IES Mediterráneo de Málaga Resto 2000 Juan Carlos Alonso Gianonatti

1

A

CB

P Q

H RS

( )

( )

==−=⋅−=

=⇒⇒<−==⇒=

⇒=⋅⇒=⋅−⇒=⇒⋅−=⋅−

⋅−==

⇒

⋅−⋅=⇒⋅−=⇒⋅=⋅−

⇒

⋅=

=−

⇒=−

⇒=

−

⇒=−

⇒=

cm92

182

181862318QR

cm6PQMáximo03

PQd

Sd'S6PQ

18PQ30PQ3180'SPQ318PQ23PQ

2318

PQddS'S

PQ2318PQSPQ

2318QRQR2PQ336

QRPQS

QR

3

PQ12

2

QR

3

2

PQ12

1

QR

3

2

PQ6

1

QR

18

HRCH

6

QR

AH

CR

CH

2

2

IES Mediterráneo de Málaga Resto 2000 Juan Carlos Alonso Gianonatti

2

Es un plano π que tiene como vector director el del plano α que contiene a los tres puntos, vector que es perpendicular al determinado por P y G siendo este el punto generador de la recta y por lo tanto su producto escalar es nulo y la ecuación del plano pedido.

Previamente tenemos que determinar el plano α , este se halla gracias a los vectores AB, AC y AG, siendo G el punto generador del plano, como los tres son coplanarios este ultimo es combinación lineal de los otros dos y el determinante de la matriz que forman es nulo y la ecuación pedida del plano

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )u

510

10102

10

2

013

24

CBA

'DD,d

02yx301y1x303z,1y,1x0,1,3

0PGvPGv3z,1y,1x3,1,1z,y,xPG

0,1,3vv

04yx301x31y

01311002z1y1x

2z,1y,1x2,1,1z,y,xAG1,3,12,1,11,2,2AC

1,0,02,1,11,1,1AB

222222==

−=

++

−−−=

++

−=πα

⇒=−+≡π⇒=++−⇒=−+−

⇒=⋅⇒⊥⇒

−+−=−−===

=−+≡α⇒=−−−−

⇒=−−−−−−

≡α⇒

−−−=−=−−=−−=

−=−=

ππαπ

IES Mediterráneo de Málaga Resto 2000 Juan Carlos Alonso Gianonatti

3

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

4xencontinuaesNo

53xflimxflim4f5xflim

358165424xflim4f

1xenContinua

2xflimxflim1f25215121xflim

2112

2xflim1f

4x4x4x

2

4x

1x1x2

1x

1x

=

⇒≠⇒≠=⇒

=

=−−=−⋅−==

−=

⇒−===−⇒

−=−+=−−⋅−−=

−=+−⋅

==−

−+−−−+

−−

−+−−

−+

−−

→→→

→

−→−→

−→

−→

Al no ser continua ya no es derivable en x = 4, veamos si lo es en x = -1

( )( ) ( )

( )[ ]( ) ( )

( ) ( )x'flimx'flim4212x'flim

4112

4x'flim

4xsi04x1si2x2

1xsi1x2

4

x'f1x1x

1x

21x

2

−+−−

−+

−−

−→−→

−→

−→ =⇒

−=−−⋅=

−=+−⋅

−=⇒

><<−

−<+

−

=

Es derivable en x = -1

IES Mediterráneo de Málaga Resto 2000 Juan Carlos Alonso Gianonatti

4

Llamando t a la recta que se busca, después de hallar su vector director como diferencia entre los valores de los puntos de apoyo de las rectas, tenemos que tiene que ser perpendicular a los dos vectores directores de las rectas y por lo tanto sus productos escalares son nulos

( )[ ] ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )

=

β+−=β+=

≡⇒

=

−==

⇒

≡

=

−−+⋅−=⇒=µ

⇒−=µ⇒=µ+⇒=λ⇒=λ⇒

=µ+λ⇒=µ−λ−=µ+λ⇒=µ+λ+−+λ+λ+−

=µ−λ−+λλ−⋅⇒=⋅⇒⊥=µ−λ−+λλ−⋅−−⇒=⋅⇒⊥

⇒

=−−=

µ−λ−+λλ−=µ−λ−−−λ−λ−=⇒

µ=−==

≡

λ−=λ=λ−=

≡

⇒−=⇒=−+−⇒−=

58z

23y2x

t

58z

3y2x

PtrectalapasaqueelporPPunto

0,2,10,522,

511

58

573,3

57,

5725v

58

5733

57

5775

303106033410

03,3,251,0,00vvvv03,3,251,1,20vvvv

1,0,0v1,1,2v

3,3,253,3,227v

z3y

2xs

3zy

27xr

y3z4zyy27y27x

t

rtst

rtrt

s

r

t

IES Mediterráneo de Málaga Resto 2000 Juan Carlos Alonso Gianonatti

5

( )

>⇒>−>

⇒>−⇒>−4x04x

0x0x4x0x4x 2

∞− 0 4 ∞

x > 0 ( - ) ( + ) ( + )

x > 4 ( - ) ( - ) ( + )

Solución ( + ) ( - ) ( + )

( )

>−≤<+−

≤−=

4xsix4x4x0six4x

0xsix4xxf

2

2

2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7

( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2

54

254

340

240

302

202

352

4

0

5

4

225

2

25

2

22

22

u3

181356240

369

364188492

361162

36442

38712A

x214x

31x

214x

31x

214x

31x12A

dxx4xdxx4xdxx4xdx12A

soluciónSin012x4x12x4x2x

5x012x4x12x4xfuncionesentrecortedePuntos

=−=−−++=⋅+−⋅−+⋅−−⋅=

⋅+−⋅−+⋅+−⋅=

=−−+−−−−=

⇒=+−⇒=+−

−==

⇒=−−⇒=−⇒

−−−

−−∫ ∫∫∫

IES Mediterráneo de Málaga Resto 2000 Juan Carlos Alonso Gianonatti

6

{ } ( )

leIncompatibSistemasoluciónSin031z31z0

311

1

000090212

271

1

0360090212

31

1

040090212

22

1

252282

212

211

252141212

2aSi

adominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang0A2a

2a018a90ASi18a9a1016102a8a52141212

A

⇒⇒−=⇒−=⇒

−−

−≡

≡

−−

−

−≡

−

−≡

−

−−−−−

−≡

−−

−

=

⇒==⇒≠⇒−ℜ∈∀

=⇒=−⇒=⇒−=++−−−=−

−=

( ) ( )

−==

⇒≥=+−=∆⇒=−−

=⇒=−−⇒=−−

−−−−

+−=−−

−−−

−−

−−

−−+−

−++−

−−−−−

1x2x

098102xx

0x0x2xx0x2xx

x2xx2x72x

x2xx2x3x3x

2x7

x4x2x22x3x2x2

2xx2xx

x2xx2x3x3x

22223

2323

34

23

23

234

2334

IES Mediterráneo de Málaga Resto 2000 Juan Carlos Alonso Gianonatti

7

Continuación del Problema A del Cuarto Bloque

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

K2x2x

1x1xxlnx2x

21

2x

1xxlnx2x21

t

xulnx2x21uln

35tln

38xlnx2x

21

tdu

35

tdt

38xlnx2x

21

dudxu1xdtdxt2x

1xdx

35

2xdx

38

xdxdx2xdx

x2xx2x3x3x

1x35

2x38

x12x

x2xx2x3x3x

35C38B

1A

5C3217211C111B1121A1x16B6227222C122B1222A2x2A2207200C100B1020A0x

2x72xxC1xxB1x2xA1x2xx

2xxC1xxB1x2xA1x

C2x

BxA

1x2xx2x7

1x2xx2x72x

x2xx2x3x3x

3 22

3 22

38

35

2

38

35

222

23

34

23

34

23

34

+−−

+++−=

−

++−=

=+−=+−+−=+−+−=

=⇒=+=⇒=−

=+

+−

−+−=−−

−−−

++

−

−++−=

−−−−−

⇒

=

−=

=

=⇒−−−=−−−++−−++−−−⇒−=−=⇒−⋅−=−⋅⋅++⋅⋅++−⇒=−=−⇒−⋅−=−⋅⋅++⋅⋅++−⇒=

⇒−−=−++++−

⇒+−

−++++−=

++

−+=

+−−−

+−−−

+−=−−

−−−

∫∫

∫ ∫∫ ∫ ∫

IES Mediterráneo de Málaga Resto 2000 Juan Carlos Alonso Gianonatti

8

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

⋅

−

−=

−−−

⋅−

⋅=

⋅

−−−

⋅−

⋅=⇒

−−−

−=−

⇒

−−−

=−⇒

−−−=−

−−

=−⇒−∃⇒≠−=−−−

=−

−

−−=

−−−

−

−=

−−−

−

⋅

=−

≠− →−

−=

⇒−=⇒−=−−⇒=−

−

−−

−

−−−

340

310

16420

20524630

312X

101221

21312730300

312X

21312730300

31CAB

21312730300

CABadj003013196

CAB

CABadjCAB

1CABCABExiste03001019336

CAB

001019336

111321621

112318317

111321621

112113

101221

CAB

0CABinversatieneCABsiVeamosACAB2X

ACAB2IXACAB2XCABCABA2XCAB

1

tt

t11

necesariacondicion

1

111