En la figura, es perpendicular al plano que contiene al trapecio isósceles ABCD ( es la base mayor). Si AP = 5 m y BD = 12, halle PC.

AP

AB

A

P

B

CD

En la figura, es perpendicular plano que contiene al triángulo equilátero ABC. Si AM = MP y CN = NB = 3 m, halle PB

BP

A

C

N

BM

P

Sea perpendicular al plano que contiene a un hexágono regular ABCDEF. Si mAFP = 45°, halle la medida del ángulo entre

AP

PC y FD.

Sea perpendicular al plano que contiene a un triángulo rectángulo isósceles ABC. Si PB = AC y AB = 4 cm, halle la distancia de P a

PB

AC.

En la figura, es perpendicular al plano que contiene a la circunferencia de diámetro Halle mQBC.

AQ

AB.

Q

A 45° B

C

45°

Sea perpendicular al plano que contiene a un cuadrado ABCD de centro O. Si OP = AB, halle la medida del ángulo entre

AP

OP y CD.

Sean los triángulos equiláteros ABC y ABE contenidos en planos diferentes. Si AB = m y CE = m, halle la medida del diedro C−AB−E.

2 5 2 3

En la figura, las semicircunferencias de diámetro están contenidas en planos perpendiculares. Si M y P son puntos medios de hallemMAB.

AP y AB,

AB y AP

A

B

P

M

En un hexaedro regular ABCD−EFGH, M y N son puntos medios derespectivamente. Si la distancia de C a es 3m, halle el área total del hexaedro regular.

EH y GH

MN

En un hexaedro regular ABCD−EFGH, M y N son puntos medios derespectivamente. Si la distancia de C a es 3m, halle el área total del hexaedro regular.

En un tetraedro regular B−ACD, O es centro de la cara ACD. Si la distancia entre los puntos medios dees m, halle la longitud de la altura del tetraedro regular.

OB y CD2 3

En la figura, es perpendicular al plano que contiene al triángulo equilá-tero ABC. Si BM = MC y QM = AB, halle mAQM

AQ

Q

B

M

C

A

Dos cilindros circulares rectos son semejantes y sus áreas totales son36π cm2 y 64π cm2. Halle la razón entre sus volúmenes.

En un cuadrado ABCD cuyo lado mide m, por el punto A se traza la perpendicular al plano que contiene al cuadrado ABCD. Si AP = m y M es punto medio de halle el área de la región triangular PMC.

2 2AP

3CD

En un tetraedro regular P−ABC, O es centro de la cara ABC y M es punto medio de Si OM = 2m, halle el área total del tetraedro regular.

BP.

Los planos que contienen a un cuadran-te ABQ y a una semicircunferencia de diámetro son perpendiculares. Si M es punto medio del arco AB y AM = 2 m, halle el área de la región triangular AMQ.

AB

En la figura, es perpendicular al plano que contiene al rombo ABCD. SimBCD = 53°. Hallar la medida del diedro M−AC−B.

BM

M

B C

A D

En la figura, los planos que contienen a la semicircunferencia de diámetroAB y al cuadrado ABCD son perpendi-culares. Si P es punto medio del arco AB, halle la medida del ángulo PCA.

AB

P

B C

DA

En la figura, ABCD−EFGH es un hexae-dro regular y O es el centro de la cara EFGH. Si el área de la región triangular OBG es halle el volumen del hexaedro regular.

24 3 m ,

B C

GF

O

E

AD

H

La distancia entre los puntos medios de dos aristas opuestas de un tetraedro regular es 8 m, halle el área total del tetraedro.

En la figura, la recta L2 está contenida en el plano P y el ángulo entre la recta L1 y el plano P mide 45°. Si el ángulo entre L2 y la proyección de L1 sobre el plano P mide 45°, halle la medida del ángulo que forman L1 y L2.

AP

B

L2

L1

1) ABCD: trapecio isósceles ⇒ AC = BD = 12

2)

3) PAC: T. de Pitágoras x = 13 m

AP ABCD AP AC⊥ ⇒ ⊥

A

P

5

12

xB

CD

1) ANC: notable (30°)

2) T. mediatriz: AN = NP =

3)

4) PBN: T. de Pitágoras

A

C

6

N

B

xM

3

3

P

3 3

3 3

AN 3 3⇒ =

3 3

BP ABC BP CB⊥ ⇒ ⊥

3 2 mx =

1)

2)

3) PAC: notable (30°)

A

P

F E

D

CB

120°45°a

a

a

a x

3a

3a

AC // FDm PCA x⇒ =

AP ABCDEF⊥ AP AF y AP AC⇒ ⊥ ⊥

30x∴ = °

1) TTP:

2) BHA: notable (45°)

3) PBH: not. (53°/2)

P

B

x

C

A

4 45° H2 2

22

22

4 2

PH AC⊥

AH BH 2 2⇒ = =

2 10 cmx =

1)

2) TTP:

3) QCB: not. (30°)

Q

A 45°a

B

C

45°

x

2a2a

2a

AQ ACB AQ AB⊥ ⇒ ⊥

QC BC⊥

60x∴ = °

1) Sea

2) ABCD: O centro

3)

4) PHO: not. (30°)

B

a

a a

x

P

2a

C

D

O

HA

2a

OH // CD m POH x⇒ =

CDOH

2a⇒ = =

TTP: PH OH⊥

60x∴ = °

1) EMC: ángulo plano

2) EMC: isósceles

3) MHC: not. (53°/2)

x/2x/2

B

E

H

AC

3

3

15

1552 5

m EMC x⇒ =

EH HC 3⇒ = =

5353

2 2x

x°

⇒ = ⇒ = °

M

1)

2) TTP:

3) AHM: not. (30°)

A

O

H

x45°45°

B

P

90°

M

2

2

AMP APB OM APB⊥ ⇒ ⊥

MH AB⊥

60x∴ = °

1)

2) TTP:

3) CGQ: T. Pitágoras

AD

G

C

F

EM H

N45° Qa

3

a

B

2 2a2

a2

a

2 2TA 6(2 2) 48a a= =

CQ NQ⊥

1a =2

TA 48 m∴ =

1) ABCD: T. Regular

2) NOM: T. Pitágoras

A OM

D

C

B

N

30° 2a a

2a

2a2

3

3a

3a

6BO (2 3) 2 2

3a a⇒ = =

2a =OB 4 2 m∴ =

1)

2) QAM ≅ CMA

Q

x

B

M

60°

30°

C

A

AQ ABC AQ AM⊥ ⇒ ⊥

60x∴ = °

1) 2

122

V3664 V

π=

π

1

2

V 3V 4

=

31 1

32 2

V rV r

=

3

1

2

VV

=

3

34

=

2764

=

1) TTP:

2)

3)

4) PAD: T. Pitágoras

3

2 22

2

B

P

A D

h C

M

Sx

PD DC⊥

2hS

2x =

AP ABCD⊥ AP AD⇒ ⊥

h 11=

211S m

2x∴ =

1)

2)

3) POB: mediana

22

B

C

O

A

a2

M

P

2TA 3a=

OP ABC OP OB⊥ ⇒ ⊥

OMPB 4⇒ =

4a⇒ =2

TA 16 3 m∴ =

1)

2) TTP:

3) AMQ: not.(30°)

4)

ABQ AMB⊥

BQ AMB⇒ ⊥

QM AM⊥

MQ 2 3=

2 2 3S

2x×

=

2S 2 3 mx∴ =

A 2

90°

B

Q

4Sx

90°

M

2 3

2 2 45°

1) TTP:

2) BQM: ángulo plano

3)

4) MBQ: not. (30°)

MQ AC⊥

m BQM x⇒ =

MB ABCD⊥ MB BQ⇒ ⊥

60x∴ = °

M

B

Q2a

2a

2a

a xC

A D

53°/253°/2

1)

2) TTP:

3) APC: notable (30°)

ABCD APB⊥

BC APB⇒ ⊥

CP AP⊥

30x∴ = °

P

90°B

45°

2a

ax C

DA

2a

1) TTP:

2)

3) Dato:

4)

BO OG⊥

FB EFGH⊥ FB FO⇒ ⊥

3S 4 3

2a a×

= =

2 2a =

3 3V (4) 64 mx = =

B C

GFa

aO

E

AD

S

H

3a2a

1) ∆ANP: isósceles

2) AMN: T. Pitágoras

3)

NP AN 3a= =NM AP⇒ ⊥

4 2a =

2TA (8 2) 3=

2TA 128 3 m∴ =

A

M

8

N

C

B

P

a

a

a

a

3a

1)

2) TTP:

3) AHB: notable (30°)

A

H

45°45°

Q

aa

xP

B

L2

L1

2a

BQ P m BAQ 45⊥ ⇒ = °

2BH L⊥

60x∴ = °