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Entrega 5 MecΓ‘nica de Fluidos Q1. Curso 2016/2017 M.A.B. , A.I.S. i A.P.E. 20/12/2016
1
ENTREGA 5. MECΓNICA DE FLUIDOS
Problema 1. El esquema de la figura 1 presenta dos depΓ³sitos para un grupo de bombeado.
La diferencia de cotas entre el nivel del lΓquido de los dos depΓ³sitos es de 65 metros, la
longitud del conducto que une los dos depΓ³sitos es de 2500 metros, el conducto es de PVC y
tienen un diΓ‘metros de 0,12 metros.
Sabiendo que las caracterΓsticas de la bomba se detallan con el diagrama siguiente (la grΓ‘fica
estΓ‘ dada en H (m) y Q (l/min), curva de 40-250-220-. Determinar:
a.- El caudal circulante. (Punto de funcionamiento de la bomba).
b.- El diΓ‘metro del conducto para que la velocidad del fluido en el interior del mismo
sea de 1 m/s. ΒΏCuΓ‘l es el punto de funcionamiento en este caso?
c.- QuΓ© diferencia de cotas entre niveles del depΓ³sito serΓa necesaria para que
manteniendo el diΓ‘metro de conducto inicial se tenga una velocidad del fluido en el
interior del conducto de 1 m/s.
a) El cabal circulante. (Punto de funcionamiento de la bomba).
Primero de todo aplicaremos la ecuaciΓ³n de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, el punto que estΓ‘
en la superficie del lΓquido del primer depΓ³sito y el punto de la superficie del lΓquido del
segundo.
π1ππ
+ π§1 +π12
2π+ π» =
π2ππ
+ π§2 +π22
2π+ βπ12
Ambos tΓ©rminos de la presiΓ³n quedan descartados ya que las consideramos presiones
relativas. Y tambiΓ©n anularemos las velocidades porque la teorΓa de los grandes depΓ³sitos nos
dice que la velocidad de un punto de la superficie del lΓquido en un depΓ³sito grande que se
vacΓa por un agujero pequeΓ±o, es cero.
π» = (π§2 β π§1) + βπ12
π» = 65 + βπ12
RepresentaciΓ³n de los depΓ³sitos
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π» = 65 + π8πΏπ2
π·5ππ2
Como tenemos de incΓ³gnitas los tΓ©rminos Q, H y f, resolveremos la ecuaciΓ³n mediante el
mΓ©todo de iteraciΓ³n. Cogemos un valor de f cualquiera y lo verificaremos con la grΓ‘fica de
Moody, sino volveremos a coger otro valor de este que nosotros consideremos que se
encuentra mΓ‘s cerca de la opciΓ³n correcta. Tenemos la siguiente informaciΓ³n:
π» = β83297π2 + 127,95π + 99,985
Comenzamos con un factor de fricciΓ³n de valor 0,02:
π» = 65 + 0,02 Β·8 Β· 2500 Β· π2
0,125 Β· 9,81 Β· π2
π» = 65 + 166029,4038 π2
π» = β83297π2 + 127,95π + 99,985
Tenemos un sistema de ecuaciones con dos incΓ³gnitas, Q y H:
β83297π2 + 127,95π + 99,985 = 65 + 166029,4038 π2
249326,4038π2 β 127,95π β 34,985 = 0
π = 0,01210496297π3
π π β 0,01159178026
π3
π
Obviamente, descartamos el valor negativo del cabal, entonces obtendremos un valor de H de
89,32831 m
Mediante la hipΓ³tesis que tratamos con el agua como fluido, con una viscosidad de 1,02Β·106
m2/s, buscamos el valor de Re para comprobar el valor conseguido.
π π =4π
π·ππ β π π =
4 Β· 0,01210496297
0,12 Β· π Β· 1,02 Β· 10β6= 125919,261
Y ahora calculamos la rugosidad relativa, sabiendo que la rugosidad del PVC es de 0,0015 mm:
ππ =0,0015
120= 1,25 Β· 10β5
Con el valor de Re y el de la rugosidad relativa podemos encontrar el valor del factor de
fricciΓ³n fβ=0,0175. Como este valor no es exactamente el que habΓamos supuesto al inicio
(0,02), volvemos a aplicar el mismo mΓ©todo pero ahora con f=0,017:
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π» = 65 + 0,017 Β·8 Β· 2500 Β· π2
0,125 Β· 9,81 Β· π2
π» = 65 + 141124,9932 π2
π» = β83297π2 + 127,95π + 99,985
Encontramos H y Q:
β83297π2 + 127,95π + 99,985 = 65 + 141124,9932 π2
224421,9932π2 β 127,95π β 34,985 = 0
π = 0,01277388538π3
π π β 0,01220375409
π3
π
Volviendo a descartar el valor negativo obtenemos una H=88,027668 m.
π π =4π
π·ππ β π π =
4 Β· 0,01277388538
0,12 Β· π Β· 1,02 Β· 10β6= 132877,5817
Buscamos el valor de Reynolds y para la rugosidad relativa nos da un valor de fricciΓ³n de
fβ=0,0172. Para ser mΓ‘s exactos iteramos con un valor entre 0,0172 y 0,0175.
π» = 65 + 0,0172 Β·8 Β· 2500 Β· π2
0,125 Β· 9,81 Β· π2
π» = 65 + 142785,2872 π2
π» = β83297π2 + 127,95π + 99,985
Volvemos a encontrar H y Q:
β83297π2 + 127,95π + 99,985 = 65 + 142785,2872 π2
226082,2872π2 β 127,95π β 34,985 = 0
π = 0,01272582618π3
π π β 0,0121598818
π3
π
Descartando cabal negativo, tenemos H=88,12360 m. Con un nΓΊmero Re:
π π =4π
π·ππ β π π =
4 Β· 0,01272582618
0,12 Β· π Β· 1,02 Β· 10β6= 132377,6563
Y finalmente obtenemos un factor de fricciΓ³n fβ=0,0174. Volvemos a iterar por ΓΊltima vez con
el valor de f=0,0174, que mΓ‘s adelante veremos que se trata del valor exacto porque nos
daremos cuenta que f=fβ.
