Équation d'onde de la corde page 1

Équation d'onde de la corde Nous allons écrire l'équation du mouvement d'un petit bout d'une corde tendue.

Nous allons voir que la solution de cette équation, sera une onde sinusoïdale qui se déplace sur la corde.

On considère un petit bout de corde, d'une longueur infinitésimale ∆x, qui peut

se déplacer seulement dans la direction verticale, la corde étant bien tendue. La corde est parfaitement flexible; les deux tensions, tirant à chaque extrémité de notre élément de longueur ∆x, ne seront donc pas nécessairement parallèles. La fonction y(x,t) décrit la positon verticale de la corde en fonction de la coordonnée x et du temps t.

Faisons la somme des forces verticales qui agissent sur l'élément de longueur de

la corde

∑ = yy amF

2

2

1122 sinsint

yxFF

∂

∂∆=− µθθ

La masse de l'élément de longueur ∆x est donnée par µ ∆x et son accélération

est la dérivée seconde de sa position en y par rapport au temps. En appliquant la même loi aux mouvements de l'élément selon x, on peut trouver le lien entre F1 et F2.

∑ = 0xF

Donc: FFF == 2211 coscos θθ

où F est la tension dans la corde. En remplaçant F1 par 1cosθ

F F2 par

2cosθ

F et dans

l’équation en y, on obtient :

( )2

2

12 tantant

yxF

∂

∂∆=− µθθ

Si l'on se souvient maintenant que tanθ représente la pente de la fonction (la

F2

F1

) θ2

θ1 (

∆x

Équation d'onde de la corde page 2

pente de la corde) et que l'expression ∂y/∂x représente elle aussi la pente, on peut écrire:

2

212

t

y

x

x

y

x

y

F∂

∂=

∂

∂−

∂

∂

µ∆

Maintenant, si on remplace la dérivée partielle ∂y/∂x par une fonction f (x)

comme ceci: )(xfx

y=

∂

∂ et que l’on pousse à la limite quand ∆x tend vers zéro, alors

la fraction entre les accolades deviendra :

−

→ x

)x(f)x(flim x

∆∆

120

ce qui, par définition, nous donne la dérivée de f (x), donc la dérivée seconde de y par rapport à x:

2

2

2

2

t

y

x

yF

∂

∂=

∂

∂µ

Cette équation est connue sous le nom d'équation d'onde. Toutes les ondes ont

leur équation d'onde. Dans le cas des vagues sur l'eau, "y" représente l'écart de la surface par rapport au niveau moyen. Dans le cas du son, "y" représentera la pression différentielle; dans le cas des ondes ÉM, "y" pourra représenter le champ électrique E ou le champ magnétique B, etc. Dans chacun de ces cas, les constantes peuvent varier, mais la forme générale de l'équation est la même. La fonction sinusoïdale est la solution de cette fameuse équation. Contrairement à ce qui se passait dans le cas du mouvement harmonique simple, cette fois, la solution sera de la forme y = f(x,t) où on trouve 2 variables indépendantes. On voit parfois l'équation d'onde présentée sous une forme un peu différente:

02

2

2

2

=∂

∂−

∂

∂

t

y

Fx

y µ

Si on revient à la corde, la dérivée seconde dans le membre de gauche

représente le taux de variation de la pente en tout point. Cette quantité, également connue sous le nom de courbure est proportionnelle à la variation de la pente en tout point. En choisissant un point, il est possible de faire épouser la courbe par un cercle en ce point. Le rayon de ce cercle s'appelle le rayon de courbure. Plus le rayon est petit, plus la courbure est prononcée.

La dérivée seconde dans le membre de droite représente le taux de variation de

Équation d'onde de la corde page 3

la vitesse d'un point de la corde. C'est l'accélération de ce point. En fin de compte, l'équation d'onde signifie que l'accélération d'un point de la corde est proportionnelle à la courbure de la corde à cet endroit.

Il est facile de montrer que la fonction d'onde que nous avons décrite au

chapitre 2 est la solution de cette équation. Essayons de la dériver deux fois, par rapport à x et par rapport à t, et de la placer dans l'équation d'onde

y = A sin(kx - ωt)

yktkxAkx

ytkxAk

x

y 222

2

)sin()cos( −=−−=∂

∂−=

∂

∂ωω

ytkxAt

ytkxA

t

y 222

2

)sin()cos( ωωωωω −=−−=∂

∂−−=

∂

∂

Ensuite, remplaçons dans l’équation d’onde proprement dite :

0)( 22 =−−− yF

yk ωµ

Que l’on peut simplifier comme suit :

µ

ω Fv

k== 2

2

2

Si l'on revient aux petites équations qui décrivent l'onde sinusoïdale (2.5 abc page 45) on voit que cette dernière égalité nous donne la vitesse de l'onde en

fonction des propriétés mécaniques du milieu dans lequel elle se propage.

µ

ω Fv

k==

On voit donc que notre fonction d'onde y(x,t) est bien solution de l'équation

d'onde, qui était en fait, simplement l'équation du mouvement d'un petit bout de corde. Compte tenu des lois de Newton, une corde tendue est un milieu tel que des ondes sinusoïdales progressives peuvent s'y propager. Et on a obtenu, en prime, la vitesse de propagation des ondes dans cette corde. Cette vitesse est fonction de la tension dans la corde et de sa masse linéaire.