Aluno: Jonas Michel da Silva RochaEstgio Supervisionado em Matemtica III

Resoluo de Sistemas Lineares por Escalonamento de Matrizes

Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente no-nulo em cada equao, est escalonado se o nmero de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente no nulo aumenta de equao para equao.

O sistema tambm chamado sistema triangular, pois a matriz associada uma matriz triangular. Se fala tambm de triangular superior ou inferior para caracterizar a posio dos coeficientes no nulos.Sistema triangular (escalonado) forma matricial

Superior:

Inferior:

Resolva o sistema:

Na 3 equao: z = -5Na 2 equao: 2y (-5) = -1 2y = -1 5 y = -3Na 1 equao: 3x (-3) + (-5) = 2 3x = 2 3 + 5 3x = 4 x = 4/3Logo, o conjunto soluo ser: (-5, -3, 4/3)

Sistemas Equivalentes

Dois sistemas so equivalentes quando possuem o mesmo conjunto soluo.

Verificamos que o par ordenado (1, 2) satisfaz ambos e nico. Logo, S1 e S2 so equivalentes, e escrevemos: S1 ~ S2Sendo dado um sistema, possvel realizar sobre ele uma srie de operaes elementares sem alterar seu resultado, ou seja, obtendo sistemas equivalentes a ele, que veremos a seguir.

Operaes Elementares

PROPRIEDADE 1:Um sistema de equaes no se altera, quando permutamos as posies de duas equaes quaisquer do sistema. Soluo do Sistema 1 = Soluo do Sistema 2:x=3, y=2 e z=4.

PROPRIEDADE 2: Um sistema de equaes no se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equaes do sistema, por um nmero real no nulo.

Soluo do Sistema 1 = Soluo do Sistema 3:x=3, y=2 e z=4.

PROPRIEDADE 3: Um sistema de equaes lineares no se altera, quando substitumos uma equao qualquer por outra obtida a partir da adio membro a membro desta equao, com outra na qual foi aplicada a transformao, ou seja, MULTIPLICAR UMA EQUAO POR UM NMERO E SOMAR COM OUTRA.

Soluo do Sistema 1 = Soluo do Sistema 3:x=3, y=2 e z=4.

Podemos transformar um sistema escrito em sua forma normal para um outro equivalente, na forma escalonada, esse processo chamado de ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA LINEAR.1 passo: Escolhemos, para 1a equao, uma em que o coeficiente da 1a incgnita seja no nulo. Se possvel fazemos a escolha a fim de que esse coeficiente seja igual a -1 ou 1, pois os clculos ficam, em geral, mais simples.2 passo: Anulamos o coeficiente da 1 incgnita das demais equaes, usando as propriedades 1 e 2.3 passo: Desprezamos a 1a equao e aplicamos os dois primeiros passos com as equaes restantes.4 passo: Desprezamos a 1 e a 2 equaes e aplicamos os dois primeiros passos nas equaes restantes, at o sistema ficar escalonado.

Ex1) Resolva o sistema:

Resoluo:Vamos destacar a 1 incgnita na 1 equao:

Agora vamos usar essa incgnita e seu coeficiente para elimin-la nas equaes seguintes:

Agora s repetir o processo, s que usando a 2 equao:

Finalmente, s usar o processo da resoluo retroativa e encontrar a soluo do sistema: