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EQUAZIONI DI MAXWELL
G. Pugliese 1
Equazioni di Maxwell
G. Pugliese 2
econcatenatildB 0µ∫ =⋅
E ⋅dl =∫ −
dΦB
dt
0=⋅∫S
SdB
0
int
εqSdE
S
=⋅∫
Asimmetria tra E e B
G. Pugliese 3
a) esistono due tipi di carca elettrica, ma non sono stati osservati monopoli magnetici
b) Il campo magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico indotto, un campo elettrico variabile nel tempo non dà origine ad un campo magnetico (?)
Teorema di Ampère in condizioni non stazionarie: Legge di Ampère-Maxwell
In condizioni stazionarie
econcatenatildB 0µ∫ =⋅
Legge di Ampere Maxwell
G. Pugliese 4
Processo di carica di C: la corrente entra nell’armatura positiva e esce dall’armatura negativa.
γ linea chiusa concatenata col conduttore S1, S2superfici che si appoggiano a γ
+ -‐
J • n dS
S1∫ = i 0
2
=•∫S
dSnJ
Legge di Ampere Maxwell
G. Pugliese 5
J • n dS
S1∫ = i
02
=•∫S
dSnJ
il teorema di Ampère non dà lo stesso risultato se applicato ad S1 o ad S2 econcatenatildB 0µ∫ =⋅
Attraverso la superficie chiusa S1 + S2 la corrente che esce è diversa dalla corrente che entra: non vale la condizione di stazionarietà In condizioni non stazionarie il teorema di Ampère non è valido e deve essere modificato!
Legge di Ampere Maxwell
G. Pugliese 6
Nel processo di carica di C abbiamo supposto che i(t) circoli ovunque..ma tra le armature non possono esserci correnti di conduzione. Su una armatura c’è una variazione di dq/dt corrispondente alla corrente entrante, e sull’altra c’è una variazione –dq/dt cui corrisponde un corrente uguale ed uscente.
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=
dttdqI
corrente uscente dall’armatura positiva
( )dttdqI = corrente entrante nell’ armatura
negativa
Teorema di Ampere Maxwell Sia S superficie chiusa. In condizioni non
stazionarie: (x il principio di conservazione della carica) Teorema di Gauss
dtdqdSnJ
S
−=•∫
E •dS
S∫ =
qε0
dqdt= ε0
dEdt•dS
S∫
J +ε0
dEdt
!
"#
$
%&•dS
S∫ = 0
ε0dEdt•dS
S∫ = −
J •dS
S∫
La variazione di carica sulle armature ⇒ una variazione del campo elettrico fra le armature e quindi una variazione di flusso
Teorema di Ampere Maxwell
dtEdJJTot
0ε+=
dtEdJs
0ε=
is =Js •n dS
S∫ = ε0
dEdt•dS =
S∫ ε0
dΦE
dt
Il vettore è solenoidale anche in condizioni non stazionarie
Densità di corrente di spostamento
J +ε0
dEdt
!
"#
$
%&•dS
S∫ = 0
Corrente di spostamento
B•dl = µ0∫ (ic + iS )
Teorema di Ampere Maxwell
dtEdJJTot
0ε+=
Jtot •d
S
S1∫ =
J •dS
S1∫ = i
Jtot •d
S
S2∫ = ε0
∂E∂t•dS
S2∫ = i
È solenoidale: i due flussi devono essere uguali. La corrente deve avere lo stesso valore lungo tutto il circuito. Coincide con la corrente di conduzione nei cavi e con la corrente di spostamento nel condensatore.
Teorema di Ampere Maxwell
dtEdJJTot
0ε+=B•dl = µ0∫
J +ε0
dEdt
"
#$
%
&'•dS
S∫
Ø La circuitazione di B non dipende dalla superficie S che poggia su γ
Ø Un campo E variabile nel tempo determina un campo B (simmetricamente rispetto all’equazione di Faraday – Lenz)
B
E
dB/dt dE/dt
11
Verifica sperimentale
Un condensatore a piatti piani e paralleli di raggio R è collegato ad un generatore che stabilisce tra le armature un E = E0senwt
2πrB = ε0µ0dEdt∫ •d
S = ε0µ0πr
2 dEdt
E B
r < R
tErdtdErB ωωµεµε cos
21
21
00000 ==
B•dl = µ0∫
J +ε0
dEdt
"
#$
%
&'•dS
S∫
Consideriamo una circonferenza di raggio r < R
. X
B
tsenErNSdtdBNSi ωω
εµε 0
200''
2=−=
Se inseriamo nel condensatore un solenoide toroidale, La f.e.m. indotta nel solenoide:
Verifica sperimentale
tErB ωωµε cos21
000=
Per es. r = 10 cm S = 3 cm2 N = 600 E0=103V/m ω = 107 rad/s
B = 5.6 10-9 cos 107t T
ε = 0.01 sen 107t V
Equazioni di Maxwell
B•dl = µ0 (iC +ε0
dΦE
dt) = µ0∫
J +ε0
dEdt
#
$%
&
'(•dS
S∫
Ei •d
l∫ = −
dΦB
dt= −
ddt
B•
S∫ d
S
E •dS
S∫ =
qε0
B•dS
S∫ = 0
Equazioni di Maxwell …nel vuoto (q= 0 e ic =0)
B•dl = µ0∫ ε0
dΦE
dt
Ei •d
l∫ = −
dΦB
dt
E •dS
S∫ = 0
B•dS
S∫ = 0
Importanza della teoria di Maxwell: 1. mostrano una perfetta simmetria fra i due campi 2. fenomeni elettrici e magnetici possono essere considerati come aspetti
di un’unica interazione fondamentale 3. previsione di fenomeni dinamici (onde elettromagnetiche), la cui
verifica sperimentale prova la realtà fisica del campo elettromagnetico