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1
ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL DE
FLUIDO NÃO VISCOSOEm diversas situações, como nos escoamentos de fluidos de baixa viscosidade
longe de paredes, as forças de cisalhamento podem ser desprezadas e a
força de superfície por unidade de área agindo sobre cada face do volume de
controle diferencial é igual a pressão com sinal negativo.
Equação de Euler:
PgρtD
VDρ grad
PgρVVt
Vρ gradgrad
ou
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22
Equação
de Euler
z
Pgρuuuρ
θr
Pgρ
r
uuuuuρ
r
Pgρ
r
uuuuρ
zz
uzθr
uθr
urt
u
θθr
z
uzθr
uθr
urt
u
r
2θ
z
uzθr
uθr
urt
u
zzzz
θθθθ
rrrr
Direção
radial
Direção
angular
Direção
axial
z
Pρg
z
ww
y
wv
x
wu
t
wρ
y
Pρg
z
vw
y
vv
x
vu
t
vρ
x
Pρg
z
uw
y
uv
x
uu
t
uρ
z
y
x
coordenadas cartesianas
coordenadas cilíndricas
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3
- Componentes em coordenadas ao longo de uma linha de corrente:ss evV
Na direção do escoamento - s:
s
Pρg
s
vv
t
vρ s
ss
s
s
zggekgegg sss
cos
sek
dzds
ds
dz sencos
2
2V
ss
VV
s
P
ρ
1g
s
VV
t
Vs
n
pg
R
vn
s
2
Na direção normal ao escoamento - n:
Vvs
Na direção do escoamento - s:
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4
dss
zgds
s
P
ρ
1ds
2
V
sds
t
V 2
constante
gz
ρ
dP
2
Vds
t
V 2
Equação de Bernoulli
Integração da Equação de Euler ao Longo de Uma Linha de
Corrente: Equação de Bernoulli
a constante de Bernoulli é única ao longo de uma mesma linha de corrente
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5
Escoamento incompressível, constante:
constante2
2
zg
ρ
PVds
t
V
1
21V
2V
Casos particulares:
Regime permanente:
constante2
2
zgρ
PdV
Regime permanente e incompressível: constante2
2
zgρ
PV
22
22
11
21
22gz
PVgz
PV
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6
Obs: Para escoamentos irrotacionais ( V 0) pode-se demonstrar que a constante de
Bernoulli tem um único valor em todo o campo de escoamento (ver seção 6.6.1)
OBSERVAÇÃO: Um escoamento não viscoso sofre somente a ação de força de corpo (força
volumétrica) e da força de superfície normal, devido a pressão. Portanto, é impossível induzir
uma rotação em um escoamento não viscoso. Se o escoamento não viscoso for irrotacional,
será sempre irrotacional, se for rotacional, será sempre rotacional.
Por outro lado, TODO ESCOAMENTO VISCOSO É ROTACIONAL.
IRROTACIONAL ROTACIONAL
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7
Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica
Aplicando a equação de Bernoulli na mesma cota
de altura, temos
pV
po
2
2
p = pressão estática ou
termodinâmica
po = pressão de estagnação
V2
2 = pressão dinâmica
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Tubo de Pitot:
Medidor de velocidade
HgρhgρPP*
HgρhgρPP*
m2
1
1
2
hp* p*
H
hg
ρ
ρρ
ρ
PP m21
ρ
hgρρ2V m )(
22
22
11
21 gz
ρ
P
2
Vgz
ρ
P
2
V
ρ
P
2
V
ρ
P 21 2
ρ
PPV 21 2
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9
Exemplo 6.1: Determine a vazão volumétrica de ar através do duto de seção
transversal L = 0,1 m e altura H = 0,3 m. Tomadas de pressão são instaladas
numa curva do duto, cujo raio interno é R = 0,25 m. A diferença medida de
pressão entre as tomadas é de 40 mm de água [(P2-P1)=(H2O - ar ) g h]
Solução: As linhas de corrente acompanham a curva, sendo a direção normal às mesmas a
direção radial. Aplicando a Eq. de Euler na direção normal (radial) temos r
p
r
V2
1
2
2
12
2 r
r
V
pp
r
rd
V
pdln
)/ln()()(
12ar
12
rr
ppLHLHVQ
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10
Exercício 6.4: Determine:
(i)a velocidade da água saindo como um jato livre.
(ii) a pressão no ponto A
Exercício 6.5 e 4.6: Água escoa
sob uma comporta. Determine a
força na comporta da figura.
D1=1,5 m D2=0,0563 m
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11
D1=1,5 m D2=0,0563 m
012212211 AAVVAVAV /
zDgPP atm1 1
zDgPP atm 22
2
22
0
12
0
VWDVVm
SC
AdnVu
VC
dutext
F
)( 21
0
2
0
1
21
DDWPWdzPWdzPRext
F atm
DD
x
22
2
21
1
2
1 gzρ
P
2
Vgz
ρ
P
2
V
0z
ρ
DgP
2
V
ρ
DgP atm
2
2atm 21
)( 212 DDgV 2
2
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12
D1=1,5 m D2=0,0563 m
)( 21
2
22
2
11
22DDWP
DgWWDP
DgWWDPR
extF atmatmatmx
22
2
2
2
1 DDgWR
extF x
)( 212
2
22 2 DDgWDVWD
SC
AdnVu
222
2
2
2
1212
DDDDDWgRx )(
2
2
2
00
2
DgWWDPzdzgWgDPDWWdzP atm
D
D
atm
D
/
)(
zDgPP atm
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Exemplo 6.9: (i) Determine a velocidade da
água na saída da tubulação. Em uma
primeira aproximação, despreze o atrito e
considere regime permanente e D >> d
1
2
V2=?
h
D
d
Lb
Equação da continuidade:
td V n d A
SCVC
0
Hipóteses: 1) fluido incompressível , 2) volume indeformável
V n d A V A V A
SC
0 1 1 2 2 0D
dVV
2
2
21
mas td
hdV1 , logo nível permanece constante, h ho =cte
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Equação de Bernoulli:
V
tds
d p V Vg z z 2
212
2 12 2
0( )
V
tds
p p V Vg z z 2 1 2
212
2 12 2
0( ) ,
p1 = p2 = patm , z2 = 0 , z1 ho , V1 0 ; regime permanente
0hg2
Vo
22 V g h
o2 2
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15
Exemplo 6.9: (ii) Determine a variação com
o tempo da velocidade da água na saída da
tubulação, considerando que inicialmente a
tubulação encontra-se fechada. Novamente,
despreze o atrito e considere D >> d
1
2
V2=?
h
D
d
Lb
Equação da continuidade:
td V n d A
SCVC
0
Hipóteses: 1) fluido incompressível , 2) volume indeformável
V n d A V A V A
SC
0 1 1 2 2 0D
dVV
2
2
21 ;
mas td
hdV1 , logo nível permanece constante, h ho =cte
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Equação de Bernoulli:
V
tds
d p V Vg z z 2
212
2 12 2
0( )
0zzg2
V
2
Vppds
t
V12
21
2212
2
1
)( ,
p1 = p2 = patm , z2 = 0 , z1 ho , V1 0 ; regime transiente
0hg2
Vds
t
Vds
t
Vo
22
dst
V
2
b
0t
V0V
b
1
2
b
211
0hg2
VL
td
Vdo
222
1
2
V2=?
h
D
d
Lb
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17
d V
g h V
d t
Lo
2
22
2 2
integrando 0 V2 V2 e 0 t t
V
g h
t
Lg h
oo
2
2 22
tanh
Note que quando t→∞
o2 hg2V (caso anterior)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4
t* sqrt(2 g ho) /(2L) V
2/
sq
rt(2
g h
o)
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18
Exemplo 6.9: (iii) Determine a variação com
o tempo da velocidade da água na saída da
tubulação, considerando que inicialmente a
tubulação encontra-se fechada. Novamente,
despreze o atrito e considere D ≈ d
1
2
V2=?
h
D
d
Lb
Equação da continuidade:
td V n d A
SCVC
0
Hipóteses: 1) fluido incompressível , 2) volume indeformável
V n d A V A V A
SC
0 1 1 2 2 0D
dV
A
AVV
2
2
21
221 ;
mas td
hdV1 , logo nível não permanece constante, h ≠ cte
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19
Equação de Bernoulli:
V
tds
d p V Vg z z 2
212
2 12 2
0( )
0zzg2
V
2
Vppds
t
V12
21
2212
2
1
)( ,
p1 = p2 = patm , z2 = 0 , z1 = h ; regime transiente
V
tds
V
tds
V Vg h
b
b1 2 20
222
12
d V
d tds
d V
d tds
V Vg h
d V
d th
d V
d tL
V Vg h
b
b
1 22
22
12
1 2 22
12
1 2 20
2 20
0hg2
V
A
A1L
td
Vdh
A
A
td
Vd22
2
1
22
1
22
0hg
2
V
A
A1Lh
A
A
td
Vd22
2
1
2
1
22
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20
1
22
1
2
22
2
1
2
2
A
AV
td
hd
LhA
A2
VA
A1hg2
td
Vd
LhA
A
A
A2
td
hd
A
A
A
A1hg2
td
hd
1
2
2
1
2
2
12
1
2
2
2
condição inicial: 1) t = 0 , h = ho , 2) t = 0 , V2 = 0
Para resolver estas equações diferenciais ordinárias, o MatLab pode ser utilizado. As
equações serão resolvidas pelo método de Runge-Kutta.
