KONTINUUM: MEMBRÁNOK (*)19.1. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy f(kr − ωt) alakú függvény megoldás, ha ω = ck. [2]

A mozgásegyenletbe ei(ωt−kr) behelyettesítéssel adódik

c2k2 = ω2, (19.6)

lineáris a diszperzió. Lx, Ly méretű téglalapra feszített membrán esetén a megengedett hullámszámok

kxn = nπ

Lx, kym = mπ

Ly. (19.7)

ωnm = cπ

√√√√n2

L2x

+ m2

L2y

. (19.8)

Alaphang: n = m = 1, azaz ω11. A felharmonikusok nem ω11p/q alakúak, mint a húrban, ezért dallam nem játszható.(Téglalapra feszített membránban a feszültség általában nem izotrop, itt a példa kedvéért közelítettünk.)

2018. december 18. 21:59:34 294

20 HÁROMDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUM

20. Háromdimenziós rugalmas kontinuum, a deformáció és a feszültségtenzora (m)

20.1. A deformációtenzor definíciója

r

r’∆r

u+ u

u

∆

∆r’

91. ábra. Közeli pontok elmozdulása.

Rugalmas deformációnak, azaz alakváltozásnak olyan elmozdulást neve-zünk, amely a rugalmas energia megváltozásához vezet. Fizikai érzékünk isazt sugallja, hogy ilyenek azok az elmozdulások, amelyek révén az anyagbanlevő távolságok, helyüktől és irányuktól függően, általában megváltoznak. Eváltozást jellemzi a deformációtenzor.

Ha az r helyen levő tömegelem elmozdulása a deformáció hatására u(r),akkor a deformáció előtt egymáshoz képest ∆r helyzetben levő anyagelemekúj relatív helyzete ∆r′. A 91. ábrán magyarázott jelölésekkel

∆r′ = ∆r + u(r + ∆r)− u(r) ≈ (1 + (∇ u)T)∆r ⇒ (20.1)|∆r′|2 = ∆r(1 +∇ u)(1 +∇ u)T∆r = |∆r|2 + 2 ∆r ε ∆r. (20.2)

Ez definiálja az ε deformációtenzort. Megjegyzés: Az 1 + 2ε = g metri-kus tenzornak tekinthető, amely a deformáció utáni távolságokat jellemzi adeformáció előtti koordinátákkal.

A deformációtenzor expliciten

ε = 12[∇ u+ (∇ u)T + (∇ u)(∇ u)T

]. (20.3)

Lineáris rugalmasságtanban (az alábbiakban erre szorítkozunk) a deriváltakban másodrendű tagot elhagyhatjuk

ε = 12[∇ u+ (∇ u)T

]≡ def u, (20.4)

2018. december 18. 21:59:34 295

20.2 A deformációtenzor értelmezése 20 HÁROMDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUMamely definiálja a „deformáció” vektor differenciál operációt. Ilyenkor az εij-k maguk is kicsik.

20.2. A deformációtenzor értelmezése→ Szimmetrikus, ezért (adott helyen) főtengelyrendszerre forgatható, sajátértékei εi.→ Az i-edik fő irányba mutató ∆r megnyúlása

|∆r′| − |∆r| =√

1 + 2εi|∆r| − |∆r| ≈ εi|∆r|. (20.5)

Tehát εi jelentése relatív megnyúlás.→ Az elemi térfogat megváltozása főtengelyrendszerben

∆V ′ ≈ Πi(1 + εi)∆V ≈ (1 +∑i

εi)∆V ⇒ Θ ≡ ∆V ′ −∆V∆V = Tr ε = divu. (20.6)

Mivel tenzor nyoma invariáns ortogonális transzformációkra, ez a relatív térfogatváltozás nemcsak főtengely-rendszerben.

→ Eltolás:

u = u0 = áll ⇒ ε = 0. (20.7)

→ Forgatás: kicsiny ∆ϕ szöggel, ennek elemei állandók

u = ∆ϕ× r. (20.8)

20.1. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy kicsiny elforgatásra a lineáris deformációtenzor eltűnik: ε =def (∆ϕ× r) = 0. [1]20.2. Gyakorló feladat. Mutassuk meg közvetlen számítással, miszerint tetszőleges forgatásra a (20.3) formu-lával definiált nemlineáris deformációtenzor zérus. [3]

2018. december 18. 21:59:34 296

20.3 Rugalmas energia 20 HÁROMDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUM

92. ábra. Nyújtás és nyírás.

→ Homogén deformációk: εij térben állandó? csak ε11 6= 0 ε11 = ∂1u1 ⇒ u1 = x1ε11 (nyújtás) ⇒ ε11 = u1/x1 ∼ relatív megnyúlás? csak ε12 = ε21 = 1

2(∂1u2 + ∂2u1) 6= 0 (nyírás)

u1 = ε12x2, u2 = ε12x1 ⇒ tan γ = u2

x1= u1

x2= ε12 ≈ γ. (20.9)

A nemdiagonális elem az él elfordulásának szögével arányos. Az elmozdulástér tükörszimmetrikus az x1 =x2 tengelyre.

20.3. Rugalmas energiaA rugalmas deformáció Φ energiája általában ε-tól függ

Φ[ε] =wφ(ε) d3r. (20.10)

2018. december 18. 21:59:34 297

20.3 Rugalmas energia 20 HÁROMDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUMKorábban V -vel is jelöltük. A φ a rugalmas energiasűrűség, jó közelítéssel nem függ a deformációtenzor deriváltjaitól.Lineáris rugalmasságtanban az energiasűrűség másodrendű kifejezés

φ = 12εijCijklεkl ≡

12ε : C : ε. (20.11)

Itt bevezettük az összegzési konvenciót: azonos indexekre automatikusan összegzünk. A „ : ” két index egybeejtésétjelzi. A Cijkl-k a rugalmas moduluszok, anyagi állandók, melyek általános szimmetriái

Cijkl = Cjikl = Cklij (20.12)Mivel ε-nak 6 független eleme van, a Cijkl 6x6 szimmetrikus mátrixnak tekinthető, 6(6 + 1)/2 = 21 függetlenelemmel. Az elemek fajtái és darabszámuk (i 6= j 6= k 6= i)

Ciiii ∼ 3, Cijij ∼ 3, Cijjj ∼ 6 (20.13)Ciijj ∼ 3, Cijik ∼ 3, Ciijk ∼ 3 (20.14)

A legkisebb szimmetriájú kristály triklin, melyben a független elemek száma 21. A kristályszimmetriák ezt a számotcsökkentik. Monoklin, azaz egy tengely körüli 180-os elforgatási szimmetria: 13, ortorombos: 9, négyzetes: 6, köbös:3.

Izotrop anyagban (pl. gumi, vagy nagyszámú, véletlenszerű állású mikrokristályból álló, azaz polikristályos anyag):a deformációtenzorból két kvadratikus skalár képezhető, ezekből áll elő az energiasűrűség

φ = λ

2 ( Tr ε)2 + µTr ε2. (20.15)

A két anyagi paraméter λ, µ a Lamé-állandók, TrA pedig az A tenzor nyoma.20.3. Gyakorló feladat. Fejezzük ki Cijkl-t λ, µ-vel! [3]20.4. Gyakorló feladat. Egy 3× 3-as tenzor adjungáltja, azaz az előjeles aldeterminánsainak mátrixa másodrendű azeredeti tenzor elemeiben, tehát ennek a nyoma is másodrendű. Fejezzük ki az adjungált nyomát a ( Tr ε)2 és Tr ε2

mennyiségekkel! [3]

2018. december 18. 21:59:34 298

20.4 Mozgásegyenletek a lineáris rugalmasságtanban 20 HÁROMDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUM20.4. Mozgásegyenletek a lineáris rugalmasságtanban20.4.1. Rugalmasságtan feszültségtenzora

A rugalmasságtan σ feszültségtenzorát a következőképpen definiáljuk

σij = δΦδεij

= ∂φ

∂εij, azaz σ = δΦ

δε= ∂φ

∂ε, (20.16)

amely a deformációtenzor szimmetriájából következően szimmetrikus. Lineáris rugalmasságtanban

σij = Cijklεkl, azaz σ = C : ε. (20.17)

20.4.2. Lagrange-sűrűség és mozgásegyenlet

A deformáció előtti, időben állandó ρ(r) sűrűség és a v(u), a külső térfogati erők potenciális energiasűrűségefelhasználásával a Lagrange-sűrűség

Λ(u,ut, ε) = ρ

2 |ut|2 − φ(ε)− v(u). (20.18)

Elvileg megengedhető a külső potenciál r koordinátától és t időtől való függése is, ezeket most elhagytuk. A kanonikusmezők

fi = − ∂v∂ui

, pi = ρui,t, σi = ∂φ

∂∇ui, (20.19)

s a mozgásegyenlet a deriválásra használt ∂jfi ≡ fi,j jelöléssel

pi,t = fi + ∇σi ⇒ ρui,tt = − ∂v∂ui

+(∂φ

∂ui,j

),j

. (20.20)

2018. december 18. 21:59:34 299

20.4 Mozgásegyenletek a lineáris rugalmasságtanban 20 HÁROMDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUMKönnyen belátható, hogy a lineáris rugalmasságtanban a három σi kanonikus feszültségvektor éppen a rugalmas

feszültség σ tenzorát alkotja. A kanonikus feszültség

[σi]j = ∂φ

∂ui,j= ∂φ

∂εkl

∂εkl∂ui,j

= [σ]kl∂εkl∂ui,j

≡ σkl∂εkl∂ui,j

. (20.21)

Mint tudjuk

ε = def u, εij = 12[∂iuj + ∂jui] ≡

12[uj,i + ui,j] ⇒

∂εkl∂ui,j

= 12(δkiδlj + δkjδli), (20.22)

ahonnan, a σ feszültségtenzor szimmetriájából következően, a kétféle feszültség-definció közötti azonosságot kapjuk

[σi]j = σkl∂εkl∂ui,j

= 12(σij + σji) = σij. (20.23)

A mozgásegyenlet végülρui,tt = fi + σij,j ↔ ρutt = f + divσ. (20.24)

Emlékeztetünk arra, hogy f a külső térfogati erők sűrűsége, továbbá divσ nyilvánvalóan a rugalmas térfogatierősűrűség, miközben σ a felületi erősűrűség.

Megjegyzés: Figyeljünk az indexre, általában [ div T]i = ∂jTij = Tij,j; szimmetrikus T esetén az i, j indexeksorrendje közömbös.

20.4.3. Feszültségtenzor értelmezése

A feszültségtenzor fizikai jelentését az elsős kurzusok részletesen tárgyalták. Itt röviden felidézzük, hogy valamelytérfogatra ható rugalmas erőt úgy kapjuk, hogy a divσ rugalmas erősűrűséget integráljuk. Ez a

wdivσ dV =

zσ dA (20.25)

2018. december 18. 21:59:34 300

20.4 Mozgásegyenletek a lineáris rugalmasságtanban 20 HÁROMDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUM

93. ábra. Nyújtás és nyírás.

felületi integrálként áll elő, amely teljes összhangban van azzal a fizikai várakozásunkkal, mely szerint a rugalmaserőhatást a szóbanforgó térfogatot határoló felület közvetíti. Az elemi rugalmas erő F = σA a kis A = Anfelületelemre hat. A vektoriális felületi erősűrűség σn, ahol n a felület normálisa, de azt is mondhatjuk, hogy aσ a tenzoriális felületi erősűrűség. Cauchy vette észre először, hogy nem függ a felület görbületétől, csupán azirányítottságától.

A feszültségtenzorról alkotott fizikai képünket kiegészíthetjük, ha külső erők nem hatnak, mely esetben a p = ρutimpulzussűrűség felhasználásával a 20.24 a

pt = divσ (20.26)alakban áll elő. Ez vektoriális kontinuitási egyenlet, amelyben az impulzussűrűség felületi áramsűrűsége −σ. Külsőerők hiányában a teljes impulzus megmarad, egyes térrészek között azonban áramolhat, s az áramsűrűséget éppen amínusz feszültségtenzor adja meg. Külső erők jelenlétében az impulzus nem marad meg, de a felületeken „átáramló”részét változatlanul a feszültségtenzor adja meg.

Húzás: n = (1, 0, 0)

σxxAnx = σxxA = Fx. (20.27)

2018. december 18. 21:59:34 301

20.5 Izotrop, lineáris rugalmas közeg mozgásegyenlete 20 HÁROMDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUMNyírás: a felső lapon n = (0, 1, 0), az oldalsón n = (1, 0, 0)

σxyAny = Fx, σyxAnx = Fy. (20.28)

(A fenti két egyenletben előforduló indexek maguktól értetődően komponenseket jelölnek, nem pedig deriválásokat.)

20.5. Izotrop, lineáris rugalmas közeg mozgásegyenleteIdézzük fel az izotrop anyag (20.15)-ban megadott rugalmas energiáját

φ = λ

2 ( Tr ε)2 + µTr ε2. (20.29)

Innen a feszültségtenzor

σ = ∂φ

∂ε= 1λTr ε+ 2µε. (20.30)

Megjegyzés: az inverz reláció

Trσ = (3λ+ 2µ) Tr ε ⇒ ε = 12µ

(σ− λ

3λ+ 2µ1Trσ). (20.31)

Az u elmozdulástérrel előállítva

Tr ε = divu, ε = def u = 12[∇ u+ (∇ u)T

], (20.32)

ezért

divσ = λ∇(∇u) + µ∇2u+ µ∇(∇u) ≡ µ4 u+ (µ+ λ)∇(∇u). (20.33)

2018. december 18. 21:59:34 302

20.5 Izotrop, lineáris rugalmas közeg mozgásegyenlete 20 HÁROMDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUMA mozgásegyenlet tehát

ρutt = f + µ4 u+ (µ+ λ)∇(∇u). (20.34)

Emellett a KF és PF megadása szükséges

→ u(r, 0), ∂tu(r, 0)→ u(r, t)|A, vagy ε|A, vagy σn|A.

