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En una potencias se distingue:
- Base: factor que se multiplica.
- Exponente: número de veces que se multiplica la base por si misma.
56Base
Exponente
Primero se nombra la base seguido del exponente:
- 32 = 3 elevado a 2 ó 3 al cuadrado- 33 = 3 elevado a 3 ó 3 al cubo- 34 = 3 elevado a 4 ó 3 a la cuarta- 35 = 3 elevado a 5 ó 3 a la quinta- 36 = 3 elevado a 6 ó 3 a la sexta- 37 = 3 elevado a 7 ó 3 a la séptima
Se multiplica la base tantas veces por sí misma como valor tenga el exponente.
53 = 5·5·5 = 125
25 = 2·2·2·2·2 = 32
¡CUIDADO!
¡ERROR!
32 = 2 · 3 = 6
Si la base es negativa y el exponente es par el resultado serápositivo.
(-5)4 = (-5)·(-5)·(-5)·(-5) = 625
Si la base es negativa y el exponente es impar el resultado seránegativo.
(-4)3 = (-4)·(-4)·(-4) = -64
Si la base es 10 el resultado será igual a 1 seguido de tantos ceros como el valor del exponente.
106 = 1.000.000
108 = 100.000.000
La potencia de un producto es igual a la potencia de los productos de los factores.
(2 · 3)3 = 63 = 216
(2 · 3)3 = 23 · 33 = 8 · 27 = 216
La potencia de un cociente es igual al cociente de la potencia del dividendo entre la potencia del divisor.
(6 : 2)3 = 33 = 27
(6 : 2)3 = 63 · 23 = 216 : 8 = 27
Si queremos multiplicar dos o más potencias que tengan la misma base, podríamos desarrollarlas en forma de producto.
65 : 63 = (6·6·6·6·6)·(6·6·6)=
Si escribimos ahora el producto obtenido en forma de potencias, el resultado sería.
68
Como consecuencia, para multiplicar potencias de la misma base se deja la base y se suman los exponentes.
65 : 63 = 65+3 = 68
En una expresión algebraica se distinguen dos partes:
- Coeficiente: son los factores numéricos.
- Parte literal: son las letras con sus exponentes
x , y , y22 , 12·x·y + y2
a , b3 , 53·a + 5 · b
Parte literalCoeficienteExpresiónalgebraica
El factor 1 no se escribe, ni tampoco el exponente 1.
Por tanto estas expresiones son equivalentes:
2·x + y22·x1 + y2
a + 5·b1·a1 + 5·b1
El signo de multiplicación no suele ponerse entre los coeficientes y la parte literal.
Estas expresiones son equivalentes:
2x + 9y22x + 9y2
2a + 5b2·a + 5·b
¿Para qué sirve una expresión algebraica?
Para expresar con letras, números y operadores aritméticos situaciones reales.
El doble de a más b2a + b
El cuadrado de x menos xx2 – x
La suma de x e yx + y
En cuadrado de la suma de x e y(x + y)2
Qué expresaEXPRESIÓN ALGEBRAICA
ACTIVIDADES
La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce.
La incógnita es x2x + 9x = 2
La incógnita es a2a + 5 = a - 8
El grado de una ecuación es el mayor exponente al que estáelevado la incógnita.
Grado 2 (segundo grado)2x2 + 9x = 2
Grado 1 (primer grado)2a + 5 = a - 8
ACTIVIDADES
Por lo tanto, una ecuación de primer grado con una incógnita seráaquella que tenga una sola incógnita y que esté elevada a 1.
2x + 3 = 3x + 6
a + 1 = 2a + 4
En una ecuación se distinguiremos dos miembros:
- Primer miembro, a la izquierda del igual.
- Segundo miembro, a la derecha del igual.
2x + 3 = 3x + 6Primer
miembro
Segundo
miembro
En una ecuación tendremos dos tipos de términos:
- Incógnitas (letras o valores que se desconocen).
- Términos independientes (términos sin incógnitas).
2x + 8 = x -3
Términos independientesIncógnitas
8, -32x, x
Solución de una ecuación es el valor que la incógnita tiene para que la igualdad sea cierta.
x + 2 = 6
Ejemplo: que valor tiene que tener x para que sea cierta la siguiente igualdad.
4
Por tanto la solución es x = 4
Resolver una ecuación es encontrar la solución.
1. Sólo hay incógnitas y términos independientes.2. Hay operaciones con paréntesis.3. Hay una o varias fracciones.
En la resolución de una ecuación de primer grado vamos a poder tener tres situaciones:
2x - 5 = 8 + x
Se pasan todas las incógnitas a un miembro y todos los términos independientes al otro, teniendo en cuenta que si cambian de miembro se escribirán con el signo opuesto. Es decir si tiene + pasará con -, y viceversa (regla de la suma).
Términos independientesIncógnitas
-5, 82x, x
Dejamos todas las incógnitas al primer miembro y los términos independientes en el segundo miembro.
6x - 4 = 2x + 12
6x – 2x = 12 + 4
Otro ejemplo:
4x = 16
Diremos que el 4 que está multiplicando a la x en primer miembro pasará dividiendo en el segundo (regla del producto).
4416x ==
ACT
IVID
ADES
3(4x – 1) = 5x - 2
12x – 3 = 5x - 2
Se opera el paréntesis aplicando la propiedad distributiva.
Se multiplica:
- 3 · 4x = 12x
- 3 · (-1) = -3
Una vez operados los paréntesis procedemos como en el primer caso.
Se multiplica cada término por el denominador de la fracción (regla del producto).
Se multiplican todos los términos por 4 (por ser el único denominador).
x415x2 −=+
x441454x24 ⋅−⋅=⋅+⋅
x4120x8 −=+
Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, y se multiplica cada término por el valor obtenido (regla del producto).
Calculamos el m.c.m.(4,6) = 12, por tanto multiplicaremos todos los términos por 12.
2x41
65x2 −=+
212x4112
6512x212 ⋅−⋅=⋅+⋅
24x310x24 −=+
1. Paréntesis.2. Fracciones.3. Pasar incógnitas a un miembro y los términos
independientes al otro miembro.4. Sumamos las incógnitas. Sumamos los términos
independientes.5. Calculamos el valor de la incógnita.
Siempre seguiremos los mismos pasos, a la hora de operar:
Ejemplo:
1. Operamos el paréntesis aplicando la propiedad distributiva
2x21)3x(3x
52 −=−+
2x219x3x
52 −=−+
2. Calculamos el m.c.m.(5,2) = 10. Multiplicamos todos los términos por 10 (regla del producto).
2x219x3x
52 −=−+
210x2110910x310x
5210 ⋅−⋅=⋅−⋅+⋅
20x590x30x4 −=−+
3. Pasamos las incógnitas a un miembro (primero) y los términos independientes al otro miembro (segundo) (regla de la suma).
20x590x30x4 −=−+
9020x5x30x4 +−=−+
9020x5x30x4 +−=−+
4. Sumamos todos los valores positivos de la x, todos los valores negativos y restamos. Hacemos lo mismo con los términos independientes.
Positivos: 90Negativos: -20Diferencia: +20
Positivos: 40+30=70Negativos: -5Diferencia: 70-5 =65
Términos independientesx
70x65 =
2x - 5 = 8
Si sumamos o restamos el mismo número a los dos miembros de una ecuación obtendremos una ecuación equivalente.
Ejemplo: sumamos ambos miembros por +5
2x – 5 + 5 = 8 + 5
2x = 13
0
4x = 16
Si multiplicamos o dividimos por un número (distinto de cero) los dos miembros de una ecuación obtendremos una ecuación equivalente.Ejemplo: dividimos ambos miembros entre 4.
416
4x4 =
x = 4