10 - Esercizi

Essendo la Nana Bianca neutra, vi sarà una densità numerica di ioni n+ pari a:

n+ = ne / Z (dove Z = numero atomico)

La densità di materia in questo gas sarà quindi data da:

= A mp n+ + mene A mp n+ (dove A = peso atomico)

(trascurabile)

da queste due formule si ricava:

ne = (Z ) / ( A mp)

Pe = 0.0485 (h2/me) (Z / A)5/3 ( / mp)5/3

Esercizio 1: Data una sfera di massa M e raggio R, adottando per la stima della pressione centrale Pc dovuta alla stessa gravità della sfera la relazione semplice Pc G M2/ R4, ricavate la relazione massa-raggio determinata dalla pressione degenere di un gas di elettroni. Utilizzate per la pressione degenere Pe la relazione: Pe = 0.0485 h2 ne

5/3 / me

Soluzione:

Assumendo per la densità media : M / (4R3/3) e imponendo Pe = Pc = G M2/ R4 si ricava:

(esatta a meno di un fattore 0.114, derivante dalle approssimazioni fatte)

R (h2 / G me mp5/3) (Z/A)5/3 M-1/3

Esercizio 2: Calcolate il raggio R di una Nana Bianca nei due casi:

M = 0.5 M

M = 1 M

Soluzione:

Adottando la relazione esatta:

e adottando (per una tipica Nana Bianca di He) Z/A = 0.5, e:

h = 6.63 x 1027 erg s

G = 6.67 x 108 gm1 cm3 s2

me = 9.11 x 1028 gm

mp = 1.67 x 1024 gm

Si ha: R = 0.114 x (4.4 x 1053 / 1.43 x 1074) x 0.31 x (M/M)1/3 x 7.95 x 1012

R 0.9 x 109 cm per M = 1 M

R 1.1 x 109 cm per M = 0.5 M

R = 0.114 x (h2 / G me mp5/3) (Z/A)5/3 M-1/3

Esercizio 3:

Assumendo, per la composizione iniziale del Sole, solo Idrogeno, calcolare riserva totale di energia nucleare (per fusione 4HHe) disponibile.

Se assumiamo una composizione iniziale del Sole solo di H (100%) si ha:

Numero totale di nuclei di H (protoni) disponibile pari a:

N = M / mp = (2 x 1033)/(1.67 x 10-24) 11.9 x 1056

Se ogni 4 nuclei di H possiamo ottenere 1 nucleo di He, questo corrisponde a una riserva totale teorica di energia pari a:

Etot = (N/4) x 0.03 mpc2 = 13 x 1051 erg

Soluzione:

Esercizio 4: In base al dato ottenuto nell’esercizio precedente, fate una stima del tempo di vita del Sole. Spiegate perché è sovrastimata.

Soluzione:

Considerato che la luminosità del Sole è pari a:

L = 3.9 x 1033 erg s-1

si ottiene un tempo di vita dell’ordine di:

= Etot / L 3 x 1018 s 10 x 1010 anni

E’ sovrastimata per due motivi:

a) La composizione iniziale del Sole non è 100% Idrogeno (70%)

b) Solo nel nucleo centrale (13 %) la fusione è efficace