Energia de Deformacion y Metodos de Energia (1)

8/18/2019 Energia de Deformacion y Metodos de Energia (1)

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nergía deeformación y

METODOS DE

NERGIA


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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]

INTRODUCCIÓN

Se considera que los cuerpos o sisemas mec!nicos es!n formados pormaeria que consise de parículas que denominamos punos maerialesy cuyo con"uno consiuye la con#guración del sisema que despla$a suspunos maeriales% Si se supone un sisema de fuer$as aplicando a uncuerpo& ese se deforma 'asa que el sisema de fuer$as inernasequili(ra al sisema de fuer$as e)ernas%

Esudiaremos las ensiones y deformaciones relacionadas con esfuer$oscoranes y momeno *ecores% Si conocemos las ensiones ydeformaciones& podemos anali$ar y dise+ar disinos elemenosesrucurales a di,ersas condiciones de carga%

-as cargas que ac.an so(re un elemeno esrucural ocasionan que sedeforme%


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F

Δ

F = K

APLICACIÓN GRADUALAplicación lena& por incremenos-os efecos din!micos /aceleraciones& ,i(raciones01 son desprecia(les%

F: con!"n

APLICACIÓN S$%ITA

Aplicación ,iolena-os efecos din!micos /aceleraciones& ,i(raciones0

F

Δ

31


ENERGIA DE DEFORMACION

3uando se aplican cargas a un cuerpo& esas deforman el maerial& siempre ycuando no se pierda energía en forma de calor& el ra(a"o reali$ado por esasacciones e)ernas durane el proceso de Deformación& se con,iere en ra(a"oinerno 4 llamado energía de deformación% Esa energía& que siempre esposii,a& se almacena en el cuerpo y es causada por la acción del esfuer$onormal o corane%

5 es uno de los concepos m!s imporanes denro del esudio de la mec!nicade solidos deforma(les%

Es fundamenal inerprear como ac.an esas cargas e)ernas6

En#&'(" D#)*+" " F,#&-" No&."/

3onsideremos una (arra prism!ica de maerial el!sico lineal& o sea cumplecon la ley de 7oo8e& someida a la acción gradual de una fuer$a a)ial cenrada%


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L

A 0 E

F

Δ

F=KΔ

F

Δ

31


El ra(a"o reali$ado por la fuer$a 9& es6

dWext = Fd

F

F = K

( F)

:or la ecuación #2! = U → U =;

8

4 4 4 4 56

-a ec% /;1 puede escri(irse6 U =

;9

;

<∆

∆ →

U =

∆9;

<

4 4 4 4 536

Δ Δ∫ =

Fd W ext

∫ ∆ ∆

=∆∆=;

e) 8d8>


5/52


6/5231


En#&'(" +# D#8o&."c*9n +#)*+" "/E8,#&-o Co&!"n!#

3uando el maerial es! someida a un esfuer$o corane como indica en la#gura que se considera el elemeno de un ciero ,olumen% Aquí el esfuer$ocorane 'ace que el elemeno se deforme de modo que solo Ia fuer$acorane%

En#&'(" +# D#8o&."c*9n +#)*+" " /" C"&'" A2*"/

3onsidere una (arra de sección rans,ersal ,aria(le ligeramene a'usada&#gura% -a fuer$a a)ial inerna en una sección siuada a una disancia 2 de une)remo es N% Si el !rea rans,ersal en esa sección es A& enonces el esfuer$onormal en Ia sección es C NA% AI aplicar la ecuación& se iene%

Si elige un elmeno o core diferencial con un ,olumen d CAd)& enonces Iaformula general para la energfa de deformación en Ia (arra es


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:ara el caso mas com.n de una (arra prism!ica de sección rans,ersalconsane A, de longiud L 5 carga a)ial consane N "/ *n!#'&"& /" #c,"c*9n# o)!*#n#4

