Escher in Het Paleis Wiskundepakket Perspectief

Perspectief

We leven in een driedimensionale wereld. Deze wereld nemen we echter waar

door projecties op tweedimensionale vlakken of gebogen vlakken. In het menselijk

oog wordt een object geprojecteerd op de binnenkant van het oog, op het

oppervlakte van een bol dus.

Daarbij worden allerlei eigenschappen van het object vervormd: rechte lijnen

worden bijvoorbeeld kromme lijnen. De menselijke hersenen zijn in staat om vanuit

de twee plaatjes die van de ogen komen weer een driedimensionaal beeld op te

bouwen. Rechte lijnen worden weer als recht ervaren.

In de wiskunde, techniek en in de kunst worden driedimensionale objecten ook

geprojecteerd, maar dan meestal op een plat vlak. Een parallelprojectie is de

eenvoudigste manier. Het object wordt dan langs evenwijdige lijnen (zonnestralen

bijvoorbeeld) geprojecteerd op een vlak. Hier zie je een parallelprojectie van een

kubus.

Rechte lijnen blijven nu rechte lijnen en zelfs evenwijdigheid blijft behouden! Mede

door het gebruik van de stippellijnen voor de verborgen lijnstukken wordt in de

hersenen dezelfde illusie gewekt als bij het zien van een echte kubus. Maar een

echte kubus kan je nooit op deze manier zien!

Het is mogelijk om bij deze ingewikkelde hersenspinsels de hersenen in de luren te

leggen. Zoiets heet een optische illusie. Escher was er een grootmeester in. Kijk eens

naar de volgende plaatsjes.

Het eerste plaatje lijkt duidelijk op een kubus. Bij het tweede plaatje kijk je van

onder af tegen dezelfde kubus. Als je de stippellijntjes weg laat ontstaat een

plaatje dat je hersenen op twee manieren kunnen interpreteren: als een kubus of

als een hoek van een kamer. Deze truc gebruikt Escher in de volgende prent.

In de renaissance werd een meer realistische methode ontdekt om

driedimensionale voorwerpen weer te geven: het perspectief. In onderstaande

prent zie je hoe een object, de luit, op een plaat (het tafereel) wordt

geprojecteerd doormiddel van lijnen vanuit één punt, dat het oog wordt genoemd

en dat hier het katrol is.

Albrecht Dürer (1472-1528)1528)

Met behulp van wiskunde kunnen de wetten van het perspectief afgeleid worden,

waaronder de belangrijkste wet: lijnen die onderling evenwijdig zijn, maar niet

evenwijdig zijn aan het tafereel, gaan in de tekening door één punt, hetgeen het

verdwijnpunt wordt genoemd. De tak van wiskunde die zich bezig houdt met de

wetten van perspectief is de projectieve meetkunde. Projectieve meetkunde

bestudeert eigenschappen van figuren die behouden blijven bij projecties. Zo blijft

een kubus wel zes hoekpunten en twaalf ribben houden bij projecties. Maar de

zijden blijven niet van gelijke lengte en rechte hoeken blijven niet recht. Alhoewel

de basiswetten van het perspectief al in de zestiende eeuw ontdekt waren, kwam

de projectieve meetkunde tot een hoogtepunt in de negentiende eeuw.

De eenvoudigste vorm van perspectief is het éénpuntsperspectief. Je kent dat wel

van spoorrails. Het punt S is hier het verdwijnpunt, de stippellijn is de horizon.

Een kubus in éénpuntsperspectief kan er zo uit zien:

Wanneer dit zonder stippellijnen getekend wordt, ontstaat de indruk dat je een

kubusvormige kamer inkijkt. Je kunt echter onmogelijk vaststellen of je bijvoorbeeld

vanuit een raam de kamer inkijkt of vanuit een gat in het plafond naar beneden de

kamer in kijkt!

Dit perspectief wordt veel gebruikt in de schilderkunst, zowel voor het tekenen van

een interieur als voor het tekenen van bijvoorbeeld een plein met gebouwen.

Escher gebruikt dit perspectief in zijn prent ‘andere wereld ’ op bijzondere wijze. Hij

laat dezelfde ruimte zien, tegelijkertijd door een raam, door een kijkgat in de vloer

en door een gat in het plafond! Het effect wordt versterkt door ook de

buitenwereld af te beelden: opzij, van onderen en boven.

Wanneer je een kubus niet recht van voren bekijkt maar van opzij, of beter gezegd:

wanneer het tafereel (het vlak waarop geprojecteerd wordt) niet evenwijdig is met

een vlak van de kubus, moet twee- of driepuntsperspectief gebruikt worden.

In dit figuur zijn de verticale lijnen nog wel evenwijdig aan het tafereel. Als ook dit

niet meer het geval is en je bijvoorbeeld van boven af in de richting van een punt

van de kubus kijkt, krijg je te maken met een driepuntsperspectief.

