Enrique Fernández Cara - rasc.es Euler Figura:Leonhard Euler, 1707–1783; “Teniendo en cuenta la perfección de Dios, nada puede ocurrir en el universo sin someterse a una regla

Usos y abusos de matemáticos ymatemáticas

Enrique Fernández CaraDpto. E.D.A.N., Universidad de Sevilla

Sevilla, Noviembre 2017

E. Fernández Cara Usos y abusos de matemáticos y matemáticas

Outline

1 IntroducciónExplicaciones (I): Usos y abusosExplicaciones (II): matemáticos y matemáticasFrases célebres y matemáticos/as célebres

2 Sobre la Educación Matemática

3 Sobre la investigación matemáticaA - Hacia la frontera del conocimientoB - Desarrollo, aplicaciones y transferencia

4 Otros comentariosMás características nuestras


IntroducciónExplicaciones (I): Usos y abusos

¿ Qué son las Matemáticas? Varias definiciones:

Definición de Matemática(s), Aristóteles, s. IV a.C.:

La ciencia de la cuantificación

Definición de Matemática(s), Oxford English Dictionary, 1933:

La ciencia abstracta que investiga deductivamente las conclusionesimplícitas en las concepciones elementales de las relacionesespaciales y numéricas

Definición de Matemática(s), Encyclopædia Britannica, 2006:

La ciencia que estudia las estructuras que han evolucionado desde lapráctica elemental de contar, medir y describir la forma de los objetosy las relaciones ente ellas


IntroducciónExplicaciones (I): Usos y abusos

¿Por qué usos y abusos?

ReivindicarCómo somos: tal vez un poco raros, pero no tanto . . .Qué hacemos: intentamos resolver problemas matemáticos(veremos algunos)Lo que nos atribuyen: capacidades inexistentes, gustosextraños, . . .Hacer autocríticaNuestro aislamiento, nuestros crímenes¿Nos explicamos? ¿Nos entiende alguien?¿Nos comunicamos con otros científicos?En los Planes de Estudio . . .


IntroducciónExplicaciones (II): matemáticos y matemáticas

¿Por qué matemáticos y matemáticas?

¿Corrección política? Reivindicar el papel de algunasmatemáticas:

1 Sophie Germain, 1776–18312 Sofía Kovalevskaya, 1850–18913 Olga Ladyzhenskaya, 1922–2004

Hacer una llamada a la atención: porcentajes llamativosMi opinión: no se puede hablar de discriminaciónPero hay un problema piramidal


Figura: Sophie Germain, 1776–1831

Teorema:

Si x , y , z son enteros y x5 + y5 = z5, entonces al menos uno de elloses divisible por 5

“El Álgebra no es más que Geometría y la Geometría no es más queÁlgebra abstracta”


Figura: Sofia Kovalevskaya, 1850–1891

Sobre la teoría de las ecuaciones diferencialesSobre la rotación de un cuerpo sólido alrededor de un punto fijo

“Es imposible ser matemático sin ser un poeta del alma”


Figura: Olga Ladyzhenskaya, 1922–2004

Uno de los grandes nombres del s. XX sobre todo en teoría de EDPsM. Slemrod: “Ella fue la imagen especular en el Este de John Nash.Sus resultados explican el éxito y los límites de la prediccónmeteorológica”


Frases célebres y matemáticos/as célebresPlatón

Figura: Platón, 427–347 a. C.

1. “La Geometría existía antes de la creación”2. “Dios pone Geometría por todas partes”3. “Nadie que no sepa Geometría puede entrar aquí” (en la entradade la Academia)


Frases célebres y matemáticos/as célebresGalileo Galilei

Figura: Galileo Galilei, 1564–1642

“El libro de la Naturaleza está escrito con el lenguaje de lasMatemáticas”


Frases célebres y matemáticos/as célebresLeonhard Euler

Figura: Leonhard Euler, 1707–1783;

“Teniendo en cuenta la perfección de Dios, nada puede ocurrir en eluniverso sin someterse a una regla de máximo o de mínimo”


Frases célebres y matemáticos/as célebresHenri Poincaré

Figura: Henri Poincaré, 1854–1912

“La Matemática es el arte de dar el mismo nombre a distintas cosas”“Una Ciencia es un sistema de leyes (deducidas de observaciones)”“Las leyes son ecuaciones diferenciales”


Más frases célebres y una recomendación

Napoleón Bonaparte: “El avance y perfeccionamiento de lasMatemáticas están íntimamente conectados con la prosperidad delEstado”

Alfréd Rényi: “Un matemático es una máquina capaz de transformarcafé en teoremas”

Paul Halmos: “La única forma que hay de aprender Matemáticas eshacer Matemáticas”

RECOMENDACIÓN:I. Steward.Cartas a una joven matemática.

Crítica, Barcelona, 2006

Una completa descripción de los estudios de Matemáticas y de loque viene después


Sobre la Educación MatemáticaUn gran problema

¿Los objetivos?

Enseñanza básica de la aritmética a todos los alumnos +enseñanza práctica a la mayoríaEnseñanza de conceptos matemáticos abstractos (conjunto,función, . . . ) y modelos de razonamiento deductivo a una edadtempranaEnseñanza avanzada para los alumnos que deseen seguir unacarrera en la ciencia

Desgraciadamente: no se aportan recursos ni se administranesfuerzos suficientes

Las consecuencias que se arrastran: falta de agilidad mental en elcálculo y de rigurosidad en el razonamiento

¿CÓMO ENFOCAR EL PROBLEMA?


La investigación matemáticaA - Hacia la frontera del conocimiento

El Teorema de Fermat (probado en 1995):

Si n es un entero > 2, no existen enteros positivos a, b y c queverifiquen an + bn = cn

Figura: Pierre de Fermat, 1601–1665

P. de Fermat: “He encontrado una demostración realmente admirable,pero el margen de este libro es muy pequeño para ponerla”D. Hilbert: “Antes de empezar a tratar de probar este resultado,tendría que invertir tres años de estudio intensivo y no tengo tiemposuficiente para arriesgarme a un posible fracaso”



Probado en 1995 por Andrew Wiles, Premio Abel 2016.

Figura: Andrew Wiles, nacido en 1953



El Teorema con más pruebas falsas de la Historia

Para la prueba de Wiles: técnicas profundas, inalcanzables en laépoca de Fermat

A modo de ilustración:Teorema⇐ Versión simplificada de la conjetura TSW(Taniyama-Shimura-Weil)

Toda curva elíptica sobre Q puede ser obtenida vía una aplicaciónracional con coeficientes enteros a partir de X0(N) para algún N

Versión completa: probada por Breuil y otros en 2001.



La conjetura de Poincaré (resuelta, 2002)

En términos ambiguos: toda superfice cerrada de R3 en la que todolazo o círculo cerrado se puede deformar (transformar) en un puntoes equivalente a una esfera

Poincaré conjeturó que en R4 el resultado continúa siendo cierto:La esfera de R4 es la única variedad compacta y simplementeconexa de dimensión 3Resultado probado por Grigori Perelmán en 2002 (Medalla Fields enel ICM2006, Madrid; rechazada)Para la prueba: resultados de Topología, Geometría Diferencial,Ecuaciones Diferenciales, . . .



El problema de Pompeyo (abierto a fecha de hoy):

Suponemos f : Rn 7→ R continua, no idénticamente nula, K ⊂ Rn

dominio simplemente conexo con frontera Lipschitz, la integral de fse anula en toda copia congruente de K . Probar que entonces K esuna bola

Equivalente a un problema de simetría para una EDP


La investigación matemáticaB - Desarrollo, aplicaciones y transferencia

La optimización de campos termo-solares

Componentes:

Torre, equipada con un receptorHeliostatos

Principios básicos:

Rayos del sol reflejados y enfocados hacia el receptor + energía solarconcentrada y transformada en calor aplicado a un fluido enconductos adecuados + vapor que viaja a gran velocidad +generación de electricidad en una turbina



Objetivo: Optimizar la planta, i.e.Hallar si es posible valores “óptimos” de la altura de la torre,el tamaño del receptor y las posiciones de los heliostatos

Financiado por Abengoa Solar (Contrato CapTorSol (AS-US),2011–2014)

T. Ashley, E. Carrizosa, EFC, C.A. Domínguez



Torre y receptor fijos, campo de heliostatos libre

Incógnitas: posiciones de heliostatos

Un problema finito-dimensional dedimensión grande y variable∼ 103 o más incógnitas . . .

