行基本変形と小行列式戸瀬　信之

AhPa1 S_PC1*h

oyyR� kyky年 yd月 yj日　 aGAL kyky

戸瀬　信之 UAhPa1 S_PC1*hV 行基本変形と小行列式 oyyR� kyky 年 yd 月 yj 日　 aGAL kyky R f ky

S LL 0 5 Part 0 2.

E.EE心 で、T.EE心

-

で H が re が LI

-ヨ と 、 j

儲に。 1鼷雝

k次小行列K ⇥ M行列 � = (�BD)を考えます．BR < Bk- DR < Dkであるとき

� =

0

BBBBBB@

XXX XXX· · · �BRDR · · · �BRDk · · ·

XXX XXX· · · �BkDR · · · �BkDk · · ·

XXX XXX

1

CCCCCCA) �0 =

✓�BRDR �BRDk�BkDR �BkDk

◆

戸瀬　信之 UAhPa1 S_PC1*hV 行基本変形と小行列式 oyyR� kyky 年 yd 月 yj 日　 aGAL kyky k f ky

ビ行 るるり .

i,

702

行

素 変の が

形

j次小行列BR < Bk < Bj- DR < Dk < Djであるとき

� =

0

BBBBBBBBBBB@

XXX XXX XXX· · · �BRDR · · · �BRDk · · · �BRDj · · ·

XXX XXX XXX· · · �BkDR · · · �BkDk · · · �BkDj · · ·

XXX XXX XXX· · · �BjDR · · · �BjDk · · · �BjDj · · ·

XXX XXX XXX

1

CCCCCCCCCCCA

) �0 =

0

@�BRDR �BRDk �BRDj�BkDR �BkDk �BkDj�BjDR �BjDk �BjDj

1

A

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:G

3× 33次正方行がよ、 た J 3

.

m3 3.

k次小行列と行基本変形 URV

ある k次小行列式に対して�����BRDR �BRDk�BkDR �BkDk

���� 6= y

と仮定する．

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inn t

i、 キ 5 2

.

k次小行列と行基本変形 UkVěUAV行の交換 UBV

UBV BR` $ Bk` の場合XXX XXX

· · · �BRDR · · · �BRDk · · ·XXX XXX

· · · �BkDR · · · �BkDk · · ·XXX XXX

!

XXX XXX· · · �BkDR · · · �BkDk · · ·

XXX XXX· · · �BRDR · · · �BRDk · · ·

XXX XXX

このとき �����BkDR �BkDk�BRDR �BRDk

���� = ������BRDR �BRDk�BkDR �BkDk

���� 6= y

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I 〇 〇 〇 〇

〇 〇 〇 〇

% %

k次小行列と行基本変形 UjVěUAV行の交換 UBBVUBBV BR` $ Bj` の場合

XXX XXX· · · �BRDR · · · �BRDk · · ·

XXX XXX· · · �BkDR · · · �BkDk · · ·

XXX XXX· · · �BjDR · · · �BjDk · · ·

XXX XXX

!

XXX XXX· · · �BjDR · · · �BjDk · · ·

XXX XXX· · · �BkDR · · · �BkDk · · ·

XXX XXX· · · �BRDR · · · �BRDk · · ·

XXX XXX

このとき �����BkDR �BkDk�BRDR �BRDk

���� = ������BRDR �BRDk�BkDR �BkDk

���� 6= y

戸瀬　信之 UAhPa1 S_PC1*hV 行基本変形と小行列式 oyyR� kyky 年 yd 月 yj 日　 aGAL kyky e f ky

i, F i , izz i 3 ( i 、キ i て )

o 〇 〇 〇〇 〇 〇 〇

〇 〇 〇 〇

の

k次小行列と行基本変形 U9VěUAV行の交換 UBBBV

UBBBV Bk` $ Bj` の場合 UBBVと同様UAAV B`⇥ = � (� 6= y) これは簡単なので省略

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~

ー

← 各自 考える.

k次小行列と行基本変形 U8VěUAAAV B`+ = B 0` ⇥ �

UBV BR`+ = Bk` ⇥ � (� 6= y) の場合XXX XXX

· · · �BRDR · · · �BRDk · · ·XXX XXX

· · · �BkDR · · · �BkDk · · ·XXX XXX

!