A: 2018.11.30 J | I 2018.12.05Egyensúlyban

f + µ4 u+ (µ+ λ)∇(∇u) = 0 . (20.35)

Speciális eset a rotációmentes, ∇× u = 0 , elmozdulás. Ekkor használva a

∇× (∇× u) = ∇(∇u)−4u (20.36)

azonosságot kapjuk ∇(∇u) = 4u, ezért egyensúlyban

f + (2µ+ λ)∇(∇u) = f + (2µ+ λ)4u = 0 . (20.37)

E: 2018.11.28 J | I 2018.11.30

20.5.1. Példa. Homogén nyújtás. Csak σ11 = F/A = áll. különbözik zérustól. A (20.31) relációt használva kapjuk

ε11 = 12µ

2λ+ 2µ3λ+ 2µ

F

A= F

EA⇒ E = µ

3λ+ 2µλ+ µ

, (20.38)

2018. december 18. 21:59:34 303

20.5 Izotrop, lineáris rugalmas közeg mozgásegyenlete 20 HÁROMDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUMezzel az E Young-modulust kifejeztük a Lamé-állandókkal. Azután

ε22 = ε33 = − λ

2µ(3λ+ 2µ)F

A= −νε11 ⇒ ν = λ

2(λ+ µ) , (20.39)

a Poisson-szám. A térfogatváltozás

Tr ε = F

EA(1− 2ν) ⇒ 0 < ν <

12 . (20.40)

20.5. Gyakorló feladat. Adjuk meg az u elmozdulásvektort! [1]20.5.2. Példa. Homogén nyírás. Ekkor csak σ12 = σ21 = τ = áll. nemzérus, ezért ε = σ/2µ, ahonnan ε12 = γ =τ/2µ. A µ = G neve torziómodulus.20.5.3. Példa. Egyenletes összenyomás. A feszültségtenzor izotrop

σ = −p1 ⇒ ε = ε1 = 13( Tr ε)1 ≡ Θ

3 1, (20.41)

és (20.31) alapjánTrσ = −3p = (3λ+ 2µ) Tr ε ⇒ p = −K Tr ε ≡ −KΘ, (20.42)

ahol

K = λ+ 2µ3 (20.43)

a kompressziómodulus. Tehát K elvileg az egységnyi Θ relatív térfogatváltozáshoz szükséges nyomás. Természetesena lineáris rugalmasságtanban általában a térfogatváltozások kicsinyek. Reciproka a

κ = 1K

= 33λ+ 2µ (20.44)

2018. december 18. 21:59:34 304

20.5 Izotrop, lineáris rugalmas közeg mozgásegyenlete 20 HÁROMDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUMkompresszibiltás, amely az egységnyi nyomásnövekedés hatására bekövetkezett relatív térfogatcsökkenést adja meg.Precízebb definíciókat a fenti anyagi állandókra a termodinamika nyújt, azok tárgyalása a jelen jegyzet kereteitmeghaladja.

20.5.4. Példa. Gömbhéj radiális deformációja (*). A gömbhéj külső és belső sugara R2 ill. R1 < R2 és a külső ésbelső nyomás p2, p1. Az elrendezés izotrop, ezért az elmozdulástér radiális (az r index itt nem deriválás)

u(r) = ur(r) er. (20.45)

Kis elmozdulásokat feltételezünk, ezért a nyomások a deformáció után vezető rendben nem változnak.Az elmozdulás rotációmentes, ezért egyensúlyban, (20.37) alapján f = 0 mellett

∇(∇u) = 0 ⇒ ∇u = Θ = áll. (20.46)

Gömbi koordinátákban, az r szerinti deriváltat jelölve ′-vel

Θ = ∇u = ∇(erur(r)) = ∂ixirur =

∑i

(urr− x2

i

r3 ur + u′rx2i

r2

)= 2ur

r+ u′r = 1

r2 (r2ur)′. (20.47)

Innen a b integrálási állandót bevezetve kapjuk

Θr3

3 + b = r2ur ⇒ ur = Θr3 + b

r2 . (20.48)

Célszerű a tenzorok elemeinek gömbi komponenseit használni. A PF

σrr∣∣∣Rj

= −pj. (20.49)

2018. december 18. 21:59:34 305

20.5 Izotrop, lineáris rugalmas közeg mozgásegyenlete 20 HÁROMDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUMA deformációs tenzor

εrr = u′r = Θ3 −

2br3 . (20.50)

Mivel Trε = Θ és a másik két tenzorkomponens a gömbi szimmetria miatt azonos, kapjuk

εθθ = εϕϕ = Θ3 + b

r3 . (20.51)

Ez éppen ur/r. A feszültségtenzor

σ = λ · 1 ·Θ + 2µ · ε, (20.52)

ezért

σrr =λΘ + 2µεrr = λΘ + 2µ(

Θ3 −

2br3

)= KΘ − 4µb

r3 , (20.53)

σϕϕ =σθθ = λΘ + 2µ(

Θ3 + b

r3

)= KΘ + 2µb

r3 , (20.54)

ahol a K kompressziómodulus (20.43)-ben bevezetett definícióját használtuk. Illesztjük a (20.49) PF-hez

KΘ − 4µbR3j

= −pj. (20.55)

A két egyenletet egymásból kivonva adódik b, majd az R3j -bel szorzás után véve a különdséget kapjuk Θ-t

b = p1 − p2

4µR3

1R32

R32 −R3

1, Θ = p1R

31 − p2R

32

R32 −R3

1

1K. (20.56)

2018. december 18. 21:59:34 306

20.5 Izotrop, lineáris rugalmas közeg mozgásegyenlete 20 HÁROMDIMENZIÓS RUGALMAS KONTINUUMInnen ur(r), ε,σ a fentiek alapján megadhatók.

Azonos nyomások, p1 = p2 = p esetén b = 0, ahonnan

Θ = − p

K. (20.57)

Ebben az esetben a fentiekből következően a feszültségtenzor σ = −p1, azaz egyenletes az összenyomás.

2018. december 18. 21:59:34 307

21 HULLÁMOK RUGALMAS TESTEKBEN (m)

21. Hullámok rugalmas testekben (m)Külső erő nélkül (f = 0 ) a mozgásegyenlet a lineáris rugalmasságtanban, azaz a harmonikus közelítésben

ρutt = µ4 u+ (µ+ λ)∇(∇ u). (21.1)

Rotációmentes elmozdulástérre

ρutt = (2µ+ λ)4 u, (21.2)

ez a térbeli hullámegyenlet az u minden komponensére.

21.1. Longitudinális hullámA (21.1) divergenciáját véve a Θ = ∇u relatív térfogatváltozásra kapjuk

ρΘtt = µ4Θ + (µ+ λ)4Θ = (2µ+ λ)4Θ, (21.3)

amiből

cl =√

2µ+ λ

ρ(21.4)

a dilatációs (longitudinális) hullám sebessége.

21.2. Torziós hullámA (21.1) rotációját véve az örvényesség

ω = 1/2∇× u (21.5)

2018. december 18. 21:59:34 308

21.3 Térbeli hullámegyenlet 21 HULLÁMOK RUGALMAS TESTEKBEN (m)vektormezejére nyerjük

ρωtt = µ4 ω ⇒ ct =√µ

ρ< cl. (21.6)

Ez a torziós (transzverzális) hullámot írja le.21.1. Gyakorló feladat. Mi az ω jelentése? Mutassuk meg, hogy elforgatás esetén, azaz ha u = ω0 × r, ahol ω0állandó, akkor ω = ω0! [1].21.2.1. Példa. Földrengés hullámok esetén cl ∼ 8− 12km

s, ct ∼ 5− 7km

s.

21.3. Térbeli hullámegyenletA Lagrange-féle sűrűségfüggvény és a mozgásegyenlet

Λ = 12[(ψt)2 − c2|∇ψ|2] ⇒ ψtt = c24 ψ. (21.7)

21.3.1. Példa. Síkhullámok: adott, n irányban terjedő megoldás

ψ(r, t) = f(nr ∓ ct). (21.8)

Állandó fázist adott t-re az nr = áll. síkban figyelhetünk meg. Egy módus

ψ = ψ0ei[ω(k)t∓kr], ω = ck. (21.9)

21.3.2. Példa. Gömbhullámok: térben izotróp megoldások, ψ csak r-től függ. Radiális tér divergenciáját meghatá-roztuk, ld. (20.47), azt a ∇ψ = er∂rψ ≡ erψr-re alkalmazva kapjuk

ψtt = c24 ψ = c2∇(∇ψ) = c2[2ψrr

+ ψrr

]= c2 1

r(rψ)rr ⇒ (rψ)tt = c2(rψ)rr. (21.10)

2018. december 18. 21:59:34 309

21.4 Belső csillapodás 21 HULLÁMOK RUGALMAS TESTEKBEN (m)21.2. Gyakorló feladat. Mutassuk meg közvetlenül, hogy 4ψ(r) = 2ψr/r + ψrr. [2]

Egy módus

ψ(r, t) = ψ0

rei(ωt∓kr), ω = ck. (21.11)

Az amplitúdó 1/r-rel csökken, az energiasűrűség 12 [(∂tψ)2 + c2|∇ψ|2] ∝ r−2.

21.4. Belső csillapodásA rugalmas deformáció csillapodással jár, ezért a mozgásegyenletet kiegészítjük a D disszipációs funkcionál segít-

ségével a 8. fejezetben ismertetettek szerint. Kontinuumról lévén szó, most azw

dt R = D (21.12)

disszipációs funkcionálban az R integrandus maga is funkcionál. A (8.14) egyenletet úgy általánosítjuk a kontinuummechanikára, hogy most az ut sebességmező szerint variálunk

δS

δu= δD

δut= δR

δut, (21.13)

amelyben R a deformáció

εt = def ut (21.14)

sebességének funkcionálja

R[εt] =wr(εt) d3r. (21.15)

2018. december 18. 21:59:34 310

21.4 Belső csillapodás 21 HULLÁMOK RUGALMAS TESTEKBEN (m)Newtoni súrlódás: kis sebességekre sűrű közegben

r = 12εt : C′ : εt, (21.16)

ahol C ′ijkl a viszkozitási együtthatók. A súrlódási feszültségtenzor

σ′ = δR

δεt= ∂r

∂εt, newtoni közegben: σ′ = C′ : εt. (21.17)

Hasonlóan a konzervatív erő levezetéséhez, ahol is a rugalmas erősűrűség a feszültségtenzor divergenciájaként adódott,a disszipatív erősűrűség a súrlódási feszültségtenzor divergenciájaként kapható

divσ′ = − δRδut

= div δRδεt

= div ∂r

∂εt. (21.18)

Az előjel azért változik, mert az εt-ben az ut sebességek gradiensei szerepelnek.Izotrop, newtoni közegben csak két független viszkozitási együttható lép fel

r = η′

2 ( Tr εt)2 + ηTr ε2t ⇒ σ′ = η′1Tr εt + 2ηεt, (21.19)

ahonnan (20.34)-t kiegészítve a csillapítást is tartalmazó mozgásegyenletet kapjuk

δS

δu= δR

δut⇒ ρutt = f + µ4 u+ (µ+ λ)∇(∇u) + η4 ut + (η + η′)∇(∇ut). (21.20)

21.4.1. Példa. Térfogati hullámok csillapodása:

ρΘtt = (2µ+ λ)4Θ + (2η + η′)4Θt ⇒ Θtt = c24Θ + ν 4Θt, (21.21)

2018. december 18. 21:59:34 311

21.4 Belső csillapodás 21 HULLÁMOK RUGALMAS TESTEKBEN (m)ahol ν = (2η + η′)/ρ. Síkhullámok diszperziója a Θ ∝ ei(kr−ωt) behelyettesítésével adódik.

ω2 = c2k2 − iνωk2. (21.22)

Gyenge csillapítás esetén (νk2 |ω|)

ω2 ≈ c2k2 − iνck3 ⇒ ω ≈ ck − i

2νk2, (21.23)

a csillapítás a hullámhosszal négyzetesen csökken. A jósági tényező (8.33)-beli definíciója alapján

Q = Reω2 Imω

≈ c

νk= cλ

2πν , (21.24)

ahol most λ a hullámhossz. Hosszú hullámok csillapítása gyenge.Földrengéshullámok jósági tényezője a mérések szerint széles frekvenciasávban állandó, tehát a fenti hullámegyenlet

rájuk nem érvényes. Viszont folyadékbeli hullámokra jó a közelítés. Folyadékokkal később foglalkozunk, itt csakmegemlítjük a tólengés jelenségét. Ha kitartó viharos szél egy tó vízszintjét erősen kitéríti, akkor a vihar elállta utána tó teljes szélességére kiterjedő szintingadozás hosszú időn keresztül fennmaradhat.

21.3. Gyakorló feladat. Határozzuk meg torziós hullámok jósági tényezőjét. [3]21.4. Gyakorló feladat. Milyen egyenlet írja le a newtoni húr csillapított mozgását harmonikus közelítésben? [2]

E: 2018.11.30 J | I 2018.12.07 A: 2018.12.05 J | I 2018.12.07

2018. december 18. 21:59:34 312

22 ÁRAMLÓ KÖZEGEK – ALAPFOGALMAK ÉS MOZGÁSEGYENLETEK (m)

22. Áramló közegek – alapfogalmak és mozgásegyenletek (m)A fizikailag alapvető, meghatározandó mennyiség az v(r, t) sebességtér. A rugalmasságtanban ut(r, t)-ben a

koordináták a deformáció előtti helyek, most az aktuális r helyvektorral jellemezzük a helyzeteket.

22.1. KontinuitásElemi felületen egységnyi idő alatt áthaladó elemi tömeg a 94. ábra szerint

dm = ρdV = ρvn dA dt. (22.1)Az anyag megmarad, ezért az adott V térfogat felületén kiáramló tömeg a térfogaton belüli tömeget csökkenti

0 = ddt

wρ dV +

zρv dA =

wdV [ρt + ∇ρv]. (22.2)

Innen bevezetve a j = ρv felületi áramsűrűséget nyerjükρt + ∇j = 0. (22.3)

A sebességtér tehát csatolódik a ρ(r, t) sűrűségtérhez.

dA n

v

vdt

dm

94. ábra. A felületen dt idő alatt v sebességgel áthaladó anyag.

