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,/ C) } lOc/. _ INGENIERO CIVIL

Enrique D. Fliess Profesor titular de Estabilidad Y Hormign:

Armado I de la Escuela Superior Tcnica del Ejrcito. Ex profesor titular de Estabilidad de la

Facultad de Ingeniera de la Universidad de Buenos Aires.

Ex director del Departamento de Estabilidad de la Facultd de Ingeniera da la Universidad

de Buenos Aires. Jefe del Departamanto de Investigaciones del

Instituto del Cemento Portland Argentino.

LH ---~.'

E S t a b I I I d a d segundo

curso

~, E o I T o R I A L ~~ B['&' ELVS_ ~~%,.,. MORENO~72 . BUENOS AIRES

OOLECClN UNIVERSITARIA Serie: Ciencias Naturales

Estn protlibidas y penadas por la ley la reproduccin Y la cJifusion totales o parciales de esta obra, en cualquier forma, por medios mecanlcos o eleolronicos Inclusive por fotocopia, grabacin magnetofonica y cualquier otro si~iema (je almacenamiento de informacin, sin el previo consentimiento escrito del editor

Todos los derechos reservados por (

IV

3.

4.

5.

7.

3.L 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.7.1. 3.7.2. a.7.3. 3.7.4.

4.1. 4.2.

5.1. 5.2. 5.3 .. 5.4: - I"! ;1 ). 5.6.

h.l. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6.

7.1. 7.2.

INDICE GENERAL

El estado elstico doble o plano

Tensiones en un plano cualquiera Tensiones y planos principales Mximas tensiones tangenciales Expresin de las tensiones f>n funcin de las tensiones principales Invariantes de tensin para el estado elstico plano Casos particulares del estado elstico plano . Representacin grfica del estado elstico plano

Elipse de Lam o elipse de tensiones Cnicas auxiliares . . . . . . Representacin polar de tensiones Circunferencia de Mohr

El estado simple de temin

59 61 63 65 66 67 68 68 69 78 81

Tensiones normal y tangencial para un plano cualquiera 97 Representacin grfica del estado elstico simple. Cir

VI

10.

11.

iNDICE GENERAL

Solicitacin por torsin

10.1. Planteo del problema 10.2. La hiptesis de Coulomb 10.3. Torsin de la seccin circular Uena 10.4. Relacin entre Mt Y las tensiones tangenciales 10.5. Angulo de torsin 10.6. Tensiones principales . . . . . . . 10.7. La seccin anular . . ',' . . .

.' .

10.8. Comparacin entre la seccin anular y la circular Uena 10.9. Seccin tubular de pared delgada simplemente conexa 10.10. Seccin tubular de pared delgada, mltiplemente conexa 10.11. La seccin rectangular sujeta a torsin .. . . . . . 10.12. Secciones elptica y triangular . . . . . . . 10.13. Torsin en secciones abiertas de pared delgada. (perfiles lami-

nados) ....... . 10.14. La analoga de la membrana 10.15. Analoga hidrodinmica 10.16. Tensiones secundarias en la torsin 10.17. Torsin en el perodo plstico

Solicitacin por flexin simple

11.1. Conceptos generales 11.2. Flexin pura normal I I.~.I. Dimensionado de Sl~eciones 1 1.2.2. Verificacin de secciones 11.2.3. Deformaciones en la flexin pura normal 11.2.4. Cambio de forma de la seccin 11.3. Flexin pura oblicua ....... . 11.3.1. Determinacin del eje neutro ... . 11.3.2. Flexin oblicua en funcin de dos flexiones normales 11.3.3. Verificacin y proyecto de secciones solicitadas a flexin

blicua . . . . . . . . . . 11.4. Energa de deformacin en la flexin U.5. F1exin y corte . . . . . . . . U.5.1. Consideraciones generales . . . 11.5.2. La teora de Jouravski generalizada U.5.3. Tensiones tangenciales en la seccin rectangular U.5.4. Tensiones tangenciales en secciones simtricas de contorno

11.5.5. 11.5.6. 11.5.7. 11.5.8. U.5.9.

curvilneo . . . . . . . . . . . . . . . Tensiones tangenciales en la seccin circular Uena Tensiones tangenciales en la seccin triangular . Alabeo de secciones solicitadas por flexin y corte Tensiones tangenciales en la seccin doble T Centro de corte ......... .

219 220 221 223 226 227 228 229 232 238 241 245

246 250 256 257 264

271 272 277 282-286 299 300 302 304

307 308 311 311 313 315

318 322 323 :~2:; 325 330

.~ I

}

NDICE GENERAL

11.6. Las tensiones principales en flexin y corte 11. 7. Curvas isostticas ......... . 11. 7.1. Ecuacin diferencial de las curvas isostticas 11. 7.2. Determinacin grfica de las isostticas 11.8. Curvas isclinas . . . . . . 11. 9. Flexin en el perodo plsti ,0 .... 11. 9.1. Materiales con lmite de flut'ncia definido 11. 9.2. Determinacin del momento de rotura 11. 9.3. Expresin del momento de plastificacin parcial 11. 9.4. Coeficientes de forma .............. . 11. 9.5. Momentos de rotura y plastificacin part;ial y coeficiente de

11.9.6. 11.9.7. 11.9.8.

forma para distintas secciones ........ . Tensiones rl~sidllalCl! . . . . . . . . . . . . Zona de plutitificacim en vigas solicitadas a flexin Materiales sin lmik de fluencia definido

11.9.9. Secciones con un solo eje de simetra ..

12. Solicitacin por flexin compuesta 12.1. Conceptos g,~rlerab; . . . . . . . .. ...... . 12.2. Flexin eumpuesla I~n rgimen clstieo . . . . . . . 12.2.1. Planteu y I'uluein dd prohlema para el caso general de

flexin eumpuesta ohlil'ua ............ . 12.2.2. Determinacin grfica .1 .. 1 diagrama de tensiones normales 12.2.:1. Flexin compul'~ta ol.li,ua nmsiderada como suma de dos

flexiones lIormakri ........... . 12.2.-1-. Reciprol'irlad entre centro de presin y eje neutro 12.2.,i. 12.2.6. 12.2.7. 12.2.S. 12.2.9.

\l'l,'o c"nlral .......... . Determinacin del ncleo central . . . . :"dl'o cl'ntral de las secciones ms comunes Flcxin compu(~sLa normal en rgimen elstico Lnea de influencia y superfieie de influencia de las tensiones normales ................... .

12.3. Flexin compuesta en secciones de materiales que no admiten tensiones de traccin ............... .

12.3.1. Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . 12.3.2. Flexi1D compuesta normal, en secciones sin zona de traccin 12.3.3. La sl'lTin cin:ular hueca sin zona de traccin ..... 12.:1.4. Flexin compuesta oblicua en secciones sin zona de traccin L2.4. .'I(xiiln compuesta en rgimen plstico o anelstico 12.4.1. Considl:raciollt:s generales . . . . . . . . . . . . . 12.4.2. Anlisis de la seccin rectangular ..... . . . . . 12.4.:1. CUrvil de interacein para plastificacin total de la seccin

/'I'l"lanbrular .................. . 12.4.4. Curvas di' interaccin para plastificacin parcial de la seccin

redan,rular ..... 12.4 . .'). Diil~amas de: interaccin . . . . . . . . . . . . . .

VII

336 339 340 341 344 345 345 348 348 350

350 357 359 363 368

373 373

373 378

379 381 386 388 389 396

400

402 402 402 408 411 415 415. 416

417

419 424

vm INDICE GENERAL

13.

14.

12.4.6. eaeo'general de una seecin cualquiera . . . . . . 12.4.7. Curva de interaccin para p1astificacin total de una seecin

cualquiera . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.8. Curvas de interaccin para plastificacin parcial de una

seccin cualquiera ........ . 12.4.9. Curvas de interaccin para una seccin trapecial

Flexin combinada con torsin

13.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . 13.2. Flexin y torsin en la seecin circular nena 13.3. Flexin y torsin en la seecin cireular hueca 13.4. Caso de la seccin circular nena cuando existe esfuerzo normal 13.5. Resortes helicoidales de seccin circular 13.5.1. Resortes de espiras cerradas 13.5.2. Resortes de espiras abiertas ....

Flexi6n en piezas de gran curvatura

14.1. Conceptos generales . . . . . . 14.2. Planteo del problema ..... 14.3. Mtodo de la seecin transformada 14.4. Solucin de Winkler-Bach . . . . 14.5. Detenninacin analtica del coeficiente IX 14.5.1. Coeficientes para la seecin rectangular 14.5.2. Coeficiente IX para la seecin circular nena 14.5.3. Coeficiente IX para la seccin triangular 14.5.4. Coeficiente IX para la seccin elptica 14.6. DetermiBacin gt'fica del coeficiente 14.7. PieZ88 solicitadas axilmente ..... . 14.8. Flexin compuesta en piezas de gran curvatura 14.9. Tensiones radiales en vigas de gran curvatura 14.10. Tensiones en vigas de secciones T, doble T y tubulares

15. Teoras de rotura de 108 cuerpos

15.1. Consideraciones generales . 15.2. Concepto de rotura . . 15.3. Las principales teoras de rotura 15.4. La energa intema de deformacin 15.4.1. Estado simple de tensin 15.4.2. Corte puro . . . . . .

429

432

434 435

441 442 445 445 447 448 453

455 455 458 464 470 471 472 474 475 476 479 482 484, 489'

491 493 495 496 497 498

16.

17.

NDICE GENERAL

15.4.3. Combinacin de al y 7 15.4.4. Caso de dos tensiones principales . . . . . . 15.4.5. Caso de tres tensiones principales . . . . 15.4.6. Componentes de la energa total de deformacin 15.5. Teora de la mxima tensin principal 15.6. Teora de la mxima tensin de corte ..... 15.7. Teora de la mxima deformacin especfica principal 15.8. Teora de la energa total de deformacin ... 15.9. Teora de la mxima energa de distorsin .. 15.10. Teora de la mxima tensin tangencial octadrica 15.1l. Teora de la mxima tensin normal 15.12. Teora de Mollr 15.13. Comparacin de las ilis~in~as' te'orias'd~ r~tu~a'

Solicitacin por fatiga

16. L Concepto del problema .......... . 16.2. Tip~ de ~nsin e~ la solicitacin por fatig-d. Definicion~s . : : 16.3. ReSIStencia a la fatiga. Curva de Wohler ........ . 16.4. Dabrramas de fatiga Interpretacin de los resultados experimen-

tales 16.5. Diagra~a de 'W~Y1'~u~h' : : : : : : : : : : : : 16.6. Diagrama de Smith ............ . 16.7. Dimensionado de piezas sujetas a solicitaciones cclicas 16.7.1. Fatiga por solicitacin axil 16.7.2. Fatiga por flexin

17.1. J7.2. 17.3. 17.4. L7.5. 17.6. 17.7.

Solicitaciones dinmicas

Planteo del problema Solicitacin dinmica axil . . Solicitacin dinmica por flexin Solicitacin dinmica por torsin . . . . . . . . . . Anlisis ~ompan:livo .entre solicitaciones esttica y dinmica InfluenCia de la mercla de la pieza que soporta el impacto Coeficiente de impacto . . . . . . . . . . . . .

t8. Concentracin de tensiones

18.1. 18.2.

18.3.

18.4.

Concepto del problema . . . . . . . . . . . . Concentrcin de tensiones originadas por un agujero circular para solicitacin axil . . . . . . . . . . . . . . . . ' Conce.n!rac~?n d~ tensiones originadas por un agujero elptico: en sohcltaclon axd Efectos de entalladura ~ de ~a';'bio de ~e~ci&n' . . . . . .

IX

499 499 500 501 507 510 512 514 517 519 520 522 528

533 535 538

540 545 546 551 552 554

559 562 566 570 573 577 581

583

584

592 595

x I INDICE GENERAL

18.5. Ulagramas dl" N.mhcr .... . . . . . . . . . 609 IB.o. Fal"tor efectivo de l"Onccntraciim de tensiones. SensiLilidad de

entalladura .................... 61;1 18.7. 18.8.

Factores que innuyen sobre ke ya . . . Concentracin de' tensiones en 'la torsin de delgada . . . . . . , .. ....

Larras de pared 615

618 Prlogo

El Segundo Curso de "ESTABILIDAD" que publica el Profesor Ingeniero Enrique Fliess continll el estudio de fu Esttica de los Cuerpos R{gidos y de In Teocia de Estructuras de los sistemas isostticos aparecido anteriormente, de acuerdo con In misma filosofia respecto a lo que debe ser un texto destinado a In ensefianza tcnica superior, obteniendo asi un conjunto coherente que va llevando al estudiante a travs de In Ciencia de 1ns Construcciones.

Como siempre que se desea escribir un texto o plo.near el desarrollo de un curso, que a los efectos es lo mismo, se presentan al docente varias alternativas sobre In secuenclil de sus temas y sobre formas o mtodos para desarrotlo.rlos, para cuya eleccin deben tenerse en cuenta, especialmente, el contenido de In materia y el objetivo o destino de In misma, pero, adems, 1ns caracteristicas generales del resto de lo. ensefianza y In estimacin del nivel en que debe ser tiL

Desde este ltimo punto de vista, que sera el primero a resolver al emprender tan ardua tarea, podriamos decir como dice el Ingeniero U. Meoli en el prlogo de~ Primer Curso, - " que se trata de In opcin entre hacer prevalecer el inters de los ms o el de los mejores ... "-, siempre en menor nmero. A mi manera de ver In opcin hecha por el Ingeniero FUess es buena, es In mejor para un libro de texto, pues realiza un desarrollo detallndo y metdico de todos los puntos bsicos, enfatizando el aspecto fisicode manero que el estudiante medio capte bien claramente los conceptos fundamentales.

Al entrar al estudio de los fenmenos producidos por 1ns fuerzas aplcails a los cuerpo. deformable" el autor ha debido elegir entre dos procesos o secuencias en UM alterrwtiva que se nos presenta continuamente: El orden a establecer entre el estudio de In Resistencia de Materiales clsica y el de In Teoria Matemtica de la Elnsticidad, entre lo particular y lo generaL Pueden darse argumentos en uno y otro sentido y todos valederos, lo cual ha hecho que veces In solucin oscile de uno a otro extremo como est pasando en nuestro medio.

xu PRLOGO

En este tJlpecto, se ha optado por una solucin intermedia: El contenido relponde a un programa que excede del de un curso de Resistencia de Materja~~ propiamente dicho y se sitOO en un intermedio entre el de ste y el de la Teora Matemtica de la EltuticiOOd en el sentido en que los ha separado Timoshenko, al comemOT con el estudio detallado del estado tensional y de deformacin en eltado doble y triple. En esa forma consigue entrar con mucha claridad en probl.emaJ avamados como los cubiertos en extensos captulos referentes a piezas de gran curoaturo, solicitaciones variables y dinmicas, teorIJs de rotura y referencJI a algunos casos tpicos de concentracin de tensiones. Asimismo, ha tenido la inmejorable idea de incluir una introduccin al problema de ~ seguridad de las estructuras en su captulo siete.

En ela eleccin ha influido como es natural el contenido y la secuencia de programas de los diversos cursos de EstabiliCJd y de Estructuras que integran el Plan de Estudios al cual se destina, en cuya definicin entran una serie de factores que no dependen exclwivamente, ni a veces primordialmente, del docente directo del curso,

JI dudtJI que se podran presentar sobre el punto anterior no se presentan sobre la eleccin del mtodo matemtico utilizado para desarrollar los conceptos bsicos. Estoy firmemente convencido de que cuando se trata de hacer entrar al alumno en el campo de los fundamentos de la Resistencia de Materiales es mucho ms conveniente trabajar con las componentes de las tensiones y deformaciones que con su reprelentacin tensorial para obtener resultados efectivos, sin que la parte formal oscurezca la conceptual, y cuando es decisivo hacer comprender claramente el sentido fsico de cada una de esas componentes y cuando inevitablemente deberemos volver a esas formas para realizar la aplicacin de las frmulas o de los criterios desarrollados.

Ello no obsta para que, parolel o previamente, pueCJn existir cursos de Mecnica del Continuo encaraCJ en su forma rntb general y con la hemzmienta matemtica nus compacta como es la del clculo tensorial, a la manera de Sokolnikoff, Landau., etc., lo cual es posiblemente una buena solucin para la formacin cientfica del eltudiante y para poder encarar satisfactoriamente cursos ms avamados,

ING. JULIO RICALDONI

(

.. '.

Prefacio

Cuando en mayo de 1963 apareci "Estabilidad I", deca en su "Prefacio" que faltaba completar la obra con los captulos de "Resistencia de Materiales", que en aquel entonces integraban los programas del primer curso de EstabiliCJd correspondientes a las carreros que no fueran la de Ingeniera Civil que se dictaban en la Facultad de Ingeniera de la Universidad de Buenos Aires. Transcurridos ocho aos, l agrupacin de temas y la contextura de los cursos que se dictan en el "Departamento, de Estabilidad" han sufrido modificaciones. En consecuencia, "Estabilidad JI" completa los temas que se dictan en el curso de "EstabiliCJd 1", nico para las carreras de Ingeniera Civil, Electromecnica, Naval e Industrial y se adecua tambin al programa de "Elementos de Estabilidad".

Aparte de ello responde perfectamente al programa de "Estabilidad General" que se dicta en la Escuela Superior Tcnica del Ejrcito y tengo la esperanza que determinados capftulos puedan ser de utilidad para el curso de "Estabilidad JI" de nuestra Facultad.

Repito una vez ms lo que dijera al comenzar el "Prefacio de Estabilidad fU: es una obra que no pretende ser original, ni menos an una obro cientfica. El lector interesado puede encontrar los temas que trata, mucho mejor desarrollados en cualquier libro de la especialiCJd. Slo es una recopilacin ordenada de mis clases dictadas en l Facultad de Ingeniera y en la Escuela Superior Tcnica y su nico objeto es que resulte de utilidad (J mis alumnos, a quienes la dedico. De ser as, se habr logrodo el objetivo f/ue me gui al escribirla.

Para terminar, dejo constancia de mi reconocimiento alIng. Jos 1. Rodrguez Escalnte, Jefe de Trabajos Prcticos de la Ctedra a mi cargo, por ltectura de parte de los originales y las observaciones efectuadas a los mismos. Adems, agradezco muy especialmente a mi colaborador en el Departamento de Estabi lidad, Ingeniero Ricardo Colobraro, por el empefio y minuciosidad con que verificara y corrigiera los errores tipogrficos de la primera edicin.

ENRIQUE D. FLIESS Ingeniero Civil

1. INTRODUCCIN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

1 . 1. Conceptos generales

En el curso de Estabilidad 1 se ha estudiado el equilibrio de los slidos, supuestos estos rgidos e indt'formables. Tales slidos no existen, como sabemos, en la naturaleza. Todos, en mayor o menor grado, experimentan deformaciones bajo el efecto de las cargas exteriores, originndose en. el interior del slido, fuerzas moleculares. De la distinta naturaleza de stas, de su equilibrio y de la forma de establecer su valor, nos ocuparemos en el curso de Estabilidad n que desarro-llamos a continuacin.

Imaginemos un slido continuo, homogneo e stropo que ocupa un volumen V y se halla delimitado por una superficie F. Para un instante de tiempo t, el slido se halla solicitado por fuerzas exteriores, que pueden ser de dos natura-lezas distintas, a saber:

o } Fu~!zas_ de masa o de volumen

Si l' es un elemento de volumen y m su masa, la densidad media de dicho volumen ser:

dm dv ( 1. I J

En dicho volumen actla una fuerza que, en general, es del mismo orden de nagnitud que ste, es decir, un infinitsimo, cuya intensidad ser:

Pdm f 1.21 donde P resulta ser una fuerza unitaria, es decir, una fuerza por unidad de masa. A estas fuerzas se las denomina fuerzas de volumen o fuerzas de masa. por actuar distribuidas en la totalidad del volumen del slido. Ejemplo de tales fuerzas son las gravitacionales, las fuerzas de inercia y las electromagnticas .

.,

]O) Fuerzas de superficie Como su nombre Jo indica, estas fuerzas actan sobre la superficie de los

cuerpos, exteriormente, Si ds es un elemento de superficie podemos admitir que sobre dicho elemento acta una fuerza elemental p. as, donde p es una fuerza por unidad de superficie, que se la denomina presin o esfuerzo de contacto o presin simplemente. Tales fuerzas derivan do las acciones mutuas que se des-arrollan por contacto entre dos cuerpos o por acciones exteriores sobre la super-ficie de los mismos. Las fuerzas de superficie pueden tambin ser puntuales, en cuyo caso se las denomina concentradas.

2 INTRODUCCIN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

1 . 2. Concepto de tensin

Sea el slido de figura 1.1, que supondremos homogneo e i~tropo, que suponemos se encuentra sujeto a la accin de un sistema de fuerzas exteriores (de superficie) Pi en equilibrio. Consideremos en el interior del slido un punto

Fig. 1.1

material A Y un plano cualquiera que cOI!!enga a~A. Dicho plano defme en el slido una seccin S. Si imaginamos separada la pa~J,e~lt ~lslido conjunta mente con las fuerzas que actan sobre la mism~~ r()lllpe el egulli-~ de la parte izquierda. Para restituirlo es necesario aplicar "~L~aricentro de la secci6n la resultante y el par de reduccin con re~~to . al m!~P, de las iuerZU suprimidas, figura 1.2, las que representan el conjunto de acciones mutuas que transmite la parte derecha, suprimida, a la parte izquierda considerada. Ahora bien, estas acciones no se ejercen de una a otra parte del slido como acciones concentradas, sino que lo son punto a punto de la parte derecha a la iZquierda

y"re~!procamente.-~- --- ---

Consideremos nuevamente el punto A y en l ':l!!entomo de superficie Af, fJgUra 1.3. Sobre dicho elemento de su~rficie se transmite de un lado LQ~rO de la seccin una fuerza elemental AP. Establecido el cociente jlPIAF hagamoS tender AF a cero. Al lmite de dicho cociente, cuando AF tiende a cero lo denominaremos I tensin len el punto A, es decir

( lim A~, = dP = p [1.3] . AF J I:J.F + o dF

La tensin tiene la dimensin de una fuerza por unidad

4 INTRODUCCIN A LA IH.SISI"ENCIA DE MATERIALES

otras su intensidad y direccin. pudiendo Ile:ar a cambiar tambiJl. . .sJ.W~Jl!ido. R~sulta as Qlle a un punto determinado del interior de "n sBdo corresp?nlkn infinitas tensiones. cada una de ellas subordinada a un plano determmado.

'0 es ue corresp()!!~en a u.!U?':IIl_t() .se denomina rr""g-i:-m";e~n:::d~e~te~n::~io~n~e~s~o~e~s::;t:;a:io~~e~t~e;;n;;sl~o~!1te~n~e~l~p~unto cO!l.s.i~~rado. Distinguiremos en lo que sigue tres distintos estados de tensin. a saber:

a) Si al variar el plano que se considera. la tensin vara en intensidad. direccin y sentido, teniendo el vector tensin cualguier orientacjn ~!1.el ~. diremos que estamos ante un (estado triple de ten s/On , estad~ m~I(}l de tens/On o un eslaao espacIar ae fens/Onj siendo las tres denommaclOnes equivalentes.

b) Cuando al variar el plano considerado los vectores representativos de las tensiones varan de direccin. intensidad y sentido, pero se mantienenptl~ltzlos a un plano determinad~~estamos ante un estado plano de tensirE.i~tgJWhI\

WtensTbn o estado biaxial de tens/On,\ indistintamente. c) Si al considerar los infinitos planos que pasan por un. punto: las ~?rres

pondientes tensiones se mantienen todas paralelas a una mIsma dzreccI?n.,~~1 estado elstico se denomina estado SImple de tens/On, estado Imeal de tensll!J o estao ax" de tens/O]J

1 . 4. Tensiones normales y tangenciales

Consideremos un punto A. fi~ura 1.5. de un slido sujeto a ~argas exteri~~es en equilibrio. un plano 1T que lo contiene v el vector p. repr~.s_~nJat~vo d~.J tem,19!1

z

x

y

Fig. 1.5 Fig. 1.6

5 CONVENCIONES DE SIGNOS, SMBOLOS Y DENOMINACIONES s que acta sobre dicho plano y que se denomina tensin resultante~ Descompo-niendo el vector en dos direcciones, una normal al plano considerado y otra conte-Qida en el mismo. obtenemos dos componentes de tensin denominadas \ten8itn nonnal y tens/On tangenCla~ que designaremos en lo sucesivo con las letras griegas a y T, respectivamente. Resulta evidente que al variar el plano consi-derado. como vara p, tambin lo harn a y T, Y existirn planos determinados para los cuales las componentes de tensin alcanzarn valores mximos o mnimos, llegando en ciertos casos tambin a anularse.

1 . 5. Convenciones de signos, smbolos y denominaciones

Consideremos, figura 1.6, un punto A de un slido y hagamos coincidir con el mismo el origen O de una tema x. y, z de ejes coordenados. Supongamos un plano rr cualquiera que contenga al punto.

En la figura, y para facilitar la representacin grfica hemos desplazado el plano rr, el que en realidad pasa por A. La orientacin del plano en el espacio queda definida por ia direccin de su normal exterior e, que forma con los ejes coordenados los ngulos a, {J, 'Y, cuyos cosenos indicaremos con 1, m y n, es decir

~ : ~::;} n = cos 'Y

[ l.4J

los que, por otra parte, cumplen la condicin 1'2 + m'2 + n'2 = 1. Sea ahora la figura 1.7 donde tambin hemos hecho c.orresponder el punto

A en estudio con una tema de ejes coordenados x, y, z y consideremos un cubo elemental de aristas unitarias del que tres caras coinciden con los tres planos coordenados.

Cuando en un slido consideramos un plano que origina una seccin, quedan definidas en sta dos caras que corresponden a las partes izquierda y derecha, y en las que actan vectores p opuestos, uno para cada cara. Estos, descompuestos, nos dan las componentes normal a y tangencial T de la tensin. En consecuencia, en la figura 1.7 podemos imaginar que las caras paralelas dos a dos del cubo elemental corresponden a las caras originadas por el corte del slido por tres planos paralelos a los planos coordenados. De ah que, en cada cara del cubo actuarn tensiones a y T, esta ltima descompuesta segn las direcciones de los ejes coordenados paralelos a la cara considerada, y que para cada par de caras paralelas, sern opuestos los de una cara con respecto a los de la paralela.

Diremos en lo que sigue que una cara es positiva cuando lo es su normal exterior, y negativa en caso contrario, siendo positiva la normal exterior cuando lo sea su proyeccin sobre el eje que le sea paralelo. En la figura 1.7 son positivas las caras BGEF, DHEG Y CFEH y negativas las tres restantes.

6

y D

INTRODUCCION A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

ay

---

I I I I I I I

z

Ty< I tlY OlSA 1 _:J.. __ _

--

Fig, 1.7

Ty,

F

B

x

En lo que sigue, individualizaremos las tensiones normales con un subnlce, que corresponde a la direccin del eje con respecto al cual es paralela, es decir, al eje normal a la cara en que acta la tensin. De acuerdo con la convcn..:in indicada, la tensin normal a la cara BGEF de figura 1.7 la designamos con 0x' pur ser la cara normal al eje x.

En lo que respecta a las tensiones tangenciales, su individualizacin requiere dos subndices: el primero de ellos indica la direccin del eje normal a la cara en que acta la tensin, y el segundo corresponde a la direccin del eje a la cual es paralela la tensin. As por ejemplo en la cara BGEF de figura 1.7, las dos componentes de la tensin tangencial se individualizan como T xy y T xz. Amas llevan como primer subndice x por actuar en una cara normal al eje x. La primera de ellas tiene como segundo subndice y por estar dirigida paralelamente a este eje mientras que la segunda lleva z, por ser la paralela al eje z.

Consideremos ahora el signo de las tensiones, Para caras positivas, las tensiones sern positivas cuando lo sean sus respectivas proyecciones sobre los ejes que les sean paralelos, mientras que para las caras negativas, las tensiones sern positivas cuando las proyecciones de las mismas sean negativas, Ello puede observarse en la figura 1.7, donde se han supuesto positivas todas las tensiones, tanto normales como tangenciales, En efecto, en la cara BGEF, que es una cara

6 RELACiN "ENTRE LAS TENSIONES 7

positiva por serlo su normal exterior, tanto el vector r~presentativo de (J x como los d Y

T tienen proyecciones positivas sobre los ejes coordenados, y, en conse-e T xy Xi 't' E b' n

. de acuerdo con la convencin anterior, son pOSI ivas, n cam 10, e cuencIa, ., ' . 1 t . l ADHC que es negativa por tener proyeccion negattva su norma ex enor, a cara , . ' tanto el vector representativo de Gx como los de Txy Y Txz tienen proyeCCIones negativas sobre los ejes coordenados, y, en consecuencia, de acuerdo con la convencin, son positivas.

En la figura 1.8 Gx

Y T xy son negativas por actuar en una c,a:a positiva y tener proyecciones negativas sobre los ejes. En cambio, T ~z es pOSitiva p~rque lo es su proyeccin sobre el eje z. Por lo que respecta al sIgno. de las ten~o~es normales, observemos que el sentido de las que hemos considerado pOSItivaS

--

y

I I I I

z

)9:...A """' ..... - --

Fig. 1.8

corresponde a un esfuerzo de traccin sobre la cara. En cambio, ,el vector re?re-sentativo de una tensin negativa se dirige hacia la cara, es declf, la ~ompnme, y corresponde a un esfuerzo de compresin. Existe as concordancIa con los signos de los esfuerzos de traccin y compresin.

1 . 6. Relacin entre las tensiones correspondientes a dos caras

Sea la figura 1.9, un punto A de un slido, materializado el punto por una esfera de radio infinitsimo, Y supongamos el prisma formado por tres pares de

aras paralelas dos a dos y tangentes a la esfera, Los lados del paralelogramO c d 'e tras que el tercer de la figura representan las trazas de dos pares e caras, mi n

8 INTRODUCCIN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES ,,, 1ft I d' I par es paralelo al plano de la figura. Llamemos r ,r y r II os ra lOS norma es

a los tres pares de caras paralelas. Adems supondremos que las reas de las seis caras son iguales a la unidad y que en cada cara actan tensiones p', p" p"'. El peso del prisma lo suponemos despreciable en comparacin con las fuerzas

.. que actan sobre cada cara, deriva-Q das de la existencia de las tensiones

p', p" y p"', por ser el primero un infinitsimo de tercer orden, mien-tras que las ltimas son de segundo orden. El punto A pertenece a un slido en equilibrio y en conse-cuencia debe encontrarse en equi-librio bajo la accin de las fuerzas que lo solicitan. Para que ello se cumpla, es necesario que estas lti-mas cumplan con las correspon-dientes condiciones de equilibrio,

(t de las que slo nos interesa en este caso la que expresa la nulidad de momentos respecto de un eje coin-

cidente con el radio r"', normal al plano de la figura, y cuya traza es el punto A. Los momentos de las fuerzas originadas por p'" son nulos por cortar las fuerzas al eje, restando por considerar soiamente los momentos de las fuerzas correspon-dientes a p' y p". Si hacemos la longitud BC igual a la unidad y tomamos momentos de estas dos ltimas fuenas, teniendo en cuenta el teorema de Varignon, lle,gamos a que el momento de las fuenas p' vale p' cos (p' r") y el de las fuerzas p", p" cos (p" r'). El equilibrio exige que la suma de los momentos sea nula, es decir

pi cos (p' r") = p" cos (p" r') [ 1.51

Esta expresin puede interpretarse como sigue: Dadas dos caras cualesquiera, sobre las que actan tensiones p' y p", la proyeccin de una cualquiera de ellas sobre la normal a la cara en que acta la otra es igual a la proyeccin de la segunda sobre la normal a la cara en que acta la primera.

Consideremos nuevamente un prisma elemental, figura 1.10. Supongamos que una de las tensiones, la p' por ejemplo, est dirigida segn

la direccin de la otra cara, es decir, la cara en que acta p". Demostraremos a continuacin que si ello ocurre, necesariamente la tensin p" debe ser paralela a la cara en que acta p'.

, Para demostrarlo, admitamos por un momento que ello no ocurra y que

7 E(}UILUUUO "EL ('11111) I-:tEMENTAL

p" tenga una direccin cualquiera, De ser as, el prisma no se encuentra en equilibrio. En efecto, tomando momentos respecto del eje normal al plano de la figura cuya traza es A, la suma debera ser nula, Ello no se cumple porque, si bien los momentos de las fuerzas p son nulos por cortar ambas al eje, no ocu-rre lo mismo con los mo-mentos de p". En efecto, descompuestas estas tensio-nes en dos componentes, una paralela a BC y la otra normal, las primeras dan 010 mento nulo por cortar al eje, y las segundas, en cam-bio, tienen un momento de valor p" cos (p" r'). En con-secuencia, el cumplimiento de las condiciones de equi-librio exige que las tensiones p" sean paralelas a la cara en que actan las tensiones p'. Fig. J.l O Las caras que cumplen la condicion anterior se denominan caras conjugadas, y se concluye finalmente que la direccin dc la tensin que acta sobre tina cara determinada corresponde a la direccin conjugada de esta ltima.

. 7. hluilibrio del cubo elemental sujeto a tensiones CUIIsideremos, figura 1.11, un punto A correspondiente a un slido sujcto

a tensiofll'

10 ,

II'ITRODUCCION A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

OUx Ux +-;-dx;

,JX

1hxz Txz + ax dx.

Anlogamente, las tensiones en las dos caras restantes que pasan por A se habrn incrementado al considerar las caras paralelas, siendo sus correspondientes valores los que aparecen en la figura 1.11.

z

ny ,

---

x

y

Fig. 1.l1

El cubo elemental, aparte de las fuerzas derivadas de las tensiones que actan en las caras del mismo, se encuentra sometido a una fuerza de masa, que se supone aplicada en el baricentro del mismo. Llamemos X, Y, Z a las componentes de dicha fuerza de masa por unidad de volumen, segn los tres ejes coordenados. El equilibrio del cubo elemental exige qu~" se cumplan las correspondientes condiciones, que, en este caso, son seis, por tratarse de un sistema gauso de fuerzas, las que pueden expresarse mediante tres condiciones de nulidad de momentos respecto de tres ejes cualesquiera y tres condiciones de nulidad de proyecciones sobre los mismos.