X =

(xi , yi ) ∈ R2 : i = 1, . . . ,N

−400 −300 −200 −100 0 100 200 300 4000

100

200

300

400

500

600

700

800

(West) y coordinate (East)

(So

uth

) x c

oo

rdin

ate

(N

ort

h)

Heliostat Field Layout Nhel

= 624

El conjunto admisible

F = X : rmin ≤ ‖(xi , yi )‖ ≤ rmax , ‖(xi , yi )− (xj , yj )‖ ≥ δi + δj para i 6= j



Torre y receptor fijos, campo de heliostatos libreLas funciones:

e = e(X ): la energía anual generada (complicada)c = c(X ): el coste (sencilla)

También, Π = Π(X ): potencia alcanzada en un tiempo(pre-designado) Td

El problema escalar: Maximizare(X )

c(X )

Sujeto a X ∈ F , Π(X ) ≥ Π0

ATENCIÓN: N no se fija a priori!

¿Existencia de solución? ¿Algoritmos de cálculo?Nada es evidente . . .




La energía:

e(r ,h) =365∑n=1

∫In

∑H∈H

P∗(H,n)(r ,h, t) dt '∫

p(r ,h, t) dt

Aquí:

p(r ,h, t): una interpolación polinómicaP∗(H,n)(r ,h, t) = (η1P(H,n)(r ,h, t)− η2πr2)(1− η3): energía efective

P(H,n)(r ,h, t) = rn(t)AH∏4

j=0 νj(H,n)(r ,h, t): energía aportada

ν j(H,n)(r ,h, t): las eficiencias correspondientes a H y n

Eficiencias: atmosférica, radiación, coseno, intercepción, . . .

ν0 = α1 − α2ρ(H,QE ) + α3ρ(H,QE )2, ν1 = SEcR , ν2 = cos(γ(t)/2),

ν3 = K(H,n)(h, t)∫∫

S exp(− g1(x,y)

2(σ(H,n)(h,t))2

)dx dy , . . .




La eficiencia más relevante: sombra y bloqueo (s/b)Calculada con el algoritmo de Sassi

G. Sassi.Some notes on shadow and blockage effects.

Solar Energy, 31(3): 331–333, 1983.



Torre y receptor fijos, campo de heliostatos libreHeliostatos vecinos

−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500

100

200

300

400

500

600

700

800

Coordenada y

Coo

rden

ada

xHeliostato principal y sus vecinos



Torre y receptor fijos, campo de heliostatos libre – evolución de s/b

































Torre y receptor fijos, campo de heliostatos libreRadial-stagger Pattern (PS10)

−400 −300 −200 −100 0 100 200 300 4000

100

200

300

400

500

600

700

800


(So

uth

) x c

oo

rdin

ate

(N

ort

h)


= 624

C. J. Noone, M. Torrilhon, A. Mitsos.Solar Energy, 86: 792–803, 2012.



Torre y receptor fijos, campo de heliostatos libreRadial-stagger Pattern “re-optimizado” (RPS10): PS10 + post-processing, optimización local, etc.

−400 −300 −200 −100 0 100 200 300 4000

100

200

300

400

500

600

700

800


(So

uth

) x c

oo

rdin

ate

(N

ort

h)


= 624




Torre y receptor fijos, campo de heliostatos libreSpiral Pattern

−400 −300 −200 −100 0 100 200 300 4000

100

200

300

400

500

600

700

800


(So

uth

) x c

oo

rdin

ate

(N

ort

h)


= 624




Torre y receptor fijos, campo de heliostatos libreGreedy-optimization Pattern (calculado con un algoritmo voraz)

(GPS10)

−400 −300 −200 −100 0 100 200 300 4000

100

200

300

400

500

600

700

800


(So

uth

) x c

oo

rdin

ate

(N

ort

h)


= 624

E. Carrizosa, C. Domínguez-Bravo, EFC, M. Quero.A global optimization approach to the design of solar power plants, submitted.




Patrón N Energía Anual (GWH) Potencia en Td (MW)PS10 624 45,03 157,57

RPS10 624 45,37 157,94Spiral 624 44,36 126,80GS10 624 45,26 157,07



Elastografía, detección de tumores y el servicio a la sociedad

MOTIVACIÓN Y OBJETIVO: Dado un órgano, detectar laspropiedades elásticas de los tejidos interiores (y deducir la presenciade posibles tumores)


Motivation and description

Figura: Un elastograma. Identificación de la rigidez de los tejidos


Motivation and description

Figura: Otro elastograma. Identificación de la rigidez de los tejidos




En términos matemáticos: UN PROBLEMA INVERSO

Generalidades sobre problemas inversos:

Planteamiento general de un problema directo:Datos (D0 ∪ D1)→ Resultados (R)→ Observación (informaciónadicional) (I)Un problema inverso relacionado:Algunos datos (D0) + Información (I)→ Los otros datos (D1)

Principales cuestiones:

Unicidad: I = I ′ ⇒ D1 = D′1?Estabilidad: Estimación de dist (D1,D′1) en términosde dist (I, I ′)Reconstrucción: Calcular (exacta or aproximadamente) D1 apartir de I




En nuestro caso:

Los datos conocidos: Ω, T , (u0,u1), ϕEl sistema (Lamé): utt −∇ ·

(µ(∇u +∇uT ) + λ(∇ · u)Id.

)= f (x , t) en Ω× (0,T )

u = ϕ sobre ∂Ω× (0,T )u(x ,0) = u0(x), ut (x ,0) = u1(x) en Ω

La observación:σ(u) · n :=

(µ(∇u +∇uT ) + λ(∇ · u)Id.

)· n sobre γ × (0,T )

Las incógnitas: µ = µ(x) y λ = λ(x)

Un problema complicado¿Algoritmos para la reconstrucción? ¿Resultados?




RECONSTRUCCIÓN:

Suponemos f , ft ∈ L2(Q)N , u0 = 0, u1 ∈ H10 (Ω)N , Υ ∈ L2(Σ)N

Reformulamos el problema como un problema mínimos (R > 0 esdado):

Minimizar I(µ, λ)

Sujeto a (µ, λ) ∈ K(R)

I(µ, λ) :=12

∫ T

0‖σ(u) · n

∣∣γ−Υ‖2 dt

K(R) = (µ, λ) ∈ BV(Ω), β ≤ µ, λ ≤ β, TV (µ),TV (λ) ≤ R

Teorema, EFC-F. Maestre

Para todo R > 0 existe al menos una solución (µR , λR).




RECONSTRUCCIÓN:

Teorema, EFC-F. Maestre

Para todo R > 0 existe al menos una solución (µR , λR).

Idea de la prueba:

Una sucesión minimizante (µn, λn) converge débil-∗ en BV(Ω),fuerte en Lp(Ω) para todo p < +∞Las (un,un,t ,un,tt ) asociadas convergen débil-∗∇un ∈ compacto de L2(Q) (¡más de hecho!) – Un punto crucial ydelicadoImplicado por estimaciones de tipo Meyers y resultados deinterpolación [Tartar]




UN EXPERIMENTO NUMÉRICO, FIJADO λEl dominio y la malla

Figura: Número de nodos: 3629 – Número de triángulos: 7056E. Fernández Cara Usos y abusos de matemáticos y matemáticas



TEST 1Inicial: µ = 5 Real: µ = 10 en D, µ = 1 en el exterior

Figura: El coeficiente real µ (desconocido inicialmente)E. Fernández Cara Usos y abusos de matemáticos y matemáticas


Elastografía, detección de tumores y el servicio a la sociedadEl algoritmo: Lagrangiano Aumentado + L-BFGS(limited memory quasi-Newton, Broyden, Fletcher, Goldfarband Shanno) – Coste final ∼ 9,6× 10−8

Figura: El coeficiente µ calculadoE. Fernández Cara Usos y abusos de matemáticos y matemáticas



TEST 2Inicial: µ = 5 Real: µ = 10 en D1 ∪ D2, µ = 1 en el exterior

Figura: El coeficiente real µ (desconocido)E. Fernández Cara Usos y abusos de matemáticos y matemáticas



El algoritmo: Lagrangiano Aumentado + L-BFGSCoste final ∼ 9,6× 10−8

Figura: El coeficiente µ calculadoE. Fernández Cara Usos y abusos de matemáticos y matemáticas



Figura: log del coste vs. número de iteraciones. Caso 1 (izqda.)y Caso 2 (drcha.)


Otros comentarios

TENEMOS MÁS CARACTERÍSTICAS:

Interés reciente por la matematización de ciencias socialesTendencias a formar alumnos“Crueldad” en nuestros juiciosIncapacidad para valorar el trabajo sistemático, etc.


MUCHAS GRACIAS . . .


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Enrique Fernández Cara - rasc.es Euler Figura:Leonhard Euler, 1707–1783; “Teniendo en cuenta la perfección de Dios, nada puede ocurrir en el universo sin someterse a una regla