Equações a Diferenças

8/17/2019 Equações a Diferenças

1/10

EA616 − Prof. Von Zuben

DCA/FEEC/Unicamp

Tópico 12 – Equação a Diferenças: Caso Linear 1

Equação a Diferenças: Caso Linear

1 Propriedades Gerais

• uma equação a diferenças linear, com coeficientes constantes e de ordem n pode

ser escrita como:

)()()1()1()( 011 t uk xak xank xank xa nn =++++−+++ − L (1)

onde 0≠na e 00 ≠a , e as condições iniciais são dadas por 0)0( x x = , 1)1( x x = , ...,

1)1( −=− n xn x .

• a equação (1) pode também ser expressa em uma forma condensada:

)()(][ k uk x E Ln = (2)

onde Ln[ E ] é um operador linear de deslocamento atuando sobre a função x(k ), e

tendo a forma ( E representa deslocamento à frente):

01

11

1][ a E a E a E a E Ln

nn

nn ++++=−

− L (3)

EA616−

Prof. Von Zuben DCA/FEEC/Unicamp


Propriedade 1

As soluções da equação homogênea 0)(][ =k x E Ln têm a forma:

k ck x λ=)(

onde λ é raiz da equação característica:

0][ 01

11

1 =+λ++λ+λ=λ−

− aaaa Ln

nn

nn L .

• se a equação característica tiver uma raiz j com multiplicidade p > 1, então a

solução devida a esta raiz terá a forma:

)k j pk jk jk j j j k k k ck x λ++λ+λ+λ= −12)( L .

• a solução geral da equação homogênea é obtida da combinação linear das soluções

associadas às raízes distintas, ilustradas a seguir para o caso de n raízes com

multiplicidade 1:

k nn

k k h ccck x λ++λ+λ= L2211)(


2/10


DCA/FEEC/Unicamp


• no caso das raízes serem complexas conjugadas, θρ=λ je1 eθ−ρ=λ je2 , resulta:

) )(sen)( 212211 φ+θρ=+ρ=λ+λ= θ−θ k cececcck x k jk jk k k k

com)(sen

21

φ

+=

ccc e

c

cc j 21)cos(

−=φ .

Propriedade 2

A solução geral da equação não-homogênea )()(][ k uk x E Ln = é dada por:

)()()( k xk xk x ph +=

onde:

)(k xh é a solução geral da equação homogênea associada;

)(k x p é a solução particular da equação não-homogênea.

• a solução particular )(k x p pode ser obtida através do método dos coeficientes a

determinar, utilizando funções parametrizadas, conforme indicado na tabela

abaixo.

EA616−



u(k ) )(k x p

b (cte) d (cte)

mbk , m inteiro mmk d k d k d d ++++ L

2210

k bγ k d γ

)cos( k b γ )(sen)cos( 21 k d k d γ +γ

)(sen k b γ )(sen)cos( 21 k d k d γ +γ

• se a forma da solução contiver termos iguais aos contidos na solução da equação

homogênea, a duplicidade deve ser eliminada através da multiplicação pela menor

potência de k que remova a duplicidade.

• somas e produtos de u(k )’s levam a somas e produtos de x p(k )’s

• as n constantes da solução da equação homogênea devem ser determinadas a partir

das n condições iniciais.


3/10


DCA/FEEC/Unicamp


2 Casos importantes para k ck x λ=)(

2.1 Caso 1: é real

k

λ > 1

k

0 < λ < 1

EA616−



k

λ < −1

k

−1 < λ < 0

2.2 Caso 2: 1 e 2 são complexos conjugados

•

θ

ρ=λ

j

e1 e

θ−

ρ=λ

j

e2 , implica em solução do tipo )(sen)( φ+θρ= k ck x

k

.


4/10


DCA/FEEC/Unicamp


k

ρ < 1

k

ρ > 1

3 Estabilidade de sistemas discretos no tempo

• a seguir, iremos definir estabilidade em função da localização das raízes da

equação característica no plano complexo.

EA616−



• um sistema linear discreto no tempo, descrito por uma equação a diferenças linear

(ou um conjunto de equações a diferenças lineares) é estável se todas as raízes da

equação característica têm módulo menor ou igual a 1 e não existem raízes

repetidas com módulo igual a 1, ou seja, 1≤λ j , j=1, ..., n.

• um sistema linear discreto no tempo, descrito por uma equação a diferenças linear

(ou um conjunto de equações a diferenças lineares) é assintoticamente estável se

todas as raízes da equação característica têm módulo menor que 1, ou seja, 1λ j , para algum

{ }n j ,...,1∈ , ou então se existirem raízes repetidas com módulo igual a 1.


