Enseñanza de matemáticas de secundaria

Cuadernillo de diagnósticopersonalizado

Elementos para la detección de necesidades de formación continua

Aprender y enseñar matemáticas en la escuela secundaria

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Cuadernillo de diagnóstico personalizado. Elementos para la detección de necesidades de formación continua

D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2006,Argentina 28, Col. Centro, 06020, México D. F.

El Cuadernillo de diagnóstico personalizado. Elementos para la detec-ción de necesidades de formación continua fue elaborado en laDirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio,de la Subsecretaría de Educación Básica, de la Secretaría de Educa-ción Pública.

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Maestra, Maestro:

El presente es un reporte de los resultados académicos que obtuvoen el examen nacional para maestros en servicio. En este cuaderni-llo encontrará una descripción exhaustiva de los temas o aspectosque, a partir de los resultados de su examen, se ha identificado con-veniente reforzar. La intención central de este documento es ponera su disposición información objetiva que seguramente le será útil parala toma de decisiones respecto a cómo continuar su proceso de for-mación continua. En este sentido, para algunos profesores lo más con-veniente será profundizar en el estudio de los contenidos vinculadoscon su quehacer profesional que les ha resultado más complejodominar; para otros, tal vez convenga consolidar los conocimientosdonde se tiene un dominio incipiente; para los que ya han conse-guido un alto aprovechamiento, quizá sea útil reflexionar sobre lasopciones que pueden seguir apoyando su proceso de formación.

Los exámenes nacionales para maestros en servicio contribuyen avalorar el dominio de contenidos básicos del quehacer docente, encongruencia con los propósitos y enfoques del Plan y programas deestudio; sin embargo, usted puede hacer una valoración más perti-nente de su proceso de formación continua; por ello, le invitamos areflexionar en lo siguiente: ¿los conocimientos, habilidades, valores yactitudes desarrollados en la participación de procesos formativos sehan transformado en ideas y herramientas para favorecer el apren-dizaje de sus alumnos?, ¿podría enunciar algunas de ellas? Si no haocurrido así, ¿qué ha hecho falta? Las respuestas a estas interrogan-tes le ayudarán a identificar sus necesidades de estudio y a tomaruna decisión académica, en relación con su trayecto de formacióncontinua, que responda mejor a sus demandas profesionales. La for-mación continua, no supone la acumulación sin sentido de conoci-mientos, sino la posibilidad de transformar las prácticas educativasen favor del aprendizaje de los alumnos.

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Conviene hacer una precisión importante para el mejor uso del pre-sente documento. El diseño de la prueba permite identificar el domi-nio de los aspectos generales y más representativos del campo porevaluar, por lo que es probable que existan aspectos muy específicossobre los cuales no se presenta información. En este sentido, en elcuadernillo se señalan aquellas temáticas donde existen las proble-máticas más frecuentes entre la población sustentante, de acuerdocon cada uno de los niveles de dominio alcanzados.Es recomendable que analice este informe de resultados junto conun asesor u otros colegas de su plantel o zona escolar, y posterior-mente utilice los servicios de los Centros de Maestros a fin de que, enforma conjunta, se construyan estrategias de estudio que respondana sus requerimientos personales de desarrollo profesional.Queremos expresarle que la Secretaría de Educación Pública hacepatente su reconocimiento por ser un maestro que se interesa en sudesarrollo profesional, consciente de los retos que enfrenta y respon-sable de emprender acciones para superarlos con el fin de estar encondiciones de ofrecer una educación de mejor calidad a las niñasy los niños que asisten a su escuela.A quienes somos responsables de impulsar los servicios de formacióncontinua para los docentes, nos resultaría muy útil recibir sus opinio-nes y sugerencias en:

Dirección General de Formación Continua de Maestros en ServicioMariano Escobedo No. 438, Col. Casablanca

Delegación Miguel Hidalgo, C. P. 11590, México, D. F.o en la dirección de correo electrónico [email protected]

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Escalas

La enseñanza y el aprendizaje de la geometría

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Es conveniente analizar y resolver diversos problemasque impliquen dibujos o cuerpos a escala.

En particular, se observan dificultades para aplicar elefecto de una reducción o ampliación a escala sobre elvolumen de un cuerpo geométrico.

Por ejemplo, se cree, erróneamente, que la relación entrela escala de dos cuerpos semejantes es igual a la relaciónque hay entre sus volúmenes; es decir, si la escala es 3:1,se cree que su volumen se triplica, porque la longitud delos lados se triplica. No se reconoce que la escala es unarazón que se da entre las medidas de lados homólogos,mientras que la razón entre sus volúmenes implica unamagnitud en tres dimensiones, y en este caso es 33; por lotanto, el volumen es 27 veces mayor. En general, si laescala entre dos cuerpos es r , la razón entre sus volúme-nes es r 3 .

Se sugiere estudiar el apartado "Homotecias", del capí-tulo "Geometría", del Libro para el maestro. Matemáti-cas. También se sugiere emplear cubos pequeños paraconstruir prismas y cubos semejantes, y analizar la rela-ción que hay entre sus lados, sus áreas y sus volúmenes.

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¿Cómo están estructurados los mensajes del cuadernillo de diagnóstico personalizado?

Con la intención de que se familiarice con la información contenidaen estos resultados, a continuación se presenta una descripción dela estructura de los mensajes.

1 Tema

2 Contenido específico

4 Descripción del problema

5 Error más frecuente

6 Sugerenciasde estudio

3 SímbolosGuía

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¿Cómo identificar los mensajes que corresponden a su nivel de dominio?

Este cuadernillo ha sido diseñado para que identifique el men-saje o mensajes que corresponden a su nivel particular dedominio, de acuerdo con los resultados del examen nacional.Con la intención de que usted los ubique, es preciso realizar losiguiente:

1) Revise, en su constancia de resultados, su calificación.Anótela aquí

2) Observe la tabla de la página siguiente y realice estasacciones:

marque el rango de calificación que le corresponde.

identifique el símbolo guía que corresponde a sunivel de dominio. Este símbolo le indicará, a lo largode todo el cuadernillo, los mensajes que se relacionancon su desempeño en el examen.

3) Hojee todo el cuadernillo; busque, de acuerdo con susímbolo guía, los mensajes que le corresponden y már-quelos –de preferencia con algún marcatextos o lápiz decolor–. Es importante leer todas las recomendaciones.

4) Analice con detenimiento los mensajes que ha marcadoen su cuadernillo. En ellos se dará cuenta de los principalestemas, contenidos o situaciones que conviene revisar nue-vamente y de los que, de acuerdo con las evidencias de suexamen, no ha logrado todavía un dominio suficiente. Con-viene que realice este análisis con colegas o asesores de suCentro de Maestros.

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NO DOMINIO

INSUFICIENTE *

INSUFICIENTE

SUFICIENTE

71.74 a 78.64

62.30 a 71.73

60 a 62.29

ESPERADO

78.65 a 100

Está cerca de lograr el dominio suficiente de los conteni-dos evaluados en el examen nacional, por lo que esrecomendable retomar el estudio sistemático de lostemas y aspectos que se evalúan en el examen y procu-rar su aplicación práctica en los procesos de mejora delos aprendizajes de sus alumnos.

Ha mostrado un débil dominio de los contenidos evalua-dos en el examen nacional, por lo que se recomiendaemprender el estudio de los temas y aspectos que seevalúan en el examen y procurar su aplicación prácticaen los procesos de mejora de los aprendizajes de susalumnos.

SI SU

CALIFICACIÓN ES: USTED

Ha mostrado un logro óptimo de los contenidos evalua-dos a través del examen. Cuenta con un dominio consis-tente de conocimientos y habilidades fundamentalespara su quehacer profesional y útiles para continuar yprofundizar sus procesos de formación con excelentesposibilidades de éxito.

Está cerca de alcanzar el dominio esperado de los conte-nidos evaluados en el examen nacional. Muestra un altodominio de conocimientos y habilidades fundamentalespara su quehacer profesional y útiles para consolidar susprocesos de formación con altas posibilidades de éxito.

Ha mostrado un dominio suficiente de los contenidos eva-luados en el examen nacional. Posee un dominio regularde conocimientos y habilidades fundamentales para suquehacer profesional y necesario para avanzar en su pro-ceso de formación con buenas posibilidades de éxito.

Ha mostrado un dominio básico de los contenidos eva-luados en el examen nacional. Manifiesta un dominio ele-mental de los conocimientos y las habilidades necesariaspara mejorar su proceso de formación con posibilidadesde éxito.

SÍMBOLO

GUÍA

Todavía no ha alcanzado el dominio de los contenidosevaluados, por lo que le invitamos a que retome el estu-dio de los temas y aspectos que se evalúan en el exa-men; analice cuidadosamente los materiales educativosde la SEP, aplique los nuevos conocimientos en su prácti-ca profesional y busque el apoyo de un asesor en suCentro de Maestros.

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Recomendaciones específicas para apoyar su proceso de formación continua



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La resolución de problemas

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La solución de problemas en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas

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Es necesario reflexionar sobre el papel de la solución de pro-blemas en el proceso de enseñanza y aprendizaje de lasmatemáticas, con la finalidad de que se reconozca de quémanera éstos permiten que los alumnos exploren relacionesentre las nociones, los conceptos y los procedimientos queconocen, y puedan utilizarlos para adquirir nuevos conoci-mientos.