2018. december 18. 21:59:34 313

22.2 Állapotegyenlet 22 ÁRAMLÓ KÖZEGEK – ALAPFOGALMAK ÉS MOZGÁSEGYENLETEK (m)

22.2. ÁllapotegyenletA sűrűségen kívül lényeges lesz a nyomás (esetleg hőmérséklet, entrópia) is. Szükségesek termodinamikai össze-

függések. Lokális termodinamikai egyensúly feltételezése: a tömegelem egyensúlyban van "önmagával": lokálisanérvényesek a termodinamikai állapotegyenletek.

Egyszerű példa: adiabatikus áramlás. A nyomás az adiabatikus állapotegyenlet szerint függ a ρ sűrűségtől (erreutal az s index):

ps = ps(ρ). (22.4)Ez jellemzi az ideális folyadékot, amelyben definíció szerint nincs hőcsere.

22.3. Hidrodinamikai derivált

95. ábra. A hidrodinamikai derivált értel-mezéséhez.

A tömegelemhez rendelt valamely Φ(r, t) térmennyiség értéke ∆t időmúlva Φ(r+∆r, t+∆t), ahol a térkoordináta különbsége a v sebességgeltörtént ∆r = v ∆t elmozdulásból adódik. Ezért

∆Φ =Φ(r + ∆r, t+ ∆t)− Φ(r, t) = Φt ·∆t+ (∇Φ)∆r=∆t[Φt + (v∇)Φ]. (22.5)

A teljes derivált ezért (v∇ neve konvektív derivált)dΦdt = Φt + (v∇)Φ. (22.6)

22.4. FeszültségtenzorFolyadékban nincs nyírási feszültség (µ = 0), ezért súrlódás nélkül σ = −p1. A súrlódási feszültség izotrop,

newtoni folyadékban lineáris a deformáció sebességében, mely (21.19) alapján írható. Az aktuális r koordinátákra

2018. december 18. 21:59:34 314

22.5 Navier–Stokes-egyenlet 22 ÁRAMLÓ KÖZEGEK – ALAPFOGALMAK ÉS MOZGÁSEGYENLETEK (m)áttérve sem változik a formula, azaz a v gradiens tenzorának szimmetrikus részével arányos feszültségtenzor izotropközegben érvényes alakja

σ′ = η′1Tr εt + 2ηεt = η′1(∇v) + η[∇ v + (∇ v)T

](22.7)

Az η, η′ a viszkozitási együtthatók, az előbbi a nyírási viszkozitást jellemzi. Megjegyzés: a lineáris rugalmasságtan kisui,j esetén érvényes, most legyen vi,j kicsiny! A sebességek lehetnek nagyok.

22.5. Navier–Stokes-egyenletA mozgásegyenlet

ρdvdt = f −∇p+ divσ′. (22.8)

Izotrop folyadékra (22.7) alapján (hasonlóan a rugalmasságtanbeli mozgásegyenlet levezetéséhez)

divσ′ = (η + η′)∇(∇v) + η4 v. (22.9)

Behelyettesítve nyerjük

dvdt = vt + (v∇)v = f

ρ− ∇p

ρ+ (ν + ν ′)∇(∇v) + ν 4 v. (22.10)

Ez a Navier–Stokes-egyenlet (NS). Itt ν = η/ρ és ν ′ = η′/ρ a kinematikai viszkozitási együtthatók, a tapasztalatszerint ezek a sűrűségtől gyengén függnek. E: 2018.12.07 J | I 2018.12.12

2018. december 18. 21:59:34 315

22.6 Összefoglalva 22 ÁRAMLÓ KÖZEGEK – ALAPFOGALMAK ÉS MOZGÁSEGYENLETEK (m)22.6. Összefoglalva→ NS (3 egyenlet)→ Kontinuitás (1 egyenlet)→ Állapotegyenlet (1 egyenlet)

Ismeretlenek: v, ρ, p 5 térmennyiség, melyekre 5 egyenletünk van. PF: pl. v = 0 , p (s ezzel ρ) rögzített a peremen,minden időben. Súrlódás nélkül rögzített peremen v · n = 0.

Stacionárius áramlás: v(r, t) = v(r), ρ(r, t) = ρ(r), p(r, t) = p(r). A térmennyiségek időfüggetlenek, az áramlásjellege nem változik.

Áramvonalak: pillanatfelvétel a sebességtérről, a v vektor az áramvonal helyi érintője irányába mutat. A vonalsű-rűség ∝ |v|.

Pályavonal: tömegelem útvonala. Stacionárius áramlásban pályavonal=áramvonal, nemstacionárius esetben apályavonal 6=áramvonal, ez utóbbi időfüggő, ld. 96. ábra.

Megjegyzés: A fentiekben a hőterjedés kérdését nem vizsgáltuk, melyet általános esetben áramló közegben azanyagáramláshoz csatoltan figyelembe kell venni.

96. ábra. Áramvonalak stacionárius és nemstacionárius áramlásban.

2018. december 18. 21:59:34 316

23 IDEÁLIS ILL. ÖSSZENYOMHATATLAN FOLYADÉK (m)

23. Ideális ill. összenyomhatatlan folyadék (m)23.1. Ideális: nem súrlódó, adiabatikus

Súrlódás nélkül a NS az Euler-egyenletre egyszerűsödik

ρvt + ρ(v∇)v = f −∇p. (23.1)

Ha az elemi tömegek közötti hőcsere elhanyagolható, akkor az adiabatikus állapotegyenlet érvényes

p = ps(ρ). (23.2)

Ezek mellett a (22.3) kontinuitási egyenletet használjuk. PF: vn = 0, a fal tehát áramvonal.

23.2. Összenyomhatatlan, súrlódóρ ≡ ρ0 =áll. térben és időben, mely esetben a kontinuitás

ρt + ∇ρv = ρ0∇v = 0. (23.3)

A sebességtér divergenciamentes! A NS-egyenlet

vt + (v ∇)v = f

ρ0− ∇ p

ρ0+ ν ∆v, (23.4)

ahol ν = η/ρ0 a kinematikai viszkotitás (ν ′ = η′/ρ0 nem jelenik meg). 4 egyenlet v, p-re.Noha p = p(ρ), p nem állandó! A p úgy "‘áll be"’, hogy teljesüljenek az egyenletek.

2018. december 18. 21:59:34 317

23.3 Ideális, összenyomhatatlan 24 BERNOULLI-EGYENLET IDEÁLIS FOLYADÉKBAN (m)23.3. Ideális, összenyomhatatlan

vt + (v ∇)v = f

ρ0− ∇p

ρ0, (23.5)

∇ v = 0. (23.6)

24. Bernoulli-egyenlet ideális folyadékban (m)24.1. Stacionáris áramlás konzervatív erőtérben

Konzervatív tér és stacionárius áramlásf = −ρ∇V, vt = 0 , ⇒ ρ(v∇)v = −ρ∇V −∇p. (24.1)

A (v ∇)v tagot v-vel balról skalárisan szorozva (az összegzési konvenciót használjuk)

vj(v∇)vj = 12v∇v2

j . (24.2)

Az Euler-egyenlet stacionárius áramlásra

(v∇)v = −∇V − ∇p

ρ, (24.3)

melyet v-vel balról szorozva, (24.2) alapján nyerjük

v

[∇v2

2 + ∇V + ∇p

ρ

]= 0. (24.4)

2018. december 18. 21:59:34 318

24.2 Összenyomhatatlan folyadék 24 BERNOULLI-EGYENLET IDEÁLIS FOLYADÉKBAN (m)24.2. Összenyomhatatlan folyadék

Ha ρ = ρ0 = áll. akkor a (24.4)-beli utolsó, „nyomás” tag is gradiens, ezért

v∇[v2

2 + V + p

ρ0

]= 0. (24.5)

Valamely n egységvektor mellett n∇ ezen vektor irányába vett derivált. Az áramvonalat úgy definiáltuk, hogy mindenpontjában a sebesség érintse, tehát v∇ az áramvonal mentén számított deriválttal arányos, s ha ez zérus, akkor aza függvény, amelyre hat, az áramvonal mentén állandó. Innen kapjuk az áramvonal mentén

Ψ(r) = v2

2 + V + p

ρ0= áll. (24.6)

Bernoulli-egyenletet. A nyomás a ρ0V potenciális energiasűrűséghez adódik, felfoghatjuk úgy, mint a felületi erőkenergiasűrűséget. A fenti egyenlet felületeket definiál, tehát ugyanazon Ψ(r) = áll. érték végtelen sok különbözőáramvonal mentén előállhat.

24.3. Nyomási függvény barotrop közegbenOlyan P (r, t) függvényt keresünk, melynek gradiense a (24.4)-beli utolsó, „nyomás” tag

∇p

ρ= ∇P ⇒ dp

ρ= dP (24.7)

Ha ρ(p) egyértelmű, azaz a közeg barotrop, akkor

P =p(r,t)w dp′

ρ(p′) . (24.8)

Mikor létezik P (p)? Például ha

2018. december 18. 21:59:34 319

24.4 Bernoulli-törvény barotrop folyadékban 24 BERNOULLI-EGYENLET IDEÁLIS FOLYADÉKBAN (m)→ Ideális folyadék: adiabatikus állapotegyenlet p = ps(ρ) vagy ρ = ρs(p)→ Egyensúlyban levő folyadék: izotermikus p = pT (ρ)→ Összenyomhatatlan: P (p) = p/ρ0.

24.4. Bernoulli-törvény barotrop folyadékbanIdeális, barotrop folyadék stacionárius áramlására, konzervatív tömegerők jelenlétében

v∇[v2

2 + V + P

]= 0, (24.9)

ezért az áramvonal mentén

Ψ(r) = v2

2 + V + P = áll. (24.10)

Következésképpen az áramvonal két pontja között fennáll12(v2

2 − v21) = V1 − V2 −

p2w

p1

dp

ρ(p) . (24.11)

Mivel V1 − V2 a térfogati erő munkája és −p2r

p1

dpρ(p) a felületi erő munkája a tömegelemen, a Bernoulli-törvény a

munkatétel ideális folyadékra érvényes alakja.

24.5. Mikor tekinthető összenyomhatatlannak egy áramlás?Kis sűrűségváltozás esetén

ρ(p) ≈ ρ0 + ∂ρ

∂p

∣∣∣∣∣p0

(p− p0). (24.12)

2018. december 18. 21:59:34 320

24.5 Mikor összenyomhatatlan? 24 BERNOULLI-EGYENLET IDEÁLIS FOLYADÉKBAN (m)Ideális folyadékban az állandó entrópia mellett számított κs adiabatikus kompresszibilitás jelölésével

κs = 1ρ0

∂ρ

∂p

∣∣∣∣∣S=áll

= 1ρ0ρ′s(p0) ⇒ ρ(p) ≈ ρ0 + ρ0κs(p− p0). (24.13)

Tehát akkor lesz ρ közel állandó, ha

κs|p− p0| 1. (24.14)

A külső erőt elhanyagolva válasszuk meg p0-t úgy, hogy ahhoz v = 0 tartozzon. Vezető rendben a Bernoulli-törvényszerint

ρ0v2

2 + p ≈ p0. (24.15)

A kis sűrűségváltozás, vagyis az összenyomhatatlanság feltétele ezért

v2ρ0κs 1. (24.16)

Most felhasználjuk a kompresszibilitás (20.44) formuláját, mely szerint

µ = 0 ⇒ κs = 1/λ, (24.17)

ahol a rugalmas moduluszt is adiabatikus deformációkra értjük. A µ = 0 esetben csak dilatációs, azaz hanghullámjelenik meg, melynek sebessége (21.3) szerint

c =√λ

ρ≈ 1√ρ0κs

. (24.18)

2018. december 18. 21:59:34 321

25 ÖRVÉNYESSÉG, CIRKULÁCIÓEzt használva, az összenyomhatatlanság feltétele a (24.16) szerint

v c ∼ v

c= Ma 1, (24.19)

ahol Ma Mach-számot definiáltuk.A hangsebességnél sokkal lassabban áramló közeg tehát összenyomhatatlannak tekinthető. A légkörben c ≈ 330m

s,

ezért a meteorológia szempontjából a levegő közelítőleg összenyomhatatlan.

25. Örvényesség, cirkuláció25.1. Örvényvektor

Mint korábban a (21.5) formulával bevezettükω = 1/2 ∇× v, (25.1)

melynek értelmezése lokális szögsebesség.Cirkuláció: Adott C görbére

Γ =z

Cvdr = 2

w

A

ωdA. (25.2)

Örvénymentes áramlás: ω = 0 . Ilyenkor→ ponttá húzható görbére: Γ = 0;→ akadályt körülvevő görbére lehet Γ 6= 0;→ egymásba folytonosan átvihető görbékre Γ ugyanaz;→ akadályt n-szer körbevevő görbékre Γn = nΓ1 (n: topologikus szám).

2018. december 18. 21:59:34 322

25.2 Időfüggő Bernoulli-törvény örvénymentes áramlásban 25 ÖRVÉNYESSÉG, CIRKULÁCIÓ25.2. Időfüggő Bernoulli-törvény örvénymentes áramlásban

Örvénymentes áramlás sebességtere potenciálos

∇× v = 0 ⇒ v = ∇Φ ⇒ (v∇)vi = (∂jΦ)∂j∂iΦ = ∂i|∇Φ|2/2. (25.3)

Tekintsünk ideális, barotrop közeget, melyet az alábbi Euler-egyenlet ír le

vt + (v∇)v = ∇Φt + ∇|∇Φ|2/2 = −∇V −∇P. (25.4)

Innen nyerjük (24.4) és (24.9) kiterjesztését időfüggő áramlásra

Φt + 12 |∇Φ|2 + V + P = áll. (25.5)

a teljes áramlási térben, mely állandó az időtől függhet.A: 2018.12.07 J | I 2018.12.12

25.3. Örvényvonal, ∼cső és ∼fonalMivel az örvénytér forrásmentes

∇ω = 0, (25.6)

azért folytonos örvényvonalakkal reprezentálható, melyek sűrűsége arányos |ω|-val.

