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/

18 Glculo integral vectorial

18.i Integrales de lnea

Terminologa

La nocin de integracin de una funcin definida en un intervalo se puede generalizara la de integracin de una funcin definida a lo largo de una lnea (recta o curva). Paraeste fin necesitamos introducir una terminologa referente a lneas o curvas. Supongamosque e es una curva parametrizadaporx = f(l), y =g(t), a :5 t < b, Y queA yB sonlos puntos (f(a),g(a y (f(b) , g (b , respectivamente. De la Seccin !." recordemos que

#i$ Ces una curva alisadasil' y s' son continuas en [a, b] y no son cero simult%neamen& 'te en (a, b). (dem%s que

(ii) e es alisadaparte por parte si se puede e)presar como la unin de un nmero finitode curvas suaves alisadas.

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18.l InteQTales de linea 861

Integrales de lnen el plano.

/t.os cincopasos

siguientesc

onducenala

sdefinicionesdetresin

tegrale

(ii) e es una curva cerrada siA **B,(iv) e es una curva cerrada simple siA = B Y la curva no se cruza a S+ rnisrria(v) Si e no es una curva cerrada, entonces el sentido positivo de e es el&sentido corres&

pondiente a los valores crecientes de t.

#al curva

alisada(b) curva alisada

partepor parte#e$ curva

cerradapero no simple

(d) curvacerrad

a

simpleFigura 18.1

La -igura "." ilustra cada uno de los tipos de curvas definidas en #i$iv$. La reginR, interior a una curva cerrada simple, se dice que es simplemente c/01l,2l3a. 4naregin simplemente cone)a no tiene *agu3eros*. 56ase la -igura ".7. .

e,

R. no es simplemente cone)a

Figura 18.2

tt

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s de lnea (o decurva) en el plano.

z=G(x,

y

)

12. Sea 8 definida en algunaregin que contiene a la curva y

alisada e definidaporx9f(l), y 9 g(t), a :5 t :5b.

13. Divdase e en 1Isu:arcos de longitudesSs, seg;n la parti&cin a = lo < tJ < ...< I = b de [a, b). SeanXk y !".#$las longitudes de lasproyecciones de cadasu: arco so:relos e3es.x Y"li3a

unpunto(x

%,y%)encadasu:arco.

16.

-orme

las

su

mas

n

:k;1

n

:cut.

f

)

&

S

$

.

k

~

1

1.D!I"I#I$" 18.1

Sea 8una funcin

dedos varia:les)y !definida en unaregin del plano quecontienea una curva alisada8. >ntonces

#?$ la

integral de

lnea de G a lo

largo de e de

A a B con

respecto ax es

r G(x, y) x =

lmi G(xt,yt) !".x,%

Je

;

'

p

I

L

.

O

J

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. I

la integral de lnea de # a lo

largo de e deA aB con

respecto a y es

n

G

(

x,

)

d

=

.

.

.

lm@G

(

x

t

.

.v!)"

"

#

ei~"#1 ....$ l% !. &' mpleandox como par%metro,de #".E$ y #".C$ resulta que

fex dx * x&d 9 +l x(x9) dx * x&(9x&dx)8 *& 6x6dx

&1

T t CI7 T "!7 :

9

& C .&1 .

, .

(1.)

,

,

"!7

5

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a la curva 8. 8omo = x9, entonces d = :x&x. >mpleandox como

par%rnetro,

de #+S.E$ y #".C$ resulta que

+

& 7

0cxy x &*&x&d "&"x(x9) x * x&(:x&x)2

9 0.t ;x6 x== #+X;%&

C 71

"'.

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1

D2 18 #lculo integral vec1-rial #

/22.

+g(t)

#

(

(lte

rnativamente.

silacurvaeesdefinida

mediant

Mtodo de evaluai!n

Si 8es una curva cerrada suaveparametrizada porx = f(t),' = g(l), a V ts# b, entoncesse tiene de inmediato '

(dem%s, aplicando #D."E$ de la Seccin D.C y la parametrizacin indicada encontramoss = J([g'(t?) t . Por lo tanto.

