PRACTICA 2. ERRORES

1. ERRORES EN LAS MEDIDAS. ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO.

Siempre que se hace alguna medida, es inherente la comisin de errores,

debido a distintas causas. Por ello, al expresar una medida, debemos acompaar

siempre el valor medido o calculado, de una cota que nos informe de cual es la

incertidumbre de esa medida. Por ejemplo, si medimos una longitud, la forma correcta

de dar el resultado sera: L = 23,45 0,02 m (de forma general, se utiliza la simbologa

X X). Ello no significa que, con toda seguridad, la medicin que hemos hecho est

en el intervalo comprendido entre 23,43 y 23,47 m, sino que estar en dicho intervalo

con una cierta probabilidad. Este margen de validez se conoce como error absoluto de

una medida, y depende de varios factores, como la calidad del instrumento utilizado,

el observador, el mtodo de medicin, la probabilidad deseada, etc

Existen dos reglas fundamentales para escribir correctamente el resultado de

una medida:

1. El nmero de cifras significativas del error absoluto debe ser de una, y en casos excepcionales, hasta dos (siempre y cuando ambas cifras significativas

formen un nmero < 25). Por tanto, el error absoluto deberemos

redondearlo para que cumpla esta regla.

Nota: Son cifras significativas:

i. Cualquier dgito diferente de cero. ii. Los ceros situados entre nmeros distintos de cero.

iii. En cualquier nmero >1, los ceros situados a la derecha de la coma, son significativos.

2. La ltima cifra significativa de la medida y del error deben tener el mismo orden decimal. Es decir, no tiene sentido que la medida tenga mayor

precisin que el error.

Ejemplos:

Medidas incorrectas Medidas correctas

48,721 0,32 V 48,7 0,3 V

4,6 0,018 V 4,60 0,02 V

563 10 cm 560 10 cm

87210-6

0,8610-4

N 8,710-4

0,910-4

N

4,67810-8

1,210-10

A (4,68 0,01) 10-8

A

0,233 C 03 C

El error absoluto no es un parmetro que sirva de comparacin entre dos

medidas, pero s que lo es el error relativo, cociente entre el error absoluto y la

medida. Adems, el error relativo es importante porque en el cdigo de colores de

resistencias y condensadores, el color de una de las bandas nos indica el error relativo

(en %) del valor nominal dado por el resto de bandas de colores.

El modo de calcular el error absoluto en una medida depende de si se trata de

una medida directa o indirecta.

2. MEDIDAS DIRECTAS E INDIRECTAS

Una medida directa es aquella que se obtiene de manera directa de un aparato de medida. Por ejemplo, le medida de una longitud mediante un metro, o la

medida de una resistencia elctrica mediante un hmetro son medidas

directas.

Una medida indirecta es aquella que se obtiene mediante procesos de clculo a partir de otras medidas. Es decir, no se obtiene directamente de un aparato de

medida. Por ejemplo, si medimos la tensin entre los bornes de una resistencia

y la corriente que circula por ella, el cociente entre tensin e intensidad V/I (ley

de Ohm) nos permite conocer el valor de la resistencia, pero en este caso de

forma indirecta. Otro ejemplo de medida indirecta sera el clculo de la

superficie de un cuadrado a partir de la medida de su lado.

3. CALCULO DEL ERROR ABSOLUTO EN MEDIDAS DIRECTAS En las medidas directas, lo habitual es que el fabricante del instrumento de

medida nos facilite la hoja de caractersticas, donde se encuentra la informacin

necesaria para conocer el error absoluto de una medida, adems de otras

informaciones para poder aprovechar al mximo el instrumento.

3.1 Clculo del error absoluto en medidas directas sin hoja de caractersticas

del instrumento de medida:

En los casos en los que no existan caractersticas tcnicas del aparato (o se quieran

obtener estas), es necesario acudir a clculos estadsticos para determinar la medida y

su error absoluto:

deberemos efectuar varias medidas (x1, x2,.. xn)

deberemos calcular su valor medio

y estimar el error absoluto como la desviacin tpica: 1

)(0

2

=

=

n

xx

x

n

i

i

3.2 Clculo del error absoluto en medidas directas a partir de la hoja de

caractersticas tcnicas:

El error absoluto de una medida directa siempre se compone de dos partes

diferenciadas:

El error cometido por el aparato durante la medicin.

