Escola SecundÁria sÁ de Miranda Ficha De

ESCOLA SECUNDÁRIA SÁ DE MIRANDA Ficha de trabalho nº 3 12º 5 e 6 Dezembro de 2009

Fernanda Carvalhal 1

I – Definição de derivada de uma função num ponto e sua interpretação geométrica

Se f é uma função real de variável real e a é a abcissa de um ponto do seu domínio

então a derivada da função para x = a é ′f a( ) = lim

x→a

f x( ) − f a( )x − a

e representa o

declive da tangente ao gráfico de f no ponto a, f a( )( ) .

A derivada de uma função num ponto representa também a taxa de variação

instantânea da função nesse ponto ( velocidade instantânea)

1. Determine a equação da recta tangente ao gráfico de cada uma das funções

no ponto cuja abcissa é a indicada.

1.1. f x( ) = 3

x − 2 para x = −1

1.2. f x( ) = 3 − x para x = 1

1.3. f x( ) = ex para x = 3

1.4. f x( ) = 2 − 5ln x +1( ) para x = 0

1.5. f x( ) = log4 x para x = 8

1.6. f x( ) = 2x2 − 5x + 4 para x = 3

2. O gráfico da função real de variável real g é tangente à recta de equação

y = 3x − 5 no ponto de abcissa −2 . Qual o valor de g −2( ) e de

′g −2( )?

II - Função derivada

Chama-se função derivada de uma função f à função ′f definida por

′f x( ) = lim

h→0

f x + h( ) − f x( )h

.

Notação: ′f x( ) = d

dxf x( )

Ficha de trabalho nº 3 2009/10


3. Determine uma expressão para a função derivada de cada uma das funções

3.1. f x( ) = x2

3.2. f x( ) = ex

3.3. f x( ) = ln x

3.4. f x( ) = loga x, com a ∈+ \ 1{ }

3.5. f x( ) = ax , com a ∈+ \ 1{ }

III - Derivadas laterais

Uma função diz-se derivável num ponto do seu gráfico se e só se a derivada

existe e é finita, ou graficamente, se existe tangente não vertical ao gráfico da

função.

Se f é derivável no seu domínio então é continua nesse domínio.

4. Se f é a função real de variável real definida por

f x( ) = 3x − 2 ⇐ x ≥ 1

x2 ⇐ x < 1

⎧⎨⎪

⎩⎪ determine :

4.1. ′f 1+( ) = ′fd 1( ) .

4.2. ′f 1−( ) = ′fe 1( ) .

5. Se g é a função real de variável real definida por

g x( ) =

1x⇐ x > 2

2 ⇐ x = 2x + 3⇐ x < 2

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

determine:

5.1.

�

′ g 2+( ).



5.2.

�

′ g 2−( )

6. Seja f a função real de variável real definida por f x( ) = ax ⇐ x > 3

bx2 ⇐ x ≤ 3

⎧⎨⎪

⎩⎪

6.1 Determine uma relação entre a e b de modo que f seja contínua para

x = 3 .

6.2 Calcule ′f 3+( ) e ′f 3−( ) e indique, caso existam, os valores de a e b de

modo que f seja derivável para x = 3 , ou seja ′f 3+( ) = ′f 3−( ) .

IV – Derivadas infinitas em funções contínuas.

Chama-se cúspide ao ponto a,f a( )( ) do gráfico de uma função contínua f que

verifica

limx→a+

′f x( ) = +∞ ∧ limx→a−

′f x( ) = −∞⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∨ lim

x→a+′f x( ) = −∞ ∧ lim

x→a−′f x( ) = +∞⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

7 Dadas as funções reais de variável real abaixo definidas calcule as derivadas das

funções nos pontos dados e interprete graficamente os resultados.

7.1 Se f x( ) = 9 − x2 calcular

′f 3−( ) e

′f −3+( ) .