O en caso de armaduras& odo sisema conformado por elemenos linealmene

el!sicos someidos a fuer$a a)ial cenrada& almacena Energía de

Deformación%

∑=

=n


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1 2

# $

%&

'Fi

Fi

ii

i

;

i

i

AE;

-94 =

∑=

=n


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Aquí el momeno inerno es M& y el esfuer$o normal que ac.a so(re el

elemeno ar(irario a una disancia < del e"e neuro es =My / I% Si el ,olumendV = dAdx donde dA es el area en conaco& y dx es su longitud la energíade deformación es6

O am(i@n6

:ero en esa segunda formula o(ser,amos que al inegrar el area represenarel momeno de inercia 5I6 del area respeco al e"e neuro& por lo ano quedaría

asi%

Nota: por lo tanto para evalúa Ia energía de deformación, primero debe

expresarse el momento interno en funci6n de su posición x a lo largo de Iaviga, y después integrar sobre toda Ia longitud de Ia viga.

En#&'(" +# D#8o&."c*9n +#)*+o " /" Co&!"n!# T&"n#&"/

-a energía de deformación de(ida al esfuer$o corane en un elemeno de,iga puede deerminarse al aplicar Ia ecuación%

Energía de deformación en @rminos σ corane


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Aquí se considerara que Ia ,iga es prism!ica y iene un e"e de simeríaalrededor del e"e% Si Ia fuer$a corane inerna en Ia sección de ) es &enonces el esfuer$o corane que ac.a so(re el elemeno de ,olumen del

maerial& que iene un !rea dA y una longiud d)& es τ

C FI% AI susiuir enIa ecuación anerior& Ia energía dedeformación para lafuer$a corane secon,iere en6

-a inegral en par@nesis se pude simpli#car si se de#ne en el facor de formapara la corane como

Al susiuir la ecuación anerior& se o(iene

En#&'(" +# D#8o&."c*9n +#)*+o "/ Mo.#n!o +# To&*9n

:ara deerminar Ia energía de deformación inerna en un e"e circular o u(o&de(ida a un momeno de orsin aplicado& es necesario aplicar Ia ecuación de

energía de deformación en corane Ui=∫v

❑T

2

2G dv %

5 consideramos el e"e a'usado mosrado en la #gura& una sección del e"eomada una disancia ) de un e)remo se somee a un par de orsión inerno T%-a disri(ución del esfuer$o corane que ocasiona ese par ,aría linealmenedesde el cenro del e"e% En el elemeno ar(irario de !rea dA y longiud d)& el

esfuer$o es :or lo ano& Ia energía de deformación almacenada en ele"e es


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3omo la inegral del !rea represena el momeno polar de inercia H para el e"een Ia sección& el resulado #nal puede escri(irse como

El caso mas común se produce cuando el ee !o tubo" tiene un #rea

transversal constante y el par de torsión aplicado es constante, como se

muestra en la $gura En ese caso, al integrar

Ia ecuación resulta


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METODOS DE ENERGIA PARA CALCULAR DEFORMACIONES

14 T#o." +# C"!*'/*"no

1414 In!&o+,cc*9n

E)isen Teoremas (asados en Energía de Deformación& que permien6

- 3alcular de*e)iones de nudos o punos li(res de Sisemas Deforma(les%

*+

⇒

A∆;

A7∆;

D∆;

D


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Reacciones E)ernas 9uer$as inernas Despla$amienos de Nudos Giro de Jarras

31


1 Resol,er Sisemas 7iperes!icos

4no de los Teoremas de Energía& muy imporane en el esudio de Sisemas

El!sicos -ineales& que conri(uyó al desarrollo analíico y la sisemai$ación de

la Mec!nica de 3uerpos Deforma(les& es el Segundo Teorema de 3asigliano%


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144 S#',n+o T#o." +# C"!*'/*"no