Planteemos primeramente las condiciones de nulidad de proyeccin:

EQUILIBRIO DEL ('tillO ELEMENTAL 11

a) sobre el eje x:

(.x + ',~ dX) dy d, -.x dy d, + (,'" + ';;x dy)dX d, - 'yx dx d, + + (T + aTzx dZ) dy dx - Tzx dy dx + X dx dy dz =0 [1.6]

zx az

b) sobre el eje y:

(ay + ~; dY) dx d, - ay dx d, + ('xy + ';:' dX)dYd' 'xy dyd, + + (T + aTzy dZ) dx dy - Tzy dx dy + Y dx dy dx [1.7]

zy az

e) sobre el eje z:

(a, + ':; d') dx dy - a, dxdy + (,"' + ';:' dX)dY d, - '" dyd, + +(T +OTYZdY)dXdZ-TYZdXdZ+ZdXdYdZ::O:O. [1.8]

yz ay

Simplificando trminos iguales en cada una de l~s tres dividiendo por dx, dy, dz, llegamos a las siguientes expresIones:

oUx + aTyx + + X = ox ay az a T xy o --+ ax ay

OT +~+Y=O az

OT aTyz auz --=-=-+-+- +Z=O ax ay az

ecuaciones, Y

[1.9]

denominadas ecuaciones de equilibrio y que constituyen un sistema de tres ecuaciones con nueve incgnitas, que no puede resolverse sin recurrir a ecuaciones adicionales.

Como veremos de inmediato, en realidad las incgnitas son slo seis. Para justificarlo, planteamos las tres ecuaciones de momentos respecto de tres ejes cua-lesquiera eligiendo para ello tres ejes ortogonales paralelos a los coordenados y que p~sen por el baricentro del cubo elemental. Consideremos primeramente los momentos respecto del eje paralelo al eje x. De todos estos momentos, sern nulos los correspondientes a aquellas fuerzas que corten o sean pa-ralelas al eje considerado, resultando como expresin de momentos la siguiente:

12 INTRODUCCIN A LA RESISTENCIA DE MATr:RIALES

dy ( aTyZ ) dy dz Tyzdx ~dz + T + --dv dx---dz Tzydxdy- -2 yz ay' 2 2

( aT'\') dz TZy + -"-' dz dy dx- == O 'az 2 Desarrollando y sumanuo se tiene:

o Tyzdxdydz + dyl

dx dz ay 2

[J.1 O]

Ahora bien, los trminos que contienen dy2 y dz 2 son infinitsimos de orden superior con respecto a los restantes y pueden despreciarse, resultando finalmente, luego de simplificar:

Tyz Tzy O [ 1.121

Anlogamente. tomando momentos respecto de ejes paralelos a los ejes .l' y = obtenemos, respectivamente:

Tzx Txz _ O } Tyx - O

Las expresiones 11 .) 2] Y [1 13] pueden escribirse como sigue:

i Txy TYX} Txz == Tzx fy: == Tzy [1.13 J

[1.14]

que constituyen las expresiones analticas del teorema de Cauch/'o cuyo enunciado es el siguiente:

En dos plal/os llar/mies cualesquiera. cuya interseccin define una arista, las componentes normales a esta de las tensiones tangenciales que actan en dichos planos. son de igual intensidad y concurren o se alejan de la arista.

Esta ltima consideracin surge de la diferencia de signos de los trminos que aparecen en las ecuaciones [1.12] y [1.13], lo que por otra parte es exigido por el hecho de que, para que exista equilibrio, los momentos derivados de las tensiones tangenciales de subndices permutados, deben tener sentidos de giro contrario. Teniendo en cuenta las igualdades derivadas del teorema de Cauchy, las expresiones [1.9], se transforman en las siguientes ecuaciones de equilibrio, en donde aparecen como incgnitas ax ay. az, Txy Txz , 1'yz:

"

7 EQUILIIlI{IO IWt CtlllO Ft:\ll'~T \1

aax OTxy OT + --+ ...-2:+X=O ox oy oz

o OOy Ofyz + +- + Y = O

ox oy OZ [Ll5]

ihxz Ofy: +

oaz + Z == O -+-

ax oy oz

El establecimiento del estado tensional en un sl iun sui~'tll a cargas, exige conocer para todos los puntos del mismo, los valores de las seis componentes de tensin mencionados, es decir, del tensor de tensin en cada punto. Para resolver el problema pueden seguirse dos caminos. Uno, que implica la resolucin exacta del problema, es materia de la Teora Matemtica de la Elasticidad, que utilizando tres ecuaciones complementarias de compatibilidad entre las deforma-ciones que las tensiones provocan, dispone de un sistema de seis ecuaciones entre seis incgnitas que le permiten, conocidas las condiciones de contorno de cada caso, resolver si es posible el correspondiente problema tensional. El proceso es largo y complejo y en muchos casos no tiene solucin rigurosa, escapando por otra parte a los alcances del presente trabajo, su planteo y desarrollo ulterior.

El segundo camino, que seguiremos nosotros, es el de la denominada Resis-t~!!si~ de Materiales, que resuelve el problema tensional partiendo de hiptesis suficientemente apI()~~!!2~, aplicables a los distintos casos particulares de solu-,_c_~~n ~ apyandose en leyes cuya validez, dentro de ciertos lmites, ha sido

veri!lca~~_ exeerimentalmente.

2. EL ESTADO ELSTICO TRIPLE O ESPACIAL

2 . 1. Tensiones en un plano cualquiera

.. Supongamos un punto material A perteneciente a un slido y.~agamos pasar por el mismo tres planos ortogonales y un cuarto plano oblicuo, cuya

z

o

x

y

Fig. 2.1

de las magnitudes en juego. Queda definido as un tetraedro elemental, del que

16 EL ESTADO ELSTICO TRIPLE O ESPACIAL 2

hacemos coincidir el vrtice A con el origen de coordenadas y los tres planos ortogonales con los planos coordenados. Si admitimos que el rea de la cara

inclinll~a e~ I!.!l.italj~--,-)as reas de las caras ortogonales.::4 CD, ABD y ABC resultan respectivamente iguales_-J()_s _

18 EL ESTADO ELSTICO TRIPLE O ESPACIAL 2

normal y tangencial. Entre los infinitos planos que pasan por un punto, habr planos para los cuales la tensin normal o adquiere sus valores algebraicos mximo y mnimo. Es evidente que para dichos planos la tensin resultante coincide en direccin con la tensin normal, de donde para los mismos la tensin tangencial es nula.

Dado que en dichos planos la tensin tangencial es nula, en virtud del teorema de Cauchy los mismos deben ser ortogonales, y por la misma razn, en el plano normal a ambos tampoco puede existir tensin tangencial. por lo que la tensin resultante en el mismo tambin coincide con la tensin normal, qUe en este caso se denomina tensin intermedia.

Tales planos se denominan planos principales, las tensiones que ocurren en los mismos, tensiones principales, y las direcciones de estas ltimas, direcciones principales.

Para los planos principales, las expresiones [2.11 que definen el estado de tensin en un punto, al ser nulas las tensiones tangenciales, se transforman en

Px = 0i l

Py = 0i m

pz = 01 n,

donde 01 corresponde a la tensin principal considerada. Reemplazando los valores de las [2.10] en las [2.1] se tiene:

Oi I = 0x I + Tyx m + Tzx n } ai m = j'xy 1 + Oy m + Tzy nn 0i n :; T xz 1 + T yz m + az

o tambin, por transposicin de trnnos,

(ox - Oi) 1 + Tyxm + Tzxn = Txy 1 + (Oy - 0i)m + Tzyn = O

Txz 1+ Tyzm + (Oz - 0i)n = O }

[2.10)

[2.11)

[2.12]

llegamos as a un sistema simultneo de tres ecuaciones homogneas entre las incgnitas 1, m y n, que defmen la direccin del plano que corres-ponde a (Ji, en funcin de las tensiones normales y tangenciales que ocurren en tres caras ortogonales. Para que 1, m y n tengan valores distintos de la solucin trivial:

1 = m = n = 0, [2.13]

es condicin necesaria y suficiente que el determinante de los coeficientes sea nulo:

,1

J

1 1 t

2 TENSIONES Y PLANOS PRINCIPALES 19

Tzx

Tzy = O. [2.14 ] Tyz Oz - 0i

Desarrollando el determinante y agrupando los trminos en funcin de 0i, llegamos a la ecuacin cbica:

ol - al (Ox + ay + Oz) + 0i (Ox ay + Ox Oz + 0y Oz - T;y - T;z - T;z)-

-(oxOyOz+2TXyTYZTZX T;yOz T;ZOy T;yOx)"'" o. [2.15]

Esta ecuacin, denominada ecuacin caracterstica de las tensiones princi-pales, posee tres races al, a,. y 03 que indican, como ya es sabido, la existencia para un estado tridimensional de tensiones, de tres tensiones principales y conse-cuentemente, de tres planos principales, siempre que las tres races sean reales. Ello ocurre siempre, lo que justificaremos a continuacin. En efecto, que una de las races es real surge de inmediato de las consideraciones siguientes:

La ecuacin [2.15] tomar un valor positivo si se elige a Oi lo suficiente-mente grande y positiva, y un valor negativo si se la hace negativa y lo suficien-temente grande, por predominar el trmino cbico sobre los restantes. Es decir, que habr por lo menos un valor de 0i, real, que satisface la ecuacin [2.15], raz que designaremos 03.

Establecida la existencia de una raz real, y con el objeto de constatar si las dos restantes tambin lo son, consideremos un nuevo sistema de ejes coorde-nados x', y', z' y hagamos coincidir z' con la direccin de 03, es decir, suponemos oz' = 03 Y consecuentemente TZ'yl = Tz'x' = O.

En este caso las ecuaciones [2.12] se transforman en:

(ox' 0i) 1 + Ty'X' m O} Tx'y'l + (Oy' - oj)m =

(oz' o)n [2.16]

El sistema [2.16] tendr soluciones no nulas para 1, m y n, siempre que el determinante de los coeficientes sea nulo, es decir si:

20 ,

EL ESTADO ELASTlCO TRIPLE O ESPACIAL 2

Desarrollando el determinante llegamos a

(az ' - ai) [(a.~' - ai) (ay' ,

a) - T.-.:'yl] = O, [2.18]

o tambin

[ ' ( ) + ( 1 1 Tx' '.1' ' )1 () (az ' - a) ai - ai ax ' + ay' . ax ay . [2.19] La ecuacin se satisface en primer trmino para az 1 = a3, lo que ya se

saba, y en segundo lugar para

[2.201

cuyas races son

(ax' -2 a)',)2 ,

+ Tx'y' [2.21]

Es evidente que tanto a. como a2 son reales, por cuanto el discriminante [(ax ' ay')/2f + T;'y' es siempre positivo.

Como conclusin tenemos que para todo estado triple de tensiones existen tre;> planos pri/lcipales, cuyas normales exteriores se denominan direcciones principales. y sobre los que actan tensiones normales exclusivamente, denomi-nadas tensiolles principales.

En lo que sigue supondremos siempre (salvo indicacin en contrario) que: [2.22]

Tres casos pueden presentarse en lo que respecta a las races de la ecuacin caracterstica de las tensiones principales, a saber:

a) Las tres races son distintas a. -=1= a, -=1= a3 b) Hay dos races iguales: a. -=1= a, = a3 c) Las tres races son iguales: al a2 = 03'

Si las tres races son distintas, es decir, si: al -=1= a2 -=1= a3. [2.23]

las tres tensiones principales ocurren en tres planos ortogonales entre s, existiendo tensiones tangenciales en los planos restantes. Si en cambio dos races son iguales, por ejemplo:

[2.24} las tensiones correspondientes a planos normales al plano en que acta al ,

,

3 CUADRICA INDICATRIZ DE TENSIONES 21

resultan iguales entre s e iguales a 02 = 03 constituyendo la direccin de al el eje del haz de planos. Finalmente, cuando las tres races son iguales, es decir

,

[2.25] las tensiones en los infinitos planos que pasan por el punto son iguales entre s e iguales a las tensiones principales, no existiendo en este caso ningn plano con tensiones tan~enciales. Este estado de tensin se denomina hidrosttico.

2 . 3. Cudrica indicatriz de tensiones

Consideremos la superficie de una cudrica tal, que la longitud OA de un segmento paralelo a la direccin de la normal exterior de un plano cualquiera siendo A un punto de la cudrica y O el centro de la misma, coincidente con el origen de los ejes coordenados, sea igual a la inversa de la raz cuadrada del valor absoluto de la tensin normal correspondiente al plano considerado y dada por la expresin

es decir

OA =

Las coordenadas de A sern:

por ser OA paralelo a e. De [2.281 se tiene

x = OA -/ } Y = OA - m

z = OA n,

x /==

OA

y m

OA

z n==

OA que reemplazadas en [2.261 conducen a

[2.26}

[2.27]

[2.28]

[2.29]

.;

22 EL ESTADO ELASTlCO TRIPLE O ESPACIAL 2

X 2 y2 Z2 X Y X Z y Z 0= 0x =-2 + 0y -2 + Oz =- + 2Txy =- + 2Txz =- + 2Tyz -2 ' OA OA OA 2 OA 2 OA 2 OA

[2.30] y finalmente, teniendo en cuenta la [2.27]:

ecuacin que representa una cudrica, particular para cada estado de tensin. Variando la orientacin de la terna de ejes, es posible hallar una para la

cual se anulen los trminos en T xy' T yz y Txz .Tales ejes, que llamaremos x' ,y' y z', corresponden a las direcciones principales y para ellos la [2.31] toma la forma siguiente:

,2 ,2 ,2_+ 1 01 X + 02 Y + o) z - - . [2.32]

2 . 4. Determinacin de las tensiones y direcciones principales

La ecuacin [2.15], caracterstica de las tensiones principales, nos permite determinar en valor y signo las tres tensiones principales, bastando para ello calcular las tres races 01, 02 Y 03.

Conocido el valor de las tensiones principales, es necesario conocer sus direcciones, es decir, las de las normales exteriores de los planos en que actan, que son los planos principales. Para ello es necesario calcular los tres cosenos directores de cada una de las direcciones principales. Se ha visto en el pargrafo anterior, que para que 1, m y n tuviesen valores no nulos, era necesario que el determi nante de los coeficientes de la [2.12] fuera igual a cero. Es decir, que si queremos calcular la direccin principal 1, debe tenerse

0x - 01 Tyx Tzx

Txy 0y - 01 Tzy = O, [2.33]

Txz Tyz Oz - 01

que es el determinante [2.14] en el que se ha reemplazado 0i por 01 por cuanto precisamente queremos determinar la direccin 01, Y que corresponde al sistema de ecuaciones

(Ox - 0 1 )/1 + Tyx mI + Tzx nI

Txy I I + (Oy - ol)ml + Tzy nI

Txz tI + Tyz mI + (oz - o) nI

:: } =0

[2.34]

'J

,tI'

4 TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES 23

llamando Al, A2 Y A3 a los tres menores complementarios de la primera flla, se tiene:

Tzy

Tyz Oz - al

Txy ay - 011, A3 = Txz Tyz

y en consecuencia, desarrollando el determinante por la primera flla:

(ox - al) Al - T yx A2 + Tzx A3 = O. Comparando [2.36J con la primera de las [2.34J resulta:

11 _ mi ni ---=-=K Al A2 A3

siendo K una constante no nula, a determinar. De la [2.37J:

11 = K Al} mi = K A2 ni = K A3

[2.351

[2.36]

[2.37]

[2.38]

y teniendo en cuenta que f2 + m2 + n2 = 1, elevando al cuadrado las[2.38] y sumando resulta:

de donde:

K = -:==:====== V AI2 + A22 + Al '

[2.39]

[2.40]

Y fmalmente reemplazando [2.40J en las [2.38] obtenemos los valores de los cosenos directores de la direccin al:

[2.41]

14 EL ESTADO ELASTICO TRIPLE O ESPACIAL 2

Para detenninar los cosenos directores de las direcciones de 02 y 03 bastar reemplazar en las expresiones de Al ,A2 Y A3 el valor de 01 por los de 02 03, segn el caso.

2 . 5. Expresiones del estado 'de tensin en un punto en funcin de las tensiones principales

Si hacemos coincidir los ejes coordenados con las direcciones principales se tiene

0x = 01

\ ay = 02

o: = 03

" 'J'xy = 'J'x: = 'J'y% = O

y en consecuencia la [2.11 se transfonna en:

Px = o. I } Py = 02 m

P: = 03 n

y por ser Txy := Tyz = TX% == O la [2.31 se convierte en:

p = V Ol2 /2 + 0 22 11/2 -+- a/ 1/2 Y rmalmente, por las mismas razones resulta:

o = 01 11 + al ml + 03 nl .

Recordando que:

[2.421

[2.431

[2.44]

[2.45]

[2.461 reemplazando P y o por sus valores dados por las [2.44] y [2.45] Y teniendo en cuenta que la suma de los cuadrados de los cosenos es igual a la unidad, se tene:

'J' == V (01 - (1)1 l ml + (01 - 03i 11 nl + (al - 03)" m2 .,,2 [2.47] o tambin, expresando n en funcin de I y m:

7'2 = (012 - ol)ll + (al - ol')ml + 031 -[2.48]

)

6 TENSIONES TANGENCIALES MXIMAS

2 . 6. Tensiones tangenciales mximas

La expresin [2.48] nos da l' en funcin de las variables independiente / y m. Derivando la [2.48] respecto de dichas variables e igualando a cero obh nemos las condiciones de mximo y mnimo de 1':

il/

31' 3m

() \~ ) I

[2.49

Analizaremos a continuacin las soluciones de este sistema de ecuaciones

1) Para el caso en que las tres tensiones principales son distintas, es decil o. '+ 02 '+ 03, las soluciones son

/ = m = O; 1/ ;:: l. Reemplazando estos valores en las [2.451 y (2.48], resultan:

0= 03 } 1'==0

(2.50]

[2.51 ]

es decir, una cara principal. A un resultado semejante llegaramos si expresamos l' en funcin de 1, n o m, n segn el caso, obteniendo Con ello las otras dos caras principales.

Si en la s~'Hlndj de las 12.491 hacel110s I O resulta:

2(ol- ol)m - 4(01 - (3)m [(02 (3)m 2 + 031 O (al + (3)(01 - (3) == 2(02 - (3)[(01 (3)m 2 + 03],

luego simplificando, las soluciones son:

o sea que:

[2.521 [2.53]

(2.S4}

[2.5S}

26 EL ESTADO ELSTICO TR1PLE O ESPACIAL 2

de donde: 1

m -+--- Vl'

y por ser [ :: O resulta:

l n=+-

- ..j2' [2.57]

Estos cosenos directores corresponden a dos planos bisectores de los planos principales O' 1 0'2 Y O' 1 0'3.

Si hacemos sucesivamente m = O Y n = O llegamos a las otras series de soluciones, correspondientes a planos bisectores de los restantes pares de planos principales.

Para la solucin: 1=0 }

m=n=)-:z [2.58]

obtenemos el valor de la tensin tangencial mxima reemplazando los valores de las [2.58] en la [2.481:

o sea, desarrollando y simplificando:

de donde:

2 _ (0'2 TI -

TI

[2.59)

(2.60]

[2.61 )

Reemplazando los valores de [2.58) en la [2.45] obtenemos el valor de la tensin normal en el plano en que ocurre TI' es decir:

[2.62)

Procediendo en forma anloga, llegamos para los dos planos restantes en que ocurren T mx. a:

6 TENSIONES TANGENCIALES MXIMAS

y 1 r2 = 0'3 ~ 0'1 0'1 - 0'2

r3:;::: --2--

a los que corresponden las tensiones normales:

respectivamente.

2'

[2.63]

[2.64J

[2.65]

2). Cuando dos de las tensiones principales son iguales entre s, es decir, si se tiene 0'1 #= 0'2 == 0'3, la expresin [2.48] se transforma en:

r2

= (0'12 - 0'32 ) [2 + al - [(al O';) [2 + 0'3F, [2.66) resultando en este caso r funcin solamente de 1 e independiente de m. Deri vando respecto de I e igualando a cero:

oriol = 2 (0'12 - al) 1- 4 (0'1 0'3) I [(0'1 0'3) 12 + O':d = O [2.671 Una solucin es 1 = O Y las caras resultan entonces independientes de m y n.

El valor de la tensin tangencial es en este caso r O, es decir, que estamos ante lo que ya sabamos, o sea que todas las caras que forman el haz de planos de eje coincidente con el x son caras principales a las que corresponde r = O.

Dividiendo la [2.67] por 21 se obtiene: (0'12 al) = 2 (0'1 0'3) [(0'1 0'3) [2 + 0'3) [2.68]

0'1 + 0'3 2 [2.69)

y finalmente:

[2.70) 2

Para esta solucin, la tensin tengencial mxima, que ocurre en los planos igualmente inclinados respecto de x, se obtiene, reemplazando en [2.66) I por su valor de la (2.70)

al 2 [(0'1 0'3) ] 2 r

2 = 2 + 0'3 - 2 + 0'3 [2.71]

de donde, por simples transformaciones algebraicas se llega a:

,

2R EL ESTADO ELASTICO TRIPLE O ESPACIAL 2

Tmx. = = [2.72] 2 2

3). finalmente, si las tres tensiones principales son iguales entre s, 01 = 02 = 0J, lo que corresponde al estado de tensin hidrosttico, la ecuacin I ~.48], que da el valor de la tensin tangencial en un plano cualquiera, se anula y se tiene T = O, lo que significa que todos los planos posibles que pasan por el punto, son planos principales con tensiones tangenciales nulas, es decir, mnimas, no existiendo planos de tensiones tangenciales mximas.

2 . 7. Invariantes de tensin

Recordemos la ecuacin caracterstica de las tensiones principales: 3 2 2 2 2

0i - 0i (o.y + U)' + 0:) + 0i (Ox ay + ay Oz + 0x Oz - Txy - T xz - T)z)-

[2.73]

Cualquiera sea la terna de ejes que se adopte, es evidente que las tensiones principales son siempre las mismas. En consecuencia es necesario que los coefi-cientes de la ecuacin caracterstica sean constantes, de donde se tiene que:

.12 = 0x 0.1' + aya: + a: 0x - T - T.~z - T2

.11 = x + 0.1' + a: 2 1

.I.l = UyayOz + ~ T."I.Tx:Tyz - OX;T;.z - oyr~zl'~ OzT.~y [2.74]

son magnitudes constantes, independientes de la terna elegida y que denomina-remos en lo sucesivo il/\'Qrial/les Je {ellsil/. El invariante J 3 puede expresarse en forma de determinante:

U" T,IX T:x

.13 Txy ay Tzy [2.75]

Tx : Tyz a:

Cuando se adpptan como ejes coordenados las tres direcciones principales, las tensiones tangenciales se anulan y los invariantes de tensin se transforman en:

JI = 01 + 02 + O]

1 .12 = 0102 + Za] + 030 1 [2.76]

J] =01 0 2]

8 TENSIONES OCTADRICAS 29

Este ltimo invariante, expresado como determinante, toma la siguiente forma:

O

O O

O

O [2.77]

La consideracin de las [2.74] y [2. 76] nos permite llegar a la siguiente consideracin, que se cumple para todo estado de tensin:

La suma de las tensiones normales co"espondientes a tres caras ortogonales, es constante e igual a la suma de las tensiones principales.

2 . 8 _ Tensiones octadricas

Consideremos un punto A (figura 2.2) y su estado elstico, caracterizado por las tres tensiones principales al, 0'2, 03, e imaginemos una terna cartesiana 0, x, y, z cuyo origen hacemos coincidir con A y que orientamos en forma tal

z

Fig :2.1

30 F:L ESTADO ELSTICO TRIPLE O FSI'J\l'IAL 2

que los tres ejes se correspondan con las tres direcciones principales, es decir, x l,y=2,z 3.