. (x,,,v) ds 9 J' (f(t). g#t$l5=F.f=#"WX&

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eunaf

u

ncine)

plcitay

=

(

x

)

,

a

V

x

V

b

,

puedeutili

zarsexcomounpar%metro.>mpleando y= '(x)

dx y ds

8

0" *Rf=#)$07

x, lasintegrales delneaprecedentesseconvierten,respectivamen

te, en

(

x

,

y

)

d

x

=

J

+

(

x

,

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ali

sada

parte

por

par

teesed

efine

comola

s

u3

adela

sintegrales encadauna delascurvasalisadas cuya

unines >.Pore3emplo, si eest%compuestapor lascurvasalisadas el yez'

entonces~

',

:

,

y

)

d

s

=

%-

(

x

,

y

)

d

s

*

*

A#,". ,$ ds .

l

.

#

"

#

7!.

>aluar(a)

f

2x

y

dx

(b)

2

y

y

,

(e)

fe

xy

s

enelcuar&

todcircunferenciaedefinido

por=

Ecos1,

=

Esent.

/s

Pr

7.

56a

l

=

J

$

J

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Figura18.$

24.

2e acostum:ra escri:ir esta suma como una integral sin par6ntesis, corno

&, . lc=+"x. y) dx ? 8lX. y) d v o simplemente i 7 dx * 7 dv.. ; .~.~% . & ~ 4'

,&&7&&&&-&&& &&:&.~~~. Ejemplo 2 ..y ., 2 ,< 3'',,, - >valuarfe x dx * )2y en donde e est% dada por 19Pl

#7,$ &"1x##> 7.&

#

1

#

l ???@i& a1.;.

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..

864

25.Kec

u6r

desequepara

integralesdef

inidas

b

if

(x

)

d

x

(& 1. & 1)

%otai!n>n mucNas aplicaciones se presentan integrales de lnea como una suma

i# n. y) x * ! 7(x, y) d,

( 1.)

*oluci+n >n la -igura ".E se ilustra la curva 8. 8omo =x9, entonces d = :x&x. >mpleandox comopar%metro,de #".E$ y #".C$ resulta que

( xy dx * x&d 9 J+x(x9) x * x&(:x&x)0c &&1

@ *& 6x6dx& #

9 ,FJC07 9 l225 &1 5-

e

.

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= & iLasintegralesdelneaposeen unapropiedad

seme3ante.SiABdenotaintegracina lolargodeunalnea

curvae deeB,entonce.s,comosemuestra enla-igura".C,

& dx

7 y

Ji..vi

o enformaecrivalente

& dx

9 /.A

)

.r

2.

idx

d>

i.7ix,

y) dx

*

8(x,

y) d>

fe(x.

y) ds,

etc

6

tera.Lo

ssm:olosVic

y"ics

erefieren aintegraciones enlossentidospositivo y

nega&tivo,respectivamente.

7.7.

#

a

$

s

e

n

t

i

d

o

p

o

s

i

t

i

v

o

.

#:$

sentido

positivo

Figura

1B.4

. #el=

sentido

negativo

'

Integrales de lnea

a"B"2#a#rg#C"d#e"c#u>rv#a."s"""'#'l?erradas simples

>n una curva cerrada simple e, es necesario precisar el sentido de 2nfegracin ya queel punto iniciaFA y el punto terminal B usualmente no se= especifican. Se e)presaque el sentido positivo de una curva cerrada simple e es aquel en el que se de:e moverun punto so:re la curva, o :ien el sentido en el que de:era caminar una persona so:re8para que la egi6R limitada por ese mantenga asu izquierda. 56ase la -igura " .#a$.Los sentidospositivo y negativo corresponden convencionalmente alsentido contrarioal del relo< y alsentido del relo

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"." ' +ntegrales de lnea

9/emlo >valuar 6.. x en donde e es la circunferenciax&* & = l.

Solucin Pararnetrizando la curva comox := cos t, == sen t, / V I V 1,sentidopositivo de e corresponde al sentido en que t aumenta. Por lo tanto,

l x x = #7"" cos (>set I) 9 le >os2t07=* = 1[1 & ++ 9 o.De)o 7 o 7

8'

9/eml

o477.................................7

.................................-..77.

.77..................................-

..................................

#

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>

v

a

l

u

a

r

6

.

.

y>x &xiy en la curva e mostrada en la -igura ".#a$.