En,nc*"+o: ?-a deri,ada parcial de la Energía de Deformación

almacenada en un sisema linealmene el!sico& con respeco a

una fuer$a seleccionada /aplicada gradualmene1 que ac.a so(re

el sisema& es igual al despla$amieno del puno de aplicación de

esa fuer$a en dirección de su propia reca de acción?%

D#.o!&"c*9n:

3onsideremos un sólido el!sico lineal& someido a la acción gradual de

fuer$as :


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8

8

TOTA- d::

444

∂∂+=

4 4 4 4 516

Siendo 4 la energía generada por :


16/5231


d,/ alicado grad-almente

dΔ/

,n

2

( )( )K K

d dP Δ2

1

0 1

,/

Δ/

=

,1

dΔ/

,n

,1

Δ/

d,/

rimero

,/ de-é

2

1 (d,K)(dΔK)0 0(d,K)(dΔK)

Tra(a"o reali$ado por las fuer$as e)ernas6

? C

11/d:/1d1/d:/;

<8888 ∆+∆+

/3uando se aplica :8 sucede que ya se aplicó el d:8 en oda su magniud10

siendo6

→ ra(a"o reali$ado por la aplicación gradual de las fuer$as aplicadas :


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K C11/d:/ 88 ∆+& pueso que

1d1/d:/;

<88 ∆

es un in#ni@simo de orden

superior%

:or el principio fundamenal6 K TOTA-4=

% -uego& enemos6

88

88 d::

4411/d:/

∂∂+=∆+

/4sando la ecuación


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Si el maerial del sólido en esudio es de comporamieno el!sicolineal y

las deformaciones son in#niesimales& el efeco de un con"uno de acciones

es la suma /superposición1 de odos los efecos producidos indi,idualmene

por las acciones%

d

,

45

,

d1

=+

4

d2

+

5

d#

d= d1+d2+d3

4,

( Fe r a i a l e )

=

(F-er.a xiale)Fi

4

0

Fi6

Fi = Fi60Fi

66

,

Fi66

En paricular:


19/5231


4

Fi =7

1

, i6

+arga Unitariaadimenional(aralela a la 3-er.a 4 8 del mimo entido)

Fi = 4 ,i

Fi: F-er.a xial 5eal ,i

6: F-er.a xial debida a la +59 U;


20/5231


,K ,2

,1

,>

Si → 9uer$as A)iales /NO REA-ES1

Si C ƒ/:


21/5231


?i

=

,K ,2

,1

,>

3-er.a no reale

?66i

,2

,1 =

,>

carga 3icticia

/Si → no son las fuer$as a)iales reales& de(ido a

M,:

1

→ Si C SKi S?i

Tam(i@n por el mismo principio6

?i

,>

?i

1

KKKiS

→ 9uer$as A)iales ocasionadas por una 94ERBA 4NITARIA% -uego1:1/S/S M,

KKKi

Ki =

/9acores de carga uniaria1

Enonces1:1/S/SS M,

KKKi

Kii +=


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:ueso que las fuer$as SKi son independienes de los facores de 9uer$a 4niaria

KKKiS

y de la fuer$a #cicia

M,:

& enemos6

KKKiM

,

i S:

S =∂∂

% En consecuencia6

-as deri,adas parciales

M,

i

:

S

∂∂

son num@ricamene iguales a las 94ERBAS AIA-ES

que se producen en la Armadura por efeco de una 3ARGA 4NITARIA que ac.a en

la dirección del despla$amieno deseado& aplicada en el puno donde se e,al.a

al despla$amieno%

Reempla$ando en /∗1& enemos6KKK

i

n


23/52

erno

E)erno

Inerno E)erno

31


,K ,2

,1 Fi: F-er.a xiale 5eale

1

3 i: Factore de F-er.a Unitaria

-os c!lculos con,ienen ser reali$ados en un esquema a(ular

Jarr

i

-ongiu

d

-i

Pre

a

Ai

Elasicida

d

Ei

9uer$a

Real

9i

9acor

4niario

i

ii

iii

AE

-S

<

m

a r

; CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

CCCCCCn

→ ∆ C Σ

No!"6% El procedimieno para calcular

M7∆ es similar% Sólo cam(iar!n los

9acores de 9uer$a 4niaria% :ara ese caso& la fuer$a uniaria acuar!

