Ερώτηση 1

∆ίνεται ο παρακάτω αναδροµικός αλγόριθµος:��������������� ������������������������������!

�"�#������� ���������$���%�"�&������������'�)(���������*� ,+-,�"$./(��0�������&1$���������! 32$4�*5+6&.7������'�8�9�������8�:-,�"� ;+<=.7������'�8�:-,�"�1�>;�����������! ,+�"�$6#? <7���%�"�7������������@6A ,+����B�� ������������'<! ;+

C

Η διαδικασία ����8�'���9�������������D�����! δέχεται σαν είσοδο τον πίνακα ακεραίωνEκαι τις ακέραιες µεταβλητές ������� και ��������� , και επιστρέφει σαν έξοδο έναν

ακέραιο αριθµό. Αν ο πίνακαςE

έχει F στοιχεία, η αρχική κλήση είναι ����8�'���>;�G�; . Ο συµβολισµός �H(I��������* δηλώνει το στοιχείο του πίνακαE

στη θέση������� . Η παράσταση (��0�������71$���������A 32$4�* δηλώνει το κάτω ακέραιο µέροςτης διαίρεσης, π.χ. JLK�MONQP�R@S"T�UAVXW%Y1. Να εκτελεστούν όλα τα βήµατα της κλήσης ������'���Z>;��[% µε είσοδο τονπίνακα

E V\J^]�_`P�_aM�_cb�_cT�_`d�_fe�_'W�UgY2. Ποια λειτουργία επιτελεί η διαδικασία ������'���h>!�G�; (δηλαδή, ποια είναι ηιδιότητα του στοιχείου που επιστρέφει η ���� ); Να αποδείξετε τον ισχυρισµόσας µε µαθηµατική επαγωγή στον αριθµό F των στοιχείων του πίνακα

E.

Απάντηση

1. Ο Αλγόριθµος που δίνεται είναι αναδροµικός, µε την έννοια ότι καλείτον εαυτό του. Σε κάθε εκτέλεση της εντολής

�"�#������� C ���������$���%���

η είσοδος (δηλαδή ο εκάστοτε πίνακας) διαµερίζεται σε 2 υποπίνακεςµέσω της διαδικασίας του ακεραίου µέρους -,��7./(��f�������&1$�%�������! i24�* . Αυτή η διαµέριση επαναλαµβάνεται κάθε φορά που δεν ισχύει ησυνθήκη

������� C ���D�����

και σταµατάει όταν ο πίνακας εισόδου αποτελείται από ένα µόνο στοι-χείο. Τα βήµατα τα οποία κατά σειράν θα εκτελεστούν περιγράφονταιπαρακάτω:

1

A=[3,8,1,5,2,6,7,4]

n = 8

F= fun(A,1,8)left is 1

right is 8

left < right άραmid = [(1 +8) /2] =4

x = fun(A, 1, 4)

left is 1

right is 4

left < right άραmid = [(1+4)/2] = 2

x = fun(A,1,2)

left is 1

right is 2

left < right άραmid = [(1+2)/2] = 1

x = fun(A,1,1)

left is 1

right is 1

left >= right άρα return A[1] =3

x =3

y = fun(A,1+1,2)

left is 2

right is 2

left >= right άρα

return A[2] =8 άρα

y= 8

x< y άρα return (x) που είναι 3

x = 3

y = fun(A,2+1,4)

left is 3

right is 4

left < right άρα

mid = [(3+4)/2] = 3

x = fun(A,3,3)

left is 3

right is 3

left >= right άρα

return A[3] = 1 άρα

x= 1

y = fun(A,3+1, 4)

left is 4

right is 4

left >= right άρα

return A[4] = 5 άρα

y = 5

x < y άρα return (x) που είναι 1

y = 1

x > y άρα return (y) που είναι 1

x= 1

y = fun(A, 4+1, 8)

left is 5

right is 8

left < right άρα

mid = [(5+8)/2] = 6

x = fun(A,5,6)

left is 5

right is 6

left <right άρα

mid = [(5+6)/2] = 5

x = fun(A,5,5)

left is 5

right is 5

left >= right άρα

return A[5] = 2 άρα

x = 2

y = fun(A, 5+1, 6)

left is 6

right is 6

left >= right άρα

return A[6] = 6 άρα

y = 6

x < y άρα return x που είναι 2

x = 2

y = fun(A,6+1, 8)

left is 7

right is 8

left < right άρα

mid = [(7+8)/2] = 7

x = fun(A,7,7)

left is 7

right is 7

left >= right άρα

return A[7] = 7 άρα

x = 7

y = fun(A, 7+1, 8)

left is 8

right is 8

left >= right άρα

return A[8] = 4 άρα

y = 4

x > y άρα return (y) που είναι 4

y = 4

x < y άρα return (x) που είναι 2

y = 2

x < y άρα return x που είναι 1

F= 1

2. Παρατηρούµε ότι αν ο πίνακας � έχει ένα στοιχείο τότε η ������'�8�a>;�a>� απλά επιστρέφει αυτό το στοιχείο. Εάν ο πίνακας

E V J ������� U έχει δύοστοιχεία τότε παρατηρούµε ότι κατά την εκτέλεση της εντολής

�"� 6#?X<7���%���&������������@6A ;+����B��3������������'<! ,+

η ρουτίνα επιστρέφει εκείνο από τα ��� _ ��� που έχει την µικρότερη τιµή.∆ηλαδή η ������'���a>!�`4% επιστρέφει το ελάχιστο των δύο στοιχείων τουπίνακα

E V\J ����� U .Εφαρµόζουµε επαγωγή στον αριθµό F των στοιχείων του πίνακα

E VJ ������� Y Y Y � � U για να δείξουµε ότι η ����������a>;�I�! επιστρέφει το ελάχιστοεκ των F στοιχείων του πίνακα

E.

Η περίπτωση F V M�_`T ήδη εξηγήθηκε και ισχύει.

Επαγωγικό βήµα: Έστω ότι για κάθε��� F�� M η ����������a>;��A επιστρέφει

το ελάχιστο εκ των �� _ Y Y Y ��� στοιχείο. Θα δείξουµε ότι η ������'��� >;�I�; επιστρέφει το ελάχιστο εκ των ��� _ Y Y Y � � στοιχείο.

Κατά την πρώτη εκτέλεση της �"�#������� C �%�������$���%�"� και αφού

������� V M��iF�V ���������

θα έχουµε τον (πρώτο) διαχωρισµό του πίνακαE

σε δύο υποπίνακεςE � V��!M�_ Y Y Ya_ JLK F:N$MDR'S�T�U� καιE � V��,JLK F:N MDR@S�THN$M U _ Y YaY _'FAUgY

Η τελευταία εντολή που θα εκτελεσθεί είναι η

�"� 6#?X<7���%���&������������@6A ;+����B��3������������'<! ,+

όπου

- το 6 θα είναι το αποτέλεσµα της ������ E � �a>;�%(D����1A>� "2�4�*� δηλαδή, µεβάση την επαγωγική υπόθεση, το ����� � ��� _ YaY Y �! "#�%$ �'&�()�+*-, και

- το < θα είναι το αποτέλεσµα της ����8� E � �%(D����1A>� "2�4�*5�:�; δηλαδή,πάλι µε βάση την επαγωγική υπόθεση, το ����� � � ! "#�.$ �+&�(/�+*0$ � _ Y Y Ya_ � ��, Y

Άρα η έξοδος της ����8�'���a>;� �; θα είναι το ελάχιστο από τα

�1���2� ��� _ YaY Y �! "#�.$ �+&�()�'*3, και �1���2� �! "#�%$ �+&�(/�+*0$ � _aY Y Ya_ � ��, YΤο ζητούµενο τώρα έπεται από την σχέση

�����546�1���2� ��� _ YaY Y �! "#�.$ �+&�()�'*3, _������ � �! "#�.$ �+&�(/�+*0$ � _ Y Y Y _ � �7,18 V9����� � ��� _aY Y Y � ��, Y

4

Ερώτηση 2

Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα που περιέχει ένα διµελές κατηγορηµατι-κό σύµβολο � . Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή σε κατευθυνόµενα γραφήµαταπου µπορεί να έχουν ανακυκλώσεις αλλά όχι παράλληλες ακµές (σηµείωση: οιακµές K � _��0R και K��D_ � R δεν θεωρούνται παράλληλες γιατί έχουν αντίθετη φορά).Συγκεκριµένα, οι µεταβλητές ερµηνεύονται ως κορυφές των γραφηµάτων καιτο σύµβολο � µε τη σχέση που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφώνK � _�� R για τα οποία υπάρχει ακµή που συνδέει την � µε τη � .1. Γράψτε µια πρόταση στην κατηγορηµατική λογική που εκφράζει ότι:

α) «Το γράφηµα δεν έχει αποµονωµένες κορυφές» (αποµονωµένη θεωρείται µιακορυφή από την οποία δεν ξεκινούν ακµές προς άλλες κορυφές και στην οποίαδεν καταλήγουν ακµές από άλλες κορυφές).β) «Το γράφηµα έχει κάποια κορυφή από την οποία ξεκινούν ακµές προς όλες τιςυπόλοιπες κορυφές».

γ) «Κάθε κορυφή του γραφήµατος ανήκει σε απλό κύκλο µήκους 3» (ένας απλόςκύκλος δεν έχει επαναλαµβανόµενες κορυφές).δ) «Κάθε ζευγάρι διαφορετικών κορυφών συνδέεται µε µονοπάτι µήκους το πολύ 2»(ένα µονοπάτι δεν έχει επαναλαµβανόµενες κορυφές).

2. Αναφορικά µε τη συγκεκριµένη ερµηνεία, εξηγείστε τι εκφράζει η καθεµίααπό τις παρακάτω προτάσεις:

α) ����� K�� _��ARβ) �� ������� K�� _�� R���� K��A_��!R��γ) ��� �������HK�������R � !� K�� K�� _�� R#"$ �� K��A_��!R%�'&δ) ��(����)*�#� K�� _+�AR+,%-#�)K�������R. �'� � K�� _�� R/,0�� K��A_��!R � � � �HK�� K�� _�� R/,1� K2�A_+�AR �3� 4�53. Να κατασκευάσετε ένα γράφηµα µε W κορυφές για καθεµία από τις παρα-κάτω περιπτώσεις:

α) Αληθεύει η πρόταση (1.α) και δεν αληθεύει η πρόταση (1.β).

β) Αληθεύει η πρόταση (1.δ) και δεν αληθεύει η πρόταση (1.γ).

γ) Αληθεύει η πρόταση (2.β) και δεν αληθεύει η πρόταση (2.γ).

δ) Αληθεύει η πρόταση (2.γ) και δεν αληθεύει η πρόταση (2.δ).

5

Απάντηση

1. α) ����(� � �HK���� ��R , � � K�� _���R���� K��A_��!R �3&β) �(� ) ��� - �)K�������R � K�� _���R 4�5γ) ��� ��� ����� � �HK�� ��� R�, �HK2� ����R�, �HK��0� �AR�,�� K�� _��A_��R � �

όπου � K�� _��A_��R είναι ο τύπος

� K�� _��A_��R8V � K�� _���R�, � K��A_��R ,�� K�� _��ARδ) ��� ��� ) �HK�� ��� R

4 � K�� _���R ��� K2�!_��AR������ � �)K�������R�,#�)K�� ����R ,� K�� _��A_��R � 8 5όπου K�� _��A_��R είναι ο τύπος

K�� _��!_��R5V � � K�� _��R�, � K�� _���R � � � � K��A_��R�,�� K�� _��AR �2. α) Το γράφηµα δεν έχει ανακυκλώσεις.

β) Κάθε δύο κορυφές (όχι κατ΄ ανάγκη διακεκριµένες) του γραφήµατοςσυνδέονται µε τουλάχιστον µία (κατευθυνόµενη) ακµή.γ) Κάθε δύο διακεκριµένες κορυφές του γραφήµατος συνδέονται µε α-κριβώς µία (κατευθυνόµενη) ακµή.δ) Το γράφηµα δεν έχει ανακυκλώσεις και κάθε δύο διακεκριµένες κορυ-φές του γραφήµατος συνδέονται µε ακριβώς µία (κατευθυνόµενη) ακµή.

3. α) β)

γ) δ)

6

Ερώτηση 3

Ένας ραδιοφωνικός σταθµός έχει εντοπίσει επτά θέσεις � � _ YaY Y���� στις οποίεςθα εγκαταστήσει αναµεταδότες και έχει καταγράψει τις αποστάσεις µεταξύτους (σε χιλιόµετρα) στον παρακάτω πίνακα.

� � � � ��� ��� ��� ��� ���� � 0 140 100 130 200 210 240� � 140 0 90 180 100 130 100�� 100 90 0 90 100 170 140��� 130 180 90 0 170 80 130��� 200 100 100 170 0 90 200�� 210 130 170 80 90 0 110��� 240 100 140 130 200 110 0

Οι τεχνικοί του σταθµού γνωρίζουν ότι όταν δύο αναµεταδότες απέχουν µε-ταξύ τους λιγότερο από M b� χιλιόµετρα, δεν µπορούν να εκπέµπουν στο ίδιοφασµατικό κανάλι γιατί δηµιουργούνται σηµαντικές παρεµβολές. Οι τεχνικοίθέλουν να υπολογίσουν µια ανάθεση φασµατικών καναλιών στους ποµπούςπου ελαχιστοποιεί τον αριθµό των διαφορετικών καναλιών και δεν δηµιουργείπαρεµβολές.

1. Βασιζόµενοι στον ορισµό του χρωµατικού αριθµού (Μαυρονικόλας, σελ.23), να διατυπώσετε ένα γραφοθεωρητικό µοντέλο για το παραπάνω πρόβλη-µα ανάθεσης καναλιών.

2. Χρησιµοποιώντας το γραφοθεωρητικό µοντέλο που διατυπώσατε, να υπο-λογίσετε τον ελάχιστο αριθµό διαφορετικών καναλιών που απαιτούνται γιατην εγκατάσταση των επτά αναµεταδοτών στις συγκεκριµένες θέσεις. Συ-γκεκριµένα, να περιγράψετε µια ανάθεση καναλιών στους αναµεταδότες πουελαχιστοποιεί τον αριθµό των διαφορετικών καναλιών και δεν δηµιουργεί πα-ρεµβολές. Να εξηγήσετε επίσης γιατί δεν µπορεί να υπάρξει ανάθεση πουδεν δηµιουργεί παρεµβολές και χρησιµοποιεί λιγότερα κανάλια.

Απάντηση

Με βάση το δοθέντα πίνακα σχηµατίζουµε ένα απλό µη κατευθυνόµενο γρά-φηµα µε 7 κορυφές � � _ � � _ Y Y Y _ ��� έτσι ώστε οι κορυφές ���I_ ����_ M ��� _�� � e�_ ��V��να συνδέονται µε ακµή αν και µόνο αν οι αναµεταδότες ��� και ��� απέχουνλιγότερο από M b� χιλόµετρα. Το γράφηµα � που προκύπτει είναι το εξής:

7

� ����

���

� � � �

� �

���

Το πρόβληµα ανάθεσης συχνοτήτων στους αναµεταδότες µοντελοποιείται στοπρόβληµα χρωµατισµού των κορυφών του γραφήµατος � χειριζόµενοι τις προςανάθεση συχνότητες ως χρώµατα βαφής των κορυφών. Με βάση το πρόβλη-µα, θέλουµε να χρωµατίσουµε τις κορυφές του � µε τρόπο ώστε κάθε δύοκορυφές που ενώνονται µε ακµή (δηλαδή οι αντίστοιχοι αναµεταδότες απέ-χουν λιγότερο από Mab χιλιόµετρα) να έχουν διαφορετικό χρώµα (δηλαδή οιαντίστοιχοι αναµεταδότες να µην λάβουν την ίδια συχνότητα). Επιπρόσθετα,ζητάµε ο χρωµατισµός να είναι τέτοιος ώστε να ελαχιστοποιείται ο αριθµόςτων χρησιµοποιούµενων χρωµάτων (ένας εύκολος, πλην όµως ανόητος και µηαποδεκτός ως απάντηση, χρωµατισµός θα ήταν να χρησιµοποιήσουµε επτάχρώµατα, ένα χρώµα για κάθε κορυφή).

Όλες οι κορυφές που θα έχουν το ίδιο χρώµα θα λέµε ότι αποτελούν µίαχρωµατική κλάση (βλέπε και τον ορισµό 1.5, σελ 18 Μαυρονικόλας, του συνό-λου ανεξαρτησίας). Προφανώς εάν δύο κορυφές ανήκουν στην ίδια χρωµατικήκλάση τότε δεν συνδέονται µε ακµή. Ξεκινάµε από την κορυφή � � και παρα-τηρούµε κατά σειράν ότι κάθε µία από τις κορυφές � � _ � � και ��� ενώνεται µετην � � άρα δεν µπορεί καµµία να ενταχθεί στην ίδια χρωµατική κλάση µε το� � Y Η κορυφή ��� όµως δεν συνδέεται µε την � � άρα οι κορυφές � � _ ��� µπορούννα χρωµατιστούν µε το ίδιο χρώµα, δηλαδή να ανήκουν στην ίδια χρωµατικήκλάση. Στην συνέχεια αναζητούµε κάποια άλλη κορυφή που να µπορεί να ε-νταχθεί στην χρωµατική κλάση των � � _ ���aY Κάθε µία από τις κορυφές � � _ � �D_ ���και � � ενώνεται είτε µε την � � είτε µε την ��� _ άρα δεν µπορούν να εντα-χθούν στην χρωµατική κλάση των � � _ ���aY Τέλος η � � µπορεί να ενταχθεί στηνχρωµατική κλάση των � � _ ���aY Προφανώς, η χρωµατική κλάση

E V � � � _ ���a_ ��� ,που σχηµατίσαµε δεν µπορεί να µεγαλώσει περαιτέρω (το

Eείναι µεγιστοτικό

σύνολο ανεξαρτησίας του � ). ∆ουλεύοντας όµοια µε τις κορυφές που έχουναποµείνει σχηµατίζουµε τις χρωµατικές κλάσεις

� V � � � _ ��� , και ��V � ��� _ � � , Y

8

Συνεπώς, µπορούµε να χρωµατίσουµε το γράφηµα � µε τρία χρώµαταE _ �

και � όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα.

� ����

���

� � � �

� �

���

Το γράφηµα � δεν µπορεί να χρωµατιστεί µε 2 χρώµατα και να ικανοποιείταιη συνθήκη «κάθε δύο κορυφές που ενώνονται µε ακµή να έχουν διαφορετικόχρώµα». Αν αυτό ήταν δυνατό τότε θα είχαµε 2 χρωµατικές κλάσεις, αςπούµε

E _ �, και κάθε ακµή θα συνέδεε µία κορυφή από την

Eµε µία κορυφή

από την� Y Με άλλα λόγια το γράφηµα � θα ήταν διµερές πράγµα αδύνατο

διότι το � περιέχει κύκλο περιττού µήκους.

9

Ερώτηση 4

1. ∆ίνεται ένα πλήρες µη-κατευθυνόµενο γράφηµα � µε F κορυφές στις οποίεςέχουµε αντιστοιχίσει F διαφορετικές ετικέτες (συνεπώς οι κορυφές του � είναιδιακεκριµένες αφού καθεµία έχει διαφορετική ετικέτα). Ποιος είναι ο αριθµόςτων διαφορετικών κύκλων Hamilton του γραφήµατος � ;2. Αφαιρούµε µία ακµή από το γράφηµα του (1). Ποιος είναι ο αριθµός τωνδιαφορετικών κύκλων Hamilton του νέου γραφήµατος;

Απάντηση

1. [Το υποερώτηµα αυτό απαντάται πλήρως στο Παράδειγµα 1.12 σελ. 80Μαυρονικόλας, καθ΄ όσον ο όρος απλός κύκλος που αναφέρεται εκεί εί-ναι ταυτόσηµος µε το κύκλο Hamilton]Κάθε κύκλος Hamilton στο � είναι µία κυκλική απαρίθµηση όλων τωνκορυφών του � . Συνεπώς θα πρέπει βρούµε πρώτα πόσες είναι οι κυ-κλικές απαριθµήσεις F αντικειµένων.Ας δούµε αναλυτικά την περίπτωση F V ]�Y Το σύνολο των µεταθέσεωντου συνόλου ��M�_`T�_@] , είναι ]���V7d�Y Θεωρούµε όµως τον 3-κύκλο ίδιο ανε-ξάρτητα από την κατεύθυνση που διατρέχουµε τις κορυφές δηλαδή, οικύκλοι ����� M και

����� M�_θεωρούνται ίδιοι, όπως επίσης τα ζεύγη κύκλων���� T�_ ���� ]και τα ζεύγη ����� ]�_ ���� ]�YΆρα οι ]���V=d συνολικά µεταθέσεις των τριών αντικειµένων διαιρούνταιµε το T διότι δεν µας ενδιαφέρει η κατεύθυνση.Επιλέον, θεωρούµε τον ]�� κύκλο ίδιο ανεξάρτητα από το που αρχίζουµετην απαρίθµηση, δηλαδή, οι ] (που απέµειναν µετά την προηγούµενηταυτοποίηση) κύκλοι ����� M�_ ���� T�_ και

����� ]θεωρούνται ίδιοι. Με άλλα λόγια, προκειµένου να βρούµε το αριθµότων διακεκριµένων κυκλικών απαριθµήσεων των ] αντικειµένων, πρέ-

πει να διαιρέσουµε το]��T µε το ] διότι έχουµε ] επιλογές για το που

θα ξεκινήσουµε την απαρίθµηση. Η παραπάνω διαδικασία, ισχύει γιατις κυκλικές απαριθµήσεις οιουδήποτε αριθµού F αντικειµένων. ∆ηλα-δή, γιά κάθε δυνατή µετάθεση F αντικειµένων υπάρχουν F θέσεις από

10

τις οποίες µπορούµε να ξεκινήσουµε την κυκλική απαρίθµηση και δύοκατευθύνσεις. Συνεπώς, για να βρούµε τον συνολικό αριθµό των διακε-κριµένων κυκλικών απαριθµήσεων F αντικειµένων (που ισούται µε τονζητούµενο αριθµό κύκλων Hamilton στο � ) πρέπει να διαιρέσουµε τοναριθµό F � των µεταθέσεων µε το γινόµενο TDF5Y

2. Έστω � ��� _ � � _ Y Y Y _ �%��, οι κορυφές του � και, χωρίς βλάβη της γενικότητας,υποθέτουµε ότι αφαιρείται η ακµή � � ����� _ �%��, . Για να απαντήσουµε στοερώτηµα αρκεί να βρούµε τον αριθµό των κύκλων Hamilton του � πουπεριέχουν την ακµή � � ����� _ �%��, και στην συνέχεια να τον αφαιρέσουµεαπό τον αριθµό F � S�T�F όλων των κύκλων Hamilton του � Y

�%����� �%��%���7�� �

�������� �����

Y Y Y���

Μονοπάτι Hamiltonµε άκρα τις � ����� _ � � Y

Κάθε κύκλος που περιέχει την ακµή � � ����� _ � ��, µετατρέπεται, αφαιρου-µένης της ακµής � � ����� _ �%��, _ σε ένα µονοπάτι Hamilton που ενώνει τιςακµές � ����� _ �%� Y Προφανώς και το αντίστροφο ισχύει, δηλαδή κάθε µονο-πάτι Hamilton που ενώνει τις ακµές � ����� _ �%� χωρίς να περιέχει την ακµή� �%����� _ �%��, µετατρέπεται, αν του προσθέσουµε την ακµή � � ����� _ �%��, σε ένακύκλο Hamilton. ∆εδοµένου ότι αντιστοιχία κύκλων και µονοπατιών πουπεριγράψαµε παραπάνω είναι αµφιµονοσήµαντη αρκεί, για να λύσουµετο πρόβληµά µας, να υπολογίσουµε το αριθµό των µονοπατιών Hamiltonπου ξεκινάνε από την � ����� και καταλήγουν στην � � Y Αυτό είναι πρόβλη-µα µετάθεσης των (υπολοίπων) κορυφών ��� _ � � _ Y Y Y �%���7� και µπορεί ναγίνει µε K F ��T�R � τρόπους. Συνεπώς οι κύκλοι Hamilton στο αρχικό (πλή-ρες) γράφηµα που περιέχουν την ακµή � � ����� _ � ��, είναι K F �iT�R � άρα καιο (ζητούµενος) αριθµός κύκλων Hamilton στο αρχικό (πλήρες) γράφηµαπου δεν περιέχουν την ακµή � � ����� _ � �7, είναι

F �TDF �$K F �QT�R � Y

11

Ερώτηση 5

1. Μια ακµή ονοµάζεται γέφυρα αν δεν περιέχεται σε κάποιο κύκλο. Εξ΄ορισµού, η αφαίρεση µιας ακµής-γέφυρας από ένα συνδεόµενο (συνδεδεµένο,συνεκτικό) γράφηµα καθιστά το γράφηµα µη-συνδεόµενο. Για παράδειγµα, ηακµή ��� _ ��, αποτελεί γέφυρα για το γράφηµα του παρακάτω σχήµατος.

� �

α. Υπάρχει γράφηµα που περιέχει γέφυρα και όλες οι κορυφές του έχουνάρτιο βαθµό; Αν ναι, να κατασκευάσετε ένα τέτοιο γράφηµα, αν όχι να απο-δείξετε τον ισχυρισµό σας.

β. Υπάρχει γράφηµα που περιέχει γέφυρα και έχει κύκλο Hamilton; Αν ναι,να κατασκευάσετε ένα τέτοιο γράφηµα, αν όχι να αποδείξετε τον ισχυρισµόσας.

2. ∆ίνεται το γράφηµα του σχήµατος που είναι γνωστό σαν γράφηµα Peter-sen (βλ. επίσης Μαυρονικόλα, Σχήµα 1.19, σελ. 38). Ποιος είναι ο ελάχιστοςαριθµός ακµών που πρέπει να προσθέσουµε στο γράφηµα Petersen για να σχη-µατιστεί κύκλος Euler; ∆ώστε ένα τέτοιο σύνολο ακµών και έναν αντίστοιχοκύκλο Euler.

3. Έστω µη-κατευθυνόµενο συνδεόµενο γράφηµα � µε F κορυφές από τιςοποίες

� � F έχουν περιττό βαθµό. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθµός ακµώνπου πρέπει να προσθέσουµε στο � για να σχηµατιστεί ένα γράφηµα (όχι κατ΄ανάγκη απλό) το οποίο περιέχει κύκλο Euler; Το συµπέρασµά σας βρίσκεταισε αντιστοιχία µε αυτό του (2);

12

Απάντηση

1. α. Έστω � ένα γράφηµα που περιέχει µία γέφυρα � V ��� _ ��, . Θεωρούµεεκείνη την συνεκτική συνιστώσα του � _ ας την ονοµάσουµε

� _ η οποίαπεριέχει την γέφυρα � (αν � συνεκτικό γράφηµα τότε

� V � Y ). Για τογράφηµα

�εφαρµόζεται το Θεώρηµα 4.1 σελ. 109 Βούρος, το οποίο

λέει ότι ένα γράφηµα έχει κύκλο Euler αν και µόνο αν είναι συνεκτικόκαι κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθµό. Συνεπώς το

�έχει κύκλο Euler και

αυτός αναγκαστικά θα περιέχει την γέφυρα ��_ άτοπο εξ΄ ορισµού τηςγέφυρας.β. Έστω � γράφηµα που περιέχει γέφυρα �9V ��� _ ��, και έχει κύκλοHamilton � Y Η ύπαρξη κύκλου Hamilton καθιστά το � συνεκτικό καιεξ΄ ορισµού της γέφυρας ο κύκλος � δεν περιέχει την ��Y Συνεπώς, α-φαιρώντας την ακµή � από το � _ το γράφηµα ����� που θα προκύψειεξακολουθεί να περιέχει τον κύκλο � που διέρχεται από όλες τις κορυ-φές. Άρα το γράφηµα ����� παραµένει συνεκτικό, άτοπο αφού η ακµή �είναι γέφυρα.

2. Παρατηρούµε ότι όλες οι κορυφές του γραφήµατος Petersen έχουν βαθ-µό ]�Y Με βάση το Θεώρηµα 4.1 σελ. 109 Βούρος, για να σχηµατιστείκύκλος Euler πρέπει να προσθέσουµε ακµές έτσι ώστε όλες οι κορυ-φές να αποκτήσουν άρτιο βαθµό. Αφού οι κορυφές είναι M και κάθε(προστιθέµενη) ακµή αυξάνει τον βαθµό κάθε µιάς κορυφής που ενώνεικατά M έπεται ότι ο ελάχιστος αριθµός ακµών που απαιτούνται είναι b�YΗ προσθήκη των ακµών πρέπει να γίνει χρησιµοποιώντας κάθε µια απότις 10 κορυφές ακριβώς µία φορά. Μία επιλογή προσθήκης b ακµώνπεριγράφεται στο αριστερό τµήµα του παρακάτω σχήµατος.

M

T

13

Στο δεξιό τµήµα του σχήµατος δίνονται χρωµατισµοί ακµών που καθι-στούν ευκολότερη την καταγραφή κύκλων Euler. Για παράδειγµα,

� ξεκινάµε από την κορυφή M�_� διατρέχουµε όλες τις πράσινες ακµές και επιστρέφουµε στην κορυ-

φή M�_� διατρέχουµε όλες τις κίτρινες ακµές και καταλήγουµε στην T�_� διατρέχουµε όλες τις κόκκινες ακµές και επιστρέφουµε στην T�_� διατρέχουµε την µαύρη ακµή και καταλήγουµε στην κορυφή M από

όπου ξεκινήσαµε.

Φυσικά υπάρχουν κύκλοι Euler που διατρέχουν τις χρωµατικές οµάδεςµε διαφορετική σειρά καθώς και κύκλοι Euler που «ανακατεύουν» ταχρώµατα.

3. Κατ΄ αρχάς, ο αριθµός�

είναι αναγκαστικά άρτιος αφού (βλ. σελί-δα 111, Βούρος) σε κάθε γράφηµα το πλήθος των κορυφών µε περιττόβαθµό είναι άρτιο. Η µέθοδος που εφαρµόσαµε στο προηγούµενο ερώ-τηµα γενικεύεται: χωρίζουµε τις

�κορυφές, που έχουν περιττό βαθµό,

σε ζεύγη και προσθέτουµε� S�T ακµές, µία σε κάθε ζεύγος. Ο αριθµός� S"T είναι και ο ελάχιστος δυνατός αφού προσθέτοντας

� S�T � M ακµές θαείχαµε µεταβολή βαθµού σε το πολύ

� �GT ακµές του � άρα τουλάχιστονT από αυτές που αρχικά είχαν περιττό βαθµό θα εξακολουθούσαν ναέχουν περιττό βαθµό.

14

Ερώτηση 6

1. Να δείξετε ότι κάθε απλό µη-κατευθυνόµενο γράφηµα µε T�M κορυφές καιT �P ακµές έχει κύκλο Hamilton αλλά δεν έχει κύκλο Euler.

Υπόδειξη: Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε την ακόλουθη πρόταση, που είναιγνωστή σαν Θεώρηµα του Dirac: Έστω � K���_�� R απλό µη-κατευθυνόµενο γράφη-µα µε F κορυφές. Αν όλες οι κορυφές του � έχουν βαθµό µεγαλύτερο ή ίσοτου F S�T , το � έχει κύκλο Hamilton.

2. Το πλέγµα (grid) τάξης F είναι ένα απλό µη-κατευθυνόµενο γράφηµαµε F�� F κορυφές. Σε κάθε κορυφή αντιστοιχεί ένα ζεύγος συντεταγµένωνK � _���R�� ��M�_aY Y Ya_�F , ����M�_ YaY Y _�F , . Η κορυφή µε συντεταγµένες K � _���R συνδέεται µετις κορυφές K � � M�_ ��Rf_ K � NZM�_���R0_aK � _�� � M R , και K � _��8NZMDR . Το πλέγµα τάξης M είναιµια αποµονωµένη κορυφή. Τα πλέγµατα τάξης T�_`] , και W απεικονίζονται στοσχήµα:

(2,4)

(2,3)

(2,2)

(2,1)

(1,4)

(1,3)

(1,2)

(1,1)

(3,4)

(3,3)

(3,2)

(3,1)

(4,4)

(4,3)

(4,2)

(4,1)

(1,3)

(1,2)

(1,1)

(2,3)

(2,2)

(2,1)

(3,3)

(3,2)

(3,1)

(2,2)

(2,1)

(1,2)

(1,1)

α. Να δείξετε ότι κάθε πλέγµα έχει µονοπάτι Hamilton (το µονοπάτι Hamiltonείναι ένα µονοπάτι που περνάει από κάθε κορυφή του γραφήµατος ακριβώςµία φορά).

β. Χρησιµοποιώντας µαθηµατική επαγωγή στην τάξη του πλέγµατος, να απο-δείξετε ότι κάθε πλέγµα άρτιας τάξης έχει κύκλο Hamilton.

Απάντηση

1. Έστω � ένα απλό µη-κατευθυνόµενο γράφηµα µε T�M κορυφές και T �Pακµές. Το πλήρες γράφηµα � � � µε T�M κορυφές έχει T�M�K T�M �7M R@S�T V T�M κορυφές. Συνεπώς το � προκύπτει από το � � � µε αφαίρεση T ακµών.Ο βαθµός µιας κορυφής � του � είναι

15

� είτε T αν οι αφαιρεθείσες ακµές δεν προσπίπτουν στην � _� είτε M�� αν µόνο µία από τις αφαιρεθείσες ακµές προσπίπτει στην � _� είτε MaP αν και οι δύο αφαιρεθείσες ακµές προσπίπτουν στην � Y

Σε κάθε περιπτωση ο βαθµός κάθε κορυφής � είναι µεγαλύτερος απόT�M S�T�_ οπότε από το Θεώρηµα Dirac το � έχει κύκλο Hamilton.

Όλες οι ακµές του � ��� έχουν άρτιο βαθµό ( V7T ). Με την αφαίρεση τηςπρώτης ακµής από το � � � _ T κορυφές αποκτούν περιττό βαθµό ( V M�� )και αφαιρώντας µια δεύτερη ακµή οι κορυφές µε περιττό βαθµό γίνονται

� είτε W (όλες µε βαθµό M�� ) αν οι αφαιρεθείσες ακµές δεν προσπί-πτουν σε κοινή κορυφή,

� είτε T (µε βαθµό M�� ) αν οι αφαιρεθείσες ακµές προσπίπτουν σεκοινή κορυφή (η οποία θα έχει βαθµό MaP ).

Σε κάθε περίπτωση υπάρχει κορυφή περιττού βαθµού άρα το � δεν έχεικύκλο Euler.

2. α. Οι κορυφές ενός πλέγµατος τάξης F µπορεί να χωρισθούν σε ξέ-νες οµάδες όπου κάθε µία οµάδα είναι µία «οριζόντια» γραµµή.Ακριβέστερα, µία «οριζόντια» γραµµή είναι το σύνολο κορυφών

E � V ��K � _aM R0_aK � _`T�Rf_ YaY Ya_aK � _�F R , YΠροφανώς

� � ��M�_`T)Y Y Y _�F , , δηλαδή υπάρχουν F «οριζόντιες» γραµ-µές. Μια επιλογή για το ζητούµενο µονοπάτι Hamilton η οποίαεπιδεικνύεται στο παρακάτω σχήµα (δεξιά η περίπτωση F άρτιοςκαι αριστερά η περίπτωση F περιττός).

είναι να

� ξεκινήσουµε από την κορυφή K�M�_ MDR (κάτω αριστερά στο πλέγµα)

16

� να διασχίσουµε (κατά αύξοντα αριθµό της πρώτης συντεταγµέ-νης) ολόκληρη την γραµµή

E � _� να χρησιµοποιήσουµε την ακµή ��K F5_ MDRf_aK F5_`T�R , για να «ανέβου-

µε» στην γραµµήE � ,

� να διασχίσουµε (κατά φθίνοντα αριθµό της πρώτης συντεταγ-µένης) ολόκληρη την γραµµή

E � _� να χρησιµοποιήσουµε την ακµή ��K�M�_`T�R0_aK�M�_@]�R , για να «ανέβου-

µε» στην γραµµήE � ,

�� κ.ο.κ

�� να χρησιµοποιήσουµε την ακµή ��K F _�F �3M R0_aK F _'F R , για να «ανέ-

βουµε» στηνE � (αν F άρτιος),

να χρησιµοποιήσουµε την ακµή ��K�M�_�F � MDR0_aK'M�_'F R , για να «ανέ-βουµε» στην

E � (αν F περιττός),

� να διασχίσουµε ολόκληρη την γραµµήE � (κατά φθίνοντα αριθµό

της πρώτης συντεταγµένης αν F άρτιος και κατά αύξοντα αν Fπεριττός).

β. Συµβολίζουµε µε �� το πλέγµα τάξης � _ � � � YΕφαρµόζουµε επαγωγή στην τάξη T�F του πλέγµατος.Γιά F V M το αποτέλεσµα είναι άµεσο.Επαγωγικό βήµα: υποθέτουµε ότι το πλέγµα ��"#�����'& τάξης T�K F � MDRέχει κύκλο Hamilton και δείχνουµε ότι �'� έχει κύκλο Hamilton.Το πλέγµα � "#�����'& είναι υπογράφηµα του �'� και ταυτοποιούµε το � "#�����+& µε το κάτω αριστερό τµήµα του �+� όπως φαίνεται στο πα-ρακάτω σχήµα:

17

Έστω � ����� ο κύκλος Hamilton για το ��"#�����'& που γνωρίζουµε ότιυπάρχει από την υπόθεση της επαγωγής. Ο � ����� περιέχει την άνωδεξιά κορυφή K T�F �&T�_`T�F �&T�R του ��"#�����+& _ συνεπώς αναγκαστικάπεριέχει και τις 2 ακµές που προσπίπτουν στην κορυφή K T�F � T�_`T�F �T�R . Παρατηρούµε ότι υπάρχει απλό µονοπάτι � � µε τις παρακάτωιδιότητες

� τα άκρα του � � είναι οι κορυφές K T�F � T�_`T�F � ]�R και K T�F � T�_`T�F �T�R0_

� το � � περιέχει όλες τις κορυφές του �+� που δεν είναι κορυφέςτου ��"#�����'& ακριβώς µία φορά και

� το � � δεν περιέχει καµµία κορυφή � "#�����+& πέραν των άκρων του,δηλαδή πλην των κορυφών K T�F��hT�_`T�F��Z]�R και K T�F��hT�_cTDF��hT�R .

Το µονοπάτι � � φαίνεται στο παρακάτω σχήµα µε µπλέ χρώµα.

" �+���7� �+��� � &

" �+���7� �+���7�)&

Hamiltonκύκλος � �����

� �

Συνεπώς, µπορούµε να αφαιρέσουµε από τον κύκλο � ����� την (κα-τακόρυφη) ακµή � ����� V ��K T�F�� T�_`T�F�� ]�R0_aK T�F�� T�_`T�F�� T�R , _ και να τηναντικαταστήσουµε µε το µονοπάτι � � Y Είναι άµεσο ότι το σύνολοακµών και κορυφών που καθορίζεται από την σχέση

� � V K�� ������� � � R ��� �����είναι ένας κύκλος που διέρχεται από όλες τις κορυφές του �'�ακριβώς µία φορά.

18

Ερώτηση 7

Να αποδείξετε ότι κάθε απλό µη-κατευθυνόµενο γράφηµα µε F��7] κορυφές

και περισσότερες από

� F �XMT � ακµές είναι συνδεόµενο (συνδεδεµένο, συ-

νεκτικό). Να κατασκευάστε ένα γράφηµα µε F κορυφές και

� F � MT � ακµές

που δεν είναι συνδεόµενο. Η κατασκευή σας πρέπει να εφαρµόζεται για κάθεφυσικό αριθµό F�� ] .Απάντηση

Έστω � ένα γράφηµα όπως περιγράφεται στην εκφώνηση. Αν � όχι συνεκτικότότε έχει µία συνεκτική συνιστώσα � � γνήσια µικρότερη του � οπότε ταυπογραφήµατα � � και � � V � �� � είναι ξένα, η ένωσή τους είναι το � καιδεν υπάρχει ακµή στο � που να συνδέει µία κορυφή του � � µε µία κορυφήτου � � YΑς εξετάσουµε αναλυτικά τι συµβαίνει στην περίπτωση που η συνιστώσα � �αποτελείται από µία µόνο κορυφή. Τότε το � δεν περιέχει καµµία από τιςF5�&M ακµές που ορίζονται από την (µοναδική) κορυφή του � � και τις F5�&Mκορυφές του � � Y Συνεπώς το � έχει τουλάχιστον F �7M ακµές λιγότερες απότις ακµές που έχει το πλήρες γράφηµα µε F κορυφές. ∆ηλαδή το � έχει τοπολύ F8K F �XMDR

T � K F �XMDR5V F5K F � MDR � T�K F � MDRT V

� F � MT �

ακµές, πράγµα άτοπο εξ΄ υποθέσεως.Εξετάζουµε τώρα την περίπτωση που το � � έχει

�κορυφές µε M�� � �3F �3M�_

δηλαδή� � �"T�_@]�_ YaY Ya_�F � T , Y Σε αυτήν την περίπτωση το � δεν περιέχει καµµία

από τις� K F � � R ακµές που ορίζονται από τις

�κορυφές του � � και τις F � �

κορυφές του � � Y Συνεπώς το � έχει το πολύ

F5K F � MDRT � � K F � � R

ακµές. Επειδή το άθροισµα δύο φυσικών αριθµών µεγαλύτερων του M είναιπάντα γνήσια µικρότερο του γινοµένου τους έπεται ότι

� K F � � R�� � N F � � V Fγια κάθε

� � �"T�_@]�_ YaY Y _�F �QT , Y Τελικώς έχουµε ότι το � έχει το πολύ

F8K F � MDRT � � K F � � R � F8K F � M R

T �$K F �XMDR8V� F � M

T �ακµές, γεγονός που αντιβαίνει την υπόθεση.

19

Από την παραπάνω ανάλυση είναι σαφές ότι το πλήθος των ακµών πουυποχρεωτικά λείπουν από το µη συνετικό � (συγκρινόµενο µε το πλήρες γρά-φηµα � � ) ελαχιστοποιείται όταν υπάρχει συνεκτική συνιστώσα µε µία κορυφή.Με χρήση της ανισότητας που συνδέει το γινόµενο µε το άθροισµα κάποιωνδοσµένων αριθµών, βλέπουµε εύκολα ότι όταν υπάρχουν παραπάνω από δύοσυνεκτικές συνιστώσες τότε το πλήθος των ακµών που λείπουν από το µησυνετικό � είναι ακόµα µεγαλύτερο. Θεωρούµε λοιπόν ένα γράφηµα � πουαποτελείται από µιά µεµονωµένη κορυφή και το πλήρες γράφηµα � ����� Y Το �έχει προφανώς F κορυφές και ακµές όσες και το � ����� _ δηλαδή,

K F �XMDR0K F � T�RT V K F � M � T�R � K F � M R K F � T�R

K F �XM � T�R � T � V� F �XM

T � Y

20

Ερώτηση 8

Έστω απλό µη-κατευθυνόµενο γράφηµα � K ��_�� R . Το γράφηµα ακµών (line gra-ph) ��5K����A_ ��� R του � ορίζεται ως εξής:

i. Το γράφηµα ακµών �� έχει µια κορυφή για κάθε ακµή του αρχικού γρα-φήµατος � . Υπάρχει µια M � M αντιστοιχία µεταξύ των ακµών του � και τωνκορυφών του �� .ii. ∆υο κορυφές του �� ενώνονται µε ακµή αν και µόνο αν οι αντίστοιχεςακµές του � προσπίπτουν στην ίδια κορυφή (στο � ). Στο παρακάτω σχήµα,απεικονίζεται ένα γράφηµα, το αντίστοιχο γράφηµα ακµών, και η αντιστοιχίαµεταξύ των ακµών του αρχικού γραφήµατος και των κορυφών του γραφήµα-τος ακµών.

��5K ���A_���� R� �� �� �

� �

� �� �

� �� �

� �

� �

� K���_�� R

1. Έστω �9V ��� _ ��, ακµή του � Y Να δείξετε ότι ο βαθµός της αντίστοιχηςκορυφής του �� είναι ίσος µε

� K �;R%N � K � R2� T�_ όπου� K �!R και

� K � R συµβολίζουντο βαθµό των κορυφών � και � στο αρχικό γράφηµα � Y2. Έστω F και � ο αριθµός των κορυφών και των ακµών του αρχικούγραφήµατος � Y Να δείξετε ότι το γράφηµα ακµών � έχει � κορυφές και� � N� ����� � K �!R � ακµές, όπου

� K �;R είναι ο βαθµός της κορυφής � στο αρχικόγράφηµα � YΥπόδειξη: Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε το αποτέλεσµα του (1) και να α-θροίσετε τους βαθµούς όλων των κορυφών του � . Για κάθε κορυφή � τουαρχικού γραφήµατος � , πόσες φορές εµφανίζεται ο όρος

� K �;R στο άθροισµαπου προκύπτει;

Απάντηση

1. Ξεκινάµε υιοθετώντας µερικούς συµβολισµούς.Συµβολίζουµε µε � _�� � _�� �D_ Y Y Y���� " � & τις

� K �;R το πλήθος (διακεκριµένες) κο-

21

ρυφές που είναι γειτονικές της � _ δηλαδή, ενώνονται µε ακµή µε την � YΓια κάθε

� V T�_aY Y Ya_ � K �;R συµβολίζουµε µε �'� �I_ � , την ακµή που ενώνειτις κορυφές � � _ � Y Παρόµοια συµβολίζουµε µε � _�� � _�� �D_ Y Y Y�� � " � & τις

� K � Rτο πλήθος (διακεκριµένες) κορυφές που είναι γειτονικές της � _ δηλαδή,ενώνονται µε ακµή µε την � Y Για κάθε ��V T�_aY Y Ya_ � K � R συµβολίζουµε µε�3� ��_ � , την ακµή που ενώνει τις κορυφές � ��_ � YΣτο αριστερό τµήµα του παρακάτω σχήµατος δίνεται µια εποπτική εικό-να του παραπάνω συµβολισµού. Σηµειώστε ότι η εικόνα του σχήµατοςεµπεριέχει (εποπτικά εξαγόµενη) πληροφορία που δεν είναι πάντα σω-στή. Για πράδειγµα µπορεί η κορυφή � � να είναι η ίδια µε την κορυφή � �ενώ στο σχήµα µας υπονοείται ότι οι κορυφές � � _�� � είναι διαφορετικές.

�� K����!_���� R� K ��_ � R� V ��� _ ��,�

�

�

� � � � ����� � � " � &

� � � � ����� � � " � & �'� � _ � , �'� �D_ � , ����� �'� � " � & _ � ,

�3� � _ ��, �3� � _ ��, ����� �3� � " � & _ ��,

Το γεγονός ότι το αριστερό τµήµα του σχήµατος δεν είναι κατ΄ ανάγκηαυτούσιο κοµµάτι του � δεν αποτελεί πρόβληµα διότι µας ενδιαφέρειτο γράφηµα �� καί ένα αυτούσιο κοµµάτι του �� (αυτό που αντιστοιχείστην κορυφή � ) παρουσιάζεται στο δεξί κοµµάτι του σχήµατος. Ειδι-κώτερα, επειδή το γράφηµα � είναι απλό έπεται ότι όλες οι κορυφέςτου �� στο δεξιό τµήµα του σχήµατος είναι ανά δύο διακεκριµµένες.∆ηλαδή, µπορούµε εύκολα να δείξουµε τις ιδιότητες

K �!R �'��� _ � , �V �'��� � _ � , για κάθε���V ��� _

K � R �3� ��_ ��, �V �3� � � _ ��, για κάθε � �V�� � _ και

K � � R �'��� _ � , �V �3� ��_ ��, για κάθε� _���Y

Προχωρούµε στην απόδειξη του ζητούµενου.

22

Έστω µία ακµή�

που προσπίπτει στην κορυφή ��� _ ��, του � Y Το άλλοάκρο της

�είναι µία κορυφή του � , ας πούµε η � � _�� , Y Προφανώς,

� � _�� ,�� ��� _ ��, �V�� άλλως, δεν θα υπήρχε η� Y Υποθέτουµε πρώτα ότι

�iV � Y Με άλλα λόγια η ακµή � � _�� , V ��� _�� , του � προσπίπτει στηνκορυφή � Y Άρα το � (που είναι διάφορο του � διότι το � είναι απλό)ταυτίζεται µε ακριβώς ένα από τα � � _�� � Y YaY���� " � & Y Παρόµοια, εάν � V �τότε η ακµή � � _�� , V � � _�� , του � θα προσπίπτει στην κορυφή � καισυνεπώς το � θα ταυτίζεται µε ακριβώς ένα από τα � � _�� � YaY Y�� � " � & YΈχουµε δηλαδή φτιάξει µία (καλά ορισµένη) αµφιµονοσήµαντη και επίαπεικόνιση

E � - �'� � _ � , _ �'� �D_ � , _ Y Y Y �'� � " � & _ � , _ �3� � _ ��, _ �3� � _ ��, _ Y YaY �3� � " � & _ ��, 4όπου

Eείναι το σύνολο

E V � � � ����� όπου�

προσπίπτει στην � , YΑπό τις σχέσεις K �!R0_aK � R και K � � R παραπάνω έχουµε ότι ο πληθικός α-ριθµός του πεδίου τιµών είναι

� K �;R N � K � R �XT ο οποίος ισούται µε τονπληθικό αριθµό του πεδίου ορισµού. Αλλά ο πληθικός αριθµός του

Eείναι ο βαθµός της κορυφής � V ��� _ ��, Y

2. Ο αριθµός ���� των ακµών του �� είναι ίσος µε το ήµισυ του αθροίσµα-τος των βαθµών όλων των κορυφών του � δηλαδή

�����V MT � ������ K ��R8V MT ���� � � � � ����� � � K �;R,N � K � R � T �"V

� � N MT ��� � � � � ����� � � K �;R�N � K � R �όπου η πρώτη ισότητα ισχύει λόγω του προηγούµενου ερωτήµατος καιη δεύτερη επειδή το γράφηµα ακµών του � έχει � κορυφές. Αν � είναιµία κορυφή του � υπάρχουν

� K �;R το πλήθος ακµές που προσπίπτουνστην � και κάθε µία από αυτές θα συνεισφέρει έναν προσθετέο

� K �;R στοδεξί άθροισµα της παραπάνω ισότητας. Άρα ο προσθετέος

� K �;R θα εµ-φανιστεί ακριβώς

� K �;R φορές στο άθροισµα ��� � � � � � ��� � K �;R�N � K � R0Y Αυτόισχύει κάθε καρυφή � � � K�� R συνεπώς

�����V � � N MT ��� � � � � � � � � � K �!R N � K � R � V � � N MT � � � " � & � K �;R � Y

23