ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTPIOA

"ANALISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS MULTIVARIABLES

USANDO COMPUTADOR"

por

OMAR ALEJANDRO AGUIRRE SERRANO

TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO DE INGENIERO

EN ELECTRÓNICA Y CONTROL

QUITO, DICIEMBRE DE 1984

Certifico que el presente trabajo

ha sido realizado en su totalidad

por el .SR. OMAR ALEJANDRO AGUIRRE

SERRANO.

AGRADECIMIENTO

Deseo dejar expresado -mi agradecimiento a quienes

hicieron posible la realización del presente tra-

bajo. A la Escuela Politécnica Nacional, a mis

maestros, en especial al Ing. Marco Barragán por

su acertada orientación y ayuda.

A MIS QUERIDOS PADRES

Í N D I C E

Pag ,

CAPITULO I:

INTRODUCCIÓN 1

CAPITULO II:

• GENERALIDADES

2.1 Sistemas Univariables 5

2.1.1 Criterio de Estabilidad de Nyquist 5

2.1.2 Método del Lugar Geométrico de las Rafees 22

2.2. Sistemas Multivariables 32

2.2.1 Descripción de los Sistemas Multivariables 32

2.2.2 Relación entre Polinomios Característicos de Lazo A-

bierto y Lazo Cerrado .' 48

2.2.3 Funciones Características 59

2.2.4 Pol os y Ceros 79

CAPITULO III:

CRITERIOS GENERALIZADOS DE ESTABILIDAD

3.1 Principio Extendido del Argumento y Lugares Caracte-

rísticos 93

3.2 El Criterio de Estabilidad de Nyquist Generalizado.. 96

3.2.1 Exposición del Criterio de Estabilidad de Nyquist Ge_

neral izado 97

3.2.2 Prueba del Criterio de Nyquist Generalizado 98

Pag.

3.2.3 Un Primer Criterio de Estabilidad de Nyquist Genera_

1 izado 110

3.3 Los Lugares Geométricos de las Raices para Sistemas

Muí ti variables 113

CAPITULO IV:

DESCRIPCIÓN DE LOS PROGRAMAS

4.1 Estructura de la Biblioteca de Programas 120

4.2 . Programas del Criterio de Nyquist Generalizado .... 135

4.3 Programas del Lugar Geométrico de las Raíces para

Sistemas Muí ti variables 152

CAPITULO V:

EJEMPLOS DE APLICACIÓN Y RESULTADOS 167

CAPITULO VI:

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 251

APÉNDICE A:

MANUAL DE USO DE LOS PROGRAMAS

APÉNDICE B:

LISTADO DE LOS PROGRAMAS

REFERENCIAS

BIBLIOGRAFÍA

CAPITULO I

I N T R O D U C C I Ó N

I N T R O D U C C I Q

El control m u l t i v a r l a b l e o control moderno apareció esencialmente en

la década de los años 50. La evo luc ión de esta materia estuvo Inspi -

rada en dos cosas fundamenta les :

1) El desarrol lo de las computadoras d ig i ta les , que h ic ieron posible

"i rea l izar estudios más extensos y compl icados de problemas prácti-

cos de control ; y

2) La necesidad de so luc ionar un problema Importante de control, que

es el de maniobra y rastreo de aeronaves y vehícu los espacia les .

Los ú l t imos desarrollos en la teoría y diseño de sistemas mu l t i va r i a -

bles fueron In f luenc i ados grandemente por la naturaleza de los proble_

mas de control aeroespaclal .

Uno de los aspectos más Importantes dentro de los sistemas de control

m u l t i v a r l a b l e es el de conocer la es tabi l idad de dichos sistemas para

su correcto aná l i s i s , diseño y construcción.

Dos de los criterios de es tabi l idad más conocidos dentro de la teorfa

del control clásico son: El Criterio de Es t ab i l i dad de N y q u l s t y e l Me_

todo del Lugar Geométrico de las Raíces. La genera l izac ión de estos

criterios al caso muí ti var iab le , de ap l icac ión más reciente y menos co_

nocida que los anteriores, es de gran importancia y es el motivo de es_

ta tesis.

Por otro lado, uno de los aspectos del análisis de sistemas muí ti va-

riables que no ha recibido mayor atención hasta ahora es el desarro_

lio de algoritmos computacionales eficientes y estables. Esto es im_

portante, porque el éxito de la teoría y métodos de diseño depende-

rán de la eficiencia y exactitud con que puedan ser implementados y

usados en problemas prácticos. Algún progreso se ha hecho en desa-

rrollar algoritmos de diseño numéricamente eficientes y exactos, pe-

ro definitivamente se requiere desplegar mucho más esfuerzo ante el

^potencial real del desarrollo y evolución de la teoría y diseño de

los sistemas muí ti variables.

Debido a las consideraciones expuestas anteriormente y el deseo de co_

laborar con la biblioteca de programas del Área de Control y Sistemas

de la Facultad de Ingeniería Eléctrica, se presenta este trabajo con

el fin de que pase a enriquecer dicha biblioteca.

El propósito de esta tesis es proporcionar dos métodos de análisis de

estabilidad de sistemas muítivariables: El Criterio de Estabilidad de

Nyquist Generalizado y el Lugar Geométrico de las Raices para Siste-

mas Muítivariables.

En el capítulo segundo se dan todas las bases teóricas necesarias pa-

ra poder exponer y demostrar los criterios generalizados de estabili-

dad. Se presenta una breve revisión del criterio de Nyquist y del Lu

gar de Raíces para sistemas univariables. Se estudian las diversas

formas de representación de los sistemas multivariables. Luego, se

deduce la relación existente entre los polinomios característicos de

lazo abierto y de lazo cerrado. Posteriormente, se entra al estudio

de las funciones características, que están relacionadas con las fun_

clones de variable compleja, se describe lo que constituye una pro-

longación analítica y la superflcle.de Rlemann. Por último, se ana-*

llzan los polos y ceros de las funciones característ1cas3 de las ma-

trices función de transferencia y se halla la relación entre los po-

los y ceros definidos algebraicamente y los polos y ceros del conjun_

to de funciones características.

<£•£1 capitulo tercero contiene los criterios de estabilidad para los

sistemas muítivariables. Se generaliza el Principo del Argumento y

se explican los lugares característicos. Luego, se expone el crite-

rio de estabilidad de Nyqulst generalizado y se prueba este criterio

en base a un resultado fundamental de la teoría de variable compleja:f

el Principio del Argumento aplicado a una función algebraica defini-

da sobre una superficie Rlemann apropiada. Se enuncia y prueba un

primer criterio de estabilidad de Nyqulst generalizado. Luego, se re_

lacionan los conceptos de variable compleja a una generalización a-

propiada del concepto del Lugar Geométrico de las Raices. Se muestra

;. que los lugares de raíces son los lugares con fase de 180 de las fun_

clones características de una matriz de relación de retorno sobre una

superficie Riemann apropiada, más algunos lugares degenerados que con_

sisten en un punto simple.

En el capítulo cuarto se presenta la descripción de todos los progra*?- ~

mas implementados. Se presenta primero la organización de la biblio-

teca de programas. Luego, se describen cada uno de los programas,con

sus variables principales y sus diagramas de flujo correspondientes.

El capítulo quinto contiene los ejemplos desarrollados, los mismos -

que ilustran la utilización de los programas, la validez de los mis-

mos y la forma de interpretar los resultados obtenidos. Se dan tam-

bién algunas conclusiones parciales, resultantes del análisis de los

ejemplos.

E"! capitulo sexto presenta algunas conclusiones y recomendaciones g_e_

nerales, producto del desarrollo de la tesis, problemas confrontados

\y de los sistemas analizados.

Por ultimo, se presentan los apéndices, que contienen el manual de u

so de los programas en el computador TEKTRONIX 4051 de la Facultad de

Ingeniería Eléctrica y también el listado completo de ellos.

CAPITULO II

G E N E R A L 1 D A D E S

2.1 SISTEMAS DNIVARIABLES

2.1.1 Criterio de Estabilidad de Nyquist.

2.1.2 Método del Lugar Geométrico de lasraíces.

2.2 SISTEMAS MULTIVAKIABLES

2.2.1 Descripción de los Sistemas Multi-variables.

2.2.2 Relación entre Polinomios Caracte-rísticos de Lazo Abierto y Lazo Cerrado.

2.2.3 Funciones Características.

2.2.4 Polos y Ceros. -

2.1- SISTEMAS UNÍVARIABLES

2.1.1. Criterio de Estabilidad de Nyqin'st

La respuesta de frecuencia de un sistema proporciona suficiente in_

formación para la determinación de la estabilidad relativa de ese

sistema. Un criterio de estabilidad de sistemas en el dominio de

.la frecuencia seria útil para la determinación del enfoque adecuado

que permita modificar un sistema con el objeto de aumentar su est

bilidad relativa.

H. Nyquist desarrolló en 1932 un criterio de estabilidad en el dorrn_

ni o de la frecuencia, el- cua;l se-, ha mantenido como un método fim

damental en la investigación de la estabilidad de sistemas lineales

de control. Este criterio se basa en un teorema de Cauchy de la

teoría de la función de una variable, compleja, que está relacionado

con la aplicación de los contornos en el plano s complejo.

El análisis de Nyquist es esencialmente un procedimiento gráfico p_a_

ra determinar la estabilidad absoluta y relativa de los sistemas de

lazo cerrado.

El método de Nyquist proporciona resultados exactos de la estabili-

dad absoluta y relativa de un sistema, a diferencia de otros méto-

dos como el de Routh Hurwitz que son a menudo inadecuados porque se

pueden usar solamente para determinar la estabilidad absoluta y se

aplican a sistemas cuya ecuación característica es un polinomio fi_

nito en s.

Las técnicas de Nyqulst también son útiles para obtener Información

acerca de las funciones de transferencia de componentes o sistemas

a partir de datos experimentales sobre la respuesta de frecuencia.

Estas técnicas serán revisadas brevemente a continuación.

Funciones complejas de s.-

Una función real de variables reales es fácilmente representable so_

bre un conjunto único de ejes de coordenadas, pero una función corn

pleja de una variable compleja tal como la función de transferencia

P(s) con s = a + jw, no se puede representar sobre un conjunto ún1_

co de coordenadas.

Para representar a P(s) con s = a + jw se requieren 2 gráficos bidi_

menslonales: El primero es el "plano s", que consiste en un gráfj_

co de jw contra a. El segundo es la parte Imaginarla de P(s), 11 a_

mada Im P contra la parte real de P(s), llamada Re P, que se denomj_

na "plano P(s)".

Existe una correspondencia entre los puntos del plano s y los del

plano P(s) que conlleva una proyección o transformación. La función

P proyecta los puntos de ur.j de los planos sobre los puntos del otro

plano, como se muestra en la Fig. 2.1.

Sólo se proyecta un lugar de puntos específico del plano s al pl_a

no P(s); este lugar se llama la "Trayectoria de Nyqulst" para las

representaciones de estabilidad de Nyqulst.

iP

(plano s)

Proyección

cr

Ira P

(plano P (s))

Re P

Fig. 2.1.- Proyección de un punto del plano s al plano P(s).

Contornos en el plano s.-

Se pueden proyectar contornos en el plano s mediante la función F(s).

Como F(s) es por sf misma compleja, puede definirse como F(s)=u + jv,

pudlendo representarse en un plano F(s) complejo, con coordenadas u

y jv.

Como ejemplo, se considera la función F(s) = 2s + 1 y un contorno en

el plano s como se muestra en la Fig. 2.2. (a).

De tal manera que:

u + jv = F(s) = 2s + 1 = 2(a + jw)+-l (2.1)

Por tanto, se tiene:

u = 2a + 1 (2.2)

• o ^ ~¡W~I *

• -

D

ii-2

C

j^

(plano F ( s ) )

n(plano s)

A.

2 CT -2

B

C1L-

jva

- Jl

i i0 1 2

-Jl

u

T)

(a) (b)

Fig. 2.2: Proyección de un contorno mediante F(s)=2s+l= 2(s+ i)

y v = 2w (2.3)

De esta manera, el contorno se ha transformado por medio de F(s) en

uno de la misma forma, pero con el centro desplazado una unidad y la

longitud del lado duplicada.

El tipo de proyección que retiene los ángulos del contorno del plano

s en .el plano F(s), se conoce como "Transformación Conformal". Se de_

be notar que un contorno cerrado en el plano s da como resultado un

contorno cerrado en el .plano F(s).

Los pun ,os A, Bs C y D del plano s se proyectan en los puntos A, B,

C y D d¿l plano F(s). El recorrido del contorno en el plano s es el

mismo que en el plano F(s), el cual está indicado por las flechas.

Por convención, se dice que la superficie que se encuentra a la dere

cha del recorrido de un contorno se considera como la superficie en_

cerrada por ese contorno. Se supondrá que el recorrido de un contor

no es positivo si es en el sentido del movimiento de las manecillas

del reloj.

El teorema de Cauchy está relacionado con la transformación de una

función F(s) que sea función racional de s y que tenga un numero fi_

nito de polos y ceros dentro del contorno. Así:

nK u (s + si)

F(s) = —¡ (2.4)

n (s + sk)k=l

donde (- s-¡) son los ceros y (- s(J los polos de la función F(s). E_s_

ta función es la ecuación característica, de tal manera que:

F(s) = 1 + P(s) (2.5)

donde P(s) = 4ííff~ ' (2-6)

Por lo tanto, se tiene que:

nII (s + s

FÍO = i , N(s) _ D(s) + N(s) _ v 1=1 ,9 7^nS) ~ L + D(s) D(il K. í (2'7)

n (s +

Y resulta que los polos de P(s) son los polos de F(s).

Examinando de nuevo el ejemplo cuando F(s) = 2(s + -«—), se tiene un

cero en s = — , como se muestra en la Fig. 2.2. El contorno que

se escogió (esto es, el cuadrado unitario) encierra y rodea una vez

al cero dentro de su superficie.

10

Entonces, el mencionado teorema de Cauchy, conocido como "Principio

del Argumento", relaciona el hecho de que los polos y ceros de F(s)

estén encerrados por un contorno en s con el hecho de rodear al ori_

gen en el plano F(s). Este teorema dice:

"Si un contorno rs en el plano s rodea Z ceros y P polos de F(s) y

no pasa a través de ningún polo o cero de F(s) cuando el recorrido

es en dirección del movimiento del reloj a lo largo del contorno, el

contorno correspondiente rp en el plano F(s) rodea al origen de dj_

cho plano, N = Z - P veces en la misma dirección".

Para una mejor visualización de lo anterior, se va a expresar a F(s)

en términos de ángulo debido a cada polo y cero cuando el contorno

Ts se recorre en dirección del movimiento del reloj. Así, considé_

resé la función:

F(s) =(s - zx) (s - z2)

(s - pi) (s ~ pz)(2.8)

donde zx y z¿ son ceros y px y p2 son polos de F(s). La función F(s)

puede escribirse como:

F(s) = F(s)

s - zi s - z2

s -

F(s) = |F(s)

s v p25-P2 )

(2.9)

donde .| representa el módulo; y 02, 0p representan los ángulos de

11

ceros y polos, respectivamente.

SI se tiene un contorno específico TS (Fi.g. 2.3.a.) se pueden de-

terminar los ángulos cuando s recorre- al contorno.

u

(a) (b)

Fig. 2-3: Cálculo del ángulo total de Tp

Cuando s recorre a lo largo de Ts una rotación completa de 360°, el

ángulo total de F(s) es 2ir rad, pues solamente se encierra un cero;

si se rodean. Z ceros y P polos, entonces el ángulo resultante en

F(s) .es 2nZ - 2HP. Por esto, .el ángulo total' {zíp de TF del contor-

no en el plano F(s)s es simplemente:

2IIN = 2HZ - 2IÍP (2.10)

Y el numero total de rodeos .del origen del plano F(s) es N = Z - P.

12

La Trayectoria de Nyquist

La trayectoria de Nyquist es un contorno cerrado en el plano s que

rodea completamente todo su semlplano derecho.

La trayectoria de Nyquist no debe pasar a través de ningún polo de

una función de transferencia P(s) para poder aplicar el principio

del argumento de Cauchy.

Para lograr que la trayectoria de Nyquist no pase a través de al-

gún polos se requieren crear pequeños semicírculos a lo largo del

eje Imaginarlo o en el origen de P(s), si P(s) tiene polos sobre

el eje jw o sobre el origen. Estos semicírculos tendrán un radio

p que tienden a cero en el límite.

Como la trayectoria de Nyquist debe rodear a todo el semiplano de_

recho del plano s, se representa esto por medio de una gran tra-

yectoria semicircular con centro en el origen y de radio R, que

tiende al infinito en el límite.

Para ilustrar esta trayectoria de Nyquist, obsérvese la Fig. 2.4.

posibles polosde P (s)

Fig. 2-4 La trayectoria de Nyquist.

13

Cada polo y cero de P(s) en el semlplano derecho está rodeado por

la trayectoria de Nyquist cuando se hace la proyección al plano

P(s).

La representación de estabilidad de Nyquist sería por lo tanto una

proyección de la trayectoria completa de Nyquist sobre el plano

P(s).

El Criterio de Estabilidad de Nyquist

Considérese un sistema real Imenrtado, como el de la Flg. 2.5,

R(s). C st- \ j

Flg. 2.5 Sistema de Control con reallmentaclon

La función de transferencia de lazo cerrado de este sistema será

T(s) = S(s)

1 + GH(s)(2.11)

La ecuación caraccerístlca es:

F(s) = 1 + GH(s) = K

+ s

U (s + sk)k=l

- O (2.12)

Un sistema de control de Tazo cerrado es estable si las raíces de la

u

ecuación característica tienen sus partes reales negativas; es de_

cir, si todos los ceros de F(s) caen en el semiplano Izquierdo del

plano s.

Ahora bien, si se gráfica Tp en el plano F(s), siendo Ts la traye£

torla de Nyqulst, se puede determinar el número N de rodeos de.l orj_

gen. Entonces, el número de ceros de F(s) dentro del contorno r s

. (y por tanto ceros Inestables de F(s))3 de acuerdo con el teorema

de Cauchy, es:

Z = N + P (2.13)

Es decir que, el criterio de Nyquist está relacionado con la ap!1ca_

clon de la ecuación característica

F(s) = 1 + GH(s) (2.14)

y .el número de rodeos del origen del plano F(s).

Sea l,a función:

F'('s) = F(s) - 1 = GH(s) (2.15)

Entonces, la aplicación de Ts en el plano s se hará a través de la

función F'(s) = GH(s) en el plano GH(s). El número de rodeos del

origen del plano F(s) será Igual al número de rodeos del punto (-1)

del plano GH(s), pues GH(s) = F(s) - 1.

.Entonces, ahora se puede establecer el criterio de estabilidad de

115

Nyquist de la siguiente forma:

"Un sistema de realimentación es estable si y sólo si la trayecto-&

ria de Nyquist en el plano GH(s) no rodea al punto (-1,0) cuando

el número de polos de GH(s) en la parte derecha del plano s es ce_

ro (P = 0)".

á- • Ahora, cuando P^O en el semiplano derecho del plano s, se tieney

que el criterio de estabilidad de Nyquist es el siguiente:

"Un sistema de control con realimentación es estable si y sólo si,

para la trayectoria de Nyquist FGH, el numero de rodeos del punto

(-1,0) en el sentido contrario al movimiento del reloj, es igual al

* número de polos de GH(s) con partes reales positivas".

Estos dos conceptos anteriores se basan en el hecho de que para la

aplicación de F'(s) = GH(s), el número de ceros de 1 + GH(s) en el

semiplano derecho del plano s se representa por:

c£Z = N + P (2.16)

Entonces, si P = O, que es el caso del primer criterio de Nyquist ,

se necesita que N = O para que el sistema sea estable y el contorno

,~ TGH no debe rodear .al punto (-1) ni una sola vez. De la misma fqr

ma, si P 7a O, que es el caso del segundo criterio de Nyquist, es ne_

cesario que Z = Q3 o sea N = -P, o P rodeos en sentido contrario al

movimiento del reloj.

16

Estabilidad relativa

Para el plano s, la estabilidad relativa de un sistema se define co_

mo la propiedad medida por el tiempo de estabilización relativo de

cada raíz o par de raíces. El criterio de Nyqulst proporciona una

Información adecuada de la estabilidad absoluta y además., se puede

utilizar para determinar la estabilidad relativa de un sistema.

La proximidad del lugar geométrico de GH(s) al punto (-1,0) es una

medida de la estabilidad relativa del sistema. Una medida de 1 a es_

labilidad relativa se conoce como "margen de ganancia" y se define

como:

Margen de ganancia _ 1 (2.17)

donde w^ es la frecuencia del cruce de fase y es la frecuencia a la

cual el ángulo de fase GH(jw) es -180°, es decir, la frecuencia a la

cual la representación de la trayectoria de Nyquist en el plano GH(s)

cruza el eje real negativo.

El margen de ganancia es una medida del factor por el cual tendrá -

que aumentarse la ganancia del sistema para que el lugar geométri-

co GH(jw-) pase a través del punto (-1,0) en el plano GH(jw).

Estas cantidades se ilustran en la Fig. 2.6.

Otra medida de la estabilidad relativa es el "margen de fase", que

se define como:

Margen 3e- fase = [l80 4- arg. GHÍJwJ ] grados (2.18)

17

Im GH(jw)

Re GH(jw)

Fig. 2-6. Ilustración del margen de ganancia.

donde Wi es la frecuencia del cruce de ganancia y es la frecuencia a

la cual GH(jw)| = 1.

El margen de fase se define como el ángulo a través del cual debe g

rar el lugar geométrico GH(jw)'para que el punto de magnitud unita

ria |GH(JW) |= 1 pase a través del punto (-1,0) en el plano GH(jw) .

Estas cantidades se Ilustran en la Fig. 2.7.

Im GH(jw)

Circunferencia deradio unitario /

Re GH(jw)

Fig. 2-7 Ilustración del margen de fase.

18

Como se ha visto en esta sección, la estabilidad de un sistema de cqn_

trol con realimentación puede determinarse mediante el criterio de

Nyquist. Además, este criterio permita analizar la estabilidad reía

tiva de un sistema proporcionando dos medidas:

1) El margen de ganancia; y

2) El margen de fase.

Estas medidas de la estabilidad relativa pueden utilizarse como indj_

ees del funcionamiento transitorio con base en las correlaciones QS_

tablecidas entre la respuesta en el dominio de la frecuencia y la

respuesta transitoria de un sistema.

A continuación se presenta un ejemplo sencillo de la utilización del

criterio de Nyquist para determinar la estabilidad de un sistema de

control con realimentación.

Ejemplo del criterio de Nyquist para Sistemas Univariables.-

En la Fig. 2.8. se muestra un sistema de control de red simple don-

de:

GH(s) = —— (2.19)s(rs+l)

19

R s C(s)

Fig. 2.8.- Sistema de control con realimentación de red simple.

'Se debe determinar el contorno TQH en el plano GH(s), que correspori_

de a la trayectoria de Nyquist en el plano 6H(s). En la Fig. 2.9.a

se muestra la trayectoria de Nyquist del sistema en el plano s.

(plano s (plano GH(s))

Contorno deNyquist

(a) (b)

L'Fig. 2.9.- Contorno de Nyquist y su proyección para GH(s) = -? — -y

En la Fig. 2.9.b se nuestra un bosquejo de rGH. Se va a determinar

cada una de las partes del contorno TGH del plano GH(s):

a) Origen del plano s: En este punto se puede hacer s = pe1-1^ para

20

representar el pequeño semicírculo de radio p que rodea al origen y

hacer que i varié desde -90°en w = 0~ hasta +90° en w = O .

La proyección GH(s) es:

u l | 1 ,6H(s) = lím (—g/ j0 1 )p+0 f>+Q peJS<HP ej!^ + 1)

(2.20)

Por lo tanto, el ángulo del contorno en el plano GH(s) varía desde

90° en w = O" hasta -90° en w = 0+5 pasando a través de 0° en w = 0. El

radio de este contorno es infinito.

b) Parte desde w = O hasta w = +«> : en esta parte s = jw y

G H (s ) = G H ( j w ) (2 .21)

GH(s) = k

JW(JWT + 1) -TW2 + JW

GH(s) = • (2 .22)w(- TW + jl)

Cuando w se aproxima a +0° se t iene:

lím. CH(jw) = l í m . -J_| ' I -W2) - tg WT ( 2 _ 2 3 )

21

entonces, la magnitud se aproxima a cero en un ángulo de -180?

c) Parte desde w = +°° hasta w = -°° : la transformación se represen_

ta por:

Hm GH(s) = l!m -- e~ (2.24)

El contorno se mueve desde un ángulo de -180° en w = +°° hasta un án_

guio de +180° en w = -«> . La magnitud del radio de este contorno -

cuando R •*• ra es siempre cero.

d) Parte desde w = -<*> hasta w = 0~: esta parte del contorno se apij_

ca mediante GH(s) como:

GH(s) = GH(-jw) (2.25)

con esto se obtiene el conjugado complejo de GH(jw) y la gráfica pa_

ra la parte de la gráfica polar desde w = ~™ hasta w = O es simétri_

ca con la gráfica polar desde w = +°° hasta w = O .

Para que este sistema sea estable debe cumplirse que N = Z = O y el

contorno rGH no debe rodear al punto -1 en el plano GH(s). Es posj_

ble darse cuenta que el sistema es siempre estable indepenuientemen-

te de los valores de k y de T.

En este ejemplo se puede observar dos características que ayudan a

construir el contorno TGH, que son:

22

1. La gráfica polar de GH(s) será simétrica respecto al eje Re GH(s)

en el plano GH(s). Por tanto, es suficiente construir el conto_r

no para las frecuencias entre O y +°° con el objeto de investí

gar la estabilidad.

f

2. La magnitud de GH(s) cuando s = r ejp y r -»• °° normalmente se

aproxima a cero o a una constante.

2.1.2. Método del Lugar Geométrico de las Raíces

Este es un método gráfico para varias aplicaciones en los sistemas -

de control.

Sea el sistema de control realimentado, como el de la Fig. 2.10.

Fig. 2.10.- Sistema de Control con Realimentación.

La función de transferencia de lazo cerrado de este sistema es:

CR 1 + GH (2.26)

El método del lugar geométrico de las raices muestra la localización

de los polos de una función de transferencia de lazo cerrado como una

23

función del.factor de ganancia K de la función de transferencia'de la

ZQ abi:erto: GH.

Variación de los Polos del Sistema'de'Lazo Cerrado.-

La función de transferencia de lazo abierto del sistema representado

en la Fig. 2.10 se puede escribir como:

a0)

n-1^ • • p

donde N(s) y D(s) son polinomios en s, m<ns y K es el factor de ga-

nancia de lazo abierto.

Reemplazando la ecuación (2-27) en la ecuación (2.26), se obtiene:

D+KN

Los polos de lazo cerrado serán las raices de la ecuación caracterís-

tica:

D(s) + KN(s) = O (2.29)

La localización de las raices de la ecuación (2-29) en el planos cam-

bia conforme varía el factor de ganancia K. Si se unen todas estas

raícesa se obtiene el "lugar de raíces".

24

Si K es igual a cero, las raices de la ecuación (2-29) son las mis-

mas raices de D(s). Si K-*°s las rafees tienden a ser las mismas que

las de N(s). Entonces, a medida que K varía desde cero hasta infi-

nito, los lugares de las raíces de la ecuación característica se o-

riginan en los polos de lazo abierto (raíces de D(s)) y continúan ha

cia los ceros de lazo abierto (raíces de N(s))s donde terminan.

A continuación se describen brevemente algunas reglas que permiten

la construcción de los lugares de raíces:

Criterios de Ángulo y Magnitud.-

Para que un punto particular en el plano s, por ejemplo Si, pertenez.

ca a una rama del lugar de raíces, es necesario que si cumpla con la

ecuación característica, para algún valor de K real. Así-:

D(sJ + K N(sL) = O (2-30)

lo que es equivalente a:

GH( S l ) = K g j* i j = -1 (2-32)

Es decir, que el argumento de GH(s^ ) debe ser igual a 180°+360xI, don

de ¿FU, +_ 1, +_ 2, ... Este es el criterio del ángulo:

arg GH(s!)=180° + 360xJ¿ = (2x J¿+l)xl80°; Jl= 03 + 1, + 2, ... (2.33)

25

Además, la ecuación (2-32) debe ser satisfecha en cuanto se refiere

a la magnitud. Esto es, debe cumplirse que:

(2-34)

Este es el criterio de magnitud.

Es decir, que K debe tener un valor tal que satisface el criterio de

magnitud, o sea:

MSI)N (si) (2-35)

Número de Lugares.-

El número de lugares o ramas del" lugar de raíces es1 igual al número

de polos de la función de transferencia.- de lazo, abierto GH(s).

Lugares en el Eje Real.-

Para K>0: Existen puntos del lugar de raices sobre el eje real ala

izquierda de un número impar de polos y ceros finitos.

Para K<0: Existen pur/tos del lugar de raíces sobre el eje real ala

izquierda de un número par de polos y ceros finitos.

Asíntotas.-

Las ramas de un lugar de raíces tienden hacia un conjunto de

26

tas en línea recta, en las distancias alejadas del origen en el pl_a_

no s. Estas asíntotas salen del "centro de asíntotas oc", que se

encuentra en el eje real y está dado por:

n mE p-j - Z z-jz! - Irl

n-m (2-36)v '

donde:

p-¡ son los polos de GH

zi son los ceros de GH

n es el número de polos de GH

m es el número de ceros de GH

Los ángulos que forman las asíntotas con el eje real están dados por

la expresión:

(2x£+l)xl80- --- -n-m

n-m

,grados, para

s para K<0 (2-37)

para ¿=0, 1, 25 ...s n-m-1. Es decir, que se tienen n-m asíntotas

Puntos de Separación del Eje Real.-

Un punto de separación a^ es un punto sobre el eje real donde dos o

más ramas del lugar de raíces parten o llegan a dicho eje. Este pun

to de separación ab puede ser encontrado mediante la siguiente ecua

27

cion:

n m2 1 = E 11-1 (ab + Pi) 1=1 (ab + ZT) (2-38)

donde (-p-¡) y (-ZT) son los polos y ceros reales de GH, respectiva-

mente.

-Si se expresa la ecuación característica como: g(s) = Ks se pueden

calcular los puntos de separación, resolviendo la ecuación:

= O (2-38b)

Ángulo de Partida.-

El ángulo de partida del lugar de raíces desde un polo complejo es-

tá dado por:

QD = 180°+arg GH1 (2-39)

*

donde arg GH' es el ángulo de fase de GH calculado en el polo com-

plejo pero ignorando la contribución de ese polo particular.

Ángulo de Llegada. -

*El ángulo de llegada del lugar de raíces en un cero complejo, está

dado por:

28

9A = 180° - arg GH" (2-40)

donde arg GH" es el ángulo de fase de GH en el cero complejo, pero

ignorando el efecto de ese cero.

Construcción del Lugar de Rafees.-

Mediante los criterios y reglas dados anteriormente se puede bosque_

jar fácilmente una representación del lugar de rafees. Un procedi-

miento eficiente es el siguiente:

a) Determinar las porciones del lugar de raíces sobre el eje real.

b) Calcular el centro y ángulos de las asíntotas y dibujarlas.

c) Determinar los ángulos de llegada y de partida en los ceros y p_o_

los complejos.

d) Hacer un esbozo rápido de las ramas del lugar de rafees de tal ma_

ñera que cada rama comience en un polo y termine en un cero o -

tienda al infinito a lo largo de una de las asíntotas.

Por último, para mejorar la exactitud del lugar de rafees se puede

aplicar el criterio del ángulo y determinar la locclización exacta

de los puntos de separación del eje real. El criterio de magnitud

se usa para hallar el valor de K en un punto dado del lugar de raí-

ces.

Ya que los p&los del sistema aparecen en forma de pares complejos

29

conjugados, el lugar de raices será simétrico con respecto al eje

real y en consecuencia sólo es necesario representar la mitad supe_

rior del lugar de raíces. Pero se deben tomar en cuenta los polos

y ceros que se encuentran en la parte inferior del eje real al a-

plicar los criterios de magnitud y ángulo.

A continuación se presenta un ejemplo de la aplicación del lugar -

geométrico de las raíces a un sistema de control realimentado.

Ejemplo del Lugar Geométrico de las Raíces.-

Se desea construir el lugar de raíces del sistema cuya función de

transferencia de lazo abierto es:

GH " s(s+2) .( ; K>0

Para K>0, las porciones del eje real comprendido entre O y -2 y en-

tre -4 eoo pertenecen al lugar de raíces. El centro de asíntotas

se determina mediante la ecuación (2-36) y se obtiene:

-2-4 _ 9— 2

Los ángulos que forman las asíntotas con el eje real se encuentran

con la ecuación (2-37)3 así:

= 60°

30

3x180

= 2 : 32 - 5*180 = 300°

La localización exacta del punto de separación del eje real se en-/•

cuentra mediante la ecuación (2-38):

+ 4- - _ = flab+4 u

de donde se obtiene:

= -0.845

Se puede aplicar también el criterio del ángulo, y el criterio de

magnitud se usa para determinar los valores de K a lo largo del lu-

gar de raíces. La representación resultante del lugar de raíces p_a_

ra K>0 se muestra en la Flg. 2-11; en donde de puede notar que el

sistema es estable para todo valor de K comprendido entre O y 48;

pasado el valor de K=48S el sistema se vuelve Inestable.

31

<r

Fig. 2-11: Lugar geométrico de- las rafees para K(5+4) >

Márgenes de Ganancia y de Fase.-

Los márgenes de ganancia y de fase pueden ser determinados también

con el criterio del lugar geométrico de las raices.

El margen de ganancia es el factor por el cual el valor de diseño

del factor de ganancia K se puede multiplicar, antes que el sistema

de lazo cerrado se vuelva Inestable, es decir:

Margen de Ganancia = Valor de K en el cruce del eje ImaginarloValor de diseño de K

(2-41)

SI el lugar de raíces no cruza al eje Imaginarlo, el margen de ganaji_

cía es Infinito.

32

Para encontrar el margen de fase de un sistema de control real iman-

tado, es necesario encontrar el punto jwa sobre el eje imaginario -

para el cual GH(jWi) =1 para el valor de diseño de K; esto es:

= «diseño (2-42)

El margen de fase se calcula entonces a partir del arg GH(jWi) como:

0PM = 180° + arg GH(jwi) (2-43)

Estos dos valores, el margen de ganancia y el margen de fase,

sentan una medida de la estabilidad relativa del sistema de lazo ce_

rrado.

2.2. SISTEMAS MULTIVARIABLES

2.2.1 Descripción de Sistemas Multivariables.-

La mayoría de los métodos de diseño de sistemas de control funcionan

bajo la condición de disponer de modelos lineales de los sistemas ba_

jo estudio. En verdad, muchos de los sistemas reales pueden ser mo-

delados por conjuntos de ecuaciones algebraicas y/o diferenciales no

lineales, pero pueden generalmente ser linealizados alrededor de pun_

tos o rangos de operación particulares; entonces, algunos modelos 1J_

neales derivados en condiciones de operación especiales deberán ser

analizados en el diseño. Además, si un esquema de control diseñado

bajo cierta condición de operación particular no funciona satisfacto

33

riamente en otras condiciones, entonces se debe implementar alguna

forma de programar los parámetros del controlador para poder cubrir

todo tipo de condiciones de operación. Por estos motivos, es impo_r

tante conocer las diversas formas de describir o representar a los

sistemas multivariables.

Existen cuatro tipos principales de modelos lineales o descripción

de sistemas multivariables. Estos son: descripción en el espacio

de estado, la descripción en matriz función de transferencia, la Mja

triz de Rosenbrock del sistema y la descripción en fracciones matrj_

cíales. A continuación se estudiará cada uno de ellos.

Descripción en el Espacio de Estado.-

¿Cualquier conjunto de ecuaciones diferenciales lineales que relaci_o_

nen las variables del sistema x-j(t) y sus derivadas drx-f con las. sjdtr

lidas yi(t) y entradas uk(t), puede ser reducido a un conjunto equj_

valente de ecuaciones diferenciales de primer orden. Este conjunto

de ecuaciones diferenciales de primer orden3 más unas ecuaciones a_l_

gebraicas adicionales pueden ser escritas en la siguiente forma:

= Ax(t) + Bu(t) (2-44)

y(t) ='Cx(t) + Du(t) (2-45)

donde x.(t) es un vector de variables de estado de dimensión nxl;

_u_(t) es un vector de funciones de entrada de dimensión mxl; e y_(t)

es un vector de salidas de dimensión &xl. Las matrices A_, _B, _C y

34

D son de dimensión n x n, n X- m, & x n, £ x ms respectivamente.

La descripción del sistema en el espacio de estado, da una Idea

pleta de la estructura del sistema, como se muestra en la figura

2-12.

NTRAD

^ _J-

c"~

f S \

LID

. A

Flg. 2-12.- La descripción en el espacio de estado.

La Flg. 2-12 muestra como las variables Internas xi(t) [1=1,....,n]

interactüan entre si, como las entradas u|< [k=l,...,m] afectan a los

estados del sistema xi(t), y como las salidas yj(t) [j=l,...,£] son

obtenidas de combinaciones de las variables de estado x-j (t) y de las

entradas u[<(t). Esta forma de descripción es, por lo tanto, llama-

da "descripción Interna".

Descripción en Matriz Función de Transferencia.-

La matriz función de transferencia del sistema _G(s) es un mapeo en-

trada-salida relacionando la transformada de Laplace del vector de

salidas y_(s) a'la transformada de Laplace del vector de entradas u(-s)

35

con condiciones Iniciales cero, de la. siguiente manera:

' y(s) = G(s)u(s) (2-46)

Los elementos g-íj(s) de la matriz _G_(s) son fracciones de polinomios

en s, representando la función de transferencia entre la salida y-j

y la entrada u j . Debido a que este tipo de descripción provee poca

información acerca de la estructura interna del sistema, se la cono_

ce como la "descripción externa".

Si se conoce la descripción del sistema en forma de espacio de esta_

do (ecuaciones (2-44)y (2-45)), se puede encontrar la descripción en

forma de matriz función de transferencia, a partir de:

_x(t) = Ax(t)

= Cx(t) + Du(t)

Aplicando la transformación de Laplace, con condiciones iniciales ce

ro, se obtiene:

~s_x(s) = Ax(s) + ,Bu(s)

y(s) = _Cx(s) + Du_(s)

"sx.(s) - Ax(s) = Bu_(sJ

y(s) = Cx(s) + DIJ(S)

"(sl - AWS) ='lü(s)

y(s) = Cx(s) + Du(s)

36

- A B u í s ) (2-47)

y(s) ='Cx(s) +'Du(s) (2-48)

Sustituyendo la ecuación (2-47) en la (2-48):

y ( s ) = _C(s_l - APlüí

(s) (2-49)

Comparando la ecuación (2-49) con la ecuación (2-46) , se obtiene:

' _ G ( s ) = £(sl - A)"1 1+2 (2-50)

SI G(s)-*0 cuando SH-OO, se dice que la matriz G(s) es "estrictamente~

propia", y se dice que es "propia11 si _G^s)»matr1z constante cuando

Matriz de Rosenbrock del Sistema. -

SI, después de lineal Izar las ecuaciones del sistema, se tiene un cori_

junto mixto de ecuaciones diferenciales lineales (de orden arbitra-

rio) y ecuaciones algebraicas, entonces, después de tomar las trans_

formadas de Laplace con condiciones iniciales cero, se obtiene, en

forma de matriz-vector:

T(s)J = .U(s) u. (2-51)

y = l(s)j+ W(s) u. (2-52)

37

donde £, u_, y_ son vectores de las transformadas de Laplace de las

variables del sistema, de las entradas y de las salidas, respect1va_

mente; y l_y U_, _V.3 W_ son matrices (de polinomios) de dimensión rxr,

r x m, & x r, I x m, respectivamente. Se debe observar que los g-j

son las variables del sistema y no son necesariamente sus estados.

Las ecuaciones anteriores se pueden escribir asi:

T (s) U (s)

-V(s) W (s) -u -y (2-53)

y la "Matriz de Rosenbrock del Sistema, en Forma Pollnomlal" se de-

fine como:

P(s) =

T (s) U (s)

-V (s) W (s) (2-54)

La descripción del sistema en forma de la matriz de Rosenbrock puede

ser usada si se conoce la descripción en forma de espacio de estado.

En este caso especial., la "Matriz del Sistema, en Forma de Espacio de

Estado" se define como:

sI-A

P(s) =

' D (2-55)

38

La función de transferencia del sistema £(s) puede ser obtenida f|_

cilmente si se conoce la descripción en forma de matriz del siste-

ma, asi:

G.(s) = V.(s) ra(sHKs)+W(s) (2-56)

donde, para el caso especial de _P_(s) en forma de espacio de estado

se obtiene la relación dada en la ecuación (2-50).

Descripción en Fracciones Mátriciáles.-

Una nueva forma de descripción de sistema muí ti variables puede aho-

ra ser introducida: la descripción en fracciones matriciales (o DFM).

Esta es una interesante y relativamente nueva forma de modelar al

sistema; es una generalización natural del modelo clásico de función

de transferencia del sistema de una entrada y una salida.

Asumiendo que G_(s) es una matriz estrictamente propia, de dimensión

&xm, y expresándola como:

£(s) = N.(s)/d(s) . (2-57)

donde d(s) es el mínimo común denominador de todos los elementos de

G_(s), y N_(s) es una matriz ¿xm cuyos elementos son polinomios en s.

Entonces, se puede escribir a G(s) como las fracciones matriciales:

G(s) = N(s)[d(s)lmT~ (fracción derecha)" L —J (2-58)

e(s) = d(s)U-1N(s) (fracción izquierda)

39

(2-59)

donde Im e Ij¿ son matrices unitarias de orden m y &, respectivamen_

te.

Como se puede observar de las ecuaciones (2-58) y (2-59), esto es a_

nálogo a la forma dada por la ecuación (2-56), pero correspondiendo

al caso cuando U(s) = Im y V_(s) = I¿, respectivamente.

La DFM no es, en general, única, ya que existen muchas DFM izquier-

das y derechas de una G(s) dada. Por ejemplo, si se escribe:

NL(s) (2-60)

donde:

DL.(S) = d(s) _I¿

y NL(s) = N_(s)

entonces, el grado <5 de la matriz denominador D|_(s) es

(2-61)

donde r es el grado de d(s) y DL(S) es de dimensión Ix'L Ahora, si

se multiplica por la izquierda a las matrices DL y NL por alguna ma_

triz de polinomios no singular W-a(s), tal que:

,D*(s) = w~ (2-62)

40

= W"Hs)NL(s) (2_63)

entonces,

£(s) = DL-^S) NL(S)

G_(s) = D*-1^) N*(s) (2-64)

que es también una DFM de G_(s).

Escr ib iendo:

(s) = W.(s).N*(s)

y DL(s) = W(s) D*(s)

se puede ver que la matriz W(s) ha proporcionado una factorización

izquierda de NL y D[_, y como tal es llamada un "divisor izquierdo"

de N|_(s) y DL(S). Además^ se tiene que:

5 (|DL(S)|] = ó{|w(s)|J +&[D (S)|) (2-55)

es decir que:

y se puede notar que una DFM de orden mínimo se puede obtener quitan_

do el máximo común divisor izquierdo de N|_(s) y DL(S). Si el máximo

41

común d.ivisor izquierdo de N|_ y _DL_ es unimodular, es decir si

det(W_(s)) = constante distinta de cero, independiente de s, entonces

se dice que NL y D|_ son "relativamente primos a la izquierda". Una

DFM, _G(s)=D~ (s)N_(s) se, dice-que es "irreducible" si N_(s)yD_(s) son

relativamente primos a la izquierda y no existe otra DFM de más bajo

orden, que genere G_(s).

A continuación se verán ejemplos que ilustran los diversos tipos de

descripción de los sistemas multivariables.

Considérese un sistema físico 'simple que consiste en dos resortes y

dos masas, como se muestra en la figura 2-13.

r2

x2= y

xl

Fig. 2.13.- Sistema Mecánico Simple

Los resortes tienen constantes de elasticidad y r2 y las masas es_

tan representadas por elementos de masa mx y^^- La variable que i_n_

teresa es el desplazamiento x2 de m2: es decir, y=x2; cuando el sis-

tema está bajo la acción de una fuerza u aplicada a la masa m^. Aun-

42

que esto representa un sistema de una entrada y una salida, los pr1n_

cipios se aplican Igualmente a los sistemas muí tlvarlables, con alg_e_

bra más complicada.

Las ecuaciones del movimiento de un modelo lineal Izado de este s1ste_

ma alrededor del punto de equilibrio son las siguientes:

TO! x: = u - r: (Xi-x2) (2-66)

m2 X2 = i"i (xa-x2) - r2 x2 (2-67)

SI se Introducen las variables adicionales x3 y x^ de la siguiente

manera:

X3 = xa (2-68)

y X4 = x2 (2-69)

entonces las ecuaciones del sistema pueden ser reescrltas como:

X2 =

x3 = -

^ = rj(x1-x2)/m2-x2r2/m

En forma matricial :

43

X i

x 2

X 3

x,

=

0 0 1 0

0 0 0 1

-rj/m i r i /n i j 0 0

r a/m2 -(r !+r2)/m2 0 0

x ,

X 2

X 3

_ x * _

+

0

0

I /mi

0

u

(2-70)

y = f o 1 0 oí x (2-71)

Lo que significa:

x_ = A_ x_ + B_ u_

y = c x

(2-72)

(2-73)

donde x_, _x y B_ son vectores columna, C_ es un vector fila y donde las

ecuaciones (2-72) y (2-73) son la descripción del sistema en forma de

espacio de estado!

A partir de la descripción en espacio de estado, la función de trans_

ferencia del sistema g(s) puede ser encontrada, usando la relación:

g(s) = C (s I - A)"'E (2-74)

desarrollando, se obtiene:

g(s) =r2

(2-75)

44

es decir:

y(s) = g(s) u(s) (2-76)

La función de transferencia g(s) se pudo determinar también aplican_

do la transformada de Laplace directamente a las ecuaciones origina^

les del sistema (2-66) y (2-67), con condiciones iniciales nulas,

obteniéndose:

= u

m2s2x2 + r:x2 + r2x2 - r^ = O

y =

(2-77)

(2-78)

(2-79)

donde x19 x2, "y" y "u" son ahora variables transformadas de Lapla-

ce.

Estas ecuaciones pueden ser escritas también como:

T(s) x(s) = U(s) u(s)

y(s) - V(s) x(s)

donde:

T(s} =

-r •

(2-80)

(2-81)

45

x(s-) =~Xi(s)~

x 2 (s )

, U.(s) =

1

0

, V.(s) = [O l] (2-82)

Debido a que det(T(s)) es un polinomio en s de orden 4, el sistema

es de orden 4; es decir n=4. Por lo tanto, para poder escribir es-

tas ecuaciones en forma de matriz del sistema, la dimensión de T_(s)

debe ser mayor o igual que 4, por lo que se introducen dos variables

'adicionales:

nxjs)

(2-83)

tal que el conjunto de ecuaciones puede ser escrito en la forma:

donde

P(s)J]

x_

=

0_

-y(s) (2-84)

P(s) =

l(s) U.(s)

-V(s) W(s) (2-85)

es decir, la matriz del sistema en forma polinomial

La introducción de Tas variables definidas por n es equivalente a u_

na expansión de T, U_, _V_S donde la representación matricial del sis-

tema está dada por:

46

1 0 0

0 1 0

0 0 m jS 2+r !

0 0 -ra

0 0 0

0 0

0 0

-r, 0

m2s2+r1+r2 1

H _ _ _

- 1 0 _

*3

X 4

X i

X2

-u

0

0

0

0

-y (2-86)

Finalmente, como un ejemplo de una descripción en fracciones matri-

ciales (DFM) de un sistema multivariable, considérese el sistema de_s

crlto por:

P.(s) =

s

-1

0

0

0

3 0 3 2

s + 4 0 1 2

0 s+1 1 1

r- ... , , _ <~

- 1 0 0 0

0 - 1 0 0 (2-87)

con la matriz función de transferencia correspondiente:

G(s) =

• 1 2s+1 s+3

1 1s+1 s+1 (2-88)

47

Una DFM izquierda de G_(s) está dada por:

Gis) =.DL-1(s) NL(s) =

( s+l ) (s+3) 0

20 (s+l)

1 (s+3) 2(s+l )

(s+l) (s+l)

(2-89)

donde

= 4

Sin embargo, D¡_ y NL pueden ser escritas igualmente como:

DL(s) = W.(s) Df(s) =

1 0

0 (s+l)

( s+ l ) ( s+3) 0

0 (s+l)

(2-90)

y

NL(s) = W(s)

1 0

0 (s+l)

(s+3) 2(s+l)

1 ' 1

(2-91)

y G_Cs) puede ser expresada como la DFM siguiente:

(s+l)(s+3) ' O

G(s) =

(s+3) 2(s+l)

(s+1) (2-92)

donde

s {D*(S)¡} = 3

2.2.2 Relación entre Polinomios Característicos de Lazo Abierto y Lazo Cerrado.

Considérese el arreglo multivarlable con realimentación mostrado en

la figura 2-14.

Fig. 2-14.- Arreglo Muítivariable Realimentado

El conjunto de ecuaciones de estado que definen a los sistemas S]. y

S2 son:

~3t~ I xj. u i (2-93)

49

y i = C i X i + D i U i•

para el sistema Si, y

(2-95)

(2-96)

para el sistema S2.

Las matrices función de transferencia para Sz y S2 son G:(s)yG2(s)3

respectivamente, y sus polinomios característicos sonAi(s) yA2(s),

respectivamente. Entonces,

_ > _ L ) " 1 1 B a + _ D 1 (2-97)

A JL(S) = det(s_I_ -'Ai,) (2-98)

G^G») = (2-99)

_ <\2J 1 B 2 . + ' D 2 , (2-100)

A 2 ( s ) = det(s^ - A¿) (2-101)

GaH - D^ (2-102)

donde _!_ es una matr iz un i ta r ia de orden aprop iado . Además, se asu-

me que:

det l[l_+ G2_ (~ ) 'G j_ H] ¿ O (2-103)

Ahora considérese el sistema oiultivariable total , como se muestra en

la figura 2-15, que tiene un vector de entradas u_, un vector de esta_

dos x y un vector de salidas y.

H ÍI

Lazos de realirnentaciónson cortados aquí

Fig. 2-15.- Representación por Variables de Estado de un Sistema de

Realimentación Muí ti variable.

Este sistema es de lazo cerrado, pero si se cortan a todos los lazos

de realimentación en y2, se ponen los dos sistemas S x y S2 en casca-

da, dando como resultado un sistema de lazo abierto cuya descripción

en variables de estado está dada por:

= Ai x j. + B, u

x-2. = A u2

(2-104)

B2 (d x a +'D'i u-A)

51

= A x + R f' x + B D u (2-105)

y2 = C2 x¿ + D2 u2

= C±x± +'_D2_ (£i2LL + 2-i uJ

= Ce )Cz + D_2 C_t x_i + D_2 D u_i (2-106)

Si se combinan estas expresiones, se tiene que este sistema de lazo

abierto tiene un conjunto de ecuaciones de estado que son:

x = A x + B'u i

y2 = C x + D u

(2-107)

(2-108)

donde:

A =

C =

B2 C

D2 C'i

Xi

X2

_0

Az.

C2

B2 Di

D2 D

(2-109)

(2-110)

Suponiendo ahora que todos los lazos de realimentación son reconecta^

dos en y23 tal que:

JLU = u_ - j. (2-111)

52

Sustituyendo^ en las ecuaciones (2-107) y (2-108), tenemos:

Í = A' 21 + 1 (ü - 2l) (2-112)

I?, ~ £. 21 + £ (J¿ - 12,) (2-113)

de donde se puede obtener el conjunto de ecuaciones de estado del

sistema de lazo cerrado:

^2= (l + £)-1£x.+ (1+2)" '£ u. (2-114)

Sustituyendo la ecuación (2-114) en la ecuación (2-112), tenemos:

x^ = _A x. + 1 u. - 1 [(I + £)-1C. x. + (I + i)"1 ]

x = Ax + B u - B ( I + D)' x - B(I + D)" u

A = [A - Ki + £)" C.] 2i + [B. - Kl + £)" £] 1 (2-115)

Siendo las ecuaciones (2-114) y (2-115) las ecuaciones Je estado del

sistema de lazo cerrado.

SI se escribe la ecuación (2-115) en la forma:

~" _x ='Ac x + Be _u_ (2-116)

53

entonces se tiene que:

Ac = A - (2-117)

Sustituyendo las ecuaciones (2-110) en la (2-117)

Ac = fl + Jk £j~l [Jk ii £1

(2-118)

Reemplazando:

J = [i + D2 D I ]" (2-119)

se t iene:

~AiAc =

82 x Di

J [02,21 £2! (2-120)

J Ü2 C l J C2

£1

A ! O ¡! J D2 C i B , J C,

"Ai - B! J D2 C :

ILt.il ü'£1 (2-121)

54

En este punto se debe Introducir el concepto de "Matriz de Diferen-

cia de Retorno".

Considérese el sistema multlvariable de la figura 2-15 cuando se han

cortado los lazos de reallmentaclón en yz, es decir, cuando se lo

puede considerar como un sistema de lazo abierto, como en la figura

2-16.

Flg. 2-16.- Sistema Multlvarlable de Lazo Abierto.

SI se inyecta una entrada Q_ (s) por a, se va a obtener por a1 una sa_

11 da correspondiente a dicha entrada. La diferencia entre la entra-

da G(s) y la salida obtenida por ct1 será:

l(s) - l(s)

donde Y_(s) es la salida correspondiente'a la entrada £(s).

Pero:

Y(S) = G(s) (2-122)

55

donde G_(s) es la función de transferencia del sistema de lazo abier-

to. La salida _Y_(s) es igual a la función de transferencia multipli-

cada por la entrada £(s) con signo negativo debido a que £(s) está

entrando al sistema por una entrada negativa.

Reemplazando el valor de _G(s) en la ecuación (2-122), se tiene:

G(s) = C (si - A)"1 B + D

Y(s) = -[C(sl - A)"1B + D]9(s)

(2-123)

(2-124)

entonces, la diferencia entre la entrada 9(s) y la salida Y(s) será:

£( s) -I (s) = i( s)+[c (s L-A) " :B+D]£( s)

£(s)-Y.(s) = [I+C(si-A)" (2-125)

Se define la Matriz Diferencia de Retorno por:

-i.F(s) - I + C (sI-A) B +. D (2-126)

Luego, aplicando la fórmula de Schur para la evaluación de determi-

nantes particionados, se tiene que:

det F(s) = det [C(sI-A)-1

det(sI-A)s -

- C I+D

(2-127)

(2-128)

56

Reemplazando las ecuaciones (2-110) en la ecuación (2-128):

det F(s) =

det'Sl-Ai 2-B2'Ci s!-A2

det

-D2- Ci I + Ü2 Di

Reemplazando las ecuaciones (2-98), (2-101) y (2-119)

det*s> =A1(s)A.(s) det

sl - Ai 2-Jk c_i si --Dz Ci -C2

(2-129)

Calculando el determinante:

det

I ^ 2o_ 1 2J De C i J Ca I

= 1

Entonces, se puede decir que:

det F(s) = det F(s) det

1 2 2

2 1 2J D2 C i J C2 I (2-130)

Por las propiedades de los determinantes, se sabe que si dos matri-

ces son cuadradas y de igual orden, entonces el determinante del pro

ducto de las dos matrices es igual al producto de los determinantes.

57

Así:

F(s)- 1Ai(s)A2(s) det -Bz_ C_L Sl-Ai j*l 2i

-D¿ C i -C2 J'1

det

2 2

1 £

(2-131)

1Ai(s)A2(s) det

Ai(s)A2(s) det

spA_i 2 li

-li1 ¿I sl~Ai li 2l

-£k Cj. -Cz. £ l

si-AJ+ÍJ2 2i c_i

•li £i + li íj 2 2i io

0_

J. IDi^i

Bi J Cz

,- i

Luego, usando las ecuaciones (2-121) y (2-110):

t

det F(s) = 1Ai(s)A2(s)

det

si -Ac B

O J"1 (2-132)

= det(sI-¿c)det(JAi(s)A2(s) (2-133)

Si s-^,entonces:

F(») = I + D

Usando las ecuaciones (2-119) y (2-110):

58

_ @et(sI-Acl^codet(I+D)"

det 0+0)= det(sl-Ac)s det(I+D)

[Ai(s) A2(s)]'S-í-co

det (sI-Ac),._,„= [A1(s)A2(s)]s co

pero: AI(S) Az(s) = det (s_I_-A) según la ecuación (2-129); entonces,

det (si - Ac)s ro = det(s I - A)s (2-134)

Reemplazando la ecuación (2-134) en la (2-133) cuando s-«=, se tiene

_ det(sI-A) det (J *)A i(s) A a ( s ) ( 2 - 1 3 5 )

Haciendo la relación:

det F(s) = det (sI-Ac) det (J" l)-& i(s) A2 (s)det F(OT) det (s^_-_A) det (J-1)^i (s) Az(s)

det

det (sJNA) (2-136)

pero, sabiendo que el polinomio característico para el sistema de l_a

zo abierto es det(sj A) y el polinomio característico para el siste-

ma de lazo cerrado es det(sI-Ac), entonces se tiene la relación:

59

det £(s) = PCLC (s)det FH PCLA (.s) (2-137)

donde PCLC(s) y PCLA(s) son los polinomios característicos de lazo

cerrado y de lazo abierto, respectivamente.

2.2.3 Funciones Características

Sea Q_Cs) una matriz cuadrada de orden "m", función de una variable

compleja s, cuyos elementos son funciones racionales de s. Para un

valor específico de s, por ejemplo s=s u la matriz Q(s i) será una ma_

triz de números complejos y tendrá un conjunto de valores propios

fqits^); i=l, 2,..., mj que son números complejos. Por lo tanto,^los valores propios dé Q_(s) son funciones de una variable compleja.

Sin embargo, si se forma la ecuación característica apropiada de la

matriz Q(s):

det =A(q, s) = O (2-138)

es obvio que el polinomio en q,A(q, s), en general no puede ser ex_

presado como un producto de factores lineales en q. Por lo tanto,

la matriz_Q(s) no tendrá normalmente valores propios que son funci£

nes racionales de s. O, dicho de otra forma, aunque los elementos

de ¿(s) pertenecen al campo de las funciones racionales de s,losva_

lores propios dé Q_(s) no pertenecen necesariamente a ¿se campo. En

general, A(q, s) puede ser expresado de la forma:

60

A (q,s) = A i . ( q 3 s ) A 2 (q»s ) . . . 'A k^5) (2-139)

donde los factores JA i(q,s) ; i-1,2,. . . ,kj son polinomios irreduci

bles sobre el campo de las funciones racionales de s.

Los factores irreducibles A-j(q,s) tendrán la forma:

; i = 1,2,..., k

(2-140)

donde t-j es el grado del i-ésimo polinomio irreducible y los coefi-

cientes jaj j ; i = l,2,...,k; j=l,2,. . . 5 t - j j son funciones racionales de

s.

i b-¡0(s) es el mínimo común denominador de los coeficientes

j; j-1,2,...5tl, entonces la ecuación (2-140) puede escribirse co_

mo:

s k

(2-141)

donde los coeficientes |bjj(s); i=l,2,...,k; j = l, 2s...Jt-¡j son poli

nomios de s. La función de una variable compleja q-j(s) que esté de_

finida por la ecuación (2-141) se llama una "Función Algebraica". A_

si, una matriz cuadrada que sea función de una variable compleja,

¿(s), esta asociada con un conjunto de funciones algebraicas *

/q-j(s); i=l, 2,....,kj que están relacionadas con los valores pro-

pios dé ¿(s).'V El aspecto preciso en el cual el conjunto de valores

61

propios de Q_(s) son funciones de una variable compleja es que ellos

son los valores de un conjunto de funciones algebraicas; y una fun-

ción algebraica es una generalización del concepto de función de u-

-na variable compleja. Las "funciones características" de _Q(s) es-

tán definidas como el conjunto de funciones algebraicas

q-i(s); i = l,2,...,1

Los problemas de encontrar las funciones características de Q_(s) e_s_

tan estrechamente ligados al problema de encontrar una forma canónj_

ca apropiada.* SiA. (q,s) fuera reducible a factores lineales en q,

entonces Q_(.s) podría ponerse en la forma de Jordán. El caso gene-

ral no es éste y por eso se va a definir una forma canónica conve-

niente como sigue a continuación:

C.(AT)

0

1

0I

0

0

0

1 -111

0

0 -3 ' 4- • ( <Z }

!' 10 -a-1 I1 11 1

1 -ai ,-i(s) (2-142)

para t-¡>!

y (2-143)

para

Entonces, una matriz de-transformación T_(s) existe, tal que:

' QCs) = T(s) R(s) ra(s) (2-144)

62

donde R_(s) es una matriz única, la cual se definirá como la "forma

canónica racional irreducible dé Q(s)11 y está dada por:

R(s) = diag , £(A2)3...., c(Ak) (2-145)

Se ve claramente que si se encuentra R_(s), los factores irreducibles

Ai(q,s) pueden ser obtenidos fácilmente.

A continuación se da un método para reducir cualquier matriz cuadra^

da de orden "m" a su forma canónica racional irreducible; pero an-

tes se darán algunas definiciones necesarias.

Definiciones. -

Si los vectores

X_, QX_, £%..., Qt-i_X (2-146)

son linealmente independientes, pero

X., QX,a Q,2 ,..., -1 X_s Qtx (2-147)

no lo son, entonces (2-146) es llamada una "cadena" de longitud t te_

niendo a X como su "guia".

Procédimiehto.-

Para una matriz Q_ cuadrada de orden "m" sobre cualquier campo F:

63

osa) Sea Xm el guía de una cadena Cm de longitud máxima para todos 1

m vectores sobre F;

b) Sea X i el guía de una cadena.Cm_, de longitud máxima (cualquier

miembro de ella es linealmente independiente de los miembros ante_

riores y de los de.O para todos los m vectores sobre Fque son lj_

nealmente independientes de los vectores de C ;

c) Sea X 9 el guía de una cadena C 9 de longitud máxima (cualquierm~ ¿ in~¿-

miembro de ella es linealmente independiente de los miembros ante_

riores y de los de C y de C i) para todos los m vectores sobre

F que son linealmente independientes de los vectores de C y C n;m m-1

y así se continúa

Entonces, para:

(2-148)

se tiene que X"1 X es 1a f°rma canónica racional de Q_. 1

En esta aproximacións las cadenas de longitud máxima son usadas para

escoger los factores invariantes. Ahora, los factores invariantes -

son formados de productos de las ecuaciones características irreduci

bles que son requeridas en la forma canónica racional irreducible.1

Por lo tanto, si en lugar de usar cadenas de longitud máxima se en

cuentran las de longitud mínima, la matriz de transformación T así

#64

formada es la requerida para dar la forma canónica racional irredu_

c ib le R. '

u

El problema que existe con este método es que no se encuentra mngu_

na indicación que'permita conocer cuando la cadena que se ha obteni_

do es de longitud mínima o máxima, excepto que en el caso contrario

aparecerá una cadena de longitud más corta o más larga. '

Es interesante notar que las cadenas de longuitud máxima y mínima -

forman bases para los subespacios invariantes Q_ de dimensiones máxi_

ma y mínima, respectivamente. Por esto, el problema de encontrar

las cadenas de longitud mínima es equivalente a encontrar los sube_s_

pacios invariantes de mínima dimensión. También se ve que mientras

el subespacio invariante de 1 dimensión (vector propio) escoge un v^

lor propio, un subespacio invariante de dimensión t (del conjunto de

aquellos de dimensiones mínimas) escoge una ecuación irreducible de

grado t, definiendo t valores propios.

Para ilustrar mejor este método de encontrar la forma canónica ra-

cional irreducible, se verá el siguiente ejemplo:

Se desea encontrar la forma canónica racional irreducible de la ma-

triz:

65

Qís) -

s+3T TT

s-3

-1

s+2

-(s+2)2(s+1)2

Sea:

entonces:

QX: =

O

O

• 1s+1

^ Primera cadena: ; Xi es una cadena de longitud mínima,

sea:

entonces:

66

s+2

-(•s+2)

Q/2 es linealmente independiente de Xa.

|2 -

2s+3 s+2

s-3 s-2

-(s+2) s+2

- O

12(5+1)3 " 2(5+1)3 (5+1)2

A2

s+2

s-2(5+1)

s+22(s+l)3

Segunda cadena: s+2

s+2

67

Ninguna otra cadena de longitud más pequeña puede ser encontrada y

por lo tanto X^, QXa completa el conjunto de cadenas de longitud nn_

nima. La matriz de transformación está dada, por lo tanto, por:

T(s) =

(S+1J2

s+22(5+1)2

y la forma canónica racional i r reducible de la matriz Q es

R(s j = Q ( s ) T ( s )

s+1

1 \'

Esto implica que las ecuaciones características irreducibles son

A I (s, q) = q - s+1

A2 (s, q) = q: q -

Superficie Riemann de una Funció.n Característica.-

Cada función característica q(s) está definida por una ecuación irre_

ducible de la forma:

b0(s)qt + h1(s)qt"1+...+ bt(s) = O (2-149)

que tiene, en general, t raices distintas. Una excepción a esto ocu-

rre en dos casos:

a) Cuando b0(s) = O, que significa que el grado de la ecuación (2-149)

es menor que t.

b) Cuando la ecuación tiene raíces múltiples

El caso b) ocurre si, y sólo si, una expresión llamada el discriminar^

te de la ecuación se hace cero.

El Discriminante. -

Es una función racional de los coeficientes de la ecuación; será de-

signado por Dq(s). A continuación se dan dos métodos para encontrar

el discriminante de 1 u ecuación (2-149):

El resultante R[a(q), c(q)J de dos polinomios a(q) y c(q) dados por:

69

a(q) = a0qn + atqn~1+ + an

c(q) = C0qm + c "1" + am

donde a-¡, cj£C3 es el determinante siguiente:

(2-150)

(2-151)

R[a(q),c(q)] =

O a an-i an

an-i an

co C i Cm_ l Cm

C o C i C 2 Cfp U

C0 C

l\

mfilas

nfilas

(2-152)

Los polinomios a(q) y c(q) tienen un factor común (de grado distinto

de cero) si y sólo si el determinante de grado (n+m), R[a(q) 3c(q)]es

cero, con la condición que afi o c0 sean distintos de cero.

Considérese a la derivada de a(q) con respecto a q como a ' ( q ) . Enton_

ees, el discriminante del polinomio a(q) es el determinante Dq(a0,

ais • • • > an) definido por:

D n ( a 0 y a i , . . . . , a n ) - -— (2-153)

El polinomio a(q) tiene un factor repetido si y sólo si el discrimi_

nante Dq(a0,..., an) es cero.

Ahora, considérese un polinomio del tipo:

70

b ( s , q ) = b 0 ( s ) q t + b 1 (s)q t - i ; + . . .+b t (s ) ; t>0

(2-154)

donde los coeficientes [b-j(s): 1=1, 2, ..., tj son todos polinomios

en s. El discriminante del polinomio de la ecuación (2-154) se lo

encuentra de la misma forma que se lo hizo con a(q), es decir:

Dq(s) = FTFTR [b(s>^> b'(s )] (2-155)

donde.b'(ssq) es la derivada de b(s,q) con respecto a q.

Método 2.-

Considérese el polinomio:

a ( q ) = a 0 q n + aIqn-I + + an ; n>0 (2-156)

donde a-¡eC; entonces el discriminante de a(q) está dado por la expre_

sión:

Dq(a0, als...., an) =

donde P es un determinante dado por:

(2-157)

P =

CTo

CTi (2-158)

o"zn-2

71

donde los elementos [g-f : 1 = 1,.... , 2n-2] son funciones de los co_e_

fiel entes [a-j ; 1=0, ..., nj y

a0 = n - (2-159)

Los elementos CTl, ...-an-i pueden ser encontrados del siguiente sis

tema de ecuaciones:

= O

2a2+al0-i + a0a2 = O

(n-l)an_1 + an_2cn + ..... + a0an-i = O (2-160)

y, los elementos a p s - - - - - » cr2n-2 se los h a l l a de:

a0an+i = O

*

Considérese ahora el polinomio b(s,q) dado por:

Referencia 1

(2-161)

72

b(s,q) = b0(s)qt+b1(s)qt-M-..^bt(s) (2-162)

El discriminante de este polinomio en q se lo encuentra de Dq(b0,..

.., bt) como se definió antes, reemplazando b0?...,bt por b0(s),...

... bt(s), respectivamente. El polinomio b(s,q), por lo tanto, ten-

drá factores repetidos si y sólo si la expresión:

Dq (s) = b^-2(s) P (2-163)

es cero, donde P es el determinante de una matriz cuyos elementos -

son funciones de los coeficientes [b-j(s): i = O, 1, 2,..., tj

Puntos Ordinarios de la Función Característica.-

Si un punto cualquiera del plano complejo cumple con las condiciones

que:

b0(s) j O y Dq(s) i O

entonces se dice que dicho punto es un punto ordinario de la función

característica q(s).

Puntos Críticos de la Función Característica.-

Un punto crítico de q(s) es algún punto del plano complejo que hace

que b0(s) = O o Dq(s) = O, o ambos.

Puntos de Ramificación de la Función Característica.-

i)

73

A las soluciones de la ecuación:

Dq(s) = O

se las llama puntos de ramificación de la función característica.

En cualquier punto ordinario, la ecuación (2-149) tiene t raíces

distintas. En una región del plano complejo, excluyendo los pun-

tos críticos, los valores de la función característica q(s) forman

% un conjunto de funciones analíticas que son llamadas "ramas" de la

función característica q(s). Las varias ramas pueden ser organiza_

das dentro de una sola entidad: la correspondiente función alge-

braica. Un teorema básico de la teoría de función algebraica res_u_

me lo dicho antes, y es el siguiente: una ecuación algebraica irre_

ducible de la forma:

bo(s) qt + b1(s)qt-H....-f bt(s) = O (2-164)

define precisamente una función analítica q(s) en el plano complejo,

excluyendo los puntos críticos.

\s funciones definidas de esta forma se llaman "funciones algebrai-cas" y pueden ser consideradas como generalizaciones naturales de las

funciones elementales de una variable compleja, las cuales tienen el

conjunto de números complejos C como su dominio y también su rango.

Una función algebraica tiene a C como su rango pero tiene a R como

su dominio, donde R es llamada una "Superficie Riemann". A continua_

ción se presentan algunas ideas sobre la definición y formación de la

Superficie Riemann de una función característica.

Supóngase que se tiene una representación de parte de una rama de

una función algebraica en forma de una serie de potencias; tal re-

presentación es llamada un elemento de función. Imagínese que su*^ círculo de convergencia es cortado del papel y que los puntos indi_

viduales del disco de papel son bases de los valores de función G-

nicos de los elementos. Si ahora este elemento inicial es prolon-

gado analíticamente por medio de una segunda serie de potencias, o_

. tro círculo de convergencia puede ser cortado del papel y selopu^Ib '

•* de colocar con una parte sobre el primer disco, como se muestra en

la figura 2-17.

Fig. 2.17.- Prolongación Analítica.

Las partes comunes de los dos círculos tienen sus puntos con los mis_

mos valores de función y son tratadas como una región simple cubier-

ta una vez con valores. Si una nueva prolongación analítica es lle-

vada a cabo, un nuevo disco de papel será puesto sobre el disco pre-

cedente. Ahora, si después de repetidas prolongaciones analíticas,

uno de los discos cae sobre otro disco no asociado con una prolonga-

ción analítica inmediatamente anterior, como se muestra en la figura

2.18, el disco traslapado es conectado con el disco que traslapa si

75

y sólo si los dos son bases de los mismos valores funcionales. Si,

sin embargo, los dos discos tienen diferentes valores funcionales,

se los permite traslaparse pero permanecen desconectados. Asi, dos

hojas que son bases de valores funcionales diferentes, son sobrepu-

estas en esta parte del plano complejo.

Fig. 2.18.- Prolongación Analítica Repetida.

Si se continua este proceso tanto como sea posible, se obtiene una

figura superficial, cubriendo con t hojas el plano complejo, donde

t es el grado de la función algebraica. Para formar la superficie

Riemann, estas hojas pueden ser unidas en muchas formas. Esto pue_

de involucrar el poner juntas dos hojas que están separadas por va-

rias hojas que están entre ellas.

Esta figura superficial es llamada la "Superficie Riemann" de la fun_

ción algebraica. Sobre la superficie Riemann se extiende el dominio

entero de valires de la función algebraica de una manera simple tal

que, en cualquiera de las t copias del plano complejo invol ucrado, to_

do punto es base de un valor de la función y sólo de uno.

A continuación se define lo que constituyen los "cortes" en el plano

76

complejo.

Si una función algebraica q(s) tiene r puntos críticos [a i, az,

^ ., ar] y se los une a todos y además al punto del infinito por una¿5 *-*

linea L, entonces toda linea que une a los puntos críticos se llama

un corte. El conjunto de números complejos definidos por la linea

L se llamará L - Entonces se tiene que las soluciones de la ecua-

ción:

•36b0(s)qt + b1(s)qt-1+...+bt(s) = O

definen un conjunto de t funciones analíticas distintas [q i(s)s qzís)

• ••y qt(s)J en e"I plano C - L - Cada una de estas funciones puede

ser prolongada analíticamente a través del corte L. Ahora, si una

^ función analítica satisface una ecuación algebraica en una parte de

su dominio de definición, debe satisfacer esa ecuación en toda'lare_

gión en la cual es prolongada analíticamente. Se tiene por lo tan-

to que:

$: a) Existen sólo t funciones analíticas distintas que satisfacen la

ecuación algebraica en el plano C -L ;

b) Cada prolongación analítica de cualquiera de estas funciones ana_

líticas [q-j(s): i = l,2a...,t] da origen a una función analítica -

/% que satisface también la ecuación algebraica. Se deduce de esto

que el conjunto de funciones analíticas asociadas con un lado del

corte L debe ser una simple permutación del conjunto de funcio-

nes analíticas asociadas con el otro lado del corte. Por lo tan

77

to, Identificado las funciones analíticas y formando parejas en la-

dos opuestos del corte L, se puede producir un dominio apropiado en

el cual una función analítica simple puede ser especificada, la que

define un mapeo continuo, desde su dominio hasta el plano complejo.

Esta función es, por supuesto, la función algebraica, concebida co-

mo una entidad simple, y el dominio asi" construido es su superficie

Riemann.

Una superficie Riemann puede ser construida para cualquier función

característica dada, en la cual sus valores forman una función sim-

ple de posición. Muchas relaciones y propiedades de la teoría de

función analítica se generalizan (usando el concepto de superficie

Riemann) al caso de función algebraica, y, en particular, el Princi_

pió de Argumento se puede aplicar a una superficie Riemann.

Las'Funciones Vectores Propios'para una Matriz Función de una Varia

ble Compleja.-

Las funciones valores propios de una mariz función de una variable

compleja están asociadas con un conjunto de funciones algebraicas -

llamadas funciones características de la matriz. Para completar la

descripción de las relaciones entre la estructura propia de una ma_

triz función de una variable compleja y las superficies Riemann, se

debe considerar el conjunto correspondiente de las funciones vecto_

res propios.

Para cualquier matriz función de una variable compleja Q_(s) existe

un conjunto correspondiente de superficies Riemann R q-j que son el

78

conjunto de dominios para sus funciones características [q-¡ ;i = l,2,.

,.,k]. El conjunto de todas las funciones algebraicas que tienen

como conjunto de dominios una superficie RlemannR dada forman un

campo KD. Para cualquiera de tales campos K , son miembros elK K

conjunto de todas las funciones racionales elementales, ya que e-

sas funciones elementales están definidas sobre el dominio C y por

lo tanto sobre cualquier dominio formado de múltiples coplas deC .

Desde un punto de vista algebraico, cada función algebraica define

una extensión particular del campo básico de funciones racionales

elementales. Ahora, considérese la ecuación definiendo la función

vector propio _w(s) correspondiente a una función valor propio q(s):

£(s) tü(s) = q(s) tü(s) (2-165)

Los elementos de w_(s) se encuentran resolviendo conjuntos lineales

de ecuaciones involucrando funciones racionales (los elementos de

Q(s))y las funciones algebraicas q(s). Ellos deben, por lo tanto,

pertenecer al campo de funciones algebraicas teniendo aRq, la su-

perficie Riemann para q(s), como dominio.

Asi, correspondiendo a cada función algebraica característica q(s)

de una matriz función de una variable compleja £(s), se tiene una

función vectorial de una variable compleja, <P(S), cuyos -elementos

son funciones algebraicas teniendo como dominio la misma superfi-

cie Riemann que tiene la función característica q(s).

79

2.2.4 Polos y_ Ceros.-

Polos y Ceros de Funciones Características.-

Considerando la ecuación que define una función característica:

bo(s) qt + bi(s) qt- ...*. bt(s) = O

(2-166)

Suponiendo que:

bo(s) f O y bt(s) f O

ya que, si alguno o ambos de estos coeficientes fueran cero, se po-

dría encontrar una ecuación de orden reducido tal que los coeficien_

tes de la potencia más alta y de la potencia cero de q(s) sean dis-

tintos de cero; esta ecuación de orden reducido sería entonces toma_

da como la que define una nueva función algebraica apropiada para la

cual la suposición anterior sería válida.

Podría suceder, sin embargo, que b0(s) y bt(s) tengan un factor cp_

tnün y así ambos serían Iguales a cero para algún conjunto de valo-

res de s. Antes de analizar este caso, considérese la situación -

cuando b0(s) y bt(s) no tienen un factor común. La función alge-

braica será cero cuando:

bt(s) = O (2-167)

y tendrá al infinito cuando:

b0(s) + O (2-168)

Por esta razón, los valores de s que satisfacen la ecuación (2-167)

son definidos como los ceros de la función algebraica q(s) y aque-

llos valores de s que satisfacen la ecuación:

bfl(s) = O (2-169)

son definidos como los polos de la función algebraica q(s).

Para poder generalizar las ecuaciones (2-167) y (2-169) como las que

definen a los ceros y polos de q(s), se debe mostrar que también cum

píen cuando b0(s) y bt(s) tienen un factor común. Si primero se cor\_

sidera el caso trivial cuando todos los coeficientes [b-j (s) :i=Q,l, . .

.., t] tienen un factor común, entonces se puede simplemente dividir

todos los coeficientes por ese factor común y se obtiene una nueva e_

cuación para una función algebraica apropiada. Suponiendo después

que b0(s) y bt(s) tienen un factor común, pero que algún conjunto no

Vacio de coeficientes [b(c(s)a..., b¿(s)J no tienen ese factor común.

Entonces dividiendo toda la parte izquierda de la ecuación (2-166) -

por b0(s), se obtiene:

t-k +. . , . .o s b 0 s

(2-170)

Entonces, si s^-si, donde si es un cero del factor común de b0(s) y

), el conjunto de coeficientes:

81

bj¿(s 1 )

tenderá el infinito, y q(s) tendrá un polo en s~s

Nuevamente, supóngase que b0(s) y bt(s) tienen un factor común pero

que algún conjunto no vacio de coeficientes fbj(s) , ..., bm(sf| no

lo tienen. Entonces, si s-*515 donde sl es un cero del factor común,

-la ecuación algebraica (2-166) puede ser reemplazada por:

j + ....+ bjsjq^ís,) = O (2-171)

donde: bj(sj f O , . . . , bm(sj f O

I I I -tal que se tiene:

q(sj = O

mostrándose que sz es verdaderamente un cero de la función algebrai-

ca q(s).

Así se concluye que las ecuaciones (2-167) y (2-169) pueden ser toma_

das para definir los ceros y polos de la función algebraica q(s), y

que el uso de esas definiciones permite enfrentarse con la existen-

cia de polos y ceros coincidentes.

Definición Algebraica de Polos y Ceros dé una Matriz Función de Traris

fereiicia.-

Sea G(s) una matriz de dimensión mx£, cuyos elementos son funciones

82

racionales de s, entonces existe una forma canónica de G_(s), la

ma Smith-McMillan, tal que:

G(s) = H(s) M(s) J(s) (2-172)

f

donde la matriz H_(s) de dimensión m x m y la matriz J_(s) de dimen-

sión j¿ x £ son ambas modulares (esto es, que sus determinantes tie-

nen un valor constante, independiente de s). Si r es el rango nor-

mal de G(s] (es decir, que el rango de £(s) es r para casi todos los

valores de s), entonces M(s) tiene la forma:

M(s) =

M*(s)rr

-r, m-r (2-173)

con:

M*(s) = diag £ i'

Yl<

(s) er(s)" " (2-174)

donde:

a) cada ei(s) divide a todos los EI-+J(S) y

b) cada ¥i(s) divide a todos los ^-j_j(s).

Si se hace una partición apropiada dé H, M y J, se obtiene:

G = [,. í M* ' _0

1 ' £

u i

G = H, M* J

donde M* se definió en la ecuación (2-174).

Entonces, se puede expresar a G(s) de la forma:

83

(2-175)

G(s) = H,(s) Ji(s)

S(s) = S hiísífiílj jl (s) (2-176)

donde:

a) QIÍ(S): i = l, 2, ..., r] son las columnas de la matriz Hj_(s)

b) LJ-Í(S): "i=l? 2,...., r] son las filas de la matriz Jn(s).

Se sabe que:

r < min(j¿3m)

y que _H(s) y J_(s) son matrices unimodulares de rango m y &, respectj_

vamente, para todo valor de s. Supóngase que-_G_(s) es la matriz fun-

ción de transferencia de un sistema con vector de entradas _u_(s) y vec_

tor de salidas _(s), relacionados entre si con:

(2-177)1=1

Para el caso de una entrada y una salida donde:

u s (2-178)

siendo k una constante, la f u n c i ó n de t ransferencia:

tiene de f in idos los ceros en aquel los valores de s donde e(s) se h_a_

'ce cero y los polos en aque l los valores de s donde ^(s) se hace ce-

ro. As i , para un valor de u ( s ) d is t in to de cero, el módu lo de y ( s )

se vuelve cero cuando s es un cero de g ( s ) , y se hace arbitran amen_

te grande cuando s es un polo de g ( s ) . Por lo tanto, una forma na-

tural de caracterizar los ceros y polos de G _ ( s ) es en términos de _a_

que l l o s valores de s para los cual es | |y(s) || se hace cero para un -

| |_u_(s) || dist into de cero, y se hace arbi trar iamente grande para un va_

lor f in i to d e ' | | u ( s ) I , respectivamente, donde II . I I representa l a ~ ñ o ri i— u u —

ma de un vector. Esta extensión natural de ¡las ideas del caso es-

calar l l eva a def in ic iones de ceros y polos de _ G ( s ) en términos de

las cantidades de la forma S m i t h - M c M i l l a n :

a través del s igu ien te par de resultados s imp les :

Lerna del Cero.- | |y(s) || se hace cero para | |u_(s) || / O -y s iendo s un va_

lor f i n i t o , si sólo si a l gún e - j ( s ) es cero.

'Lema del " P o l o . - ||y(sj*» para '|| u_(s ) ( [ < « > si y sólo si a l g ú n ¥-¡

85

Estas consideraciones conducen a las siguientes definiciones:

Polos de 6(s).- Los polos de G_(s) están definidos como el conjunto

de todos los ceros del conjunto de polinomios

[TÍ(S): 1 = 1, 2,..., rj . Se representarán a los polos de _G_(s) por

CPi> P2> --3 Pn] 3 Y

p(s) = (s-pj (s-p2)...(s-pn) (2-180)

donde p(s) es el polinomio polo de £(s) y está dado por:

p(s) = -^ -(s) (2-181)

Ceros dé'G(s) .- Los ceros de &_(s] están definidos como el conjunto

de todos los ceros del conjunto de polinomios

[JE:-J(.S): 1 = 1, 2, ..., rj . Se representarán a los ceros de _G/s) por

j5 z2, ..., z y

z(s) = (s-zj (s-z2)...(s-zq) (2-182)

donde z(s) es el polinomio cero dé G_(s) y está dado por:

r

z(s) = A, e^ís) (2-183)

Es Importante recordar que z(s) y p(s) no son necesariamente relati-

vamente primos; por esta razón es un error definir simplemente a z(s)

y p(s), de una matriz cuadrada G_(s), como los polinomios numerador y

denominador del det G(s).

Reglas para Calcular los Polinomios Ceros y Polinomios Polos.-

El camino por la forma Smith-McMillan no siempre es conveniente pa-

ra la determinación de los polos y ceros de G_(s ) s especialmente si

el cálculo es hecho a mano. Las siguientes reglas dan los mismos re_

sultados que las definiciones del método Smith-McMillan.

Regla del Polinomio Polo.- p(s) es el mínimo común denominador de to_

dos los menores distintos de cero de to-

dos los órdenes de G ( s ) .

Regla del Polinomio Cero.- z (s) es el máximo común divisor de los

numeradores de todos los menores de G_(s)

de orden r (siendo r el rango normal de G(s ) ) s donde los menores han

sido ajustados para tener a p (s ) como su denominador común.

Ejemplo de'Cálculo de Polos y Ceros.- En lo que sigue, la expresión:

lis i z> .... "]pGj i» O 2 5 - - - 9 J r

representa el menor de G(s) de orden r, formado por tomar el deter-

minante de la matriz obtenida de G^(s)3 despreciando todas las filas

excepto las i a, i25 ..., ir y todas las columnas excepto las j i, j2

Sea:

87

G(s) =

( s - l ) ( s+2) O (s-1)

Los menores de orden 2 son:

j _G 1 9 '2 = Ts+l ) ( s+2) ;

1 2

2 ) 2 3 ( s + l ) ( s + 2 ) 2

Los menores de orden 1 son:

_1js+rr*

-i

O ; Gi s-1(s+1)(s+2)

——s+25 s+2

Considerando los menores de todos los órdenes, se obtiene:

p(s) = (s+1) (s+2)2 (s-1)

Ajustando los denominadores de todos los menores de orden 2, tal que

sean iguales a p(s):

-1) . p1 2 _ 2 ( s + 2 ) ( s - l )I — 7 T . \ — 1 \ *n i e l ' n f c " ! *i í2 P\.s; i 3 P i s j 2 3

y se obtiene:

z(s) = (s-1)

Relación entre Polos y Ceros definidos Algebraicamente y los Polos

y Ceros del Conjuntó de Funciones'Características.-

Es Importante relacionar los polos y ceros definidos por medios al-

gebraicos a la teoría de variable compleja y por lo tanto a los po-

los y ceros del conjunto de funciones características.

Los coeficientes a-j(s) en la expansión:' .

det [q !-_g(s)] = qm+ai(s)qm-1+...+am(s) (2-184)

son:sumas de menores de Q/s), ya que se cumple que:

detfq 1 - _Q(s)]= qm- [traza Q(s)"]qm- i

+ [_£ menores principales de Q_(s) de orden 2J qm~2

+ (-l)m det Q_(s) (2-185)

y asi, el término b0(s) de la ecuación (2-149) es el mínimo común d

nominador de todos los menores principales distintos de cero de to-

dos los órdenes de Q_(s).

Entonces, el polinomio polo p(s) de una matriz cuadrada Q(s) es el

mínimo común denominador de todos los menores diferentes de cero de

todos los órdenes de Q_(s). Por lo tanto, si e(s) es el mínimo co-

mún denominador de todos los menores no principales distintos de ce_

ro, con todoF"los factores comunes a b0(s) eliminados, se tiene que:

89

p(s) = e(s) b0(s) (2-186)

Además, ya que:

am(s) = det Q(s) (2-187)

y que

s) e(s)p(s)

y debido a que el polinomio cero de una matriz cuadrada Q_(s) es el

numerador de la función racional obtenida del det Q_(s) después de a_

justarlo de tal manera de obtener una función racional equivalente,

con p(s) como su denominador, se tiene que:

z(s) = e(s) bm(s) (2-188)

En muchos casos, el mínimo común denominador de los menores no prin_

cipales distintos de cero de Q_(s) contendrá a b0(s); en tal caso,

e(s) será la unidad y los polinomios polo y cero para ¿(s) serán -

bo(s) y bm(s), respectivamente.

En general, una matriz función de una variable compleja, ¿(s), ten_

drá un conjunto de k funciones características irreducibles de la

forma especificada por la ecuación (2-140) y la forma general para

los polinomios polo y cero puede ser escrita como:

kp(s) = e(s) E bi0(s) (2-189)

90

z(s) = e(s)1 = 1

(2-190)

donde los polinomios polo y cero para la J-ésima función caracterí_s_

tica qj(s) son bj0(s) y bj5 t j(s), respectivamente.

A continuación se presenta un ejemplo que demuestra -la relación exi_s_

tente entre los polos y los ceros definidos por medios algebraicos y

'los polos y ceros del conjunto de funciones características.

Ejemplo:

Sea: " Q ( s ) = 1(s+l)(s+2Ks-l)

(s~l)(s+2) O

s+1

s+2

El polinomio polo para Q(s) es

p(s) - (s+1) (s+2) (s-1)

y el polinomio cero es:

z ( s ) = (s-1)

La ecuación característica para Q.(s) es:

91

= (q - TzrKq - TTT) = °

Entonces, las ecuaciones características irreducibles son:

A i(s, q) = q - = O

A 2 ( s , q) = q - pTj- = O

que pueden ser escritas como:

.(s+1) q-1 = O

y.(s+2) q-1 = O

Por lo tanto, los polinomios polo y cero para las funciones caracte_

rísticas q^s) y q2(s) son:

Pq (s) = bIO(s) = (s+1) ; zq (s) = blz(s) = 1i i

pq (s) = b20(s) = (s+2) ; Zq (s) = b (s) = 1^2 M2 2 a

Ahora, para ¿(s)-, el mínimo común denominador de todos los menores

no principales distintos de cero con todos los factores comunes a

b0(s) (=b10(s) b20(s)) eliminados está dado por:

e(s) = (s-1)

lo cual verifica las relaciones:

p ( s ) = e ( s ) - n b - i 0 ( s )

92

y

z(s) = e(s) U b-u1=1

CAPITULO III

CRITERIOS GENERALIZADOS

DE ESTABILIDAD

3.1 PRINCIPIO EXTENDIDO DEL ARGUMENTO Y LUGA-RES CARACTERÍSTICOS

3.2 EL CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQÜIST GE-NERALIZADO

3.2.1 Exposición del Criterio de Estabilidad de Nyguist Generalizado.

3.2.2 Prueba del Criterio de Nyguist Generalizado.

3.2.3 Un Primer Criterio de Estabilidad -de Nyguist Generalizado.

3.3 LOS LUGARES GEOMÉTRICOS DE LAS RAICES PA-RA SISTEMAS MULTIVARIABLES.

3.1 Principio Extendido del Argumento y_ Lugares Característicos.

Principio Extendido del Argumento.-

Para cada función característica q(s) hay una superficie Riemann a-

propiada,Rq, sobre la cual llega a ser evaluada, y los mapeos des-

de la superficie Riemann a un plano q de valores son uno a uno y co_n_

tinuos. Supóngase una función característica q(s) que tenga una e-

cuación algebraica definida, de orden tj; entonces Rq se forma u-

niendo tj hojas del plano complejo C. Supóngase que un subconjunto

de C definiendo un contorno Jordán cerrado, J , es dibujado sobre ca_

da una de estas hojas de C antes que ellas sean unidas para formar

Rq. Entonces, cuando la superficie Riemann es formada, el conjunto

de copias de J será unido dentro de un conjunto de contornos cerra-

dos enRq. El número exacto de contornos cerrados formados en Rq

estará entre 1 y tj, y dependerá de la localización de los puntos de

ramificación de la función característica con respecto a J . Habrá

un conjunto de valores de la función algebraica q(s) asociado con ca_

da contorno cerrado enRq que definirá un conjunto correspondiente

de curvas cerradas en el plano q (C )-

Supóngase que q(s) tiene "plr polos y "z" ceros situados dentro del

conjunto de contornos cerrados enRq. Supóngase que cuando Rq es

formada.» las tj copias de J se unen dentro de un conjunto de contoj^

nos cerradosAjAa? • • • 5Aj¿ en Rq y queAi encierra "p-j" polos y "z-j"

ceros de q(s). Sean \~i,\~zy..., Í~J¿ las curvas imagen cerradas en el

plano q correspondientes a las curvas cerradas Ai,Az,..., A& en

Rq. Para cada curva cerrada enRq el principio del Argumento será

94

aplicable y -así: El número de veces que f-j rodea al origen en el

sentido de las manecillas del reloj está dado por (z-j-p-j).

Generalizando este principio se tendrá: El número de veces que fi»

T Z * - - - - y l~& rodean al origen en el sentido de las manecillas del

reloj es:

E Z-1=1

i = Z-p

Lugares Característicos.-

Sea Q_(s) una matriz de dimensiones m x ms función de una variable -

compleja. Existe un conjunto de funciones características fqi(s),.

..... qk(s)J asociado con_Q_(s), cada una de las cuales tiene asocia-

da una superficie Riemann correspondiente R¿a...,R|<. I) representa

el contorno de Nyquist en C» como se muestra en la figura 3-1 y su-

póngase que hay una copia del) en cada una de las hojas de C entre

las cuales se construye R¿,...,R|<. Entonces, asociados con el con_

torno de Nyquist en C, hay conjuntos de contornos cerrados en cada

una de las superficies.

3m(s)

(plano s)

Re(s)

Fig. 3.1.- Contorno de Nyquist.

95

Sean Ni, . . ., Nk el conjunto de curvas imagen cerradas en el plano

q, correspondientes al conjunto de contornos cerrados en Rls....,

Rk; entonces, estos subconjuntos Ni,. . . Nk ¿e C están definidos col

mo los "Lugares Característicos de Q_(s)'V

v£r\a práctica, los lugares característicos son generados como los

lugares en el plano complejo trazados por los valores propios de la

matriz Q(s), donde s toma los valores del contorno de Nyquist en la

^ dirección del movimiento de las manecillas del reloj. "Entonces, se

puede calcular un conjunto de lugares correspondientes a los valores

propios q¿(jü)),. . ., qm(jw) de la siguiente manera:

a) Seleccionar un valor de frecuencia angular, por ejemplo wa.

b) Calcular la matriz compleja Q_(jwa).

c) Calcular los valores propios de Q/Jwa)5 que son un conjunto de nu_

meros complejos denotados por []qi(jwa)J .

d) Señalar los números q-i(jua)] en el plano complejo.

e) Repetir lo mismo con otros valores de frecuencia angular wb* ^c>

...., etc. y unir los puntos resultantes para formar lugares co_n_

tínuos. Para esto se puede usar un método basado en la continui_

dad de las varias ramas de las funciones características involu-

cradas. ''

96

3.2 _E1_ Criterio de Estabilidad de Nyquist Generalizado.

El sistema con realimentación considerado se muestra en la figura

3-2, y Si y S2 son un par de sistemas dinámicos multivariables li-

neales cuyo comportamiento está gobernado por el conjunto de ecua-

ciones de estado siguientes:

- A- x- +

DÍ J¿i i = 1, 2. (3-1)

U a\ .}sl

S2

(a)

Y

Y

(b)

Fig. 3.2.- Configuración real i mentada multivariable; a) Lazo Cerrado

b) Lazo Abierto.*""

Si tiene "m" entradas y S2 tiene "m11 salidas y supóngase que el con-

junto de lazos de realimentación es cortado en el punto a. Sea Z(s)

la matriz función de transferencia de transmisión de lazo que rela-

ciona las señales inyectadas en el punto a a aquellas obtenidas en el

97

punto a'. Entonces la matriz diferencia de retorno correspondiente

para este punto de corte es:

£(s) - I - l(s) = 1+ L.(s) (3-2)

donde _L_(s) se define como la matriz relación de retorno del sistema

e es una matriz identidad de orden apropiado. Jjs) tendrá un con-

junto de funciones características Ql }(s), lz(s),..., lk(s)J con l_u_

gares característicos Nis N a » - • • > Nk en e"I plano complejo, cuando s

atraviesa el contorno de Nyquist de la figura 3-1 en la dirección -

del movimiento de las manecillas del reloj.

Con estas bases, a continuación se establece el Criterio de Nyquist

Generalizado de la siguiente forma:

3.2.1 Exposición del Criterio de Estabilidad de Nyquist Generalizado.

Sea el sistema realimentado muí ti variable mostrado en la figura 3-2,

que no tenga modos de lazo abierto incontrolables y/o inobservables

cuyas frecuencias características correspondientes estén situadas en

el semiplano derecho. Entonces esta configuración sera estable en

lazo cerrado si y sólo si el número de veces que el conjunto de lug^

res característicos dé L_(s) rodea al punto crítico (-1 + JO) en el

sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj es igual

al número total de polos en el semiplano derecho de Gjjs) y G2(s),

donde Gj (s) y'_G2_(s) son las matrices función de transferencia de Si

y S2s respectivamente.

93

Debido a que los modos Incontrolables y/o inobservables no son i_n_

fluenciados por la realimentación, su presencia añade una condi-

ción necesaria adicional para la estabilidad: que todas sus frecuen_

cias características correspondientes deben estar situadas en el

semiplano izquierdo. En tal caso, el criterio de rodear al punto

(»1 + JO) es necesario pero ya no es suficiente para la estabilidad

de lazo cerrado.

Ya que se esta tratando con una matriz de relación de retorno, se

debe tener cuidado de considerar la posibilidad de cancelación-

de polos y ceros entre los sistemas en cascada que componen el la-

zo.

A continuación se dará la prueba del criterio de Nyquist general iz_a_

do.

3.2.2 Prueba del Criterio de Nyquist General izado.-

Para el punto de corte mostrado en la figura 3.2, la correspondien-

te matriz diferencia de retorno es:

£(s) = 1+ L.(s) (3.3)

Sean:

PCLA(s) = polinomio característico de lazo abierto del sistema,

con todos los lazos cortados en el puntooc, como se

muestra en la figura 3.2 (6).

99

PCLC(s) = polinomio característico de lazo cerrado del sistema,

con todos los lazos cerrados, como se muestra en la

figura 3-2(a) .

iEntonces, como se mostró en la sección 2.2.2, se tiene que:

dét £(s) _'PCLC(s) , ,.

Los valores propios de la matriz diferencia de retorno £(s) están da_

dos por:

det (f(s) i - £(s)] = O (3-5)

los cuales pueden ser expresados como un producto de ecuaciones ca-

racterísticas irreducibles de la forma:

ti t|.ibio(s) fi + b-h(s) fi +....+ bit1(s) = O ; i = l,2,..5k

(3-6)

donde los coeficientes son polinomios en s. Por lo tanto, se tiene

que los polinomios polo y cero para F(s) son:

kp(s) = e(s) U b-i0(s) (3-7)

y kz(s) = e(s) -E b1t. (3-8)

100

respectivamente, donde e(s) es el mínimo común denominador de todos

los menores no principales distintos de cero de _F(s), con todos losk

factores comunes a u b-j0(s) eliminados.

Por definición, el polinomio característico de lazo abierto del si_s_

tema de la figura 3-2 está dado por:

PCLA(s) = det si - A_ = det

donde A_, "A^ y A^ están definidas en la sección 2.2.2. Se puede mos_

trar que:

det [si- Ai] = PG^S) pdn-(s) ; i=l,2. (3-10)

donde PG-¡(.S) es el polinomio polo para la función de transferencia

_Gj_(s) y el polinomio Pd-(s) tiene como ceros los ceros desacoplados

del sistema asociados con aquel conjunto de frecuencias caracterís-

ticas (valores propios) de Aj_ que corresponden a modos del sistema

que son incontrolables y/o inobservables.

Sea p&(s) el polinomio polo para la matriz relación de retorno Us),

entonces:

pG(s) PG (s) = pA(s) px(s) (3-11)

donde px(s) tiene como sus ceros aquellos polos dejaos) y^is) que

se pierden cuando.se forma Us). Así, se tiene que:

101

PCLA(s) = p¿(s) px(s) Pdi(s) Pd2(s)=p£(s) Px(s) Pd(s)

(3-12)

donde:

Pd(s) = Pdi(s) Pd2(s) (3-13)

Es obvio, observando la ecuación (3-3), que la matriz .relación de re_

tornó U.s) y la correspondiente matriz diferencia de retorno _F(s)

tienen los mismos polos, y por lo tanto:

PCLA(s) = p(s) px(s) pd(s) (3-14)

obteniéndose:

kPCLA(s) = px(s) pd(s) e(s) _n b-í0(s)

(3-15)

Usando el hecho que:

det F(s) = |||| (3-16)

y usando las ecuaciones (3-4) y (3-8)3 se deduce que el polinomio ca^

racterístlco de lazo cerrado está dado por:

k

PCLC(s) = •det F(co)

A continuación se muestra que el polinomio e(s) puede definirse ya

sea en términos de'la matriz _F(s) o de la matriz L(s) 3 y que se ob-

102

tiene el mismo polinomio e(s) en ambos casos:

Se tiene que el polinomio polo para F(s) está dado por:

kPf(s) = ef(s) U bf - (s) (3-18)

10

donde ef(s) es el mínimo común denominador de todos los menores no

principales distintos .de cero de F(s) con todos los factores comu-K

nes a ir bf. (s) eliminados. Además, se tiene que el polinomio po1 = 1 10

lo para L(s) está dado por:

p£(s) = ejt(s) U b*. (s) (3-19)10

con una definición obvia de e¿(s).

Además:

polinomio polo para fi(s) = bf. (s)

ypolinomio polo para l-j(s) = b] . (s)

pero:

fi(s) - 1 + IT(S) (3-20)

tal que:

bflQ(s) = bA.0(s) (3-21)

y asi:

kn

Finalmente, ya que:

103

(3-22)

F(s) ¿ I + L(s) (3-23)

se puede tener que:

y por lo tanto:

Pf(s) =

e-f(s) = ej,(s) = e(s)

(3-24)

(3-25)

Se puede ver que existen casos en que PX(S) f 1: asi, en el siguien_

te ejemplo:

Ga(s) = S2(s) =

Entonces, se tiene:

L(s) = G2(s) Ga(s) -

(3-26)

(3-27)

tal que:

* 104

Pjt(s) = (s+DHs-1) . (3-28)

Pfii(s) = PGz(s) = (s+l)2(s-D (3-29)

Así:

pr (s) pr (s)( \í do

- s) = — ]n. / c > "

W • , Px(s) = (s-1) (3-30)

Para el conjunto de ecuaciones características irreducibles asocia-

das con el operador diferencia de retorno £_(s), hay un conjunto de

superficies Riemann correspondientes, en el cual las funciones alg_e_

.&, • braicas características apropiadas llegan a ser evaluadas y los ma-

peos desde estas superficies a un plano f correspondiente son uno a

uno y continuos. Considérese la j-ésima ecuación del conjunto defi_

nido en (3-6). El grado de la ecuación es tj y por lo tanto la co-

rrespondiente superficie Riemann Rj está formada por unir tj hojas

del plano complejo C . Supóngase ahora que un contorno de Nyquistt

D, como se muestra en la figura 3-1, es-dibujado sobre cada hoja de

C antes de que sean unidas para formar Rj. Entonces, cuando se fqr.

ma Rj, el conjunto de contornos de Nyquist serán unidos en un con-

junto de contornos cerrados sobreRj. Ya que el Principio del Argu_

mentó se aplicará a cada contorno cerrado en Rj, el número de veces

'* que la curva imagen apropiada encierra al origen de C en sentido del

movimiento de las agujas del reloj, será la diferencia entre el nú-

mero de ceros y el número de polos de la función característica -

fj(s) que están encerrados por la curva dominio en Rj. Por consi-

105

guíente, considerando todos los contornos cerrados formados en Rj

y aplicando el Principio del Argumento a cada uno, se obtiene:

nfj = Zfj

donde:

n-f • es el numero de veces que el conjunto de curvas imagen de•j

f rodea al origen de C en la dirección del movimiento de las''* ' '

% manecillas del reloj.

.Zf. es el número de ceros de f-s(s) en el semiplano derecho: yJ J

Pf . es el numero de polos de fj(s) en el semiplano derecho.j

A partir de la ecuación (3-17) se tiene que las condiciones necesa-

rias y suficientes para la estabilidad de lazo cerrado de la confi-

guración realimentada mostrada en la figura 3-2, son:

a) e(s) = O no debe tener rafees en el semiplano derecho,

k,b) ir [>•,-,. no debe tener raices en el semiplano derecho;

i = l t'1

c) Px(.s) = O no debe tener raíces en el semiplano derecho; y

d) Pd(s) ~ O no debe tener raices en el semiplano derecho.

La condición b) es equivalente a decir que no debe haber ceros de

[f-j(s): 1 = 1,2, . . . ,k J en el semiplano derecho, y puede ser reemplaza-

da por:

106

zf. = 0 ; i =.l,2,....,k (3-32)

o por:

r\. = -Pfn- ; i=l,2,...,k (3-33)

lo cual implica que:

k k

i= 1 i= 1

Se puede concluir entonces que un conjunto de condiciones necesarias

y suficientes para la estabilidad de lazo cerrado son:

a) e(s) no debe tener raices en el semiplano derecho;

k kb) ^ nfl = - _s pfl ;

c) Px(s) no debe tener raices en el semiplano derecho; y

d) pd(s) no debe tener raices en el semiplano derecho.

Ahora,, como se muestra en la ecuación (3-7), e(s) junto con el con-

junto de polinomios polo del conjunto de funciones características

[f-¡(s); i=ls2,...,k] forman el polinomio polo de F_(s).

Esto último lleva a combinar las condiciones a), b) y c) en una con-

dición equivalente simple:

k-p (3-35)I nfl - -,

107

donde p es el número total de polos en el semiplano derecho, de

G^fs) y G_2(s).

Entonces, las partes incontrolables y/o inobservables del sistema no

serán afectadas por la realimentación. Por lo tanto, a continuación

se estudia el caso cuando Pd(s) = O no tiene raíces en el semiplano

derecho.

Se tiene que:

k k kI nf. = £ zf- - 2 p.f. ,~

yk

P = Pf1 + e + px (3-37)

donde e es e-1 número de raíces en el semiplano derecho de:

e(s) = O (3-38)

y px es el número de raíces en el semiplano derecho de:

px(s) = O (3-39)

Combinando las relaciones (3-36) y (3-37) se tiene que:

k kS nf, = n zf, + e + Px - p (3-40)1=1 1=1

108

kdonde £ zf-> e> PX V P son enteros positivos o cero

i = l

Para establecer la necesidad de (3-35) supóngase que

k.2 nf_¡ i -p

entonces, de (3-40), esto implica que:

k_ 2 Zf-f i O o e^O o px f Oi=i

o cualquier combinación de estos, y por lo tanto el sistema será i-

nestable en lazo cerrado. Entonces, se concluye que (3-35) es nece_

sario para la estabilidad de lazo cerrado.

Para la suficiencia, supóngase que:

k2 nf. = -pi-1 1

Entonces, de (3-40) se tiene que:

kpx = e = s zf. = O

y por lo tanto el sistema es estable en lazo cerrado. Asi, la sufi-

ciencia de la condición (3-35) ha sido establecida.

Se ha mostrado que, cuando pcj(s)=0 no tiene raices en el semiplano d_e_

recho:

109

ft> es una condic ión necesaria y suf ic iente para la es tab i l idad de lazo"'

cerrado. Ahora, usando el teorema del desplazamiento del va lor pro_

pío se tiene que las funciones características [ f - j ( s ) ; i = l , 2 5 . . . -9k]

dé F_(s) y |ji '(s): 1 = 1, 2 , . . . 5k] de L.(s) están relacionadas por:

* ' f^s) = 1 + ^-(s) ; i = l , 2 , . . , , k (3-41)•\s conjuntos de curvas imagen en C de los conjuntos de contornos de

Nyquist mapeados bajo f-j(s) y l-í(s) están, por lo tanto, relaciona-

dos simplemente por un desplazamiento horizontal unitario en C- Por

consiguiente, si n]. está definido como el número de veces que el

conjunto de lugares característicos de Us) correspondiente a la

j-ésima función característica rodea al punto crítico (-1 +jO)enla

dirección del movimiento de las manecillas del reloj, entonces la

condición necesaria y suficiente para estabilidad de lazo cerrado

en el caso cuando p^s^O no tenga raices en el semiplano derecho,

^l simplemente es:

kS n», = -P (3-42)

n

Añadiendo las consideraciones necesarias obvias con respecto al pa-

pel de los modos de lazo abierto inestables incontrolables y/o inoj

servables, entonces se completa la prueba del criterio de estabilidad

de Nyquist generalizado.

Jfc110

En uno de los primeros estudios del criterio de estabilidad de Ny-

quist generalizado, las condiciones necesarias sobre los modos ine£

tables incontrolables e inobservables están incorporados en el teo-

% rema de rodear al punto crítico (-1+jO). La equivalencia de este

teorema con el criterio de estabilidad presentado en la sección

3.2.1 se establecerá a continuación, donde se dará una prueba rigu-

rosa para este primer criterio de estabilidad de Nyquist generaliza_

do.

3.2.3. Un Primer Criterio de Estabilidad de Nyquist General izado.-

Teorema.-

El sistema de lazo cerrado es estable si y sólo si el numero de ve-

ces que el conjunto de lugares característicos de L_(s) rodea al pun_

to critico (-1 + JO) en la dirección contraria al movimiento de las

manecillas del reloj es igual al número de ceros del PCLA(s) que es_

tan en el semiplano derecho, donde, como se definió en 2.2.2.

PCLA(s) = det[s_I_ - A_i] det [sj_ - Az] ' (3-43)

Prueba.-

De la sección 3.2.2 se tiene que las condiciones necesarias y sufi-

cientes para estábilitad de lazo cerrado son:

a) e(s) = O no debe tener rafees en el semiplano derecho; yk k

b) 2 nf. = - X pf. ;i=l 1 i=l n

c) Px(s) = O no debe tener raíces en el semiplano derecho; y

d) Pd(s) - O no debe tener raíces en el semiplano derecho.

111

Además , de la ecuación (3-15), el polinomio característico de la_

zo abierto está dado por:k

PCLA(s) = px(s) Pd(s) e(s) -fl b1o(s) (3-44)i = l

tal que si p0 se define como el número de ceros del PCLA(s) que están

en el semiplano derecho, se tiene que:

kPo = Px + Pd + e + z Pf-i (.3-45)

1=1 n

donde p^ es:. el número de ceros de Pd(s) en el semiplano derecho y e\'y px es-tán definidos en la sección 3.2.2,

Esto último lleva a combinar las condiciones de estabilidad a), b)3c)

y d) en la condición equivalente simple:

kE nf =• ,.Po (3 46)T=l 1

A continuación se verá la necesidad y suficiencia de la condición -

(3-46) para la estabilidad de lazo cerrado:

Se tiene que:

k k k£ nf . = 2 Zf, - 2 pf, (3-47)

1 n ^

y además:

kPo = Px'fPd+e+ í Pf,- (3-48)

1 = 1 n

y combinando las dos relaciones, se tiene:

k _ k£ nf-f z zf,-. + Pd + e + px - Po (3-49)

T=l T 1=1 n

112

kdonde . 2 zf., pd, e, px y Po son enteros positivos o cero.

1=1 1

Para establecer la necesidad de (3-46) supóngase que;

k4£ nf.. f -PO

Entonces, de (3-49), esto implica que:

(c£ zf. f O, o

i = l ', o e^O, o

o cualquier combinación de estos, y por consiguiente el sistema se-

rá inestable en lazo cerrado.

Por lo tanto, se concluye que (3-46) es necesaria para la estabili-

dad de lazo cerrado.

Para la suficiencia supóngase que:

knf. = -p o

Entonces, de (3-49) se tiene que:

kPx = Pd = e = £ Zf. = O

1 = 1 n

y por consiguiente el sistema es estable en lazo cerrado. Así, la

suficiencia de la condición (3-46) es establecida.

113

Se ha mostrado, en consecuencia, que:

k_ z nf.¡ = -PO

es una condición necesaria y suficiente para estabilidad de lazo ce_

rrado. Usando el teorema del desplazamiento de' valores propios y

continuando como en 3.2.2 se llega a que la condición necesaria y su_

•f i cíente' para estabilidad de lazo cerrado llega a ser:

k2 n}L. = -Po (3-50)

kdonde £ n i - es la suma de los rodeos en la dirección del movimien

i = 1to de los punteros del reloj del punto crítico (-1 + JO) por los lu_

gares característicos de Us). Esto completa la prueba del primer

criterio de estabilidad de Nyquist generalizado.

Los ejemplos de aplicación del criterio de estabilidad de Nyquist ge_

neral izado se darán en el capítulo V.

3.3. Los Lugares 'Geométricos 'de las Raíces 'para 'Sis ternas 'Muí ti varia-

bles.-

Considérese el sistema riealimentado mostrado en la figura 3.3, donde

el sistema dinámico lineal Sa tiene m entradas y S2 tiene msal idas; k

es un multiplicador de ganancia escalar.

114

U ¿fc — Y

Fig. 3.3: Configuración Real imantada Muí tivariable con Ganancia Es-

calar k.

Sea L(s) la matriz de relación de retorno para señales inyectadas en

el punto a y obtenidas en el punto c¿' con k=l

La matriz diferencia de retorno' para esta configuración está dada -

por:

F(s,k) = I H-'kL(s) (3-51)

y el conjunto de funciones características asociadas con esta matriz

diferencia de retorno está definido por:

det [f(s,k)l -£(s,k)] = O (3-52)

Asúmase, por simplicidad de exposición, que hay sólo una ecuación ca_

racteristica irreducible de la forma:

+bm(s,k) = O (3-53)

Denotando a los polinomios característicos de lazo abierto y lazo ce-

115

rrado del sistema por PCLA(s) y PCLC(s,k), respectivamente, se ten_

drá que:

y además:

det ¿(s,k) = PCLC(s,k)det F(co,k) PCLA(s) (3-54)

PCLA(s) = Px(s)pd(s)e(s)b0(s) (3-55)

donde e(s) es aquí definido como el mínimo común denominador de to-

dos los menores no principales distintos de cero de Us), con todos

los factores comunes a b0(s) eliminados; pd(s) tiene como sus ceros

a los ceros desacoplados del sistema; y PX(S) tiene como sus ceros

aquellos polos dé G^Js) y G _(s) que se pierden cuando se forma Jjs)

donde G_i_(s) y'_G¿(s) son las matrices función de transferencia de S:

y 5Z3 respectivamente.

En la sección 3.2.2 e(s) se definió en términos de£(s), pero se pro_

bó que es igual si e(s) se define para £_(s) o Jjs), ya que resulta el

mismo polinomio en ambos casos.

Por consiguiente, se llega a que:

k) _ Px(s)pd(s)e(s)bm(s,k) (,3 } det F(°° ,k) v"

tal que la solución de la ecuación:

116

px(s)pd(s)e(s)bm(s,k) = O . (3-57)

para s en términos de k determinará la dependencia de los polos de

lazo cerrado del parámetro de ganancia escalar k. La exhibición de

esta dependencia en el plano complejo es lo que constituye el lugar

geométrico de las raices para el sistema muí ti variable.

;N6tese que, para cualquier valor de k, las soluciones de:

Px(s) = O, (3-58)

Pd(s) = O (3-59)

y -e(s) = O (3-60)

son soluciones de la ecuación (3-57). Así, para eís) ! (una condi-

ción inusual) y/o pdís)^! (indicando modos incontrolables e/o inob-

servables)y/o px(s)^l (indicando cancelación de polos), algunos de

los lugares de raices degeneran a puntos simples, que son solución

de las ecuaciones (3-58), (3-59) y (3-60). Las-otras soluciones de

la ecuación (3-57), que satisfacen:

bm(s,k) = O (3-61)

son equivalentes a encontrar los ceros de la función característica

f(s,k). Si l(s,k) es la función característica de'kLjs) (asumida i-

rreducible), entonces el teorema de desplazamiento de valores propios

conduce a:

f(s,k) = 1+1(s,k) (3-62)

117

y entonces, el encontrar los ceros de f(s,k) es equivalente a encon_

trar aquellos valores de s para los cuales:

Ks,k) = -1 (3-63)

Los lugares de rafees para la configuración reallmentada multivaria_

ble de la figura 3-3 están, por lo tanto, definidos por las solucio_

nes de:

Px(s) = O (3-64)

Pd(s) = O (3-65)

e(s) = O (3-66)

Yl(s,k) = -1 (3-67)

para todos los valores de k.

Entonces, la ecuación característica para j_(s), la matriz de rela-

ción de retorno del sistema con k=l, es:

det [¿(s)l - L_(s)] = O (3-68)

de la cual se puede obtener la ecuación:

c0(s)A m(sHca(s)¿m-J(s) + ...-fcm(s) = O (3-69)

donde los coeficientes ~[c-¡ (s) :i=l,2, ... ,mj son polinomios en s. La

ecuación característica para 'kL(s) está dada por:

118

. c0(s)Ani(s)+c1(s)k J¿m-Ms)-K.

(3-70)

Asi, la introducción del multiplicador de ganancia escalar k es e-

quivalente a multiplicar la función característica l(s) por k. En-

tonces, las soluciones de la ecuación (3-67) son equivalentes a las

soluciones de:

A(S) = -4 (3-71)

para todos los valores de k, lo cual es obviamente una generaliza-

ción directa de las ecuaciones definidas para el lugar geométrico de

las raíces de lazo simple.

Es claro que los lugares complejos definidos por la ecuación (3-71)

son simplemente los lugares de fase de 180° de la función caracte-

rística l(s) en su superficie Riemann asociada. El hecho de que los

lugares -de raices muí ti variables "viven" en una superficie Riemann

explica su comportamiento complicado cuando se compara con el caso

de sistema de una entrada y una salida, donde los lugares de raíces

están en un plano complejo simple. En el caso general, habrán algu_

ñas ecuaciones características irreducibles para una Us) dadaypor

lo tanto habrán algunos conjuntos de lugares de raíces, cada uno en

una superficie Riemann diferente, asociados con una L_(s) dadr . Es

interesante también notar que, cuando e(s) ^ 1, o pd(s) i- 1, o - -

Px(s) f 1 habrán lugares degenerados consistiendo cada uno de ellos

en un punto simple, una característica que no se presenta en el ca-

so uniyariable. Nótese que los lugares de punto simple asociados

con e(s) y px(s) pueden ser eliminados con realimentación, mientras

119

que aquellos asociados con pd(s) son invariantes.

Los ejemplos de aplicación del método del Lugar Geométrico dela-sRaj_

ees para Sistemas Multivariables se darán en el capítulo V.

*

CAPITULO IV

DESCRIPCIÓN DE LOS PROGRAMAS

4.1 ESTRUCTURA DE LA BIBLIOTECA DE PROGRAMAS.

4.2 PROGRAMAS DEL CRITERIO DE NYQUIST GENERA-LIZADO.

4.3 PROGRAMAS DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RA-ICES PARA SISTEMAS MOLTIVARIABLES.

4.1 ESTRUCTURA DE LA BIBLIOTECA DE PROGRAMAS

La pequeña capacidad de memoria que el computador TEKTRONIX 4051 o-

frece al usuario obliga a usar varios programas en lugar de uno só-

lo. As!, es posible tener en la memoria del computador solamente _a_

quel programa que se desea ejecutar, manteniendo el resto de los pro

gramas en la unidad de discos.

En la figura 4.1 se presenta la estructura de la biblioteca de pro-

gramas, los cuales están divididos en dos grupos:

1.- Los programas del Criterio de Nyquist Generalizado; y

2.- Los programas de Lugar Geométrico de las Rafees para sistemas -

multivariables.

Estos dos grupos tienen dos programas comunes: el programa de ingre_

so de datos, "kOAGUIRRE/ENTRADA", y el programa de cálculo de fun-

ciones de transferencia, "/eOAGUIRRE/FUNCIONMT". Los otros progra-

mas son diferentes en cada grupo.

La biblioteca de programas está comandada por un programa maestro;

"<sQAGUIRRE/TESIS", el cual va a coordinar el funcionamiento de toda

la biblioteca.

A continuación, para cada programa se explica en forma concisa la

función que desempeña y sus características funcionales. También se

expone un diagrama de flujo que permite un estudio completo del fun_

cionamiento del programa, sin caer en la minuciosidad que en lugar

de aclarar puede confundir al lector. Para mayor detalle de los

121

Programa Maestro:

'"o>GAGUIRRE/TESIS "

PROGRAMA:

''f OAGUITORE/ENTRADA'5

PROGRAMA:

1(Sí OAGUIRRE/FUNCIONMT"

CRI1ERIO DE NYQÜIST

GENERALIZADO

PROGRAMA:

" íSJQAGUIRRE/CALCÜLO"

PROGRMIA:

1 &> OAGQIRRE/ORDEN"

PROGRA ÍA:

11 OAGUIRRE/GRAFICO"

PROGRAMA:

' OAGQIRRE/SALIDA1

LUGAR DE RAICES PARA

SIST. MÜLTIVARIABLES

PROGRAMA:

> OAGaiRRE/GZ LCüLO2'

PROGRAt A:

"® OAGUIRRE/ORDEN2 "

PROGRAMA:

1 >OAGüIRRE/GRAFIC02"

PROGRAMA:

1 ® OAGÜIRRE/ SALIDA2 "

Fig. 4-1: Estructiira de la Biblioteca de Programas.