→ Helmholtz I. Szomszédos örvényvonalak örvénycsövet alkotnak, amely körül a cirkuláció a cső mentén állandó

Γ =wωdA = állandó (25.7)

2018. december 18. 21:59:34 323

25.4 Thomson (Kelvin) örvénytétele súrlódó közegre 25 ÖRVÉNYESSÉG, CIRKULÁCIÓ→ Örvényfonal ∼ kis keresztmetszet

Γ = ω∆A = ω∆A = állandó (25.8)

→ Helmholtz II. Nem bizonyítjuk: örvényfonal mindig ugyanazokból a részecskékből áll.

25.4. Thomson (Kelvin) örvénytétele súrlódó közegreA cirkuláció változása ugyanazon részecskékből álló hurokraq

Γ =z qv dr +

zv d qr. (25.9)

Az első tag integrandusaként a sebesség hidrodinamikai deriváltját értjük, a második tag pedigzv d qr =

zv dv = 1

2

zdv2 = 0 ⇒

qΓ =

z qv dr. (25.10)

A (22.10) NS-egyenlet barotrop közegre konzervatív térben

qv = dv

dt = −∇V −∇P + (ν + ν ′)∇(∇v) + ν 4 v. (25.11)

Ezt beírvaq

Γ képletébe a gradiensek körintegrálja eltűnik, s maradqΓ =

z qv dr = ν

z4v dr. (25.12)

Tehát a cirkulációt a nyírási viszkozitás generálja! Ha ideális folyadék kezdeti állapotában cirkulációmentes, akkor azis marad.

2018. december 18. 21:59:34 324

26 SÍKBELI ÁRAMLÁSOK

26. Síkbeli áramlások - örvénymentes, összenyomhatatlan, stacionáriusA hátralevő fejezetek vázlatos, nyers részeket is tartalmaznak, ábrák hiányoznak, a megfogalmazás sokhelyütt

csiszolandó. Az előadáson elhangzott magyarázatok gyakran szükségesek az anyag megértéséhez. E részeket feltétlenülfejlesztjük.

26.1. Sebességpotenciál és áramlási függvény2D áramlás: z-től független ∼ síkmetszet. Örvénymentesség

∇× v = 0 ⇒ v = ∇Φ =(

Φx

Φy

)(26.1)

A Φ neve sebességpotenciál. Inkompresszibilitás

∇v = 0 ⇒ v = ∇×A = ∇×

00Ψ

(26.2)

⇒ v =(

Ψy

−Ψx

)(26.3)

⇒ Φx = Ψy, Φy = −Ψx (26.4)

⇒ 4 Φ = Ψyx −Ψxy = 0, 4Ψ = −Φyx + Φxy = 0 (26.5)

∇Φ ·∇Ψ = ΦxΨx + ΦyΨy = −ΦxΦy + ΦyΦx = 0 (26.6)Mindkét függvény eleget tesz a Laplace-egyenletnek, és szintvonalaik egymásra ortogonális görbeseregek. A Ψ =áll.vonalakat a v = ∇Φ érinti, ezért azok áramvonalak. A Ψ neve áramlási függvény.

2018. december 18. 21:59:34 325

26.2 Hamiltoni analógia 26 SÍKBELI ÁRAMLÁSOK26.2. Hamiltoni analógia

Ha elhanyagolható tömegű részecskét, ún. passzív skalárt sodor magával az áramlás, akkor annak sebességétéppen a folyadék sebességmezeje adja meg. Esetünkben az áramlás stacionárius, ezért ez azonos a folyadékrészecskéksebességével. Az áramlási függvényt használvaq

x = ∂yΨ(x, y), qy = −∂xΨ(x, y). (26.7)

Érdekes módon ez az egy szabadsági fokú Hamilton-egyenletekkel azonos alakúqq = ∂pH(q, p), q

p = −∂qH(q, p). (26.8)Tanulságképpen levonhatjuk, miszerint a kétdimenziós koordinátateret fázistérként gondolhatjuk el, melyben a moz-gást meghatározó Hamilton-függvény éppen az áramlási függvény.

26.3. Komplex függvényekHa z = x+ iy, akkor

w = f(z) = Φ(x, y) + iΨ(x, y). (26.9)Egyelőre nem azonosak a fenti Φ,Ψ függvényekkel. Ha az f(z) differenciálható (holomorf)

df = f ′(z)dz = f ′(z)(dx+ idy) = Φxdx+ Φydy + iΨxdx+ iΨydy (26.10)⇒ f ′(z) = Φx + iΨx = Ψy − iΦy. (26.11)

Ezek a Cauchy–Riemann-relációk. Az f(x, y) csak x+ iy-tól függ, z∗ = x− iy-tól nem!Itt is fennállnak

4Φ = 0, 4Ψ = 0, ∇Φ ·∇Ψ = 0 (26.12)Tehát egy differenciálható komplex függvény valós és képzetes része megfeleltethető valamely 2D áramlás sebességpo-tenciáljának ill. áramlási függvényének, vagy fordítva. Itt azt a konvenciót használjuk, miszerint a valós részt tekintjüka sebességpotenciálnak.

2018. december 18. 21:59:34 326

26.4 Komplex sebesség 26 SÍKBELI ÁRAMLÁSOK26.4. Komplex sebesség

A 2D vektorokat „komplexifikálhatjuk”

a ∼ a = a1 + ia2. (26.13)

Tehát a hely- ill. a sebességvektor

r ∼ z = x+ iy, v ∼ v = v1 + iv2 = Φx + iΦy = Φx − iΨx = f ′(z)∗. (26.14)

Az α szöggel való forgatás

O(α)a ∼ eiαz. (26.15)

Komplex szorzat

a∗ b = a1b1 + a2b2 + i(a1b2 − a2b1) = a · b+ i(a× b)z, (26.16)

azaz a valós ill. képzetes rész a skalár ill. vektor szorzatot adja.

26.5. PéldákAdott perem áramvonal, tehát olyan f(z) keresendő, amelynek képzetes része a perem mentén állandó!

26.5.1. Példa. Homogén áramlás

f(z) = z; f ′(z) = 1 = vx − ivy = vx (26.17)

Ψ = y; Φ = x (26.18)

Áramlás az x tengellyel párhuzamosan egységnyi sebességgel.

2018. december 18. 21:59:34 327

26.5 Példák 26 SÍKBELI ÁRAMLÁSOK

α

z

wf(z)=z

π/α

97. ábra. Sarok menti áramlás.

26.1. Gyakorló feladat. Adjuk meg f(z) = C · z sebességterét és az áramvonalakat. [2]

26.5.2. Példa. Derékszögű sarok: A perem x = 0, y > 0 ill. y = 0, x > 0, ezen Ψ = áll., melyet teljesít Ψ ∼ xy,amely a peremen azonosan zérus. Ilyet kapunk a következő függvényből

f(z) = Az2/2 = A(x2 − y2 + i2xy)/2 = Φ + iΨ. (26.19)

Itt a Ψ =áll. hiperbolák ∼ áramvonalak, a Φ =áll. hiperbolák ∼ ekvipotenciálisak, s a sebességtér

v = f ′∗(z) = Az∗ = A(x− iy). (26.20)

Ugyanezen f(z) függvény az xy =áll. hiperbola perem mellett is megadja a sebességteret.

26.5.3. Példa. Általános szögű sarok, ld. a 97. ábra: Keresünk olyan komplex függvényt, amelynek képzetes része azα szögű sarok határain eltűnik. Ilyen (valós A mellett)

f(z) = Azπ/α = Arπ/α eiπϕ/α ⇒ Ψ = Arπ/α sin(πϕ/α) (26.21)

2018. december 18. 21:59:34 328

26.6 Az inverz függvény (*) 26 SÍKBELI ÁRAMLÁSOKMegjegyezzük, hogy itt és ezután z = reiϕ valamely (valós, tört) β-dik hatványa alatt a zβ = rβeiβϕ „primér”

hatványát értjük.

26.2. Gyakorló feladat. Sebességtér? [2]

26.5.4. Példa. Homogén örvény

f(z) = −iA ln z = −iA(ln r + iϕ) (26.22)

Ψ = −A ln r; Φ = Aϕ (többértékű) (26.23)

v = f ′∗ = −(iA

z

)∗= iA

z∗= iA

reiϕ ∼ π

2 szöggel forgatott (26.24)

v = A

reϕ (26.25)

26.3. Gyakorló feladat. f(z) = A ln z; A/z; A sin z; A valós. [2-2-2]

26.6. Az inverz függvény (*)Ekvivalens leírást adhatunk az f(z) inverzével

f−1 : z = F (w), (26.26)

amely a valós tengelyt a peremvonalra képezi. A konvenciónk szerint

w = u+ i v = Φ + iΨ, (26.27)

2018. december 18. 21:59:34 329

26.7 Schwarz–Christoffel-formula (*) 26 SÍKBELI ÁRAMLÁSOKs mivel Ψ = áll. adja az áramvonalakat, azért az

F (w = u+ i v), ahol u fut, és v = áll. (26.28)

az áramvonalak parametrikusan adott görbéi.

26.6.1. Példa. Általános szögű sarok II. Valós A faktort használunk

F (w) = Aw−π/α. (26.29)

26.6.2. Példa. Él alakú akadály

A valós tengelyre merőlegesen áll az egységnyi magasságú él, azaz az origó és (0, i) közötti szakasz. Ekkor aperem végtelen poligon, melynek végesbeli csúcsai z1 = 0, z2 = i, z3 = 0. E peremvonalra képezi a valós tengelyt az

F (w) = (w + 1)1/2(w − 1)1/2 = (w2 − 1)1/2 (26.30)

függvény. Az akadály körüli áramvonalakat tehát v = áll. mellett

(u2 − v2 − 1 + 2iuv)1/2 (26.31)

írja le.

26.4. Gyakorló feladat. Ábrázoljunk néhány jellegzetes áramvonalat! [3]

26.7. Schwarz–Christoffel-formula (*)Ha a perem poligon, akkor expliciten megadhatjuk az F (w) leképezést. Legyenek a poligon csúcsai

z1, z2, . . . , zn−1, zn, melyekbe képezzük a valós u1, u2, . . . , un−1,∞ pontokat. Legyenek továbbá az oldalak külsőszögei α1, α2, . . . , αn.

2018. december 18. 21:59:34 330

26.7 Schwarz–Christoffel-formula (*) 26 SÍKBELI ÁRAMLÁSOKNyilvánvaló, hogy a valós tengelyen az uk-n áthaladva növekvő irányban az F érintője αk szöggel fordul el, más

szóval F ′ argumentuma αk-val nő. (A z = reiϕ szám argumentuma alatt az arg(z) ≡ ϕ szöget értjük.) Ezt teljesítia következő függvény

h(u) = (u− uk)−αk/π ⇒ arg(h(u)) =−αk, ha u < uk,0, ha u > uk.

(26.32)

Ennek alapján F ′(w) alakja, megfelelő uk-k mellett

F ′(w) = An−1∏k=1

(w − uk)−αk/π, (26.33)

melynek primitív függvényével nyerjük

F (w) = Aw

dwn−1∏k=1

(w − uk)−αk/π +B. (26.34)

ahol két uk tetszőleges, a többit és az A,B állandókat a poligonra képezés feltétele szolgáltatja. A formula természetesmódon értelmezhető nem zárt, s nem véges poligonokra is. Általában a fenti integrál nem áll elő ismert függvényekalakjában, mindazonáltal néhány válogatott probléma expliciten megoldható.

26.7.1. Példa. Él alakú akadály II. Ld. a 26.6.2. példát. Mivel

α1 = π/2, α2 = −π, α3 = π/2, (26.35)

azért az u1 = −1, u2 = 0, u3 = 1 választással a leképezés derivált függvénye

F ′(w) = A(w + 1)−1/2w(w − 1)−1/2 = Aw

(w2 − 1)1/2 . (26.36)

2018. december 18. 21:59:34 331

26.8 Akadályra ható erő 26 SÍKBELI ÁRAMLÁSOKInnen az állandók illesztése után nyerjük

F = Aw w

(w2 − 1)1/2 dw +B = (w2 − 1)1/2. (26.37)

Ez éppen a korábban közvetlen számítással kapott eredmény.26.5. Gyakorló feladat. Milyen F leképezés adja meg a (−π/2, π/2) szakasszal lezárt végű, y tengelyű csőbeliáramlást? [3].26.6. Gyakorló feladat. Végtelen csövet törjünk meg 90-kal, s adjuk meg a megfelelő leképezést. Ábrázoljuk azáramvonalakat. [3-2]26.7. Gyakorló feladat. Magasan fekvő víztározó modellje lehet olan perem, amely a negatív valós tengely, az egy-ségnyi imaginárius él, majd a negatív imaginárius tengely együttese. Adjuk meg az F (w) leképezést és ábrázoljuk azáramvonalakat. [3-2]

26.8. Akadályra ható erőTetszőleges alakú akadályt helyezzünk az áramlási térbe. Ha a felületen a nyomás p, akkor a ds ívelemre hat

dF = −p · n ds, (26.38)ahol n az ívelem normálvektora, s dF az ívelemre ható, a z irányú hosszegységre eső erő. Mint láttuk, a ds ívelem-vektornak megfeleltethető a dz komplex mennyiség, az erre merőleges −nds-nek pedig a π/2-lel való elforgatottjaeiπ2 dz = idz. Végül a komplex dF elemi erőből nyerjük a teljes erőt

dF = ipdz ⇒ F =zipdz, (26.39)

melyet az akadály teljes körvonalára integráltunk (noha az F korábban az f inverzét jelölte, mostantól kezdve akomplex erő szimbólumaként használjuk). Végezetül Bernoulli

p + ρ|v|2

2 = p0 (26.40)

2018. december 18. 21:59:34 332

26.9 Cirkuláció 26 SÍKBELI ÁRAMLÁSOKalakú törvényéből nyerjük

F =zipdz = −iρ2

zvv∗dz =

(iρ

2

zvv∗dz∗

)∗. (26.41)

Mivel a kerület mentén v ‖ ds, azért (26.16) alapján v · ds megfelel a valós v dz∗ = v∗dz menyiségnek. Alkalmazvaa v∗ = f ′ relációt nyerjük az akadályra ható teljes komplex (hosszegységre eső) erőt

F =(iρ

2

zf ′2dz

)∗, (26.42)

mely Blasius és Csapligin első formulája.26.8. Gyakorló feladat. Adjuk meg az akadályra ható forgatónyomatékot (2. Blasius–Csapligin-formula). [4]

26.9. Cirkuláció

Γ =zv dr =

z∇Φ dr =

zdΦ = Re

zdf = ∆Φ. (26.43)

Tehát a cirkuláció a valós rész megváltozása zárt kontúron, mely akkor nemzérus, ha Φ többértékű. Áramvonal mentén

dΨ = ∇Ψ · dr = 0 (26.44)

Ha az áramvonal önmagába záródik, akkorz

dΨ = 0 ⇒ Ψ egyértékű ⇒ Γ = Rez

df =z

df. (26.45)

Innen látható, Γ független a görbéktől, ha azok egymásba vihetők. A kontúr irányítottsága az óramutató járásávalellenkező. Többértékű komplex függvény az áramvonal mentén nemzérus cirkulációjú áramlást ír le.