Frecuentemente se pasa por alto que enseñar matemáticas através de la resolución de problemas es una estrategia didác-tica que propicia en el alumno el aprendizaje utilizando susconocimientos previos en cualquier momento de la clase; y,en contraste, todavía se considera que la forma de enseñar esproporcionar definiciones y explicar los procedimientos quepermiten resolver un problema.

Por ejemplo, se sigue considerando, erróneamente, que la reso-lución de problemas se debe utilizar después de adquirir unconocimiento determinado y únicamente en situaciones de lavida real. Asimismo, se cree que los problemas matemáticossólo tienen una respuesta correcta y convencional, y no se plan-tean diversos tipos de problemas con otras riquezas didácticas yque pudieran llevar al análisis y la exploración durante su reso-lución.

Se recomienda estudiar el apartado "El papel de los problemasen el estudio de las matemáticas" del Libro para el maestro.Matemáticas. También se aconseja proponer a los alumnos lasactividades que aparecen en el Fichero de actividades didác-ticas cada vez que se desarrolle uno de los 18 temas por gradoque se proponen en la Secuencia y organización de contenidos.

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La intervención pedagógica del maestro paraayudar a los alumnos a superar sus errores

La solución de problemas en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas

Es conveniente identificar actividades complementariasque permitan a los alumnos superar las dificultades a lasque se enfrentan cuando realizan una actividad o solu-cionan un problema.

En particular, existe cierta tendencia a inclinarse por losalumnos exitosos para que expliquen a los demás cómoresolvieron un problema determinado y de esta manerael resto del grupo "aprenda" las estrategias "correctas".

Por ejemplo, si, en el desarrollo plano de un sólido, losalumnos no son capaces de determinar el número dearistas que tiene el cuerpo geométrico, el profesorcomete el error de no proponer actividades que involu-cren el trabajo de armado y desarmado de sólidos mássencillos, para que los alumnos lleguen a imaginar cómo,al unirse las caras del desarrollo plano, se forman las aris-tas del cuerpo geométrico. Asimismo, se considera quesólo con las explicaciones de otro u otros (el maestro olos alumnos) podrán superarse las dificultades, lo cual, eneste caso, es una manera muy difícil de desarrollar laimaginación espacial del alumno.

Se sugiere estudiar el apartado "Las tareas del profesor",del capítulo "Enfoque", del Libro para el maestro. Mate-máticas. Además, se recomienda utilizar frecuentementematerial concreto y proponer actividades que promuevanel desarrollo de habilidades matemáticas en los alumnos.

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Secuencias didácticas para la enseñanza de las matemáticas

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El proceso de enseñanza y aprendizaje

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Es conveniente identificar aquellos elementos que esnecesario tener presentes al analizar una secuenciadidáctica que sea apropiada para la enseñanza de uncontenido específico.

En particular, se observan dificultades para ordenar ade-cuadamente un conjunto de actividades para trabajarcon los alumnos un contenido del plan y programas deestudio de matemáticas; asimismo, no se logra identificarqué nociones sirven de antecedentes a otros contenidos.

Por ejemplo, con respecto a las funciones, se comete elerror de considerar que antes de realizar un trabajo dedesarrollo que permita analizar y descubrir relacionesmatemáticas entre dos cantidades, se requiere formali-zar con expresiones algebraicas dichas relaciones, loque limita el trabajo constructivo del alumno y provocaque éste "aprenda" matemáticas sin llegar a una com-prensión que le permita disfrutar el trabajo matemático.

Se sugiere analizar los apartados "Las secuencias didác-ticas y la formalización del conocimiento", del capítulo"Enfoque", del Libro para el maestro. Matemáticas. Tam-bién sería conveniente utilizar continuamente tanto lassecuencias (fichas) propuestas en el Fichero de activida-des didácticas, como las orientaciones sobre el trata-miento de los temas matemáticos de las cinco áreasque se presentan en la mayor parte del Libro para elmaestro.

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Habilidades y actitudesen la educación secundaria


Es conveniente identificar las habilidades que se desarrollany las actitudes que se promueven en una situación pro-blemática específica planteada a los alumnos.

En particular, no se tiene claridad acerca de las habili-dades que se busca desarrollar en los alumnos de edu-cación secundaria, ni del tipo de actividades que laspromueven, y se desconoce cómo se puede despertarel interés de los estudiantes por las matemáticas, ya queno se toma en cuenta el hecho de fomentar actitudespositivas hacia la asignatura.

Por ejemplo, no se reconoce que una habilidad tieneque ver con la facilidad para hacer una tarea. Con res-pecto a la generalización, no se le identifica como lahabilidad que permite descubrir regularidades en fami-lias de problemas; por el contrario, se le confunde con lahabilidad para calcular o estimar. En cuanto a las actitu-des, no se conciben como la disposición para hacer unatarea determinada, y que deben ser promovidas median-te actividades ricas e interesantes para los alumnos. Con elreconocimiento de patrones en secuencias numéricasgeneradas en la calculadora, se promueven, entre otrasactitudes, la curiosidad, la inclinación hacia la explora-ción y la elaboración de conjeturas.

Se sugiere estudiar el apartado "Propósitos del estudio, laenseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la edu-cación secundaria", del capítulo "Enfoque", del Libro parael maestro. Matemáticas.

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Planeación del proceso de enseñanza y aprendizaje

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Es conveniente reconocer la necesidad de relacionarcontenidos de diversas áreas de las matemáticas (arit-mética, álgebra, geometría, presentación y tratamientode la información, y nociones de probabilidad) en laplaneación que se hace al inicio del año escolar.

En particular, subsiste la idea de realizar la planeaciónanual de manera lineal, trabajando por separado cadauna de las áreas de las matemáticas. Se comete el errorde dejar de lado el valor didáctico que tiene para laenseñanza y el aprendizaje, el diseño de problemas y laorganización del trabajo en el aula, con el fin de que losalumnos tengan la oportunidad de relacionar diversoscontenidos matemáticos.

Por ejemplo, se sigue poniendo énfasis en tratar de cubrirtodo el programa en el ciclo escolar, y se cree que consólo llevar una planeación cuidadosa, alcanza el tiempopara cubrirlo todo y de forma lineal; no se toma en cuentaque la interconexión de contenidos propicia un aprendi-zaje gradual en el alumno y facilita trabajar varios con-ceptos simultáneamente, lo que permite aprovechar demejor manera el tiempo, e integrar el conocimientomatemático.

Se sugiere leer y analizar la Introducción del materialSecuencia y organización de contenidos, así como losapartados "Organización y alcance de la asignatura" y"Enfoque" del Plan y programas de estudio.

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Materiales de apoyo

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Es conveniente conocer y manejar los siguientes mate-riales de apoyo: Plan y programas de estudio, Libro delmaestro, Fichero de actividades didácticas, y Secuencia yorganización de contenidos.

En particular, se tienen dificultades para reconocer losplanteamientos básicos, las orientaciones didácticas ylas características de cada uno de los materiales deapoyo.

Por ejemplo, no se reconoce que en el Libro para el maes-tro, se pueden encontrar las recomendaciones didácticasgenerales que caracterizan al enfoque para la enseñan-za de las matemáticas propuesto en el Plan y programas.De igual manera, se desconoce que el Fichero de activi-dades didácticas contiene una ficha a manera desecuencia didáctica para cada uno de los 18 temas porgrado que se proponen en la Secuencia y organizaciónde contenidos.

Se sugiere analizar la estructura de los materiales de apoyomencionados, relacionarlos entre sí y hacer una carac-terización de cada uno.

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Las nuevas tecnologías en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas

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Enfoque para la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria

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Es conveniente reconocer la utilidad de las nuevas tecno-logías en el estudio de las matemáticas en secundaria.

En particular, se observa cierta tendencia a limitar lariqueza didáctica que ofrece el uso de las nuevas tecno-logías al emplearlas sólo para que los alumnos validen susresultados y procedimientos por sí mismos.

Por ejemplo, se suele utilizar la calculadora para que losalumnos verifiquen procedimientos y operaciones quepreviamente han realizado con papel y lápiz. No se tomaen cuenta que las nuevas tecnologías son recursos didác-ticos que facilitan la modelación de situaciones interesan-tes; por ejemplo, aquellas que puedan modelarse conecuaciones de primer grado, como el movimiento rectilí-neo uniforme, situaciones de proporcionalidad, etc., quepermiten a los estudiantes plantear y solucionar problemasque favorezcan su reflexión y les acerquen a la recreaciónde conocimientos, habilidades y actitudes.

Se sugiere estudiar el apartado "Materiales manipulables ylas nuevas tecnologías", del capítulo "Enfoque", del Libropara el maestro. Matemáticas. Además, se recomienda uti-lizar frecuentemente recursos como la calculadora, lacomputadora, el geoplano, el geoespacio, el tangramy el plegado de papel, entre otros, para propiciar elaprendizaje de los alumnos y fomentar el gusto por estu-diar matemáticas.

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La evaluación en el proceso de enseñanza

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Es conveniente conocer y reflexionar sobre el propósitocentral de la evaluación en el proceso de enseñanza yaprendizaje.

En particular, se observa que no se considera a la evalua-ción como un proceso que permite obtener informaciónpara poder detectar aquellos aspectos que es necesa-rio mejorar en el profesor, en los alumnos y en el propiotrabajo de enseñanza.

Por ejemplo, se comete el error de considerar que el pro-pósito central de la evaluación es conocer los aciertos ylos errores de los alumnos (es decir, el aprovechamientoescolar), sin que este proceso implique necesariamenteuna toma de decisiones para mejorar la enseñanza y elaprendizaje de las matemáticas.

Se sugiere analizar el apartado "La evaluación", del capí-tulo "Enfoque", del Libro para el maestro. Matemáticas.

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Papel del maestro en los procesos de enseñanza y de aprendizaje

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Es conveniente que los profesores identifiquen el papel quehan de desempeñar en la clase, de acuerdo con el enfo-que de enseñanza.

En particular, se observa que los maestros continúanconsiderando que son ellos quienes tienen que explicarla clase para que sus alumnos aprendan matemáticas.Asimismo, existe cierta tendencia a usar la confronta-ción de resultados para corregir y calificar los aprendi-zajes de los alumnos.

Por ejemplo, aún se cree que una forma de enseñar esque el profesor resuelva varios problemas, para que losalumnos adquieran el conocimiento en cuestión, y quedespués ellos solucionen otros de mayor complejidad.No se toma en cuenta que, a través de la resolución desituaciones problemáticas, los alumnos pueden generarsu propio conocimiento, y que es durante la confronta-ción cuando tienen la oportunidad de validar sus pro-cedimientos, así como aprender y valorar las estrategiasutilizadas por sus compañeros.

Se sugiere analizar los apartados "La confrontación" y"Las tareas del profesor", del capítulo "Enfoque", del Libropara el maestro. Matemáticas.

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El juego como recurso didáctico

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Es conveniente reconocer la importancia del juego comoun recurso didáctico que permite a los alumnos aprendermatemáticas y fortalecer el gusto por su estudio.

En particular, se observa que, erróneamente, se consideraque el propósito principal del juego es realizar compe-tencias entre los alumnos con el fin de premiarlos y moti-varlos para aprender matemáticas.

Por ejemplo, suelen utilizarse como juego las competen-cias entre hileras de alumnos (lo que en realidad no es unjuego matemático), de manera que los ganadoresobtengan puntos para su calificación; esto provoca queestén más interesados en ganar y demostrar que sonmejores que los demás, sin que les interese aprendermatemáticas. Procediendo así se desaprovecha el valorformativo de este recurso didáctico para crear conoci-miento, desarrollar habilidades y destrezas, pero, sobretodo, para fomentar actitudes favorables hacia lasmatemáticas.

Se sugiere estudiar el apartado "El juego como recursodidáctico", del capítulo "Enfoque", del Libro para el maes-tro. Matemáticas. Asimismo, se recomienda utilizar fre-cuentemente juegos, teniendo muy claro cuál es elpropósito de enseñanza que tienen en el momento deplantearlos, y que además ayudan a despertar la curio-sidad de los alumnos por aprender matemáticas.

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Estrategias para realizar la evaluación del aprendizaje

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Es conveniente reconocer que, mediante el planteamiento yla solución de problemas, puede evaluarse adecuadamenteel aprendizaje alcanzado por los alumnos.

En particular, se considera, erróneamente, que las demostracio-nes o actividades que busquen la formalización del conoci-miento matemático, son el procedimiento más adecuado paraevaluar el avance de los alumnos. Aun cuando, durante elproceso de enseñanza de un tema, se resuelven problemasde distinta forma (con procedimientos formales o informales),se considera que, al momento de valorar un contenido espe-cífico, lo que ha de evaluarse son los procedimientos conven-cionales, y no el uso o la aplicación de ese concepto en laresolución de problemas.

Por ejemplo, se considera que, para evaluar el tema de ecua-ciones cuadráticas, lo más adecuado es obtener la expresiónmatemática que permite resolver cualquier ecuación de segun-do grado, sin tomar en cuenta que esta situación es muy difí-cil de solucionar, y que, para los alumnos de este nivel, es másapropiado plantearles problemas interesantes y no rutinarios,en los que tengan la oportunidad de aplicar los conceptosaprendidos y, al mismo tiempo, mostrar el desarrollo de sushabilidades y destrezas, lo que a su vez fomenta el gusto porel estudio de las matemáticas.

Se recomienda estudiar los apartados "El papel de los proble-mas en el estudio de las matemáticas" y "La evaluación", delcapítulo "Enfoque", del Libro para el maestro. Matemáticas.Además, se aconseja realizar evaluaciones frecuentes, e invi-tar a los alumnos a que participen en la valoración de susavances, de manera que se involucren en el desarrollo de supropio aprendizaje.

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Propósitos generales de la enseñanza de las matemáticas en la educación secundaria

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Conocimiento del Plan y programas de estudio

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Es conveniente reconocer los propósitos de la enseñanzade las matemáticas en el nivel de secundaria.

En particular, se observa cierta tendencia a creer que lasmatemáticas en secundaria deben enfocarse al aprendi-zaje de algoritmos, al uso de instrumentos geométricos y aldominio de contenidos matemáticos específicos, sin consi-derar el valor formativo de este campo de conocimientoen el desarrollo de competencias para la vida.

Por ejemplo, se considera que los propósitos de las mate-máticas en este nivel tienen un carácter instructivo, en elque predomina el aprendizaje mecánico o, en todo caso,la solución de algunos problemas rutinarios aparentementerelacionados con la vida cotidiana. No se toma en cuentaque las matemáticas propician: el desarrollo de la creativi-dad del alumno, el planteamiento de conjeturas y su res-pectiva validación y comunicación, la generalización deprocedimientos y estrategias que son de gran utilidad paraaprender matemáticas de manera flexible, y el aumentode la autoestima de los alumnos.

Se sugiere estudiar el apartado "Propósitos del estudio, laenseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la edu-cación secundaria", del capítulo "Enfoque", del Libro para elmaestro. Matemáticas. Igualmente, se recomienda analizarlos "Comentarios y profundizaciones 2", de la unidad "Elcurrículo de matemáticas. Las matemáticas en la escuela",en el texto Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entreenseñanza y aprendizaje.

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Proporcionalidad y semejanza de figuras


Es conveniente que, cuando el profesor está seleccionan-do actividades con las que los alumnos superen los erro-res que cometen al reproducir una figura proporcional aotra, en éstas se relacionen y se apliquen las propieda-des de la semejanza de figuras.

En particular, se observa que, cuando el profesor detec-ta que los alumnos no aplican la proporcionalidad paracalcular adecuadamente la medida de los lados homó-logos de una figura semejante a otra, erróneamente lespropone ejemplos de figuras proporcionales más sencillaspara facilitarles la actividad. Para otros contenidos y enotros momentos, quizá ésta sea una estrategia adecua-da; sin embargo, en este caso resulta más convenienterealizar acciones que logren que sean los estudiantesmismos quienes descubran su error.

Por ejemplo, si el profesor detecta que los alumnos usanuna constante aditiva, en lugar de resolver la proporciónentre dos pares de lados homólogos para calcular lamedida de los lados de la copia, es recomendable pro-poner a los alumnos el trazo de la nueva figura, con laintención de que ellos descubran su error al observarque ambas figuras (original y copia) no conservan lamisma forma.

Se sugiere estudiar el apartado "Proporcionalidad y seme-janza de figuras", del capítulo "Aritmética", del Libro parael maestro. Matemáticas.

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Escalas


Es conveniente analizar y resolver diversos problemasque impliquen dibujos o cuerpos a escala.

En particular, se observan dificultades para aplicar elefecto de una reducción o ampliación a escala sobre elvolumen de un cuerpo geométrico.

Por ejemplo, se cree, erróneamente, que la relación entrela escala de dos cuerpos semejantes es igual a la relaciónque hay entre sus volúmenes; es decir, si la escala es 3:1,se cree que su volumen se triplica, porque la longitud delos lados se triplica. No se reconoce que la escala es unarazón que se da entre las medidas de lados homólogos,mientras que la razón entre sus volúmenes implica unamagnitud en tres dimensiones, y en este caso es 33; por lotanto, el volumen es 27 veces mayor. En general, si laescala entre dos cuerpos es r, la razón entre sus volúme-nes es r 3.

Se sugiere estudiar el apartado "Homotecias", del capí-tulo "Geometría", del Libro para el maestro. Matemáticas.También se sugiere emplear cubos pequeños para cons-truir prismas y cubos semejantes, y analizar la relaciónque hay entre sus lados, sus áreas y sus volúmenes.

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Actividades para favorecer la noción de área

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Es conveniente que el profesor identifique actividadesque propicien en los alumnos de secundaria un ade-cuado acercamiento a la noción de área.

En particular, se observa que, en la introducción de lanoción de área, el maestro se inclina por las demostracio-nes visuales como un procedimiento adecuado para justi-ficar el empleo de una fórmula para obtener el área deuna figura geométrica.

Por ejemplo, erróneamente, suele descartarse el trabajoexploratorio con el uso de retículas cuadradas, con unaunidad arbitraria, para introducir la noción de áreamediante la estrategia de conteo de cuadritos; en sulugar, se prefiere el uso de dibujos que ilustren cómo jus-tificar la obtención de una fórmula para calcular el áreade una figura determinada, recurso que tendría que tra-bajarse cuando los alumnos ya poseen un adecuadoconcepto de área de un polígono.

Se sugiere estudiar el apartado "Cálculo de perímetros yáreas", del capítulo "Geometría", del Libro para el maestro.Matemáticas. Además, se recomienda utilizar frecuente-mente recursos como el tangram, el geoplano y las retí-culas para que los alumnos modelen, planteen ysolucionen problemas sobre áreas de figuras.

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Elementos del círculo y sus propiedades


Es conveniente conocer las propiedades de las figurasbásicas y algunas construcciones geométricas que tienenque ver con ellas.

En particular, se considera erróneamente que, paraencontrar el centro de un círculo a partir de tres puntos dela circunferencia, deben aplicarse las propiedades delángulo inscrito, y se dejan de lado teoremas como losque tienen que ver con la perpendicular mediatriz deuna cuerda.

Por ejemplo, no se percibe que por dos puntos de la cir-cunferencia puede trazarse una cuerda, y que una per-pendicular que pasa por el punto medio de ésta pasatambién por el centro del círculo, por lo que, conocidostres puntos sobre la circunferencia, puede encontrarse elcentro que la genera.

Se sugiere estudiar el apartado "Dibujos y trazos geomé-tricos", del capítulo "Geometría", del Libro para el maestro.Matemáticas. Además, se recomienda proponer a losalumnos actividades que propicien el descubrimiento delas propiedades de los elementos del círculo y otras figu-ras básicas, y plantearles problemas donde puedan apli-carlas.

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Propiedades básicas de los sólidos: área y volumen


Es conveniente resolver problemas de sólidos (en parti-cular, de prismas), que involucren el cálculo de áreas yvolúmenes.

Se tienen dificultades para aplicar la estrategia correctaque resuelve un problema, es decir, relacionar los datosque se dan en el problema para reconocer los concep-tos que se involucran y utilizarlos en su resolución. Elmaestro puede conocer las fórmulas del área y el volu-men de los prismas, pero, ante problemas donde su reso-lución no implica sólo la sustitución de los datos en lasfórmulas, puede tener dificultad para aplicarlas en unasituación de medición que no sea rutinaria.

Por ejemplo, para calcular el perímetro de la base de unprisma, cuando ésta tiene forma de rombo y se dan lasmedidas de las diagonales, es necesario aplicar el teo-rema de Pitágoras. Por otro lado, también se tienen difi-cultades cuando se les pide calcular el volumen delespacio que queda vacío al introducir un cuerpo demenor volumen dentro de otro de mayor volumen.

Se recomienda estudiar los apartados "Sólidos" y "Cálculode volúmenes", del capítulo "Geometría", del Libro parael maestro. Matemáticas.

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Uso de la calculadora

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Del pensamiento aritmético al algebraico

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Es conveniente reconocer cuáles son el propósito y lasventajas didácticas de usar la calculadora en una situa-ción problemática determinada.

En particular, se tienen dificultades para identificar el con-tenido matemático que se trata de estudiar o aplicar alplantear una situación problemática en la calculadora. Enmuchas ocasiones se proponen las actividades con lacalculadora porque resultan diferentes o "novedosas"para los alumnos, pero no se tiene claro cuál es el pro-pósito, ni qué aprendizajes se pueden favorecer.

Por ejemplo, no se reconoce que con el uso de la cal-culadora puede promoverse el trabajo exploratorio delos alumnos, en temas como la divisibilidad, el reconoci-miento de patrones, el desarrollo del cálculo mental y laestimación, lo que propiciaría enriquecer el estudio delos contenidos de los cursos y aumentaría las posibilida-des para el aprendizaje significativo de los alumnos.

Se sugiere estudiar el apartado "Uso de la calculadora",del capítulo "Aritmética", del Libro para el maestro. Mate-máticas. También se recomienda utilizar frecuentementela calculadora para generar situaciones de aprendizajeenriquecedoras, en las que los alumnos tengan la opor-tunidad de recrease y, al mismo tiempo, aprender mate-máticas.

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Plano cartesiano y funciones

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Es conveniente solucionar problemas relacionados confunciones representadas en el plano cartesiano.

Frecuentemente no se reconoce la representación alge-braica que le corresponde a una gráfica, así como aregiones en el plano delimitadas por rectas.

Por ejemplo, en la gráfica de una parábola no se recono-cen las características principales, como la localizacióndel vértice y su relación con los parámetros a y b de unafunción de segundo grado de la forma f(x) = (a + x)2 + b;tampoco se relaciona el coeficiente del término desegundo grado con la abertura de la parábola, etc. Enel caso de regiones en el plano, se piensa, erróneamente,que las dos desigualdades que representan a la región,se obtienen directamente del punto de intersección delas dos rectas que se cortan.

Se sugiere analizar y resolver los problemas del apartado"Plano cartesiano y funciones", del capítulo "Álgebra",del Libro para el maestro. Matemáticas (sobre todo, losrelacionados con graficación cualitativa y regiones enel plano).

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Expresiones algebraicas. Generalizaciones

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Es conveniente resolver situaciones que impliquen deter-minar la expresión algebraica como la forma generalque tiene un patrón o un procedimiento y que permitesolucionar un problema.

En particular, se observan dificultades para reconocer laexpresión que modela una familia de problemas, asícomo traducir algebraicamente la regla general de unpatrón geométrico o numérico.

Por ejemplo, en situaciones como determinar la ecua-ción lineal que permite relacionar las magnitudes de unrectángulo con respecto a su perímetro o la expresiónque le corresponde al enésimo término de una sucesión,es común que no se compruebe si la expresión que seobtuvo realmente representa la generalización; sueleprobarse para un solo caso, en lugar de verificarlo paravarios casos.

Se sugiere estudiar los apartados "Preálgebra" y "Ecua-ciones y sistemas de ecuaciones lineales", del capítulo"Álgebra", del Libro para el maestro. Matemáticas.

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Variación proporcional

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Es conveniente distinguir y caracterizar los dos tipos devariación proporcional, directa e inversa, en diversosproblemas que impliquen su uso.

En particular, existen dificultades para reconocer la gráficade una variación inversamente proporcional; asimismo,se considera esta variación como si fuera directamenteproporcional.

Por ejemplo, no se reconoce que, cuando la constantede proporcionalidad es el producto de dos variables, setrata de una variación inversa y su gráfica es la rama deuna hipérbola.

Se sugiere investigar las propiedades de las variacionesproporcionales, directa e inversa, así como analizar yresolver los problemas del apartado "Razonamiento pro-porcional", del capítulo "Aritmética", del Libro para elmaestro. Matemáticas.

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Significados de la fracción

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Fracciones

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Es conveniente resolver problemas que involucren el usode las fracciones en diferentes contextos.

En particular, se observan dificultades para interpretar yresolver adecuadamente situaciones donde se involucrala suma o multiplicación de fracciones.

Por ejemplo, hay dificultades para descubrir la estrategiaganadora en un juego que suele trabajarse con losalumnos, como el de "Carrera a 20", pero con la varian-te de que, en lugar de sumar números enteros, se utilizanfracciones.

Se sugiere estudiar el apartado "Las fracciones", del capí-tulo "Aritmética", del Libro para el maestro. Matemáticas, yconsultar el libro Juega y aprende matemáticas. Propuestaspara divertirse en el aula.

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Uso e interpretación de gráficas

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La enseñanza y el aprendizaje de lapresentación y tratamiento de la información

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Es conveniente resolver problemas que involucren el uso detablas y gráficas en la presentación de la información.

En particular, se observan dificultades para reconocer eltipo de gráfica más adecuada para presentar y organi-zar información, de acuerdo con el tipo de datos que setengan.

Por ejemplo, no se reconoce a la nube de puntos comola gráfica adecuada para representar la relación entreel peso y la estatura de un conjunto de personas; en sulugar se considera que dicha relación puede represen-tarse en una gráfica circular o por medio de una gráficade barras.

Se sugiere estudiar el apartado "Tablas y gráficas", delcapítulo "Presentación y tratamiento de la información",del Libro para el maestro. Matemáticas. Además, es con-veniente que el profesor propicie entre sus alumnos eluso frecuente de diversas formas para representar la infor-mación obtenida en encuestas e investigaciones, así comoel análisis de situaciones interesantes para ellos, u otras rela-cionadas con problemas de salud, ecológicos o desobrepoblación, por ejemplo.

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Bibliografía

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Aprender y enseñar matemáticas en la escuela secundaria

Se imprimió por encargo de la ComisiónNacional de Libros de Texto Gratuitos, en los talleres de

El tiro fue de 00 000 ejemplares

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Enseñanza de matemáticas de secundaria