π» = 65 + 0,0174 Β·8 Β· 2500 Β· π2
0,125 Β· 9,81 Β· π2
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π» = 65 + 144445,5813 π2
π» = β83297π2 + 127,95π + 99,985
Calculamos H y Q:
β83297π2 + 127,95π + 99,985 = 65 + 144445,5813 π2
227742,5813π2 β 127,95π β 34,985 = 0
π = 0,01267830132π3
π π β 0,0121164828
π3
π
Descartamos el valor negativo y obtenemos una H=88,21809 m. Con un nΓΊmero de Reynolds
que veremos que nos da un valor de fβ=0,0174, tal y como hemos mencionado antes, sucede
que f=fβ. Ya tenemos el valor exacto del coeficiente de fricciΓ³n.
Entonces realizamos los cΓ‘lculos de Q y H con este justo factor de fricciΓ³n, que son:
π = 0,01267830132π3
π
π» = 88,21808514 m
b) El diΓ‘metro del conducto para que la velocidad del fluido en el interior del mismo
sea de 1 m/s. ΒΏCuΓ‘l es el punto de funcionamiento en este caso?
Volvemos a aplicar Bernoulli igual que anteriormente pero en este caso conocemos la
velocidad:
π = π£ Β· π = 1 Β·π Β· π·2
4=π Β· π·2
4
Sustituyendo a la ecuaciΓ³n de la bomba:
π» = β83297(π Β· π·2
4)
2
+ 127,95(π Β· π·2
4) + 99,985
π» = β51381,777π·4 + 100,491695 π·2 + 99,985
Otra vez Bernoulli
π» = 65 + π8πΏ (
π Β· π·2
4 )2
π·5ππ2= 65 + π
πΏ
2π·π
Ahora haremos lo mismo que en el apartado anterior, suponemos una semilla de f, como por
ejemplos f=0,01.
π» = 65 + 0,01 Β·2500
19,62 Β· π·
π» = β51381,77736 π·4 + 100,491695 π·2 + 99,985
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Para resolver este sistema de dos ecuaciones precisaremos del programa matemΓ‘tico Wolfram
Alpha, que no da las posibles soluciones de:
π»1 = 73,2585 π π π·1 = 0,154291 π
π»2 = 100,028 π π π·2 = 0,0363769 π
Se puede ver que con un diΓ‘metro pequeΓ±o no nos acercaremos a la soluciΓ³n, ya que nos da
un factor de fricciΓ³n fβ el cual no se encuentra entre el intervalo [0.1-0.2], un intervalo de
factores de fricciΓ³n posibles para conductos comerciales. Nos quedamos con la restante, que
nos darΓ‘ un nΓΊmero Re de:
π π1 =π Β· π·1π£
=1 Β· 0,154291
1,02 Β· 10β6= 151265,6863
ππ1 =0,0015
154,291 = 9,7218 Β· 10β6
Con estos valores, en el diagrama encontraremos un valor de factor de fricciΓ³n de fβ=0,0167.
AΓΊn seguiremos intentando acercarnos mΓ‘s a la soluciΓ³n y optaremos por usar una iteraciΓ³n
de f=0,017.
π» = 65 + 0,017 Β·2500
19,62 Β· π·
π» = β51381,77736 π·4 + 100,491695 π·2 + 99,985
Resolvemos el sistema con el programa:
π»1 = 80,0574 π π π·1 = 0,14386 π
π»2 = 99,5888 π π π·2 = 0,062626 π
Cogemos el primer caso, ya que el segundo tiene un diΓ‘metro demasiado pequeΓ±o.
Obtenemos un nΓΊmero de Re de:
π π1 =π Β· π·1π£
=1 Β· 0,14386
1,02 Β· 10β6= 141039,2157
ππ1 =0,0015
143,86 = 1,0427 Β· 10β5
Y finalmente conseguimos un factor de fricciΓ³n fβ=0,0168. Por ΓΊltima vez probaremos con este
mismo factor de fricciΓ³n f=0.0168 y veremos que serΓ‘ el exacto, con el cual f=fβ.
π» = 65 + 0,0168 Β·2500
19,62 Β· π·
π» = β51381,77736 π·4 + 100,491695 π·2 + 99,985
Resolvemos el sistema con el programa:
π»1 = 79,8424 π π π·1 = 0,144227 π
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π»2 = 99,618 π π π·2 = 0,061837 π
Cogemos la primera soluciΓ³n ya que la segunda tiene un diΓ‘metro demasiado pequeΓ±o.
Obteniendo entonces un nΓΊmero de Re:
π π1 =π Β· π·1π£
=1 Β· 0,144227
1,02 Β· 10β6= 141399,0196
ππ1 =0,0015
144,227= 1,0400 Β· 10β5
Y ahora sΓ, con estos valores encontramos que f=fβ=0.0168, el valor exacto del factor de
fricciΓ³n.
Ya podemos realizar el cΓ‘lculo del diΓ‘metro con nuestro factor de fricciΓ³n exacto.
π· = 0,144227 π
El cabal consecuente a este diΓ‘metro tiene un valor de:
π = π£ Β· π = 1 Β·π Β· π·2
4=π Β· π·2
4=π Β· 0,1442272
4= 0,01634
π3
π
Pudiendo calcular el valor final de H, que es:
π» = 79,8424 π
c) ΒΏQuΓ© diferencia de cotas entre niveles del depΓ³sito serΓa necesaria para que
manteniendo el diΓ‘metro del conducto inicial se tenga una velocidad del fluido en
el interior del conducto de 1 m/s?
En este ΓΊltimo apartado debemos calcular la diferencia de z ya que nos dan la velocidad del
fluido y su diΓ‘metro. Siempre aplicando Beroulli:
π = π£ Β· π = 1 Β·π Β· π·2
4=π Β· π·2
4=π Β· 0,122
4= 0,01131
π3
π
π» = βπ§ + π8 Β· πΏ Β· π2
π·5 Β· π Β· π2 β π» = π§ + π
8 Β· 2500 Β· 0,011312
0,125 Β· 9,81 Β· π2
π» = π§ + π1061,891691
Por otro lado podemos calcular la H con la ecuaciΓ³n de la bomba, sustuyendo el valor del cabal
que hemos calculado al inicio del apartado
π» = β83297π2 + 127,95π + 99,985
π» = β83297(0,01131)2 + 127,95(0,01131) + 99,985
π» = 99,7771 π
Entonces ya podemos encontrar el valor del nΓΊmero de Reynolds y su rugosidad relativa
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π π =π Β· π·
π£=
1 Β· 0,12
1,02 Β· 10β6= 117647,0588
ππ =0,0015
120= 1,25 Β· 10β5
En este caso nos resultarΓ‘ un valor de f=0.018, valor del diagrama de Moody para conductos
comerciales. Y podremos encontrar la diferencia de las cotas z, de los dos depΓ³sitos.
Sustituyendo el valor de f en la ecuaciΓ³n de la H
βπ§ = π» β π1061,891691
βπ§ = 99,7771 β 0,018 Β· 1061,891691
βπ§ = 80,66 π
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Problema 2. Sea el conjunto depΓ³sitos y conductos que se expone en los dos esquemas
siguientes. Si se conoce: Que la curva caracterΓstica de la bomba estΓ‘ dada por la ecuaciΓ³n
ππππππ = ππ β ππΈπ, donde ππ y π, son constantes conocidas, conociendo ademΓ‘s las
longitudes, diΓ‘metros y rugosidades absolutas de todos los tramos, se pide determinar el
caudal que circula por las dos instalaciones y por cada uno de los tramos. Realizar el cΓ‘lculo
mediante la determinaciΓ³n de las constantes equivalentes de los conductos. SupΓ³ngase que
los tramos situados a la entrada y salida de la bomba son muy cortos y se puede despreciar
su efecto.
La ecuaciΓ³n que deberΓ‘ utilizarse para determinar las pΓ©rdidas de carga en cada tramo es la
de Darcy Weisbach.
βππ = πππ³π
π«ππ
ππΈππ
π π
Tomar como primera aproximaciΓ³n, el factor de fricciΓ³n βfβ funciΓ³n de la rugosidad relativa
(Ι
π«).
ResoluciΓ³n del primer caso:
Para empezar, debemos aplicar la ecuaciΓ³n de la energΓa entre las superficies libres de los dos
depΓ³sitos:
π1π+π£12
2+ ππ§1 + ππ΅ =
π2π+π£22
2+ ππ§2 + βπ12
Como trabajamos con presiones relativas i consideramos que la superficie de los dos depΓ³sitos
es muy grande, obtenemos las expresiones siguientes:
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π
ππ= ππ΅ = π(π§2 β π§1) + βπ12
βπ12 = βππππππΒ·πππ + βπ4 β βππππππΒ·πππ = βπ1 + βπ2 + βπ3
βπ1 = πΎ1π12
βπ2 = πΎ2π22
βπ3 = πΎ3π32
Si estas tres ΓΊltimas las comparamos con la ecuaciΓ³n de Darcy Weisbach, vemos que la πΎ
representa todos los tΓ©rminos a excepciΓ³n del cabal.
Γsta constante depende del factor de fricciΓ³n, que es funciΓ³n de la rugosidad relativa y del
nΓΊmero de Reynolds. Estas constantes se suponen conocidas, ya que supondremos como
primera aproximaciΓ³n que el rΓ©gimen en todo momento sea turbulento desarrollado.
De la ecuaciΓ³n de continuidad, tenemos lo siguiente:
π4 = π1 + π2 + π3 = ββππππππΒ·πππ
πΎ1+β
βππππππΒ·ππππΎ2
+ββππππππΒ·πππ
πΎ3
Si definimos la constante equivalente de las pΓ©rdidas del conjunto de las tres brancas en
paralelo como πΎππ, tenemos la expresiΓ³n siguiente:
βππππππΒ·πππ = πΎπππ42 = πΎππ (β
βππππππΒ·πππ
πΎ1+β
βππππππΒ·πππ
πΎ2+β
βππππππΒ·πππ
πΎ3)
2
βππππππΒ·πππ = πΎππβππππππΒ·πππ (1
βπΎ1+
1
βπΎ2+
1
βπΎ3)
2
β πΎππ =1
(1
βπΎ1+
1
βπΎ2+
1
βπΎ3)
2
Nos falta definir la constante para la tobera 4:
βπ4 = πΎ4π42
AsΓ pues, la ecuaciΓ³n de la energΓa planteada inicialmente quedarΓ‘ expresada de la siguiente
manera:
[π2
π 2]
π
ππ4= π(π§2 β π§1) + πΎπππ4
2 + πΎ4π42
Donde, multiplicando por π4, podemos encontrar la expresiΓ³n siguiente:
π4 =
ππ
(π(π§2 β π§1) + πΎπππ42 + πΎ4π4
2)
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Finalmente, las pΓ©rdidas de carga en el tramo 4 y en las tres brancas en paralelo serΓ‘n:
βπ4 = πΎ4π42
βππππππΒ·πππ = πΎπππ42
Por lo tanto, el cabal en cada uno de los tramos se obtendrΓ‘ a partir de la siguiente expresiΓ³n:
βππππππΒ·πππ = πΎπππ42 = πΎ1π1
2 = πΎ2π22 = πΎ3π3
2
Donde tenemos:
π1 = βπΎπππ4
2
πΎ1 ; π2 = β
πΎπππ42
πΎ2 ; π3 = β
πΎπππ42
πΎ3
ResoluciΓ³n del segundo caso:
Al igual que con el primer apartado, aplicando la ecuaciΓ³n de la energΓa entre las superficies
libres de los dos depΓ³sitos, obtenemos que:
π
πππ‘ππ‘ππ= ππ΅ = π(π§π΅ β π§π΄) + βππ΄π΅
La diferencia es que, en este caso, las pΓ©rdidas de energΓa se definirΓ‘n como:
βππ΄π΅ = βππππππΒ·πππ 1β3 + βππ·
Donde tenemos que:
βππππππΒ·πππ 1β3 = βππππππΒ·πππ 1β2 + βπ2β3 = πΎππ(1β3)ππ‘ππ‘ππ2
ππ‘ππ‘ππ = π(1β3)π΄ + π23 = π(1β3)π΄ +π(1β2)π΅ +π(1β2)πΆ
Por otro lado tenemos las siguientes expresiones:
βπ12 = βπ(1β2)π΅ = βπ(1β2)πΆ
βπ(1β2)π΅ = πΎ(1β2)π΅π(1β2)π΅2
βπ(1β2)πΆ = πΎ(1β2)πΆπ(1β2)πΆ2
Si lo sustituimos en la ecuaciΓ³n entre los puntos 1 y 2, obtenemos que:
π23 = ββπ(1β2)π΅πΎ(1β2)π΅
+ββπ(1β2)πΆπΎ(1β2)πΆ
βπ12 = πΎ(1β2)πππ’ππ£πππππ‘π2β32 = πΎ(1β2)π΅π(1β2)π΅
2 = πΎ(1β2)πΆπ(1β2)πΆ2
βπ12 = πΎ(1β2)πππ’ππ£πππππ‘π2β32 = πΎ(1β2)πππ’ππ£πππππ‘βπ(1β2) (
1
βπΎ(1β2)π΅+
1
βπΎ(1β2)πΆ)
2
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πΎ(1β2)πππ’ππ£πππππ‘ =1
(1
βπΎ(1β2)π΅+
1
βπΎ(1β2)πΆ)
2
Por otro lado:
βπ(1β3)πππππΒ·πππ = πΎ(1β3)πππ’ππ£πππππ‘ππ‘ππ‘ππ2 = βπ(1β3)π΄ = βπ(1β2)πππππΒ·πππ + βπ(2β3)
πΎ(1β3)πππ’ππ£πππππ‘ππ‘ππ‘ππ2 = πΎ(1β3)π΄π(1β3)π΄
2 = πΎ(1β2)πππ’ππ£πππππ‘π2β32 + πΎ2β3π2β3
2
AsΓ pues:
πΎ(1β3)πππ’ππ£πππππ‘ππ‘ππ‘ππ2 = πΎ(1β3)π΄π(1β3)π΄
2 = π2β32 (πΎ(1β2)πππ’ππ£πππππ‘ + πΎ2β3)
= βπ(1β3)π‘πππ π π’ππππππ = βπ(1β3)π‘πππ ππππππππ
πΎ(1β2)πππ’ππ£πππππ‘ +πΎ2β3 =1
(1
βπΎ(1β2)π΅+
1
βπΎ(1β2)πΆ)
2 + πΎ2β3 = πΎ(1β3)π‘πππ ππππππππ
Si recordamos que:
πΎ(1β3)πππ’ππ£πππππ‘ππ‘ππ‘ππ2 = πΎ(1β3)π‘πππ πππππππππ2β3
2 = πΎ(1β3)π΄π(1β3)π΄2
ππ‘ππ‘ππ = π2β3 + π(1β3)π΄ = ββπ(1β3)π‘πππ ππππππππ
πΎ(1β2)πππ’ππ£πππππ‘ + πΎ2β3+β
βπ(1β3)π΄πΎ(1β3)π΄
πΎ(1β3)πππ’ππ£πππππ‘ππ‘ππ‘ππ2 = βπ(1β3)πππ’ππ£πππππ‘
= πΎ(1β3)πππ’ππ£πππππ‘ [ββπ(1β3)π‘πππ ππππππππ
πΎ(1β2)πππ’ππ£πππππ‘ + πΎ2β3+β
βπ(1β3)π΄πΎ(1β3)π΄
]
2
Donde tenemos que:
βπ(1β3)πππ’ππ£πππππ‘
= πΎ(1β3)πππ’ππ£πππππ‘βπ(1β3)πππ’ππ£πππππ‘ [1
βπΎ(1β2)πππ’ππ£πππππ‘ + πΎ2β3+
1
βπΎ(1β3)π΄]
2
πΎ(1β3)πππ’ππ£πππππ‘ =1
[1
βπΎ(1β2)πππ’ππ£πππππ‘ + πΎ2β3+
1
βπΎ(1β3)π΄]
2
βππ΄π΅ = πΎ(1β3)πππ’ππ£πππππ‘ππ‘ππ‘ππ2 + πΎπ·ππ‘ππ‘ππ
2
Por lo tanto, la ecuaciΓ³n de la energΓa que habΓamos planteado inicialmente nos queda
expresada de la siguiente manera:
π
πππ‘ππ‘ππ= π(π§π΅ β π§π΄) + ππ‘ππ‘ππ
2 [πΎ(1β3)πππ’ππ£πππππ‘ + πΎπ·]
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Si multiplicamos la ecuaciΓ³n por ππ‘ππ‘ππ, podremos aislar su valor:
ππ‘ππ‘ππ =
ππ
π(π§π΅ β π§π΄) + ππ‘ππ‘ππ2 [πΎ(1β3)πππ’ππ£πππππ‘ +πΎπ·]
Seguidamente, tenemos que la pΓ©rdida de la carga en cada uno de los tramos 1-3 serΓ‘ de:
ππ‘ππ‘ππ2 = βπ1β3 [
1
βπΎ(1β2)πππ’ππ£πππππ‘ + πΎ2β3+
1
βπΎ(1β3)π΄]
2
Y por lo tanto:
βπ1β3 =ππ‘ππ‘ππ2
[1
βπΎ(1β2)πππ’ππ£πππππ‘ + πΎ2β3+
1
βπΎ(1β3)π΄]
2
AsΓ pues, los cabales en cada uno de los tramos 1-3 serΓ‘n:
βπ1β3 = πΎ(1β3)π΄π(1β3)π΄2 β π(1β3)π΄ = β
βπ1β3πΎ(1β3)π΄
βπ1β3 = (πΎ(1β2)πππ’ππ£πππππ‘ + πΎ2β3)π2β32 β π2β3 = β
βπ1β3
(πΎ(1β2)πππ’ππ£πππππ‘ + πΎ2β3)
Finalmente, nos damos cuenta de que tenemos que tener en cuenta las expresiones siguientes
para encontrar el cabal entre los puntos 1-2 de la tobera B y el cabal que circula entre estos
dos puntos en la tobera C:
π2β3 = π(1β2)π΅ + π(1β2)πΆ
βπ1β3 = βπ2β3 + βπ(1β2)πππ’ππ£πππππ‘
Por lo tanto, llegamos a la conclusiΓ³n de que las expresiones finales que nos permiten
encontrar todas las incΓ³gnitas que tenΓamos inicialmente son:
βπ2β3 = πΎ2β3π2β3
βπ(1β2)πππ’ππ£πππππ‘ = βπ1β3 β βπ2β3
βπ(1β2)πππ’ππ£πππππ‘ = βπ(1β2)π΅ = βπ(1β2)πΆ
βπ(1β2)π΅ = πΎ(1β2)π΅π(1β2)π΅2 β π(1β2)π΅ = β
βπ(1β2)π΅πΎ(1β2)π΅
βπ(1β2)πΆ = πΎ(1β2)πΆπ(1β2)πΆ2 β π(1β2)πΆ = β
βπ(1β2)πΆ
πΎ(1β2)πΆ
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Problema 3. El esquema definido en la figura muestra una instalaciΓ³n de bombeo de agua.
Las cotas de los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son respectivamente: ππ = ππ, ππ = πππ, ππ =
πππ, ππ = πππ, ππ = πππ i ππ = πππ.
Se conoce que las pΓ©rdidas de carga en cada uno de los tramos estΓ‘n dadas por:
βππβπ = ππππ Β· πΈπβππ
βππβπ = ππππ Β· πΈπβππ
βππβπ = πππππ Β· πΈπβππ
βππβπ = ππππ Β· πΈπβππ
βππβπ = ππππ Β· πΈπβππ
RecuΓ©rdese que la pΓ©rdida de carga genΓ©rica estΓ‘ definida por:
βππ = ππ’π³π
π«ππ
ππΈππ
π π Β· π
Se conoce ademΓ‘s que la curva caracterΓstica de cada una de las bombas esta definida por:
π―π©π = πππ β ππππ Β· πΈπβππ
π―π©π = ππ β ππππ Β· πΈπβππ
Determinar:
1. El caudal circulante en cada tramo, asΓ como las presiones en cada uno de los nudos. En el
esquema siguiente se indica el sentido de circulaciΓ³n del fluido.
2. Si se conoce que la longitud de cada uno de los 5 tramos de conducto es de 500 m. y se
estima que f=0,02. Hallar el diΓ‘metro de cada uno de los conductos.
3. Comentar como se podrΓa mejorar la instalaciΓ³n partiendo de los datos obtenidos en el
caso. Determinar los nuevos caudales con la mejora establecida. (Realizar las hipΓ³tesis que
se crean oportunas).
Esquemas de los conjuntos de depΓ³sitos y conductos a estudiar
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Apartado 1:
Para encontrar las ecuaciones que caracterizan el sistema, aplicaremos la ecuaciΓ³n de
Bernoulli por un fluido incompresible, entre los extremos de los diferentes tramos que
conforman el sistema. AsΓ pues, aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2, tenemos que:
π1π Β· π
+π12
2 Β· π+ π§1 +π»π1β2 =
π2π Β· π
+π1β22
2 Β· π+ π§2 + ββ1β2
Trabajamos con presiones relativas, y por lo tanto sabemos que:
π1 = π3 = π5 = π6 = 0
Como no se conocen las dimensiones del depΓ³sito 1, se establece que la velocidad en este
depΓ³sito es menospreciable (π1 β 0). De manera que:
π»π1β2 =π2π Β· π
+π1β22
2 Β· π+ π§2 + ββ1β2
Sustituyendo las dadas del enunciado:
π»π1β2 =π2π Β· π
+π1β22
2 Β· π+ π§2 + ββ1β2
100 β 3000 Β· π1β22 =
π2π Β· π
+π1β22
2 Β· π+ 20 + 5000 Β· π1β2
2 [1]
Ahora, aplicando Bernoulli entre los puntos 2 y 3:
π2π Β· π
+π2β32
2 Β· π+ π§2 =
π3π Β· π
+π32
2 Β· π+ π§3 + ββ2β3
Como consideramos que la secciΓ³n del depΓ³sito 3 es muy grande comparada con la secciΓ³n de
los conductos, entonces se puede considerar que la velocidad en este depΓ³sito es de nuevo
menospreciable (π3 β 0). De forma que:
π2π Β· π
+π2β32
2 Β· π+ 20 = 50 + 8000 Β· π2β3
2 [2]
Con la ecuaciΓ³n de Bernoulli nuevamente entre los puntos 2 y 4:
π2π Β· π
+π2β42
2 Β· π+ π§2 =
π4π Β· π
+π42
2 Β· π+ π§4 + ββ2β4
Tal y como se observa en la figura del enunciado, los puntos 2 y 4 se encuentran a la misma
altitud (Z), y por lo tanto podemos afirmar que π2 = π4. Y entonces:
π2π Β· π
=π4π Β· π
+ 3000 Β· π2β42 [3]
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Aplicando otra vez Bernoulli pero entre los puntos 4 y 5:
π4π Β· π
+π4β52
2 Β· π+ π§4 =
π5π Β· π
+π52
2 Β· π+ π§5 + ββ4β5
Siguiendo el mismo razonamiento que en el depΓ³sito 3, afirmamos que el depΓ³sito 5 tiene la
secciΓ³n muy grande comparada con la secciΓ³n de los conductos, y por eso consideramos que la
velocidad en el depΓ³sito es menospreciable (π5 β 0). De forma que:
π4π Β· π
+π4β52
2 Β· π+ 20 = 40 + 10000 Β· π4β5
2 [4]
Aplicando Bernoulli entre los puntos 4 y 6
π4π Β· π
+π4β62
2 Β· π+ π§4 +π»π4β6 =
π6π Β· π
+π62
2 Β· π+ π§6 + ββ4β6
Siguiendo el mismo razonamiento que en el depΓ³sito 3 y 5, podemos igualmente afirmar que
el depΓ³sito 6 tiene la secciΓ³n muy grande comparada con la secciΓ³n de los conductos, y por lo
tanto se puede considerar que la velocidad del depΓ³sito es menospreciable (π6 β 0). Y de
manera que como en los casos anteriores tenemos:
π4π Β· π
+π4β62
2 Β· π+ 20 + 40 β 6000 Β· π4β6
2 = 80 + 6000 Β· π4β62 [5]
Como de entrada no se conocen los diΓ‘metros de los conductos, los tΓ©rminos
π1β22
2Β·π,π2β32
2Β·π,π2β42
2Β·π,π4β52
2Β·π,π4β62
2Β·π son muy pequeΓ±os en comparaciΓ³n con los otros tΓ©rminos, y se
pueden despreciar. Teniendo en cuenta que las incΓ³gnitas de las ecuaciones anteriores son los
cabales de cada tramo i las presiones en las intersecciones 2 y 4, debemos aplicar la ecuaciΓ³n
de continuidad en estos puntos y asΓ obtener un sistema del mismo nΓΊmero tanto en
ecuaciones como en incΓ³gnitas.
Aplicamos esta ecuaciΓ³n de continuidad en la intersecciΓ³n 2, y obtenemos la siguiente
expresiΓ³n:
π1β2 = π2β3 + π2β4 [6]
En la intersecciΓ³n 4, tenemos:
π2β4 = π4β5 + π4β6 [7]
Y resolviendo el sistema de ecuaciones correspondiente a todas las ecuaciones encontradas a
lo largo del desarrollo, [1] a [7], determinadas en el siguiente parΓ©ntesis:
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{
100 β 3000 Β· π1β2
2 =π2π Β· π
+π1β22
2 Β· π+ 20 + 5000 Β· π1β2
2
π2π Β· π
+π2β32
2 Β· π+ 20 = 50 + 8000 Β· π2β3
2
π2π Β· π
=π4π Β· π
+ 3000 Β· π2β42
π4π Β· π
+π4β52
2 Β· π+ 20 = 40 + 10000 Β· π4β5
2
π4π Β· π
+π4β62
2 Β· π+ 20 + 40 β 6000 Β· π4β6
2 = 80 + 6000 Β· π4β62
π1β2 = π2β3 + π2β4π2β4 = π4β5 + π4β6 }
Obtenemos los siguientes valores de Q i P:
{
π12 = 0.07519 π
3/π
π23 = 0.02443 π3/π
π24 = 0.05076 π3/π
π45 = 0.02654 π3/π
π46 = 0.02452 π3/π
π2 = 3.4112 Β· 105 ππ
π4 = 2.6529 Β· 105 ππ}
Apartado 2:
Como en el primer apartado del problema hemos determinado los cabales que circulan en
cada tramo, ya podemos calcular directamente el diΓ‘metro de cada conducto, acordΓ‘ndonos
de que las pΓ©rdidas de energΓa debidas a la fricciΓ³n entre el conducto y el fluido vienen
determinadas por la ecuaciΓ³n de Darcy-Weisbach:
ββπβπ = πΎπβπ Β· ππβπ2 = fi Β·
πΏπβπ
π·πβπ5 Β·
8ππβπ2
π2 Β· π
π·πβπ = βfi Β·πΏπβπ
πΎπβπΒ·
8
π2 Β· π
5
En el enunciado del problema se especifican los valores de πΎπβπ; la longitud de todos los
tramos que es πΏ = 500 π; y f = 0.02 en todos los tramos.
- Tramo 1-2:
π·πβπ = β0.02 Β·500
5000Β·
8
π2 Β· 9.81
5
= 0.17524 π
- Tramo 2-3:
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π·πβπ = β0.02 Β·500
8000Β·
8
π2 Β· 9.81
5
= 0.15752 π
- Tramo 2-4:
π·πβπ = β0.02 Β·500
3000Β·
8
π2 Β· 9.81
5
= 0.19409 π
- Tramo 4-5:
π·πβπ = β0.02 Β·500
10000Β·
8
π2 Β· 9.81
5
= 0.15255 π
- Tramo 4-6:
π·πβπ = β0.02 Β·500
6000Β·
8
π2 Β· 9.81
5
= 0.16896 π
TambiΓ©n queremos remarcar que los diΓ‘metros obtenidos no son posibles en realidad, ya que
no existen conductos con estas dimensiones.
Apartado 3:
Para poder mejorar el sistema de distribuciΓ³n del agua, calculamos inicialmente cuΓ‘l es la
velocidad del fluido en cada tramo. De los apartados anteriores, conocemos el cabal y el
diΓ‘metro correspondiente en cada tramo, y por esta razΓ³n podemos calcular la velocidad
siguiendo lo siguiente:
ππβπ = ππβπ Β· π = ππβπ Β· π Β· (π·πβπ2
4) ; ππβπ =
4 Β· ππβπ
π Β· π·πβπ2
- Tramo 1-2:
ππβπ =4 Β· 0.075189
π Β· 0.175242= 3.11743 π/π
- Tramo 2-3:
ππβπ =4 Β· 0.024426
π Β· 0.157522 = 1.25340 π/π
- Tramo 2-4:
ππβπ =4 Β· 0.050763
π Β· 0.194092= 1.71574 π/π
- Tramo 4-5:
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ππβπ =4 Β· 0.026538
π Β· 0.15255 2= 1.45193 π/π
- Tramo 4-6:
ππβπ =4 Β· 0.0245225
π Β· 0.168962= 1.08047 π/π
Observamos entonces que hay dos posibles mejoras:
1. Velocidad del fluido cercana a 1m/s en todos los tramos. 2. DiΓ‘metros de los conductos que existen en realidad.
Para conseguirlas, debemos determinar cuΓ‘l es el diΓ‘metro necesario en los conductos para
que la velocidad del fluido sea 1m/s.
- Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2:
100 β 3000 Β· π1β22 =
π2π Β· π
+π1β22
2 Β· π+ 20 + 5000 Β· π1β2
2
100 β 3000 Β· (π12 Β· π Β·π·122
4)
2
=π2π Β· π
+1
2 Β· π+ 20 + 5000 Β· (π12 Β· π Β·
π·122
4)
2
100 β 3000 Β· (π Β·π·122
4)
2
=π2π Β· π
+1
2 Β· π+ 20 + 5000 Β· (π Β·
π·122
4)
2
- Aplicando Bernoulli entre los puntos 2 y 3:
π2π Β· π
+π2β32
2 Β· π+ 20 = 50 + 8000 Β· π2β3
2
π2π Β· π
+1
2 Β· π+ 20 = 50 + 8000 Β· (π23 Β· π Β·
π·232
4)
2
π2π Β· π
+1
2 Β· π+ 20 = 50 + 8000 Β· (π Β·
π·232
4)
2
- Aplicando Bernoulli entre los puntos 2 y 4:
π2π Β· π
=π4π Β· π
+ 3000 Β· π2β42
π2π Β· π
=π4π Β· π
+ 3000 Β· (π24 Β· π Β·π·242
4)
2
π2π Β· π
=π4π Β· π
+ 3000 Β· (π Β·π·242
4)
2
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19
- Aplicando Bernoulli entre los puntos 4 y 5:
π4π Β· π
+π4β52
2 Β· π+ 20 = 40 + 10000 Β· π4β5
2
π4π Β· π
+1
2 Β· π+ 20 = 40 + 10000 Β· (π45 Β· π Β·
π·452
4)
2
π4π Β· π
+1
2 Β· π+ 20 = 40 + 10000 Β· (π Β·
π·452
4)
2
- Aplicando Bernoulli entre los puntos 4 y 6:
π4π Β· π
+π4β62
2 Β· π+ 20 + 40 β 6000 Β· π4β6
2 = 80 + 6000 Β· π4β62
π4π Β· π
+1
2 Β· π+ 20 + 40 β 6000 Β· (π46 Β· π Β·
π·462
4)
2
= 80 + 6000 Β· (π46 Β· π Β·π·462
4)
2
π4π Β· π
+1
2 Β· π+ 20 + 40 β 6000 Β· (π Β·
π·462
4)
2
= 80 + 6000 Β· (π Β·π·462
4)
2
Y ahora aplicando las ecuaciones de continuidad a las intersecciones 2 y 4:
- IntersecciΓ³n 2:
π1β2 = π2β3 + π2β4
π12 Β· π Β·π·122
4= π23 Β· π Β·
π·232
4+ π24 Β· π Β·
π·242
4
π·122 = π·23
2 +π·242
- IntersecciΓ³n 4:
π2β4 = π4β5 + π4β6
π24 Β· π Β·π·242
4= π45 Β· π Β·
π·452
4+ π46 Β· π Β·
π·462
4
π·242 = π·45
2 + π·462
Y resolviendo el sistema definido en el siguiente parΓ©ntesis:
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20
{
100 β 3000 Β· (π Β·
π·122
4)
2
=π2π Β· π
+1
2 Β· π+ 20 + 5000 Β· (π Β·
π·122
4)
2
π2π Β· π
+1
2 Β· π+ 20 = 50 + 8000 Β· (π Β·
π·232
4)
2
π2π Β· π
=π4π Β· π
+ 3000 Β· (π Β·π·242
4)
2
π4π Β· π
+1
2 Β· π+ 20 = 40 + 10000 Β· (π Β·
π·452
4)
2
π4π Β· π
+1
2 Β· π+ 20 + 40 β 6000 Β· (π Β·
π·462
4)
2
= 80 + 6000 Β· (π Β·π·462
4)
2
π·122 = π·23
2 +π·242
π·242 = π·45
2 + π·462 }
Obtenemos que:
{
π·12 = 0.40176 ππ·23 = 0.25769 ππ·24 = 0.30840 ππ·45 = 0.22272 ππ·46 = 0.21280 π
π2 = 5.0804 Β· 105 ππ
π4 = 3.4460 Β· 105 ππ}
Obviamente estos conductos no existen en la realidad, y aproximando los diΓ‘metros hemos
obtenido los siguientes valores:
π·12(ππππ) = 0.40 π
π·23(ππππ) = 0.25 π
π·24(ππππ) = 0.30 π
π·45(ππππ) = 0.25 π
π·46(ππππ) = 0.20 π
Una vez definidos los valores de los diΓ‘metros reales, calculamos el valor de los cabales de
cada tramo, utilizando las expresiones siguientes:
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{
100 β 3000 Β· π1β2
2 =π2π Β· π
+8 Β· π1β2
2
π2 Β· π Β· 0.44+ 20 + 0.02 Β·
500
0.45Β·8 Β· π1β2
2
π2 Β· π
π2π Β· π
+π2β32
π2 Β· π Β· 0.254+ 20 = 50 + 0.02 Β·
500
0.255Β·8 Β· π2β3
2
π2 Β· π
π2π Β· π
=π4π Β· π
+ 0.02 Β·500
0.305Β·8 Β· π2β4
2
π2 Β· π
π4π Β· π
+π4β52
π2 Β· π Β· 0.254+ 20 = 40 + 0.02 Β·
500
0.255Β·8 Β· π4β5
2
π2 Β· π
π4π Β· π
+π4β62
π2 Β· π Β· 0.204+ 20 + 40 β 6000 Β· π4β6
2 = 80 + 0.02 Β·500
0.205Β·8 Β· π4β6
2
π2 Β· ππ1β2 = π2β3 + π2β4π2β4 = π4β5 + π4β6 }
Obtenemos:
{
π12 = 0.12708 π
3/π
π23 = 0.01555 π3/π
π24 = 0.11152 π3/π
π45 = 0.08507 π3/π
π46 = 0.02645 π3/π
π2 = 2.9626 Β· 105 ππ
π4 = 2.5477 Β· 105 ππ}
; ππβπ =4 Β· ππβπ
π Β· π·πβπ2
Y asΓ, en cada uno de los tramos tenemos que:
- Tramo 1-2:
ππβπ =4 Β· 0.127076
π Β· 0.42= 1.0112 π/π
- Tramo 2-3:
ππβπ =4 Β· 0.0155529
π Β· 0.252 = 0.3168 π/π
- Tramo 2-4:
ππβπ =4 Β· 0.111523
π Β· 0.32= 1.577 π/π
- Tramo 4-5:
ππβπ =4 Β· 0.085068
π Β· 0.25 2= 1.733 π/π
- Tramo 4-6:
ππβπ =4 Β· 0.0264548
π Β· 0.22= 0.84208 π/π
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Problema 4. En una central tΓ©rmica de producciΓ³n de energΓa elΓ©ctrica se tiene una
instalaciΓ³n cuyo esquema se muestra a continuaciΓ³n, siendo el fluido de trabajo agua.
Se sabe que la presiΓ³n y la temperatura en la caldera de vapor son de P = 2 bar (absoluta), T
= 400ΒΊC, y que en la turbina se produce una expansiΓ³n adiabΓ‘tico-isentrΓ³pica con un salto
entΓ‘lpico de 777 KJ/Kg. (ConsidΓ©rese este salto entre los puntos 3 y 6.)
Si las pΓ©rdidas de carga en la tuberΓa de aspiraciΓ³n son Ξh = 104 Q2 y en la tuberΓa de
impulsiΓ³n Ξh = 312 Q2, siendo Q [m3/s], Ξh [m columna de agua], y sabiendo que la bomba
que se utiliza es el modelo 150/315, con un diΓ‘metro de rodete de 270 mm, (y se considera
que la cota del nivel del lΓquido del condensador estΓ‘ 1m por encima de la cota del nivel del
lΓquido de la caldera,) se pide hallar:
1. El punto de funcionamiento de la bomba.
2. La cota Z (respecto al nivel del lΓquido del
condensador) a la que hay que colocar la bomba
para que no se produzca cavitaciΓ³n.
3. Debido a que se ha hecho un reajuste en el
proceso, se precisa aumentar el caudal en un 20%. Si
al motor de accionamiento de la bomba se le acopla
un variador de frecuencia, determine a quΓ©
revoluciones deberΓa girar para que la bomba
suministre el nuevo caudal. ΒΏCon quΓ© rendimiento
trabaja ahora la bomba?
Antes de empezar debemos encontrar las condiciones termodinΓ‘micas que nos faltan a partir
de los diagramas adjuntos en el enunciado.
En la caldera, que es el punto 3, el enunciado
nos dice que:
π3 = 2πππ
π3 = 400ΒΊπΆ
dΓ³nde la presiΓ³n es absoluta.
En el segundo diagrama (el que muestra
entalpΓa-entropΓa para el vapor de agua)
buscamos el punto que se corresponde a 2bar
y 400ΒΊC:
β3 = 3250πΎπ/πΎπ
En la figura de la derecha mostramos el punto
de intersecciΓ³n encontrado con un punto azul.
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Hemos estimado el valor de β3, pues es muy difΓcil encontrar el valor exacto.
Por otro lado, el enunciado indica que el salto entΓ‘lpico entre 3 y 6 es de 777Kj/Kg con una
expansiΓ³n adiabΓ‘tico-isentrΓ³pica.
β6 = (3250 β 777)πΎπ/πΎπ β 2500πΎπ½/πΎπ
Introduciendo esta entalpΓa en el diagrama anterior encontramos (marcado en punto rojo):
π6 = 0,05πππ
π6 = 35ΒΊπΆ
Habiendo encontrado esto ya podemos empezar con el ejercicio.
1. El punto de funcionamiento de la bomba.
Primero de todo aplicamos Bernoulli entre las superficies libres del condensador (subΓndice co)
y la caldera (subΓndice ca):
πππππ
+ πππ +πππ
2
2π+ π» =
πππππ
+ πππ +πππ
2
2π+ ββ7β2
dΓ³nde ββ7β2 es la variaciΓ³n de entalpΓa entre el punto 7 y el 2.
De aquΓ aislamos H:
π» =πππ β πππππ
+ πππ β πππ +πππ
2 β πππ2
2π+ ββ7β2
Considerando despreciables las energΓas cinΓ©ticas en las superficies libres de los depΓ³sitos:
π» =πππ β πππππ
+ πππ β πππ + ββ7β2
Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente tenemos:
π» =(2 β 0,05)105
1000 Β· 9,81β 1 + 416π2
π» = 18,877 + 416π2 (1)
La intersecciΓ³n entre esta curva y la curva caracterΓstica de la bomba da lugar al punto de
funcionamiento. Para obtenerla primero cogemos una serie de puntos de la grΓ‘fica de la
bomba, pasando el cabal a m3/s:
Q (m^3/h) Q (m^3/s) H
0 0 24
50 0,01388889 24
100 0,02777778 24
150 0,04166667 23,5
200 0,05555556 23
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250 0,06944444 22
300 0,08333333 18
350 0,09722222 14
Ahora trazamos en una misma grΓ‘fica estos puntos unidos por una lΓnea continua y la ecuaciΓ³n
(1) obtenida:
π = 0,0726π3/π = 261,36π3/β
π» = 21,0912π
2. La cota Z (respecto al nivel del lΓquido del condensador) a la que hay que colocar la bomba
para que no se produzca cavitaciΓ³n.
Aplicamos Bernoulli entre las superficies libres del condensador (subΓndice co) y la bomba
(subΓndice 8):
πππππ
+ πππ +πππ
2
2π=π8ππ
+ π8 +π82
2π+ ββ7β8
πππ β π8 =π8 β πππππ
+π82 β πππ
2
2π+ ββ7β8
Como no se conoce el diΓ‘metro del conducto y el tΓ©rmino de energΓa cinΓ©tica de la brida de
aspiraciΓ³n de la bomba es mucho mayor que en el condensador se desprecian ambos
tΓ©rminos. Por tanto NPSDHd queda:
ππππ»π =π8ππ
βππ£ππππππ
Sustituyendo en Bernoulli:
πππ β π8 = ππππ»π +ππ£ππππππ
βπππππ
+ ββ7β8
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En el punto de cavitaciΓ³n incipiente se cumple que:
ππππ»π = ππππ»π
Buscamos en la grΓ‘fica de la curva caracterΓstica de la bomba el valor de ππππ»π para un
caudal de π = 261,36π3/β:
Se cumple aproximadamente ππππ»π = 3π.
Ahora suponiendo que la temperatura del lΓquido en el condensador es la misma que en la
bomba (35ΒΊC), la presiΓ³n del vapor tambiΓ©n serΓ‘ la misma que la del condensador (0,05bar):
πππ β π8 = 3 +0,05 Β· 105
ππβ0,05 Β· 105
ππ+ 104(
261,36
3600)2
= 3,55π
3. Debido a que se ha hecho un reajuste en el proceso, se precisa aumentar el caudal en un
20%. Si al motor de accionamiento de la bomba se le acopla un variador de frecuencia,
determine a quΓ© revoluciones deberΓa girar para que la bomba suministre el nuevo caudal.
ΒΏCon quΓ© rendimiento trabaja ahora la bomba?
Nuevo caudal de trabajo: πβ² = 261,36 β 1,2π3/β = 313,63π3/β
Aplicando la ecuaciΓ³n (1) obtenida en el apartado 1 encontramos la nueva altura de
funcionamiento:
π» = 18,877 + 416(313,63
3600)2
= 22,03π
La constante de una curva que pase por el nuevo punto de trabajo se denomina curva de
afinidad y se halla como:
ββ = πΎπ2
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πΎ =22,03
(313,633600
)2 = 2903,123
Trazamos en la grΓ‘fica que ya habΓamos usado antes una 2Βͺ ecuaciΓ³n, ββ = 2903,123π2, y
hallamos el punto de intersecciΓ³n con la curva inicial:
π = 0,0805π3/π = 289,8π3/β
π» = 18,813π
Aplicamos entre los puntos {π» = 22,03π, π = 313,63π3/β} y {π» = 18,813π, π =
289,8π3/β} los grupos adimensionales, cifra caracterΓstica, altura de elevaciΓ³n y cifra
caracterΓstica de caudal:
π»1
π€12π·1
2 =π»2
π€22π·2
2
Consideramos los diΓ‘metros iguales:
22,03
π€12=18,813
14502 β π€1 = 1569,08πππ
El rendimiento al que trabaja la bomba serΓ‘ prΓ‘cticamente el mismo que antes, segΓΊn
observamos en la grΓ‘fica caracterΓstica.