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ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL No.16 CAMPO DISCIPLINAR DE MATEMATICAS Y RAZONAMIENTO COMPLEJO

MATERIA: PENSAMIENTO NUMERICO Y ALGEBRAICO II

ELABORO: ING. JULIO CRISPIN JIMENEZ RAMIREZ GRUPOS: 1°I, 1°II Y 1° III

TEORIA DE LA UNIDAD I: VARIACIONES NUMERICAS EN

CONTEXTO

COMPETENCIA A DESARROLLAR: FAVORECE ENTRE LOS

ESTUDIANTES EL AUTOCONOCIMIENTO Y LA VALORACION DE SI MISMOS.

TEMA: PROPORCIONALIDAD

MAGNITUD

Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir

numéricamente.

Ejemplos:

La long i tud del lado un cuadrado

La capacidad de una bote l la de agua.

El número de goles marcados en un part ido.

El número de goles marcados por e l equipo A.

Razón

Razón es el cociente entre dos números o dos cant idades

comparables entre sí , expresado como fracción.

Los términos de una razón se l laman: antecedente y consecuente .

E l antecedente es el dividendo y el consecuente es el divisor .

Diferencia entre razón y fracción




La razón en los lados de un rectángulo de 5 cm de a l tura y 10 cm

de base es:

No hay que confundir razón con fracción.

S i es una f racción , entonces a y b son números enteros con

b≠0, mientras que en la razón los números a y b pueden ser

decimales .

Definición

Proporción es una igualdad entre dos razones.

Constante de proporcionalidad

Cuarto proporcional

Es uno cualquiera de los términos de una proporción.

Para calcular lo se d iv ide por e l opuesto, e l producto de los ot ros

dos términos.




Medio proporcional

Una proporción es cont inua si t iene los dos medios iguales .

Para calcular e l medio proporc ional de una proporc ión cont inua se

ext rae la raíz cuadrada del producto de los ext remos.

Tercero proporcional

En una proporción cont inua , se denomina tercero proporc ional a

cada uno de los términos desiguales.

Un tercero proporc ional es igual a l cuadrado de los términos

iguales, d iv id ido por e l término desigual.

Definición

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, a l

multipl icar o dividir una de el las por un número cualquiera, la

otra queda mult ipl icada o dividida por e l mismo número.

Se establece una re lac ión de proporc ional idad d i recta ent re dos

magni tudes cuando:

A más cor responde más .

A menos corresponde menos .

Son magni tudes directamente proporcionales , e l peso de un

producto y su prec io.

Ejemplo:




Si 1 kg de tomates cuesta 1 €, 2 kg costarán 2 € y ½ kg costará

50 cént imos.

Es decir : A más k i lógramos de tomate más euros. A menos

k i lógramos de tomate menoseuros.

También son directamente proporcionales :

El espacio recorr ido por un móvi l y e l t iempo empleado.

El vo lumen de un cuerpo y su peso.

La long i tud de los lados de un pol ígono y su área.

Aplicaciones de la proporcional idad directa

Regla de tres simple y directa

Repartos directamente proporcionales

Porcentajes


Consiste en que dadas dos cant idades correspondientes a

magni tudes directamente proporcionales , ca lcular la cant idad de

una de estas magni tudes correspondiente a una cant idad dada de

la ot ra magnitud.

La regla de tres directa la apl icaremos cuando ent re las

magni tudes se establecen las re lac iones:

http://www.vitutor.com/di/p/a_5.html


http://www.vitutor.com/di/p/porcentaje.html




A más más .

A menos menos .

Ejemplos:

Un automóvi l recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos k i lómetros

habrá recorr ido en 2 horas?

Son magni tudes directamente proporcionales , ya que a

menos horas recorrerá menos k i lómetros.

240 km 3 h

x km 2 h

Ana compra 5 kg de patatas, s i 2 kg cuestan 0.80

€, ¿cuánto pagará Ana?

Son magni tudes directamente proporcionales , ya

que a más k i los, más euros.

2 kg 0.80 €

5 kg x €


Consiste en que dadas unas magnitudes de un mismo t ipo y una

magnitud total , calcular la parte correspondiente a cada una de

las magnitudes dadas.




Ejemplo:

Un abuelo repar te 450 € ent r e sus t res n ietos de 8, 12 y 16

años de edad; proporc ionalmente a sus edades. ¿Cuánto

corresponde a cada uno?

L lamamos x, y, z a las cant idades que le cor responde a cada

uno.

