Envy free makespan approximation

Envy-freemakespan

approximation

Vincenzo DeMaio

Sommario

Introduzione

Definizioni dibase

Envy-freenessvs Incentive-compatibility

Algoritmo perjob indivisibili

Upper bound

Lower bound

Bibliografia

Envy-free makespan approximationStrumenti di teoria dei giochi per l’informatica

Vincenzo De Maio

Universita‘ degli studi di Salerno

05/07/2010

Meglio essere invidiati che essere compatitiErodoto, 484-430 A.C.

Envy-free makespan approximation 1/27

Envy-freemakespan

approximation

Vincenzo DeMaio

Sommario

Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia

1 Introduzione

2 Definizioni di base

3 Envy-freeness vs Incentive-compatibility

4 Algoritmo per job indivisibiliUpper boundLower bound

5 Bibliografia


Envy-freemakespan

approximation

Vincenzo DeMaio

Sommario

Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia

Descrizione del problema

Nell’articolo viene presentato un meccanismo Envy-free per loscheduling di task (divisibili o meno) su macchine non correlateche approssima il minimum-makespan.


Envy-freemakespan

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Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia

Definizione del problema

Abbiamo:

• m macchine (bidder)

• n tasks (gli oggetti da assegnare ai bidder)

• Una matrice Cm×n tale che cij e‘ il tempo di esecuzioneper il task j sulla macchina i .

• Una matrice Am×n tale che• aij contiene la frazione del task j assegnata a i•∑

j∈[m] aij = 1 ∀i ∈ [n]


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Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia


Abbiamo:





j∈[m] aij = 1 ∀i ∈ [n]


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Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia


Abbiamo:





j∈[m] aij = 1 ∀i ∈ [n]


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Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia


Abbiamo:





j∈[m] aij = 1 ∀i ∈ [n]


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Sommario

Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia


Abbiamo:




• Una matrice Am×n tale che

• aij contiene la frazione del task j assegnata a i•∑

j∈[m] aij = 1 ∀i ∈ [n]


Envy-freemakespan

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Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia


Abbiamo:




• Una matrice Am×n tale che• aij contiene la frazione del task j assegnata a i

•∑

j∈[m] aij = 1 ∀i ∈ [n]


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Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia


Abbiamo:





j∈[m] aij = 1 ∀i ∈ [n]


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Sommario

Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia

Meccanismi envy-free

Definiamo quindi il meccanismo M = (a, p) con

• a : Cm×n 7→ Am×n e‘ la funzione di allocazione

• p : Cm×n 7→ <n e‘ la funzione dei pagamenti

L’utilita‘ dei singoli agenti viene dunque definita come

ui = p(C )i − c i ∗ a(c)i

Definizione

M si dice Envy-free se∀1 ≤ i , j ≤ m

p(C )i − c i ∗ a(c)i ≥ p(C )j − c i ∗ a(c)j


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Introduzione

Definizioni dibase



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Lower bound

Bibliografia







Definizione




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Definizioni dibase



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Lower bound

Bibliografia







Definizione




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Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia







Definizione




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Definizioni dibase



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Lower bound

Bibliografia







Definizione




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Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia

Funzioni localmente efficienti

Una funzione di allocazione a e‘ detta Localmente efficientese per ogni matrice di costo C e per ogni permutazione π di[1, . . . ,m] vale che

m∑i=1

ci ∗ a(c)i ≤m∑i=1

ci ∗ a(c)π(i)


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Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia

Envy-free implementability

Una funzione di allocazione a viene detta Envy-freeimplementable se esiste una funzione pagamento p tale cheM = (a, p) e‘ envy-free.

Teorema

Una funzione di allocazione a e‘ EF-implementable ⇔ a e‘Localmente efficiente[1]


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Introduzione

Definizioni dibase



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Lower bound

Bibliografia

Envy-free implementability

Una funzione di allocazione a viene detta Envy-freeimplementable se esiste una funzione pagamento p tale cheM = (a, p) e‘ envy-free.

