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L. Mino
ENERGIA E MASSAIN AMBITO
RELATIVISTICO
L. Mino
Sommario
- Introduzione sui concetti di massa ed energia in RR
- Rapporto tra massa inerziale e gravitazionale
- Illustrazione di due esempi riguardanti il cambiamento di massa di un sistema di due cariche dovuto all’energia potenziale elettrostatica
L. Mino
Energia e massa in RR
- Equivalenza dei concetti di energia e massa:E = mc2
la massa di un sistema è una misura del suo contenutoenergetico
- Attribuzione di un’inerzia ad ogni forma di energia (pre-relativisticamente era una proprietà delle sole masse)
- La massa complessiva di un sistema è, in generale, diversadalla somma delle masse dei suoi componenti isolati
L. Mino
Massa inerziale e gravitazionale I
Il termine massa si riferisce a due quantità:
- la massa inerziale, che esprime la resistenza al cambiamentodello stato di moto di un corpo quando viene applicatauna forza:
- la massa gravitazionale, che esprime l’attrazione che un corpoesercita sugli altri corpi:
amF��
=
2AB
BA
r
MGMF =
L. Mino
Massa inerziale e gravitazionale II
Concettualmente distinte, ma sperimentalmente provateequivalenti:
- Galileo attraverso la caduta dei gravi:
- Il barone Lorand von Eotvos nel 1909 con una bilanciagravitazionale con una precisione di 10-6 (esperimenti successivi hanno raggiunto 10-12)
L’equivalenza tra le due definizioni di massa è derivabileanche a partire dal principio di equivalenza enunciato daEinstein.
gmM
a =
L. Mino
Coppia di cariche in un campo gravitazionale
Sistema di due cariche puntiformi sospese con due fili di uguale lunghezza in un campo gravitazionale debole:
q1m1
q2m2
Trascurando la reciproca interazione tra le cariche, la sommadelle forze necessarie ad equilibrare il campo gravitazionalerisulta essere:
igmmFF ˆ)( 2121 +=+��
l
L. Mino
Trattazione relativistica
Quando si considera l’interazione tra le particelle l’energiapotenziale elettrostatica modifica la massa a riposo del sistema:
221
21 lcqq
mmM ++=
E’ quindi necessaria una forza esterna addizionale per bilanciarel’aumento di massa dovuto all’energia potenziale elettrostatica:
iglc
qqFtot
ˆ221 ��
���
�=∆�
L. Mino
Analisi delle forze nel sistema
Considerando l’equilibrio delle forze agenti su q1:
0)ˆ(12111 =−++∆+ igmEqFF���
Deduciamo che: 211 EqF��
−=∆
1221 EqEqFtot
���−−=∆
Procedendo analogamente per q2 e sommando:
Dal confronto con il risultato relativistico abbiamo:
1221221 ˆ EqEqig
lcqq ��
−−=��
���
�
L. Mino
E in un campo gravitazionale I
Affinché l’uguaglianza precedente sia verificata sono necessarie componenti verticali della forza dovuta al campo elettrico considero la distorsione del campocoulombiano causata dal campo gravitazionale.
Principio di equivalenza il campo di una carica in uncampo gravitazionale g è equivalente a quello generato da una carica istantaneamente a riposo che subisce un’accelerazione-g verso l’alto.
Coordinate della particella:
0021 2
==
=
z
y
gtx
L. Mino
E in un campo gravitazionale II
Espressione generale per i campi elettromagnetici:
( )( )( )
( )[ ]( ) retret Rn
nnce
Rnn
eE ���
����
�
⋅−×−×+��
�
����
�
⋅−−−= 323
2
ˆ1ˆˆ
ˆ11ˆ
βββ
βββ ��
EnB ret
��×= ˆ
Il tempo ritardato tret è tale che un segnale luminoso emessodalla particella raggiunge il punto campo (x,y,0) a t = 0.