7.2 Se f x( ) = x23 calcular

′f 0−( ) e

′f 0+( )

7.3 Se f x( ) = x − 2( )3 +1 calcular

′f 2−( ) e

′f 2+( )

V – Derivadas infinitas em funções descontinuas – determinação gráfica

8 Para cada uma das funções representadas pelos seus gráficos, determine as

derivadas à esquerda e à direita do ponto de abcissa 3.



VI – Regras de derivação

• u × v( )′ = ′u × v + u × ′v

•

uv

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′= ′u v − u ′v

v2

• uk( )′ = k × uk−1 × ′u

• ex( )′ = ex e eu( )′ = ′u × eu

• ax( )′ = ax × lna e au( )′ = ′u × au × lna , a ∈+ \ 1{ }

• ln x( )′ = 1

x e lnu( )′ = ′u

u

• loga x( )′ = 1

x × lna e loga u( )′ = ′u

u × lna , a ∈+ \ 1{ }

• f g( )′ x( ) = ′f g x( )( ) × ′g x( )

9 Determine a expressão da derivada de cada uma das funções reais de variável real

definidas por

9.1. f x( ) = x × ln x −

1x

9.2. g(x) =

ex −1ex



9.3. h(x) = ex−1

x

9.4. a x( ) = x −1

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

e

9.5. b x( ) = ln x2( )53

10 De duas funções reais de variável real f e g contínuas e deriváveis sabe-se que :

• f 5( ) = f −1( ) = −2 ∧ ′f 5( ) = 7

• g 5( ) = 3 ∧ ′g 5( ) = ′g −2( ) = 4

Determine o valor de :

10.1. f × g( )′ 5( )

10.2.

fg

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

5( )

10.3. f 3( )′ 5( ) × g3( )′ 5( )

10.4. g f( )′ 5( )

10.5. limx→5

x2 − 7x +103f x( ) + 6

VII – Derivadas de segunda ordem

Se f é derivável em D, então chama-se segunda derivada de f à derivada da

função derivada

′′f x( ) = d

d2xf x( )( ) = ′f x( )( )′



11 Determina uma expressão da segunda derivada de cada uma das funções reais de

variável real definidas por:

11.1.

f x( ) = x

2 − x( )3 11.2.

g x( ) = ln x

x

VIII – Extremos e monotonia de uma função. Pontos de inflexão e sentido das concavidades do gráfico de uma função.

Se f é uma função contínua num intervalo

a,b⎡⎣ ⎤⎦ e derivável em

a,b⎤⎦ ⎡⎣

′f x( ) > 0,∀x∈ a,b⎤⎦ ⎡⎣

⇒ f é crescente em a,b⎡⎣ ⎤⎦

′f x( ) < 0,∀x∈ a,b⎤⎦ ⎡⎣

⇒ f é decrescente em a,b⎡⎣ ⎤⎦

′f x( ) = 0,∀x∈ a,b⎤⎦ ⎡⎣

⇒ f é cons tan te em a,b⎡⎣ ⎤⎦


a,b⎡⎣ ⎤⎦ e duplamente derivável em

a,b⎤⎦ ⎡⎣

′′f x( ) > 0,∀x∈ a,b⎤⎦ ⎡⎣

⇒ o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em a,b⎡⎣ ⎤⎦

′′f x( ) < 0,∀x∈ a,b⎤⎦ ⎡⎣

⇒ o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em a,b⎡⎣ ⎤⎦


a,b⎡⎣ ⎤⎦ e duplamente derivável em

a,b⎤⎦ ⎡⎣

′f é crescente em

a,b⎡⎣ ⎤⎦ ⇔ f tem a concavidade voltada para cima em a,b⎡⎣ ⎤⎦

′f é decrescente em

a,b⎡⎣ ⎤⎦ ⇔ f tem a concavidade voltada para baixo em a,b⎡⎣ ⎤⎦

12 Na figura abaixo está parte da representação gráfica de uma função h, contínua e

duplamente derivável em .



Sejam ′h e ′′h a primeira e a segunda derivadas de h, respectivamente.

Diga, justificando, qual das expressões seguintes designa um numero positivo.

A) h 0( ) − ′h 0( ) B)

h 0( ) + ′′h 0( )

C) ′h 0( ) − ′′h 0( ) D)

′h 0( ) × ′′h 0( )

Indique claramente a razão por que rejeita cada uma das três opções,relacionando

as características de h com os sinais de ′h e ′′h .

13 Sob a acção de um fungicida, aplicado no instante t = 0 , a área, em m2 , ocupada

por uma colónia de fungos é dada por a t( ) = 80 − 20t2e−0,4t t ≥ 0, em dias( ) . Às 12

horas do dia 13 de Dezembro foi aplicado o fungicida numa colônia de fungos.

13.1 Determine a área, em m2 , ocupada pelos fungos no ínicio do dia

15 de Dezembro (apresente o resultado arredondado à unidade).

13.2 Recorrendo exclusivamente a processos analíticos determine o dia

em que a área ocupada pelos fungos é mínima.

13.3 Quando a área ocupada pelos fungos for superior a 40 m2 deverá

ser aplicado de novo o fungicida.

Recorra à sua calculadora para determinar graficamente em que dia e a que

horas se deve aplicar a segunda dose do fungicida.

Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora,

nomeadamente o gráfico ou gráficos obtidos, bem como coordenadas

relevantes de alguns pontos.

Dê a sua resposta em horas e minutos. Nos valores intermédios, utilize, no

mínimo, três casas decimais)



14 Considere a função f, de domínio \ 0{ } , definida por

f x( ) = ex

x

14.1 Determine os zeros de f.

14.2 Prove que ′f x( ) = ex x −1( )

x2.

14.3 Escreva a equação da tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa

−1.

14.4 Indique, caso existam, os extremos de f e estude a monotonia

desta função.

14.5 Verifique que ′′f x( ) = ex (x2 − 2x + 2)

x3.

14.6 Estude as concavidades do gráfico de f bem como a existência de

pontos de inflexão.

15 Em cada uma das quatro figuras seguintes estão representadas, num referencial o.n. xOy, parte dos gráficos de duas funções f e g, de domínio .

Em apenas um dos gráficos a função g pode representar a segunda derivada de f ?

Indique em qual das opções seguintes tal se verifica, indicando uma explicação para a rejeição de cada uma outras três opções, estabelecendo relações entre as características de f e o sinal de g.

x

y

O

fg

(A)

x

y

O

fg

(B)

x

y

O

fg

(C)

x

y

O

fg

(D)



16 Às 9 horas de um certo dia, foi administrado a um gato um determinado medicamento.

Sabe-se que a concentração C desse medicamento, em miligramas por litro sangue, t horas após ter sido administrado é dada por

C t( ) = 1,3te−0,2t , (t ≥ 0)

16.1. Qual foi a concentração de medicamento no sangue do gato às 16 horas e 15 minutos do dia em que foi administrado pela primeira vez?

Apresente o resultado em mg/l, com aproximação às décimas. 16.2. Recorrendo ao estudo da derivada da função C determine a que horas a

concentração de medicamento no sangue do gato foi máxima. Indique, com aproximação às décimas o valor dessa concentração.

16.3. Quando a concentração do medicamento for inferior a 1,5 mg/l de sangue deve ser administrado uma segunda dose.

Recorra à sua calculadora para determinar graficamente a que horas se deve aplicar a segunda dose do medicamento.

Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico ou gráficos obtidos, bem como coordenadas relevantes de alguns pontos.

Dê a sua resposta em horas e minutos. Nos valores intermédios, utilize, no mínimo, três casas decimais)

17 Considere a função f, de domínio + , definida por f x( ) = 2ln x − ln2 x

17.1 Determine os zeros de f.

17.2 Prove que ′f x( ) = 2 1− ln x( )

x.

17.3 Escreva a equação da tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1.

17.4 Indique, caso existam, os extremos de f e estude a monotonia desta função.

17.5 Verifique que ′′f x( ) = 2ln x − 4

x2.

17.6 Estude as concavidades do gráfico de f bem como a existência de pontos de inflexão.

1. Na figura junta está representado parte do gráfico

da primeira derivada de uma função f.

18.1 estude a continuidade de f

18.2 Estude a monotonia da função f.

18.3 Estude o sentido das concavidades de f e



indique a abcissa do ponto de inflexão de f.

19. Na figura junta está representado o gráfico da primeira

derivada de g .

19.1 Indique os intervalos de monotonia de g.

19.2 Diga, justificando, quantos pontos de inflexão tem o

gráfico da função g.

20. Na figura está representado parte do gráfico da

segunda derivada de uma função h, contínua .

20.1 Estude a existência de pontos de inflexão e o

sentido das concavidades do gráfico de h.

20.2 Construa o gráfico da função terceira derivada de h.

20.3 Quais os intervalos de monotonia da função primeira derivada

21. De uma função f sabe-se que a sua derivada é a função definida, em

�

IR,

por ′f x( ) = ex +1

Qual das afirmações é verdadeira?

A) f é estritamente crescente B) f é estritamente decrescente

C) f tem um máximo absoluto D) f tem um minimo absoluto

22. De duas funções f e g sabe-se que:

• f é a função afim

• f e g são tangentes no ponto A de coordenadas

�

−2,7( )

• g −2( ) =7 e ′g −2( ) =3.

22.1. Qual a equação da tangente ao gráfico de g no ponto A?

A) y= −2x+7 B) y= −2x+13 C) y= +3x+13 D)

y= +3x+7

22.2. Qual o valor do limx→−2

−2− xg x( )−7

?

A) −3 B) +3 C) −

13

D) +

13



23. Seja h uma função real de variável real definida por

h x( ) = x2− x( )×e−x .Uma expressão de ′h x( )é:

A) 2x+1( )×e−x B) −x2+ x+1( )×e−x

C) −x2+3x−1( )×e−x D) 2x−1( )×e−x

24. Prove que toda a função quadrática admite uma e uma só tangente

horizontal ao seu gráfico.

25. Considere que para cada α ∈ 0,1⎤⎦ ⎡⎣ a função de domínio + definida por

f x( ) = xα prove que, par qualquer que seja o valor de

α ∈ 0,1⎤⎦ ⎡⎣ , o gráfico

da função tem a concavidade sempre voltada para baixo.

26. De uma função f, de domínio , sabe-se que

• f tem derivada finita em todos os pontos de

• f 0( ) = −1

• f é estritamente crescente em − e estritamente decrescente em +

Seja g a função de domínio definida por g x( ) = f x( )⎡⎣ ⎤⎦

2

Prove que 1 é o mínimo da função g

27. Prove que, para qualquer função quadrática g, existe um e um só ponto do

gráfico onde a recta tangente é paralela à bissectriz dos quadrantes

ímpares.

28. Considere a função de domínio + definida por

f x( ) = xα . Prove que,

qualquer que seja o valor de α ∈ 0,1⎤⎦ ⎡⎣ , o gráfico da função tem a

concavidade sempre voltada para baixo.

29. Seja f uma função de domínio , com derivada em todos os pontos do

domínio e crescente. Sejam a e b dois quaisquer números reais. Considere

as rectas r e s, tangentes ao gráfico de f nos pontos de abcissa a e b

respectivamente.

Prove que as rectas r e s não podem ser perpendiculares.



30. Prove que entre todas as rectas que passam pelo ponto 1,3( ) aquela que

determina com os eixos coordenados e no 1º quadrante um triangulo de

área mínima é a recta de equação y = −3x + 6 .

31. Mostre que a equação 2x5 − 5x4 −10x3 +10 = 0 admite:

a. pelo menos uma raiz.

b. Uma única raiz no intervalo −1,3⎤⎦ ⎡⎣

32. Prove que a derivada de uma função par é uma função ímpar.

33. Prove que a derivada de uma função ímpar é uma função par

34. Prove que todas as funções, de domínio + ,da família definidas por

f x( ) = ex

xp, p ∈ , admitem um mínimo relativo para x = p .

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