Solucin Puesto que e es alisada partepor parte, e)presamos la integral comouna suma de integrales. Sim:licamente,

en donde el- e2y e@ son las curvas mostradas en la -igura ".#:$. >n el. se empleax como par%metro. 8omo == /, d = /1 por lo tanto,

. & x &x&d = #/ x &&x&(D) = /.el %o

y

#7.E$

(a)

@igEa ".

>n el. se usa y como par%metro. Dex = 7, x = /,

(b)

( & dx &x&d 9 t $=7#Q$ & E dJE& *o #

R* =,E@ '>)DI;y9 ,6.o= &1(:

0

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" #lculo integIal vectorial

-inalmente, en 80se emplea denuevox comopar%metro. De y =x&o:tenemosy = x x y as

Por lotanto

Integrales

delneaen elespaio

Las integrales delnea de una funcin de tres varia:les,J2G(x, y, z)x, J

2G(x, y, z)y

A l2G(x, y,

z$dssedefinen demanera an%loga a la

Definicin 1.1. Sinem:argo, se aadea esa lista una cuartaintegral de lnea a lo

largo de una curva

#en el espacio con

respecto a z

.A#l. v, z$

& lm :G(9( . .vi=

~:,.

. {

J&

&11'&

f

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B)

Mtododeevaluai!n

Si 8esunacurvaalisadaen elespaciotridimensio2al

definidaporlasecuacionespararn6&tricas

x ==f(t),

== g(t),

z == F(t),

a ~ t 2 b,

entonces la

integral #".B$

puede

evaluarse

empleando,

b

fe (x, y, z$ dG ==. (f(t), g(t),F(tF'(t) .u.

Lasintegralesl2G(

x, y,

z$x y

J2G

(x,

y, z)

y

seeval

;an de maneraseme3ante.La integral de lneacon respecto a lalongitud de arco es

fe (x,, z$ ds

==+ (f(t),g(t), F(tv '$f'(l)f

* $g'(t/& *

$F'(t)f dt .

. ,>n el espacio

tridimensional amenudo se trata conintegrales de lnea enforma

de suma, como en#l.$..

F

(

.

/

,

.

3

.

:

)

x

.

.

$

.

.

U

8

,

v

,

.

$

v

*Hlx.

-

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= . >).d,.>t /i

77E

jemplo5

7

.7

valuarle!

x *xd

* ;::

z,

endond

e 8es laN6licex= 7cost, !

9 7sen t.# z =t, / :5 t :5

21-.

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"." ' +nteg

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%ngulo do:le,

la (4 cos &t * t) dt

R7 sen &t *2rH7PP=7.

Ea3posvectotiales=Punciones vectoriales

como@(x,

y) 9F(x,

y)i *7(x,

y)0

y @(x,, z) = F(x,.z$i * 7(x,, z$3 *R(x,, z$Z

tam:i6n se llamancampos vectorlales. Pore3emplo, el movimientode una corriente deaire C de un lquido sepuede descri:ir pormedio de un ca3po develocidades #o de velocidad) en el que se puede

asignar a cada punto unvector que represente lavelocidadde una partcula en dicNopunto. 56anse las -iguras".#a$ y ".#:$. >lconcepto deca3po de fuerGas #o deEeza)3uega un papelimportante en mec%nica,electricidad ymagnetismo. 56anse las-iguras ".#c$ y ".#d$.

a)

corr

ien!

e

deaire

alrededor

del

al

(#..-l 3,::-;ll1

1o

l

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a

m

i

n

a

r

(k

1

"

3

a

n

D

e

e

n

u

n

a

al

ic

ua

.

la,placascilndricasfluyenmi* #%rido

ce

rc

a

de

l

centr

o

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!".

2.8'8 " ' 8%lculo integral vectortal

Gaba0o

>n el 8aptulo vimos que el tra:a3o realizado al mover un o:3eto de . = a ax = bpor aplicacin de una fuerza @(x), que vara en magnitud pero no en direccin, est%dado por la integral