- 122

programas puede referirse al listado de ellos, en el APÉNDICE B.

Programa: 'teOAGUIRRE/TESIS11.-

t

Este programa es el que dirige a todos los demás, borrando cada vez

uno de la memoria y cargando otro en su lugar.

Al ser ejecutado por primera vez, inicial iza ciertas variables nece_4-' sarias para el funcionamiento de todos los programas y ademas pre-

gunta por el número de la unidad donde se colocó el disco. Luego

muestra en pantalla las dos posibilidades de análisis de estabilidad:

el criterio de Nyquist y el Lugar de Rafees, para que el usuario es_

coja una de ellas. Según la escogida se muestra en la pantalla un

.£• índice de programas que el usuario deberá ir ejecutando secuencial-

mente; es decir, que se deben ir presionando las teclas de acuerdo

al orden en que aparecen los programas de este índice.

Cuando se presiona una tecla de. ejecución de algún programa, el pro_

grama "00AGUIRRE/TESIS" realiza lo siguiente:<*

1.- Verificar si está o no en memoria el programa deseado.

2.- Si está en memoria, entonces que se ejecute.

3.- Si no está en memoria, entonces:

a) Limpiar la memoria.

^ b) Cargar el programa deseado,w

c) Ejecutar dicho programa.

Este programa siempre permanecerá en la memoria del computador debi-

do a la función que realiza.

¿Ejecucióncon RDN?

123

SI

NODefinición de la unidadde disco e inicializa-ción de variables

En pantalla:

1.- CRITERIO DE NYQUIST GENERALIZADO (09=1)

2.- LUGñR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES PARA

SISIEMAS MULTIVARIABIES (09=2)

Escoja opción

09=1

En pantalla: índicede programas delCriterio de NyguistGeneralizado

09=2

índice

En pantalla: índice deprogramas del Lugarde Raíces Multivaria-ble

índice

Programa Programa

Fig. 4-2: Diagrama de Flujo del Programa "fS>OAGUIRRE/TESIS".

124

SI

Limpiar la memoria y car-gar el programa deseado

Ejecutar el programa

deseado

Fig. 4-2: (Continuación)

125

Los nombres de las principales variables que se útil izan en este pro_

grama y su significado son los siguientes:

U0 : Número de la unidad de disco utilizada.

01 : Numero del programa que se desea ejecutar.

02 : Numero del programa que está en memoria.

Ul : Indica si se han ingresado o no los datos de G_(s); asi:

Ul = 1, no se han ingresado los datos.

Ul = 2, ya se ingresaron los datos.

U2 : Indica si se han ingresado o no los datos de _K(s); asi:

U2 = 1, no se han ingresado los datos.

U2 = 2S ya se ingresaron los datos.

U3 : Indica si se han ingresado o no los datos de H(s); asi:

U3 = 1, no se han ingresado los datos.

U3 = 2, ya se ingresaron los datos.

U4 : Indica si se-han ingresado o no todos los datos del sistema;

asf:

U4 = 1, no se han ingresado todos los datos.

U4 = 2, ya se ingresaron todos los datos.

09 : Indica que método de análisis de estabilidad se escogió.

El diagrama de flujo de este programa aparece en la figura 4.2.

'Programa: 'teOAGUIRRE/ENTRADA":

Este programa sirve para la entrada de los datos del sistema reali-

mentado muítivariable y tiene las siguientes opciones de trabajo:

1Z6

1.- Ingreso de datos por teclado

2.- Lectura de datos de archivo (disco)

3.- Listado de datos.

4.- Fin de entrada de datos.

El Ingreso de los datos por teclado se lo hace directamente a archj_

vos del disco y no a la memoria del computador. Así, se utilizan

los siguientes archivos para los datos del sistema:

"^OAGUIRRE/DATOS/NOMBRE": contiene el nombre del problema a resolver^

se.

"^OAGUIRRE/DATOS/G": datos de G(s)

"OOAGUIRRE/DATOS/K": datos de K(s)

"raOAGUIRRE/DATOS/H": datos de H(s)

El Ingreso de los datos se lo puede hacer en forma de función de -

transferencia o en ecuaciones de estado.

Una vez Ingresados los datos a los archivos anteriores, se tiene la

posibilidad de almacenarlos en archivos con un nombre especificado

por el usuario, para poder utilizarlos cuando se requiera analizar

nuevamente ese sistema.

Para poder ejecutar las opciones 3 y 4 debe haberse ejecutado pre-

viamente la opción 1 o la 2.

Las principales variables que Intervienen en este sistema son las's_1_

guientes:

1Z7

INICIO

En pantalla:

1.- Ingreso de datos por teclado

2.- Lectura de datos de archivos (disco)

3.- Listado de datos

4.- Fin de la entrada de datos.

Escoja opción (ingrese I)

SI

NO

^

Ingresar nombredel problema

Ingresar :- Datos de G(s)- Datos de K(s)- Datos de H(s) .

J

Fig. 4-3: Diagrama de flujo del programa "roíOAGÜIERE/ENTRADA11

1Z8

SI

Ingresar nombre dearchivos

Leer: nombre del problema,

Datos de Gí(s) , datos de

JK(s) , datos de H(s) .

Ingresar nombre

del archivo

NO

Almacenamiento

En pantalla:debe ejecutarse1 o 2

SI

Mostrar en pantalla los

datos

Fig. 4-3: (Continuación)

129

o00 = 1 Listado en

papel

Transferir el control al

programa maestro para que

muestre el índice de pro-

gramas correspondiente a

09.

g. 4-3: (Continuación)

130

Fl : Número de filas de G_(s).

Cl : Número de columnas de G_(s).

F2 : Numero de filas de _K(s),

C2 : Número de columnas de j((s).

F3 : Número de filas de H_(s).

C3 : Número de columnas de H/s).

00 : Indica si los resultados que serán graficados después correspo_n_

den a cálculo o a lectura de archivos; asi:

00 = 1, resultados obtenidos por cálculo.

00 = 2, resultados leídos de archivos.

El diagrama de flujo de este programa se muestra en la figura 4.3.

Programa: 'Y30AGUIRRE/FUNCIONMT".-

La función de este programa es la de calcular las funciones de trans_

ferencia de G_(s), J<(s) y H_(s), si fueron ingresadas en forma de e-

cuaciones de estado, y, además, calcular los ceros y polos de cada

uno de los elementos de _G, K_ y _H.

Para el calculo de las funciones matriz de transferencia se utiliza

un método desarrollado por Fadeev, y para el cálculo de los ceros y

polos se utiliza el método de resolución de ecuaciones pol inórala!es

del descenso más pronunciado.

Una vez que se han calculado las funciones de transferencia, se las

almacena en archivos de acceso aleatorio, para tener fácil acceso a

e "Has, los cuales se llamarán:

"(o>OAGUIRRE/FMT/G": -función de transferencia de G(s)

131

"OOAGUIRRE/FMT/K": función de transferencia de K_(s)

"¿S'OAGUIRRE/FMT/H": función de transferencia de H(s).

• 51 los sistemas _G(s), _K(s) o H(s) fueron Ingresados en forma de fun_

clon de transferencia, no es necesario hacer el cálculo de ella y s

lo se calculan sus polos y ceros y se almacena al sistema en el ar-

chivo de acceso aleatorio correspondiente.

^ . Los ceros y polos calculados son también almacenados en archivos de•x

acceso aleatorio, que son:

"00AGUIRRE/POLOS/G": ceros y polos de G_(s)

"íSDOAGUIRRE/POLOS/K": ceros y polos de K(s)

"6)OAGUIRRE/POLOS/H": ceros y polos de H(s).

t

Las principales variables que se utilizan son:

V: vector de dimensión 25, que sirve para escribir datos en los ar-

chivos de las funciones de transferencia, cuyos registros tienen

una longitud de 250 bytes.%

VI : vector de dimensión 25, que sirve para escribir datos enlosar_

chivos de polos y ceros, cuyos registros tienen una longitud de

250 bytes.

K : variable que contiene el numero de filas de la matriz _C_del s1s_

tema al cual se le está calculando su función de transferencia.

^ M : variable que contiene el número de columnas de la matriz B_ del

sistema al cual se le está calculando su función de transferen-

cia.

N : variable que contiene el numero de estados del sistema al cual

132

Fuñe, de transf.

Ec. de estado

Cálculo de:

G(s)=C (sI-Aj Bn + D_<o o <o ^

Cálculo de ceros y polos de

cada elemento de G(s)

Almacenamiento de G(s) en archi.

vos de acceso aleatorio

Fuñe, de transf.

Ec. de estado

Fig. 4-4: Diagrama de flujo del programa "

133

Cálculo de:

K(s) =-1

-K

Cálculo de ceros y polos de

cada elemento de K(s)

Almacenamiento de K(s) en archd

vos de acceso aleatorio

Fuñe, de transf.

Ec. de estado

Cálculo de:

-1C1 i cT — A 1 TU -4- TiírTT^S¿ £rrJ STT + Urr

II Xl tí II

4-4: (Continuación)

134

Cálculo de ceros y polos de

cada elemento de_H(s)

Almacenamiento de H(s) en archi-

vos de acceso aleatorio

Transferir el control al progra

ma maestro para que muestre el

índice de programas correspon-

diente a 09.

Fig. 4-4: (Continuación)

135

se le está calculando su función de transferencia.

El diagrama de flujo de este programa se presenta en la figura 4.4.

4.2 PROGRAMAS DEL CRITERIO DE NYQUIST GENERALIZADO

Programa: "(30AGUIRRE/CALCULO".-

Mediante este programa se calculan los valores propios de la matriz

L_(s) cuando s toma los valores correspondientes al contorno de Ny-

quist; es decir, que s tomará valores puramente imaginarios. Como

los valores propios que resultan cuando s toma valores pertenecien-

tes al semieje imaginario negativo son complejos conjugados con los

valores propios que resultan cuando s toma los valores del semieje

imaginario positivo, sólo es necesario calcular los valores propios

para s imaginario positivo.

Primeramente, se pide el número de valores de s que se desean cal cu_

lar; un número recomendable para obtener un buen gráfico es 100 va-

lores. Luego se pide el valor final de s, ya que como se van a cal

cular sólo valores positivos, se comenzará con un valor inicial de-3

s=jlO y el valor final de s debe ser positivo y grande; un valor

recomendable de s final puede estar entre 50 y 100.

Luego, se da a escoger al usuario si se desea una variación lineal o

logarítmica de la frecuencia s. Para este tipo de problemas se usa

casi siempre la variación logarítmica, aunque puede usarse la va-

riación lineal para casos especiales. -*-

136

Una vez que se han ingresado los datos anteriores, .se procede prime_

ro a calcular los valores de la frecuencia, los cuales se van alma-

cenando directamente en el archivo "<s>OAGUIRRE/FRECUENCIA" .

Luego, se leen de los archivos de los datos ciertos parámetros del

sistema y se da comienzo al lazo de cálculo de los valores propios.

En este lazo, primero se lee el valor de la frecuencia del archivo,

luego se evalúan las matrices H_(jw), _G_(jw) y _K(jw), para obtener la

matriz Ujw) = H x G x K..

La matriz _L_(jwJes una matriz de números complejos y para encontrar

sus valores propios se utiliza primero el método de Fadeev, con lo

que se obtiene los coeficientes de la ecuación característica, que

son complejos. Luego se resuelve esta ecuación usando una subrutlna

de resolución de ecuaciones pollnomlales con coeficientes complejos.

Las raíces de esta ecuación son los valores propios de L_( jw) .

A estos valores propios se los almacena en dos archivos: "QOAGUIRRE/

VPREAL", para las partes reales y "íSOAGUIRRE/VPIMAG", para las pa£

tes Imaginarlas ; pero antes de almacenarlos en dichos archivos se

procede a ordenar los valores propios de acuerdo a la continuidad de

cada uno de los lugares característicos que se van a obtener.

Luego del cálculo de los valores propios para s Imaginarlo, se pro-

cede a calcular unos pocos valores propios para cuando s toma valo-

res cercanos a los polos que están situados en el eje Imaginario, que

permitirán conocer en qué forma se cierran los lugares característi-

cos cuando el sistema tiene polos en el eje Imaginario.

137

Una vez terminado todo el cálculo se regresa nuevamente al progra-

ma maestro.

Las principales variables usadas en este programa son:

Wl : número de valores de la frecuencia s.

W8 : valor final de la frecuencia s.

W7 : valor inicial de la frecuencia s.

-N : orden del sistema (=F3) .

W : valor de la frecuencia que sirve para calcular los valores prp_

pios de Ujw) .

Ll : matriz que contiene las partes reales del producto H_(jw)xG_(jw).

12 : matriz que contiene las partes imaginarias del producto H_(jw)x

L3 : matriz que contiene las partes reales de L_( jw) .

L4 : matriz que contiene las partes imaginarias de U jw) .

Pl : vector que contiene las partes reales de los coeficientes de la

ecuación característica.

P2 : vector que contiene las partes imaginarias de los coeficientes

de la ecuación característica.

X0 : vector que contiene las partes reales de los valores propios.

Y0 : vector que contiene las partes imaginarias de los valores pro-

pios.

El diagrama de flujo de este programa se presenta en la figura 4.5.

133

INICIO

Ingresar:

- No. de valores de la frecuencia: Wl

- Valor de la frecuencia final: W8

garitmica de la frecuen

Cálculo de valores de la

frecuencia, con variación

lineal

Cálculo de valores de la

frecuencia, con variación

logarítmica

Lectura de parámetros del sistema

r W9 = 1 TO Wl

Lectura de valores de la frecuencia: W

Fig. 4-5: Diagrama de flujo del programa "rS> OAGUIKRE/CALCULO"

139

1

Evaluación de:

H(jW)

•

Evaluación de:

G(jW)

Multiplicar:

H(jW)*G(jW)

Evaluación de:

K(jW)

_

Calcular:

L(jW) =H(jW) * G(jW) * K(jW)

•

Método de Fadeev para encontrar los coeficien

tes de la ecuación característica:

det[l(s)I - L(s)] = 0

Resolución de la ecuación característica

Fig. 4-5: (Continuación)

Ordenación de los valores propios l(s) según

la continuidad de cada una de las ramas de

la función característica

Almacenamiento de valores propios

Transferir el control al programa maestro

para que. muestre el índice de programas

del Criterio de Nyquist.

Fig. 4-5: (Continuación)

Hl

Programa "¿SJOAGUIRRE/ORDEN" ,-

Este programa sirve para calcular ciertos parámetros que se van a _u_

til izar en el gráfico de los lugares característicos. Se encuen-

tra primero el valor mínimo de las partes reales de los valores prp_

pios, luego se busca el valor máximo de estas partes; se hacelomi_s_

mo con las partes imaginarias de los valores propios, pero sólo se

busca el valor máximo, y el valor mínimo será el mismo valor máximo

con signo negativo, ya que el gráfico es simétrico con respecto al

eje real .

Estos parámetros se almacenan en el archivo 1VS>OAGUIRRE/LIMIT", que

será utilizado en el programa del gráfico.

Se calculan también los puntos de cruce de los lugares característi_

eos con el eje real y se alma'cenan en el mencionado archivo. Las

principales variables que se utilizan en este programa son:

Al : valor mínimo de las partes reales de los valores propios

A2 : valor máximo de las partes reales de los valores propios.

A3 : valor mínimo de las partes imaginarias de los valores propios.

A4 : valor máximo de las partes imaginarias de los valores propios.

El Diagrama de flujo de este programa está en la figura 4.6.

INICIO142

• .

Cálculo del mínimo valor en el eje real: Al

Cálculo del máximo valor en el eje real: A2

•

Cálculo del máximo valor en el

eje imaginario: A4

Mínimo valor en el eje

imaginario: A3 = -A4

Almacenamiento de parámetros

para el gráfico

1

Cálculo de cruces de los lugares carac-

terísticos con el eje real

Transferir el control al programa maestro

para que muestre el índice de programas

del Criterio de Nyguist.

Fig. 4-6: Diagrama de flujo del programa "©OAGQIRRE/ORDEN"

143

Programa: "/aOAGUIRRE/GRAFICO".-

Este programa sirve para graficar los lugares característicos de la

matriz relación de retorno L(s) cuando s atraviesa el contorno de Ny_

quist.

Primeramente, este programa averigua qué valor tiene 00 y con esto

puede saber si lo que va a graficar ha sido calculado o tiene que le_

er de algún archivo. Si tiene que leer de un archivo, pregunta por

el nombre del archivo, lee los resultados y pasa a preguntar por los

parámetros del gráfico, como son: valores mínimos y máximos de los

ejes real e imaginario y el intervalo entre las marcas en los ejes:

luego realiza el gráfico de los ejes y de los lugares caracten'sti-

eos en la pantalla.

Presenta luego en la pantalla una lista de opciones para el gráfico,

las cuales son:

1.- Repetición del gráfico en pantalla.

2.- Cambios de parámetros del gráfico.

3.- Gráfico en papel.

4.- Fin del gráfico.

Si se quiere la opción 4, en la pantalla se presentan los puntos de

corte de los lugares característicos con el eje real. Luego se pre_

gunta si el usuario quiere almacenar todos los resultados en algún

archivo especial; si asi se quiere, se almacenan todos los resulta-

dos obtenidos en el archivo cuyo nombre debe darlo el usuario. Lue_

go se vuelve al programa maestro.

INICIO

NO

SI

Leer resultados de archivos

Ingreso de parámetros para el gráfico

P9 = 32

Trazado de márgenes y escritura del nombre

del problema

Trazado del eje real

Trazado del eje imaginario

Trazado de flechas en los ejes

Gráfico de los lugares característicos

de.L(s)

Fig. 4-7: Diagrama de flujo del programa '' OAGUIERE/GRÁFICO",

En pantalla:

1.- Repetición del gráfico en pantalla

2. - Cambio de parámetros del gráfico

3.- Gráfico en papel

4.- Fin del gráfico.

Escoja opción (ingrese K9)

SI

P9 == 1

En pantalla: Puntos de corte de lugares ca-

racterísticos con el eje real

Fig. 4-7: (Continuación)

146

NO

SI

Ingrese nombre del archivo

Almacenamiento

Transferir el control al programa maestro

'para que muestre el índice de programas del

Criterio de Nyquist.

Fig. 4-7: (Continuación).

Las principales variables que se utilizan en este programa son:

Wl : valor mínimo del eje real.

W2 : valor máximo del eje real.

W3 : valor mínimo del eje imaginario.

W4 : valor máximo del eje imaginario.

W5 : intervalo entre marcas rotuladas, en el eje real.

W6 : intervalo entre marcas rotuladas, en el eje imaginario.

-W7 : intervalo entre marcas no rotuladas, en el eje real.

W8 : intervalo entre marcas no rotuladas, en el eje imaginario.

El diagrama de flujo de este programa se encuentra en la figura 4.7.

Programa: 'V30AGUIRRE/SALIDA" .-

Este programa sirve para obtener un listado de los resultados obte-

nidos a través de todos los programas anteriores. Las opciones para

el listado aparecen al comienzo del programa, en la pantalla, y son

las siguientes:

1.- Listado de datos del sistema.

2.- Listado de funciones de transferencia.

3.- Listado de ceros y polos del sistema.

4.- Listado de valores propios de _L(s).

5.- List.ado de puntos de corte de los lugares característicos con el. ,eje real.

6.- Fin del listado.

Si se escoge la opción 1, se presenta un listado de todor~los datos

del sistema que fueron ingresados en el programa "fSXDAGUIRRE/ENTRADA1!

148

SI se quiere la opción 2, se presenta un listado de'las funciones de

transferencia calculadas en el programa %>OAGUIRRE/FUNCIONMT". La

opción 3 presenta un listado de los ceros y polos de cada elemento

de G_(s)3 j((s) y H(s), calculados en el programa "^OAGUIRRE/FUNCIO- •

NMT". Si la opción 4 es escogida, se tiene un listado de los valo-

res propios de JL(s) calculados en el programa "íS>OAGUIRRE/CALCULO".

Si se escoge la opción 5 se obtiene un listado de los puntos de coj

te de los lugares característicos con el eje real, que fueron calcu_

lados en el programa "íSOAGUIRRE/ORDEN". Para todas estas opciones

primero se presenta el listado en la pantalla y luego se pregunta si

se quiere el listado en papel o no; si se quiere la impresión en p_a_

peí, se la obtiene enseguida y se vuelve al índice de opciones.

Si se ha escogido la opción 6, de fin del listado, se pregunta al u_

suario si se desea borrar algún archivo o no: si asi se desea, se bo_

rra dicho archivo y se vuelve a hacer la misma pregunta: si no se d_e_

sea borrar ningún archivo, entonces se vuelve al programa maestro.

Esta última pregunta que se hace al usuario es útil cuando se quiere

borrar algún archivo que contenga datos o resultados de un 'sistema

que se lo haya analizado anteriormente y que ya no se' necesiten te-

ner almacenados en archivo dichos datos.

El diagrama de flujo de este programa se presenta en la figura 4.8.

INICIOH9

En pantalla:

1.- Listado de datos del sistema

2.- Listado de funciones de transferencia

3.- Listado de ceros y polos

4.- Listado de valores propios de L(s)

5.- Listado de puntos de corte de los luga-res característicos con el eje real

6.- Fin del listado.

Escoja opción (ingrese K9)

SI

Mostrar en pantalla las

funciones de transferencia

SI

Mostrar en pantalla los

datos del sistema

NO

Impresión en papel

NO

Impresión en papel

Fig. 4-8: Diagrama de flujo del programa "<5>OAGUIRRE/SALIDA"

150

Mostrar en pantalla los

ceros y polos del sistema

Mostrar en pantalla los

valores propios de L(s)

Impresión en Dapel

Impresión en papel

Mostrar en pantalla los puntos de corte de los lugarescaracterísticos con el ejereal

Impresión en papel

Fig. 4-8: (Continuación)

151

NO

Ingrese ncmbre

del archivo

Borrar el archivo

Transferir el control al programa maestro

para que muestre el índice de programas

del Criterio de Nyguist.

Fig. 4-8: (Continuación).

152

4.3 PROGRAMAS DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES PARA SISTEMAS MUL-

TIVARIABLES.-

Programa: "/QOAGUIRRE/CALCUL02" .-

Este programa calcula los valores propios de la matriz L(s) cuando

s toma valores del plano especificados por el usuario, de tal mane-

ra de obtener valores propios con un ángulo de fase de 180 : es de-

cir, que son negativos y con su parte imaginaria igual a cero, los

cuales constituyen el lugar geométrico de las raíces para sistemas

muítivariables.

El programa empieza pidiendo ai-usuario los valores mínimo y máximo

de la frecuencia en el eje real, el número de valores de s en el e-

je real; luego pide el valor máximo de la frecuencia en el eje ima-

ginario y el número de valores de s en el eje imaginario. Se sugi^

re que entre los valores mínimos y máximos de la frecuencia queden

ubicados los polos del sistema.

Lo que se puede hacer es dar valores sólo en el eje real, para en-

contrar los lugares de raíces que están ubicados en este eje, y lue_

go se pueden dar valores a s correspondientes al plano donde se cree

que existen lugares de raíces, para luego de algunos intentos lle-

gar a determinar completamente el lugar geométrico de las raices.

Luego, se calculan los valores de la frecuencia que son almacenados

en el. archivo "<QOAGUIRnxE/FRECUENCIA" y se leen algunos parámetros

del sistema.

153

El cálculo de los valores propios se inicia con la lectura del va-

lor de la frecuencia del archivo correspondiente, para luego pasar

a evaluar las matrices H_(s), G(s), y jC(s)5 que son matrices de ele-

mentos complejos; luego se obtiene Us) = H_ x G_ x K_. Una vez calcu_

lada Us), se utiliza el método de Fadeev para obtener los coefi:ien_

tes de la ecuación característica de Us), que son complejos. Des-

pués se aplica el método del descenso más pronunciado para resolver

la ecuación característica y se obtienen los valores propios de Us).

Entonces se ordena a dichos valores propios en las diferentes hojas

de la superficie Riemann correspondiente a la ecuación caracterfsti_

ca. Se almacenan los valores propios en los archivos "fo)GAGUIRRE/V

PREAL", las partes reales, y "©OAGUIRRE/VPIMAG", las partes imagi-

narias.

En seguida de acabado el cálculo de los valores propios, se procede

a calcular los valores propios de U0), que si son reales y negati-

vos darán las ganancias criticas, hallando su inverso.

Luego se vuelve al programa maestro para seguir con el análisis.

Las principales variables que se utilizan aquí son:

W7 : valor de s mínimo, en el eje real

W8 : valor de s máximo, en el eje real

Wl : número de valores de s, en el eje real

W6 : valor de s máximo,, en el eje imaginario.

W5 : número de valores de s, en el eje imaginario.

S : valor de la parte real de la frecuencia, usada para calcularlos

valores propios.

r

INICIO 154

Ingreso de:

- Frecuencia mínima en el eje real (W7) .

- Frecuencia máxima en el eje real (W8) .

- Número de valores de la frecuencia, en el ejereal

- Frecuencia mínima en el eje imaginario (W4) .

- Frecuencia máxima en el eje imaginario (W6) .

- Numero de valores de la frecuencia, en el eje

imaginario (W5) .

Cálculo de valores de la frecuencia compleja.

•

Lectura de parámetros del sistema.

W9 = 1 to WlxWS

Lectura del valor de la frecuencia: s

•

Evaluación de H(s)

i

Evaluación de G(s)

•

Evaluación de:

H(s) x G(s)

, •

Fig. 4-9: Diagrama de flujo del programa l'fS)OAGUIRE^/C2lJCIJLO211

155

Evaluación de K('s')

Cálculo de:

Lfs) = B.(s) * G('s) * K('s)

•

Método de Fadeev para encontrar los coeficien

tes de la ecuación característica:

det[l(s)I - L(s)] = 6

Resolución de la ecuación característica

Ordenación de los valores propios de cada

hoja de la superficie Riemann

•

Almacenamiento de los valores propios

Cálculo de los valores propios de la

matriz: L(0)

Transferir el control al programa maestro pa-ra que muestre el índice de programas del Metodo del Lugar de Raíces.

Fig. 4-9: (Continuación) .

156

W : Valor de la parte imaginarla de la frecuencia, usada para calcu_

lar los valores propios.

Programa: "£)OAGUIRRE/ORDEN2".-

El presente programa va a calcular ciertas variables que son necesa-

rias para el gráfico del lugar geométrico de las raíces.

Se inicia el programa ordenando los valores propios de U0) en las

diferentes hojas de la superficie Riemann; luego se almacenan en el

archivo "OOAGUIRRE/LIMÍT" todas los polos calculados en el progra-

ma "OOAGUIRRE/FUNCIONMT" que tengan parte imaginaria cero; es de-

cir» que estén situados en el eje real. Luego se transfiere el con_

trol al programa maestro.

Las principales variables que se utilizan en este programa son:

X$ : nombre del problema que se está analizando.

V : vector de dimensión 25, que sirve para leer los archivos de ac-

ceso aleatorio donde están almacenados los polos del sistema.

El diagrama de flujo de este programa se encuentra en la figura 4.10.

Programa: 'VS> OAGUIRRE/GRAFIC02" .-

Este programa es el encargado de realizar el gráfico del lugar geome_

trico de las rafees y también de almacenar los resultados en un ar-

chivo deseado por el usuario.

157

INICIO

Ordenación de los valores propios de ¿(0) en

cada hoja de la Superficie Riemann

Almacenamiento de polos de G(s) que están

en el ene real

Almacenamiento de polos de K(s) que están

en el eje real

Almacenamiento de polos de H(s) que están

en el eje real

Transferir el control al programa maestro

para que muestre el índice de programas del

Método del Lugar de Raíces.

Fig. 4-10: Diagrama de flujo del programa "fS)OAGÜIRRE/ORDEN2M.

158

El programa Inicia averiguando qué valor tiene 00; si 00 1, enton_

ees se pasa a leer los archivos que deben contener resultados de un

análisis anterior. Luego se ingresan los parámetros para el gráfi-

co, como son: los limites para el gráfico y los intervalos entre las

marcas en los ejes.

Se inicia el gráfico con el trazado de los márgenes y los ejes horj_

zontal y vertical. Luego se señalan los polos que están situados en

el eje real mediante una "X". Después se van leyendo 1-os valores

propios calculados en el programa "r£) OAGUIRRE/CALCUL02" y cuando un

valor propio es real y negativo se pone una "O" en el lugar del eje

real que corresponde con el valor de frecuencia que dio origen a e-

se valor propio; si el valor propio es complejo, se coloca un "*",

que significa un corte y cuando el valor propio es real y positivo,

no se pone ningún símbolo en ese lugar. De tal manera que, el lu-

gar geométrico de las rafees queda señalado por los puntos donde se

encuentra una "O".

Luego del gráfico del lugar geométrico de las raíces se presentan en

la pantalla las opciones del gráfico, que son:

1.- Repetición del gráfico en pantalla.

2.- Cambio de parámetros del gráfico.

3.- Gráfico en papel.

4.- Fin del gráfico.

Si se desea el fin del gráfico, se graficará la.segunda hoja de la

superficie Riemann, de las cuales deben graficarse N, donde N es el

orden de la matriz L_(s). Por último, se pregunta al usuario si de-

r

INICIO

SI

NO

Lectura de los resultados que están alma-

cenados en archivos

Ingreso de parámetros para elgráfico

K = 1 TO N

P9 = 32

Trazado de márgenes y escritura del nombre

del problema y No. de hoja de la Superficie

Trazado del eje horizontal

Trazado del eje vertical

Gráfico de flechas en los ejes

159

Fig. 4-11: Diagrama de flujo del programa "6>OAGQIRRE/GR&FICO2"

160

Ubicación de los polos en

el eje real

Gráfico del lugar geométrico de las raices;

"O" = lugar de raíces."*" = corte"X" = polo

Escritura de nomenclatura

En pantalla:1.- Bepetición del gráfico en pantalla2.- Cambio de parámetros del gráfico3.- Gráfico en papel4.- Fin del gráfico.

Escoja opción (ingrese K9).

SI

SI

SI

P9 = 1

Fig. 4-11: (Continuación)

161

L

Ingrese nombre del archivo

Almacenamiento

Transferir el control al programa maestro

para gue muestre el índice de programas del

Lugar Geométrico de las Raices.

Fig. 4-11: (Continuación).

162

sea guardar los resultados en archivos; si lo desea, pregunta por el

nombre del archivo y almacena los resultados en él; si no desea, se

transfiere el control al programa maestro.

Las principales variables utilizadas en este programa son;

Wl:: límite inferior del eje horizontal.

W2 : limite superior del eje horizontal.

W3 : limite inferior del eje vertical.

W4 : límite superior del eje vertical.

W5 : intervalo entre marcas rotuladas, en el eje horizontal.

W6 : intervalo entre marcas rotuladas, en el eje vertical.

W7 : intervalo entre marcas no rotuladas, en el eje horizontal.

W8 : intervalo entre marcas no rotuladas, en el eje vertical.

El diagrama de flujo de este programa se presenta en la figura 4-11.

Programa: "OOAGUIRRE/SALIDAZ11 .-

Este programa permite listar todos los resultados obtenidos en los

programas anteriores.

Se inicia el programa con un índice de "'as opciones del listado, que

es el siguiente:

1.- Listado de datos del sistema.

2.- Listado de funciones de transferencia.

3.- Listado de ceros y polos.

4.- Listado de valores propios dé L(s).

163

5.- Listado de valores de s y de ganancias.

6.- Fin del listado.

SI se escoge la opción 1, se tendrá en la pantalla un listado de tp_

dos los datos del sistema que fueron Ingresados en el programa

"fSJOAGUIRRE/ENTRADA". SI se quiere la opción 2, se obtiene un lis-

tado de las funciones de transferencia calculadas en el programa -

"íSOAGUIRRE/FUMCIONMT". SI la opción 3 es escogida, se obtiene un

listado de los ceros y polos de todos los elementos de H_(s),_G_(s) y

K_(s), calculados en el programa "íS>OAGUIRRE/FUNCIONMT". SI se ha e_s_

cogido la opción 4, se tendrá un listado de todos los valores pro-

pios de_L(s), calculados en el programa "6>OAGUIRRE/CALCUL02". Si

se escoge la opción 5, se tiene un listado de los valores de s ver-

sus sus correspondientes ganancias, cosa que será muy útil para ana_

Tizar el lugar geométrico de las raíces. Todas estas opciones tie-

nen la posibilidad de sacar el listado en papel también.

Si se escoge la opción 6 de fin de listado, se hace una pregunta al

usuario: "Desea borrar algún archivo?"; si el usuario decide que sí,

se borra el archivo deseado, y si no, se regresa al programa maes-

tro. Esto último puede servir cuando ya no se desea tener en archj^

yo los datos o resultados de algún sistema analizado anteriormente.

El diagrama de flujo para este programa se presenta en la figura 4.12.

164INICIO

En pantalla:

lf- Listado de datos del sistema

2.- Listado de funciones de transferencia

3.- Listado de ceros y polos del sistema

4.- Listado de valores nropios de_L(s)

5. - Listado de valores de s y de ganancias

6.- Fin del listado.

Escoja opción (ingrese K9)

SI

Mostrar en pantalla las

funciones de transferencia

SI

Impresión en papel

SI

Mostrar en pantalla los da

tos del sistema

NO

Impresión en papel

Fig. 4-12: Diagrama de flujo del programa "f6)OAGUIRRE/SALIDA2".

165

SI

Mostrar en pantalla los

valores propios de L.(s)

SI,

Impresión en papel

NO

NO

SI

Mostrar en pantalla los ce-

ros y polos del sistema

SI•

Impresión en papel

SI

Listado de valores de s yde ganancias, en pantalla

SI

Impresión en papel

Fig. 4-12: (Continuación)

166

*

Ingrese nombre

del archivo

Borrar el archivo

Transferir el control al programa maestro

para que muestre el listado de programas del

Lugar Geométrico de las Raices.

Fig. 4-12: (continuación).

CAPITULO V

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

Y RESULTADOS

EJEMPLOS DE APLICACIÓN Y RESULTADOS

En el presente capítulo se presentan 6 ejemplos implementados en el

computador y analizados mediante los programas del Criterio de Estabj_

lidad de Nyquist y del Método del Lugar Geométrico de las Rafees.

Los dos primeros ejemplos presentados son teóricos, es decirqueno ti_e

nen ninguna representación de algún sistema físico, pero que se los

ha incluido en este capítulo debido a que sirven para interpretar e i_•\r la utilización de los programas.

El ejemplo 3 es un sistema univariable (una entrada y una salida), que

se lo ha incluido aquí para comprobar que los programas sirven tanto

para sistemas multivariables, como univariables, ya que los métodos _u_

tilizados son una generalización de las técnicas clásicas de control.

El ejemplo 4 es un modelo de un Reactor Químico, al cual se lo anali-

za sin compensador y con él, mediante el Criterio de Nyquist Generalj_

zado, para observar el efecto que produce el compensador sobre la es-

tabilidad de la planta.

El ejemplo 5 es un modelo lineal de un misil, al cual se lo analiza -

también sin controlador y con él, para observar el efecto de éste so-

bre la estabilidad relativa del sistema.

Por último, el ejemplo 6 es el modelo de una aeronave autopiloteada,.

donde se hace el análisis de la estabilidad por medio del criterio de

Nyquist y del Lugar de Raíces.

168

Como se observa, se ha querido mostrar la utilidad que puede ofrecer

la presente tesis, en el análisis de los sistemas multivariables y u-

nivariables compensados .o no compensados y en la ventaja de obtener re

sultados en forma gráfica.

Ejemplo No.l

Este primer ejemplo es un sistema teórico, sin representación física

alguna, pero que sirve para ilustrar el uso que puede darse a los pro-•\, así como también para poder explicar en forma clara la inter-

pretación que debe darse a los resultados obtenidos.

El sistema a considerarse se representa en la figura 5-1.

•Y(s)

Fig. 5-1: Sistema del ejemplo 1.

Los datos correspondientes a cada uno de los bloques de la Fig. 5-1 y

también los resultados obtenidos por medio de los programas constan en

las páginas siguientes. Este es un sistema con real imantación unita-

169

!:•! £ C U E L M K O L I TE C N.:! C A M A CIO N A Li:: A C U L. í A D 9 E IN G E N í E R [ A E L E! C T R1C AO '••".. i:-' Ai:;: f A :•••'• i: N V O O E ;:ü!... E C T F: ÚNICA Y C O N T R Ü LA:-;' E A O E C O N T R O L. Y £ .t B T E MASy •:: s í s L> ;ü: 3 R A D o o M A R A L E j A N o R o A c? u i R R E BERRÁN o

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS MULTIVARIABLES

N O n B R E:! i J E L F1 R O B L E M A t £ J E M I"1 L O I

DATOS DEL SISTEMA?

SISTEMA REPRESENTADO ROR FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Í;;QEF> DEL NUMERADOR DEL FACTOR COMÚN <orden descend, de. pot»

CQEF, DEL DENOMINADOR DEL FACTOR COMÚN (orden descsnd* de pot, ) í

COEF, DEL DENOM+ DEL ELEMENTO G (« ) (1 ? 1) (orden descend* de p

CÜEF* DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO G ( B) (:!. y 2) (orden descend* de pot*)t

COE1-+ DEL DENOM» DEL ELEMENTO Gís)(lp2) (arden cíescend* de pot * ) ?

170

t!; Ü b F * D E L. N U H E R A I' O R D E!... E L. E n E N T O G < *H ) (2 :• 1 "' < o r d e n deseo? n d > de? P o t

CÜ£F > DEL DENÜM* DEL ELEHEN 1 O G t s ) (2 y i ) (orden descend* de pc?t» ) S

;DEÍ" v DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO G(s) (2? 2) (orden descendí, de pot > >

CÜEF* DEL DENQM* DEL ELEMENTO G(s)<2?2) (orden desceño> de pot > > í

K í s > ™ 1 * # I

D O N EI E I 1'-~ ¡TÍ £ t r i z j. d e r'i t- i d s d d e o r c e n 2 í í 2

DATOS DE M(s> í

LISTADO DE CEROS Y POLOS DEL SISTEMA

CEROS Y POLOS DE G<s)i

POLOS DEL FACTOR COMÚN:

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

-1,0000 0*0000-2*0000 0*0000

CEROS DEL ELEMENTO G(sH1?1>í

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

1*0000 • 0*0000

171

CEROS DEL ELEMENTO G<sM1?2)i

PARTE REAL PARTE- IMAGINARIA

0,0000 0,0000

CEROS IiEL ELEMENTO G(s)(2?2)í

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

2,0000 0*0000

PUNTOS DE CORTE DE LOS LUGARES CARACTERÍSTICOS

DE L(s) CON EL EJE REAL

s= -0,800009

s= 0,531349

s= 0+001786

s= -0,399958

s= -0,001067

LISTADO DE VALORES PROPIOS DE Lis

FRECUENCIA:

0,0010000,0011230,0012620,0014170,0015920,0017890,0020090,002257*0,0025350,0023480,0031990,0035940,0040370*0045350,0050940,0057220,0064280,0072210,008111

CONTORNO No, I4,

VALORES PROPIOSÍ

PARTE REAL: PARTE IMAGINARIA

0,8000090,8000110,8000140,8000180,8000220,8000280,8000350,8000450,8000560,800071•0 + 8000900,8001130,8001430,300180•0,8002270,800286•0,8003600,800453

0,0040000,0044930,0050470,0056690,0063680+C071540,0080360,0090260,0101390,0113890,0127920,0143680,0161380,0181250,0203560,0228600,0256710,028825

-0,800569 0,03236;

CONTORNO No172

FRECUENCIA:

0,0010000*001123O-,0012620,0014170*0015920*0017890*0020090,0022570*0025350*0028480*0031990*0035940*0040370*0045350*0050940,0057220*0064280*0072210,0081110*0091120*010235

VALORES PROPIOS

PARTE REAL: PARTE IMAGINARIA-*

0*0,0,0*0*0*0*0*0*0*0,0*0 ,0,0*0*0*0,0*0*0*

3v9Vütí399985399981399976399969399961399951399938¿99922

399902399876399844399803399752 '399688399606399504399375399214399011398757

— 0 *— u ,-0 +-0,— 0 *-0*-0,™ 0 4

-0*™ f"Sw t

{•;V t

— Q *0 *-0,— 0 *-0,-0,-0*— Ü -i

— u *— 0 -,

001400001572001766001984002229002503002812003158003547003984004474005024005642006335007112007983008959010052011275012642014169

LISTADO DE VALORES PROPIOS DE L(s>

HOJA No* li

FRECUENCIA:

-3*000000-2*949495-2*898990-2*848485-2*797980-2*747475-2*696970-2,646465-2*595960-2*545455-2*494949-2*444444-2*393939-2*343434•2 , 292929-2 * 242424-2*191919-2,141414-2*090909-2*040404-1*989899-1*939394-1*888889

VALORES'PROPIOSt

PARTE REAL: PARTE IMAGINARIA:

-3*508801-3*753955-4*029801-4*342089-4*698055-5*106932-5*580677-6*135043-6*791199-7*578248-8*537295-9*728293-11 *242148-13*223540-15,917329-19*773024-25*714212__-7S Opcr-ro-I

•_• \ + /Q-_Ji_>7-í.