L. Mino
Calcolo del tempo ritardato
Ponendo �t = 0 – tret abbiamo:
( ) ( ) 22
222
21
ytgxtc +��
�
� ∆−=∆
Effettuando un’espansione in serie in g, considerandolo unnumero piccolo, troviamo per il primo ordine:
( )��
���
� −��
�
�
� +=∆ 2
21
22
21
cxg
cyx
t
L. Mino
Valore di E in un campo gravitazionale I
Ora è possibile calcolare al tempo ritardato:Rn ,,,ˆ ββ �
( )tc
yj
tc
tgxin
∆+
∆
��
�
� ∆−= ˆ2
1
ˆˆ
2
tcRicg
ic
tg ∆==∆−= ˆˆ ββ �
Sostituendo troviamo l’espressione di E:
( )��
�
���
���
� −+���
����
�−−
+= 22
2
2
2
23
22 2ˆ
2ˆ),0,,(
cxyg
yjcgy
cgx
xiyx
etyxE
�
L. Mino
Valore di E in un campo gravitazionale II
Inserendo i dati relativi al nostro problema di due carichepuntiformi q1 e q2 a distanza l otteniamo:
( )��
�
�−+��
�
����
� −��
���
�=
��
�
�+���
����
� −��
���
�=
ljc
gli
lqq
Eq
ljc
gli
lqq
Eq
ˆ2
ˆ
ˆ2
ˆ
2
2
212
12
2
2
221
21
�
�
L. Mino
Rappresentazione grafica di E
L. Mino
Calcolo della forza addizionale
Come appare anche dalla figura il campo generato da una caricaè tale da spingere l’altra carica verso il basso perbilanciare questo effetto è necessaria una forza esternaaddizionale:
iglc
qqEqEqFext
ˆ221
1221 =−−=∆���
Relativisticamente questo risultato viene interpretato come uncambiamento di massa gravitazionale dovuto all’energiapotenziale elettrostatica.
L. Mino
Coppia di cariche accelerateSistema di due cariche puntiformi mantenute ferme da dueforze F1 e F2
x
y
l
Accelerate con a piccola affinché la radiazione emessa siatrascurabile forza totale necessaria trascurandol’interazione tra le particelle:
ammiFF 32121 )(ˆ γ+=+
��
L. Mino
Trattazione relativisticaSe si considera l’energia potenziale elettrostatica la massa ariposo del sistema cambia bisogna considerare uncontributo addizionale alla forza:
alc
qqiFtot
3221ˆ γ=∆
�
Trattando il sistema nell’ambito dell’elettromagnetismoclassico e analizzando tutte le forze agenti, otteniamo:
21 ememtot FFF���
−−=∆
221
lcqq
M =∆
L. Mino
Calcolo di E - I
Per verificare che il risultato classico sia consistente conquello relativistico è necessario calcolare E:
( )( )( )
( )[ ]( ) retret Rn
nnce
Rnn
eE ���
����
�
⋅−×−×+��
�
����
�
⋅−−−= 323
2
ˆ1ˆˆ
ˆ11ˆ
βββ
βββ ��
Occorre quindi un’espressione per il tempo ritardato:
( )[ ]2
2222
21
21
��
���
� −+=− retret atatlttc
L. Mino
Calcolo di E - II
Da cui si ricava, arrestandosi al primo ordine in a:
( ) ( ) 222221
22
21 −− −+−−= vcavlvclttret
Dopo aver calcolato al tempo ritardato,si può ottenere la componente lungo x di E1:
Rn ,,,ˆ ββ �
23
2
22
21
12 ���
����
�−
−=
cv
lc
aqEx
L. Mino
Calcolo della forza addizionale
La forza elettromagnetica agente su q1 lungo x sarà:
111 xxem EqF��
=
Dato che la forza su q2 sarà uguale per simmetria, ottengo:
alc
qqiFFF ememtot
3221
21ˆ γ=−−=∆
���
Risultato che coincide con quello ricavato dall’equivalenzarelativistica massa-energia.
L. Mino
Conclusioni
Nei due esempi illustrati in precedenza l’effetto dell’energia potenziale elettrostatica sul sistema è stato trattato siaclassicamente sia relativisticamente in modo consistente
emerge chiaramente come le idee relativistiche di energiae massa siano nate, all’inizio del secolo scorso, a partire daconcetti già insiti nell’elettromagnetismo classico.