XXX XXX· · · �BRDR + ��BkDR · · · �BRDk + ��BkDk · · ·

XXX XXX· · · �BkDR · · · �BkDk · · ·

XXX XXX

このとき����

�BRDR �BRDk�BkDR + ��BRDR �BkDk + ��BRDk

���� =�����BRDR �BRDk�BkDR �BkDk

���� 6= y

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nits

して 〇 〇 〇 〇

〇 〇

1的な方にい : しso

k次小行列と行基本変形 UeVěUAAAV B`+ = B 0` ⇥ �

UBBV BR`+ = Bj` ⇥ � (� 6= y) の場合XXX XXX

· · · �BRDR · · · �BRDk · · ·XXX XXX

· · · �BkDR · · · �BkDk · · ·XXX XXX

· · · �BjDR · · · �BjDk · · ·XXX XXX

!

XXX XXX· · · �BRDR + ��BjDR · · · �BRDk + ��BjDk · · ·

XXX XXX· · · �BkDR · · · �BkDk · · ·

XXX XXX· · · �BjDR · · · �BjDk · · ·

XXX XXX

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i, r t = i , r × D .

( と 、 r ,iで はそのまま )

〇 〇 〇 〇 〇 〇

〇 〇 〇 〇

p 〇 〇 〇

籅

k次小行列と行基本変形 UdVěUAAAV B`+ = B 0` ⇥ �

�����BRDR + ��BjDR �BRDk + ��BjDk

�BkDR �BkDk

���� = y

ならば �����BRDR �BRDk�BkDR �BkDk

����+ �

�����BjDR �BjDk�BkDR �BkDk

���� = y

から �����BjDR �BjDk�BkDR �BkDk

���� = �R�

�����BRDR �BRDk�BkDR �BkDk

���� 6= y

（ここの議論が本質的である）

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1 1 も o だっ たら 済。

i.一 係黎玼、〇 〇 〇〇

〇 〇 〇〇 」

Tener

t

定理R

K ⇥ M行列 �- "があるとする．�から "に行基本変形されるとする．� ! · · · ! "

URV �のある k次小行列�0に対して det(�0) 6= yならば，"のある k次小行列式 " 00に対して det(" 00) 6= yUkV �のすべての k次小行列 �0に対して det(�0) = yならば，"のすべての k次小行列式 " 00に対して det(" 00) = y

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1 」○

1し行きも瓿グB → - i → A .

"ヨ が ぼほ。一ら ヨ A

'l A'は 0

. 行きを変形

定理Rの応用 URV

~�,~# 2 EMとするとき~� , ~# ,あるB 6= Dに対して

�����B #B�D #D

���� 6= y

U(V t~� + v~# = ~yとすると⇢

�Bt + #Bv = y�Dt + #Dv = y

となるが ��� �B #B�D #D

��� 6= y から t = v = yが従う．

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○で

いた。成分

が成分

.mnrenn

定理Rの応用 UkV

U)V ~� , ~#から行基本変形が存在して� ! · · · !

0

@R yy Ry yXXX XXXy y

1

A

とできることから分かる．（なぜできるか示せるか？）

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B

ff l 、 1も 。

→A'

l が キ 0 .

-

論述 できる か ?

定理k

K ⇥ M行列 �- "があるとする．�から "に行基本変形されるとする．� ! · · · ! "

URV �のある j次小行列�0に対して det(�0) 6= yならば，"のある j次小行列式 " 00に対して det(" 00) 6= yUkV �のすべての j次小行列 �0に対して det(�0) = yならば，"のすべての j次小行列式 " 00に対して det(" 00) = y

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た、で

定理kの応用 URV~�,~#,~+ 2 EMとするとき

~�,~#,~+が線型独立,あるB , D, Fに対して������

�B #B +B�D #D +D�F #F +F

������6= y

U(V ここでは対偶を示す．~�,~#,~+が線型従属とする．すなわち�~� + µ~# + ⌫~+ = ~y

において � 6= yが成立するとしたら（µ 6= y- ⌫ 6= yの場合も同様）����

�B #B +B�D #D +D�F #F +F

���� =�����µ

�#B� ⌫� +B #B +B

�µ�#D� ⌫

� +D #D +D�µ

�#F� ⌫� +F #F +F

���� = �µ

�

����#B #B +B#D #D +D#F #F +F

�����⌫

�

����+B #B +B+D #D +D+F #F +F

���� = y

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→ で -_-だ で

○、

いし

だ

一、" ° wefc

O

TSいいの線恥は

定理kの応用 UkV

U)V ~�,~#,~+が線型独立であることから行基本変形が存在して

� ! · · · !