.& rFH 9 *a @(x) x -. #"."Q$

>n general, un campo vectorial @(x, y) = F(x, y$i * 7(x, y$3 que act;a en cada puntode una curva alsada 8x = f(l), = g(l), a :5 t :5 b, vara tan2Ufen magnitud comoen direccin. 56ase la -igura ".B#a$. SiA Y B son los puntos #f#d.3[#%2$Y (l(b), g(b?,respectivamente, se pregunta @cu%l es el tra:a3o realizado por E cliiiIo>"'punto de apli&cacin se desplaza a lo largo de 8, deA aB/ Para contestar e2tipr=tg\in=ta =stipongamosque 8 se divide en "" su:arcos de longitud tls $ >n cada su:ar6U1226[, yt'"es una fuerzaconstante. Si la longitud del vector tl$. = #), & ).T'y%&'*))'%.**+'I9. *&- ~y% esuna apro)imacin a la +ongitud del Z&6simo su:arco, como se muestra en la -igura ".B#:$,

tonces el tra:a3o apro)imado realizado por E en el su:arco es

(#E(6!, y,nl cos )#1rkl = @(xt, yt). ;1rk@ 7(x#' yt) 5Xk* 8(Xk, y$) 5!k'

Sumando estos elementos de tra:a3o ypasando al lmite, resulta natural definir el tra:a3orealizado por @ a lo largo de e como la integral de lnea

J = J7(x, y) dx * 8(x, y) d.e

#".""$

@oa ve2toital

Si 8 es una curva descrita por una funcin vectorial (l) = f(t)i * g(t)0, entonces-t = f'(t)i * g'(l)0 sugiere definir = $f'(t)i * g'()0] t = xi * y0. De estamanera, #".""$ puede escri:irse en forma vectorial,

H = . - . (1B.1)

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24/39

.

A(x+.y E

v *

[J

~#&&&

(a) (b)

@ga 1.K 3

".2 ' +ntegrales de l+nea 8'0

en donde - = 7i * U3. (Nora :ien, puesto que

dr dr ds& &&dt ds dt '

Nacemos = H s, en donde H = - s es un vector tangente unitario* a 8. Por lo tanto,

J@ #-=dr9 (.Dds@ (co3pDds. (1B.1:)

le le le>n otras pala:ras, el traban este caso dr = dxi * d< * z$.

Ejemplo 6

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!E.

e

@igEa 1.1 G(x,, z) 9 zx = 8/S ", 9 sen t. _ = ", o Vr V PH?7

l , ,L. G(x, y, z$ = 6xG>x = (H- y = t@, M= -,

CKtK

>n los Pro:lemas &1I eval;efe #7# -+& ')dx *x den la curva e que indica entre #&", 7$ Y #7, C$.

(&1.2)

N. ! = xO ! @igEa 1.1;

?

"Q

12. J y dA & #7 * y) dAR R

"P ' +ntegrales m;ltiples

"C. Si H,f(x, y) dA 2 *E Y 00 H,f(x, y) dA@8u%l es el valor de& J H tQ, y) dA/

"E.

,-3 ,.

>n los Pro:lemas "C y ". sean R Y R&regiones queno se traslapan y sea R = R= 4 R&. ,&=.

". Suponer ,=(x.? 'N>l '' 72 Y*fu,f(x, y) dA 8!Q. @8u%l es el valor de2fll, .I'(x. y) dA =$

17.2 Ite!r"les iter"#"s

tniearactona2ial

Podemos definir la integracin parcial de manera an%loga al proceso de diferenciacinparcial.

Si @tx, y) es una furicin tal que(x, y) = f(x, y), entonces la integral parcialde . con respecto a y es

P,(X) %g,(X)

f(x, y) y = (x, y) = tx, PG(x & @t?,gQ(x ..#n otras pala:ras, para evaluar 0fg1 f(x, y) y * mantenemosx fi3a, mientras.que en.. : J&%g* f(x, y) dx mantenemos y fi3a=. ,,,== . =. .

,..&&& 77 Ejemplo 1 & &&&&.&&&&&&&&'~:&...,..c,...:..77-;;;-..;:..;::&~&&&&&&

>valuar (a) r (LX& & E2$ d ' 0 , ,(b) ; (Lx&& E2$ x.

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27/39

"P.7 ' +ntegrales iteradas

>n el e3emplo precedente de:e o:servarse que

811

y

!.

j

mplo (

>valuar

=3=e*=n

X)l d.

'

SolucinHratando axcomo

constante,o:tenemos

'

9

7

cos

9#J'

cos

2&&&T.T&T.T&&&&&&&&

Solucin

~

(a)

+ (Lx&& E2$ d 9 $&xl & 6x ln"yl+

Y)fi3a 2

9 #l) & 6x +n 7$ & (x & 6x +n "$@ 6x & 6x +n 7

r&&+y+l/al&&&,! # 22r 2 7!

(b) (Lx&& E,F$ x 9 $9X&&& 72I-1 ! ! -1

# +1.!i/.J&&&&1

9 (&N& & 2$ & (9l & 2$

@ &6lT 1!

*

l(

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28/39

X&,Tcas X'?'+ sexy d =

~e&

xt=x.r

_______ o

Re

gioeseti

o

"11

La regin

que se

muestra en la

-igura

".B#a$,

H# a Cx C b,

g=(x) C !

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29/39

suvez

integrar la funcin resultante con respecto ax aNora. Si . escontinua en unaregin de tipo +, entonces

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30/39

B.EQ.E".

81( 1 Integrales m2ltiples

C iP'QX> *b $iS&5') %

? f(x,) d dx 9 $tx,) d dx. o .&3lt4) I.$ %I(.t&

(1&.4)

es una integral iterada deF en la regin. La idea :%sica en #".E$ es realizar integraciones'' )

sucesivas. La integral parcial da una funcin dex, la cual es luego integrada en la manerausual, dex = a ax = . >l resultado final de %m:as integraciones ser% unti;2e,ro real.

Demanera seme3ante, definimos una integral itcrada de una funcin contlu.afrPuoaiegi+valuar la integral iterada e-(x,y) = 7)yenla regin que se muestra en la -igura "."Q.

.T&&&&T.T&&&&T.T&&&T.&.T .$. TT.T&&&&

y

=x" * #

x7

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31/39

42.4.".7 Integrales iteradas

= + $6x&*xe/r d9 + R#"D? * &e!) & (6& * ye.l,)% d= LQE (1i * y-) &'

0 ,. +ntegracin porpanes

$6i *e' & e.'l= 7C &"& valuar +l + (Lx&& E2$ d dx .

815

0Pore

lresultadode(

a)

del>3emplo"

,

!

7

"

[J7

I

;0(L

x&

&E2$dd

x9;"

(L

x&

&E2$dd

x

= ( #lE) & 6x +n 7$ dx

Figura 1(.1)

!4-

T Ejemplo 4 &&

>valuar t R7= (x * el') x d ..lo . I

*oluci+n De #".C$ se ve que

+ !- (x * e'%) x d = + Rf= (x * e') 9] d

,, ,

$

1

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32/39

@ [3x&& x19 9 EE. Bl.

EE.-&~&&&&&'',K;'-' &".&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&.&&&&=

.,

.-

.r

Figura 1(.11

. ;

~

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33/39

7/23/2019 escanear0001-4

34/39

EC.

816

1 +2te2sm;ltip"es

,,#t>"" , *

prraza dela supe1ficie&&&&l

Ln elplanox 9 con stamc3E.

?x

(x, g,(x), D)

v = IU,(9)

4.S J

".! valuaci+n de integrales do6les 81.

7.9 J'IX 1& & dv dx

+ 4 9 * # ~

9&. J; J fT.x, y) dx dJ*+1 .,

0 5+D&y=

99.* J [tQ, y) dx d y&1 o

::. -2 ., I

!E. !i !'f(x, y) y dx

&N. JRJ' #cos) &sen)ddx..,. o

:=& + 7sen2/&U. r dr dC.;;*12 I

9.* *.=! J' " 2 OQ= V r dr aeo 5-1). t7

&&. - :::. n los Pro:lemas !"&!E di:u3e la regin de integra&cin de la in3eg al iterada indicada.

( (9:t+ ,

$1. ! f(x, y) y dx

;ro6lemas diversos!C. Si . y g son integra:les, demuestre que

d bi i f(x)g() dx el.R' @#f =(x) dX)(=' g(y)2!).

1.5 valuaci+n de integrales do6les

Las integrales iteradas de la seccin precedente proporcionan los medios para eva&luar una integral do:le*2Hf=x, y) dA en una regin de tipo " o de tipo ++, o :ien unaregin tal que pueda e)presarse como la unin de un n;mero finito de estas regiones.

T? "P.7

Sea . continua en una reginH.#?$ SiH es de tipo +, entonces

f(x, y) A 9 t 1----) $tx, y) y dx.

