Emerson Marcos Furtado - Grupo de Orientação Pré-Militar · qualquer termo de uma sequência em função do primeiro termo e da razão. Exemplos: 8.º termo : n = 8 → a 8 = a

Emerson Marcos FurtadoMestre em Métodos Numéricos pela Univer-

sidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catari-na desde 1992. Professor do Curso Positivo de Curitiba desde 1996. Professor da Universidade Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de ma-temática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pes-quisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a 2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Join-ville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teore-ma – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 2005. Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Pro-fessor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocí-nio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa Result – Con-sultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômi-ca, qualidade, educacional, industrial e eleições desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde 2008. Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 2003.

Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br


107

Sequências numéricas

Termo geral de uma sequênciaObserve a sequência:

(1, 3, 5, ..., )

Qual é o próximo termo?

A sequência apresentada é a de números ímpares positivos. O próximo termo é igual a 7, em seguida, vem o 9, e assim por diante:

(1, 3, 5, 7, 9, ..., )

É costume se representar os termos de uma sequência pela letra a provida de um índice que indica a posição do termo na correspondente sequência.

Por exemplo, na sequência mostrada anteriormente, podemos escrever:

a1 = 1 → o 1.º termo é igual a 1.





Como poderíamos descobrir, por exemplo, o décimo termo dessa sequência?

Poderíamos continuar escrevendo os números ímpares consecutivamen-te até atingirmos o 10.º termo. Talvez não seja uma tarefa tão trabalhosa. Mas, e se quiséssemos o centésimo termo, valeria a pena construir a sequên-cia até se obter o centésimo número ímpar positivo?

Nessas situações, não compensa escrever tantos números e fazer tantas contas.


108


O ideal é se compreender a lei de formação dos termos da sequência.

Se a sequência é de números ímpares, um novo número é o anterior adi-cionado a duas unidades. Assim, começando com o número 1, o termo geral da sequência é dado por:

Termo geral da sequência: an = 2 . n – 1

Para n = 1 � → a1 = 2 . 1 – 1 = 1

Para n = 2 � → a2 = 2 . 2 – 1 = 3

Para n = 3 � → a3 = 2 . 3 – 1 = 5

Para n = 4 � → a4 = 2 . 4 – 1 = 7

O centésimo termo da sequência seria obtido substituindo-se n = 100 na expressão do termo geral:

an = 2 . n – 1

Para n = 100 → a100 = 2 . 100 – 1 = 199

Fica claro que para respondermos questões sobre sequências numéricas, tudo fica muito mais fácil quando conhecemos o termo geral da sequência.

Existem sequências que têm características importantes e, por isso, ocupam lugar de destaque na Matemática. As principais são a progressão aritmética e a progressão geométrica.

Progressão aritméticaUma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números em que

cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante. Essa constante é denominada razão da PA e será representada pela letra r.

Exemplo 1:

A sequência (1, 4, 7, 10, ...) é uma PA cuja razão é r = 3 (r > 0).



109

a1 = 1

a2 = a1 + 3 = 1 + 3 = 4

a3 = a2 + 3 = 4 + 3 = 7

a4 = a3 + 3 = 7 + 3 = 10

Cada termo é igual ao anterior mais 3.

Exemplo 2:

A sequência (10, 8, 6, 4, ...) é uma PA cuja razão é r = –2 (r < 0).

a1 = 10

a2 = a1 – 2 = 10 – 2 = 8

a3 = a2 – 2 = 8 – 2 = 6

a4 = a3 – 2 = 6 – 2 = 4

Cada termo é igual ao anterior menos 2.

Exemplo 3:

A sequência (5, 5, 5, 5, ...) é uma PA cuja razão é r = 0.

a1 = 5

a2 = a1 + 0 = 5 + 0 = 5

a3 = a2 + 0 = 5 + 0 = 5

a4 = a3 + 0 = 5 + 0 = 5

Cada termo é igual ao anterior.

De acordo com a razão, existem três tipos de PA:

r > 0 � → a PA é crescente.

r < 0 � → a PA é decrescente.

r = 0 � → a PA é constante.