Supongamos los ocho planos pasantes por A y cuyas orientaciones sean tales que se tenga, para sus normales exteriores:

l=m=n= 1 v'3

[2.78J

Si bien todos los planos pasan por A, por razones de facilidad de represen-tacin los imaginamos desplazados y formando un octaedro regular (figura 2.2). El valor del ngulo a: que forma la normal exterior de cada plano con cada uno de los ejes coordenados vale

a: = 54 45' [2.79] Para ciertos problemas, en especial para el desarrollo de alguna de las

teoras de rotura de los cuerpos, interesa conocer el valor de la tensi6n resultante y de las tensiones normal y tangencial en las caras del octaedro, tensiones que se denominan tensiones octadricas y que distinguiremos con el subndice .. oct. ...

Segn la [2.44], la tensin resultante p en funcin de las tres tensiones principales tena por expresin:

Como para el caso que nos ocupa es:

reemplazando, resulta.

{2 = m2. = n2 = 1 3

Poct. =

Anlogamente, la expresin de la tensin normal era:

o = al 2 + a'l m'l + a3 n 2

que, por sustitucin de la [2.78] se transforma en:

Por otra parte, tenamos:

T:: v' a? [2 + a22m2 + oln2- [01[2 + 02 m2 + a3 n2 ]2 que, por sustitucin de [2 = m2 = n2 = 1- nos da:

[2.80]

(2.81]

{2.82}

[2.83]

[2.84]

[2.85J

9 REPRESENTACIN GRFICA DEL ESTADO TRIAXIAL 31

[2.86J o tambin:

Tocl. iv'2(01 +02 +(3)2 -6(0]02 +023 +01(3) [2.87]

Finalmente, recordando las expresiones del primero y segundo invariante de tensin, dadas por las [2.76], las [2.84] y [2.87], se transforman, respectiva-mente en:

[2.88J

-t / 2 Tocl. "v [2.89] Si los ejes coordenados, en lugar de coincidir con las direcciones principales,

tienen direcciones cualesquiera, los datos del problema ya no sern las tensiones principales al, 02, 03, sino las tensiones normales y tangenciales 0x, ay, a z , Txy , T xz, T yz, correspondientes a las caras normales a la direccin de los ejes coordenados. En este caso es fcil establecer las expresiones de las tensiones octadricas normal y tangencial, observando que en las [2.84J y [2.87J intervienen solamente los invariantes JI Y J 2. Ser cuestin, entonces, de reemplazar en las expresiones de aoct. Y T oct. los valores de los invariantes en funcin de las tensiones principales por los correspondientes en funcin de a x , 0y, o z, T xy' T xz Y Tyz .

Llegamos, as, a:

a x + ay + a z a -oct. - 3 [2.90]

[2.9l]

y por simples transformaciones algebraicas:

[2.92J

'2 . 9. Representacin grfica del estado triaxial de tensin

2 . 9 . l. Elipsoide de Lam

Las expresiones de las componentes de la tensin resultante en funcin de las tensiones principales son las siguientes:

,

32 EL ESTADO ELASTICO TRIPLE O ESPACIAL

Px = al [ } Py = a2 m

Pz = a3 n

que nos permiten deducir los valores de los tres cosenos directores:

m

Px al

Pz n::::::-

a3

2

(2.931

[2.94]

Recordando que [2 + m2 + n2 :::::: 1, elevando las [2.941 al cuadrado y sumando resulta:

P 2 P 2 P; -=-+...1:.+ =1 a? ai al [2.95]

Si suponemos Px' Py' pz coincidentes con las coordenadas x, y, z de un sistema con origen en el pun to considerado, la 12.951 se transforma en

(2.96)

que es la ecuacin de un elipsoide cuyos semiejes valen, respectivamente al, a2, 03' La superficie definida por la [2.96] se denomina elipsoide de Lam, y tiene la propjedad de Q.1le todo radio veclor dirigido del centrQ del elipsoide a un punto cualquiera A de su superficie. de cOQrdenadas (x, )!, l, CoowenteS con los valores correspondientes de PX! Pl/! (Ji" es igual a la tensin resultante p, que acta en un cierto plano que pasa por O (figura 2.3).

Cuando dos de las tensiones principales son iguales entre s, el elipsoide se transforma en elipsoide de revolucin, con eje coincidente con la tercera tensin principal. Si, finalmente, las tres tensiones principales son iguales eQtre s, se tiene una esfera como caso particular, para el que todos los radios vectores son iguales entre s e iguales a las tensiones principales.

El elipsoide de Lam nos da nicamente el vector tensin resultante, en intensidad y direccin, pero no nos da la orientacin de la cara sobre la que acta la misma.

Teniendo en cuenta que en la expresin [2.96] aparecen las tensiones princi pales elevadas al cuadrado, se deduce que el elipsoide de Lam es independiente del signo de aqullas. En otras palabras, los estados de tensin cuyas tensiones principales son iguales en valor absoluto, pero difieren en signo, estn represen tados por un mismo elipsoide de Lam.

9 REPRESENTACIN (;KFlCA DEL ESTADO TRIAXIAL 33

x ~.

Fig. 2.3

El elipsoide nos permite. conocida la orientacin de una cara deter-minada, determinar la intensidad de la tensin resultante, pero no su direc-cin. La construccin correspondiente es la que ilustra la flgura 2.4, donde aparece el eliysoide de tensiones relativo a un estado de tensin cuyas ten-siones principales son al, a2 Y a3. Supongamos un plano 1T tangente en T al elipsoide

Si por O trazamos u~normal al plano, la misma cortar a ste en el punto S. El segmento OS representa la intensidad de la tensin resul-tante que acta sobre el plano 1T. Para justificar lo anterior bastar demos-trar que:

[2.971

que es la expresin de la tensin resultante que acta sobre un plano cuya normal exterior e tiene por cosenos directores a /, III yn.

Para demostrarlo, recordemos que en toda supcrficie definida por una funcin ti> (x, y,:,) O los cosenos diredorl's de la normal ' en un punto de la misma tiencll por expresiolles:

34 EL ESTADO ELSTICO TRIPLE O ESPACIAL 2

1 aq) K ax

m 1 al/> K ay [2.98]

n aq)

K az donde:

K= [2.99]

z

""

",,""

Fig. 2.4

En consecuencia, si hacemos de la (2.96J:

X2 V 2 Z2 !/J= +-" +- 1=0

012 ol al [2.100]

derivando respecto de las tres variables tenemos:

9 REPRESENTACiN GRFICA DEL ESTADO TRIAXIAL 35

aq) = Q [2.101] ay al a q) = 2z az al

valores estos que, reemplazados en la [2.99], nos dan:

K=2 (2.102J

que permite obtener los tres valores de los cosenos directores de e:

1= x

a12 Z2 +-

a34

m= Z2

a22 + [2.103J

034

Z n=

ol X2 y2 Z2 -+ +-0 1

4 02

4 03

4

Pero como por construccin OS 11 e, dichos valores resultan ser los tres cosenos directores de OS.

Si x, y, z son las coordenadas de T, los cosenos directores de OT sern: , x

1 =:=: OT Y

m'=-

,

n

OT z

OT

tS,.

(2.104]

y finalmente, el coseno del ngulo SOT que forman los segmentos OS y OT entre s:

~ cos SOT 11' + mm' + nn' [2.105J

36 EL ESTADO ELSTICO TRIPLE O ESPACIAL 2

la que, una vez reemplazados los valores dados por la [2.103] y [2.104] se transforma en:

l V 2 z:! X +-' +

3,. 012 ol' al cos sor [2.106]

X2 y2 Z2 or + -- +

0)4 014 oi

Pero por ser OS normal al plano 11':

3,. or cos sor os [2 107]

Ahora bien, observando lJ. [2,96 J vemus que por sel el lIliembro iLquiefdo igual a la unidad,. su raz cuadrada tambicn ser unitaria, por lo que pode mus escribir:

o tambin:

Z2 +-

a 2 ,.

que reemplazada en [2.107] coniuce a:

[2.1081

[2.110]

Elevando al cuadrado las 11.103] y reemplat:ando en [2.110J 1I5~amos IInalmente a:

[2.111)

que es lo que queramos demostrar.

9 REPRESENTACIN GRFICA DEL ESTADO TRIAXIAL 37

2 . 9 . 2. CudriCa directriz de tensiones

Hemos visto en 2.9.1 que el elipsoide de Lam d nicamente la tensin resultante, pero no la direccin del plano sobre el que acta la misma. Para conocer la orientacin de dicho plano, es necesario recurrir a construcciones auxiliares, una de las cuales es la denominada cudrica directriz de tensIones, debida a Cauchy, y cuya ecuacin es:

X2 y 2 Z 2 + +- [2.1 t 21

01 02 03

La construccin es la siguiente:

Dada una direccin, la paralela a la mistna trazada por el centro del elipsoide de Lam determina en..!!!. interseccin con ste un punto A (figura 2.3) y la longitud del segmento OA nos da el valor de la tensin p de direccin OA. Supuesto dibujada la cudrica directriz. de tensiones con el mismo centro O, prolongando el radio vector OA hasta su interseccin con aquella en A', el plano tangente en este punto a la cudrica directriz ser el plano sobre el que acta p. Es decir que p y su plano se comporta como elementos conjugados en la cudrica directriz.

Para justificar', la construccin anterior bastar demostrar que el plano tangente en A' a la .cudrica directriz es paraJelo al plano en que acta p, recor-dando que este ltimo y p son elementos conjugados.

S , , I I I IX, y, z son as COOrdenadas de A , la ecuacin del plano tangente en dicho punto tiene por expresin:

XX' yy' zz' -+-+- I al 02 a)

y la correspondiente aJ radio vector que define a A':

x' I I Y ,z

Por ot ra parte tenemos:

Px al / } P)' = 02 m p= = o) n

de donde:

Px PI' P: al/ 02 m o) 11

[2.1131

[2.1141

[2.1 15]

[2.116]

38 EL ESTADO ELSTICO TRIPLE O ESPACIAL 2

Adems, como A' pertenece al radio vector coincidente con p, resulta:

Px pz , , I

X J' Z

Dividiendo miembro a miembro la [2.116] por la [2.117]: ,

Z

[2.117J

[2.118]

Como el plano sobre el que acta p pasa por el origen y los cosenos direc-tores de su normal son 1, m y n, su ecuacin ser:

x'I+Y'm+z'n=O [2.119] Pero de la [2.1I8J vemos que existe proporcionalidad entre x' I al y 1;

y' la2 y m, y z'Ia3 y n, por lo que la [2.119] se transforma en: , , ,

xx yy zz + + =0

al a2 a3 [2.120J

expresin esta que nos dice que el plano definido por ella, que es el plano sobre el que acta p, es paralelo al definido por la [2.113], que es el plano tangente a la cuadrtica directriz de tensiones, on lo que queda justificada la construc-cin indicada.

Se hace notar que el miembro derecho de la [2.113] tiene dos signos. Cuando las tres tensiones principales son del mismo signo corresponde tomar el segundo miembro positivo, si son positivas, y negativo cuando son negativas, resultando en ambos casos la cudrica un elipsoide. Si, en cambio, una o dos de las tensiones principales son negativas, debern considerarse para el miembro derecho ambos signos, resultando as dos hiperboloides conjugados.

2 . 9 . 3. Cudrica de tensiones de Cauchy

En 2.3 nos hemos ocupado de esta cudrica, denominndola cudrica indi-catriz de tensiones. Volvemos ahora sobre ella a efectos de analizar en detalle los distintos casos que pueden presentarse.

La ecuacin de esta cudrica, tambin debida a Cauchy, referida a las direcciones principales es:

a,x2 + a2y2 + a3z2 = 1 [2.121] Y goza de la propiedad de que la longitud del segmento OA definido por el centro de la cudrica y un punto A de su superficie, interseccin con sta de la paralela trazada por O a una direccin dada, es inversamente proporcional a la

9 REPRESFN,TACN GRFICA DEL I,ST ADO TRIAXIAL 39

raz cuadrada de la tensin normal que acta sobre un plano que es normal a la direccin dada, figura 2.5, es decir:

OA [2.122] la I

Analizaremos a continuacin los casos posibles en lo que respecta a las tensiones principales y al signo que corresponda tomar para el miembro derecho de la r2.l21].

,

z

y

x

Fig. :1.5

a) al ;;. a2 ;;. a3 > O. Las tres tensiones principales son positivas, es decir, de traccin. Corresponde en este caso tomar el signo positivo para el miembro

40 EL ESTADO ELSTICO TRIPLE O ESPACIAL 2

derecho, resultando la cudrica un elipsoide, que puede ser de revolucin en caso que dos de las tensiones principales sean iguales, o degenerar en una esfera si lo son las tres. Es evidente que en este caso todas las tensiones posibles son iguales y positivas y que no pue,den existir planos de corte puro porque ello significara a = O. Los semiejes del elipsoide valen en este caso 1/"v'TGTl '

1I VTG;1; v'T al? a2 ? a 3. Las tres tensiones principales son negativas, es

decir de compresin, por lo que corresponde tomar en la [2.121] el signo negativo. En este caso, la cudrica es tambin un elipsoide siendo vlidas consideraciones anlogas a las del caso (a).

c) al ? a2 > O> aJ. Una de las tensiones principales es de compre-sin, es decir, negativa. En este caso pueden tomarse para el miembro derecho los dos signos. Si se adopta el positivo, la cudrica es un hiperboloide de una napa, que se transforma en otro de dos napas cuando se elige el signo negativo, figura 2.6.

z

Ambas cudricas resultan ser asintticas al cono de ecuacin:

al X2 + a2 y2 + aJ Z2 = O

(2.1231 Cuando el punto considerado

tiende a ubicarse sobre el cono asinttico, OA ~ 00 y en conse-cuencia:

1 --- .... 00 [2.124] v'TO

lo

42 EL ESTADO ELASTlCO TRIPLE O ESPACIAL 2

Recordemos las expresiones que definen la tensin resultante p y la tensin normal a en funcin de las tensiones principaJes. Ambas, conjuntamente con la ecuacin de condicin de los cosenos directores de una direccin dada, confi-guran el siguiente esquema:

a2 + 1'2 p2 = a? /2 + ol m2 + al nZ

} a al /2 + a2 m2 + a3 n2 /2 + m2 + 11 2 [2.125] El problema que queremos resolver es el de determinar la orientacin de

un plano al que corresponden las tensiones o y 1', partiendo de las tensiones principales. Es decir que nuestras incgnitas sern 12 , m2 y n2 L1amandoll el discriminante del sistema [2.125] tenemos:

aZ al al

al az a3 = a,z (OZ - (3) oz2 (al (3) + ol (01 - (1) [2.126]

Y en consecuencia:

a2 + 1'2 ol al

a Oz a3

12 = II

a/ 0 1 + 1'1 al

a, a a3 [2.127]

m2 II

al al al + 1'2

al a2 o

n2 II

9 REPRESENTACIN GRFICA DEL ESTADO TRIAXIAL 43

Resolviendo los determinantes y simplificando se llega finaJmente a:

- az)(a - (3) (a, - al) (a - (3)

m2 = 1'2 + (3) (a - a,)

(a2 - (3)(a - o) [2.128]

o)(O-Oz)

Estas tres ecuaciones pueden escribirse en la forma siguiente:

1'2 + aZ - o (OZ

1'2 + a2 - o (a, 1'1 + a2 a (al

+ (3) + a2 a3 - /2 (al - (2)(al - (3):::: O} + al) + al al mZ (al - al)(a - al) = O [2.129] + az) + al 02 n2 (al (1)(a3 - az):::: O

o tambin, luego de una serie de transformaciones

1'2+ (a_az ;a3)2 =(a2~a3)Z +12(a aZ)(al-a3) 1'2+ - +ml(aZ-a3)(aZ-al) (a - 01 +2 ( 3)2 = (al -2 ( 3)1 [2.130] 1'2+ (a_a l ;a2)2 =(al~al)l +n2(a3 al)(a3 (2) las que tambin pueden expresarse como sigue:

l' 2 + (a _ a 2 ; a 3 r = (a I - a2 ; a 3 y /2 + ( a 2 2 a 3) 2 [1 - /2 ] 1'2 +(a- al; a3y = (a2 _ al; a3y mZ + (al 2 a3yp m 2 ] [2.131] 1'2 +(a - al : a2 y = (a3 - al : a2 y n2 + (al 2 a2 y [I n2]

Para una determinada tema de vaJores de las tensiones principales, la primera de las [2.131] representa una familia de circunferencias en el plano a, T, cuyo centro se encuentra sobre el eje a a una distancia guaJ a 4- (a'2 + (3) y donde 1 es un parmetro. Dicha familia esta limitada por las dos circunfe-rencias que corresponden a los vaJores extremos que puede asumir 1, que son O y 1, es decir:

[2.132]

44 EL ESTADO ELSTICO TRIPLE O ESPACIAL 2 y

[2.133]

y cuyos radios son respectivamente +(a2 - (3) Y al - +(a2 + (3). Las restantes ecuaciones [2.131] representan otras dos familias de circun-

ferencias, tambien con el centro sobre el eje a, limitadas por aquellas que, en cada caso, corresponden a los valores extremos de los parmetros nI y n, y que, como en el caso analizado antes, son tambin O y l. Las abscisas de los centros de ambas familias son + (al + (3) para la segunday + (al + (2) para la tercera. En cuanto a los radios de las circunferencias extremas, tenemos para la segunda familia +(al al) para nI O Y a2 - t(al + (3) para nI = 1, Y para la tercera famiUa }(al (2) y a3 - }(al + (2) para f1 = O Y n = I respectivamente.

En la figura 2.7 hemos representado por sus circunferencias extremas las tres familias, referidas a un sistema de ejes coordenados a y 7.

O' o ~

02-,7(Ol+0'1} I

Fig. 2.7

El punto representativo de las tensiones normales y tangenciales que corres-ponden a un plano dado debe caer sobre circunferencias pertenecientes a cada una de las tres familias (de acuerdo con los valores de los tres parmetros 1, m y n que definen el plano considerado) comprendidas entre las circunferencias lmites,

, ,

9 REPRESENTACION GRAFICA DEL ESTADO TRIAXIAL 4S

es decir debe ser un punto del interior o del contorno del tringulo curvilneo sombreado en figura 2.7, Y sobre el mismo deben cortarse las tres circunferencias que corresponden a los valores de los parmetros 1, m y n relativos al plano considerado.

Las tres circunferencias que delimitan al tringulo curvilneo se denominan circunferencias fundamentales o principales y se corresponden en el elipsoide de Lam con las tres elipses principales obtenidas como intersecciones de los planos principales con el elipsoide.

La construccin de Mohr nos permite determinar las tensiones a y 7 que actan en un plano cualquiera, cuyos cosenos directores son 1, m y n, o inversa-mente, determinar el plano que corresponde a dos tensiones dadas.

Dado un plano definido por su normal e, de cosenos directores 1, m y n, corresponden al mismo tres circunferencias definidas por las ecuaciones {2.130] o {2.l31] para dichos valores particulares de los parmetros. Los radios de las tres circunferencias estn dados por las races cuadradas de los segundos miembros dela {2.l301:

R1,3 = ( al ~ ( 3) 2 + m2 (a2 - (3) (a2 al) R2 ,3 = Y ( 02 ~ ( 3) 2 + 12 (al - (2) (al - (3)

[2.134]

Dichas tres circunferencias se cortan sobre un punto P, figura 2.8, cuyas coordenadas (J, 7 corresponden respectivamente a las tensiones normal y tangencial que actan sobre el plano dado, correspondiendo la hipotenusa del tringulo rectngulo de catetos a y 7 al vector representativo de la tensin resultante p. Sin embargo, no es necesario calcular los radios R,2, R1,3 Y R2,3 para trazar las tres circunferencias que detenninan el punto P que define las trazas correspondientes al plano dado. El punto P (a, 7) puede encontrarse en forma grfica, como veremos a continuacin.

Supongamos trazadas las tres circunferencias fundamentales, figura 2.9, con dimetros al (J3; (JI - a2 Y (J2 - (J3. En correspondencia con los puntos

representativ~ de al, a2 Y a3 levantemos tres nonnales al eje (J, que representen respectivamente los ejes x, y y z. Los datos del problema son los ngulos 0:, ~ Y 'Y que forma la normal e al plano considerado con los ejes coordenados y cuyos cosenos directores son 1, m y n. Por e tracemos una recta que forme con x el ngulo 0:. Dicha recta cortar la ..:in.:unferencia fundamental al, a3 en E y a

46 EL ESTADO DE TENSIN TRIPLE O ESPACIAL 2 t

F. 2.8

la (71, (72 en E'. Con centro en CI Y radio c;E trazamos un aro de circunferencia que pasar por E y E'. Anlogamente, por A trazamos una recta que fonne con z el ngulo 'Y. Esta recta cortar en F la circunferencia (71, (7, yen t:. a la (72.0'3' Trazando con centro en C, y radio CaF el arco de circunferencia FF

' este corta

al arco iJ' en un punto P. Demostraremos a continuaci6~ue las coordenadas de este punto son (7 y T Y que la longitud del segmento OP es precisamente el valor de la tensin resultante p.

En el tringulo AEC tenemos AC = 01 - (7a Y EC = AC sen Q = = (71 - (73) sen Q. Anlogamente, en el tringulo ECCI resulta:

- -- (72 + (7a CI C :;:: OC - OCI = (71 - -=-_...:. [2.1351

[2.1361 Teniendo en cuenta que CIE = C1P, reemplazando. valores llegamos a:

La [2.137], luego de algunas transfonnaciones algebraicas, puede escribirse como sigue:

; I 9 REPRESENTACION GRAFICA DEL ESTADO TRIAXIAL 47

t z y x

E

0'--------;

Fig. 2.9

[2.138]

Consideraciones anlogas nos conduciran a que:

(al a2)2 4 + (a3 al) (a3 - (72) n 2 [2.139]

y tambin a (no representado en figura 2.9):

[2.140]

S comparamos las expresiones anteriores con las [2.134], vemos que son las mismas, es decir:

[2.141]

o sea, que las tres circunferencias trazadas en la forma indicada se cortan sobre un punto P, cuyas coordenadas son a y T.

Por otra parte, si hacemos:

I "

'. i

'

\ \

48 EL ESTADO DE TENSION TRIPLE O ESPACIAL

C3 CI = di al + a2 a2 + a3 al a3 } = = 2 2 2

OCI = d2 a2 + a3

= 2

en el tringulo C,PC3 resulta:

R ,2,2 ::= Rh + d l 2 2 R 2,3 di cOS ..p

en el OPC I :

= OC,2 + Rb + 2 R 2,3 OC I cos ..p:::: } =d22+ R 2:3 + 2 d 2 R 23 COS ..p

De la [2.143]:

cos ..p

y reemplazando en [2.144J:

R~ . .l+ d 12 - R 1~2 2d R 23

Multiplicando ambos miembros por di y factoreando:

di Op 2 (di + d2 ) (Ri.3 + di dz) - d2 R'~2

2

[2.142]

[2.143]

[2.144]

[2.145]

[2.1 46]

[2.147]

Substituyendo di. d2 R;,3 Y Rr.2 por sus valores dados por las [2.134] y [2.142] se llega finalmente a:

[2.148]

es decir: [2,149]

Ademas:

Op'

de la que se obtiene finalmente por reemplazo de valores:

OP I := al 2 + a2 m 2 + (h n 2 [2.15 1]

es decir:

9 REPRESENTACIN GRFICA DEL ESTADO TRIAXIAL

OP' = o

lo que comprueba la correccin de la construccin.