El error de lectura cometido al transmitir la informacin desde el aparato de medida al observador.

Ambos errores se calculan de forma diferente segn el instrumento de medida sea

digital o analgico, y el error absoluto es siempre la suma de ambos.

n

x

x

n

i

i== 0

Nota: Instrumento analgico es aquel que muestra la medida mediante una

aguja en una escala graduada. Instrumento digital es aquel que muestra el valor de la

medida en una pantalla con varios dgitos.

mA

Figura 1. Aparatos digital y analgico

3.2.1 Error absoluto en aparatos digitales.

En los aparatos digitales, el error cometido por el aparato se llama error de

precisin (accuracy), y se calcula como un porcentaje de la medida. La precisin

aparece en la hoja de caractersticas, y a menudo depende de la escala y/o velocidad

de medida utilizada, as como de otros factores.

El error de lectura es causado por el redondeo del aparato al mostrar el

resultado en pantalla, y corresponde a un determinado nmero de unidades de la

ltima cifra que aparece en la pantalla del instrumento. El nmero de unidades de

esta cifra que nos dan el error de lectura viene indicado en la hoja de caractersticas.

Por ejemplo, supongamos que consultamos la hoja de caractersticas del

multmetro digital Fluke 45 mostrado en la figura 1. La figura muestra la medida de una

corriente (1,436 mA) en corriente continua, y con esta informacin, la hoja de

caractersticas nos dice que la precisin es de 0,3% + 2 d (2 d significa que el error de

lectura es de dos unidades de la ltima cifra en pantalla. La ltima cifra en pantalla

corresponde a milsimas de miliamperio, 0,001 mA). Segn ello, el error absoluto de

esta medida es:

Error de precisin: mA004308,0100

3,0436,1 =

Error de lectura: 2*0,001=0,002 mA

Error absoluto: 0,004308+0,002=0,006308, que se redondea a 0,006

Por tanto, la expresin correcta de esta medida sera: 1,4360,006 mA

3.2.2. Error absoluto en aparatos analgicos.

En los aparatos analgicos, el error cometido por el aparato se llama error de

clase, y se calcula como un porcentaje del fondo de escala (el mximo valor que

puede medir el aparato en la escala en la que se encuentra). Dicho porcentaje (clase)

suele aparecer en la escala graduada del instrumento de medida.

El error de lectura es causado por la dificultad del observador de interpretar

exactamente la posicin de la aguja. Depende de la vista del observador y tambin de

la amplitud de las divisiones que aparecen en la escala de medida. No obstante, lo

habitual es que el error de lectura se tome

igual a media divisin de las ms pequeas

que aparecen en la escala de medida; esto

es equivalente a admitir que el observador

es capaz de discernir cual es la raya de la

escala ms prxima a la aguja del aparato.

Supongamos que hacemos la medida

de la figura. El voltmetro analgico es de

clase 2,5; el fondo de escala es de 15 V, y

cada divisin de la escala corresponde a 0,5

V, por lo que el error de lectura (media

divisin) ser de 0,25 V. Por tanto, el error absoluto de esta medida sera:

Error de clase: V375,0100

5,215 =

Error de lectura: V25,05,02

1=

Error absoluto: 0,375+0,25=0,625, que se redondea a 0,6

Por tanto, la expresin correcta de esta medida sera: 2,90,6 V.

4. CALCULO DEL ERROR ABSOLUTO EN MEDIDAS INDIRECTAS

Para calcular el error absoluto cometido en una medida indirecta, previamente

es necesario conocer los errores absolutos de las medidas a partir de las cuales

obtenemos la medida indirecta. En funcin de estos errores y de la funcin que nos

permite calcular la medida indirecta, se puede conocer cmo se propagan los errores.

a) Medidas indirectas dependientes de una nica variable. Si la medida que estamos calculando slo depende una variable, el clculo del

error es inmediato:

Supongamos que queremos medir de forma indirecta una magnitud y, a

partir de otra magnitud x, conociendo esta ltima con su error absoluto x x, y

tambin la funcin que relaciona y con x, y=f(x). Si representamos dicha funcin, una

variacin x en torno a x (un error) se convierte en una variacin y en torno a y:

Como la derivada de una funcin puede ser tanto positiva como negativa, para

evitar errores absolutos negativos, la derivada se toma en valor absoluto:

[1]

Figura 2: Ejemplo de medida con

un voltmetro analgico.

Y

X X X+x X-x

Y-Y

Y+Y

Y

x

y

tgxy =

dx

dytg =

xdx

dyy =

xdx

dyy =

EJEMPLO:

Supongamos que medimos el lado de un cuadrado resultando un valor de

a=24,20,4 m y a partir de este valor, queremos calcular la superficie del cuadrado con

su error absoluto.

La superficie de un cuadrado (S) viene dada por la ecuacin S=a2 siendo a el

lado del cuadrado. La superficie del cuadrado es S=24,22=585,64 m

2. En cuanto a su

error absoluto, aplicando la ecuacin [1], donde a es la variable independiente (x) y S la

variable dependiente (y), y teniendo en cuenta que ada

dS2= y que 4,0=a m:

236,194,02,2422 maaSada

dSS ====

Siguiendo las reglas para la correcta escritura de errores, primero escribimos

correctamente el error calculado; el error es redondeado de forma que tenga una

nica cifra significativa, a 20 (ltima cifra significativa en las decenas), y como el orden

decimal de la ltima cifra significativa de medida y error deben coincidir, la medida

debe ser redondeada hasta las decenas, quedando en 590. Por tanto, la expresin

correcta de la superficie calculada sera: S=59020 m2

b) Medidas indirectas dependientes de varias variables. Si la medida indirecta que queremos calcular depende de ms de una variable,

entonces el error absoluto de la medida indirecta se calcula como en la ecuacin [1]

pero con la suma de todas las derivadas parciales de las variables. Supongamos que

tenemos una magnitud y que depende otras tres, x, z y t. Entonces:

[2]

EJEMPLO:

Supongamos que medimos la d.d.p. en bornes de una resistencia con su error

absoluto (VV), obteniendo 3,20,5 V y la corriente que circula por ella (II),

obteniendo 1,2120,003 mA, y aplicando la ley de Ohm queremos calcular el valor de

la resistencia === KI

VR ....64026,2

212,1

2,3. En este caso, la resistencia depende de

dos variables, V e I. Mediante la ecuacin [2] podemos conocer el error absoluto de la

resistencia calculada (recordar que hacer una derivada parcial significa derivar

respecto de la variable indicada, tratando el resto de variables como constantes):

=+=+=

+

= KII

VV

II

dI

RV

dV

RR ...41907,0003,0

212,1

2,35,0

212,1

1122

[3]

As pues, redondeando el error a 0,4 y consecuentemente la medida a 2,6 la

resistencia medida valdra: R=2,60,4 K

tdt

yz

dz

yx

dx

yy

+

+

=

5. ERRORES SISTEMATICOS Y ACCIDENTALES

Todo error de una medida se puede clasificar en uno de los dos grupos

siguientes:

a) Errores sistemticos: Son aquellos errores que se producen de manera sistemtica al hacer una medida. La desviacin siempre se produce o por

exceso o por defecto, por lo que la realizacin de muchas medidas y su

tratamiento estadstico no sirve para corregirlo. Normalmente proceden de

una mala calibracin del aparato de medida (por ejemplo si la posicin del

cero est mal ajustada), o porque el proceso de medicin afecta a la propia

medida (por ejemplo, al medir la temperatura con un termmetro, el

propio termmetro altera la temperatura que queremos medir). Los errores

sistemticos deben ser eliminados al mximo (siempre que sea posible),

calibrando previamente los aparatos, o estimando el error introducido al

efectuar la medida. Cuando ello no sea posible, ser necesario utilizar una

curva de calibracin.

b) Errores accidentales: Son aquellos que se producen de manera aleatoria en las medidas, unas veces por exceso y otras por defecto. La realizacin de

varias medidas y su posterior tratamiento estadstico minimiza estos

errores.