Exemplo:

Vamos verificar se a sequência definida pela fórmula an+1 = an + 4 e a1 = 1 é uma Progressão Aritmética.

a1 = 1

an+1 = an + 4


110


n = 1 � → a1+1 = a1 + 4 → a2 = 1 + 4 = 5

n = 2 � → a2+1 = a2 + 4 → a3 = 5 + 4 = 9

n = 3 � → a3+1 = a3 + 4 → a4 = 9 + 4 = 13

Cada termo é igual ao anterior adicionado à constante 4. Logo, podemos afirmar que a sequência (1, 5, 9, 13, ...) é uma PA.

Termo geral da PA

Para descobrir um termo qualquer de uma PA, não é necessário escre-ver todos os termos precedentes para encontrá-lo. Com a fórmula do termo geral, podemos obter qualquer termo de uma sequência conhecendo a sua posição.

Considere uma progressão aritmética (a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) de razão r. A partir do segundo, qualquer termo é igual ao anterior adicionado à razão, logo:

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r

a4 = a3 + r

a5 = a4 + r

an = an-1 + r

Essa última fórmula permite obter um termo qualquer de ordem n em função do termo anterior, de ordem n – 1. Para relacionar um termo de ordem n em função do 1.º termo a1, temos:

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

a5 = a4 + r = (a1 + 3r) + r = a1 + 4r

an = an-1 + r = [a1 + (n – 2).r] + r = a1 + (n – 1) . r



111

A fórmula do termo geral da PA é dada por:

an = a1 + (n – 1) . r

Quando conhecemos a fórmula do termo geral, podemos representar qualquer termo de uma sequência em função do primeiro termo e da razão.

Exemplos:

8.º termo : n = 8 � → a8 = a1 + 7r

16.º termo : n = 16 � → a16 = a1 + 15r

30.º termo : n = 30 � → a30 = a1 + 29r

Soma dos termos de uma PA

Há uma história curiosa ocorrida em uma pequena escola de uma cidade do interior da Alemanha, no século XVIII, que passou a fazer parte da história do desenvolvimento da Matemática.

Um professor de Matemática solicitou aos próprios alunos que somassem os cem primeiros números inteiros positivos. O professor imaginava que os alunos levariam um bom tempo para encontrar a soma dos elementos dessa sequência.

Passados alguns instantes, um aluno levanta-se e crava a resposta: 5 050. O professor, acreditando que se tratava de uma brincadeira, repreende-o e pede para que tentasse realmente fazer as contas.

O precoce aluno explica ao professor que a soma é igual a 50 vezes a soma do primeiro com o último termo, ou seja, 50 . 101 = 5 050.

Acompanhe um possível raciocínio do aluno:

S = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100

reescrevendo em ordem contrária:

S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1

Adicionando membro a membro as igualdades:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (99 + 2) + (100 + 1)


112


2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101

2S = 101 . 100

2S = 10 100

S = 5 050

O espantado professor, que nem sequer havia feito a conta, compreen-de a explicação e parabeniza o aluno pelo raciocínio magistral. Alguns anos depois, inclusive, presenteia-o com um livro sobre cálculos.

O humilde aluno, que na época tinha cerca de oito anos, era filho de jar-dineiros e chamava-se Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Anos mais tarde, dedicou-se à Matemática e à Física, desenvolvendo trabalhos nos campos da teoria dos números, geometria diferencial, magnetismo, astronomia, geodésia e ótica. Para muitos é considerado, incontestavelmente, o maior matemático de toda a história, sendo conhecido como o “Príncipe dos Matemáticos”.

O desenvolvimento utilizado por Gauss pode ser generalizado da seguin-te maneira:

Se (a1, a2, a3, ..., an-1, an) é uma progressão aritmética, então:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an (I)

Sn = an + an-1 + an-2 + ... + a2 + a1 (II)

Fazendo (I) + (II), temos:

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + ... + (an-1 + a2) + (an + a1)

A soma dos dois termos extremos é igual à soma de dois termos equidis-tantes dos extremos, de modo que é possível escrever:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an)

2Sn = (a1 + an). n

Sn = a1 + an

2 . n

Exemplo 1

Obtenha a soma dos termos da PA (–10, –5, 0, 5, 10, 15, 20), formada por sete termos.



113

Sn = a1 + an

2 . n

Sn = a1 + a7

2 . 7

S7 = – 10 + 20

2 . 7

S7 = 35

Exemplo 2

Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA (1, 3, 5,...).

an = a1 + (n – 1) . r

a20 = 1 + 19.r

a20 = 1 + 19.2

a20 = 39

Sn = a1 + an

2 . n

S20 = a1 + a20

2 . 20

S20 = 1 + 39

2 . 20

S20 = 400

Progressão geométricaImagine que você tem duas propostas para um novo emprego. Em uma

delas, seu salário inicial será de R$3.500,00, mas sofrerá aumentos anuais de 10% em relação ao salário do ano anterior. Na outra proposta, seu salário inicial será de R$4.000,00 e será aumentado a uma taxa de 8% ao ano, em relação ao ano anterior.

Considerando-se apenas o valor do salário ao final do quarto ano, qual é a melhor proposta de emprego?

Vamos verificar qual proposta é a mais vantajosa calculando os valores salariais ano a ano, até o quarto ano:


114


Salários da proposta 1 Salários da proposta 2

Ano 0: R$3.500,00 Ano 0: R$4.000,00

Ano 1: R$3.500,00 . 1,10 = R$3.850,00 Ano 1: R$4.000,00 . 1,08 = R$4.320,00

Ano 2: R$3.850,00 . 1,10 = R$4.235,00 Ano 2: R$4.320,00 . 1,08 = R$4.665,60

Ano 3: R$4.235,00 . 1,10 = R$4.658,50 Ano 3: R$4.665,60 . 1,08 = R$5.038,85

Ano 4: R$4.658,50 . 1,10 = R$5.124,35 Ano 4: R$5.038,85 . 1,08 = R$5.441,31

Os valores dos salários de cada proposta aumentam o mesmo percen-tual em relação ao valor anterior, ou seja, aumentam à uma taxa constan-te. Por isso, ao longo do tempo, tais valores constituem uma progressão geométrica.

Progressão Geométrica (PG) é uma sequência de números ou expressões em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante. Essa constante é denominada razão da PG e será represen-tada pela letra q.

Exemplos:

Uma PG pode ser classificada em crescente, decrescente, oscilante ou constante.

(5, 5, 5, 5, ...) � → PG constante cuja razão é q = 1 (ou uma PA de razão igual a 0).

(1, 2, 4, 8, ...) � → PG crescente cuja razão é q = 2.

(27, 9, 3, 1, ...) � → PG decrescente cuja razão é q = 1

3.

(1, –3, 9, –27, ...) � → PG oscilante cuja razão é q = –3.

Termo geral de uma PG

Numa PG, por meio da fórmula do termo geral, é possível encontrar qual-quer termo an da sequência sem a necessidade de se calcular todos os termos que o precedem.

Considere uma progressão geométrica (a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) de razão q. A partir do segundo termo, qualquer outro termo é igual ao anterior multipli-cado pela razão, então:



115

a2 = a1. q

a3 = a2. q

a4 = a3. q

a5 = a4. q

an = an-1. q

Essa última fórmula permite obter um termo qualquer de ordem n em função do termo anterior, de ordem n – 1. Podemos relacionar um termo qualquer (de ordem n) com o 1.º termo de uma PG. Essa relação pode ser representada do seguinte modo:

a2 = a1 . q

a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1.q2

a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1.q3

a5 = a4 . q = (a1 . q3) . q = a1.q4

an = an-1 . q = (a1 . qn–2) . q = a1 . q

n–1

Assim, podemos escrever:

an = a1 . qn–1

Conhecendo a fórmula do termo geral, podemos representar qualquer termo de uma PG em função do primeiro termo e da razão. Observe alguns exemplos:

7.º termo: n = 7 � → a7 = a1. q6

13.º termo: n = 13 � → a13 = a1 . q12

48.º termo: n = 48 � → a48 = a1 . q47

Soma dos termos de uma PG finita

Considere a PG finita cuja razão é q = 5, formada pelos seis seguintes números:


116


(8, 40, 200, 1 000, 5 000, 25 000)

Representando por S6 a soma dos seis primeiros termos dessa PG, pode-mos escrever:

S6 = 8 + 40 + 200 + 1 000 + 5 000 + 25 000

Efetuando as adições necessárias, obtemos o valor da soma correspondente:

S6 = 31 248

Entretanto, em vez de calcularmos o valor da soma adicionando termo a termo, é possível obtê-la por meio de um procedimento simples.

Retornando à soma, observe:

S6 = 8 + 40 + 200 + 1 000 + 5 000 + 25 000 (I)

Multiplicando a equação (I), membro a membro, pela razão q = 5, obtemos:

5 . S6 = 5 . 8 + 5 . 40 + 5 . 200 + 5 . 1 000 + 5 . 5 000 + 5 . 25 000

Como os termos estão em PG, o produto de um termo qualquer pela razão resulta no termo posterior, ou seja:

5 . S6 = 40 + 200 + 1 000+ 5 000 + 25 000 + 125 000 (II)

Subtraindo uma equação da outra, isto é, fazendo (II) – (I), obtemos:

5 . S6 – S6 = 125 000 – 8

4 . S6 = 124 992

S6 = 124 992

4S6 = 31 248

Esse procedimento pode ser utilizado em qualquer PG, observe:

Se (a1, a2, a3, ..., an-1, an) é uma progressão geométrica de razão q ≠ 1 e Sn é a soma destes n termos, então:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an (I)

Multiplicando membro a membro por q, temos:

Sn. q = a1 . q + a2 . q + a3 . q + ... + an-1 . q + an . q



117

Sn. q = a2 + a3 + a4 + ... + an + an. q (II)

Fazendo (II) – (I), temos:

Sn. q – Sn = an. q – a1

Sn . (q – 1) = an. q – a1

Sn = an . q – a1

q – 1Essa última fórmula é utilizada para calcular a soma dos n primeiros

termos de uma PG finita em função do primeiro termo, do último termo e da razão da PG.

Limite da soma dos termos de uma PG infinita

Para encontrar a expressão do valor do limite da soma dos termos de qualquer PG infinita, podemos partir de uma soma finita e considerarmos que o n-ésimo termo tende a zero:

Sn = an . q – a1

q – 1

an = 0 → S∞ = 0 . q – a1

q – 1 =

– a1

q – 1

Multiplicando por –1 o numerador e o denominador da última fração, obtemos:

S∞ = a1

1 – q , sendo|q| < 1

Dica de estudoO estudo das progressões matemáticas inicia-se com o conceito de termo

geral. É necessário, antes de qualquer coisa, compreender-se a relação que permite obter qualquer termo de uma sequência. Isso vale para progressões aritméticas e progressões geométricas.

A partir daí, as demais fórmulas podem ser desenvolvidas com êxito. Pra-tique a resolução de muitos exercícios para ganhar agilidade e eficiência nesse assunto.


118


Resolução de questões1. (Cesgranrio) Em uma PA de 41 termos e de razão 9, a soma do termo cen-

tral com o seu antecedente é igual ao último termo. Então, o termo cen-tral é:

a) 369

b) 189

c) 201

d) 171

e) 180

2. (FCC) Dispõe-se de uma caixa com 100 palitos de fósforos, todos inteiros, com os quais pretende-se construir quadrados da seguinte forma: no pri-meiro, o lado deverá medir 1 palito; no segundo, 2 palitos; no terceiro, 3 palitos, e assim sucessivamente. Seguindo esse padrão, ao construir-se o maior número possível de quadrados

a) serão usados exatamente 92 palitos da caixa.

b) sobrarão 8 palitos da caixa.

c) serão usados todos os palitos da caixa.

d) sobrarão 16 palitos da caixa.

e) serão usados exatamente 96 palitos da caixa.

3. (FCC) Os termos da sucessão seguinte foram obtidos considerando uma lei de formação.

(0, 1, 3, 4, 12, 13, ...)

Segundo essa lei, o décimo terceiro termo dessa sequência é um número:

a) menor que 200.

b) compreendido entre 200 e 400.

c) compreendido entre 500 e 700.

d) compreendido entre 700 e 1 000.

e) maior que 1 000.



119

4. (Cesgranrio) Uma sequência de números (a1, a2, a3, ..., ) é tal que a soma dos n primeiros termos é dada pela expressão Sn = 3n2 + n. O valor do 51.º termo é:

a) 300

b) 301

c) 302

d) 303

e) 304

5. (Cesgranrio) Quantos números múltiplos de 7 ou de 11 há entre 1 e 1 000?

a) 90

b) 142

c) 220

d) 229

e) 232

6. (FGV) A sequência (3m; m + 1; 5) é uma PA. Sua razão é:

a) –3

b) 3

c) 7

d) –7

e) impossível de se determinar.