2018. december 18. 21:59:34 333

26.9 Cirkuláció 26 SÍKBELI ÁRAMLÁSOK26.9.1. Példa. Homogén örvény

f(z) = − iΓ2π ln z = − iΓ2π (ln r + iϕ) ⇒z

df = − iΓ2π i 2π = Γ = áll. (26.46)

Minden, az origót magába foglaló kontúrra a cirkuláció egyformán Γ.

26.9.2. Példa. Örvénypár (örvénydipól) Két ellentétes örvény összegeként állítjuk elő

f(z) = − iΓ2π ln z + a

z − a. (26.47)

Ilyenek evezőpár nyomán keletkező örvények együttmozgó rendszerből.

26.9. Gyakorló feladat. Sebességtér? [2]26.10. Gyakorló feladat. Ábrázoljuk az áramvonalakat és ekvipotenciális vonalakat az összes fenti f leképezésre.[1-1-..-1]

26.9.3. Példa. Szélprofil A talajszinttől felfelé a szélprofil nagyjából parabolikus (felfelé haladva egyre nagyobbáramlási sebesség). Ezért van az, hogy a szélkerék forog, hiszen a kerék alján és tetején más az áramlási sebesség,tehát a cirkuláció a szélkerék tengelypontján nemzérus.

26.9.4. Példa. Sebességtér akadály körülLegyen nagy távolságra (nagy z-re) a sebesség homogén v∗∞. A sebességteret 1/z-ben hatványsor alakjában

keressük

f ′(z) = v∗∞ + C1

z+ C2

z2 + · · · . (26.48)

2018. december 18. 21:59:34 334

26.9 Cirkuláció 26 SÍKBELI ÁRAMLÁSOKA cirkuláció számításához kihasználjuk a reziduum-tételt

Γ =zf ′(z)dz = 2πiC1 (26.49)

Ebből C1 kifejezhető, mellyel

f ′(z) = v∗∞ −iΓ

2πz + C2

z2 + · · · (26.50)

Γ

F

v00

98. ábra. Az F felhajtóerő iránya.

A Blasius–Csapligin-féle 1. formulát használjuk, melyben a reziduum-tételszerint csak az 1/z-vel arányos tag ad járulékot

F ∗ = iρ

2

zf ′2(z)dz = iρ

2 2πi(−iv

∗∞Γπ

)= iρΓv∗∞ (26.51)

Tehát az egységnyi hosszra eső erő

F = −iρΓv∞, (26.52)

mely a Kutta–Zsukovszkíj-formula komplex írásmódja, ld. a 98. ábra.26.9.5. Példa. SzárnyprofilA cirkulációt dimenzióanalízis alapján számítva (itt L és H a jellemzőhosszak, C az alaki tényező) nyerjük a teljes F felhajtóerőre

Γ = −C2 Lv∞, F = F H = ρC

2 Lv2∞ ·H ≈ ρ

C

2 Av2∞, (26.53)

ahol A = LH, a „szárnyfelület”.Megjegyzés: A Kelvin-féle örvénytétel szerint a cirkulációt a nyírási viszkozitás kelti. Ezután azt adottnak véve, a

felhajtóerőt közelíthetjük az ideális folyadékra kapott eredmény alapján!

2018. december 18. 21:59:34 335

26.9 Cirkuláció 26 SÍKBELI ÁRAMLÁSOK26.9.6. Példa. Henger körüli áramlás (*)Vegyük fel az R sugarú henger körüli áramláshoz tartozó komplex függvényt a következő alakban

f(z) = v∗∞z −iΓ2π log z + C1

z+ C2

z2 + · · · = v∗∞reiϕ + Γ

2π (ϕ− i log r) + C1

re−iϕ + · · ·

A PF-hez illesztjük olymódon, hogy Imf(z)|r=R = const teljesüljön

f(z) = v∗∞reiϕ + Γ

2π (ϕ− i log r) + C1

re−iϕ + C2

r2 e−2iϕ · · · (26.54)

A fenti függvény akkor teljesíti a PF-et, ha a független, szögfüggő tagok, azaz C2r2 e−2iϕ és a magasabb rendűek el

tűnnek. Ha x irányú a sebesség, akkor v∗∞ = v∞, s a PF megköveteli, hogy C1 = v∞ ·R2. Innen

f(z) = v∞z −iΓ2π log z + v∞R

2

z(26.55)

Az első tag homogén, a második tag körkörös áramlásnak felel meg. Tekintsük a harmadik tagotv∞R

2

z= v∞R

2

r(cosϕ− i sinϕ). (26.56)

Mivel Imv∞R2

z= v∞R2

rsinϕ = konst., azért sinϕ ∝ r, mely egy örvénydipólnak felel meg. Végül a henger körüli

sebességtér

v∗ = f ′ = v∞ −iΓ

2πz −v∞R

2

z2 . (26.57)

Fontos tulajdonság, miszerint a homogén és a dipól tér egyértelműen adott, viszont a körkörös, cirkulációs taghatározatlan együtthatójú. Más szóval, a cirkuláció elméletileg tetszőleges, ezért attól függ, milyen módon alakult kiaz áramlás. Ennek során Kelvin örvénytétele értelmében a viszkozitást figyelembe kell venni.

2018. december 18. 21:59:34 336

27 ÁRAMLÁSOK HASONLÓSÁGACirkuláció nélkül az áramlás szimmetrikus az x tengelyre, s jól látható módon a kör perem két valós pontján eltűnik

a sebesség. Általában stagnációs pontoknak nevezzük a zérus sebességű helyeket. A henger (26.57) sebességterébena v = 0 feltételből z-re másodfokú egyenlet adódik, melynek megoldásai

z± = iΓ4πv∞

±

√√√√R2 − Γ2

16π2v2∞

(26.58)

A stagnációs pontok tehát a cirkulációtól függően elmozdulhatnak. Miután a felhajtóerő a cirkulációtól függ, afelhajtóerőt a stagnációs pontok helyzetével is jellemezhetjük.26.11. Gyakorló feladat. Örvénypárból állítsunk elő örvénydipólt, s ábrázoljuk az áramvonalakat. [3]

Az alábbi kötésen a henger körüli áramlás szemléltetését láthatjuk http://www.diam.unige.it/~irro/cilindro1_e.html. Innen további illusztrációk érhetők el különféle állású szárnyprofilok körüli áramlásokról s afelhajtóerőkről.

27. Áramlások hasonlósága27.1. Dimenziótlanítás

Az áramlástan egyenleteinek megoldása nehéz feladat, ezért is nagy a kísérletek jelentősége. Ilyenkor adódik amodellbeli és a valós áramlás mechanikai hasonlóságának követelménye. Ehhez nyilvánvalóan szükséges a geometriaihasonlóság, de ez nem elégséges feltétel. Két áramlást hasonlónak mondunk, ha ugyanazok a dimenziótlan függvényekírják őket le, azaz:

v1 = v(1)0 F

(r

l(1)0,t

t(1)0

)v2 = v

(2)0 F

(r

l(2)0,t

t(2)0

)(27.1)

p1 = p(1)0 G

(r

l(1)0,t

t(1)0

)p2 = p

(2)0 G

(r

l(2)0,t

t(2)0

)(27.2)

2018. december 18. 21:59:34 337

27.1 Dimenziótlanítás 27 ÁRAMLÁSOK HASONLÓSÁGAahol v(i)

0 , l(i)0 , t(i)0 , p(i)0 valamely az i = 1 illetve 2-es áramlásra jellemző sebesség, hossz, idő, illetve nyomásértékek.

Ez teljesül, ha a megfelelő értékekkel dimenziótlanított differenciálegyenletek a két áramlásra azonosak.Tekintsük a következő összenyomhatatlan folyadékra vonatkozó Navier-Stokes egyenletet:

ρ0 (vt + (v∇)v) =n∑i=1f i −∇p+ η0∆v (27.3)

Itt megengedtünk n különböző fajta térfogati erő létezését. Dimenziótlanítsunk minden helytől és időtől függő mennyi-séget az egyenletben:

r = l0rt = t0t (27.4)v = v0v (27.5)

f i = (fi)0f i (27.6)p = p0p (27.7)

ahol a kalapos mennyiségek dimenziótlanok. Ekkor:

ρ0v0

t0vt + ρ0v

20

l0(v∇)v =

n∑i=1

(fi)0fn −p0

l0∇p+ η0v0

l20∆v (27.8)

Tradicionálisan a hidrodinamikai derivált (v∇)v tagjának együtthatóját választjuk 1-nek, azaz:

l0t0v0

vt + (v∇)v =n∑i=1

(fi)0l0ρ0v2

0fn −

p0

ρ0v20∇p+ η0

ρ0v0l0∆v (27.9)

Az áramlások tehát hasonlóak ha a különböző tagok előtti dimenziótlan számok azonosak, és a megfelelő dimenziótlanváltozókban a kezdőfeltételek is azonosak.

2018. december 18. 21:59:34 338

27.2 Nevezetes dimenziótlan számok 27 ÁRAMLÁSOK HASONLÓSÁGA27.2. Nevezetes dimenziótlan számok

A dimenziótlanításhoz használt l0, t0, v0, (fi)0, p0 konstansok ezen a ponton még tetszőlegesek, a gyakorlatbanazonban érdemes őket úgy megválasztani, hogy a megfelelő mennyiségek nagyságrendjét jól becsüljék. Ez esetbena dimenziótlan számok ugyanis az egyenletekben található mennyiségek relatív fontosságát mérik. Az egyenletbenmegjelent nevezetes dimenziótlan számok és neveik:

→ Reynolds-szám: Re = v0l0ν0

= v0l0ρ0η0∼ hidrodinamikai gyorsulás

viszkózus gyorsulás

→ Euler-szám: Eu = p0ρv2

0∼ nyomásgradiensből származó gyorsulás

hidrodinamikai gyorsulás

→ Strouhal-szám: St = t0v0l0 ∼

időskálahidrodinamikai időskála

→ Az i-edik térfogati erősűrűség fontosságát mérő dimenziótlan szám neve attól függ, melyik térfogati erőről vanszó. Kettőt említünk meg:

? Froude-szám: Fr =√

v20

g0l0 ∼hidrodinamikai gyorsulás

gravitációs gyorsulás

? Rossby-szám: Ro = v02ω0l0 ∼

hidrodinamikai gyorsulásCoriolis gyorsulás

A fenti számok egy részét a dimenziótlanított Navier–Stokes-egyenletbe írva nyerjük

1St vt + (v∇)v =

n∑i=1

(fi)0l0ρ0v2

0fn − Eu∇p + 1

Re∆v, (27.10)

Ha gravitációs és Coriolis-féle erők lépnek fel, akkor a Froude- ill. Rossby-számok is megjelennek, ilyen esetekre alábblátunk példát.

2018. december 18. 21:59:34 339

27.3 Modellkísérletek 27 ÁRAMLÁSOK HASONLÓSÁGA27.3. Modellkísérletek

A praktikus dimenziótlanító mennyiségek megválasztása és a lényeges dimenziótlan számok azonosítása az adottáramlástani probléma modellezésének fontos része. Erre nézzünk néhány egyszerű példát.

27.3.1. Akadály (pl. jármű) körüli áramlás vizsgálata szélcsatornában, Reynolds-szám

Válasszuk l0-t az akadály valamely lineáris méretének, v0-nak a szélsebességét az akadálytól távol. Legyen t0 =l0/v0. Nyugvó esetben g = 1

ρ0∇pny, ahol pny a hidrosztatikai nyomás. A Navier-Stokes egyenlet:

dv

dt= −1

ρ∇(p− pny) + η∆v (27.11)

A p− pny dinamikai nyomás dimenziótlanítható p0 = ρ0v20-el, így a dimenziótlan egyenlet:

dv

dt= −∇(p− pny) + 1

Re∆v (27.12)

A hasonlósághoz a Reynolds-szám egyenlőségét kell kielégíteni, tehát 1:4 arányú modell esetén a szélsebességetnégyszeresre kell növelni. A Reynolds-szám a súrlódási erők fontosságát méri. Az akadály körüli határréteg vastagságaa Reynolds számmal csökken. Kis Reynolds számra az áramlás lamináris, nagy Reynolds számra turbulens lesz.

27.3.2. Folyóban elhelyezkedő akadály körüli hullámok modellezése, Froude-szám

Válasszuk l0-t az akadály valamely lineáris méretének, v0-nak a folyó áramlási sebességét az akadálytól távol, afolyó közepén, a felszínen. A nyomás egységét válasszuk p0 = ρ0v

20-nek. Fontos térfogati erő ez esetben a gravitáció.