en el nudo de iner@s en dirección 'ori$onal%

414 P&*nc*?*o +#/ T&")"o M(n*.o4 S*!#." B*?#!!*co

4sando los Teoremas de 3asigliano y concepos so(re energía de deformación

pueden solucionarse Sisemas 7iperes!icos Inernos o E)ernos& (a"o 3arga

A)ial%


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41414 P&*nc*?*o +#/ T&")"o M(n*.o

3onsideremos una armadura 'iperes!ica inerna /e)ernamene

deerminada1 someida a un Sisema de 9uer$as e)ernas gradualmene

aplicadas% El maerial de las (arras se considera linealmene el!sico%


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:<

:;

:Q

31


Requerimos enconrar las 9uer$as en las (arras de la armadura%P&oc#+*.*#n!o6

i1 Deerminamos el grado u orden de 'iperesaicidad inerna%

/N.mero de (arras e)isenes N.mero de (arras de la condición

es!ica1


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ii1 ?-i(eramos? anas (arras como es el grado de 'iperesaicidad

inerna% En cualquier caso& la armadura resulane /denominada

armadura primaria1 de(e ser Esa(le e Isos!ica Inerna%

iii1 Se ?reempla$an? las (arras suprimidas por sus 9uer$as Inernas%


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:<

:;

:Q

?? es la fuer$a a)ial en la (arra suprimida /llamada (arra redundane o 'iperes

31


i,1Se e,al.a la Energía de Deformación en la armadura primaria& en función

de las cargas realmene aplicadas y de las fuer$as redundanes%

4 C 4/:


28/52

;

;

Jarra 'iperes!ica /suprimida1-0 E0 A

31


,1 Se calcula el ?cam(io de disancia? enre los nudos que de#nen la ?(arra

suprimida?& por aplicación del Segundo Teorema de 3asigliano

K

4∆=

∂∂

% % % % /


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( ) =4

TOTA- =

∂∂

0 denominado :rincipio del Tra(a"o Mínimo%

El :rincipio del Tra(a"o Mínimo /Teorema de Mena(rea1 esa(lece que6 ?En un

sisema linealmene el!sico& con elemenos redundanes o 'iperes!icos& el

,alor de una fuer$a 'iperes!ica es aquel que 'ace mínima la Energía Toal de

Deformación almacenada en el sisema?%

No!"6% El principio del Tra(a"o Mínimo de(e usarse anas ,eces como es el

n.mero de elemenos redundanes% Asimismo& puede aplicarse en

sisemas 'iperes!icos inernos yo e)ernos%

34 E8,#&-o < D#8o&."c*on# A2*"/# ?o& C"&'" +# I.?"c!o4

3414 In!&o+,cc*9n4 D#@n*c*on#4

En los pro(lemas esudiados aneriormene& se consideró que las cargas

e)ernas se aplica(an gradualmene& y que los elemenos esrucurales o

sólidos deforma(les esa(an en equili(rio esa(le en odas las eapas del

proceso cargadeformación%

En esa sección& esudiaremos los casos simples de Esfuer$os yDeformaciones A)iales pro,enienes de la aplicación de cargas de impaco%

D#@n*c*9n1 3arga Din!mica → -a carga causada por un cuerpo en

mo,imieno%


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rígido

X

h

Qcarga dinámica

La energía del cuerpo en movimiento

e tran!iere a lo elemento reitente"