7. (Cesgranrio) Se S3 = 0 e S4 = –6 são, respectivamente, as somas dos três e quatro primeiros termos de uma progressão aritmética, então a soma S5 dos cinco primeiros termos vale:

a) – 6

b) – 9

c) – 12

d) – 15

e) – 18


120


8. (Esaf ) Uma progressão aritmética é uma sequência de números a1, a2, a3,...., an, cuja lei de formação de cada um dos termos dessa sequência é dada por uma soma, conforme representação a seguir:

a2 = a1 + r, a3 = a2 + r, a4 = a3 + r, ........an = an–1 + r,

onde r é uma constante, denominada razão da progressão aritmética. Uma progressão geométrica é uma sequência de números g1, g2, g3,......., gn, cuja lei de formação de cada um dos termos dessa sequência é dada por um produto, conforme representação a seguir:

g2 = g1 . q, g3 = g2 . q , g4 = g3 . q,.....gn = gn–1 . q,

onde q é uma constante, denominada razão da progressão geométrica. Os números A, B e 10 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Os números 1, A e B formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. Com essas informações, pode-se afirmar que um possível valor para o produto entre r e q é igual a:

a) –12

b) –15

c) 10

d) 12

e) 8

9. (FCC) Considere todos os números inteiros dispostos sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado a seguir.

1.ª coluna

↓

2.ª coluna

↓

3.ª coluna

↓

4.ª coluna

↓

5.ª coluna

↓

6.ª coluna

↓

7.ª coluna

↓

1.ª linha → 1 2 3 4 5 6 7

2.ª linha → 8 9 10 11 12 13 14

Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na tricentésima quadragésima sexta linha apareceria o número:

a) 2 326

b) 2 418



121

c) 2 422

d) 3 452

e) 3 626

10. (FCC) Se a é um número inteiro positivo, define-se uma operação & como a& = 3a – 2. Considere a sequência (a1, a2, a3, ..., an, ...) cujo termo geral é an = (n&)&, para todo n = 1, 2, 3, ... . A soma do terceiro e quinto termos dessa sequência é igual a:

a) 42

b) 46

c) 48

d) 52

e) 56

ReferênciasASIMOV, Isaac. Antologia Volume 1 (1958-1973). 2. ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1992.

______. Antologia Volume 2 (1974-1989). 2. ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1992.

BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 1996.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática – contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2003. v. 1. Edição reformulada.

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, 2005.

GAERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blu-menau: FURB. (Coleção Aritthmos 2.)

GARBI, G. Gilberto. O Romance das Equações Algébricas. São Paulo: Makron Books, 1997.


122


______. A Rainha das Ciências – um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. São Paulo: Livraria de Física, 2006.

IEZZI, Gelson et al. Matemática – ciência e aplicações. 4. ed. São Paulo: Atual, 2006.

LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Ja-neiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1991.

LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Socieda-deBrasileira de Matemática, 2001. v. 1, 2 e 3.

______. Temas e Problemas Elementares. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001.

LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.

MORGADO, Augusto C.; CESAR, Benjamin. Matemática Financeira. Rio de Janei-ro: Campus, 2006.

MORGADO, Augusto C. et. al. Progressões e Matemática Financeira. Rio de Ja-neiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2005.

______. Análise Combinatória e Probabilidade. Rio de Janeiro: Sociedade Bra-sileira de Matemática, 2006.

TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.

Gabarito1. Se a PA possui 41 termos, o termo central é o vigésimo primeiro e, con-

sequentemente, o seu antecedente é o vigésimo termo. Se a soma do termo central com o seu antecedente é igual ao último, então:

a21 + a20 = a41

Vamos escrever tudo em função de a21, ou seja:

a20 = a21 – 1 . r

e

a41 = a21 + 20 . r



123

Logo, substituindo as expressões de a20 e a41, temos:

a21 + a20 = a41

a21 + (a21 – 1 . r) = (a21 + 20 . r)

2a21 – r = a21 + 20r

2a21 – a21 = 20r + r

a21 = 21r

Substituindo r = 9, temos:

a21 = 21 . 9

a21 = 189

Portanto, o termo central é igual a 189.