0

B@

R y yy R yy y Ry y yXXX XXX XXXy y y

1

CA

とできることから分かる．（なぜできるか示せるか？）

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O は詐」もできた?nnnn

別の理解 URV

s = (~� ~# ~+)は以下の狭義の階段行列に行基本変形される．UBV

0

@R y yy R yy y Ry y yXXX XXX XXX

1

A UBBV

0

@R y ↵y R �y y yy y yXXX XXX XXX

1

A UBBBV

0

@R ↵ yy y Ry y yy y yXXX XXX XXX

1

A UBpV

0

@R ↵ �y y yy y yy y yXXX XXX XXX

1

A

UpV

0

@y R yy y Ry y yy y yXXX XXX XXX

1

A UpBV

0

@y R ↵y y yy y yy y yXXX XXX XXX

1

A UpBBV

0

@y y Ry y yy y yy y yXXX XXX XXX

1

A UpBBV

0

@y y yy y yy y yy y yXXX XXX XXX

1

A

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O 3 0 2 0 1 4日 示せるか ?

2

0 00 が 〇

〇 〇 〇

nahs 語 想さえ 毇全た2 ここを 1次を.

3次も いい な) o次元、

non h X 3 ある 3次小行る り 式で1 も

0.2すべての 3 次 小行 る りもとに o

ある 2次 小 行より も (ど | = oに

すべて の 2次 小行 るとも に"に O

ある 成分 も o

O す べし の 成分 が 0.

× = 心 の が ) 次元定理がー!den In X = rank (X )

、

d in had 」 = 3 - nach CX )

A : mxu.fm ( A ) = 1 で E心 ; ATI ]と E 1で n

lkい

t.it t.tvが E が

エ、 ( A ) = { HE」 で E心 }の

1が-

t と o に つい て 1 し ている。

別の理解 UkV

UBV

0

@R y yy R yy y Ry y yXXX XXX XXX

1

A ker(s) = {~y}- ~�,~#,~+は GA- AK(s) = G(~�,~#,~+)

UBBV

0

@R y ↵y R �y y yy y yXXX XXX XXX

1

A ker(s) = E⇣ ↵

��R

⌘- ~� , ~#- AK(s) = G(~�,~#)

UBBBV

0

@R ↵ yy y Ry y yy y yXXX XXX XXX

1

A ker(s) = E⇣

↵�Ry

⌘- ~� , ~+- AK(s) = G(~�,~+)

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側が ⇐ ( ) は)が> で二 ので tp EELが、

E)

h :: aiiii.itj f

〇%

でも 2次元 .

6もこのに良元・

2次元.

別の理解 UjV

UBpV

0

@R ↵ �y y yy y yy y yXXX XXX XXX

1

A ker(s) = E⇣

↵�Ry

⌘+ E

⇣�y�R

⌘-

⇣↵�Ry

⌘,⇣

�y�R

⌘-

AK(s) = E~�- ~� 6= ~y

UpV

0

@y R yy y Ry y yy y yXXX XXX XXX

1

A ker(s) = E⇣ R

yy

⌘- AK(s) = G(~#,~+)- ~# , ~+

UpBV

0

@y R ↵y y yy y yy y yXXX XXX XXX

1

A ker(s) = E⇣ R

yy

⌘+ E

⇣ y↵�R

⌘-

⇣ Ryy

⌘,⇣ y

↵�R

⌘

AK(s) = E~#- ~# 6= ~y

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どこ の に

、_い ない pた。

(新一哈) - z (則2ここえ

ぶ~ ru

DGreerに2を

nnrにええ

. で、○が y = o

, t= 。 信に ル (f ) 2次ミキ

別の理解 U9V

UpBBV

0

@y y Ry y yy y yy y yXXX XXX XXX

1

A ker(s) = E⇣ R

yy

⌘+ E

⇣ yRy

⌘-

⇣ Ryy

⌘,⇣ y

Ry

⌘

AK(s) = E~+- ~+ 6= ~y

UpBBBV

0

@y y yy y yy y yy y yXXX XXX XXX

1

A ker(s) = Ej- AK(s) = {~y}

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