49

[2.1 52]

De Ias tres circunferencias fundamentales, se acostumbra a llamar "Circun-ferencia de Mohr" a la mayor, es decir la que tiene por dimetro o} - 03 Y que corresponde al estado de tensin en el haz de planos que tiene por eje la direcin de la tensin principal intennedia 02. siendo la abscisa de su centro (01 + 0,)/2: Esta circunferencia goza de la propiedad que los infinitos puntos P represen-tativos de tensiones, son interiores a la misma o caen sobre eUa. Obseft'ando la figura 2.10 vemos que para cada circunferencia fundamental existe un punto P al que corresponde la mxima tensin tangencial relativa.

Dichos puntos se encuentran sobre la vertical de] centro de cada circunfe-rencia y sus valores son:

(2.153]

T z i <

o

Fig. 2.10

De los tres valores, el mayor I que corresponde a T m, es el tercero, es decir:

[2.154]

que como puede observarse, es independiente de la tensin intennedia al Y

50 EL ESTADO DE TENSIN TRIPLE O ESPACIAL 2

ocurrir en planos inclinados a 45 con respecto de los planos principales. Para dichos planos el valor de la tensin normal es:

al + 03 0=

cosa que ya habamos visto anteriormente.

[2.155]

La construccin de Mohr es completa en s, pues aparte de permitirnos calcular la intensidad de la tensin resultante que acta sobre un plano dado, permite adems establecer su direccin, sobre la base de los ngulos a', (3' y 'Y' que forma esta ltima con respecto a las direcciones principales. '

Si llamamos ', m' y n' a los cosenos directores de la direccin de p respecto de las tres direcciones principales y recordarnos la [1.5] que establece la reciprocidad entre las proyecciones de las tensiones que actan en dos caras, podemos escribir:

pi'

pm , [2.156]

pn'

Consideremos ahora la figura 2.11, donde se han representado las tres circunferencias fundamentales correspondientes a un estado de tensin aefinido por sus tres tensiones principales al , 02 Y 03'

Para un plano determinado por los tres cosenos directores 1, m y n de su normal exterior, el punto representativo es P y a, T y P las correspon-dientes tensiones normal, tangencial y resultante, respectivamente.

Tracemos por O una circunferencia de dimetro OP y prolonguemos'las tres rectas que definen a P y forman los ngulos a, (3 y 'Y con las direcciones principales. Con centro en O tracemos ahora tres arcos de circunferencia que resulten tangentes en A', B' y e' a las tres rectas mencionadas y llamemos A", B" y e" a las intersecciones de dichas circunferencias con la de dimetroOP.

444 Demostraremos a continuacin que los ngulos A"OP; B"OP y e"oP

son respectivamente iguales a a', {! Y 'Y'. En el tringulo AA' O, rectngulo en A' es:

4 A'OA a [2.157]

por ser sus lados respectivamente normales a las rectas que forman el ngulo a, y en consecuencia: _,

OA OA cos a al I 12.158] y, en virtud de la primera de las [2.156]:

OA' pi' [2.159]

9 REPRESENTACIN GRFICA DEL ESTADO TRIAxtAL 51

z y

Fig. 2.11

Si considerarnos ahora el tringulo PAliO, rect,gulo en A" por ser inscripto en una semicircunferencia, resulta:

-,. ,f OA . = p cos A OP [2.160] y como OA" OA' por construccin, igualando las [2.159] y [2.160] se tiene

y en consecuencia:

cos AfrOP l' [2.161]

I ex [2.162]

Por consideraciones anlogas, llegaramos a que:

x

52 EL ESTADO DE TENSiN TRIPLE O ESPACIAL 2

B'~P = {J' } C"OP= 'Y'

, [2.163J

Los tres ngulos a', p' y 'Y' estn ligados por la relaci6n 1'2 + m'2 + n' 2 , = I por lo que les corresponden en las circunferencias, construcciones similares a las relativas a los ngulos a, {J y 'Y. De ah que exista un punto P' ligado a los mismos, correspondiente con el punto P, ligado a Q, (J Y 'Y. Ambos puntos se denominan puntos asociados y suministran toda la informaci6n necesaria a la solucin del problema, a saber:

a) los ngulos que forma la normal exterior al plano dado con las direc-ciones principales;

b) los ngulos que forma la direccin de la tensin resultante con las direc-ciones principales;

e) la intensidad de la tensin resultante y de sus componentes normal y tangencial.

2 . 9 S. Estado de tensin correspondiente al haz de planos cuyo eje es una direccin principal. Estudio grfico

Supongamos, figura 2.12, un haz de planos que pase por el punto A ::= O y que tenga por eje la direccin principal 2. Dichos planos resultan en consecencia

11,

Fig. 2.12

9 REPRESENTACiN GRFICA DEL ESTADO TRIAX1AL 53

normales al plano principal definido por las direcciones de 01 y 03, Y como en este ltimo, por ser plano principal, no hay tensiones tangenciales, en virtud del teorema de Cauchy las tensiones resultantes de los planos del haz sern para lelas al plano principal o J -a3' Por otra parte, para uno cualquiera de los planos, su ngulo director respecto de 02 es igual a 90 y consecuentemente m O.

En este caso particular el lugar geomtrico de los puntos N que definen las tensiones en los planos del haz, es la circunferencia fundamental o), 03.

Para hallar el punto N, representativo de las tensiones que ocurren en un plano 11, figura 2.13, de normal exterior e bastar trazar por e la recta e que forma con la direccin, x ::= o I el ngulo director a y que corta en N a la circun-ferencia. Las coordenadas de N, ON' Y NN' representan, respectivamente, las tensiones normal o y tange~cial T que actan en el plano 11 de normal exterior e. Las trazas del ha? de planos de eje 02 fonnan el haz de rectas de centro C.

Supongamos ahora que por B llevamos una paralela a la verdadera direccin de al y por e una normal a la misma~ que coincidir con la traza del plano i'lilldpal 711 en que acta 0 1 , Ambas rectas se cortarn sobre la circunferencia CIl un punto p, denominado primer polo de Moltr. Este punto es el centro de la radiacin de rectas que constituyen las trazas del haz de planos analizados.

o A

(J

e

Cl \. IN' ---'l\c---,~

\

Fig. 2.13

\ '(/ / . r---r' \ ..

. 1/ \.,

X "1

C

54 EL ESTAoO DE TENSIN TRIPLE O ESPACIAL 2

En consecuencia, si por P trazamos una paralela a la traza de uno de los planos considerados, el 1T por ejemplo, la misma cortar a la circunferencia en N, cuyas coordenadas corresponden a las tensiones normal y tangencial que actan en el plano 1T.

Para demostrarlo, consideremos el punto Q, diametral de P. Uniendo Q ~

con N y e, resulta el ngulo eQN inscripto en el arco eN y en consecuencia igual a er, por ser este ltimo semiinscripto en el mismo arco de la misma circunferencia. En consecuencia, como Qe es paralela a la verdadera direccin de 01, NQ resulta ser la direccin de la normal e del elemento plano consi-

~ derado, y como PNQ es recto en N por estar inscripto en una semicircunferencia, resulta PN 1 NQ, es decir que PN es paralela a la traza de 1T.

Para completar el problema, faltara solamente determinar la direccin de la tensin resultante, con respecto a la traza del plano 1T. Ello ser objeto de un estudio detallado al analizar el estado elstico plano, en el captulo corres-pondiente, ya que el anlisis que hemos efectuado corresponde, en realidad, a un estado elstico plano.

2 . 10. El tensor de tensiones

Las ecuaciones [2.1] defmen el estado de tensin en un punto. Si disponemos las nueve coordenadas (coeficientes de los tres cosenos

directores) en forma matricial:

L ~ [::y ~x ::: ] [2.164] 1 Txz Tyz oz

obtenemos la representacin de una magnitud denominada tensor de tensin, cuyas nueve componentes son las nueve componentes de la tensin p, y que designaremos T.

Haremos a continuacin algunas consideraciones sobre operaciones con tensores, limitndonos a las estrictamente necesarias para la comprensin de los desarrollos ulteriores.

Si se consideran dos estados de tensin y se los--superpone, las tensiones resultantes en' los planos del triedro coo{denado se obtienen como sumas geom-tricas de las tensiones correspondientes a los estados que se suman, lo que equivale a sumar algebraicamente las componentes de tensin segn los ejes coordenados. Como cada estado de tensin est representado por un tensor, se sigue que

10 EL TENSOR DE TENSIONES 55

la s"ma de dos tensores ser un nuevo tensor cuyas componentes sern iguales a la suma de las componentes correspondientes de ambos tensores, por ejemplo:

[a .. al2 an ] [b .. b l2 b l3 a21 a22 a23 + b21 b22 b23 =

a31 a32 a33 b31 b32 b33

[" .. + b .. al2 + b l2 an +bU] = a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 [2.165]

a31 + b31 a32 + b32 aH + bH

Anlogamente, ser posible descomponer un tensor en otros dos, lo que constituye la operacin inversa de la anterior, existiendo en este caso infinitas soluciones.

Damos a continuacin un ejemplo de descomposicin que presenta inters prctico:

[a .. a12 an ] [ a .. 1- (a 12 + a2.) i (au + a,,) ] 021 a22 a23 = t (a12 + a2.) a22 -1 (a23 + a32) + a31 a32 a33 1- (a13 + a3.) -1 (a23 + a32) - aH

[-; ;a" -a,,) t (a12 - a2.) : (au-a,,)]

+ O 2 (a23- a32) [2.166] 1 O

-2 (aI3- a3.) -"2 (a23 -a32)

En el caso indicado el primer tensor componente se denomina simtrico, por existir simetra de sus trminos con respecto a la diagonal principal, y el segundo, ontimtrico, por cuanto los trmiilos simtricamente dispuestos tienen el mismo valor absoluto pero signo contrario. Simblicamente, la ecuacin anterior puede escribirse :

T=Ts+T a [2.167]

Si llamamos 00 al promedio de los ttminos de la diagonal principal de un tensor simtrico, es decir:

[2.168]

EL ESTADO DE TENSIN TRIPLE O ESPACIAL 2

es posible efectuar la siguiente descomposicin, de inters tambin en la~ aplica-ciones prcticas:

[O" 012

O" 1 n O ~l 021 022 02) = ao aJ I a32 {/3J O +

[ O" - O, + a21

aJ I

[2.169]

El primer tensor co!nponente se denomina tensor esfrico y el segundo tensor desviador.

Volviendo ahora al tensor de tensiones tenemos:

[2.170]

que, si lo referimos a una terna de direcciones principales .. se transforma en

[: :,J O

T= 02 [2.171 ]

O

Descompongamos ahora el tensor de tensiones [2.170] en un tensor esfrico y otro desviador, lo que siempre es posible por ser el tensor de tensiones simtrico. Tendremos as:

T

zx 1 Tzy [2.172] Oz - 00

Tyx

Tyz

en el que:

[2.173]

10 EL TENSOR DE TENSIONES 57

siendo JI el primer invariante de tensin del estado elstico triple visto en 2.7. El tensor esfrico corresponde a un estado esfrico de tensin, denominado as por cuanto las componentes de tensin no cambian para una rotacin cualquiera de los ejes.

El segundb tensor, el desviador, cuando los ejes coordenados coinciden con direcciones principales, toma la forma:

O

0l - 00 [2.174] O

11 tensor desviador corresponde a un estado de corte puro, es decir, sin tensiones normales. Puede demostrarse que es condicin necesaria y suficiente para que un estado de tensin sea de corte puro que el primer invariante sea nulo, es decir JI == 0x + 0y + Oz = O. Para el tensor desviador de la [2.172], el primer invariante tiene por expresin:

i'' = (ox - 0 0 ) + (Oy - 00) + (oz - 00) = =JI - 300

pero como 00 = -;- JI resulta: J;' = JI - 3 X 1 JI = O

[2.175]

[2_176]

es decir, que el estado de tensin definido por el tensor [2.174] es un estado de corte pUTO.

El tensor esfrico tiene tres invariantes qu~ son, teniendo en cuenta las [2.76]:

[2.177]

y los correspondientes al tensor desviador: