2015

Prof. Giuseppe Scippa

[EQUAZIONI DIFFERENZIALI]

Sintesi dei principali tipi dei equazioni differenziali.

Prof. Giuseppe Scippa Pag. 1

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ( pag. 2088)

Si chiama equazione differenziale un’equazione che ha per incognita la funzione y=f(x)

(nella variabile indipendente x) nella quale compare la variabile x stessa, la funzione y e almeno una

delle sue derivate: y’, y’’, y’’’…..) quindi è del tipo:

F(x; y; y’; y’’; …..y(n)

) = 0

La sua soluzione è una funzione y che verifica l’equazione differenziale, e viene detta

soluzione o integrale dell’equazione.

L’insieme di tutte le funzioni che sono integrali dell’equazione (cioè le soluzioni) viene

detto: integrale generale.

DEFINIZIONE: Equazione differenziale del primo ordine.

Una relazione tra la variabile indipendente x, una funzione incognita y = f(x) e la sua

derivata prima y’ , del tipo:

F(x; y; y’) = 0

si dice equazione differenziale del primo ordine.

DEFINIZIONE: Equazione differenziale del secondo ordine.

Una relazione tra la variabile indipendente x, una funzione incognita y = f(x) e la sua

derivata prima y’ , del tipo:

F(x; y; y’; y’’) = 0

Prende il nome di equazione differenziale del secondo ordine.

INTEGRALE DI UN’EQUAZIONE DIFFERENZIALE:

Una equazione del 1° ordine

y’ = y (1)

può essere soddisfatta se sostituiamo al posto di y una funzione che sia uguale alla sua derivata:

y = ex

→ y’ = ex

ma anche la funzione

y = c ex

è una soluzione, con c costante arbitraria.

Quindi tale soluzione sarà detta : soluzione generale o integrale generale della (1).

Mentre se sostituiamo a c un valore numerico si avrà una soluzione o integrale particolare

della (1).

Prof. Giuseppe Scippa Pag. 2

DEFINIZIONE: Integrale di una equazione differenziale.

Sia data un’equazione differenziale di ordine n

F(x; y; y’;……. 𝑦(𝑛)) = 0 (13)

Una funzione di equazione:

y = f(x)

si dice soluzione o integrale della (13) se, sostituendo la sua espressione e quelle delle sue derivate

nell’equazione differenziale data, questa si trasforma in una identità.

DEFINIZIONE: Integrale generale e integrale particolare di una equazione differenziale.

Si dice che un’equazione del tipo:

y = f(x; 𝑐1; 𝑐2;……𝑐𝑛)

esprime la soluzione generale o l’integrale generale dell’equazione differenziale (13) se, quali che

siano i particolari numeri reali che si sostituiscono ai parametri 𝑐1; 𝑐2;……𝑐𝑛 l’equazione che da

essa si ottiene è quella di una funzione soluzione della (13). Tale soluzione è detta integrale

particolare.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI del 1° ordine:

Sono del tipo:

y’ = f(x)

il cui integrale è semplicemente l’integrale indefinito di f(x):

y’ = f(x) ⟾ y = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

EQUAZIONI DIFFERENZIALI a variabili separabili: (pag. 2090)

Sono particolari equazioni differenziali nelle quali è possibile esprimere

y’ = 𝑑𝑦

𝑑𝑥

e separare nei due membri le due variabili e poi integrare separatamente.

Prof. Giuseppe Scippa Pag. 3

DEFINIZIONE: Equazione differenziale a variabili separabili.

Si dice che un’equazione differenziale del primo ordine è a variabili separabili se, posto

y’ = 𝑑𝑦

𝑑𝑥 essa si può scrivere nella forma:

q(y) dy = p(x) dx

essendo q(x) e p(x) funzioni continue in opportuni intervalli.

Prof. Giuseppe Scippa Pag. 4

EQUAZIONI DIFFERENZIALI lineari del 1° ordine: (pag. 2093)

Si definiscono di primo ordine le equazioni differenziali che presentano solo la derivata

prima.

Si dicono lineari quelle equazioni differenziali che sono di primo grado rispetto alla

funzione incognita e alle sue derivate. Le equazioni differenziali lineari del primo ordine sono del

tipo:

y’ = a(x) y + b(x) (10)

con a(x) e b(x) funzioni continue in un opportuno intervallo.

Se b(x) = 0, l’equazione differenziale si dice omogenea e prende la forma:

y’ = a(x) y

Se b(x) = 0 l’integrale si può esprimere:

y’ = a(x) y ⟾ y = k eA(x)

con A(x) primitiva di a(x) : A(x) = ∫ 𝑎(𝑥)𝑑𝑥 e k ϵ R.

Se b(x) ≠ 0 si può applicare il metodo di Lagrange: (pag.2094)

y’ =a(x) y + b(x) ⟾ y = eA(x)

∫b(x) e-A(x)

dx

Con A(x) primitiva di a(x).

Esempio:

1) Equazione omogenea

y’=a(x) y

la soluzione generale è:

y=k eA(x)

con : A(x) = ∫ 𝑎(𝑥)𝑑𝑥 e k costante ≠ 0

2) Equazione non omogenea (pag.2094)

y’=a(x) y +b(x)

la cui soluzione generale è:

y = eA(x)

∫b(x) e-A(x)

dx

Prof. Giuseppe Scippa Pag. 5

Oppure esiste un metodo pratico che si può applicare quando il meno all’esponente di e

crea qualche problema all’integrazione.

y’ – a(x) y = b(x)

posto: A(x) =-∫ 𝑎(𝑥)𝑑𝑥

l’integrale generale diventa:

y = e-A(x)

∫b(x) eA(x)

dx

Esempio:

y’ + xy = x

y’ = -xy +x con: a(x) = -x e A(x) = ∫-x dx = -𝑥2

2⁄

y = eA(x)

∫b(x) e-A(x)

dx

y = 𝑒−𝑥2

2 ∫ 𝑥 𝑒𝑥2

2 𝑑𝑥

y = 𝑒−𝑥2

2 (𝑒𝑥2

2 + 𝑐) = 𝑒−𝑥2

2+

𝑥2

2 + 𝑐 𝑒−𝑥2

2 = 𝑒0 + 𝑐 𝑒−𝑥2

2 = 1 + c 𝑒−𝑥2

2

Prof. Giuseppe Scippa Pag. 6

EQUAZIONI DIFFERENZIALI del secondo ordine (pag.2095)

Prof. Giuseppe Scippa Pag. 7

ESEMPI:

Prof. Giuseppe Scippa Pag. 8

EQUAZIONE COMPLETA (pag. 2097)

Prof. Giuseppe Scippa Pag. 9

ESEMPIO 2:

Prof. Giuseppe Scippa Pag. 10

Prof. Giuseppe Scippa Pag. 11

ESEMPIO 3° caso:

il β è il numero che è davanti all’argomento del cos 𝑥. ( β =1 )

Prof. Giuseppe Scippa Pag. 12

SCHEMA RIASSUNTIVO:

Prof. Giuseppe Scippa Pag. 13