Para utilizar o método de Runge-Kutta, deve-se resolver as duas equações de 1a. ordem para h
e V2, em vez da eq. de 2a. ordem para h
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21
Dois programas com a terminação *.m devem ser escritos. No primeiro, os
parâmetros do problema são especificados, assim como a condição
inicial. A preparação dos gráficos de saída também é feita neste
programa. Este primeiro programa, “chama” o segundo programa, no
qual as equações diferenciais a serem resolvidas são apresentadas.
Chamaremos, para este exemplo, o primeiro programa de “taque.m” e o
segundo programa será chamado de “bernoulli.m”.
As listagens dos programas são apresentadas a seguir.
Dados: d = 1 in = 0,0254 m ; D = 5 in = 0,127 m; L = 15 m ; ho = 5 m
ti = 0 s ; tf = 18 s ; g = 9,81 m/s2
d h
d t
d
DV
2
2
LhD
d2
V1D
dhg2
td
Vd
2
22
4
2
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22
Arquivo:
tanque.m
clc;
clear;
fim=0;
global L D1 d2 g ;
d2=0.0254;
D1=0.127;
L=15;
ho=5;
Vo=0;
g=9.81;
ti=0;
tf=18;
yo=[ho Vo];
periodo=[ti tf];
[t, y]=ode23('bernouli', periodo, yo);
figure(1)
plot(t,y(:,2));
title('Grafico de V2 x t');
xlabel('t (s)');
ylabel('Velocidade na Saida do Tubo
(m/s)');
figure(2)
plot(t,y(:,1));
title('Grafico de h (V1) x t');
xlabel('tempo (s)');
ylabel('Altura (m)');
end
clear
Arquivo:
bernouli.m
function ydot = bernouli(t,y)
global L D1 d2 g ;
dD = (d2 * d2 ) / (D1 * D1) ;
ydot(1) = - y(2) *dD;
ydot(2) = inv(2*(dD*y(1)+ L)) *(2*g*y(1)+(dD^2-1)*y(2)^2);
ydot=[ydot(1) ydot(2)]';
d h
d t
d
DV
2
2
LhD
d2
V1D
dhg2
td
Vd
2
22
4
2
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23
Caso ii) D > > d
d = 1 in = 0,0254 m ti = 0 s
D = 100 in = 8,33 ft = 2,54 m tf = 18 s
L = 15 m g = 9,81 m/s2
ho = 5 m
Note que ao atingir o regime permanente V g h m so2 2 9 90 , /
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24
Caso iii) D d o tanque irá esvaziar
d = 1 in = 0,0254 m ; ti = 0 s
D = 5 in = 0,127 m ; tf = 18 s
L = 15 m ; g = 9,81 m/s2
ho = 5 m
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25
Exercício: Um escoamento de água (H20=1000 kg/m3)é descrito pelo campo de velocidades
V A x i A y j , isto é, u = Ax e v =- Ay ; onde A = 3 s
-1 , x e y são medidos em
metros. Sabe-se que g g k , onde g = 9,81 m/s
2.
i) Calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto (x, y, z) = (1, 5, 2) .
a
DV
Dta i a j a k
Du
Dti
Dv
Dtj
Dw
Dtkx y z uV
t
u
tD
uDa x
au
tu
u
xv
u
yw
u
zAx A A xx
0 0 0 2
av
tu
v
xv
v
yw
v
zA yy
2
e aw
tu
w
xv
w
yw
w
zz
0
jyAixAa 22
então a i j( , , )1 5 2 9 45
Exercício: Um escoamento de água (H20=1000 kg/m3)é descrito pelo campo de velocidades
V A x i A y j , isto é, u = Ax e v =- Ay ; onde A = 3 s
-1 , x e y são medidos em
metros. Sabe-se que g g k , onde g = 9,81 m/s
2.
i) Calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto (x, y, z) = (1, 5, 2) .