0. '(9)H

#i+$ SiH es de tipo "+, entonces

f(X,V) A 9r fn(,)f(x, y) dx y.

)e ,J,&H

#".$

#".$

C2 ,=.,.. >l Heorema ".7 es el an%logo para integrales do:les del Heorema -undamental, 2 2ael 8%lculo, Heorema C."". (unque el Heorema ".7 es difcil de demostrar, podemos

. adquirir cierto sentido intuitivo de su significado considerando vol;menes. Sean Kunaregin de tipo " yG = f(x, y) continua y no negativa en R. >l %reaA del plano vertical,tal como se muestra en la -igura "."7, es el %rea :a3o la traza de la superficie z @f(x, y) en el planox = constante, ypor lo tanto est% dada por la integral parcial

A(x) = ,"'X)f(x.) d.81(.'cl

5ariando aNorax se suman todas estas %reas desdex 9 a Nastax 9 b, Y se o:tiene elvolumen 1 del slido situado arri:a deH y de:a3o de la superficie

M = lb A (x) dx 9 lb Q;'1+ [ix, y) dv dx.(1 a 81(-&

...

*

*

2 *

**

x = constante

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Figura 1(.12

Pela

1

H

-

>

as dey

1, # 97, #9x,y y 9,x *5,

*oluci+n8omo

seveenla-

igura"

P

.

.

"!

,laregines

detipo

+l1por

lo tanto,por #"P,P$ integramos primero conrespecto a,*xe la frontera izquierdax = y, a la fronteraderecNax = C & y%

**

exW9

)'

dA

H

2 s&v

%, . exW:ydx d& N, &1"&*,IC&$=

e+ d.

*,+ [e:W&!&'6.'% d

" CX7$= " E,I7')1' ,& E"= "

1' 1 -; 1 P 1 E

*E@,&'( ,>Qe &e' * ;1' = ~1,3),

&&&~'/P.&& 2

Figura1(.1$

*

R

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".! valuaci+n de integrales do6les 81

8omo unaayudaparareducirunaintegraldo:le auna

integraliteradaconlmitesdeintegracincorrectos,es ;tilvisualizar,como sesugiereprecisame

nte en ladiscusinanterior,la integraldo:lecomo unprocesodesumatoriado:le. K>n unaregin detipo " laintegraliterada2"2"#"""(x, y)

yxCi

eo esunasumatoria

en ladirecciny.Ar%ficam

ente, estose indicapor laflecNaverticalen la-igura" ."E#a$1

elrect%ngulo tpicode la

flecNatiene por%rea dx. Lay2olo2a

a antesde la

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xsigii>

ea que los *vol;menes*-(x, y) y x deprismas construidos so:re losrect%ngulos, sesuman verticalmente con respecto a ydesde la curva frontera inferior g=, Nastala curvafrontera superiorg&' La x que sigue a lad significa que el resultado de cadasumatoriavertical se suma luego Norizontalmente

con respecto ax desde la izquierda (x =a) Nastala derecNa (x = b). Para integralesdo:les en regiones de tipo ++, sonv%lidas o:servacio&nes seme3antes. 56ase la -igura"."E#:$. Kecu6rdese de #".7$ de laSeccin "." que2Eao(x,y) = ", la integral do:leA =22H A da el %rea de la regin. De estamanera,la -igura " ."E#a$ muestra que .i.&*&%J y xsEa las Wreas

rectangulares verticalmentey luego Norizontalmente, mientras que la-igura "."E#:$ muestra que & &%&0x y

suma las %reas rectangularesNorizontalmente y luego en formavertical.

#a$ #:$Kegindetipo++

,&&

&- .&&&&Ejemplo2

(pliq

ue unaintegraldo:leparadeterminar el%rea delareginlimitadapor lasgr%&, ficasde

9x&y 9 &x&4#

*oluci+n >n la-igura"."C sepresentanlasgr%ficas ysuspuntos de

interseccin.PuestoqueH esevidentemente detipo +, envirtud de#+ .$resultaque

."

.' (unque

no

proseguirem

os con los

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detalles, la integral do:le se puede definir en

t6rminos deun lmite de una suma do:le tal como .

# # f(x>, M'*,n X..x, L.,.

I % 0

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