-57*821726-134*642263553*55540996*77422455*017780

0*0000000*0000000,0000000*0000000*0000000 * 0000000,0000000,0000000*0000000,0000000*0000000*0000000*0000000*0000000,0000000*0000000,0000000*0000000*0000000*0000000*0000000*0000000*000000

173HOJA No

FRECUENCIA;

-3*000000-2,949495•2*898990-2*848485-2*797980-2*747475-2*690970-2,646405-2*595960-2*545455-2*494949-2*444444-2*393939-2*343434-2 * 292929-2 *242424-2*191919-2*141414-2*090909-2*040404-1*989899-1 * 939394-1 * 888889-1*838384

VALORES PROPIOS

PARTE REAL*

.091199

.092103093029093977094948.095943.096963,098009099082100184.101315

0*1024770*1036710*1048990*106163107463108803110184111607113076114593116160117730119456

O •~ A

""O-o.O -

—o.

-o.-O-

PARTE IMAGINARIA?

000000000000000000000000OOOÜOO000000.000000000000000000000000000000.000000.000000000000.000000.000000.000000.000000.000000000000.000000000000.000000

0*000000

MALORES DE s Y DE GANANCIAS

HOJA No* i;

FRECUENCIA;

™3*0000-2*9495-2*8990-2*8485-2*7980-2*7475-2*6970-2*6465-2*5960-2*5455~2 t 4949-2*4444-2*3939-2*3434-2 * 2929-2 *2424-2*1919-2*1414-2*0909-2*0404-0*9798-0*9293

GANANCIA;

0*28500*26640*24820*23030*21290*19580*17920*16300*14720*13200*11710*10280*08900*07560*06280*05060*03890*02780*01730*00740*00520*0195

-0*3788-0*3233-0*7773~0 + 7273-0*6768-0*6263-0,5758-0*5253-0*4747-0*4242-0*3737~0 + 3232-0+2727— O * 2222-0+1717-0+1212-0+0707-0+02020+0303

0*03590*05450*07550*09920*12570+15550+18880*22620+26810+3154O + 36870*42950+49910*57990*67530+79080+93701+13871+5107

174

GANANCIA CRITICAD Í500

HOJA No»

FRECUENCIA:

-3+0000-2 +'9495-2+8990-2+8485-2*7980-2+7475-2+6970-2+6465-2*5960-2+5455-2+4949-2+4444-2+3939-2+3434~2 + 2929-2*2424-2+1919-2*1414-2+0909-2+0404-1+9899-1*9394-1+8889-1+8384-1+7879-1*7374-1+6869-1+6364-1+5859-1 * 5354-1+4348-1*4343-1+3838„ 1 T~r"3íTr

J. t \ O %_; •_•

-1*2828-1+2323

GANANCIA:

10+965010*857410*749310+640910*532110*422910+313210+203210+09269+98179+87029+75839*64599*53309+41959*30559+19099+07578+96008*84368+72658+60888+49048 + 37133+25138+13068+00917+88687+76357*63937,51417 * 38787+26057+13207*00236+8714

175

-1+1818_. -I H T H T

-L t J. W J. 1_>

-1,0308-1,0303-0+9798-0,9293-0,8788-0,8283-0+7778-0,7273-0,6768-0,6263-0,5758-0+5253-0,4747-0,4242,. _, _ _j, _U * o / ¿ //\T o "7 O^ t j .0ji.

-0,2727~"U t ji.jL.jL.ji.

-0+1717-0,1212-0,0707-0,02020+0303

0,73906,00536,47006,33306,19436,05375,91105,76625,61895,46905,31625,16025*00064,83704,66874,49534,31564,12363,93273,72573,50403+26222,98982,66132,1635

GANANCIA CRITICA* ,,5000

176

ría y con un control ador de ganancia k. Es decir:

G.a(s) = k G_(s)

El polinomio polo para G (s) es:

pGl(s) =

Los polos de £:(s) son:

s2 = -2

El polinomio polo de G_2(s) es:

PG 2 (s ) = 1

El número total de polos de G^s) y G2(s) en el semiplano derecho es:

p = O

Por lo tanto, el sistema será estable en lazo cerrado si los lugares

característicos de L_(s) no rodean ni una sola vez al punto crítico, en

el plano complejo, según dice el Criterio de Estabilidad de Nyquist -

General izado.

En la figura 5-2 se puede observar los lugares característicos de Us)

para k=l, de este sistema.

177

EJEMPLO

Fig. 5-2: Lugares característicos de J__(s) del ejemplo 1.

Tomando el punto critico como (- -j-, 0), las siguientes condiciones de

estabilidad son obtenidas:

1) Para -=»<- -r- <- 0.8, los lugares característicos no rodean al punto

crítico y, por lo tanto, el sistema es estable para O _< k<1.25.

2) Para -0.8 _<- -|7j£-0.4, los lugares característicos rodean una so-

la vez al punto crítico, y por lo tanto, el sistema es inestable en

lazo cerrado para 1.25 _< k _< 2.5.

3) Para -0.4 _< - -r-_< O, la suma de rodeos de los lugares característi_

eos al punto crítico es cero. Por lo tanto, el sistema es estable

en lazo cerrado para 2.5 <.k<°°.

178

4) Para O _< - -r- 0.531, el numero de rodeos al punto critico por los

lugares característicos es 2; por lo tanto, el sistema es inesta-

ble para -°°<k _< -1.883.

5) Para 0.531 _< - -r-<009 1°s lugares característicos no rodean al punto

crítico y el sistema es estable en lazo cerrado para -1.883<_k<0.

Nótese que las condiciones 4) y 5) corresponden a real imantación posj_

tf va.i

Las dos hojas de la superficie Riemann correspondientes a L_(s) semue£

tran en las figuras 5-3 y 5-4.

EJEMPLO 11

1 -S

1

0.S

-2.5 -Z -1.5 -1 -8.5 S

-a. s

0000= Lugar- cj« Rafe** _|»**»- CortoX= Polo

-1.5

-

-

-

Kc= 1 .2508

Q.S 1 1.5

-

-

HOJA No. 1

Fig. 5-3: Hoja No.l de la Superficie Riemann de L(s)

179

EJEMPLO 1

J

1,5

0.5

-2.5 -2 -!.S -1 -0.5 C

-a. s

DOOO= Lugor d* Rafe»» _|»***•— Cort*X= Palo

-; .5

-

.Kc= 2.S008

0.5 1 1.5

-

-

HOJA No. Z

Fig. 5-4: Hoja No.2 de la Superficie Riemann de L(s).

Puede verse que existen 2 ramas de'l lugar de raices para este sistema:

la una rama comienza en el polo -2 de la hoja No.l y se mueve hacia el

Infinito, incrementando la ganancia k. La segunda rama parte del po-

lo -1 en la hoja No.l, se mueve hacia el semipleno-derecho, implican-

do inestabilidad, pasa a través de un punto de ramificación a la ho_

ja No.2, todavía implicando inestabilidad y luego se mueve al semipl_a_

no izquierdo y al infinito, en la hoja No.2. Los cruces con el eje

imaginario hacia el semiplano derecho en la hoja No.l y fuera del s_e_

miplano derecho en la hoja No.2 se dan para k=1.25 y k=2.5, respecti-

vamente. Por lo tanto, el sistema es inestable en lazo cerrado para

1,25 je k <_ 2.5, la cual es la misma condición que se obtuvo a partir

de los lugares característicos de L(s), con k=l.

180

Como se puede observar de este ejemplo, los resultados de estabilidad

coinciden exactamente entre los dos métodos de análisis. Ahora, para

comprobar que realmente se cumplen las condiciones de estabilidad en-

contradas, se puede calcular la matriz función de transferencia de l_a_

zo cerrado del sistema, la cual es:

GC(S) = [jj-k Gis)]"1, k G,(s)

El polinomio polo de esta función de transferencia es:

pG (s) - 1.5625 sH (9.375 + 2 .5k ) s3+(20.3125 + 3.75 k +k2) s2 +

+ (18.75 - 6.25k + 3k2) s+(6.25 - 7.5k + 2 k 2 ) .

Si se dan valores a k dentro de los intervalos de estabilidad encon-

trados antes, se t iene:

1) Para k=0.5: los polos de lazo cerrado del sistema son:

S J L = -0.272

s2 = -1

s3 = -2

s 4 = -3.528

Por lo tanto, el sistema es estable porque todos sus polos están ubi-

cados en el semiplano izquierdo.

2) Para k=2: los polos del sistema son:

si = 0.038

181

s2 = -1

53 = -2

SH = -6.238

Entonces, el sistema es Inestable en lazo cerrado debido a que tiene

un polo en el semiplano derecho.

3) Para k=3: los polos del sistema en lazo cerrado son:

s 1 = -0.072

2 ™ "™

s 3 = - 2

54 = -7.728

El sistema es estable ya que todos sus polos están ubicados en el semj_

plano izquierdo.

4) Para k=-2: los polos de lazo cerrado del sistema son:

S l = -ii

52 = 0.1 + J3.058

5 3 = 0.1 - J3.058

s, = -2

Y el sistema es inestable porque tiene dos polos en el semiplano de_

recho.

5) Para k= -1: los polos del sistema son:

Sl = -1

182

S 2 = -0.7 + J2.133

s 3 = -0.7 - J2.133

s* = -2

Por lo tanto, el sistema es estable en lazo cerrado ya que tiene to-

dos sus polos en el semiplano izquierdo.

Si se comparan los intervalos de es tabi l idad obtenidos a part ir de los

lugares característicos de L_(s) con los valores dados a k, se puede1

comprobar que realmente se cumplen las condiciones de estabilidad del

sistema, encontradas por medio del Criterio de Nyquist Generalizado y

por el Lugar de Raices.

Mediante este ejemplo se ha querido dar el método de análisis que de-

be seguirse para investigar la estabilidad de cualquier sistema multi_

variable. Como puede verse, el análisis se lo puede hacer con un só-

lo de los métodos, pero aquí se han desarrollado los dos para compro-

bar la consistencia y coincidencia de los resultados obtenidos por ajn

bos métodos.

Ejemplo No.2

Este ejemplo también es puramente teórico y no tiene necesariamente re_

presentación en el campo físico, pero sirve para ilustrar e interpre-

tar los resultados obtenidos por medio de los programas.

Se considera un sistema de grado 3, con realimentación unitaria y con

183

un controlador de ganancia escalar k. La representación de este sis-

tema se encuentra en la figura 5-5.

•Y(s)

Fig. 5-5: Sistema de grado 3.

Los datos del sistema y todos los resultados'Obtenidos por medio de

los programas se encuentran en las próximas páginas.

En este caso:

ii(s) = k G.(s)

S2(s) = I

El polinomio polo de G^s) es:

Los polos de G i(s) son:

Sl = -1

s2 = -1

184

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL'-HCULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICADEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA Y CONTROL.^REft DE CONTROL Y SISTEMASTESIS DE GRADO —• ÜMflR ALEJANDRO AGUIRRE SERRANO

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS MULT1VARIABL

NOMBRE DEL PROBLEMAS EJEMPLO

DATOS DEL SISTEMA?

m

SISTEMA REPRESENTADO POR FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

COEF + DEL NUMERADOR DEL FACTOR COMÚN (arden descend* de p a t » > ?

C O EF * D E1... D E N O MIN A U O R D E!... F A C T O R C O H U N ( o r d e n d e s c E- n a * d e p o t

ELEMENTOS DE LA MATRIZ Gis)5

C O E F + D E1... N U M E R A D O R D E L E L E M E N T O G C s ) (1 ? 1) ( o r d e n d e s c e n d * d » p o t * ) í

COEF* DEL DENOM* DEL ELEMENTO G í s) (1 ? i ) (orden descend* de po't«)í

•iC O E F * D E L N U M E R A D O R D E!_. E L E M E N T O ÍB ( s H 1 ? 2 > ( o r d e n d e s c e n d , de p o t * ) t

COEF* DEL DENOM* DEL ELEMENTO B (s) (19 2) (orden cioscend, de pot,)í

185

C Ü E F > S E L N U M E R A Ii Q R D E L E L E MENTÓ G (in) (1 ? 3 ) (arde- n d e s c e n d * de r-- o t * ) *

CQEF* DEL DENOM* DEL ELEMENTO G(s)CU3) (orden descend* de pot*>i

COEF + DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO G(s)(2?l) (orden deseend* de po t * > i

COEF» DEL DENGM* DEL ELEMENTO G<sM2?l> (orden descend* de pot*}

C D E F * D E L N U M E R A D O R P E L E L E M E N T O G (s) ( 2 ? 2 > (o r d e n ci e s c e n d » de p o t * ) í

COEF» DEL DENOM* DEL ELEMENTO G(s)C2i>2) (orden descend* de pot, ) t

C O E F * D E L N U M E R A D Q R D E L E L E M E N T Q G ( s) (2 y 3) ( o r- d e n d e? s c e n d » de p a t * > í

COEF* DEL. DENOM* DEL ELEMENTO í3Cs)(2?3> (orden desceña* de pot+)?

QOEF* HEL NUMERADOR DEL ELEMENTO G(s)(3:'l) (orden descend» de pot» ) *

CDEF+ DEL DENOM* DEL ELEMENTO GCsH3rl) (orden descend* de Pdt+)í

186

COEF» DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO G(s)(3?2) (orden dsscend* de pot. >

COEF, DEL DENÜh* DEL ELEMENTO G(sH3?2) (orden descend* de pot» ) í

CQEF + DEL DENÜM* DEL ELEMENTO G(s>(3?3> (orden descend* de pot» ) í

DATOS DE K<«)?

EI O N EI E \: i'íi a "t r i z i d e n t- i ci a d d e Q r d e n 3 x 3

DATOS DE H(s)?

D Q N EI E ¿ I = m 3 t r i z :L d e n t i d s d d e o r d e n 3 x 3

LISTADO DE CEROS Y POLOS DEL SISTEMA

CEROS Y POLOS DE BCs)í

POLOS DEL FACTOR COMÚN:

'ARTE REAL PARTE IMAGINARIA

-1*0000 O *0000-1 * 0000 . 0*0000

CEROS DEL ELEMENTO Gís>(1?1)í

'ARTE REAL PARTE IMAGINARIA

-3*0000 0*0000

187

CEROS DEL ELEMENTO G •! s ) (1 ? 2 ) ?

PARTE: REAL PARTE IMAGINARIA

-2*0000 o»oooot/

CEROS DEL ELEMENTO G(s)(2?l>í

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

3.0000 0.0000

CEROS DEL ELEMENTO G(s)(3í2>i

F1 A R T E R E A L P A R T E IM A G1N A RIAJe

• -2*0000 0,0000

CEROS DEL ELEMENTO Gís)C3?3)í

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

-1vOOOO O*0000

VALORES PROPIOS*

PARTE REALÍ PARTE IMAGINARIA

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HOJA No

FREGUÉ

PARTE REAU

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yALOREi

PARTE REAL!

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F'ROPIOSÍ

PARTE IMAGINARIA

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192

HOJA No*

FRECUENCIA:

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-I,262626-1,161616-1,0606060,0505050,1515150,2525250,3535350,454545

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194

El polinomio polo de _G_2(s) es:

= 1

El numero de polos de G_i(s) y G2(s) en el semiplano derecho es cero;

por lo tanto, el sistema es estable en lazo cerrado si los lugares ca_

racterísticos de J__(s) no rodean ni una sola vez al punto crítico, se-

gún el enunciado del Criterio de Nyquist Generalizado.

Los lugares característicos de J__(s) para k=l se muestran en la figura

5-6.

EJEMPLO

Fig. 5-6: Lugares característicos de L(s).

195

Si se toma al punto crítico como ( - -r- , 0), se pueden deducir las

"siguientes condiciones de estabilidad de lazo cerrado:

1) Para -<»<- -,-_< -0.3525: los lugares característicos no rodean al

punto crítico; por lo tanto, el sistema es estable en lazo cerra-

do para 0<k _< 2.8363.

2) Para -0.3525 j; - -r- _< 0: los lugares característicos rodean 2 veces

al punto crítico y por esto el sistema es inestable en lazo cerra-\, para 2.8363 _< k <+<*>.

i

3) Para O _< - -r-_< 1; l°s lugares característicos rodean 2 veces al pun_

to crítico. Por lo tanto, el sistema es ines table en lazo cerrado

para -«x k _< -1.

4) Para 1< - -r- <-feo: el punto crítico no es rodeado por los lugares ca^

racterísticos y el sistema es estable en lazo cerrado, para

-1 _< k <. 0.

En las f iguras 5-7, 5-8 y 5-9 se pueden observar las hojas de la super_

f icie Riemann p a r a _ L ( s ) , donde constan los lugares de raíces de este

sistema.

EJEMPLO

I , I

-4 -3 -2 -1

8

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4

2

—2

-4

-6

-8

i , i_

ÜOOO» Lugar d« Rale**t»»M»- Cor I»X- Polo

196

HOJA No. 1

Fig. 5-7: Superficie Riemann para L(s). Hoja No.l.

EJEMPLO

-4 -3 -2 -1 (i

0000=» Lugar d« Ra1c«*MW*~ Cort«X= Polo

HOJA No. 2

Fig. 5-8: Superficie Riemann para L(s). Hoja No.2.

197

EJEMPLO

8 -

-2

~4

-6

-8

0000= Lugar cU Rafe***»»»— Coi-l»X=> Polo

HOJA No. 3

Fig. 5-9: Superficie Riemann para Ljs). Hoja No.3.

Como el sistema es de grado 3, se tienen 3 contornos cerrados de los

lugares característicos de L(s) y también 3 hojas de la superficie -

Riemann correspondiente a Us).

Observando la Fig. 5-7, en la hoja No.l no existen ramas del lugar geo_

métrico de las raíces, tan sólo hay un punto y no se puede obtener nin_

guna información útil de esta hoja.

En la hoja No.2, existe una rama del lugar de raíces, la cual parte

del polo -1, con ganancia O y se dirige al infinito conforme aumenta

la ganancia, estando todo el lugar de raíces en el semiplano izquier^

do, en esta hoja.

198

En la hoja No.33 una rama sale del polo -1 cuando k=0 y se dirige al

-oo conforme aumenta la ganancia k. Otra rama sale del origen de coo_r

denadas con una alta ganancia, la cual va disminuyendo conforme se a_

cerca a un punto de separación del eje real , que se encuentra aproxi-

madamente en el punto 0.8 y desde este punto empieza a aumentar la ga_

nancia conforme la rama del lugar de raíces va hacia el +™.

Como se desprende del análisis de estabilidad en base a los lugares

•característicos de Us), para k positivo, existe solo un pequeño mar-•\n de estabilidad del sistema (O _< k 2.8363) y es por esto que una

de las ramas del lugar geométrico de las rafees de la hoja No.3 se en_

cuentra totalmente en el senriplano derecho, para todo valor de k ma-

yor a 2.8363, aunque este ultimo valor no está determinado exactamen-

te en esta hoja.

En este ejemplo se puede analizar el caso cuando el lugar geométrico

de las raíces no esta solamente en el eje real, como es el caso del _§_

jemplo 1, sino que también existen puntos de separación del eje, como

en el caso univariable. Estos puntos de separación del eje peal se

pueden determinar analizando el listado de los valores de s versus la

ganancia, que se obtiene al final de los programas del Lugar de Raí-

ces. Por último, este ejemplo ha servido para verificar que existen

tantos lugares característicos y hojas de la superficie Riemann como

sea el grado del sistema.

199

Ejemplo No.3

Este ejemplo es el caso de un sistema univariable (una entrada y una

salida), que ha sido incluido en este capítulo para comprobar que los

métodos de estabilidad presentados en esta tesis así como los algori_t_

mos computacionales usados no son más que una generalización de aque-

llos métodos de estabilidad conocidos para el caso univariable, como

son: el criterio de estabilidad de Nyquist y el Lugar Geométrico de

las Raíces.

Lo que se pretende con este ejenplo es construir el diagrama de Nyquist

y el Lugar de Raíces para el sistema univariable, pero usando los .nié-

todos generalizados para el caso muítivariable.

El sistema considerado se presenta en la figura 5-10.

Y(s)

Fig. 5-10: Sistema Univariable.

200

Los datos del sistema, así como los resultados obtenidos en el análi-

sis por computador se muestran en las próximas páginas.

En este caso:

G.ÍÍS) = k _G(s)

Es. decir, que se trata de un sistema con real imantación unitariay con

üYi controlador que no es más que una ganancia escalar k.

El polinomio polo de G s) es:

Los polos de G (s) son:

Sl = -1-

s2 = -2

El polinomio polo de G¿(s) es:

Entonces, el número de polos de_Gj-(s) y G (s) que están en el semipla_

no derecho es cero. Por lo tanto, el sistema será estable en lazo ce_

rrado si los lugares característicos dé L_(s) no rodean al punto críti_

co, según lo que dice el Criterio de Nyquist Generalizado.

En la figura 5-11 se muestran los lugares característicos -de \L_Cs) pa-

ra k=l, de este sistema.

201

C U E!. A P O LI "T E C NIC ft N ñ CI O N A L' A D "O E IN O E N1 E! i:;.: J. A EL E C T RICA'AMENTO £c ELECTRÓNICA Y CONTROL

::!A 'E C OH I ROL Y SISTEMAS:3 J! S A." E b R A D 0 - -~ O MAR A !... i::! J A N D R O A G U I R S:;; ES E R R A N O

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS MÜLTIMARIABLE

NOMBRE DEL PROBLEMAS SISTEMA UNÍVARIABLE

DATOS DEL SISTEMAS

SISTEMA REPRESENTADO ROR FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

ELEMENTOS DE LA MATRIZ-Bis)í

COEF» DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO B (s >( 1 v 1) (orcian descencí» ci

CÜEF» DEL DENOM* DEL ELEMENTO G < s ) (1 ¡- i ) (orden descend* de pot

DATOS DE K(s)?

CEROS Y POLOS DE GCs}J

POLÜS DEL ELEMENTO G<s)(171>i

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

-1,0000-2.0000

0*00000*0000

202

PUNTOS' DE CORTE DE LOS LUGARES CARACTERÍSTICOS

DE L(s) CON EL EJE REAL.

LISTADO DE VALORES RRORIOS DE Lis)

CONTORNO No* 1í

FRECUENCIA!

0*0010000,0011230*0012620*0014170,0015920.0017890*002009O *0022570*0025350*0028480*00319?O * 0035940*0040370*0045350*0050940*0057220*0064230*0072210*0081110*0091120*0102350*0114980*0129150*0145080*0162980*0133070*0205050*023101O * O12 5 9 5 O0*0291510*032745O* 036784O »0413200*0464160*052140

VALORES PROPIOS*

PARTE REAL:

-1*499997-1*499997-1*499996-1*499995-1 * 499993-1*499992-1*499989-1 * 499987-1 * 499983-1*499979-1*499973-•1 * 499966-1,499957-1,499946-1*499932-1*499914-1*499892-1 * 499863-1 * 499827-1,499782-1t499725-I * 499653-1 * 499562-1*499448-1 * 499303-1*499121-1 * 498890-1*498600-1*498234-1 ,497771-1 * 497189-1 * 496454-1,495527-1*494358-1,492835

PARTE IMAGINARIA,

0*0022500,002527O * 002839O . ñ 0* 1 £:c;'-_• * w •_' •_' J. '_' /

O * 0035830*0040240*0045210,005078O * 0057050*0064 O80*007198O,0080860*0090830*0102030*0114610*0128750*0144620*0162460*0182490*020499O * 0230260*025865O * 029054O * 0326350*0366570*0411740*0462470*051943O * 0583390*0*55190*0735790*0826 240,0927720*1041550*116918

203

LIS V A D O D E ',J A L. O R E 8 P R Ü PI Ü S .Ü E L { •£ >

Í-KI::.

i-'ARTE REAL*

-5*000000__.í¿ . 39Q990- 4 . 7 9 7 9 q o

— & * 696970-4, ;S9S060-4» 494 9 49-*4, 393939-4,292929-4* 191919-4*X)90909..„".?, A C'CiQp^yCJ

-3 > 88888-'•••• 3 > 7 S 7 8 7 9-3*686869-3*585859-3*484848-3,383838-3*282828-3.181818-3.080808— 2 '. 9 7 9 '7 9 8— 2 > 378788

FRE

PARTE REAL?

-•5,000000-4 * 898990-••4,797980-4,696970-4,595960-4 ,494949-4*393939--4*292929™4* lc>1 *1 9-4,090909-3 > 989899-3 . 888 889-3 ,787879-3» 686869-3 > 585859— 3 * 484848__ — , "' p!; "3f O '7 O^.j * i./ C.' w O •—• '

HOJA

:CUENCIAS

PAR f'L IttAülNAKift

• 0 t 0000000 * 0000000,0000000* 0000000*0000000,0000000» 0000000,0000000+000000Oí 0000000*0000000 > 0000000,0000000,000000 '0 * 0000000*0000000*0000000,0000000*0000000 + 00 0 0 0 00*0000000*000000

VALORES PE s

HOJA

CUENCIAÍ

PARTE IMAGINARIA

0*0000000* 0000000,0000000,0000000,0000000,0000000,0000000,0000000*000 0 0 00,0000000, 0000000» 0000000*0000000*0000000*0000000*0000000+ 000000

NO, 1*

V A L U K h b !••' K U 1-' J. U b í

s PARTE REAL: PARTE IMAGINARIA

-0 * 2bOOOO-0,265413-0*282309- 0 , 3 0 0 8 8 4-0,321372-0*344048--0 * 369236-0,397327-0*428790-0 * 46 41 94-0*504236-0*549774- 0 * 6 0 1 8 7 9-0,661902-0*731563-0,813091-0 + 909409-1 * 024423-1* 163462•-1 ,333953-1,546550-1*817019

r DE GANANCIA

No * 1 1

*

C;

GANANCIA

4» 00003,76773*54223 : 32353,11172,90662* 7083*"¡ i:r -i .' r\ , ülüe?

2- > 33212*15431 +98321,81891,66151 * 51081 ,36691 ,22991,0996

V * UUUU'w'U

0 , 0 0 Ü 0 0 00 , 0 0 0 0 0 00 , 0 0 0 0 0 00 >0000000*0000000 > 0000000,0000000 , 0000000,0000000*0000000,0000000*0000000*0000000*0000000+0000000+0000000*0000000,0000000 * 0 0 0 0 0 00,0000000*000000

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205

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O •* O O O O Of 'O*000000C v 000000C * uO0000'! > 000000O •> 000000O* 000000O >000000O+0000000,000000O>0000000*0000000*0000000*0000000*000000

8*53878*88459»23729*59679,963010*336110*716011>102711 .496211*896512.303612*717513*1382J. 3 * 5 6 5 714,0000

GANANCIA CR;

206

SISTEMA UNIVARIABLE

Fig. 5-11: Lugares característicos de L(s).

Se puede observar que existe solamente un lugar característico de L_(s)

debido a que se trata de un sistema de grado 1.

Ahora, si se toma el punto crítico como (- T- s ^)s se obtienen las sj_

guientes condiciones de estabilidad, a partir de los Lugares Caracte-

rísticos de L(s):

1) Para -«>< - __< -i.b, los lugares característicos no rodean al pun-

to crítico; por lo tanto, el sistema es estable en lazo cerrado p

ra O £ k j< 0.667.

2) Para -1.5 <. - -r-^Q, los lugares característicos rodean una vez al

207

punto crítico: por lo tanto, el sistema es inestable en lazo cerra_

do para 0.667 < k «».

i3) Para O _< - -r- <co, los lugares característicos de L(s) no rodean al

punto crítico y el sistema es estable para -™ < k <_0.

El lugar geométrico de las raíces para este sistema se muestra en

la figura 5-12.

SISTEMA UNIVARIABLE

-3 -2 -1

Kc- 0.6667

0000" Lugar de Ra(c««it*i*»í= ContóX= Polo

HOJA No. 1

Fig. 5-12: Lugar geométrico de las raíces.

Lógicamente existe también una sola hoja de la superficie Riemann co-

rrespondiente a L_(s), la cual es simplemente el plano complejo s ya

que se trata de un sistema univariable.

208

Puede observarse en la figura 5-12 que una de las ramas del lugar de

raices comienza en el polo-2 y conforme aumenta la ganancia k, se va

hacia el infinito. La otra rama del lugar de raíces comienza en el po_

lo -1, avanza hacia el semiplano derecho, implicando inestabilidad, y

se va hacia el infinito al aumentar la ganancia k. El sistema se vue]_

ve inestable para k >_ 0.6667, que es el mismo resultado encontrado con

los lugares característicos dej_(s).

Como conclusión de este ejemplo se puede decir que de los diagramas -ipresentados se prueba la concordancia completa de los métodos genera-

lizados con aquellos para los casos univariables, ya que si se cons-

truye el diagrama de Nyquist y el Lugar Geométrico de las Raices pa-

ra este sistema, usando los métodos clásicos de construcción, descri-

tos en el capitulo II de esta tesis, se obtiene exactamente los mis-

mos resultados que se obtuvieron usando los métodos generalizados.

209

Ejemplo No.4*

El presente ejemplo pretende mostrar la Influencia del uso de un con-

trolador sobre la estabilidad absoluta de un sistema Inestable en la_

zo cerrado.

El sistema considerado primeramente-se lo representa en la Fig. 5-13.

Y(s)

Fig. 5-13: Sistema reactor químico.

La planta _G(s) es un modelo lineal de un sistema reactor químico, en

este caso no se usará el controlador y la realImentaclon es unitaria.

Estos datos y los resultados obtenidos en el análisis se pueden enco_n_

trar en las próximas páginas.

En este caso:

Gz(s) = I

Referencia 2

210

'::: 3 C < J E L M r' O LIT £ C NIC A N A O 1 ü NAL!:- A C u i... 'T' A D I* E IN b £ NIE RIA £!... £ >J T R1C A.«::• i-: P A R T A M E N T o o E £;... E c'r R o N .1: o A Y o o N T R ü L-VvEA DE CON ¡"ROL Y bIBTEnASÍESIS HE. OR^DO -•- QhAR ALEJANDRO AGUIRRE SERRANO

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS MULTIYARIABLES

NOMBRE DEL PROBLEMAí REACTOR QUÍMICO SIN COMPENSACIÓN

DATOS DEL SISTEMAS

DATOS DE Gis)í

SISTEMA REPRESENTADO POR FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

CQEF* DEL NUMERADOR DEL FACTOR COMÚN (orden descendí de pot*> I

COEFt DEL DENOMINADOR DEL FACTOR COMÚN (orden desceñe!, de pot* )

ELEMENTOS DE LA MATRIZ G(s)S

OEF* DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO GCs)(;L?l) (orden descend* de pot*)í

COEF + DEL DENOM , DEL ELEMENTO O (s ) í 1 ? :i.) (orden descend * de pot * ) t

COEFt DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO GCs)<l?2) (orden descend* de pot» ) S

COEF* DEL DENOM, DEL ELEMENTO G(s)(1?2) (orden descend* de p o t » > í

211 .

ÜE:::" * DEL. NUMERADOR DEL ELEMENTO 05 (r¿ ) '. 2 :• 1 '» (orden descend» de Í-Q

üliüF > ¿DEL DEHOn * DEL. ELEMENTO G(s)(2?l) (arden descend * de F'O't» )

COEF* DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO Q(s>(2?2) (orden dsscond* de

CQEF. \iEL DENOM* DEL ELEMENTO GCs)(2?2) (orden descend* de

DATOS DE K(s)í

KCs)" 1*#I

DONDE» I™ matriz identidad de orden 2x2

DATOS DE H<s)S

H<s)" lt*I

DONDE* I- matriz identidad de orden 2x2

LISTADO DE CEROS Y POLOS DEL SISTEMA

CEROS Y POLOS DE G(s)í

POLOS DEL FACTOR COMÚNí

PARTE REAL " PARTE IMAGINARIA

0*0032 0*00001*9914 0*0000-5*0544 0*0000-8>Ó702 0*0000

CEROS DEL ELEMENTO G($)U,1K

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

~9*0171 0*0000

212

CEROS DEL ELEMENTO G(s>(l?2>:

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

-0*4139 0,0000-4*3318 0*0000-5*0339 0*0000

CEROS DEL ELEMENTO G < 5 > ( 2 ? 1 > *

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

2*1558 0*0000-1*0071 0,0000-8*602.4 0*0000

CEROS DEL ELEMENTO Gís><2 ? 2 >*

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

-1*6066 0*0000

PUNTOS DE CORTE DE LOS LUGARES CARACTERÍSTICOS

DE LCs) CON EL EJE REAL

s= 50*097456

s= -0*682563

• s= -0*070007

s= 0*388357

s= 0*069994

LISTADO DE VALORES PROPIOS DE Lis)

• CONTORNO No* 1*

FRECUENCIA: VALORES PROPIOS:

PARTE REAL: PARTE IMAGINARIA:

0*001000 50*097456 0*8152630*001118 50*094242 0*9110350*001249 50*090228 1*0180410*001396 50*085216 1*1375940*001560 50*078959 1*271155.0*001743 50*071145 1*420354

213

0*0019480,002177002433002719003038003396003795004241004739005296005919006614007392008261009232

0,010317

50505050494949494949494949494948

* 061390,049213*034012+015041+991367+961831* 924992* 879057*821804+750479+661680+551210+413913*243475+032213*770825

1-5870061*7731231,9809612,2129922*4719752,7609503*0832683*4426003*8429594*2886924*7844795*3352955*9463586*6230267*3706478*194333

CONTORNO No*

FRECUENCIA; VALORES PROPIOS*

0*0010000*001118001249001396001560001743001948002177

002719003038003396003795

0*0042410*0047390*0052960059190066140073920082¿i0092520103^7011530012885014399.016092-017983.020097.022459.025099

PARTE REAL;

0*3883570*3883570*3883570*3883570*3883570*3883570*3883570*3883570*3883570*3883570*3883570*3883570*3883570*388357" "0*3883570*3883570*3883570*3883570*3883570*3883570*3883570*3883570*3883570*3883570*3883570*3883570*3883580*3883580*388359

PARTE IMAGINARIA:

0*0003050*0003410*0003810*0004260*0004760.0005320*0005950*0006650*0007430*0008300*0009280*0010370*0011590*0012950*0014470*0016170*0018080*0020200*0022570*0025230*0028190*0031500*0035200*0039340*0043960*0049120*0054890*006133Q.OCÓS520*007656

214

El polinomio polo de G_i(s) es:

(s) = s4 + 11.67 s3 + 15.75 s2 - 88.31 s + 5.514i

Los polos de G_i(s) son:

S! = 0.0632

s2 = 1.9914

s 3 = -5.0544

Slf = -8.6702

El polinomio polo de £2(s) es:

PG 2 (s) = 1

Entonces, el número de polos de G_i(s) y dé G_2(s) °iue están en el semi_

plano derecho es:

p = 2

Por lo tanto, según el criterio de Nyquist Generalizado, se tiene que:

el sistema será estable en lazo cerrado si los lugares característicos

de Us) rodean al punto (-1 + JO) dos veces en la dirección contraria

al movimiento de las manecillas del reloj.

En la figura 5-14 se encuentran los lugares característicos de _L_(s) y

en la figura 5-15 se encuentran los mismos lugares característicos pe_

ro ampliada la región del origen.

215

REACTOR QUÍMICO' SIN COMPENSACIÓN

Fig. 5-14: Lugares característicos de L(s)

REACTOR QUÍMICO SIN COMPENSACIÓN

Fig. 5-15: Lugares característicos en la región del origen.

216

De la observación de los lugares característicos de L_(s) se deduce que

el sistema es inestable en lazo cerrado porque éstos no rodean ni una

sola vez al punto (-1 + JO).

Ahora se verá el efecto del compensador sobre la estabilidad del sis-

tema:

Si se introduce un compensadoras), obtenido de la referencia menci_o_

na'da, cuyos datos y resultados obtenidos se encuentran en las proxi-%mas páginas, se tiene que:

G(s) = G_(s) x K.(s)

El p o l i n o m i o po lo de G _ i ( s ) es:

p G i ( s ) = s5 + 11.67 s4 + 15.75 s3 - 88.31 s2 + 5.514 s

Los polos de G _ i ( s ) son:

si = O

S2 = 0.0632

s3 = 1.9914

si* = -5.0544

ss = -8.6702

Es decir, que se mantiene la condic ión anterior de es tabi l idad de que

los lugares característicos de Us) deben rodear 2 veces al punto

(-1 + J O ) en sentido an t ihorar io , para que el sistema sea estable enlazo cerrado.

217

DATOS DE K(s> :

SISTEMA REPRESENTADO POR FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

ELEMENTOS DE LA MATRIZ KCsK

;OEF, DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO K(s><1?1> (orden descend, de pot+)í

GOEF.-DEL DENOM, DEL ELEMENTO K(s)(l?:L) (orden descend, de pot*)í

COEF* DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO K(s>CL?2> (orden descendv de pot,)t

1 0*9

COEF* DEL DENOM* DEL ELEMENTO K(s>(1?2> (orden desceño, de pot+)í

COEF* DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO K(sH2>l) (orden descend* de pot+)t

C(3EF+ DEL DENOM* DEL ELEMENTO K(s)(2?l) (orden desceña* de pot*)í

CQEF. DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO K(s)(2?2) (orden descend + de pot,)í

™0 t 3

COEF+ DEL DENOM, DEL ELEMENTO K(s)(2r2) (orden descend, de pot,M

218

CEROS Y POLOS DE K(s)I

CEROS DEL ELEMENTO K(s)(l?2)t

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

-0*9000 Cu 0000

POLOS DEL ELEMENTO K(s)íl?2>*

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

0*0000 0,0000

CEROS DEL ELEMENTO KCs)(2?l)J

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

-2*1000 0,0000

POLOS DEL ELEMENTO Kís)C2?l>:

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

0*0000 0*0000

POLOS DEL ELEMENTO KísM2y2>*

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

0*0000 0*0000

PUNTOS DE CORTE DE LOS LUGARES CARACTERÍSTICOS

DE Lis) CON EL EJE REAL

s= -4816*476632

s= -83*120431

s= 0*005098

s= 4704*150855

s -0*999316

s= -0,000746

219

LISTADO 'DE VALORES PROPIOS DE LCs)

FRECUENCIA i

CONTORNO No* li

VALORES PROPIOS,

PARTE REAL? PARTE IMAGINARI-A

0*0010000*001118001249001396001560001743001948002177002433

0*0027190*003038003396003795004241004739005296005919

0*0066140*007392

OOOOoo

4810,4766324315*7743193807,7332163466*8139753108*0597312787*0350562499*7706072242*7145452012*6883411806*3475111622*6464131457*8067331310*2892641178*2686341060,110653954*352010859*682062774*926473699*032520

3729*0416983333,7129422979*9415132663,3536712330*0353742126*4838911399,5644991696*4717211514*6946511351*9859071206*3338531075*937737959*185435854*633541760,989543677*095888601*915723534*520168474*076955

CONTORNO No*

FRECUENCIA VALORES PROPIOS

PARTE REAL:

0,0010000*0011180*0012490*0013960*0015600*001743001948002177

ooooooooooooooooo

,002719,003038,003396,003795•004241•004739•005296005919.006614,007392,008261

010011

170

, 150855,455445,422962,514486*773732,765733*522290',492331'* 498824,698739543486

¡* 772240

0,012385

47044203375533542995267423872130.19001694151013451198,3333931066,411918948*376901842*771444748,292211663,773882588*174807520,564203460*110697406*072088357,786171314*662436

PARTE IMAGINARIA

3784,4379623389,1108623035,3415012718*7562392435*4411622181*8936991954*9793211751,3927971570,1235231407,4244951261,7845451131*4034961014*669933910.141323816,526218732,668357657*532451590*191480529*815373475*000909427,062743383*425446344,216460308,959893

220

En las f iguras 5-16, 5-17 y 5-18 se presentan los lugares característj_

eos del sistema compensado.