a
DV
Dta i a j a k
Du
Dti
Dv
Dtj
Dw
Dtkx y z uV
t
u
tD
uDa x
au
tu
u
xv
u
yw
u
zAx A A xx
0 0 0 2
av
tu
v
xv
v
yw
v
zA yy
2
e aw
tu
w
xv
w
yw
w
zz
0
jyAixAa 22
então a i j( , , )1 5 2 9 45
Exercício: Um escoamento de água (H20=1000 kg/m3)é descrito pelo campo de velocidades
V A x i A y j , isto é, u = Ax e v =- Ay ; onde A = 3 s
-1 , x e y são medidos em
metros. Sabe-se que g g k , onde g = 9,81 m/s
2.
i) Calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto (x, y, z) = (1, 5, 2) .
a
DV
Dta i a j a k
Du
Dti
Dv
Dtj
Dw
Dtkx y z uV
t
u
tD
uDa x
au
tu
u
xv
u
yw
u
zAx A A xx
0 0 0 2
av
tu
v
xv
v
yw
v
zA yy
2
e aw
tu
w
xv
w
yw
w
zz
0
jyAixAa 22
então a i j( , , )1 5 2 9 45
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26
i) Avaliar o gradiente de pressão no mesmo ponto, sabendo que a viscosidade é desprezível
Equação de Euler : D V
D tg p
grad grad p gD V
D t
grad pp
xi
p
yj
p
zk
gg;kgg
zz
p
xa A xx 2
,
p
ya A yy 2
, gz
p
kgjyAixApgrad 22
k9810jy9000ix9000pgrad
)k81,9j45i9(10)2,5,1(pgrad 3
Exercício: Um escoamento de água (H20=1000 kg/m3)é descrito pelo campo de velocidades
V A x i A y j , isto é, u = Ax e v =- Ay ; onde A = 3 s
-1 , x e y são medidos em
metros. Sabe-se que g g k , onde g = 9,81 m/s
2.
i) Calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto (x, y, z) = (1, 5, 2) .
ii) Avaliar o gradiente de pressão no mesmo ponto, sabendo que a viscosidade é desprezível
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27
i) Determine a variação de pressão entre a origem e o ponto (1, 5, 2)
p
xA x p A
xf y z 2 2
2
12( , )
p
yA y p A
yf x z 2 2
2
22( , ) Czg
2
yxAp
222
)y,x(fzgpgz
p3
p p p p1 5 2 0 0 0 9 101 25
29810 2 0 1 37 101 0
3 5, , , , ,
Pa
iii) Determine a variação de pressão entre a origem e o ponto (1, 5, 2)
i) Determine a variação de pressão entre a origem e o ponto (1, 5, 2)
p
xA x p A
xf y z 2 2
2
12( , )
p
yA y p A
yf x z 2 2
2
22( , ) Czg
2
yxAp
222
)y,x(fzgpgz
p3
p p p p1 5 2 0 0 0 9 101 25
29810 2 0 1 37 101 0
3 5, , , , ,
Pa
i) Determine a variação de pressão entre a origem e o ponto (1, 5, 2)
p
xA x p A
xf y z 2 2
2
12( , )
p
yA y p A
yf x z 2 2
2
22( , ) Czg
2
yxAp
222
)y,x(fzgpgz
p3
p p p p1 5 2 0 0 0 9 101 25
29810 2 0 1 37 101 0
3 5, , , , ,
Pa
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28
i) Se este campo de velocidade for irrotacional a diferença de pressão poderia ter sido
calculada com a aplicação da equação de Bernoulli
u = Ax ; v = - Ay
rot V V i j kx y z0 ,
para escoamento plano
z k ;
z
v
x
u
y 0 é irrotacional
Equação de Bernoulli (V = módulo do vetor velocidade)
p Vg z
p Vg z
1
2
10 0
2
01
2 2 p p
V Vg z z1 0
2
02
1 01
2 2
Origem: (x, y, z) = (0, 0, 0) V0 = 0, z0 = 0
Ponto 1: (x, y, z) = (1, 5, 2)
V V V V V A x A yx y1 1 12
12
12 2 2 2 23 15 234
, ,
p1 - p0 = - 103 (234 / 2 + 9,81 . 2) = -1,37 . 10
5 Pa
i) Se este campo de velocidade for irrotacional a diferença de pressão poderia ter sido
calculada com a aplicação da equação de Bernoulli
u = Ax ; v = - Ay
rot V V i j kx y z0 ,
para escoamento plano
z k ;
z
v
x
u
y 0 é irrotacional
Equação de Bernoulli (V = módulo do vetor velocidade)
p Vg z
p Vg z
1
2
10 0
2
01
2 2 p p
V Vg z z1 0
2
02
1 01
2 2
Origem: (x, y, z) = (0, 0, 0) V0 = 0, z0 = 0
Ponto 1: (x, y, z) = (1, 5, 2)
V V V V V A x A yx y1 1 12
12
12 2 2 2 23 15 234
, ,
p1 - p0 = - 103 (234 / 2 + 9,81 . 2) = -1,37 . 10
5 Pa
i) Se este campo de velocidade for irrotacional a diferença de pressão poderia ter sido
