Click here to load reader
Upload
denilton-araujo
View
296
Download
167
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Enem - Apostila - Matemática e Suas Tecnologias
Citation preview
MatemáticaMatemática
1
Mate
mática
Ao estudar o livro, o aluno está sendo conduzido pela mão do autor. Os exercícios lhe fornecem o ensejo decaminhar mais solto e, assim, ir ganhando independência. Para quem está convencido da importância de resolver osexercícios deste livro, um esclarecimento: eles variam em seus graus de dificuldade. Não se desencoraje se não conseguirresolver alguns deles. Volte a eles quando se sentir mais confiante. Matemática não se aprende passivamente; ler todos osexercícios e resolver quantos puder é uma tarefa essencial do leitor. Vamos iniciar pela teoria dos conjuntos.
Um conjunto (ou coleção) é formado de objetos,chamados os seus elementos. Quando um objeto qualqueré um dos elementos do conjunto, dizemos que esseelemento pertence ao conjunto. Simbolicamente, temos:
X ∈ A (lê-se: X pertence ao conjunto A)
X ∉ A (lê-se: X não pertence do conjunto A)
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: Os símbolos ∈ e ∉ são utilizados para relacionarelemento com conjunto.
Dois conjuntos são iguais quando possuem osmesmos elementos. Indicamos por A = B (lê-se: o conjuntoA é igual ao conjunto B).
Quando um conjunto é desprovido de elementosrecebe o nome de conjunto vazio e é representado por{ } ou ∅.
O conjunto ao qual pertencem os elementos de todosos conjuntos que fazem parte de nosso estudo é chamadode conjunto universo.
Dados dois conjuntos, A e B, dizemos que A ésubconjunto de B se cada elemento do conjunto A é,também, um elemento do conjunto B. Indicamos por:
A ⊂ B (lê-se: A está contido em B)A ⊄ B (lê-se: A não está contido em B)B ⊃ A (lê-se: B contém A)B ⊃ A (lê-se: B não contém A)
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: Os símbolos ⊂, ⊃, ⊄, ⊃ são utilizados pararelacionar conjunto e conjunto.
NÚMEROS NANÚMEROS NANÚMEROS NANÚMEROS NANÚMEROS NATURAISTURAISTURAISTURAISTURAIS
O surgimento dos números naturais se deu pelanecessidade da contagem para controle de bens dos sereshumanos. A noção de quantidade é da natureza de qualquerser racional. A quantidade é representada por símbolostambém chamados de algarismos. A cada uma dessasquantidades é associado um símbolo que representa umnúmero natural.
Desta forma, o conjunto dos números naturais é dadopor:
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: O sistema de numeração decimal utiliza dezalgarismos para representar qualquer número e a cadaalgarismo é dado um peso que depende de sua posição norespectivo número.
Exemplo:
2 3 5
5.10º=53.101=302.102=200
ou 2 centenas, 3 dezenas e 5 unidades.
NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOSNÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOSNÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOSNÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOSNÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS
É qualquer número natural não nulo e diferente daunidade que só pode ser dividido por 1 (unidade) e por sipróprio. Quando um número natural não nulo e diferenteda unidade não for primo é, então, denominado composto.
Exemplos de números primos:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53;59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97; ...
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: É importante lembrar que o número 1(unidade) não é primo.
DECOMPOSIÇÃO EM FADECOMPOSIÇÃO EM FADECOMPOSIÇÃO EM FADECOMPOSIÇÃO EM FADECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOSTORES PRIMOSTORES PRIMOSTORES PRIMOSTORES PRIMOS
Um número composto qualquer pode serdecomposto em fatores primos, utilizando-se, para tanto,as divisões sucessivas.
Conjuntos Numéricos e Operações IConjuntos Numéricos e Operações IConjuntos Numéricos e Operações IConjuntos Numéricos e Operações IConjuntos Numéricos e Operações I
→ Exemplo: 360 360 2180 2
90 245 315 3
Então: 360=23.32.5 5 51
EBR MATEMATICA MOD I AULA 01.pmd 23/3/2004, 12:021
Conjuntos Numéricos e Operações I
2
Mate
máti
ca
a.bmdc {a; b}
DIVISORES DE UM NÚMERODIVISORES DE UM NÚMERODIVISORES DE UM NÚMERODIVISORES DE UM NÚMERODIVISORES DE UM NÚMERO
Após o número decomposto em fatores primostemos que obter todos os produtos possíveis utilizando,para isso, o dispositivo prático abaixo:
Exemplo: 90=2.32.5
2º
21
3º
31
32
5º
51
2º.3º.5º=12º.31.5º=32º.31.51=152º.3º.51=52º.32.5º=92º.32.51=45
MÍNIMO MÚLMÍNIMO MÚLMÍNIMO MÚLMÍNIMO MÚLMÍNIMO MÚLTIPLTIPLTIPLTIPLTIPLO COMUM (M.M.C.)O COMUM (M.M.C.)O COMUM (M.M.C.)O COMUM (M.M.C.)O COMUM (M.M.C.)
Obter o mínimo múltiplo comum entre dois ou maisnúmeros naturais consiste em determinar, a partir daintersecção entre os conjuntos dos múltiplos, o menorelemento, desconsiderando o zero.
Exemplo: 36 e 2436=22.32
24=23.3mdc {36;24}= 22.3=12
É possível a determinação do máximo divisor comumde dois números naturais a partir da decomposição emfatores primos.
O mdc é obtido multiplicando-se os fatores primoscomuns com os menores expoentes.
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: O mínimo múltiplo comum entre doisnúmeros naturais é igual ao quociente entre seu produto eo máximo divisor comum.
Exemplo: 12 e 18m(12)= {12; 24; 36; 48; 60...}m(18)= {18; 36; 54; 72; 90...}m(12) ∩ m(18)= {36; 72; ...}mmc {12; 18}= 36
É possível obter o mmc entre números naturais apartir de decomposição simultânea em fatores primos.
Exemplo: 12 e 18
12,18 26,9 23,9 31,3 31,1 Portanto, o mmc é dado pelo produto
mmc {12; 18}= 22.32=36
O mmc pode ainda ser obt ido a part ir dadecomposição em fatores primos separadamente dosnúmeros. O mmc será o produto de todos os fatoresprimos, considerados uma única vez e de maior expoente.
Exemplo: 12 e 1812= 22.318=2.32
mmc {12; 18}= 22.32=36
mmc {a; b}=
Exemplo: 90=21.32.51
número de divisores= (1+1).(2+1).(1+1)=2.3.2=12divisores
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SINÚMEROS PRIMOS ENTRE SINÚMEROS PRIMOS ENTRE SINÚMEROS PRIMOS ENTRE SINÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Dois números são denominados primos entre si, seo único divisor comum for a unidade.
Exemplo: Os números 15 e 16 são primos entre si:d(15)= {1; 3; 5; 15}d(16)= {1; 2; 4; 8; 16}d(15) ∩ d(16)= {1}
MÚLMÚLMÚLMÚLMÚLTIPLTIPLTIPLTIPLTIPLOS DE UM NÚMEROOS DE UM NÚMEROOS DE UM NÚMEROOS DE UM NÚMEROOS DE UM NÚMERO
Múltiplo de um número natural é o produto dele porum outro número natural.
Portanto, o conjunto dos múltiplos é:
m(s)= {0; 5; 10; 15; 20; 25; ...}
Exemplo: 5.0=05.1=55.2=105.3=15
Exemplos: 36 e 24
d(36)= {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}d(24)= {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}d(36) ∩ d(24)= {1; 2; 3; 4; 6; 12}mdc {36; 24}=12
MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.CMÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.CMÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.CMÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.CMÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.....)))))
O máximo divisor comum entre dois númerosnaturais é obtido a partir da intersecção entre os conjuntosdos divisores dos dois números tomando o maior elementodo conjunto intersecção.
Portanto, o conjunto dos divisores é:d (90) = {1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90}
Para obtermos a quantidade de divisores de um númerobasta tomarmos os expoentes dos fatores primos quecompõem o número, adicionarmos uma unidade a cadaexpoente e multiplicar os resultados.
EBR MATEMATICA MOD I AULA 01.pmd 23/3/2004, 12:022
Conjuntos Numéricos e Operações I
3
Mate
mática
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: A ordem das parcelas não altera a soma;2+3=3+2 (propriedade comutativa).
Do fato de não ocorrer a comutatividade em relaçãoà subtração foi necessário a criação do conjunto dosnúmeros inteiros.
ADIÇÃO DE NÚMEROS NAADIÇÃO DE NÚMEROS NAADIÇÃO DE NÚMEROS NAADIÇÃO DE NÚMEROS NAADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS:TURAIS:TURAIS:TURAIS:TURAIS:
A adição de dois números naturais sempre resultanum número natural. O símbolo “+++++” é utilizado pararepresentar a operação adição de números.
Exemplo: 2 + 3 = 5soma
parcelas
A soma na adição de várias parcelas pode ser obtidareunindo-se duas a duas em qualquer ordem:
1+3+5=1+(3+5)= (1+3)+5 (propriedadeassociativa).
O número zero é considerado elemento neutro daadição, pois qualquer número adicionado com zero resultapara a soma o próprio número:
7+0= 0+7=7 (elemento neutro da adição)
SUBTRAÇÃO DE NASUBTRAÇÃO DE NASUBTRAÇÃO DE NASUBTRAÇÃO DE NASUBTRAÇÃO DE NATURAISTURAISTURAISTURAISTURAIS
É a operação inversa da adição. É importante salientarque a subtração entre dois números naturais nem sempreresulta num número natural. O símbolo “-----” é utilizado pararepresentar a subtração de números.
Exemplo: 7 - 3 = 4diferençasubtraendominuendo
Obs.: A subtração de dois números naturais não écomutativa.
7-3=4 mas 3-7=-4logo 7-3 ≠ 3-7
MULMULMULMULMULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSNANANANANATURAISTURAISTURAISTURAISTURAIS
A multiplicação de naturais é a operação associada aadição de parcelas iguais. A multiplicação de númerosnaturais sempre resulta num número natural. O símbolo “.....”é utilizado para representar a multiplicação de números.
Exemplo: 3 . 5 = 15produtofatores
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: A ordem dos fatores não altera o produto;3.5=5+5+5=15 ou 5.3=3+3+3+3+3=153.5= 5.3=15 (Propriedade Comutativa)
Distributividade em relação à operação de adição (ousubtração):
Numa expressão envolvendo multiplicação e adição(ou subtração) deve-se primeiro multiplicar:
3+2.4 = 3+8 = 11
Casos particulares seja a∈ N1.a=a.1=a (elemento neutro da multiplicação)0.a=a.0=0 (anulamento do produto)
3. (4+7) = 3.4+3.7
DIVISÃO DE NÚMEROSDIVISÃO DE NÚMEROSDIVISÃO DE NÚMEROSDIVISÃO DE NÚMEROSDIVISÃO DE NÚMEROSNANANANANATURAISTURAISTURAISTURAISTURAIS
É a operação inversa da multiplicação. É importantesalientar que nem sempre a divisão de dois números naturaisresulta um número natural. O símbolo ”:::::” é utilizado pararepresentar a divisão de números.
Exemplo: 18 : 6 = 3quocientedivisordividendo
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: A divisão de dois números naturais não écomutativa.
18 : 6 ≠ 6 : 18
0:0 é indeterminado, pois qualquer número natural Kverifica a igualdade 0:0=K, pois K.0=0.
Casos Particulares: Seja a∈e Na:1=a pois a.1=aa:a=1 pois 1.a=a (a≠0)0:a=0 pois 0.a=0 (a≠0)a:0 não existe
EBR MATEMATICA MOD I AULA 01.pmd 23/3/2004, 12:023
Conjuntos Numéricos e Operações I
4
Mate
máti
ca
2
Quando a divisão não é exata.5:3 5 3
2 15 = 3 . 1 + 2 resto
quocientedivisordividendo
Quando o resto da divisão for nulo (igual a zero)dizemos que o número é divisível.POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS NAPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROS NAPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROS NAPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROS NAPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROS NATURAISTURAISTURAISTURAISTURAIS
É o produto de fatores iguais. Seja o produto:
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 =64
6 fatores
podemos representar por:expoente
26 = 64 potênciabase
A potenciação de um número natural sempre resultanum número natural.
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: A potenciação não é comutativa:
25≠52
Casos Particulares: Seja a ∈ Na1=aa0=10a=0(a≠0)
Distributividade em relação à multiplicação e à divisão:Seja a ∈ N, b ∈ N e n ∈ N.
(a.b)n = an.bn
(a:b)n = an:bn
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: Quando trabalhamos com raiz quadrada (raizde índice igual a 2) podemos omitir o índice.
16 = 16 =4
RADICIAÇÃO DE NÚMEROSNATURAIS
É a operação inversa da potenciação. É importantelembrar que a radiciação de um número natural nem sempreresulta num número natural. O símbolo ” ” é utilizadopara representar a operação de radiciação.
Exemplo: 243 = 3, pois 35 = 243raizradicandoradicalíndice
5
Distributividade em relação à multiplicação e à divisão:Seja a ∈ N, b ∈ N e n ∈ N*.
Numa expressão númerica envolvendo potenciaçãoou radiciação, multiplicação ou divisão e soma ou subtração,deve-se resolver nesta ordem.
Exemplo:
a) 4 : 2+3.2+5==2:2+3.2+5==1+6+5=12
b) 23:4+3.6:2-1==8:4+3.6:2-1==2+18:2-1==2+9-1==11-1=10
n n n
n n n
a.b = a . b
a:b = a : b
NÚMEROS INTEIROSNÚMEROS INTEIROSNÚMEROS INTEIROSNÚMEROS INTEIROSNÚMEROS INTEIROS
Fundamentada a idéia relativa aos números naturais,surgiram algumas questões. Como representar umadefasagem ou perda numa quantidade? Como representaruma diferença ou subtração?
O conjunto dos números inteiros foi criado pararesponder a estas perguntas.
Para representar o oposto de possuir uma certaquantidade vamos usar o símbolo “-”“-”“-”“-”“-” antes do númeronatural.
ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
A adição de dois números inteiros resulta sempre umnúmero inteiro.
1º caso: A soma de dois números inteiros positivos éum número inteiro positivo.
5+7=12
2º caso: A soma de dois números inteiros negativosé um número inteiro negativo.
3º caso: A soma de um número inteiro positivo comum número inteiro negativo pode resultar num inteiropositivo ou num inteiro negativo ou ainda no zero.
-5+(-7)=-12
-5+7=25+(-7)=-25+(-5)=0
EBR MATEMATICA MOD I AULA 01.pmd 23/3/2004, 12:024
Conjuntos Numéricos e Operações I
5
Mate
mática
Portanto, na adição de números inteiros de sinaiscontrários, a soma terá o sinal correspondente ao sinal daparcela de maior valor absoluto (número sem o sinal).
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROSSUBTRAÇÃO DE NÚMEROSSUBTRAÇÃO DE NÚMEROSSUBTRAÇÃO DE NÚMEROSSUBTRAÇÃO DE NÚMEROSINTEIROSINTEIROSINTEIROSINTEIROSINTEIROS
A subtração é a operação inversa da adição. Asubtração de dois números inteiros sempre resulta numnúmero inteiro. Vamos estabelecer o seguinte:
O sinal positivo, quando antecede os parênteses, nãoaltera o sinal do número dentro do mesmo.
O sinal negativo, quando antecede os parênteses,muda o sinal do número dentro do mesmo.
Exemplo: +7 = 7+(-7) = -7+(+3) = 3-(-7) = 7-(+7) = -7
MULMULMULMULMULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSINTEIROSINTEIROSINTEIROSINTEIROSINTEIROS
O produto de dois números inteiros é sempre umnúmero inteiro. Deve-se estar atento sempre ao sinal doproduto.
1º Caso: Se os dois fatores são positivos, então oproduto é positivo.
(+2).(+5)=2.5=10
2º Caso: Se os dois fatores são de sinais contrários,então o produto é negativo.
(+2).(-5)=2.(-5)=(-5)+(-5)=-5-5=-10(-2).(+5)=-(+2).(+5)=-(2.5)=-10
3º Caso: Se os dois fatores de uma multiplicação sãonegativos, então o produto será positivo.
(-2).(-5)=[-(+2)].(-5)=-[2.(-5)]=-[-10]=10
CCCCCONCLUSÃOONCLUSÃOONCLUSÃOONCLUSÃOONCLUSÃO
Teremos um produto positivo, caso os fatores sejamde mesmo sinal e um produto negativo, caso os fatoressejam de sinais diferentes.
+ . + = +
+ . - = -
- . + = -
- . - = +
DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROSDIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROSDIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROSDIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROSDIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Como a divisão é a operação inversa da multiplicação,a análise de sinais feitos para o produto é a mesma para oquociente.
A divisão de dois números inteiros nem sempre admite umquociente inteiro. Por este motivo, foi criado o conjuntodos números racionais.
Exemplo: (-4):(-2)=2(-4):(2)=-2(4):(2)=2(4):(-2)=-2
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
É uma operação definida de maneira análoga dosnúmeros naturais, ou seja, com multiplicação sucessiva deum mesmo número.
1º Caso: Na potenciação de números inteiros, se abase é positiva, a potência é positiva.
23=2.2.2=8
2º Caso: Se a base é negativa, a potência é positiva seo expoente é par, e negativa, se o expoente é ímpar.
(-2)2=(-2).(-2)=4(-2)3=(-2).(-2).(-2)=-8
RADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSRADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSRADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSRADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSRADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
É a operação inversa da potenciação de númerosinteiros. A radiciação de números inteiros nem sempreresulta num número inteiro.
EXPRESSÕES NUMÉRICASEXPRESSÕES NUMÉRICASEXPRESSÕES NUMÉRICASEXPRESSÕES NUMÉRICASEXPRESSÕES NUMÉRICAS
Uma expressão numérica envolvendo númerosinteiros e as operações definidas para os mesmos devemser efetuadas (resolvidas) respeitando-se uma ordem nasoperações e nos sinais gráficos (parênteses, colchetes echaves) utilizados para ordenar as operações. Quanto aossinais gráficos, eliminam-se na seguinte ordem:
1º) parênteses;2º) colchetes;3º) chaves.E quanto às operações, resolvem-se na seguinte
ordem:
1º) Potenciação ou Radiciação;2º) Multiplicação ou Divisão;3º) Adição ou Subtração.
Exemplos: 1) 28+{13-[6-(4+1)+2]-1}=
=28+{13-[6-5+2]-1}==28+{13-3-1}==28+9=37
EBR MATEMATICA MOD I AULA 01.pmd 23/3/2004, 12:025
Conjuntos Numéricos e Operações I
6
Mate
máti
ca
2) {-22:4+[(-2+5)2:3]}=={-4:4+[(+3)2:3]}=={-1+[9:3]}=={-1+3}=2
3) -(-32:16)2:(8-2.3)-(-12):( 6 )2==-(-2)2:(8-6)-(-12):6==-(+4):2-(-2)==-2+2=0
4) -3.{-2+[-1+(-3)2:3]-1}==-3.{-2+[-1+9:3]-1}==-3.{-2+[-1+3]-1}==-3.{-2+2-1}==-3.{-1}==3
NÚMEROS RACIONAISNÚMEROS RACIONAISNÚMEROS RACIONAISNÚMEROS RACIONAISNÚMEROS RACIONAIS
Nem sempre a divisão entre dois números inteirosresulta em um número inteiro. Surgiu, então, o conjuntodos números racionais, números que podem serrepresentados por uma razão entre dois inteiros.Intuitivamente explicamos a origem dos números racionaisa partir da divisão de um todo em várias partes.
Todo número racional é representado pelo quociente(razão ou divisão) entre dois números inteiros.
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: Importante lembrar que não existe divisão porzero (denominador sempre diferente de zero) e que todonúmero racional na forma decimal é sempre representadopor uma dízima periódica ou por uma divisão exata.
Exemplo: =0,5 (divisão exata)
=0,3333... (dízima periódica)
2 partes
2 numerador5 denominador
5 partes
Q={ p Z, q Z, q 0} ∈ ≠∈pq
NÚMEROS IRRACIONAISNÚMEROS IRRACIONAISNÚMEROS IRRACIONAISNÚMEROS IRRACIONAISNÚMEROS IRRACIONAIS
São todos os números que não possuem razão.Números que não podem ser representados na forma deuma fração.
Exemplos: π=3,1415926...2=1,4142135...3=1,7320508...e=2,7182818...
Observe a construção:
Todo número irracional não pode ser representadopor um quociente entre dois inteiros.
Observe, agora, o diagrama a seguir:
NÚMEROS REAISNÚMEROS REAISNÚMEROS REAISNÚMEROS REAISNÚMEROS REAIS
O conjunto dos números reais é definido como uniãoentre os conjuntos dos números racionais e irracionais, ouseja:
É importante lembrar que associamos a cada númeroreal um ponto de uma reta.
-2 221,7320508...1,4142135...
2
3
3 3
1
10-1-
I={x p Z, q Z, q 0}∈ ≠≠ ∈pq
N QZ I
R = Q I
13
12
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
3...
3...
3
3
N
I
R
-1
-1
-1
-2
-2
-2
...-3
-3
-3
Q
Z
e p-p -e
N Z Q R e R⊂ I⊂ ⊂ ⊂
EBR MATEMATICA MOD I AULA 01.pmd 23/3/2004, 12:026
Conjuntos Numéricos e Operações I
7
Mate
mática
Quando pensamos em números quaisquer e suas utilizações estamos falando sobre diversos momentosdo cotidiano de qualquer pessoa. Quando vamos a uma feira temos os preços, os pesos, quantidade deprodutos ou quando compramos um imóvel, o valor, a metragem, a quantidade de cômodos, entre outrasutilizações.
INTERVINTERVINTERVINTERVINTERVALALALALALOSOSOSOSOS
Intervalo aberto é um subconjunto do conjunto dosnúmeros reais x, tais que:
a<x<b
ou seja, números que estão entre a e b.
Intervalo Fechado é o subconjunto do conjunto dosnúmeros reais x, tais que:
a≤x≤b
a b
(a;b)=]a;b[={x R a<x<b}∈
0 10 10 10 10 1 Sendo A={x ∈ N 3 ≤ x <10} e B= {x∈Z -4≤x≤5}obtenha as operações:
a) A∪BOperação de união entre A e B. Devemoscolocar todos os elementos que pertencem aA ou a B.
A={3,4,5,6,7,8,9}B={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}A∪B={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A∪B={x∈ Z -4 ≤ x <10}
b) A∩BOperação de intersecção entre A e B. Devemostomar todos os elementos que pertencemsimultaneamente a A e a B.
A∩B={3,4,5}
c) A-BOperação de diferença entre A e B. Devemostomar todos os elementos que pertencem a A,mas não pertencem a B.
A-B={6,7,8,9}
ou seja, números de a até b.
Intervalos infinitos são subconjuntos do conjunto dosnúmeros reais x, tais que:
Obs.: no infinito o intervalo sempre é aberto.
d) B-AIdem ao anterior
B-A={-4,-3,-2,-1,0,1,2}
0 20 20 20 20 2 Considere os conjuntos A={x ∈ R 3≤ x <10}e B={x∈ R -4 ≤ x ≤ 5} oper.:
a) A∪BA=[3;10) B=[-4;5]
3 10A
-4 5B
-4 10A B∪
A B=[-4;10)∪
x ≥ a ou x ≥ a
x > a ou x < a
a b
[a;b]={x R a x b}∈ ≤ ≤
a
[a; )∝
a
(a; )∝
a
(- ;∝ a]
(- ;∝ a)
a
a
a
EBR MATEMATICA MOD I AULA 01.pmd 23/3/2004, 12:027
Conjuntos Numéricos e Operações I
8
Mate
máti
ca
d) B-A
0 30 30 30 30 3 Determime o valor da expressão:
b) A∩B
c) A-B
3 10A
-4 5B
A B∩
A B=[3;5]∩
3 5
3 10A
-4 5B
A-B
A-B=(5;10)
5 10
-4 5B
B-A
B-A=[-4;3)
-4 3
3 10A
0 10 10 10 10 1 Sendo A={x ∈ N 2≤x≤9} e B={x∈Z -3≤x<7}obtenha:
a) A∪Bb) A∩Bc) A-Bd) B-A
0 20 20 20 20 2 Dados os intervalos reais A=(-4;5) e B=[-6;3)obtenha:
a) A∪Bb) A∩Bc) A-Bd) B-A
0 30 30 30 30 3 Complete com V para verdadeiro ou F para falso:
a) ( ) Z ⊂ Nb) ( ) N ⊂ Qc) ( ) Q ∪ I = Rd) ( ) N ∩ Z = Q
e) ( ) N ∩ Z = Nf) ( ) N ∪ Z =Zg) ( ) Z ∪ Q = Nh) ( ) Z ∩ Q =Zi) ( ) Z ∪ Q = Q
0 40 40 40 40 4 Associe aos conjuntos dados na primeiracoluna seus respectivos nomes da segundacoluna.
(a) R=(-∞;∞) ( ) Reais não negativos(b) R +=[0;∞) ( ) Reais(c) R *=(0;∞) ( ) Reais negativos(d) R -=(-∞;0] ( ) Reais não positivos(e) R*=(-∞;0) ( ) Reais positivos
0 50 50 50 50 5 Some os itens corretos:
(01) (08)
(02) (16)
(04) (32)(64)
1+15
+ 13
: 35
- 115
=
1+3+515
: ==9-115
1+815
: ==8
15
1+815
. ==158
1+1= 2=
∈ -2 N
02 =013 ∈ I
∈ -1 R
∈ R304 ∈ Q3
∈ -8 R3
+
-
EBR MATEMATICA MOD I AULA 01.pmd 23/3/2004, 12:028
Conjuntos Numéricos e Operações I
9
Mate
mática
0 60 60 60 60 6 Uma pesquisa foi realizada junto a 930 pessoasa respeito da prática dos esportes futebol e vôlei. Foiconstatado que o volei era praticado por 340 pessoase que 65 praticavam ambos os esportes. Foiconstatado ainda que 15 pessoas não praticavamnenhum desses esportes. O número de pessoas quepraticavam apenas futebol é:
a) 565 b) 525 c) 535 d) 510 e) 575
0 70 70 70 70 7 Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 deleslêem o jornal A, 21 lêem os jornais A e B, 106lêem apenas um dos dois jornais e 66 não lêemo jornal B. O valor de n é:
a) 245 b) 137 c) 158 d) 127 e) 183
0 10 10 10 10 1 (OSEC-SP) Sejam A e B os seguintes subcon-juntos de R:
A={x∈ R 2 ≤ x ≤ 5}B={x ∈ R x>4}Então podemos afirmar que:
a) A - B ⊂ Bb) A - B ⊂ Ac) B - A ⊂ Ad) A - B = {x ∈ R 2 < x <4}e) B -A = {x ∈ R x ≥ 5}
0 20 20 20 20 2 (FGV-SP) Sejam os intervalos A=(-∞; 1],B=(0;2] e C=[-1; 1]. O intervalo C∪(A∩B) é:
a) (-1; 1]b) [-1; 1]c) [0;1]d) (0;1]e) (-∞; -1]
0 30 30 30 30 3 (CEFET-PR) Se P={x∈ R -3 ≤ x<-2}Q=]-2;-1] e S={x ∈ R x ≥-3}(P∪Q) - (Q∩S) é igual a:
a) {x∈ R -3≤x≤-1 e x≠2}b) {x∈ R -3≤x≤-2}c) {x∈ R -2≤x≤-1}d) {x∈ R -3≤x<-2}e) {x∈ R -2<x≤-1}
0 40 40 40 40 4 (ACAFE-SC) Dados os conjuntos:A={x∈ N 2≤x≤5}B={x∈ R x é ímpar e 1≤x<7}C={x∈ R 0<x≤3}O conjunto-solução de (A-B) ∪ (B-C) é:
a) {1; 2}b) {2; 4; 5}c) {0; 1; 3; 5; 7}d) {1; 2; 3; 4; 5}e) {0; 4; 5}
0 50 50 50 50 5 (UF-VIÇOSA-MG) Assinale a a l ternat ivaincorreta. Dados os conjuntos:A={x x é um número real}B={x x é um número racional}C={x x é um número primo}Então:
a) C ⊂ Bb) S ∈ (B∩C)c) B ⊂ Ad) 6∈(A∩B∩C)e) 7∈(A∩C)
0 60 60 60 60 6 (PUC-RS) Se M=(-∞;3), N=[-1,∞) eP=[-2; 10), então P-(M∩N) é o intervalo:
a) [-2;1)b) [-2;3)c) [-1; 10 )d) (-∞;-1]∪(3;∞)e) [-2;1)∪[3; 10 )
0 70 70 70 70 7 (FATEC-SP) Sejam a e b números irracionais:I) a.b é um número irracionalII) a+b é um número irracionalIII) a-b pode ser um número racional, pode-seconcluir que:
a) as três são falsas;b) as três são verdadeiras;c) somente I e III são verdadeiras;d) somente a I é verdadeira;e) somente I e II são falsas.
0 80 80 80 80 8 (PUC-SP) Um número racional qualquer:
a) tem sempre um número finito de ordens (casas)decimais;
b) tem sempre um número infinito de ordens (casas)decimais;
c) não pode expressar-se em forma decimal exata;d) nunca se expressa em forma de uma decimal
inexata;e) nenhuma das anteriores.
EBR MATEMATICA MOD I AULA 01.pmd 23/3/2004, 12:029
Conjuntos Numéricos e Operações I
10
Mate
máti
ca
0 90 90 90 90 9 (EFOA-MG) Seja R o conjunto dos números reais,N o conjunto dos números naturais e Q o conjuntodos números racionais. Qual a afirmativa falsa?
a) Q ∪ N ⊂ Rb) Q ∩ N ⊂ Rc) Q ∪ N = Rd) Q ∩ R =Qe) Q ∩ R ≠ ∅
(FCC-BA) Consultadas 500 pessoas sobre ase m i s s o r a s d e T V a q u e h a b i t u a l m e n t eassistem, obteve-se o resultado seguinte: 280pessoas ass i s tem ao cana l A , 250 a s s i s t e mao canal B e 70 assistem a outros canais dist intosde A e B. O número de pessoas que assistem a Ae não assistem a B é:
a) 30 b) 150c) 180 d) 200e) 210
(VUNESP) Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de matemática e 20, de história. O número de alunos destaclasse que gostam de matemática e de história é:
a) exatamente 16;b) exatamente 10;c) no máximo 6;d) no mínimo 6;e) exatamente 18.
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
1 01 01 01 01 0
EBR MATEMATICA MOD I AULA 01.pmd 23/3/2004, 12:0210
1
Mate
máticaVeremos neste capítulo as operações entre números racionais (fracionários), a potenciação e radiciação de números
reais.
ADIÇÃO DE NÚMEROS RACIONAISADIÇÃO DE NÚMEROS RACIONAISADIÇÃO DE NÚMEROS RACIONAISADIÇÃO DE NÚMEROS RACIONAISADIÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS
A soma de dois números racionais é sempre umnúmero racional.
1º Caso: Mesmo denominador:
A fração resultante terá para numerador o valor dasoma dos numeradores, e para denominador, o mesmovalor dos denominadores das parcelas.
2º Caso: Denominadores diferentes:
Todas as frações devem ser reduzidas a um únicodenominador. Isto é feito obtendo-se o mmc entre osdenominadores.
mmc {3; 5; 4}=60
1) Colocamos um traço único de fração;
2) Localizamos o mmc dos denominadores como sendoo novo denominador;
3) Dividimos o novo denominador pelosdenominadores antigos e, respectivamente, multiplicamospelos numeradores obtendo, então, os novosnumeradores;
4) Por fim, fazemos a adição dos novos numeradores.
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: Um número inteiro ou natural possui comodenominador, quando escrito na forma de fração, o número 1.
Exemplo:
A operação de subtração de números racionais éanáloga à operação de adição.
MULMULMULMULMULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSRACIONAISRACIONAISRACIONAISRACIONAISRACIONAIS
O produto de dois números racionais é sempre umnúmero racional. O produto é obtido multiplicando-senumerador por numerador e denominador pordenominador.
Exemplo:
DIVISÃO DE NÚMEROSDIVISÃO DE NÚMEROSDIVISÃO DE NÚMEROSDIVISÃO DE NÚMEROSDIVISÃO DE NÚMEROSRACIONAISRACIONAISRACIONAISRACIONAISRACIONAIS
A operação de divisão de números racionais é a inversada operação de multiplicação. Para dividir dois númerosracionais, representados através de frações, repete-se aprimeira fração multiplicando-a pela fração inversa da segunda.
Exemplo:
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROSPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROSPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROSPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROSPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROSRACIONAISRACIONAISRACIONAISRACIONAISRACIONAIS
A potenciação de números racionais é feita através damultiplicação sucessiva de um mesmo número racional.Na prática, a potência de uma fração é obtida a partir dapotência do numerador e do denominador.
Exemplo:
Conjuntos Numéricos e Operações IIConjuntos Numéricos e Operações IIConjuntos Numéricos e Operações IIConjuntos Numéricos e Operações IIConjuntos Numéricos e Operações II
53
23
73
5+23
+ = =
23
15
34
9760
40+12+4560
+ + = =
25
37
635
2 . 35 . 7
. = =
43
52
43
25
815
: .= =
23-4=-
23
3= =
23
3
3827
-4=- 41
EBR MATEMATICA MOD I AULA 02.pmd 23/3/2004, 12:021
Conjuntos Numéricos e Operações II
2
Mate
máti
ca
RADICIAÇÃO DE NÚMEROSRADICIAÇÃO DE NÚMEROSRADICIAÇÃO DE NÚMEROSRADICIAÇÃO DE NÚMEROSRADICIAÇÃO DE NÚMEROSRACIONAISRACIONAISRACIONAISRACIONAISRACIONAIS
A radiciação de números racionais é a operação inversada potenciação. A raiz de um número racional é obtida apartir da raiz do numerador e do denominador.