5/10


DCA/FEEC/Unicamp


4 Exemplo de solução geral de equações a diferenças

Empréstimo com juros e pagamento mensal

• Pk Dr k D −=+−+ )()1()1( , com 0)0( D D = e 0)( =n D

• ( )[ ] Pk Dr E k D E L −=+−= )(1)(][1

• equação característica: ( ) r r L +=λ⇒=+−λ=λ 101][1

• solução da equação homogênea: ( )k k h r cck D +=λ= 1)(

• solução particular: d k D p =)(

• observação: k d d k D p 21)( += se r = 0.

• Cálculo de d por substituição na equação original:

( ) r

P

k Dr

P

d Pd r d p =⇒=⇒−=+− )(1

• solução geral com incógnitas: ( )r

Pr ck D

k ++= 1)(

EA616−



• Cálculo de c:r

P Dc D

r

Pc D −=⇒=+= 00)0(

• solução geral: ( )r

Pr

r

P Dk D

k ++

−= 1)( 0

• Cálculo de P: ( ) ( )

( )nn

nr DP

r r

r

r

Pr

r

P Dn D +=

−

+⇒=++

−= 1

1101)( 00

( )

( )( )n

n

n

r

r DP

r

r r DP

+−

=⇒−+

+=

1

1111

100

Exemplo 1: D0 = 100; n = 10; r = 0,1 ⇒ P = 16,2745 ...

Pagamento Total: 162,745 ...

Exemplo 2: D0 = 100; n = 20; r = 0,1 ⇒ P = 11,7459 ...

Pagamento Total: 234,919 ...


6/10


DCA/FEEC/Unicamp


5 Solução geral da representação por espaço de estados

• a forma discreta da representação por espaço de estados é análoga à forma

contínua. A representação por espaço de estados mais geral para sistemas lineares

de tempo discreto e invariantes no tempo é dada por:

=

+=+

)()(

)()()1(

k Cxk y

k Buk Axk x (4)

onde:

n

k x ℜ∈)( é o vetor de estados no instante k ;

m

k u ℜ∈)( é o vetor de entradas no instante k ; e

r

k y ℜ∈)( é o vetor de saídas no instante k .

• deste modo, as dimensões das matrizes são nn A ×ℜ∈ , mn B ×ℜ∈ e nr C ×ℜ∈ .

• os estados nos instantes (k +2), (k +3), ..., (k +n) podem ser obtidos na forma:

EA616−



)1()()()1()1()2( 2 +++=+++=+ k Buk ABuk x Ak Buk Axk x

)2()1()()()2()2()3(23 +++++=+++=+ k Buk ABuk Bu Ak x Ak Buk Axk x

M M M M M

)1()2(

)1()()()1()1()( 21

−++−+++

++++=−++−+=+ −−

nk Bunk ABu

k Bu Ak Bu Ak x Ank Bunk Axnk x nnn

L

• a solução geral para a equação de estados pode então ser escrita como:

∑−

=

−−+=1

0

1 )()0()(k

j

jk k j Bu A x Ak x , k = 1,2,3,...

• é possível verificar que x(k ) consiste de duas partes, uma representando a

contribuição do estado inicial x(0), e a outra a contribuição da entrada u( j),

j=0,1,2,...,k −1.

• já para a equação de saída, a solução assume a forma:

∑−

=

−−+=1

0

1)()0()(

k

j

jk k j BuCA xCAk y , k = 1,2,3,...


7/10


DCA/FEEC/Unicamp


6 Discretização de Equações de Estado de Tempo

Contínuo

• além da existência de processos inerentemente de tempo discreto, cuja

representação na forma de espaço de estados é adequadamente descrita pela

equação (4), o tratamento via computador digital de processos de tempo contínuo

requer a conversão das equações de estado de tempo contínuo para tempo discreto.

• portanto, é interessante apresentar um método de discretização que permita a

obtenção de um equivalente de tempo discreto para representações por espaço de

estados de tempo contínuo.

• a aplicação de computadores digitais no tratamento de processos físicos de tempo

contínuo requer apenas uma descrição do processo em instantes de amostragem.

• o computador vai receber informações e atuar sobre um processo sempre em

instantes discretos de tempo. Assim, o objetivo é desenvolver um modelo do

processo de tempo contínuo que descreva seu comportamento apenas nos instantes

EA616−



de amostragem, sem considerar o comportamento entre duas amostras

consecutivas.