1º El reparto proporc ional es:

2º Por la propiedad de las razones iguales:

3º Cada nieto rec ib i rá:




Definición y ejemplos

Un porcentaje es un t ipo de regla de tres directa en el que una

de las cantidades es 100.

Ejemplos:

Una moto cuyo prec io era de 5.000 €, cuesta en la actua l idad

250 € más. ¿Cuál es e l porcentaje de aumento?

5000 € 250 €

100 € x €

E l 5%.

Al adquir i r un vehículo cuyo prec io es de 8800 €,

nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay

que pagar por e l vehícu lo?

100 € 7.5 €

8800 € x €

8800 € − 660 € = 8140 €




También se puede calcular d i rectamente

del s iguiente modo:

100 € 92.5 €

8800 € x €

El prec io de un ordenador es de

1200 € s in IVA. ¿Cuánto hay que

pagar por é l s i e l IVA es del 16%?

100 € 116 €

1200 € x €

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al

mult ipl icar o dividir una de el las por un número cualquiera, la

otra queda dividida o mult ipl icada por el mismo número.

Se estab lece una re lac ión de proporcionalidad inversa ent re dos

magni tudes cuando:

A más corresponde menos .




A menos corresponde más .

Son magnitudes inversamente proporcionales , la veloc idad y e l

t iempo:

A más ve loc idad corresponde menos t iempo.

A menos ve loc idad corresponde más t iempo.

Ejemplos:

Un vehículo tarda en real izar un t rayecto 6 horas si su

veloc idad es de 60 km/h, pero s i doblamos la veloc idad e l

t iempo disminuirá a la mi tad. Es decir , s i la veloc idad es de 120

km/h e l t iempo del t rayecto será de 3 ho ras.

Aplicaciones de la proporcional idad inversa

Regla de tres simple inversa

Repartos inversamente proporcionales



magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cant idad

de una de estas magnitudes correspondiente a una cant idad

dada de la otra magnitud.






La regla de tres inversa la apl icaremos cuando ent re las

magni tudes se establecen las re lac iones:

A más menos .

A menos más .

Ejemplos:

Un gr i fo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en

l lenar un depósi to. ¿Cuánto tardar ía s i su caudal fuera de 7 l

por minuto?

Son magni tudes inversamente proporcionales , ya que a

menos l i t ros por minuto tardará más en l lenar e l depósi to.

18 l /min 14 h

7 l /min x h

3 obreros const ruyen un muro en 12 horas, ¿cuánto

tardarán en const ru i r lo 6 obreros?

Son magni tudes inversamente proporcionales , ya

que a más obreros tardarán menos horas.

3 obreros 12 h

6 obreros x h





Dadas unas magnitudes de un mismo t ipo y una magnitud total ,

debemos hacer un reparto directamente proporcional a las

inversas de las magnitudes.

Ejemplo:

Tres hermanos ayudan al man tenimiento fami l iar ent regando

anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y

las apor tac iones son inversamente proporc ionales a la edad,

¿cuánto apor ta cada uno?

1º Tomamos los inversos:

2º Ponemos a común denominador:

3º Real izamos un repar to d i rectamente proporc ional a los

numeradores: 24, 20 y 15.

Regla de tres compuesta




La regla de tres compuesta se emplea cuando se re lac ionan t res

o más magnitudes , de modo que a par t i r de las re lac iones

establec idas ent re las magni tudes conoci das obtenemos la

desconocida.

Una regla de tres compuesta se compone de var ias reglas de tres

simples apl icadas sucesivamente.

Como ent re las magni tudes se pueden establecer re lac iones de

proporcional idad directa o inversa , podemos dis t inguir t res

casos de regla de tres compuesta :

Regla de tres compuesta directa

Ejemplo:

Nueve gr i fos abier tos durante 10 horas d iar ias han consumido

una cant idad de agua por valor de 20 €. Aver iguar e l precio del

ver t ido de 15 gr i fos abier tos 12 horas durante los mismos dí as.

A más gr i fos, más euros Directa .

A más horas, más euros Directa .

9 gr i fos 10 horas 20 €




15 gr i fos 12 horas x €

Regla de tres compuesta inversa

5 obreros t rabajando, t rabajando 6 horas d iar ias

const ruyen un muro en 2 d ías. ¿Cuánto tar darán 4 obreros

t rabajando 7 horas d iar ias?

A menos obreros, más d ías Inversa .

A más horas, menos días Inversa .

5 obreros 6 horas 2 días

4 obreros 7 horas x días

Regla de tres compuesta mixta




Si 8 obreros real izan en 9 d ías t rabajando a raz ón de

6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días

necesi tarán 10 obreros t rabajando 8 horas d iar ias

para real izar los 50 m de muro que fa l tan?

A más obreros, menos días Inversa .

A más horas, menos días Inversa .

A más metros, más días Directa .

8 obreros 9 días 6 horas 30

m

10 obreros x d ías 8 horas 50 m

Interés simple

Se l lama interés al beneficio que produce el dinero prestado.

Ese benef ic io es d i rectamente proporc ional a la cant idad prestada y

a l t iempo que dura e l préstamo.




Concepto Nombre Símbolo

Cant idad prestada Capital C

Tiempo del préstamo Tiempo t

Un benef icio por 100 € en un año Rédito r

Benef icio del préstamo Interés I

Si é l es e l t iempo v iene expresado en meses :

Si e l t iempo v iene expresado en días :

Ejemplos:

Hal lar e l in terés producido durante c inco años, por un capi ta l

de 30 000 €, a l 6%.




Calcular en qué se convier te, en seis meses, un capi ta l de

10.000 €, a l 3.5%.

¿Durante cuánto t iempo ha de imponerse un capi ta l

de 25 000 € a l 5% para que se convier ta en 30.000 €?

RESUMEN DE PROPORCIONALIDAD

Magnitud

Una magnitud es cual quier propiedad que se puede medir

numéricamente.

Razón

Razón es el cociente entre dos números o dos cant idades

comparables entre sí , expresado como fracción.

Proporción




Proporción es una igualdad entre dos razones.

En una proporción del producto de lo s medios es igual al

producto de los extremos.

En una proporción o en una ser ie de razones iguales, la suma

de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes

es igual a una cualquiera de las razones.

Si en una proporción cambian entre sí l os medios o extremos la

proporción no varía.

Cuarto proporcional

Es uno cualquiera de los términos de una proporción.

Para calcular lo se d iv ide por e l opuesto, e l producto de los ot ros

dos términos.

Medio proporcional

Una proporción es cont inua si t iene los dos medios iguales .

Para calcular e l medio proporc ional de una proporc ión cont inua se

ext rae la raíz cuadrada del producto de los ext remos.




Tercero proporcional

En una proporc ión cont inua, se denomina tercero proporc ional a

cada uno de los términos desiguales.

Un tercero proporc ional es igual a l cuadrado de los términos

iguales, d iv id ido por e l término desigual.

Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, a l

multipl icar o dividir una de el las por un número cualquiera, la

otra queda mult ipl icada o dividida por e l mismo número.



magni tudes d i rectamente proporc ionales, calcular la cant idad de

una de estas magni tudes correspondiente a una cant idad dada de

la ot ra magnitud.


Consiste en dadas unas magnitudes de un mismo t ipo y una

magnitud total , calcular la parte correspondiente a cada una de

las magnitudes dadas.




Porcentajes

Un porcentaje es un t ipo de regla de tres directa en el que una

de las cantidades es 100.

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al

mult ipl icar o dividir una de el las por un número cualquiera, la

otra queda dividida o mult ipl icada por el mismo número.



magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cant idad

de una de estas magnitudes correspondiente a una cant i dad

dada de la otra magnitud.





Dadas unas magnitudes de un mismo t ipo y una magnitud total ,

debemos hacer un reparto directamente proporcional a las

inversas de las magnitudes.

Proporcional idad compuesta

Una magnitud se relaciona proporcionalmente con otras, ya sea

de modo directo o inverso.

Regla de tres compuesta

Se emplea para resolver problemas de proporcional idad

compuesta.

Interés

Se l lama interés al beneficio que produce el dinero prestado.

Ese benef ic io es d i r ectamente proporc ional a la cant idad prestada y

a l t iempo que dura e l préstamo.

Concepto Nombre Símbolo

Cant idad prestada Capital C




Tiempo del préstamo Tiempo t

Un benef icio por 100 € en un año Rédito r

Benef icio del préstamo Interés I

Si é l es e l t iempo v iene expresado en meses :

Si e l t iempo v iene expresado en días :

NOTA: SI ALGUN TEMA, EL ALUMNO NO LO ENTENDIERA ESTA OBLIGADO A INVESTIGAR EN OTRA FUENTE O BIBLIOGRAFIA PARA LOGRAR UN BUEN CONOCIMIENTO VERDADERAMENTE SIGNIFICATIVO.

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