A következő dimenziótlan egyenletet kapjuk:

vt + (v∇)v = 1Fr2 (−ez)− ∇p+ 1

Re∆v (27.13)

2018. december 18. 21:59:34 340

27.3 Modellkísérletek 27 ÁRAMLÁSOK HASONLÓSÁGAA Froude-szám a a gravitációs erő fontosságát méri és pl. felületi hullámok modellezésénél fontos. Ha mélyvízi köze-

lítésben vagyunk, akkor csak a hullámhossz a releváns hosszskála, és dimenzióanalízis alapján a felszíni hullámok sebes-sége arányos

√gλ-val. Ebben az esetben a Froude-szám szemléletes jelentése tehát Fr ∼ áramlási sebesség

λ∼l0 nehézségi hullámok sebessége .A Reynolds- és Froude-számok egyenlőségének együttes kielégítése általában nehéz feladat. Példaként tegyük fel,hogy a kísérletünk az eredeti elrendezés 1:4 arányú modellje. Ekkor feltételezve, hogy a kísérlethez vizet használunk,a Reynolds-szám azonossá tételéhez a folyó v0 sebességét 4-szeresére kellene választani, míg a Froude-szám fixentartásához a v0 sebesség felét kellene venni. Célszerű tehát a modellkísérletet más viszkozitású közeggel végezni, hogya Reynolds- és Froude-számok egyenlősége egyszerre kielégíthető legyen. Ha az áramló közeg az akadályt teljesenkörülveszi, akkor a Froude-szám egyenlősége nem lényeges, ahogy ezt az előző példánkban is láttuk.

27.1. Gyakorló feladat. Győződjünk meg róla dimenzióanalízissel, hogy az l0, v0, g, η, ρ mennyiségekből csak ez akét független dimenziótlan szám építhető. [2]

27.3.3. Periodikus mozgást végző akadály körüli áramlás, Strouhal-szám

Pl. lengő tárcsa körüli áramlás. A közeget teljesen körülveszi az áramlás, így a Froude-szám nem lesz fontos, azon-ban a rendszerben megjelent egy új időskála, a lengő alkatrész periódusideje (a peremfeltétel időfüggése periodikus amozgó akadály miatt), így a korábbi választásunk t0-ra nem indokolt, célszerű t0-nak a periódusidőt választani és aSt = t0v0

l0 Strouhal-szám egyenlősége is fontos szempont lesz, értelmezése St ∼ peremfeltétel időfüggésének időskálájahidrodinamikai időskála . Ha a

kísérletet azonos közeggel végezzük, akkor a Reynolds-szám egyenlőségéből vmodell =(leredetilmodell

)veredeti, a Strouhal-szám

egyenlőségéből pedig tmodell =(leredetilmodell

)2teredeti adódik.

27.3.4. Áramlás forgatott folyadékban, ciklonok, Rossby-szám

l0 ∼ 1000km, v0 ∼ 10m/s, ω0 = 2π/(1nap) → Ro ∼ 0.07. A kis Rossby-szám a Coriolis-erő dominanciájátmutatja. A p− pny dinamikai nyomást a következő mennyiséggel érdemes dimenziótlanítani:

p0 = 2ρ0ω0l0v0

2018. december 18. 21:59:34 341

28 LAMINÁRIS ÁRAMLÁSOKEzzel a választással azt fejezzük ki, hogy a dinamikai nyomás gradienséből származó erő összemérhető a Coriolis-erősűrűséggel. A dimenziótlan mozgásegyenlet ez esetben

dv

dt= − 1

Ro(n× v + ∇(p− pny)) + 1Re∆v

ahol n a forgási szögsebesség irányába mutató egységvektor. A kis Rossby-szám limeszben a nyomásgradiens kompen-zálja a Coriolis-erőt, mely esetben az áramlási sebesség mindkettőre merőleges – az ilyen áramlást geosztrofikusnaknevezzük, mely az egyenlítőtől távolabb a légkörben és az óceánokban gyakran jó közelítés. Idézzük fel a ciklonokműholdképeit, melyeken látható áramlás valóban közelítőleg az izobárok mentén zajlik.

28. Összenyomhatatlan súrlódó folyadékok lamináris áramlásaiTapasztalatok szerint alacsony áramlási sebességeknél a sebességtér különböző sebességű, párhuzamos tengelyű

részekre bontható. (réteges v. lamináris áramlás). Vizsgáljuk meg a Navier-Stokes egyenlet néhány lamináris megol-dását.

28.1. Stacionárius áramlás két síklap között28.1.1. A felső lapot állandó sebességgel húzzuk, a nyomás homogén

Számoljuk ki a stacionárius sebességprofilt két xz síkkal párhuzamos, y = ±d2 egyenlettel definiált síklap között,

a sebességet x irányúnak választva, feltéve hogy nincs nyomásgradiens és hogy a felső lap v0 sebességgel mozogaz x irányba. Feltesszük, hogy v = (vx, 0, 0) és hogy vx = vx(x, y). A kontinuitási egyenlet szerint ∂vx

∂x= 0. A

Navier-Stokes egyenlet x komponense:

∂2vx∂y2 = 0 ⇒ vx = v0

(y

d+ 1

2

)(28.1)

2018. december 18. 21:59:34 342

28.2 Stacionárius áramlás kör keresztmetszetű csőben, Hagen-Poiseuille-törvény 28 LAMINÁRIS ÁRAMLÁSOK28.1.2. Rögzített falak, állandó nyomásgradiens

Számoljuk ki a stacionárius sebességprofilt két xz síkkal párhuzamos, y = ±d2 egyenlettel definiált síklap között,

a sebességet x irányúnak választva, és feltéve, hogy a nyomásgradiens ∂p∂x

konstans.

0 = ∂p

∂x+ η

∂2vx∂y2 ⇒ vx = 1

2η

(y2 − d2

4

)∂p

∂x(28.2)

28.1. Gyakorló feladat. Számoljuk ki a stacionárius sebességprofilt két xz síkkal párhuzamos, y = ±d2 egyenlettel

definiált síklap között, a sebességet x irányúnak választva, és feltéve, hogy a nyomásgradiens ∂p∂x

konstans és hogy afelső lap v0 sebességgel mozog. [2]

28.2. Stacionárius áramlás kör keresztmetszetű csőben, Hagen-Poiseuille-törvényA cső sugara legyen a, a cső tengelye z irányú, és tételezzük fel, hogy vx = vy = 0. A kontinuitási egyenlet szerint

ekkor ∂vz∂z

= 0, azaz vz nem függ z-től, így a hengerszimmetria miatt vz = vz(r). A Navier-Stokes-egyenletek x és ykomponensei ∂p

∂x= 0 = ∂p

∂ytehát p = p(z).

A Navier-Stokes egyenlet z komponense ekkor:

∂p

∂z= η

(∂2vz∂x2 + ∂2vz

∂y2

)= η

1r

d

dr

(rdvzdr

)(28.3)

Ennek az egyenletnek a bal oldala csak x-től függ, a jobb oldala pedig csak r-től, ez csak akkor lehetséges, ha mindkettőugyanazzal a konstanssal egyenlő.

dp

dz= −C = η

1r

d

dr

(rdvzdr

)(28.4)

2018. december 18. 21:59:34 343

28.3 Párhuzamos áramlás állandó nyomás mellett, a határréteg fogalma (*) 28 LAMINÁRIS ÁRAMLÁSOKAz első egyenletet integrálva, majd a illesztve a p(z = 0) = p1 illetve p(z = L) = p2 peremfeltételeket:

p = p2 − p1

Lz + p1 (28.5)

Integrálva a második egyenletet:

vz = −Cη

r2

4 + C1 ln r + C2 (28.6)

C1 = 0, hogy r = 0-ban a sebesség véges legyen. r = a-ban a peremfeltétel vz = 0. Ezt is illesztve a

vz = p1 − p2

4ηL(a2 − r2

)(28.7)

paraboloid alakú sebességprofilt kapjuk.Az időegység alatt átáramló folyadék tömege:

w a

0ρ0vz2πrdr = πa4ρ0

2ηL (p1 − p2) (28.8)

Ez a Hagen-Poiseuille-törvény, amelyet először kísérletileg fedeztek fel a 19. században. A viszkozitásmérés egyikmódszere ezen a formulán alapul.28.2. Gyakorló feladat. Miként szól a Hagen-Poiseuille-törvény kiterjesztése elliptikus keresztmetszetű csőre? [3]

28.3. Párhuzamos áramlás állandó nyomás mellett, a határréteg fogalma (*)28.3.1. Kezdetben y-ban lépcsőfüggvény, x irányú áramlás végtelen folyadékban

Időfüggő stacionárius áramlás egyszerű példájaként tekintsük a következőt: Keressünk olyan megoldást, aholv = (vx(y, t), 0, 0) a nyomás konstans, és a sebességeloszlás kezdetben egy lépcsőfüggvény. Ebben az esetben a

2018. december 18. 21:59:34 344

28.3 Párhuzamos áramlás állandó nyomás mellett, a határréteg fogalma (*) 28 LAMINÁRIS ÁRAMLÁSOKNavier-Stokes egyenlet a következő diffúziós egyenletre egyszerűsödik:

∂vx∂t

= η∂2vx∂y2 (28.9)

Keressük ennek a megoldását, a következő skálázási gondolatmenettel. Legyen t = T t és y = Ly, ahol T és Ltetszőleges konstansok. Ekkor:

∂vx

∂t= ηT

L2∂2vx∂y2 (28.10)

Ha L2/T = 1 ez azonos a (28.9) egyenlettel. Azonos peremfeltételek mellett a megoldás tehát csak akkor lehetegyértelmű, ha:

vx(y, t) = f( yL,t

T) (28.11)

tetszőleges konstansokra, melyekre L2 = T . Válasszuk T = t és L =√t-t. Ekkor

vx(y, t) = f( y√t, 1) (28.12)

a megoldás tehát csak az ξ ≡ y√2ηt dimenziótlan kombinációtól függhet. Beírva, hogy vx = v0f(ξ)

d2f(ξ)dξ2 + 2ξ df(ξ)

dξ= 0 (28.13)

Egyszer integrálvadf

dξ= Ce−ξ

2 (28.14)

2018. december 18. 21:59:34 345

28.3 Párhuzamos áramlás állandó nyomás mellett, a határréteg fogalma (*) 28 LAMINÁRIS ÁRAMLÁSOKmég egyszer integrálva

f = Cw ξ

−∞e−s

2ds+D (28.15)

Illesztve az f(−∞) = 0 és f(∞) = 1 peremfeltételeket:

vx(y, t) = v01√π

w ξ

−∞e−s

2ds (28.16)

28.3.2. Fal y = 0-ban, kezdetben homogén x irányú áramlás

Illesztve az f(0) = 0 és f(∞) = 1 peremfeltételeket:

vx(y, t) = v02√π

w ξ

0e−s

2ds (28.17)

Figyeljük meg, hogy a viszkozitás mindkét esetben csak egy √ηt szélességű határrétegben domináns, az egyenletmegoldása ezen a térrészen kívül gyorsan közelít az ideális folyadékokra érvényes vx(y, t) = áll. megoldáshoz. Ez amegfigyelés egy határréteg létezéséről más, bonyolultabb áramlásokra is igaz, és az ún. Prandtl-féle határréteg-elméletalapja.28.3. Gyakorló feladat. Oldjuk meg a következő két differenciálegyenletet:

dy

dx= a y(1) = 1 (28.18)

εd2y

dx2 + dy

dx= a y(0) = 0 y(1) = 1 (28.19)

Hasonlóan az Euler- és Navier–Stokes-egyenletek közötti kapcsolathoz, a második egyenletet úgy kapjuk az elsőből,hogy hozzá adunk egy magasabb deriváltas tagot, a hozzá tartozó plusz egy peremfeltétellel. Látni fogjuk, hogy amásodik egyenlet megoldása egy határréteg után gyorsan fog tartani az első egyenlet megoldásához. [4]

2018. december 18. 21:59:34 346

28.3 Párhuzamos áramlás állandó nyomás mellett, a határréteg fogalma (*) 28 LAMINÁRIS ÁRAMLÁSOK

Boldog karácsonyt és vizsgaeredményekben gazdag új évet!

2018. december 18. 21:59:34 347

A A FORGÁSMÁTRIX IDŐDERIVÁLTJAI ÉS A TEHETETLENSÉGI ERŐKFüggelék

A. A forgásmátrix időderiváltjai és a tehetetlenségi erőkA.1. Két dimenzió

Emlékeztetőképpen idézzük fel, hogyan értjük a fizikai vektor fogalmát: annak komponensei valamely forgatáskoradott módon transzformálódnak. Két dimenzióban valamely ϕ szöggel való forgatáskor az oda- és a visszatranszfor-máció

x′ = x cosϕ+ y sinϕ, x = x′ cosϕ− y′ sinϕ,y′ = −x sinϕ+ y cosϕ, y = x′ sinϕ+ y′ cosϕ.

Vektor írásmódban, az O(ϕ) mátrix használatával

r′ = O(ϕ)r, ⇒ r = O−1(ϕ)r′ = OT(ϕ)r′. (A.1)

Itt tömören írtuk azt, ami a komponensek fenti egyenletéből látható, éspedig hogy az O inverze a transzponáltja. Ezdefinálja az ortogonális mátrixokat, magasabb dimenziókban is.

A.2. Három dimenzióA.2.1. Az ortogonális mátrix kettős szerepe

A K és K ′ egymáshoz képest el van forgatva míg origóik egybeesnek, s ugyanazon „hely” mért komponenseibőláll az r ill. az r′. Ezeket lineáris transzformáció köti össze

r = Or′, (A.2)

2018. december 18. 21:59:34 348

A.2 Három dimenzió A A FORGÁSMÁTRIX IDŐDERIVÁLTJAI ÉS A TEHETETLENSÉGI ERŐKahol O valamely 3× 3-as mátrix. Más szóval, az r és az r′ ugyanazon "fizikai" vektor K ill. K ′-beli reprezentációja,ld. 6. ábra.

Most azt mutatjuk meg, hogy nemcsak ugyanazon vektor K és K ′-beli komponenseit köti össze az O transzfor-máció, hanem ugyanez „forgatja” a K ′-t. Ezt úgy értjük, hogy egy-egy, a K-ban ill. a K ′-ben rögzített vektort viszegymásba.

A jelölés most kissé elbonyolódik, figyeljünk arra, hogy a vessző csupaszon vagy zárójelben áll. Vezessük be az rmellett az r[′] vektort, e komponenseket a K-ban értjük. Rögzítsük r-et K-hoz és r[′]-t a K ′-höz úgy, hogy az r[′]

a K ′-ben ugyanannak látszódjon, mint r a K-ban. Az r[′]-nek a K ′-beli komponensei a konvenciónk szerint r[′]′, afeltételünk tehát

r = r[′]′. (A.3)

Az (A.2) jelöléssel az r[′] vektor K és K ′-beli komponenseinek transzformációja

r[′] = Or[′]′. (A.4)

Innen kapjuk

r[′] = Or. (A.5)

Ez (A.2) „megfordítottja”, azaz a K ′-ben rögzített vektort ugyanazon O-val való forgatás állítja elő, amely adottvektor K ′-beli komponenseit K-belivé transzformálja.

