Energija i Rad-1

ENERGIJA I RADZakon održanja energijeZakon održanja količine

kretanjaSudari

Fizika 1

Zakoni očuvanja u prirodi

Da li se kretanje čestica može određivati na osnovu drugih zakona osim Newtonovih

Jedan od odgovora je DA i to preko zakona očuvanja energije i impulsa

Postoji nekoliko zakona održanja većinom su posljedica određenih simetrija u svemiru

energija impuls moment impulsa naboj spin barionski broj stranost


Prednosti korištenja zakona održanja

- Ne ovise od oblika putanje ne oviseod osobina sila koje djeluju u nekomprocesu

- Mogu se primijeniti i na pojave za kojenisu poznate sile fizika elem čestica

- Ne mijenjaju se pri transformacijikoordinata

Rad i energija Mehanički rad

Pomjeranje materijalne tačke (tijela) po nekom putu pod djelovanjem neke sile u mehanici

se naziva radrad

Rad sile se određuje skalarnim produktom vektora sile i vektora puta po kome se

pomjerala materijalna tačka (tijelo)

cos( ) cosW F s F s F s Fs


Rad je pozitivan kada sila i rastojanje zaklapaju oštar ugao α lt π2

Sila vrši negativan rad ako sa pravcem vektorapomaka zaklapa tupi ugao α gt π 2

Sila ne vrši rad kad sa pomijeranjem zaklapa pravi ugao α = π 2 ili ako se čestica ne

pomjera


Rad konstantne sile

Rad konstantne sile

Rad promjenjive sile


Ako je F=f(s) ukupan rad je jednak zbiru elementarnih radova napravljenih na konačnom broju pravolinijskih dijelova puta na koje je podijeljeno pomjeranje

2

11

11

lim

0s

s

i

n

ii

i

i

n

ii

n

ii

sdFsFW

naskadaili

sFWW


Rad je jednak integralu projekcije sile Fx=Fcosα i pomaka ds

Ako su početna i krajnja tačka puta zadane vektorima r1 i r2 tada je rad definiran sa

2

1

r

r

W F dr

Mehanički rad

Iz obrasca

A = F middot s

dobijemo jedinicu za rad

[kg m2 s-2 = Nm = J] koja je dobila posebno ime Džul Joule

Rad je skalarna veličina

Energija

Energija je sposobnost vršenja rada Što tijelo ima veću energiju to je moguće od njega dobiti veći rad Energija je skalarna veličina koja se prema definicija mjeri radom koji tijelo može da vrši

Ako tijelo vrši rad energija mu se smanjuje

Ako okolina vrši rad na tijelu energija tijela se povećava

Oblici mehanička termička kemijska električna nuklearna i dr

Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi

Mehanička energija kinetička i potencijalna

Kinetička-uzrokovana kretanjem

Potencijalna ndash usljed položaja tijela

k

v

v

s

s

v

v

s

s

Evm

vmvmW

vdvmdtvdt

vdmds

td

vdmsdFW

2

21

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

Kinetička energija

Kinetička energija je - energija kretanja

Svako tijelo koje se kreće u stanju je da vrši neki rad tj posjeduje kinetičku energiju

izraz za kinetičku energiju

Ek= mv22

Priraštaj kinetičke energije = izvršenom radu

W= mv222 ndash mv1

22 =Ek2 ndash Ek1=∆Ek

Potencijalna energija

Sposobnost vršenja rada zbog posebnog položaja tijela

Tijelo na visini h iznad Zemlje sposobno je spuštajući se izvršiti rad

Elastična opruga nategnuta izvrši rad kada se vraća u ravnotežni položaj

Gravitaciona potencijalna energija

Gravitaciona potencijalna energija tijela izražava se radom koji sila teže izvrši kada to tijelo pada slobodno bez trenja i smetnji sa gornjeg nivoa na donji Ako je razlika nivoa h a masa tijela m onda rad predstavlja mjeru za potencijalnu energiju tijela Ep odnosno

Ep = Gh = mghMože se pokazati da rad ne zavisi od oblika

putanje već samo od razlike nivoa h te izraz važi uopšte bez obzira na oblik putanje


( )

( )

B

A

r

B A

r

B A

W F dr mg r r

W mgy mgy

Konzervativne i nekonzervativne sile

- Sila kod koje rad ne zavisi od puta nego samo od početnog i krajnjeg položaja tijela zove se konzervativna sila

Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli

- Sile čiji rad zavisi od puta po kojem tijelo prelazi iz jednog položaja u drugi nazivaju se nekonzervativnim silama takve su disipativne sile trenja i dr

0 sdFk

Rad stalne tangencijalne sile W = Fs

rad sile trenja Ftr=microN na putu s

Wtr = -microNs

Rad sile zemljine teže pri pomjeranju tijela mase m iz položaja A u položaj B nalazimo kao zbir

proizvoda sile zemljine teže i projekcije malih pomaka ∆ri na pravac sile (vertikalni pravac)

Projekcije pomaka na vertikalni pravac su ∆h1 ∆h2∆hn ( ∆hi ndash projekcija pomaka ∆ri na

vertikalan pravac)

Rad elastične sileF = - k ΔLW = frac12 k (x2 ndash x1)2

Rad pri savlađivanju sile trenja

Sile trenja nastaju kao posljedica hrapavosti dodirnih površina tijela Ove sile teže da spriječe kretanje tijela pa se često nazivaju i otpor trenja Sila trenja ne zavisi od veličine već od vrste dodirne povšine a maksimalana je kada tijelo miruje Ftr = μ ∙ N

micro - koeficijent trenja koji zavisi od podloge N - normalna komponenta sile na podlogu

Rad sile trenja Wtr = micro ∙ N ∙ s = micro Gsinα ∙ s

Zakon održanja mehaničke energije

Ukupna mehanička energija u izolovanom sistemu u kome djeluju samo konzervativne sile ostaje konstantna ne mijenja se u toku kretanja

E = Ek + Ep

Energija se ne može uništiti niti iz ničega stvoriti ona može samo da prelazi iz jednog oblika u drugi- to je zakon očuvanja energije

Zakon održanja energije

Zakon očuvanja energije uključuje pojmove kinetičke energije potencijelne energije i rada Ti pojmovi lako razumljivi na jednostavnom primjeru na prirodan način proizlaze iz drugog Newtonovog zakona

Zakon o očuvanju energije kazuje da je za sistem ukupna energija sistema stalna

Prikazati ćemo taj zakon na dva primjera slobodan pad i jednostavno klatno

ZAKON ODRŽANJA MEHANIČKE ENERGIJE

+

E = Ek + Ep=const

Primjer Slobodan pad

U trenutku t = 0 pustimo tijelo da slobodno padaPotencijalna energija dok tijelo miruje iznosi

Kinetička energija tijela koje se kreće iznosi

Ukupna energija je Euk= U + K

U svakom položaju ukupna energija jednaka je E

Ako tijelo pada prema površini Zemlje sila teževrši rad jednak prirastu kinetičke energije tijela

ili na površini Zemlje (y = 0)

Kako je biće

Potencijalno polje sila

POLJE SILA-prostor u kojem u svakoj tački na tijelo djeluju druga tijela silama koje se mijenjaju od tačke do tačke po određenom zakonu Kada su te sile konzervativne polje se zove POTENCIJALNO

Polje centralnih sila u kojem je F=f(r) ndash u njemu pravac djelovanja neke sile prolazi kroz neki centar a iznos sile zavisi samo od rastojanja od tog centra

Gravitaciono i polje el sila je centralno

Rad sila u gravitacionom polju

Gravitaciono polje je centralno polje

Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10

Potencijalna energija tijela mase m2

)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp

Razmotrimo 3 slučaja

Tri slučaja za E=Ek+Ep

Izbacivanje satelita sa Zemlje

hR

MmmvE

Z 2

02

1

Jednačina konusnih presjeka daje zae lt 1 elipsu e = 1 parabolu e gt 1 hiperbolu i za e = 0 kružnicu (e-linearni ekscentricitet)

Kada dostigne visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0

Za E negativno satelit će se kretati poelipsi u čijem jednom fokusu je ZemljaTada satelit pada na Zemlju Šta je prvakosmička brzina

Za E=0 putanja je parabola

Za E pozitivno putanja je hiperbolaEkveća od Ep

Parabolična putanja

Da bi vrijedilo e=1 treba biti E=0 Dakle ako se tijelo kreće u gravitacijskom polju po paraboli njegova ukupna energija jednaka je nuli Prema tome u svakoj tački putanje njegova je kinetička energija jednaka potencijalnoj na temelju čega možemo dobiti izraz za brzinu pri paraboličnom kretanju

r = RZ+h

(II kosmička brzina)

Hiperbola

Za slučaj hiperbole kada je e gt 1 treba biti E gt 0 Kinetička je energija veća od potencijalne Tijelo napušta gravitacijsko polje oslobađa se Zemljine teže

Rad elektrostatske sile

Rad koji vrši elektrostatska sila

)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21

Potencijalna energija elastično deformisane opruge

Elastičnu potencijalnu energiju ima tijelo na kome je izvršen rad protiv neke elastične sile

Za utvrđivanje te veze potrebno je da izračunamo elementarni rad ΔW koji sila polja pri malom pomjeranju tijela Δs vrši duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru Taj rad je jednak

ΔW = FsΔs i važi ΔW=- ΔEp

gdje je Fs projekcija sile F na pravac s

Veza između potencijalne energije i sile


Za potencijalno polje vrijedi da je sila jednaka gradijentu potencijalne energije sa suprotnim znakom

F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z

Zakon održanja impulsa

Proizvod mase čestice i brzine naziva se impuls ili količina kretanja čestice

vmp

Fdt

vmd

dt

pd

Ovo je naopćenitiji slučaj II Newtonovog zakona i zove se zakon promjene

impulsaUkupna količina kretanja zatvorenog

sistema je konstantna bez obzira kakvi se procesi i međujelovanje

događali u sistemuzakon održanja impulsa

constvmpi

iiukupni

Zakon održanja količine kretanja iliimpulsa

Ukupna količina kretanja u zatvorenom izoliranom sistemu je konstantna bez obzira kakvi se procesi odigravaju u sistemu

puk = konst

Iz II Newtonovog zakona

Fuk= dpukdt = 0 slijedi puk = konst

Primjena zakona očuvanja energije i impulsa

Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela

Najčešća primjena zakona održanja impulsa je u izučavanju sudara tijela

Sudari tijela su pojave kod kojih su nepoznate ili priroda ili intenzitet sila koje djeluju u njima ili oboje

Sudari dvaju tijela može biti elastičan djelimično elastičan i neelastičan

Sudari tijela

Sudar je savršeno elastičan kada nema gubitka energije već je ukupna kinetička energija očuvana

Sudar je savršeno neelastičan kada se tijela nakon sudara deformišu spoje i zajedno nastave kretanje kao jedno tijelo Tu se jedan dio kinetičke energije izgubi i pretvori u druge oblike energije

Elastični i neelastični sudariSudar dvije čvrste loptice je približno elastičan

- Pri njemu vrijedi zakon održanja količine kretanja i zakon održanja energije

Swinging Balls

A popular demonstration of conservation of momentum and conservation of energy features several polished steel balls hung in a straight line in contact with each other If one is pulled back and allowed to strike the line one ball flies out the other end If two balls are sent in two come out and so forth

Swinging Balls

Centralni elastični sudari

Ovo je sudar pri kome brzine jedne i druge kuglice leže na istom pravcu koji prolazi središtem obje kugle

Ukupna količina kretanja prije i poslije sudara je ista

22112211 umumvmvm


ukupna kinetička energija prije i poslije sudara je istavrijedi zakon održanja en


Brzine kugli poslije sudara (dobiju se rješavanjem prethodnih dviju jednadžbi održanja impulsa i energije

21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu

Predana energija pri centralnom elastičnom sudaru(v2=0)

Predana energija imaće max vrijednost kada su iste mase m1 i m2 Tada je

ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m

Posebni slučajevi elast sudara jednake mase čestica -izmijeniće brzine Ako druga

kugla miruje poslije sudara prva kugla se zaustavi dok druga odleti brzinom koju je imala prva kugla prije sudara

Savršeno elastična kugla mase m i brzine v udara u vrlo veliku kuglu ili savršeno elastičan zid Kugla se odbija jednakom brzinom kojom je i došla Zid pri tome dobiva impuls sile 2mv a ne dobiva nikakvu energiju jer kugla prilikom sudara ne mijenja energiju

Kada vrlo velika kugla udari kuglicu koja miruje brzina joj se vrlo malo promijeni dok lagana kuglica odleti brzinom koja je dva puta veća od brzine upadne kugle

Centralni neelastični sudari

Pri savršeno neelastičnom sudaru kugle se nakon sudara deformiraju slijepe i kreću zajedno brzinom u

Kinetička energija se smanjuje prilikom neelastičnog sudara

Razlika kinetičkih energija prije i poslije sudara predstavlja gubitak mehaničke energije

Snaga

snaga je brzina vršenja radaP = Wt

Jedinica za snagu je dobila poseban naziv a predstavlja rad od 1J u 1 sekundi tj VAT - W

[1W = 1J1s]- Snaga je skalarna veličina - dobiva se dijeljenjem rada kao skalarne veličine vremenom koje je takođe skalar

- Ako napišemo dA = F middot dL a pošto je dLdt= v onda možemo napisati da je snaga jednaka P = F middot v

Snaga ndash brzina iskorištavanja energije ili brzina

transformacije energijeU slučaju mehaničkog rada (kretanja tijela po nekom putu) razvija se snaga To je brzina iskorištavanja energije ili brzina transformacije energije

komponenta brzine u smjeru kretanja je vα Iz izraza za potencijalnu energiju snaga se računa kao

Snaga je funkcija vremena jer masa ima veću brzinu što tijelo pada duže


Da li se kretanje čestica može određivati na osnovu drugih zakona osim Newtonovih

Jedan od odgovora je DA i to preko zakona očuvanja energije i impulsa

Postoji nekoliko zakona održanja većinom su posljedica određenih simetrija u svemiru

energija impuls moment impulsa naboj spin barionski broj stranost








se naziva radrad








pomjera


Rad konstantne sile

Rad konstantne sile




2

11

11

lim

0s

s

i

n

ii

i

i

n

ii

n

ii

sdFsFW

naskadaili

sFWW




2

1

r

r

W F dr

Mehanički rad

Iz obrasca

A = F middot s




Energija









k

v

v

s

s

v

v

s

s

Evm

vmvmW

vdvmdtvdt

vdmds

td

vdmsdFW

2

21

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

Kinetička energija




Ek= mv22


W= mv222 ndash mv1











( )

( )

B

A

r

B A

r

B A

W F dr mg r r

W mgy mgy





0 sdFk



Wtr = -microNs




vertikalan pravac)








E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga
















se naziva radrad








pomjera


Rad konstantne sile

Rad konstantne sile




2

11

11

lim

0s

s

i

n

ii

i

i

n

ii

n

ii

sdFsFW

naskadaili

sFWW




2

1

r

r

W F dr

Mehanički rad

Iz obrasca

A = F middot s




Energija









k

v

v

s

s

v

v

s

s

Evm

vmvmW

vdvmdtvdt

vdmds

td

vdmsdFW

2

21

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

Kinetička energija




Ek= mv22


W= mv222 ndash mv1











( )

( )

B

A

r

B A

r

B A

W F dr mg r r

W mgy mgy





0 sdFk



Wtr = -microNs




vertikalan pravac)








E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga











se naziva radrad








pomjera


Rad konstantne sile

Rad konstantne sile




2

11

11

lim

0s

s

i

n

ii

i

i

n

ii

n

ii

sdFsFW

naskadaili

sFWW




2

1

r

r

W F dr

Mehanički rad

Iz obrasca

A = F middot s




Energija









k

v

v

s

s

v

v

s

s

Evm

vmvmW

vdvmdtvdt

vdmds

td

vdmsdFW

2

21

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

Kinetička energija




Ek= mv22


W= mv222 ndash mv1











( )