REACTOR QUÍMICO CON COMPENSACIÓN

5-16 Lugares característicos de L(s)

REACTOR QUÍMICO CON COMPENSACIÓN

I.

-J25 -

Fig. 5-17: Lugares Característicos de L(s) en la reglón del origen

221

REACTOR QUÍMICO CON COMPENSACIÓN

Fig. 5-18: Lugares característicos de Us) en la región del origen

Si analizamos ahora los lugares característicos, veremos que el punto

crítico (-1+jO) queda rodeado dos veces, en sentido antihorario, con

lo que se concluye que el sistema es estable en lazo cerrado, con el

uso de este compensador.

Con esto se comprueba la influencia que puede tener un compensador en

la estabilidad de un sistema de lazo cerrado. Cabe -indicar que en es_

te ejemplo no se ha puesto mayor interés en la forma de diseñar el com_

pensador estudiado, ya que el interés real es probar la validez de los

programas mediante un ejemplo del que se conocen los resultados. Para

probar lo antedicho puede referirse a la referencia citada.

222

*Ejemplo No.5

El presente ejemplo servirá para observar la Influencia que tiene un

controlador sobre la estabilidad relativa de un sistema que es esta-

ble en lazo cerrado. El sistema a analizarse es un modelo de un mi-

sil autocomandado, que tiene una reallmentaclón unitaria y no tiene

controlador, en este primer análisis del problema. El sistema está re_

presentado en la Flg. 5-19.

-Y(s)

Flg. 5-19: Sistema del ejemplo 5.

Los datos de todos los bloques del sistema de la figura 5-19 y los re_

sultados obtenidos en el computador, se encuentran en las páginas si-

guientes. En este caso, se tiene:

= G_(s)

= I

El polinomio polo de G_|(s) es:

Referencia 3

223

;::: s c u E i. A P o i... ITECNICA NACÍ o N A i.!• A CULTA L JE INGENIERÍA ELÉCTRICA

N'TO DE ELECTRÓNICA Y CONTROL

• EB1B DE.iNTROL. Y SISTEMASSRAM OMAR ALEJANDRO AGUIRRE SERRANO

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS MULTIUARIABLES

NOMBRE DEL. PROBLEMA? MISIL AUTDCOMttNDADO SIN CQNTROLADOR

DATOS DEL SÜSTEMAt

DATOS DE 'O(s)I

SISTEMA REPRESENTADO POR ECUACIONES DE ESTADO

O R D E N D Í'. L SIS T E M A •-• 8NUMERO HE ENTRADAS^ 2NUMERO i!E SALIDAS^ 2

-•20O

y

O

u

C)

Oo

•0 *39

oO

oo

oo

OO

oo

-22*4-150

ffi

<íf>'

o

a

3 Oí H- o_ a¡

O

tV

O

:

•i ÍD"

o

*-=•

o

r-j

ro ro

225

FUNCIONES HE TRANSFERENCIA BEL SISTEMA

& FUNCIÓN MATRIZ HE TRANSFERENCIA HE Gis) i3E' ___..„.„„___ .. ______.....-. ™ _ „.. ~-—. -_ : : : ~- : _—. __ _ _ ™

CQEF» DEL NUMERADOR DEL FACTOR COMÚN (orden desceño, de pot*)i1

CQEF, DEL DENOMINADOR DEL FACTOR COMÚN (orden descend* de pot»)í

1 310,32 71662,3734 9166089,918658*70G233857E+8 4*Ó71044285E+10 1*448Q84Q19E+12 2 *507347Q73E+13

'* 2*55819Q2Ó4E-U4•\, DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO G(s)(l?l> (orden descend, de pot*)í

2073 346433,61 9*975874417E+7 9 * 660278771E+9Í*128731219E-fl2 3*Ó54320245E + 13 ~2 , 52389537E4-13

CÜEF, DEL DENOMINADOR DEL ELEMENTO Gís)(:Ul; (orden descend, de pot*)it 1

COEF, DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO G(s)(l?2) (orden descend, de pot,)+,

-76567,5 ™l,168116059E-f7 ~2,035389206EÍ8 1 »552762007E+113,5111562S2E-fl3 6 , 791509521E4-14

COEF, DEL DENOMINADOR DEL ELEMENTO G(s)U?2) (orden descend + de pot, > í1

^ COEF, DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO G<sM2>1> (orden desceño, de pot*)í

76567,5 1 + 168ÍÍÓ059E+7 2,035389206E+8 -1 *552762007E+11»3,511156282E-M3 -6*79Í509521E+1.4

COEF, DEL DENOMINADOR DEL ELEMENTO G(s)(2fl) (orden descend, de pot+>:1

COEF, DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO G(s>(2>2> (orden descend, de pot*)í

1>-2073 346433,61 9,975874417E+7 9,660278771E+91,123731219E4-12 3 , 654320245E+13 -2 , 52389537E +13

COEF, DEL DENOMINADOR DEL ELEMENTO G(s>(2?2) (orden descend, de pot*>;1

226LISTADO BE CEROS Y POLOS DEL SISTEMA

CEROS Y POLOS DE GCs)t

POLOS DEL FACTOR COMÚNí

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

-10,4450 19,8931-10,4450 -19,8931-34,3346 19,1257-34,3346 -19,1257-52,7367 121,2484-52,7367 -121,2484-57,6437 124,2672-57,6437 -124,2672

CEROS DEL ELEMENTO GCs)(l?l>;

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

0,6764 0,0000-42,2462 0,0000-56,9697 122,2737-56,9697 -122,2737-5,8039 152,9046-5,8039 -152,9046

CEROS DEL ELEMENTO GCs)(l?2K

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

-21,3567 0,0000-55,7137 -127,0259-55,7137 127,0259137,3694 0,0000-157,1456 0,0000

CEROS DEL ELEMENTO GCs)<2?l)í

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

-21,3567 0,0000-55,7137 -127,0259-55,7137 127,0259137,3694 0,0000-157,1456 0,0000

CEROS DEL ELEMENTO GCs)(2?2):

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

0,6764 0,0000-42,2462 0,0000-56,9697 122,2737-56,9697 -122,2737-5,8039 152,9046-5,8039 -152*9046

227

HE Lis) CON EL EJE REAL

3= -O * 099888

s= -O -> 142442

s= -O»024925

s= -0*027663

s¡n: -o , 097429

5= 6f889581

s= -0,603409

s= -o , 006465

s~ ~ O * OO S864

LISTADO BE VALORES PROPIOS DE Lis)

FRECUENCIA*

0*0100000*0110520*0122150,0135000,0149200,0164900,0182250,020142O * 0222 6 20,0246040,0271920,0300530.0332150,0367100,0405720,0448410*0495580,0547720,060535O,0669040,0739430,081722

CONTORNO No, II

VALORES PROPIOS i.

PARTE REAL, PARTE IMAGINARIA*

-0 + 0 V 9 8 8 8-0,100017-0,100160-0,100317-0,100492-O , 100684-0,100897-0,101132-0,101392-0,101678-0,101995-O,102346-0,102732-0,103160-0,103631-0,104153-O * 104728- O,105 3 6 4-O * 106066•O, 106841-0,107697-0,108641

-2,650229-2,649747-2,649214-2,648626-2 * 647976-2,647257-2,646464-2,645586-2,644617-2,643546-2,642362

228

§

FRECUENCIA:

0*0100000*0110520+0122150*0135000*0149200*0164900*018225O * 0201420*0222620+0246040+027192O t0300530*033215O * 0367100*0405720*0448410*0495580*0547720*060535O,066904O + 073943O * 0817220+0903200+0998230+1103250*121932O*134761O*148939O*164609O+1819270*201068O * 222222O * 2456020+2714420+3000000 + 3315630+3664470+4050010+4476110+4947040*5467510*6042750*6678510+738115O*8157720+9015990*9964571+1012941*2171611 * 3452181,4867481 * 643169

VALORES PROPIOS

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA!

-• 0 * 0 9742 9-0 + 097299-0.097156-0*096998-O* 096823-0*096629-0*096415-0 + 096179-0*095917-0*095628--0*095309-0+094955-0*094564-0,094132-0*093655-0 -i 093 126-0 * 092542-0*091895-0*091180-0*090389-0*089513-0*088545-0*087473-0 * 086286-0*084973-0*083518-0+081903-0+080124-0+078148-0*075958-0 + 073530-0+070839-0+067853—0*064541-0*060863-0*056779-0 + 052242-0 * 047197-0*041585-0*035338-0+02837&-0*02061?-0*011960-0+0022880*0085280*0206390*0342160*0494600*0666030+0859150*1077140 * 132371

927'

T-1

2TJ

•p

2222¿í.•"iTJ2¿¿o222~¿.T>

o2j¿T'

22'"?27'

2V

22¿í2o222o2o

¿iA~

2•"}

j¿TJ

O

*656336+656496* 656674+ 656870* 657086+657326,657591+657883* 658207+658564* 658959* 6 5 9 3 9 6,659879+660412* 661002+661654•y 662374*663171+664051* 665025*666101* 667290+668605* 670058* 671665+ 673442* 675406+677578,679979* 682635* 685571+688818* 692409+696381+700774+705634+711009+716957+723538+730820+738878* 747798+ 757672+768603+780707,794110+808955+825398+843613+863795,886156+910933

229

pG ( s) = s8 + 310.32 s7 + 71662.3734 s6 + 9166089.91865 s5 + 8.7x10

+ 4. 671x10 10s3 + 1.448xl012s2 + 2 .5x lO i 3 s + 2 .558xlO i l f .

Los polos de G_i(s) son:

51 = -10.445+J19.8931

52 = -10.445-jl9.8931

s3 - -34.3346+J19.1257

su = -34.3346-jl9.1257

S5 = -52.7367+J121.2484

s6 = -52.7367-jl21.2484

s7 = -57.6437+J124.2672

S8 = -57.6437-jl24.2672

El polinomio polo de (s) es:

PG2(s) = 1

Entonces, el número de polos de G_i(s) y _G_2(S) Que se encuentran en el

semiplano derecho es igual a cero. Por lo tanto, según el Criterio de

Estabilidad de Nyquist Generalizado, el sistema será estable en lazo

cerrado si los lugares característicos de Us) no rodean al punto

(-1+JO).

Los lugares característicos de L_(s) se encuentran en las f iguras 5-20

y 5-21.

230

MISIL AUTOCOMANDADO SIN CONTROLADOR

Fig. 5-20: Lugares Característicos de L(s).

MISIL AUTOCOMANDADO SIN CONTROLADOR

Fig. 5-21: Lugares Característicos de Us) en la región del origen.

231

Analizando las figuras 5-20 y 5-21, se encuentra que el-sistema es es_

table en lazo cerrado, ya que el punto (-1+jO) no es rodeado por los

lugares característicos de L_(s); pero su estabilidad relativa no es

tan alta ya que el punto critico se encuentra bastante cerca a uno de

estos lugares.

Para aumentar la estabilidad relativa del sistema, se va a introducir

un controlador _K(s), en serie con la planta, cuyos datos y los resul-

tados obtenidos en el computador se presentan en las próximas páginas.

Analizando los resultados obtenidos, se tiene que los polos de G_i(s)

son ahora los polos de G_(s) más los siguientes:

s9 = O

Sio = O

su = -100

Siz = -100

Con lo cual, se mantiene la misma condición de estabilidad anterior:

el sistema será estable si los lugares característicos de _t(s) no ro-

dean al punto crítico (-1+jO).

Los lugares característicos de L_(s) para el sistema controlado se mues_

tran en las figuras 5-22 y 5-23, donde se puede observar que el siste_

ma continua estable pero que ha aumentado notablemente su estabilidad

relativa, ya que los lugares característicos de L_(s] se encuentran bas

tante alejados del punto (-1+JO), y lo que es más, ninguno de los lu-

gares característicos cruza el eje real negativo, que, si fuera un

MATRIZ

DATOS DE KCs)í

SISTEMA REPRESENTADO POR ECUACIONES DE ESTADO

ORDEN DEL SISTEMAD 4NUMERO DE ENTRADAS- 2NUMERO DE SALIDAS^ 2

Z32

0

0

o

0

M A T R I Z Bí

0

1

0

0

1 0

-100 0

0 0

0 0

0

0

0

' 1

0

0

1

-100

MATRIZ Cí

-12+81

403.51

-21*28

30 + 69

-463*51

-12*81

-30,69

-21*28

MATRIZ Dí

0,46

-0*12

0*12

0*46

FUNCIÓN MATRIZ DE TRANSFERENCIA DE K(s)í-

COEF* DEL NUMERADOR DEL FACTOR COMÚN (orden descend* de pot+)í1

COEF* DEL DENOMINADOR DEL FACTOR COMÚN (orden descend* de pot*)t

1O

200 10000

CGEF* DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO l«sXl?l) (orden desceño, de pott)í

0*46 70 * 72 2459 * 1 9 -1281O

CÜEF* DEL DENOMINADOR DEL ELEMENTO K(sXl?l> (orden desceño* de pot*>*1

CQEF* DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO K(sXl?2> (orden descend* de pot*;t

0*12 -6*69 ' -2332*51 -46351O

*^ DEL DENOMINADOR DEL ELEMENTO KísXl?2> (orden descend* de pot*);1OEF* DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO K(s)(2?l) (orden descend* de pot + ) í

6*69 2332*51 46351O

CÜEF* DEL DENOMINADOR DEL ELEMENTO K < s X 2 ? 1 ) (orden desceño* de pot*)i

COEF* DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO K(s)(2?2) (orden descend* de pot*)t

0*46 70*72 2459*19 -1281O

COEF* DEL DENOMINADOR DEL ELEMENTO K(s)(2?2) (orden descend* de pot*)í1

CEROS Y POLOS DE K(s)í

POLOS DEL FACTOR COMÚN;

PARTE REAL - PARTE IMAGINARIA

0*0000 - 0,00000*0000 0*0000-100*0000 0*0000-100*0000 0*0000

CEROS DEL ELEMENTO K(sX !U 1 > *

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

0*0000 0*00000*5133 0*0000-54*2524 " 0*0000-100*0000 0*0000

234

CEROS BEL ELEMENTO K(s)(lv2)í

PARTE REAL ' PARTE IMAGINARIA

0*0000 0*0000-21,7598 O»0000177+5098 0,0000-100*0000 O i 0000

CEROS DEL ELEMENTO K<sH2f1>í

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

0*0000 0*0000-21*7598 . 0*0000177*5098 0*0000-100*0000 0*0000

CEROS DEL ELEMENTO K(sX2y2)í

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

0*0000 0*00000*5133 ' 0*0000-54+2524 0*0000-100*0000 0+0000

PUNTOS DE CORTE DE LOS LUGARES CARACTERÍSTICOS

DE L(s) CON EL EJE REAL

s= -117+455861

s= -0+099548

s= 110*974218

s= -0+080545

235

LISTADO DE VALORES PROPIOS DE L(s>

CONTORNO No* U

FRECUENCIAÍ

0*0010000*0011190+0012530*0014020,0015700*0017570*0019060*0022010*0024030*0027570*0030800*0034540*0038660*0043270*0048440*0054210*0000680*0067920*0076020*0085090*0095240*010660

FRECUENCIA:

VALORES PROPIOS:

PARTE REAL i

-117*455861-104*964034-93*803484-83*832335-74*923830-66*964721— *=: o o KT, T o o cj

U / * OT-Jo UJ¿. /

-53.* 500759-47*824747-42*753638-38*222968-34*175139-30*558695-27*327662-24*440966-21*861911-19*557711-17*499074-15*659830-14*016597-12*548487-11*236836

PARTE IMAGINARIA i

-12317-11005. p a -"•>7 \_» w ¡i. *

-8784*-7848*-7011*-6264*-5596*-5000*-4467*-3991*-3566*"31 6 *•2846*-2543*-2272*-2029*-1813*-1620*-1447*

+931219* 184207339116486335305199394650621948987505504122589096467829087701041134496845138431109493964620625531342200657393375929536532

CONTORNO No* 2Í

VALORES

0*0010000*0011190*0012530*0014020*0015700*0017570*0019660*0022010*0024630*0027570*0030860*0034540*0038660*0043270*0048440*0054210,0060680*0067920*0076020*0085090*0095240*010660

PARTE REALÍ

116*974218104*48239193*32184183*35069274*44213766*48307859*37218653*01911647*34310442*27199537*74132533*69349630*07705226*84601923*95932321*38026819*07606817*01743115*17818713*53495412*06684410*755193

PARTE IMAGINARIA:

-12317-11005-9832*-8784*-7348*-7011*-6264*-5597*

*966516+219503374412521632340496929946657244022801539418624393503125122997076431

-5000*-4467*-3991*-3566*-3186*-2846*532142-2543*173727-2272*144790-2029*999916-1813*660877-1620*377496-1447*692689-1293*411226-1155*571828

236

sistema univariable, esto se consideraría como que fuera un sistema -

con margen de ganancia Infinita.

En este ejemplo se ha llegado a demostrar la influencia que tiene un

controlador sobre la estabilidad relativa del sistema en lazo cerrado,

y se ha comprobado que un compensador bien diseñado puede llevar a un

sistema a'tener una alta estabilidad relativa.

Ejn el presente ejemplo tampoco se ha tratado sobre el diseño del com-

pensador, ya que ese punto sale fuera del alcance de esta tesis.

MISIL AUTOCOMANDADO CON CONTROLADOR

Fig. 5-22: Lugares característicos de Us) del sistema compensado.

237

MISIL AUTOCOMANDADO CON CONTROLADOS

Fig . 5.23: Lugares Característicos d e j _ ( s ) , en la región del o r igen .

238

Ejemplo No.6*

En este ultimo ejemplo se analizará la estabilidad de un sistema de

grado 2, con el cual se va a mostrar el caso cuando el lugar geomé-

trico de las rafees no existe sólo en el eje real, sino que también

existe en los puntos donde la frecuencia es compleja. Considerare-

mos un modelo de una avanzada aeronave autopiloteada, que tiene una

realimentación unitaria y cuyo compensador es una ganancia escalar k.

• La representación de este sistema se encuentra en la figura 5-24.

•Y(s)

Fig. 5-24: Sistema del ejemplo 6

Los datos de este sistema así como todos los resultados obtenidos en

.el computador se muestran en las próximas páginas.

En este caso:

* Referencia 4

G^s) = k G(s)

G2(s) = I

!•" or: U E L A P O LIT E C NIC A NA CIU N A LFACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

:'ARTA MENTÓ DE ELECTRÓNICA Y CONTROL:H DE CONTROL Y SISTEMAS

Z39

' f" !ii3IS DE GRADO OríAR ALEJANDRO AGUIRRE SERRANO

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS MULTIUARIABLES

N Ü H B R E D E L R R O B L E n A ! A E R O N AVE! A U T O F' IL O T E A D A

DATOS DEL SISTEMA?

SISTEMA REPRESENTADO POR ECUACIONES DE ESTADO

ORDEN DEL SISTEMAD óNUMERO DE ENTRADAS^ 2NUMERO DE SALIDAS^ 2

MATRIZ A*

-0*0225673*2509

OO

OO

oo

MATRI7 'Bl

O

30

O

O

o

o

o

240

MATRIZ Di

OO

O

ü

DATOS DE K(s>t

K < s > » 1,*I

HUNDES I- matriz identidad de'orden 2x2

DATOS DE H(s)i

DONDES 1= matriz identidad de orden 2x2

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA

FUNCIÓN MATRIZ DE TRANSFERENCIA DE Qís)í

JEF* DEL NUMERADOR DEL FACTOR COMÚN (orden deseend , de Pot , > :

)EF+ DEL DENOMINADOR DEL FACTOR COMÚN (orden descend» de pot*)t

-5495.3845518964*5539671:1.02*04179245

COEF* DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO G i s > < 1 * 1> (o-den descend* de pot*)í

-•5*12424,076131016

C O E F * ti E L D E N O MIN A D ü R D E L E L E M E N T O G C s) (1 ? 1) (o r d & n d e s c e n d * el e p o t» ) S1

COEF* DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO Gis)(1*2) (orden desceñe! + de pot*):

•0+148956•61,9703595394

655,672513721 19817*152305 385,44412283

241

)EF» DEL DENOMINADOR DEL ELEMENTO G(s)C!?2> (orden ci^scerid > cíe j=>ot»>¡

)EF » £EL. NUMERADOR DEL ELEMENTO G •! s) í 2 ? 1 > (ordtsn descsnd, de pot*)»

CGEF> DEL DENÜMINADuR DEL ELEMENTO Gis)(2?1) (orden descend* de pat« > *1

COEFv DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO G(s)(2 * 2) (orden oescend* de pot*)í

CQEF+ DEL DENOMINADOR DEL. ELEMENTO Gís)í2y2) (orden descend» de pot

LISTADO DE CEROS Y POLOS DEL SISTEMA

CEROS Y POLOS DE Gís)S

P Ü L O S D E L. Fr A C j O R C O M U N í

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

C? * w / %'.".' /

CEROS DEL ELE-MENTÓ G < s > < 1 ? 1 > i

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

0*00000,00000*00000,0000

CEROS DEL ELEMENTO GCs?(l?2)S

PARTE REAL. PARTE IMAGINARIA

0*00000,00000,00000,0000

242

CEROS DEL ELEMENTO G(á>\2?I)í

PARÍ E REAL F'ARTE IMAGINARIA

-0*0218 0*0000-1,962o 0*0000- 3 O > O O O O 0*000 O

CEROS DEL ELEMENTO G<sM2í2>?

PARTE REAL PARTE IMAGINARIA

-0*0240 0*0000-i*8953 0*0000-••"'0,0000 0*0000

LISTADO DE VALORES PROPIOS DE Lis)

CONTORNO No* lí

F R E C U E N CIA í V A L O R E S P R Ü PIO S ?

PARTE REAL? PARTE IMAGINARIA:

0,0010000*0011180*001249O ,00139o0*0015600*0017430*0019480*0021770*0024330*0027190*0030380*0033960*0037950*0042410*0047390*0052960*0059190,0066140*0073920,0082610*0092320*0103170*0115300*0128850*0143990*016092O>0179830*0200970*0224590*025099O>028049

-0*075667-0 * 075673-0*075680-0*075689•-0*075701-0*075715-•0*075733-0,075755-0*075783-0*075818-0*075861-0*075914-0*075980-0*076062-0*076163-0*076288-0 * 076441-0*076628-0*076855-0,077130-0*077461-0*077854-0*078317-0*078856-0,079475-0*080175-0*080952-0*081798-0,082700-0*083639-0*084596

-0*000660-0*000737-0*000823-0*000920-0*001027-0*001147-0*001280-0*001429-0*001594-0*001778— 0 * 001982-0*002208-0*002459-0*002734-0*003038-0*003370-0*003732-0*004124-0*004546-0*004995-Ov 005468-0*005959-0*006460-0*006959— 0 * 007444-0*007900-0*008309-0*008655--$-,008922-0*009099-0*009179

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-ÍO O O O O O O O O O O O O O O C

[ O O O O O O O O O O O

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244

LISTADO DE VALORES PROPIOS DE Lis)

PRECUENCI

PARTE REAL;' PAR

-50*000000-49*393939-48*787879-48*181818-47,575758-46*969097-46*3-63636-45*757576-45*^1 53 515 '-44*545455-43 * 9 39394-43,333333— A -y <~} 7 O "V "7

*? Al. * / .W. / ¿~ Í •-}

-42 * 121212-41 * 5 15152-40*909091-40*303030-39,696970-39*090909-38*484848-37*873788-37*272727

PREGUEN C]

PARTE REALÍ PAR

-50*000000-49*393939-48*787879-48*181818— 47 * 575758-46 « 969697-46*363636-45*757576-45*151515-44*545455-43*939394-43,333333-42*727273-42*121212-41*515152-40*909091-40*303030-39*696970-39*090909-38*484848-37*878788-37*272727-36*666667

HOJA No*

Al

TE IMAGINARIA?

0*0000000.0000000*0000000*0000000*0000000*0000000*0000000*0000000.0000000 i 0000000*0000000*0000000*0000000*0000000*0000000*0000000*0000000*0000000 * 0000000*0000000» 00 00 000*000000

HOJA No»

AS

TE IMAGINARIA!

0» 0000000*0000000,0000000*0000000*0000000*0000000*0000000*0000000 i 0000000*0000000*0000000*0000000,0000000*0000000*0000000*000,0000*0000000*0000000*0000000*0000000*0000000*0000000*000000

1S

VALORES

"'ARTE REAL!

0*0004750*0005420.0006170*0006990*0007910*0008930*0010070*0011330*001275 •0*0014340*001 A140*0018160*0020460*0023070*0026050*0029480*0033430*0038020*0043380*0049710*0057220,0066242 *

VALORES

PARTE REAL;

0*0004750*0005420,0006170*0006990*0007910*0008930*0010070*0011330*0012750*0014340,0016140,0018160*0020460*0023070*0026050*0029480 * 0033430} 0038020,0043380*0049710*0057220*0066240.007721

PROPIOS:

PARTE IMAGINARIA:

0*0088780*0093280,0098130,0103360*0109010*0115130*0121790*0129040*Ü13¿ 950 » 0145:620 » 0155: 150*0161660,0177300*0190240*0204700*0220930*0239260*0260090*0283940,0311460,0343520 . ¡"í "? C? '1 '"• jf-- * \f i..' 4..' .1. ¿~. O

PROPIOS:

PARTE IMAGINARIA:

-0,008878-0*009328-0*009813-0*010336-0*010901-0*011513-0*012179-0*012904-0*013695-0*014562™. T'i A 'I c:* i~* -l i-'— U * U J. •_.' -} 1 vJ

-0*016566-0-.017730-0*019024-0*020470-0*022093-0*023926-0*026009-0*028394-0*031146-0*034352-0,038126-0*042626

UALÜREB DE DE GANANCIAS245

HOJA No, 1

FRECUENCIA?

PARTE RE AL i-11 ,818182-11*212121-10,606061-10*000000-9 * 393939-8*787879-8*181818-7*575758-6,969697-6,363636-5,757576

__o 7^707-7x. * / *•.. / ¿i. / •-.'-2*1212:12-1*515152-O * 90909Í-0*3030300*3030300*9090911 * 53.51522*1212122*7272733*3333333*93939-04,5454555*1515155*7575*766+3636366*9696977*5757588*1818188*7878799*39393910*000000

PARTE IMAGINARIAt0*000000O * O O O O O OO -,0000000*0000000*000000O*0000000,0000000*0000000*000000'0*0000000*0000000,0000000*000000O>0000000+0000000>0000000*0000000.0000000*000000Oí 0000000,000000

• 0*0000000,0000000*0000000*0000000*0000000*0000000*0000000+0000000+0000000*0000000,0000000*0000000*000000O , 0000000,0000000*000000

GANANCIA CRITICAD

HOJA No* 21

GANANCIA i

12 * O 2 9 213*995015*263816*212016*940317*491817*888518*142818+261818*249718*109117*841217*447016+927016*281715,512414*620613*608912*476411,144310*25998*89417,72016,81906 * 3224

/. t A O •( ¿.'_' + —; / J. (.„>

6*96807+60848*37519* 246910.2112J. 1*260712,390813*598614 * 882316>2410

FRECUENCIA?

PARTE REAL?-11*818182-1:1,212121-10,606061-10,000000-9*393939-8*787879-8*181818-7,575758-6*969697-6*363636„ m; -f n¡ ~y ir -7 ¿

*J + / --.' / U / C-

PARTE IMAGINARIA?0*0000000,0000000,0000000*0000000,000000O,0000000,0000000*000000O>000000O»0000000+000000

•3ANANCIAÍ

7*22375 * 40494*23073*3¿302*57891,9537J. * 4232O * 9733O,59490*28180,0296

246

Los polos de 6¿(s) son:

51 = 0.6898 + JO.2488

52 = 0..6898 - JO.2488

5 3 = -0.2578

s^ = -5.6757

ss = -30

S 6 = -30

El polinomio polo de £2(s) es:

PG (s) = 12

El numero de polos de £ (s) y (s) que están situados en el semlpla

no derecho son 2. Por lo tanto, el sistema será estable en lazo ce-

rrado si los Tugares característicos de L(s) rodean 2 veces al punto

crítico, en el sentido antihorario, según el Criterio de Estabilidad

de Nyquist Generalizado.

En las figuras 5-25 y 5-26 se encuentran los lugares característicos

de L(s) para k=l, de este sistema.

247

AERONAVE AUTOPILOTEADA

Fig. 5-25: Lugares Característicos de L(s)

AERONAVE AUTOPILOTEADA

Fig. 5-26: Lugares característicos de L_(s) en la región del orj_gen. ~

248

Si, para el análisis de estabilidad, se toma al punto (- -r- , 0) como

el punto critico y se analizan los lugares característicos de L_(s),

se puede observar que para ningún valor de k el punto crítico es ro-

deado 2 veces por aquellos lugares. Por lo tanto, se puede conclu-

ir que el sistema es siempre inestable con este tipo de compensadory

que hace falta otro tipo de compensador, diferente de la simple ga-

nancia escalar, para que el sistema se vuelva estable en lazo cerra-

do.

•\s lugares geométricos de las raíces se muestran en las figuras 5-27

Y 5-28.

AERONAVE AUTOPILOTEADA

0

o

0

50

0

QD

—40 -30 -20 - 1 0 (

0

QOOO- Lug*»- d* Rafcw« _s**»í»ex Cor t«

X* Polo 0

0

0

-

Kc- 13.2199

-

HOJA No. 1

Fig. 5-27: Lugar de Raíces, hoja 1.

249

AERONAVE AUTOPILOTEADA

-43 -38ii^

-20

OOOO° Lugar d* Raíc***•»•»»•- Cort»X- Polo

HOJA No, 2

Fig. 5-28: Lugar de raíces, hoja 2.

Como se puede observar en las figuras 5-27 y 5-28, la una rama del lu

gar de rafees comienza en el polo -5.6757 de la hoja No.2, con ganan

cia 0. Si se aumenta k, esta rama se mueve hacia la izquierda por el

eje real, en la hoja No.2, luego pasa a la hoja No.l por un punto de

ramificación y luego se dirige hacia la derecha, por el eje real, se

parándose del eje en el punto -6.5, aproximadamente, como se deduce

de los resultados obtenidos. El lugar de raíces continúa hacia el s_e_

miplano derecho de la hoja No.l, cruzando el eje imaginario con una

ganancia k=13.22, que se encuentra indicada en la figura 5-27; luego

esta rama se va hacia el infinito.

Como se puede observar del listado de valores de s y de ganancias, el

sistema es inestable para todo valor de k, ya que existen puntos del

250

lugar de raíces en el semiplano derecho, para todo k, lo que corro-

bora los resultados obtenidos al analizar los lugares característi-

cos de Us).

En este ejemplo se ha logrado mostrar el lugar geométrico de las ra_í_

ees fuera del eje real, lo que se consiguió barriendo el plano con

valores de s cercanos a los puntos de separación del lugar de raíces

con el eje real. También ha servido este ejemplo para ilustrar la in_

Vterpretación del lugar geométrico de las raíces cuando está fuera d'el

eje real.

En todos los ejemplos presentados en este capítulo se ha puesto los

resultados obtenidos en el computador al usar los programas. En es-

tos resultados se incluye: datos del sistema, que son los datos de en_

trada; funciones de transferencia del sistema, cuando los datos del

sistema están dados en ecuaciones de estado; polos y ceros de cada u_

no de los elementos de las funciones de transferencia, que son muy £

tiles para encontrar el polinomio polo del sistema; listado de valo_

res propios, de los cuales sólo se presentan unos pocos por limita-

ciones físicas; puntos de cruce de los lugares característicos de -

L(s) con el eje real, que son útiles para analizar las regiones de es_

tabilidad del sistema; valores de s y de ganancias, que sirven para

saber cual es la ganancia que tiene cada punto del lugar geométrico

de las raíces.

Además, se debe notar que los ejemplos presentados en este capítulo

son del tipo teórico y también modelos que representan algún sistema

físico realizable; es decir, que los programas implementados sirven

para analizar cualquier tipo de sistema.

CAPITULO VI

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

CONCLUSIONES Y' RECCMEHÑ1DAC1ONES

En base a la teoría desarrollada en esta tesis, a los programas imple-

mentados en el computador y a los ejemplos presentados en el capítulo

anterior, se pueden establecer los siguientes comentarios y conclusio -

nes:•\n general:

- Se ha logrado cumplir con el objetivo de la tesis; esto es, propor-

cionar dos métodos de análisis de estabilidad de Sistemas Multiva -

riables: El Criterio de Nyquist Generalizado y el Lugar Geométrico

de las Raices.

Del punto de vista teórico:

- Se ha logrado desarrollar los dos métodos de estabilidad en base a

una generalización natural de los métodos para sistemas univariables.

Por lo tanto, ahora se puede hablar de estos dos métodos de estabi-

lidad ya no como característicos de los sistemas univariables, sino

como pertenecientes también al campo de los Sistemas Multivariables..

- La demostración del Criterio de Estabilidad de Nyquist Generalizado

está íntimamente relacionada con la teoría de Variable Compleja, por

lo que se tuvo que hacer una investigación previa sobre esta materia

para poder llegar a tal demostración. En el curso de esta investi -

gación se pudo comprobar la estrecha relación que existe entre las

matemáticas y la Teoría de Control, por lo que se podría decir- -

252

que esta teoría es una aplicación directa de las matemáticas en el

campo real.

Respecto a los Programas y al Computador:

- Una de las limitaciones que tienen los programas implementados es

el tiempo de ejecución que es relativamente grande, debido princi-

palmente al algoritmo de cálculo de los valores propios de una ma-

triz compleja. Aunque se investigó sobre la posible existencia de

"•» métodos directos para realizar este cálculo, no se los puedo encon

trar, al menos en la bibliografía y en las referencia disponibles,

y por esto se utilizó el método descrito en la tesis, que consiste

en encontrar primero los coeficientes complejos de la ecuación -

característica y luego, aplicar una subrutina de solución de ecua-

ciones polinomiales con coeficientes complejos.

- Los programas implementados sirven para cualquier tipo de sistemas

Moltivariables, sea éste expresado en ecuaciones de estado o direc

tamente en función de transferencia, como se puede ver en los ejem

píos desarrollados.

Respecto a los ejemplos:

- La mayoría de los sistemas estudiados cumplen con la condición de

estabilidad siguiente: primero son estables, luego son inestables

y finalmente se hacen estables de 'nuevo, 'cuando aumenta el valor

de la ganancia K. Esta característica se presenta y es familiar

en los sistemas de control con realimentación escalar.

253

- En los programas se ha considerado también el caso cuando existen

polos en el eje imaginario; esto se puede observar en los ejemplos

Nos. 4 y 5, donde se puede ver que los lugares característicos se

cierran por medio de un contorno, teóricamente, en el infinito.

Esto se consigue haciendo que el contorno de Nyquist no pase por

estos polos r sino que los rodee por medio de pequeños semicírculos

de radio j , que tiende a cero en el límite. En los programas se

ha puesto un ) — 0.001 y se puede ver que da buenos resultados.•\r último, cabe decir que:

- En la presente tesis se han estudiado los dos métodos de estabili-

dad mencionados, pero no se ha puesto atención al diseño de los

compensadores, debido a que este tema resultaría muy amplio y no

se ha querido abarcar demasiado por el peligro de caer en la super_

ficialidad de los temas tratados.

En base a estas conclusiones se podrían dar las siguientes recomenda-

ciones :

- Se debería fomentar el estudio de los Sistemas 'Multivariables en

las materias que se dictan en la Facultad de Ingeniería Eléctrica,

debido a que en la actualidad la mayoría de los sistemas reales

pueden ser modelados a sistemas multivariables y no- simplemente a

sistemas univariables, de los 'cuales, además, ya se han hecho 'su-

ficientes estudios.

- La presente tesis puede dar "lugar a la realización de algunas te-

sis de grado, debido a la utilidad que presenta de mostrar los're

sultados en forma gráfica. Algunos de los temas que se 'pueden tra

tar son: diseño de compensadores para sistemas multivariables;

254

- controlabilidad y observabilidad de sistemas multivariables; desa-

rrollo de otros métodos de análisis de estabilidad para sistemas

multivariables; etc.

- Se recomienda que la Facultad de Ingeniería Eléctrica, en especial

el Área de Control y Sistemas, tenga más contacto con el Instituto

de Informática y Computación de la Escuela, con la finalidad de in

tercambiar información técnica de software, que podría ser de mucha

utilidad para trabajos realizados en el área de computación.

También, dada la estrecha relación entre la teoría de Control con

las Matemáticas, se debería intercambiar opiniones y material téc-

nico con la Facultad de Ciencias, que ahorrarla 'mucho esfuerzo en

trabajos de investigación.

- Otra sugerencia que se puede dar es que se debería tratar de adqui-

rir un sistema de computación con variados terminales para la Fa-

cultad de Ingeniería Eléctrica, debido al gran desarrollo que ha

tenido en los últimos años el estudio de la Ingeniería con compu-

tadoras y que el sistema de computación existente en la actualidad

va resultando insuficiente para atender las necesidades de los es-

tudiantes y profesores de la Facultad.

APÉNDICE A

MANUAL DE USO DE

LOS PROGRAMAS

• -Apéndice A Pag. 1

MANUAL DE USO DE LOS PROGRAMAS

Para un funcionamiento óptimo de los programas implementados, se deberán

temar en cuenta los siguientes puntos:

1.- Encienda el sistema, siguiendo este orden:

a) La unidad de discos No.2

b) La unidad de discos No.l

c) El computador

•\. - Coloque el disco en cualquiera de las unidades libres.

3.- Inicialice el reloj del sistema, desde el teclado, mediante la instruc

ción:

GALL "SETT1M", " DD-MMM-AA Jó HH:MM:SS "

donde: DD: fecha

MMM: mes (tres primeras letras en inglés)

AA: dos últimas cifras del año

Jó: espacio en blanco

HH: horas

MM: minutos

.SS: segundos (opcional}

y luego presione la tecla RETURN.

4.- Monte el disco en el' sistema, usando las siguientes instrucciones:

a) CAIL "UNIT", #

b) Presione tecla RETURN

c) CftIL " MOUNT ", #,X$

d) Presione tecla RETÜRN

donde: #• es el numero de la unidad donde fue colocado el disco.

Apéndice A Pag 2

5. ~ Cargue a la memoria del computador el programa maestro, utilice la

instrucción:

OLD " f£) OAGÜTRKE/TESIS"

y presione la tecla KETURN.

6.- Ejecute este programa con la instrucción:

RON

y presione tecla KETUEN.

7.- Ingrese el número de la unidad donde fue colocado el disco y presio

'•* ne la tecla RETttRN.

8.- Escoja el método de análisis de estabilidad deseado, presionando la

tecla definible correspondiente.

9.- Luego de que se ha escogido el método de análisis y que en la panta

lia se tiene el índice de programas correspondiente a ese método,de

fcerán ejecutarse éstos secuencialmente en el orden en que aparecen

en el índice. Es decir, si se ha escogido el Criterio de Estabili-

dad de Nyquist Generalizado, deberán ejecutarse los programas en la

siguiente secuencia:

a) Ingreso, verificación y almacenamiento de datos de sistema

b) Cálculo de funciones de transferencia y polos y ceros del sis -

tema.

c) Cálculo de valores propios de L (s) .

d) Cálculo de parámetros para el gráfico.

e) Gráfico de lugares característicos de L (s).

f) Listado de resultados.

Si se ha escogido el 'Método del lugar Geométrico de las Raíces para Sis-

temas Multivariables, se deberá seguir la siguiente secuencia en la ej_e

cución de los programas:

Apéndice A. Pag. 3

a) Ingreso, verificación y almacenamiento de datos del sistema

b) Cálculo de funciones de transferencia y polos y ceros del sistema.

c) Cálculo de valores propios de L (s).

d) Cálculo de parámetros para el gráfico.

e) Gráfico del Lugar de Raices.

f) Listado de resultados.