calculada com a aplicação da equação de Bernoulli
u = Ax ; v = - Ay
rot V V i j kx y z0 ,
para escoamento plano
z k ;
z
v
x
u
y 0 é irrotacional
Equação de Bernoulli (V = módulo do vetor velocidade)
p Vg z
p Vg z
1
2
10 0
2
01
2 2 p p
V Vg z z1 0
2
02
1 01
2 2
Origem: (x, y, z) = (0, 0, 0) V0 = 0, z0 = 0
Ponto 1: (x, y, z) = (1, 5, 2)
V V V V V A x A yx y1 1 12
12
12 2 2 2 23 15 234
, ,
p1 - p0 = - 103 (234 / 2 + 9,81 . 2) = -1,37 . 10
5 Pa
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29
Exercício: Um escoamento de um jato contra uma parede para ser
representado por 10 x y
uy
x vx
y
10 10, 0
y
u
x
v00V k
irrotacional
•
2
Up
2
Vp22
então
2 L
p ; U
constantezg2
Vp 2
Aplicando entre um ponto na parede e ao longe
V u v x y2 2 2 2 210 10
V u v x2 2 2 210
22
x502
Upp
ao longo da parede y = 0, logo
onde
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A força é
F p b dx pU
x b dxL
L
L
L
( )
22
250
F pU
b L bx
pU L
b L
L
L
2 3 2 2
22 50
3 2
50
32( ) ( )
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Exercício: Um vórtice é definido pelo seguinte campo de velocidade euV
, onde o
componente angular ér
Ku
2 , sendo K a intensidade do vórtice constante (K=-10 m
2/s).
(i) Determine se o escoamento é irrotacional.
(ii) Determine a função de corrente que representa o escoamento
(iii) Determine a diferença de pressão entre os pontos (1) e (2) e entre (1) e (3), sabendo que o
fluido é ar [=1,2 Kg/m3]. O ponto (1) possui coordenadas (ri = 2 ; 1 = 0
0) , enquanto o
ponto (2) e (3) possuem coordenadas (r2 = 2 ; 2 = 900) e (r3 = 4 ; 3 = 90
0)
euV
É irrotacional: V
? z=
0u
r
1
r
ur
r
1 r
é irrotacional.
r
Ku
2
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32
É irrotacional: V
? z=
0u
r
1
r
ur
r
1 r
é irrotacional.
A função de corrente é definida como ur
urr
1
, , logo
)r(f0r
1u r
;
zero
Cter2
K
r2
K
ru
ln
Os pontos (1) e (2) estão sob a mesma linha de corrente, a qual é igual a 1 = 2 = 1,103
A função de corrente associada ao ponto (3) é3 = 2,206
(ii) Determine a função de corrente que representa o escoamento
(r1 = 2 ; 1 = 00) ; (r2 = 2 ; 2 = 900) e (r3 = 4 ; 3 = 900)
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Como o escoamento é irrotacional, logo podemos encontrar a diferença de pressões entre
quaisquer pontos utilizando a Equação de Bernoulli
2
Vp
2
Vp
2
Vpconstantezg
2
Vp
233
222
211
2
;
22
r2
KV
21
22
221
22
21r
1
r
1
2
K
22
V
2
Vpp = zero
21
23
221
23
31r
1
r
1
2
K
22
V
2
Vpp = -0,285 Pa
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1a Questão: Considere o escoamento de ar de baixa velocidade entre dois discos paralelos conforme
mostrado. Admita que o escoamento é incompressível e não viscoso, e que a velocidade é
puramente radial e uniforme em qualquer seção. A velocidade do escoamento é V = 15 m/s em R =
75 mm. Estime a força líquida de pressão que atua na placa superior entre r = ri e r = R. Sabe-se
que ri = R/3
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2a Questão: A distribuição de velocidade num escoamento bi-dimensional, permanente, não viscoso,
no plano x-y, é jy34i6x3V
,
A aceleração da gravidade é kgg
, e a massa específica é 825 kg/m3.
(i) Isto representa um possível escoamento incompressível?
(ii) Determine os pontos de estagnação do campo de escoamento.
(iii) O escoamento é irrotacional?
Avalie a diferença de pressão entre a origem e o ponto (x, y, z) =(2, 2, 2).