Resposta: B

2. Qualquer quadrado possui quatro lados iguais.

Logo, para a construção de um quadrado cujo lado mede 1 palito são necessários:

4 . 1 = 4 palitos

Para o quadrado cujo lado mede 2 palitos são necessários:

4 . 2 = 8 palitos

Para o quadrado cujo lado mede 3 palitos são necessários:

4 . 3 = 12 palitos

Observe que a quantidade de palitos necessária para a construção de cada quadrado segue uma progressão aritmética cuja razão é igual a 4:

(4, 8, 12, ...) PA

Dispondo-se de 100 palitos, deseja-se descobrir quantos palitos serão efetivamente utilizados para a construção dos quadrados.

A quantidade de palitos utilizada é igual à soma dos termos de uma pro-gressão aritmética de primeiro termo igual a 4 e razão também igual a 4. O termo geral dessa PA é dado por:


124


an = a1 + (n – 1) . r

an = 4 + (n – 1) . 4

an = 4 + 4n – 4

an = 4n

A soma dos n primeiros termos dessa PA é dada por:

Sn = a1 + an

2 . n

Sn = 4 + 4n

2 . n

Sn = (2 + 2n) . n

Sn = 2n . (n + 1)

Para que sejam utilizados, no máximo, 100 palitos, deve-se ter Sn < 100, ou seja:

2n . (n + 1) < 100

Dividindo ambos os membros por 2, temos:

n . (n + 1) < 50

Já que n é um número inteiro, pois representa a quantidade de quadra-dos, vamos analisar as possíveis soluções da inequação por verificação:

n = 7 → 7 . (7 + 1) = 7 . 8 = 56 > 50

Logo, sete quadrados ou mais não podem ser construídos com os 100 palitos.

n = 6 → 6 . (6 + 1) = 6 . 7 = 42 < 50

Portanto, seis é o número máximo de quadrados que podem ser cons-truídos com os 100 palitos disponíveis. Assim, substituindo-se n = 6 na expressão da soma dos n primeiros termos da PA, temos:



125

Sn = 2n . (n + 1)

S6 = 2 . 6 . (6 + 1)

S6 = 2 . 42

S6 = 84

Como serão utilizados 84 palitos para a construção de seis quadrados, necessariamente sobrarão 100 – 84 = 16 palitos na caixa.

Resposta: D

3. A sequência é construída de modo que, a partir do primeiro termo, adicio-na-se 1 unidade para obter o próximo termo e, em seguida, multiplica-se por 3 para obter o próximo. Ou seja, são apenas duas operações distintas para se construir a sucessão de termos: adicionar 1 unidade e multiplicar por 3. Para encontrar o décimo terceiro termo, não vamos utilizar o termo geral de uma progressão aritmética, nem o termo geral de uma progres-são geométrica, pois a sucessão não satisfaz as definições de PA ou PG. Logo, vamos obter os termos progressivamente por meio das duas ope-rações mencionadas:

a1 = 0

a2 = a1 + 1 = 0 + 1 = 1

a3 = a2 . 3 = 1 . 3 = 3

a4 = a3 + 1 = 3 + 1 = 4

a5 = a4 . 3 = 4 . 3 = 12

a6 = a5 + 1 = 12 + 1 = 13

a7 = a6 . 3 = 13 . 3 = 39

a8 = a7 + 1 = 39 + 1 = 40

a9 = a8 . 3 = 40 . 3 = 120

a10 = a9 + 1 = 120 + 1 = 121

a11 = a10 . 3 = 121 . 3 = 363

a12 = a11 + 1 = 363 + 1 = 364

a13 = a12 . 3 = 364 . 3 = 1 092 > 1 000


126


Logo, o décimo terceiro termo da sucessão é maior que 1 000.

Resposta: E

4. Em qualquer sequência, a soma dos 51 primeiros termos é igual à soma dos 50 primeiros termos adicionada ao quinquagésimo primeiro termo, ou seja:

S51 = S50 + a51

Assim, o termo a51 é igual à diferença entre a soma dos 51 primeiros ter-mos e a soma dos 50 primeiros termos:

a51 = S51 – S50

Se a soma dos n primeiros termos da sequência é dada por Sn = 3n2 + n, para n natural não nulo, então, para se calcular a soma dos 51 primeiros termos, basta substituir n = 51:

n = 51 → S51 = 3 . 512 + 51

E para se calcular a soma dos 50 primeiros termos, basta substituir n = 50:

n = 50 → S50 = 3 . 502 + 50

Logo, temos:

a51 = S51 – S50

Substituindo as expressões para S51 e S50, temos:

a51 = (3 . 512 + 51) – (3 . 502 + 50)

a51 = 3 . (512 – 502) + (51 – 50)

Utilizando o produto notável a2 – b2 = (a + b) . (a – b), podemos escrever:

a51 = 3 . (51 + 50) . (51 – 50) + 1

a51 = 3 . (101) . (1) + 1

a51 = 303 + 1

a51 = 304

Resposta: E



127

5. O primeiro múltiplo de 7 entre 1 e 1 000 é igual a 7, o segundo é 14, o ter-ceiro é 21. Os múltiplos de 7 entre 1 e 1 000 constituem uma progressão aritmética em que o primeiro termo é igual a 7, cuja razão também é igual a 7.

Observe que, ao dividir 1 000 por 7, obtemos 1 000 = 7 . 142 + 6.

Logo, 1 000 não é divisível por 7, pois o resto é igual a 6.

Porém, 1 000 – 6 = 994 = 7 . 142, ou seja, 994 é múltiplo de 7 e é também o último múltiplo de 7 menor que 1 000. Vamos utilizar o termo geral de uma PA para calcular a quantidade de múltiplos de 7 entre 1 e 1 000:

an = a1 + (n – 1) . r

994 = 7 + (n – 1) . 7

994 = 7 + 7n – 7

994 = 7n

n = 142

Assim, existem, exatamente, 142 múltiplos de 7 entre 1 e 1 000.

O raciocínio é análogo para os múltiplos de 11, que formam uma pro-gressão aritmética de primeiro termo igual a 11 cuja razão é igual a 11. O último múltiplo de 11 até 1 000 é o número 990. Logo, temos:

an = a1 + (n – 1) . r

990 = 11 + (n – 1) . 11

990 = 11 + 11n – 11

990 = 11n

n = 90

Logo, existem exatamente 90 múltiplos de 11 entre 1 e 1 000.

Porém, no conjunto dos múltiplos de 7 e no conjunto dos múltiplos de 11 existem múltiplos comuns. Tais números são múltiplos de 77. Assim, é preciso calcular os múltiplos de 77 entre 1 e 1 000. O primeiro é igual a 77 e o último é igual a 924. Utilizando novamente a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética, temos:


128


an = a1 + (n – 1) . r

924 = 77 + (n – 1) . 77

924 = 77 + 77n – 77

924 = 77n

n = 12

Portanto, para se determinar a quantidade de múltiplos de 7 ou 11 entre 1 e 1 000, podemos adicionar a quantidade de múltiplos de 7 à quan-tidade de múltiplos de 11 e, da soma obtida, subtrair a quantidade de múltiplos de 77, pois essa quantidade já foi contabilizada uma vez entre os múltiplos de 7 e outra vez entre os múltiplos de 11.

Assim, temos:

142 + 90 – 12 = 220

Portanto, existem exatamente 220 números que são múltiplos de 7 ou de 11 entre 1 e 1 000.

Resposta: C

6. Se (a, b, c) formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então:

b – a = c – b

De forma análoga, se (3m; m + 1; 5) forma uma PA, então:

(m + 1) – 3m = 5 – (m + 1)

m + 1 – 3m = 5 – m – 1

1 – 2m = 4 – m

1 – 4 = 2m – m

m = –3

Substituindo m = –3 na sequência, temos:

(–9; –2; 5)

Logo, a razão é igual à diferença entre dois termos consecutivos, ou seja:

r = 5 – (–2) = 5 + 2 = 7

Resposta: C



129

7. A diferença entre a soma dos quatro primeiros termos e a soma dos três primeiros termos é igual ao quarto termo, ou seja:

a4 = S4 – S3

a4 = –6 – 0

a4 = –6

Observando que a2 = a1 + r, que a3 = a2 + r e que a soma dos três primeiros termos é igual a zero, temos:

S3 = 0

a1 + a2 + a3 = 0

(a2 – r) + a2 + (a2 + r) = 0

3a2 = 0

a2 = 0

Além disso, podemos também escrever:

a4 = a2 + 2r

–6 = 0 + 2r

r = –3

Por outro lado:

a5 = a4 + r

a5 = –6 + (–3)

a5 = –9

Se a soma dos cinco primeiros termos é igual à soma dos quatro primei-ros termos mais o quinto termo, então:

S5 = S4 + a5

S5 = –6 + (–9)

S5 = –15

Resposta: D


130


8. Se (A, B, 10) formam, nessa ordem, uma PA, então:

B – A = 10 – B

A = 2B – 10 (I)

Se (1, A, B) formam, nessa ordem, uma PG, então:

A

1 =

B

A A2 = B (II)

Substituindo (I) em (II), temos:

(2B – 10)2 = B

(2B)2 – 2 . 2B . 10 + 102 = B

4B2 – 40B + 100 – B = 0

4B2 – 41B + 100 = 0

B = – (–41) ± (–41)2 – 4 . 4 . 100

2 . 4

B = 41 ± 81

8

B = 41 ± 9

8

B1 = 41 + 9

8 = 50

8 = 6,25

B2 = 41 – 9

8 = 32

8 = 4

Por (I), se B = 6,25, então A = 2,50. Nesse caso, as possíveis sequências são:

(2,50; 6,25; 10) PA cuja razão é igual a r = 6,25 – 2,50 = 3,75

e

(1; 2,50; 6,25) PG cuja razão é igual a q = 2,50 / 1 = 2,50

Um valor possível para o produto entre r e q é igual a

r . q = 3,75 . 2,50 = 9,375



131

Por (I), se B = 4, então A = –2. Então:

(–2; 4; 10) PA cuja razão é igual a r = 10 – 4 = 6

e

(1; –2; 4) PG cuja razão é igual a q = –2 / 1 = –2

Um valor possível para o produto entre r e q é igual a:

r . q = 6 . (–2) = –12

Portanto, um dos valores possíveis para o produto entre r e q é igual a –12.

Resposta: A

9. Observe que os números de qualquer coluna constituem uma progressão aritmética cuja razão é igual a 7, pois a tabela é composta por 7 colunas cujos números são consecutivos. A diferença substancial entre as pro-gressões aritméticas formadas em cada coluna está no primeiro termo da sequência, que é igual a 1 na 1.ª coluna, igual a 2 na 2.ª coluna, igual a 3 na 3.ª coluna e assim sucessivamente, até ser igual a 7 na 7.ª coluna.

A progressão aritmética desenvolvida na 3.ª coluna é dada por:

(3, 10, 17, 24, 31, ...)

A numeração da linha fornece a posição do termo na correspondente progressão aritmética, ou seja, o número da 1.ª linha é o 1.º termo da PA, o número da 2.ª linha é igual ao 2.º termo da PA, o número da 3.ª linha é igual ao 3.º termo da PA, e assim sucessivamente, até o número da tri-centésima quadragésima sexta linha (346.ª linha) ser o termo 346.º da PA. Assim, deseja-se encontrar o 346.º termo da progressão aritmética (3, 10, 17, 24, 31, ...).

Logo:

a346 = a1 + 345 . r

a346 = 3 + 345 . 7

a346 = 2418

Resposta: B


132


10. Para se encontrar o terceiro termo da sequência basta considerar n = 3 no termo geral:

an = (n&)&

a3 = (3&)&

Como a& = 3a – 2, temos:

a3 = (3 . 3 – 2)&

a3 = (7)&

a3 = (3 . 7 – 2)

a3 = 19

Para se encontrar o quinto termo da sequência, basta considerar n = 5 no termo geral:

an = (n&)&

a5 = (5&)&

Observando que a& = 3a – 2, temos:

a5 = (3 . 5 – 2)&

a5 = (13)&

a5 = (3 . 13 – 2)

a5 = 37

Portanto:

a3 + a5 = 19 + 37 = 56

Resposta: E




Documents

Emerson Marcos Furtado - Grupo de Orientação Pré-Militar · qualquer termo de uma sequência em função do primeiro termo e da razão. Exemplos: 8.º termo : n = 8 → a 8 = a