Equation d Euler

8/17/2019 Equation d Euler

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DETERMINATION DEL' EQUATION D'EULER

L'équation d'Euler relie la quantité d'énergie échangée entre le fluide et les pales de lamachine, aux caractéristiques aérodynamiques de l'écoulement en amont et en aval de la roue.Cette équation est établie à partir de la projection sur l'axe de la machine de l'équation intégraledu moment de quantité de mouvement, qui permet d'introduire et d'expliciter le couple exercé

sur l'arbre par le fluide, ou inversement.

I. Forme intégrale de l'équation du moment de quantité de mouvement.

1 - Domaine d'intégration.

Le domaine D considéré n'est pas un domaine matériel et, d'autre part, il est déformable(certains éléments de la surface de contrôle sont mobiles ). Il est délimité par la surface fermée ∂ D constituée de :

- ∂ D1 : surface amont perméable au fluide, et choisie arbitrairement fixe et à symétriede révolution ;

- ∂ D2 : surface aval (mêmes caractéristiques que la surface amont) ;- ∂ Dm : surface matérielle mobile (pales ou moyeu tournant) ;- ∂ Df : surface matérielle fixe (carter, donc à symétrie de révolution).

t

t

tn

nn

1

1

22

m

m

tf

n f

(∂ D )1

(∂ D )

(∂ D )2

(∂ D )f

m

1

l 2

l

D

x

x

O

M

r



2

2 - Rappel de l'équation intégrale.

L'équation intégrale du moment de quantité de mouvement, appliquée à un domainemobile D, s'écrit après transformations :

d d t

(r

r Ÿr r

V ) d J D Ú = (

r

r Ÿr r

V )(r

U -r

V ) ⋅r

n∂ D Ú dS +

r

r Ÿt ⋅r

n dS ∂ D Ú

- pr

r Ÿr

n dS ∂ D Ú + (

r

r Ÿr r

f ) d J D Ú

(E-VII-4)

Si nous projetons cette équation dans la direction axiale, il vient :

d d t

r RV q d J D Ú + r RV q

r

W ⋅r

n dS ∂ D Ú = - pR n q dS

∂ D Ú

+ R (t ⋅ r

n )q dS ∂ D Ú + r R f q d J D Ú

(E-VII-5)

Si nous posons :- dm

s= r

r

V ⋅r

n dS : débit élémentaire sortant de dS- dm = r d J : masse d'un volume élémentaire de fluide

-r

f = - grad (gz ) : en ne considérant que les forces de pesanteur

et si nous prenons maintenant en compte les spécificités de notre domaine d'intégration, nousconstatons que :

a) La surface ∂ D1 présente une symétrie de révolution :r

n se situe donc dans un planméridien n q

≡ 0 .De plus, elle est fixe donc

r

U ≡

r

0 r

V ≡

r

W dms

= r r

W ⋅

r

n dS

b) La surface ∂ D2 a les mêmes caractéristiques que sur la surface amont

c) La surface ∂ Dm , mobile, est matérielle donc le vecteur vitesse relatif à la paroi doit êtreparallèle à cette paroi

r

W ⋅

r

n ≡ 0

d) La surface ∂ Df est matérielle fixe et à symétrie de révolution : on aura doncr

V ⋅

r

n ≡ 0 ( dm s ≡ 0) et n q ≡ 0 .

l'équation (E-VII-5) devient :

d

d t RV q dm

D Ú + RV q dm s∂ D1 » ∂ D 2 Ú = R (t ⋅ r

n )q dS ∂ D1 » ∂ D 2

Ú (1)

- pR n q dS ∂ D m

Ú + R (t ⋅ r

n )q dS ∂ D m » ∂ D f

Ú - R grad (gz) ⋅r

iq dm D Ú

II. Etablissement de l'équation d'Euler.

1 - Composante axiale du moment des forces.



3

Le moment axial des forces (de pression et de viscosité) exercées par les parois (fixes oumobiles) sur le fluide s'identifie aisément :

M a = - pRn q dS ∂ D

m

Ú + R (t ⋅ r

n )q dS ∂ D

m» ∂ D

f

Ú (2)

On peut tirer son expression de l'équation (1) en remarquant aupréalable que le terme de pesanteur R grad (gz) ⋅

r

iq dm D Ú est

globalement nul, du fait de la symétrie du problème par rapport auplan méridien vertical, à condition de supposer r axisymétrique.

M a = d

d t RV

q dm

D Ú + RV q dm

s∂ D 1 » ∂ D 2

Ú - R (t ⋅ r

n )q dS

∂ D 1 » ∂ D 2 Ú (3)

Remarque : sauf le cas (très particulier) d'un écoulement fortement cisaillé, le dernier terme decette équation, provenant des tensions visqueuses au sein du fluide, est négligeable.

2 - Application à un tube de courant.

Nous allons maintenant appliquer l'équation précédente à un cas particulier. Leshypothèses introduites sont les suivantes :

- le domaine d'intégration se limite à un tube de courant compris entre R et R+dR : lesvaleurs de R et V q sur ∂ D1 et ∂ D2 pourront donc être considérées comme constantes dans le planméridien ;

- les valeurs de V q seront considérées comme moyennées dans la direction q :

V q

≡

1

ms

V q

d Ú ms

- le moment cinétique contenu dans D est supposé constant avec le temps les dérivéestemporelles dans le repère lié à D sont nulles :

d

d t RV

q dm

D Ú = 0

- de plus, la conservation de la masse impose que le débit sortant de ∂ D2 (

dms 2 )

soit égal au débit entrant dans ∂ D1 (-

dms 1 ) :

dms

= dms 2

= - dms 1 .

Le moment axial élémentaire est alors :

dM a

= R2V

q 2- R

1V

q 1( )dms (4)

La puissance échangée avec la machine est :

z

iq

(gz)—



4

dP =r

w ⋅d r

Ma

= w dM a

= U 2V

q 2- U

1V

q 1( )dms

(5)

L'énergie apportée au fluide par unité de masse est :

D w T

= dP

dms

= U 2V

q 2- U

1V

q 1

Dans le cas d'un écoulement adiabatique :

D h0= D w

T + D q ≡ D w

T

D h0

= U 2V

q 2- U

1V

q 1 (6)

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