Teorema

Una funzione di allocazione a e‘ EF-implementable ⇔ a e‘Localmente efficiente[1]


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Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia

Relazioni tra envy-freeness eincentive-compatibility

E‘ universalmente noto che envy-freeness eincentive-compatibility non sono collegate; in particolare

1 Incentive-compatibility ; Envy-freeness

2 Envy-freeness ; Incentive-compatibility

Consideriamo il caso in cui abbiamo 2 macchine e 2 task.


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Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia

Sia

f t =

v1(1) ≥ 1⇒ bidder 1 ottiene un elementov2(1) ≥ 4⇒ bidder 2 ottiene un elemento

• Questa funzione e‘ chiaramente incentive-compatible conp1 = 1 e p2 = 4.

• Ma con v1(1) = 2 e v2(1) = 3 ?

• Quindi Incentive-compatibility ; Envy-freeness


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Lower bound

Bibliografia

Sia

f t =



• Ma con v1(1) = 2 e v2(1) = 3 ?



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Lower bound

Bibliografia

Sia

f t =



• Ma con v1(1) = 2 e v2(1) = 3 ?



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Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia

Sia

f t =



• Ma con v1(1) = 2 e v2(1) = 3 ?



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Introduzione

Definizioni dibase



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Lower bound

Bibliografia

Sia

f e =

v1 = v2 ⇒ tutti gli elementi allocati a 2vi (1) ≥ 4⇒ bidder i ottiene un elemento

• f e e‘ localmente efficiente =⇒ f e e‘ envy-free

• f e e‘ monotona?

• Quindi Envy-freeness ; Incentive-compatibility


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Introduzione

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Lower bound

Bibliografia

Sia

f e =






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Introduzione

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Upper bound

Lower bound

Bibliografia

Sia

f e =






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Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

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Bibliografia

Sia

f e =






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Introduzione

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Upper bound

Lower bound

Bibliografia

Algoritmo

• Ora presenteremo un algoritmo polinomiale cheapprossima di un fattore O(logm ∗ OPT ) il minimummakespan envy-free.

• Assumiamo che l’algoritmo inizi con un’allocazione OPTche minimizza il makespan.

• L’allocazione fissa un partizionamento dei job in bundlesB = b1, . . . , bm• Dove bi e‘ l’insieme dei job allocati alla macchina i

• Per un insieme di bundles D = djkj=1 con k ≤ mdenotiamo con LE (D) un assegnamento localmenteefficiente per D


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Introduzione

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Lower bound

Bibliografia

Algoritmo






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Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia

Algoritmo



• L’allocazione fissa un partizionamento dei job in bundlesB = b1, . . . , bm

• Dove bi e‘ l’insieme dei job allocati alla macchina i



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Bibliografia

Algoritmo






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Bibliografia

Algoritmo






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Introduzione

Definizioni dibase



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Lower bound

Bibliografia

All’inizio di ogni fase abbiamo un sottoinsieme dei bundle chenon sono ancora stati assegnati.

1 Troviamo un assegnamento localmente efficiente deibundles

2 Se tra le macchine ce n’e‘ una che ha un carico maggioredi 2OPT

3 Scartiamo tutti i bundles assegnati a queste macchine

4 Ripetiamo finche‘ il makespan e‘ ≤ 2OPT


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Introduzione

Definizioni dibase



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Bibliografia







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Bibliografia







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Bibliografia







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Bibliografia







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Definizioni dibase



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Bibliografia

FIND-APPROX(B,c)q ← 0Bout ← ∅Bactive ← Bwhile Bactive 6= ∅ do

q ← q + 1a← LE(Bactive)while makespan(a) > 2OPT do

for all i doif ci ∗ ai > 2OPT then

Bout ← Bout ∪ aiBactive ← Bactive \ ai

end ifa← LE(Bactive)

end forend whileaq ← aBactive ← Bout

Bout ← ∅end whileai = ∪q

j=1aji

return a


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Bibliografia

Upper bound

Teorema

L’allocazione a restituita dall’algoritmo FIND − APPROX e‘localmente efficiente e il suo makespan e‘ O(logm ∗ OPT )

Lemma 1Durante una fase dell’algoritmo, non vengono scartati piu‘ di k

2bundles.

Lemma 2Quando l’algoritmo termina, q ≤ logm + 1

Lemma 3Sia c una matrice di costi e siano b e b

′due assegnamenti di

diversi insiemi di jobs allo stesso insieme di macchine. Sia al’assegnamento tale che per ogni i , ai = bi ∪ b

′i . Se b e b′ sono

localmente efficienti, anche a lo e‘.


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Lower bound

Bibliografia

Upper bound

Teorema



2bundles.








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Lower bound

Bibliografia

Upper bound

Teorema



2bundles.








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Bibliografia

Upper bound

Teorema



2bundles.








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Introduzione

Definizioni dibase



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Bibliografia

Lemma 1


2bundles.

• Consideriamo l’insieme di bundles Bactive = bi1, . . . , bik,k = ‖Bactive‖

• Sia ai il bundle assegnato alla macchina idall’assegnamento LE (Bactive)

•∑m

i=1 ci ∗ ai ≤∑k

j=1 ci j ∗ bi j ≤ k ∗ OPT• Il loop interno viene ripetuto al piu‘ k∗OPT

2∗OPT = k2 volte

=⇒ al piu‘ k bundles possono essere scartati.


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Bibliografia

Lemma 1


2bundles.



•∑m



2∗OPT = k2 volte



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Bibliografia

Lemma 1


2bundles.



•∑m



2∗OPT = k2 volte



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Upper bound

Lower bound

Bibliografia

Lemma 1


2bundles.



•∑m


j=1 ci j ∗ bi j ≤ k ∗ OPT

• Il loop interno viene ripetuto al piu‘ k∗OPT2∗OPT = k

2 volte=⇒ al piu‘ k bundles possono essere scartati.


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Bibliografia

Lemma 1


2bundles.



•∑m



2∗OPT = k2 volte



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Definizioni dibase



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Lower bound

Bibliografia


• Il Lemma 2 segue direttamente dal Lemma 1.

• Abbiamo al piu‘ logm + 1 fasi• Il makespan dell’assegnamento restituito e‘

O(logm ∗ OPT )

• Resta da provare se l’assegnamento ottenuto e‘ localmenteefficiente.


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Bibliografia


• Il Lemma 2 segue direttamente dal Lemma 1.• Abbiamo al piu‘ logm + 1 fasi

• Il makespan dell’assegnamento restituito e‘O(logm ∗ OPT )



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Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia


• Il Lemma 2 segue direttamente dal Lemma 1.• Abbiamo al piu‘ logm + 1 fasi• Il makespan dell’assegnamento restituito e‘

O(logm ∗ OPT )



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Introduzione

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Bibliografia


• Il Lemma 2 segue direttamente dal Lemma 1.• Abbiamo al piu‘ logm + 1 fasi• Il makespan dell’assegnamento restituito e‘

O(logm ∗ OPT )



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Bibliografia

Lemma 3






• La prova procede per assurdo.

• Per assurdo, sia a non localmente efficiente.


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Bibliografia

Lemma 3






• La prova procede per assurdo.

• Per assurdo, sia a non localmente efficiente.


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Upper bound

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Bibliografia

• ∃π di [1 . . .m] :∑

ci ∗ aπ(i) <∑

ci ∗ ai

•∑

(c i ∗ bπ(i) + c i ∗ b′π(i)) <∑

(c i ∗ b + c i ∗ b′i )•∑

c i ∗ bπ(i) <∑

c i ∗ bi oppure∑

c i ∗ b′π(i) <∑

c i ∗ b′i ...• Il che contraddice l’ipotesi che b e b′ siano assegnamenti

localmente efficienti.


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Upper bound

Lower bound

Bibliografia

• ∃π di [1 . . .m] :∑

ci ∗ aπ(i) <∑

ci ∗ ai•∑

(c i ∗ bπ(i) + c i ∗ b′π(i)) <∑

(c i ∗ b + c i ∗ b′i )

•∑

c i ∗ bπ(i) <∑


c i ∗ b′π(i) <∑




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Bibliografia

• ∃π di [1 . . .m] :∑

ci ∗ aπ(i) <∑

ci ∗ ai•∑

(c i ∗ bπ(i) + c i ∗ b′π(i)) <∑

(c i ∗ b + c i ∗ b′i )•∑

c i ∗ bπ(i) <∑


c i ∗ b′π(i) <∑

c i ∗ b′i ...

• Il che contraddice l’ipotesi che b e b′ siano assegnamentilocalmente efficienti.


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Bibliografia

• ∃π di [1 . . .m] :∑

ci ∗ aπ(i) <∑

ci ∗ ai•∑

(c i ∗ bπ(i) + c i ∗ b′π(i)) <∑

(c i ∗ b + c i ∗ b′i )•∑

c i ∗ bπ(i) <∑


c i ∗ b′π(i) <∑




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Upper bound

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Bibliografia

Lower bound

• Sia n il numero di jobs.

• Abbiamo m = n + ` macchine, con ` scelto in modo che2` = log n

4 log log n .

• ∀n, possiamo definire la matrice dei costi Cm×n nel modoseguente:• Per 1 ≤ i ≤ n

• La macchina i ha un costo pari a 1 per il job i .• Per j < i , il costo e‘ pari a 1− (i−j)

2(n−j)• Per j > i , il costo e‘ pari a ∞

• Per n + 1 ≤ i ≤ n + `• Ogni macchina i ha costo pari a 2i


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Bibliografia

Lower bound



4 log log n .






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Bibliografia

Lower bound



4 log log n .

• ∀n, possiamo definire la matrice dei costi Cm×n nel modoseguente:

• Per 1 ≤ i ≤ n• La macchina i ha un costo pari a 1 per il job i .• Per j < i , il costo e‘ pari a 1− (i−j)




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4 log log n .






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Bibliografia

Lower bound



4 log log n .






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Bibliografia

1 ∞ ∞ ∞ . . . ∞ ∞1− 1

2(n−1) 1 ∞ ∞ . . . ∞ ∞1− 2

2(n−1) 1− 12(n−2) 1 ∞ . . . ∞ ∞

1− 32(n−1) 1− 2

2(n−2) 1− 12(n−3) 1 . . . ∞ ∞

......

......

......

...12 + 1

2(n−1)12 + 1

2(n−2)12 + 1

2(n−3)12 + 1

2(n−4) . . . 1 ∞12

12

12

12 . . . 1

2 12 2 2 2 . . . 2 24 4 4 4 . . . 4 4...

......

......

......

2` 2` 2` 2` . . . 2` 2`


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Bibliografia

E‘ possibile dimostrare che ogni allocazione che rispetta laproprieta‘ di envy-freeness per questa istanza ha un makespanpari almeno a 2` = log n

4 log log n .

LemmaPer la matrice C , Per ogni allocazione con makespan < 2`

soddifa le seguenti proprieta‘

1 Ad ogni macchina vengono allocati meno di 2`+1 job.

2 Alla macchina n < i ≤ n + ` sono allocati meno di 2`

2(i−n)

3 Alla macchina n + 1 ≤ i ≤ n + ` vengono allocati meno di2` jobs.


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Bibliografia

E‘ possibile dimostrare che ogni allocazione che rispetta laproprieta‘ di envy-freeness per questa istanza ha un makespanpari almeno a 2` = log n

4 log log n .

LemmaPer la matrice C , Per ogni allocazione con makespan < 2`

soddifa le seguenti proprieta‘

1 Ad ogni macchina vengono allocati meno di 2`+1 job.

2 Alla macchina n < i ≤ n + ` sono allocati meno di 2`

2(i−n)

3 Alla macchina n + 1 ≤ i ≤ n + ` vengono allocati meno di2` jobs.


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Bibliografia

1 ci ,j ≥ 12∀i , j

2 Per n < i ≤ n + ` sappiamo che ci ,j ≥ 2i−n

3∑(n+`)

i=n+1( 2`

2(i−n)− 1)


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Bibliografia

1 ci ,j ≥ 12∀i , j


3∑(n+`)

i=n+1( 2`

2(i−n)− 1)


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Bibliografia

1 ci ,j ≥ 12∀i , j


3∑(n+`)

i=n+1( 2`

2(i−n)− 1)


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Bibliografia

Teorema

Per ogni partizione dei job in bundles, il makespan di qualsiasiassegnamento localmente efficiente di essi e‘ pari ad almeno

2` =log n

4 log log n

DimostrazioneFissiamo arbitrariamente una partizione in bundle esupponiamo per assurdo che vi sia un assegnamento envy-freedei bundles tale che il suo makespan sia < 2`.


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Bibliografia

Teorema

Per ogni partizione dei job in bundles, il makespan di qualsiasiassegnamento localmente efficiente di essi e‘ pari ad almeno

2` =log n

4 log log n

DimostrazioneFissiamo arbitrariamente una partizione in bundle esupponiamo per assurdo che vi sia un assegnamento envy-freedei bundles tale che il suo makespan sia < 2`.


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Bibliografia

• Nessun bundle e‘ assegnato alla macchina n + `.

• Dal punto 1 del Lemma, nel bundle assegnato allamacchina n c’e‘ un numero di job ≤ 2`+1 − 1, quindispostando il bundle alla macchina n + 1 ne aumentiamo ilcarico di al piu‘ 3

2 2`+1

• Spostare un bundle dalla macchina i alla macchina i + 1aumenta il carico su i + 1 di 2, per le macchinen + 1 ≤ i ≤ n + `.

• L’incremento totale del carico e‘ pari a32 2`+1 + `2` = (`+ 3)2` con 2` = log n

4 log log n


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Bibliografia



2 2`+1



4 log log n


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Bibliografia



2 2`+1



4 log log n


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Bibliografia



2 2`+1



4 log log n


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Bibliografia

• Per il punto 3 del Lemma, alle macchine n + 1 ≤ i ≤ n + `e‘ possibile assegnare al piu‘ 2` job e per il punto 1 allamacchina n ne possiamo assegnare al piu‘ 2`+1.

• Nei bundles assegnati alle macchine tra 1 e n − 1 sonopresenti almeno n − 3 ∗ 2`.

• Togliendo il job j da questi bundles, il carico totale siriduce di 1

2(n−j)• La riduzione totale di carico data dallo spostamento dei

bundles e‘ pari a 12 (Hn − H3∗2`) ≥ ( 1

2 − ε) ln n per nsufficientemente grande.

• Otteniamo una contraddizione...

• m = n + ` = O(n), quindi l’approssimazione e‘ Ω( log mlog log m )


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Bibliografia










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Bibliografia




2(n−j)

• La riduzione totale di carico data dallo spostamento deibundles e‘ pari a 1

2 (Hn − H3∗2`) ≥ ( 12 − ε) ln n per n

sufficientemente grande.




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Bibliografia










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Bibliografia










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Bibliografia










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Sommario

Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia

Jason Hartline, Sam Ieong, Ahuva Mualem, Michael Schapira,Aviv ZoharMulti-dimensional envy-free scheduling mechanismTechnical Report 1144The Hebrew Univ. 2008


Envy-freemakespan

approximation

Vincenzo DeMaio

Sommario

Introduzione

Definizioni dibase



Upper bound

Lower bound

Bibliografia

Grazie per la cortese attenzione


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Envy free makespan approximation