Exemplo:
EXPRESSÕES NUMÉRICASEXPRESSÕES NUMÉRICASEXPRESSÕES NUMÉRICASEXPRESSÕES NUMÉRICASEXPRESSÕES NUMÉRICAS
As expressões numéricas devem ser resolvidas demaneira análoga às expressões numéricas envolvendonúmeros inteiros.
MÓDULO DE UM NÚMEROMÓDULO DE UM NÚMEROMÓDULO DE UM NÚMEROMÓDULO DE UM NÚMEROMÓDULO DE UM NÚMERO
Módulo ou valor absoluto de um número real qualqueré a distância do mesmo ao zero, também denominadoorigem.
É o maior valor entre o número considerado e o seuoposto. Identificamos o módulo de um número x ∈ R por:
Exemplo: a) 3 = 3 b) -7 = 7
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Propriedades do Módulo: Seja x ∈ R e a ∈ R.
a) x ≥ 0b) x = a ⇔ (x=a ou x=-a) (a>0)c) x < a ⇔ -a < x < a (a>0)d) x > a ⇔ x > a ou x < -a (a>0)
POTENCIAÇÃO DE UM NÚMEROPOTENCIAÇÃO DE UM NÚMEROPOTENCIAÇÃO DE UM NÚMEROPOTENCIAÇÃO DE UM NÚMEROPOTENCIAÇÃO DE UM NÚMEROREALREALREALREALREAL
– Definição:
Dado um número real “a” qualquer sendo “n” umnúmero natural, define-se por “a potência n” o produto de apor a n vezes, ou seja:
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: - Se a base é negativa e o expoente é par, entãoa potência é positiva;- Se a base é negativa e o expoente é ímpar, então apotência é n negativa.
CASOS PCASOS PCASOS PCASOS PCASOS PARTICULARESARTICULARESARTICULARESARTICULARESARTICULARES
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃOPROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃOPROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃOPROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃOPROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
Seja m ∈ N, n ∈ N, a ∈ R e b ∈ R, temos:
RADICIAÇÃO DE UM NÚMERORADICIAÇÃO DE UM NÚMERORADICIAÇÃO DE UM NÚMERORADICIAÇÃO DE UM NÚMERORADICIAÇÃO DE UM NÚMEROREALREALREALREALREAL
Definição:
Define-se como raiz de índice “n” de um número “a”o número “x” tal que xxxxx expoente nnnnn é igual a aaaaa, ou seja:
Exemplos:
1) 27 = 3, pois 33 = 27
2) 81 = ±3, pois (±3)4 = 81
3) 4 = ±2, pois (±2)2 = 4
4) -9 = não é definida em R
na = xexpoentepotênciabase
a = x x =a⇔n n
raiz
radicando
radical
índice do radical n ∈N*
3
4
2
2
2o
2-3
=
= =
1123
18
Exemplos:ao
a-n (a 0)¹
=
=
11an
1)
3)
4)
a .a =am n m+n
(a ) =am n m.n
(a.b) =a .bn n n
2)
5) =n
=am-naa
m
n
ab
ab
n
n
2 .2 =2 =23 4 3+4 7
(2 ) =2 =23 2 3.2 6
(2.3) =2 .35 5 5
=5
=2 =25-3 222
5
3
35
35
5
5
Exemplos:
obs:obs:obs:obs:obs:
827
3= 8
273
3
= 23
a.a.a....a = an
n vezes
⎫⎬⎭
x = x, se x ≥ 0 x, se x < 0⎨
1) 242 ≠ (24)
2, pois
242 = 2(4)2 = 216 e (24)2 = 24.2 = 28
2) (2+3)2 ≠ 22 + 32, pois
(2+3)2 = 52 = 25 e 22+32 = 4+9 = 13
EBR MATEMATICA MOD I AULA 02.pmd 23/3/2004, 12:022
Conjuntos Numéricos e Operações II
3
Mate
mática
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: Nos exemplos 2 e 3 os radicais têm índicespares, por isso que em cada um existem duas raízes reaissimétricas. Para não termos dupla interpretação,convenciona-se que em todo radical, cujo índice é umnúmero par, a raiz será positiva.
A raiz de índice n de um número a pode ser definidacomo sendo uma potência de a, onde o expoente é oinverso de n, ou seja:
Exemplos:
PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃOPROPRIEDADES DA RADICIAÇÃOPROPRIEDADES DA RADICIAÇÃOPROPRIEDADES DA RADICIAÇÃOPROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO
Seja m ∈ N*, n ∈ N*, a ∈ R e b ∈ R, temos:
Exemplos:
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DEADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DEADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DEADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DEADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DERADICAISRADICAISRADICAISRADICAISRADICAIS
Em uma soma ou subtração de radicais pode ocorrerque:
1) todos os radicais são semelhantes entre si;
2) os radicais dados não são semelhantes a princípio,tornando-se ao se retirar um ou mais fatores doradicando;
3) existem apenas alguns termos semelhantes entre si.É possível reduzir os radicais em uma soma a umradical apenas, desde que eles possuam o mesmoíndice e o mesmo radicando, isto é, sejamsemelhantes.
Exemplos:
1) 9 5 + 3 5 -4 5 = (9+3-4) 5 = 8 5
2) 5 40 - 3 10 = 5. 22.10 - 3 10=
=5.2. 10 - 3 10 = 10 10 - 3 10=
=(10-3) 10 = 7 10
3) 2 300 + 3 50 - 2 243=
=2. 102.3 +3. 52.2 - 2 92.3=
=2.10 3 + 3.5 2 - 2.9 3=
=20 3 - 18 3 + 15 2 = 2 3 + 15 2
MULMULMULMULMULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DETIPLICAÇÃO E DIVISÃO DETIPLICAÇÃO E DIVISÃO DETIPLICAÇÃO E DIVISÃO DETIPLICAÇÃO E DIVISÃO DERADICAISRADICAISRADICAISRADICAISRADICAIS
1º Caso: Se os radicais forem de mesmo índice aplicamosas propriedades anteriores.
2º Caso: Se os radicais forem de índices diferentes, deve-se, inicialmente, reduzi-los ao mesmo índice. Para isto, bastaobter o mmc entre os mesmos.
Exemplos:
1) 2 3 . 6 4 = 2.6. 3.4 = 12 12
2) 3 10000 : 3 10 = 3 10000:10 = 3 1000 = 3 103 =10
3) 3 5 2 . 2 3 mmc {5;2} = 10
5 2 = 10 22
2 3 = 10 35 logo,
35 2 . 2 3 = 3.10 22 . 10 35 = 310 22.35
PRODUTOS NOTÁVEISPRODUTOS NOTÁVEISPRODUTOS NOTÁVEISPRODUTOS NOTÁVEISPRODUTOS NOTÁVEIS
Existem produtos entre expressões algébricas quesão utilizados com freqüência. Vamos citar os principais:
a = a1nn
(x N)∈
1)
2)
3)
8
3
4
= 8
= 3
= (2 )3
= (2 )2 = 2 = 2 =21
= 3
= 2 = 21 = 213
11
13
12
22
333
1
1)
2)
4) = = =
3) = =
am
a
a 5a 5 5
5
a 2
b 3
a.b 5.7 35b 7
ab
23
= = =
23= am/n
. .
= 23/5n
n
n 3m 2n.m 3.2 6
3
n 4
n 4
n 3 3n 3
n 4
5
(a+b)2 = (a+b).(a+b)=a2+2.a.b+b2
(a-b)2 = (a-b).(a-b)=a2-2.a.b+b2
(a+b).(a-b)=a2-b2
EBR MATEMATICA MOD I AULA 02.pmd 23/3/2004, 12:033
Conjuntos Numéricos e Operações II
4
Mate
máti
ca
Em nosso cotidiano podemos presenciar vários problemas envolvendo repetições de eventos, como porexemplo: de quanto em quanto tempo teremos o fenômeno do eclipse, seja lunar ou solar, ou de quanto emquanto tempo ônibus de linhas diferentes coincidem em chegar juntos ao terminal. São problemas relacionados àteoria do mínimo múltiplo comum.
Biólogos, químicos, astrônomos e muitos outros cientistas se utilizam de números cuja representação decimalé, no mínimo, assustadora. Por exemplo: os glóbulos vermelhos do sangue são algo em torno de 25 trilhões nocorpo humano, isto é, 25.000.000.000.000 de glóbulos ou 25.102 de glóbulos ou os físicos garantem que há27 quintilhões de moléculas em 1cm3 de ar atmosférico, isto é, 27.1018 de moléculas. Aí está a necessidade dateoria da potenciação. Além de existirem problemas físicos ou matemáticos que envolvem duas equações, cadauma apresentando duas incógnitas, daí a necessidade do estudo dos sistemas entre outras aplicações para osconteúdos referentes à teoria dos conjuntos.
0 10 10 10 10 1 Sendo a ∈ R, a>0, simplifique a expressão:
0 20 20 20 20 2 Achar o valor de cada potência:
a) (0,01)3=(1/100)3=1/1000000=0,000001= 10-6
b) 0,00000125=1,25.10-6
c) [29:(22.2)3]3=[29:(23)3]3=[29:29]3=13=1
d) 5.108.4.10-3=5.4.108.10-3=20.105=2.106
e) (1/2)-3+(1/2)-5=23+25=8+32=40
a
a a a + (a+1) a (a+1)2
(a+1)2 a +2a+12
a
a a 2
2 2
22
+ + + .=
= = =
= =
= =1a
a a a2
a a
1a
aa
aa
0 30 30 30 30 3
13+ 7 + 2 + 4 é igual a:
13+ 7 + 2 + 2 = 13+ 7 + 4 = 13+ 7+2 =
13+ 9 = 13 + 3 = 16 = 4
EBR MATEMATICA MOD I AULA 02.pmd 23/3/2004, 12:034
Conjuntos Numéricos e Operações II
5
Mate
mática
0 10 10 10 10 1 Simplificando a expressão , obtém-se:
0 20 20 20 20 2 O número é igual a:
0 30 30 30 30 3 A expressão (5-5)5 é igual a:
a) -1 b) 5-25 c) (-25)5
125
d) 5-10 e) nda
0 40 40 40 40 4 A expressão 2x+2.2x-2 é igual a:
a) 2x b) 24c) 22x
d) 2x2-4 e) nda
0 50 50 50 50 5 Se p=[(2-4.35.27)2]3/4, então:
a) p=213/4.319/4
b) p=223/4.331/4
c) p=29/2.315/2
d) p=233/2.315/2
e) nda
0 60 60 60 60 6 O número de elementos distintos da seqüência24; 42; 4-2; (-2)4; (-2)-4 é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) nda
0 70 70 70 70 7 Simplificando o número , vamos obter:
0 10 10 10 10 1 (ESPCEX) Efetue a operação (10-2)3. Qual oexpoente de base 10 resultante?
0 20 20 20 20 2 (CEFET-PR) Assinale a afirmativa correta:
a) 43 = (43)2
b) 43 ≠ (43)2
c) (43)2 = 49
d) (43)2 ≠ (42)3
e) 43 = 423
0 30 30 30 30 3 (UFBA) A expressão é igual a:
2
2
2
0 40 40 40 40 4 (ESSA) Calculando-se o valor da expressão:
, obteremos:
a) a16 b) a-15 c) a-16
d) a-16/15 e a15/16
0 50 50 50 50 5 (UEL-PR) A expressão (1/x+1/y)-1, para x≠-y≠0,é equivalente a:
a) x+y b) x-1+y-1 c) xy/x+yd) x-y/xy e) -1/x-1/y
0 60 60 60 60 6 (EPCAR) Se , então:
onde K é igual a:
a) 250 b) 72 c) -72d) zero e) 178
a a aa
+92
29
23+2 3+
a)
d)
b)
c)
c)2116
8518
1122
21112
18- -8 2
a) b) c) 0
d) 4 e) nda
18 18 - 6
2352
a) b) c)
d) e) nda
21 214 287
3
4
28
5000 500+
a) b) c)
d) e) nda
55102 2 5
2 5+
60 50 10+
50 5
-5 -6-7
3 2
2(-5) +(-6)
(-7)
3 2
2= =A Be
k49
=A-B
EBR MATEMATICA MOD I AULA 02.pmd 23/3/2004, 12:035
Conjuntos Numéricos e Operações II
6
Mate
máti
ca
0 70 70 70 70 7 (UFAL) A expressão éigual a:
a) 0 b) 90 c) 10
d) 3 10 e) nda
(M.S. André-SP) Simplificando a expressão:
2n+4 - 2.2n obtém-se: 2.2n+3
a) 2n-1-1/8 b) 7/8 c) -2n+1
d) 1-2n e) 7/4
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
10 . 1010+ 10-
EBR MATEMATICA MOD I AULA 02.pmd 23/3/2004, 12:036
1
Mate
mática
Nosso estudo, neste capítulo, é o das relações do ponto de vista matemático.Iniciamos pelo conceito de igualdade nas equações e resolução de sistemas passando então ao estudo das relações
mais importantes, que são chamadas de funções.
EQUAÇÕES DO 1º GRAUEQUAÇÕES DO 1º GRAUEQUAÇÕES DO 1º GRAUEQUAÇÕES DO 1º GRAUEQUAÇÕES DO 1º GRAU
Denomina-se equação do 1º grau na incógnita x, aqualquer expressão matemática que pode ser escrita(reduzida) na forma:
a.x+b = 0termo independente de xincógnitacoeficiente de x (a≠0)
Determinar a solução de uma equação significa obter,através de propriedades ou processos algébricos, o valorda incógnita x que verifica a igualdade.
Exemplo:
1) 2.x - 5 =7
Fazendo uma analogia da igualdade com uma balançatemos que manter a igualdade, incluir uma mesmaquantidade em ambos os lados para mantermos o equilíbrio.
Somamos 5 em ambos os membros.
Equações e Funções do 1º GrauEquações e Funções do 1º GrauEquações e Funções do 1º GrauEquações e Funções do 1º GrauEquações e Funções do 1º Grau
2x - 5 = 7
2x - 5 + 5 = 7 + 5
Incluindo um mesmo peso em ambos os lados(membros) da balança (igualdade) chegamos ao valor de xque satisfaz a equação e obtemos o conjunto solução.
REGRA PRÁTICA:REGRA PRÁTICA:REGRA PRÁTICA:REGRA PRÁTICA:REGRA PRÁTICA:
1) Todo número que está somando de um lado da igualdadepassa para o outro lado subtraindo;
2) Todo número que está subtraindo de um lado da igualdadepassa somando para o outro lado;
3) Todo número que está multiplicando de um lado daigualdade passa dividindo para o outro lado;
4) Todo número que está dividindo de um lado da igualdadepassa multiplicando para o outro lado.
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: Atenção ao raciocínio da balança na utilizaçãoda regra prática.
2x = 12
2x = 122 2
x = 6
S={6}
Dividimos por 2 ambos os membros.
EBR MATEMATICA MOD I AULA 03.pmd 23/3/2004, 12:031
Equações e Funções do 1º Grau
2
Mate
máti
ca
1) Vamos usar a regra prática para resolver amesma equação:
2x-5=7 ⇒ 2x=7+5 ⇒ 2x=12⇒⇒ x=12/2 ⇒ x=6, logo S = {6}
2) x/3-5=-3 ⇒ x/3=-3+5 ⇒ x/3=2⇒⇒ x=2.3 ⇒ x=6, logo S = {6}
3) 5x-10=-6+3x ⇒5x-3x=-6+10⇒⇒2x=4 ⇒ x=4/2 ⇒ x=2, logo S= {2}
No caso de frações com denominadores diferentesdevemos reduzi-las a um mesmo denominador utilizandoo mmc e proceder da maneira anteriormente citada.
4) 3x/5+1/2=x/10 mmc {5; 2; 10} = 106x+5/10=x/106x+5=x6x - x=-55x=-5x=-5/5=-1, logo S={-1}
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1ºSISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1ºSISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1ºSISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1ºSISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1ºGRAUGRAUGRAUGRAUGRAU
Resolver um sistema de duas equações do 1º graucom duas incógnitas significa obter dois valores queverifiquem as duas equações simultaneamente, quandosubstituídos nas mesmas. A solução de um sistema assimconstituído é, portanto, um par de valores.
Vamos citar dois processos para a obtenção dasolução do sistema.
PROCESSO DE SUBSTITUIÇÃOPROCESSO DE SUBSTITUIÇÃOPROCESSO DE SUBSTITUIÇÃOPROCESSO DE SUBSTITUIÇÃOPROCESSO DE SUBSTITUIÇÃO
Consiste em isolar uma incógnita numa equação esubstituí-la na outra equação do sistema, recaindo-se numaequação do 1º grau.
Exemplo:
Substituindo novamente, temos:
y=1+2.(-1/8)
y=1-1/4⇒y=3/4, portanto S= {(-1/8, 3/4)}
PROCESSO DE ADIÇÃOPROCESSO DE ADIÇÃOPROCESSO DE ADIÇÃOPROCESSO DE ADIÇÃOPROCESSO DE ADIÇÃO
Consiste em deixar nas duas equações os coeficientesde uma mesma incógnita opostos. Desta forma, somam-se membro a membro as duas equações, recaindo-se emuma equação com uma incógnita.
Exemplo:
FUNÇÃO DO 1º GRAU (LINEAR EFUNÇÃO DO 1º GRAU (LINEAR EFUNÇÃO DO 1º GRAU (LINEAR EFUNÇÃO DO 1º GRAU (LINEAR EFUNÇÃO DO 1º GRAU (LINEAR EAFIM)AFIM)AFIM)AFIM)AFIM)
Def in içãoDef in içãoDef in içãoDef in içãoDef in ição
Dados dois conjuntos A e B, diremos que uma relaçãode A em B é uma função se, e somente se, nesta relaçãopara todo x com x∈A tivermos um único y, y∈B. E a funçãovai ser o conjunto formado pelos pares ordenados (x,y).
f: A→B = {(x, y) / y=f(x) com x∈A e y∈B}e y é chamado de imagem da variável x através da função f.
DOMÍNIODOMÍNIODOMÍNIODOMÍNIODOMÍNIO, CONTRA, CONTRA, CONTRA, CONTRA, CONTRA-DOMÍNIO E-DOMÍNIO E-DOMÍNIO E-DOMÍNIO E-DOMÍNIO ECONJUNTO IMAGEMCONJUNTO IMAGEMCONJUNTO IMAGEMCONJUNTO IMAGEMCONJUNTO IMAGEM
-2x+y=1 y=1+2x2x+3y=2 substituindo, temos:
2x+3.(1+2x)=22x+3+6x=28x=2-3x=-1/8
2x+3y=8 multiplicado por 25x-2y=1 multiplicado por 3, obtemos
4x+6y = 1615x-6y = 3
19x = 19
x= 19 19
= 1
Substituindo na 1ª equação2x+3y=82.1+3y=83y=6y=2, portanto S = {(1, 2)}
Conjunto ImagemIm (f)
A Bf
f : A B (função de A em B);A (Conjunto Domínio, D (f) );B (Conjunto Contra-Domínio, C D (f) );
{
{
EBR MATEMATICA MOD I AULA 03.pmd 23/3/2004, 12:032
Equações e Funções do 1º Grau
3
Mate
mática
E do subconjunto formado por todas as imagens doselementos do domínio através da função f(y=f(x)),chamadas de Conjunto Imagem(Im (f));
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: O conjunto imagem é um subconjunto doContra-Domínio (Im (f) ⊂ ICID (f));
A projeção dos pontos do gráfico de uma função sobreo eixo das abscissas (eixo x) é o domínio da mesma;
A projeção dos pontos do gráfico sobre o eixo dasordenadas (eixo y) é a imagem da mesma;
Quando não for definido o domínio de uma funçãoreal, subentende-se, por convenção, que ele seja o conjuntode todos os números reais para os quais seja possível definira função.
CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTOCRESCIMENTO OU DECRESCIMENTOCRESCIMENTO OU DECRESCIMENTOCRESCIMENTO OU DECRESCIMENTOCRESCIMENTO OU DECRESCIMENTODE UMA FUNÇÃODE UMA FUNÇÃODE UMA FUNÇÃODE UMA FUNÇÃODE UMA FUNÇÃO
a) Função Crescente ⇒ x1>x2 ⇒ f(x1) > f(x2)b) Função Decrescente ⇒ x1>x2 ⇒ f(x1) < f(x2)c) Função Constante ⇒ x1>x2 ⇒ f(x1) = f(x2)
A B
Relaçãonão é função
A B
Relaçãonão é função
VERIFICAÇÃO AVERIFICAÇÃO AVERIFICAÇÃO AVERIFICAÇÃO AVERIFICAÇÃO ATRATRATRATRATRAVÉS DOVÉS DOVÉS DOVÉS DOVÉS DODIAGRAMA DE VENNDIAGRAMA DE VENNDIAGRAMA DE VENNDIAGRAMA DE VENNDIAGRAMA DE VENN
y
x0Domínio
y
x0
Imagem
A Bf
funçãof: A B
Verificação através do Gráfico:y
x0
REPRESENTA UMA FUNÇÃO
EBR MATEMATICA MOD I AULA 03.pmd 23/3/2004, 12:033
Equações e Funções do 1º Grau
4
Mate
máti
ca
y
x0
NÃO REPRESENTA UMA FUNÇÃO
No gráfico de uma função quando traçamos retasparalelas do eixo y o gráfico é cortado em apenas um ponto.
No diagrama de setas (Venn) quando é função temosuma única seta saindo de todos os elementos.
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: Numa função f: A→B, onde x∈A e y∈B, x échamado de variável independente, ao passo que y échamada variável dependente de x (y=f(x)).
FUNÇÃO CONSTFUNÇÃO CONSTFUNÇÃO CONSTFUNÇÃO CONSTFUNÇÃO CONSTANTEANTEANTEANTEANTE
f: A→Bf(x)=k, onde k é uma constante pertencente a B.
y
x0
k
x y
-2-1012
22222
Tabela de Valores
Exemplo:
f: R → Rf (x) = 2
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: O gráfico sempre é uma reta paralela ao eixoy, quando o domínio é R.
FUNÇÃO DO 1º GRAUFUNÇÃO DO 1º GRAUFUNÇÃO DO 1º GRAUFUNÇÃO DO 1º GRAUFUNÇÃO DO 1º GRAU
f: A→Bf (x) = ax+b(a≠0)Se x=0 então y=b, valor no qual o gráfico corta
o eixo y.Se y=0 então x=x1, raiz ou zero da função.
x0
2
Gráfico
-1-2 1 2
x0
y
(0, b)
(x , 0)1
a>0
x0
y
(x , 0)1
a<0
(0, b)
Função Crescente
Função Decrescente
EBR MATEMATICA MOD I AULA 03.pmd 23/3/2004, 12:034
Equações e Funções do 1º Grau
5
Mate
mática
x y
-2-1012
-4-3-2-10
x0
y
(1;-1)(0;-2)
(2;0)
(-1;-3)(-2;-4)
Com freqüência, estabelecemos relações que podem envolver pessoas, objetos, grandezas, etc...Na física, quando estudamos o movimento de um móvel, estabelecemos relações entre distâncias percorridas
e o tempo gasto para percorrê-las.Na biologia, é freqüente estudarmos o crescimento de bactérias em um determinado meio de cultura, analisando a
relação entre a variação da quantidade de bactérias em um dado intervalo de tempo.Na geografia, relações são estabelecidas entre crescimento da população de uma dada região em determinado
período de tempo.
0 10 10 10 10 1 Seja a função linear representada no gráfico abaixo,determine sua lei de formação.
0 20 20 20 20 2 Resolva o sistema:
2(x+1)-3(y+2)=x4y+4=2x-5
2x+2-3y-6=x4y+4=2x-5
x-3y=4-2x+4y=-9Isolando x na 1ª equação:x=3y+4Substituindo na 2ª equação:-2x+4y=-9-2(3y+4)+4y=-9-6y-8+4y=-9-2y=-1y=1/2Substituindo na 1ª equação:
x=3y+4x=3.1/2+4x=11/2, portantoS={(11/2, 1/2)}
x0
y
(2;0)
(0;1)
(x, y) y=ax+b
(0, 1) 1=a.0+b
(2, 0) 0=a.2+b
b=1
2a+b=0
2a+1=0
a=-1/2, logo
y=-1/2x+1
→→ →
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: O gráfico é sempre uma reta.
Exemplos:
01) f: R→ Rf(x) = x -2
02) f: R→ Rf(x) = -x +2
x0
y
(1;1)(0;-2)
(2;0)
(-1;3)
(-2;-4)
x y
-2-1012
43210
{{{
EBR MATEMATICA MOD I AULA 03.pmd 23/3/2004, 12:035
Equações e Funções do 1º Grau
6
Mate
máti
ca
0 10 10 10 10 1 A soma das duas soluções da equação:
a) zero b) 1 c)
d) 5 e) 6
0 20 20 20 20 2 A solução do sistema 2x-y=3x+y=3 é:
a) x=1 , y=1b) x=2 , y=1c) x=1 , y=2d) x=1 , y=0e) nda
0 30 30 30 30 3 O gráfico abaixo é o da reta y=ax+b, quando:
a) a<2b) a<0c) a=0d) a>0e) a=2
0 40 40 40 40 4 Uma reta tem equação 3x-y+6=0. Assinale oponto que pertence à reta dada:
a) (0, 6)b) (-1; -2)c) (-1; 3)d) (1; 0)e) (2; 1)
x0
y
0 50 50 50 50 5 Se f(x)=7x+1, então f(12) - f(9) é igual a:3
a) -1 b) 3 c) 5d) 7 e) nda
0 60 60 60 60 6 Seja a função linear y=ax-4. Se y=10 para x=-2, entãoo valor de y para x=-1 é:
a) 3 b) 4 c) -7d) -11 e) nda
0 70 70 70 70 7 A raiz da equação 2(x+1)=3.(2-x) é um númeroracional:
a) menor que -1;b) compreendido entre -1 e 0;c) compreendido entre 0 e 1;d) maior que 1;e) nda.
0 80 80 80 80 8 A solução da equação é:
a) 1/2b) -1/2c) 2d) -2e) nda
0 10 10 10 10 1 (UGF-RJ) A solução da equação 5(x+3)-2(x-1)=20 é:
a) 3b) 1c) 0d) 9e) nda
0 20 20 20 20 2 (UFMT) O número que somado aos seus 2/3resulta 30 é:
a) ímpar; b) primo;c) divisor de 30; d) múltiplo de 9;e) nda.
0 30 30 30 30 3 (FIB-RJ) Resolva a equação:
a) {-1; 3}b) {-1; 4}c) {1; -4}d) {1; 3}e) nda
0 40 40 40 40 4 (UEPG-PR) A função f: R→ R, tal que f(x)=ax+b,a≠0 é representada graficamente por uma:
a) parábola; b) hipérbole; c) reta;d) elipse; e) nda.
{
44 - 3
4 -x
=x é
2(x+3) (2x-1) 163 2+5. =5x+
17 8
x-23x
2x-12
5x+26+ =
EBR MATEMATICA MOD I AULA 03.pmd 23/3/2004, 12:036
Equações e Funções do 1º Grau
7
Mate
mática
0505050505 (FMJ-RJ) A razão entre dois números é 3/8. Se a soma domaior com o dobro do menor é 42, o maior deles é:
a) 9b) 15c) 24d) 30e) nda
0 60 60 60 60 6 (FUVEST-SP) O dobro de um número mais sua terçaparte, mais a sua quarta parte somam 31.Determine o número:
0 70 70 70 70 7 (UFGO) Diminuindo-se 6 anos da idade de minhafilha, obtêm-se os 3/5 de sua idade. A idade de minhafilha, em anos, é:
a) 10 b) 15 c) 12d) 18 e) nda
(CATANDUVA-SP) Eu tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a idade que você tem. Quando você tiver a idadeque eu tenho a soma das nossas idades será 72 anos. A minha idade é:
a) 24 anos;b) 32 anos;c) 8 anos;d) 40 anos;e) nda.
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
EBR MATEMATICA MOD I AULA 03.pmd 23/3/2004, 12:037
1
Mate
máti
ca
Estudaremos, agora, as equações do 2º grau de coeficientes reais. A resolução das equações do 2º grau temimportância fundamental para o estudo das funções do 2º grau que veremos no próximo capítulo.
EQUAÇÕES DO 2º GRAUEQUAÇÕES DO 2º GRAUEQUAÇÕES DO 2º GRAUEQUAÇÕES DO 2º GRAUEQUAÇÕES DO 2º GRAU
Uma equação em “x” é dita do 2º grau, quando podeser escrita na forma:
Equações do 2º GrauEquações do 2º GrauEquações do 2º GrauEquações do 2º GrauEquações do 2º Grau
portanto S={2, 3} duas raízes reais e distintas.
a.x +b.x+c=02
termo independente de xcoeficiente de xcoeficiente de x (a 0)onde x é a incógnita
2 ≠
x= (Fórmula de Bhaskara)- b ± b -4.a.c2
2.a
Como o ∆<0 (discriminante é negativo) dizemosque a equação não possui raízes reais, S=∅.
portanto S={2} duas raízes reais e iguais (raiz dupla).
1) x2-5x+6=0∆= b2-4.a.c∆= (-5)2 -4.1.6 = 25 - 24 = 1
a=1b=-5c= 6
b 2a
± ∆
5 2± 1
5 + 2
1 62
5 - 2
1 42
-(-5) 12.1
±x=
x=
x =1 = = 3
x =2 = = 4
x=⇒
⇒
⇒
2) x2-4x+4=0∆=b2-4.a.c∆=(-4)2-4.1.4=16-16=0
a =1b=-4c = 4
3) x2+x+1=0
∆=b2-4.a.c∆=(1)2-4.1.1∆=-3
a =1b=1c =1
A expressão b2-4.a.c, normalmente indicada pela letragrega ∆ (delta maiúscula), é chamada de discriminante daequação.
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: ∆= b2-4.a.c
1) ∆>0 ⇔ A equação possui duas raízes reais edistintas.
2) ∆=0 ⇔ A equação possui duas raízes reais eiguais (ou uma raiz dupla).
3) ∆<0 ⇔ A equação não possui raízes reais.
Exemplo:
Aplicação da fórmula de Bhaskara para resoluçãodas equações do 2º grau:
Resolver uma equação do 2º grau significa determinar,através de processos algébricos, o valor ou valores de “x”que verificam a igualdade correspondente à equação.
A partir dos coeficientes a, b e c da equação genéricado 2º grau ax2+bx+c=0 (a¹0) é possível demonstrar aexistência de uma relação (estabelecida através de umafórmula) entre as raízes (valores de x que verificam aigualdade) e aqueles coeficientes, ou seja:
b± ∆2a
4 ± 02
4 + 02
62
4 - 02
42
-( -4)± 02.1x=
x=
x =1 = = 2
x =2 = = 2
x=⇒
Þ
⇒
⇒
EBR MATEMATICA MOD I AULA 04.pmd 23/3/2004, 12:031
Equações do 2º Grau
2
Mate
mática
EQUEQUEQUEQUEQUAÇÕES INCOMPLETAÇÕES INCOMPLETAÇÕES INCOMPLETAÇÕES INCOMPLETAÇÕES INCOMPLETAS:AS:AS:AS:AS:
A equação do 2º grau ax2+bx+c=0 será chamadaincompleta se, e somente se, pelo menos um doscoeficientes b ou c for nulo. O conjunto solução dessasequações pode ser obtido sem o uso da fórmula estudadaanteriormente, como veremos nos exemplos a seguir.
Exemplos:
1) Quando o coeficiente c=0:
x2-2x=0 a=1b=-2c=0
Podemos utilizar a fórmula, mas faremos de um modoparticular.
x2-2x=0 ⇒ x(x-2)=0 ⇒ ⇒ x=0 ou x-2=0 ⇒ x=2, portanto
S = {0; 2}.
2) Quando o coeficiente b=0:
x2-4=0 a=1b=0c=-4
Podemos utilizar a fórmula, mas faremos de um modoparticular.
x2-4=0 ⇒ x2=4 ⇒ x=± 4 ⇒ x=±2,portanto S = {-2; +2}.
A fórmula resolutiva para uma equação do 2º grau foi apresentada pela primeira vez no livro do matemáticohindu Bhaskara que nasceu no ano de 1114. O caminho seguido por Bhaskara para deduzir a fórmula consistiuem completar um quadrado perfeito.
Dada a equação ax2+bx+c=0, a≠0, vamos multiplicar ambos os membros por 4a:
4a2x2+4abx+4ac=0
Vamos subtrair 4ac de ambos os membros:
4a2x2+4abx+4ac-4ac=0-4ac
Vamos adicionar b2 a ambos os membros:
4a2x2+4abx+b2=b2-4ac
Fatorando o 1º membro:
(2ax+b)2=b2-4ac
Indicando o 2º membro por ∆ (delta):
Se ∆ >0, teremos 2ax+b=±
Isolando x do 1º membro:
Obtendo, assim, a fórmula.
b 2a
± ∆x=
∆
EBR MATEMATICA MOD I AULA 04.pmd 23/3/2004, 12:032
Equações do 2º Grau
3
Mate
máti
ca
0 10 10 10 10 1 Resolver a equação 2x2-5x+1=0.
a=2b=-5c=1∆=b2-4ac=25-8=17
0 20 20 20 20 2 Resolver a equação x2-8x+15=0.
a=1b=-8c=15∆=b2-4ac=(-8)2-4.1.15=4
Resolver as equações:
0 10 10 10 10 1 x2-6x+9=0
0 20 20 20 20 2 x2+1=0
0 30 30 30 30 3 x2-9x+14=0
0 40 40 40 40 4 x2-4x+5=0
0 50 50 50 50 5 -x2+9=0
0 60 60 60 60 6 -x2+7x-10=0
0 70 70 70 70 7 -x2+16x=0
0 10 10 10 10 1 (UFES) A equação x2-10x+25=0 tem asseguintes soluções no conjunto dos númerosreais:
a) Somente 5b) Somente 10c) -5d) 5 e 10e) nda
0202020202 (UCM-SP) As raízes da equação 2x2-10-8x=0 são:
a) {1; 5}b) {2; 3}c) {-1; 5}d) {-1; -5}e) nda
0 30 30 30 30 3 ( P U C - S P ) U m a d a s r a í z e s d a e q u a ç ã o0 ,1 x 2-0,7x+1=0 é:
a) {0,2}b) {0,5}c) 7d) 2e) nda
0 40 40 40 40 4 (FIB-RJ) Resolva a equação:
a) {-1; 3}a) {-1; 4}a) {1; -4}a) {1; -3}a) nda
-(-5)± 172.2
5± 174
5+ 174
5- 174
5+ 174
5- 174
x=
S= ,
x =1
x =2
=-(-8)± 4
2.18 ± 2
4x=
S={5,3}
x =51
x =32
=
x-23x
2x-12
5x+26+ =
EBR MATEMATICA MOD I AULA 04.pmd 23/3/2004, 12:033
Equações do 2º Grau
4
Mate
mática
0 50 50 50 50 5 (FUVEST-SP) Se x(1-x)=1/4 então:
a) x=1b) x=1/2c) x=0d) x=1/4e) nda
0 60 60 60 60 6 ACAFE-SC) O conjunto-solução da equação
a) {-1/8}b) {0}c) {-8}d) {-2}e) Æ
0 70 70 70 70 7 ( UFSE) A equação , em R, é
verdadeira se x2 for igual a:
a) 0b) 1c) 4d) 1 ou 4e) nda
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
(URCAMP-RS) Um valor de x na equação ax2-(a2+3)x+3a=0 é: (a ≠ 0)
a) 3ab) a/3c) -a/3d) 3/ae) -3/a
x-32
12
+ =-3
2-x2+x
2x2-x- =1 sendo x ¹-2 e x ¹ 2 é:
EBR MATEMATICA MOD I AULA 04.pmd 23/3/2004, 12:034
1
Mate
máti
ca
É comum em nossa vida diária ordenarmos elementos de um conjunto, formando uma seqüência. Por exemplo, oconjunto dos meses do ano, o conjunto dos dias da semana, as letras do alfabeto, o conjunto dos números naturais, etc.
Quando os elementos de um conjunto são representados na forma ordenada, caracterizando a seqüência, escrevem-se os mesmos entre parênteses e não entre chaves.
Exemplo: A=(janeiro, fevereiro, ..., dezembro)
Note que cada elemento destes conjuntos ocupa uma determinada posição dentro da seqüência, e pode serrepresentado por uma letra minúscula seguida de um índice. Este índice é um número natural e correspondente à posiçãodo elemento na seqüência.
a1= janeiro (primeiro termo)a2= fevereiro (segundo termo)
. .
. .
. .
a12= dezembro (décimo segundo termo)
Seqüências, cujos elementos são números, são denominadas de seqüências numéricas. Elas podem ou não ter umalei de formação. Nosso interesse principal é o trabalho com dois tipos especiais de seqüências: Progressões Aritméticase Progressões Geométricas.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PPROGRESSÃO ARITMÉTICA (PPROGRESSÃO ARITMÉTICA (PPROGRESSÃO ARITMÉTICA (PPROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.).A.).A.).A.).A.)
Definição:É uma seqüência de números ou expressões algébricas
na qual cada termo, a partir do segundo, é obtido do termoanterior acrescentando-se uma mesma constantedenominada razão.
Exemplos:
(1, 4, 7, 10, 13, ...) P.A. de razão igual a 3(1, -2, -5, -8, ...) P.A. de razão igual a -3(2, 2, 2, 2, ...) P.A. de razão igual a zero(r, 3r, 5r, 7r, ...) P.A. de razão igual a 2r
CLASSIFICAÇÃO DE UMA PCLASSIFICAÇÃO DE UMA PCLASSIFICAÇÃO DE UMA PCLASSIFICAÇÃO DE UMA PCLASSIFICAÇÃO DE UMA P.A..A..A..A..A.
– P.A. Crescente (razão positiva)– P.A. Decrescente (razão negativa)– P.A. Estacionária (razão nula)
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: A razão de uma P.A. é identificada pela letra r eé obtida fazendo-se a diferença entre um termo e seuantecedente, por exemplo:
r = a2 - a1 (segundo termo menos primeirotermo)
r = a3 - a2 (terceiro termo menos segundotermo)
Progressões AritméticasProgressões AritméticasProgressões AritméticasProgressões AritméticasProgressões Aritméticas
FÓRMULA DO TERMO GERALFÓRMULA DO TERMO GERALFÓRMULA DO TERMO GERALFÓRMULA DO TERMO GERALFÓRMULA DO TERMO GERAL
Esta relação permite a obtenção de qualquer termo daseqüência conhecendo-se a razão e o 1º termo.
a2 = a1 + ra3 = a2 + r = a1 + 2ra4 = a3 + r = a1 + 3ra5 = a4 + r = a1 + 4r...
an = an-1+r = a1 + (n-1).r
an = a1 + (n-1).r (fórmula do termo geral)
Exemplo:
Calcular o 26º termo da P.A. (-4, 1, 6, ...)r = 1 - (-4) = 5an = a1 + (n-1).ra26 = a1 + (26-1).ra26 = -4 + 25.5a26 = 121
EBR MATEMATICA MOD I AULA 05.pmd 23/3/2004, 12:031
Progressões Aritméticas
2
Mate
mática
PROPRIEDPROPRIEDPROPRIEDPROPRIEDPROPRIEDADES DE UMA PADES DE UMA PADES DE UMA PADES DE UMA PADES DE UMA P.A..A..A..A..A.
1) Em qualquer P.A., todo termo, excetuando-se o primeiroe o último, é a medida aritmética entre o antecedente e oconseqüente:
Exemplo:
(2, 5, 8, 11, 14, 17, ...)
2) Em qualquer P.A., a soma de dois termos eqüidistantesdos extremos é igual à soma dos extremos:
Exemplo:
(2, 5, 8, 11, 14, 17, 20)
a2+a6=a1+a7a3+a5=a1+a7
3) Em qualquer P.A. em que o número de termos é ímpar,o termo médio é a média aritmética dos extremos:
Exemplo:
(2, 5, 8, 11, 14, 17, 20)
TM=2+20=112
SOMA DOS TERMOS DE UMA PSOMA DOS TERMOS DE UMA PSOMA DOS TERMOS DE UMA PSOMA DOS TERMOS DE UMA PSOMA DOS TERMOS DE UMA P.A..A..A..A..A.
A soma dos n primeiros termos de uma P.A. podeser determinada por:
Exemplo:
Calcular a soma dos 200 primeiros números naturaispares.
a1=0r=2
a200=a1+(200-1).ra200=0+199.2a200=398
NOTNOTNOTNOTNOTAÇÃO ESPECIALAÇÃO ESPECIALAÇÃO ESPECIALAÇÃO ESPECIALAÇÃO ESPECIAL
Nos problemas envolvendo três números em P.A.,utiliza-se um artifício que permite a diminuição do númerode incógnitas. Se os números desconhecidos estão em P.A.,então:
a1=x-ra2=xa3=x+r
Exemplo:
Determine os ângulos internos de um triângulo,sabendo-se que estão em P.A. de razão 20º.
(x-r), x, x+r)Si=180º (soma dos ângulos internos do
triângulo)x-r+x+x+r=180º3x=180ºx=60º(60º-20º, 60º, 60º+20º) ou seja(40º, 60º, 80º)
a +a2
k-1 k+1a =k
(a +a )2
1 nTM=
(a +a ).n2
1 nS =n
(a +a ).n2
1 n
(0+398).2002
S =n
S =n =39800
2+825=
11+528=
8+14211=
ak+an-k+1=a1+an (k<n)
EBR MATEMATICA MOD I AULA 05.pmd 23/3/2004, 12:032
Progressões Aritméticas
3
Mate
máti
ca
0 10 10 10 10 1 Determinar a quantidade de múltiplos de 3 com doisalgarismos:
a1=12 an=99 r=3
an=a1+(n-1).r99=12+(n-1).399=12+3n-399=9+3n90=3nn=30, logo existem 30 múltiplos.
0 20 20 20 20 2 Numa P.A., o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. A razãodessa progressão é:
an+n=2a1+(n-1).r+n=21+(n-1).r+n=2(n-1).r=1-n
-(n-1)(n-1)r= =-1
Uma das muitas histórias contadas sobre a precocidade do matemático alemão Carl Friedrich Gaussrelata a sua experiência, quando ele tinha apenas 10 anos e freqüentava o terceiro ano primário, por voltado ano 1787.
Seu professor, Buttner, propôs à turma o seguinte problema: eles deveriam calcular a soma de todosos números inteiros, de 1 a 100.
Gauss, brilhantemente, resolveu o problema proposto em apenas alguns minutos e justificou suaresposta da seguinte forma:
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50 + 51 + ... + 97 + 98 + 99 + 100
50 + 51 = 101 ; 1 + 100 = 101 ; 2 + 99 = 101 ; ...
Ele somou o primeiro número com o último, o segundo com o penúltimo, o terceiro com oantepenúltimo e percebeu que os resultados obtidos eram iguais a 101. Observou também que os 100números, somados dois a dois, tem-se um total de 50 somas.
Desta forma, concluiu que a resposta seria obtida, multiplicando-se o valor de cada soma (101) pelototal de somas obtidas (50).
Então, a soma dos números inteiros de 1 a 100 foi dada por 50.101=5050. Note que a seqüênciade 1 a 100, proposta pelo professor, representa uma P.A. de razão 1.
De um modo geral, a partir deste raciocínio de Gauss, surgiu a fórmula da soma dos termos de umaP.A.
EBR MATEMATICA MOD I AULA 05.pmd 23/3/2004, 12:033
Progressões Aritméticas
4
Mate
mática
0 10 10 10 10 1 N a s e q ü ê n c i a , o s v a l o r e s d e x , y, z ,
a) 1, 9/8, 5/4b) 1/4, 3/8, 5/4c) 5/4, 9/8, 7/4d) 9/4, 13/8, 11/4e) 11/4, 9/8, 13/4
0 20 20 20 20 2 O valor de x para que (x+3, 2x+4, 4x+3) sejamtermos consecutivos de uma P.A. é:
a) -5b) -2c) 0d) 2e) 5
0 30 30 30 30 3 O terceiro termo de uma P.A. é 11 e a razão é 4. Asoma dos 20 primeiros termos é:
a) 790b) 800c) 810d) 820e) 830
0 40 40 40 40 4 Três números estão em P.A. A soma destes númerosé 15 e o seu produto 105. Qual a diferença entre omaior e o menor:
a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8
0 50 50 50 50 5 Em uma P.A. de nove termos, a soma a1+a9 vale 20.Então, a soma dos nove termos da progressão vale:
a) 75b) 80c) 85d) 90e) 95
0 60 60 60 60 6 Os termos da equação 5+x+ ... +30=105 formamuma P.A. Então o valor de x é:
a) 6b) 15c) 15/2d) 10e) 5/2
0 70 70 70 70 7 A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é n2+2n.O décimo termo dessa P.A. vale:
a) 17b) 18c) 19d) 20e) 21
0 10 10 10 10 1 (UFPA) Sabendo que a seqüência (1-3x, x-2, 2x+1) é umaP.A., determinar o valor de x:
a) -2b) 0c) 2d) 4e) 6
0 20 20 20 20 2 (CESGRANRIO) Em uma P.A. de 41 termos e derazão 9, a soma do termo do meio com o seuantecedente é igual ao último termo. Então, o termodo meio é:
a) 369 b) 189 c) 201d) 171 e) 180
0 30 30 30 30 3 (UFRN) O número de múltiplos de 7 entre 50 e 150é:
a) 9b) 12c) 14d) 16e) 23
0 40 40 40 40 4 A soma dos 10 primeiros termos de uma P.A., naqual o primeiro termo é igual a razão e a3+a8=18
12
58
34
78( , , , ,x, y, z,...)respectivamente
EBR MATEMATICA MOD I AULA 05.pmd 23/3/2004, 12:034
Progressões Aritméticas
5
Mate
máti
ca
0 60 60 60 60 6 (FGV-SP) A soma dos 50 primeiros termos de umaP.A. na qual a6+a45=160 é:
a) 3480b) 4000c) 4200d) 4320e) 4500
0 70 70 70 70 7 S e j a ( a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a k , . . . a 5 0 ) u m aprogressão aritmética. Se a2=14, a5-a3=18 eak=239, então k é igual a:
a) 26b) 27c) 28d) 29
(FUVEST-SP) Em uma Progressão Aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são:
1-a, -a, 11-a. O quarto termo desta P.A. é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
0 50 50 50 50 5 (PUC-RS) A soma dos n primeiros termos da
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
1n
1+nn2
2+nn2P.A.= , , ,... é:
3n-12n
4+2nn2
n+12
nn+1
1n2
a)
b)
c)
d)
e)
EBR MATEMATICA MOD I AULA 05.pmd 23/3/2004, 12:035
1
Mate
mática
FÓRMULA DO TERMO GERALFÓRMULA DO TERMO GERALFÓRMULA DO TERMO GERALFÓRMULA DO TERMO GERALFÓRMULA DO TERMO GERAL
Esta relação permite a obtenção de qualquer termo daseqüência conhecendo-se a razão e o 1º termo.
a2 = a1 . qa3 = a2 . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = a1 . q3
.
.
.
an = an-1.q = a1 . qn-1
an = a1 . qn-1 (fórmula do termo geral)
Exemplo:Calcular o 12º termo da P.G. (1/2, -1, 2, -4)
an = a1 . qn-1
a12 = a1 . q12-1
a12 = 1/2.(-2)11=-1024
PROPRIEDPROPRIEDPROPRIEDPROPRIEDPROPRIEDADES DE UMA PADES DE UMA PADES DE UMA PADES DE UMA PADES DE UMA P.G..G..G..G..G.
1) Em uma P.G. o valor absoluto de cada termo,excetuando-se os extremos, é a média geométrica entreos termos antecedentes e conseqüentes.
ak = ak-1.ak+1
Exemplo:
(-2, -4, -8, -16, ...)
-4 = (-2).(-8)
2) Em uma P.G., o produto de dois termos eqüidistantesdos extremos é igual ao produto dos extremos.
ak.an-k+1=a1.an (k<n)
Exemplo:
(2, 4, 8, 16, 32, 64)
a2.a5=a1.a6 a3.a4=a1.a6
I I
Vamos continuar nosso estudo sobre seqüências agora estudando as progressões geométricas.
DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoÉ uma seqüência de números ou expressões algébricas
na qual cada termo, a partir do segundo, é obtido do termoanterior, multipl icando-se uma mesma constantedenominada razão.
Exemplos:
(1, 10, 100, 1000, ...) P.G. de razão igual a 10(1, 1/2, 1/4, 1/8, ...) P.G. de razão igual a 1/2(1, -2, 4, -8, ...) P.G. de razão igual a -2(a, a2, a3, a4, ...) P.G. de razão igual a a
CLASSIFICAÇÃO DE UMA PCLASSIFICAÇÃO DE UMA PCLASSIFICAÇÃO DE UMA PCLASSIFICAÇÃO DE UMA PCLASSIFICAÇÃO DE UMA P.G. DE.G. DE.G. DE.G. DE.G. DERAZÃO IGUAL A RAZÃO IGUAL A RAZÃO IGUAL A RAZÃO IGUAL A RAZÃO IGUAL A qqqqq
PPPPP.G. CRESCENTE.G. CRESCENTE.G. CRESCENTE.G. CRESCENTE.G. CRESCENTE
1º Caso: (a1>0 e q>1)2º Caso: (a1<0 e 0<q<1)
PPPPP.G. DECRESCENTE.G. DECRESCENTE.G. DECRESCENTE.G. DECRESCENTE.G. DECRESCENTE
1º Caso: (a1<0 e q>1)2º Caso: (a1>0 e 0<q<1)
PPPPP.G. EST.G. EST.G. EST.G. EST.G. ESTAAAAACIONÁRIACIONÁRIACIONÁRIACIONÁRIACIONÁRIA
(q=1)
PPPPP.G. OSCILANTE.G. OSCILANTE.G. OSCILANTE.G. OSCILANTE.G. OSCILANTE
(q<0)
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: A razão q de uma P.G. é obtida fazendo-se oquociente entre um termo e seu antecedente.
Progressões GeométricasProgressões GeométricasProgressões GeométricasProgressões GeométricasProgressões Geométricas
aa
2
1
aa
3
2
aa
4
3q= (q 0)≠= = = ...
I I
12
q = = -2-1
EBR MATEMATICA MOD I AULA 06.pmd 23/3/2004, 12:031
Progressões Geométricas
2
Mate
máti
ca
3) Em uma P.G. em que o número de termos é ímpar, ovalor absoluto do termo médio é a média geométrica dosextremos:
⏐TM⏐= a1+an
Exemplo:
(-2, -4, -8, -16, -32)
⏐-8⏐= (-2).(-32)
SOMA DOS TERMOS DE UMA PSOMA DOS TERMOS DE UMA PSOMA DOS TERMOS DE UMA PSOMA DOS TERMOS DE UMA PSOMA DOS TERMOS DE UMA P.G..G..G..G..G.
A soma dos n primeiros termos de uma P.G. podeser determinada por:
LIMITE DA SOMA DOS TERMOSLIMITE DA SOMA DOS TERMOSLIMITE DA SOMA DOS TERMOSLIMITE DA SOMA DOS TERMOSLIMITE DA SOMA DOS TERMOS
Em uma P.G. decrescente, onde o número de termostende ao infinito e o termo an tende a zero, é possível obter-se o limite da soma dos infinitos termos desta P.G., atravésda relação:
Exemplos:
Calcular a soma dos termos das P.Gs.
PRODUTO DOS TERMOSPRODUTO DOS TERMOSPRODUTO DOS TERMOSPRODUTO DOS TERMOSPRODUTO DOS TERMOS
O produto dos n primeiros termos de uma P.G. podeser determinado por:
P= ± ⏐(a1.an)n⏐
Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: O produto será positivo se o número determos negativos for par, ou se não existirem termosnegativos;
O produto será negativo se o número de termosnegativos for ímpar.
Exemplo:
Calcular o produto dos termos da P.G.(1, 2, 4, ..., 256) q=2/1=2
an=a1.qn-1
256=1.2n-1
28=2n-1
n-1=8n=9
Pn= ± ⏐(a1.an)n⏐
P9=+ ⏐(1256)9⏐
P9= (1256)9
P9= (28)9
P9= 272=236
NOTNOTNOTNOTNOTAÇÃO ESPECIALAÇÃO ESPECIALAÇÃO ESPECIALAÇÃO ESPECIALAÇÃO ESPECIAL
Nos problemas que envolvem três números em P.G.,utiliza-se um artifício que permite a diminuição do númerode incógnitas. Se três números desconhecidos estão emP.G., então:
a1=x/qa2=xa3=x.q
Exemplo:
Determinar três números em P.G., sabendo-se queo produto dos mesmos é 64 e a soma é 14:
a q-aq-1n 1
a (q -1)q-1
1n
S =n
S =n
(q 1)≠
(q 1)≠
OU
a1-q
1S =∞ (n ; a 0)→∞ →n
a1-q
1
11-1/2
12-1/2
11/2
S =∞
S =∞S =∞ = = = 2
a q-aq-1n 1
1024.2-12-1
12
14
18
21
1/21
12
S =n
1, , , , ...
S =n =2047
q=
q=
=2
=
1)
2)
(1,2,4, ..., 1024)
xq
xq, x, x.q .x.x.q=64
x =643
x= =4643
EBR MATEMATICA MOD I AULA 06.pmd 23/3/2004, 12:032
Progressões Geométricas
3
Mate
mática
0 10 10 10 10 1 Obtenha a fração geratriz da dízima periódica0,555...
São duas P.Gs. possíveis: (2, 4, 8) ou (8, 4, 2).
No século passado, o cientista Malthus afirmou que “enquanto as populações crescem em progressãogeométrica, a produção de alimentos cresce em progressão aritmética”; causou muita polêmica e preocupação dosestudiosos da época. Hoje sabemos que Malthus estava errado.
0 20 20 20 20 2 Sabendo-se que numa P.G. o 1º termo é 1 e o 6ºt e r m o é 3 2 , a s s i n a l e a a l t e r n a t i v a q u ecorresponde ao produto dos 6 pr imeirostermos desta progres-são:
Pn= (a1.an)n
P6= (a1.a6)6= (1.32)6=(32)3=(25)3=215
0 10 10 10 10 1 O limite da soma dos termos de uma P.G. é 1 e oprimeiro termo é 2/3. O terceiro termo destaprogressão é:
a) 2/27b) 1/9c) -1/9d) 2/9e) 6
0 20 20 20 20 2 Se em uma P.G. a soma do terceiro com o quin-to termo vale 45 e a soma do quarto com o sextovale 135, então a razão é igual a:
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
0 30 30 30 30 3 A seqüência (2x+5, x+1, x/2, ...) com x∈ R éuma P.G. de termos positivos. O décimo terceirotermo dessa seqüência é:
a) 2b) 3-10
c) 3d) 310
e) 312
0 40 40 40 40 4 O número de termos da progressão (1, 3, 9, ...)compreendidos entre 100 e 1000 é:
a) 2b) 4c) 6d) 8e) maior que 8
9q
9q
, 4, 4.q
+4+4.q=14
4+4q-4q =14q2
10 100-648
±q=
4
4 10 68±
12
q=
q=2
q=
EBR MATEMATICA MOD I AULA 06.pmd 23/3/2004, 12:033
Progressões Geométricas
4
Mate
máti
ca
00000 55555 Para que a P.G. (a; aq; aq2; aq3; ...) seja crescenteé necessário e suficiente que:
a) q>1b) a<0 e 0<q<1c) a>0d) q>0e) nda
0 60 60 60 60 6 Numa P.G. de termos positivos, o primeiro termoé igual à razão e o segundo termo é 3. Qual é o oitavotermo da progressão?
a) 81b) 37
c) 27 3d) 273e) 333
0 70 70 70 70 7 A soma da série geométrica1/102+1/104+1/106+... é:
a) 1/9999b) 1/9c) 1/999d) 1/99e) 1/99999
0 10 10 10 10 1 (UFCE) Seja G= 3 π. 9 π .27 π ... O valor de G é:
a) πb) πc) π/2d) 1
0 20 20 20 20 2 ( U F R S ) A c a d a b a l a n ç o u m a f i r m a t e mapresentado um aumento de 10% em seucapital. A razão da progressão formada pelos capitaisnos balanços é:
a) 10b) 11/10c) 1/10d) 10/11e) 9/10
0 30 30 30 30 3 (CESGRANRIO) Os três primeiros termos de umaP.G. são a1= 2, a2= 3 2 e a3 = 6 2. Oquarto termo é:
a) 1/ 2 b) 1 c) 8 2d) 9 2 e) 1/2
0 40 40 40 40 4 (UFSE) Seja uma P.G. ilimitada de razão 1/8 e cujo 2ºtermo é 4. A soma dos infinitos termos dessaprogressão é:
a) 256/7b) 128/7c) 64/7d) 32/7e) 4/7
0 50 50 50 50 5 (CEFET-PR) A solução da equação2x+x/2+x/4+x/8 + ... = 6 em IR é:
a) 2b) 1/2c) 2d) 2 2e) 2/2
0 60 60 60 60 6 (UFPA) A soma da série infinita1+1/5+1/25+1/125 +... é:
a) 6/5b) 7/5c) 5/4d) 2e) 125
0 70 70 70 70 7 (PUC-SP) Somando-se um mesmo número a 1,3 e 2, nesta ordem, obtém-se uma P.G. O númerosomado é:
a) 4/3b) -7/3c) 5/3d) 2/3e) nda
EBR MATEMATICA MOD I AULA 06.pmd 23/3/2004, 12:034
Progressões Geométricas
5
Mate
mática(UEPG-PR) Sabe-se que o número de bactérias em um meio de cultura duplica de hora em hora. Se, ao final da
1ª hora, existem 2 bactérias nesse meio, qual o número de bactérias ao final de 10 horas?
a) 1024 b) 5130 c) 2048 d) 2046 e) 1023
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
EBR MATEMATICA MOD I AULA 06.pmd 23/3/2004, 12:035
1
Mate
máti
ca
Vamos continuar o estudo das funções com as funções do 2º grau.
FUNÇÃO DO 2º GRAU OUFUNÇÃO DO 2º GRAU OUFUNÇÃO DO 2º GRAU OUFUNÇÃO DO 2º GRAU OUFUNÇÃO DO 2º GRAU OUQUADRÁTICAQUADRÁTICAQUADRÁTICAQUADRÁTICAQUADRÁTICA
f: A → Bf(x)=ax2+bx+c(a≠0)
Funções do 2º Grau ou QuadráticaFunções do 2º Grau ou QuadráticaFunções do 2º Grau ou QuadráticaFunções do 2º Grau ou QuadráticaFunções do 2º Grau ou Quadrática
Se y=0 então x=x1 e x=x2 raízes ou zero da função.Se x=0 então y=0 ponto onde a função corta o eixo y.
Vértice: ou yv=f(xv)-b2ax =V
-4a∆y =V
∆>0 ∆=0 ∆<0
a>0
a<0
Obs.: O gráfico sempre é uma parábola.
y
x
(0, c)
x1 x2xv
y1
0
y
x
(0, c)
y =0v
0x =x =xv 1 2
y
x
(0, c)
yv
0 xv
y
x(0, c)
yv
0 xv
x1 x2
y
x
(0, c)
y =0v
x =x =xv 1 2
y
x
(0, c)
y1
xv
EBR MATEMATICA MOD I AULA 07.pmd 23/3/2004, 12:031
Funções do 2º Grau ou Quadrática
2
Mate
mática
Exemplos:
01) f(x)=x2-5x+6Igualando a zero, temos através da fórmula de
Bhaskara:x1=2
x2-5x+6=0x2=3
Tabela de Valores
Gráfico
Vértice
02) f(x)=-x2+5x-4Igualando a zero, temos através da fórmula de
Bhaskara:
x1=1
-x2+5x-4=0x2=4
Tabela de Valores
Gráfico
Vértice
O físico, astrônomo e matemático Galileu, em 1604, utilizando um plano inclinado, observou que, duranteo movimento dos corpos em queda livre, a relação entre o tempo e a distância percorrida era dada por: para cadavalor de tempo corresponde uma distância, que equivale a 33 vezes o quadrado de t. Dizemos então que adistância varia quadraticamente em relação ao tempo. Relação como esta representa uma função do 2º grau ouquadrática.
y
x
(0, 6) (3, 0)(2, 0) 5/2
(5/2, -1/4)-1/4
x y230
5/2
006
-1/4
x y140
5/2
00-49/4
y
x(0, -4)
(4, 0)(1, 0) (5/2, 9/4)
0
{ {
-b2a
-52.1
52
52
552
252
14
25-50+244
254
xV =
= +6= +6= =-- -2
= =
y =f(x )V V
-b2a
-52.(-1)
52xV = = =
-D4a
94
[5 -4.(-1).(-4)]4.(-1)
2
y =V = =−∆
EBR MATEMATICA MOD I AULA 07.pmd 23/3/2004, 12:032
Funções do 2º Grau ou Quadrática
3
Mate
máti
ca
0 10 10 10 10 1 Determine as coordenadas do vért ice dasparábolas abaixo:
0 20 20 20 20 2 Ache o conjunto imagem das funções:
0 10 10 10 10 1 A função quadrática y=(m2-4)x2-(m+2)x-1estádefinida quando:
a) m=4b) m≠4c) m≠±2d) m=±2e) nda
0 20 20 20 20 2 A parábola passa pelo ponto (1, 0). Então, a+b+c éigual a:
0 30 30 30 30 3 Se f(x)=x2+1/5, então f(2/5) é igual a:
a) 3/5b) 9/5c) 9/25d) 6/25e) nda
0 40 40 40 40 4 A função quadrática y=(m-3)x2-(m-2)x-1está definidaquando:
a) m=±3b) m≠3c) m=2d) m=±2e) m=3
0 50 50 50 50 5 As coordenadas do vértice da função y=x2-2x+1são:
a) (-1; 4)b) (-1; 1)c) (1; 0)d) (0; 1)e) nda
y
x0
-4
y
x01
-b2a
-b2a
02.1
-(-2)2.1
22
xV
xV
V (0,1)
V (1,0)
=
=
=f(0)=0 +1=12
=f(1)=1 -2.1+1=02
=
=
=1
==1
y =f(x )V V
y =f(x )V V
a)
b)
y=x +12
y=x -2x+12
a) y=x -42
Im(f)={ R/y³-4∈
-4a∆y =V =-4
Im (f) = {y ∈ IIIIIR⎥ y ≥ - 4}
b) y=x +2x+12
Im(f)={ R/y 0∈ ≤
-4a∆y =V =0
Im (f) = {y ∈ IIIIIR⎥ y ≤ 0}
EBR MATEMATICA MOD I AULA 07.pmd 23/3/2004, 12:033
Funções do 2º Grau ou Quadrática
4
Mate
mática
0 60 60 60 60 6 O gráfico da função f, de IR em IR, definida por f(x)=-2x2-x, é uma parábola cujo vértice é o ponto:
a) (-1/4; 1/2)b) (1/4; -1/2)c) (-1/4; -1/8)d) (1/4; 1/8)e) (-1/4; 1/8)
0 70 70 70 70 7 O gráfico da função quadrática y=x2+px+q tem umasó intersecção com o eixo dos x. Então os valores dep e q obedecem à relação:
a) q=p2/4b) q2=p/2c) q≠p2/4d) q2=4pe) q2=4q
0 10 10 10 10 1 (UNB-DF) Os valores que anulam a funçãoy=x2-5x+6 são:
a) positivos;b) negativos;c) pares;d) ímpares;e) nda.
0 20 20 20 20 2 (UEL-PR) A imagem da função f: IR → IR definida porf(x) =-x2+x-2 é:
a) (-∞; -2]b) [2; ∞)c) (-∞; 7/4]d) [7/4; ∞)e) (-∞; -7/4]
0 30 30 30 30 3 (PUC-BA) A parábola da equação y=2x2-3x+1 cortao eixo das abscissas nos pontos:
a) (0, 0) e (3, 0)b) (0, 1) e (0, 2)c) (0, 1) e (0, 1/2)d) (1, 0) e (1/2, 0)e) (2, 0) e (1, 0)
0 40 40 40 40 4 (MACK-SP) O ponto (k; 3k) pertence à curva dadapor f(x) =x2-2x+k; então, k pode ser:
a) -2b) -1c) 2d) 3e) 4
0 50 50 50 50 5 (PUC-SP) O grá f i co da função quadrát icaf(x)=x2+ax+3 passa pelo ponto P (1; 2), logo:
a) a=1b) a=3c) a=-1d) a=-2e) nda
0 60 60 60 60 6 (OSEC-SP) Se o gráfico da função y=ax2+bx+c(sendo a, b e c números reais) for tangente ao eixo x,então pode-se afirmar que:
a) b2>4acb) b2<4acc) b=4acd) 4ac=b2
e) nda
0 70 70 70 70 7 (UFES) Sendo y=ax2+bx+c, com a≠0 e x ∈ IR,considere ∆= b2-4ac, não havendo intersecção dográfico de y com o eixo das abscissas, quando:
a) ∆>0b) ∆<0c) ∆≥0d) a intersecção não depende de ∆e) nda
(FGV-SP) O lucro de uma empresa é dado por L(x)=100(10-x)(x-2), onde x é a quantidade vendida. Podemos afirmar que:
a) o lucro é positivo qualquer que seja o valor de x;b) o lucro é positivo para x maior que 10;c) o lucro é positivo para x entre 2 e 10;d) o lucro é máximo para x igual a 10;e) o lucro é máximo para x igual a 3.
EBR MATEMATICA MOD I AULA 07.pmd 23/3/2004, 12:034
Funções do 2º Grau ou Quadrática
5
Mate
máti
ca
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
EBR MATEMATICA MOD I AULA 07.pmd 23/3/2004, 12:035
Gabarito
1
Mate
mática
Conjuntos Numéricos e Operações I
Exercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de Aplicação
01- a) A∪B = {x ∈ Z | -3≤ x ≤ 9}b) A∩B = {x ∈ Z | 2 ≤ x ≤ 6}c) A-B = {x ∈ Z | 7 ≤ x ≤ 9}d) B-A = {x ∈ Z | -3 ≤ x ≤ 1}
02- a) [-6;5)b) (-4;3)c) [+3;+5)d) [-6;-4]
03- a) Fb) Vc) Vd) Fe) Vf) Vg) Fh) Vi) V
04- ( b )( a )( e )( d )( c )
05- 98 (02; 32; 64)06- e07- c
Questões de VQuestões de VQuestões de VQuestões de VQuestões de Vestibularesestibularesestibularesestibularesestibulares
01- b02- b03- d04- b05- d06- e07- e08- e09- c10- c
DesafioDesafioDesafioDesafioDesafio
Letra d
Conjuntos Numéricos e Operações II
Exercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de Aplicação
01- a02- c03- b04- c05- c06- b07- d
Questões de VQuestões de VQuestões de VQuestões de VQuestões de Vestibularesestibularesestibularesestibularesestibulares
01- -602- b03- c04- e05- c06- a07- d
DesafioDesafioDesafioDesafioDesafio
Letra b
Equações e Funções do 1º Grau
Exercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de Aplicação
01- c 02- b03- b 04- c05- d 06- a07- c 08- a
Questões de VQuestões de VQuestões de VQuestões de VQuestões de Vestibularesestibularesestibularesestibularesestibulares
01- b02- d03- e04- c05- c06- 1207- b
DesafioDesafioDesafioDesafioDesafio
Letra b
Equações do 2º Grau
Exercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de Aplicação
01- S = { 3 }02- S = ∅03- S = {2; 7}04- S = ∅05- S = {+3; -3}06- S = {2; 5}07- S = {0; 16}
Questões de VQuestões de VQuestões de VQuestões de VQuestões de Vestibularesestibularesestibularesestibularesestibulares
01- a 02- c03- d 04- e05- b 06- b07- d
DesafioDesafioDesafioDesafioDesafio
Letra d
EBR MATEMATICA MOD I GAB.pmd 23/3/2004, 12:031
Gabarito
2
Mate
máti
ca
Progressões Aritméticas
Exercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de Aplicação
01- a02- d03- d04- a05- d06- d07- e
Questões de VQuestões de VQuestões de VQuestões de VQuestões de Vestibularesestibularesestibularesestibularesestibulares
01- c02- b03- c04- 9005- a06- b07- b
DesafioDesafioDesafioDesafioDesafio
Letra b
Progressões Geométricas
Exercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de Aplicação
01- a02- c03- b04- a05- b06- a07- d
Questões de VQuestões de VQuestões de VQuestões de VQuestões de Vestibularesestibularesestibularesestibularesestibulares
01- b02- b03- b04- a05- c06- c07- b
DesafioDesafioDesafioDesafioDesafio
Letra a
Funções do 2º Grau ou Quadrática
Exercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de Aplicação
01- c02- a03- c04- b05- c06- e07- a
Questões de VQuestões de VQuestões de VQuestões de VQuestões de Vestibularestibularestibularestibularestibular
01- a02- e03- d04- e05- d06- d07- b
DesafioDesafioDesafioDesafioDesafio
Letra c
EBR MATEMATICA MOD I GAB.pmd 23/3/2004, 12:032
Equações Exponenciais
Matem
átic
a
PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS
Definição: Potência de um número é o produto
de fatores iguais a esse número.
Sendo “a“ um número real qualquer e “n“ um número
natural, temos que:
Ex.: 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243
Representação: onde:
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
I) PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA
BASE
“Conserva-se a base e soma-se os expoentes.”
Ex.: 42 . 46 = 42 + 6 = 48
II) DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
“Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes.”
Ex.: 57 : 53 = 57 - 3 = 54
III) POTÊNCIA DE UM PRODUTO
“Distribui-se a potência entre cada fator.”
Ex.: ( )5 5 1253 3 3 3⋅ = ⋅ = ⋅x x x
IV) POTÊNCIA DE UM QUOCIENTE
“Faz-se o mesmo que para a propriedade anterior.”
∀ ≠b 0
Equações ExponenciaisEquações ExponenciaisEquações ExponenciaisEquações ExponenciaisEquações Exponenciais
Vamos apresentar neste módulo, equações especiais, diferentes das que estamos habituados a resolver, pois agora
a incógnita aparece no expoente. São as equações exponenciais.
Resolver uma equação continua sendo encontrar os valores da incógnita que tornam a equação verdadeira. No caso
da equação exponencial, para resolvê-la, procuraremos obter sempre uma igualdade de duas potências de mesma base,
pois sabemos que, se duas potências de mesma base são iguais, então, seus expoentes também são iguais. Por exemplo,
para resolver a equação 3x = 243, podemos decompor o número 243, em fatores primos e escrevê-lo em forma de
potência, assim:
logo, como as potências têm bases iguais, seus expoentes também o devem ser,e portanto x = 5
Porém, como iremos trabalhar com potências, creio ser interessante relembrarmos algumas propriedades que
envolvem a potenciação. Vamos a elas:
533
2433
==
x
x
a a a a an
n fatores
= ⋅ ⋅ ⋅. ....
1 24 34
a pn =
→→→
potência
expoente
base
p
n
a
CASOS PARTICULARES E
CONSEQÜÊNCIAS DA
DEFINIÇÃO
1 1
2 1 1
3 0 0 0
4
51
0
0
1
)
)
) ,
)
) ,
a
n
a a
aa
a
n
n
nn
=
=
= ∀ ≠
=
= ∀ ≠−
a a am n m n⋅ = +
nmn
m
aa
a −=
a
b
a
b
n n
n
=
1)
2)
3)
4)
5)
( )a b a bn n n⋅ = ⋅
1
af.matematica parte 1.pmd 7/10/2004, 9:59 AM2
Equações Exponenciais
Matem
átic
a
Com base neste método, podemos identificar as
equações exponenciais em 4 tipos principais.
TIPO 1
Resolução: “Decomposição da a e b em fatores
primos, igualando as bases.”
Exemplo:
TIPO 2
Resolução: “Faz-se ,para a
obtenção de resolvendo então a
equação quadrática resultante e obtendo equações
exponenciais do Tipo 1 para encontrar x.”
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
Resolva a equação
Resolução:
TIPO 3
Equações em que nos expoentes incógnitos
figuram adições ou subtrações.
Resolução: “Utilize principalmente as propriedades de
potência I e II.”
V) POTÊNCIA DE POTÊNCIA
“Conserva-se a base e multiplica-se os expoentes.”
Ex.: ( )6 6 6 466562 3 2 3 6= = =.
VI) POTÊNCIA FRACIONÁRIA
“Transforma uma potência em uma raiz, ou vice-versa.”
Ex.:
ATENÇÃO!
≠
Ex.: ( )2 22 3 23
≠
2 2
64 256
6 8≠≠
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
MÉTODO DA REDUÇÃO A UMA BASE
COMUM
Como já observamos na Introdução deste módulo,
para resolvermos equações exponenciais comumente nos
atemos à reduzir os termos da equação em questão a uma
base comum. Para conseguirmos isso, apl icamos
transformações convenientes baseadas nas propriedades de
potências que acabamos de rever.
A idéia consiste em reduzirmos as potências a uma
mesma base a (0<a≠1), igualando seus expoentes então.
( )am n
amn
ba x =
( )
2
63
22
22
648
63
63
===
=
=
x
x
x
x
x
22 yy xx =⇒= αα02 =++ cbyay
0.. 2 =++ cba xx αα
0224 =−− xx
1 é equação da solução a Logo,
1222
2
31
1.2
2.1.411
020222
logo ,2 temos,2 então tomando
022202220224
2
22
22
2x2
=
-1=
=⇒=⇒=⇒
±=
---±--=
=--⇒=--
==
=--⇒=--⇒=--
x
Não Servey2
xy1
y
y
yy
yy
x
xx
xx
xxxxx
( )a am n m n= .
n mn
m
aa = 55 35
3
6444 ==
10 ≠<=⇒= acbaacb
01
2
af.matematica parte 1.pmd 7/10/2004, 9:59 AM3
Equações Exponenciais
Matem
átic
a
TIPO 4
Equações onde os índices das potências estão
na forma de radicais.
Resolução: “Transforma-se os radicais em potências
fracionárias através da propriedade VI.”
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
Resolva a equação
Resolução:
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
Resolva a equação
Resolução:
3063333211=++-
++- xxxx
{ }3
Logo
333273
34
9183
306.33.34
3063
3.273.93.33
3063.93.333
3
3063.33.333
3
3063333
3
21
1
==
=⇒=⇒=
=
=
=++-
=++-
=++-
=++-
xS
x
xx
x
x
xxxx
xxx
x
xxx
x
x+2x+1xx-1
3 112 48 −+ = xx
( )( )
−==
−=
−=−−=−
−=+
−=+
=
=
=
=
−+
−+
−+
−+
16
11 então,
16
11
1116
92218
229183
2236
22
22
42
48
3
2236
3
1236
3
1123
3 112x
xS
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
CONHECENDO MELHOR O INIMIGO.
Um tema muito debatido é a velocidade com que um país deve combater uma epidemia que se aproxima
de suas fronteiras.
O Ebóla, o Antraz, a SARS, e muitos outros problemas de saúde trazem preocupação constante a
pesquisadores do mundo todo.
Um dos métodos utilizados para o combate a grandes epidemias está em conhecer os fatores que a
envolvem, tais como o tempo que um parasita leva para se multiplicar de número, ficando então com perigo de
contaminação.
Você sabia que muitos parasitas possuem a capacidade de se reproduzirem exponencialmente?
Através da observação de colônias controladas de diversos parasitas, pesquisadores medem o tempo em
que um parasita torna-se perigoso, e com isso geram funções que determinam o tempo necessário para o
combate a uma epidemia. Vamos simular esse procedimento.
Imagine que iniciando com um único parasita, ele seja capaz de dobrar o seu número a cada 5 minutos, ou
seja, após 5 minutos já são 2 parasitas, após 10 minutos são 4, após 15 minutos, são 8 e assim por diante.
Sabendo que esse parasita torna-se perigoso quando atinge um número superior a 2048 espécimes, quando
tempo tem um cientista para combater o contágio deste parasita sem risco de contaminação?
02
03
3
af.matematica parte 1.pmd 7/10/2004, 9:59 AM4
Equações Exponenciais
Matem
átic
a
Determine o valor de x nas equações exponenciais a
seguir:
a) 2x=128
b) 1 x = 125
5
c) 9x=27
0 2 Resolva as seguintes equações exponenciais:
a) 9x+3x=90
b) 52x+5x+6=0
c) 4x-20.2x+64=0
0 3 Encontre a solução das seguintes equações exponenciais:
a)
b)
c)
parasita. ocombater paraminutos55possui cientista o portanto,
55115
2220482
logo
indivíduos2 minutosn
......................................................
indivíduos28 minutos15
indivíduos24 minutos10
indivíduos22minutos5
indivíduo1minutos0
1155n
5n
515
510
55
=⇒=⇒=⇒=
→
=→
=→
=→
→
nn
n
Solução:
50555512=+-
+- xxx
0 4 Solucione as equação exponenciais a seguir:
a)
b)
0 5 Determine os valores de x que satisfazem a equação
0 6 Resolva a equação exponencial
0 7 Resolva a equação exponencial
+
+
=
xx
xx
1
1
3
813
2
2
2
33
33=
-
+
-
-
xx
xx
xx 5100010.100 =
01
02
03
04
05
06
07
24022223323133=+++
+++ xxxx
2042.34.54.21212
=---+++ xxxx
2 235220525.5
---=-
x xx xx
6 351 32124.8
++ --=
xx xx
4
af.matematica parte 1.pmd 7/10/2004, 9:59 AM5
Equações Exponenciais
Matem
átic
a
0 1 (FATEC) O valor de x, tal que
a) 0,05
b) -0,05
c) 0,5
d) -0,5
e) 0,005
0 2 (FUVEST-SP) Dado o sistema:
pode-se dizer que x+y é igual a:
a) 18
b) -21
c) 27
d) 3
e) -9
0 3 (UFSC) Encontre o valor de x na equação
0 4 (UFMG) O valor de x que satisfaz a equação
é tal que:
a) 1 < x ≤ 2
b) 2 < x ≤ 3
c) 3 < x ≤ 4
d) 4 < x ≤ 5
e) 5 < x ≤ 6
410.1010
-0,2=
x
=
=
39
82
y-9y
x+1x
77555511=++
-+ xxx
162.6224
=-xx
0 5 (MACKENZIE – SP) Se 4x = 3 e 4y = 9, então
vale:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
0 6 (ITA-SP) A soma das raízes reais positivas da equação:
a) 0
b) 2
c) - 2
d) 2 2
e) 4
0 7 (UFSM) Sabendo que o valor
de é:
a) -3
b) 2
c) 3
d) 8
e) 16
(0,125)-4x+2y
042.54
22
=+-xx
27
3
11
=
-x
212 - x
8553 222.48
+-+++=
xxxcbxax1. (IME – RJ) Suponha que a equação seja válida para todo número
real x, em que a, b, e c são números reais. Então, a soma a + b + c é igual a:
a) 5/3
b) 17/3
c) 28/3
d) 12
e) -10
01
02
03
04
05
06
07
5
af.matematica parte 1.pmd 7/10/2004, 9:59 AM6
Equações Exponenciais
Matem
átic
a
6
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
af.matematica parte 1.pmd 7/10/2004, 9:59 AM7
Logaritmos
Matem
átic
a
DEFINIÇÃO
Dados os números reais b (positivo e diferente de
1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação bx = N,
dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é
expresso simbolicamente da seguinte forma:
Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de
logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o
logaritmo.
Exemplos:
a) log28 = 3 porque 23 = 8.
b) log41 = 0 porque 40 = 1.
c) log39 = 2 porque 32 = 9.
d) log55 = 1 porque 51 = 5.
Em matemática se convenciona que quando a base
do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão
logar itmo decimal e na representação simból ica
escrevemos somente log N ao invés de log10
N. Assim é
que quando escrevemos logN=x, devemos concluir pelo
que foi exposto, que 10x=N.
O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo
inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar
os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos
logaritmos, podem-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras
transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-
se dizer que o nome LOGARITMO É UMA NOVA DENOMINAÇÃO PARA EXPOENTE, conforme veremos a seguir.
Façamos o seguinte, sabemos que 52 = 25 , onde 5 é a base, 2 o expoente e 25 a potência, na linguagem dos
logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Não parece simples? E realmente é simples, veja:
Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log 5
25 = 2
Outros exemplos:
LogaritmosLogaritmosLogaritmosLogaritmosLogaritmos
Também existe um sistema de logaritmos
chamado neperiano (em homenagem a John Napier, seu
criador), cuja base é o número irracional e = 2,7183...
e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim, logeM
= ln M. Esse sistema de logaritmos, também conhecido
como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação
no estudo de diversos fenômenos da natureza.
Exemplos:
a) log100 = 2 porque 102 = 100.
b) log1000 = 3 porque 103 = 1000.
c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2.
d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3.
e) ln e = 1 porque e1 = e = 2,7183...
f) ln 7 = loge7
Vale a pena ressaltar que, pela definição de
logaritmo, conclui-se que somente os números reais
positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as
expressões log3(-9) , log
20 , etc.
NbxN xb =⇔=log
01loglog18
2625loglog62525
481loglog813
216loglog164
8
0
25
2
3
4
4
2
==
==
==
== l o g41 6 = 2
l o g38 1 = 4
log25
625=2
l o g81 = 0
1
af.matematica parte 2.pmd 7/13/2004, 2:41 PM2
Logaritmos
Matem
átic
a
3. LOGARITMO DE UMA POTENCIA
Temos a seguinte fórmula:
Exemplo: log5256 = 6.log
525
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1. Simplifique a expressão logarítmica
, sabendo que
Solução:
Encontre o valor de x, sabendo que log 2 = 0,301 e
log 3 = 0,477, em x = log 720
log 625
a) 1,208
b) 1,084
c) 0,278
d) 1
e) 2,879
CONSEQÜÊNCIAS
IMEDIATAS DA DEFINIÇÃO
São de rápida demonstração as seguintes
conseqüências da definição de logaritmos:
1. O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:
2. O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja:
3. Se logbM = log
bN então podemos concluir que
M=N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de
exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos
(equações logarítmicas).
4. Um número b elevado ao logaritmo de M na base
igual a b é igual ao logaritmando M, ou seja:
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
DOS LOGARITMOS
1. LOGARITMO DE UM PRODUTO
O logaritmo de um produto é igual a soma dos
logaritmos dos fatores, ou seja:
Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 .
(Observe que como a base não foi especificada, sabemos
que ela é igual a 10.)
2. LOGARITMO DE UM QUOCIENTE
O logaritmo de uma fração ordinária é igual à diferença
entre os logaritmos do numerador da fração e do
denominador, ou seja:
Exemplo: log0,02 = log 2/100 = log2 - log100
2
3
2.
log
=
C
BAx
.1log5log,2log -=== CeBA
101log 0 == bporqueb
bbporquebb == 11log
Mb Mb =log
NMNM bbb loglog).(log +=
NMN
Mbbb logloglog −=
MKM bK
b log.log =
( )( )
( )
( )( ) 301.35.22.2
log.3log.2log.2
log.3loglog.2
log.log.2
.log.2
.log
2
32
3
22
3
2
=--+
=-+=
-+
=-
==
=
CBAx
CBA
CBA
C
BA
C
BAx
01
02
2
af.matematica parte 2.pmd 7/13/2004, 2:41 PM3
Logaritmos
Matem
átic
a
4. COLOGARITMO
Chamamos de cologaritmo de um número positivo
N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de
N, também na base b. Ou seja:
Exemplo: colog10 = -log10
Solução:
Resposta: Letra B.
NNco bb loglog −=
( ) ( )
084,1796,2
033,3
699,0.4
1477,0.3301,0.2
301,01.4
12log33log2
2log10log.4
18log9log
2
10log.4
18.9log
5log.4
10log72log
5log
10.72log
625log
720log4
≅=++
=
-
++=
-
++=
+
=+
===
x
x
MUDANÇA DE BASE
Às vezes, para a solução de problemas, temos a
necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos,
ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e
desejamos obter o logaritmo de N numa base a . Esta
mudança de base, muito importante na solução de
exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a
seguir:
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Encontre o valor de log25
12510:
Solução:
NUNCA É DEMAIS UTILIZARMOS...
01 Na resolução de problemas, é sempre muito mais
conveniente mudar um log de uma base maior para uma
base menor, pois isto simplifica os cálculos.
152
3.10125log
:
25525525log
3551255125log
25log
125log.10125log.10125log
1025
25
35
5
525
1025
==
=⇒=⇒=⇔=
=⇒=⇒=⇔=
==
temos
yy
e
xx
como
yy
xx
Nem só de frio se treme.
A escala Richter é usada, desde 1935, para medir a intensidade de um terremoto através da fórmula
=k
EI 3log.
3
2, em que E é a energia liberada pelo terremoto; k, uma constante, sendo E e k
medidas em kWh – quilowatt-hora.
Sabendo-se que, em duas cidades, X e Y, foram registrados terremotos que tiveram intensidades
logaN =
logbN
logba
4log
16log16log
2
24 =
8log
64log64log
5
58 =
Exemplos:
a)
b)
02 Duas conseqüências importantes da fórmula de
mudança de base são as seguintes:
a)
b
NNb
log
loglog =
b) logba . log
ab = 1
Exemplos:
a) log37 . log
73 = 1
3
af.matematica parte 2.pmd 7/13/2004, 2:41 PM4
Logaritmos
Matem
átic
a
12loglog2
3.8log.
3
28
6loglog2
3.4log.
3
24
333
333
=
⇒
=⇒
=
=
⇒
=⇒
=
k
E
k
E
k
E
e
k
E
k
E
k
E
xxy
xxx
Já sabemos pela definição de logaritmos que se log b N = x então bx = N Logo,
Dividindo membro a membro as expressões acima, ficamos com
Concluímos pois, que a alternativa correta é a de letra E.
Curiosidade: Sabe-se que um terremoto medindo 5 graus na escala Richter pode ser destrutivo.
Assim sendo, pelo enunciado do problema acima, a cidade Y, provavelmente foi destruída.
123
63
312log
36log
=⇒=
=⇒=
k
E
k
EComo
e
k
E
k
EComo
xx
xx
xyy
x
y
x
y
x
y
x
x
x
EEE
E
E
E
E
E
E
k
k
E
k
E
k
E
.33
133
3
3.
3
3
66
6126
12
6
12
6
=⇒=⇒=⇒
=⇒=⇒=
--
iguais a, respectivamente, 4 e 8 na escala Richter e sendo Ex a energia liberada em X e E
y a energia
liberada em Y, pode-se afirmar:
A) Ey = 2E
x
B) Ey = 28E
x
C) Ey = 32E
x
D) Ey = 33E
x
E) Ey = 36E
x
Solução:
Temos que IX = 4 e I
Y = 8, pelo enunciado do problema.
Substituindo na fórmula do enunciado, vem
4
af.matematica parte 2.pmd 7/13/2004, 2:41 PM5
Logaritmos
Matem
átic
a
0 1 Calcule pela definição os seguintes logaritmos
a)
b)
0 2 Calcule mais alguns logaritmos:
a)
b)
c)
0 3 Calcule a soma nos seguintes casos:
0 4 Desenvolva, aplicando as propriedades de logaritmos:
a)
61005,09
25,15,1100
1,0log8log27
1log
64,0log9
4log001,0log
333 +−=
−+=
S
S
3 2
3
3.
.log
ac
ba
( )cba log2log3log.4
1 −−
9log.8log.7log.6log.5log.4log.3log.2log 109876543
01
02
03
04
0 5 Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é
dado abaixo:
a)
0 6 Sendo log2=0,301 e log3=0,477 , calcule
os seguintes logaritmos:
a) log 6
b) log 5
c) log 720
0 7 Determine o valor de:
05
06
07
log21
8
log0,25
32
log813
log0,010,001
log0,225
5
af.matematica parte 2.pmd 7/13/2004, 2:41 PM6
Logaritmos
Matem
átic
a
0 1 (UFBA) Sendo log2 = 0,301 e x = 53. , então
o logx é:
a) 2,997
b) 3,398
c) 3,633
d) 4,398
e) 5,097
0 2 (UEFS) O produto das raízes da equação
log(x2 -7x + 14) = 2log2 é:
a) 5
b) 7
c) 10
d) 14
e) 35
0 3 (UCSal) Se 12n+1=(3n+1) . 8 , então logn2 é igual a:
a) -2
b) -1
c) 1/2
d) 1
e) 2
0 4 (UEMT) O domínio da função y = log [(2x-3)/(4-x)] é:
a) (-3/2,4)
b) (-4,3/2)
c) (-4,2)
d) (3/2,4)
e) (3/2,10)
44000 0 5 (UFAC) Determine o valor de x que satisfaz à equação
log2 (x-3) + log2 (x-2) = 1.
0 6 (UFSM) Existe um número x diferente de 10, tal que o
dobro do seu logaritmo decimal excede de duas unidades
o logaritmo decimal de x-9. Determine x.
0 7 (PUC-SP) O logaritmo, em uma base x, do número
y = 5 + x é 2. Então x é igual a:
a) 3/2
b) 4/3
c) 2
d) 5
e) 5/2
0 8 (PUC-PR) Se x+y = 20 e x - y = 5 , então log(x2 - y2)
é igual a:
a) 100
b) 2
c) 25
d) 12,5
e) 1000
Sugestão: observe que x2 - y2 = (x - y) (x + y)
01
02
03
04
05
06
07
08
( )a
a
b
bb
ax log
loglog
=( )
b
b
a
aa
by log
loglog
=(UECE) Sejam a, b ∈ R, maiores do que 1. Seja e
Então podemos afirmar que o produto xy é igual a:
a) 0,5
b) -1
c) 1
d) -0,5
e) n.d.a.
2
6
af.matematica parte 2.pmd 7/13/2004, 2:41 PM7
Matrizes
Matem
átic
a
Denominamos matriz real do tipo m x n (leia: m por n) a toda tabela formada por m.n números reais dispostos em
m linhas e n colunas.
Algumas matrizes:
Representamos matrizes através de letras maiúsculas, tais como, A, B, C, etc. Os elementos de uma matriz são
representados por letras minúsculas acompanhadas de um índice duplo que se refere à posição ocupado pelo elemento
na matriz. O primeiro número do índice representa as linhas e o segundo representa as colunas, aij.
IGUALDADE DE MATRIZES
Dizemos que duas matrizes A e B são iguais se
todos os elementos da matriz A são iguais aos elementos
da matriz B, ou seja:
Observe os exemplos abaixo:
1. Se e , temos A=B se
x = 1, y = 2, z = 3, a = 6, b = 5 e c = 4.
2.Verificar se existem valores de x e y que tornam verdadeira a
igualdade de matrizes ( )
−=
−+
1
23
1
42 yx
xy
yx
yx
:
Resolução:
( )
121
3
1
1
42
3
2
==⇒
=−=+
⇒
=−
=−=
=+
yexyx
yx
yx
yx
xy
yx
MATRIZ TRANSPOSTA
Definimos a transposição de matrizes como sendo:
O que verificamos no exemplo que segue
1.Se
−−−=
222
1063A , qual é a matriz transposta de A:
Resolução:
MatrizesMatrizesMatrizesMatrizesMatrizes
OPERAÇÕES COM MATRIZES.
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Também podemos definir a subtração de matrizes
como sendo:
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
1.Sendo
−=
=
21
14
52
31BeA , calcule A + B e A - B:
Resolução:
PROPRIEDADES
Sejam A, B, C e 0, matrizes de ordem m x n.
I.Propriedade Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
II.Propriedade Comutativa: A + B = B + A
III.Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A
IV.Existência do Oposto: Qualquer que seja a matriz A, podemos
encontrar uma matriz B tal que A + B = 0. Indicamos a matriz
oposta de A por -A.
MULTIPLICAÇÃO DE UM
NÚMERO POR UMA MATRIZ
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
1.Sendo
−=
05
13A , calcule 6A.
Resolução:
−=
−=
030
618
05
13.66A
jeibaBAtemosbBeaASe ijijmxnijmxnij ∀∀=⇔=== ,:
2x 3 real matriz
331
0
1
22 x 2 real matriz
35
4
02-3 x 2 real matriz
1041
852
−
−−
π
−−−
=210
26
23tA
−=
−−−−−
=
−−
=−
=
+−+++
=
−+
=+
33
23
25)1(2
1341
21
14
52
31
71
45
25)1(2
1341
21
14
52
31
BA
BA
.,)()( jeiabondebAtemosaASe ijijmxnijmxnij ∀∀=== αα
=
456
321B
=
cba
zyxA
matriz real 2 x 3 matriz real 2 x 2 matriz real 3x 2
.,, jeiabondebAentãoaASe jiijnxmijt
mxnij ∀∀===
jeibadondedBA ijijijmxnij ∀∀−==− ,)(
1
af.matematica parte 3.pmd 7/13/2004, 2:47 PM2
Matrizes
Matem
átic
a
Resolução:
33. 3535 ==⇒= serCBA xrxsx
Essa carne é orgânica, ou não?
PROPRIEDADES
A multiplicação de um número real por uma matriz
goza das seguintes propriedades:
Essas propriedades valem quaisquer sejam os
números a e b reais e quaisquer que sejam as matrizes A e
B do tipo m x n.
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Para calcular o produto AB de duas matrizes A e B
iremos efetuar as multiplicações de cada linha de A por
Seja então: 01 , calcule A.B:
Resolução:
Considere o produto 3535 . xrxsx CBA = e
descubra a ordem da matriz B.
Joga-se pesticida nas plantas para eliminar insetos
daninhos. Entretanto, parte do pesticida é absorvida pela
planta, que por sua vez são comidas pelos animais
herbívoros. Os pesticidas são absorvidos pelos herbívoros
que comem estas plantas. Para determinarmos a
quantidade de pesticida absorvida por um herbívoro, vamos
proceder da maneira descrita a seguir.
Suponha que temos três tipos de pesticidas e quatro
tipos de plantas. Denotando por aij a quantidade do
pesticida i (em miligramas) que foi absorvida pela planta j,
observamos a matriz a seguir:
Suponha agora, que temos três herbívoros e
denotemos bij como o número de plantas do tipo i que
um herbívoro do tipo j come por mês. Esta informação
esta representada pela matriz:
todas as colunas de B. Assim, o produto AB só vai existir se
numa linha de A e numa coluna de B houver a mesma
quantidade de elementos. Isto ocorre quando o número
de colunas de A é igual ao número de linhas de B.
A matriz produto AB, se existir, terá tantas linhas
quantas tivermos na matriz A e tantas colunas quantas
tivermos na matriz B.
01
20 12 8
28 15 5
30 12 10
40 16 20
B
=
herbívoro1 herbívoro2 herbívoro3
Planta1 Planta2
Planta3
Planta4
2 3 4 3
3 2 2 5
4 1 6 4
A
=
Planta1 Planta2 Planta3 Planta4
Pesticida1 Pesticida2 Pesticida3
20 12 82 3 4 3
28 15 153 2 2 5
30 12 104 1 6 4
40 16 20
AB
=
herbívoro1 herbívoro2 herbívoro3
A.B=
364
376
448
165
170
201
161
174
187
pesticida1pesticida2pesticida3
=
=
1
3
3
2
1
4
013
521BeA 02
( )( )
AAIV
AAIII
AAAII
BABAI
==
+=++=+
.1.
).(.
.
).(.
αββαβαβαααα
. se existe só AB produtoo. pnBA pxqmxn =⇒
mxnpxqmxn ABBA ⇒.
++++
=
=
=
=
dscqdrcp
bsaqbrap
sr
qp
dc
baBA
sr
qpBe
dc
baA
..
Seja então:
=
++++++++
=
=
=
=
1213
1416
1.03.13.32.01.14.3
1.53.23.12.51.24.1
1
3
3
2
1
4
.013
521.
1
3
3
2
1
4
013
521
BA
BeA
2
af.matematica parte 3.pmd 7/13/2004, 2:47 PM3
Matrizes
Matem
átic
a
01 Dentre as matrizes abaixo, classifique-as em diagonais,
simétricas ou anti-simétricas:
Resolução:
São diagonais: C, F
São simétricas: B, C, D, F, G, I
São anti-simétricas: E, H, I
O elemento (i,j) do produto A.B irá fornecer a quantidade de pesticida do tipo i que o animal do tipo j absorveu.
Por exemplo, se i=2 e j=3, o elemento (2,3) da matriz produto A.B corresponde à quantidade de pesticida 2
absorvida pelo herbívoro 3.
Encontre a quantidade de pesticida absorvida pelos herbívoros da situação acima:
Ou seja, dentre as informações obtidas podemos notar que o herbívoro 2 absorve em um mês 201 miligramas
do pesticida 3, ou ainda, que o herbívoro 1 absorve 1188 miligramas de pesticida durante um mês. Fica a pergunta
então: Essa carne é orgânica, ou não?
=
−++−+−−+
=
−−
−−
00
00
)4(46)6(
2)2()3(3
23
23.
22
11
PROPRIEDADES
A multiplicação de entre matrizes goza das seguintes
propriedades:
I. Propriedade Associativa: Considerando Amxn
, Bnxp
e Cpxq
,
vale a igualdade (AB)C = A.(BC)
II. Propriedade distributiva à direita: Quaisquer que sejam as
matrizes A e B do tipo mxn e a matriz C do tipo nxp, vale
a igualdade (A + B)C = AC + BC.
III. Propriedade distributiva à esquerda: Quaisquer que sejam
as matrizes A do tipo mxn, B e C do tipo nxp, vale a
igualdade A(B + C) = AB + AC.
Vale observarmos que, para o cálculo com matrizes,
a propriedade comutativa normalmente não é válida e a lei
do cancelamento não é válida, pois é possível encontrarmos
um produto A.B = 0, sendo A ≠ 0 e B ≠ 0. Observe o
exemplo abaixo.
=
−−−
=
=
−=
−=
=
−=
=
=
000
000
000
011
101
110
012
104
240
300
030
001
03
30
02
20
100
010
21
13
13
21
IHGF
EDCBA
01
−=
=
−=⇒
=+
−−
−=⇒
=+−
−=⇒
=+−=+
==
=⇒
==
⇒
⇒
==+
⇒
==+
⇒
==+
⇒
=+−=+
=+−=+
=+−=+
⇒
=
−
−
22
5
22
111
1
11
2
:
22
511
1
145
2.
5
2
145
2
14
025
11
2
22
1.4
22
1
4
122
4
1220
4
124.5
4
125
04
125
: temossistemas, dos um cada Resolvendo
14
025
04
125
10
01.
41
25
1A
Logo
d
b
dd
db
db
db
db
db
a
c
ca
c
ca
cc
ca
cc
ca
ca
ca
ca
db
dbe
ca
ca
dc
ba
02 Obtenha a inversa da matriz
−=
41
25A , caso exista.
Resolução:
02
MATRIZES ESPECIAIS
I. Matriz diagonal:
( ) jiseaaA ijnij ≠=⇔= ,0 diagonal matriz é
II. Matriz simétrica:
tAAA =⇔ simétrica matriz é III. Matriz anti-simétrica:
tAAA −=⇔ simétrica-anti matriz é IV. Matriz Identidade: Chamamos matriz identidade
de ordem n e representamos por In à matriz
quadrada de ordem n em que os elementos
da diagonal principal são iguais a 1 e os demais
elementos da matriz são iguais a 0.
V. Matriz inversa: Uma matriz quadrada de ordem n é
chamada de matriz inversível se existir uma matriz B tal
que A.B = B.A = In. Quando existe a matriz B, ela é
chamada de matriz inversa de A e a indicamos por A-1.
3
af.matematica parte 3.pmd 7/13/2004, 2:47 PM4
Matrizes
Matem
átic
a
Dadas as matrizes
calcule, se existir:
a) A + B b) B + C c) C - A
d) A + D e) B - C f) D - C
Sendo
−
−−=
=224
310
211
120
431
021
BeA , calcule A + Bt:
Se
−=
−=
=2
2
5
1
2
1
,
2
0
3
CeBA , calcule A + 2B - 3C:
Complete o quadro colocando o tipo m x n de cada
matriz (se existir):
Matriz A Matriz B Matriz A.B
2 x 3 3 x 4 _______
5 x 2 2 x 2 _______
3 x 3 3 x 1 _______
2 x 4 3 x 4 _______
5 x 3 3 x 5 _______
3 x 5 5 x 3 _______
1 x 3 3 x 4 _______
3 x 2 2 x 5 _______
05 Considere as matrizes
=
−=
2
4
3
2
0
1
711
132BeA
A soma dos elementos da primeira linha de A. B é:
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) 24
06 Sendo −
100
02
1
2
1
02
1
2
1
A= , calcule A.At. Você pode concluir
que A é inversível? Em caso afirmativo, qual é a
inversa de A?
07 Se A é matriz 3x4 e B uma matriz nxm, então:
a) Existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3.
b) Existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3.
c) Existe AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3.
d) Existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B.
e) Existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.
02
03
04
01
05
06
07
−=
=
−=
−=
1
2
30
11
85
20,
22
31,
41
23DeCBA ,
4
af.matematica parte 3.pmd 7/13/2004, 2:47 PM5
Matrizes
Matem
átic
a
05 (UNICAMP-SP) Considere as matrizes:
( )( )( ) AxBCcCiii
bpordefinidaxbBii
jiapordefinidaxaAi
ij
ji
ijij
ijij
==
==
−==−
,.
.,,.
.,,.
234
43
O elemento c32
é:
a -7 b) -4 c) -2
d) 0 e) 2
06 (ITA-SP) Se 2
1 0
0 1I
=
, mostre que é válida a
igualdade 2 2. .I D D I= :
DICA: Utilize para este exercício uma matriz genérica de
ordem 2 a b
Dc d
=
.
0 1 (FUVEST-SP) Calcular os elementos da matriz A2x3
,
sabendo que aij=2i+J
02 (CESGRANRIO) Dada a matriz A = (aij)3x3
em que
<≥+
=jise
jisejiaij ,0
, calcule a diferença entre o p r o d u t o
dos elementos da diagonal principal e o da diagonal
secundária.
03 (UNI-BH - MG) Se
=
+++++++
500
530
531
00
0
fe
feded
cbabaa
,
qual é o valor da expressão abc + def ?
04 (IME-RJ) Sabe-se que a matriz
−−+
=765
21
1
z
ay
cbx
M é uma
matriz anti-simétrica. Calcule o valor da expressão
(x + y + z).(a + b + c).
02
01
03
04
05
06
5
af.matematica parte 3.pmd 7/13/2004, 2:47 PM6
Matrizes
Matem
átic
a
07 (UNIOESTE - PR) Seja [ ]3
3 2 2a x e b
x
− = − =
.
Se a.b = [17], encontre o valor de x.
a) x=2
b) x=-2
c) x= 2
d) x=0
e) não é possível calcular o valor de x.
01 (VUNESP-SP) Um fabricante de móveis faz cadeiras e mesas, cada uma das quais passa por um processo
de montagem e outro de acabamento. O tempo necessário para esse processo é dado (em horas) pela
matriz
O fabricante tem uma fábrica em Salt Lake City e outra em Chicago. As taxas por hora para cada um dos
processos são dadas (em dólares) pela matriz
Qual o significado dos elementos do produto matricial AB?
07
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
6
af.matematica parte 3.pmd 7/13/2004, 2:47 PM7
Determinantes
Matem
átic
a DeterminantesDeterminantesDeterminantesDeterminantesDeterminantes
"O trabalho com determinantes é uma maravilha, quem poderia imaginar modo mais interessante de transformarmos
grandes tabelas em simples números reais".
(Vandermounde)
DETERMINANTE DE 2ª ORDEM
Definimos o determinante de uma matriz quadrada
de 2ª Ordem como sendo:
=dc
baA
bcaddc
baA −==det
231585).3(4.245
32det =+=−−=
−=A
Parte 1
Um mundo cheio de segredos
Com o passar dos tempos, verifica-se, cada vez mais, que é na informação que se esconde o real valor
de tudo. Sempre demonstrou ser um grande problema transmitir informações com a segurança de não cair em
mãos erradas. A matemática, através da criptografia, foi uma ferramenta encontrada como segura para a
transmissão de informações, pois consiste primariamente em se construir uma chave de tradução e um código
de transmissão que, quando recebido pelo destino, possa ser traduzido.
Utilizando-nos deste raciocínio, escrevemos algo para você através de um código, veja:
Você consegue traduzir o que esta escrito acima?
3 1 5 1 4 7 2 8 10 5
3 2 5 2 1 3 1 2 5 2
−− − − −
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
01 Encontre o determinante da matriz :
Resolução:
−45
32
01
1
af.matematica parte 4.pmd 7/9/2004, 10:46 AM2
Determinantes
Matem
átic
a
Parte 2
Se você ainda não desvendou a mensagem codificada da Parte 1 do HIPERTEXTO, ou se já desvendou, confira
abaixo o que utilizamos para a codificação:
1. Numeramos o alfabeto, colocando valores de 1 a 26 para cada uma das letras;
A = 1 B = 2 C = 3 D = 4 E = 5 F = 6 G = 7 H = 8 I = 9
J = 10 K = 11 L = 12 M = 13 N = 14 O = 15 P = 16 Q = 17 R = 18
S = 19 T = 20 U = 21 V = 22 W = 23 X = 24 Y = 25 Z = 26
2. Estabelecemos que cada valor para uma letra seria obtido através da resolução de um determinante de
ordem 2;
3. Construímos o número de determinantes necessário para codificar todas as letras de cada palavra;
Veja o exemplo:
Creio que agora você consiga traduzir o que codificamos na primeira parte, vamos a ele:
resolvendo os determinantes 2x2, temos:
9 5 19 4 5Convertendo os valores obtidos pelas letras respectivas:
9 5 19 4 5
I E S D EOu seja, a palavra codificada é IESDE.
DETERMINANTE DE 3ª ORDEM
O modo prático para calcularmos o determinante
de matrizes quadradas de 3ª Ordem consiste em utilizarmos
a Regra de Sarrus. Vamos a ela:
REGRA DE SARRUS:
16 1 26
, 16 1 26, :
4 0 1 2 13 1
1 4 1 3 13 1
16 1 26
PAZ
P A Z
ou seja a palavra PAZ é codificada para então
P A Z
= = =
−
3 1 5 1 4 7 2 8 10 5
3 2 5 2 1 3 1 2 5 2
−− − − −
3 1 5 1 4 7 2 8 10 5
3 2 5 2 1 3 1 2 5 2
−− − − −
3 1 5 1 4 7 2 8 10 5
3 2 5 2 1 3 1 2 5 2
−− − − −
Seja uma matriz A de 3ª Ordem.
1. Repetimos a primeira e a segunda linha (coluna) abaixo (à
direita) da matriz;
2. Multiplicamos os três elementos da diagonal principal e
os das paralelas a esta diagonal;
3. Multiplicamos os três elementos da diagonal secundária
e os das paralelas a esta diagonal e trocamos os sinais
2
af.matematica parte 4.pmd 7/9/2004, 10:46 AM3
Determinantes
Matem
átic
a
destes produtos;
4. Somamos os resultados obtidos.
Observe:
ou ainda:
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01 Encontre o determinante da matriz .
Resolução:
DETERMINANTE DE MATRIZ
NxN REGRA DE CHIÓ
Podemos definir o determinante de uma matriz
quadrada de ordem n, n>3, utilizando-nos de um
procedimento matemático denominado Regra de Chió:
REGRA DE CHIÓ (MATRIZ DE ORDEM N)
1. Escolhe-se o pivô (que precisa ser um número 1) e a
partir dele se exclui sua linha e coluna;
2. Subtraia de cada elemento da nova matriz o produto dos
elementos que pertenciam à sua linha e coluna e que
foram retirados.
3. Multiplique o determinante da nova matriz por (-1)i+j,
sendo i e j a posição do elemento pivô.
4. O determinante a ser calculado possui o mesmo valor da
matriz inicial e possui uma ordem a menos.
5. Se a ordem do determinante obtido for >3, repita os
passos de 1 a 4 até que obtenha ordem 3, resolvendo-
o então pela Regra de Sarrus.
Obs: Caso não haja nenhum elemento 1 (um) na matriz, divida
uma fila por algum elemento de modo que apareça o
elemento1 e não se esqueça de multiplicar esse elemento
ao resultado final do determinante.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Resolvendo agora o determinante de ordem 3 obtido
pela regra de Sarrus, obtemos:
PROPRIEDADES DE
DETERMINANTE
As seguintes propriedades são vál idas para
determinantes de qualquer ordem.
I) O determinante de uma matriz quadrada A e o da sua
matriz transposta At são iguais. det A = det At.
II) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto
dos elementos da diagonal principal.
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
a1
a2
b1
b2
c1
c2
= a .1
b .2
c +3
( a .2
b .3
c +1
a .3
b .1
c )-
( + + )
2
a .3
b .2
c 1
a .1
b .3
c 2
a .2
b .1
c 3
a .3
b .2 1
c a .2
b .1 3
c a .1
b .2 3
c
a .1
b .3 2
c a .2
b .3 1
c
a .3
b .1 2
c
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
= a .1
b .2
c +3
( a .2
b .3
c +1
a .3
b .1
c )-
( + + )
2
a .3
b .2
c 1
a .1
b .3
c 2
a .2
b .1
c 3
a .3
b .2 1
c
a .1
b .3 2
c
a1
a2
a3
b1
b2
b3
a .2
b .1 3
c
a .1
b .2 3
c
a .3
b .1 2
c
a .2
b .3 1
c
−−
113
205
132
42)1.5).3(2.1).2(3.0.1(
1.1.53).2).(3(1.0.2
113
205
132
=−+−+−+−−+=−
−
( )
41111
41721
188
3.113.323.41
5.115.325.41
3.143.313.44
.1
1231
1251
4134
1314
21
−−−−−−
−−=
−−−−−−−−−−−−−
−=
−−−−
+
172672352187231352544
41111
41721
188
1231
1251
4134
1314
=++−+−−
=−−−−−−
−−=
−−−−
4623).2(1.213
22
13
22
462)2.(31.212
32
12
32
−=−=−+=−
⇒
−=
−=−=−+=−
⇒
−=
tA
A
01
3
af.matematica parte 4.pmd 7/9/2004, 10:46 AM4
Determinantes
Matem
átic
a
O mesmo vale para a triangular superior, se utilizarmos a
propriedade anterior.
III) Quando multiplicamos uma linha ou coluna de uma matriz
quadrada A por um número real k, obtemos uma matriz
B tal que detB = k.detA. Em particular, podemos ampliar
esta propriedade para det(kA) = kn.detA , onde n é a
ordem de A.
IV) O determinante de uma matriz quadrada A pode ser
decomposto na soma dos determinantes de duas
matrizes B e C, sendo B e C iguais à matriz A exceto
numa coluna j e tal que a coluna j de A é igual à soma da
coluna j de B com a coluna j de C.
V) O determinante da matriz produto AB de duas matrizes
quadradas de mesma ordem, é igual ao produto dos
determinantes das matrizes A e B, isto é,
det(AB) = detA . detB.
VI) Quando trocamos de lugares entre si duas linhas ou duas
colunas de uma matriz quadrada, o determinante desta
matriz fica multiplicado por (-1).
VII) Um determinante é igual a zero quando:
a) Tem uma linha ou coluna formada só de zeros;
b) Tem duas linhas iguais ou duas colunas iguais;
c) Tem uma linha (coluna) proporcional a outra linha
(coluna);
d) Tem uma linha (coluna) igual à soma das outras linhas
(colunas) multiplicadas cada uma por uma constante.
VIII) Um determinante não se altera quando somamos a uma
linha (ou coluna) outra linha (coluna) multiplicada por uma
constante.
24)3).(1.(4.2
3000
3100
5140
1122
=−−=
−−
−
18.2724).2(10.8104
28
: teremos2,por linha 2a. a ndomultiplica
18.2362).2(5.852
28
: teremos2,por linha 1a. a ndomultiplica
18)1.(25.452
14
2==−+=−
==−+=−
=−+=−
z
y
x
c
b
a
zc
yb
xa
65
43
21
65
43
21
65
43
21
+=+++
)det().det(11)143(1542213
117).det(
16553
21)det(,1138
41
32)det(
2213
117.,
53
21,
41
32
BABA
BA
BABA
=−=−−−=−−
=
−=−=−
−==+=
−=
−−
=
−−
=
−=
9615)det(53
23
9156)det(35
32
=−=⇒
=
−=−=⇒
=
BB
AA
Para cada número x, considere as matrizes:
A = e B = .
Resolva o proposto a seguir:
a) O valor de x tal que det(A) = 1?
b) O valor de x tal que det(B) = 5?
−−−
1x1
11x
+12
01x
02 Resolva o determinante da abaixo:01
1ª
2ª
02
( )2 5 1
5 3 4 12 20 0 3 0 50 32 47 15
1 0 2
−= + + − − + + = − =
4
af.matematica parte 4.pmd 7/9/2004, 10:46 AM5
Determinantes
Matem
átic
a
0 3 Calcule o valor do determinante:
0 4 Considere a matriz .
Calcule o determinante da inversa de A.
0 5 Dadas as matrizes
resolver a equação (em IR):
−=102
316
012
A
0 6 Se A e B são matrizes de ordem 3 e det(A.B)= det (2Bt)
então:
a) det A = 2
b) det A = 8 necessariamente
c) det A = 6 ou det B = 0
d) det A = 8 ou det B = 0
e) n.r.a.
0 7 Resolva, utilizando-se da Regra de Chio, o determinante
a seguir:
=
−=100
010
001
111
112
101
IeA
0)det( =− xIA
04
05
06
21010
4
1
0
2
1550
2040
0010
4321
−−
−
03
07
01 (PUC-RS) De todas as matrizes de ordem 3 formadas
por 6 "zeros" e 3 "cincos", quantas possuem determinante
diferente de zero?
a) 0 b) 2 c) 4
d) 6 e) 8
0 2 (UNICAMP-SP) Dizemos que uma matriz real quadrada
A é singular se det A = 0, ou seja, se o determinante de
A é nulo; e não singular se det A ¹ 0. Mediante esta
definição, mostre que o produto de duas matrizes é uma
matriz singular se pelo menos uma delas for singular.
0 3 (UNITAU-SP) O valor do determinante
como produto de 3 fatores é:
a) abc.
b) a (b+c) c.
c) a (a-b) (b-c).
d) (a+c) (a-b) c.
e) (a+b) (b+c) (a+c).
01
02
2 3 5 5
4 0 8 2
6 7 3 2
2 5 4 3
−
− −
a a a
a b b
a b c
a b a b
b a b a
− −+
03
0 4 (UEL-PR) A soma dos determinantes
indicados a seguir é igual a zero:
=0
a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b
b) se, e somente se, a = b
c) se, e somente se, a = - b
d) se, e somente se, a = 0
e) se, e somente se, a = b = 1
0 5 (UFSC-SC) Considere as matrizes
e n=det(AB). Calcule 7n:
04
05
10012
11345
11
A e B
= − − =
5
af.matematica parte 4.pmd 7/9/2004, 10:46 AM6
Determinantes
Matem
átic
a
0 6 (PUCCAMP-SP) Sejam as matrizes mostradas na figura
a seguir. O determinante da matriz A+B.C é:
a) -4 b) -2
c) 0 d) 1
e) 5
A= , B= e C=0 1
1 0
1 0
2 1
1 2
0 1
06 0 7 (UNIOESTE - PR) O valor de "a" para o qual o
determinante adiante se anula é:07
=
=100
010
001
00
10
00
Ie
c
b
a
M
0)det( =− IM λ aea 7.. 321321 =++= λλλλλλ
01 (FATEC-SP) Considere as matrizes reais em que a ≠ 0 e a, b, c
formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q > 0. Sejam λ1, λ2, λ3 as raízes da equação
. Se então a2+b2+c2 é igual a:
a) 21/8
b) 91/9
c) 36/9
d) 21/16
e) 91/36
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
6
af.matematica parte 4.pmd 7/9/2004, 10:46 AM7
Sistema de Equações Lineares
Matem
átic
a
Atualmente é crescente a preocupação da população com sua alimentação. Jovens e adultos procuram a prática de
atividades físicas e a adesão a um programa de reeducação alimentar, para manter um peso saudável e prevenir doenças.
Quando é construída uma dieta hipocalórica, uma das preocupações está na presença de quantidades mínimas de
alguns componentes, tais como proteínas, carboidratos e lipídios.
Observe a tabela abaixo que traz a quantidade aproximada de proteínas, carboidratos e lipídios em uma refeição
hipocalórica sugerida.
Alimentos Porção (g) Proteínas (g) Carboidratos (g) Lipídios (g)
Arroz Cozido 50 1,2 16,2 1,5
Almôndegas com molho 50 7,6 3,6 6,4
Vagem refogada 50 1,5 4,8 0,1
Total necessário almoço 18 30 15
Ao pensar em uma refeição visando perda de peso, um nutricionista recomenda que se consuma verduras cruas à
vontade, mas a quantidade de outros alimentos possuem restrições. Vamos imaginar uma refeição contendo as preparações
citadas na tabela acima. Qual a quantidade a ser consumida de cada um dos itens da tabela, obedecendo aos totais de
proteínas, carboidratos e lipídios, para uma refeição saudável?
Para podermos responder a esta pergunta e a muitas outras questões importantes, possuímos uma ferramenta
matemática muito poderosa, são os Sistemas Lineares de Equações, vamos a eles.
Sistema de Equações LinearesSistema de Equações LinearesSistema de Equações LinearesSistema de Equações LinearesSistema de Equações Lineares
1. EQUAÇÕES LINEARES
Por uma equação linear, entendemos uma expressãoda forma bxaxaxa nn =+++ ...2211 onde
naaa ,...,, 21 e são constantes reais, sendo que
naaa ,...,, 21 são chamados coeficientes, é o termo
independente e nxxx ,...,, 21 são as incógnitas da equação.
A equação 342 =+−+ wzyx é linear, onde:
- 1, 2, - 4 e 1 são os coeficientes;
- x, y, z e w são as incógnitas;
- 3 é o termo independente.
OBS.: Note que uma condição necessária para que
uma equação seja linear é que possua todos os seus termos
do 1o. grau:
- 1253 =−+• zyx é linear;
- 0122 =+−• xx não é linear, e sim do 2o. grau.
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR
Consideremos a equação 342 =+−+ wzyx A
4-upla ( )0,1,2,3=u é a solução da equação, pois
ou seja 33 =Entretanto, a 4-upla não é a solução da
equação pois ou seja , que
não é uma sentença verdadeira.
Podemos então definir a solução de uma equação linear
como sendo toda ênupla (n-
upla) (seqüência de n elementos) de números
, de forma que a sentença
seja verdadeira.
Quando uma equação linear possui termo independente
igual a zero, ela é chamada de Equação Linear Homogênea.
Exemplo:
é homogênea
não é homogênea
1
af.matematica parte 5.pmd 7/9/2004, 10:46 AM2
Sistema de Equações Lineares
Matem
átic
a
2. SISTEMAS LINEARES
Todo sistema de equações formado apenas por
equações l ineares é dito Sistema de Equações
Lineares. Logo:
De modo geral, temos que um sistema linear de m
equações com n incógnitas é representado por:
onde:
· aij são os coeficientes;
É um sistema linear de
três Equações com três
incógnitas
É um sistema linear de
duas equações e três
incógnitas
· xj são as incógnitas;
· bi são os termos independentes.
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES
LINEARES
A solução de um sistema linear é toda solução que
seja comum a todas as equações lineares envolvidas no
sistema.
Exemplo:
é a solução do sistema proposto.
PLANEJANDO A PRODUÇÃO:
Uma indústria química produz dois tipos diferentes de produtos: A e B. Cada um deles é processado em duas
máquinas, X e Y. Neste processo, cada uma das máquinas é utilizada durante os seguintes períodos de tempo:
1. Uma tonelada de A requer 2 horas da máquina X e 2 horas da máquina Y.
2. Uma tonelada de B requer 3 horas da máquina X e 2 horas da máquina Y.
A máquina está disponível 80 horas por semana, enquanto a máquina Y está disponível 60 horas por semana.
Como a administração da fábrica não quer manter as dispendiosas máquinas X e Y paradas, é preciso determinar
quantas toneladas de cada produto devem ser produzidas para que as máquinas sejam utilizadas de maneira ótima.
Supõe-se que a fábrica seja capaz de vender tanto quanto produza.
Para resolvermos este problema, sejam, respectivamente, a e b o número de toneladas de A e B a ser produzido.
O número de horas de utilização da máquina X, que deve ser igual a 80 horas, é dado por:
Da mesma forma, como a máquina Y será utilizada por 60 horas, temos:
Do ponto de vista matemático, nosso problema consiste em calcular valores não negativos de a e b
tais que:
Um dos métodos que já conhecemos para resolver este sistema linear é o Método da substituição, que consiste
em escolhermos uma das variáveis presentes no sistema de equações, isolá-la e então substituí-la nas demais equações.
Verifique a solução do sistema obtido acima:
2
af.matematica parte 5.pmd 7/9/2004, 10:46 AM3
Sistema de Equações Lineares
Matem
átic
a
A =
=+++
=+++=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
..............................................
...
...
2211
22222121
11212111
podemos associar a ele uma matriz, chamada de matriz
completa de A:
mmnmm
n
n
b
...
b
b
a...aa
............
a...aa
a...aa
2
1
21
22221
11211
onde colocamos em cada linha, ordena-damente, os
coeficientes e o termo independente de todas as equações
lineares de A.
A:
também denominada de matriz incompleta ou matriz dos
coeficientes de A.
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
Efetue a construção da matriz completa e dos coeficientes
do sistema abaixo:
3. RESOLUÇÃO DE SISTEMA
(REGRA DE CRAMER)
Podemos escrever o sistema linear
A =
=+++
=+++=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
..............................................
...
...
2211
22222121
11212111
em sua forma matricial, utilizando-nos para isto da
matriz dos coeficientes
Ou seja, semanalmente, utilizando as máquinas X e Y, poderão ser produzidas 10 toneladas do produto A e 20
toneladas do produto B.
Ao considerarmos o sistema linaer:
01
3
af.matematica parte 5.pmd 7/9/2004, 10:46 AM4
Sistema de Equações Lineares
Matem
átic
a
mnmm
n
n
a...aa
............
a...aa
a...aa
21
22221
11211
e de duas novas matrizes
colunas, formadas respectivamente pelas incógnitas e pelos
termos independentes:
A =
=+++
=+++=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
..............................................
...
...
2211
22222121
11212111
mnmm
n
n
a...aa
............
a...aa
a...aa
21
22221
11211
=
nn b
b
b
x
x
x
......2
1
2
1
. , ou de forma reduzida, bxA =. .
A=
nnnn
n
n
a...aa
............
a...aa
a...aa
21
22221
11211
=
nnnn
n
n
a...ab
............
a...ab
a...ab
A
2
2222
1121
1
=
nnnn
n
n
a...a
............
a...ba
a...ba
A
b
1
2221
1111
2
=
21
22221
11211
nnn
n
b... aa
...... ......
b... aa
b... aa
A
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
Resolva, utilizando-se da Regra de Cramer o sistema
3x3 abaixo:
17)det(
412
021
112
16)det(
242
101
312
15)det(
214
120
311
5)det(
212
121
312
422
02
132
33
22
11
=⇒
−=
=⇒
−=
−=⇒
−−
=
=⇒
−−
=
=++=−+=+−
AA
AA
AA
AAzyx
zyx
zyx
REGRA DE CRAMER
Se bAx = é um sistema de n equações lineares
em n incógnitas tal que 0)det( ≠A , então o sistema tem
uma única solução. Esta solução é dada por:
)det(
)det(,...,
)det(
)det(,
)det(
)det( 22
11 A
Ax
A
Ax
A
Ax n
n ===
onde Aj é a matriz obtida substituindo as entradas da
jésima coluna de A pelas entradas da matriz dos termos
independentes.
S =
=+++
=+++=+++
nnnnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
..............................................
...
...
2211
22222121
11212111
01
4
af.matematica parte 5.pmd 7/9/2004, 10:46 AM5
Sistema de Equações Lineares
Matem
átic
a
0 3 Resolva o sistema:
=++=++
=++
3734
2523
12
zyx
zyx
zyx
0 4 Determine m para que o sistema
=+=+−
=−+
22
03
12
zx
zyx
zymx
seja possível e determinado .
0 1 Resolva o sistema linear abaixo usando a regra de Cramer:
3 4 1)
3 9
x ya
x y
− = + =
0 2 Resolva o sistema linear abaixo utilizando a regra de
Cramer:
2 3
) 6
2 3
x y z
a x y z
x y z
− + = + + = − + =
01 03
02
04
SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO
Um sistema de equações lineares formado por
equações lineares homogêneas é chamado de Sistema
Linear Homogêneo.
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
HOMOGÊNEO
Se atribuirmos o valor zero (0) a cada incógnita de
um sistema linear homogêneo, sempre obteremos uma
sentença verdadeira, e portanto a n-upla (0, 0, 0, ..., 0) é
uma solução desse tipo de sistema. Essa solução é chamada
de solução trivial do sistema.
Observe:
Observação: Um sistema linear homogêneo sempre
é possível, pois sempre admite 0 como solução, sendo
que se:
0)det( ≠A ⇒ é SPD.
0)det( =A ⇒ é SPI.
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
Retorne agora ao problema da dieta proposto na
introdução do capítulo e resolva o sistema de equações
implícito à ele.
Alimentos Porção (g) Proteínas (g) Carboidratos (g) Lipídios (g)
Arroz Cozido (x) 50 1,2 16,2 1,5
Almôndegas com molho (y) 50 7,6 3,6 6,4
Vagem refogada (z) 50 1,5 4,8 0,1
Total necessário almoço 18 30 15
Como desejamos descobrir a quantidade de cada
alimento que deverá ser ingeridos no almoço, obedecendo-
se às quantidades necessárias de proteína, carboidrato e
lipídios, equacionamos da seguinte forma:
40,153)det(
1,04,65,1
8,46,32,16
5,16,72,1
151,04,65,1
308,46,32,16
185,16,72,1
=⇒
=
=++=++
=++
AA
zyx
zyx
zyx
Logo:
64,98)det(
154,65,1
36,32,16
186,72,1
64,314)det(
1,0155,1
8,432,16
5,1182,1
92,184)det(
1,04,615
8,46,33
5,16,718
=⇒
=
=⇒
==⇒
=
CC
BBAA
DD
DDDD
Logo:
21,140,153
92,184 ==x 05,240,153
64,314 ==y 64,040,153
64,98 ==z
Ou seja, a quantidade de cada alimento a ser ingerida
será: 1,21 porções de arroz, 2,05 porções de almôndegas
com molho e 0,64 porções de vagem refogada.
Bom apetite!01
5
af.matematica parte 5.pmd 7/9/2004, 10:46 AM6
Sistema de Equações Lineares
Matem
átic
a
0 5 (PUC-SP) Considere o sistema linear
Para que o sistema seja possível devemos ter:
a) k = 4
b) k = 3
c) k = 2
d) k = 1
e) k = 0
0 6 (FUVEST) Carlos e sua irmã Andréia foram com seu
cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram
uma velha balança com defeito que só indicava
corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim eles se
pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:
1. Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;
2. Carlos e Andréia pesam juntos 123 kg;
3. Andréia e Bidu pesam juntos 66 kg.
Podemos afirmar que:
a) Cada um deles pesa menos que 60 kg.
b) Dois deles pesam mais de 60 kg.
c) Andréia é a mais pesada dos três.
d) O peso de Andréia é a média aritmética dos pesos de
Carlos e de Bidu.
e) Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos.
a) R$ 160,00
b) R$ 150,00
c.) R$ 120,00
d) R$ 100,00
e) R$ 80,00
0 3 (CESGRANRIO) Sabendo que y = 2 é solução do
sistema . O valor de m é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
0 4 (FATEC) O valor de m para que o sistema linear
seja impossível é:
01 (UECE) Seja o sistema linear
Calcule os valores de a para que o sistema seja impossível.
0 2 (FUVEST) Sejam X, Y e Z três artigos distintos que são
vendidos em certa loja. Sabe-se que: X custa tanto quanto
Y e Z juntos; o preço de Y é a diferença entre o dobro do
de X e 50 reais; o preço de Z é a diferença entre o triplo
do de Y e 80 reais. Nessas condições, pela compra dos
três artigos, sendo um único exemplar de cada tipo,
deverão ser desembolsados:
0 6 Resolva a equação matricial
=
− 8
2
2
115
632
741
z
y
x
.
0 7 Resolva o sistema homogêneo abaixo:
2 0
) 3 2 4 0
5 3 0
x y z
a x y y
x y z
− + = + − = + − =
0 5 Para que valor de b o sistema
2 6 2
3 5 2 6
3
x y z
x y z
x y z b
+ − = − − = + − =
apresenta o valor de x = 2
53− é:
(Sugestão: Utilize a Regra de Cramer apenas para a variável
x e iguale seu resultado com o fornecido.)
05
06
07
01
04
05
06
02
03
6
af.matematica parte 5.pmd 7/9/2004, 10:46 AM7
Sistema de Equações Lineares
Matem
átic
a
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
01 (UNICAMP) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se
que o quilo de amendoim custa R$5,00, o quilo da castanha de caju, R$20,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$16,00.
Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$5,75. Além disso,
a quan-tidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas.
a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima.
b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.
7
af.matematica parte 5.pmd 7/9/2004, 10:46 AM8
Análise Combinatória
1
Matem
átic
aAnálise CombinatóriaAnálise CombinatóriaAnálise CombinatóriaAnálise CombinatóriaAnálise Combinatória
A análise combinatória se resume ao desenvolvimento de técnicas para determinar, sem enumeração direta, o
número de resultados possíveis de um certo experimento, ou o número de elementos em certo conjunto.
Os problemas de análise combinatória diferem entre si através de fatores como a ORDEM com que os elementos
se colocam ou a NATUREZA dos elementos envolvidos.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Se algum procedimento pode ser realizado de n1 maneiras diferentes; se, seguindo este, um segundo procedimento
pode ser realizado de n2 maneiras diferentes; se ainda, segundo este segundo, um terceiro pode ser realizado de n
3
maneiras diferentes, e assim por diante; então, o número de maneiras nas quais podemos realizar os procedimentos na
ordem dada é o produto n1, n
2, n
3...
UMA QUESTÃO DE CONTAGEM.
Você nunca se perguntou se existem duas placas de automóveis iguais? A resposta com certeza deve ser
que não existem, já que as placas individualizam os automóveis. Porém você deve ter observado (pois ainda
encontramos automóveis assim) que as placas antigamente eram formadas por duas letras seguidas por quatro
números e que atualmente as placas são compostas por três letras seguidas de quatro números. Essa mudança
foi efetuada para que existisse um número maior de possibilidades de placas de automóveis.
Suponhamos que a placa de um carro antigo contenha duas letras distintas, seguidas por três dígitos, com
o primeiro diferente de zero. Quantas placas poderiam ser impressas?
Solução:
A primeira letra pode ser apresentada de 23 maneiras diferentes, a segunda letra pode ser apresentada
de 22 maneiras diferentes (já que a letra impressa primeiro não pode ser escolhida para a segunda letra), o
primeiro dígito de 9 maneiras e cada um dos outros dois de 10 maneiras.
Ou seja, podem ser impressas 455.400 placas distintas de carro.
NOTAÇÃO FATORIAL
O produto dos inteiros positivos de 1 a n, inclusive,
aparece freqüentemente em matemática e, por isso, é
representado pelo símbolo especial n! (lê-se "n fatorial"):
n! = n. (n - 1).(n - 2).(n - 3). ... .3.2.1
Por definição, temos que 0! = 1! = 1
PERMUTAÇÕES E ARRANJOS
Um grupamento de um conjunto de n objetos, em
dada ordem, é chamado de permutação dos objetos
(tomados todos ao mesmo tempo). Um grupamento de
quaisquer r ≤ n destes objetos, em dada ordem, é chamado
de arranjo de n objetos, tomados r a r.
af.matematica parte 6.pmd 7/9/2004, 10:48 AM1
Análise Combinatória
2
Matem
átic
a
Consideremos o conjunto de letras a, b, c, d. Então:
a) bcda, adcb e acbd são permutações das 4 letras (tomadas
todas ao mesmo tempo).
b) bad, adb, cbd e bca são arranjos das 4 letras, tomadas 3
a 3.
c) ad, cb, da e bd são arranjos das 4 letras, tomadas 2 a 2.
O número de permutações de n objetos será
representado por Pn, enquanto que o número de arranjos
de n objetos, tomados p a p elementos será representado
por pnp
n AouA ,
Podemos calcular o arranjo de n elementos tomados p a p
através da seguinte fórmula:
)!(
!
pn
nAp
n −=
Logo, podemos então deduzir que o número de
permutações de n elementos podem ser calculados como
arranjos de n elementos tomados n a n, portanto:
!!!0
!
)!(
!
)!(
!nPn
n
nn
nAP
pn
nA n
nnn
pn =⇒==
−==⇒
−=
0 1 Calcule o número de anagramas que podemos formar
com as letras da palavra SENTADO.
Solução:
0 2 Quantos números de 3 algarismos podemos formar
com os números do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}:
Solução:
COMBINAÇÕES
Suponha que temos uma coleção de n objetos. Uma
combinação destes n objetos tomados p a p, é qualquer
subconjunto de p elementos. Em outras palavras, uma
combinação é qualquer seleção de p dos n objetos, sem
considerar sua ordem.
Representamos uma combinação de n objetos
tomados p a p pela seguinte notação:
O número de combinações de n elementos tomados
p a p pode ser calculado por:
De um grupo de 8 pessoas, quantas comissões podem
ser formadas com 3 delas?
Cada comissão é essencialmente uma combinação das
8 pessoas, tomadas 3 a 3. Assim, podem ser formadas:
2105.6.7!4
!4.5.6.7
)!37(
!7
:portanto arranjo,
de problema um configura que o ,importante é
algarismos os Dispomos que com ordem a Logo,
312 e 231 132, 321, 213, 123,
:distintos números seguintes osformar podemos
3,e 2 1, algarismosos tomarmosse queObserve
3
7===
-=A
possíveis anagramas5040
1.2.3.4.5.6.7!7
: temosdistintas, letras 7 possuí
SENTADO palavra a Como
7 ===P
)!(!
!
pnp
nC p
n
-=
56!5.1.2.3
!5.6.7.8
)!38(!3
!838 ==
-=C
01
02
03
Como a palavra SENTADO
possui 7 letras distintas, temos:
P7= 7.6.5.4.3.2.1 =
5040 anagramas possíveis
af.matematica parte 6.pmd 7/9/2004, 10:48 AM2
Análise Combinatória
3
Matem
átic
a
Simplifique:
a)
b)
0 2 Se não são permitidas repetições, quantos números de
3 dígitos podem ser formados com os algarismos 2, 3,
5, 6, 7 e 9? Quantos destes números são menores que
400? Quantos são pares? Quantos são múltiplos de 5?
0 3 De quantas maneiras um grupo de 7 pessoas pode se
dispor em uma fila com 7 cadeiras? E ao redor de uma
mesa circular?
0 4 De quantas maneiras uma comissão formada de 3
homens e 2 mulheres pode ser escolhida dentre 7
homens e 5 mulheres?
0 5 Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos
formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que
contenham 2 letras a, b e c?
=+
!
!2
n
n
n
n=
- )!1(
!
01 a) 1692 b) 1572 c) 1520
d) 1512 e) 1392
0 6 Doze professores, sendo 4 de matemática, 4 de geografia
e 4 de inglês, participam de uma reunião com o objetivo
de formar uma comissão que tenha 9 professores, sendo
3 de cada disciplina. O número de formas distintas de se
compor essa comissão é:
a) 36 b) 108 c) 12
d) 48 e) 64
0 7 Nove pessoas desejam subir à cobertura de um edifício,
dispondo, para isso, de dois elevadores, um com 4
lugares e outro com 5 lugares. O número de formas de
distribuí-las nos elevadores é:
a) 630 b) 252 c) 180
d) 378 e) 126
0 1 (UFPB) Numa empresa existem 10 diretores dos quais
6 estão sob suspeita de corrupção. Para que se analisem
as suspeitas, será formada uma comissão especial com
5 diretores, na qual os suspeitos não sejam maioria. O
número de possíveis comissões é:
a) 66 b) 72 c) 90
d) 120 e) 124
0 2 (UFMT) Seis refrigerantes devem ser distribuídos entre
2 pessoas, de modo que cada pessoa receba 3
refrigerantes. O número de formas de se fazer isso é:
a) 12 b) 18 c) 24
d) 15 e) 20
0 3 (ITA-SP) No saguão de um teatro, há um lustre com 10
lâmpadas, todas de cores distintas entre si. Como
medida de economia de energia elétrica, o gerente desse
teatro estabeleceu que só deveriam ser acesas,
simultaneamente, de 4 a 7 lâmpadas, de acordo com a
necessidade. Nessas condições, de quantos modos
distintos podem ser acesas as lâmpadas desse lustre?
a) 664 b) 792 c) 852
d) 912 e) 1044
0 4 (UNICAMP-SP) De quantas maneiras 3 rapazes e 2
moças podem sentar-se em uma fila?
De quantas maneiras eles podem se sentar em uma fila
se os rapazes devem ficar juntos e as meninas também?
De quantas maneiras eles podem se sentar em uma fila,
se somente as meninas devem sentar juntas?
0 5 (UF São Carlos - SP) Considere os números de 2 a 6
algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2,
4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e
começam com um dígito par?
a) 375 b) 465 c) 545
d) 585 e) 625
0 6 (UNEMAT - MT) Uma senha de uma rede de
computadores é formada por 5 letras escolhidas entre
as 26 do alfabeto (a ordem é levada em consideração).
a. Quantas senhas existem com todas as letras distintas, e
que comecem pela letra S?
02
03
04
05
06
07
01
02
03
04
05
06
af.matematica parte 6.pmd 7/9/2004, 10:48 AM3
Análise Combinatória
4
Matem
átic
a
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
b. Quantas senhas são possíveis, de modo que haja pelo
menos letras iguais?
Observação: o resultado pode ser deixado indicado,
não sendo necessário fazer as contas.
0 7 (PUC - RS) Quantos números de seis algarismos distintos
podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos
quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes?
a) 144 b) 180 c) 240
d) 288 e) 360
0 8 (UFPR) Um homem tem oportunidade de jogar no
máximo 5 vezes na roleta. Em cada jogada ele ganha ou
perde um dólar. Começa com um dólar e parará de jogar
antes de cinco vezes, se perder todo seu dinheiro ou de
ganhar três dólares, isto é, se tiver 4 dólares.
Ache o número de maneira nas quais o jogo pode se
desenrolar.
07
08
0 9 (FUVEST - SP) De quantas maneiras um professor pode
eleger um ou mais estudantes dentre um grupo de seis
elegíveis?
Resolução:
1 0 (UNICAMP - SP) Quantos sinais luminosos podem ser
formados com um display de 10 lâmpadas idênticas,
sabendo que os sinais devem possuir pelo menos 6
lâmpadas acesas?
Resolução
01 (IME - RJ) Seja ∑= −
=20
0
.)!20!.(
!20)(
n
nxnn
xf uma função real de variável real em que n! Indica o fatorial de
n. Considere as afirmações:
i. f(1) = 2
ii. f(- 1) = 0
iii. f(- 2) = 1
Podemos concluir que:
a) Somente as afirmações I e II são verdadeiras.
b) Somente as afirmações II e III são verdadeiras.
c) Apenas a afirmação I é verdadeira.
d) Apenas a afirmação II é verdadeira;
e) Apenas a afirmação III é verdadeira.
10
09
af.matematica parte 6.pmd 7/9/2004, 10:48 AM4
Gabarito
1
Matemática
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Questões de Vestibulares
01- a
02- c
03- 03
04- a
05- a
06- b
07- d
Desafio
Letra c
LOGARITMOS
Exercícios de Aplicação
01-
02-
( )5
2522232
4
1320,2532log
221
82
1
8log
52
0,25
2
-=⇒=-⇒=⇒
=
⇒=⇒=
-3=⇒=⇒=⇒=
-
-3
yy
y
xx
y
y
y
xx
2555
10
2252,025log
2
332
1010001,001,0001,0log
4
114333813log
22
2,0
3201,0
481
=⇒=⇒
=
⇒=⇒=
=⇒-=-⇒
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=⇒=⇒=
-
--
z
z
yy
y
xxx
z
zz
yy
xx
03 -
( ) ( )
2
7
2
91
4
1
2
9
4
3
:4
1
6
1
3
210
101,01001,0log
2
9
2
3
32
285,08log
4
3
2
1
3
23
327
19
27
1log)
2
322
2
3
:
25
4
5
4
25
16
4
5
100
64
4
564,025,164,0log
22
3
2
3
9
45,1
9
4log
2
33210
10001,0100001,0log)
6
1
3
2
636100
2
3
335,0
2
1
3
23
9
2
25,1
2
5,1
3
2100
3
3
3
=+−=
−+
−−−=
−=⇒−=⇒
=⇒=⇒=
−=⇒=−⇒
=⇒=⇒=
−=⇒−=⇒
=
⇒=⇒=
−=−−−+−=
−=⇒
=
⇒=
⇒
=
⇒=⇒=
−=⇒
=
⇒=⇒=
−=⇒−=⇒
=⇒=⇒=
−
−
−
−
−
−
S
então
zz
z
yy
y
xx
xb
S
então
z
z
y
y
xx
xa
zz
yy
xx
zz
zz
yy
xx
04-
05-
cba
acba
acbaac
ba
333
3333
3 23
333 2
3
3
loglog3log3
1
log3
2loglog3log
.log.log.
.log
−+
=−−+
=−=
( ) ( )
423
4
1
2323
23
.log
.log
.log.
4
1
logloglog.4
1log2log3log.
4
1
cb
a
cb
a
cb
a
cbacba
=
=
=−−=−−
af.matematica parte 7 Gabarito.pmd 7/9/2004, 11:36 AM1
Gabarito
2
Matemática
06-
07-
Desafio
556,21954,0602,01477,0.2301,0.3
13log22log319log8log
19.8log10log72log10.72log720log
699,0301,012log10log2
10log5log
778,0301,0477,02log3log2.3log6log
=++=++=
=++=++
=+=+==
=−=−==
=+=+==
301,02log10log
2log
10log
9log
9log
8log
8log
7log
7log
6log
6log
5log
5log
4log
4log
3log
3log
2log
9log.8log.7log.6log.5log.4log.3log.2log 109876543
==
=
Questões de Vestibulares
01- a
02- c
03- b
04- d
05- 04
06- 90
07- e
08- b
( ) ( )
)( )
( )( )
)( )
( )( )
( ) ( ) 1log.log.
loglog1
log.
log
loglog
log
log
log
loglog
loglog1
log.
log
loglog
log
log
log
loglog
.
logloglog
log
loglog
log
log
==
===
===
bab
ba
a
b
a
b
a
b
b
ab
b
a
b
a
b
a
a
b
abba
ab
b
b
ab
b
b
b
ab
ba
a
a
ba
a
a
a
ba
b
b
a
a
abb
a
aa
b
b
(
(
:
log
loglog
log
loglog
:
log
log
=
=
axy
temos
b
e
a
Como
axy
a
aa
b
bb
a
b
af.matematica parte 7 Gabarito.pmd 7/9/2004, 11:36 AM2
Gabarito
3
Matemática
MATRIZES
Exercícios de Aplicação
01 -
02 -
03 -
04 - Matriz A Matriz B Matriz A.B
2 x 3 3 x 4 2 x 4
5 x 2 2 x 2 5 x 2
3 x 3 3 x 1 3 x 1
2 x 4 3 x 4 Não existe
5 x 3 3 x 5 5 x 5
3 x 5 5 x 3 3 x 3
1 x 3 3 x 4 1 x 4
3 x 2 2 x 5 3 x 5
05 -
06 - a)
b) A matriz A é inversível e sua inversa é igual a sua
transposta.
07 - Alternativa correta: C, pois pela condição de existência
do produto de matrizes temos que existe AB e BA se, e
somente se, n = 4 e m = 3.
possível é não,103
11,possível é não
46
03,
67
51,
21
54
1
2
30
11
85
20,
22
31,
41
23
=−
−−=−=+
−=−
=+
=+
−=
=
−=
−=
CDCBDA
ACCBBA
DeCBA
−=
−−−
+
=+152
640
420
232
211
401
120
431
021tBA
−
−=
−−
−+
=−+2
10
14
2
2
5
3
1
2
1
2
2
0
3
32 CBA
24)2.14.33.2()2.10.31.2(
2
4
3
2
0
1
.711
132=+++++=⇒
−S
100
010
001
100000000
00002
1
2
10
2
1
2
1
00002
1
2
10
2
1
2
1
100
02
1
2
1
02
1
2
1
.
100
02
1
2
1
02
1
2
1
.AA t
=
++=+=+
=+++++−
=+++−++
=
−
−=
Questões de Vestibulares
01 -
02 -
03 -
04 -
05 -
⇒
732.2
622.2
512.2
531.2
421.2
311.2
23
22
21
13
12
11
=+==+==+==+==+==+=
a
a
a
a
a
a
A=
765
543
00.0.6.4.2
0
0
633
422
211
31
13
33
22
11
==⇒
==
=+==+=
=+=
P
a
a
a
a
a
43.2.02.2.1
35
25
03
25
23
1
=+=+
=⇒=+=⇒=++
=⇒=+
=⇒=++=⇒=+
=
defabc
efe
ffed
ded
ccba
bba
a
( )( ) ( )( ) 3012.021.
0
2
2
0
1
1
33
2
22
0
1
11
3
22
011
320
21
1
:logo , então simétrica,-anti é
765
21
1
Se
=++++−=++++⇒
=====
−=
⇒
−==
+−=−==
−−=+
⇒
−−+
−=
−−+
⇒−=
−=
−−+
=
cbazyx
z
a
y
c
b
x
zz
a
yy
c
b
xx
zac
yb
x
z
ay
cbx
MM
MM
z
ay
cbx
M
t
t
24011
4).1(2.01.12
1.2
2).43(2).33(2).23(2).13(
,
....
:sejaou B, matriz da coluna 2 pelaA matriz da
linha terceirada produto o calculemos que basta ,c elemento o queremos Como
32
32
2423222132
423432332232123132
32
−=−++=
−+++=
−+−+−+−=
+++=
−−−−
c
c
c
Logo
babababac
af.matematica parte 7 Gabarito.pmd 7/9/2004, 11:36 AM3
Gabarito
4
Matemática
DETERMINANTES
Exercícios de aplicação
01 - a)
b)
02 -
03 - Aplicando a Regra de Chió para reduzirmos a ordem do
determinante, temos:
Resolvendo pela Regra de Sarrus
( ) ( )
( )
2
2:
1 11
1 1
1. 1 1 1
2 1 0
2 2 4.1.1
2.12 0
12
Solução
x
x
x x
x x
x
x x
−=
− −
− − + =
− + =
± − −=
±= ⇒ =
105 1 5 4
21
xx x
+= ⇒ + = ⇒ =
( )2 5 1
5 3 4 12 20 0 3 0 50 32 47 15
1 0 2
−= + + − − + + = − =
11 11
1 2 3 4 2
0 1 0 0 0
1. 1.0 4 0 2 1
0 5 5 1 4
0 1 0 1 2
0 0 5 0 0 20
a a
( )
−
= = = =−
−−−
−
= + − − + + =−
1 0 0 00 2 1
4 0 2 15 1 4
5 5 1 40 1 2
1 0 1 2
0 2 1
5 1 4
0 1 2
25−
06 -
07 -
2
2
1 0 1. 0. 1. 0..
0 1 0. 1. 0. 1.
1 0 .1 .0 .0 .1. .
0 1 .1 .0 .0 .1
a b a b b d a bID
c d a c b d c d
a b a b a b a bDI
c d c d c d c d
O que demonstra o que foi solicitado
+ + = = = + +
+ + = = = + +
[ ] [ ]
[ ]2
2 2
17
3
3 2. 2 17
9 4 17
13 17 4 4 2
a.b
x
x
x
x x x x
=
− − =
+ + =
+ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ = ±
( ) ( )
( )2
1det2
102
316
012
:det
1det1.det.
?
102
316
012
1
113
1
−=⇒−=−
=⇒=⇒=
=−
−
−−−
A
LogoA
AAAIAA
04 -
05 -
06 -
Resposta: Letra D
07 -
( )
3333
3
2121220
20
11
12
10
det
: temos,1 Tornando
0
111
112
101
det0
100
010
001
111
112
101
det0)det(
100
010
001
111
112
101
+=⇒−=−⇒−=⇒−=⇒
=−−+⇒=
−
=⇒
⇒=
−−−
−⇒
=
−
−⇒=−
=
−=
xxyy
yyy
y
y
y
y - x
x
x
x
xxIA
IeA
( ) ( ) 8det2det
det.2det.det
det.2det.det2detdet
3
3
3
=⇒=⇒
⇒=⇒
=⇒=
AA
BBA
BBABAB tt
( )
( )
11
1 2, :
2 3 5 5 1 3 5 5
4 0 8 2 2 0 8 22.
6 7 3 2 3 7 3 2
2 5 4 3 1 5 4 3
Re ,
2 3 5 5 1 3 5 56 2 12
4 0 8 2 2 0 8 22. 2. 1 . 2 12 17
6 7 3 2 3 7 3 28 9 8
2 5 4 3 1 5 4 3
2. 576 272 216 1152 918 32 2.1038 2076
Dividindo a coluna por teremos
aplicando a gra de Chió
+
− −
=
− − − −
− −− −
= = − − − =−
− − − −
= − − − + + + = =
af.matematica parte 7 Gabarito.pmd 7/9/2004, 11:36 AM4
Gabarito
5
Matemática
04 -
logo, para qualquer valor de a e b a soma será nula.
05 -
ou seja, n = 0 e portanto 70 = 1.
06 -
07 -
Questões de Vestibulares
01 - Para que um determinante contendo 6 "zeros" e 3 "cincos"
seja diferente de "zero" é suficiente que possua uma da
suas diagonais formadas pelos números "cinco". Como
um determinante de ordem 3 possuí 6 diagonais
possíveis, esta será nossa resposta.
02 -
03 -
( )
0 aSeja a matriz singular A= e a matriz genérica B=
0 b
0 a . .. .
0 b . .
det . det .det , :
0 a . .det . det
0 b . .
c d
e f
temosque
c d a e a fAB
e f b e b f
como A B A B temos
c d a e a f
e f b e b f
= =
=
=
( )
0 a . .det .det det
0 b . .
,det ( ) 0,
det 0 . det . 0, . .
c d a e a f
e f b e b f
mas A então
a.e a.fO produto A B tem A B ou seja A B é SINGULAR
b.e b.f
=
=
= ⇒ =
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 . .
a a a
a b b abc a b a b a b ab a c
abc a b ab a c a a b b ca b c
= + + − − − =
+ − − = − −
0 00 0 0 0
2 2
a b a b
b a b a b a
− −+ = ⇒ = ⇒ =
1 0 0 1 20 1 2
. 1 1 . 3 5 73 4 5
1 1 3 5 7
log
0 1 2
det( .) 3 5 7 0 21 30 30 0 21 0
3 5 7
AB
o
AB
= − − = − − −
= − − − = − − + + + =
( )
0 1 1 0 1 2 0 1 1 2 2 3. .
1 0 2 1 0 1 1 0 2 5 2 5
det . 10 9 1
A B C
A B C
+ = + = + =
+ = − =
14 32 42
1 2 0 2352 0 42 2352 2688 0 42 2688
28 84
:
268842 2688 0 64
42
a a
a
para anular devemos fazer
a a a
− = + − − + + = − +
− + = ⇒ = ⇒ =
Desafio
00
10
00
)det(
7..
0)det(
100
010
001
00
10
00 321321
−−
−=−
=++=
=−
=
=
c
b
a
IM
aea
IM
Ie
c
b
a
M
λλ
λλ
λλλλλλ
λ
( )( )( )
( )
( )
( )8
211641
8
1
,8
12
3
2
0677
01
....
:
0..,
42222222
2
22
322
23
2
1
=++=++=++
=⇒=
−=
=⇒=−+∴=++∴=++
≠=∴=∴=
==
===
⇒=−−−
qaqaacba
Logo
aq
convémnãoq
ou
q
qqaaqaqaacba
e
aq
aaaqaqaacba
enunciadoDo
aqc
aqb
a
cbaLogo
λ
λλ
λλλ
af.matematica parte 7 Gabarito.pmd 7/9/2004, 11:36 AM5
Gabarito
6
Matemática
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Exercícios de Aplicação
01- a) n
b) n2 + 3n + 2
02-
I. 120
II. 40
III. 20
03-
I. 5040
II. 720
04- 350
05- d
06- e
07- e
Questões de Vestibulares
01- a
02- e
03- b
04-
I. 5!
II. 24
III. 48
05- d
06- a) 25.24.23.22
b) 265-26.24.23.22
07- a
08- 4
09- 63
10- 1010
910
810
710
610 CCCCCT ++++=
Desafio
Letra b
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Exercícios de aplicação
1- x=3 y=2
2- x=9 y=12 z=9
5 5 5
3- sistema com infinitas soluções.
4- m = 5
6
5- b= 52
53
6- x=1 y=2 z=-1
7- x=y=z=0
Questões de vestibular
1- -1
2- e
3- b
4- m=2
5- a
6- e
Desafio
a) x+y+z=0,5
5x+20y+16z=5,75
x-3y+z=0
b) x=amendoim=250g
y=castanha de caju=125g
z=castanha do pará=125g
{
af.matematica parte 7 Gabarito.pmd 7/9/2004, 11:36 AM6
Linhas Trigonométricas
1
Matem
átic
aLinhas Trigonométricas
A palavra trigonometria tem origem na Grécia da palavra trigonos (triângulo) + metrûm (medida). Etimologicamente,
significa medida de triângulos.
Foi a necessidade de relacionar distâncias com ângulos que levou astrônomos e topográfos de diversos povos,
como babilônios, gregos, árabes e hindus, a criarem a trigonometria.
Os primeiros topógrafos foram provavelmente os egípcios. As constantes inundações provocadas pelas cheias do
rio Nilo obrigaram esse povo a demarcar freqüentemente as suas terras.
Por vezes, pensa-se que a origem da Trigonometria está exclusivamente ligada à resolução de situações de medição
de terrenos ou determinação de medidas sobre a superfície da terra. No entanto, enquanto ramo do conhecimento
científico, é impossível separar a Trigonometria da Astronomia. Daí que o seu desenvolvimento como ciência exata viesse
a exigir medições e cálculos de grande precisão. É neste contexto que o astrônomo grego Hiparco de Niceia (180-125
a.C.) é considerado o fundador da Trigonometria. Foi ele quem introduziu as medidas sexagesimais em Astronomia e
elaborou a primeira tabela trigonométrica. Hiparco utilizou a trigonometria para fazer medições, prever eclipses, fazer
calendários e na navegação.
A Hiparco, seguiram-se outros no estudo e desenvolvimento da trigonometria, como por exemplo Ptolomeu.
No séc.lII, os indianos e os árabes deram nova dimensão à trigonometria ao introduzirem a trigonometria esférica.
ARCOS E ÂNGULOS
ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
É cada uma das partes em que uma circunferência é
dividida por dois de seus pontos.
ÂNGULO CENTRALLigando os pontos A e B ao centro da circunferência
determina-se um ângulo AÔB (central), cuja medida é a
mesma do arco (AB).
GRAUÉ um arco unitário equivalente a 1/360 da
circunferência.
Dividindo-se a circunferência em 360 partes iguais,
cada uma corresponderá a um arco de 1º.
Importante: 1 volta = 360º
RADIANOÉ um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio
da circunferência que o contém.
Dividindo-se o comprimento da circunferência 2πR
pelo raio, determina-se o número de radianos que tem
uma volta.
1 volta =2πR 1 volta = 2π radianos
R
01 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:071
Linhas Trigonométricas
2
Matem
átic
a
GRAUS:
1º Q
0<α<90º
2º Q
90º<α<180º
3º Q
180º<α<270º
4º Q
270º<α<360º
RADIANOS:
1º Q
0<α<π/2
2º Q
π/2<α<π
3º Q
π<α<3π/2
4º Q
3π/2<α<2π
AS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS
As linhas trigonométricas são, na verdade, os números
seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e
cossecante.
As funções trigonométricas só serão definidas após
o aprendizado das linhas trigonométricas.
SENO
Considerando um arco AM, a ordenada do ponto M
é o seno do arco AM.
sen AM = OM1
CONVERSÃO DE UNIDADES
Graus ↔ Radianos
360º = 2π rad
Exemplo:
Passe para graus 3π rad/2.
Solução:
360º – 2π rad
x –3
2
π rad
Regra de 3 simples.
360.3
2
π= x.2π
x=180 x 3
2x=270º
Assim 3
2
π rad = 270º
CIRCUNFERÊNCIA ORIENTADA
É uma circunferência cujo centro coincide com a
origem do sistema de coordenadas cartesianas com as
seguintes condições:
1) raio unitário (R=1);
2) um sentido positivo de percurso (anti-horário)
QUADRANTES
Os eixos x e y dividem a circunferência em quatro
partes iguais chamadas de quadrante.
01 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:072
Linhas Trigonométricas
3
Matem
átic
a
VALORES NAS
EXTREMIDADES NOTÁVEIS
sen 0º=0
sen 90º=1
sen 180º=0
sen 270º=-1
sen 360º=0
Logo, concluímos que:
-1 ≤ sen x ≤ 1
COSSENO
Considerando um arco AM, a abscissa do ponto M é
o cosseno do arco AM.
cos AM = OM2
VALORES NAS
EXTREMIDADES NOTÁVEIS
cos 0º =1
cos 90º =0
cos 180º =-1
cos 270º =0
cos 360º =1
Assim temos que:
-1 ≤ cos x ≤ 1
TANGENTE
O eixo das tangentes é uma reta perpendicular à
circunferência trigonométrica no ponto A.
t: eixo das tangentes
DEFINIÇÃO
Seja AM um arco qualquer. Prolongando-se o raio
OM até que encontre o eixo das tangentes obtém-se um
ponto T.
Define-se como tangente do arco AM a medida
algébrica do segmento AT.
tg AM =AT
VALORES
tg 0º=0
tg 90º→
tg 180º =0
tg 270º →
tg 360º =0
Nas extremidades B e B' não existe tangente.
A
B’
01 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:073
Linhas Trigonométricas
4
Matem
átic
a
COTANGENTE
O eixo das cotangentes é perpendicular à
circunferência trigonométrica no ponto B.
DEFINIÇÃO
Seja AM um arco qualquer. Prolongando-se o raio
OM até encontrar o eixo das cotangentes obtém-se um
ponto C.
Define-se como cotangente do arco AM a medida
algébrica do segmento BC .
cotg AM = BC
VALOREScotg 0º→ cotg 90º=0º
cotg 180º→ cotg 270º=0º
cotg 360º→
Nas extremidades A e A’ não existe cotangente.
SECANTE
O eixo das secantes é o mesmo eixo dos cossenos.
DEFINIÇÃO
Consideremos um arco qualquer AM. Pelo ponto
M, traçando-se uma tangente na circunferência, obtém-se
um ponto S, intersecção com o eixo dos cossenos.
A medida algébrica do segmento OS é a secante do
arco AM.
sec AM = OS
COSSECANTE
O eixo das cossecantes é o mesmo eixo dos senos.
DEFINIÇÃO
Consideremos um arco qualquer AM. Pelo ponto
M, traçando-se uma tangente na circunferência,
obtém-se um ponto C, intersecção com o eixo das
cossecantes.
A medida algébrica do segmento OC é a cossecante
do arco AM.
cossec AM = OC
01 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:074
Linhas Trigonométricas
5
Matem
átic
a
0 1 Passe para radianos 135º.
Solução: 360 2πrad
135º x
360.x = 2πx135
x= 270
360
π
x= 3
4rad
π
Assim 135º= 3
4rad
π
O NÚMERO πππππ
Há mais de quatro mil anos, já era conhecido o fato de que o quociente entre o perímetro de uma circunferência
e o seu diâmetro é sempre o mesmo número, qualquer que seja a circunferência. Mas que número é este?
Os egípcios (2000 a.C.) usavam o valor 256/81, aproximadamente 3,16.
Os babilônios, quase na mesma época, usavam 25/8, aproximadamente 3,12.
O grego Arquimedes, século III a.C., obteve o valor 22/7, aproximadamente 3,14. Ele chegou a esse
resultado utlizando perímetros de polígonos regulares inscritos e circunscritos de 96 lados.
O grego Ptolomeu, 170 d.C., obteve o valor 377/120, aproximadamente 3,1416, utilizando polígonos de
720 lados.
O chinês Tsu Chiung-Chih, século V, obteve um valor entre 3,1415926 e 3,1415927. Até o século XV, essa
foi a melhor aproximação obtida.
No século XV, o árabe Al-Kashi obteve uma aproximação com 16 casas decimais.
No século XVII, o alemão Ludolph Van Ceuten obteve uma aproximação com 35 casas decimais.
No início do século XVIII (1706), William Jones indica essa constante com a letra grega π, inicial da palavra
grega periferia (π∈ρ∈ϕ∈ρ∈ια).
Em 1737, Leonard Euler consagra o uso da letra π, adotando-a em todos os seus livros.
Em 1761, Johann H. Lambert faz a primeira prova de que π tem infinitas casas decimais, não formando
período, isto é, π é irracional.
Finalmente, em 1854, π foi obtido com 500 casas decimais.
Daí em diante, π foi obtido com um número cada vez maior de casas decimais:
• 707 casas, em 1873;
• 808, em 1947;
• 100 000, em 1961;
• 1 000 000, em 1973;
• 10 000 000, em 1984;
• 200 000 000, em 1988;
• 1 000 000 000, em 1989.
0 2 O valor de N=40.sen90º+36 cos 0º
-19sen 270º é igual a:
a) 2 b) 3
c) 4 d) 5
e) 6
Solução:
sen 90º=1, cos 0º=1, sen 270º=-1
Substituindo em N
01
N=4
N=76
19
02
N = 40 x 1 + 36 x 1
-19 x (-1)
01 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:075
Linhas Trigonométricas
6
Matem
átic
a
0 1 O arco de 60º, em radianos, equivale a:
a) π b) 2π c) π/3
d) π/4 e) π/6
0 2 O arco de 4
3
π radianos em graus equivale a:
a) 30º b) 60º c) 90º
d) 240º e) 300º
0 3 O valor de N=16 sen90º+4 cos 0º
-5 sen 180º é igual a:
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
0 4 Sabendo que sen x=n-3, com n real, podemos dizer
que:
a) n ≤ 7
b) n ≤ 16
c) 4 ≤ n ≤ 2
d) -3 ≤ n ≤ 0
e) 2 ≤ n ≤ 4
0 5 Sendo que cos x=-n+3, com n real, então é verdade
que:
a) 2 ≤ n ≤ 4
b) -3 ≤ n ≤ -2
c) -4 ≤ n ≤ -2
d) n ≤ 5
e) n ≤ 1
0 6 O maior valor de N = 2-sen x é igual a:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
0 7 O menor valor de N=-10-2cos x é igual a:
a) -8
b) -12
c) -10
d) -7
e) 4
0 1 (FUVEST-SP) O menor valor 1
3-cosx, com x real, é:
a) 1/6
b) 1/4
c) 1/2
d) 1
e) 3
0 2 (UFRS) Sendo x um número real, o menor e o maior
valor possíveis da expressão 42
5-2sen(10x) são,
respectivamente:
a) 6 e 14
b) -21 e 42/5
c) -14/5 e 42/25
d) -42 e 42
e) -14 e -6
0 3 (F.E.E.Q-CE) É dada a expressão cosx=3m-6. Os
números reais n, de modo que existam arcos x
satisfazendo esta igualdade, são tais que:
a) 5/3 ≤ n ≤ 7/3
b) 1/3 ≤ n ≤ 10/3
c) -1/3 ≤ n ≤ 5/3
d) -7/3 ≤ n ≤ 5/3
e) -1 ≤ n ≤ 1
0 4 (UNIVALE-SC) Sendo sen x= e <x<2π π2n-1
6,o
menor valor inteiro de n é:
a) -3
b) -2
c) -1
d) 0
e) 1
0 3 Sabendo que sen x=n-2, com n real, podemos afirmar
que:
a) 4 ≤ n ≤ 5 b) 1 ≤ n ≤ 3 c) 7 ≤ n ≤ 9
d) n ≤ -2 e) n ≥ 7
Solução: -1≤ sen x ≤ 1
-1≤ n-2 ≤ 1
Isolando n, temos:
-1+2 ≤ n ≤ 1+2
1≤ n ≤ 3
03
01
02
03
04
05
06
07
01
02
03
04
01 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:076
Linhas Trigonométricas
7
Matem
átic
a
(UNB-DF) Quanto mede em radianos um arco de 2º 15’ ?
Sugestão: transforme 15’ em graus.
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
0 5 (FEI-SP) Sabendo que sen x = 2n-3, com n real,
podemos dizer que:
a) -1 ≤ n ≤ 1
b) -1/2 ≤ n ≤ 1/2
c) 1 ≤ n ≤ 2
d) -3 ≤ n ≤ 3
e) -2/3 ≤ n ≤ 2/3
0 6 (UEPG-PR) O quadrante em que a tangente, a cotangente,
a secante e o cosseno são negativos é o:
a) 1º
b) 2º
c) 3º
d) 4º
e) nda
0 7 (PUC-PR) O valor numérico da expressão
y = cos 4x + sen 2x + tg 2x - sec 4x, para x=π/2 rad,
é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
05
06
07
01 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:077
Relações Trigonométricas
Matem
átic
a Relações Trigonométricas
Nesta aula, vamos relacionar as linhas trigonométricas de um mesmo arco, através das relações fundamentais e das
relações derivadas.
RELAÇÃO ENTRE SENO E
COSSENO
Aplicando Pitágoras, temos:
12 = sen2 x + cos2 x
sen2 x + cos2 x = 1
RELAÇÃO ENTRE TANGENTE
E COTANGENTE
Os triângulos OAT e OBC são semelhantes.
A tangente e a cotangente são linhas inversas.
cotg x
1
1
tg x=
1
tg xcotg x=
tg x
sen x
1
cos x=
sen x
cos xtg x=
cos x
sen xcotg x=
1
tg xcom a cotg x=
com cos x 0≠
com sen x 0≠
CONSEQÜÊNCIAS
Os triângulos OM2 M e OAT são semelhantes:
RELAÇÃO SECANTE E
COSSENO
Os triângulos OM2, M e OMS são semelhantes.
A secante e o cosseno são linhas inversas.
1
cos xsec x=
1
02 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:352
Relações Trigonométricas
Matem
átic
a
RELAÇÃO COSSECANTE-SENO
Os triângulos OM1, M e OMc são semelhantes.
A cossecante e o seno são linhas trigonométricas
inversas.
RELAÇÕES DERIVADAS
Para facilitar a resolução de muitos exercícios,
deduziremos duas relações derivadas das fundamentais.
Resumo:
SINAIS NOS QUADRANTES
1) seno e cossec + + - -
2) cosseno e secante + - - +
3) tg e cotg + - + -
ARCOS NOTÁVEIS
REDUÇÃO AO 1º QUADRANTE
ARCOS
Seja α um arco do 1º Q
REDUÇÃO: 2º Q → 1º Q
O que falta para 180º
cossec x
1
1
sen x
1
sen x= cossec x =⇒
sen x
cos x
2
2
cos x
cos x
2
2
1
cos x2+ =
sen x + cos x =1 (:cos x 0)2 2 2 ≠
tg x + 1 = sec x2 2
sec2x=1+tg2x
cossec2 x = 1+cotg2x
sen x
sen x
2
2
cos x
sen x
2
2
1
sen x2+ =
sen x + cos x =1 (:sen x 0)2 2 2 ≠
1 + cotg = cossec x2 2
sen x
cos x
1
tg x
cos x
sen x
1
cos x
1
sen x
1) sen x + cos x =12 2
2) tg x =
3) cotg x =
4) cotg x =
5) sec x =
6) cossec x =
7) sec x = 1 + 1 tg x2 2
8) cossec x = 1 + 1 cotg x2 2
π2
0 < < 90º ou 0 < < α α
AM1 + AM
2 = 180°
α = 180 - arco (dado)
M
O
2
02 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:353
Relações Trigonométricas
Matem
átic
a
Exemplo:
120º → 1º Q
180º - 120º = 60º
REDUÇÃO: 3º Q → 1º Q
AM3 - AM
1= 180º
α = arco (dado) -180º
o que passa de 180º
ExempIo:
240º → 1º Q
240º - 180º = 60º
QUAL A ORIGEM DA PALAVRA SENO?
A palavra seno é fruto de um antigo erro de tradução. Para os árabes, o que hoje conhecemos por seno era jiba,
cujo significado é meia corda.
Mas os árabes costumavam escrever apenas as consoantes de uma palavra, deixando que o leitor acrescentasse
as vogais. Assim, por exemplo, o símbolo jb podia ser lido como jiba ou jaib.
Quando os europeus traduziram os trabalhos árabes, por volta de 1150, no lugar de jiba (meia corda) escreveram
jaib, que significa baía ou enseada.
Em latim, enseada é sinus, que originou a palavra seno.Fonte: Matemática e Vida - Autores: Bongiovanni/ Vissoto/ Laureano - Editora Ática
REDUÇÃO: 4º Q → 1º Q
AM1 + AM
4 = 360º
α= 360 - arco (dado)
O que falta para 360º
Exemplo:
330º → 1º Q
360º - 330º = 30º
0 1 Sendo cosx=12/13 (x ∈ 2º Q), calcule sen x:
Resolução:
0 2 Determine m ≠ 0, tal que sec x = m-1 e tgx= m .
sec2 x = 1 + tg2 x
m2 -2m + 1 = I + m
m2 -3m = 0
m1 = 0
m2
= 3
m =3
01 02
sen x + cos x =12 2
sen x + (12/13) =12 2
sen x + 144/169 =12
sen x = 1- 144/1692
sen x = 2
sen x = 2
como x 2º Q, então sen x = 5/13∈
169-144
169
5
13
3
02 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:354
Relações Trigonométricas
Matem
átic
a
0 3 Determine m para que as igualdades cossec x=2 - m e
cotg x= 1-m sejam verdadeiras.
1 - m ≥ 0 ⇒ m ≤ 1
0 1 Sendo sen x= 24/25 (x ∈ 2º Q), a cotg x é:
a) 7/24 b) -7/24 c) 24/7
d) -24/7 e) -2
0 2 Sendo cos x= -12/13 (x ∈ 3º Q), a tg x é:
a) 13/12 b) -12/5 c) -5/12
d) 12/5 e) 5/12
0 3 (FUVEST-SP) Se tg x = 3/4 (x ∈ 3º Q), o valor de cos
x - sen x é:
a) 7/5 b) -7/5 c) -2/5
d) 1/5 e) -1/5
0 4 Para que as igualdades sec x= m-3 e tg x= 2-m sejam
verdadeiras, m deve ser igual a:
a) 2 ou 3
b) 3
c) 2
d) 4 ou 5
e) 1
0 5 O valor de m para que as igualdades tg x = m + 3 e
1
7-mcotg x= sejam verdadeiras é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
0 1 (UFPI) Se sen x=2/3 e x é um arco do 1º
quadrante, então cos x é igual a:
a) 1/3
b) 5/9
c) 5/3
d) 5/3
cossec2 x= 1 + cotg2 x
4 - 4m + m2 = 1 + 1 - m
m2 - 3m + 2 = 0
m1 = 1
m2 = 2
como m ≤ 1, então m = 1
0 6 A expressão y=1+ tg x . cotg x é equivalente a:
a) 2
b) sen x
c) tg x
d) cos2 x
e) cotg2 x
0 7 A expressão y=1-sen x cos x cotg x é equivalente a:
a) tg2 x
b) cos2 x
c) sen2 x
d) sec2 x
e) cossec2 x
0 8 (U.F. UBERLÂNDIA) Sejam x, e ∈ R. Se
-4
3
1
cos x . cossec x2 2+y = - sec x
2
, então o valor
de y é:
a) 7
3
b) -1
3
c) -4
3
d) -7
3
e) -1
3
0 2 (UFES) Sabendo que 2
3 e que x está no 2º
quadrante, então o valor de tg x é:
a) - 6
b) - 2
c) 3
d) 2 3
e) nda.
03
01
02
03
04
05
06
07
08
01 02
4
02 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:355
Relações Trigonométricas
Matem
átic
a
0 3 (UFSC) Se cossec x = 5/4, x que pertence ao 1º
quadrante, então o valor da expressão 25 . sen2 x - 9 .
tg2 x é:
a) 0
b) 1
c) -1
d) 2
e) nda
0 4 (UGF-RJ) Determine a, de forma que se tenha
simultaneamente sen x=1/a e cos x= a+1/a:
0 5 (PUC-RS) Se tg a=1/2 e a ∈ [0, π/2[, então cos a é
igual a:
a) 3/2 b) 6/2 c) 6/3
d) 2 5/5 e) 5/2
(FGV-SP) A expressão sen x - cos x
sen x + cos x
3 3
é igual a:
a) 1
b) sen x+cos x
c) 1-sen x cos x
d) 2
e) 2/sen x
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
03
04
05
0 6 (FEEO-CE) Se 3
2
π , então sen
x vale:
a) 2 2/3 b) -2 2/3 c) 3 2/2
d) - 2/2 e) nda
0 7 (FGV-SP) Sabe-se que sen a= 25/24 .Então, o valor de
1 - cos a
1 + cos a com
3
2
π é:
a) 3/4 b) 4/3 c) 3/5
d) 5/4 e) 1/2
0 8 (UFMS) Dado cos x=4
5 e
π2
, calcular o valor
de sec x - cossec x
1 - cotg x
06
07
08
+
5
02 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:356
Funções Trigonométricas
1
Matem
átic
a
OPERAÇÕES COM ARCOS
sen (a + b) ≠ sen a + sen b
Exemplo:
sen (30º + 60º) ≠ sen 30º + sen 60º
sen 90º = 1
sen 30º + sen 60º =
Então, para se calcular os valores das linhas
trigonométricas dos arcos (a+ b) e (a -b), procede-se da
seguinte forma:
FÓRMULAS DE ADIÇÃO
sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a
cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b
FÓRMULAS DE SUBTRAÇÃO
sen (a - b) = sen a cos b -sen b cos a
cos (a - b) = cos a cos b + sen a sen b
ARCO METADE
As fórmulas do arco metade relacionam linhas
trigonométricas de um arco x com linhas trigonométricas
de um arco x
2.
Funções Trigonométricas
Nesta aula, vamos efetuar operações com arcos e estudar as funções trigonométricas.
DADO COS X
Conhecendo-se cos x , ca lcular as l inhas
trigonométricas do arco x
2.
Cos x
2
Sen x
2
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO SENO
Seja AM um arco qualquer de circunferência
trigonométrica.
sen AM = OM1
ou
sen x = OM1
tg a + tg b
1 - tg a . tg b
tg a - tg b
1 + tg a . tg b
x
2
1 + cos x
2
x
2
1 - cos x
2
x
2
x
2x
2
x
2
1 - cos x
1 + cos x
1 + √ 3
2 2
tg (a + b) =tg a - tg b
1 - tg a . tg b
03 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:431
Funções Trigonométricas
2
Matem
átic
a
Chama-se função seno à função que associa a cada
número real x (arco) o número OM1=sen x.
GRÁFICO (SENÓIDE)
Valores do seno nas extremidades notáveis
sen 0º = 0 sen 0º = 0
sen 90º = 1 sen π/2 = 1
sen 180º = 0 sen π = 0
sen 270º = -1 sen 3π/2 = -1
sen 360º = 0 sen 2π = 0
Observa-se, no gráfico, que a função repete os seus valores.
sen π/2 = sen 5π/2 = 1 1
sen 0º = sen 2π = 0 2
A função que repete seus valores é chamada de periódica.
Note que no exemplo: 1
π/2+ 2π = 5π/2
Assim, a cada 2π na função repete os seus valores.
O período da função seno é 2π rad ou 360º
IMAGEM
-1 ≤ sen x ≤ 1
DOMÍNIO
É o conjunto dos arcos para as quais existe a função
seno.
D = R
FUNÇÃO COSSENO
cos x = OM2
Chama-se função cosseno a função que associa a
cada número real x (arco) o número OM2 = cos x.
GRÁFICO (COSSENÓIDE)
Valores do cosseno nas extremidades notáveis.
cos 0º = 1 cos 0º = I
cos 90º = 0 cos π/2 = 0
cos 180º = -1 cos π = -1
cos 270º = 0 cos 3π/2= 0
cos 360º = 1 cos 2π = 1
cos π/2 = cos 5π/2 = 0
cos 0º = cos 2π = 1
Período = 2π rad ou 360º
IMAGEM
-1 ≤ cos x ≤ 1
03 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:442
Funções Trigonométricas
3
Matem
átic
a
DOMÍNIO
Conjunto dos arcos para os quais existe cosseno.
D = R
FUNÇÃO TANGENTE
tg x = AT
Observação
Nas extremidades π/2 e 3π/2 não existe
tangente, logo:
x ≠ π/2 + Kπ (K ∈ Z)
Chama-se função tangente à função que associa a
cada número real x (arco) o número AT = tg x.
GRÁFICO (TANGENTÓIDE)
tg 0º= 0 tg 180º = 0
tg 90º→ tg 270º→tg (90º - ε) = ∞ tg (270º - ε) = ∞tg (90º + ε) = -∞ tg (270º + ε) = -∞
tg 0º = tg 180º = 0
Período = π rad ou 180º
IMAGEM
Im = R
DOMÍNIO
É o conjunto dos arcos para o qual existe a função
tangente.
Arco (x) ≠ 90º + 180k
ou
Arco (x) ≠ π/2 + kπ
03 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:443
Funções Trigonométricas
4
Matem
átic
a
ERATÓSTENES E O PERÍMETRO DA TERRA
Eratóstenes determinou o perímetro e o raio da Terra
Como Eratóstenes mediu a terra?
Era astrônomo e mestre em Alexandria. Estudando o trajeto das caravanas de camelos, percebeu que a
cidade de Syena (hoje Assuão) ficava sobre o meridiano de Alexandria, 800Km ao sul (as unidades usadas não eram
as atuais).
De Syena chegavam intrigantes relatos de que o Sol surgia no fundo de um célebre poço, no primeiro dia de
Verão.
Eratóstenes compreendeu que Syena ficava sobre o Trópico de Câncer onde o Sol incide verticalmente no
solstício de Verão.
A idéia genial de Eratóstenes foi medir o ângulo dos raios solares com um alto obelisco de Alexandria, à
mesma hora do mesmo dia em que o Sol "aparecia" no fundo do poço de Syena, aproximadamente 7º.
0 1 Calcule sen 75º.
sen (30º + 45º) = sen 30º cos 45º + sen 45º
cos 30º sen 75º =1
2
2
2
2
2
3
3
sen 75º = 2 + 6
4
0 2 Calcule tg 15º = tg (45º - 30º)
0 3 Se cossec x = 3/2 (x ε1º Q), calcule sen x/2.
x
2
1 - cos x
2
cálculo de cos x
1
cossec x
2
3sen x = sen x =;
Usando sen2 x+cos2 x = 1, temos que
01 03
02 5
3cos x =
x
2
3 - 5
6
x
2
1 -
2
5
3
03 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:444
Funções Trigonométricas
5
Matem
átic
a
0 1 (PUC-SP) Sendo 75º=45º+30º, o valor de sen 75º
é:
a) 3
4
b) 3 + 1
2
c)2
3
d)1
4
e)6 - 2
4
0 2 (UFOP-MG) Assinale a sentença falsa:
a) cotg2x = cossec2x - 1
b) tg x = sen x.sec x; x ≠ kπ + π/2 e k ≠ Z
c) sec2 x = tg2 x+1
d) sen 2x = 2.sen x.cos x
e) cos 2x = sen2 x - cos2 x
0 3 (UNIFOR-CE) Lembrando que cos 75º = cos
(45º+30º), o valor de cos 2985º é igual a:
a)2 - 6
4
b)6+ 2
4
c)6 - 2
4
d)6+ 2
2
e)6 - 2
2
0 1 Calcule sen 15º.
0 2 Calcule cos 15º.
0 3 Calcule cos 75º.
0 4 Calcule tg 75º.
0 5 Sendo sen x=-3/5 (x ∈ 4º Q), calcule cos x/2.
0 6 Sendo tg x=5/12 (x ∈ 3º Q), calcule sen x/2.
0 7 Sendo cossec x=25/24 (x ∈ 2º Q), calcule tg x/2.
0 8 Sendo sen a=5/13 (a ∈ 2º Q), cos b=4/5 (x ∈ 4º Q)
calcule sen (a + b).
0 4 (UFAL) Se cos 2x=1/2 e 3π/2<x<2π, qual é o valor
de sen x?
a) -1 b) -1/2 c) -1/4
d) 1/4 e) 1/2
0 5 (PUC-RJ) Se tg 3x=4, então tg 6x é igual a:
a) 8
b) -8/15
c) 3/4
d) -3/4
e) 5/8
0 6 (UF-PI) Se α é a medida de um arco do 1º quadrante
trigonométrico α2
1
3, então o valor do sen x é:
a)9
22b)
9
24c)
3
2
d) e)9
3
(UF-AL) Se x e y são tais que 0 ≤ x ≤ π/2 e 0 ≤ y ≤ π/2, sen
y=3/5 e cos x=3/4, então cos (x-y) é igual a:
a)9-9 7
20b) c)
d) e)
(UNIFOR-CE) Dado cos 37º= 0,8, conclui-se que cos
74º é:
a) 0,30
b) 0,28
c) 0,26
d) 0,25
e) 0,22
01
02
03
04
05
06
07
08
01
02
03
04
05
06
08
1
3
07
3(4+ )7
4
9+ 7
10
3(4+ )7
10
3(4- )7
20
03 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:445
Funções Trigonométricas
6
Matem
átic
a
(CEFET-PR) No intervalo [0, 6π], a equação trigonométrica cos 2x+2.sen2x+2=0:
a) possui três raízes reais e distintas;
b) possui duas raízes;
c) possui uma infinidade de raízes;
d) não possui raízes;
e) possui uma única raiz.
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
03 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:446
Poliedros Convexos
1
Matem
átic
aPoliedros Convexos
Esta aula tem por objetivo relacionar os elementos dos poliedros convexos, através do teorema de Euler.
POLIEDROS CONVEXOS
DEFINIÇÃO E ELEMENTOS
Consideremos n (n ≥ 4) polígonos convexos, tais
que dois deles não estão num mesmo plano, o plano que
contém um polígono separa os outros num mesmo semi-
espaço e cada lado de um polígono é comum a dois
polígonos.
A intersecção dos semi-espaços formados por planos
que contêm cada polígono é a figura chamada poliedro
convexo.
Os vértices do poliedro convexo são os vértices
dos polígonos.
As arestas do poliedro convexo são os lados dos
polígonos.
As faces do poliedro convexo são os polígonos.
TEOREMA DE EULER
Em todo poliedro convexo, a soma do número de
vértices com o número de faces é igual ao número de
arestas aumentado de duas unidades.
V+F=A+2
V é o número de vértices do poliedro.
F é o número de faces do poliedro.
A é o número de arestas do poliedro.
TEOREMA DA SOMA DOS ÂNGULOS
A soma das medidas dos ângulos das faces de um
poliedro convexo é igual a S= 360º .(V - 2), onde V é o
número de vértices.
S=360º.(V-2)
POLIEDROS DE PLATÃO
Poliedro de Platão é todo poliedro convexo
que tem as faces com o mesmo número de arestas, em
cada vértice concorre o mesmo número de arestas e satisfaz
a relação de Euler.
Existem 5 classes de poliedros de Platão. Veja:
O p é o número de arestas que concorre num vértice.
Um poliedro convexo é regular se todas as faces são
polígonos regulares e congruentes e todos os ângulos
poliédricos são congruentes.
Todos os poliedros regulares são poliedros de
Platão.
04 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:491
Poliedros Convexos
2
Matem
átic
a
Observe cada poliedro e sua planificação:
TETRAEDRO REGULAR
4 faces triangulares
4 vértices
6 arestas
HEXAEDRO REGULAR
6 faces quadrangulares
8 vértices
12 arestas
OCTAEDRO REGULAR
8 faces triangulares
6 vértices
12 arestas
DODECAEDRO REGULAR
12 faces pentagonais
20 vértices
30 arestas
ICOSAEDRO REGULAR
20 faces triangulares
12 vértices
30 arestas
LEONHARD EULER
Euler nasceu em Basel, Suíça. Seu pai, um pastor, queria que o fiIho seguisse os passos dele e o enviou para a
Universidade de Basel para prepará-Io para o ministério, mas geometria se tornou logo o assunto favorito dele. Pela
intercessão de Bernoulli, Euler obteve o consentimento de seu pai para mudar para a matemática. Depois de não
conseguir uma posição de físico em Basel em 1726, ele se uniu a St. Academia de Ciência de Petersburg em 1727.
Quando foram retidos capitais da academia, ele serviu como médico-tenente na marinha russa de 1727 a 1730.
Tornou-se professor de Física na academia em 1730 e professor de Matemática em 1733, quando se casou e deixou
a casa de Bernoulli. A sua reputação cresceu depois da publicação de muitos artigos e de seu livro Mechanica (1736-
37), que apresentou extensivamente pela primeira vez a dinâmica Newtoniana na forma de análise matemática.
Em 1741, Euler se juntou à Academia de Ciência de Berlim, onde ele permaneceu durante 25 anos. Em 1744
tornou-se o diretor da seção de matemática da academia. Durante sua permanência em Berlim, ele escreveu mais de
200 artigos, três livros em análise matemática e uma popularização científica, Cartas para Princesa de Alemanha (3
vols., 1768-72). Em 1755, foi eleito um membro estrangeiro da Academia de Ciência de Paris; durante sua carreira,
recebeu 12 desses prêmios bienais prestigiosos.
04 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:492
Poliedros Convexos
3
Matem
átic
a
0 1 Qual é o número de vértices do poliedro que tem 12
arestas e 6 faces?
Resolução:
F+V=A+2
6+V=12+2
6+V=14 ⇒ V=8
0 2 O número de arestas de um poliedro é o dobro do
número de faces. Sendo 10 o número de vértices, calcule o
número de arestas.
Resolução:
A=2F ⇒
F + V = A +2
+ 10 = A + 2
F+3=2A+4 A=16
0 1 O número de arestas de um poliedro é igual a 18 e o
número de faces é 8, então, o número de vértices é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
0 2 O número de arestas de um poliedro é o triplo do
número de faces. Sendo 12 o número de vértices, o
número de arestas é:
a) 15
b) 12
c) 10
d) 8
e) 6
0 3 O perímetro de um icosaedro regular de 4cm de arestas,
em centímetros, é:
a) 80
b) 90
c) 100
d) 120
e) 180
0 3 Qual é o perímetro de um dodecaedro regular de 30cm
de aresta?
Resolução:
O dodecaedro tem 30 arestas
perímetro=soma de todos os lados
2p=30xa=30x30
2p=900cm
0 4 Num poliedro convexo, o número de arestas é igual ao
número de faces mais cinco. Qual é o número de vértices
do poliedro?
0 5 A soma das medidas dos ângulos das faces de um poliedro
convexo é de 1800º. Qual é o número de vértices do
poliedro?
0 6 Um poliedro convexo tem 4 faces triangulares. Calcule a
soma das medidas dos ângulos das faces do poliedro.
0 7 Calcule a soma das medidas dos ângulos internos das
faces do poliedro convexo que tem 3 faces
quadrangulares e 2 faces hexagonais.
01
02
03
01
02
03
04
05
06
07
A
2
F=A
2
04 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:493
Poliedros Convexos
4
Matem
átic
a
0 1 (PUC-PR) Quantas arestas tem um poliedro convexo
de faces triangulares em que o número de vértices é 3
5
do número de faces?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
0 2 (CESGRANRIO-RJ) Considere o poliedro regular de
faces triangulares que não possui diagonais. A soma dos
ângulos das faces desse poliedro vale, em graus:
a) 180
b) 360
c) 540
d) 720
e) 900
0 3 (PUC-SP) O número de vértices de um poliedro
convexo que possui 12 faces triangulares é:
a) 4
b) 12
c) 10
d) 6
e) 8
0 4 (ITA-SP) Se um poliedro convexo possui 20 faces e 12
vértices, então o número de arestas desse poliedro é:
a) 12
b) 18
c) 28
d) 30
e) 32
0 5 (UFPA) Num poliedro convexo, o número de faces é 6
e o número de vértices é 8. Então, o número de arestas
é:
a) 8
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
0 6 (UNIRIO-RJ) Um geólogo encontrou numa de suas
explorações um cristal de rocha no formato de um
poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces
triangulares. O número de vértices desse cristal é igual a:
a) 35
b) 34
c) 33
d) 32
e) 31
0 7 (CESESP-PE) Considere os seguintes poliedros regulares:
A1: tetraedo
A2: dodecaedro
A3: icosaedro
Assinale, entre as seguintes alternativas, a falsa.
a) o poliedro A1 tem as faces triangulares
b) o poliedro A2 tem 12 faces
c) o poliedro A3 tem faces triangulares
d) o poliedro A2 tem as faces em forma de dodecaedro
e) o poliedro A3 tem 20 faces
(UNICAMP-SP) Dado um cubo de aresta l , qual é o volume do octaedro cujos vértices são os centros das
faces do cubo?
01 05
02
06
03
07
04
04 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:494
Prismas
1
Matem
átic
aPrismas
ELEMENTOS
Bases são os polígonos Se S’.
Arestas laterais são os segmentos AA , BB, ...
Arestas das bases são os lados dos polígonos S e
S’: AB, AB, ...
Altura é a distância h entre os planos que contêm as
bases.
Faces laterais são os paralelogramos AA’B’B, ...
SECÇÃO TRANSVERSAL
Secção transversal de um prisma é o polígono
obtido pela intersecção de um plano paralelo às bases com
o prisma.
A secção transversal é um polígono congruente com
as duas bases.
SUPERFÍCIES
SUPERFÍCIE LATERAL
É a reunião das faces laterais. A área da superficie
lateral será simbolizada por Al.
SUPERFÍCIE TOTAL
É a reunião das faces laterais com as duas bases.
A área da superfície total será simbolizada por At.
Nesta aula vamos desenvolver o estudo dos prismas, destacando os prismas regulares.
PRISMA REGULAR
Prisma reto é todo prisma cujas arestas laterais são
perpendiculares às bases.
Prisma regular é um prisma reto, cujas bases são
polígonos regulares.
Num prisma regular:
A altura e as arestas laterais são congruentes.
As faces laterais são retângulos.
PARALELEPÍPEDO
Paralelepípedo é um prisma cujas bases e faces
são paralelogramos.
Paralelepípedo retângulo ou ortoedro:
É um prisma reto cujas bases são retângulos.
Cubo:
O cubo é o paralelepípedo retângulo de arestas e
medidas iguais.
As suas 6 faces são quadrados congruentes.
Exemplos:
DIAGONAL
A medida da diagonal de um paralelepípedo
retângulo de arestas medindo a, b e c é:
∆ BAD ⇒ d’2 = a2 + b2
∆ HDB ⇒ d2 = d’2 + c2
Substituindo-se vem:
d2 = a2 + b2 + c2
d= a2+b2+c2
Secção transversal
05 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:571
Prismas
2
Matem
átic
a
O estudo de áreas e volumes nos ajuda a explicar algumas situações do dia-a-dia como, por exemplo, por que
um bebê sente mais frio que um adulto. Para entender esse fato, pense em dois cubos de ferro maciço, um de aresta
3cm e o outro de aresta 6cm, ambos a uma mesma temperatura de 36º C.
No cubo temos:
d= a2 +a2 +a2= 3a2 ⇒ d=a 3
ÁREA TOTAL
A área total de um paralelepípedo retângulo cujas
arestas medem a, b e c é:
At=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)
A área total do cubo de aresta a é:
São quadrados de área a2:
At=6a2
VOLUME
A medida do volume de um prisma é o produto da
medida da área da base pela medida da altura.
V=B . h
No paralelepípedo retângulo, temos:
V = B . h
V = a. b . c
No cubo, temos:
V=a3
ÁREAS E VOLUME DE
PRISMAS REGULARES
ÁREA LATERAL (A�)
Al=2p
B.H
2pB= perímetro da base
H= altura do prisma
ÁREA TOTAL (AT)
At=2A
B+A
l
AB=ÁREA DA BASE
VOLUME
V=AB.H
05 Matematica.pmd 6/8/2004, 00:452
Prismas
3
Matem
átic
a
0 1 Calcule a área total de um cubo de arestas medindo
5cm.
Resolução:
At=6a2
a=5cm
At=6x52=6x25
At= 150cm2
0 2 Calcule a medida da diagonal de um cubo cuja aresta
mede 2cm.
Resolução:
db=a 2
db=2 2cm
D2=db2+a2
D2=(2 2)2+22
D2=8+4
D2=12 D=2 3cm
0 1 Calcule a área total de um cubo de arestas medindo
4cm.
0 2 Calcule a medida da diagonal de um cubo de arestas
medindo 6cm.
0 3 Calcule a área total de um prisma hexagonalregular de
aresta da base igual a 6cm e altura medindo 10cm.
Colocando-os em um ambiente de temperatura mais baixa, o cubo menor perderá calor mais rapidamente
que o maior. Na linguagem do cotidiano, dizemos que o menor se esfriará mais rapidamente que o maior. Isso
ocorre porque a razão da área total para o volume do cubo pequeno, 6.3
3
2
3 = 2, é maior que a razão correspondente
no cubo grande, 6.6
6
2
3 = 1, ou seja, a superfície em contato com o ambiente é relativamente maior no cubo
pequeno. O mesmo acontece com um bebê e um adulto. A razão da área para o volume do corpo de um bebê é
maior que a razão correspondente em um adulto; por isso, a criança tem maior dificuldade em manter o calor de
seu corpo e, portanto, sente mais frio.
Fonte: Matemática Volume Único - Autor: Manoel Paiva - Editora: Moderna
0 3 Calcule a área total de um prisma hexagonal
regular cuja aresta da base mede 4cm e a
altura mede 3cm.
Resolução:
At=2AB+A
L
AB=
4
6.l2 3
AB=
4
6.42
3
AB=29 3 cm2
AL=2p
b.H
AB=6.4.3
AL= 72 cm2
AT= 2A
B+A
L
AT=(29 3+72) cm2
0 4 Uma fábrica embala 8 latas de palmito em caixas de
papelão cúbicas de 20 cm de lado. Para que possam ser
melhor transportadas, essas caixas são colocadas, da
melhor maneira possível, em caixotes de madeira de 80
cm de largura por 120 cm de comprimento por 60 cm
de altura. O número de latas de palmito em cada caixote
é:
a) 576 b) 4608
c) 2304 d) 720
e) 144
01
02
03
01
02
03
04
b
05 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:573
Prismas
4
Matem
átic
a
0 5 Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma,
cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a seguir, são
dadas as dimensões do prisma em metros. O volume
desse tanque em metros cúbicos é:
a) 50
b) 60
c) 80
d) 100
e) 120
0 6 Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas
medindo 10 cm e 6 cm, são levados juntos à fusão e,
em seguida, o alumínio é moldado como um
paralelepípedo reto-retângulo de arestas 8 cm, 8 cm e x
cm. O valor de x é:
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
0 7 As medidas internas de uma caixa-d’água em forma de
paralelepípedo retângulo são 1,2m, 1 m e 0,7m. Sua
capacidade é de:
a) 8400 litros
b) 84 litros
c) 840 litros
d) 8,4 litros
e) n.d.a.
(1m3 = 1000 litros)
0 8 As dimensões de uma piscina olímpica são : 50m de
comprimento, 25m de largura e 3m de profundidade. O
seu volume, em litros, é:
a) 3750
b) 37 500
c) 375 000
d) 3 750 000
e) 37 500 000
0 1 (UFOP-MG) A área total de um cubo cuja diagonal mede
5 3 cm é:
a) 140cm2
b) 150cm2
c) 120 2cm2
d) 100 3cm2
e) 450cm2
0 2 (ITA-SP) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se
que sua altura mede 3 cm e que sua área lateral é o
dobro da área de sua base. O volume desse prisma, em
cm3, é:
a) 27 3
b) 13 2
c) 12
d) 54 3
e) 17 5
0 3 (PUC-RS) Na base de um prisma triangular regular com
altura de 8cm está inscrito um círculo de raio 2 3 cm. O
volume desse prisma, em centímetros cúbicos, é igual a:
a) 36 3
b) 72 3
c) 144 3
d) 288 3
e) 576 6
0 4 (UF-ES) Uma formiga mora na superfície de um cubo de
aresta a. O menor caminho que ela deve seguir para ir de
um vértice ao vértice oposto tem comprimento:
a) a 2
b) a 3
c) 3 a
d) (1+ 2)a
e) a 5
05 07
06
01
02
03
04
07
05 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:574
Prismas
5
Matem
átic
a
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
0 7 (UNIFOR-CE) Um paralelepípedo retângulo é tal que a
maior aresta mede o quádruplo da outra e esta, por sua
vez, mede o dobro da menor aresta. Se a área total
desse paralelepípedo é 52 cm2, o seu volume é:
a) 8 cm3
b) 12 cm3
c) 16 cm3
d) 20 cm3
e) 22 cm3
(FEI-SP) As medidas das arestas de um paralepípedo retângulo são proporcionais a 2, 3 e 4. Se sua
diagonal mede 2 29 cm, seu volume em cm3, é:
a) 24
b) 24 29
c) 116
d) 164
e) 192
0 5 (UECE) Um prisma reto tem por base um losango cujas
diagonais medem 8 cm e 4 cm, respectivamente. Se a
altura do prisma é de 6 cm, então o volume desse prisma,
em centímetros cúbicos, é:
a) 72
b) 86
c) 92
d) 96
0 6 (FMJ-SP) A base de um prisma reto e um triângulo
eqüilátero cujo lado mede 6 cm. Se a área lateral desse
prisma é 144 cm2 o seu volume é:
a) 24 3 cm3
b) 48 3 cm3
c) 72 3 cm3
d) 96 3 cm3
e) 112 3 cm3
05
06
07
05 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:575
Pirâmides
Matem
átic
a Pirâmides
DEFINIÇÃO
Seja o plano α, o polígono convexo S e o ponto V
fora do plano α. Pirâmide é a reunião de todos os
segmentos com um extremo em V e outro extremo em S.
ELEMENTOS
Base é o polígono S.
Vértice é o ponto V.
Arestas laterais são os segmentos VA, VB, ...
Arestas de base são os lados do polígono S, no
caso AB, BC, ...
Altura é a distância h do vértice ao plano que contém
a base da pirâmide.
Faces laterais são os triângulos VAB, VBC, ...
SUPERFÍCIES
SUPERFÍCIE LATERAL
É a reunião das faces laterais. A área dessa Superfície
será simbolizada por Al.
A pirâmide de Quéops é conhecida como a Grande Pirâmide do Egito. Sua base tem aproximadamennte 230m de
aresta e sua altura é de 147m.
Com os conhecimentos desta aula, é possível calcular as áreas lateral, total e o volume da pirâmide de Quéops.
SUPERFÍCIE TOTAL
É a reunião das faces laterais com a base. A área dessa
superfície será simbolizada por At.
Observe a planificação desta pirâmide.
A área total é At = A
l + A
b.
Observação:
Por abuso de linguagem, quando for citada área
será área de uma superfície.
CLASSIFICAÇÃO
QUANTO AO POLÍGONO DA BASE
A pirâmide é triangular quando sua base é um triângulo.
A pirâmide é quadrangular quando sua base é um
quadrado.
A classificação depende do polígono da base.
1
06 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:022
Pirâmides
Matem
átic
a
PIRÂMIDE REGULAR
Uma pirâmide é regular quando sua base é um
polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre a
base com o centro dessa base.
• As arestas laterais são congruentes.
• As faces laterais são tr iângulos isósceles
congruentes.
• Apótema da pirâmide é o segmento com
extremos no vértice com o ponto médio de um lado da
base. Representa-se por ap.
• Raio da base é o raio do círculo circunscrito à
base. Representa-se por R.
• Apótema da base é o apótema do polígono da
base. Representa-se por r.
Veja as relações métricas destes elementos da
pirâmide dada:
a) no triângulo retângulo VOA: a2l=h2+R2
b) no triângulo retângulo VOM: a2p=h2+a2
c) no triângulo retângulo VMB: a2l=a2
p+
l
2
2
SECÇÃO TRANSVERSAL
Seja uma pirâmide V, cuja altura é H e a área da base é
S2.
Considere uma secção transversal paralela à base,
formando uma pirâmide menor de altura h e área de base
S1.
Os polígonos S1 e S
2 são semelhantes, e suas áreas
estão relacionadas com suas alturas, através da relação:
FÓRMULAS DAS PIRÂMIDES
REGULARES
ÁREA DA BASE (AB)
É a área do polígono formador.
ÁREA LATERAL (AL)
É a soma das áreas das faces laterais.
AL=p
B.a
p
pB= metade do perímetro da base
ÁREA TOTAL (AT)
AT=A
L+A
B
VOLUME
Dado um prisma de base B e altura h, demonstra-se
que é possível decompor o prisma em 3 pirâmides de
volumes iguais.
A medida do volume de uma pirâmide é a terça parte
do produto da área da superfície da base pela medida da
altura.
S
S
1
2
h
H
2
2=
B.h
3V=
2
06 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:023
Pirâmides
Matem
átic
a
0 1 Calcular o volume da pirâmide quadrangular regular.
Resolução:
a= l
2A
B=l2
l=2a AB=62=36cm2
l=2.3A .H
3
BV=
l=6cm36x5
3V=
V=60cm3
0 2 Calcular a altura de uma pirâmide quadrangular regular
com apótema da base igual a 4cm e apótema da pirâmide
medindo 5cm.
Resolução:
Pitágoras
25=16+h2
h2=9
h=3cm
0 3 Calcular a área da superfície lateral de uma pirâmide
quadrangular regular, sabendo-se que o apótema da
pirâmide mede 10cm e a aresta da base mede 4cm.
Resolução:
A base:
AL=p
B.a
p
pB=2l ∴ p
B=2.4 ∴ p
B=8cm
Al=pB.a
p
Al=8x10 ⇒ AL=80cm2
A pirâmide de Quéops, ao ser terminada, media 148m e
233m na aresta da base. Atualmente ela tem cerca de 136m de
altura e a aresta da base mede 230m.
De quanto diminuiu o seu volume?
Antes: V1=
1
3 . (233)2.146 V
1=
Hoje: V2=
1
3 . (230)2.136 V
2=
Valores aproximados: V2
- V1=
0 1 Calcular o volume de uma pirâmide quadrangular regular,
sabendo-se que o apótema da base mede 8cm e a altura
mede 6cm.
0 2 Calcular a altura de uma pirâmide quadrangular regular
com apótema da base igual a 5cm e apótema da pirâmide
medindo 13cm.
01
02
03
01 02
3
06 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:024
Pirâmides
Matem
átic
a
0 3 Calcular a área da superfície lateral de uma pirâmide
quadrangular regular, sabendo-se que o apótema mede
25cm e a aresta da base mede 10cm.
0 4 A pirâmide de Quéops é conhecida como a Grande
Pirâmide do Egito. Sua base tem 230m de aresta e sua
altura mede 147m. Calcular o volume da pirâmide.
0 5 Um enfeite de concreto tem a forma de uma pirâmide
quadrada. Sua base tem 15cm de aresta e sua altura é
20cm. Supondo que o enfeite é maciço, qual o volume
de concreto usado para fazer o enfeite?
0 6 Uma barraca de praia tem o formato de um pirâmide
hexagonal regular. A base tem aresta igual a 3m, e a altura
da pirâmide (barraca) mede 3m. Qual o volume de ar
nessa barraca?
0 7 Uma peça maciça de cristal tem o formato de um
tetraedro regular. A soma de todas as arestas da peça
mede 60cm, calcule o volume de cristal utilizado para a
produção da peça.
0 1 (UEL-PR) O número de vértices, arestas e faces de uma
pirâmide cuja base é um octógono é, respectivamente:
a) 9, 16 e 9
b) 9, 16 e 12
c) 10, 13 e 10
d) 10, 14 e 15
e) 12, 16 e 12
0 2 (UFMG) A área total de uma pirâmide regular, de altura
30mm e base quadrada de lado 80mm mede, em mm2:
a) 44 000
b) 56 000
c) 60 000
d) 65 000
e) 14 400
0 3 (ITA-SP) A área lateral de uma pirâmide quadrangular
regular de altura 4m e de área da base 64m2 vale:
a) 128m2
b) 64 2m2
c) 135m2
d) 60 2m2
e) 32( 2+1)m2
0 4 (UFRS) Considere uma pirâmide regular de base
quadrada, construída a partir do padrão plano abaixo.
Se a altura da pirâmide é o dobro do lado da base, o valor
de h no padrão é:
a) 17
2h= a b) h= a5
c) 22
2h= a d) h= a6
e)5
2h= a
0 5 (UNIFOR-CE) A aresta da base de uma pirâmide regular
hexagonal mede 4cm. Qual é o volume dessa pirâmide,
se sua altura mede 6 3 cm2 ?
a) 432cm3 b) 392cm3 c) 286cm3
d) 144cm3 e) 132cm3
0 6 (UF-SE) Uma pirâmide regular de base quadrada é tal
que o apótema da base mede 7 cm. Se o apótema da
pirâmide mede 25 cm, o seu volume, em centímetros
cúbicos, é:
a) 586 b) 768 c) 864
d) 1472 e) 1568
0 7 (UF-RN) A altura de uma pirâmide regular de base
quadrada é o triplo do lado da base. Se o volume dessa
pirâmide é 27 cm3, o lado da base mede:
a) 27 cm b) 9 cm c) 3 3 cm
d) 3 cm e) 1 cm
0 8 (UCSAL-BA) Uma pirâmide tem por base um hexágono
regular de lado 3 cm. Se sua altura é de 10 cm, seu
volume, em centímetros cúbicos, é:
a) 27 3
2
b) 45 3
2
c) 45 3
d) 135 3 e) 270 3
03
04
05
06
07
01
02
03
04
05
06
07
08
4
06 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:025
Pirâmides
Matem
átic
a
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
(PUC-SP) O imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. As
características dessa pirâmide são:
1ª) sua base é um quadrado com 100 m de lado;
2ª) sua altura é de 100 m.
Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 1000 m3, os escravos, utilizados como mão-de-obra, gastavam, em
média, 54 dias. Mantida essa média, o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 360 dias,
foi de:
a) 40 anos;
b) 50 anos;
c) 60 anos;
d) 90 anos;
e) 150 anos.
5
06 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:026
Cilindros
1
Matem
átic
aCilindros
Nesta aula, vamos desenvolver estudos sobre o corpo
redondo chamado cilindro.
Como efeito prático, vamos considerar o cilindro um
prisma de bases circulares.
ELEMENTOS DOS CILINDROS
• Bases são os círculos de centros O e O’ e raio r.
• Geriatrizes são os segmentos com extremos
nas circunferências de cada base e paralelos a OO’.
• Eixo é a reta que contém os centros O e O’.
• Altura é a distância h entre os planos determinados
pelas duas bases.
CLASSIFICAÇÃO
CILINDRO CIRCULAR OBLÍQUO
É o cilindro cujas geratrizes são oblíquas às duas bases.
CILINDRO CIRCULAR RETO
É o cilindro cujas geratrizes são perpendiculares às
duas bases. É também chamado cilindro de revolução.
SUPERFÍCIES DO CILINDRO
SUPERFÍCIE TOTAL
É a reunião de todas as geratrizes. A área dessa
superfície será simbolizada por Al.
SUPERFÍCIE TOTAL
É a reunião da superfície lateral com as superfícies
dos círculos das bases. A área dessa superfície será
simbolizada por At.
ÁREAS
ÁREA LATERAL
Seja um cilindro circular reto de raio r e altura h.
A superfície lateral desenvolvida num plano é um
retângulo.
Base: 2πr
Altura: h
Al=2πrh
ÁREA TOTAL
A área total é a soma da área lateral com a área das
duas bases. Sendo igual a r o raio da base, a área de cada
base vale B = πr2. Logo:
At=2πrh+2πr2 ⇒ A
t=2πr (h+r)
SECÇÃO MERIDIANA
É a intersecção do cilindro com um plano que contém
o eixo do cilindro.
Num cilindro circular reto, a secção
meridiana resulta num retângulo.
Prisma Cilindro
07 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:071
Cilindros
2
Matem
átic
a
CILINDRO EQÜILÁTERO
É um cilindro circular reto cuja secção meridiana é
um quadrado.
Note que h=g=2r
Área lateral:
Al=2πr.(2r)
Al=4πr2
Área total:
At=2πr (2r+r)
At=6πr2
VOLUME
Seja um cilindro e um prisma de bases equivalentes
de medida B e altura h.
O cilindro e o prisma têm a mesma medida de volume,
V=Bh.
Para o caso do cilindro, temos:
Área da base: B=πr2
Altura: h
V=πr2h
Cilindro eqüilátero: h=2r ⇒ V=2πr3
Introdução à escola pitagórica. Depois da escola jônica, fundada por Tales de Mileto (c. 624 - 546 a.C.), a
qual dera origem à filosofia grega, segue cronologicamente, pela ordem de antiguidade, a escola pitagórica, fundada
por Pitágoras de Samos (c. 570 - 496 a.C.).
A escola se diz pitagórica, no sentido de que foi fundada por Pitágoras, mas também se fez conhecida como
escola itálica, porque surgida na Itália.
A denominação escola itálica desde logo a localiza geograficamente e a diferencia claramente da escola
jônica. De outra parte, porém, não demorou a aparecer na própria Itália a escola eleática, ou de Elea.
Assim sendo, melhor se apresenta o nome escola pitagórica, até mesmo porque depois se difundiu para
todo o mundo helênico.
Dada a sua antiguidade, como vinda imediatamente após a escola jônica, integra-se o estudo da escola
pitagórica no contexto do tema - como pensavam os primeiros filósofos.
Imediatamente após aos pitagóricos, ainda no contexto de como pensavam os primeiros filósofos, cabe
examinar também a escola eleática, igualmente situada na Itália. Finalmente, não fogem a este contexto os primeiros
filósofos atomistas.
Numa introdução à escola pitagórica há a advertir sobre o que mais a diferenciou da escola jônica. Assim
fazendo, não somente distinguimos as duas escolas pela sua sucessão cronológica e pelo situamento geográfico,
mas também pelo seu significado interno.
O pitagorismo se destacou pelo seu racionalismo, em contraste com a moderação da escola jônica.
TalesPitágoras
07 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:072
Cilindros
3
Matem
átic
a
0 1 Calcular a área lateral de um cilindro circular reto de raio
da base igual a 2cm e altura 5cm.
Resolução:
AL=2πrh
AL=2π x 2x5
AL=20π cm2
0 2 A área da superfície lateral de um cilindro circular reto é
24π m2. Se a altura do cilindro mede 3m, calcule o
diâmetro da base do cilindro.
Resolução:
AL=2πrh
2πrh = 24π2π x R x 3 = 24πR=4m
diâmetro=2r ⇒ 8m
0 3 A base de um cilindro circular reto está circunscrita a um
hexágono regular de perímetro igual a 12cm. Sabendo
que a sua altura mede o triplo do raio da base, calcule a
área total do cilindro.
Resolução:
l=R
2π=12
6l=12 ∴ l= 2cm
R = 2 cm
h=3R ∴ h=6cm
AT=A
l + 2B
AT=2πrh + 2.πr2
AT=2π x 2 x 6 + 2π x 22
AT=24π + 8π
AT=32π cm2
0 1 Calcular a área lateral de um cilindro circular reto de raio
da base igual a 5cm e altura igual a 10cm.
0 2 A área da superfície lateral de um cilindro circular reto
mede 120π cm2. Se a altura do cilindro mede 10cm,
calcule o diâmetro da base do cilindro.
0 3 A área da base de um cilindro eqüilátero mede 36π m2.
Calcule o volume do cilindro.
0 4 Uma lata de óleo tem 8cm de diâmetro da base e 19cm
de altura. Quantos cm2 de material deve ser utilizado
para fabricar a lata de óleo?
0 5 Um bolo em forma de cilindro circular reto tem área total
igual a 720π cm2. Se a altura do bolo é igual a 3
5
do raio
da base, calcule o volume do bolo.
0 6 Um fabricante de doces vende seu produto em latas
cilíndricas ao preço de R$ 3,00 a lata. Ele deseja mudar
de embalagem, conforme as figuras, por quanto ele deverá
vender a nova lata?
0 7 (UNIFOR-CE) Fabrica-se uma embalagem de conserva
usando folha de flandres. A embalagem tem a forma de
um cilindro circular reto com altura de 10cm e raio da
base de 5cm. Qual é, aproximadamente, a área, em
centímetros quadrados, da folha de flandres usada em
cada embalagem? (Dado: π=3,14).
01
02
03
01
02
03
04
05
06
07
07 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:073
Cilindros
4
Matem
átic
a
0 1 (UFV-MG) Para se construir uma lata de base circular,
sem tampa, com 20cm de diâmetro de base e 25cm de
altura, são gastos x cm2 de material. O valor de x é:
a) 400πb) 600πc) 300πd) 700πe) 500π
0 2 (UF-AM) Uma lata de cerveja tem a forma cilíndrica, com
6 cm de diâmetro e 12 cm de altura. Quantos ml de
cerveja cabem nessa lata? (1 cm3 = 1 ml).
a) 367,38 ml
b) 339,12 ml
c) 250,33 ml
d) 150,72 ml
e) 108,57 ml
0 3 (UFGO) Para encher de água um reservatório que tem a
forma de um cilindro circular reto são necessárias 5 horas.
Se o raio da base é 3m e a altura 10m, o reservatório
recebe água à razão de:
a) 18πm3 por hora
b) 30πm3 por hora
c) 6πm3 por hora
d) 20πm3 por hora
e) n.r.a.
0 4 (UFSC) Uma panela caseira tem a forma de um cilindro;
sua altura é 15 cm e o diâmetro, 20 cm. Deve-se enchê-
Ia com cubos de gelo de 2 cm de aresta, de tal forma que
não transborde ao derreter o gelo. A quantidade máxima
de cubos de gelo necessária é, aproximadamente:
a) 985
b) 859
c) 589
d) 598
e) 895
0 5 (UFPE) Um contêiner, na forma de um cilindro circular
reto, tem altura igual a 3m e área total (área da superfície
lateral mais áreas da base e da tampa) igual a 20π m2.
Calcule, em metros, o raio da base deste contêiner.
0 6 (FAAP-SP) Um tanque de petróleo tem a forma de um
cilindro circular reto, cujo volume é dado por V= πR2H.
Sabendo que o raio da base e a altura medem 10 m,
podemos afirmar que o volume exato desse cilindro
(em m3) é:
a) 1000πb) 100π
c) 1000
3
π
d) 100
3
π
e) 200π
0 7 (UFPA) O reservatório “tubinho de tinta” de uma caneta
esferográfica tem 4mm de diâmetro e 10 cm de
comprimento. Se você gasta 5πmm3 de tinta por dia, a
tinta de sua esferográfica durará:
a) 20 dias
b) 40 dias
c) 50 dias
d) 80 dias
e) 100 dias
0 8 (CEFET -PR) Seja um cilindro de revolução de raio da
base 4m e altura 8m. Conservando-se a altura e
aumentando-se o raio da base, obtém-se um novo
cilindro cuja área lateral é igual à área total do primitivo.
Nestas condições, o raio da base aumentou:
a) 0,5 m
b) 1,0 m
c) 1,5 m
d) 2,0 m
e) 2,5 m
(ITA-SP) O raio de um cilindro de revolução mede 1,5 m. Sabe-se que a área da base do cilindro coincide com
a área da secção determinada por um plano que contém o eixo do cilindro.
Então a área total do cilindro, em metros quadrados, vale:
a)3
4
π2
b)9 (2+ )
4
π πc) π(2+π)
d)π2
2e)
3 ( )
2
π π+1
01
02
03
0408
07
06
05
07 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:074
Cones
1
Matem
átic
aCones
Nesta aula, vamos estudar o cone circular comparando com pirâmides.
O cone tem as características da pirâmide, observando-se que o cone tem base circular.
ELEMENTOS DO CONE
• Base é o círculo de centro O e raio r.
• Vértice é o ponto V.
• Geratrizes são os segmentos com extremos em
V e num ponto da circunferência de base.
• Altura é a distância h do vértice V ao plano da
base.
• Eixo é a reta determinada pelo vértice V e pelo
centro O do círculo.
CLASSIFICAÇÃO
CONE CIRCULAR OBLÍQUO
É o cone de eixo oblíquo ao plano da base.
CONE CIRCULAR RETO
É o cone de eixo perpendicular ao plano da base.
É também chamado cone de revolução.
SUPERFÍCIES
SUPERFÍCIE LATERAL
É a reunião de todas as geratrizes. A área dessa
superfície será simbolizada por Al.
SUPERFÍCIE TOTAL
É a reunião da superfície lateral com a superfície do
círculo da base. A área dessa superfície será simbolizada
por At.
ÁREAS
ÁREA LATERAL
Seja um cone circular reto de raio r e geratriz g. A
superfície lateral desenvolvida num plano é um setor circular.
No setor circular, temos:
Raio de setor: g
Comprimento do arco: 2πr
Asetor
=1
2g.2πr
Al =πrg
08 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:121
Cones
2
Matem
átic
a
ÁREA TOTAL
A área total é a soma da área lateral com a área da
base.
A área da base é Ab = πr2. Logo, a área total vale:
At = πrg + πr2 ⇒ A
t= πr (g+r)
SECÇÕES
SECÇÃO TRANSVERSAL
É a intersecção do cone com um plano paralelo à
base. Esta secção transversal é um círculo.
SECÇÃO MERIDIANA
É a intersecção do cone com um plano que contém o
eixo. Esta secção é um triângulo isósceles.
CONE EQÜILÁTERO
É um cone cuja secção meridiana é um triângulo
eqüilátero.
g=2r
Área lateral:
Al= πr. 2r = 2πr2
Área total:
At = 2πr2 + πr2 = 3πr2
SECÇÃO TRANSVERSAL
Seja um cone de base contida no plano α e uma
secção transversal determinada pelo plano β paralelo a α.
Então, valem as relações:
1) r
R
d
h
g´
g= =
2) r
R
2
2
S
S1
2
d
h
2
2
g
g
2
2== =
S1 e S
2 são as áreas das bases dos cones.
VOLUME
Seja um cone e uma pirâmide de área de bases
equivalentes B e mesma altura h.
O cone e a pirâmide têm volumes iguais a V = B.h/3
Área da base: B = πr2
Altura: h
No cone eqüilátero: h = r 3
πr h
3
2
V=
πr3 3
3V=
`
08 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:122
Cones
3
Matem
átic
a
PARA QUÊ ESTUDAR GEOMETRIA?
Vê lá que atrapalhação E para haver harmonia
Disparate e confusão É preciso Geometria,
Este mundo não seria Usá-la a todo o momento.
Se um dia de repente, Para a podermos estudar
Por loucura toda a gente Iremos utilizar
Esquecesse a Geometria. Olhos, mãos e pensamento.
O carpinteiro João Geometria é uma ciência
Não podia pôr no chão Quer amor e paciência
Uma mesa que servisse. Passa de avós para netos.
E a janela coitada, Suas principais funções:
Jamais era consertada Estudar formas e dimensões
Se um vidro se partisse. De todos os objetos.
Queria a gente uma jaqueta Mas no mundo há formas tantas
Não importa azul ou preta Nos cristais e nas plantas
Mas nem curta nem comprida. Nas pessoas, nos tostões!
Sem a Geometria apostas? E nenhuma é perfeita
Vinha com mangas nas costas Pois se a gente à lupa espreita
Nunca ficava à medida. Vê que há sempre imperfeições!
O operário na construção Formas simples e perfeitas
Do telhado ao rés-do-chão Que em Geometria aproveitadas
Que fazer já não sabia. Só na idéia são vividas.
A porta nunca fechava; Não são coisas reais
A parede desabava; Mas figuras ideais
A escada não existia. Com que as coisas são parecidas.
Andaria tudo torto
E até mesmo no desporto
Haveria muito azar.
No futebol, que cachola,
Não se conhecia a bola
Que se havia de chutar!
0 1 Um triângulo retângulo de catetos medindo 3cm e 4cm
gira em torno do cateto maior. Calcule a área lateral do
cone obtido.
Resolução:
Aplicando Pitágoras:
g2=32+42
g2=9+16
g2=25 ⇒ g=5cm
AL=πRg
AL=π x 3 x 5
AL= 15πcm2
De António José Crespo Monteiro
recolhido por Ana Patrícia Ferreira
01
08 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:123
Cones
4
Matem
átic
a
0 1 Um triângulo retângulo de catetos medindo 6cm e 8cm
gira em torno do cateto menor. Calcule a área lateral do
cone obtido.
0 2 O diâmetro do círculo da base do cone mede 16cm e a
geratriz mede 10cm. Calcule a área total e o volume do
cone.
0 2 O diâmetro do círculo da base de um cone reto mede
12 cm e a geratriz mede 10 cm. Qual a medida do
volume do cone?
Resolução:
0 3 Um silo para armazenamento de cereais tem a forma da
figura abaixo.
0 3 Dois silos tem formas cilíndricas e cônicas, com mesmo
raio da base e mesma altura. Sabendo que o raio mede
3cm e altura 4cm, qual silo tem maior capacidade?
0 4 Dois silos para armazenamento de cereais tem formas
cilíndrica e cônica. Sabendo-se que os dois têm a mesma
altura e que o raio do cilíndrico é a terça parte do cônico,
qual tem a maior capacidade?
Qual a capacidade do silo em m3?
Resolução:
A capacidade é igual a soma dos volumes dos dois
sólidos.
VT=V
cilindro+V
cone
Vcilindro
=Ab.h
Vcilindro
=πR2h
Vcilindro
=π 32 x 2
Vcilindro
=18π cm3
Vcone
= A xh
3
b
Vcone
= πR h
3
2
Vcone
= πx3 x4
3
2
Vcone
= 36π3
Vcone
= 12π cm3
Capacidade do silo
VT=18π+12π
VT=30π cm3
2R (diâmetro da base)
2R=12 ∴ R=6 cm
Pitágoras:
102=62+h2
100=36+h2
h2=64
h=8 cm
V= 1
3 A
B.h
AB= πR2
V=1
3.πR2.h
V= 1
3π x 62. 8
V= 1
3 . 36 . 8
V= 96π cm3
02 03
01
02
03
04
08 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:124
Cones
5
Matem
átic
a
0 1 (U. E. Londrina-PR) Um cone circular reto tem altura de
8cm e raio da base medindo 6cm. Qual é, em
centímetros quadrados, sua área lateral?
a) 20πb) 30πc) 40πd) 50πe) 60π
0 2 (UFPA) A medida da geratriz de um cone reto de 96πcm2 de área total e 6 cm de raio da base é:
a) 2 cm
b) 4 cm
c) 6 cm
d) 8 cm
e) 10 cm
0 3 (UNIRIO-RJ) Uma tulipa de chope tem a forma cônica,
como mostra a figura a seguir. Sabendo-se que sua
capacidade é de 100π ml, a altura h é igual a:
a) 20cm
b) 16cm
c) 12cm
d) 8cm
e) 4cm
0 5 Uma jarra, cujo interior tem a forma geométrica de um
cilindro circular reto, está cheia de água. Seu conteúdo
será transferido integralmente para copos, cujos interiores
têm a forma de um cone circular reto, com raio de base
igual a um terço do raio da base do cilindro e de altura
igual à altura do cilindro. Quantos copos serão totalmente
enchidos?
0 6 Uma peça de acrílico tem o formato de um cone circular
reto de 4cm de raio da base e altura 3cm. Qual o volume
de acrílico usado para produzir a peça?
0 7 Para se construir uma tenda em forma de cone, usa-se
um tecido que custa R$ 10,00 o metro quadrado.
Sabendo-se que o diâmetro da base da tenda mede 10m
e que a altura mede 12cm, quantos reais serão
necessários para construir a tenda, sem considerar o
piso?
0 4 (PUC-RS) Num cone de revolução, a área da base é
36π m2 e a área total é 96π m2. A altura do cone, em m,
é igual a:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
0 5 (UF-MG) Um reservatório de água tem a forma de um
cone circular reto, de eixo vertical e vértice para baixo.
Quando o nível de água atinge a metade da altura do
tanque, o volume ocupado é igual a π. A capacidade do
tanque é:
a) 2πb) 8π/3
c) 4πd) 6πe) 8π
0 6 (UE-CE) Um cone circular reto de altura 3 2 tem
volume igual a 18 2π cm3. O raio da base desse cone,
em centímetros, mede:
a) 2
b) 2 2
c) 3
d) 3 2
0 7 (UCSAL-BA) A base de um cone circular reto de raio 12
cm e altura 10 cm está num plano α. Um plano β, paralelo
a α, intercepta o cone a uma distância de 5 cm de seu
vértice. A intersecção do cone e do plano β é uma
superfície cuja área, em centímetros quadrados, é igual a:
a) 25π b) 36π c) 40π
d) 42π e) 49π
05 07
06
01
02
03
04
05
06
07
08 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:125
Equações Exponenciais Matem
ática
3
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
Cones
6
Matem
átic
a
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
(PUC-SP) A altura e o raio da base de um cone circular reto medem 4cm e 15cm, respectivamente.
Aumenta-se a altura e diminui-se o raio da base desse cone, de uma mesma medida x, (x ≠ 0), para se
obter outro cone circular reto, de mesmo volume que o original. Determine x, em centímetros.
08 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:126
Esferas
1
Matem
átic
aEsferas
Há 2.200 anos, o matemático grego Eratóstenes (276-194 a. C.) calculou o perímetro de uma circunferência
máxima da Terra (Linha do Equador).
Atualmente estima-se em 40.000 km o período dessa circunferência máxima.
Através do estudo da esfera é possível resolver questões relativas ao planeta Terra.
DEFINIÇÃO
Seja um ponto O e um segmento de medida R. Esfera
é o conjunto de todos os pontos A do espaço, tais que a
medida do segmento OA é menor ou igual a R.
Superfície esférica é o conjunto dos pontos A tal
que a medida do segmento OA é igual a R.
SECÇÃO
A intersecção da esfera com todo plano que lhe seja
secante é um círculo. Veja a relação métrica determinada
por um plano secante numa esfera:
Raio da secção: r
Distância de O a α: d
Raio da esfera: R
R2=d2+r2
Quando a secção contém o centro da esfera, o círculo
obtido é chamado círculo máximo, pois seu raio é igual
ao raio R da esfera.
Seja um círculo obtido pela secção de um plano
secante. Pólos desse círculo são os extremos do diâmetro
perpendicular ao plano desse círculo.
ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
Seja uma esfera de raio R. Pode-se demonstrar que a
área de sua superfície esférica é:
S=4πR2
VOLUME
Seja uma esfera de raio R. Pode-se demonstrar que
seu volume é:
ÁREA DA CALOTA ESFÉRICA
AC=2πRh
ÁREA DA ZONA ESFÉRICA
ÁREA DO FUSO ESFÉRICO
AZ=2πRh
4 R
3
π 3
A=c
π αR
90
2
A=f
09 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:191
Esferas
2
Matem
átic
a
0 1 Determinar a área e o volume de uma esfera inscrita
num cubo de aresta a.
Resolução:
2R=a ∴ R = a
2
Área=?
A = 4πR2
A = 4πx a
2
2
= 4π x a
4
2
A = πa2
PLANETA TERRA
Sabendo-se que a circunferência máxima da Terra mede 40.000 km, calcule o raio da Terra.
Resolução:
2πR=40.000
R = 40.000
2 . 3,14
R = 40.000
6,28
O R é aproximadamente igual a 6370 km.
Pense agora nas seguintes questões relativas ao Planeta Terra:
qual é o seu volume e qual a área de sua superfície?
qual é a área coberta de água (em quilômetros quadrados) em sua superfície?
0 2 Calcular a área total e o volume de um cubo
inscrito numa esfera de raio R.
Resolução:
D=2R
D= diagonal do cubo
D=a 3
a 3=2R ∴
a
2
a
8
3
4 R
3
π 3
4
3
π
π6
a3
4
3
π
V=
V=
V=
=. .3
2R 3
3a=
2R
3a=
01 02
09 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:192
Esferas
3
Matem
átic
a
Volume
0 1 Uma vasilha tem forma de uma esfera de 3cm de raio.
Qual o volume, em cm3, de água que cabe na vasilha?
0 2 Uma certa massa de modelar custa R$ 100,00 o cm3.
Quantos reais serão necessários para modelar uma esfera
de 3cm de raio?
0 3 Para revestir uma esfera de um determinado material
gasta-se R$ 10,00 o cm2. Quanto se gasta para revestir
uma esfera de 6cm de raio?
0 4 (UF-AL) Quantos litros de ar cabem no interior de uma
esfera de raio 21 cm?
(Use: π =22
7 )
a) 38,808
b) 155,232
c) 388,08
d) 1 552,32
e) 3 880,8
0 5 Uma laranja perfeitamente esférica tem 12 gomos.
Sabendo-se que o raio da laranja mede 3cm, calcule o
volume de cada gomo em cm3.
0 6 Um ourives deixou como herança para seus 8 filhos
uma esfera maciça de ouro. Os herdeiros resolveram
fundir o ouro e, com ele, fazer oito esferas iguais. Cada
uma dessas esferas terá um raio igual a:
a) 1/2 do raio da esfera original;
b) 1/3 do raio da esfera original;
c) 1/4 do raio da esfera original;
d) 1/6 do raio da esfera original;
e) 1/8 do raio da esfera original.
0 7 Um determinado produto é embalado em forma de um
cilindro de raio 4cm e altura 10cm. O mesmo produto é
embalado em forma de uma esfera de 6cm de raio. Para
o consumidor, qual a embalagem mais vantajosa?
0 1 (UF-AL) Um cilindro eqüilátero de altura 25 cm está
inscrito em uma esfera. O volume dessa esfera, em
centímetros cúbicos, é:
a) 4π 3
b) 8π 3
c) 32π 6
d) 32π 3
e) 32π
0 2 (Unifor-CE) Um cilindro reto, conforme mostra a figura
abaixo.
Se a altura do cilindro é igual 3
2
do raio da esfera, a razão
entre os volumes do cilindro e da esfera é, nessa ordem:
a) 63 b) 13
128 32
c) 21 d) 9
64 32
e) 7
32
Área total
2R 3
3
4R .3
9
2
A =T
A =T
A =T
A =T
6.
6.
8R2
6a2
2
2R 3
3
2R 3
3
2R 3
3
4R .3
9
2
8R . 3
9
3
V=
V=
V=
V=
V=
a3
a2
.a
.
.
2
01
02
03
04
05
06
07
01 02
09 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:193
Esferas
4
Matem
átic
a
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
0 3 (UNAMA-PA) Uma laranja de 12 gomos iguais
assemelha-se a uma esfera de raio R. A área da superfície
total de cada gomo é:
a) 4πR2
b) 3πR2
c) 2πR2
d) 4πR2
3
e) 3πR2
4
0 4 (CEFET-PR) A indústria de bolas de borracha Cilimbola
quer produzir embalagens cilíndricas para colocar 3 bolas
com 3 cm de raio cada, conforme a figura.
A quantidade total de material utilizado para o fabrico da
embalagem, incluindo a tampa, em cm2, será de:
a) 126πb) 108πc) 127πd) 72πe) 90π
0 5 (PUC-SP) A área de um furo esférico cujo ângulo mede
π3
rad, em uma esfera de 12cm de raio, é:
a) 96πcm2
b) 69πcm2
c) 72πcm2
d) 64πcm2
e) n.r.a
0 6 (UFRS) Uma panela cilíndrica de 20cm de diâmetro está
completamente cheia de massa para doce, sem exceder
a sua altura, que é de 16cm. O número de doces, em
formato de bolinhas de 2cm de raio, que se pode obter
com toda a massa é:
a) 300
b) 250
c) 200
d) 150
e) 100
0 7 (UFES) Enche-se um tubo cilíndrico de altura h= 20 cm
e raio de base r= 2 m com esferas tangentes ao mesmo
e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e
exterior às esferas vale:
a) 102π cm3
3
b) 80π cm3
3
c) 40π cm3
d) 80π cm3
e) 20π cm3
(PUC-RS) A região R da figura está limitada por três semicírculos. Se R efetua uma volta completa em torno
do eixo dos x, ela gera um sólido de volume:
a) 12πb) 8πc) 4πd) 2πe) π
03
04
05
06
07
09 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:194
Gabarito
1
Matemática
LINHAS TRIGONOMÉTRICAS
Exercícios de Aplicação
01- c 02- d
03- b 04- e
05- a 06- c
07- b
Questões de Vestibulares
01- b 02- a
03- a 04- b
05- c 06- b
07- a
Desafio
Resposta: π80
radianos
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Exercícios de Aplicação
01- b 02- e
03- e 04- c
05- b 06- a
07- c 08- d
Questões de Vestibulares
01- d 02- b
03- a 04- e
05- d 06- b
07- a 08- 15
Desafio
Resposta: c
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Exercícios de Aplicação
01-6 - 2
4
02-6+ 2
4
03-6 - 2
4
04- 2+ 3
05-10
-3 10
06-26
5 26
07-3
4
POLIEDROS CONVEXOS
Exercícios de Aplicação
01- e 02- a
03- d 04- 7
05- 7 06- 720º
07- 2520º
Questões de Vestibulares
01- d 02- d
03- e 04- d
05- c 06- d
07- d
Desafio
Resposta: l3
6
08-65
56
Questões de Vestibulares
01- e 02- e
03- b 04- b
05- b 06- b
07- e 08- b
Desafio
Resposta: d
PRISMAS
Exercícios de Aplicação
01- 96 cm2
02- 6 3 cm
03- (360+108 3) cm2
04- 576
05- c
06- d
07- c
08- d
Questões de Vestibulares
01- b
02- d
03- d
04- b
05- d
06- c
07- c
Gaba Matematica.pmd 31/7/2004, 11:211
Gabarito
2
Matemática
PIRÂMIDES
Exercícios de Aplicação
01- 512 cm3
02- 12 cm
03- 500 cm3
04- 2592100m3
05- 1500 cm3
06-27 3
2m3
07-250 2
3 cm3
Questões de Vestibulares
01- a 02- e
03- b 04- a
05- d 06- e
07- d 08- c
Desafio
Resposta: b
CILINDROS
Exercícios de Aplicação
01- 100π cm2
02- 12 cm
03- 432π cm3
04- 184π cm2
05- 2025π cm3
06- R$ 6,00
07- 471
Questões de Vestibulares
01- b
02- b
03- a
04- c
05- 2m
06- a
07- d
08- d
Desafio
Resposta: b
CONES
Exercícios de Aplicação
01- 80π cm2
02- 80π cm2 e 128π cm3
03- cilíndrico
04- cônico
05- 27
06- 16π07- R$ 2041,00
Questões de Vestibulares
01- e 02- e
03- c 04- c
05- e 06- d
07- b
Desafio
Resposta: x=5
Desafio
Resposta: e
ESFERAS
Exercícios de Aplicação
01- 113,04 cm3
02- R$ 11304,00
03- R$ 4521,80
04- a
05- 3π06- a
07- esférica
Questões de Vestibulares
01- d 02- a
03- d 04- a
05- a 06- d
07- b
Desafio
Resposta: b
Gaba Matematica.pmd 31/7/2004, 11:212