A.2.2. A forgásmátrix differenciálegyenlete, és ennek megoldása egyenletes forgás esetén

Az alábbiakban megvizsgáljuk a forgásmátrixot állandó szögsebesség mellett. Az (5.7) definíció szerint a forgás-mátrix a következő differenciálegyenletnek tesz eleget q

O = ΩO. (A.6)

2018. december 18. 21:59:34 349

A.2 Három dimenzió A A FORGÁSMÁTRIX IDŐDERIVÁLTJAI ÉS A TEHETETLENSÉGI ERŐKHa Ω időben állandó, akkor az egyenlet megoldása

O(t) = eΩtO0 =∞∑n=0

1n!t

nΩnO0, (A.7)

erről behelyettesítéssel meggyőződhetünk. Itt O0 a KF, ha t = 0-ban a két koordinátarendszer egybeesik, akkorO0 = 1. Vegyük észre, hogy a KF mátrixszal jobbról kell szorozni!

Kétdimenziós eset: Ellenőrizzük, hogy az ismert O-t valóban megkapjuk-e exponenciális alakban. Ekkor

Ω =(

0 −ωω 0

)= ωI , ahol I =

(0 −11 0

). (A.8)

Az I hatványai:

I2 = −1 ⇒ I2k = (−1)k1, I2k+1 = (−1)kI, (A.9)

ahol 1 továbbra is az egységmátrix. Innen

eΩt =∞∑n=0

1n!t

nωnIn = 1

∞∑k=0

(−1)k

2k! (ωt)2k + I∞∑k=0

(−1)k(ωt)2k+1

(2k + 1)! =

= 1 cosωt+ I sinωt =(

cosωt − sinωtsinωt cosωt

)= O.

(A.10)

Ez valóban az ismert forgásmátrix, melyet az O0 = 1 KF mellett állítottunk elő.

A.1. Gyakorló feladat. Adjuk meg O-t három dimenzióban a z tengely körüli forgásra ω =(0, 0, ω

)! [1]

2018. december 18. 21:59:34 350

B EGYDIMENZIÓS MOZGÁSOKA.2.3. Gyorsulások átszámítása: a hagyományos módszer

Itt azt a hagyományos eljárást mutatjuk be, mely szerint a sebességek átszámításának formuláját kétszer alkal-mazva a gyorsulás (5.18) transzformációját nyerjük.

A különböző koordinátarendszerekhez viszonyított gyorsulások kifejezéséhez az időderivált (5.11) transzformációjátkétszer alkalmazzuk az r vektorra

v = qr = v(′) + ω × r, (A.11)

a = qv =

(v(′) + ω × r

) q. (A.12)

Az utóbbiban szerepelnek qv(′) = a(′) + ω × v(′), (A.13a)

(ω × r)q= qω × r + ω × (v(′) + ω × r), (A.13b)

ahol felhasználtuk a szöggyorsulás (5.12) invarianciáját. Az (A.13) formulákat az (A.12) jobboldalába helyettesítvenyerjük

a = a(′) + 2ω × v(′) + β × r + ω × (ω × r). (A.14)

Ez valóban a korábban kapott (5.18) eredménnyel azonos.

B. Egydimenziós mozgásokB.1. Mozgás fordulópont közelében

Sorba fejtjük a potenciált kvadratikus rendig a fordulópont közelében

V (x) = V (xF ) + V ′(xF )(x− xF ) + 12V′′(xF )(x− xF )2 + . . . (B.1)

2018. december 18. 21:59:34 351

B.1 Mozgás fordulópont közelében B EGYDIMENZIÓS MOZGÁSOKB.1.1. Közel lineáris potenciál

x

V(x)

t

99. ábra. Közel lineáris potenciál és a pálya fordulópont közelében.

Általában megállhatunk a lineáris rendnél, amely (lokálisan) homogén erőtérhez vezetV ′(xF ) 6= 0 ⇒ V (x) ≈ V (xF ) + V ′(xF )(x− xF ) ⇒ F (x) ≈ −V ′(xF ) = áll. (B.2)

A mozgás ilyenkor

x(t) ≈ xF −12V ′(xF )m

(t− t0)2. (B.3)

A pályát és a potenciált a 99. ábra szemlélteti.A fordulópont ∆x környezetében töltött idő (V ′(xF ) > 0)

∆t =√

2mxFw

xF−∆x

dx√V (xF )− V (x)

≈√

2mV ′(xF )

xFw

xF−∆x

dx√xF − x

=√

8m∆xV ′(xF ) véges. (B.4)

2018. december 18. 21:59:34 352

B.2 A mozgásegyenlet megoldása részletesen B EGYDIMENZIÓS MOZGÁSOKA pálya véges idő alatt visszafordul (ezt szemléletből is tudtuk, a feldobott kő véges idő alatt esik vissza).

B.1.2. A fordulópont lokális maximum: közel kvadratikus potenciál

A fordulópont a potenciál lokális maximuma

V ′(xF ) = 0, V ′′(xF ) < 0, ⇒ V (x) ≈ V (xF ) + 12V′′(xF )(x− xF )2 ⇒ F (x) ≈ −V ′′(xF )(x− xF ), (B.5)

lineáris, taszító erő hat. A fordulóponttól kis ∆x távolságról indulva a fordulópont elérésének ideje végtelen

∆t ≈√

m

−V ′′(xF )

xFw

xF−∆x

dxxF − x

=∞. (B.6)

A pálya nem fordul vissza, a mozgás nem lehet periodikus.

B.1. Gyakorló feladat. Oldjuk meg a mozgásegyenletet a potenciál lokális maximuma közelében (azaz taszító kvad-ratikus potenciálban)! [3]

B.2. A mozgásegyenlet megoldása részletesenVéges, periodikus mozgás esetén a (7.10) megoldást részletesebben felírhatjuk. Tegyük fel, hogy kezdetben a

sebesség v0 > 0, ekkor a felső fordulópont eléréséig teljesül dx > 0 és ezért

t− t0 =√m

2

xw

x0

dx√V (xF )− V (x)

. (B.7)

2018. december 18. 21:59:34 353

B.2 A mozgásegyenlet megoldása részletesen B EGYDIMENZIÓS MOZGÁSOKOnnan visszafordulva, de az alsó elérése előtt dx < 0, ezért (a határokat az érintésük sorrendjében írjuk)

t− t0 =√m

2

x

(+)Fw

x0

−xw

x(+)F

dx√V (xF )− V (x)

, (B.8)

ahol a második tagot a − előjel pozitívvá teszi. Újból visszafordulhat

t− t0 =√m

2

x

(+)Fw

x0

−x

(−)Fw

x(+)F

+xw

x(−)F

dx√V (xF )− V (x)

, (B.9)

t

x

+

−

+

100. ábra. Fordulópontok a B szegmens belsejében.

és így tovább. Minden tag pozitív, a középső értéke T/2. A t(x)általában többértékű, inverze az x(t) fizikai pálya egyértékű,de csak a monoton szakaszaiként invertálható, ld. 100. ábra.A fordulópontok között invertálhatóak az ágak.

B.2. Gyakorló feladat. Írjuk fel a (B.9) folytatásaként t(x)képletét pontosan n teljes félperiódus megtételét követő x-ekre (páros és páratlan n külön vizsgálandó)! [2]B.3. Gyakorló feladat. Adjuk meg az előző feladat megoldását,ha a kezdősebesség negatív! [2]B.4. Gyakorló feladat. Adjuk meg a megoldást, ha nem ütkö-zik a trajektória fordulópontba! [1]

2018. december 18. 21:59:34 354

B.3 Mozgás potenciálgödör alján: a harmonikus oszcillátor B EGYDIMENZIÓS MOZGÁSOKB.3. Mozgás potenciálgödör alján: a harmonikus oszcillátorB.3.1. Mozgásegyenlet

Tegyük fel, hogy az x0 lokális minimum, azaz

V ′(x0) = 0, V ′′(x0) > 0 ⇒ V (x) ≈ V (x0) + 12V′′(x0)(x− x0)2, (B.10)

ez a simuló parabola. Az erő

F (x) = −V ′(x) ≈ − V ′′(x0)︸ ︷︷ ︸k: rugóállandó

(x− x0) (B.11)

lapos potenciál ∼ gyengeerősen görbült pot. ∼ erős

rugó

Legyen az egyszerűség kedvéért x0 = 0, ekkor a mozgásegyenlet

mq qx = −kx⇒ q q

x = −ω20x

ω0 =√k

m, sajátfrekvencia

(B.12)

Kezdeti feltételek: x(0) = x0,qx(0) = v0.

2018. december 18. 21:59:34 355

B.3 Mozgás potenciálgödör alján: a harmonikus oszcillátor B EGYDIMENZIÓS MOZGÁSOKB.3.2. A harmonikus oszcillátor mozgásegyenletének megoldása

B.3.3. Az energiamegmaradás alapján

A megoldást gimnáziumból ismerjük, most határozzuk meg a (7.10) megoldóképlet alapján. A pozitív fordulópontx

(+)F = A, ez a maximális kitérés, amelyben a sebesség zérus, ezért

E = m

2qx2 + k

2x2 = m

2 v20 + k

2x20 = k

2A2. (B.13)

A megoldás az első fordulópont elérése előtt

t(x)− t0 = sgn(v0)√m

2

xw

x0

dx√k2 (A2 − x2)

= sgn(v0)Aω0

xw

x0

dx√1− (x/A)2

= sgn(v0)ω0

x/Aw

x0/A

du√1− u2

. (B.14)

Az integrál (u = sin v helyettesítéssel)uw

u0

du√1− u2

=arcsinuw

arcsinu0

d sin vcos v =

arcsinuw

arcsinu0

dv = arcsin u− arcsin u0, (B.15)

ahonnan

t(x)− t0 = sgn(v0)ω0

(arcsin x

A− arcsin x0

A

). (B.16)

Kifejezve x-et kapjuk

x(t) = A sin[sgn(v0)ω0(t− t0) + arcsin x0

A

]= x0 cosω0(t− t0) + sgn(v0)

√A2 − x2

0 sinω0(t− t0), (B.17)

2018. december 18. 21:59:34 356

B.3 Mozgás potenciálgödör alján: a harmonikus oszcillátor B EGYDIMENZIÓS MOZGÁSOKahol felhasználtuk a

sin(a+ b) = cos a sin b+ sin a cos b (B.18)

azonosságot. Az energia (B.13) képletéből |v0| = ω0

√A2 − x2

0, ahonnan

x(t) = x0 cosω0(t− t0) + v0

ω0sinω0(t− t0). (B.19)

Ez az első fordulópont elérése előtti általános megoldás. Kiterjesztése későbbi időkre éppen a mindenkori, a KF-hezillesztett általános megoldás!B.5. Gyakorló feladat. Írjuk fel t(x)-et az első és második fordulópont között, s invertálva mutassuk meg, hogyvalóban a (B.19) képlet folytatása adódik! [2]

B.3.4. Exponenciális próbafüggvény behelyettesítésével

Receptet adunk állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenletek megoldásához. A harmonikus oszcillátor moz-gásegyenlete q q

x = −ω20x. (B.20)

Próbafüggvényt helyettesítünk bex = a eiωt ⇒ −aω2 = −aω2

0 ⇒ ω = ±ω0. (B.21)Az általános megoldás komplex együtthatókkal

x = a+eiω0t + a−e

−iω0t = (a+ + a−) cosω0t+ i(a+ − a−) sinω0t. (B.22)Ezt a KF-hez illesztjük (nyilván a∗+ = a−).B.6. Gyakorló feladat. Alakítsuk át a mozgásegyenletet elsőrendű, kétdimenziós, lineáris differenciálegyenletté azy = q

x bevezetésével, s az együttható mátrix felhasználásával írjuk fel a megoldást! [3]

2018. december 18. 21:59:34 357

B.4 Periódusidő általános alakja negyedfokú perturbáció mellett. B EGYDIMENZIÓS MOZGÁSOKB.3.5. Periódusidő

T = 2ω0A

+Aw

−A

dx√1− (x/A)2

= 2ω0

1w

−1

d(x/A)√1− (x/A)2

= 2ω0

(arcsin 1− arcsin(−1)) = 2πω0. (B.23)

A periódusidő nem függ az amplitúdótól, azaz az energiától!

B.3.6. Általános kvadratikus potenciál

V (x) = a+ bx+ cx2 = V0 + k

2 (x− x∗)2 , (B.24)

ezzel az x∗ körüli harmonikus oszcillátort kaptuk.

B.7. Gyakorló feladat. Fejezzük ki a k, x∗ paramétereket a, b, c-vel! [1]

B.4. Periódusidő általános alakja negyedfokú perturbáció mellett.Tekintsük a másod-negyedfokú potenciált, amelyet a harmonikus mellé járuló

v(x) = x4 (B.25)

perturbációval adható meg.

2018. december 18. 21:59:34 358

B.4 Periódusidő általános alakja negyedfokú perturbáció mellett. B EGYDIMENZIÓS MOZGÁSOKB.4.1. Amplitúdófüggés

Vizsgáljuk a periódusidőt nem feltétlenül kicsiny amplitúdó mellett. Dimenzióanalízis: ha kiemeljük a 2π/ω-t, amaradék dimenziótlan, ezért csak dimenziótlan változó függvénye lehet

s =εA2

k, (B.26)

T (A) =2πωf (s) = 2π

ω

[1 +

∞∑n=1

cnsn

], (B.27)

melyet sor alakjában írtunk. Láttuk fent, hogy c1 = −3/2, levezetés nélkül közöljük a c2 = 57/16 értéket.

B.4.2. Energiafüggés

Az amplitúdó helyett az energiát is használhatjuk

E = kA2

2 + εA4. (B.28)

Az átszámításkor sorfejtés esetén fölösleges a megoldóképletet használni, adott rendig elegendő a szukcesszív appro-ximáció

A2 = 2Ek− 2εA4

k= 2E

k

(1− εA4

E

)= 2E

k

1− ε

E

(2Ek− 2εA4

k

)2 = 2E

k

(1− 4εE

k2 + . . .). (B.29)

2018. december 18. 21:59:34 359

B.4 Periódusidő általános alakja negyedfokú perturbáció mellett. B EGYDIMENZIÓS MOZGÁSOKTermészetesen ugyanezt kapjuk, ha a megoldóképletet fejtjük sorba. Az energiafüggést hordozó dimenziótlan változóinnen is leolvasható

u =εEk2 , (B.30)

T (E) =2πωg(u) = 2π

ω

(1 +

∞∑n=1

dnun

). (B.31)

Ez fizikai szempontból azonos a (B.27) mennyiséggel, de más változó függvényeként áll elő!B.8. Gyakorló feladat. Adjuk meg a d1, d2 együtthatókat! [2]

Megjegyzés: Különböző jelölések→ Matematika: T (A) és T (E) ugyanazon függvény, az A ill. E helyeken.→ Fizika: T (A) és T (E) ugyanaz a mennyiség, de különböző változók különböző függvényalakjai.

B.4.3. Nagy kitérések

Ha kx2 << εx4, akkor a periódusidő formulája nem függhet a k-tól. Ennek feltétele a g(u) hatvány alakúaszimptotikája nagy u mellett, melynek kitevőjét alább számítjuk ki

g(u) ∝ u−a ⇒ T ∝ ω−1u−a =√m

k

(εE

k2

)−a⇒ a = 1

4 ⇒ T ∝√m

4√εE

. (B.32)

Ezzel lényegében az x4 potenciálban mozgó tömegpont periódusidejének energiafüggését határoztuk meg.

B.4.4. "Lágyuló" potenciál: ε < 0.

A fenti (B.31) sort u < 0-ra is értelmezhetjük, mely a periódusidőt ε < 0 mellett fejezi ki. Negatív ε esetén apotenciálban azonban két globális maximum, ±xc jelenik meg, a periodikus mozgás csak ezek között történhet. A

2018. december 18. 21:59:34 360

B.5 Optimalizált perturbációszámítás B EGYDIMENZIÓS MOZGÁSOKmaximumpontokat és a hozzájuk tartozó Ec energiát alább meghatározzuk

0 = V ′(xc) = kxc − 4|ε|x3c ⇒ xc = 1

2

√k

|ε|⇒ Ec = V (xc) = 1

2kx2c − |ε|x4

c = 116k2

|ε|. (B.33)

A lokális maximumok közelében a periódusidő divergál (ld. (B.6)) , ezért

T (E)→∞ midőn E Ec ⇒ u uc = −|ε|Eck2 = − 1

16 , (B.34)

itt tehát a periódusidő szingularitást mutat. Ha E > Ec, akkor nem véges a mozgás, periódusidő nem értelmezett.Megjegyzés: A T -nek u hatványai szerinti sorának konvergenciasugara nem lehet nagyobb, mint |uc| = 1/16. Sejtés:éppen ekkora.

B.4.5. Globális függvénymenetT(u)

u

~u−1/4

−1/16

2π/ω

101. ábra. Periódusidő a negyedfokú perturbáció ese-tén az u = εE

k2 függvényében. Az uc = −1/16 helyendivergál, ez a szeparátrix energiájának felel meg.

A periódusidő a (B.30)-ben bevezetett u függvényében a101. ábrán látható. Vegyük észre, hogy a konvergenciasugárona pozitív oldalon áthaladhatunk, |uc|-ban a T (u) menetébenszingularitás nem jelenik meg.

B.5. Optimalizált perturbációszámításAz alábbiakban érdekes eljárást mutatunk arra, miként ja-

víthatjuk az elsőrendű perturbációszámítás eredményét egy újparaméter bevezetésével majd ennek függvényében a közelítéshibájának minimalizálásával. A módszert a periódusidő számí-tásának kapcsán ismertetjük, alkalmazása azonban más prob-lémákban is ígéretes lehet.

2018. december 18. 21:59:34 361

B.5 Optimalizált perturbációszámítás B EGYDIMENZIÓS MOZGÁSOKB.5.1. Kvadratikus perturbáció: a rugóállandót perturbáljuk

Bevezetésképpen módosítsuk a rugóállandót a harmonikus potenciálban, s ezt formálisan tekintsük perturbációnak,azaz

V (x) = k

2x2 + εv(x) = k

2x2 + ε

x2

2 . (B.35)

Természetesen ismerjük az egzakt periódusidőt, melyet sorba fejthetünk(ω =

√km

)

T = 2π√

m

k + ε≈ 2π

√m

k

(1− ε

2k

)= 2π

ω− πε

mω3 . (B.36)

Ezenközben a perturbációszámítási eredményünk is érvényes, melynek a (B.36) sorfejtéssel összhangban kell lennie.

B.9. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a korrekció (7.32) általános képlete éppen a (B.36) O(ε) járulékát adja![1]

B.5.2. Módosítjuk a perturbálatlan potenciált

Újraosztunk tagokat a nulladrendű és a perturbáló potenciálok között az alábbi módon

V (x) = k

2x2 + εv(x) = k

2(1 + λε)x2 + ε

[v(x)− kλ

2 x2]. (B.37)

Az új perturbációval

T (ε) = T(0)λ + εT

(1)λ + . . . . (B.38)

2018. december 18. 21:59:34 362

B.5 Optimalizált perturbációszámítás B EGYDIMENZIÓS MOZGÁSOKA perturbálatlan sajátfrekvencia

ωλ =√k(1 + λε)/m, (B.39)

melyet nem fejtünk sorba. A periódusidőhöz (7.32) adja meg a vezető korrekciót a módosított

vλ(x) = v(x)− kλ

2 x2 (B.40)

perturbáló potenciállal, melyből (elhagyjuk A0 indexét)

T(0)λ = 2π

ωλ, T

(1)λ = 4

mω3λA

2 Iλ(A). (B.41)

A korrekció két járuléka

T(1)λ = πλk

mω3λ

+ 4mω3

λA2 I(A), (B.42)

ahol az első tag (B.36)-ből származik az ε→ −λkε helyettesítéssel, a másodikat (7.32) alapján a v(x)-szel számítjuk.Az egzakt eredménytől való eltérés a hiba

∆Tλ(ε) = T (ε)− T (0)λ − εT

(1)λ . (B.43)

B.5.3. A hiba minimalizálása

Az eddig tetszőleges λ-t úgy állítjuk be, hogy minimalizálja a hibát. Mivel T (ε) nem függ λ-tól, azért

∂

∂λ∆Tλ(ε) = − ∂

∂λ

[T

(0)λ + εT

(1)λ

]= 0. (B.44)

2018. december 18. 21:59:34 363

B.5 Optimalizált perturbációszámítás B EGYDIMENZIÓS MOZGÁSOKA minimumpontot jelöljük λ∗-gal. Érdekes módon a fenti hiba éppen akkor minimális, ha a periódusidő vezetőkorrekciója eltűnik, miként ezt alább belátjuk. Az elsőrendű közelítésre új jelölést vezetünk be

T[1]λ = T

(0)λ + εT

(1)λ = 2π

ωλ+ πεkλ

mω3λ

+ 4εmω3

λA2 I(A). (B.45)

A minimum feltétele∂

∂λT

[1]λ = ∂ωλ

∂λ

∂

∂ωλT

[1]λ = 0 ⇒ ∂

∂ωλT

[1]λ = 0. (B.46)

Mivel

λ = 1ε

(mω2

λ

k− 1

)⇒ ∂λ

∂ωλ= 2mωλ

εk, (B.47)

azért∂

∂ωλT

[1]λ = −2π

ω2λ

+ πεk

mω3λ

2mωλεk︸ ︷︷ ︸

=0

−3[πεkλ

mω4λ

+ 4εmω4

λA2 I(A)

]= 0. (B.48)

Tehát a [.] tag a λ∗ minimumpontban eltűnik, ez ekvivalens a

T(1)λ∗ = 0 (B.49)

feltétellel. Ez határozza meg λ∗-ot! A periódusidő optimális első rendű közelítése tehát megegyezik a nulladrendűvel,ha behelyettesítjük a minimalizáló λ∗-ot

T[1]λ∗ = T

(0)λ∗ = 2π

ωλ∗= 2π

√m

k(1 + ελ∗) (B.50)

2018. december 18. 21:59:34 364

C HAMILTONI MECHANIKAI KIEGÉSZÍTÉSA perturbáló v(x) potenciálról szóló információt a λ∗ hordozza, melyet a harmonikus oszcillátor periódusidejénekképletébe helyettesítünk. Mivel a hibát minimalizáltuk, ennek általában kisebbnek kell lennie, mint a λ nélkül számítottelsőrendű közelítés.

Konklúzió: egy fizikai jelentéssel nem bíró λ paraméter bevezetésével az elsőrendű perturbációszámítást megja-víthattuk! Kérdés, milyen mértékű a javulás.

B.10. Gyakorló feladat. Vizsgáljuk a periódusidőt a v(x) = x4 perturbáló potenciál mellett! Ábrázoljuk a perturbá-ciószámítás első rendjében kapott eredményeket az εA2 függvényében a λ = 0 ill. az optimális λ∗ mellett értékekre,s rajzoljuk fel a – numerikusan kiszámítható egzakt – periódusidő görbéjét is (m = 1, ω = 2π egységekkel)! Levon-hatjuk azt a következtetést, hogy az optimalizáció jelentősen javítja az első rendű perturbációszámítás pontosságát.[7]

C. Hamiltoni mechanikai kiegészítésAlább a vizsgaanyagon túlmenően mutatjuk be a fázistérbeli mozgást. (Ez a függelék a jegyzet többi részéhez

képest kevésbé kidolgozott.)

C.1. Tömör jelölés a szimplektikus mátrix segítségével

A szimplektikus mátrix S =(

0 1

−1 0

), ahol 1 az f × f -es egységmátrix. Nyilván S = −ST = −S−1. Ezzel a

Hamilton-egyenletek:

qX = V =

(∇pH−∇qH

)= S ∇XH. (C.1)

2018. december 18. 21:59:34 365

C.1 Tömör jelölés a szimplektikus mátrix segítségével C HAMILTONI MECHANIKAI KIEGÉSZÍTÉSLiouville tételét azonnal beláthatjuk annak alapján, hogy S antiszimmetrikus, azért bármilyen a vektorral képzettkvadratikus alak eltűnik, azaz

aSa = 0 ⇒ ∇XV = ∇X S ∇XH = 0. (C.2)

A Poisson-zárójelek tömören jelölhetők

A,B = ∇qA∇pB −∇pA∇qB = ∇XA S ∇XB. (C.3)

A (15.55) Jacobi-azonosságot könnyen beláthatjuk S felhasználásával. Idézzük fel a formulát

f, g, h+ g, h, f+ h, f, g = 0, (C.4)

s vezessük be a következő egyszerűsítő jelölést

fi = ∂f

∂xi, fij = ∂2f

∂xi∂xj. (C.5)

Vegyük észre, hogy a (C.4) baloldala a 2. deriváltak lineáris függvénye. Például a hij a f, g, h + g, h, fformulában lép fel a következő tagokban

fiSijgkSklhlj + gkSklhjlSjifi. (C.6)

Mivel Sij = −Sji, azért e formula értéke zérus. Az fij és gij együtthatói hasonlóan kiejtik egymást, ezzel a (C.4)azonosságot beláttuk.

2018. december 18. 21:59:34 366

C.2 Mozgásállandók generálása C HAMILTONI MECHANIKAI KIEGÉSZÍTÉSC.2. Mozgásállandók generálása

Ha f és g állandók, akkor h = f, g is az. Ezt a következőképpen láthatjuk be. Először vegyük észre, hogyqh = ∂h

∂t+ h,H, (C.7)

∂h

∂t= ∂

∂tf, g = ∂f

∂t, g+ f, ∂g

∂t. (C.8)

A Jacobi-azonosságból következően

H, h = H, f, g = −g, H, f+ f, H, g (C.9)

Mivel qg =

qf = 0 így:

H, h = −g, ∂f∂t+ f, ∂g

∂t = ∂h

∂t⇒

qh = 0 (C.10)

Tehát h = f, g mozgásállandó. Vagy h = h(f, g), azaz h kifejezhető a "régi" állandókkal, vagy h "új" mozgásál-landó. Például, ha az impulzusmomentum két komponense állandó, akkor a harmadik is az.

C.2.1. Kapcsolat a kvantummechanikával

Az ún. szemiklasszikus, vagy Bohr–Sommerfeld-féle kvantálás az adiabatikus invariánst egész számokkal állítjaelő az I = h(n+ γ) alakban, ahol n egész szám és γ kis, rögzített érték. A fent példaként tárgyalt rendszerekben akvantumfeltétel kivételesen egzakt! A harmonikus oszcillátorra

E = νI = hν (n+ 1/2) , (C.11)

2018. december 18. 21:59:34 367

C.2 Mozgásállandók generálása C HAMILTONI MECHANIKAI KIEGÉSZÍTÉSmíg a hidrogén atomra

E = − mβ2

2~2n2 . (C.12)

A helyes kvantálás a kvantummechanika előtt az adiabatikus invariánson keresztül adódott ki az egyszerű esetekben.Hidrogén-atomra:

Ir + Iθ + Iϕ = h[nr + 1

2 + nθ + 12 + nϕ

]= hn (C.13)

Degeneráció (#) adott nr + nθ + nϕ + 1 = n mellett

nϕ #0 n1 2(n− 1)2 2(n− 2)...

n− 1 2

(C.14)

A degenerációt felösszegezve kapjuk

n+ 2(n− 1) + 2(n− 2) + · · ·+ 2 = n+ 2n(n− 1)2 = n2. (C.15)

Spinnel 2n2, ez éppen a kvantummechanikából számított degeneráció! A különleges egyezés az 1/r potenciál magasszimmetriájának a következménye. Általános potenciál esetén csak nagy n mellett jó közelítés a szemiklasszikuskvantumfeltétel.

2018. december 18. 21:59:34 368