En cada uno de estos programas se deberá ejecutar las instrucciones

que se indiquen en la pantalla. Cada vez que se deba dar un comando o

ingresar un datoal computador, éstos deberán ser tecleados y enseguida

se debe presionar la tecla RETÜRN

10.- El programa del cálculo de valores propios de L (s) para el Grite

rio de Estabilidad de Nyquist Generalizado pide que el usuario in

grese el número de valores de frecuencia que se usarán en el cálcu

lo. Se recomienda que este valor sea suficientemente grande para

obtener un buen gráfico; con 100 valores de frecuencia se obtiene

un gráfico aceptable. Asi mismo se recomienda que el valor final

de la frecuencia sea positivo y grande; un valor entre 80 y 100

da buenos resultados. La variación de la frecuencia debe ser loga,

rítmica para estos casos. La variación lineal se usa para casos

especiales.

11,- El programa del cálculo de valores propios de L (s) para el método

del Lugar Geométrico de Las Raices pide que el usuario ingrese los

límites de variación de la frecuencia s, los cuales se pueden expli

car mejor si se observa el gráfico siguiente:

üa(s)

--W6

W5 valores *

W7

- Wlvalores

W8

Apéndice A Pag. 4

Lo que se trata de hacer en este programa es barrer el plano s con valo-

res para encontrar el lugar de raíces. La equivalencia de las variables

del gráfico anterior con las que se deben ingresar en el programa son

las siguientes:

W7: Valor'de s mínimo, en el eje real.

W8: Valor de s máximo, en el eje real.'

Wl: Número de valores de la frecuencia s, en el eje real.

W4: Valor de s mínimo, en el eje imaginario.

W6: Valor de s máximo, en el eje imaginario.

W5: Número de valores de la frecuencia, en el eje imaginario.

Los valores propios correspondientes a s en el semiplano 'superior son

complejos conjugados con los de s en el semiplano inferior; por esto,

solo es necesario calcularlos para s en el semiplano superior.

El procedimiento sugerido para encontrar los 'lugares de las raíces sin

tener que barrer todo el plano complejo es el siguiente:

a) Calcular los valores propios pertenecientes a valores de s que

se encuentren en el eje real. Entre W7 y W8. deben quedar los

polos del sistema que estén situados en el eje real. Se reco-

mienda un valor de Wl suficientemente grande (= 100) . Graficar

este lugar de raíces en papel.

b) Observar mediante los listados de s y de ganancias si existe

la posibilidad de que el lugar se encuentre fuera del eje real.

Apéndice A Pag. 5

c) Calcular los valores propios pertenencientes a valores de s

donde se supone que existen lugares de raíces fuera del eje

real. Graficar estos cálculos del lugar de raíces sobre el

mismo gráfico donde se dibujó el lugar de raíces en el eje

real, pero sin dibujar los ejes de nuevo.

Í2. - La última opción que existe en el índice de programas de

los dos métodos de análisis de estabilidad es la de grafi-

car resultados que se encuentran en archivos. Esto puede

hacerse cuando se ha realizado el análisis de algún siste-

ma previamente y cuyos resultados fueron guardados en archi-

vos.

El nombre que se debe dar a los archivos por parte del usua-

rio debe ser un nombre simple, sin especificar ningún nombre

de biblioteca de archivos. Un mismo nombre de archivo puede

usarse para almacenar los datos de un sistema, sus resultados

mediante el Criterio de Nyguist y sus resultados mediante el

Lugar de Raíces.

13.- Al final del listado de resultados se tiene la posibilidad de

borrar archivo'i cuyo nombre proporcionará el usuario. Esto

es útil cuando se desea destruir la información que se había

guardado en algún archivo específico.

Apéndice A Pag. 6

14.- Cada vez que se va a comenzar a analizar un nuevo sistema,

debe empezarse la ejecución con la isntrucción RÜN; no así

cuando se va a analizar de nuevo o con otro método un siste_

ma del cual ya se han introducido los datos y/o ejecutado

el programa del cálculo de 'funciones de transferencia de po

los y ceros; en tal caso, debe comenzarse con la tecla defi

nible 1, para luego ejecutar sólo aquellos programas que noi

lo han sido todavía.

15.- Si en algún momento durante la ejecución de un programa, se

desea interrumpirla, basta con presionar dos veces la tecla

BREAK. Para continuar, primero deberá asegurarse que los

archivos estén cerrados ejecutando la instrucción:

CIÓSE

y presionando RKTURN.

Luego, se deberá presionar la tecla definible 1 que le lle-

vará nuevamente al programa maestro.

16.- Cuando en la pantalla aparezca la leyenda:

ALISTE EL GRAFIZADOR

debe seguirse las siguientes instrucciones:

a) Prender el grafizador

b) Colocar el papel y fijarlo con la tecla LOAD del grafizador

Apéndice A Pag. 7

c) Fijar los límites del tamaño del gráfico, mediante las

las teclas SET (límites inferior izquierdo y superior

derecho)

d) Seguir las instrucciones de la pantalla.

1?-- Cuando se termine de trabajar en el computador, y antes de

14 desmontar el disco, se debe asegurar que ningún archivo

esté, abierto y que los programas hayan terminado de ejecu-

tarse.

APÉNDICE B

LISTADO DE LOS PROGRAMAS

APÉNDICE "B11 PAG, 1

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA Y CONTROL

ANÁLISIS DE ESTABLI.ÜA.O DE SISTEMAS MULT1VARIABLESUSANDO COMPUTADOR"1

OnAR ALEJANDRO AGUIRRE SERRANOQUITOy DICIEMBRE DE 1984

1 REM ##&####### PROGRAMA; MAGUIRRE/TESIS #«#«####«2 J.NIT3 UQ=-I4 GO TO 1005 REH *## EBCUELA POLITÉCNICA NACIONAL8 09 = 19 GO TO 34010 REM ###12 09=213 GÜ TO 510:!. 4 REM $#$16 01 "-"• 1:í 7 GO TO 1000

20 01=221 GO TO. 100022 REM •***24 01 = 325 GO TO 100026 REM #**27 REM ###28 01=429 GQ TO 100030 REM ##*31 REM #**32 01--533 GO TO 100034 REM #>K# OBJETIVO: Determinar la estabilidad de sistsm^s mi il ti varia-3 5 R E M % $ $ b 1 e s u s 3 n d o c o ITI F i.j 't a d o T" .-,3¿ 01=637 GO TO 10003 B R E n >!' * * M E T O D O t S © u t i 1 i : a n d o s rn e t. o d o s 2 C r i t e r i o d e M y G u i s t *á '5 n e r a -3 9 R E M $ >K $ I i z a d o b1 M e t o d o d # 1 1 ¡..i a a r d © r 3 i e e ;> iri u '.I t i v a r i a b 1 e *40 01=541 00=242 GÜ Tu 100044 01-145 GO TO 100048 01=24 9 G O T O I. O O O52 01=753 GO "! O 10005 6 Ü1 ™ B57 GO TO 100060 01-9él GO TO 100064 01=1065 GO TO 100068 01«969 00=270 GO TO72 G O T O76 GO TO80 GO TO

í P, () o

APÉNDICE "B" PAG,

1001:!. O120:L30140150160170180.!. 9 O2 O O':> i O

2302 4 O2502 6 O270280290

IF UOO--1 THEN 2'íOREM *## DEFINICIÓN Ox '.:••! UNIDAD DE DISCO ##^########>K#######REHFR1NT USING 140 í " ANÁLISIS DE EST^nR..IOAO OE SISTEMAS MULTIVARIABLES".1MAGEP6/11XFA/11X50-;" = ")PRINT USING "10/20XFAS"1"Unidad donde está el rürco;'?i3 "INPUT UOIF U0«0 OR U0 = l OR U0=2 THEN 190GÜ TO 150CALI. "UNÍT" I.-UOU1 ™ 1

ÍNDICE OE PROGRAMAS #$$«##«######«U4"íREM #:REM .PRINT USING 270í "i-íETQDGS DE ANÁLISIS DE ESTABILIDADt"IMAfcE P2/18XFA/18X35t "-- ' >PRINT USING "8/15XFA11 i a TECLA 1 --« INI ICE DE PROGRAMAS'PRINT USING "2/15XFA"S"TECLA

300 PRINT USING "2/15XFA"S"TECLA 3TERIO DE NYQUIST GENERALIZADO"

LUC AR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES"

3303403503603703803904004 1042043'04404504604 7 O4 SO4905 O O5105205305 4 O550560570580ÍÍS 9 O600é 10620630

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4600 INPUT K4610 WRITE *1SK4620 NEXT 154630 PRINT "J"4640 WRITE #KK44650 FOR I5-K4 TO O STEP -14660 PRI U SI "17XFAFDFAS" Tl COEFICIENTE DE S""!SI5?" DEL DENOMINADORA "4670 INPUT K4680 WRITE #1ÍK4690 NEXT 154700 NEXT J4710 NEXT I4720 GLOSE 14730 RETURN4740 REM «# ENTRADA DE EC, DE ESTADO DE Gis) %%^%^.%4750 I~U24760 IF IO2 TREN 48304770 H1™Z2

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APÉNDICE "B" PA6

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GQ TO 5900IF K2-CO THEN 5900PRINT USING !12/21XFAFD11 í"NUMERO DE ENTRADAS DEBE SERG3 » ? C OGQ TO 5810PRINT USING "4/16XFAS" i "NUMERO DE SALIDAS <* Filas a* C > = "INPUT KlIF JO2 THEN 5990IF H3~2 THEN 5960IF H4OO THEN 5960GO TO 5990IF K1~~FO THEN 5990PRINT USING I12/22XFAFDB 5 "NUMERO DE SALIDAS DEBE SERGG ",FQGQ TU 5900WRITE :U'l?Kl¡'K2yK3PRINT USIHG éQlO:"MATRIZ AtGG"IMAGE P2/31XFA/31X9Í"~")3/FQR 1=1 TO K3FOíí J=l TO K3PRINT USING "26XFAFDFAFDFASU S'1 ELEMENTO A( " ? I ? B ? u y J? u )= II

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INPUT KWRITE *1?KNEXT JNEXT IPRINT USING 6280í"MATRIZ DSGG"IM A G E P 2 / 31X F A / 31X 9 ( " - " ) 3 /FQR 3=1 TQ KlFQR ,-1 TQ K2PRIN1 USING "2ÓXFAFDFAFDFAS'1 i "ELEMENTO Di " > I y " ? " =INPUT KWRITE *1ÍKNEXT JNEXT IGLOSE 1RETURMREM «# CREACIÓN DE ARCHIVO DE DATOS ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^.-'^^^^^^PRI USI "P2/13XFAS11 t "DESEA GUARDAR DATOS EN ARCHIVO? (SI O NQ)SGG u

APÉNDICE: B e u PAG, 14

6 4 O O64106 4 2 O643064406450646064706 4 & O6 4 9 O65006 5:!. O65206 5 3 O6 5 4 O655063606570658065906600661066206630664066506660667066806690670067106720673067406750676067706780679068006810

INF'UT X$1F X#-BSI" DR X*="SH THEN 6440IF X^^-NO" OR X*~"Na THEN 1040GÜ Tu 6390PRINT USING "o/lOXFAS" i "NOMBRE DEL. ARCHIVO DE DATÜSÍ "INPUT A*N*=B@QAGUIRRE/NÜMBRE/il&A*G$~UGÍQAGUIRRE/G/II&A*

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PRINT USING "2/1SXFA8"f"DESEA DESTRUIR SU CONTENIDO? (SI O NOMGG "INPUT X$IF X*="SIa ÜR X#-"SB THEN 6670IF X$=nNQM OR X$~"M" THEN 6650GO TO 6600PRINT USING "3/17XFA11 t "CAMBIE EL NOMBRE DEL ARCHIVO DE DATOS11

GO TO 6440KILL N*KILL G$KILL l<$KILL. H*COPY "QOAGUIRRE/DATOS/NOnBRE"?UO TU N$?UOCOPY "Q?OAGUIRRE/DAT08/GU ?UO TO G^UOCOPY "MAGUIRRE/DATOS/K11 :>UO TG K$?UOC O P Y " í» O A G UIR R E / D A T O S / l-l" ? U O 1" O H $ y U ODELETE N$?G*?K*?H*GO TO 1040REM %%% LECTURA DE DATOS DE ARCHIVO r***** ******** ***************PRINT USING 6790?"LECTURA DE DATOS DE ARCHIVO"IMAGE P2/22XFA/22X27Í"-")uGG"PRINT USING M/10XFAS"í"NOMBRE DEL ARCHIVO DE DATOS? "INPUT A*N*=BeOAGUIRRE/NOMBRE/"SA*

CALL "F/LE" 7UOvN$yX*IF X$=" ' THEN 6950CALL "FILE" íUOyGÜ^XíliIF X*«B n THEN 6950CALL "FILE" rUO?K*?X*IF X*=a " THEN 6950CALL B FILE M?UQpH$pX*IF X*=u ll THEN 6950

APÉNDICE "B" PAG

6940 GO TU 69806950 PR1NT US'ENG "2/25XFA"i"NO EXISTE ESE ARCHIVO11

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APÉNDICE "B1' PAÜ* 16

7480 PRINT @P9t"DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA Y CONTROL"7490 PRIHT ®P9!nAREA DE CONTROL Y SISTEMAS"7500 PRINT G?P92 "TESIS DE GRADO -™ OMAR ALEJANDRO AGUERRÍ::! SERRANO"7510 PRINT t»P9í USING ¡1 72 < " « - • " " > » I7520 OREN n©OAGUIRRE/DATQS/NGMBREH ? 1 y " R " ?X$7530 CALL "REWIHD'Sl7540 PRI @P9Í ÜSI 755QÍ"ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS MULTIVAR1"7550 IMAGE 2/11XFA"ABLES"/I1X50( "-")7560 PRINT @P9S USING VFflS" J "NOMBRE Del. PROBLEMA? a

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APÉNDICE "B" PAG, 20

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APÉNDICE "B" PAG, 34

4780 FOR K8~l TO N-l4 7 9 O T » U $ X - U # Y + A ( K 8 )4 8 O O V ™: V >K X -t- U $ ( r B 9 ( K 8 )4 c' 10 U ~ !4820 Ts=U9*X-V9*Y-f C N-K8 ) #A ( KS )4830 V9-V9&X-HJ9ÜCY-Í- <N--K8 > *B9(KS >4840 U9-T4850 NEXT K3

4880 U-T4890 F=U#U+V*V4900 RETURN4910 NEXT W94920 GLOSE4930 REM. #£# CALCULO DE LUGARES CARACTERÍSTICOS ALREDEDOR DE LOS POLOS4940 X0=04950 OPHN "SOA.GUIRRE/LIMIT* 514960 UPEN "OOAGUIRRE/nATQS/G11 ?3.4970 CALL "REWIND"?34980 READ *3ÍJ4990 UPEN "00AGUIRRE/PÜLOS/G"?2,5000 GOSUB 51905010 OPEN ll@OAGUIRRE/riATü8/Kuí3:5020 CALL ll RENIÑO"? 35030 READ *3ÍK15040 IF Kl-2 THEN 50705050 READ «SKI5060 IF Kl-1 THEN 50905070 UPEN "QOAGUIRRE/POLOS/K"52:5080 GOSUB 51905090 GLOSE 35100 OPEN "BDAGUIRRE/riATQS/H11 53? "U11 ¡>X*5110 CALL "REWIND11 >35120 READ *3SK15130 IF Kl=-2 THEN 51605140 READ *3ÍK15150 IF Kl=l THEN 51805160 OPEN "MAGUIRRE/POLÜS/H" Í2» "R" í X*5170 GOSUB 51905180 GO TO 54405190 REM ### SUE» DE ALMACENAMIENTO DE POLOS PARA EL. GRÁFICO5200 DELETE V5210 DIM V<25)5220 R"-l5230 GOSUB 53005240 READ *3ÍKi?K25250 FOR 3>1 TO Kl5260 FDR J=l TO K25 2 7 O R ~ < I -• 1) ;t K 2 -f J T 15280 GOSUB 53005290 GO TO 53805300 READ *2?R?V5310 IF VC2*VC1)+2)«0 THEN 5370

APÉNDICE: "Bn PAG,

FOR L=l TO V<2#VÍ3.>+2)IF. UC2#(VUH-LH-1)<>0 THEN 5360UIRITE *liV<2#<Vm+L-fl> )XO-XO+1NEXT LRETURNNEXT JNEXT IGLOSE 2GLOSE 3DE LE TE URETURNK2 = 0IF XO-0 THEN 5630DELETE V 3Hl'M. V8CXO)CAL!... "REWIKD" ?1REfeD *1!VSIF X0~l THEN 5630FOR 1=3 TQ XO-1FOR J=OIF V8d

GÜ TU 5590NEXT J

5580 GÜ TU 56205590 Q~Ufí( I-H.)5600 V8CI-H)=y8CKl)5610 V8ÍKD--Q5620 NEXT 15630 GLOSE5640 UPEN "@OAGUIRRE/FRECUENCIA'U ?4? "U" ? X$5650 WRITE *4ÍXO-K25660 IF X0™0 THEN 60305670 OPEN U@OAGUIRRE/VPREAL" ?2? "U" ?Xf5680 OPEN "GíOAGUIRRE/UPIMAG" 3? " U H ? X$5690 SET DEGREE85700 Vó-XO5710 PRINT USING 5720 t5720 IMAGE P2/1 3 X B CALCULO DEL GRUPO DE VALORES PROPIOS PARA VALORES "5730 PRINT USINC 5740^;L?V65740 IMAGE 2/18XBDE s CORRESPONDIENTES AL POLO "FEí" DE "FD5750 FGR U5^1 TQ 105760 IF V8<1)™0 THEN 5790

Z»-90+CV5«1)*C 3.80/9)GG TO 5800Z-ÍV5-1 J*10S=:UOE-3*COS(Z)W = l*OE--3*3INíZ)+y8<l)WRITE :IH:S?WGOSUB 1880NEXT V5IF y 6-1 THEN 6030

APÉNDICE "B" PAG, 36

POR V7=2 TO M6IF V8.<V7)=V3<V7--1> THEN 6020 - . ,PRINT USING 5890 íIMAGE P2/1 IX "CALCULO DEL GRUPO HE VALORES PROPIOS PARA VALORES11

PRINT USING 5910íV7>VóIMAGE 2/18XTIE s CORRESPONDIENTES AL. POLO "Fu" DE BFDFOR V5»l TO 10IF V8CV7)=0 THEN 5960Z = -90-f ( V5™ i ) * (180/9 )60 TO 5970

W=ÍWRIGOSNEX.NEXCLtJDELGOE ÑU

* OE-3#S IN ( Z ) +V8 ( V7 )TE: =11=4 SB? ¡A)UB 1880.T VS

V7E

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APÉNDICE "B11 PAG, 37

10001010¡.0201.030104010501060.070.OSO.090.100LIO1.20'.30i.40L 5 O1.601.70L801.90.200. 210.220.230. 2 4 O.250.260270

1280.290300.310.320.330.340.350.360.370380.390400410420430.440450.460. 4 7 O.430.490.500151015201530

REH $## PROGRAMA: wOAGUIRRE/ORDEN ********************************02=4IF Q1O02 THEN 690PAG EREM **# CALCULO DE VALORES MAX, Y MIN+ DEL EJE REAL ##*#*#***###***UPEN "QQAGUIRRE/FRECUENCIA11? 2 ?"R"?X$CAL!... " RE WI ÑUS 2FOR 1=1 TO Wl+lREAD =!I=2; XONEXT IGLOSE 2OPEN " GÍDAGUIRRE/VPREAL " í 1 > " R " P X$CALL "REUI1ND" ? 1Al=«l*OE-f50FOR 1 = 1 TO (W1+10*XQJ*NRE Ají #1SK1IF K1=>A1 TREN 1180A3>K1NEXT ICALL "REWIND'SlA2«0FOR 1=1 TO (W1+10*XO)*NREAD *ltKlIF KK=A2 THEN 1250A2^K1NEXT IGLOSEREH #** CALCULO DE VALORES MAX* DE CADA RAMA **********************DELETE S1?S2DIM SKN) ?S2(N;OPEN "fíOAGUIRRE/VPIMAG" íl, 11R° ?X$FOR 1=1 TO NCALL "REUIND"»181<I)«0FOR J=l TO IREAH fliKlNEXT JIF ABS(K1X>ABS(S1(I5 ) THEN 1400SKD--K1S2CI)»1FOR L=2 TU WlFOR J=l TO NREAD *1SK1NEXT JIF A B S íK1)<=A BSC S1(1)) T H E N 147OSlíI)=K1S2<I)=LNEXT LNEXT IGLOSE 1REM *** CALCULO DE VALORES MAX* Y MIN* DEL EJE IMAGINARIO *********OPEN "@QAGU!RRE/VPIMAGU 51? B R B ?X#CALL "REWIND11 :•!

APÉNDICE r- A rvr i-i u

1540.550

.570580590.6001.6101.6201.630.640L650.660.670.680.690.700.710.720.730.740.750.760.770.780.790.800.810820830.840850.860870S 8 O890900910920. 9 3 OL9401950960970980990000010.02020302040505020602070

FOR 1=1 TU <W1+10#XO)#NREAD *líKl1F ABSÍK1X-A4 THEN 1580A4=ABS(K1)MEXT IGLOSE 1A3~-~i-[4UPEN U$OAGUXRRE/LIMIT" 51? " F " , X*UPEN "OmAGUJRRE/DATOS/NOnBRE11 $2? "R" ? X$CALI. "REWIND"^READ #2»X$Ul R 1 T E =11= 1 1 N 9 W 1 ? A 1 9 A 2 ? A 3 » A 4 ? X $GLOSEREM *** CALCULO DEL SENTIDO DE GIRO Jlí^*OREN "OOAGUIRRE/VPREAL11 52? "Ru p X$OPEN "©OAGUIRRE/L1MT.T" ?1? "U" ?X*FQR 1«1 TO NCALI. !lREWINIi'S2FOR J=l TO IREAD *2ÍK1NEXT JT.F S2ÍDO1 THEN 1780K2»S1CI)00 TO 1840FOR L=2 TO 82(1;FOR j=l TO NREAD *2JK1NEXT JNEXT LK2=S1ÍI)WRITE *i:Kl?K2FOR J=l TO NREAD *2:K3NEXT JIF K1-K3<=0 THEN 1910WRITE *1$100 TO 1920U1R1TE *1Í2NEXT T.DEL.ETE SI ? 62REM ##& CALCULO DE LOS CRUCES CON EL EJEO F1 E N " O O A G U I R R E / V P I H A G u 5 3 ? " R " ? X Y «OFOR ]>1 TO NCALL "REWIND" ?2CALI. "REWIND" ?3FOR JB! TO IREñD *2JK1READ *3íK2NEXT JWRITE tl?KlY-Y+1FOR L»2 TO W1+10*XOFOR J«l TO N

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APÉNDICE "B " PAG.

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APÉNDICE "B" PñG* 40

REM ### PROGRAMA! $OAGUIRRE/GRAF1CG $%%%%%%%%&%%%%%*&%%%%%%%&%%%%%02 = 5IF 01O02 THEN 690IF 00=1 THEN 1720REM ### GRÁFICO DE LUGARES CARACTERÍSTICOS QUE ESTÁN EN ARCHIVO #$:PRINT USING 1060S "GRÁFICO DE LUGARES CARACTERÍSTICOS QUE11

IMAGE P2/17XFA/17X38Íu~u)PRINT USING 10801"ESTÁN ALMACENADOS EN AROH1VOSGG"IMAGE /21XFA/21X29Í" -")PRINT USING "4/10XFAS"í"NOMBRE DEL ARCHIVO? "INPUT A*E $ -•'•" @ O A G UIR R E /" & A $

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300

Jííi=t teOAGUIRR£/POLÜK/B %A$K $ -••" O? Ü A G U IR R E / P O!... O H / ll S A $CALL " F I L E " ? U O í B * ? X *IF X * ™ " " THEN 1460CALL. "FILE" ? UO?C* íX í í iIF X * = " " THEN 1460CALL "FILEB7UO?n#yX$IF X^^u" THEN 1460C A L L " F1L Eu s U O ? E $ í X $IF X*=B" THEN 1460CALL "FILE" ?UOíF'iT»pX$-IF X^H B THEN 1460CALL "FILE"pUQ?G$yX#IF Xíi>™" " THEN 1460CALL "FILE"PUQ>H#>X#IF X*«"u THEN 1460CALL "FILE"yUO?I*?X$IF X$=B" THEN 1460CALL RFILE"?UO?J*?X*IF X*=na THEN 1460CALL "FILE"PUOPK*?X*IF X*=8" THEN 1460GO TO 1490PRINT USING "4/25XFA"í"NO EXISTE ESE ARCHIVOGG"PRINT USING HI2/23XFAH í "CAMBIE NOMBRE DEL ARCHIVO"GO TO 1090REM #tt COPIA DE DATOS DE ARCHIVOS í**** ** ************** ****KILL "00AGUIRRE/LIMIT11

KILL "ÍÍOAGUIRRE/FRECUENCIA11

KILL ufíOAGUIRRE/VPREALn

KILL B@OñGUIRRE/VPIMAG"

APÉNDICE "B" PAG, 41

KILL "EOAGUIRRE/FMT/G"KILL "Í20AGUIRRE/FMT/K"KILL "eOAGUIRRE/FMT/H1 1

KILL "MAGUIRRE/POLOS/G"KILL. "SOAGUIRRE/POLOS/K"KILL " tfDAGUIRRE/POLOS/H1'CQRY EílírUQ TQ "tSOflGUIRRE/LIMIT" *UOCGPY Btt íUO TU "@QAGUIRRE/FRECUENCIA" ?UOCOPY C$íUQ TO "MAGUIRRE/VPREAL" :>UOC O P Y D $ ? U O T O u @ O A G U I R R E / V P I H ñ G " y U OCOPY FÍ>?UO TG "EOAGUIRRE/FMT/G'SUOCOP

U II CJ II i A8" JAI

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1870

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1990

COPY J $ y U O TO "@OAGUIRRE/POLCCOP.Y K # ? U Q TO "MAGIURRE/POLCS/H" ?UOO0.~-lREH tt$ INFORMACIÓN PARA EL GRÁFICO %%%%%K%%%%&X%%%%%%%%%%%%%%XPRINT USING 1730Í"GRÁFICO DE LOS LUGARES CARACTERÍSTICOS DE LisIMAGE P2/13XFA/13X46í n-")PRINT USING B2/22XFA"Í"INFORMACIÓN PARA EL GRÁFICO?"PRINT USING "2/10XFA45TFA" t "VALORES REALES I 1 1 ? " VALORES DESEADOS^OPEN "GÜOAGUIRRE/LInlT" ? 1 ? "R'SX*CALL "REWINri" ? 1

GLOSE 1PRINT USING V9X" "ReCmiH'n> = ""FIU4B 4óT""Re<miINPUT WlPRINT USING V9X" "Re<m3H'x>= " "FB*4B46TH n Res < msH ' x) = " " S "INPUT W2P RIN T U SIN G " 2 / 9 X" " I m ( m i H ' n )« " u F D , 4 D 4 6 T " ll I m ( m i H ' n )INPUT W3P RIN T U SIÑ G " / 9 X" " I m C m a H' x) = tt " F B » 4 D 4 ó T " " I m í m a H '" x) » " " S u I A 4INPUT W4PRINT USING "2/1SXFA" t "INTERVALO ENTRE MARCAS NO ROTULABAS?11

PRINT USING V26XFAS"SnEJE REAL= "INPUT W7PRINT USING V 2 Ó X F A S " t " E J E IMAGINARIO» "INPUT W8PRINT USING 112/19XFA¡1 t "INTERVALO ENTRE MARCAS ROTULADAS?"PRINT USING V 2 6 X F A S * t " E J E REñL= "INPUT W5PRINT USING "/26XFAS"í"EJE IMAGINARIO* H

INPUT Wér" 7 "~ %..* A'.'.

Y0=0*8íií 3 + 07260 TO 2090REM *** SUBRUTINA DEL WINBOW Y VIEWPORT #**************#*#**#**;WIN B O W W1 í- W 2 ? W 3 y W 4IF P9»l THEN 2070VIEWPORT S?125?ll?92GO TO 20SOVIEWPORT Spl4Sp'J.l?92

APÉNDICE "Bu PAG* 42

NOMBRE DEL PROBLEMA

5K EJE HORIZONTAL2 O 2 O

2080 RETURN2090 PAGE2100 REM ### MARGEN2110 GOSUB 20202120 MOVÍ:- QP9íWlíW32130 DRAW G?P95U1?W42140 DRAW @P9ÍW2?W42150 DRAW @P9SW2?W3216 O D R A W @ F19 í U 1 * W 32170 GOSUB 20202180 MOVE í*P9S <W1*W2>/2?W42190 SCALE 1*1

2210 CALI. "REWXNIt" ? 12220 DELETE 812230 D1M, SI C 6)2240 READ *1?812250 REftD #1ÍX*2260 GLOSE 12270 RMOVE Í»P9 í -LEN ( X*) /2*XO ? 0,2#YO-f22280 PRINT G*P9*X$2290 REM #52300 GOSUB2 310 M O V E $ F-19 * W1 ? O2 3 2 O D R A W $ F19 í W 2 ? O2330 MOVE GP9JWlíO2340 Q 8 - C W 2 - W D / W 52350 FQR J^2 TO Q82360 GOSUB 20202370 MOVE @P9ÍW1-KJ«1)#W5>023BO SCALE 1*12390 RDRAW @P9íO?l2400 Q2KW1+<J--1)*W52410 X*»STR(Q2)2420 X^^FiEP í " " ? 1 ii 1)2430 RMOVE @P9S-LEN(X*)/2#XO?-2-l*05#YQ2440 PRINT @P9iX*2450 GOSUB 20202460 MOVE eP9tWl + CJ»l)íKW5íO2470 NEXT J2480 MOVE @P9ÍW1?02490 a9™(W2-Wl)/W72500 FOR J-2 TO Q82510 GOSUB 20202520 MOVE @P9SW1+<J-1)*W7702530 SCALE 1*12540 RDRAW @P9ÍOrQ*52550 GOSUB 20202 5 6 O M O V E; @ P 91 W1 + í J -1) * W 7 ? O2570 NEXT J2580 REM ÍKÍTÍÍÍÍ EJE VERTICAL ###*#####****>2590 MOVE @ P 9 Í O * W 32600 DRAW G 'F 1 9?OpW42610 MOVE @ P 9 5 0 ? W 3

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APÉNDICE "B" PAG > 46

RnOVEPFíIMTINPUT

PRJ.NTI M A G E:PRINTPRINTPRINTPRINTPRINTINPUTGO TOGO TOP9-1XO~G*

## OPCIONES PARA EL GRÁFICO **Hí**#***HeUSING 4290 ? n OPCIONES PARA EL GRÁFICO"P 2/24 X F A / 2 4 X 2 4 ( " - " )USING "6/L7XPA" í B 1

"2/17XFA" í "2"2/17XFA" í "3"2/17XFA" ; U4"8/28XFAS" ? "

USINGUSINGUSINGUSINGK9K9 OF 1930 y 1.720 * A'XBÜ ? 44704340

8#1 +792

— REPETICIÓN DEL GR..... CAMBIO DE PARÁMET— - GRÁFICO EN PAPEL"— FIN DEL GRÁFICO"scoJs ar-cioH' ntGG "

ÁFIROS

O ENDEL b

ANAF

TALICO

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PRINT USING HP5/26XF'A" ;B ALISTE EL GRAFIZADOR"PRINT USING "3/30XFA" í "PONGA PAPELGG"PRINT USING "8/20XFA" í "Presiono CRETURN'J r-ars continuar11

INPUT X$G O T O 2 O 9 OREM ##£ LISTADO DE PUNTOS DE CORTE CON EL EJE REAL #########PRI UBI "P2/Í4XFA3/11 I "PUNTOS APROXIMADOS DE CORTE CON ELOREN U@OAGUIRRE/LIMIT" ? 1 ? " R ü ? X$CAL!... "REWIND" ? 1DELETE S2DIM S2<3)RE AIi *1ÍS1READ *1SXHFOR 1=1 TC NREAD *i;s:NEXT IREAD *1ÍYDELETE YlDIM YimREAD *1ÍY1FOR 1=1 TO YPRINT USING ll/29X""s== B UFD*6D" í Yl ( I >NEXT ICLOSE 1HELETE: Yi?s:i?S2PRINT USING B5/20XFAB i "Presione CRETURN3 para continuar "INPUT X*REM #« CREACIÓN DE ARCHIVOS DE LUGARES CARACTERÍSTICOSPRI US I 47GG$BDE8EA GUARDAR EL GRÁFICO EN ARCHIVO? (SI OIMAGE P2/11XFABINPUT X*IF X*=nSIB OR X$="S* TREN 4750IF X*=BNO" OR Xí>=flNB THEN 340GO TO 4690PRINT USING 47602 "NOMBRE DEL ARCHIVO! "IMAGE 2/10XFABINPUT A*

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APÉNDICE "B" PAG, 49

1000 REH &&# PROGRAMA? SOAGUIRRE/8ALIDA íKÜc***1010 02-61020 IF Ü1OÜ2 THEH 6901030 REH ##* ÍNDICE DE OPCIONES DE IMPRESIÓN1040 PRINT USING 1050 i ll LISTADO DE RESULTADOS"1050 1MAGEP2/25XFA/25X2K n •- " )1060 PRINT USING " 5/13XFA " S H 11070 PR'INT USING " 2/13XFA " í "21080 PRINT UB1NG " 2/13XFA" i " 31090 PRINT USING " 2/13XFA" t U41100 PRI USI "2/Í3XFA" í "5

LISTADO DE DATOS DEL. SISTEMA11

LISTADO DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIALISTADO DE CEROS Y POLOS11LISTADO DE VALORES PROPIOS DE L(s)"

LISTADO DE PUNTOS DE CORTE DE LOS LUGARESPRINT USING 'V18XFA'1 5 "CARACTERÍSTICOS CON EL. EJE REAL"PRINT USING "2/13XFAB I " 6 — FIN DEL LISTADO"PRINT USING " 6/2SXFAS H 1 " Esco Ja oPcioH'niGG "INPUT K9GO JO K9 OF 2340?3970?4940? 1170? .1.960 y 53-40GO. TO 1130REH ### LISTADO DE VALORES PROPIOS DE. L<s) JK**************P9-32PAGEPRINT SP9? USING 1210 \O DE VALORES PROPIOS DE L i s ) "IMAGE 2/19XFA/19X34Í " - H )OREN "MAGUIRRE/VPREAL" » 1 ? " R " ? X$OREN "Í í?OAGUlRRE/VPInAGn Í 2 y " R n .X$OREN "MAGUIRRE/FRECUENCIA" 53 . " F U " ? X $OPEN "SOAGUIRRE/LIMIT" ? 4 ? "R11 íX*CALI... "REWIND" ?4READ *4ÍN,»FFORCALI.

1 TO NREWIND" ?1

CALL BREWIND%2CALL "REWINIin ?3FOR j=l TO IREAD *1?K1READ *2ÍK2NEXT JREAD «SK3PRINT G?P9I USINGPRINT @P9S USINGPRINT @P93PRINT @P9SFQR L~l TOFOR J=l TO NREAD *1JK1READ =»:2íK2NEXT JREAD :Bí3ÍK3PRINT @P9ÍNEXT LNEXT IREAD *3?XOIF X0=0 THEPR1 @P9Í

" n CONTORNO No* " y I ? " I "" /12XFA46TFA" I a FRECUENCIA í * 9 ll VALORES PROP

USING " /39XFA34TFA/ n ? H PARTE REAL 5 a y " PARTE IMAGIUSINGF-l

IOS!"NARIA i

USING " 13XFD + 6D40TFD » 6D58TFD » 6D II ÍK3?K1?K2

ALREDEDOR DE LOS POLOSIMAGE /13XF A

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APÉNDICE "B" PAG, 51

2080 READ #1ÍX$2090 FOR I~l TU N .2:1.00 READ *1ÍS22110 NEXT I2120 READ *I;Y2130 DELETE fl2140 DIM YKY)2150 READ *líYl2160 FÜR T. 1 TO Y2170 PRINT EP9Í ÜSING V29X" " s- " "FD*óD" ÍY3. (!)2180 NEXT I2190 GLOSE2200 HEL.ETE Sl?S2íYl2210 IF P9-51 THEN 10402220 PRINT ÜSING H2/20XFA" 5 "Presione CRETURNJ f&r& continuarGGÍL

2230 1NPUT X$2240 PRINT ÜSING "P2/16XFA8"S"DESEA IMPRESIÓN EN PAPEL? <SI O NO )ÍG6 "

2260 IF X*=HSI" OR X*="SB THEN 22902270 IF X$="NO" OR X#="N" THEN 10402280 GO JO 22402290 PRINT ÜSING M/27XFA" ? " ALISTE EL IMPRESOR"2300 PRINT ÜSING " 5/20XFA" I H Presione CRETURNIi psrs continuarGG"2310 INPUT X$2320 P9=s512330 GO TO 19302340 REM *** LISTADO DE DATOS DEL SISTEMA #********#*JK3lC****íK3íc;K**5iC3ic**#**)í¡2350 IF U4«2 THEN 24302300 PRINT ÜSING 23703"DEBE PRIMERO INGRESAR LOS DATOS"2370 1HAGEP8/20XFA/20X31(U^")2380 PRINT ÜSING 2390$UQ LEERLOS DE UN ARCHIVO"2390 IMAGE 2/24XFA/24X23("=")2400 PRINT ÜSING " 13/20XFA11 í "Presione CRETURN3 para continuarGiS"2410 INPUT X*2420 GO TO 10402430 P9=322440 PRINT @P9? ÜSING "P2/FA"í"ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL"2450 PRINT (»P9? "FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA"2460 PRINT @P9Í "DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA Y CONTROL."2470 PRINT @P9S"AREA DE CONTROL Y SISTEMAS11

2480 PRINT @P9?"TESIS DE GRADO ~-~ OMAR ALEJANDRO AGU1RRE SERRANO"2490 PRINT SP9Í ÜSING " 72 C " " --a " ) " l2500 UPEN "MAGUIRRE/DATGS/NOMBRE11 íly "R" ?X$2510 CALL "REW1NDB?12520 PR1 SP9Í USI 2S30Í "ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS MULTIVART."2530 IMAGE 2/11XFA"ABLES"/I1X50Íu-"?2540 PRINT @P95 ÜSING "/FAS"í"NOMBRE DEL PROBLEMA? "2550 READ *1ÍX*2500 GLOSE 12570 PRINT EP9ÍX*2580 PRINT @P9í ÜSING 2590Í"DATOS DEL SISTEMAS"2590 IMAGE /27XFA/27X18 ("-«")2600 REM %%.% LISTADO DE DATOS DE G (s) ^^^^^^^^^^^^^^^^n.^^.^^^^^.^^^^^^^2610 A*="G(s)u

A P É N D I C E " B l í P A G * 52

2620 UFEN l l ü ? O A G U I R R E / D A T O S / G " ? i y " R " " X$2630 CALI. " R E U I N D " ? 12640 READ *ÍÍZ12650 GOSUB Zl OF 3080 y 35302660 REM ### LISTADO DE DATOS DE K í <»; ^ íK***** ************************2670 A*»"K<s)"2680 OPEM "Gi'OAGUIRRE/DATOS/K" íl? " R " ? X$2690 CALL "REUJIND" ? 12700 READ #1ÍZ22710 IF Z2=2 TREN 28502720 READ *1ÍKO2730 IF K0«2 THEN 28302740 PRINT @P9? USING 2750í"DATOS DE K < 5 > í "2750 IMAGE /29XFA/29X14("-")2760 READ #UK2770 PRINT (2P95 USING " /32XFAFD , FDFiVÍ " K ( s> = Ü ? K ? " # 1 "2730 READ *ÍSF2?C22790 PRINT @P9í USING 2800tF2?C22 8 O O IH A G E /16 X " D O N D E 'I I = m a t r :i, s i ci e; n -b i d a d d s o r d e r'i " F D " x" F D2810 GLOSE 12820 GÜ TO 28702830 GOSUB 30802840 GO TO 28702850 GOSUB 35302860 REH ##& LISTADO DE DATOS DE H<s) ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^.^^^^.^^.^2870 A$™"H(s)"2880 OPEN "SOAGUIRRE/DATOS/H" 51 •> "Ru fXi&2890 CALL "REWIND"?12900 READ *1ÍZ32910 IF Z3==2 THEN 30502920 READ *1;HO2930 IF H0»2 THEN 30302940 PRINT @R9í USING 2950? "DATOS DE í-l(s)in

2950 IríAGE /29XFA/29X14 ( " » a )2960 READ *1ÍK2970 PRINT @P9Í USING B /32XFAFIU FDFA " t " H Cs ) » "^K?"*!11

2980 READ *itF3jC32990 PRINT t»P9? USING 3000íF3?C33000 IMAGE /16X"DONDEí 1= matriz identidad de orden "FD"xnFD3010 CLOSE 13020 GO Tu 38403030 GOSUB 30803040 GO TO 38403050 GOSUB 35303060 GO TO 38403070 REM ### SUBRUTINA DE LISTADO DE FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA #*##*#####3080 PRINT 0P9Í USING 3090Í"DATOS DE n y A * 7 u S B

3090 IMAGE /29XFAFAFA/29X14("-ri)3100 PRI OP9Í USI VllXFAS"i"SISTEMA REPRESENTADO POR FUNCIÓN DE TRAN"3110 PRINT @P9S"SFERENCIA"3120 READ *ltKlíK2fK33130 IF K3=l THEN 32803140 PRINT @P9? USING "/FAS"í"COEF» DEL NUMERADOR DEL FACTOR COMÚN "3150 P R T. N T £ F' 9 t ll ( o r d e n cí e $ c e n d * d e- p o t * ) t "

APÉNDICE B-Et" PftG,

3160 READ *1?K43170 DELETE K3130 DIM K(K4-H>3190 READ *1SK3200 PRINT Í2P9IK3210 PRINT ®P9: USING ll í:"ñS" : ll COEF * DEL DENOMINADOR DEL FACTOR COMÚN3220 PRINT SP9Í"(orden descend, de pot*)+"3230 READ *1SK43240 DELETE K3250 DIM KCK4+1)3260 READ *i:K3270 PRINT l»P9*K3280 PRINT @P9Í USING H/22XFAFAFA/"í"ELEMENTOS DE LA MATRIZ "^A$?";"3290 FOR ]>1 TO Kl3300 FOR J™1 Tu K23310 PRINT @P9: USING 3320 ¿ A$? y í " :> I ? " ? " ? J ? " > "3 3 2 O IM A G E " C O E F + D E L N U M E R A D O R D E L E L E M E N T O "F A F A F D F A F D F A S3 3 3 O F' Rl N T 8 F'-191 " ( o r d e n dése- e n d -> d e R o t * ) 'i "3340 READ *1?K43350 DELETE K3360 DIM KCK4+U3370 READ -1M.ÍK3380 PRINT 8P9ÍK3390 PRINT GP9! USING 34003A$?B(% I ? H ? " ? J ? u ) "3400 IMAGE "COEF: DEL DENOM, DEL ELEMENTO uFAFAFDFAFUFAS3410 PRINT 8P9J"(orden descend. de pot*);"3420 READ *1ÍK43430 DELETE K3440 DIM KCK4+1)3450 READ *1ÍK3460 PRINT GJP9ÍK3470 NEXT J3480 NEXT I3490 GLOSE 13500 DELETE K3510 RETURN3520 REM *** SUBRUTINA DE LISTADO DE EC+ DE ESTADO3530 PRINT @P9! USING 35401"DATOS DE " y A * ? " í H

3540 IMAGE /29XFAFAFA/29X14ín-B)3550 PRI Í5P9Í USI 3560t"SISTEMA REPRESENTADO POR ECUACIONES DE ESTADO3560 IMAGE /13XFA3570 READ *1ÍK1,K2?K33580 PRINT @P9í USING " /25Xll " ORDEN DEL SISTEMA»3590 PRINT @P9í USING "25X""NUMERO DE ENTRADAS»3600 PRINT (3P9Í USING u 25X" "NUMERO DE SALIDAS» u l l F D " t K l3610 DELETE K3620 DIM KÍK3?K3>3630 REAB *J. ÍK3640 PRINT @P9I USING VFA"í"MATRIZ AS"3650 PRINT SP9ÍK3660 DELETE K3 6 7 O DIM K (K 3 ? K 2)3680 READ *1ÍK3690 PRINT @P9i USING "FA"í"MATRIZ BI"

APÉNDICE "B:1 PAG, 54

3700 PRI.NT $P9ÍK3710 DELETE K3720 DIM K(K:UK3>3730 READ *ÍÍK3740 PRINT @P9Í USING " FA " í :l MATRIZ C í tt3750 PRINT @PS*ÍK3760 DELETE K3770 DIM KÍK1¡>K2>3780 READ *1SK3790 PRINT G?P9t USING I IFA" ; "MATRIZ D í"3800 PRINT SP9IK3810 DELETE K3820 CLÜ8E 13830 RETURN3840 IF P9=51 THEN 10403850 PRINT USING "2/2ÜXFA11 í "Presione CRETURNH Para continusrGG"3800 IN.PUT X$3870 PRINT USING "P2/16XFA8"I"DESEA IMPRESIÓN EN PAPEL? (SI O NO)tGG "3880 INPUT X$3890 IF X*="SI" OR X$="8a THEN 3920 .3900 IF X$~"NOU OR X*='NB THEN 10403910 GO TO 38703920 PRINT USING "5/27XFAu5uALISTE EL IMPRESOR"3930 PRINT USING " 9/20XFA" i " Presione CRETURN3 psrs continuaríSG"3940 INPUT X$3950 P9=513960 GO TO 24403970 REM %%•%. LISTADO DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA ¡ícJfíJK***** *****)*:* ***3980 IF U4--2 THEN 40003990 GO TO 23604000 P9«324010 OPEN ueOAGUT.RRE/r.iATOS/G" ?2? " R " f X^4020 CALL "REUIIND" y24030 READ *2íZl4040 IF Zl^l THEN 41104050 A#=nG(s>"4060 OPEN "©OAGUIRRE/FMT/G11 ? 1P "R" vXH^4070 PAGE4080 PRINT SP9S USING 40901uFUNCIONES DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA"4090 IHAGE 2/17XFA/17X3S <"-•")4100 GOSUB 45504110 GLOSE4120 OPEN 1't30AGUIRRE/DATOS/K"52pBRIIpX*4130 CALL "REWIND"y 24140 READ *2ÍZ24150 IF Z2-1 THEN 42304160 A$s"K(s>"'4170 OPEN n@OAGUIRRE/FMT/K'in.ínR"?X*4180 IF Zl«2 THEN 42204190 PAGE4200 PRINT @P9t USING 4210?HFUNCIONES DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA"4210 IMAGE 2/17XFA/17X38Ca™H)4220 GOSUB 45504230 GLOSE

Lü W

-rfi-

APÉNDICE "B" PAG, ¡59

¿400 B$~B$SVFRECLGR"641O KILL B$6420 B^"G?ÜAGU1RRE/"SA$6430 B$~B$S VUPRFALLGR'16440 KILL B$6450 B$"~"íKJAGUIRRE/"SA$6460 B$ = B*a i l /VF' IMAGLGR"6470 KILL B*6480 GO TU 58406490 GO TD 3406500 ENE'

APEND1CE "B" PAG, 60

1000 REM *** PROGRAMA? $OAGUIRRE/CALCULG2 #*#***#***********#**##******iO10 02=7:!.020 IF Ü1O02 TREN 6901030 REM *** ENTRADA DE PARÁMETROS RARA EL CALCULO **#*******#*#*###1040 PRINT USING 1050?"CALCULO £E VALORES PROPIOS DE LA MATRIZ L(s)GG"1050 IMABE P2/14XFA/14X44Í "-••u )1060 PRINT USING " 4/16XFAll S " LIMITES DE VARIACIÓN DE LA FRECUENCIA s í "1070 PRINT USING "2/17XFAS"íBValor de s miH'nimo? en el eJe resl = "1080 INRUT W71090 F'RINT USING " 2/17XFAS " í " Valor de s msH'ximoí en el eJe rtS3l= "1100 1NPUT WS1110 PRI USI "2/7XFAS11 i"NUMERO DE VALORES DE LA FRECUENCIA s? EN EL EJE"1120 PRINT " REAL- "?1130 INPUT Wi1140 PRI USI "4/14XFAS" í " Valor de? s m i H' n im o * en el eJe inisá inario™ "1130 INP.UT W41160 PRI USI "2/14XFASS" í " Valor de s maH'ximo ? en el e, .¡e ím así i na r-i o™ il

1170 INT-'UT Wó1180 PRINT USING "2/5XFASBí"NUMERO DE VALORES DE LA FRECUENCIA s? "1190 PRINT " EN EL EJE IMAGINARIO» a ?1200 INRUT WS1210 REH *** CALCULO DE VALORES DE FRECUENCIA ####*#####*#*#**###*##*###1220 OREN B@QAGUIRRE/FRECUENCIA" r 1? "F11 •; X$1230 IF Ullal THEN 12001240 FS«<W8-W7)/ÍW1--1)1250 GO TO 12701260 F8«01270 W2«W41280 FOR 1=1 TO Wl1290 K1=W7+CI™1)*F81300 IF W5«l THEN 13301310 F9««1"CI + 1>*Í (W6--W4>/(W5--1) )13 2 O G O T O 13 4 O

1340 FQR J~l TO W51350 K2=W2+(J»1)*F91360 IF K100 OR K2OO THEN 13801370 KÍ=l*OE~ó1380 WRITE *1ÍK1?K21390 NEXT J1400 W2~K21410 NEXT I1420 GLOSE 11430 REM M# EXTRACCIÓN DE DATOS DEL SISTEMA #######**«##«*##$####1440 O P E N II @ O A G UIR R E / D A T O S / G u 5 1 •> 'A Ru ? X $1450 CAL.L "REWIND" ?11460 REAH *ÍÍZlíFl?Cl1470 IF Zl=*2 THEN 15001480 READ =11=11 Ul1490 GO TO 15101500 U1=21510 GLOSE 11520 OPEN "MAGUIRRE/DATOS/K11 51? "R" P X$1530 CALL "REW1ND"M!

APÉNDICE "3" PAG, 61

READ #15 Z2IF Z2™2 THEN 1600READ #1ÍKO

L THEN 1630READ f

"sri

READ fltF2->C21 ¡2~?.DÜ TO 1640READ IU:K?GLOSE 1UPEN "MAGUIRRE/DATOS/H" 5 1 ? " R " y X$CALL "REWIND" :-• 1READ *i:Z3IF Z3~2 THEN 1730 'READ *l;HQIF H0=l THEN 1760REMí *li;~3?C3?U3GO TO 1770READ #1?F3?C3U3=«2GO TO 1770READ *1!H9GLOSE 1.REM *** COMIENZO DEL CALCULO ^^.^^^^^^^N=F3DELETE SI í 32 y So? 84DIM S1CN) ?S2(N.) S3(N) ?S4(N)Sl»0P 2 •-"- OOREN "Í30AGU1RRE/FRECUENCIA11 » 4 "R" y X*CALL "REWIND" ?4UPEN "©OAGUIRRE/MPREAL" ?2? "F" vX$OREN 11ÍÍ?OAGUIRRE/VP1MAG!1 ^ 3 ^ " F " v X$FQR U9«l TO U1*W5PR1NT UB1NG 19001W9^" DE "í-WüKWSInAGE PS/12X11CALCULO DEL GRUPO DE VALOREREAD *4SS?UGOBUB 1940GO TO 4970REM #** EVALUACIÓN DE H(s) ^ ^ ^ iK ^ ^ ^IF Z3=2 THEN 1970IF HO-1 THEN 2080OPEN lieOAGUIRRE/FMT/H" 51? " R " X*Z ™ U 3K™F:;M-C3GOSUB 2630DELETE HlíH2DIM H1(F3?C3) PH2(F3?C3)

PROPIOS Nc;, "FDFAFD

DELETE R1?I1REM %.%% EVALUACIÓN DE G(s) ****)K***í ***

APENO ICi:- "B" PAG* 02

2080 OpEM "¡4ÜAGUIPPE/FHT/G" 52090 Z-U12100 K»F12110 M-C12120 GOSUB 26302130 DELE TE Gl *G22140 DIM G1ÍF1 ?C1^G2CF1.!>C1}2150 G1-R12160 G2-X12170 DELETE Rl ? I2180 DIM Ll CF3:>C2190 IF 23™2 THEN. 22502200 IF hio-2 THEN' 22502210 L1=H9#G12220 L2~H9#G22230 DEL.ETE: GI?G:;Í2240 GG TU 23502250 DELETE DO» D?2260 DIM r.iO(F3?Cl> pD9CF3?Cl)2270 DO=H1 MPY Gl2280 D9«H2 MPY G22290 L1-DQ-D92300 DO=H1 MPY G22310 D9-H2 MPY Gl2320 L2-DO+D92330 DEL.ETE .Hl ? H2? Gl ? G2? DO y D92340 REM ### EVALUACIÓN DE Kís) ^^^^2350 IF Z2=^2 THEN 23702360 IF K0=l THEN 25702370 OPEN "í50AGüIRRE/FMT/Kn ?1? "R'SXf2380 Z~U22390 K-F22400 M=C22410 GOBUB 26302 4 2 O U E L E T E K1 y K 22430 DIM K1(F2?C2)?K2(F2?C2)2440 K1=R12450 K2=I12 4 6 O D E L E1" E R1 ? 11 v D 3 y U 4 ? i... 3 y L 42470 REM ##$ CALCULO DE Lis) ^^^^^^^2480 DIM D3CN?N)*D4<N?N)?L3(NrN)yL4<2490 D3«L1 MPY Kl2500 ri4 = L2 MPY K22510 L3~H3--D42520 D3^L1 MPY K22530 Ü4-L2 .MPY Kl2540 L.4™D3-Í:D42550 DELETE Ll ? L.2 ? Kl 9 K2 i D3 y D42560 GO TU 33102570 DELETE L3vL42580 DIM L3<N?N)TL4íN?N)2590 L3~K9*L12600 L4»K9*L22610 DELETE L1?L2

APÉNDICE

2620 GO TO 33102630 REM *** SUB» PARA EVALUACIÓN DE MATRICES COMPLEJAS ****************2040 DELETE VI2650 DIM V1C25)2660 IF Z=l THEN 27102670 R~l2680 GOSUB 27802690 YS-R22 7 O O Y 9 ~ 122710 DELETE Rl?ll2720 DIM RKKpM) j 11 ( K ? M >2730 FGR 1-1 TO K2740 FOR J-l TO M2750 R=ÍI"1)#M-U+12760 GOSUB 27802770 GO JO 32002780 REM ### SUB, PARA EVALUACIÓN DE ELEMENTOS COMPLEJOS **********2790 RE>iD #1?RÍV12800 DELETE B y C2810 DÍM B<V1 ( I)T!) ?CÍVl(Vltl}T3)-Kl )2S20 FOR L=V1<1) TU O STEP -12830 B<L + 3.)=V1C2-L+V1C1) )2840 NEXT L2850 FOR L=:Vl(Vl(l)-{-3) TQ O STEP -12860 CCL+Í)=Vl<Vl<l)+4-L-fVl<VÍCl)-f3»2870 NEXT L2880 D=B<1)2890 E 'O2900 T=S2910 Q = Ui2920 IF V1. (1)=0 THEN 30002930 FOR L=l TO Vl(l)2 9 4 O Ii=D -f B C L * 1) * T2950 E=E+BÍL+1)*Q2960 P=T*S-Q*U2 9 7 O Q -- T * W + Q * S'"i i™i fi í". T „ l"i.- -v i--; r i i ™ H*.-... / v..1 •«• i i

2990 NEXT L3000 IF DOO OR EOO THEN 30403010 R2=03 O 2 O 12™O3030 RETURN3040 F=C(1)3050 G~03060 T^S3070 Í.=W3080 .EF VKVÍ(1)+3)=0 THEN 31603090 FOR L™1 TO VI<VIí15+3)3100 F«F + CíL-fl)*T3110 G=G+CÍL+I)*Q3120 P=T*S-Q*W3130 Q=T*W+Q*S3140 T=F'3150 NEXT L

APÉNDICE: "B" PAG>

3160 U^F"2*tr23170 R2- í D&F-f E#G ) /U3180 t2^CE:KF"H^G)/U3190 RETURN3200 1F 1=1 THEN 32403210 Rl {- 1 9 J)~Y8&R2"Y7#I23220 IKIí J)«Y9*R2 + YS*1S3230 GO TO 32603240 RKI?J)=R23250 IKIj J)=I23260 NEXT J3270 NEXT 13280 GLOSE 13290 DELETE BVCyYl3300 RETURN3310 REM. ### COMIENZA MÉTODO DE FADEEV ^^^^t^^^^^^^^^^3320 DELETE Pl ? P2 v Bl 9 B2 y DI ? H2 ? D3 y D43330 DI>í PKN-fl) yP2CN+l) ? Blí N?N) ? B2 ( N ? N) ? Dl< N v N ) ? D2 ( N ? N )3 3 4 O D I H U 3 ( N ? N ) ? D 4 C N ? N )3350 Pl-03360 P2=03370 B1=L33380 B2-L43390 IF N""l THEH 35803400 FOR J-l TO N-l3410 FOR I"l TO N3420 P1<J)=PÍCJ)+B1<1?I)3430 P2ÍJ)«P2CJ)+B2<1?I)3440 NEXT 13450 P1CJ)-PJ.(J)/J3460 P2CJ)=P2CJ)/J3470 FÜR 1=1 TO N3480 Bl ( I 9 1 ) «Bl ( I 9 1 ) -Pl ( J )3490 B2CI?I)=B2(IyI)-P2CJ)3500 NEXT I3510 r.H-L3 MPY Bl3520 D2=L4 MPY B23530 D3-L3 MPY G23540 D4=L4 MPY Bl3550 B1-D1-D23560 B2-D3-K143570 NEXT J3580 DELETE L3 ? L4 y DI ?D2? D3 ?D43590 PKN)«BlClpl)3600 P2CN)«B2(lyl)3610 DELETE B1?B2?P3?P43620 Din P3 ( N+l ) ? P4 C N+l >3630 P3=-1#P13640 P4«-lHíP23650 FOR 1=1 TO H3660 P1(1 + 1)-.P3CI)3670 P2C1+1)=P4(I)3680 NEXT I3690 DELETE P3?P4

APÉNDICE "B" PAG, 63

3940395039603970398039904 O O O4010402040304 O '4 O4050406040704 O 8 O1409041004110412041304140415 v41604170418041904200421042204230

REM *%% RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA **##*###NQ-NU E L E T E A O t B O 9 A t B 9 9 X O f Y ODIM AOÍN+l ) jBOCN+1 ) P AÍN) íB9CN) yXOCN) y YO(N)AO = P1BO:~P2DELETE P1?P2U-AOC1)V-BO(l)D-UÜíU-fV*^FOR J-l TO MA( J)=(U*AO( J+l )+V*BO( JT! ) )/DB 9 ( J ) - ( U * B O ( J 4- 1 ) - V >K A O ( J + 1 ) ) / UNEXT JE>1 »OE-24El^BQRCE)E3=1*OE-10IF N«l THEN 4060IF ACN)-0 AND 89(N)™0 THEN 4030GOSLJB 4340XO(N)-XYOÍN)«Y

IF N<=2 THEN 4010FOR J^2 TO N-lA ( J ) = A < J ) 4-X#A í J-l ) --YKB9 < J-l )B9 C J ) ==B9 ( J ) -f X&B9 ( J-l ) +Y# A í J- 1 )NEXT JN=N-1GO TO 3890XOCN>==0YO<N>=0GO TO 4010XOÍN)=-A(1)YOCN)=-B9<1)REH *** ALMACENAMIENTO DE VALORES PROPIOS ** m%%%%%%n%%.%%%&%%%%%&%.N-NOS3-XOS4-YOFOR 3>1 TO N-lM=l »OE-i-50FOR J»l TO NS5^SQR ( ( S3 < J ) »S1 ( IIF S5>M THEN 4190M^SSK1«JNEXT JIF K1«I THEN 4270Q-S3CI)S3<I)™S3(K1)S3CK1)=Q

-X-

4780 REM #$# CALCULO DE F(8) Y DE4790 U»l

IF N-l THEN 49204840 FOR KS-1 TO N--1

T ~ U * X •- y * Y i A ( K 8 )

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1530 I N P U T X*

APÉNDICE "8" PAG» 82-

2080 INPUT X$2090 PRINT USIMG " P2/16XFAS" ? Il DESEA IMPRESIÓN EN PAPEL? (SI O NO KfiR "2100 INPUT X*2110 IF X*~"3E" ÜR X$~"S" THEN 21402120 IF X$""NO" OR X$»nN" l'HEN 10402130 GO ÍO 20902140 PRINT USING " 4/27XFA" i " ALISTE EL IMPRESOR-1

2150 PRINT USING " 5/20XFA" í " Presione CFÍETURN3 psrs continuaros"2160 INPUT X$2170 P9 = 512180 GO ÍO 16602190 REM #*# LISTADO DE DATOS DEL SISTEMA ************#ifí**;íc?{£>lí**)íí)íe;í:íí£J|í***)í2200 IF U4-2 THEN 22SO2210 PRINT USING 2220í"DEBE PRIMERO INGRESAR LOS DATOS"2220 1MAGEP8/20XFA/20X31Í"^")2230 PRLNT USING 22401"O LEERLOS HE UN ARCHIVO"2240 XMAGE 2/24XFA/24X23(tt™")2250 PRINT USING u13/20XFA":"Presione CRETURNIl psrs continusrGG"2200 INPUT X*2270 GO TO 10402280 P9-322290 PRINT @P9S USING "P2/FA"t"ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL"2300 PRINT @P9í"FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA"2310 PRINT @P9í"DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA Y CONTROL"2320 PRINT @P9ÍBAREA DE CONTROL Y SISTEMAS"2 3 3 O F1 R1N T @ P 9 ! " T E SIS D E G R A D O « - O M A R A L E J A N D R O A O U1R R E S E R R A N O "2340 PRINT @P9Í USING H72(""-"")"t23SO OPEN "MAGUIRRE/DATOS/NOMBRE" ? 1? U R " ? X$2360 CALL "REWIND" ,»12370 F'RI @P9Í USI 23SO; " ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS MULTIVARI"23SO IMAGE 2/HXFA" ABLES V11X50C B » " )2390 PRINT @P9Í USING "/FAS"í"NOMBRE DEL PROBLEMA: "2400 READ ftl:X$2410 GLOSE 12420 PRINT G?P9tX$2430 PRINT t§P9: USING 24401 "HATOS DEL SISTEMA;"2440 IMAGE /27XFA/27X1SÍ ll ~ u )2450 REM #« LISTADO HE DATOS DE Gis) •^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^.^^.^^^2460 A$~:"G<s> n

2470 OPEN "SOAGUIRRE/DATÜS/G B ?1?"R"?X*2480 CALL "REWIND"?12490 READ tlíZl2500 GOSUB Zl OF 2930?33802510 REM *%* LISTADO DE DATOS DE K(s) >K^^>K^^^:K^^íKiíí;íí^>!í)KíK^>íí^;K>K^>K^^^ííí;K^^íK*Hí2520 A*="I«s) "2530 OPEN "ííOAGUIRRE/DATOS/K^l "R n ?X$2540 CALL "REWIND"?12550 READ *1ÍZ22560 IF Z2-2 THEN 27002570 READ *1ÍKO2580 IF K0=2 THEN 26802590 PRINT t3P9: USING 2600 J " DATOS DE K < s ) í "2600 IMAGE /29XFA/29X14<"-n)2610 READ *1ÍK

APÉNDICE B.6" PftG, 83

2620 PR1NT @P9í USING " /32XFAFD* FDFA u 5 " K< s > = " ? K ? " « "2630 READ #1ÍF2?C22640 PRIHT @P9Í USING 2Ó50ÍF2*C22650 IHAGE /16X " DONDE :í I™ matriz identidad de; orden " FU " x " FD2660 CLDSE I2670 GQ TQ 27202680 GGSUB 29302690 GÜ TO 27202700 GOBUB 33802710 REM ### LISTADO DE DATOS DE Mis) ^^^^^^^^^^^^^^^^t^^^^^.2720 A$~uH(s> "2730 OPEN UÍH)AGUIRRE/DATOS/H" ? 1 ? "R" y X*2740 CALL "REUIIMD" ?12750 READ *1?Z32760 IF Z3«2 THEN 29002770 REAU sftltHO2780 IF HO=-2 THEN 2880

2800 IHAGE /29XFA/29X14C "-»" )2810 READ *1ÍK2820 PRINT @P9Í USING u/32XFAFD,FDFAaJnHCs)™ M p K í H * I B

2830 READ 41?F3?C32840 PRINT t3p9í USING 2850tF3?C32850 IMAGE /16XBDONDEÍ 1= mstriz identidad de orden "FIi"x¡1FD2860 GLOSE 12870 GÜ TO 36902 8 8 O G O S U B 2 9 3 O2890 GO TQ 36902900 GOSUB 33802910 GO TO 36902920 REM #** 8UBRUTINA DE LISTADO DE FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA #######«#2930 PRINT BP9J USING 2940 i "DATOS DE I l í A * ? l i í 1 1

2940 IMAGE /29XFAFAFA/29X14("-u)2950 PRINT @P95 USING " /11XFAS" i il SISTEMA REPRESENTADO POR FUNCIÓN DE"2960 P RIN T OP9í" T R A N S FE REN CIAn

2970 READ *13KlíK2?K32980 IF K3«l THEN 31302990 PRINT OP95 USING n/FASBt"COEF, DEL NUMERADOR DEL FACTOR COMÚN "3000 PRINT @P9í"(orden descend* de pot*)ín

3010 READ *1ÍK43020 DELETE K3030 DIM KÍK4+1)3040 READ *1ÍK3050 PRINT 0?P9iK3060 PRINT @P9t USING " FAS" t " COEF * DEL DENOMINADOR DEL FACTOR COMÚN !1

3070 P R 3! N T 0 P 9 í " ( o r d e n d e s c e n d * d e r- o t, ) ; u

3080 READ *1ÍK43090 DELETE K3100 DIM K<K4-M.)3110 READ *i:i<3:1.20 PRINT (»P9?K3130 PRINT SP9I USING V22XFAFAFA/'í"ELEMENTOS DE LA MATRIZ " y A # * " i "3140 FOR ]>.i TO Kl3150 FOR jiai TO K2

APÉNDICE "B" PAG, 84

."5160 PRINT l»P9; USING 3170 í A$ ? li ( " y I ? M ? " * J y " ) "31/0 IMAGE "COEFt DEL NUMERADOR DEL ELEMENTO uFAFAFDFAFDFAS3100 PRINT (*P9: ° í ornen desceño» d* F'Ob*)J"3190 READ *1ÍK43200 DELETE K3210 D1M K(K4+1>3220 READ f:UK3230 PRINT 8P95K3240 PRINT G?P9? USING 3250 í A$ p H C " ? I ? " y " y J y " ) "3250 IMAGE "COEF* DEL DENQM* DEL ELEMENTO "FfiFAFDFAFDFAS3260 PRINT ©P9S"(orcíen descend» de pot*)í"3270 READ *1SK4:?2i?0 DELETE K32^0 D1M KCK4+1)3300 READ :Si=i:K3310 PRINT QP9ÍK3320 NEXT J3330 NE)<T I3340 GLOSE 13350 DELETE K3360 RETURN3370 REM '&%'& SUBRUTINA DE LISTADO DE EC* DE ESTADO JK**sK**#*)í£**3it*5k#)íc**íi£**3330 PRINT @P9S USING 3390 ? " DATOS DE B í A $ ? " S ( l

3390 IMAGE /29XFAFAFA/29X14 ( " - ll )3400 PRI @P9S UST. 34101 " SISTEMA REPRESENTADO POR ECUACIONES DE ESTADO"3410 IMAGE /13XFA3420 READ #1 SKI 7K2?K33430 PRINT @P9Í USING V2SX" "ORDEN DEL SISTEMA» " UFD 1 1 ÍK33440 PRINT GP9Í USING "25XH"NUMERO DE ENTRADAS» ""FD"íK23450 PRINT @P9? USING u25Xtt"NUMERO DE SALIDAS» n u F D a Í K l3460 DELETE K3470 DIM 1«K3?K3)34SO READ *i:K3490 PRINT @P9í USING "/FABí"MATRIZ A t n

3500 PRINT @P9?K3510 DELETE K3520 Din KCK3?K2)3530 READ *1JK3540 PRINT @F'9í USING a FAn t " MATRIZ Bí"3550 PRINT @P9íK3560 DELETE K3570 Din KCKJ.?K3)3580 READ *1ÍK3590 PRINT 8P9Í USING IIFA" ? " MATRIZ Ct"3600 PRINT Í5P9ÍK3610 DELETE K3620 DIM I«KlíK2)3630 READ *1ÍK3640 PRINT @P9S USING B FA"J"MATRIZ D í "3650 PRINT @P9ÍK3660 DELETE K3670 GLOSE 13680 RETURN;£690 IF P9 = 51 THEN 1040

APÉNDICE "B" PAG* 35

. 3700 PRINT USING " 2/20XFA" 5 " Presione? CRETURNJ para contirnasrOr-1."3710 INPUT X$3720 PRINT USING u P2/16XFASn I " DESEA IMPRESIÓN EN PAPEL'? (SI Ü NQMGG "3730 INPUT X$3740 IF X^"81" ÜR X*~"S" THEN 37703750 IF X*""NOH DR Xs^-'N" i'HEN 10403760 GÜ TU 37203770 PRINT USING " 5/27XFA* í " ALISTE EL. IMPRESOR"3730 PRINT USING " 9/20XFA)l ? " Presione CRETURNI! PSTB continusrGG"3790 INPUT X$3800 P9 = 513810 GÜ TU 22903820 REH &## LISTADO DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA %'n*%%%$%%%%x%%m%*%3830 IF 114 = 2 THEN 38503840 GO TO 22103850 P9-323860 PAGE3870 QptN "G?OAGUIRRE/DATOS/GH ?2? "R" ?X$3880 CALI. "REWINDU P 23890 READ #2:213-900 KF 21 = 1 ÍHEN 3970JvlO A^™"G(s)u

3920 OREN "©OAGUIRRE/FMT/GH?1?"R"yX$3930 PAGE3940 PRINT @P9Í USING 3950t"FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA"3950 IMAGE 2/I7XFA/17X38 ( " - !l )3960 GOSUB 43903970 GLOSE3980 OPEN BeOAGUIRRE/DATOS/K"52?BR"íX*3990 CALI... "REWINDU?24000 READ «tZ24010 IF Z2~l THEN 4080-4020 A*~"K(s> "4030 OPEN "íi-ÜAGUIRRE/FMT/K" 51? "RB ?X*4040 IF 21«2 THEN 40704050 PRINT SP9Í USING 4060í"FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA"4060 IMAGE 2/17XFA/17X38 < " -•" )4070 GOSUB 43904080 GLOSE4090 OREN "MAGUIRRE/DATÜS/M" ?2? "R" ? X*4100 CALL BREWIND Bí24:U.O READ *2Í23412 O IF 2'. 3 ™ 1 T H E N 4 i 9 O4130 A*™"Hís>"4140 OPEN "(50AGUIRRE/FMT/H11 í l p "R"?X$4150 IF 21=2 QR 22 2 THEN 41804160 PRINT @P9! USING 41701"FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA"4170 IMAGE 2/17XFA/17X38C"-")4180 GOSUB 43904190 GLOSE4200 IF 21 = 2 CR Z2-2 OR Z3='2 THEN 42604210 PRINT USING B 5/25XFA" ; l! YA ESTÁN LISTADAS LAS"4220 PRINT USING ll 2/23XFA" S ll FUNCIONES DE TRANSFERENCIA"4230 PRINT USING " 8/20XFA" \ Presione CRETURN3 pars continuarGG11

APÉNDICE "B" PAG

4240 ÍNPUT Xí>4250 GO TO 10404260 IF P9-S1 THEN 10404270 PRINT USING :1 2/20XFA " * " Presione CRETURNJ psrs corrtinusrGG rl

3280 ÍNPUT X$4290 PRINT USING " P2/16XFAS" í " DESEA IMPRESIÓN EN PAPEL? (SI O NÜ)ÍGG :l

4300 INFUT X*4310 IF X$~"S1" OR X^"S" THEN 4340-4320 IF X#-"NQ" OR X$-=HN" THEN 10404 3 3 O G O T O 4 2 V' O4340 PRINT USING " 3/27XFAll 5 " ALISTE EL IMPRESOR"4350 PRINT USING '2/20XFA" i "Presione CRETURNH p#ra continusrGG"4360 ÍNPUT X$4370 P9::::5i4380 130 TO 38604390 REM- #*# SUBRUTINA DE LISTADO DE FMT ####*$ ##)lí###}K}ií#)lc;tc)Í(:t:;íí###$#$###4400 PRINT (3P95 USING 4410?A*4410 IM>íGE /16XBFUNCION MATRIZ DE TRANSFERENCIA DE " FA u S " /16X40 ( " - " )4 4 2 O I1 E L E "I" E V4430 Dld VC25)4440 READ f-1 ? 1 J V4450 PRINT @P9í USING VFAS11 í " COEF* DEL NUMERADOR DEL FACTOR COMÚN u

4460 PRINT SP9Í"(orden descend* de pot»)t"4470 PRINT ©P9ÍVC2)4480 DELETE VI4490 DIM VI (V (3)4-1)4500 FOR 3>1 TO M < 3 >-M.4510 VltI>™V<I+3)4520 NEXT I4530 PRINT Í»P9Í USING " FAS" í "COEF* DEL DENOMINADOR DEL FACTOR COMÚN "4540 PRINT 8P9S " (o'rden descend, de F>ot* ) ? "4550 PRINT OP9SV14560 READ *2íF?C4570 FOR Ll"l TO F4580 FOR J-l TO C

4600 R E A D * l > F í S V4610 DELETE VI4e?20 D I M V 1 ( V C 1 ) + 1 )4630 FOR I»l TO VCD+14640 VI < I )-V( 14-1)4650 NEXT 14660 PRINÍ GP9S USING 4670 i A* ? " ( ll f Ll4 6 7 O I M A G E " C O E F * D E L N U M E R A D O R DEL E L E M E N T O a F A F A F D F A F D F A S4 6 8 O F1 R I N T S1 P 9 ? " ( o r d e n d e s c e n d , d e p o t * ) í "4690 PRINT GP9ÍV14 7 O O P R 1 N T í* F1 9 í U S I N G 4 7 1 0 \ $ ? " ( n ? L 1 p " ? " ¡. J P " ) »4710 IMAGE "COEF* DEL DENOMINADOR DEL ELEMENTO "FAFAFDFAFDFAS4720 PRINT ©P9Í" (orden descendí de pot*)í"4730 PRINT @P9{VCVCl)+4>4740 NEXT J4750 NEXT Ll4760 DELETE VrVl4770 RETURN

APÉNDICE nB" PAG* 87

3780 KEM ¥>'# LISTADO DE CEROS Y POLOS íK****************** ** **********4790 1F LM«2 THEN 48104 8 O O G O TO 22104810 P9—324820 UPEN u$OAGLJlRRE/nATOS/G:1 52? :IR" ?X$4830 CALL "REWIND"924340 READ *2ÍKl?K2?K3-*350 PAGE4860 PR1NT SP9Í USING 4870I"LISTADO DE CEROS Y POLOS DEL SISTEMA"4870 IriAGE 2/ 18XFA/18X3Ó C " ™" •4880 OPEN "QOAGUIRRE/POLOS/G" 51? "R"?X&4890 A*=-'G(s) "4900 GOSUB 52704 910 C L O 8 E4920 OPEN "tfOAGUIRRE/DATOS/K11 ? 2 ? !l R " ?X$4930 CALI. "REWXNIi" ?24940 READ *2ÍK14950 IF" KÍ--2 THEN 49804960 READ «ÍKG4970 1F KO-1 THEN 50204980 READ *2ÍK2?K34990 A$~"K<*;< "5000 OPEN "eOAGUT.RRE/POLOS/K"pl7"RByX*5010 GÜSUB 52705020 GLOSE5030 OPEN "MAGUIRRE/DATOS/H" ?2p "R" ?X*5040 CALL "REWIND"?25050 READ *2$K15060 IF Kl=2 THEN 5090' 070 READ *2ÍHO5080 IF HO-1 -THEN 51305090 REñD ^2tK2^K35100 A*«MHCs)"5110 OPEN "QOAGUIRRE/POLOS/H11 51 f " R " ? X$5120 GOSUB 52705130 CL08E5140 IF P9-51 THEN 10405150 PRINT US1NG "2/20XFA"$"Presione CRETURN3 para continuarGG"5160- INPUT X*5170 PRINT USING u P2/1ÓXFASM u DESEA IMPRESIÓN EN PAPEL? (SI O Nn>*RR >'5180 INPUT x*5190 IF X*«"SIB OR X*="S11 THEN 52205200 IF X$«BNQ11 OR X$==nNH THEN 10405210 GO TO 51705220 PRINT USING "3/27XFA"í"ALISTE EL IMPRESOR"5 2 3 O P RIN T U 81N G " 2 / 2 O X F A " ? " F' r e s i o n e C R E T U F NII p a r s c o n t i n u a r G G "5240 INPUT X$5250 P9~315260 GO TO 48205270 REM $## SUBRUTINA DE LISTADO DE POLOS Y CEROS í ?K * Mííí; í|=: ;K ;ií >K ií5280 PRINT @P9Í USING S2902A$5290 IMAGE /25X11CERQS Y POLOS DE " FA " í " 725X22 < w -•" )5300 DELETE M5310 DIM y<25)

APÉNDICE: "B" PAG, SB

53405350

545054005470548054905500551055205530554055505560557055805590500056105é2056305640

56805690570057105720573057405750

READ 'M. ? 1 Í VIF v < i > = o THEN 5390PR1NT 13P9; USING " /24XFA" í " CEROS DEL FACTOR COMÚN i"PRINT £P?í USINO " /i. 3XFA46TFA/ " t " PARTE REAL" 7 " PARTE IMAGINARIA"!-" O R I ™ 1 TU V ( i >PPIMT i»P9 í USING " 14XFIU 4D5ÜTFÜ * 4D i[ : V ( 2# I ) ? V ( 2#I* i >NEXT I:i;F V<2#V(l>+2J=sO THEN 5450PR1MT t»F'9: USÍNS " /24XFA" S "POLOS DEL FACTOR CÜfiUNi"PR.INT @P9; ÜS1NG " /13XFA46TFA/ " í " PARTE REAL" y "PARTE IMAGINARIA"FÜR 1=1 TO y (2*y < 1 ? f2>PRINT @P9í USING " 14XFD » 4D50TFD * 4D" i M ( 2 ( V ( 1 ) -rl ) -í-1) y V ( 2# ( V < 1 ) -f TNEXV IFOR L.1-1 TO !\FOR J=l TO K3?í= (.1.1-1 >*K3TJ + 1REAH *1 ?RíyIF^Uí.D-O THEN 5500PRINT (3P9; USING 5510t A*i? " C " í Ll ? 1l 7 " ? J? " > 5 "1MAGE /21X" CEROS DEL ELEMENTO " FAFAFDFAFDFAPRINT @!='9í USING !1 /13XFA46TFA/ !1 t 1 1 PARTE REAL" r "PARTE IMAGINARIA"r'OR 1-1 TO V(l)PRINT 8P9? USING " I4XFD, 4D50TFD « 4D H ^M (2*1) ? V <2*I+1 )NEXT IIF V<2#V(Í)*2>"-Ü THEN 5030PRINT @P9t USING 5580 I ñifr? " ( ll ? Ll? " ? " ? J ? " ) t "IMAGE /21X" POLOS DEL ELEMENTO n FAFAFDFAFDFAPRINT eF'9S USING V13XFA46TFA/ " 3 " PARTE REAL " ? " PARTE IMAGINARIA"FOR 1 = 1 TO V(2*y(l)-f2)PRINT @F'9t USING " 14XFD , 4D50TFIU 4D " í V<2*< V( 1 > +1 )+l > * V <2# C V ( 1 ) +INEXT INEXT JNEXT LlDE LE TE VRETURNREM #*# BORRADO DE ARCHIVOS ########*###*######**#*##^PRINT USING 56901 "DESEA BORRAR ALGÚN ARCHIVO? (SI O HOKGG ll

IMAGEP2/15XFASINPUT X*IF X$^nSl" OR X*-'1 " THEN 5740IF X$="NQ" OR X$^"N11 THEN 6330GÜ TO 56SOPRINT USING "4/10XFAS" í "NOMBRE DEL ARCHIVOS "INPUT A*B*=: " §OAGUIRRE/NOMBRE/ " &A$KILL B*

KILL B*B*=B@OAGUIRRE/K/"SA*KILL B*

K I L L B*B * = " í » O A G U I R R E / F M T G / t t & A í S -K I L L S*

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