PRACTICA 2. ERRORES EN LAS MEDIDAS. REALIZACION DE LA PRACTICA

a) OBJETIVOS El objetivo de esta prctica es aprender a tratar y, en la media de lo posible

corregir, los errores en las medidas.

Para ello se medir una misma resistencia de cuatro maneras distintas, calculando

en cada caso los errores asociados a las medidas:

b) MATERIAL

Fuente de c.c. Gold Source

2 Multmetros digitales Fluke 45

Voltmetro analgico Demestres

1 Resistencia de 15 K

c) REALIZACION a) Toma la resistencia de 15 K, verificando su valor nominal mediante el

cdigo de colores (si los colores no son perfectamente visibles, puedes

utilizar el hmetro para verificarlo). A partir de la cuarta banda, que nos da

el error relativo, calcular el error absoluto de la resistencia.

b) Utilizando el multmetro Fluke 45 como hmetro, medir la resistencia junto con su error absoluto. Los datos necesarios para calcular el error absoluto

deben ser consultados en las hojas de caractersticas del multmetro,

teniendo en cuenta que el aparato est siendo utilizado como hmetro en

el rango que corresponda.

c) Con la resistencia que queremos medir, montar el circuito de la figura, utilizando el generador de c.c. Gold Source como generador

proporcionando 5 V, el voltmetro analgico Demestres como voltmetro, y

como ampermetro el multmetro Fluke 45.

Medir la tensin en bornes de la resistencia y la corriente que la

atraviesa, con sus respectivos errores absolutos. Utilizando la ley de Ohm

(R=V/I), calcular el valor experimental de la resistencia, y mediante la

ecuacin [3] de esta gua, calcular su error absoluto.

Con el hmetro, medir la resistencia interna del voltmetro Demestres.

d) Repetir el apartado c) sustituyendo el voltmetro analgico Demestres por el segundo multmetro Fluke 45 configurado como voltmetro. Calcular el

valor experimental de la resistencia y los errores absolutos asociados.

En la hoja de caractersticas, buscar la resistencia interna impedancia

de entrada del Fluke 45 como voltmetro (es la resistencia que presenta el

voltmetro cuando se monta en un circuito).

R

A 1

2 V

5 V

e) MEMORIA Una vez efectuadas todas las medidas, cada grupo deber elaborar una

memoria de tres pginas como mximo (mecanografiadas en Arial 12 a simple

espacio) en documento electrnico (formato .doc .docx .pdf). Formato PDF

preferido. En dicha memoria debern aparecer:

El nmero y ttulo de la prctica

Los nombres de los autores (los asistentes a la sesin de Prcticas), el nmero de mesa, y la fecha.

Los apartados que se detallan a continuacin, escribiendo todos los errores y medidas en forma correcta:

o 1. Medidas y resultados correspondientes al apartado a). o 2. Medidas y resultados correspondientes al apartado b). o 3. Medidas y resultados correspondientes al apartado c). o 4. Medidas y resultados correspondientes al apartado d). o 5. Comparar las medidas obtenidas con los distintos mtodos. En

particular, comparar y valorar las medidas obtenidas con los

mtodos c) y d). Porqu se obtienen resultados tan diferentes?

Qu voltmetro es mejor y porqu? Para responder a esta

pregunta es conveniente comparar las resistencias internas de

cada uno de los voltmetros y compararla con la de la resistencia

medida.

La memoria debe ser enviada mediante Poliformat (Tareas) (en uno de los

formatos indicados) antes de las 12 pm del lunes siguiente a la sesin de Laboratorio

en la que se tomaron las medidas. Pasado este tiempo, slo en casos absolutamente

excepcionales y con la adecuada justificacin, ser aceptada la memoria.