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Escola Politécnica de PernambucoDepartamento de Ensino Básico
Capítulo 07
Teoria da Estimação
Prof. Sérgio Mário Lins Galdino
http://epoli.pbworks.com/
Agenda
Estimativas não-tendenciosos e Estimativas Eficientes
Estimativas pontuais e Estimativas Intervalares
Estimativas do Intervalo de Confiança dos Parâmetros da População
Intervalos de Confiança para Médias
Intervalos de Confiança para Proporções
Intervalos de Confiança para Diferenças e Somas
Estimativas não-tendenciosos e Estimativas Eficientes
Uma estimativa é não tendenciosa quando a média ou esperança da estatística é igual ao parâmetro da população.
Quando duas estatísticas da distribuição amostral tem mesma média, a estatística coma menor variância é a mais eficiente.
Estatística eficiente e não tendenciosa nem sempre é possível
Estimativas pontuais e Estimativas Intervalares
Um estimador pontual de um parâmetro populacional é dado por um único valor.
Um estimador intervalar de um parâmetro populacional é dado por dois números (limites inferior e superior) no qual o parâmetro é considerado pertencer.
Exemplo: Temperatura: 28ºC (pontual) Temperatura: 28±2 (intervalar)
Estimativas do Intervalo de Confiança dos Parâmetros da População
Sejam s e s a média e o desvio padrão (erro padrão) da distribuição amostral de uma estatística amostral S. Assumindo S normalmente distribuída ( n ≥ 30, lei dos grandes números). Espera-se encontrar S nos intervalos
s ± s , s ±2 s e s ± 3s em cerca de 68,27%, 98,45% e 99,83% das vezes.
Estimativas do Intervalo de Confiança dos Parâmetros da População
Os números extremos dos intervalosS1.96s e S2.58s, são chamados limites de confiança 1- 95% e 99% (ou 0.95 e 0.99). Os números 1.96, 2.98, etc. são os valores críticos (zc).
Exemplo: > LC= 0.95> ZC = qnorm(1 - (1-LC)/2)> ZC[1] 1.959964
Limite de confiança
99 98 96 95 90 80 50
zc 2.58 2.33 2.05 1.96 1.645 1.28 0.6745
Estimativas do Intervalo de Confiança dos Parâmetros da População
O limite de confiança (1-).100% onde [0, 1] (LC = 1- ) pode-se determinar um z como∗
P (−z∗ < z < z∗) = 1 − α
z∗ é chamado de z1−α/2 . Em R ele é calculado pela função qnorm
> alpha = c(0.01,0.02,0.04,0.05,0.10,0.20,0.5)> zasterisco = qnorm(1 - alpha/2)> zasterisco[1] 2.5758293 2.3263479 2.0537489 1.9599640 1.6448536 1.2815516 0.6744898>
Intervalos de Confiança para Médias
Amostras grandes ( n ≥ 30). Os limites de confiança para a média da população são
no caso de uma população infinita, ou por
no caso de amostragem com reposição de uma população finita,
nZX C
1
N
nN
nZX C
Intervalos de Confiança para Médias
Exemplo: Encontre os limites de confiança de 95% e 99% de uma amostra de tamanho 30 com média 1.82 e desvio padrão amostral 0.17.
Resposta: Os limites de confiança de 95% são
> qnorm(1-(1-0.95)/2)*0.17/sqrt(30)
[1] 0.0608326
>
06.082.130
17.096.182.1
Intervalos de Confiança para Médias
Os limites de confiança de 99% são
> qnorm(1-(1-0.99)/2)*0.17/sqrt(30)
[1] 0.07994759
>
08.082.130
17.058.282.1
Intervalos de Confiança para Médias
Amostras pequenas (n < 30) e População Normal.
Usa-se a distribuição T (t de Student) para obtenção dos limites de confiança.
Por exemplo -t0.95 e t0.95 são os valores de T para os quais 5% da área pertence a cada lado da distribuição T
95.095.0 ˆtn
S
Xt
Intervalos de Confiança para Médias
Amostras pequenas (n < 30) e População Normal. pode ser estimado pertencer ao intervalo
com 95% de confiança.
Os limites de confiança são
com tc obtido por tabela ou calculado
n
StX
n
StX
ˆˆ975.0975.0
n
StX c
ˆ
Intervalos de Confiança para Médias
Amostras pequenas (n < 30) e População Normal.
Exemplo: Os valores de tc em R são calculado pela função qt.
> qt(.975, df = c(1:10,20,50,100,1000))
[1] 12.706205 4.302653 3.182446 2.776445 2.570582 2.446912 2.364624 2.306004 2.262157 2.228139 2.085963
[12] 2.008559 1.983972 1.962339
>
Intervalos de Confiança para Médias
Amostras pequenas (n < 30) e População Normal.
Exemplo:x=c(175, 176, 173, 175, 174, 173, 173, 176, 173, 179)
n=length(x)
xm=mean(x)
df=n-1
tc=qt(0.975,df)
delta.x=tc*sd(x)/sqrt(n)
x.inf=xm-delta.x
x.sup=xm+delta.x
Intervalos de Confiança para Médias
Amostras pequenas (n < 30) e População Normal.
Exemplo(continuação)># Intervalo de confiança de 95%
> x.inf
[1] 173.3076
> x.sup
[1] 176.0924
> # Média de x
> xm
[1] 174.7
> xm/sd(x)*sqrt(10)
[1] 283.8161
>
Intervalos de Confiança para Médias
Amostras pequenas (n < 30) e População Normal.
Exemplo(continuação)> t.test(x)
One Sample t-test
data: x
t = 283.8161, df = 9, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
173.3076 176.0924
sample estimates:
mean of x
174.7
>
Intervalos de Confiança para Proporções
Suponha que a estatística S é a proporção de “sucesso” em uma amostra de tamanho n≥30 extraída de uma população binomial em que p é a proporção de sucessos (i. é., probabilidade de sucesso).
Os limites de confiança para a proporção da população são dadas por
para uma amostra de população infinita, ou uma amostra com reposição de uma população finita.
n
ppzP
n
pqzP cc
)1(
Intervalos de Confiança para Proporções (continuação)
Os limites de confiança para a proporção da população são dadas por
se a amostragem é sem reposição , de uma população finita de tamanho N.
1
N
nNzP
n
pqzP cc
Intervalos de Confiança para Proporções(continuação)
Exemplo: Uma amostra aleatória de 600 eleitores de certo distrito eleitoral dá 55% como favoráveis a determinado candidato A. Determine limites de confiança para a proporção global de eleitores favoráveis ao candidato na base de 99%.
Os limites de confiança de 99% para população são
Conclusão: O candidato A está com 99% de chance para vencer as eleições
04.055.01000
45.055.058.255.0
)1(58.2
n
ppPP PP
Intervalos de Confiança para Diferenças e Somas
Se S1 e S2 são duas estatísticas amostrais com distribuições amostrais aproximadamente normais, a expressão
dá limites de confiança para as diferenças dos parâmetros populacionais, e
dá os limites de confiança para a soma dos parâmetros populacionais, desde que as amostras sejam independentes.
222121 2121 SScSSc zSSzSS
222121 2121 SScSSc zSSzSS
Intervalos de Confiança para Diferenças e Somas
No caso de populações infinitas
dá limites de confiança para as diferenças dos parâmetros populacionais onde são as respectivas médias, desvios padrões e tamanhos das duas amostras populacionais.
Analogamente,
dá os limites de confiança para a soma dos parâmetros populacionais, desde que as amostras sejam independentes.
222121
2121 XXcXXc zXXzXX
22111 ,,,, 2 nXenX
2
22
1
112121
)1()1(21 n
pp
n
ppzPPzPP cPPc