Escher is al vroeg in zijn ontwikkeling gaan experimenteren

met de mogelijkheden van driepuntsperspectief.

Bijvoorbeeld in een prent uit 1928, “De toren van Babel.”

Een weinig bekende prent die op een bijna abstract wiskundige wijze een

driepuntsperspectief gebruikt is de prent ‘drie snijdende vlakken’. De toeschouwer

kijkt als het ware naar een hoek van een kamer. Maar de drie wanden lopen

buiten de kamer oneindig ver door, hetgeen te zien is door vierkante gaten die

deze vlakken geheel opvullen.

Andere prenten waarbij Escher de mogelijkheden van driepuntsperspectief

onderzoekt zijn o.a.: ‘diepte’, ‘kubische ruimteverdeling’ en in ‘Klimmen en Dalen’.

Escher heeft ook enkele prenten gemaakt in zogenaamd cilindrisch-perspectief.

Hierbij is het tafereel, het vlak waarop geprojecteerd wordt, niet een recht vlak

maar een gebogen vlak, namelijk een deel van een cilinder. Lijnen die in

werkelijkheid recht zijn, worden dan meestal afgebeeld op kromme lijnen. Met

wiskunde kan bewezen worden dat deze kromme lijnen sinusoïden zijn, grafieken

van de sinusfunctie. Met het volgende voorbeeld wordt het cilindrisch-perspectief

duidelijk gemaakt.

Stel dat je voor een oneindig lange muur staat en er een foto van wilt nemen. Als je

het fototoestel naar links richt, zie je de muur naar verdwijnpunt S gaan. Als je naar

rechts richt verdwijnt de muur in punt T. Het is niet mogelijk om beide

verdwijnpunten, en dus de hele muur, tegelijk op een foto te krijgen. Zou je echter

een fototoestel hebben waarbij niet op een recht vlak maar op een cilinder

geprojecteerd wordt, dan zou je wel de hele muur kunnen fotograferen. Het

resultaat zou het onderste figuur zijn, waarbij de rechte boven/ en onderkanten

van de muur vervormd zijn tot sinusoïden.

Escher gebruikt dit cilinderperspectief bijvoorbeeld in de prent “Relativiteit” en op

zeer bijzondere wijze in zijn prent ‘Boven en Onder”, zie hieronder.

De meest gecompliceerde vorm van perspectief is het zespuntsperspectief. Hierbij

wordt, net als in het oog gebeurt, geprojecteerd op (de binnenkant van) een bol.

Een kubus in zespuntsperspectief kan er zo uit zien:

Escher gebruikt deze vorm van perspectief alleen bij spiegelingen in een bol,

hetgeen verderop besproken wordt.

Op de bovenste verdieping van het Eschermuseum wordt met behulp van

éénpuntsperpectief een optische illusie gecreëerd. Van de kamer is zowel de

achterwand aan de rechterkant verschoven, als ook de vloer links verhoogd. Een

fototoestel maakt altijd gebruik van een éénpuntsperspectief. Doordat de camera

in het midden staat, lijkt het op de foto dat de jongen en het meisje in een normale

kamer staan. Op de eerste foto zie je dat de jongen groter is dan het meisje, op de

tweede die in de Kamer van Escher is gemaakt, lijkt zij groter te zijn. Zie hier het

resultaat:

Opgaven Perspectief

Opgave 1

Stel je voor dat je op de rand van de koepel van een grote kerk staat, ongeveer 50

meter boven de grond, en naar beneden kijkt. Maak met behulp van driepunts-

perspectief een tekening van wat je ziet. Hieronder zie je een plattegrond van de

kerk, met de koepel (rood) en de pilaren (rose). Je kijkt in de richting van de pijl. Je

kunt je laten inspireren door de prent ‘Sint Pieter’ van Escher.

`Sint pieter 1935´

Opgave 2

Een vliegtuig vliegt op een van de torens van het WTC af. De piloot ziet

in een laatste blik de toren boven zich uit torenen, maar tegelijk in de

diepte onder hem verdwijnen. Teken met behulp van het gebogen

perspectief dat Escher gebruikte in de prent ‘hoog en laag’ deze laatste

blik. Gebruik sinusoïden voor de verticale lijnen. Schets voldoende ramen

en verdiepingen om de tekening voor zich te laten spreken.

Opgave 3

Bij een vredesconferentie worden 100 vlaggen van landen over de hele wereld

getoond. De vlaggenmasten worden in een vierkant van 10 bij 10 opgesteld. Zie de

plattegrond hieronder. Gebruik tweepunts-perspectief om een tekening te maken

van dit woud van vlaggenmasten en vlaggen vanuit de richting van de pijl.