수험경제학

동국대학교

교수 이시영

※ 이 교과목은 교육과학기술부 국고지원금으로 개발되었습니다.

제 10장

생산함수와 생산자균형

학습목표

• 단기생산함수에 대해 이해한다.

• 생산의 장기분석을 안다.

• 실증적 생산함수에 대해 이해한다.

학습순서

• 단기생산함수

• 생산의 장기분석

• 실증적 생산함수

10-1. 단기생산함수(1) 생산함수(production function)의 정의 : 생산요소 투입량

(input)에 따른 생산물 산출량(output) 사이의 기술적 관계.

생산요소로서 자본 K와 노동 L만 있다고 가정할 때

생산함수는 다음과 같이 나타낸다.

(2) 단기의 생산함수 : 단기란 생산요소 중에서 불변적(변할 수

없는) 생산요소가 존재하는 경우를 뜻한다. 불변요소인

자본의 투입량이 이고 노동 L만이 가변요소인 경우에

단기생산함수를 노동의 총생산물(total product of labor,

TPL)이라 한다.

(3) 노동의 평균생산물(average product, APL)과

한계생산물(marginal product, MPL)

(4) 총생산물과 평균생산물, 한계생산물의 관계 : 총생산물곡선은 [그림10-1]에서 보는 것과 같이 대체로 종(鐘)모양이다. 노동투입량이L=L0일 때 APL은 각 θ의 탄젠트(tangent) 값이므로 각 θ가 커질수록점점 커진다.

따라서 θ의 빗변이TPL과 접하는 L1에서APL이 가장 커지고 L1

보다 노동 투입량이증가하면 APL이 감소한다. 그리고 MPL은TPL의 기울기이므로기울기가 증감이 바뀌는 변곡점까지MPL이 증가하다가이후에는 감소하며, APL이 극대가 되는점에서 APL=MPL이된다.

(5) 생산의 3단계 : 한계생산물의 크기에 따라 생산을 다음과

같이 3단계로 구분한다.

① 생산의 Ⅰ단계 : 원점에서 APL이 극대가 되는 점까지의

영역으로서, 노동의 한계생산물은 양(+)이지만 자본의

한계생산물은 음(-)이 되는 구간.

② 생산의 Ⅱ단계 : APL이 극대인 점과 MPL이 0인 점 사이의

영역으로서, 노동의 한계생산물과 자본의 한계생산물이

모두 양(+)인 구간이므로 생산의 경제적 영역.

③ 생산의 Ⅲ단계 : MPL은 음(-)이지만 자본의 한계생산물은

양(+)인 구간.

※ 퀴즈문제(정답 4)수확체감의 법칙이 작용하고 있을 때 가변생산요소의 투입이 한단위 더 증가하면?(2002 감평)

① 총생산물은 반드시 감소한다.

② 평균생산물은 반드시 감소하지만 총생산물은 증가할 수도

있고 감소할 수도 있다.

③ 한계생산물은 반드시 감소하지만 총생산물과 평균생산물은

반드시 증가한다.

④ 한계생산물은 반드시 감소하지만 총생산물과 평균생산물은

증가할 수도 있고 감소할 수도 있다.

⑤ 한계생산물이 마이너스가 된다.

10-2. 생산의 장기분석(1) 등생산량곡선

ⅰ. 등생산량곡선(isoquant)의 정의 : 장기에서는 노동 뿐만

아니라 자본도 가변적이므로 두 생산요소의 변동을 동시에

고려해야 한다. 일정한 생산량 Q0을 얻기 위한 두

생산요소인 노동 L과 자본 K의 결합비율들을 연결한

곡선으로서, 등량곡선 또는 생산무차별곡선(production

indifference curve)이라고도 한다.

등생산량곡선 : Q0=f(L, K)

ⅱ. 등생산량곡선의 성질 : 등생산량곡선은 무차별곡선과 거의유사한 성질을 가진다.

① 두 생산요소 L과 K의 한계생산물이 모두 양인 범위 내에서는음의 기울기를 갖는다. [그림 10-2]에서 구간 Ⅰ은 K의한계생산물이 음이며 구간 Ⅲ은 L의 한계생산물이 음인영역인데, 이것은 [그림 10-1]에서 생산을 세 단계로 구분하는것과 이론적으로 동일하다. 등생산량곡선의 기울기가 음인생산의 Ⅱ단계에서는 두 생산요소의 한계생산물이 모두 양이다.

그리고 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ 구간의 경계선을 분계선(ridge lines)이라한다.

② 서로 다른 생산량의 두 등생산량곡선은 절대 교차하지 않는다.

③ 원점으로부터 멀리 위치하는 등생산량곡선일수록 더 많은생산량을 나타낸다. [그림 10-2]에서 등생산량곡선 c는 b보다,

b는 a보다 높은 생산량을 나타낸다.

④ 등생산량곡선은 원점에 대해 볼록하다.

(2) 기술적 한계대체율ⅰ. 기술적 한계대체율(marginal rate of technical

substitution, MRTSLK)의 정의 : 노동 L을 한 단위 더고용할 때 동일한 생산량을 유지하기 위해 줄여야하는 자본 K의 양. 즉, 이는 등생산량곡선 기울기의절대치이다. 등생산량곡선이 원점에 대해 볼록하다는것은 노동 L의 고용량이 증가할수록 MRTSLK는감소한다는 것을 뜻한다.

ⅱ. 기술적 한계대체율과 한계생산물의 관계 : 노동 L의고용량을 ΔL 만큼 늘리면 생산량은 ΔL×MPL(노동의한계생산물) 만큼 증가하며, 자본 K의 고용량을 ΔK 만큼 줄이면 생산량은 ΔK×MPK(자본의 한계생산물) 만큼 감소한다. 따라서 노동과 자본의 고용량을 각각ΔL과 ΔK 만큼 늘리고 줄여서 생산량을 동일하게 유지하려면, ΔL×MPL+ΔK×MPK=0 .

이 식을 정리하면,

(3) 등비용선(isocost) : 일정한 비용을 모두 지출하여 구입할 수있는 두 생산요소의 배합점을 모두 연결한 선으로서, 등비선이라고도 한다. 생산요소시장에서 노동 L과 자본 K의 가격이각각 PL과 PK이며 기업의 총비용이 C0이라면, 등비용선은C0=PLL+PKK

(4) 생산자 균형(producer's equilibrium) : 주어진 비용 하에서생산량을 최대로 하는 생산요소의 배합. 아래 [그림10-4]에서보는 것과 같이 생산자가 A 또는 B와 같은 생산요소의배합을 선택한다면 비용 C0을 모두 지출하여 Q0만큼의생산량 밖에는 얻을 수 없으나, E의 생산요소 배합을선택한다면 상대적으로 더 높은 Q1을 생산할 수 있다.

(4) 따라서 주어진 비용 C0로 최대의 생산량을 얻는 방법은주어진 등비용선과 등생량곡선이 접하는 점의 생산요소배합을 선택하는 것이다. 즉, 등비용선과 등생산량곡선의기울기가 같은 점 E가 생산자균형이므로 생산자균형의조건은

(5) 확장선(extension line, expansion path) : 총비용이 증가하면등비용선은 우측으로 이동하는데, 이에 따라 생산자균형도이동한다. 이와 같이 총비용의 변화에 따라 이동하는생산자균형을 연결한 궤적을 확장선이라고 하며, 규모선(scale line)이라고도 한다.

(6) 기술진보(technical progress) : 동일한 양의 생산요소를투입하여 더 많이 생산하거나 생산요소를 종전보다 적게투입하여 동일한 생산량을 얻을 수 있게 하는 기술의 변화. 따라서 기술진보가 발생하면, 등생산량곡선이 원점의방향으로 이동한다.

① 중립적 기술진보② 자본집약적 기술진보③ 노동집약적 기술진보

ⅰ. 중립적(neutral) 기술진보 : [그림 10-6]과 같이 기술진보가일어나서 등생산량곡선이 Q0에서 Q1로 이동하여 생산자균형이 E0에서 E1로 이동하더라도 생산요소 노동 L과 자본K의 결합비율이 동일하게 유지되는 기술진보.

ⅱ. 자본집약적(capital intensive) 기술진보: [그림 10-7]과 같이기술진보가 일어나서 등생산량곡선이 Q0에서 Q1로 이동하여생산자 균형이 E0에서 E1로 이동하면 노동과 자본의 결합비율K/L이 증가하는 기술진보. 노동절약적(labor saving) 기술진보라고도 한다.

ⅲ. 노동집약적(labor intensive) 기술진보 : [그림 10-8]과 같이기술진보가 일어나서 등생산량곡선이 Q0에서 Q1로 이동하여생산자 균형이 E0에서 E1로 이동하면 노동과 자본의 결합비율K/L이 감소하는 기술진보. 자본절약적(capital saving) 기술진보라고도 한다.

10-3. 실증적 생산함수

(1) 동차생산함수(homogeneous production function) :

생산요소의 투입을 모두 λ배 증가시킬 때 생산량이 λk배

증가하면, 생산함수 Q=f(L, K)를 k차 동차생산함수라 한다.

f(λL, λK)=λkf(L, K)

k>1 : 규모의 경제

k=1 : 규모에 대한 수확불변

k<1 : 규모의 비경제

(2) 요소간 대체탄력성(elasticity of substitution) : 생산요소의 대체의 정도를 측정하는 계수로서, 값이 클수록 생산요소간 대체가 상대적으로 용이하다. 요소간 대체탄력성은 노동과 자본의 기술적 한계대체율 MRTSLK의 변화율 ΔMRTSLK/MRTSLK

에 대한 생산요소 결합비율 K/L의 변화율 Δ(K/L)/(K/L)로 정의된다. 즉, 요소간 대체탄력성 δ는

[그림 10-9]의 a와 같이 δ=0이면 생산요소간의 대체가 전혀이루어질 수 없기 때문에 등생산량곡선이 L자 형이고, b와같이 δ=∞이면 두 생산요소가 완전대체재인 경우로서등량곡선은 직선이다.

(3) 실증적 생산함수ⅰ. 레온티에프 생산함수(Leontief production function) : 두

생산요소가 완전보완재이기 때문에 대체가 불가능한경우(δ=0)의 생산함수. 구체적인 함수 형태는 다음과같은데, 여기서 α와 β는 상수이며, min(x, y)는 x와 y 중에서 작은 것이 값이 되는 함수이다. 레온티에프생산함수의 등량곡선은 앞의 [그림 10-9]의 a와 같다.

ⅱ. 콥-더글라스(Cobb-Douglas) 생산함수 : 1934년에 콥(C. W. Cobb)과 더글러스(P. H. Douglas)에 의해 발표된최초의 실증적 생산함수. 이 생산함수는 1차 동차이며요소간 대체탄력성은 1이다.

Q=ALαK1-α (0<α<1)

ⅲ. 고정대체탄력성(constant-elasticity-of-substitution, CES) 생산함수 : 에로우(K. J. Arrow)와 솔로우(R. M. Solow) 등의 학자들이 발표한 실증적 생산함수. 1차동차함수이며 요소간 대체탄력성은 δ=1/(1+ρ)로서 항상일정한 값을 갖는다.

Q=A[αL-ρ+(1-α)K-ρ]-1/ρ (0<α<1, ρ>-1)

ⅵ. 가변대체탄력성(variable-elasticity-of-substitution. VES) 생산함수 : 레반카(N. S. Revankar)에 의해 1970년대에발표되었으며, 자본과 노동의 결합비율 K/L이 변함에따라 요소간 대체탄력성도 변한다는 가정하에서 도출된생산함수. Q=AKα(1-ρσ)[L+(σ-1)K]αρσ (A>0, α>0, 0<ρ<1, 0≤ρσ≤1)

※ 퀴즈문제(정답 5)노동 L과 자본 K를 투입하여 생산하는 어떤 재화의 생산함수가

Q=αL+βK라면, 다음 중에서 옳지 않은 말은? 단, 여기에서 α와

β는 양의 상수이다.

① 생산요소의 결합비율에 관계없이 기술적 한계대체율이 항상

일정하다.

② 1차 동차생산함수이다.

③ 노동과 자본이 완전보완재인 경우이다.

④ 한 가지 생산요소만을 계속적으로 증가시키더라도 생산량은

지속적으로 증가한다.

⑤ α+β>1이면, 이 재화의 생산에는 규모의 경제가 작용한다.

문제풀이

10-1.

풀이 : 노동 투입량이 20에서 30으로 10단위 증가할 때 생산량은100에서 180으로 80 증가하였다. 그러므로 노동투입량이 한단위 더 증가할 때 생산량의 증가분을 의미하는 노동의한계생산물은 MPL=80/10=8이다. 그리고 노동의평균생산물은 APL=Q/L=180/30=6이다.

풀이 :

APL이 극대가 되어 APL=MPL이 되는 점으로부터 MPL이 0이 되는 점까지의

Ⅱ단계 영역이 생산의 경제적 영역이다. 그러므로 다음의 표에 따르면, 노

동 투입량의 경제적 영역은 40∼70이다.

10-2.

노동 10 20 30 40 50 60 70 80

생산량 40 100 180 240 280 300 300 280

MPL 4 6 8 6 4 2 0 -2

APL 4 5 6 6 5.6 5 4.3 3.5

10-3.

풀이 : L=16과 K=9일 때 생산량은Q=24L0.5K0.5=24×160.5×90.5=288이다. 그러므로 노동의평균생산물은 APL=Q/L=288÷16=18이다. 그리고 Q를 L에 대해편미분하면 MPL=∂Q/∂L=12L-0.5K0.5이다. 그러므로 L=16과K=9일 때MPL=∂Q/∂L=12L-0.5K0.5=12×(1/160.5)×90.5=12×(1/4)×3=9이다.

10-5.

풀이 : : Lagrange함수 F(L, K, λ)=L0.6K0.4+λ(100-5L-10K)를 K, L, λ에 대해 편미분하여 0으로 두면

①과 ②식을 정리하면,

④식에서 λ를 소거하고 정리하면, 6K=2L이다. 이를③식과 연립하여 풀면, L=12와 K=4이다. 즉, 노동12단위와 자본 4단위를 투입하면 생산량이 극대화된다.

10-7.

풀이 : 생산의 극대화 조건은 MPL/MPK=PL/PK인데, 이를 변형하면

이를 한계생산물 균등의 법칙(law of equal marginal products)이라 한다. 그런데 문제에서 MPL=20, MPK=40, PL=4, PK=6이므로 MPL/PL=20/4<40/6=MPK/PK이다. 따라서 단기에서기업은 가변요소의 한계생산물만 변화시킬 수 있으므로 생산의Ⅱ단계에서 한계생산물 균등의 법칙을 만족하기 위해서는노동투입량을 감소시켜서 MPL을 증가시켜야 한다. 소비자이론에서 한계효용 균등의 법칙이 생산이론에서 한계생산물균등의 법칙에 대응하는 개념이라 할 수 있다.

10-9.

풀이 : 노동과 자본의 가격이 PL과 PK이고 총비용이 C0이면등비용선은 C0=PLL+PKK이다. 등비용선의 기울기가 -PL/PK이므로 노동의 가격인 임금이 상승하면기울기는 더 급하게 된다. 따라서 확장선도 기울기가커진다.

10-10.

풀이 : a는 자본과 노동의 결합비율 K/L(이를 노동장비율이라함)이 6/10에서 5/5로 증가하고 노동과 자본의 투입량이모두 감소하였으므로 자본집약적(노동절약적) 기술진보이다. 그리고 c는 K/L이 6/10에서 3/8로 증가하고노동과 자본의 투입량이 모두 감소하였으므로노동집약적(자본절약적) 기술진보이다. 그러나 b는 과거에비해 노동 투입은 감소하였으나 자본 투입은증가하였으므로 기술진보가 있었는지 판단할 수 없는경우이다.즉, 지금의 등생산량곡선이 과거에 비해 원점 쪽으로 더접근하였다는 확실한 근거가 없다.

10-11.

풀이 : K/L=k와 MRTSLK=S라 두면, 요소간 대체탄력성 δ는

생산함수가 Q=ALαKβ일 때 MPL=αALα-1Kβ와 MPK=βALαKβ-1이다. 그런데 S=MRTSLK=MPL/MPK이다. 그러므로 S=(α/β)(K/L)=(α/β)k이다. 따라서 dS/dk=α/β이다. 이에 따르면 δ는

따라서 생산함수가 Q=ALαKβ일 때 요소간 대체탄력성은 항상δ=1이다.

10-12.

풀이 : CES 생산함수 Q=A[αL-ρ+(1-α)K-ρ]-1/ρ에서 요소간 대체탄력성은δ=1/(1+ρ)이다. 문제의 생산함수는 ρ=0.5인 경우이므로δ=1/(1+0.5)=2/3이다.

10C-2.

풀이 : 노동자 10명을 고용한 경우의 평균생산물이 20단위이므로총생산물은 20단위×10명=200단위이다. 노동자 1명을 더고용했을 때 평균생산물이 19단위이므로 총생산물은19단위×11명=209단위이다. 그러므로 11번째 노동자의한계생산물은 209-200=9단위이다.

학습정리

• 총생산물, 평균생산물, 한계생산물

• 조업의 3단계

• 등량곡선과 예산선

• 생산자균형

• Leontief생산함수, Cobb-Douglass

생산함수, CES생산함수, VES생산함수