Sztochasztikus folyamatok a gazdaságban(eloadás vázlat)

Sinkovicz PéterPhD hallgató

50 100 150 200 250t

-20

-10

10

20

S H t L

2014

Sinkovicz Peter

BEVEZETÉS

1 Statisztikai alapfogalmak 1Események valószínuségének értelmezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Adattípusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Kísérlettervezés, buktatók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Sztochasztikus folyamatok áttekintése 2Sztochasztikus folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Stacionárius folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Markov folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Chapman-Kolmogorov-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Homogén Markov folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Az állapotok osztályozása 5Definíciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 Bolyongás során felmerülo alapkérdések 6

DISZKRÉT IDEJU MARKOV FOLYAMATOK

1 Diszkrét ideju Markov folyamatok dinamikája 7Dinamika megadása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Chapman-Kolmogorov egyenlet ezen a nyelven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8P(n) mátrix analitikus meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Egyensúlyi eloszlás 10Egyensúlyi eloszlás meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Átlagos visszatérési ido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Google PageRank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Elérési valószínuség, átlagos elérési ido 13Bevezeto példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Definíció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Elérési valószínuség meghatározásának módja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Átlagos elérési ido meghatározásának módja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

RÉSZVÉNYPIAC EGYSZERU MODELLJE

1 Alapfogalmak 14Értékpapír jellemzése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Portfólió választás a Markowitz-féle modellben 16A Markowitz-féle modell feltevései . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Portfólió választás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

i

3 Egy adott portfólió szimmetrikus mozgása a tozsdén 18Elso lépés analízis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Bolyongás várható ideje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Egy adott portfólió aszimmetrikus mozgása a tozsdén 20Bolyongás várható ideje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Konklúzió 23

DIFFÚZIÓS FOLYAMATOK

1 Diffúziós folyamatok leírása 25Fokker-Planck egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Speciális diffúziós folyamatok 27Wiener folyamat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Ornstein-Uhlenbeck folyamat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Langevin egyenlet 31Langevin egyenlet és a Fokker-Planck egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Langevin egyenlet általánosítása több változós esetre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Diffúziós folyamat konstrukciója adott stacionárius eloszláshoz 33Egyváltozós eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Többváltozós eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

DISZKRÉT IDEJU MASTER EGYENLET EGÉSZ VÁLTOZÓKRA

1 Master egyenlet származtatása 35Infinitezimális ido alatti átmeneti valószínuség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Master egyenlet származtatása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Részletes egyensúly 36

3 Bolyongás végtelen láncon 37A bolyongás diffúzitása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37pi meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Végtelen határeset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Kontinuum limesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

APPENDIX

A. Appendix: Indikátorfüggvény formalizmus 41Tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

ii

Sinkovicz Péter

Sinkovicz

EloszóAz eloadás alap valószínuségi fogalmakra épül melyekrol egy jó áttekintés ad a [1] könyv. Témáját négy nagy-obb szerkezeti egység képzi; Az elso részben a diszkrét ideju Markov folyamatok átmeneti mátrixos és elsolépés analízises formalizmusaival ismerkedünk meg, melyek pontosabb elméleti háttere a [2-6] irodalombak-ban részletesebben kibontakozik. A második gondolati egységben betekintést kaphatunk a tozsdepiac elemifolyamataiba, érdeklodoknek a [7-9] könyveket ajánlom. A harmadik részben néhány speciális diffúz folyam-atot tekint át, melyek megtalálhatóak a [10] könyvben. Majd az eloadás utolsó témája a Master egyenlet kon-strukciója egy adott gazdasági folyamathoz. A jegyzet a Markov Monte Carlo módszerek rövid ismertetésévelválna teljessé, azonban az ido rövidsége miatt ez a téma kimaradt, viszont [11-12] irodalmakból kiindulvafeltérképezhetitek az a témakört is.

Továbbá szeretném kiemelni Szám Anita hallgatómat, aki lelkesen és megbízhatóan segített a jegyzetbedigitalizálásában.

Irodalomjegyzék[1] Prékopa András: Valószínuségelmélet[2] J. R. Norris: Markov Chains[3] J. R. Norris: Markov Chains lecture note[4] Aldous, D. and J. Fill: Markov Chains lecture note[5] B. Rozovskii, M. Yor: Stochastic Modelling and Applied Probability[6] Fazekas István: Markov-láncok és alkalmazásaik[7] R. E. Shreve: Stochastic Calculus for Finance I-II[8] M. J. Steele: Stochastic Calculus and Financial Applications[9] P. Jorion: Financial Risk Manager Handbook[10] W. Gardiner: Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences[11] Charles J. Geyer: Introduction to Markov Chain Monte Carlo[11] W. R. Gilks, S. Richardson: Markov Chain Monte Carlo in Practice

iii

Sinkovicz Péter

Bevezetés

1 Statisztikai alapfogalmak

Események valószínuségének értelmezéseVéletlen folyamatok esetén a (megismételheto) kísérletek kimeneteinek a valószínuségeit azonosíthatjuk amérések során tapasztalt relatív gyakoriságaikkal:

p(A ∈Ω) := kAn = kedvezo elemi események száma

lehetséges elemi esetek száma

Az így definiált valószínuség kielégíti a valószínuségi axiómákat:

• 0≤ p(A ∈Ω)≤ 1

• p(Ω)= 1

• (egymást páronként kizáró események valószínusége összeadódik)

AdattípusokAz adatok nem mások, mint a kísérletek lehetséges kimenetei, melyeket csoportosíthatunk fajtáik:

• Kvalitatív adatok (lehetséges értékei számok)

a) Diszkrét adatok (megszámlálhatóan végtelen számosságú)b) Folytonos adatok (megszámlálhatatlanul végtelen számosságú /intervallum adatok/)

• Kvantatív adatok (melyek értékei nem számok)

és szintjük szerint is:

1. Normális szintu:Az ilyen típusú adatokat nem lehet sorba rendezni (pl.: igen/nem/talán)

2. Ordinális szintu:Sorba lehet rendezni, de a különbségnek nincs értelme (pl.: egyetemek sorrendje)

3. Intervallum szintu:Van értelme a különbségnek, de nincs nulla pont, ami valaminek a hiányára utal

4. Arányszintu:Van nulla pont is (pl.: vízállás)

Kísérlettervezés, buktatókÜgyelnünk kell arra, hogy a kísérletezés során ne torzuljanak az adatok, azaz valóban a mért populációtjellemezzék. A típushibák elkerülése érdekében a következoket kell szem elott tartanunk:

• Statisztikai hamisítás:Tilos rossz, hamis adatot a többi közé keverni, hogy igazoljuk a feltevésünket

• Túl kis elemszámú minta nem ad reális képet a teljes populációról

• Az ábrák torzíthatnak, a számokat nézzük

• Elemi eseményekbol építkezzünk

• Ismernünk kell a teljes eseményteret

1

2 Sztochasztikus folyamatok áttekintése

Sztochasztikus folyamatokLegyen x(t) egy valószínuségi változó (Ω halmazon értelmezett tetszoleges függvény), melyet idonként meg-mérünk. A mérés során az x(tn), . . . , x(t1) adatsort kapjuk, ahol tn < tn−1 < . . .< t1.

Több kísérlet elvégzése után, vagy elméleti jóslatból definiálhatunk egy valószínuségi suruséget:

pn(x1, t1; . . . ; xn, tn)

mely megadja, hogy mekkora annak a valószínusége, hogy ti-ben (xi, xi+dxi) intervallumon belül lesz a mérésieredmény, azaz

P(x1 ∈ (x1, x1 +dx1), . . . , xn ∈ (xn, xn +dxn))≡ pn(x1, t1; . . . ; xn, tn)dx1, . . . ,dxn

Ezen valószínuségi leírásban x(t)-t sztochasztikus valószínuségi változónak tekintjük, ha rendelkezik akövetkezo két tulajdonsággal:

• Normáltság ∫pn(x1, t1; . . . ; xn, tn)dx1 . . .dxn ≡ 1

• Komplementaritás ∫pn(x1, t1; . . . ; xi, ti; . . . ; xn, tn)dxi = pn−1(x1, t1; . . . ;xi, ti ; . . . ; xn, tn)

Az x(t) valószínuségi változóink jellemzésére bevezethetjük a következo mennyiségeket:

• momentumok

– várhatóérték: ⟨x(t)⟩ ≡E[x(t)] := ∫dx xp1(x, t)

– n. momentum: ⟨xn(t)⟩ ≡E[xn(t)] := ∫dx xn p1(x, t)

• korrelációs függvények

– n. korrelációs függvény: E[x1(t1)...xn(tn)]= ∫dx1 . . .dxn x1...xn · pn(x1, t1; . . . ; xn, tn)

Stacionárius folyamatokA stacionárius folyamatok invariánsak az idoeltolásra, azaz nem fejlodnek az idoben, így egyensúlyi ál-lapotként értelmezhetoek:

pstac1 (x, t)≡ pstac

1 (x, t′) ∀t, t′ ⇒ pstac1 = p1(x)

pstac2 (x, t; x′, t′)≡ pstac

2 (x1t+∆t; x′, t′+∆t) ∀ ∆t ⇒ pstac2 (x, t; x′, t′)= pstac

2 (x, x′, t− t′)

Markov folyamatokDefiniáljuk a

P(x1, t1|x2, t2; . . . ; xn, tn)= pn(x1t1; . . . ; xntn)pn−1(x2t2; . . . ; xntn)

feltételes valószínuséget, mely megadja, hogy mekkora valószínuséggel mérünk x1-et t1-ben, ha elottet2, x2; . . . ; tn, xn n−1 db esemény bekövetkezett.

Ezen feltételes valószínuség segítségével definiálhatjuk a Markov folyamatokat: egy sztochasztikusfolyamatot Markovinak tekintünk, ha

P(x1, t1|x2, t2; . . . ; xn, tn)≡ P(x1t1|x2t2)

összefüggés fennáll, azaz a rendszernek nincs hosszútávú memóriája, csak a közvetlenül ot megelozo es-eménytol függ.

2

Chapman-Kolmogrov-egyenletA pn valószínuség felépítheto a feltételes valószínuségek segítségével:

pn(x1, t1; . . . ; xn, tn) = P(x1t1|x2t2; . . . ; xntn)pn−1(x2t2; . . . ; xntn)= P(x1t1|x2t2)pn−1(x2, t2; . . . ; xntn)== P(x1t1|x2t2)P(x2t2|x3, t3; . . . ; xn, tn)pn−2(x3t3; xn, tn)= . . .== P(x1t1|x2t2)P(x2t2|x3t3) . . .P(xn−1tn−1|xntn)p1(xn, tn)

mely n=3 esetén a Chapman-Kolmogorov egyenletre vezet:

p3(x1t1; x2t2; x3t3) = P(x1t1|x2t2)P(x2t2|x3t3)p1(x3t3)

p2(x1, t1; x3t3) =∫

dx2P(x1t1|x2t2)P(x2t2|x3t3)p1(x3t3)

P(x1t1|x3t3)p1(x3t3) = p1(x3t3)∫

dx2P(x1t1|x2t2)P(x2t2|x3t3)

P(x1t1|x3t3) =∫

dx2P(x1t1|x2t2)P(x2t2|x3t3)

azaz az x3t3 pont úgy függ az x1t1 ponttól, hogy valószínuségi értelemben kiátlagolunk az összes benso x2t2pontra:

t3 t2 t1

x3

x1

x

t

x3t3 −→ x1t1 átmenet valószínuségét úgy kapjuk meg, hogy statisztikusan kiátlagolunk az összes útra.

Homogén Markov folyamatokEgy Markov folyamat homogén, ha:

P(x1t1|x2t2)= P(x1t1 − t2|x2) (idoeltolásra invariáns),

ebbol még nem következik, hogy ez egy stacionárius folyamat, hiszen akkor stacionárius, ha p1(x, t)= pstac(x),azaz nincs idofüggés.

Ergodikus Markov folyamatnak nevezzük az olyan Markov-folyamatokat, ahol

limt→∞P(x, t|x′)= pstac(x)

3

melybol és a Chapman-Kolmogrov egyenlet alapján:

limt→∞ p1(x, t) = lim

t→∞

∫dx′P(xt|x′)p1(x′,0)=

∫dx′

(limt→∞P(xt|x′)

)p1(x′,0)= pstac(x) ·

∫dx′p1(x′,0)=

= pstac(x)

azaz tetszoleges eloszlás a stacionárius állapotba tart, ha t →∞-be.A diffúz folyamatok olyan homogén Markov folyamatok, ahol

∫(x− x′)nP(x, t|x′)dx =

v(x′)t+ϑ(t) n = 1σ(x′)t+ϑ(t) n = 2Ø n > 2

mely integrál-egyenletrendszer megoldását azonnal leolvashatjuk

P(x, t|x′)∼ e−(x−x′+v(x′)t)2

2σ2(x′)t ⇒ Gauss-eloszlást követ

A megoldásokat v(x′) és σ(x′) szerint tovább csoportosíthatóak (lsd. Diffúziós folyamatok c. fejezet).

4

3 Az állapotok osztályozásaEttol a ponttól kezdve diszkrét ideju bolyongásokkal foglalkozunk úgy, hogy a mérést stroboszkópikusan ésegyenközuen végezzük.

DefiníciókA kísérlet lehetséges kimenetelét rendezzük gráfba.

Például: kockadobás

12

3

45

6

Minden él 1/6 valószínuséggel következik be ≡ annak a valószínusége, hogy si dobása után s j-t dobjak =1/6 i, j ∈ 1, . . . ,6

Az s j állapotot az si állapotból elérhetonek nevezzük (si * s j), ha valamely n > 0 idolépésre:

P( j,n ·∆t|i) 6= 0

továbbá az si és s j állapotok kölcsönösen elérhetoek (si *) s j), ha si * s j és s j * si.Egy si állapotot lényegesnek nevezünk, ha az si-bol elérheto állapotokból vissza lehet térni si-be, ellenkezo

esetben si lényegtelen állapot.Az állapotok egy A halmazát zártnak nevezzük, ha ∀si ∈ A állapot esetén:∑

j∈APi( j,∆t|i)= 1 ← egy idolépés után A-ban maradunk.

Egy zárt halmazt lényegesnek nevezünk, ha nincs valódi zárt részhalmaza.Egy Markov lánc irreducibilis, ha a teljes állapottér minimális zárt halmaz. Továbbá egy Markov-lánc akkorés csakis akkor irreducibilis, ha az egész állapottere egyetlen lényeges osztályt alkot (azaz minden állapotminden állapotból elérheto ≡ si *) s j ∀i, j)

Láttuk, hogy az ergodikus Markov-folyamatok a pstac(i)-be tartanak, azonban ez a határérték nem biztos,hogy létezik. pl.:

12

P(i∆t| j)= 1−δi, j i, j ∈ 1,2

azaz az (1) és a (2) állapot közt oszcillál a rendszer.Ergodikus Markov-lánc, ha aperiodikus (létezik pstac(i)), irreducibilis és véges valószínuséggel visszatalál

a kiindulási pontba.

5

4 Bolyongás során felmerülo alapkérdések• Elso átlagos visszatérési ido

Például: A sakktáblán véletlenszeruen bolyong egy huszár. Átlagosan hány lépés után tér vissza akezdopontba?

• Átlagos fedési idoPéldául: Kisgyerek zsírkrétázik az aszfalton. Átlagosan hány órát kell kint hagyni, hogy az egész utcátlefedje?

• Relaxációs idoPéldául: Átlagosan mennyit kell keverni a paklit, hogy elveszítse a memóriáját?

• Monte-Carlos módszerek

6

Diszkrét ideju Markov folyamatok

1 Diszkrét ideju Markov folyamatok dinamikája

Dinamika megadásaEgy idolépés valószínuségét jelöljük a következoképpen:

Pi(xt+∆t)≡ P(xt+∆t|xt = i)

ahol xt+∆t a t+∆t idoben a "részecske" helyzete a G(V ,E) gráfon (azaz a rendszer állapota), ha ez a s j-edikrácspont akkor tömören:

p ji = Pi(xt+∆t = j) i, j ∈V

a p ji átmeneti mátrix tulajdonságai:

• p ji ≥ 0 ∀i, j ∈V

•∑j∈V

p ji = 1 (sztochasztikus mátrix)

λ= (λi : i ∈V ) valószínuségi eloszlás, ha∑iλi = 1 és λi ≥ 0, ∀i ∈V -re

Ezen elemek segítségével a következoképpen definiálhatjuk a dinamikát egy λ0 kezdeti eloszlásból:

Pλ(xt=∆t = j) ≡ Pλ(x1 = j)= ∑i∈V

λi p ji

. . .

Pλ(xn = j) = ∑i∈V

λi p(n)ji

Például: idojóslás: Megfigyelések alapján ha ma esett akkor holnap p2,1 = 0.7 valószínuséggel nem esikés p1,1 = 0.3 valószínuséggel esik. Hasonlóan, ha ma nem esett, akkor p2,2 = 0.6 valószínuséggel nem esik ésp1,2 = 0.4 valószínuséggel esik.

p 1 , 1p 1 , 2

p 2 , 1p 2 , 2 12

ahol s2 ≡ nem esik és s1 ≡ esik, így a rendszer átmeneti mátrixa

P =[

p1,1 p1,2p2,1 p2,2

]=

[0.3 0.40.7 0.6

]és a kezdeti valószínuségi eloszlásunk (mai nap idojárása) a következo:

λ0 =(λ1

0λ2

0

)=

(10

) ← esik← nem esik

Melyen a két nap múlvai állapot meghatározásához az átmeneti mártixot kétszer kell hatatnunk:

P2λ0 =[0.3 0.40.7 0.6

][0.3 0.40.7 0.6

](10

)=

[0.3 0.40.7 0.6

](0.30.7

)=

(0.370.63

)tehát 0.37 valószínuséggel esni fog két nap múlva.

7

Chapman-Kolmogorov egyenlet ezen a nyelvenAz elozo példa rámutatott arra, hogy az n lépéses folyamat átmeneti mátrixa: P(n) = p(n)

ji a P mátrix n-edik

hatványa. Így a Chapman-Kolmogorov egyenlet:

p(n+m)ji = ∑

k∈VP(n)

ki · p(m)jk

ami igazából a mátrix szorzás kiírása.

P (n) mátrix analitikus meghatározásaPéldául: Két pontú markov lánc

p 1 , 1p 1 , 2

p 2 , 1p 2 , 2 12

mely átmeneti mátrixát parametrizálhatjuk a következo képpen:

P =[

p1,1 p1,2p2,1 p2,2

]=

[1−α β

α 1−β]

határozzuk meg P sajátértékeit:

det[1−α ·λ β

α 1−β−λ]

= (1−α−λ)(1−β−λ)−αβ= 1−α−λ−β+αβ+λβ+λ2 −λ+λα−αβ=

= λ2 −2λ+ (α+β)λ+ (1−α−β)= 0

melynek megoldásai: λ1 = 1 és λ2 = 1−α−β.Így az átmeneti mátrix a következo alakra hozható (bázistranszformációval):

P =U(λ1 00 λ2

)U−1 UU−1=1======⇒ Pu =U

(1 00 (1−α−β)n

)U−1

melybol (P(n)11 ) =U11 ·U−1

11 +U12 · (1−α−β)n ·U−112 legyen A =U11 ·U−1

11 és B =U12 ·U−112 . Mivel P0 = 1,így p(0)

11 =1≡ A+B másrészt P1 = P, így p(1)

11 = 1−α= A+B(1−α−β) melybol A és B meghatározható:

A = βα+β és B = α

α+β

hasonlóképpen a többi mátrixelem is meghatározható

Pn =

β

α+β + αα+β (1−α−β)n β

α+β − βα+β (1−α−β)n

αα+β − α

α+β (1−α−β)n αα+β + β

α+β (1−α−β)n

n→∞−−−−→

β

α+ββ

α+β

αα+β

αα+β

8

Például: Három pontú Markov lánc:

p 1 , 2

p 2 , 3

p 2 , 2p 3 , 3

p 3 , 1

1

23

mely a következo átmeneti mátrixot definiálja:

P =

0 0 1

2

1 12 0

0 12

12

melynek sajátértékei: λi = 1,± i

2 , a

±(

i2

)n=

(12

)ne±in π

2 =(

12

)n [cos

(nπ

2

)± i ·sin

(nπ

2

)]azonossággal átalakítható az átmeneti mátrix elemei, például:

p(n)11 = A+B

(i2

)n+C

(− i

2

)n=

= A+(

12

)n [B′ cos

(nπ

2

)+C′ sin

(nπ

2

)]felhasználva, hogy p(0)

11 = 1, p(1)11 = 0 és p(2)

11 = 0⇒ A,B’,C’ meghatározható:

p(n)11 = 1

5 + ( 12)n [ 4

5 cos(nπ

2)− 2

5 sin(nπ

2)] n→∞−−−−→ 1

5

Recept: N pontú markov lánc

1) ε1 . . .εN sajátértékek meghatározása (ε1 = 1 lesz)

2) Ha a sajátértékek különböznek:

p(n)i j = a1 +a2ε

n2 + . . .+anε

nN

ha az l-edik sajátérték k-szor ismétlodik, akkor azokat a tagokat helyettesíthetjük a következovel:

(b0 +b1n+ . . .+bk−1nk−1)εnl

3) A komplex sajátértékek párban jönnek (így kevesebb konstanst kell illesztenünk).

9

2 Egyensúlyi eloszlásπ= (πi : i ∈V ) valószínuségi eloszlás egyensúlyi eloszlás, ha:

Pπ=πhiszen ekkor a dinamikában nem fejlodik

Például: két rácspontú példa

p 1 , 1p 1 , 2

p 2 , 1p 2 , 2 12

mely átmeneti mátrixa:

P =[1−α β

α 1−β]

amit hatványozva határértékben eljutunk az egyensúlyi eloszlásokhoz

Pn limn→∞−−−−−−→

β

α+ββ

α+β

αα+β

αα+β

=[Π1 Π1Π2 Π2

]

tehát

π=(π1π2

)= 1α+β

(β

α

)például α=β határesetben:

π= 12p

(pp

)= 1

2

(11

)

Egyensúlyi eloszlás meghatározásaPéldául: három rácspontú példa

p 1 , 2

p 2 , 3

p 2 , 2p 3 , 3

p 3 , 1

1

23

Mely átmeneti mátrixa

P =

0 0 1

2

1 12 0

0 12

12

l imn→∞−−−−−−→

( 15)

( 25)

( 25)

10

Ezek azonban a következoképpen is meghatározhatók:π1 =π3 · 1

2π2 =π1 ·1+π2 · 1

2π3 =π2 · 1

2 +π3 · 12

megoldásaπ1 = 1/5π2 = 2/5π3 = 2/5

(π1 +π2 +π3 = 1)

Átlagos visszatérési idoAz r i átlagos visszatérési ido megadja, hogy átlagosan hány idolépés után érünk vissza a kiindulási si pontba.Az egyensúlyi eloszlásból meghatározható az egyes rácspontok visszatérési értékét:

r i = 1πi

ahol r i := Ei(Ti) és Ei(·) olyan várhatóérték amihez a t = 0-ból si-bol indított bolyongás tartozik (biz.: B.Appendix)

Például: két rácspontú gráf: Legyen α=β= p, ekkor

E1(az az ido ami alatt visszatér) =∞∑

n=0nP(n idopontban tért vissza)= 1 · (1− p)+

∞∑n=2

p2 · (1− p)n−2 ·n

= = 1− p+∞∑

m=1(m+1) · p2 · (1− p)m−1 = 1− p+ p2

∞∑n=1

(n+1) · (1− p)n−1 =

= 1− p+ p2∞∑

n=1(1− p)n−1 + p2

∞∑n=1

n(1− p)n−1

︸ ︷︷ ︸∂p "mértani sor"

= 2− p+ p2∞∑

n=1(1− p)n−1 =

= 2− p+ p2∞∑

m=0(1− p)m

︸ ︷︷ ︸mértani sor

= 2− p+ p2 · 1p= 2

Google PageRankHárom szempont szerint kell optimalizálni a kereso motort:

• kereso megtalálja ami szeretne

• megfelelo reklámok legyenek

• reklámból származó bevétel maximalizálása

Toy modell erre az esetre: Legyen a web egy G = (V ,E) gráf, ahol V a vertexek (itt: a weboldalak) és E alinkek halmaza (kapcsolatok). Az átmeneti valószínuség meghatározható egy lapról a kapcsolódóakra:

pi j =

1L(i) az L(i) hivatkozásai közül egyenletesen választ egyet1N ha L(i)=0, akkor random választ egy lapot az összes közül

Tovább finomíthatjuk ezt a modellt, hiszen lehet hogy nem a honlapról ágazik el, hanem bezárja, és nyit egymásikat:

pi j =αpi j + (1−α) · 1N

így valószínuséggel lép tovább.A rendszer π egyensúlyi eloszlásának a komponensei arányos azzal, hogy mennyi idot töltenek ott az

emberek az adott webhelyen, azaz ha πi >π j akkor si weboldal "fontosabb" mint az s j.

11

Pπ=π⇒ meghatározása nehéz ⇒ limn→∞Pn = (π,π . . .)

ami gyorsan konvergál (gyorsabb mint a s.é. egyenlet megoldása).

12

3 Elérési valószínuség, átlagos elérési ido

Bevezeto példaKétpontú gráf:

p 1 , 1p 1 , 2p 2 , 2 12

mely átmeneti mátrixa:

P =(1− p 0

p 1

)Az egyes rácspontból indulva a kettesben való elnyelodés valószínusége:

P1(2-be jutás) =∞∑

n=1P1(2 elérése az n-edik lépésben)=

∞∑n=1

(1− p)n−1 p = p∞∑

n=1(1− p)n−1 =

= p · 1 · [(1− p)∞−1](1− p)−1

= p · 1p= 1

Az egyes rácspontból a kettesen való elnyelodés várható ideje:

E1(2-esbe jutás ideje)=∞∑

n=1nP(2 elérése az n. lépésben)=

∞∑n=1

n(1− p)n−1 p =−p ddp

∞∑n=0

(1− p)n =−p(− 1p2 )= 1

p

Mely elso lépés analízissel meghatározható: legyen f = P1(2-be jutás) ekkor

f = (1− p)P1(2-be jutás|x1 = 1= eloször az 1-ben marad)+ pP1(2-be jutás|x1 = 2≡ átment)= (1− p) f + p ·1

amibol f = 1 adódik ésg =E2(2-esbe jutás ideje)= 1+ (1− p)g+ p ·0

amibol g = 1p

DefinícióElérési ideje egy A ∈V halmaznak:

HA = infn ≥ 0 : xn ∈ A

Elérési valószínuség:

f Ai = Pi(HA <∞)

Átlagos elérési ido:

qAi =Ei(HA)= ∑

n<∞nPi(HA = n)+ "∞·P(HA =∞)"

Elérési valószínuség meghatározásának módjaA f A = ( f A

i : i ∈V ) elérési valószínuség az a; nem negatív, minimális megoldása a

f Ai = 1 ha i ∈ A

f Ai =∑

jp ji f A

j ha i ∉ A

egyenletrendszernek. A minimális megoldás azt jelenti, hogy ha x és f megoldások akkor xi ≥ f i ∀x -re

13

Bizonyítás:

a) f Ai megoldja az említett egyenletet

• Ha x0 = i ∈ A, akkor HA = 0 (nulla lépés alatt ott van) ⇒ f Ai = 1

• Ha x0 ∉ A, akkor HA ≥ 1

f Ai = Pi(HA <∞)= ∑

j∈VPi(HA <∞, x1 = j)︸ ︷︷ ︸

j-t érintve i-bol A-ba megy

≡ ∑j∈V

Pi(HA <∞|x1 = j)︸ ︷︷ ︸f A

j

Pi(x1 = j)︸ ︷︷ ︸p ji

=∑j

p ji f Aj

b) minimális megoldásLegyen x egy tetszoleges megoldás, ahol f A

i = xi = 1 ∀i ∈ A-ra, így

xi = ∑j

p jix j =∑j∈A

p jix j +∑j∉A

p jix j =∑j∈A

p ji +∑j∉A

p jix j =∑j∈A

p ji +∑j∉A

p ji

( ∑k∈A

pk j xk +∑k∉A

pk j xk

)=

= Pi(x1 ∈ A)+Pi(x1 ∉ A, x2 ∈ A)+ ∑j,k∉A

p ji pk j xk = . . .= Pi(x1 ∈ A)︸ ︷︷ ︸elsore odament

+Pi(x1 ∉ A, x2 ∈ A)+

+ . . .+Pi(x1 ∉ A, . . . , xn−1 ∉ A, xn ∈ A)︸ ︷︷ ︸n.-re ment oda

+∑ j

p j1 i p j2 j1 . . . p jn jn−1 x jn

⇒ xi ≥ Pi(HA ≤ n)⇒ xi ≥ limn→∞Pi(HA ≤ n)= Pi(HA <∞)= f i

Átlagos elérési ido meghatározásának módjaA gA = (gA

i : i ∈V ) átlagos elérési ido az a; nem negatív, minimális megoldása a

gAi = 0 i ∈ A

gAi = 1+∑

jp ji gA

j i ∉ A

egyenletrendszernek. (Bizonyítása hasonló, mint az elérési valószínuségnél látott).

14

Részvénypiac egyszeru modellje

1 Alapfogalmak• Értékpapír: vételár ellenében szabadon átruházható

• Értékpiac: értékpapírok adásvételének színtere

• Árfolyam: az az ár, amennyiért az értékpapír egy egységét megvásárolhatjuk

• Idohorizont: Ha a piac diszkrét, egyenközu ∆t idolépésekre osztható, akkor ∆t a befektetések idohori-zontja.

Értékpapír jellemzéseAz értékpapírok jövobeli értékét, árfolyamát véletlenszerunek tekinthetjük. Jelölje S(t) sztochasztikus változóegy adott értékpapír t idopontban vett árfolyama, melyhez a pn(s1t1; . . . ; sntn) valószínuségi suruség tartozik,így az egységnyi idolépés alatt szerzett egységnyi nyereség:

X (t,∆t)= S(t+∆t)−S(t)

mely relatív megváltozása a hozam vagy lineáris hozam:

r(t,∆t)= S(t+∆t)−S(t)S(t)

exponenciális trend−−−−−−−−−−−−−→pl. kamatos kamat

r(t,∆t)log = log S(t+∆t)S(t) ≡ log r

ahol r(t,∆t)log az úgynevezett logaritmikus hozam.

15

2 Portfólió választás a Markowitz-féle modellben

A Markowitz-féle modell feltevéseiA Markowitz-féle modell az üzleti világra a következo egyszerusíto feltevéseket teszi:

• A befektetok árelfogadóak: A piac szereploi nem befolyásolják a piacot az üzleteikkel (a forgalomban lévorészvényekhez képest kis tételben való kereskedés esetén jó közelítés, azonban a portfólió nyereségénekrealizációja tömeges eladáshoz vezet)

• Értékpapírok tetszolegesen oszthatóak: nagy portfólióra jó közelítés

• Nincsenek tranzakciós költségek: sem idoben sem pénzben

• Az árfolyamok stacionárius és normális eloszlásúak: azaz elegendo az átlagukat és szórásukat megad-nunk, a centrális határeloszlás tétele miatt kb. jó közelítés

• A befektetések kockázatát a hozamuk szórásával mérjük: azaz a kockázat a befektetési periódus végénrealizált hozam bizonytalansága. Azonban a kockázatát definiálása közel sem egyértelmu, ezt példázóannéhány fontos szempont amit figyelembe kell vennünk a kockázat definiálása során:

– Diverzifikációs elv: olyan kockázati mérték kell, mely több részvényre való szétosztott befektetésrekisebb

– Robosztusság: Kis zavarral szembeni ellenállás

– Összehasonlíthatósag: Valahogy össze kell tudnunk hasonlítani a különbözo formájú befektetéseket

– Szokás megkülönböztetni a kockázatokat forrásaik szerint:

(a) piaci kockázat (árfolyam ingadozás)(b) hitelkockázat (fizetésképtelenné válás)(c) muködési kockázat (emberi hiba, csalás)

• A befektetok racionálisak: a vizsgált idotávon belül a legkisebb kockázat mellett a legnagyobb hozamotszeretnek (azonban hosszú távú befektetés során nem zavaró, ha az elején rosszul teljesít a befektetés)

Portfólió választásLegyen N darab különbözo fajta értékpapír a piacon, melyek árfolyamai Si(t) : i ∈ 1, . . . , N. Ekkor port-fóliónak nevezzük a befekteto egyes értékpapírjaiból meglévo wi (adott részvény-kombináció) mennyiségekösszességét. Tehát a portfólió értéke:

Y (t)=N∑

i=1wiSi(t)≡ ~W~S(t)

melybol a portfólió megváltozásának értéke (nem váltunk csomagot), azaz a nyereségünk:

X (t)=Y (t+∆t)−Y (t)=N∑

i=1wi X i(t)

ahol X i(t)= Si(t+∆t)−Si(t).A Markowitz-modell feltevése miatt elegendo pusztán a portfólió átlagával és szórásával foglalkoznunk:

µp :=N∑

i=1wiµi

σ2 p :=N∑

i, j=1σi jwiw j

ahol µi =E[xi] részvény várhatóértéke és σi j =E[xix j]−E[xi]E[x j] kovariancia mátrix.

16

A befektetonk racionális, ha:

• azonos (µp1 =µp2 ) várható hozamok közül azt részesíti elonyben, melynek kisebb a szórása azaz a p1, p2portfóliók közül p1-et válassza, ha σp1 <σp2

• azonos szórás esetén a nagyobb várhatóértékut választja

Tehát a kedvezo portfólió megtalálásához a következo optimalizációs feladatot kell megoldanunk:

1. minw∈RN

N∑i j=1

σi jwiw j

2.N∑

i=1wiµi =µ⇒ rögzített hozam mellett keressük a minimális portfóliót

3.N∑

i=1wi = 1⇒ nem fektetünk be vagy vonunk ki részvényt a játék során

mely Lagrange multiplikátoros formalizmussal megoldható:

w∗i (µ)=

N∑j=1

σ−1i j [λ∗(µ)+η∗(µ)µi]

ahol a (·)∗ megoldásra utal és

λ∗(µ)= C−B−µAC−B2 η∗(µ)= Aµ−B

AC−B2

A =N∑

i j=1σ−1

i j B =N∑

i j=1σ−1

i j µ j C =N∑

i j=1σ−1

i j µiµ j

a µ hozam melletti portfólió kockázata pedig:

σ∗2(µ) :=

N∑i, j=1

σi jw∗i (µ)w∗

j (µ)≡ AAC−B2 (µ− B

A )2 + 1A

Optimalizációs feladat vizualizációja:

1 AΣ 2

B A

Μ

• besatírozott terület: lehetséges portfóliók (a 2. és 3. egyenletet kielégítik, de nincsen minimalizálva akockázat)

• határportfóliók: optimalizációs feladat szélsoértékei (kékkel és lilával jelölt portfóliók)

• hatékony portfóliók: optimalizációs feladat megoldásai (kékkel jelölt portfóliók)

17

3 Egy adott portfólió szimmetrikus mozgása a tozsdénVegyük a következo gazdasági modellt: legyen x = xi : 1≤ i <∞ véletlen változók halmaza, mely a következoeloszlást mutatja:

P(xi = 1)= P(xi =−1)= 1/2 (pl. pénzérme dobás)

jelölje S0 a játékos kezdeti tokéje, mely az n. lépésben Sn = S0 + x1 + x2 + . . .+ xn, tehát Mn = Sn −S0 ajátékos nyeresége (egyetlen portfólióval foglalkozunk,hiszen kiválasztottuk a legjobbat)

Feltehetjük azt a kérdést, hogy mekkora annak a valószínusége, hogy nyer A egységet, mielott B-tvesztene? A kérdés megválaszolásához vezessük be a

τ :=minn ≥ 0 : Mn = A vagy Mn =−B

idot, lépésszámot mely egészen addig fut, míg vagy Sn = A nyereség vagy Mn = −B bukás bekövetkezik, ígyarra hajtunk tehát, hogy meghatározzuk a következot

P(Sτ = A|S0 = 0)

ahol az S0 = 0 kezdeti feltétel arra utal, hogy a kezdo árfolyamhoz képest viszonyítjuk a mozgást.

Elso lépés analízisElemi körökbol, idolépésekbol építjük fel a játékos pénzmozgását, úgy, hogy egy lépést ismételünk a játékvégéig, addig amíg −B < Sn < A feltétel még nem teljesül. Legyen

f (k) := P(Sτ = A|S0 = k) −B ≤ k ≤ A

annak a feltételes valószínusége, hogy ha k tokénk van, akkor τ-ban nyerünk A-t. A már tanultak alapjánf (k) kifejezheto a gráf szomszédos elemein vett értékével:

f (k)= 12 f (k−1)+ 1

2 f (k+1) −B ≤ k ≤ A

mely egyenletetrendszert kell megoldanunk az f (A) = 1 és f (−B) = 0 kezdeti feltételekkel. Ehhez a kapottegyenletet vezessük vissza rekurzió segítségével, majd oldjuk meg: legyen f (−B+1)≡α ekkor

1) α= f (−B+1)= 12 f (−B+1−1)︸ ︷︷ ︸

;+ 1

2 f (−B+1+1)

2α= f (−b+2)

2) 2α= f (−B+2)= 12 f (−B+2−1)︸ ︷︷ ︸

α

+ 12 f (−B+2+1)

3α= f (−B+3)

. . .

j) jα= f (−B+ j)

ahol az α értékét az f (A)= 1 kezdeti feltételbol illeszthetjük:

1= f (A)= (A+B)α

α= 1A+B

Tehát a keresett feltételes valószínuség:

f (0)= P(τ ido alatt elérüjük A-t, de még mielott elérnénk B-t|S0 = 0)≡ f (−B+B)= BA+B

18

Bolyongás várható idejeA várható ido pontosabb meghatározása elott meg kell bizonyosodnunk arról hogy a folyamatunk valóbanvéges ideig tart. Ezt indikátor függvény (A. Appendix) segítségével beláthatjuk. Induljunk ki a következotriviális algebrai állításból

τd ·1((k−1)(A+B)< τ≤ k(A+B))≤ kd(A+B)d ·1((k−1)(A+B)< τ)

mivel ez az összefüggés minden k-ra teljesül, így a∑k

-ra is teljesül:

∞∑k=1

τd1((k−1)(A+B)< τ≤ k(A+B))︸ ︷︷ ︸τd

∞∑k=1

1((k−1)(A+B)< τ≤ k(A+B))︸ ︷︷ ︸a szumma olyan k-ra megy ahol

(k−1)N<τ≤kN, és N=A+Bazaz k−1< τ

N ≤k így k csak egy értéket vehet fel(többre nem teljesül az egyenlotlenség),

tehát ez 1

≤∞∑

k=1kd(A+B)d1((k−1)(A+B)< τ)

τd ≤∞∑

k=1kd(A+B)d1((k−1)(A+B)< τ)

mindkét oldal várhatóértékét véve:

⟨τd⟩ ≤∞∑

k=1kd(A+B)d P((k−1)(A+B)< τ)︸ ︷︷ ︸

annak a valószínusége, hogy (k-1)(A+B) lépésbolegyszer sem nyert, azaz ezt úgy becsülhetjük,

hogy (A+B) lépésbol egyszer sem nyertünk(k-1)-szer:1-p ahol p=2−(A+B)annak a

valószínusége, hogy pont A-t nyerünk egyféleképpen

mivel a jobb oldal korlátos, így a bal oldal is.

Elso lépés analízis

Jelölje

g(k)= ⟨τ|S0 = k⟩annak a bolyongásnak a várható idejét amit az S0 = k-ból indítunk. Ez is kifejezheto a szomszédos gráfpon-tokbeli értékeivel

g(k)= 12 g(k−1)+ 1

2 g(k+1)+1

ez esetben a két kezdeti feltétel g(−B) = 0 = g(A) (mindkét esetben nulla a bolyongási ido, hisz vagy a nyerésvagy a vesztés miatt kiszálltunk).

Vegyük észre, hogy az elozo egyenlet átírható egy Laplace egyenletté:1242 g(k−1)= 1 −B < k < A

ahol

4g(k−1) = g(k)− g(k−1)

42 g(k−1) = g(k+1)−2g(k)+ g(k−1)

melynek megoldása:g(k)=−(k− A)(k+B)

így⟨τ|S0⟩ = g(k = 0)= A ·B

19

4 Egy adott portfólió aszimmetrikus mozgása a tozsdénLegyen P(xi = 1)= p és P(xi =−1)= 1− p = q ahol (p+ q = 1). Ekkor egy lépés után:

f (k)= pf (k+1)+ qf (k−1)

melyet a következo differenciálegyenletbe írhatunk át:

0= p f (k+1)− f (k)− q f (k)− f (k−1)

4 f (k)= (qp

) ·4 f (k−1)

melybol:

1) 4 f (k+1)= ( qp )4 f (k)

2) 4 f (k+2)= ( qp )4 f (k+1)= ( q

p )24 f (k)

. . .

j) 4 f (k+ j)= ( qp ) j4 f (k)

ezt az elozo egyenlettel analóg módon rekurzívan megoldatjuk, legyen megint

α=4 f (−B)= f (−B+1)− f (−B)︸ ︷︷ ︸;

= f (−B+1)

és használjuk fel az

f (k)=k+B−1∑

j=04 f ( j−B)=

−−−−−

← f (k)

kioltják egymást

←;azonosságot így:

f (k)=k+B−1∑

j=04 f ( j−B)=

k+B−1∑j=0

(qp

) j 4 f (−B)=αk+B−1∑

j=0

(qp

) j =α(

qp

)k+B−1qp −1

melyben szereplo α-t az f (A)= 1 kezdeti feltétel rögzíti

1=α(

qp

)A+B−1qp −1

f (k = 0) adja megint a kereset valószínuséget:

f (0)= P(Sn = A|S0 = 0)=qp −1

( qp )A+B −1

·( q

p )B −1qp −1

=( q

p )B −1

( qp )A+B −1

20

Bolyongás várható idejeMegint be kéne látnunk, hogy τ véges, de ezt most nem tesszük meg, hanem rögtön megoldjuk az elso lépésanalízis egyenleteit

g(k)= pg(k+1)+ qg(k−1)+1

mely a következo inhomogén lineáris differenciálegyenletre vezet

4g(k)=(

qp

)·4g(k−1)− 1

p

a probléma g(−B)= 0= g(A) kezdeti feltételekkel rendelkezik.

• homogén rész megoldása4g(k)= (

qp

)4g(k−1)= (qp

)[g(k)− g(k−1)]

a megoldás alakja:

g(k)=α+β(

qp

)k

melyet vissza írva azt kapjuk:

g(k+1)− g(k) = α+β(

qp

)k+1−

[α+β

(qp

)k]=β

[(qp

)k+1−

(qp

)k]=

=(

qp

)·β

[(qp

)k−

(qp

)k−1]

• inhomogén egyenlet megoldása, az állandók variálása helyett c ·k alakban keressük a megoldást:

c · (k+1)− c ·k = qp (ck− c(k−1))− 1

p c = 1q−p

a ketto összegébol (lineáris kombinációjából) eloáll a megoldás:

g(k)= kq−p +α+β( q

p )k

a kezdeti feltételek rögzítik az α,β konstansok értékét:

• g(k =−B)=− Bq−p +α+β( q

p )−B = 0⇒α= Bq−p −β( q

p )−B

• g(k = A)= Aq−p +α+β( q

p )A = 0⇒α=− Aq−p −β( q

p )

⇒ A+Bq−p =β(( q

p )−B − ( qp )A)

ebbol a bolyongás várhatóértéke:

g(k = 0)=;+α+β= Bq−p − A+B

q−p ( 1( q

p )−B−( qp )A )(( q

p )−B −1)= Bq−p − A+B

q−p · 1−( qp )B

1−( qp )A+B

21

határeset:

ez p = 12 +ε és q = 1

2 −ε-ban visszaadja az elozo eredményt

g(k = 0)= Bε− A+B

ε[ 1−(1+ε)B(1−ε)−B)

1−(1+ε)A+B(1−ε)−(A+B) ]=

(1+ x)n ' 1+nx+ 12 n(n−1)x2

(1− x)n ' 1−nx+ 12 n(n−1)x2

(1+ x)−n ' 1−nx+ 12 n(n+1)x2

(1− x)−n ' 1+nx+ 12 n(n+1)x2

⇒ (1+ε)B(1−ε)B ∼= [1+Bε+ 1

2 B(B−1)ε2]x[1+Bε+ 12 B(B+1)ε2]'

1+2Bε+2B2ε2 Bε− A+B

ε· −1−1 · 2Bε+2B2ε2

2(A+B)ε+2(A+B)2ε2 =

Bε− B+B2ε

ε+(A+B)ε2 = Bε− B(1+Bε)

ε(1+(A+B)ε) = Bε− B

ε[1− Aε

1+(A+B)ε ]= AB · 11+(A+B)ε ' AB

(torzítatlan érmés eredmény)

Vegyük észre, ha a kocka kicsit cinkelt(p=0.49), annak a valószínusége, hogy hamarabb nyerünk 100$-tmint hogy 200$-t veszítünk:

f (0)= ( qp )200−1

( qp )300−1

' 0.018' 2%

szemben a tiszta esettel:

f (0)= BA+B = 2

3 ' 66.6%

22

5 KonklúzióTehát egy példafolyamat a következoképpen néz ki

500 1000 1500 2000 2500t

-60

-40

-20

20

40

60

S H t L

p = 0.5, A = 50$ és B = 50$ paraméterek mellett. Nyújtsuk el a folyamatot, azaz legyen A = B = 100$, ekkor anyerési/vesztési valószínuségek közti különbség jobban kiélezodik, ezt szemlélteti a következo táblázat

p 50% 49.5% 49% 48% 47%τ 10 000 7 616 4 820 2 498 1667

f(0) 50% 11,9% 1.79% 0.03% 6 ·10−4%

/Tehát mindent az elso körben felrakni nem egy rossz statisztikájú játék (a többihez képest)/ és két ny-erési plot mely az egy körben való p nyerési valószínuség függvényében pásztázza végig a teljes nyerésivalószínuségeket:

0.47 0.48 0.49 0.50 0.51 0.52 0.53p

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

f H AL

(a) A = 50 és B = 250.47 0.48 0.49 0.50 0.51 0.52 0.53

p

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

f H AL

(b) A = 100 és B = 50

23

Sinkovicz Peter

Diffúziós folyamatok

1 Diffúziós folyamatok leírásaLegyen P(x, t|x′) homogén Markov folyamat (pl.: x(t) a nyereségünk az ido során), melyet akkor nevezünkdiffúziósnak, ha a növekménymomentumok a következo képpen viselkednek:

∫(x− x′)nP(x,∆t|x′)dx =

v(x′)∆t+ϑ(∆t) ha n = 1σ2(x′)∆t+ϑ(∆t) ha n = 2ϑ(∆t) ha n ≥ 3

azaz a várhatóérték v(x′) driftsebességgel eltolódik (driftelodik) és az éles eloszlás σ diffóziósállandóvalkiszélesedik:

t Dt + tt

x ¢

x

x H t L

⟨x− x′⟩ = v(x′)∆tσ(x′,∆t) = σ(x′)

p∆t

Mivel csak az elso és a második momentum különbözik nullától így az eloszlásunk leírható egy

P(x,∆t|x′)∼ e−(x−x′−v(x′)∆t)2

2σ2(x′)∆t

Gauss függvénnyel.

Fokker-Planck egyenletVéve a Chapmann-Kolmogorov egyenletet diffúziós folyamatokra vett határesetét kaphatunk egy drift egyen-letet, amit minden diffúziós folyamatnak ki kell elégítenie.

Fokker-Planck egyenlet levezetése során a∫dxf (x)P(x, t+∆t|x′)'

∫dxf (x)

[P(x, t|x′)+∂tP(x, t|x′)∆t

]várhatóértéket fogjuk több lépésben átalakítani. Elso lépésben használjuk fel a

P(x, t+∆t|x′)=∫

dx"P(x, t+∆t|x", t)P(x", t|x′) =︸︷︷︸homogén

∫dx"P(x,∆t|x")P(x", t|x′)

25

Chapmann-Kolmogorov egyenletet és hogy a bevezett f (x) függvény sorbafejtheto minden x pont körül:

f (x)' f (x)+ f ′(x)(x− x)+ 12

f "(x)(x− x)2 ,

így∫dxf (x)P(x, t+∆t|x′) =

∫dxdx" f (x)P(x,∆t|x")P(x", t|x′)'

∫dxdx"

[f (x")+ f ′(x")(x− x")+ 1

2f "(x")(x− x")2

]×

× P(x,∆t|x")P(x", t|x′)=∫

dx"P(x", t|x′)

f (x")∫

dxP(x,∆t|x")︸ ︷︷ ︸=1

+

+ f ′(x")∫

dx(x− x")P(x,∆t|x")︸ ︷︷ ︸v(x")∆t

+ 12

f "(x")∫

dx(x− x")2P(x,∆t|x")︸ ︷︷ ︸=σ2(x")∆t

=

=∫

dxP(x, t|x′)[

f (x)+ f ′(x)v(x)∆t+ 12

f "(x)σ(x)∆t]

Parciális integrálással tisztítsuk meg az f (x) függvényeket a deriválástól

•∫

dxf ′(x)v(x)∆tP(x, t|x′) = [f (x)v(x)∆tP(x, t|x′)]+∞−∞−

∫dxf (x)∂x

(v(x)P(x, t|x′))∆t =

= ∆t∫

dxf (x)∂x(v(x)P(x, t|x′))

•∫

dxf "(x)12σ2(x)∆tP(x, t|x′) = ·· · =∆t

∫dxf (x)∂2

x

(σ2(x)

2P(x, t|x′)

)az integrálás során természetes határfeltételeket alkalmaztunk, azaz lim

x→±∞P(x, t|x′)= 0.A két oldal közti egyenloség minden f (x)-re fennál, így az integrandusoknak meg kell egyezniük, mely a

Fokker-Planck egyenletet adja:

∂tP(x, t|x′)=−∂x(v(x)P(x, t|x′))+ 1

2∂2

x(σ2(x)P(x, t|x′)) .

(Mivel p1(x, t) = ∫dx′P(x, t|x′)p1(x′1,0), így ezt az egyenlet p1 is kielégíti.) A Fokker-Planck egyenlet nem más

mint egy kontinuitás egyenlet P(x, t|x′)-re, ahol v(x′) az áramlási sebesség és σ(x′) a valószínuség szétfolyásá-nak mértéke

26

2 Speciális diffúziós folyamatokA diffúziós folyamatokat a v(x) driftsebesség és σ diffúziós állandó függvényében osztályozhatjuk:

• Wiener folyamat, ha v(x)= 0 és σ2(x)=σ2 = 2D

• Lináris (vagy Ornstein-Uhlenbeck) folyamat, ha v(x)=−γx és σ2(x)=σ2 = 2D

• Langevin folyamat, ha v(x) "tetszoleges" és σ2(x)=σ2 = 2D (rendelheto hozzájuk Langevin egyenlet)

• Általános diffúziós folyamat ha v(x) és σ2(x) is "tetszoleges"

Wiener folyamatAz olyan diffúziós folyamatokat, ahol v(x)= 0 és σ2(x)= 2D Wiener folyamatoknak nevezzük. Ekkor a Fokker-Planck egyenlet a

∂tP(x, t|x′)= D∂2xP(x, t|x′)

alakot ölti.

Wiener folyamat átmeneti valószínusége

A Wiener folyamathoz tartozó diffúziós egyenletet a

φ(z, t) := ⟨ezx⟩ =∫

dxezxP(x, t|x′)

generátor függvény (azaz a deriváltjai megadják a momentumokat)

φ(z, t)= ⟨ezx⟩ =∞∑

n=0

zn

n!⟨xn⟩ → ∂n

zφ(z, t)∣∣z=0 = ⟨xn⟩

segítségével oldhatjuk meg. Ha a Fokker-Planck egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk ezx-szel, majd x-rekiintegrálunk akkor a generátor függvényre a következo összefüggést kapjuk:

∂tφ(z, t)= Dz2∫

dxezxP(x, t|x′)= Dz2φ(z, t)

Tehát a generátor függvény bevezetésével sikerült egy szétválasztható differenciál egyenleté alakítani azegyenletünket, melyet már megoldhatunk:

ln(φ(z, t)φ(z,0)

)= Dz2t → φ(z, t)=φ(z,0)eDz2 t

melybol a φ(z,0) konstans értékét beállítja a kezdeti feltétel. Legyen kezdetben egy lokalizált állapotunk,ekkor

P(x,0|x′)= δ(x− x′) → φ(z, t = 0)=∫

dxezxP(x,0|x′)= ezx′ .

Nézzük meg, hogy a kapott generátor függvény milyen eloszlást generál (hátha megállapíthatjuk ebbol akeresett eloszlást):

• Várhatóérték∂zφ(z, t)

∣∣z=0 = ∂z ezx′+Dz2 t

∣∣∣z=0

= (x′+D ·2z · t) ezx′+Dz2 t

∣∣∣z=0

= x′

melybol a növekmény várhatóértéke:⟨x− x′⟩ = v(x)∆t = 0

27

• Szórás∂2

zφ(z, t)∣∣z=0 = ·· · = x′2 +2Dt

melybol a szórás:σ2 = ⟨x2⟩−⟨x⟩2 = 2D · t

• Magasabb momentumok eltunnek, így a teljes megoldás Gauss lesz

n ≥ 3 : ∂nzφ(z, t)

∣∣z=0 = ·· · = 0 → ⟨(x−⟨x⟩)n⟩ = 0

Tehát a keresett egyenlet megoldása:

P(x, t|x′)= 1p2π ·2D · t

e−(x−x′)22·2D·t ∼ e−

(x−x′)24Dt

mely t →∞-re P(x, t|x′)= δ(x− x′) (hiszen nincsen driftelodés).

Ornstein-Uhlenbeck folyamatAz olyan diffúziós folyamatokat nevezzük Ornstein-Uhlenbeck folyamatnak amelyekben v(x) = −γx és σ2 =2D. Ekkor a Fokker-Planck egyenlet

∂t p1(x, t)=−∂x(−γxp1(x, t)

)+∂2x

(2D2

p1(x, t))= γ∂x (xp1(x, t))+D∂2

x p1(x, t)

alakot ölti.

Ornstein-Uhlenbeck folyamat stacionárius eloszlása

Az pstac(x) egyensúlyi eloszlás az idoben nem fejlodik, így a diffúziós egyenlet a következoképpen módosul

0 = ∂x(γxpstac(x)+D∂x pstac(x)

)C = γxpstac(x)+D∂x pstac(x)

ahhoz, hogy pstac(x) normált lehessen a C = 0 feltételt ki kell rónunk, így

∂x pstac(x) = −γxD

pstac(x)

pstac(x) =√

γ

2πDe−

γ2D x2

ahol a pstac(0) értékét a∫

dxpstac(x)= 1 normálási feltétel adta meg.

Ornstein-Uhlenbeck folyamat átmeneti valószínusége

A Fokker-Planck egyenlet az átmeneti valószínuségekre is fennáll. A Wiener folyamathoz hasonlóan most is a

G(z, t) := ⟨ezx⟩ =∫

dxezxP(x, t|x′)

generátor függvény segítségével egyszerusítheto a

∂tP(x, t|x′)= γ∂x(xP(x, t|x′))+D∂2

xP(x, t|x′)Fokker-Planck egyenlet, ha mindkét oldalt megszorozzuk ezx-szel, majd kiintegráljuk

∫dx szerint és

γ

∫dx∂x

[xP(x, t|x′)] ezx = γ

[xP(x, t|x′)ezx]∞

−∞−γ∫

dx[xP(x, t|x′)]∂xezx = 0−γz

∫dxxP(x, t|x′)ezx

= −γz∂z

[∫dxP(x, t|x′)ezx

]=−γzG(z, t)

28

parciális integrálással leválasszuk az átmeneti valószínuségekrol a deriválást:∫dx∂tP(x, t|x′)ezx =

∫dxγ∂x

(xP(x, t|x′)) ezx +

∫dxD∂2

xP(x, t|x′)ezx

∂tG(z, t) = −γz∂zG(z, t)+Dz2G(z, t)∂tG(z, t)+γz∂zG(z, t) = Dz2G(z, t)

mely megoldását keressük egy x′-bol indított lokalizált állapotból, ami a generátor függvényre a

G(z,0)=∫

dxezxP(x, t = 0|x′)=∫

dxezxδ(x− x′)= ezx′

kezdeti feltételt adja.A generátor függvényre kapott differenciálegyenletet a karakterisztikák módszerével oldjuk meg, azaz a

(z, t) megoldási síkról áttérünk egy s → (ξ(s),τ(s)) egyparaméteres síkra, ekkor G(s) = G(ξ(s),τ(s)), melynek ateljes megváltozása:

dG(s)ds

= ∂ξG · dξ(s)ds

+∂τG · dτ(s)ds

.

Válasszuk meg a karakterisztikus görbét úgy

ξ= Ceγs → dξds

= γξ és τ= s → dτds

= 1

hogy ezen paraméterezés segítségével a differenciálegyenletünk már megoldható legyen. Ekkor a parciálisdifferenciál egyenletünk a következo egyszeru alakot ölti:

dG(s)ds

= ∂ξG · dξ(s)ds

+∂τG · dτ(s)ds

= ∂ξG ·γξ+∂τG ·1≡ Dξ2G(s)

dG(s)G(s)

= ξ2Dds

lnG(s)− lnG(0) = D∫ s

0ds′ξ2(s′)= D

∫ s

0ds′C2e2γs′ = DC2 e2γs −1

2γ

G(s) = G(0)eD2γC2(e2γs−1) ≡G(ξ(s),τ(s))

melyet a ξ(s)= z és τ(s)= t helyen kell kiértékelni, azaz τ= s = t és ξ= Ceγs = z

G(z, t) = G(ξ(0),τ(0))︸ ︷︷ ︸G(C,0)= ecx′

∣∣∣s=t és C=ze−γs=ezx′ e−γt

eD2γ z2 e−2γt(e2γt−1)

= exp[

zx′e−γt + z2 D2γ

(1− e−2γt)]

melybol leolvashatójuk (ugyanúgy generálja mint a Wiener folyamatnál) az eloszlás momentumait

• Várhatóérték⟨x⟩ = x′e−γt

• Szórásσ2(t)= ⟨x2⟩−⟨x⟩2 = D

γ

(1− e−2γt)

• Magasabb momentumok eltunnek, így a teljes megoldás is Gauss lesz

29

Tehát a megoldása az átmeneti valószínuségre a következo

P(x, t|x′)= 1√2πσ2(t)

e−(⟨x2⟩−⟨x⟩2)2

2σ2(t)

ami egy ergodikus folyamatot definiál, hiszen t →∞-re a stacionárius eloszlásba fut:

limt→∞P(x, t|x′)= pstac(x)= 1√

2πD/γe−

γ2D x2

30

3 Langevin egyenletEgy mozgás, ami differenciálegyenlettel van megadva mindaddig determinisztikus (még ha kaotikus is), amígvalahogy nem csatolunk rá egy véletlen változót. Az ily módon származtatott differenciálegyenleteket sz-tochasztikus differenciálegyenleteknek nevezzük.

A továbbiakban a folyamatok véletlen változását egy ξt(x) Gauss típusú fehér zajjal adjuk meg:

⟨ξt(x)⟩ = 0 és ⟨ξt(x)ξt′ (x′)⟩ =σ2(x, x′)δ(t− t′)

Véletlen zaj, hiszen a különbözo idoben lévo folyamatok nem korreláltak. A zaj Gauss típusa arra utal, hogycsak az elso két momentumát kell megadnunk a jellemzésére, hiszen a magasabb momentumok eltunnek.Továbbá attól fehér zaj, hogy a momentumok Fourier térben konstansak, azaz valós térben delta disztribúcióttartalmaznak (így mint egy általánosított sztochasztikus folyamatként is kezelhetjük oket, hiszen a deltakövetkeztében éles változások jelennek meg).

Langevin egyenlet és a Fokker-Planck egyenletLegyen ξt egy Gauss típusú fehér zaj, melynek szórása x független, ekkor

∂txt = v(xt)+ξt

egyenletet Langevin egyenletnek nevezzük. Melyben ha nem szerepelne a ξt véletlen zaj, akkor egy determin-isztikus differenciálegyenletet kapnánk.

A Langevin egyenlet egy infinitezimális idointervallumra vett lépés alatt a következo megváltozását ered-ményezi az xt változónknak:

[xt]t+dtt = v(xt)dt+

t+dt∫t

dtξt := v(xt)dt+ [Wt]t+dtt dxt = v(xt)dt+dWt

ahol a jobb oldal elso tagját elegendo volt csak az intervallum méretével megszorozni, hiszen szemben a má-sodik taggal o "szépen viselkedik" (nincs ugrása). Mivel a t+ dt állapot csak t-tol függ, így ez egy Markovfolyamat, továbbá a momentumok meghatározásával belétható, hogy diffúziós folyamat is:

• Növekmény (pl. nyereség) várhatóértéke

⟨dxt⟩ = ⟨v(xt)dt+dWt⟩ = v(xt)dt+t+dt∫t

dt⟨ξt⟩)︸︷︷︸=0

= v(xt)dt

• Növekmény szórása

⟨dx2t ⟩ = ⟨(v(xt)dt+dWt)2⟩ = ⟨(v(xt)dt)2⟩︸ ︷︷ ︸

ϑ(dt2)

+2 · ⟨v(xt)dt ·dWt⟩︸ ︷︷ ︸=0 nem korrelálnak

+⟨dW2t ⟩ =

t+dt∫t

dtt+dt∫t

dt′ ⟨ξtξt′⟩︸ ︷︷ ︸σ2δ(t−t′)

=σ2dt

• Növekmény magasabb momentumai

⟨dxnt ⟩ = 0 ha n ≥ 3

Tehát az említett Langevin egyenlettel megadott folyamathoz a

∂t p1(x, t)=−∂x (v(x)p1(x, t))+ σ2

2∂2

x p1(x, t)

Fokker-Planck egyenlet tartozik. Ha a szórás x függo lenne, azaz σ → σ(x) akkor elromlik az integrál,hiszen a zaj éles ugrásokat tartalmaz (emiatt nem folytonosan differenciálható), ekkor az integrált valahogyértelmeznünk kell (pl.: Itó integrál).

31

Langevin egyenlet általánosítása több változós esetreLegyen x = (x1, x2, . . . , xn) véges sok sztochasztikus változó, melyekre a

∂txi = vi(x)+ξi

Langevin egyenletek teljesülnek, ahol

⟨ξi⟩ = 0 és ⟨ξi(t)ξ j(t′)⟩ = 2D i, jδ(t− t′)

Gauss típusú fehér zajok (D i, j pozitív definit mátrix, mert diagonális rendszerben a foátló elemei a ⟨ξ2i ⟩-et

adják).Melyhez az

∂tP(x, t|x′)=−n∑i∂xi

(vi(x)P(x, t|x′))+ n∑

i, jD i, j

∂2

∂xi∂x j

P(x, t|x′) :=−n∑i∂xi Ji

általánosított Fokker-Planck egyenlet tartozik, ahol Ji az xi valószínuségi árama.

32

4 Diffúziós folyamat konstrukciója adott stacionárius eloszláshozMár láttuk, hogy egy Langevin egyenletet és egy Fokker-Plack egyenletet a zajkorrelációk jó megválasztásávalösszekapcsolhatunk. Most az fogom megmutatni, hogy ha ismerjük a stacionárius eloszlását a rendszernek,akkor ahhoz gyárthatunk egy Langevin egyenletet.

Egyváltozós esetIdézzük fel a

∂t p1(x, t)=−∂x (v(x)p1(x, t)−D∂x p1(x, t)) ahol D = σ2

2Fokker-Planck egyenletet. Stacionárius esetben p1(x, t)= pstac(x) idofüggetlen, így

v(x)pstac(x)−D∂x pstac(x)= konst.

azonban limx→±∞ pstac(x)= 0= lim

x→±∞∂x pstac(x), így konst. = 0, tehát

∂x pstac(x)= 1D

v(x)pstac(x)

mely egyensúlyi differenciálegyenlet megoldható (szétválasztható):

pstac(x)= Ce1D

∫dx(x) := Ce−Φ(x)

ahol Φ(x) az eloszlás potenciálja. Az egyensúlyi eloszlás ezen alakját vissza írva a differenciálegyenletbe Φ(x)és v(x) kapcsolatára a

−∂xΦ(x) = 1D

v(x)

v(x) = −D∂xΦ(x)

összefüggés adódik, melybol az ekvivalens Langevin egyenlet

∂txt =−D∂xΦ(x)+ξt

ahol ⟨ξt⟩ = 0 és ⟨ξtξt′⟩ = 2Dδ(t− t′).

Például: Ornstein-Uhlenbeck folyamat Ekkor v(x)=−γx és σ2 = 2D és

−γx =−D∂xΦ(x)

mivel a végtelenben le kell, hogy csengjen a potenciál, így a Φ(x)= γ2D x2 (v.ö. a korábbi számolással).

Többváltozós esetTöbbváltozós esetben a Flokker-Planck egyenlet

∂t pn(x, t)=−n∑i∂xi

(vi(x)pn(x, t)−∑

jD i, j∂x j pn(x, t)

)

mely stacionárius eloszlását keressük pstac(x)= Ce−Φ(x) alakban, ekkor

0=∑i∂xi

[(vi(x)+∑

jD i, j∂x jΦ

)e−Φ(x)

]:= div(Jstac(x))

azaz azt kaptuk, hogy a Jstac(x) divergenciája nulla, azonban abból, hogy egy vektor divergenciája nulla nemkövetkezik hogy a vektor egy konstans vektor, így nincs egyértelmu kapcsolat a Φ(x),v(x) és D i, j mennyiségekközött.

33

Két lehetséges megoldása van az elozo egyenletnek:

• A Jstac(x) valószínuségi áram konstans (nulla) vektor stacionárius állapotban:

0= vi(x)+∑j

D i, j∂x jΦ(x)

• A Jstac(x) valószínuségi áram antiszimmetrikus:

vi(x)+∑j

D i, j∂x jΦ(x) :=−∑j

Q i, j∂x jΦ(x)

ahol Q i, j = Q j,i antiszimmetrikus mátrix és D i, j a definíciójából fakadóan szimmetrikus. Ha fel-használjuk a ∂tΦ = ∑

∂iΦ ·∂txi egyenletet és beírjuk a ∂txi alakját a Fokker-Planck egyenletbol akkorláthatjuk, hogy a Q i, j egy "konzervatív" mozgást ír le, azaz nem változtatja meg a potenciált (∂tΦ = 0),míg a D i, j pedig egy disszipatív mozgást ad (∂tΦ< 0).

34

Diszkrét ideju Master egyenletegész változókra

1 Master egyenlet származtatása

Infinitezimális ido alatti átmeneti valószínuségTekintsünk egy olyan Markov folyamatot, ahol az állapottér diszkrét (gráffal megadható), azaz

p1(i, t) és P(i, t| j) i, j ∈Z .

Fejtsük sorba az átmeneti valószínuséget ∆t szerint

p ji = P(i,∆t| j)= P(i,0| j)+ ∂P(i,∆t| j)∂∆t

·∆t+ϑ(∆t) := δi, j +w j,i∆t

ahol w j,i az idoegység alatt átmenés valószínusége:

• ha i 6= j akkor P(i,∆t| j)= w j,i∆t, mivel ∆t és P(i,∆t| j) is nagyobb vagy egyenlo nullánál, így w j,i ≥ 0

• ha i = j, akkor P(i,∆t|i)= 1+wi,i∆t, mivel 1≥ P(i,∆t|i)≥ 0, így wi,i ≤ 0

azonban a w j,i-k nem függetlenek, hiszen

P(i,∆t| j) = δi, j +w j,i∆t /∑

i

1 = 1+∑i

w j,i∆t∑i

w j,i = 0

wi,i = −∑i 6= j

w j,i

Master egyenlet származtatásaVégezzük el az elozo sorfejtést a diszkrét folyamatok

P(i, t+∆t| j)=∑j′

P(i,∆t| j′)P( j′,∆t| j)

Chapmann-Kolmogorov egyenletén:

P(i, t+∆t| j) ' ∑j′

(δ j, j′ +w j′,i∆t

)P( j′, t| j)= P(i, t| j)+∆t

∑j′

w j′,iP( j′, t| j)

így

∂tP(i, t| j) ' P(i, t+∆t| j)−P(i, t| j)∆t

=∑j′

w j′,iP( j′, t| j)= ∑j′ 6=i

w j′,iP( j′, t| j)+wi,iP(i, t| j)=

= ∑j′ 6=i

(w j′,iP( j′, t| j)−wi, j′P(i, t| j))=∑

j′

(w j′,iP( j′, t| j)−wi, j′P(i, t| j))

melyet átírhatunk az egy esemény valószínuségekre is, ha p1(i,0)-lal rászorzunk és kiszummázunk j-re, akkor

∂t p1(i, t)=∑j′

(w j′,i p1( j′, t)−wi, j′ p1(i, t)

)a kapott egyenletet szemléletesen azt jelenti, hogy a valószínuség megváltozása az a befolyt, illetve a kifolytvalószínuségekbol ered.

35

2 Részletes egyensúlyStacionárius esetben ∂t pstac.(i)= 0, így∑

j′

(w j′,i pstac.( j′)−wi, j′ pstac.(i)

)= 0

részletes egyensúly esetén az egyenloség minden tagra fennáll, azaz

w j′,i pstac.( j′)−wi, j′ pstac.(i) = 0w j′,i

wi, j′= pstac.(i)

pstac.( j′)∀i, j′ ∈V

Belátható, hogy ha a rendszernek idotükrözési szimmetriája van (p2(i, t; j,0)= p2( j, t; i,0)), akkor ez az össze-függés mindig teljesül:

p2(i, t; j,0) = p2( j, t; i,0)

P(i, t| j)pstac.( j) = P( j, t|i)pstac.(i)(δi, j +w j,i

)pstac.( j) = (

δi, j +wi, j)

pstac.(i)w j,i pstac.( j) = wi, j pstac.(i)

w j,i

wi, j= pstac.(i)

pstac.( j)

36

3 Bolyongás végtelen lánconVegyünk egy páros N rácspontból álló láncot pN+1 = p1 periodikus határfeltétellel. Az infinitezimális ido alattiátugrás valószínusége legyen, elso szomszédok között és homogén, jelöljük w-vel, ekkor a folyamatot a

∂t pi = wpi+1 +wpi−1 −2wpi = 2w( pi+1 + pi−1

2− pi

)Master egyenlet vezérli. Tehát a folyamat igyekszik kisimítani, egyenletesen kiosztani a rácspontokon valótartózkodás valószínuségeit, így pstac

i várhatóan pstac lesz.

A bolyongás diffúzitásaNézzük meg, hogy a várható értéke és a szórása hogyan adható meg a rendszernek. A pozíció várhatóértékénekmegváltozásának megállapításához szorozzuk be i-vel a Master egyenletet, majd összegezzünk ki i-re, ekkor

∂t pi = wpi+1 +wpi−1 −2wpi /n és∑

iN−1∑i=1

i∂t pi = wN−1∑i=1

[ipi+1 + ipi−1 −2ipi]

∂t ⟨i⟩ = w∑

i[(i+1−1)pi−1 + (i+1−1)pi+1 −2ipi]

= w∑

i[(i+1)pi + (i−1)pi −2ipi]= 0

Tehát a részecske pozíciójának várhatóértéke idoben állandó.A pozíció szórásának megváltozásának meghatározásához az elozohöz hasonló módon járhatunk el:

∂t pi = wpi−1 +wpi+1 −2wpi /i2 és∑

i

∂t ⟨i2⟩ = w∑

i

[i2 pi−1 + i2 pi+1 −2i2 pi

]felhasználva a

i2 = (i+1−1)2 = (i+1)2 −2(i+1)+1

= (i−1)2 +2(i−1)+1

algebrai azonosságokat, azt kapjuk:

∂t ⟨i2⟩ = w∑

i

[i2 pi −2ipi + pi + i2 pi +2ipi + pi −2i2 pi

]= 2w∑

ipi = 2w

Melyet közvetlenül integrálhatjuk, hogy megkapjuk a várhatóértéket:

⟨i2(t)⟩ = ⟨i2(0)⟩+2wt

melybol a szórásnégyzet:σ2(t)= ⟨i2(t)⟩−⟨i(t)⟩2 = ⟨i2(0)⟩+2wt−⟨i(0)⟩2

Tehát ha pi(0) = δi,0 éles kezdeti eloszlásból indítjuk a bolyongást, azaz ⟨i(0)⟩ = 0 és ⟨i2(0)⟩ = 0, akkor egydiffúziós folyamatot kapunk. A szemléletesség kedvéért térjünk át hely reprezentációra: x = ia, ahol a a rác-sállandó, így:

⟨x⟩ = 0 és ⟨x2⟩ = 2wa2t → D = wa2

37

pi meghatározásaA periodikus határfeltételek miatt áttérhetünk Fourier térbe, a következo transzformációval:

p j = 1pN

∑q

eiq ja pq és pq = 1pN

∑j

e−iq ja p j

a határok illesztésébol következik, hogy Naq = 2πm (m ∈ 1,2, . . . , N − 1), ezzel ekvivalens választás szim-metrikussá (késobb hasznos lesz az integrálok kiszámításához) transzformáljuk a Brillouin zónát:

−πa< q < π

aq = 2π

amN

m ∈ −N/2, . . . , N/2

Fourier térben diagonális a Master egyenlet:

∂t pq = 1pN

∑j

e−iq jaw(p j+1 + p j−1 −2p j

)= w(eiqa pq + e−iqa pq −2pq

)= 2w (cos(qa)−1) pq := γ(q)pq

amit közvetlenül integrálhatunkpq(t)= pq(0)e−γ(q)t

a pq(0) konstanst a p j(0)= δ j,0 kezdeti feltételbol határozhatjuk meg:

pq(0)= 1pN

∑j

e−iq jaδ j,0 = 1pN

Elvégezve a vissza Fourier transzformálást megkaphatjuk a keresett p j valószínuséget:

p j(t)= 1pN

∑q

eiq ja pq(t)= 1N

∑q

eiq jae−2(1−cos(qa))wt

(Analitikusan nehéz elvégezni az összegzést, így további vizsgálatokhoz sorfejtést fogunk alkalmazni.)

Végtelen határesetVegyük az N →∞ limeszt, ekkor az összegzést integrállá írhatjuk át

1N

∑q· · · = Na

N

π/a∫−π/a

dq2π

· · · = aπ/a∫

−π/a

dq2π

. . .

Ebben a limeszben a p j(t) valószínuség már meghatározható:

p j(t) = aπ/a∫

−π/a

dq2π

eiq jae−2(1−cos(qa))wt =︸︷︷︸ϕ=qa

π∫−π

dϕ2π

(cos( jϕ)+ isin( jϕ)

)e2wtcosϕe−2wt

=π∫

−π

dϕ2π

cos( jϕ)e2wtcosϕe−2wt = e−2wtI j(2wt)

ahol

I j(2wt)=π∫

−π

dϕ2π

cos( jϕ)e2wtcosϕ

a j. módosított Bessel függvény.

38

A kapott eredménynek vizsgáljuk meg a hosszú ideju viselkedését. Mivel a 1/γ(q) a q hullámszámhoz tar-tozó Fourier komponens relaxációs ideje, így t > t0 esetén csak a γ(q) < 1/t0 komponenseket kell vizsgálnunk.Továbbá a γ(q)= 2(1−cos(qa)) függvény szigorúan monoton növekszik a (0,π/a) intervallumon és

γ(q)' 2(1−1+ (qa)2

2

)w = (qa)2w

négyzetesen indul, így

p j(t)' a2π

q0∫−q0

dqeiq jae−(qa)2wt ' a2π

∞∫−∞

dq (cos(q ja)+0) e−(qa)2wt

ahol az integrálási határokat azért terjeszthettük ki, mert gyorsan levág az integrandus. Felhasználva a

∞∫−∞

dxcos(bx)e−ax2 = π

ae−

b24a

azonosságot elvégezhetjük az integrálást

p j(t)= a2π

√π

wa2te−

( ja)2

4wa2 t = ap4πwa2t

e−( ja)2

4wa2 t

Tehát egy Gauss eloszlást kaptunk (nem olyan meglepo, hiszen diffúziós folyamat volt), (4πwt) maximálisértékkel és

p2wa2t = 2σ szórással. A kapott Gauss eloszlás egy Wiener folyamathoz tartozik (ez se olyan

meglepo hiszen a várhatóérték idoben változatlan):

P(x, t|0)= pn(t)a

∣∣∣∣x=na

= 1p4πwa2t

e−x2

4wa2 t

ahol D = wa2 és γ(x)= 0.

Kontinuum limeszKontinuum limeszben

p(x, t)= p j(t)a

∣∣∣∣x= ja

melyhez tartozó Master egyenlet

∂t(ap( ja, t)) = w [p(( j+1)a, t)+ p(( j−1)a, t)−2p( ja, t)]a =

= wa2

p( ja+a, t)− p( ja, t)a︸ ︷︷ ︸

p′( ja,t)+1/2p"( ja,t)a

− p( ja−a, t)− p( ja, t)a︸ ︷︷ ︸

p′( ja,t)+1/2p"( ja,t)(−a)

∂t p( ja, t) = wa2 p"( ja, t)

helyreprezentációban:∂t p(x, t)= wa2∂2

x p(x, t)

melyrol látszik, hogy tényleg egy Wiener folyamatot kaptunk.

39

Sinkovicz Peter

Appendix

A. Appendix: Indikátorfüggvény formalizmus1A(ω) egy indikátorfüggvénye A eseménynek, ha

1A(ω)=

1 ω ∈ A (feltétel teljesül)0 ω ∉ A (nem teljesül)

Például: Legyen Ω= 1,2,3,4,5,6 alaphalmaz és A = 1,3,4 ekkor

1A(ω)=

1 ω ∈ 1,3,50 ω ∈ 2,4,6

Tulajdonságai• Indikátorfüggvényhez rendelt valószínuség

p(1A(ω)= x)=

P(A) ha x = 1P(A)= 1−P(A) ha x = 0; erre nincs értelmezve, mert 1A(ω) ∈ 1,0

• hatványa

(1A(ω))n = 1A(ω) ∀n,ω-ra

nyilván, hisz 1n = 1 és 0n = 0

• várható értéke

⟨(1A(ω))2⟩ := ∑x∈0,1

xp(1A(ω)= x)= 1 · p(1A(ω)= 1)+0 · p(1A(ω)= 0)= 1 ·P(A)+0 ·P(A)= P(A)

• varianciája

σ2 = ⟨(1A(ω))2⟩−⟨1A(ω)⟩2 = . . .= P(A)(1−P(A))

• összetett esemény indikátor függvény

legyen ω ∈ A∩B, ekkor 1A∩B(ω)= 1 egyébként ;, így

AA∩B(ω)= 1A(ω) ·1B(ω)

• azonosság (minimuma alatti viselkedés)

Z =∞∑

k=11(z ≥ k)= 1+1+1+ . . .+1︸ ︷︷ ︸

z

+0+ . . .

• az elozoek alapján

⟨z⟩ =∞∑

k=1P(z ≥ k)

41