• este procedimento de análise pode simplificar muito o tratamento de processos de

tempo contínuo via computador digital.

• um problema fundamental é como descrever um sistema de tempo contínuo

conectado a um computador via conversores A-D (analógico-digital) e D-A

(digital-analógico), conforme apresentado na Figura 1.

Relógio

SistemaD-A A-D

{u(t )} u(t) y(t) {y(t )}k k

Figura 1: Sistema de tempo contínuo conectado a conversores A-D e D-A


8/10


DCA/FEEC/Unicamp


• os sinais no computador correspondem às seqüências {u(t k )} e { y(t k )}. O problema

básico está em encontrar uma relação entre estas seqüências.

• o processo de obtenção de um equivalente de tempo discreto para um sistema de

tempo contínuo é chamado amostragem de um sistema de tempo contínuo.

• dado o sistema de ordem n de tempo contínuo, é possível obter uma representaçãoem tempo discreto que forneça valores exatos em t = kT , k =0,1,2,...

• considere a equação de estado de tempo contínuo:

Bu Ax x +=& (5)

• a representação de tempo discreto da equação (5) vai assumir a forma:

( ) )()()()()1( kT uT H kT xT GT k x +=+

• para se determinar G(T ) e H (T ), é preciso recorrer à solução da equação (5):

∫ ττ+=τ−t t A At d Bue xet x

0

)( )()0()( (6)

EA616−



• supondo que todos os r componentes do vetor u(t ) são constantes no intervalo

entre quaisquer dois instantes consecutivos de amostragem, então:

u(t ) = u(kT ) para todo t tal que kT ≤ t


9/10


DCA/FEEC/Unicamp


( ) ( ) [ ] )()1(0

kT Budt eekT xeT k xT At AT AT ∫

−+=+

• fazendo mais uma mudança de variáveis t T −=λ , fica:

( ) ( ) [ ] )()1(0

kT Bud ekT xeT k xT A AT ∫ λ+=+

λ (9)

• definindo:

AT eT G =)( (10)

[ ] Bd eT H T A∫ λ= λ0)( (11)então a equação (9) assume a forma:

( ) )()()()()1( kT uT H kT xT GT k x +=+

que é a representação por espaço de estados para tempo discreto.

• portanto, as equações (10) e (11) fornecem as matrizes G(T ) e H (T ) desejadas,

embora ambas dependam do intervalo de amostragem.

EA616−



• conclusão: os sistemas Bu Ax x +=& e ( ) )()()()()1( kT uT H kT xT GT k x +=+ ,

com G(T ) e H (T ) dados pelas equações (10) e (11), apresentam os mesmos valores

para x(t ) nos instantes de amostragem.

7 Obtenção da representação por espaço de estados a

partir de uma equação ou um sistema de equações a

diferenças

• dada a seguinte equação a diferenças:

)(*3)1()(*7.0)1()2( k uk uk zk zk z ++=++++ ,

obtenha a representação por espaço de estados tomando as seguintes variáveis de

estado e de saída:

=

−+=

=

)()(

)()1()(

)()(

1

2

1

k xk y

k uk zk x

k zk x

com

=

)()()(

2

1

k xk xk x


10/10


DCA/FEEC/Unicamp


• Solução: deve-se obter A, B e C tal que:

=

+=+

)()(

)()()1(

k Cxk y

k Buk Axk x

• )()()1()1( 21 k uk xk zk x +=+=+

• )1()(*3)1()(*7.0)1()1()2()1(2

+−+++−+−=+−+=+ k uk uk uk zk zk uk zk x

• )(*3)(*7.0)()()(*3)(*7.0)1()1( 12112 k uk xk uk xk uk xk xk x +−−−=+−+−=+

• )(2)()(*7.0)1( 212 k uk xk xk x +−−=+

•

[ ]

=

+

−−=

+

+

)(

)(

01)(

)(2

1

)(

)(

17.0

10

)1(

)1(

2

1

2

1

2

1

k x

k x

k y

k uk x

k x

k x

k x

com condição inicial

−=

=

)0()1()0(

)0()0(

2

1

u z x

z x

EA616−



8 Cálculo da potência de matrizes especiais

• dado

=

10

21 A , calcule

n A para n arbitrário.

•

=

+=

=

10

41

10

221

10

21

10

212 A

•

=

++=

+=

=

10

61

10

2221

10

241

10

21

10

413 A

•

=

+++=

+=

=

10

81

10

22221

10

261

10

21

10

614 A

• ...

•

=

10

2*1 n An

Documents

Equações a Diferenças