( )

B

A

r

B A

r

B A

W F dr mg r r

W mgy mgy





0 sdFk



Wtr = -microNs




vertikalan pravac)








E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga













pomjera


Rad konstantne sile

Rad konstantne sile




2

11

11

lim

0s

s

i

n

ii

i

i

n

ii

n

ii

sdFsFW

naskadaili

sFWW




2

1

r

r

W F dr

Mehanički rad

Iz obrasca

A = F middot s




Energija









k

v

v

s

s

v

v

s

s

Evm

vmvmW

vdvmdtvdt

vdmds

td

vdmsdFW

2

21

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

Kinetička energija




Ek= mv22


W= mv222 ndash mv1











( )

( )

B

A

r

B A

r

B A

W F dr mg r r

W mgy mgy





0 sdFk



Wtr = -microNs




vertikalan pravac)








E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga









Rad konstantne sile

Rad konstantne sile




2

11

11

lim

0s

s

i

n

ii

i

i

n

ii

n

ii

sdFsFW

naskadaili

sFWW




2

1

r

r

W F dr

Mehanički rad

Iz obrasca

A = F middot s




Energija









k

v

v

s

s

v

v

s

s

Evm

vmvmW

vdvmdtvdt

vdmds

td

vdmsdFW

2

21

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

Kinetička energija




Ek= mv22


W= mv222 ndash mv1











( )

( )

B

A

r

B A

r

B A

W F dr mg r r

W mgy mgy





0 sdFk



Wtr = -microNs




vertikalan pravac)








E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga









Rad konstantne sile




2

11

11

lim

0s

s

i

n

ii

i

i

n

ii

n

ii

sdFsFW

naskadaili

sFWW




2

1

r

r

W F dr

Mehanički rad

Iz obrasca

A = F middot s




Energija









k

v

v

s

s

v

v

s

s

Evm

vmvmW

vdvmdtvdt

vdmds

td

vdmsdFW

2

21

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

Kinetička energija




Ek= mv22


W= mv222 ndash mv1











( )

( )

B

A

r

B A

r

B A

W F dr mg r r

W mgy mgy





0 sdFk



Wtr = -microNs




vertikalan pravac)








E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga












2

11

11

lim

0s

s

i

n

ii

i

i

n

ii

n

ii

sdFsFW

naskadaili

sFWW




2

1

r

r

W F dr

Mehanički rad

Iz obrasca

A = F middot s




Energija









k

v

v

s

s

v

v

s

s

Evm

vmvmW

vdvmdtvdt

vdmds

td

vdmsdFW

2

21

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

Kinetička energija




Ek= mv22


W= mv222 ndash mv1











( )

( )

B

A

r

B A

r

B A

W F dr mg r r

W mgy mgy





0 sdFk



Wtr = -microNs




vertikalan pravac)








E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga











2

11

11

lim

0s

s

i

n

ii

i

i

n

ii

n

ii

sdFsFW

naskadaili

sFWW




2

1

r

r

W F dr

Mehanički rad

Iz obrasca

A = F middot s




Energija









k

v

v

s

s

v

v

s

s

Evm

vmvmW

vdvmdtvdt

vdmds

td

vdmsdFW

2

21

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

Kinetička energija




Ek= mv22


W= mv222 ndash mv1











( )

( )

B

A

r

B A

r

B A

W F dr mg r r

W mgy mgy





0 sdFk



Wtr = -microNs




vertikalan pravac)








E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga












2

1

r

r

W F dr

Mehanički rad

Iz obrasca

A = F middot s




Energija









k

v

v

s

s

v

v

s

s

Evm

vmvmW

vdvmdtvdt

vdmds

td

vdmsdFW

2

21

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

Kinetička energija




Ek= mv22


W= mv222 ndash mv1











( )

( )

B

A

r

B A

r

B A

W F dr mg r r

W mgy mgy





0 sdFk



Wtr = -microNs




vertikalan pravac)








E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga









Mehanički rad

Iz obrasca

A = F middot s




Energija









k

v

v

s

s

v

v

s

s

Evm

vmvmW

vdvmdtvdt

vdmds

td

vdmsdFW

2

21

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

Kinetička energija




Ek= mv22


W= mv222 ndash mv1











( )

( )

B

A

r

B A

r

B A

W F dr mg r r

W mgy mgy





0 sdFk



Wtr = -microNs




vertikalan pravac)








E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga









Energija









k

v

v

s

s

v

v

s

s

Evm

vmvmW

vdvmdtvdt

vdmds

td

vdmsdFW

2

21

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

Kinetička energija




Ek= mv22


W= mv222 ndash mv1











( )

( )

B

A

r

B A

r

B A

W F dr mg r r

W mgy mgy





0 sdFk



Wtr = -microNs




vertikalan pravac)








E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga












k

v

v

s

s

v

v

s

s

Evm

vmvmW

vdvmdtvdt

vdmds

td

vdmsdFW

2

21

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

Kinetička energija




Ek= mv22


W= mv222 ndash mv1











( )

( )

B

A

r

B A

r

B A

W F dr mg r r

W mgy mgy





0 sdFk



Wtr = -microNs




vertikalan pravac)








E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga









Kinetička energija




Ek= mv22


W= mv222 ndash mv1











( )

( )

B

A

r

B A

r

B A

W F dr mg r r

W mgy mgy





0 sdFk



Wtr = -microNs




vertikalan pravac)








E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga


















( )

( )

B

A

r

B A

r

B A

W F dr mg r r

W mgy mgy





0 sdFk



Wtr = -microNs




vertikalan pravac)








E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga














( )

( )

B

A

r

B A

r

B A

W F dr mg r r

W mgy mgy





0 sdFk



Wtr = -microNs




vertikalan pravac)








E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga










( )

( )

B

A

r

B A

r

B A

W F dr mg r r

W mgy mgy





0 sdFk



Wtr = -microNs




vertikalan pravac)








E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga













0 sdFk



Wtr = -microNs




vertikalan pravac)








E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga











Wtr = -microNs




vertikalan pravac)








E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga












vertikalan pravac)








E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga
















E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga















E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga











E = Ek + Ep







+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga














+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga










+

E = Ek + Ep=const








Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga
















Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga












Kako je biće







Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga















Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga











Sila je

0221 r

r

mmF


drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga










drr

mmsdr

r

mmsdFdW

221

0221

drds

drdsdssdr 1cos10


)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga










)11

()1

(12

21212

1 rrmm

rmmW r

r

r

mmE p

21

221

12112

11)()(

rmm

rmmWEE pp




hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga












hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga











hR

MmmvE

Z 2

02

1








r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga















r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga











r = RZ+h


Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga









Hiperbola




)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga











)11

(12

21221

2

1rr

qqkdrr

qqkW

r

r

r

qqkE p

21









F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga

















F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga















F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga











F = - grad Ep

tj )( k

z

Ej

y

Ei

x

EF ppp

a a agrad a i j k

x y z



vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga











vmp

Fdt

vmd

dt

pd





constvmpi

iiukupni



puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga











puk = konst




Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga










Sudari tijela

Elastičan sudar

Neelastičan sudar

Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga









Sudari tijela




Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga









Sudari tijela





Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga











Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga









Swinging Balls


Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga









Swinging Balls




22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga












22112211 umumvmvm





21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga













21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga











21

112122

21

221211

2)(

2)(

mm

vmvmmu

mm

vmvmmu



ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga











ΔE = E1

1 1

2 2 331

21 11

1212

E E E

mv vE

E vmv

2

2 11 1

1 2

1 21

1 2

4

m mE E

m m

m mE E

m m









Snaga

















Snaga













Snaga









Snaga













Documents

Energija i Rad-1