-os concepos de Energía pueden usarse para calcular los esfuer$os y las

deformaciones unia)iales producidos por cargas de impaco& acepando que

σm!) y εm!) no so(repasan los límies de Elasicidad -ineal del maerial&

o(enidos mediane Ensayos en -a(oraorio%

3on frecuencia& los pro(lemas de impaco& son consecuencia de 3argas

Din!micas& mediane las cuales un sisema rans#ere su energía a oro& por

medio de un c'oque o impaco%

El mecanismo simple para esudiar la ransmisión de cargas din!micas& es una

(arra el!sica lineal con una plaaforma rígida& y por la cual res(ala sin

fricción un cuerpo rígido de masa m%


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L

∆d

plata!orma rígido

h

v=#

ecci$n %;

material &

collar ' de peo ()

*

∆d → De*e)ión Din!mica%

El

(loque& de peso >& reali$a el impaco& rans#riendo su energía cin@ica al

cuerpo con el cual 'ace el conaco%

5No!"6 Se o(ser,ar! que una carga de impaco genera esfuer$os y

deformaciones m!s ele,ados que los que produciría una carga de la

misma inensidad& aplicada gradualmene%

344 E8,#&-o < D#8o&."c*on# ?o& I.?"c!o4

3onsideremos una (arra de maerial el!sico lineal& sección rans,ersal

consane& y un peso > que cae li(remene /sin fricción1 pariendo del

reposo& desde una alura '% Acepamos que el peso de la (arra es

desprecia(le con respeco al peso >%


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L (

h

∆d (

&

ecci$n

tranveral

%

:rincipio fundamenal6

?El ra(a"o reali$ado por el peso al caer& es igual a la energía de deformación

almacenada en los elemenos el!sicos?%>/' ∆d1 C 4 % % % % /-;

d

;

d =−∆−∆ 3uyas raíces son6

'EA

>-;

EA

>-

EA

>-;

d

+

±=∆

% % % % /Q1


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:or las condiciones físicas del pro(lema& ∆d =% -uego sólo es acepa(le una

raí$6

'EA

>-;

EA

>-

EA

>-;

d

+

+=∆

% % % % /1

d6 alargamieno din!mico& de(ido al impaco

Si el peso > se aplicase gradualmene en la sección donde se reUali$a el

impaco& se produciría un Alargamieno Es!ico& ∆s6

(

L

&%

'aplicado

gradualmente)

EA

>-s =∆

& con lo cual la ecuación /1 puede reescri(irse6

'EA

>-;

EA

>-;

sd

+

+∆=∆

ó

∆++∆=∆ ssd';


34/5231


s

d

';


35/5231


4sando la -ey de 7oo8e en condiciones es!icasEA

>-s =∆

& o(enemos

s

<A>

-E

∆=

→ s

s

-

E

∆σ=

y reempla$ando en la ecuación /U1& enemos6

∆++σ=

∆σ

+σ+σ=σs

ss

;s;

ssd

';


36/5231


(

v=#

h

v= 2gh

s

d';


37/5231


s

d4

X


38/5231


Auor6 S% Timos'en8o

• Separaa6 YApoyo did!cico para la ense+an$a y aprendi$a"e de

la asignaura de esrucuras 'iperes!icasZ

A+o6 ;==V

Auor6 Ing% 9ran$ argas -oay$a

• Separaa6 Mec!nica de sólidos II

Auor6 Ing% 3arlos Espar$a Día$


39/5231


An#2o

Problemas


40/5231


A4 ENERGÍA DE%IDA A FUERHA NORMAL51R Y DO TEOREMA DE

CASTIGLIANO6


41/5231


%4 5MTODO DE LA CARGA FICTÍCIA6


42/5231



43/5231


C4 MTODO DE LA CARGA UNITARIA PARA CALCULAR

DESPLAHAMIENTOS


44/5231



45/5231


D4 PRINCIPIO DEL TRA%AJO MÍNIMO

D%


46/5231



47/5231


D%;% ETERNA6


48/5231



49/5231


E4 CARGAS DE IMPACTO


50/5231



51/5231


F4 ENEREGIA DE%IDA A FUERHA CORTANTE Y MOMENTO TORSOR


52/52

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